Законы движения Ньютона

Законы физики о силе и движении

Законы движения Ньютона — это три физических закона , описывающих связь между движением объекта и силами, действующими на него. Эти законы, составляющие основу ньютоновской механики , можно перефразировать следующим образом:

1. Тело остается в покое или движется с постоянной скоростью по прямой линии, за исключением случаев, когда на него действует сила.
2. В любой момент времени результирующая сила, действующая на тело, равна ускорению тела, умноженному на его массу, или, что то же самое, скорости изменения импульса тела со временем.
3. Если два тела оказывают друг на друга силы, эти силы имеют одинаковую величину, но противоположные направления. ^{[1] [2]}

Три закона движения были впервые сформулированы Исааком Ньютоном в его Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ( Математические начала натуральной философии ), первоначально опубликованном в 1687 году. ^[3] Ньютон использовал их для исследования и объяснения движения многих физических объектов и систем. Со времени Ньютона новые идеи, особенно вокруг концепции энергии, построили область классической механики на его основе. Также были обнаружены ограничения законов Ньютона; новые теории необходимы, когда объекты движутся с очень высокой скоростью ( специальная теория относительности ), очень массивны ( общая теория относительности ) или очень малы ( квантовая механика ).

Предпосылки

Законы Ньютона часто формулируются в терминах точечных или частицевых масс, то есть тел, объем которых пренебрежимо мал. Это разумное приближение для реальных тел, когда движением внутренних частей можно пренебречь, и когда расстояние между телами намного больше размера каждого из них. Например, Землю и Солнце можно аппроксимировать как точечные, рассматривая орбиту первой вокруг второго, но Земля не является точечной, если рассматривать деятельность на ее поверхности. ^{[примечание 1]}

Математическое описание движения, или кинематика , основано на идее указания положений с помощью числовых координат. Движение представлено этими числами, изменяющимися со временем: траектория тела представлена ​​функцией, которая присваивает каждому значению переменной времени значения всех координат положения. Простейший случай — одномерный, то есть когда тело ограничено движением только по прямой линии. Тогда его положение может быть задано одним числом, указывающим, где оно находится относительно некоторой выбранной точки отсчета. Например, тело может свободно скользить по траектории, которая идет слева направо, и поэтому его местоположение может быть указано его расстоянием от удобной нулевой точки или начала координат , причем отрицательные числа указывают положения слева, а положительные — положения справа. Если местоположение тела как функция времени равно , то его средняя скорость за временной интервал от до равна ^[6] Здесь греческая буква ( дельта ) используется, по традиции, для обозначения «изменения в». Положительная средняя скорость означает, что координата положения увеличивается в течение рассматриваемого интервала, отрицательная средняя скорость указывает на чистое уменьшение в течение этого интервала, а средняя скорость, равная нулю, означает, что тело заканчивает временной интервал в том же месте, в котором оно началось. Исчисление дает средства для определения мгновенной скорости, меры скорости и направления движения тела в отдельный момент времени, а не в течение интервала. Одним из обозначений мгновенной скорости является замена на символ , например, Это означает, что мгновенная скорость является производной положения по времени. Ее можно грубо рассматривать как отношение между бесконечно малым изменением положения к бесконечно малому интервалу времени, в течение которого оно происходит. ^[7] Более точно, скорость и все другие производные можно определить с помощью концепции предела . [ ^6] Функция имеет предел при заданном входном значении , если разность между и может быть сделана произвольно малой, выбрав входное значение достаточно близко к . Один пишет: Мгновенная скорость может быть определена как предел средней скорости, когда временной интервал сокращается до нуля: Ускорение относится к скорости так же, как скорость относится к положению: это производная скорости по времени. ^{[примечание 2]} Ускорение также может быть определено как предел: Следовательно, ускорение является ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}.}$$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}.}$$ ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t_{0}}$ $${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(t)=L.}$$ $${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}.}$$ $${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}}.}$$вторая производная позиции, ^[7] часто пишется . ${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}}$

