Гомология (математика)

Применение алгебраических структур к топологическим пространствам

В математике термин гомология , первоначально введенный в алгебраической топологии , имеет три основных, тесно связанных использования. Наиболее прямое использование термина — взять гомологию цепного комплекса , что приводит к последовательности абелевых групп, называемых группами гомологий. Эта операция, в свою очередь, позволяет связать различные именованные гомологии или теории гомологии с различными другими типами математических объектов. Наконец, поскольку существует много теорий гомологии для топологических пространств , которые дают один и тот же ответ, часто говорят о гомологии топологического пространства . (Это последнее понятие гомологии допускает более интуитивные описания для 1- или 2-мерных топологических пространств и иногда упоминается в популярной математике .) Существует также связанное понятие когомологии коцепного комплекса , дающее начало различным теориям когомологий, в дополнение к понятию когомологий топологического пространства .

Гомология цепочечных комплексов

Чтобы взять гомологию цепного комплекса , начинаем с цепного комплекса, который представляет собой последовательность абелевых групп (элементы которых называются цепями ) и групповых гомоморфизмов (называемых граничными отображениями ) таких, что композиция любых двух последовательных отображений равна нулю: ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle d_{n}}$

${\displaystyle C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

Группа гомологий этого цепного комплекса тогда является факторгруппой циклов по модулю границ, где группа циклов th задается подгруппой ядра , а группа границ th задается подгруппой образа . Можно опционально наделить цепные комплексы дополнительной структурой, например, дополнительно взяв группы модулями над кольцом коэффициентов , а граничные отображения - гомоморфизмами модулей , что приводит к группам гомологий , которые также являются фактормодулями . Инструменты гомологической алгебры могут быть использованы для связи групп гомологий различных цепных комплексов. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}=Z_{n}/B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z_{n}}$ ${\displaystyle Z_{n}:=\ker d_{n}:=\{c\in C_{n}\,|\;d_{n}(c)=0\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}:=\mathrm {im} \,d_{n+1}:=\{d_{n+1}(c)\,|\;c\in C_{n+1}\}}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle d_{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H_{n}}$

Теории гомологии

Чтобы связать теорию гомологии с другими типами математических объектов, сначала дается предписание для связывания цепных комплексов с этим объектом, а затем берется гомология такого цепного комплекса. Чтобы теория гомологии была действительной, все такие цепные комплексы, связанные с одним и тем же математическим объектом, должны иметь одну и ту же гомологию. Полученная теория гомологии часто называется в соответствии с типом предписанного цепного комплекса. Например, сингулярная гомология , гомология Морса , гомология Хованова и гомология Хохшильда соответственно получаются из сингулярных цепных комплексов, комплексов Морса, комплексов Хованова и комплексов Хохшильда. В других случаях, например, для групповой гомологии , существует несколько общих методов вычисления тех же групп гомологии.

На языке теории категорий теория гомологии — это тип функтора из категории изучаемого математического объекта в категорию абелевых групп и групповых гомоморфизмов или, в более общем смысле, в категорию, соответствующую ассоциированным цепным комплексам. Можно также сформулировать теории гомологии как производные функторы на соответствующих абелевых категориях , измеряя несоответствие соответствующего функтора точности . Эту последнюю конструкцию можно явно описать в терминах резолюций или более абстрактно с точки зрения производных категорий или категорий моделей .

Независимо от того, как они сформулированы, теории гомологии помогают предоставить информацию о структуре математических объектов, с которыми они связаны, и иногда могут помочь различать различные объекты.

Гомологии топологического пространства

Возможно, наиболее привычное использование термина «гомология» — для гомологии топологического пространства . Для достаточно хороших топологических пространств и совместимых выборов колец коэффициентов любая теория гомологии, удовлетворяющая аксиомам Эйленберга-Стинрода, дает те же группы гомологии, что и сингулярная гомология (см. ниже) этого топологического пространства, в результате чего часто просто ссылаются на «гомологию» этого пространства, вместо того чтобы указывать, какая теория гомологии использовалась для вычисления рассматриваемых групп гомологии.

Для одномерных топологических пространств, вероятно, самая простая теория гомологии для использования — это гомология графов , которую можно рассматривать как одномерный частный случай симплициальной гомологии , последняя из которых включает в себя разложение топологического пространства на симплексы . (Симплексы являются обобщением треугольников на произвольную размерность; например, ребро в графе гомеоморфно одномерному симплексу, а пирамида, основанная на треугольнике, является 3-симплексом.) Симплициальная гомология, в свою очередь, может быть обобщена до сингулярной гомологии , что позволяет строить более общие отображения симплексов в топологическое пространство. Замена симплексов дисками различных размерностей приводит к связанной конструкции, называемой клеточной гомологией .

Существуют также другие способы вычисления этих групп гомологии, например, с помощью гомологии Морса или путем использования вывода теоремы об универсальном коэффициенте в применении к теории когомологий, такой как когомологии Чеха или (в случае действительных коэффициентов) когомологии де Рама .

