Сфера

Сфера (от греч. σφαῖρα , sphaîra ) ^[1] — геометрический объект, являющийся трёхмерным аналогом двумерной окружности . Формально сфера — это множество точек , которые находятся на одинаковом расстоянии $r$ от заданной точки в трёхмерном пространстве . ^[2] Эта заданная точка является центром сферы, а $r$ — радиусом сферы . Самые ранние известные упоминания о сферах встречаются в трудах древнегреческих математиков .

Сфера является фундаментальным объектом во многих областях математики . Сферы и почти сферические формы также встречаются в природе и промышленности. Пузыри, такие как мыльные пузыри, принимают сферическую форму в равновесии. Землю часто аппроксимируют сферой в географии , а небесная сфера является важным понятием в астрономии . Изготовленные изделия, включая сосуды под давлением и большинство изогнутых зеркал и линз, основаны на сферах. Сферы плавно катятся в любом направлении, поэтому большинство мячей, используемых в спорте и игрушках, являются сферическими, как и шарикоподшипники .

Основная терминология

Как упоминалось ранее, $r$ — радиус сферы; любая линия от центра до точки на сфере также называется радиусом. «Радиус» используется в двух смыслах: как отрезок линии, а также как его длина. ^[3]

Если радиус продлить через центр до противоположной стороны сферы, он создаст диаметр . Как и радиус, длина диаметра также называется диаметром и обозначается $d$ . Диаметры — это самые длинные отрезки, которые можно провести между двумя точками на сфере: их длина в два раза больше радиуса, $d = 2r .$ Две точки на сфере, соединенные диаметром, являются антиподами друг друга. ^[3]

Единичная сфера — это сфера с единичным радиусом ( $r = 1$ ). Для удобства часто предполагается, что центр сферы находится в начале системы координат , и в этой статье сферы имеют центр в начале координат, если центр не указан.

Большой круг на сфере имеет тот же центр и радиус, что и сфера, и делит ее на два равных полушария .

Хотя фигура Земли не идеально сферическая, термины, заимствованные из географии, удобно применять к сфере. Конкретная линия, проходящая через ее центр, определяет ось ( как ось вращения Земли ). Пересечение сферы и оси определяет два антиподных полюса ( северный и южный полюс ). Большой круг, равноудаленный от полюсов, называется экватором . Большие круги, проходящие через полюса, называются линиями долготы или меридианами . Малые круги на сфере, которые параллельны экватору, являются кругами широты (или параллелями ). В геометрии, не связанной с астрономическими телами, геоцентрическая терминология должна использоваться только для иллюстрации и отмечаться как таковая, если только нет никакой возможности недопонимания. ^[3]

Математики считают сферу двумерной замкнутой поверхностью, вложенной в трехмерное евклидово пространство . Они проводят различие между сферой и шаром , который является трехмерным многообразием с границей , включающей объем, содержащийся в сфере. Открытый шар исключает саму сферу, в то время как закрытый шар включает сферу: закрытый шар является объединением открытого шара и сферы, а сфера является границей (закрытого или открытого) шара. Различие между шаром и сферой не всегда сохранялось, и особенно старые математические справочники говорят о сфере как о твердом теле. Различие между « кругом » и « диском » на плоскости аналогично.

Небольшие сферы или шарики иногда называют сферулами (например, марсианскими сферулами ).

Уравнения

В аналитической геометрии сфера с центром $(x 0, y 0, z 0)$ и радиусом $r$ является геометрическим местом всех точек $(x, y, z)$ таких, что

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.

Поскольку сфера может быть выражена как квадратичный многочлен, она является квадратичной поверхностью , типом алгебраической поверхности . ^[3]

Пусть $a, b, c, d, e$ — действительные числа, причем $a \neq 0$ , и положим

x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.