Положение, рассматриваемое как смещение от исходной точки, является вектором : величиной, имеющей как величину, так и направление. ^{[9] : 1} Скорость и ускорение также являются векторными величинами. Математические инструменты векторной алгебры предоставляют средства для описания движения в двух, трех или более измерениях. Векторы часто обозначаются стрелкой, как в , или жирным шрифтом, например . Часто векторы представляются визуально в виде стрелок, причем направление вектора является направлением стрелки, а величина вектора указывается длиной стрелки. Численно вектор может быть представлен в виде списка; например, вектор скорости тела может быть , указывая, что оно движется со скоростью 3 метра в секунду вдоль горизонтальной оси и 4 метра в секунду вдоль вертикальной оси. То же движение, описанное в другой системе координат, будет представлено другими числами, и векторная алгебра может использоваться для перевода между этими альтернативами. ^{[9] : 4} ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle {\bf {s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathrm {3~m/s} ,\mathrm {4~m/s} )}$

Изучение механики осложняется тем, что такие общеупотребительные слова, как энергия, используются в техническом значении. ^[10] Более того, слова, которые являются синонимами в повседневной речи, не являются таковыми в физике: сила — это не то же самое, что мощность или давление , например, а масса имеет иное значение, чем вес . ^{[11] [12] : 150} Физическое понятие силы делает количественной повседневную идею толчка или тяги. Силы в ньютоновской механике часто возникают из-за струн и веревок, трения, мышечных усилий, гравитации и т. д. Подобно смещению, скорости и ускорению, сила является векторной величиной.

Законы

Первый закон

Искусственные спутники движутся по искривленным орбитам , а не по прямым линиям из-за силы притяжения Земли .

В переводе с латыни первый закон Ньютона звучит так:

Каждый объект сохраняет свое состояние покоя или равномерного движения по прямой линии, за исключением случаев, когда он вынужден изменить это состояние под действием приложенных к нему сил. ^{[примечание 3]}

Первый закон Ньютона выражает принцип инерции : естественное поведение тела — двигаться по прямой с постоянной скоростью. Движение тела сохраняет статус-кво, но внешние силы могут его нарушить.

Современное понимание первого закона Ньютона заключается в том, что ни один инерциальный наблюдатель не имеет привилегий перед любым другим. Концепция инерциального наблюдателя делает количественной повседневную идею отсутствия ощущения эффектов движения. Например, человек, стоящий на земле и наблюдающий за проходящим поездом, является инерциальным наблюдателем. Если наблюдатель на земле видит, что поезд движется плавно по прямой линии с постоянной скоростью, то пассажир, сидящий в поезде, также будет инерциальным наблюдателем: пассажир поезда не чувствует движения. Принцип, выраженный первым законом Ньютона, заключается в том, что нет способа сказать, какой инерциальный наблюдатель «действительно» движется, а какой «действительно» стоит на месте. Состояние покоя одного наблюдателя является состоянием равномерного движения другого наблюдателя по прямой линии, и никакой эксперимент не может считать ни одну из точек зрения правильной или неправильной. Не существует абсолютного стандарта покоя. ^{[17] [14] : 62–63  [18] : 7–9} Сам Ньютон считал, что абсолютное пространство и время существуют, но что единственные меры пространства или времени, доступные эксперименту, являются относительными. ^[19]

Второй закон

Изменение движения объекта пропорционально приложенной силе и происходит в направлении прямой линии, по которой приложена сила. ^{[14] : 114}

Под «движением» Ньютон подразумевал величину, которая теперь называется импульсом , которая зависит от количества материи, содержащейся в теле, скорости, с которой движется это тело, и направления, в котором оно движется. ^[20] В современных обозначениях импульс тела является произведением его массы и скорости: где все три величины могут изменяться со временем. Второй закон Ньютона в современной форме гласит, что производная импульса по времени является силой: Если масса не изменяется со временем, то производная действует только на скорость, и поэтому сила равна произведению массы на производную скорости по времени, которая является ускорением: ^[21] Поскольку ускорение является второй производной положения по времени, это также можно записать $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,,}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.}$$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m\mathbf {a} \,.}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {d^{2}\mathbf {s} }{dt^{2}}}.}$$

Диаграмма свободного тела для бруска на наклонной плоскости, иллюстрирующая нормальную силу, перпендикулярную плоскости ( N ), направленную вниз силу тяжести ( mg ) и силу f вдоль направления плоскости, которая может быть приложена, например, посредством трения или струны.

