Релятивистская квантовая механика

Квантовая механика, учитывающая частицы, движущиеся со скоростью света или близкой к ней

В физике релятивистская квантовая механика ( РКМ ) — это любая Пуанкаре -ковариантная формулировка квантовой механики (КМ). Эта теория применима к массивным частицам, распространяющимся со всеми скоростями вплоть до скоростей, сравнимых со скоростью света  c , и может охватывать безмассовые частицы . Теория применяется в физике высоких энергий , ^[1] физике элементарных частиц и физике ускорителей , ^[2], а также в атомной физике , химии ^[3] и физике конденсированного состояния . ^{[4] [5]} Нерелятивистская квантовая механика относится к математической формулировке квантовой механики, применяемой в контексте галилеевской теории относительности , более конкретно, квантуя уравнения классической механики путем замены динамических переменных операторами . Релятивистская квантовая механика (РКМ) — это квантовая механика, применяемая со специальной теорией относительности . Хотя более ранние формулировки, такие как картина Шредингера и картина Гейзенберга , изначально были сформулированы на нерелятивистском фоне, некоторые из них (например, формализм Дирака или формализм интеграла по траекториям) также работают со специальной теорией относительности.

Ключевые особенности , общие для всех РКМ, включают: предсказание антиматерии , спиновых магнитных моментов элементарных фермионов со спином  1 ⁄ 2 , тонкой структуры и квантовой динамики заряженных частиц в электромагнитных полях . ^[6] Ключевым результатом является уравнение Дирака , из которого эти предсказания возникают автоматически. Напротив, в нерелятивистской квантовой механике члены должны быть искусственно введены в оператор Гамильтона для достижения согласия с экспериментальными наблюдениями.

Наиболее успешной (и наиболее широко используемой) РКМ является релятивистская квантовая теория поля (КТП), в которой элементарные частицы интерпретируются как кванты поля . Уникальным следствием КТП, которое было проверено против других РКМ, является несостоятельность сохранения числа частиц, например, при создании и уничтожении материи . ^[7]

Работы Поля Дирака в период с 1927 по 1933 год сформировали синтез специальной теории относительности и квантовой механики. ^[8] Его работа сыграла важную роль, поскольку он сформулировал уравнение Дирака, а также создал квантовую электродинамику , обе из которых успешно объединили две теории. ^[9]

В этой статье уравнения записаны в привычной трехмерной векторной нотации исчисления и используют шляпы для операторов (не обязательно в литературе), а там, где можно собрать компоненты пространства и времени, также показана нотация индекса тензора (часто используемая в литературе), кроме того, используется соглашение Эйнштейна о суммировании . Здесь используются единицы СИ ; гауссовы единицы и натуральные единицы являются обычными альтернативами. Все уравнения находятся в позиционном представлении; для импульсного представления уравнения должны быть преобразованы Фурье – см. позиционное и импульсное пространство .

Объединение специальной теории относительности и квантовой механики

Один из подходов заключается в модификации картины Шредингера , чтобы она соответствовала специальной теории относительности. ^[2]

Постулат квантовой механики заключается в том, что временная эволюция любой квантовой системы описывается уравнением Шредингера :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}\psi }$

с использованием подходящего оператора Гамильтона Ĥ, соответствующего системе. Решение представляет собой комплексную волновую функцию ψ ( r , t ) , функцию трехмерного вектора положения r частицы в момент времени t , описывающую поведение системы.

Каждая частица имеет неотрицательное спиновое квантовое число s . Число 2 s является целым числом, нечетным для фермионов и четным для бозонов . Каждое s имеет 2 s + 1 z -проекционных квантовых чисел; σ  =  s , s  − 1, ... , − s  + 1, − s . ^[a] Это дополнительная дискретная переменная, требуемая волновой функцией; ψ ( r ,  t ,  σ ) .

Исторически сложилось так, что в начале 1920-х годов Паули , Крониг , Уленбек и Гоудсмит были первыми, кто предложил концепцию спина. Включение спина в волновую функцию включает принцип исключения Паули (1925) и более общую теорему о спиновой статистике (1939) Фирца , повторно выведенную Паули годом позже. Это объяснение разнообразного спектра поведения и явлений субатомных частиц : от электронных конфигураций атомов, ядер (и, следовательно, всех элементов в периодической таблице и их химии ) до конфигураций кварков и цветового заряда (отсюда свойства барионов и мезонов ).

Фундаментальным предсказанием специальной теории относительности является релятивистское соотношение энергии-импульса ; для частицы с массой покоя m и в конкретной системе отсчета с энергией E и 3- импульсом p с величиной в терминах скалярного произведения оно равно: ^[10] ${\displaystyle p={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }}}$

${\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +(mc^{2})^{2}\,.}$

Эти уравнения используются вместе с операторами энергии и импульса , которые соответственно равны:

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \,,}$

построить релятивистское волновое уравнение (RWE): частное дифференциальное уравнение, согласующееся с соотношением энергии и импульса, и решаемое относительно ψ для предсказания квантовой динамики частицы. Для того чтобы пространство и время были поставлены на равные позиции, как в теории относительности, порядки частных производных пространства и времени должны быть равными и, в идеале, как можно более низкими, так что начальные значения производных не должны быть указаны. Это важно для вероятностных интерпретаций, примеры которых приведены ниже. Наименьший возможный порядок любого дифференциального уравнения — первый (производные нулевого порядка не образуют дифференциальное уравнение).

Картина Гейзенберга является еще одной формулировкой квантовой механики, в этом случае волновая функция ψ не зависит от времени , а операторы A ( t ) содержат временную зависимость, управляемую уравнением движения:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A={\frac {1}{i\hbar }}[A,{\hat {H}}]+{\frac {\partial }{\partial t}}A\,,}$

Это уравнение справедливо также в RQM, при условии, что операторы Гейзенберга изменены так, чтобы соответствовать SR. ^{[11] [12]}

Исторически сложилось так, что около 1926 года Шредингер и Гейзенберг показали, что волновая механика и матричная механика эквивалентны, а позднее Дирак развил эту идею с помощью теории преобразований .

Более современный подход к уравнениям РВ, впервые представленный во время разработки уравнений РВ для частиц любого спина, заключается в применении представлений группы Лоренца .

Пространство и время

В классической механике и нерелятивистской квантовой механике время является абсолютной величиной, с которой все наблюдатели и частицы всегда могут согласиться, "тикая" на заднем плане независимо от пространства. Таким образом, в нерелятивистской квантовой механике для системы многих частиц имеем ψ ( r ₁ , r ₂ , r ₃ , ..., t , σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ ...) .

В релятивистской механике пространственные координаты и координатное время не являются абсолютными; любые два наблюдателя, движущиеся относительно друг друга, могут измерять различные местоположения и время событий . Координаты положения и времени естественным образом объединяются в четырехмерное пространственно-временное положение X = ( ct , r ), соответствующее событиям, а энергия и 3-импульс естественным образом объединяются в 4-импульс P = ( E / c , p ) динамической частицы, измеренный в некоторой системе отсчета , изменяются в соответствии с преобразованием Лоренца , когда измерение проводится в другой системе отсчета, усиленной и/или повернутой относительно исходной рассматриваемой системы. Операторы производной, а следовательно, операторы энергии и 3-импульса также неинвариантны и изменяются при преобразованиях Лоренца.

При правильном ортохронном преобразовании Лоренца ( r , t ) → Λ( r , t ) в пространстве Минковского все одночастичные квантовые состояния ψ _σ локально преобразуются по некоторому представлению D группы Лоренца : ^{[13] [14]}

${\displaystyle \psi _{\sigma }(\mathbf {r} ,t)\rightarrow D(\Lambda )\psi _{\sigma }(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r} ,t))}$

где D (Λ) — конечномерное представление, другими словами, квадратная матрица (2 s + 1)×(2 s + 1) . Опять же, ψ рассматривается как вектор-столбец , содержащий компоненты с (2 s + 1) допустимыми значениями σ . Квантовые числа s и σ , а также другие метки, непрерывные или дискретные, представляющие другие квантовые числа, подавляются. Одно значение σ может встречаться более одного раза в зависимости от представления.