Вдохновение для гомологии (неформальное обсуждение)

Одной из идей, приведших к развитию гомологии, было наблюдение, что некоторые низкоразмерные формы можно топологически различить, исследуя их «отверстия». Например, фигура в форме восьмерки имеет больше отверстий, чем круг , а 2-тор (2-мерная поверхность, имеющая форму камеры) имеет другие отверстия, чем 2-сфера (2-мерная поверхность, имеющая форму баскетбольного мяча). ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Изучение топологических особенностей, таких как эти, привело к понятию циклов , которые представляют классы гомологии (элементы групп гомологии). Например, два вложенных круга в форме восьмерки дают примеры одномерных циклов или 1-циклов, а 2-тор и 2-сфера представляют 2-циклы. Циклы образуют группу при операции формального сложения, которая относится к символическому добавлению циклов, а не к их геометрическому объединению. Любая формальная сумма циклов снова называется циклом. ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Циклы и границы (неформальное обсуждение)

Явные конструкции групп гомологии несколько техничны. Как упоминалось выше, явная реализация групп гомологии топологического пространства определяется в терминах циклов и границ цепного комплекса, связанного с , где тип цепного комплекса зависит от выбора используемой теории гомологии. Эти циклы и границы являются элементами абелевых групп и определяются в терминах граничных гомоморфизмов цепного комплекса, где каждый является абелевой группой, а являются групповыми гомоморфизмами , которые удовлетворяют для всех . ${\displaystyle H_{n}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle d_{n}}$ ${\displaystyle d_{n-1}\circ d_{n}=0}$ ${\displaystyle n}$

Поскольку такие конструкции носят несколько технический характер, неформальные обсуждения гомологии иногда вместо этого фокусируются на топологических понятиях, которые параллельны некоторым аспектам теории групп циклов и границ.

Например, в контексте цепных комплексов граница — это любой элемент образа граничного гомоморфизма для некоторых . В топологии граница пространства технически получается путем взятия замыкания пространства за вычетом его внутренности , но это также понятие, знакомое из примеров, например, граница единичного круга — это единичная окружность, или, более топологически, граница — это . ${\displaystyle B_{n}:=\mathrm {im} \,d_{n+1}:=\{d_{n+1}(c)\,|\;c\in C_{n+1}\}}$ ${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Топологически граница замкнутого интервала задается дизъюнктным объединением , а с учетом соответствующих соглашений об ориентации ориентированная граница задается объединением положительно ориентированного с отрицательно ориентированным Симплициальным цепным комплексным аналогом этого утверждения является то, что . (Поскольку является гомоморфизмом, это подразумевает для любого целого числа .) ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \{0\}\,\amalg \,\{1\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle d_{1}([0,1])=\{1\}-\{0\}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{1}(k\cdot [0,1])=k\cdot \{1\}-k\cdot \{0\}}$ ${\displaystyle k}$

В контексте цепных комплексов цикл — это любой элемент ядра , для некоторых . Другими словами, является циклом тогда и только тогда, когда . Ближайшим топологическим аналогом этой идеи была бы форма, которая «не имеет границы», в том смысле, что ее границей является пустое множество. Например, поскольку , и не имеют границы, можно связать циклы с каждым из этих пространств. Однако понятие цепного комплекса циклов (элементов, граница которых является «нулевой цепью») является более общим, чем топологическое понятие формы без границы. ${\displaystyle Z_{n}:=\ker d_{n}:=\{c\in C_{n}\,|\;d_{n}(c)=0\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c\in C_{n}}$ ${\displaystyle d_{n}(c)=0}$ ${\displaystyle S^{1},S^{2}}$ ${\displaystyle T^{2}}$

Именно это топологическое понятие отсутствия границ люди обычно имеют в виду, когда утверждают, что циклы можно интуитивно рассматривать как обнаружение отверстий. Идея заключается в том, что для форм без границ, таких как , и , в каждом случае можно приклеить большую форму, для которой исходная форма является границей. Например, начиная с круга , можно приклеить к нему двумерный диск таким образом, что является границей того . Аналогично, если задана двумерная сфера , можно приклеить к нему шар таким образом, что является границей того . Это явление иногда описывается как утверждение, что имеет «дыру» в форме , или что ее можно «заполнить» . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle B^{3}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle B^{3}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle B^{3}}$ ${\displaystyle B^{3}}$

В более общем смысле, любая форма без границы может быть «заполнена» конусом , поскольку если заданное пространство не имеет границы, то граница конуса на задается как , и поэтому если «заполнить» путем приклеивания конуса на на , то будет границей этого конуса. (Например, конус на гомеоморфен диску , граница которого такова .) Однако иногда желательно ограничиться более хорошими пространствами, такими как многообразия , и не каждый конус гомеоморфен многообразию. Вложенные представители 1-циклов, 3-циклов и ориентированных 2-циклов все допускают отверстия в форме многообразия, но, например, действительная проективная плоскость и комплексная проективная плоскость имеют нетривиальные классы кобордизма и, следовательно, не могут быть «заполнены» многообразиями. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

С другой стороны, границы, обсуждаемые в гомологии топологического пространства, отличаются от границ «заполненных» отверстий, поскольку гомология топологического пространства имеет дело с исходным пространством , а не с новыми формами, построенными путем приклеивания дополнительных частей к . Например, любой вложенный круг в уже ограничивает некоторый вложенный диск в , поэтому это приводит к появлению граничного класса в гомологии . Напротив, никакое вложение в одну из 2 долей восьмерки не дает границы, несмотря на то, что можно приклеить диск к доле восьмерки. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Группы гомологии