Силы, действующие на тело, складываются как векторы , и поэтому общая сила, действующая на тело, зависит как от величины, так и от направления отдельных сил. Когда результирующая сила, действующая на тело, равна нулю, то по второму закону Ньютона тело не ускоряется, и говорят, что оно находится в механическом равновесии . Состояние механического равновесия устойчиво , если при небольшом изменении положения тела тело остается вблизи этого равновесия. В противном случае равновесие неустойчиво.

Распространенным визуальным представлением сил, действующих совместно, является диаграмма свободного тела , которая схематически изображает интересующее тело и силы, приложенные к нему внешними воздействиями. ^[22] Например, диаграмма свободного тела блока, лежащего на наклонной плоскости, может иллюстрировать комбинацию силы тяжести, «нормальной» силы , трения и натяжения струны. ^{[примечание 4]}

Второй закон Ньютона иногда представляется как определение силы, т. е. сила — это то, что существует, когда инерциальный наблюдатель видит ускоряющееся тело. Для того, чтобы это было больше, чем тавтология — ускорение подразумевает силу, сила подразумевает ускорение — должно быть сделано иное утверждение о силе. Например, может быть указано уравнение, описывающее силу, как закон всемирного тяготения Ньютона . Вставив такое выражение для во второй закон Ньютона, можно записать уравнение с предсказательной силой. ^{[примечание 5]} Второй закон Ньютона также рассматривался как изложение исследовательской программы для физики, устанавливающей, что важными целями предмета являются идентификация сил, присутствующих в природе, и каталогизация составных частей материи. ^{[14] : 134  [25] : 12-2} ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Третий закон

Каждому действию всегда противостоит равное противодействие; или взаимные действия двух тел друг на друга всегда равны и направлены в противоположные стороны. ^{[14] : 116}

Ракеты работают, создавая мощную реактивную силу, направленную вниз с помощью ракетных двигателей . Это толкает ракету вверх, независимо от земли или атмосферы .

Слишком краткие пересказы третьего закона, вроде «действие равно противодействию », могли бы вызвать путаницу среди поколений студентов: «действие» и «реакция» применяются к разным телам. Например, представьте себе книгу, покоящуюся на столе. Гравитация Земли тянет книгу вниз. «Реакция» на это «действие» — это не сила поддержки стола, удерживающего книгу, а гравитационное притяжение книги, действующее на Землю. ^{[примечание 6]}

Третий закон Ньютона относится к более фундаментальному принципу, сохранению импульса . Последний остается верным даже в случаях, когда утверждение Ньютона не выполняется, например, когда силовые поля , а также материальные тела несут импульс, и когда импульс правильно определен, в квантовой механике также. ^{[примечание 7]} В ньютоновской механике, если два тела имеют импульсы и соответственно, то полный импульс пары равен , а скорость изменения равна Согласно второму закону Ньютона, первый член является полной силой, действующей на первое тело, а второй член является полной силой, действующей на второе тело. Если два тела изолированы от внешних воздействий, единственной силой, действующей на первое тело, может быть сила со стороны второго, и наоборот. Согласно третьему закону Ньютона, эти силы имеют одинаковую величину, но противоположное направление, поэтому они сокращаются при сложении, и является постоянным. С другой стороны, если известно, что является постоянным, то следует, что силы имеют одинаковую величину и противоположное направление. ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}+{\frac {d\mathbf {p} _{2}}{dt}}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Кандидаты на дополнительные законы