Нерелятивистские и релятивистские гамильтонианы

Классический гамильтониан для частицы в потенциале представляет собой кинетическую энергию p · p /2 m плюс потенциальную энергию V ( r , t ) с соответствующим квантовым оператором в картине Шредингера :

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)}$

и подстановка этого в приведенное выше уравнение Шредингера дает нерелятивистское уравнение КМ для волновой функции: процедура представляет собой простую замену простого выражения. Напротив, в РКМ это не так просто; уравнение энергии-импульса является квадратичным по энергии и импульсу, что приводит к трудностям. Наивная установка:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {E}}={\sqrt {c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+(mc^{2})^{2}}}\quad \Rightarrow \quad i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\sqrt {c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+(mc^{2})^{2}}}\,\psi }$

бесполезно по нескольким причинам. Квадратный корень операторов не может быть использован в его нынешнем виде; его пришлось бы разложить в степенной ряд , прежде чем оператор импульса, возведенный в степень в каждом члене, мог бы действовать на ψ . В результате степенного ряда пространственные и временные производные полностью асимметричны : бесконечный порядок по пространственным производным, но только первый порядок по производной по времени, что неэлегантно и громоздко. Опять же, существует проблема неинвариантности оператора энергии, приравненного к квадратному корню, который также не инвариантен. Другая проблема, менее очевидная и более серьезная, заключается в том, что можно показать, что он нелокален и может даже нарушить причинность : если частица изначально локализована в точке r ₀ так, что ψ ( r ₀ , t = 0) конечна и равна нулю в других местах, то в любой более поздний момент времени уравнение предсказывает делокализацию ψ ( r , t ) ≠ 0 везде, даже для | r | > ct, что означает, что частица может прибыть в точку раньше, чем импульс света. Это должно быть исправлено дополнительным ограничением ψ ( | r | > ct , t ) = 0 . ^[15]

Также существует проблема включения спина в гамильтониан, что не является предсказанием нерелятивистской теории Шредингера. Частицы со спином имеют соответствующий спиновый магнитный момент, квантованный в единицах μ _B , магнетон Бора : ^{[16] [17]}

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-{\frac {g\mu _{B}}{\hbar }}{\hat {\mathbf {S} }}\,,\quad \left|{\boldsymbol {\mu }}_{S}\right|=-g\mu _{B}\sigma \,,}$

где g — (спин) g-фактор для частицы, а S — оператор спина , поэтому они взаимодействуют с электромагнитными полями . Для частицы во внешнем приложенном магнитном поле B член взаимодействия ^[18]

${\displaystyle {\hat {H}}_{B}=-\mathbf {B} \cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}}$

должен быть добавлен к вышеуказанному нерелятивистскому гамильтониану. Напротив, релятивистский гамильтониан автоматически вводит спин как требование соблюдения релятивистского соотношения энергии-импульса. ^[19]

Релятивистские гамильтонианы аналогичны нерелятивистским КМ в следующем отношении; есть термины, включающие массу покоя и термины взаимодействия с внешними приложенными полями, похожие на классический термин потенциальной энергии, а также термины импульса, такие как классический термин кинетической энергии. Ключевое отличие состоит в том, что релятивистские гамильтонианы содержат операторы спина в виде матриц , в которых матричное умножение выполняется по индексу спина σ , так что в общем случае релятивистский гамильтониан:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}(\mathbf {r} ,t,{\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {S} }})}$

является функцией пространства, времени, а также операторов импульса и спина.

Уравнения Клейна–Гордона и Дирака для свободных частиц

Подстановка операторов энергии и импульса непосредственно в соотношение энергии и импульса может на первый взгляд показаться заманчивой, чтобы получить уравнение Клейна–Гордона : ^[20]

${\displaystyle {\hat {E}}^{2}\psi =c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\psi +(mc^{2})^{2}\psi \,,}$

и было открыто многими людьми из-за простого способа его получения, в частности Шредингером в 1925 году, прежде чем он нашел нерелятивистское уравнение, названное в его честь, и Клейном и Гордоном в 1927 году, которые включили электромагнитные взаимодействия в уравнение. Это релятивистски инвариантно , однако это уравнение само по себе не является достаточным основанием для RQM по крайней мере по двум причинам: одна заключается в том, что состояния с отрицательной энергией являются решениями, ^{[2] [21]} другая — это плотность (приведенная ниже), и это уравнение в его нынешнем виде применимо только к бесспиновым частицам. Это уравнение можно разложить на множители в виде: ^{[22] [23]}

${\displaystyle \left({\hat {E}}-c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}-\beta mc^{2}\right)\left({\hat {E}}+c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+\beta mc^{2}\right)\psi =0\,,}$

где α = ( α ₁ , α ₂ , α ₃ ) и β — это не просто числа или векторы, а эрмитовы матрицы размером 4 × 4 , которые должны быть антикоммутативными для i ≠ j :

${\displaystyle \alpha _{i}\beta =-\beta \alpha _{i},\quad \alpha _{i}\alpha _{j}=-\alpha _{j}\alpha _{i}\,,}$

и возводим в квадрат единичную матрицу :

${\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I\,,}$

так что члены со смешанными производными второго порядка сокращаются, в то время как производные второго порядка чисто в пространстве и времени остаются. Первый множитель:

${\displaystyle \left({\hat {E}}-c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}-\beta mc^{2}\right)\psi =0\quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}=c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+\beta mc^{2}}$

является уравнением Дирака . Другой фактор также является уравнением Дирака, но для частицы с отрицательной массой . ^[22] Каждый фактор релятивистски инвариантен. Рассуждение можно провести наоборот: предложить гамильтониан в указанной выше форме, как это сделал Дирак в 1928 году, затем предварительно умножить уравнение на другой фактор операторов E + c α · p + βmc ² , и сравнение с уравнением КГ определяет ограничения на α и β . Уравнение положительной массы можно продолжать использовать без потери непрерывности. Матрицы, умножающие ψ, предполагают, что это не скалярная волновая функция, как разрешено в уравнении КГ, а вместо этого должна быть четырехкомпонентной сущностью. Уравнение Дирака по-прежнему предсказывает решения с отрицательной энергией, ^{[6] [24],} поэтому Дирак постулировал, что состояния с отрицательной энергией всегда заняты, потому что согласно принципу Паули электронные переходы с положительных на отрицательные уровни энергии в атомах были бы запрещены. Подробности см . в разделе «Море Дирака» .

Плотности и течения

В нерелятивистской квантовой механике квадрат модуля волновой функции ψ дает функцию плотности вероятности ρ = | ψ | ² . Это Копенгагенская интерпретация , около 1927 года. В RQM, хотя ψ ( r , t ) является волновой функцией, интерпретация вероятности не такая же, как в нерелятивистской QM. Некоторые RWE не предсказывают плотность вероятности ρ или ток вероятности j (на самом деле имея в виду плотность тока вероятности ), потому что они не являются положительно определенными функциями пространства и времени. Уравнение Дирака делает: ^[25]

${\displaystyle \rho =\psi ^{\dagger }\psi ,\quad \mathbf {j} =\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}{\boldsymbol {\gamma }}\psi \quad \rightleftharpoons \quad J^{\mu }=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\psi }$

где крестик обозначает эрмитово сопряженное уравнение (авторы обычно пишут ψ = ψ ^† γ ⁰ для дираковского сопряженного уравнения ), а J ^μ — вероятностный 4-ток , в то время как уравнение Клейна–Гордона этого не делает: ^[26]

${\displaystyle \rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,,\quad \mathbf {j} =-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)\quad \rightleftharpoons \quad J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})}$

где ∂ ^μ — четырехградиент . Поскольку начальные значения ψ и ∂ ψ /∂ t могут быть выбраны свободно, плотность может быть отрицательной.