При наличии достаточно хорошего топологического пространства , выбора подходящей теории гомологии и цепного комплекса, связанного с , который совместим с этой теорией гомологии, группа гомологии th задается факторгруппой -циклов ( -мерных циклов) по модулю -мерных границ. Другими словами, элементы , называемые классами гомологии , являются классами эквивалентности , представителями которых являются -циклы, и любые два цикла считаются равными в , если и только если они отличаются добавлением границы. Это также подразумевает, что "нулевой" элемент задается группой -мерных границ, которая также включает формальные суммы таких границ. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}(X)}$ ${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}/B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}(X)}$ ${\displaystyle H_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$

Неформальные примеры

Гомологии топологического пространства X — это набор топологических инвариантов X , представленных его группами гомологий , где группа гомологий неформально описывает число дыр в X с k -мерной границей. Дыра с 0-мерной границей — это просто зазор между двумя компонентами . Следовательно, описывает компоненты X, связанные путями . ^[1] $${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$$ ${\displaystyle k^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle H_{k}(X)}$ ${\displaystyle H_{0}(X)}$

Одномерная сфера — это круг . Она имеет один компонент связности и одномерное граничное отверстие, но не имеет более многомерных отверстий. Соответствующие группы гомологии задаются как, где — группа целых чисел, а — тривиальная группа . Группа представляет собой конечно-порожденную абелеву группу с одним генератором , представляющим одномерное отверстие, содержащееся в круге. ^[2] ${\displaystyle S^{1}}$ $${\displaystyle H_{k}\left(S^{1}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle H_{1}\left(S^{1}\right)=\mathbb {Z} }$

Двумерная сфера имеет один компонент связности, не имеет одномерных граничных отверстий, имеет двумерное граничное отверстие и не имеет многомерных дыр. Соответствующие группы гомологии: ^{[2] [3]} ${\displaystyle S^{2}}$ $${\displaystyle H_{k}\left(S^{2}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

В общем случае для n -мерной сферы группы гомологии имеют вид ${\displaystyle S^{n},}$ $${\displaystyle H_{k}\left(S^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Двумерный шар — это сплошной диск. Он имеет один компонент связности, но в отличие от окружности не имеет отверстий более высокой размерности. Соответствующие группы гомологии все тривиальны, за исключением . В общем случае для n -мерного шара ^[2] ${\displaystyle B^{2}}$ ${\displaystyle H_{0}\left(B^{2}\right)=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle B^{n},}$

$${\displaystyle H_{k}\left(B^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Тор определяется как произведение двух окружностей . Тор имеет один компонент с путевой связностью, два независимых одномерных отверстия (обозначенных красными и синими кружками) и одно двумерное отверстие как внутренность тора. Соответствующие группы гомологии ^[4] ${\displaystyle T^{2}=S^{1}\times S^{1}}$ $${\displaystyle H_{k}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Если n произведений топологического пространства X записывается как , то в общем случае для n -мерного тора , ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle T^{n}=(S^{1})^{n}}$

$${\displaystyle H_{k}(T^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}&0\leq k\leq n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

(для получения более подробной информации см. Тор#n-мерный тор и Число Бетти#Другие примеры ).

Две независимые одномерные дырки образуют независимые генераторы в конечно порожденной абелевой группе, выраженной как группа произведений ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

Для проективной плоскости P простое вычисление показывает (где — циклическая группа порядка 2): ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ $${\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

${\displaystyle H_{0}(P)=\mathbb {Z} }$соответствует, как и в предыдущих примерах, тому факту, что есть один связанный компонент. является новым явлением: интуитивно, оно соответствует тому факту, что есть один несжимаемый "цикл", но если мы сделаем цикл дважды, он станет сжимаемым до нуля. Это явление называется кручением . ${\displaystyle H_{1}(P)=\mathbb {Z} _{2}}$

Построение групп гомологии

Следующий текст описывает общий алгоритм построения групп гомологий. Читателю может быть проще сначала рассмотреть несколько простых примеров: гомологии графов и симплициальные гомологии .

Общая конструкция начинается с объекта, такого как топологическое пространство X , на котором сначала определяется цепной комплекс C ( X ), кодирующий информацию о X. Цепной комплекс — это последовательность абелевых групп или модулей , связанных гомоморфизмами , которые называются граничными операторами . ^[4] То есть, ${\displaystyle C_{0},C_{1},C_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

где 0 обозначает тривиальную группу и для i < 0. Также требуется, чтобы композиция любых двух последовательных граничных операторов была тривиальной. То есть, для всех n , ${\displaystyle C_{i}\equiv 0}$

${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0_{n+1,n-1},}$

т.е. постоянное отображение, отправляющее каждый элемент в групповую идентичность в ${\displaystyle C_{n+1}}$ ${\displaystyle C_{n-1}.}$

Утверждение о том, что граница границы тривиальна, эквивалентно утверждению, что , где обозначает образ граничного оператора и его ядро ​​. Элементы из называются границами , а элементы из называются циклами . ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle B_{n}(X)=\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$

Так как каждая цепная группа C _n абелева, то все ее подгруппы нормальны. Тогда, поскольку является подгруппой C _n , является абелевой, и поскольку поэтому является нормальной подгруппой . Тогда можно создать факторгруппу ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$

${\displaystyle H_{n}(X):=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})=Z_{n}(X)/B_{n}(X),}$

называется n-й группой гомологий X. Элементы H _n ( X ) называются классами гомологий . Каждый класс гомологий является классом эквивалентности над циклами, и два цикла в одном и том же классе гомологий называются гомологичными . ^[6]