Различные источники предлагали возвести другие идеи, используемые в классической механике, в статус законов Ньютона. Например, в ньютоновской механике общая масса тела, полученного путем объединения двух меньших тел, является суммой их индивидуальных масс. Фрэнк Вильчек предложил привлечь внимание к этому предположению, назвав его «Нулевым законом Ньютона». ^[33] Другим кандидатом на «нулевой закон» является тот факт, что в любой момент тело реагирует на силы, приложенные к нему в этот момент. ^[34] Аналогично, идея о том, что силы складываются подобными векторами (или, другими словами, подчиняются принципу суперпозиции ), и идея о том, что силы изменяют энергию тела, были описаны как «четвертый закон». ^{[примечание 8]}

Примеры

Изучение поведения массивных тел с использованием законов Ньютона известно как ньютоновская механика. Некоторые примеры задач в ньютоновской механике особенно примечательны по концептуальным или историческим причинам.

Равномерно ускоренное движение

Прыгающий мяч, сфотографированный со скоростью 25 кадров в секунду с использованием стробоскопической вспышки . Между отскоками высота мяча как функция времени близка к параболе , отклоняясь от параболической дуги из-за сопротивления воздуха, вращения и деформации в несферическую форму при ударе.

Если тело падает из состояния покоя вблизи поверхности Земли, то при отсутствии сопротивления воздуха оно будет ускоряться с постоянной скоростью. Это известно как свободное падение . Скорость, достигаемая при свободном падении, пропорциональна прошедшему времени, а пройденное расстояние пропорционально квадрату прошедшего времени. ^[39] Важно отметить, что ускорение одинаково для всех тел, независимо от их массы. Это следует из объединения второго закона движения Ньютона с его законом всемирного тяготения . Последний гласит, что величина силы тяготения со стороны Земли на тело равна где - масса падающего тела, - масса Земли, - постоянная Ньютона, а - расстояние от центра Земли до местоположения тела, которое очень близко к радиусу Земли. Приравнивая это к , масса тела сокращается с обеих сторон уравнения, оставляя ускорение, которое зависит от , и , и может быть принято постоянным. Это конкретное значение ускорения обычно обозначается : $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}},}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle ma}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}\approx \mathrm {9.8~m/s^{2}} .}$$

Если тело не высвобождается из состояния покоя, а вместо этого запускается вверх и/или горизонтально с ненулевой скоростью, то свободное падение становится движением снаряда . ^[40] Когда сопротивлением воздуха можно пренебречь, снаряды следуют по параболообразным траекториям, поскольку гравитация влияет на вертикальное движение тела, а не на горизонтальное. На пике траектории снаряда его вертикальная скорость равна нулю, но его ускорение направлено вниз, как и всегда. Установка неправильного вектора, равного нулю, является распространенной путаницей среди студентов-физиков. ^[41] ${\displaystyle g}$

Равномерное круговое движение

Два объекта, равномерно движущиеся по окружности и вращающиеся вокруг барицентра (центра масс обоих объектов)

Когда тело находится в равномерном круговом движении, действующая на него сила изменяет направление его движения, но не его скорость. Для тела, движущегося по окружности радиуса с постоянной скоростью , его ускорение имеет величину и направлено к центру окружности. ^{[примечание 9]} Сила, необходимая для поддержания этого ускорения, называемая центростремительной силой , поэтому также направлена ​​к центру окружности и имеет величину . Многие орбиты , такие как орбита Луны вокруг Земли, могут быть аппроксимированы равномерным круговым движением. В таких случаях центростремительная сила является силой тяжести и по закону всемирного тяготения Ньютона имеет величину , где - масса большего тела, вращающегося по орбите. Следовательно, массу тела можно вычислить из наблюдений за другим телом, вращающимся вокруг него. ^{[43] : 130} ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$$ ${\displaystyle mv^{2}/r}$ ${\displaystyle GMm/r^{2}}$ ${\displaystyle M}$