Вместо этого, то, что на первый взгляд кажется «плотностью вероятности» и «током вероятности», должно быть переосмыслено как плотность заряда и плотность тока при умножении на электрический заряд . Тогда волновая функция ψ вообще не является волновой функцией, а переосмыслена как поле . ^[15] Плотность и ток электрического заряда всегда удовлетворяют уравнению непрерывности :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0\quad \rightleftharpoons \quad \partial _{\mu }J^{\mu }=0\,,}$

поскольку заряд является сохраняющейся величиной . Плотность вероятности и ток также удовлетворяют уравнению непрерывности, поскольку вероятность сохраняется, однако это возможно только при отсутствии взаимодействий.

Спин и электромагнитно взаимодействующие частицы

Включение взаимодействий в RWE обычно затруднено. Минимальная связь — это простой способ включения электромагнитного взаимодействия. Для одной заряженной частицы с электрическим зарядом q в электромагнитном поле, заданном магнитным векторным потенциалом A ( r , t ), определяемым магнитным полем B = ∇ × A , и электрическим скалярным потенциалом ϕ ( r , t ) , это: ^[27]

${\displaystyle {\hat {E}}\rightarrow {\hat {E}}-q\phi \,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}\rightarrow {\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \quad \rightleftharpoons \quad {\hat {P}}_{\mu }\rightarrow {\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu }}$

где P _μ — это 4-импульс , имеющий соответствующий оператор 4-импульса , а A _μ — 4 -потенциал . В дальнейшем нерелятивистский предел относится к предельным случаям:

${\displaystyle E-e\phi \approx mc^{2}\,,\quad \mathbf {p} \approx m\mathbf {v} \,,}$

то есть полная энергия частицы приблизительно равна энергии покоя при малых электрических потенциалах, а импульс приблизительно равен классическому импульсу.

Спин 0

В RQM уравнение КГ допускает минимальное предписание связи;

${\displaystyle {({\hat {E}}-q\phi )}^{2}\psi =c^{2}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}\psi +(mc^{2})^{2}\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[{({\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu })}{({\hat {P}}^{\mu }-qA^{\mu })}-{(mc)}^{2}\right]\psi =0.}$

В случае, когда заряд равен нулю, уравнение тривиально сводится к свободному уравнению КГ, поэтому ниже предполагается ненулевой заряд. Это скалярное уравнение, которое инвариантно относительно неприводимого одномерного скалярного (0,0) представления группы Лоренца. Это означает, что все его решения будут принадлежать прямой сумме (0,0) представлений. Решения, которые не принадлежат неприводимому (0,0) представлению, будут иметь две или более независимых компонент. Такие решения в общем случае не могут описывать частицы с ненулевым спином, поскольку спиновые компоненты не являются независимыми. Для этого необходимо будет наложить другие ограничения, например, уравнение Дирака для спина  ⁠1/2⁠ , см. ниже. Таким образом, если система удовлетворяет только уравнению КГ , ее можно интерпретировать только как систему с нулевым спином.

Электромагнитное поле рассматривается классически в соответствии с уравнениями Максвелла , а частица описывается волновой функцией, решением уравнения КГ. Уравнение в его нынешнем виде не всегда очень полезно, поскольку массивные бесспиновые частицы, такие как π -мезоны, испытывают гораздо более сильное сильное взаимодействие в дополнение к электромагнитному взаимодействию. Однако оно правильно описывает заряженные бесспиновые бозоны в отсутствие других взаимодействий.

Уравнение КГ применимо к бесспиновым заряженным бозонам во внешнем электромагнитном потенциале. ^[2] Таким образом, уравнение не может быть применено к описанию атомов, поскольку электрон является спином  ⁠1/2⁠ частица. В нерелятивистском пределе уравнение сводится к уравнению Шредингера для бесспиновой заряженной частицы в электромагнитном поле: ^[18]

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi ={\frac {1}{2m}}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}\psi \quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}+q\phi .}$

Вращаться⁠1/2⁠

Нерелятивистски спин был феноменологически введен Паули в уравнении Паули в 1927 году для частиц в электромагнитном поле :

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi =\left[{\frac {1}{2m}}{({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))}^{2}\right]\psi \quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))}^{2}+q\phi }$

с помощью матриц Паули 2 × 2 , а ψ — это не просто скалярная волновая функция, как в нерелятивистском уравнении Шредингера, а двухкомпонентное спинорное поле :

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\uparrow }\\\psi _{\downarrow }\end{pmatrix}}}$

где нижние индексы ↑ и ↓ относятся к «спин-вверх» ( σ = + ⁠1/2⁠ ) ​​и «спин вниз» ( σ = − ⁠1/2⁠ ) ​​состояния. ^[б]

В RQM уравнение Дирака также может включать минимальную связь, переписанную из приведенной выше формулы;

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi =\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot {({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}-mc^{2}\right]\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[\gamma ^{\mu }({\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu })-mc^{2}\right]\psi =0}$

и было первым уравнением, точно предсказывающим спин, следствием 4 × 4 гамма-матриц γ ⁰ = β , γ = ( γ ₁ , γ ₂ , γ ₃ ) = β α = ( βα ₁ , βα ₂ , βα ₃ ) . Существует единичная матрица 4 × 4 , предварительно умножающая оператор энергии (включая член потенциальной энергии), традиционно не записанная для простоты и ясности (т.е. рассматриваемая как число 1). Здесь ψ — четырехкомпонентное спинорное поле, которое традиционно разделяется на два двухкомпонентных спинора в форме: ^[c]

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{+\uparrow }\\\psi _{+\downarrow }\\\psi _{-\uparrow }\\\psi _{-\downarrow }\end{pmatrix}}}$

2-спинор ψ ₊ соответствует частице с 4-импульсом ( E , p ) и зарядом q и двумя спиновыми состояниями ( σ = ± ⁠1/2⁠ , как и прежде). Другой 2-спинор ψ ₋ соответствует аналогичной частице с той же массой и спиновыми состояниями, но отрицательным 4-импульсом −( E , p ) и отрицательным зарядом − q , то есть отрицательными энергетическими состояниями, обращенным во времени импульсом и отрицательным зарядом . Это была первая интерпретация и предсказание частицы и соответствующей античастицы . См. спинор Дирака и биспинор для дальнейшего описания этих спиноров. В нерелятивистском пределе уравнение Дирака сводится к уравнению Паули (см. уравнение Дирака для получения информации о том, как). При применении одноэлектронного атома или иона, установке A = 0 и ϕ к соответствующему электростатическому потенциалу, дополнительные релятивистские члены включают спин-орбитальное взаимодействие , электронное гиромагнитное отношение и дарвиновский член . В обычной квантовой механике эти члены должны быть введены вручную и обработаны с использованием теории возмущений . Положительные энергии точно учитывают тонкую структуру.

В рамках РКМ для безмассовых частиц уравнение Дирака сводится к следующему:

${\displaystyle \left({\frac {\hat {E}}{c}}+{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\right)\psi _{+}=0\,,\quad \left({\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\right)\psi _{-}=0\quad \rightleftharpoons \quad \sigma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }\psi _{+}=0\,,\quad \sigma _{\mu }{\hat {P}}^{\mu }\psi _{-}=0\,,}$

первое из которых — уравнение Вейля , значительное упрощение, применимое для безмассовых нейтрино . ^[28] На этот раз есть единичная матрица 2 × 2 , предварительно умножающая оператор энергии, который обычно не записывается. В RQM полезно взять это как нулевую матрицу Паули σ ₀ , которая связывается с оператором энергии (производной по времени), так же как другие три матрицы связываются с оператором импульса (пространственными производными).

Матрицы Паули и гамма были введены здесь, в теоретической физике, а не в чистой математике . Они имеют приложения к кватернионам и к группам Ли SO(2) и SO(3) , поскольку они удовлетворяют важным коммутаторным [ , ] и антикоммутационным [ , ] ₊ соотношениям соответственно:

${\displaystyle \left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]=2i\varepsilon _{abc}\sigma _{c}\,,\quad \left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]_{+}=2\delta _{ab}\sigma _{0}}$

где ε _abc — трехмерный символ Леви-Чивиты . Гамма-матрицы образуют базисы в алгебре Клиффорда и связаны с компонентами плоской метрики пространства-времени Минковского η ^αβ в антикоммутационном соотношении:

${\displaystyle \left[\gamma ^{\alpha },\gamma ^{\beta }\right]_{+}=\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }+\gamma ^{\beta }\gamma ^{\alpha }=2\eta ^{\alpha \beta }\,,}$

(Это можно распространить на искривленное пространство-время, введя вирбейны , но это не является предметом специальной теории относительности).

