Последовательность

Конечный или бесконечный упорядоченный список элементов.

В математике последовательность — это нумерованный набор объектов , в которых допускаются повторения и порядок имеет значение. Подобно набору , он содержит члены (также называемые элементами или терминами ). Количество элементов (возможно, бесконечное ) называется длиной последовательности. В отличие от набора одни и те же элементы могут появляться несколько раз в разных позициях последовательности, и в отличие от набора порядок имеет значение. Формально последовательность можно определить как функцию натуральных чисел (позиций элементов в последовательности) до элементов в каждой позиции. Понятие последовательности можно обобщить до индексированного семейства , определяемого как функция из произвольного набора индексов.

Например, (M, A, R, Y) — это последовательность букв, в которой буква «M» идет первой, а буква «Y» — последней. Эта последовательность отличается от (A, R, M, Y). Кроме того, допустимой последовательностью является последовательность (1, 1, 2, 3, 5, 8), которая содержит число 1 в двух разных позициях. Последовательности могут быть конечными , как в этих примерах, или бесконечными , например, последовательность всех четных натуральных чисел (2, 4, 6, ...).

Позицией элемента в последовательности является его ранг или индекс ; это натуральное число, для которого элементом является изображение. Первый элемент имеет индекс 0 или 1, в зависимости от контекста или конкретного соглашения. В математическом анализе последовательность часто обозначается буквами в виде , и , где индекс n относится к n- му элементу последовательности; например, n- й элемент последовательности Фибоначчи обычно обозначается как . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{n}}$

В вычислительной технике и информатике конечные последовательности иногда называют строками , словами или списками , причем разные названия обычно соответствуют разным способам их представления в памяти компьютера ; бесконечные последовательности называются потоками . Пустая последовательность ( ) включена в большинство понятий последовательности, но может быть исключена в зависимости от контекста.

Бесконечная последовательность действительных чисел (синим цветом). Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей, ни сходящейся, ни Коши . Однако оно ограничено.

Примеры и обозначения

Последовательность можно рассматривать как список элементов в определенном порядке. ^{[1] [2]} Последовательности полезны в ряде математических дисциплин для изучения функций , пространств и других математических структур с использованием свойств сходимости последовательностей. В частности, последовательности являются основой для рядов , которые важны в дифференциальных уравнениях и анализе . Последовательности также представляют интерес сами по себе, и их можно изучать как закономерности или головоломки, например, при изучении простых чисел .

Существует несколько способов обозначения последовательности, некоторые из которых более полезны для определенных типов последовательностей. Один из способов указать последовательность — перечислить все ее элементы. Например, первые четыре нечетных числа образуют последовательность (1, 3, 5, 7). Это обозначение также используется для бесконечных последовательностей. Например, бесконечная последовательность положительных нечетных целых чисел записывается как (1, 3, 5, 7, ...). Поскольку обозначение последовательностей с помощью многоточия приводит к неоднозначности, листинг наиболее полезен для обычных бесконечных последовательностей, которые можно легко распознать по первым нескольким элементам. Другие способы обозначения последовательности обсуждаются после примеров.

Примеры

Плитка из квадратов , стороны которых представляют собой последовательные числа Фибоначчи по длине.

Простые числа – это натуральные числа больше 1, у которых нет делителей , кроме 1 и самих себя. Расположив их в естественном порядке, получим последовательность (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...). Простые числа широко используются в математике , особенно в теории чисел , где существует множество результатов, связанных с ними.

Числа Фибоначчи представляют собой целочисленную последовательность, элементы которой представляют собой сумму двух предыдущих элементов. Первые два элемента — это либо 0 и 1, либо 1 и 1, так что последовательность равна (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...). ^[1]

Другие примеры последовательностей включают в себя последовательности, состоящие из рациональных чисел , действительных чисел и комплексных чисел . Последовательность (.9, .99, .999, .9999, ...), например, приближается к числу 1. Фактически, каждое действительное число можно записать как предел последовательности рациональных чисел (например, через его десятичное разложение , также смотрите полноту действительных чисел ). Другой пример: π — это предел последовательности (3, 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, ...), которая возрастает. Связанная последовательность — это последовательность десятичных цифр числа π , то есть (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...). В отличие от предыдущей последовательности, эта последовательность не имеет какой-либо закономерности, которую можно было бы легко различить при внимательном рассмотрении.

Другими примерами являются последовательности функций , элементами которых являются функции, а не числа.

Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей содержит большой список примеров целочисленных последовательностей. ^[3]

Индексирование

Другие обозначения могут быть полезны для последовательностей, образец которых нелегко угадать, или для последовательностей, которые не имеют шаблона, такого как цифры π . Одно из таких обозначений — записать общую формулу для вычисления n -го члена как функции от n , заключить ее в круглые скобки и включить нижний индекс, указывающий набор значений, которые может принимать n . Например, в этой записи последовательность четных чисел можно записать как . Последовательность квадратов можно записать как . Переменная n называется индексом , а набор значений, которые она может принимать, называется набором индексов . ${\displaystyle (2n)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N} }}$

Часто бывает полезно объединить эти обозначения с техникой обработки элементов последовательности как отдельных переменных. В результате получаются выражения типа , обозначающие последовательность, n -й элемент которой задается переменной . Например: ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{st element of }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&=2{\text{nd element }}\\a_{3}&=3{\text{rd element }}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{th element}}\\a_{n}&=n{\text{th element}}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{th element}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$

Можно рассматривать несколько последовательностей одновременно, используя разные переменные; например, может быть другая последовательность, чем . Можно даже рассматривать последовательность последовательностей: обозначает последовательность, m-м членом которой является последовательность . ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle ((a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} })_{m\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Альтернативой написанию домена последовательности в нижнем индексе является указание диапазона значений, которые может принимать индекс, путем перечисления его максимального и минимального допустимых значений. Например, обозначение обозначает десятичленную последовательность квадратов . Пределы и разрешены, но они не представляют действительных значений индекса, а только верхнюю или нижнюю границу таких значений соответственно. Например, последовательность такая же, как последовательность , и не содержит дополнительного термина «на бесконечности». Последовательность является бибесконечной последовательностью и также может быть записана как . ${\displaystyle (k^{2})_{k=1}^{10}}$ ${\displaystyle (1,4,9,\ldots ,100)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$ ${\displaystyle (\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$

В тех случаях, когда набор индексных чисел понятен, нижние и верхние индексы часто опускаются. То есть просто пишут для произвольной последовательности. Часто под индексом k понимают от 1 до ∞. Однако последовательности часто индексируются, начиная с нуля, как в ${\displaystyle (a_{k})}$

${\displaystyle (a_{k})_{k=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ).}$

В некоторых случаях элементы последовательности естественным образом связаны с последовательностью целых чисел, образец которой можно легко определить. В этих случаях набор индексов может подразумеваться списком первых нескольких абстрактных элементов. Например, последовательность квадратов нечетных чисел можно обозначить любым из следующих способов.

• ${\displaystyle (1,9,25,\ldots )}$
• ${\displaystyle (a_{1},a_{3},a_{5},\ldots ),\qquad a_{k}=k^{2}}$
• ${\displaystyle (a_{2k-1})_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=k^{2}}$
• ${\displaystyle (a_{k})_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=(2k-1)^{2}}$
• ${\displaystyle \left((2k-1)^{2}\right)_{k=1}^{\infty }}$

Более того, нижние и верхние индексы можно было бы опустить в третьей, четвертой и пятой нотации, если бы под индексным набором понимались натуральные числа . Во втором и третьем пунктах имеется четко определенная последовательность , но она не совпадает с последовательностью, обозначенной выражением. ${\displaystyle (a_{k})_{k=1}^{\infty }}$

Определение последовательности с помощью рекурсии

Последовательности, элементы которых напрямую связаны с предыдущими элементами, часто определяются с помощью рекурсии . Это контрастирует с определением последовательностей элементов как функций их позиций.

Чтобы определить последовательность с помощью рекурсии, необходимо правило, называемое отношением рекуррентности , для построения каждого элемента на основе предшествующих ему элементов. Кроме того, должно быть предоставлено достаточно начальных элементов, чтобы все последующие элементы последовательности можно было вычислить путем последовательных применений рекуррентного соотношения.

Последовательность Фибоначчи — это простой классический пример, определяемый рекуррентным соотношением

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},}$

с первоначальными условиями и . Отсюда простое вычисление показывает, что первые десять членов этой последовательности — это 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и 34. ${\displaystyle a_{0}=0}$ ${\displaystyle a_{1}=1}$

Сложным примером последовательности, определяемой рекуррентным соотношением, является последовательность Рекамана ^[4] , определяемая рекуррентным соотношением.