Цепной комплекс называется точным, если образ ( n +1)-й карты всегда равен ядру n- й карты. Таким образом, группы гомологии X измеряют, «насколько далек» цепной комплекс, связанный с X , от точности. ^[7]

Группы редуцированной гомологии цепного комплекса C ( X ) определяются как гомологии расширенного цепного комплекса ^[8]

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0}$

где граничный оператор есть ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$

для комбинации точек , которые являются фиксированными генераторами C _0. Приведенные группы гомологии совпадают с для Дополнительный элемент в цепном комплексе представляет собой уникальное отображение из пустого симплекса в X. ${\displaystyle \sum n_{i}\sigma _{i},}$ ${\displaystyle \sigma _{i},}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$ ${\displaystyle H_{i}(X)}$ ${\displaystyle i\neq 0.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [\emptyset ]\longrightarrow X}$

Вычисление групп цикла и границ обычно довольно сложно, поскольку они имеют очень большое количество генераторов. С другой стороны, существуют инструменты, которые облегчают задачу. ${\displaystyle Z_{n}(X)}$ ${\displaystyle B_{n}(X)}$

Симплициальные группы гомологии H _n ( X ) симплициального комплекса X определяются с помощью симплициального цепного комплекса C ( X ), где C _n ( X ) — свободная абелева группа, порожденная n -симплексами X. Подробности см. в симплициальной гомологии .

Сингулярные группы гомологии H _n ( X ) определены для любого топологического пространства X и совпадают с симплициальными группами гомологии для симплициального комплекса.

Группы когомологий формально похожи на группы гомологий: начинается с комплекса коцепей , который совпадает с комплексом цепей, но стрелки которого, теперь обозначенные как, указывают в направлении увеличения n, а не уменьшения n ; затем группы коциклов и кограниц следуют из того же описания. Тогда группа когомологий n группы X является факторгруппой ${\displaystyle d_{n},}$ ${\displaystyle \ker \left(d^{n}\right)=Z^{n}(X)}$ ${\displaystyle \mathrm {im} \left(d^{n-1}\right)=B^{n}(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X)=Z^{n}(X)/B^{n}(X),}$

по аналогии с n-й группой гомологий.

Гомология против гомотопии

n- я гомотопическая группа топологического пространства — это группа гомотопических классов сохраняющих базовую точку отображений из -сферы в , при групповой операции конкатенации. Наиболее фундаментальной гомотопической группой является фундаментальная группа . Для связного теорема Гуревича описывает гомоморфизм, называемый гомоморфизмом Гуревича. Для этот гомоморфизм может быть сложным, но когда гомоморфизм Гуревича совпадает с абелианизацией . То есть является сюръективным, а его ядром является коммутантная подгруппа , со следствием того, что изоморфно абелианизации . Высшие гомотопические группы иногда трудно вычислить. Например, гомотопические группы сфер плохо изучены и в целом неизвестны, в отличие от простого описания, данного выше для групп гомологий. ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h_{*}:\pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle h_{*}:\pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Например , предположим, что это восьмерка . Как обычно, ее первая гомотопическая группа, или фундаментальная группа , является группой гомотопических классов направленных циклов, начинающихся и заканчивающихся в предопределенной точке (например, ее центре). Она изоморфна свободной группе ранга 2, , которая не является коммутативной: цикл вокруг левого цикла, а затем вокруг правого цикла отличается от цикла вокруг правого цикла, а затем вокруг левого цикла. Напротив, первая гомологическая группа восьмерки абелева. Чтобы явно выразить это в терминах гомологических классов циклов, можно взять гомологический класс левого цикла и гомологический класс правого цикла в качестве базисных элементов , что позволяет нам записать . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \mathbb {Z} *\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{1}(X)=\{a_{l}l+a_{r}r\,|\;a_{l},a_{r}\in \mathbb {Z} \}}$

Типы гомологии

Различные типы теории гомологии возникают из функторов, отображающих различные категории математических объектов в категорию цепных комплексов. В каждом случае композиция функтора из объектов в цепные комплексы и функтора из цепных комплексов в гомологические группы определяет общий функтор гомологии для теории. ^[9]

Симплициальная гомология

Мотивирующий пример взят из алгебраической топологии : симплициальные гомологии симплициального комплекса X. Здесь цепная группа C _n является свободной абелевой группой или свободным модулем , генераторами которого являются n -мерные ориентированные симплексы X. Ориентация фиксируется путем упорядочивания вершин комплекса и выражения ориентированного симплекса как n -кортежа его вершин, перечисленных в порядке возрастания (т. е. в порядке вершин комплекса, где - th вершина, появляющаяся в кортеже). Отображение из C _n в C _n−1 называется граничным отображением и отправляет симплекс ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$ ${\displaystyle \sigma [0]<\sigma [1]<\cdots <\sigma [n]}$ ${\displaystyle \sigma [i]}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \partial _{n}}$

${\displaystyle \sigma =(\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$

к формальной сумме

${\displaystyle \partial _{n}(\sigma )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(\sigma [0],\dots ,\sigma [i-1],\sigma [i+1],\dots ,\sigma [n]\right),}$

который считается равным 0, если Это поведение генераторов индуцирует гомоморфизм на всех C _n следующим образом. Дан элемент , запишите его как сумму генераторов , где - множество n -симплексов в X , а m _i - коэффициенты из кольца C _n определено над (обычно целые числа, если не указано иное). Затем определите ${\displaystyle n=0.}$ ${\displaystyle c\in C_{n}}$ ${\textstyle c=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\sigma _{i},}$ ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle \partial _{n}(c)=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\partial _{n}(\sigma _{i}).}$

Размерность n -й гомологии X оказывается числом «дырок» в X при размерности n . Ее можно вычислить, поместив матричные представления этих граничных отображений в нормальную форму Смита .