В 1929 году было обнаружено, что уравнение Брейта описывает два или более электромагнитно взаимодействующих массивных спина  ⁠1/2⁠ фермионы к релятивистским поправкам первого порядка; одна из первых попыток описать такую ​​релятивистскую квантовую многочастичную систему . Однако это все еще только приближение, и гамильтониан включает в себя многочисленные длинные и сложные суммы.

Спиральность и хиральность

Оператор спиральности определяется как:

${\displaystyle {\hat {h}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {\hat {\mathbf {p} }}{|\mathbf {p} |}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {c{\hat {\mathbf {p} }}}{\sqrt {E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}}}}$

где p — оператор импульса, S — оператор спина для частицы со спином s , E — полная энергия частицы, а m ₀ — ее масса покоя. Спиральность указывает на ориентацию векторов спина и поступательного импульса. ^[29] Спиральность зависит от системы отсчета из-за 3-импульса в определении и квантуется из-за квантования спина, которое имеет дискретные положительные значения для параллельного выравнивания и отрицательные значения для антипараллельного выравнивания.

Автоматическим явлением в уравнении Дирака (и уравнении Вейля) является проекция спина  ⁠1/2⁠ оператор на 3-импульсе (умноженном на c ), σ · c p , который является спиральностью (для спина  ⁠1/2⁠ случай) раз . ${\displaystyle {\sqrt {E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}}}$

Для безмассовых частиц спиральность упрощается до:

${\displaystyle {\hat {h}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {c{\hat {\mathbf {p} }}}{E}}}$

Более высокие спины

Уравнение Дирака может описывать только частицы со спином  ⁠1/2⁠ . Помимо уравнения Дирака, уравнения РВ были применены к свободным частицам с различными спинами. В 1936 году Дирак распространил свое уравнение на все фермионы, три года спустя Фирц и Паули заново вывели то же самое уравнение. ^[30] Уравнения Баргмана –Вигнера были найдены в 1948 году с использованием теории групп Лоренца, применимой для всех свободных частиц с любым спином. ^{[31] [32]} Рассматривая факторизацию уравнения КГ выше, и более строго с помощью теории групп Лоренца , становится очевидным введение спина в виде матриц.

Волновые функции представляют собой многокомпонентные спинорные поля , которые можно представить в виде векторов - столбцов функций пространства и времени:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$

где выражение справа является эрмитово сопряженным . Для массивной частицы со спином s имеется 2 s + 1 компонента для частицы и еще 2 s + 1 для соответствующей античастицы (в каждом случае имеется 2 s + 1 возможных значений σ ), в совокупности образуя 2(2 s + 1) -компонентное спинорное поле:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{+,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{+,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{+,\,\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{+,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{-,\,\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }{\begin{bmatrix}{\psi _{+,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{+,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{-,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$

с индексом +, указывающим на частицу, и индексом − для античастицы. Однако для безмассовых частиц со спином s существуют только двухкомпонентные спинорные поля; одно для частицы в одном состоянии спиральности, соответствующем + s , а другое для античастицы в противоположном состоянии спиральности, соответствующем − s :

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{pmatrix}\psi _{+}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-}(\mathbf {r} ,t)\end{pmatrix}}}$

Согласно релятивистскому соотношению энергии-импульса, все безмассовые частицы движутся со скоростью света, поэтому частицы, движущиеся со скоростью света, также описываются двухкомпонентными спинорами. Исторически Эли Картан нашел наиболее общую форму спиноров в 1913 году, до спиноров, обнаруженных в РВЭ после 1927 года.

Для уравнений, описывающих частицы с более высоким спином, включение взаимодействий далеко не так просто, как минимальная связь, они приводят к неверным предсказаниям и внутренним противоречиям. ^[33] Для спина больше ⁠час/2⁠ , RWE не фиксируется массой частицы, спином и электрическим зарядом; электромагнитные моменты ( электрические дипольные моменты и магнитные дипольные моменты ), разрешенные квантовым числом спина, являются произвольными. (Теоретически, магнитный заряд также вносит свой вклад). Например, спин  ⁠1/2⁠ случай допускает только магнитный диполь, но для частиц со спином 1 также возможны магнитные квадруполи и электрические диполи. ^[28] Для получения дополнительной информации по этой теме см. мультипольное расширение и (например) Cédric Lorcé (2009). ^{[34] [35]}

Оператор скорости

Оператор скорости Шредингера/Паули можно определить для массивной частицы, используя классическое определение p = m v и подставляя квантовые операторы обычным образом: ^[36]

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {1}{m}}{\hat {\mathbf {p} }}}$

которая имеет собственные значения, которые принимают любое значение. В RQM, теории Дирака, это:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {r} }}\right]}$

которые должны иметь собственные значения между ± c . См. преобразование Фолди–Ваутхойзена для более теоретической основы.

Релятивистские квантовые лагранжианы

Гамильтоновы операторы в картине Шредингера являются одним из подходов к формированию дифференциальных уравнений для ψ . Эквивалентная альтернатива заключается в определении лагранжиана (на самом деле это означает плотность лагранжиана ), а затем в генерации дифференциального уравнения с помощью уравнения Эйлера–Лагранжа теоретико-полевого типа :

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0\,}$

Для некоторых RWE лагранжиан может быть найден путем проверки. Например, лагранжиан Дирака: ^[37]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {\psi }}(\gamma ^{\mu }P_{\mu }-mc)\psi }$

и лагранжиан Клейна–Гордона равен:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\psi ^{*}\partial _{\nu }\psi -mc^{2}\psi ^{*}\psi \,.}$

Это невозможно для всех RWE; и это одна из причин, по которой подход теории групп Лоренца важен и привлекателен: фундаментальная инвариантность и симметрии в пространстве и времени могут быть использованы для вывода RWE с использованием соответствующих групповых представлений. Лагранжев подход с полевой интерпретацией ψ является предметом QFT, а не RQM: формулировка интеграла по траектории Фейнмана использует инвариантные лагранжианы, а не гамильтоновы операторы, поскольку последние могут стать чрезвычайно сложными, см. (например) Weinberg (1995). ^[38]

Релятивистский квантовый угловой момент

В нерелятивистской квантовой механике оператор углового момента формируется из классического определения псевдовектора L = r × p . В РКМ операторы положения и импульса вставляются непосредственно там, где они появляются в орбитальном релятивистском тензоре углового момента, определяемом из четырехмерного положения и импульса частицы, что эквивалентно бивектору в формализме внешней алгебры : ^{[39] [d]}

${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }=2X^{[\alpha }P^{\beta ]}\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} \,,}$

которые в общей сложности являются шестью компонентами: три являются нерелятивистскими 3-орбитальными угловыми моментами; M ¹² = L ³ , M ²³ = L ¹ , M ³¹ = L ² , а другие три M ⁰¹ , M ⁰² , M ⁰³ являются надстройками центра масс вращающегося объекта. Дополнительный релятивистско-квантовый член должен быть добавлен для частиц со спином. Для частицы с массой покоя m полный тензор углового момента равен:

${\displaystyle J^{\alpha \beta }=2X^{[\alpha }P^{\beta ]}+{\frac {1}{m^{2}}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }W_{\gamma }p_{\delta }\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {J} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} +{\frac {1}{m^{2}}}\star (\mathbf {W} \wedge \mathbf {P} )}$

где звездочка обозначает дуал Ходжа , а

${\displaystyle W_{\alpha }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }M^{\beta \gamma }p^{\delta }\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {W} =\star (\mathbf {M} \wedge \mathbf {P} )}$

псевдовектор Паули–Любанского . ^[40] Подробнее о релятивистском спине см. (например) Трошин и Тюрин (1994). ^[41]

Прецессия Томаса и спин-орбитальные взаимодействия

В 1926 году открыта прецессия Томаса : релятивистские поправки к спину элементарных частиц с применением в спин-орбитальном взаимодействии атомов и вращении макроскопических объектов. ^{[42] [43]} В 1939 году Вигнер вывел прецессию Томаса.