${\displaystyle {\begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-n,\quad {\text{if the result is positive and not already in the previous terms,}}\\a_{n}=a_{n-1}+n,\quad {\text{otherwise}},\end{cases}}}$

с первоначальным сроком ${\displaystyle a_{0}=0.}$

Линейная рекуррентность с постоянными коэффициентами — это рекуррентное соотношение вида

${\displaystyle a_{n}=c_{0}+c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},}$

где константы . _ Существует общий метод выражения общего члена такой последовательности как функции от n ; см. Линейная повторяемость . В случае последовательности Фибоначчи, результирующая функция n определяется формулой Бине . ${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,}$

Голономная последовательность — это последовательность, определяемая рекуррентным соотношением вида

${\displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},}$

где – полиномы от n . Для большинства голономных последовательностей не существует явной формулы для выражения в виде функции от n . Тем не менее, голономные последовательности играют важную роль в различных областях математики. Например, многие специальные функции имеют ряд Тейлора , последовательность коэффициентов которого голономна. Использование рекуррентного соотношения позволяет быстро вычислять значения таких специальных функций. ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

Не все последовательности могут быть заданы рекуррентным отношением. Примером может служить последовательность простых чисел в их естественном порядке (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...).

Формальное определение и основные свойства

В математике существует множество различных понятий последовательностей, некоторые из которых ( например , точная последовательность ) не охватываются определениями и обозначениями, введенными ниже.

Определение

В этой статье последовательность формально определяется как функция , областью определения которой является интервал целых чисел . Это определение охватывает несколько различных вариантов использования слова «последовательность», включая односторонние бесконечные последовательности, двубесконечные последовательности и конечные последовательности (определения этих типов последовательностей см. ниже). Однако многие авторы используют более узкое определение, требуя, чтобы область определения последовательности была набором натуральных чисел . Это более узкое определение имеет тот недостаток, что оно исключает конечные последовательности и бибесконечные последовательности, которые в стандартной математической практике обычно называются последовательностями. Еще одним недостатком является то, что если удалить первые члены последовательности, необходимо переиндексировать оставшиеся члены, чтобы они соответствовали этому определению. В некоторых контекстах, чтобы сократить изложение, кодомен последовательности фиксируется контекстом, например, требуя, чтобы это был набор R действительных чисел, ^[5] набор C комплексных чисел, ^[6] или топологическое пространство . ^[7]

Хотя последовательности являются типом функции, их обычно отличают от функций тем, что входные данные записываются в виде нижнего индекса, а не в круглых скобках, то есть _n , а не a ( n ) . Существуют также терминологические различия: значение последовательности на самом низком входе (часто 1) называется «первым элементом» последовательности, значение на втором наименьшем входе (часто 2) называется «вторым элементом», и т. д. Кроме того, хотя функция, абстрагированная от ее входных данных, обычно обозначается одной буквой, например, f , последовательность, абстрагированная от ее входных данных, обычно записывается с помощью таких обозначений, как , или так же, как Здесь A - это область определения или набор индексов, последовательности. ${\displaystyle (a_{n})_{n\in A}}$ ${\displaystyle (a_{n}).}$

Последовательности и их пределы (см. ниже) — важные понятия для изучения топологических пространств. Важным обобщением последовательностей является понятие сетей . Сеть — это функция от направленного множества (возможно , несчетного ) в топологическое пространство. Соглашения об обозначениях последовательностей обычно применяются и к сетям.

Конечный и бесконечный

Длина последовательности определяется как количество членов в последовательности .

Последовательность конечной длины n также называется n -кортежом . Конечные последовательности включают пустую последовательность  ( ), не имеющую элементов.

Обычно термин «бесконечная последовательность» относится к последовательности, которая бесконечна в одном направлении и конечна в другом — последовательность имеет первый элемент, но не имеет конечного элемента. Такая последовательность называется одинарной бесконечной последовательностью или односторонней бесконечной последовательностью, когда необходимо устранение неоднозначности. Напротив, последовательность, которая бесконечна в обоих направлениях, т. е. не имеет ни первого, ни последнего элемента, называется бибесконечной последовательностью , двусторонней бесконечной последовательностью или дважды бесконечной последовательностью . Функция из множества Z всех целых чисел в набор, такая как, например , последовательность всех четных целых чисел (..., -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...), равна би-бесконечный. Эту последовательность можно обозначить . ${\displaystyle (2n)_{n=-\infty }^{\infty }}$