Тогда уравнение

f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0

не имеет действительных точек в качестве решений, если и называется уравнением мнимой сферы . Если , единственным решением является точка и уравнение называется уравнением точечной сферы . Наконец, в случае , является уравнением сферы, центр которой и радиус которой . ^[2] $\rho <0$ $\rho =0$ $f(x,y,z)=0$ $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ $\rho >0$ $f(x,y,z)=0$ $P_{0}$ ${\sqrt {\rho }}$

Если $a$ в приведенном выше уравнении равно нулю, то $f (x, y, z) = 0$ — это уравнение плоскости. Таким образом, плоскость можно рассматривать как сферу бесконечного радиуса, центр которой — точка на бесконечности . ^[4]

Параметрический

Параметрическое уравнение для сферы с радиусом и центром можно параметризовать с помощью тригонометрических функций . $r>0$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$

{\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}

^[5]

Используемые здесь символы те же, что и в сферических координатах . $r$ является постоянной величиной, а $θ$ изменяется от 0 до $π$ и изменяется от 0 до 2 $π$ . $\varphi$

Характеристики

Закрытый том

В трех измерениях объем внутри сферы (то есть объем шара , но классически называемый объемом сферы) равен

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}\ d^{3}\approx 0.5236\cdot d^{3}

где $r$ — радиус, а $d$ — диаметр сферы. Архимед впервые вывел эту формулу, показав, что объем внутри сферы в два раза больше объема между сферой и описанным цилиндром этой сферы (имеющим высоту и диаметр, равные диаметру сферы). ^[6] Это можно доказать, вписав перевернутый конус в полусферу, отметив, что площадь поперечного сечения конуса плюс площадь поперечного сечения сферы равны площади поперечного сечения описанного цилиндра, и применив принцип Кавальери . ^[7] Эту формулу можно также вывести с помощью интегрального исчисления (т. е. интегрирования по диску ) для суммирования объемов бесконечного числа круглых дисков бесконечно малой толщины , сложенных бок о бок и центрированных вдоль оси $x$ от $x = - r$ до $x = r$ , предполагая, что сфера радиуса $r$ имеет центр в начале координат.

Для большинства практических целей объем внутри сферы, вписанной в куб, можно приблизительно принять равным 52,4% от объема куба, поскольку $V = ⁠ π / 6 ⁠ d 3$ , где $d$ — диаметр сферы, а также длина стороны куба и ⁠ $π$ /6⁠ ≈ 0,5236. Например, сфера диаметром 1 м имеет 52,4% объема куба с длиной ребра 1 м, или около 0,524 м ³ .

Площадь поверхности

Площадь поверхности сферы радиусом $r$ равна:

A=4\pi r^{2}.

Архимед впервые вывел эту формулу ^[9] из того факта, что проекция на боковую поверхность описанного цилиндра сохраняет площадь. ^[10] Другой подход к получению формулы исходит из того факта, что она равна производной формулы для объема по $r,$ поскольку общий объем внутри сферы радиусом $r$ можно рассматривать как сумму площади поверхности бесконечного числа сферических оболочек бесконечно малой толщины, концентрически уложенных друг в друга от радиуса 0 до радиуса $r$ . При бесконечно малой толщине расхождение между внутренней и внешней площадью поверхности любой данной оболочки бесконечно мало, а элементарный объем при радиусе $r$ является просто произведением площади поверхности при радиусе $r$ и бесконечно малой толщины.

Сфера имеет наименьшую площадь поверхности среди всех поверхностей, охватывающих данный объем, и охватывает наибольший объем среди всех замкнутых поверхностей с данной площадью поверхности. ^[11] Поэтому сфера появляется в природе: например, пузырьки и небольшие капли воды имеют приблизительно сферическую форму, поскольку поверхностное натяжение локально минимизирует площадь поверхности.

Площадь поверхности относительно массы шара называется удельной площадью поверхности и может быть выражена из приведенных выше уравнений как

\mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }}

где $ρ$ — плотность (отношение массы к объему).

Другие геометрические свойства

Сфера может быть построена как поверхность, образованная вращением круга на пол-оборота вокруг любого из его диаметров ; это очень похоже на традиционное определение сферы, данное в «Началах» Евклида . Поскольку круг является особым типом эллипса , сфера является особым типом эллипсоида вращения . Заменив круг эллипсом, вращающимся вокруг его большой оси , форма становится вытянутым сфероидом ; вращаясь вокруг малой оси, — сплющенным сфероидом. ^[12]

Сфера однозначно определяется четырьмя точками, которые не лежат в одной плоскости . В более общем смысле сфера однозначно определяется четырьмя условиями, такими как прохождение через точку, касание плоскости и т. д. ^[13] Это свойство аналогично свойству, согласно которому три неколлинеарные точки определяют единственную окружность на плоскости.

