В геометрии группа точек в четырех измерениях — это группа изометрий в четырех измерениях, оставляющая начало координат фиксированным, или, соответственно, группа изометрий трехмерной сферы .
Существует четыре основные изометрии четырехмерной точечной симметрии : симметрия отражения , симметрия вращения , симметрия ротора и двойное вращение .
Группы точек в этой статье даны в нотации Кокстера , которые основаны на группах Кокстера , с разметкой для расширенных групп и подгрупп. [6] Обозначение Кокстера имеет прямое соответствие диаграмме Кокстера, например [3,3,3], [4,3,3], [3 1,1,1 ], [3,4,3], [5,3] ,3] и [p,2,q]. Эти группы связали 3-сферу в идентичные гиперсферические тетраэдрические домены. Количество доменов соответствует порядку группы. Число зеркал для неприводимой группы равно nh/2 , где h — число Кокстера группы Кокстера , n — размерность (4). [7]
Для перекрестных ссылок здесь также приведены обозначения Патрика Дю Валя (1964) [8] и Джона Конвея (2003), основанные на кватернионах . [9] Обозначения Конвея позволяют вычислять порядок группы как произведение элементов с порядками киральных многогранных групп: (T=12, O=24, I=60). В обозначениях Конвея префикс (±) подразумевает центральную инверсию , а суффикс (.2) подразумевает зеркальную симметрию. Точно так же в обозначениях Дю Валя есть верхний индекс звездочки (*), обозначающий зеркальную симметрию.
Существует пять инволюционных групп: отсутствие симметрии [ ] + , симметрия отражения [ ], 2-кратная вращательная симметрия [2] + , 2-кратное роторное отражение [2 + ,2 + ] и симметрия центральной точки [2 + ,2 + , 2 + ] как 2-кратный двойной поворот .
Полихорическая группа — одна из пяти групп симметрии 4-мерных правильных многогранников . Существуют также три многогранные призматические группы и бесконечное множество дуопризматических групп. Каждая группа определяется фундаментальной областью тетраэдра Гурса, ограниченной зеркальными плоскостями. Двугранные углы между зеркалами определяют порядок двугранной симметрии . Диаграмма Коксетера -Дынкина представляет собой граф, узлы которого представляют зеркальные плоскости, а ребра называются ветвями и помечены порядком двугранных углов между зеркалами.
Термин полихорон (множественное число полихора , прилагательное полихорик ) происходит от греческих корней поли («много») и хорос («комната» или «пространство») и был предложен [10] Норманом Джонсоном и Джорджем Ольшевским в контексте однородной полихоры. (4-многогранники) и связанные с ними 4-мерные группы симметрии. [11]
Группы Кокстера 4-го ранга позволяют набору из 4 зеркал охватывать 4-пространство и делят 3-сферу на тетраэдрические фундаментальные области. Группы Кокстера более низкого ранга могут ограничивать только фундаментальные области осоэдра или гомотопа на 3-сфере.
Как и трехмерные многогранные группы , имена данных четырехмерных полихорических групп состоят из греческих префиксов количества ячеек соответствующих правильных многогранников с треугольными гранями. [12] Расширенные симметрии существуют в однородной полихоре с симметричными кольцевыми узорами внутри конструкции диаграммы Коксетера . Киральные симметрии существуют в чередующейся однородной полихоре.
Только неприводимые группы имеют числа Кокстера, но дуопризматические группы [p,2,p] можно удвоить до p,2,p, добавив 2-кратное вращение к фундаментальной области, и это дает эффективное число Кокстера 2 p , для например, группа [4,2,4] и ее полная симметрия B 4 , [4,3,3] с числом Кокстера 8.
Порядок симметрии равен числу ячеек правильного полихорона, умноженному на симметрию его ячеек. Всеусеченная двойная полихора имеет клетки, соответствующие фундаментальным областям группы симметрии.