Увеличение и уменьшение

Последовательность называется монотонно возрастающей, если каждый ее член больше или равен предыдущему. Например, последовательность монотонно возрастает тогда и только тогда, когда a _{n +1} a _n для всех n ∈ N. Если каждый последующий член строго больше (>) предыдущего члена, то последовательность называется строго монотонно возрастающей . Последовательность является монотонно убывающей, если каждый ее следующий член меньше или равен предыдущему, и строго монотонно убывающей, если каждый ее член строго меньше предыдущего. Если последовательность либо возрастает, либо убывает, ее называют монотонной . Это частный случай более общего понятия монотонной функции . ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \geq }$

Термины «неубывающий» и «невозрастающий» часто используются вместо «увеличения » и «убывания» , чтобы избежать возможной путаницы со строго возрастающим и строго убывающим соответственно.

Ограниченный

Если последовательность действительных чисел ( an ) такова, что все члены меньше некоторого действительного числа M _, то последовательность называется ограниченной сверху . Другими словами, это означает, что существует M такое, что для всех n a _n ⩽ M. Любое такое M называется верхней границей . Аналогично, если для некоторого действительного m a _n ≥ m для всех n, больших некоторого N , то последовательность ограничена снизу , и любое такое m называется нижней границей . Если последовательность ограничена одновременно сверху и снизу, то последовательность называется ограниченной .

Подпоследовательности

Подпоследовательность данной последовательности — это последовательность, образованная из данной последовательности путем удаления некоторых элементов без нарушения относительного положения остальных элементов . Например, последовательность натуральных четных чисел (2, 4, 6, ...) является подпоследовательностью натуральных чисел (1, 2, 3, ...). Позиции некоторых элементов изменяются при удалении других элементов. Однако относительные позиции сохраняются.

Формально подпоследовательностью последовательности называется любая последовательность вида , где – строго возрастающая последовательность натуральных чисел. ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (n_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$

Другие типы последовательностей

Некоторые другие типы последовательностей, которые легко определить, включают:

• Целочисленная последовательность — это последовательность, члены которой являются целыми числами.
• Полиномиальная последовательность — это последовательность, члены которой являются полиномами.
• Последовательность положительных целых чисел иногда называют мультипликативной , если a _nm = a _n am для всех пар n , m таких, _что n и m взаимно просты . ^[8] В других случаях последовательности часто называют мультипликативными , если a _n = na ₁ для всех n . Более того, мультипликативная последовательность Фибоначчи ^[9] удовлетворяет рекуррентному соотношению a _n = a _{n −1} a _{n −2} .
• Бинарная последовательность — это последовательность, члены которой имеют одно из двух дискретных значений, например значения по основанию 2 (0,1,1,0, ...), серия подбрасываний монеты (орёл/решка) H,T,H,H ,T, ..., ответы на набор вопросов «Верно» или «Неверно» (T, F, T, T, ...) и так далее.

Пределы и конвергенция

График сходящейся последовательности ( a _n ) показан синим цветом. Из графика видно, что последовательность стремится к нулю при увеличении n .

Важным свойством последовательности является сходимость . Если последовательность сходится, она сходится к определенному значению, известному как предел . Если последовательность сходится к некоторому пределу, то она сходится . Последовательность, которая не сходится, является расходящейся .

Неформально, последовательность имеет предел, если элементы последовательности становятся все ближе и ближе к некоторому значению (называемому пределом последовательности), и они становятся и остаются сколь угодно близкими к , что означает, что для данного действительного числа больше нуля все, кроме конечное число элементов последовательности имеют расстояние менее . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d}$

Например, последовательность, показанная справа, сходится к значению 0. С другой стороны, последовательности (начинающиеся с 1, 8, 27, ...) и (начинающиеся с -1, 1, -1, 1, . ..) оба расходятся. ${\textstyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}$ ${\textstyle b_{n}=n^{3}}$ ${\displaystyle c_{n}=(-1)^{n}}$

Если последовательность сходится, то значение, к которому она сходится, уникально. Это значение называется пределом последовательности. Предел сходящейся последовательности обычно обозначается . Если – расходящаяся последовательность, то выражение бессмысленно. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

Формальное определение конвергенции

Последовательность действительных чисел сходится к действительному числу , если для всех существует натуральное число такое, что для всех имеем ^[5] ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$