Следовательно, сфера однозначно определяется (то есть проходит через) окружностью и точкой, не лежащей в плоскости этой окружности.

Рассматривая общие решения уравнений двух сфер , можно увидеть, что две сферы пересекаются по окружности, а плоскость, содержащая эту окружность, называется радикальной плоскостью пересекающихся сфер. ^[14] Хотя радикальная плоскость является действительной плоскостью, окружность может быть мнимой (сферы не имеют общей действительной точки) или состоять из одной точки (сферы касаются в этой точке). ^[15]

Угол между двумя сферами в реальной точке пересечения — это двугранный угол, определяемый касательными плоскостями к сферам в этой точке. Две сферы пересекаются под одним и тем же углом во всех точках их окружности пересечения. ^[16] Они пересекаются под прямым углом (ортогональны ) тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между их центрами равен сумме квадратов их радиусов. ^[4]

Карандаш из сфер

Если $f (x, y, z) = 0$ и $g (x, y, z) = 0$ — уравнения двух различных сфер, то

sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0

также является уравнением сферы для произвольных значений параметров $s$ и $t$ . Множество всех сфер, удовлетворяющих этому уравнению, называется пучком сфер, определяемым исходными двумя сферами. В этом определении сфера может быть плоскостью (бесконечный радиус, центр на бесконечности), и если обе исходные сферы являются плоскостями, то все сферы пучка являются плоскостями, в противном случае в пучке есть только одна плоскость (радикальная плоскость). ^[4]

Свойства сферы

В своей книге «Геометрия и воображение » Дэвид Гильберт и Стефан Кон-Фоссен описывают одиннадцать свойств сферы и обсуждают, определяют ли эти свойства сферу однозначно. ^[17] Несколько свойств справедливы для плоскости , которую можно рассматривать как сферу с бесконечным радиусом. Эти свойства таковы:

Точки сферы находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки. Кроме того, отношение расстояний ее точек от двух фиксированных точек является постоянным.
Первая часть является обычным определением сферы и определяет ее однозначно. Вторая часть может быть легко выведена и следует аналогичному результату Аполлония Пергского для круга . Эта вторая часть также справедлива для плоскости .
Контуры и плоские сечения сферы представляют собой окружности.
Это свойство однозначно определяет сферу.
Сфера имеет постоянную ширину и постоянный обхват.
Ширина поверхности — это расстояние между парами параллельных касательных плоскостей. Многочисленные другие замкнутые выпуклые поверхности имеют постоянную ширину, например, тело Мейсснера . Обхват поверхности — это окружность границы ее ортогональной проекции на плоскость. Каждое из этих свойств подразумевает другое.
Все точки сферы являются омбиликами .
В любой точке поверхности направление нормали перпендикулярно поверхности, поскольку на сфере это линии, исходящие из центра сферы. Пересечение плоскости, содержащей нормаль, с поверхностью образует кривую, которая называется нормальным сечением, а кривизна этой кривой — нормальной кривизной . Для большинства точек на большинстве поверхностей различные сечения будут иметь различную кривизну; максимальные и минимальные значения этих значений называются главными кривизнами . Любая замкнутая поверхность будет иметь по крайней мере четыре точки, называемые точками омбилической линии . В омбилической линии все кривизны сечения равны; в частности, главные кривизны равны. Точки омбилической линии можно рассматривать как точки, в которых поверхность близко аппроксимируется сферой.
Для сферы кривизны всех нормальных сечений равны, поэтому каждая точка является омбилической. Сфера и плоскость — единственные поверхности с этим свойством.
Сфера не имеет поверхности центров.
Для данного нормального сечения существует окружность кривизны, которая равна кривизне сечения, касается поверхности, и центральные линии которой лежат вдоль нормальной линии. Например, два центра, соответствующие максимальной и минимальной кривизне сечения, называются фокусными точками , а множество всех таких центров образует фокальную поверхность .
Для большинства поверхностей фокальная поверхность образует два листа, каждый из которых является поверхностью и встречается в пупочных точках. Несколько случаев являются особыми:
* Для поверхностей каналов один лист образует кривую, а другой лист является поверхностью.
* Для конусов , цилиндров, торов и циклид обе плоскости образуют кривые.
* Для сферы центр каждой соприкасающейся окружности находится в центре сферы, а фокальная поверхность образует одну точку. Это свойство уникально для сферы.
Все геодезические линии сферы являются замкнутыми кривыми.
Геодезические линии — это кривые на поверхности, которые дают кратчайшее расстояние между двумя точками. Они являются обобщением концепции прямой линии на плоскости. Для сферы геодезические линии — это большие окружности. Многие другие поверхности обладают этим свойством.
Из всех твердых тел, имеющих данный объем, сфера имеет наименьшую площадь поверхности; из всех твердых тел, имеющих данную площадь поверхности, сфера имеет наибольший объем.
Это следует из изопериметрического неравенства . Эти свойства однозначно определяют сферу и могут быть замечены в мыльных пузырях : мыльный пузырь будет замыкать фиксированный объем, а поверхностное натяжение минимизирует его площадь поверхности для этого объема. Свободно плавающий мыльный пузырь, таким образом, приближается к сфере (хотя такие внешние силы, как гравитация, будут слегка искажать форму пузыря). Это также можно увидеть в планетах и звездах, где гравитация минимизирует площадь поверхности для больших небесных тел.
Сфера имеет наименьшую общую среднюю кривизну среди всех выпуклых тел с данной площадью поверхности.
Средняя кривизна — это среднее значение двух главных кривизн, которое является постоянным, поскольку две главные кривизны постоянны во всех точках сферы.
Сфера имеет постоянную среднюю кривизну.
Сфера — единственная вложенная поверхность, не имеющая границы или особенностей с постоянной положительной средней кривизной. Другие такие вложенные поверхности, как минимальные поверхности, имеют постоянную среднюю кривизну.
Сфера имеет постоянную положительную гауссову кривизну.
Гауссова кривизна является произведением двух главных кривизн. Это внутреннее свойство, которое может быть определено путем измерения длины и углов и не зависит от того, как поверхность встроена в пространство. Следовательно, изгиб поверхности не изменит гауссову кривизну, и другие поверхности с постоянной положительной гауссовой кривизной могут быть получены путем вырезания небольшой щели в сфере и ее изгиба. Все эти другие поверхности имели бы границы, и сфера является единственной поверхностью, у которой отсутствует граница с постоянной положительной гауссовой кривизной. Псевдосфера является примером поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизной.
Сфера преобразуется в себя посредством трехпараметрического семейства жестких движений.
Вращение вокруг любой оси единичной сферы в начале координат отобразит сферу на себя. Любое вращение вокруг линии, проходящей через начало координат, можно выразить как комбинацию вращений вокруг трехкоординатной оси (см. углы Эйлера ). Следовательно, существует трехпараметрическое семейство вращений, такое, что каждое вращение преобразует сферу на себя; это семейство является группой вращений SO(3) . Плоскость является единственной другой поверхностью с трехпараметрическим семейством преобразований (трансляции вдоль осей $x$ и $y$ и вращения вокруг начала координат). Круговые цилиндры являются единственными поверхностями с двухпараметрическими семействами жестких движений, а поверхности вращения и геликоиды являются единственными поверхностями с однопараметрическим семейством.

Обработка по разделам математики

Сферическая геометрия

Основными элементами евклидовой плоской геометрии являются точки и линии . На сфере точки определяются в обычном смысле. Аналогом «линии» является геодезическая , которая является большим кругом ; определяющей характеристикой большого круга является то, что плоскость, содержащая все его точки, также проходит через центр сферы. Измерение по длине дуги показывает, что кратчайший путь между двумя точками, лежащими на сфере, является более коротким сегментом большого круга , который включает точки.

Многие теоремы классической геометрии справедливы и для сферической геометрии, но не все, поскольку сфера не удовлетворяет некоторым постулатам классической геометрии , включая постулат параллельности . В сферической тригонометрии углы определяются между большими окружностями. Сферическая тригонометрия отличается от обычной тригонометрии во многих отношениях. Например, сумма внутренних углов сферического треугольника всегда превышает 180 градусов. Кроме того, любые два подобных сферических треугольника конгруэнтны.