Сингулярная гомология

Используя пример симплициальной гомологии в качестве модели, можно определить сингулярную гомологию для любого топологического пространства X. Цепной комплекс для X определяется, если взять C _n как свободную абелеву группу (или свободный модуль), все генераторы которой являются непрерывными отображениями из n -мерных симплексов в X. Гомоморфизмы ∂ _n возникают из граничных отображений симплексов.

Групповая гомология

В абстрактной алгебре гомологии используются для определения производных функторов , например, функторов Tor . Здесь мы начинаем с некоторого ковариантного аддитивного функтора F и некоторого модуля X. Цепной комплекс для X определяется следующим образом: сначала находим свободный модуль и сюръективный гомоморфизм. Затем находим свободный модуль и сюръективный гомоморфизм. Продолжая таким образом, можно определить последовательность свободных модулей и гомоморфизмов . Применяя функтор F к этой последовательности, получаем цепной комплекс; гомологии этого комплекса зависят только от F и X и , по определению, являются n -ным производным функтором F , примененным к X. ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}:F_{1}\to X.}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}:F_{2}\to \ker \left(p_{1}\right).}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$

Распространенным применением групповых (ко)гомологий является классификация возможных групп расширений E , которые содержат заданный G -модуль M как нормальную подгруппу и имеют заданную факторгруппу G , так что ${\displaystyle H^{2}(G,M)}$ ${\displaystyle G=E/M.}$

Другие теории гомологии

• Гомология Бореля–Мура
• Клеточная гомология
• Циклическая гомология
• Гомология Хохшильда
• Гомология Флоера
• Гомология пересечения
• К-гомологии
• Гомология Хованова
• Гомология Морзе
• Постоянная гомология
• Гомология Стинрода

Гомологические функторы

Цепные комплексы образуют категорию : Морфизм из цепного комплекса ( ) в цепной комплекс ( ) представляет собой последовательность гомоморфизмов, такую ​​что для всех n . n -ю гомологию H _n можно рассматривать как ковариантный функтор из категории цепных комплексов в категорию абелевых групп (или модулей). ${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$ ${\displaystyle e_{n}:B_{n}\to B_{n-1}}$ ${\displaystyle f_{n}:A_{n}\to B_{n}}$ ${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}}$

Если цепной комплекс зависит от объекта X ковариантным образом (это означает, что любой морфизм индуцирует морфизм из цепного комплекса X в цепной комплекс Y ), то H _n являются ковариантными функторами из категории, к которой принадлежит X, в категорию абелевых групп (или модулей). ${\displaystyle X\to Y}$

Единственное различие между гомологиями и когомологиями состоит в том, что в когомологиях цепные комплексы контравариантным образом зависят от X , и поэтому группы гомологии (которые в данном контексте называются группами когомологий и обозначаются H ⁿ ) образуют контравариантные функторы из категории, к которой принадлежит X , в категорию абелевых групп или модулей.

Характеристики

Если ( ) — цепной комплекс, такой, что все, кроме конечного числа A _{n ,} равны нулю, а остальные являются конечно порожденными абелевыми группами (или конечномерными векторными пространствами), то мы можем определить эйлерову характеристику ${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$

(используя ранг в случае абелевых групп и размерность Гамеля в случае векторных пространств). Оказывается, что эйлерову характеристику можно вычислить и на уровне гомологии:

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

и, особенно в алгебраической топологии, это обеспечивает два способа вычисления важного инварианта для объекта X , который привел к образованию цепного комплекса. ${\displaystyle \chi }$

Каждая короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

цепочечных комплексов приводит к длинной точной последовательности групп гомологии

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(B)\to H_{n-1}(C)\to H_{n-2}(A)\to \cdots }$

Все отображения в этой длинной точной последовательности индуцируются отображениями между цепными комплексами, за исключением отображений Последние называются связывающими гомоморфизмами и предоставляются леммой о зигзаге . Эту лемму можно применять к гомологии многочисленными способами, которые помогают вычислять группы гомологии, например, теории относительной гомологии и последовательности Майера-Виеториса . ${\displaystyle H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)}$

Приложения

Применение в чистой математике

Известные теоремы, доказанные с использованием гомологии, включают в себя следующие:

• Теорема Брауэра о неподвижной точке : если f — любое непрерывное отображение из шара B ⁿ в себя, то существует неподвижная точка с ${\displaystyle a\in B^{n}}$ ${\displaystyle f(a)=a.}$
• Инвариантность области определения : если U — открытое подмножество и является инъективным непрерывным отображением , то является открытым, а f — гомеоморфизмом между U и V. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V=f(U)}$
• Теорема о волосатом шаре : любое непрерывное векторное поле на 2-сфере (или, в более общем случае, 2 k -сфере для любого ) обращается в нуль в некоторой точке. ${\displaystyle k\geq 1}$
• Теорема Борсука –Улама : любая непрерывная функция из n -сферы в евклидово n -пространство отображает некоторую пару антиподальных точек в одну и ту же точку. (Две точки на сфере называются антиподальными, если они находятся в точно противоположных направлениях от центра сферы.)
• Инвариантность размерности: если непустые открытые подмножества и гомеоморфны, то ^[10] ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m=n.}$