${\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon .}$

Если это последовательность комплексных чисел, а не последовательность действительных чисел, эту последнюю формулу все равно можно использовать для определения сходимости с условием, которое обозначает комплексный модуль, т.е. Если – последовательность точек в метрическом пространстве , то формулу можно использовать для определения сходимости, если выражение заменить выражением , которое обозначает расстояние между и . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle |z|={\sqrt {z^{*}z}}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle |a_{n}-L|}$ ${\displaystyle \operatorname {dist} (a_{n},L)}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle L}$

Приложения и важные результаты

Если и являются сходящимися последовательностями, то существуют следующие пределы, которые можно вычислить следующим образом: ^{[5] [10]} ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{n})}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}}$для всех действительных чисел ${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}}$, при условии, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}}$для всех и ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$

Более того:

• Если для всех больше некоторых , то . ^[а] ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ( Теорема о сжатии )
  Если последовательность такая, что для всех и , то сходится, и . ${\displaystyle (c_{n})}$ ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$
  ${\displaystyle (c_{n})}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$
• Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится.
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся все ее подпоследовательности.

Последовательности Коши

График последовательности Коши ( X _n ), показанный синим цветом, как X _n в сравнении с n . На графике последовательность кажется сходящейся к пределу, поскольку расстояние между последовательными членами последовательности уменьшается с увеличением n . В действительных числах каждая последовательность Коши сходится к некоторому пределу.

Последовательность Коши — это последовательность, члены которой становятся сколь угодно близкими друг к другу по мере того, как n становится очень большим. Понятие последовательности Коши важно при изучении последовательностей в метрических пространствах и, в частности, в реальном анализе . Одним из особенно важных результатов реального анализа является характеристика сходимости Коши для последовательностей :

Последовательность действительных чисел сходится (в действительных числах) тогда и только тогда, когда она является Коши.

Напротив, существуют последовательности Коши рациональных чисел , которые не сходятся к рациональным числам, например, последовательность, определяемая x ₁ = 1 и x _{n +1} =х _н +2/х _н/2есть Коши, но не имеет рационального предела, ср. здесь . В более общем смысле, любая последовательность рациональных чисел, которая сходится к иррациональному числу, является Коши, но не сходящейся, если интерпретировать ее как последовательность из множества рациональных чисел.

Метрические пространства, удовлетворяющие характеристике сходимости Коши для последовательностей, называются полными метрическими пространствами и особенно удобны для анализа.

Бесконечные пределы

В исчислении принято определять обозначения для последовательностей, которые не сходятся в том смысле, который обсуждался выше, но вместо этого становятся и остаются сколь угодно большими или становятся и остаются сколь угодно отрицательными. Если становится сколь угодно большим как , пишем ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty .}$

В этом случае мы говорим, что последовательность расходится или сходится к бесконечности . Примером такой последовательности является n ₌ n .

Если становится сколь угодно отрицательным (т.е. отрицательным и большим по величине) как , мы пишем ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$

и скажем, что последовательность расходится или сходится к отрицательной бесконечности .

Ряд

Неформально говоря, ряд — это сумма членов последовательности. То есть это выражение вида или , где – последовательность действительных или комплексных чисел. Частичные суммы ряда – это выражения, полученные в результате замены символа бесконечности конечным числом, т.е. N- я частичная сумма ряда – это число ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}.}$

Сами частичные суммы образуют последовательность , которая называется последовательностью частичных сумм ряда . Если последовательность частичных сумм сходится, то говорят, что ряд сходящийся , а предел называют значением ряда. Для обозначения ряда и его значения используются одни и те же обозначения, т.е. пишем . ${\displaystyle (S_{N})_{N\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \lim _{N\to \infty }S_{N}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$

Использование в других областях математики

Топология

Последовательности играют важную роль в топологии, особенно при изучении метрических пространств . Например:

• Метрическое пространство компактно ровно тогда , когда оно секвенциально компактно .
• Функция перехода из метрического пространства в другое метрическое пространство является непрерывной ровно тогда, когда она переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся последовательности.
• Метрическое пространство является связным тогда и только тогда, когда всякий раз, когда пространство разделено на два множества, одно из двух множеств содержит последовательность, сходящую к точке в другом множестве.
• Топологическое пространство является сепарабельным ровно тогда, когда существует плотная последовательность точек.

Последовательности можно обобщить до сетей или фильтров . Эти обобщения позволяют распространить некоторые из приведенных выше теорем на пространства без метрик.