Любая пара точек на сфере, которые лежат на прямой линии, проходящей через центр сферы (т. е. диаметр), называются антиподальными точками — на сфере расстояние между ними составляет ровно половину длины окружности. ^{[примечание 2]} Любая другая (т. е. не антиподальная) пара различных точек на сфере

лежат на уникальном большом круге,
сегментировать его на одну малую (т.е. более короткую) и одну большую (т.е. более длинную) дугу , и
пусть длина меньшей дуги будет кратчайшим расстоянием между ними на сфере. ^{[примечание 3]}

Сферическая геометрия — это форма эллиптической геометрии , которая вместе с гиперболической геометрией составляет неевклидову геометрию .

Дифференциальная геометрия

Сфера представляет собой гладкую поверхность с постоянной гауссовой кривизной в каждой точке, равной $1/ r 2$ . ^[9] Согласно теореме Гаусса Egregium эта кривизна не зависит от вложения сферы в трехмерное пространство. Также, следуя Гауссу, сфера не может быть отображена на плоскость, сохраняя и площади, и углы. Поэтому любая проекция карты вносит некоторую форму искажения.

Сфера радиуса $r$ имеет элемент площади . Его можно найти из элемента объема в сферических координатах при постоянном значении $r .$ ^[9] $dA=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi$

Сфера любого радиуса с центром в нуле является интегральной поверхностью следующей дифференциальной формы :

x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.

Это уравнение отражает, что радиус-вектор и касательная плоскость в точке всегда ортогональны друг другу. Более того, нормальный вектор, направленный наружу, равен радиус-вектору, масштабированному на $1/r$ .

В римановой геометрии гипотеза о площади заполнения утверждает, что полусфера является оптимальным (с наименьшей площадью) изометрическим заполнением римановой окружности .

Топология

Примечательно, что обычную сферу можно вывернуть наизнанку в трехмерном пространстве с возможными самопересечениями, но без создания каких-либо складок, в процессе, называемом выворачиванием сферы .

Антиподальным отношением сферы является поверхность, называемая действительной проективной плоскостью , которую также можно рассматривать как Северное полушарие с обозначенными на нем антиподами экватора.

Кривые на сфере

Коаксиальное пересечение сферы и цилиндра: две окружности

Круги

Окружности на сфере, как и окружности на плоскости, состоят из всех точек, находящихся на определенном расстоянии от фиксированной точки на сфере. Пересечение сферы и плоскости — это окружность, точка или пустота. ^[18] Большие окружности — это пересечение сферы с плоскостью, проходящей через центр сферы: другие называются малыми окружностями.

Более сложные поверхности могут пересекать сферу также по окружностям: пересечение сферы с поверхностью вращения , ось которой содержит центр сферы ( соосны ), состоит из окружностей и/или точек, если не пусто. Например, на диаграмме справа показано пересечение сферы и цилиндра, который состоит из двух окружностей. Если бы радиус цилиндра был равен радиусу сферы, пересечение было бы одной окружностью. Если бы радиус цилиндра был больше радиуса сферы, пересечение было бы пустым.

Локсодром

В навигации локсодромия или румбовая линия — это путь , направление которого , угол между его касательной и направлением на север, постоянен. Локсодромии проецируются на прямые линии в проекции Меркатора . Двумя особыми случаями являются меридианы , которые выровнены непосредственно с севера на юг, и параллели, которые выровнены непосредственно с востока на запад. Для любого другого направления локсодромия бесконечно закручивается по спирали вокруг каждого полюса. Для Земли, смоделированной как сфера, или для общей сферы, заданной сферической системой координат , такая локсодромия является своего рода сферической спиралью . ^[19]

Кривые Клелии

Другой вид сферической спирали — кривая Клелия, для которой долгота (или азимут) и коширота (или полярный угол) находятся в линейной зависимости, ⁠ ⁠ . Кривые Клелия проецируются в прямые линии при равнопромежуточной проекции . Кривая Вивиани ( ⁠ ⁠ ) является особым случаем. Кривые Клелия аппроксимируют наземную траекторию спутников на полярной орбите . $\varphi$ $\theta$ $\varphi =c\theta$ $c=1$

Сферические коники

Аналогом конического сечения на сфере является сферическая коника , четвертая кривая, которая может быть определена несколькими эквивалентными способами.