В классическом электромагнетизме и специальной теории относительности электрон, движущийся со скоростью v через электрическое поле E , но не через магнитное поле B , будет в своей собственной системе отсчета испытывать преобразованное Лоренцом магнитное поле B′ :

${\displaystyle \mathbf {B} '={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}{\sqrt {1-\left(v/c\right)^{2}}}}}\,.}$

В нерелятивистском пределе v << c :

${\displaystyle \mathbf {B} '={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}}}\,,}$

поэтому гамильтониан нерелятивистского спинового взаимодействия становится следующим: ^[44]

${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {B} '\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-\left(\mathbf {B} +{\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}\,,}$

где первый член уже является нерелятивистским взаимодействием магнитного момента, а второй член релятивистской поправкой порядка ( v/c )² , но это расходится с экспериментальными атомными спектрами в 1 ⁄ 2 раза. Л. Томас указал на то, что существует второй релятивистский эффект: компонент электрического поля, перпендикулярный скорости электрона, вызывает дополнительное ускорение электрона, перпендикулярное его мгновенной скорости, поэтому электрон движется по искривленной траектории. Электрон движется во вращающейся системе отсчета , и эта дополнительная прецессия электрона называется прецессией Томаса . Можно показать ^[45] , что конечный результат этого эффекта заключается в том, что спин-орбитальное взаимодействие уменьшается вдвое, как если бы магнитное поле, испытываемое электроном, имело только половину значения, а релятивистская поправка в гамильтониане равна:

${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {B} '\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-\left(\mathbf {B} +{\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{2c^{2}}}\right)\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}\,.}$

В случае RQM коэффициент 1 ⁄ 2 предсказывается уравнением Дирака. ^[44]

История

События, которые привели к созданию и установлению РКМ, а также продолжение в квантовой электродинамике (КЭД), суммированы ниже [см., например, R. Resnick и R. Eisberg (1985), ^[46] и PW Atkins (1974) ^[47] ]. Более полувека экспериментальных и теоретических исследований с 1890-х по 1950-е годы в новой и загадочной квантовой теории, которая только зарождалась, показали, что ряд явлений не может быть объяснен только КМ. SR, обнаруженная на рубеже 20-го века, оказалась необходимым компонентом, что привело к объединению: РКМ. Теоретические предсказания и эксперименты в основном были сосредоточены на недавно обнаруженной атомной физике , ядерной физике и физике элементарных частиц ; путем рассмотрения спектроскопии , дифракции и рассеяния частиц, а также электронов и ядер внутри атомов и молекул. Многочисленные результаты приписываются эффектам спина.

Релятивистское описание частиц в квантовых явлениях

Альберт Эйнштейн в 1905 году объяснил фотоэлектрический эффект ; корпускулярное описание света как фотонов . В 1916 году Зоммерфельд объясняет тонкую структуру ; расщепление спектральных линий атомов из-за релятивистских поправок первого порядка. Эффект Комптона 1923 года предоставил больше доказательств того, что специальная теория относительности действительно применима; в данном случае к корпускулярному описанию рассеяния фотонов и электронов. Де Бройль распространяет корпускулярно-волновой дуализм на материю : соотношения де Бройля , которые согласуются со специальной теорией относительности и квантовой механикой. К 1927 году Дэвиссон и Джермер , а также отдельно Г. Томсон успешно дифрагировали электроны, предоставив экспериментальные доказательства корпускулярно-волнового дуализма.

Эксперименты

• 1897 Дж. Дж. Томсон открывает электрон и измеряет отношение его массы к заряду . Открытие эффекта Зеемана : расщепление спектральной линии на несколько компонентов в присутствии статического магнитного поля.
• 1908 Милликен измеряет заряд электрона и находит экспериментальное доказательство его квантования в эксперименте с каплей масла .
• 1911 Рассеяние альфа-частиц в эксперименте Гейгера-Марсдена , проведенном Резерфордом , показало, что атомы обладают внутренней структурой: атомным ядром . ^[48]
• 1913 Открыт эффект Штарка : расщепление спектральных линий под действием статического электрического поля (сравните с эффектом Зеемана).
• 1922 Эксперимент Штерна–Герлаха : экспериментальное доказательство спина и его квантования.
• 1924 Стоунер изучает расщепление энергетических уровней в магнитных полях .
• 1932 Экспериментальное открытие нейтрона Чедвиком и позитронов Андерсоном , подтверждающее теоретическое предсказание позитронов .
• 1958 Открытие эффекта Мёссбауэра : резонансное и безоткатное испускание и поглощение гамма-излучения атомными ядрами, связанными в твердом теле, полезное для точных измерений гравитационного красного смещения и замедления времени , а также для анализа ядерных электромагнитных моментов в сверхтонких взаимодействиях . ^[49]

Квантовая нелокальность и релятивистская локальность

В 1935 году Эйнштейн, Розен , Подольский опубликовали статью ^[50] о квантовой запутанности частиц, подвергнув сомнению квантовую нелокальность и кажущееся нарушение причинности, поддерживаемое в СТО: частицы могут казаться взаимодействующими мгновенно на произвольных расстояниях. Это было заблуждением, поскольку информация не передается и не может быть передана в запутанных состояниях; скорее, передача информации происходит в процессе измерения двумя наблюдателями (один наблюдатель должен послать сигнал другому, который не может превышать c ). Квантовая механика не нарушает СТО. ^{[51] [52]} В 1959 году Бом и Ааронов опубликовали статью ^[53] об эффекте Ааронова–Бома , подвергнув сомнению статус электромагнитных потенциалов в Квантовой механике. Формулировки тензора ЭМ поля и ЭМ 4-потенциала применимы в СТО, но в Квантовой механике потенциалы входят в гамильтониан (см. выше) и влияют на движение заряженных частиц даже в областях, где поля равны нулю. В 1964 году теорема Белла была опубликована в статье о парадоксе ЭПР ^[54], показывающей, что квантовая механика не может быть выведена из локальных теорий со скрытыми переменными, если необходимо сохранить локальность.

Сдвиг Лэмба

В 1947 году был открыт сдвиг Лэмба: небольшая разница в уровнях водорода ² S _{1 ⁄ 2} и ² P _{1 ⁄ 2} из-за взаимодействия электрона и вакуума. Лэмб и Резерфорд экспериментально измеряют стимулированные радиочастотные переходы на уровнях водорода ² S _{1 ⁄ 2} и ² P _{1 ⁄ 2} с помощью микроволнового излучения. ^[55] Объяснение сдвига Лэмба представлено Бете . Статьи об этом эффекте были опубликованы в начале 1950-х годов. ^[56]

Развитие квантовой электродинамики

• 1927 Дирак основывает область квантовой электродинамики, а также вводит термин «квантовая электродинамика». ^[57]
• 1943 Томонага начинает работу над перенормировкой , оказавшую влияние на КЭД.
• 1947 Швингер вычисляет аномальный магнитный момент электрона . Куш измеряет аномальный магнитный момент электрона, подтверждая одно из великих предсказаний КЭД.

Смотрите также

Сноски

1. Другие распространенные обозначения включают m _s и s _z и т. д., но это загромождает выражения ненужными индексами. Индексы σ, обозначающие значения спина, не следует путать с индексами тензора или матрицами Паули .
2. Эта спинорная нотация не обязательно является стандартной; в литературе обычно пишут или и т. д., но в контексте спина  ⁠ ${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}u^{1}\\u^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\chi \\\eta \end{pmatrix}}}$1/2⁠ , эта неформальная идентификация широко применяется.
3. Опять же, эта нотация не обязательно является стандартной, в более продвинутой литературе обычно пишут

   ${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u^{1}\\u^{2}\\v^{1}\\v^{2}\end{pmatrix}}}$и т. д.,

   но здесь мы неформально показываем соответствие энергии, спиральности и спиновых состояний.
4. Некоторые авторы, включая Пенроуза, используют в этом определении латинские буквы, хотя для векторов и тензоров в пространстве-времени принято использовать греческие индексы.