Топология продукта

Топологическое произведение последовательности топологических пространств — это декартово произведение этих пространств, снабженное естественной топологией , называемой топологией произведения .

Более формально, учитывая последовательность пространств , пространство произведений ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle X:=\prod _{i\in \mathbb {N} }X_{i},}$

определяется как набор всех последовательностей, таких, что для каждого i является элементом . Канонические проекции — это отображения p _i  : X → X _i, определенные уравнением . Тогда топология произведения на X определяется как самая грубая топология (т.е. топология с наименьшим количеством открытых множеств), для которой все проекции pi _{непрерывны} . Топологию произведения иногда называют топологией Тихонова . ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}((x_{j})_{j\in \mathbb {N} })=x_{i}}$

Анализ

При обсуждении последовательностей в анализе обычно рассматриваются последовательности вида

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ){\text{ or }}(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )}$

то есть бесконечные последовательности элементов, индексированные натуральными числами .

Последовательность может начинаться с индексом, отличным от 1 или 0. Например, последовательность, определяемая x _n = 1/ log ( n ), будет определена только для n ≥ 2. Когда речь идет о таких бесконечных последовательностях, обычно достаточно ( и не сильно меняется для большинства соображений) , чтобы предположить, что члены последовательности определены по крайней мере для всех достаточно больших индексов , то есть больших, чем некоторое заданное N.

Самый элементарный тип последовательностей — числовые, то есть последовательности действительных или комплексных чисел. Этот тип можно обобщить на последовательности элементов некоторого векторного пространства . В анализе рассматриваемые векторные пространства часто являются функциональными пространствами . В более общем смысле можно изучать последовательности с элементами в некотором топологическом пространстве .

Пространства последовательностей

Пространство последовательностей — это векторное пространство , элементами которого являются бесконечные последовательности действительных или комплексных чисел. Эквивалентно, это функциональное пространство , элементами которого являются функции от натуральных чисел до поля K , где K — либо поле действительных чисел, либо поле комплексных чисел. Множество всех таких функций естественным образом отождествляется с множеством всех возможных бесконечных последовательностей с элементами из K и может быть превращено в векторное пространство при помощи операций поточечного сложения функций и поточечного скалярного умножения. Все пространства последовательностей являются линейными подпространствами этого пространства. Пространства последовательностей обычно снабжены нормой или , по крайней мере, структурой топологического векторного пространства .

Наиболее важными пространствами последовательностей в анализе являются ℓ ^p- пространства, состоящие из суммируемых последовательностей в p -степени с p -нормой. Это частные случаи пространств L p для считающей меры на множестве натуральных чисел. Другие важные классы последовательностей, такие как сходящиеся последовательности или _{нулевые} последовательности , образуют пространства последовательностей, обозначаемые соответственно c и c0 , с нормой sup. Любое пространство последовательностей также может быть оснащено топологией поточечной сходимости , при которой оно становится особым видом пространства Фреше , называемым FK-пространством .

Линейная алгебра

Последовательности над полем также можно рассматривать как векторы в векторном пространстве . В частности, множество F -значных последовательностей (где F — поле) представляет собой функциональное пространство (фактически пространство произведений ) F -значных функций над множеством натуральных чисел.

Абстрактная алгебра

Абстрактная алгебра использует несколько типов последовательностей, включая последовательности математических объектов, таких как группы или кольца.

Бесплатный моноид

Если A — множество, свободный моноид над A (обозначаемый A ^* , также называемый звездой Клини A ) — это моноид , содержащий все конечные последовательности (или строки) из нуля или более элементов A с бинарной операцией конкатенации. Свободная полугруппа A ⁺ — это подполугруппа A ^* , содержащая все элементы, кроме пустой последовательности.

Точные последовательности

В контексте теории групп последовательность

${\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}}$

групп и групповых гомоморфизмов называется точным , если образ (или образ ) каждого гомоморфизма равен ядру следующего :

${\displaystyle \mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1})}$

Последовательность групп и гомоморфизмов может быть как конечной, так и бесконечной.

Аналогичное определение можно дать и для некоторых других алгебраических структур . Например, можно иметь точную последовательность векторных пространств и линейных отображений или модулей и гомоморфизмов модулей .

Спектральные последовательности

В гомологической алгебре и алгебраической топологии спектральная последовательность — это средство вычисления групп гомологий путем принятия последовательных приближений. Спектральные последовательности являются обобщением точных последовательностей , и с момента их введения Жаном Лере  (1946) они стали важным исследовательским инструментом, особенно в теории гомотопий .