Пересечение сферы с квадратным конусом, вершина которого является центром сферы.
Пересечение сферы с эллиптическим или гиперболическим цилиндром , ось которого проходит через центр сферы.
Геометрическое место точек, сумма или разность расстояний по большому кругу от пары фокусов которых является постоянной величиной.

Многие теоремы, относящиеся к плоским коническим сечениям, распространяются также на сферические коники.

Пересечение сферы с более общей поверхностью

Если сфера пересекается с другой поверхностью, могут быть более сложные сферические кривые.

Пример: сфера–цилиндр

Пересечение сферы с уравнением и цилиндра с уравнением — это не просто одна или две окружности. Это решение нелинейной системы уравнений $\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;$ $\;(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},\;y_{0}\neq 0\;$

x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0

(y-y_{0})^{2}+z^{2}-a^{2}=0\ .

(см. неявную кривую и диаграмму)

Обобщения

Эллипсоиды

Эллипсоид — это сфера, которая была растянута или сжата в одном или нескольких направлениях. Точнее, это изображение сферы при аффинном преобразовании . Эллипсоид имеет такое же отношение к сфере, как эллипс к окружности.

Размерность

Сферы можно обобщить на пространства любого количества измерений . Для любого натурального числа $n$ n -сфера, часто обозначаемая $S$ $n$ , представляет собой множество точек в ( $n$ $+ 1$ )-мерном евклидовом пространстве, которые находятся на фиксированном расстоянии $r$ от центральной точки этого пространства, где $r$ $,$ как и прежде, является положительным действительным числом. В частности:

$S ‍ 0$ : 0-сфера состоит из двух дискретных точек, $- r$ и $r$
$S ‍ 1$ : 1-сфера — это круг радиусом r
$S ‍ 2$ : 2-сфера — это обычная сфера
$S ‍ 3$ : 3-сфера — это сфера в 4-мерном евклидовом пространстве.

Сферы для $n > 2$ иногда называют гиперсферами .

$N$ - сфера единичного радиуса с центром в начале координат обозначается $S ‍ n$ и часто упоминается как " $n$ -сфера". Обычная сфера является 2-сферой, поскольку она представляет собой 2-мерную поверхность, вложенную в 3-мерное пространство.

В топологии n -сфера является примером компактного $топологического$ многообразия без границы . Топологическая сфера не обязательно должна быть гладкой ; если она гладкая, она не обязательно должна быть диффеоморфной евклидовой сфере ( экзотическая сфера ).

Сфера является прообразом одноточечного множества при непрерывной функции $‖ x ‖$ , поэтому она замкнута; $S n$ также ограничено, поэтому оно компактно по теореме Гейне–Бореля .

Метрические пространства

В более общем смысле, в метрическом пространстве $(E, d)$ сфера с центром $x$ и радиусом $r > 0$ представляет собой множество точек $y,$ таких что $d (x, y) = r$ .

Если центр является выделенной точкой, которая считается началом $E$ , как в нормированном пространстве, то он не упоминается в определении и обозначениях. То же самое относится к радиусу, если он принимается равным единице, как в случае единичной сферы .

В отличие от шара , даже большая сфера может быть пустым множеством. Например, в $Z n$ с евклидовой метрикой сфера радиуса $r$ непуста, только если $r 2$ можно записать как сумму $n$ квадратов целых чисел .

Октаэдр — это сфера в геометрии такси , а куб — это сфера в геометрии, использующей расстояние Чебышева .

История

Геометрия сферы изучалась греками. В «Началах» Евклида в книге XI дается определение сферы, в книге XII обсуждаются различные свойства сферы, а в книге XIII показано, как вписать пять правильных многогранников в сферу. Евклид не включает площадь и объем сферы, а только теорему о том, что объем сферы изменяется как третья степень ее диаметра, вероятно, благодаря Евдоксу Книдскому . Формулы объема и площади были впервые определены в труде Архимеда «О сфере и цилиндре» методом исчерпывания . Зенодор был первым, кто заявил, что для данной площади поверхности сфера является телом максимального объема. ^[3]

Архимед писал о задаче деления сферы на сегменты, объемы которых находятся в заданном отношении, но не решил ее. Решение с помощью параболы и гиперболы дал Дионисодор . ^[20] Похожую задачу — построить сегмент, равный по объему данному сегменту, а по поверхности другому сегменту — позже решил аль-Кухи . ^[3]