Прямые подгруппы отражающих 4-мерных точечных групп:
), порядок 120, (Дю Вал #51' (I † /C 1 ;I/C 1 ) †* , Конвей + 1/60 [ I×I].2 1 ), названный в честь 5-клеточного (пентахорона ) , заданная кольцевой диаграммой Кокстера 
. Ее также иногда называют гипертетраэдрической группой для расширения тетраэдрической группы [3,3]. В этой группе 10 зеркальных гиперплоскостей. Она изоморфна абстрактной симметрической группе S 5 .
), порядок 240, (Дю Валя #51 (I †* /C 2 ;I/C 2 ) †* , Конвей ± 1/60 [ I× I ] .2 ). Она изоморфна прямому произведению абстрактных групп: S 5 ×C 2 .
), порядок 120, (Дю Валя №32 (I † /C 2 ;I/C 2 ) † , Конвея ± 1/60 [Ix I ] ) . Данная группа представляет собой конструкцию omnisnub 5-cell ,
, хотя сделать его единым невозможно. Она изоморфна прямому произведению абстрактных групп: A 5 ×C 2 .
), порядок 60, (Дю Валя #32' (I † / C 1 ;I/C 1 ) † , Конвея + 1/60 [I× I ]). Она изоморфна абстрактной знакопеременной группе A 5 . 
), порядок 384, (Дю Вал № 47 (O/V;O/V) * , Конвей ± 1/6 [ O×O].2), назван в честь 16 -клеточного (гексадекахорон),. В этой группе 16 зеркальных гиперплоскостей, которые можно идентифицировать в 2 ортогональных множества: 12 из подгруппы [3 1,1,1 ] и 4 из подгруппы [2,2,2]. Ее также называют гипероктаэдрической группой для расширения трехмерной октаэдрической группы [4,3] и тессерактической группой для тессеракта ..), порядок 192, (Дю Валя № 27 (O/V;O/V), Конвей ± 1/6 [ O ×O]). Эта группа представляет собой конструкцию омниснубового тессеракта ,
, хотя сделать его единым невозможно.), порядок 192, (Дю Валя #41 (T/V;T/V) * , Конвея ± 1/3 [ T × T].2) . Эта группа приводит к курносой 24-клеточной конструкции.
"="
), порядок 192 и такой же, как #demitessractic симметрия: [3 1,1,1 ]. Эта группа выражается в чередующейся конструкции тессеракта из 16 ячеек ."="
."="), порядка 96, то же, что киральная демитэссерактическая группа [3 1,1,1 ] + , а также является коммутантом группы [4,3,3].
), порядок 96, индекс подгруппы 4, (Дю Вал #44 (O/C 2 ;O/C 2 ) * , Конвей ± 1/24 [ O×O].2) . Усеченная кубическая призма имеет симметрию с диаграммой Коксетера.а кубическая призма представляет собой конструкцию тессеракта с более низкой симметрией , так как.
), порядок 48, (Дю Валя #26 (O/C 2 ; O/C 2 ) , Конвея ± 1/24 [ O×O]). Примером может служить курносая кубическая антипризма ., хотя сделать его единым невозможно.), порядок 48, (Дю Вал #44b' (O/C 1 ;O/C 1 ) − * , Конвей + 1/24 [O×O] .2 1 ) . Плосконосая кубическая призма имеет симметрию с диаграммой Кокстера..
), порядок 24, (Дю Вал #44' (T/C 2 ;T/C 2 ) − * , Конвей + 1/12 [T×T].2 1 ) .), порядок 48, (Дю Валя #39 (T/C 2 ;T/C 2 ) c * , Конвея ± 1/12 [T×T].2 ) ."="), порядок 24, (Дю Вал #44" (T/C 2 ; T/C 2 ) * , Конвей + 1/12 [ T × T ] .2 3 ). Это 3D пиритоэдрическая группа , [4,3 + ].), порядок 24, (Дю Валя #21 (Т/С 2 ; Т/С 2 ) , Конвея ± 1/12 [Т×Т]) .), порядок 48, (Дю Валя #39' (T/C 2 ;T/C 2 ) − * , Конвея ± 1/12 [ T× T ].2) .), порядок 48, (Дю Вал #40b' (O/C 1 ;O/C 1 ) − * , Конвей + 1/24 [O× O ].2 1 ) ."="), порядок 48 (Дю Вал #44b" (O/C 1 ;O/C 1 ) c * , Конвей + 1/24 [O×O].2 3 ) . Это называется октаэдрической пирамидальной группой и представляет собой трехмерную октаэдрическую группу . симметрия , [4,3]. Кубическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли : ( ) ∨ {4,3}.