Ссылки

1. Перкинс, Д. Х. (2000). Введение в физику высоких энергий. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62196-0.
2. Мартин, BR; Шоу, G. (2008-12-03). Физика элементарных частиц . Серия физики Манчестера (3-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
3. Рейхер, М.; Вольф, А. (2009). Релятивистская квантовая химия. John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-62749-3.
4. Strange, P. (1998). Релятивистская квантовая механика: с приложениями в конденсированных средах и атомной физике. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56583-7.
5. Mohn, P. (2003). Магнетизм в твердом теле: Введение. Springer Series in Solid-State Sciences Series. Том 134. Springer. С. 6. ISBN 978-3-540-43183-1.
6. Martin, BR; Shaw, G. (2008-12-03). Физика элементарных частиц . Manchester Physics Series (3-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 5–6. ISBN 978-0-470-03294-7.
7. Мессия, А. (1981). Квантовая механика. Т. 2. North-Holland Publishing Company. стр. 875. ISBN 978-0-7204-0045-8.
8. Швебер, Сильван С. (1994). QED и люди, которые ее создали: Дайсон, Фейнман, Швингер и Томонага . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 573. ISBN 978-0-691-21328-6.
9. Бхаумик, Мани Л. (2022). «Как основополагающие вклады Дирака прокладывают путь к пониманию более глубоких замыслов природы». Quanta . 8 (1): 88–100. arXiv : 2209.03937 . doi :10.12743/quanta.v8i1.96. S2CID  212835814.
10. Форшоу, Дж. Р.; Смит, А. Г. (2009). Динамика и теория относительности . Серия Manchester Physics. John Wiley & Sons. С. 258–259. ISBN 978-0-470-01460-8.
11. Грейнер, В. (2000). Релятивистская квантовая механика. Волновые уравнения (3-е изд.). Springer. стр. 70. ISBN 978-3-540-67457-3.
12. Вахтер, А. (2011). «Релятивистская квантовая механика». Springer. стр. 34. ISBN 978-90-481-3645-2.
13. Weinberg, S. (1964). "Feynman Rules for Any spin" (PDF) . Phys. Rev . 133 (5B): B1318–B1332. Bibcode :1964PhRv..133.1318W. doi :10.1103/PhysRev.133.B1318. Архивировано из оригинала (PDF) 2020-12-04 . Получено 2014-08-24 .; Weinberg, S. (1964). "Feynman Rules for Any spin. II. Massless Particles" (PDF) . Phys. Rev . 134 (4B): B882–B896. Bibcode :1964PhRv..134..882W. doi :10.1103/PhysRev.134.B882. Архивировано из оригинала (PDF) 2022-03-09 . Получено 2013-04-14 .
    ; Weinberg, S. (1969). "Feynman Rules for Any spin. III" (PDF) . Phys. Rev . 181 (5): 1893–1899. Bibcode :1969PhRv..181.1893W. doi :10.1103/PhysRev.181.1893. Архивировано из оригинала (PDF) 2022-03-25 . Получено 2013-04-14 .
    
14. Масакацу, К. (2012). «Проблема сверхизлучения бозонов и фермионов для вращающихся черных дыр в формулировке Баргмана–Вигнера». arXiv : 1208.0644 [gr-qc].
15. Parker, CB (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2-е изд.). McGraw Hill. стр. 1193–1194. ISBN 978-0-07-051400-3.
16. Резник, Р.; Эйсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 274. ISBN 978-0-471-87373-0.
17. Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (1981). Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Т. 3. Elsevier. С. 455. ISBN 978-0-08-050348-6.
18. Peleg, Y.; Pnini, R.; Zaarur, E.; Hecht, E. (2010). Квантовая механика . Очерки Шаума (2-е изд.). McGraw–Hill. стр. 181. ISBN 978-0-07-162358-2.
19. Аберс, Э. (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. стр. 425. ISBN 978-0-13-146100-0.
20. Вахтер, А. (2011). «Релятивистская квантовая механика». Springer. стр. 5. ISBN 978-90-481-3645-2.
21. Аберс, Э. (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. стр. 415. ISBN 978-0-13-146100-0.
22. Пенроуз, Р. (2005). Дорога к реальности . Винтажные книги. стр. 620–621. ISBN 978-0-09-944068-0.
23. Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Физика атомов и молекул (1-е изд.). Prentice Hall. стр. 634. ISBN 978-0-582-44401-0.
24. Grandy, WT (1991). Релятивистская квантовая механика лептонов и полей. Springer. стр. 54. ISBN 978-0-7923-1049-5.
25. Аберс, Э. (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. стр. 423. ISBN 978-0-13-146100-0.
26. Макмахон, Д. (2008). Квантовая теория поля . Демистификация. McGraw Hill. стр. 114. ISBN 978-0-07-154382-8.
27. Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Physics of Atoms and Molecules (1-е изд.). Prentice Hall. стр. 632–635. ISBN 978-0-582-44401-0.
28. Parker, CB (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2-е изд.). McGraw Hill. стр. 1194. ISBN 978-0-07-051400-3..
29. Labelle, P. (2010). Суперсимметрия . Демистификация. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-163641-4.
30. Эспозито, С. (2011). «В поисках уравнения: Дирак, Майорана и другие». Annals of Physics . 327 (6): 1617–1644. arXiv : 1110.6878 . Bibcode : 2012AnPhy.327.1617E. doi : 10.1016/j.aop.2012.02.016. S2CID  119147261.
31. Баргманн, В.; Вигнер, Э.П. (1948). «Групповое теоретическое обсуждение релятивистских волновых уравнений». Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 34 (5): 211–23. Bibcode : 1948PNAS...34..211B. doi : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC 1079095. PMID  16578292 . 
32. Вигнер, Э. (1937). «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца» (PDF) . Annals of Mathematics . 40 (1): 149–204. Bibcode :1939AnMat..40..149W. doi :10.2307/1968551. JSTOR  1968551. S2CID  121773411. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-10-04 . Получено 2013-04-14 .
33. Ярошевич, Т.; Куржепа, П.С. (1992). «Геометрия распространения пространства-времени вращающихся частиц». Annals of Physics . 216 (2): 226–267. Bibcode : 1992AnPhy.216..226J. doi : 10.1016/0003-4916(92)90176-M.
34. Лорсе, Седрик (2009). «Электромагнитные свойства для частиц с произвольным спином: Часть 1 − Электромагнитный ток и мультипольное разложение». arXiv : 0901.4199 [hep-ph].
35. Лорсе, Седрик (2009). "Электромагнитные свойства для частиц с произвольным спином: Часть 2 − Естественные моменты и плотности поперечного заряда". Physical Review D. 79 ( 11): 113011. arXiv : 0901.4200 . Bibcode : 2009PhRvD..79k3011L. doi : 10.1103/PhysRevD.79.113011. S2CID  17801598.
36. Strange, P. (1998). Релятивистская квантовая механика: с приложениями в конденсированных средах и атомной физике. Cambridge University Press. стр. 206. ISBN 978-0-521-56583-7.
37. Labelle, P. (2010). Суперсимметрия . Демистификация. McGraw-Hill. стр. 14. ISBN 978-0-07-163641-4.
38. Вайнберг, С. (1995). Квантовая теория полей. Том 1. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55001-7.
39. Пенроуз, Р. (2005). Дорога к реальности . Винтажные книги. стр. 437, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0.
40. Райдер, Л. Х. (1996). Квантовая теория поля (2-е изд.). Cambridge University Press. стр. 62. ISBN 978-0-521-47814-4.
41. Трошин, СМ; Тюрин, Н.Е. (1994). Спиновые явления во взаимодействиях частиц. World Scientific. Bibcode :1994sppi.book.....T. ISBN 978-981-02-1692-4.
42. Misner, CW ; Thorne, KS ; Wheeler, JA (15 сентября 1973 г.). Гравитация . Macmillan. стр. 1146. ISBN 978-0-7167-0344-0.
43. Ciufolini, I.; Matzner, RRA (2010). Общая теория относительности и Джон Арчибальд Уилер. Springer. стр. 329. ISBN 978-90-481-3735-0.
44. Kroemer, H. (2003). "Фактор прецессии Томаса во взаимодействии спин-орбиты" (PDF) . American Journal of Physics . 72 (1): 51–52. arXiv : physics/0310016 . Bibcode :2004AmJPh..72...51K. doi :10.1119/1.1615526. S2CID  119533324.
45. Джексон, Дж. Д. (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Wiley. стр. 548. ISBN 978-0-471-30932-1.
46. Резник, Р.; Эйсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 57, 114–116, 125–126, 272. ISBN 978-0-471-87373-0.
47. Аткинс, П. У. (1974). Quanta: Справочник концепций . Oxford University Press. С. 168–169, 176, 263, 228. ISBN 978-0-19-855493-6.
48. Крейн, К. С. (1988). Введение в ядерную физику . John Wiley & Sons. стр. 396–405. ISBN 978-0-471-80553-3.
49. Крейн, К. С. (1988). Введение в ядерную физику . John Wiley & Sons. стр. 361–370. ISBN 978-0-471-80553-3.
50. Эйнштейн, А.; Подольский, Б.; Розен, Н. (1935). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?» (PDF) . Phys. Rev . 47 (10): 777–780. Bibcode :1935PhRv...47..777E. doi : 10.1103/PhysRev.47.777 .
51. Аберс, Э. (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. стр. 192. ISBN 978-0-13-146100-0.
52. Пенроуз, Р. (2005). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-09-944068-0. Глава 23 : Запутанный квантовый мир
53. Ааронов, Ю.; Бом, Д. (1959). «Значение электромагнитных потенциалов в квантовой теории». Physical Review . 115 (3): 485–491. Bibcode :1959PhRv..115..485A. doi : 10.1103/PhysRev.115.485 .
54. Белл, Джон (1964). «О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена» (PDF) . Физика . 1 (3): 195–200. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
55. Лэмб, Уиллис Э .; Ретерфорд, Роберт К. (1947). «Тонкая структура атома водорода с помощью микроволнового метода». Physical Review . 72 (3): 241–243. Bibcode : 1947PhRv...72..241L. doi : 10.1103/PhysRev.72.241 .
56. Лэмб, У. Э. младший и Ретерфорд, Р. К. (1950). «Тонкая структура атома водорода. Часть I». Phys. Rev. 79 ( 4): 549–572. Bibcode : 1950PhRv...79..549L. doi : 10.1103/PhysRev.79.549.
    Lamb, WE Jr. & Retherford, RC (1951). "Тонкая структура атома водорода. Часть II". Phys. Rev. 81 ( 2): 222–232. Bibcode : 1951PhRv...81..222L. doi : 10.1103/PhysRev.81.222.Лэмб, У. Э. Мл. (1952). «Тонкая структура атома водорода. III». Phys. Rev. 85 ( 2): 259–276. Bibcode : 1952PhRv...85..259L. doi : 10.1103/PhysRev.85.259. PMID  17775407.
    Lamb, WE Jr. & Retherford, RC (1952). "Тонкая структура атома водорода. IV". Phys. Rev. 86 ( 6): 1014–1022. Bibcode : 1952PhRv...86.1014L. doi : 10.1103/PhysRev.86.1014. PMID  17775407.
    Triebwasser, S.; Dayhoff, ES & Lamb, WE Jr. (1953). "Тонкая структура атома водорода. V". Phys. Rev. 89 ( 1): 98–106. Bibcode : 1953PhRv...89...98T. doi : 10.1103/PhysRev.89.98.
57. Дирак, Поль (1 марта 1927 г.). «Квантовая теория испускания и поглощения излучения». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера . 114 (767): 243–265. doi : 10.1098/rspa.1927.0039 . ISSN  0950-1207.