Применение в науке и технике

В топологическом анализе данных наборы данных рассматриваются как выборка облака точек многообразия или алгебраического многообразия, встроенного в евклидово пространство . Связывая ближайшие соседние точки в облаке в триангуляцию, создается симплициальное приближение многообразия, и может быть вычислена его симплициальная гомология. Нахождение методов для надежного вычисления гомологии с использованием различных стратегий триангуляции в нескольких масштабах длины является темой устойчивой гомологии . ^[11]

В сенсорных сетях сенсоры могут передавать информацию через ad-hoc сеть, которая динамически изменяется во времени. Чтобы понять глобальный контекст этого набора локальных измерений и путей связи, полезно вычислить гомологию топологии сети , чтобы оценить, например, дыры в покрытии. ^[12]

В теории динамических систем в физике Пуанкаре был одним из первых, кто рассмотрел взаимодействие между инвариантным многообразием динамической системы и ее топологическими инвариантами. Теория Морса связывает динамику градиентного потока на многообразии, например, с его гомологией. Гомология Флоера распространила это на бесконечномерные многообразия. Теорема КАМ установила, что периодические орбиты могут следовать сложным траекториям; в частности, они могут образовывать косы , которые можно исследовать с помощью гомологии Флоера. ^[13]

В одном классе методов конечных элементов краевые задачи для дифференциальных уравнений, включающих оператор Ходжа-Лапласа, могут нуждаться в решении в топологически нетривиальных областях, например, в электромагнитном моделировании . В этих моделях решение облегчается путем фиксации класса когомологии решения на основе выбранных граничных условий и гомологии области. Домены МКЭ могут быть триангулированы, из чего могут быть вычислены симплициальные гомологии. ^{[14] [15]}

Программное обеспечение

Различные программные пакеты были разработаны для вычисления групп гомологий конечных клеточных комплексов. Linbox — это библиотека C++ для выполнения быстрых матричных операций, включая нормальную форму Смита ; она взаимодействует как с Gap, так и с Maple. Chomp, CAPD::Redhom Архивировано 15 июля 2013 г. на Wayback Machine и Perseus также написаны на C++. Все три реализуют алгоритмы предварительной обработки, основанные на простой гомотопической эквивалентности и дискретной теории Морса для выполнения редукций входных клеточных комплексов с сохранением гомологии перед обращением к матричной алгебре. Kenzo написан на Lisp, и в дополнение к гомологии его также можно использовать для генерации представлений гомотопических групп конечных симплициальных комплексов. Gmsh включает гомологический решатель для сеток конечных элементов, который может генерировать когомологические базы , напрямую используемые программным обеспечением конечных элементов. ^[14]

Некоторые обсуждения поверхностей, основанные на негомологии

Происхождение

Можно сказать, что теория гомологии начинается с формулы многогранника Эйлера, или характеристики Эйлера . ^[16] За этим последовало определение Риманом рода и числовых инвариантов n -кратной связности в 1857 году и доказательство Бетти в 1871 году независимости «гомологических чисел» от выбора базиса. ^[17]

Поверхности

На обычной сфере кривая b на диаграмме может быть сжата к полюсу, и даже экваториальная большая окружность a может быть сжата таким же образом. Теорема Жордана о кривой показывает, что любая замкнутая кривая, такая как c, может быть подобным образом сжата к точке. Это подразумевает, что имеет тривиальную фундаментальную группу , поэтому, как следствие, она также имеет тривиальную первую группу гомологий. ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Тор имеет замкнутые кривые, которые не могут быть непрерывно деформированы друг в друга, например, на диаграмме ни один из циклов a , b или c не может быть деформирован друг в друга. В частности, циклы a и b не могут быть сжаты в точку, тогда как цикл c может. ${\displaystyle T^{2}}$

Если поверхность тора разрезать вдоль a и b , то ее можно развернуть и сплющить в прямоугольник или, что более удобно, в квадрат. Одна противоположная пара сторон представляет разрез вдоль a , а другая противоположная пара представляет разрез вдоль b .

Края квадрата затем можно склеить вместе разными способами. Квадрат можно скрутить так, чтобы края встретились в противоположном направлении, как показано стрелками на схеме. Различные способы склеивания сторон дают всего четыре топологически различных поверхности:

Четыре способа склеивания квадрата для создания замкнутой поверхности: склейте одинарные стрелки вместе и склейте двойные стрелки вместе так, чтобы наконечники стрелок указывали в одном направлении.

${\displaystyle K^{2}}$это бутылка Клейна , которая является тором с поворотом внутри (на квадратной диаграмме поворот можно увидеть как переворот нижней стрелки). Это теорема о том, что переклеенная поверхность должна самопересекаться (при погружении в евклидово 3-пространство ). Подобно тору, циклы a и b не могут быть сжаты, в то время как c может быть сжат. Но в отличие от тора, следование b вперед направо и назад меняет местами лево и право, потому что b случайно пересекает поворот, заданный одним соединением. Если сделать равноудаленный разрез с одной стороны b , он вернется с другой стороны и обойдет поверхность второй раз, прежде чем вернуться в свою исходную точку, вырезая скрученную ленту Мёбиуса . Поскольку локальное левое и правое могут быть произвольно переориентированы таким образом, поверхность в целом называется неориентируемой.