Теория множеств

Последовательность с порядковым индексом является обобщением последовательности. Если α — предельный ординал , а X — множество, α-индексированная последовательность элементов X — это функция от α до X. В этой терминологии последовательность, индексированная по ω, является обычной последовательностью.

Вычисление

В информатике конечные последовательности называются списками . Потенциально бесконечные последовательности называются потоками . Конечные последовательности символов или цифр называются строками .

Потоки

Бесконечные последовательности цифр (или символов ), взятые из конечного алфавита , представляют особый интерес в теоретической информатике . Их часто называют просто последовательностями или потоками , в отличие от конечных строк . Например, бесконечные двоичные последовательности представляют собой бесконечные последовательности битов (символов, взятых из алфавита {0, 1}). Множество C = {0, 1} ^∞ всех бесконечных двоичных последовательностей иногда называют пространством Кантора .

Бесконечная двоичная последовательность может представлять формальный язык (набор строк), установив n  -й бит последовательности равным 1 тогда и только тогда, когда n  -я строка (в коротком порядке ) находится в языке. Это представление полезно в методе диагонализации доказательств. ^[11]

Смотрите также

• Перечисление
• Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей
• Рекуррентное отношение
• Пространство последовательности

Операции

• Продукт Коши

Примеры

• Дискретный сигнал
• Последовательность Фари
• Последовательность Фибоначчи
• Последовательность «посмотри и скажи»
• Последовательность Туэ – Морса
• Список целочисленных последовательностей

Типы

• ±1-последовательность
• Арифметическая прогрессия
• Автоматическая последовательность
• Последовательность Коши
• Постоянно-рекурсивная последовательность
• Геометрическая прогрессия
• Гармоническая прогрессия
• Голономная последовательность
• Регулярная последовательность
• Псевдослучайная двоичная последовательность
• Случайная последовательность

Связанные понятия

• Список (вычисления)
• Сеть (топология) (обобщение последовательностей)
• Порядковая последовательность
• Рекурсия (информатика)
• Набор (математика)
• Кортеж
• перестановка

Примечания

1. Если неравенства заменить строгими неравенствами, то это неверно: существуют последовательности такие, что для всех , но . ${\displaystyle a_{n}<b_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

Рекомендации

1. «Последовательности». www.mathsisfun.com . Архивировано из оригинала 12 августа 2020 г. Проверено 17 августа 2020 г.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность». mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 25 июля 2020 г. Проверено 17 августа 2020 г.
3. Указатель OEIS. Архивировано 18 октября 2022 г. в Wayback Machine , Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей, 03 декабря 2020 г.
4. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005132 (последовательность Рекамана)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 января 2018 г.
5. Гоган, Эдвард (2009). «1.1 Последовательности и конвергенция». Введение в анализ . АМС (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
6. Эдвард Б. Сафф и Артур Дэвид Снайдер (2003). «Глава 2.1». Основы комплексного анализа . Прентис Холл. ISBN 978-01-390-7874-3. Архивировано из оригинала 23 марта 2023 г. Проверено 15 ноября 2015 г.
7. Джеймс Р. Манкрес (2000). «Главы 1 и 2». Топология . Прентис Холл, Инкорпорейтед. ISBN 978-01-318-1629-9. Архивировано из оригинала 23 марта 2023 г. Проверено 15 ноября 2015 г.
8. Ландо, Сергей К. (21 октября 2003 г.). «7.4 Мультипликативные последовательности». Лекции по производящим функциям . АМС. ISBN 978-0-8218-3481-7.
9. Сокол, Серджио (2003). «Мультипликативная последовательность Фибоначчи». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 34 (2): 310–315. дои : 10.1080/0020739031000158362. S2CID  121280842.
10. Давикинс, Пол. «Серии и последовательности». Интернет-заметки Пола по математике/Calc II (примечания) . Архивировано из оригинала 30 ноября 2012 года . Проверено 18 декабря 2012 г.
11. Офлазер, Кемаль. «ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ, АВТОМАТЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ: РАЗРЕШИМОСТЬ» (PDF) . cmu.edu . Университет Карнеги Меллон. Архивировано (PDF) из оригинала 29 мая 2015 года . Проверено 24 апреля 2015 г.

Внешние ссылки

• «Последовательность», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей
• Журнал целочисленных последовательностей (бесплатно)