, октаэдрическая пирамидальная группа изоморфна 3d- октаэдрической симметрии"="), порядок 24 (Дю Вал #26b' (O/C 1 ; O /C 1 ) , Конвей + 1/24 [O×O]). Это 3D киральная октаэдрическая группа , [4,3] + . Плосконосая кубическая пирамида может иметь такую симметрию с символом Шлефли: ( ) ∨ sr{4,3}.), порядок 48, индекс подгруппы 8, (Дю Вал #40b" (O/C 1 ;O/C 1 ) * , Конвей + 1/24 [ O× O ].2 3 ) .), порядок 24, (Дю Вал #26b" (O/C 1 ; O /C 1 ) , Конвей + 1/24 [O× O ]). Примером является курносая тетраэдрическая антипризма ,, хотя сделать его единым невозможно.), порядок 24, (Дю Вал #39b' (T/C 1 ; T/C 1 ) c * , Конвей + 1/12 [T× T ].2 3 ). Примером может служить курносая тетраэдрическая призма .."="), порядок 24, (Дю Вал #39b" (T/C 1 ; T/C 1 ) − * , Конвей + 1/12 [ T× T ].2 1 ). Она называется тетраэдрической пирамидальной группой и представляет собой Трехмерная тетраэдрическая группа , [3,3]. Правильная тетраэдрическая пирамида может иметь такую симметрию с символом Шлефли: ( ) ∨ {3,3}.
, тетраэдрическая пирамидальная группа изоморфна 3d- тетраэдрической симметрии"="), порядок 12, (Дю Валя #21b' (T/C 1 ; T/C 1 ) , Конвея + 1/12 [T×T]). Это 3D- хиральная тетраэдрическая группа , [3,3] + . Такую симметрию может иметь курносая тетраэдрическая пирамида с символом Шлефли: ( ) ∨ sr{3,3}.), порядок 16. Остальные — [4,2,4] (), [4,2,2] (), с индексами подгрупп 6 и 12, порядка 64 и 32. Эти группы являются нижними симметриями тессеракта : (), (), и (). Эти группы обладают #дуопризматической симметрией.), порядок 1152, (Дю Вал № 45 (O/T;O/T) * , Конвей ± 1/2 [ OxO].2), назван в честь 24 -клеточного (икозитрахорон),. В этой симметрии имеется 24 зеркальные плоскости, которые можно разложить на два ортогональных набора по 12 зеркал в подгруппах демитэссерактической симметрии [3 1,1,1 ], как [3 * ,4,3] и [3,4,3 * ], как подгруппы индекса 6.
) имеет порядок 2304, (Дю Валя #48 (O/O;O/O) * , Конвей ±[O×O].2).) имеет порядок 1152 (Дю Валя #25 (O/O;O/O), Конвей ±[OxO]). Эта группа представляет собой конструкцию omnisnub из 24 ячеек ,, хотя сделать его единым невозможно.или), имеют порядок 576, (Дю Валя #43 (T/T;T/T) * , Конвей ±[T×T].2). Эта группа приводит к курносой 24-клеточной конструкцииили.), порядок 288, (Дю Валя #20 (T/T;T/T), Конвей ±[T×T]) — коммутант группы [3,4,3].
) порядок 576, (Дю Вал № 23 (T/T;O/O), Конвей ±[OxT]).), порядок 576, (Дю Валя #28 (O/T;O/T), Конвей ± 1/2 [ O×O]) .