Проективная плоскость имеет оба соединения скрученными. Неразрезанная форма, обычно представленная как поверхность Боя , визуально сложна, поэтому на диаграмме показано полусферическое вложение, в котором антиподные точки вокруг обода, такие как A и A′, идентифицируются как одна и та же точка. Опять же, a неусаживается, а c — да. Если бы b был намотан только один раз, он также был бы неусаживаемым и поменял бы местами левое и правое. Однако он намотан второй раз, что снова меняет местами правое и левое; его можно сжать до точки, и он гомологичен c . ${\displaystyle P^{2}}$

Циклы можно объединять или складывать вместе, как это было с a и b на торе, когда он был разрезан и сплющен. В диаграмме бутылки Клейна a движется в одну сторону, а − a движется в противоположную сторону. Если a рассматривать как разрез, то − a можно рассматривать как операцию склеивания. Выполнение разреза и его последующее повторное склеивание не изменяет поверхность, поэтому a + (− a ) = 0.

Но теперь рассмотрим два a -цикла. Поскольку бутылка Клейна неориентируема, вы можете переместить один из них по всему периметру бутылки (вдоль b -цикла), и он вернется как − a . Это происходит потому, что бутылка Клейна сделана из цилиндра, концы a -цикла которого склеены с противоположными ориентациями. Следовательно, 2 a = a + a = a + (− a ) = 0. Это явление называется кручением . Аналогично, в проективной плоскости следование неукороченному циклу b дважды замечательно создает тривиальный цикл, который можно сжать до точки; то есть b + b = 0. Поскольку b необходимо пройти дважды, чтобы достичь нулевого цикла, говорят, что поверхность имеет коэффициент кручения 2. Однако следование b -циклу дважды в бутылке Клейна дает просто b + b = 2 b , поскольку этот цикл живет в классе гомологии без кручения. Это соответствует тому факту, что в фундаментальном многоугольнике бутылки Клейна только одна пара сторон склеена с поворотом, тогда как в проективной плоскости обе стороны скручены.

Квадрат — это стягиваемое топологическое пространство , что подразумевает, что у него есть тривиальная гомология. Следовательно, дополнительные разрезы разъединяют его. Квадрат — не единственная фигура на плоскости, которую можно склеить в поверхность. Например, склеивание противоположных сторон восьмиугольника дает поверхность с двумя отверстиями. Фактически, все замкнутые поверхности можно получить склеиванием сторон некоторого многоугольника, и все многоугольники с четными сторонами (2 n -угольники) можно склеить, чтобы получить различные многообразия. И наоборот, замкнутую поверхность с n ненулевыми классами можно разрезать на 2 n -угольник. Возможны также вариации, например, шестиугольник также можно склеить, чтобы образовать тор. ^[18]

Первая узнаваемая теория гомологии была опубликована Анри Пуанкаре в его основополагающей статье « Analysis situs », J. Ecole polytech. (2) 1 . 1–121 (1895). В статье были введены классы и отношения гомологии. Возможные конфигурации ориентируемых циклов классифицируются числами Бетти многообразия (числа Бетти являются уточнением характеристики Эйлера). Классификация неориентируемых циклов требует дополнительной информации о коэффициентах кручения. ^[19]

Полная классификация 1- и 2-многообразий приведена в таблице.

Примечания

1. Для неориентируемой поверхности отверстие эквивалентно двум крестообразным крышкам.
2. Любое замкнутое 2-многообразие может быть реализовано как связная сумма g торов и c проективных плоскостей, где 2-сфера рассматривается как пустая связная сумма. Гомология сохраняется операцией связной суммы. ${\displaystyle S^{2}}$

В поисках большей строгости Пуанкаре продолжил развивать симплициальные гомологии триангулированного многообразия и создал то, что сейчас называется симплициальным цепным комплексом . ^{[21] [22]} Цепные комплексы (с тех пор значительно обобщенные) составляют основу большинства современных трактовок гомологии.

Эмми Нётер и, независимо, Леопольд Виеторис и Вальтер Майер продолжили развивать теорию алгебраических групп гомологии в период 1925–28 гг. ^{[23] [24] [25]} Новая комбинаторная топология формально трактовала топологические классы как абелевы группы . Группы гомологии являются конечно порожденными абелевыми группами, а классы гомологии являются элементами этих групп. Числа Бетти многообразия являются рангом свободной части группы гомологии, а в особом случае поверхностей часть кручения группы гомологии возникает только для неориентируемых циклов.

Последующее распространение групп гомологии привело к изменению терминологии и точки зрения с «комбинаторной топологии» на « алгебраическую топологию ». ^[26] Алгебраическая гомология остается основным методом классификации многообразий. ^[27]

Смотрите также

• Математический портал

• Число Бетти
• Пространство для велосипедов
• Когомологии де Рама
• Аксиомы Эйленберга–Стинрода
• Экстраординарная теория гомологии
• Гомологическая алгебра
• Гомологические гипотезы в коммутативной алгебре
• Гомологическая связность
• Гомологическая размерность
• Гомотопическая группа
• Теорема Кюннета
• Список теорий когомологии - также содержит список теорий гомологии
• Двойственность Пуанкаре