Избранные книги

• Дирак, П.А.М. (1981). Принципы квантовой механики (4-е изд.). Clarendon Press. ISBN 978-0-19-852011-5.
• Дирак, П.А.М. (1964). Лекции по квантовой механике. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-41713-4.
• Таллер, Б. (2010). Уравнение Дирака. Springer. ISBN 978-3-642-08134-7.
• Паули, В. (1980). Общие принципы квантовой механики. Springer. ISBN 978-3-540-09842-3.
• Мерцбахер, Э. (1998). Квантовая механика (3-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-88702-7.
• Мессия, А. (1961). Квантовая механика . Том 1. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-59766-7.
• Бьёркен, Дж. Д.; Дрелл, С. Д. (1964). Релятивистская квантовая механика (чистая и прикладная физика) . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-005493-6.
• Фейнман, РП; Лейтон, РБ; Сэндс, М. (1965). Лекции Фейнмана по физике. Том 3. Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-02118-9.
• Шифф, ЛИ (1968). Квантовая механика (3-е изд.). McGraw-Hill.
• Дайсон, Ф. (2011). Advanced Quantum Mechanics (2-е изд.). World Scientific. ISBN 978-981-4383-40-0.
• Клифтон, РК (2011). Перспективы квантовой реальности: нерелятивистские, релятивистские и полевые теории. Springer. ISBN 978-90-481-4643-7.
• Таннуджи, К.; Диу, Б.; Лалоэ, Ф. (1977). Квантовая механика . Т. 1. Wiley VCH. ISBN 978-0-471-16433-3.
• Таннуджи, К.; Диу, Б.; Лалоэ, Ф. (1977). Квантовая механика . Т. 2. Wiley VCH. ISBN 978-0-471-16435-7.
• Rae, AIM (2008). Квантовая механика. Том 2 (5-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-58488-970-0.
• Pilkuhn, H. (2005). Релятивистская квантовая механика. Тексты и монографии в серии Physics (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-28522-9.
• Партасарати, Р. (2010). Релятивистская квантовая механика. Alpha Science International. ISBN 978-1-84265-573-3.
• Калдор, У.; Уилсон, С. (2003). Теоретическая химия и физика тяжелых и сверхтяжелых элементов. Springer. ISBN 978-1-4020-1371-3.
• Thaller, B. (2005). Advanced visual quantum mechanics. Springer. Bibcode :2005avqm.book.....T. ISBN 978-0-387-27127-9.
• Брейер, Х. П.; Петруччионе, Ф. (2000). Релятивистское квантовое измерение и декогеренция. Springer. ISBN 978-3-540-41061-4. Релятивистская квантовая механика.
• Шеперд, П. Дж. (2013). Курс теоретической физики. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-51692-8.
• Бете, HA ; Джекив, RW (1997). Промежуточный уровень квантовой механики . Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-32831-8.
• Гейтлер, В. (1954). Квантовая теория излучения (3-е изд.). Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-64558-2.
• Готфрид, К.; Ян, Т. (2003). Квантовая механика: основы (2-е изд.). Springer. стр. 245. ISBN 978-0-387-95576-6.
• Швабль, Ф. (2010). Квантовая механика. Springer. стр. 220. ISBN 978-3-540-71933-5.
• Сакс, Р. Г. (1987). Физика обращения времени (2-е изд.). Издательство Чикагского университета. стр. 280. ISBN 978-0-226-73331-9. сверхтонкая структура в релятивистской квантовой механике.

Теория групп в квантовой физике

• Вейль, Х. (1950). Теория групп и квантовая механика . Courier Dover Publications. стр. 203. ISBN 9780486602691. магнитные моменты в релятивистской квантовой механике.
• Tung, WK (1985). Теория групп в физике. World Scientific. ISBN 978-9971-966-56-0.
• Гейне, В. (1993). Теория групп в квантовой механике: Введение в ее современное использование. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-67585-5.