"="), порядок 192, (Дю Валя № 42 (T/V;T/V) − * , Конвея ± 1/3 [ T× T ].2), названный в честь (демитесеракта) 4-демикубической конструкции 16- клетка,или. В этой группе симметрии 12 зеркал."="), порядок 96, (Дю Валя #22 (T/V;T/V), Конвея ± 1/3 [ T ×T]). Эта группа приводит к курносой 24-клеточной конструкции"=".
), порядок 14400, (Дю Вал #50 (I/I;I/I) * , Конвей ±[I×I].2), названный в честь 600-клеточного (гексакосихорона),. Ее также иногда называют гипер-икосаэдрической группой из-за расширения трехмерной икосаэдрической группы [5,3] и гекатоникосахорной группой или додекаконтахорной группой из 120-клеточной группы ..), порядок 7200, (Дю Валя #30 (I/I;I/I), Конвей ±[I×I]). Эта группа представляет собой курносую 120-ячеечную конструкцию ,, хотя сделать его единым невозможно.), порядок 240, индекс подгруппы 60, (Дю Вал #49 (I/C 2 ;I/C 2 ) * , Конвей ± 1/60 [ IxI].2) .), порядок 120, (Дю Валя #31 (I/C 2 ; I/C 2 ) , Конвея ± 1/60 [IxI]) . Эта группа представляет собой конструкцию курносой додекаэдрической антипризмы ., хотя его нельзя сделать однородным.), порядок 120, (Дю Вал #49' (I/C 1 ;I/C 1 ) * , Конвей + 1/60 [IxI] .2 1 ) . Эта группа представляет собой конструкцию курносой додекаэдрической призмы ,."="), порядок 120, (Дю Валя #49" (I/C 1 ;I/C 1 ) − * , Конвей + 1/60 [IxI].2 3 ). Это называется икосаэдрической пирамидальной группой и представляет собой 3D икосаэдрическую группу . группа , [5,3]. Правильная додекаэдрическая пирамида может иметь такую симметрию с символом Шлефли : ( ) ∨ {5,3}."="), порядок 60, (Дю Валь #31' (I/C 1 ;I/C 1 ) , Конвей + 1/60 [IxI]) . Это 3D киральная группа икосаэдра , [5,3] + . Плоско -додекаэдральная пирамида может иметь такую симметрию с символом Шлефли : ( ) ∨ sr{5,3}.
), порядка 4 pq , существуют для всех 2 ⩽ p , q < ∞. В этой симметрии существуют зеркала p + q, которые тривиально разлагаются на два ортогональных набора зеркал p и q двугранной симметрии : [p] и [q].), заказывайте 2 шт . Его можно удвоить как [[2p,2,2p] + ].), симметрию можно удвоить как [[p,2,p]], (
).), [[2p,2 + ,2p]], [[2p + ,2 + ,2p + ]].
), он представляет собой группы линий в трехмерном пространстве,) он представляет собой симметрию евклидовой плоскости с двумя наборами параллельных зеркал и прямоугольной областью ( орбифолд *2222).), [p,2,q + ], (), [p + ,2,q + ], ().), [2p,2 + ,2q + ], (), [(p,2) + ,2q], (), [2p,(2,q) + ], (), [(p,2) + ,2q + ], (), [2p + ,(2,q) + ], (), [2p + ,2 + ,2q + ], (), и подгруппа коммунляторов, индекс 16, [2p + ,2 + ,2q + ] + , ().), порядок 16.), порядок 8.), порядок 32. Дуопризма 4-4 имеет расширенную симметрию,.или.), порядок 2. Это 2-кратное двойное вращение и 4D центральная инверсия ., заказ 36..или
., заказ 64..или
.или.,,,) заказ 16.), порядок 8.), [4,2,4,1 + ]=[4,2,2], (), заказ 32.), [4,2,4,1 + ] + =[4,2,2] + , (), порядок 16.), порядок 16.) заказать 8Это краткое изложение 4-мерных точечных групп в обозначениях Кокстера . Из них 227 являются кристаллографическими точечными группами (при определенных значениях p и q). [14] [ какой? ] (nc) приведен для некристаллографических групп. Какая-то кристаллографическая группа [ какая? ] их заказы индексируются (order.index) по их абстрактной групповой структуре. [15]