Галерея

Изображение одной из самых точных сфер, созданных человеком, преломляющей изображение Эйнштейна на заднем плане. Эта сфера была гироскопом из плавленого кварца для эксперимента Gravity Probe B и отличается по форме от идеальной сферы не более чем на 40 атомов (менее 10 нм) толщины. 1 июля 2008 года было объявлено, что австралийские ученые создали еще больше почти идеальных сфер с точностью до 0,3 нм в рамках международной охоты за новым мировым стандартом килограмма . ^[21]
Колода игральных карт с изображением инженерных приборов, Англия, 1702 г. Король пик : Сферы

Регионы

Смотрите также

Примечания и ссылки

Примечания

^ $r$ рассматривается как переменная в этом вычислении.
^ Неважно, какое направление выбрано, расстояние равно радиусу сферы × π .
^ Расстояние между двумя неразличимыми точками (т.е. точкой и ею самой) на сфере равно нулю.

Ссылки

^ σφαῖρα, Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский словарь , о Персее.
^ ab Albert 2016, стр. 54.
^ abcdef Чисхолм, Хью , ред. (1911). «Сфера» . Encyclopaedia Britannica . Т. 25 (11-е изд.). Cambridge University Press. С. 647–648.
^ abc Woods 1961, стр. 266.
^ Крейциг (1972, стр. 342).
^ Штейнхаус 1969, стр. 223.
^ "Объем сферы – Math Central". mathcentral.uregina.ca . Получено 10 июня 2019 г. .
^ ab EJ Borowski; JM Borwein (1989). Словарь математики Коллинза . Коллинз. стр. 141, 149. ISBN 978-0-00-434347-1.
^ abc Вайсстейн, Эрик В. "Сфера". MathWorld .
^ Штейнхаус 1969, стр. 221.
^ Osserman, Robert (1978). "Изопериметрическое неравенство". Bulletin of the American Mathematical Society . 84 (6): 1187. doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14553-4 . Получено 14 декабря 2019 г.
^ Альберт 2016, стр. 60.
^ Альберт 2016, стр. 55.
^ Альберт 2016, стр. 57.
↑ Вудс 1961, стр. 267.
^ Альберт 2016, стр. 58.
^ Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952). «Одиннадцать свойств сферы». Геометрия и воображение (2-е изд.). Челси. С. 215–231. ISBN 978-0-8284-1087-8.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Сферическое сечение". MathWorld .
^ "Локсодром".
^ Фрид, Майкл Н. (25 февраля 2019 г.). "конические сечения". Oxford Research Encyclopedia of Classics . doi :10.1093/acrefore/9780199381135.013.8161. ISBN 978-0-19-938113-5. Получено 4 ноября 2022 г. . Что еще более важно, Витрувий (Об архитектуре, Vitr. 9.8) связывал конические солнечные часы с Дионисодором (начало II в. до н. э.), а Дионисодор, согласно Евтокию из Аскалона (ок. 480–540 гг. н. э.), использовал конические сечения для завершения решения задачи Архимеда о разрезании сферы плоскостью так, чтобы отношение полученных объемов было таким же, как заданное отношение.
^ New Scientist | Технологии | Созданы самые круглые объекты в мире.

Дальнейшее чтение

В Wikisource есть текст статьи « Сфера » из Британской энциклопедии 1911 года .

Альберт, Авраам Адриан (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3.
Данэм, Уильям (1997). Математическая вселенная: алфавитное путешествие по великим доказательствам, проблемам и личностям . Нью-Йорк: Wiley. С. 28, 226. Bibcode : 1994muaa.book.....D. ISBN 978-0-471-17661-9.
Крейциг, Эрвин (1972), Advanced Engineering Mathematics (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 978-0-471-50728-4.
Штейнхаус, Х. (1969), Математические снимки (Третье американское издание), Oxford University Press.
Вудс, Фредерик С. (1961) [1922], Высшая геометрия / Введение в передовые методы аналитической геометрии , Довер.
Джон К. Полкинг (15 апреля 1999 г.). «Геометрия сферы». www.math.csi.cuny.edu . Получено 21 января 2022 г. .

Внешние ссылки

Mathematica/Равномерное сферическое распределение
Площадь поверхности сферы