Избранные статьи

• Дирак, ПАМ (1932). «Релятивистская квантовая механика». Труды Королевского общества A. 136 ( 829): 453–464. Bibcode :1932RSPSA.136..453D. doi : 10.1098/rspa.1932.0094 .
• Паули, В. (1945). «Принцип исключения и квантовая механика» (PDF) .
• Antoine, JP (2004). "Релятивистская квантовая механика". J. Phys. A . 37 (4): 1465. Bibcode :2004JPhA...37.1463P. CiteSeerX  10.1.1.499.2793 . doi :10.1088/0305-4470/37/4/B01.
• Энно, М.; Тейтельбойм, К. (1982). «Релятивистская квантовая механика суперсимметричных частиц». Т. 143.
• Fanchi, JR (1986). «Параметризация релятивистской квантовой механики». Phys. Rev. A. 34 ( 3): 1677–1681. Bibcode : 1986PhRvA..34.1677F. doi : 10.1103/PhysRevA.34.1677. PMID  9897446.
• Ord, GN (1983). «Фрактальное пространство-время: геометрический аналог релятивистской квантовой механики». J. Phys. A . 16 (9): 1869–1884. Bibcode :1983JPhA...16.1869O. doi :10.1088/0305-4470/16/9/012.
• Coester, F.; Polyzou, WN (1982). «Релятивистская квантовая механика частиц с прямыми взаимодействиями». Phys. Rev. D. 26 ( 6): 1348–1367. Bibcode : 1982PhRvD..26.1348C. doi : 10.1103/PhysRevD.26.1348.
• Mann, RB; Ralph, TC (2012). «Релятивистская квантовая информация». Класс. Quantum Grav . 29 (22): 220301. Bibcode : 2012CQGra..29v0301M. doi : 10.1088/0264-9381/29/22/220301. S2CID  123341332.
• Low, SG (1997). "Канонически релятивистская квантовая механика: представления унитарной полупрямой группы Гейзенберга, U(1,3) *s H(1,3)". J. Math. Phys . 38 (22): 2197–2209. arXiv : physics/9703008 . Bibcode :2012CQGra..29v0301M. doi :10.1088/0264-9381/29/22/220301. S2CID  123341332.
• Фронсдал, К.; Лундберг, Л. Э. (1997). «Релятивистская квантовая механика двух взаимодействующих частиц». Phys. Rev. D. 1 ( 12): 3247–3258. arXiv : physics/9703008 . Bibcode : 1970PhRvD...1.3247F. doi : 10.1103/PhysRevD.1.3247.
• Бордовицын, ВА; Мягкий, АН (2004). "Спин-орбитальное движение и прецессия Томаса в классической и квантовой теориях" (PDF) . American Journal of Physics . 72 (1): 51–52. arXiv : physics/0310016 . Bibcode :2004AmJPh..72...51K. doi :10.1119/1.1615526. S2CID  119533324.
• Rȩbilas, K. (2013). "Комментарий к статье "Элементарный анализ специальной релятивистской комбинации скоростей, вращения Вигнера и прецессии Томаса"". Eur. J. Phys . 34 (3): L55–L61. Bibcode : 2013EJPh...34L..55R. doi : 10.1088/0143-0807/34/3/L55. S2CID  122527454.
• Corben, HC (1993). "Факторы 2 в магнитных моментах, спин-орбитальной связи и прецессии Томаса". Am. J. Phys . 61 (6): 551. Bibcode :1993AmJPh..61..551C. doi :10.1119/1.17207.

Дальнейшее чтение

Релятивистская квантовая механика и теория поля

• Олссон, Т. (2011). Релятивистская квантовая физика: от продвинутой квантовой механики к вводной квантовой теории поля. Cambridge University Press. стр. 10. ISBN 978-1-139-50432-4.
• Aitchison, IJR; Hey, AJG (2002). Калибровочные теории в физике элементарных частиц: от релятивистской квантовой механики к QED. Том 1 (3-е изд.). CRC Press. ISBN 978-0-8493-8775-3.
• Гриффитс, Д. (2008). Введение в элементарные частицы. John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-61847-7.
• Капри, Антон З. (2002). Релятивистская квантовая механика и введение в квантовую теорию поля. World Scientific. Bibcode :2002rqmi.book.....C. ISBN 978-981-238-137-8.
• Wu, Ta-you ; Hwang, WY Pauchy (1991). Релятивистская квантовая механика и квантовые поля. World Scientific. ISBN 978-981-02-0608-6.
• Нагашима, Й. (2010). Физика элементарных частиц, Квантовая теория поля . Том 1. ISBN 978-3-527-40962-4.
• Бьёркен, Дж. Д.; Дрелл, С. Д. (1965). Релятивистские квантовые поля (чистая и прикладная физика) . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-005494-3.
• Вайнберг, С. (1996). Квантовая теория полей . Том 2. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55002-4.
• Вайнберг, С. (2000). Квантовая теория полей . Том 3. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66000-6.
• Гросс, Ф. (2008). Релятивистская квантовая механика и теория поля. John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-61734-0.
• Назаров, Ю.В.; Данон, Дж. (2013). Advanced Quantum Mechanics: A Practical Guide. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76150-5.
• Боголюбов, НН (1989). Общие принципы квантовой теории поля (2-е изд.). Springer. стр. 272. ISBN 978-0-7923-0540-8.
• Mandl, F.; Shaw, G. (2010). Квантовая теория поля (2-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-49683-0.
• Линдгрен, И. (2011). Релятивистская теория многих тел: новый полевой теоретико-технический подход. Серия Springer по атомной, оптической и плазменной физике. Том 63. Springer. ISBN 978-1-4419-8309-1.
• Грант, IP (2007). Релятивистская квантовая теория атомов и молекул. Атомная, оптическая и плазменная физика. Springer. ISBN 978-0-387-34671-7.

Квантовая теория и ее приложения в целом

• Арулдхас, Г.; Раджагопал, П. (2005). Современная физика. PHI Learning Pvt. Ltd. стр. 395. ISBN 978-81-203-2597-5.
• Hummel, RE (2011). Электронные свойства материалов. Springer. стр. 395. ISBN 978-1-4419-8164-6.
• Павия, Д.Л. (2005). Введение в спектроскопию (4-е изд.). Cengage Learning. стр. 105. ISBN 978-0-495-11478-9.
• Мизутани, У. (2001). Введение в электронную теорию металлов. Cambridge University Press. стр. 387. ISBN 978-0-521-58709-9.
• Choppin, GR (2002). Радиохимия и ядерная химия (3-е изд.). Butterworth-Heinemann. стр. 308. ISBN 978-0-7506-7463-8.
• Ситенко, А. Г. (1990). Теория ядерных реакций. World Scientific. стр. 443. ISBN 978-9971-5-0482-3.
• Nolting, W.; Ramakanth, A. (2008). Квантовая теория магнетизма. Springer. ISBN 978-3-540-85416-6.
• Luth, H. (2013). Квантовая физика в наномире. Выпускные тексты по физике. Springer. С. 149. ISBN 978-3-642-31238-0.
• Сэттлер, К. Д. (2010). Справочник по нанофизике: функциональные наноматериалы. CRC Press. С. 40–43. ISBN 978-1-4200-7553-3.
• Кузмани, Х. (2009). Твердотельная спектроскопия. Springer. стр. 256. ISBN 978-3-642-01480-2.
• Рид, Дж. М. (1984). Атомное ядро ​​(2-е изд.). Manchester University Press. ISBN 978-0-7190-0978-5.
• Швердтфегер, П. (2002). Релятивистская электронная теория структуры - основы. Теоретическая и вычислительная химия. Т. 11. Elsevier. С. 208. ISBN 978-0-08-054046-7.
• Пиела, Л. (2006). Идеи квантовой химии. Elsevier. стр. 676. ISBN 978-0-08-046676-7.
• Кумар, М. (2009). Квант (книга) . ISBN 978-1-84831-035-3.

Внешние ссылки

• Пфайфер, В. (2008) [2004]. Релятивистская квантовая механика, введение.
• Лукачевич, Игорь (2013). "Релятивистская квантовая механика (конспект лекций)" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2014-08-26.
• "Релятивистская квантовая механика" (PDF) . Кавендишская лаборатория . Кембриджский университет .
• Миллер, Дэвид Дж. (2008). "Релятивистская квантовая механика" (PDF) . Университет Глазго . Архивировано из оригинала (PDF) 2020-12-19 . Получено 2020-11-17 .
• Свонсон, Д.Г. (2007). «Основы и приложения квантовой механики» . Алабама, США: Taylor & Francis. стр. 160.
• Калверт, Дж. Б. (2003). «Частица электрон и прецессия Томаса».
• Артеха, С. Н. «Вращение и прецессия Томаса».