Ссылки

1. Спаниер 1966, стр. 155
2. Gowers, Barrow-Green & Leader 2010, стр. 390–391
3. Wildberger, Norman J. (2012). "Больше вычислений гомологии". YouTube . Архивировано из оригинала 2021-12-11.
4. Hatcher 2002, стр. 106
5. Wildberger, Norman J. (2012). "Дельта-комплексы, числа Бетти и кручение". YouTube . Архивировано из оригинала 2021-12-11.
6. Хэтчер 2002, стр. 105–106.
7. Хэтчер 2002, стр. 113
8. Хэтчер 2002, стр. 110
9. Спаниер 1966, стр. 156
10. Хэтчер 2002, стр. 126.
11. "Обзор CompTop". Архивировано из оригинала 22 июня 2007 г. Получено 16 марта 2014 г.
12. "Роберт Грист: прикладная топология" . Получено 16 марта 2014 г.
13. van den Berg, JB; Ghrist, R.; Vandervorst, RC; Wójcik, W. (2015). "Braid Floer homology" (PDF) . Journal of Differential Equations . 259 (5): 1663–1721. Bibcode :2015JDE...259.1663V. doi : 10.1016/j.jde.2015.03.022 . S2CID  16865053.
14. Пелликка, М; С. Сууриниеми; Л. Кеттунен; К. Гезен (2013). «Вычисление гомологии и когомологии при моделировании методом конечных элементов» (PDF) . СИАМ J. Sci. Вычислить . 35 (5): Б1195–Б1214. Бибкод : 2013SJSC...35B1195P. CiteSeerX 10.1.1.716.3210 . дои : 10.1137/130906556. 
15. Арнольд, Дуглас Н.; Ричард С. Фальк; Рагнар Винтер (16 мая 2006 г.). «Внешнее исчисление конечных элементов, гомологические методы и приложения». Acta Numerica . 15 : 1–155. Bibcode : 2006AcNum..15....1A. doi : 10.1017/S0962492906210018. S2CID  122763537.
16. Стиллвелл 1993, стр. 170
17. Weibel 1999, стр. 2–3 (в PDF)
18. Weeks, Jeffrey R. (2001). Форма пространства. CRC Press. ISBN 978-0-203-91266-9.
19. Ричесон 2008, стр. 254
20. Ричсон 2008
21. Ричесон 2008, стр. 258
22. Вайбель 1999, стр. 4
23. Хилтон 1988, стр. 284
24. Например, L'émergence de la notion de groupe d'homologie, Николя Басбуа (PDF) на французском языке, примечание 41, прямо называет Нётер изобретателем группы гомологии.
25. Хирцебрух, Фридрих, Эмми Нётер и топология в Teicher 1999, стр. 61–63.
26. Бурбаки и алгебраическая топология Джона Макклири (PDF), архив 2008-07-23 на Wayback Machine, содержит документацию (переведенную на английский язык с французских оригиналов).
27. Ричесон 2008, стр. 264

Дальнейшее чтение

• Картан, Анри Поль ; Эйленберг, Сэмюэл (1956). Гомологическая алгебра . Математическая серия Принстона. Том 19. Princeton University Press. ISBN 9780674079779. OCLC  529171.
• Герберт Эдельсбруннер и Джон Л. Харер (2010): Вычислительная топология: Введение , Американское математическое общество
• Эйленберг, Сэмюэл; Мур, Дж. К. (1965). Основы относительной гомологической алгебры . Мемуары Американского математического общества, номер. Том 55. Американское математическое общество. ISBN 9780821812556. OCLC  1361982.
• Гауэрс, Тимоти ; Барроу-Грин, Джун ; Лидер, Имре, ред. (2010), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, ISBN 9781400830398.
• Хэтчер, А. (2002), Алгебраическая топология, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Подробное обсуждение теорий гомологии для симплициальных комплексов и многообразий, сингулярных гомологии и т. д.
• Хилтон, Питер (1988), «Краткая субъективная история гомологии и теории гомотопии в этом столетии», Mathematics Magazine , 60 (5), Математическая ассоциация Америки: 282–291, doi : 10.1080/0025570X.1988.11977391, JSTOR  2689545
• Томаш Качиньский, Константин Мишайков и Мариан Мрозек (2004): Вычислительная гомология , Springer, ISBN 978-0-387-21597-6
• Ричесон, Д. (2008), Драгоценный камень Эйлера: Формула многогранника и рождение топологии , Принстонский университет.
• Спаниер, Эдвин Х. (1966), Алгебраическая топология , Springer, стр. 155, ISBN 0-387-90646-0.
• Стиллвелл, Джон (1993), «Теория гомологии и абелианизация», Классическая топология и комбинаторная теория групп , Graduate Texts in Mathematics, т. 72, Springer, стр. 169–184, doi :10.1007/978-1-4612-4372-4_6, ISBN 978-0-387-97970-0.
• Тейхер, М. , ред. (1999), Наследие Эмми Нётер , Труды Израильской математической конференции, Университет Бар-Илан / Американское математическое общество / Издательство Оксфордского университета , ISBN 978-0-19-851045-1, OCLC  223099225
• Вайбель, Чарльз А. (1999), "28. История гомологической алгебры" (PDF) , в Джеймс, И. М. (ред.), История топологии , Elsevier, ISBN 9780080534077.

Внешние ссылки

• Группа гомологии в Encyclopaedia of Mathematics
• [1] NJ Windberger введение в алгебраическую топологию, последние шесть лекций с простым введением в гомологию
• [2] Алгебраическая топология Аллена Хэтчера - Глава 2 о гомологии