Пушечное ядро ​​Ньютона — это мысленный эксперимент , который интерполирует между движением снаряда и равномерным круговым движением. Пушечное ядро, которое слабо брошено с края высокой скалы, упадет на землю за то же время, как если бы оно было сброшено из состояния покоя, потому что сила тяжести влияет только на импульс пушечного ядра в направлении вниз, и ее эффект не уменьшается горизонтальным движением. Если пушечное ядро ​​запущено с большей начальной горизонтальной скоростью, то оно пролетит большее расстояние, прежде чем ударится о землю, но все равно упадет на землю за то же время. Однако, если пушечное ядро ​​запущено с еще большей начальной скоростью, то кривизна Земли становится значительной: сама земля будет изгибаться в сторону от падающего пушечного ядра. Очень быстрое пушечное ядро ​​будет падать с инерциальной прямолинейной траектории с той же скоростью, с которой Земля изгибается под ним; другими словами, оно будет находиться на орбите (представляя, что его не замедляют сопротивление воздуха или препятствия). ^[44]

Гармоническое движение

Недемпфированная система пружина-масса совершает простое гармоническое движение.

Рассмотрим тело массы, способное двигаться вдоль оси, и предположим, что точка равновесия существует в положении . То есть, при , результирующая сила, действующая на тело, является нулевым вектором, и по второму закону Ньютона тело не будет ускоряться. Если сила, действующая на тело, пропорциональна смещению от точки равновесия и направлена ​​к точке равновесия, то тело будет совершать простое гармоническое движение . Записав силу как , второй закон Ньютона становится Это дифференциальное уравнение имеет решение , где частота равна , а константы и можно вычислить, зная, например, положение и скорость тела в данный момент времени, например . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle F=-kx}$ $${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx\,.}$$ $${\displaystyle x(t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t\,}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\sqrt {k/m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle t=0}$

Одна из причин, по которой гармонический осциллятор является концептуально важным примером, заключается в том, что он является хорошим приближением для многих систем вблизи устойчивого механического равновесия. ^{[примечание 10]} Например, маятник имеет устойчивое равновесие в вертикальном положении: если он неподвижен, он останется там, а если его слегка подтолкнуть, он будет качаться вперед и назад. Пренебрегая сопротивлением воздуха и трением в точке опоры, сила, действующая на маятник, — это гравитация, и второй закон Ньютона становится таким: где — длина маятника, — его угол от вертикали. Когда угол мал, синус почти равен ( см. ряд Тейлора ), и поэтому это выражение упрощается до уравнения для простого гармонического осциллятора с частотой . $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{L}}\sin \theta ,}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \omega ={\sqrt {g/L}}}$

Гармонический осциллятор может быть демпфирован, часто трением или вязким сопротивлением, в этом случае энергия вытекает из осциллятора, и амплитуда колебаний уменьшается со временем. Также гармонический осциллятор может приводиться в движение приложенной силой, что может привести к явлению резонанса . ^[46]

Объекты с переменной массой

Ракеты, такие как шаттл Atlantis , толкают материю в одном направлении, чтобы толкать корабль в другом. Это означает, что толкаемая масса, ракета и ее оставшийся на борту запас топлива, постоянно меняется.

Ньютоновская физика рассматривает материю как нечто, не созданное и не уничтоженное, хотя она может быть перестроена. Может быть так, что интересующий объект приобретает или теряет массу, потому что к нему добавляется или удаляется материя. В такой ситуации законы Ньютона можно применять к отдельным частям материи, отслеживая, какие части принадлежат интересующему объекту с течением времени. Например, если ракета массой , движущаяся со скоростью , выбрасывает материю со скоростью относительно ракеты, то где находится чистая внешняя сила (например, гравитационное притяжение планеты). ^{[23] : 139} ${\displaystyle M(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ $${\displaystyle \mathbf {F} =M{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}-\mathbf {u} {\frac {dM}{dt}}\,}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Работа и энергия

Физики разработали концепцию энергии после времен Ньютона, но она стала неотъемлемой частью того, что считается «ньютоновской» физикой. Энергию можно в целом разделить на кинетическую , обусловленную движением тела, и потенциальную , обусловленную положением тела относительно других. Тепловая энергия , энергия, переносимая тепловым потоком, является типом кинетической энергии, не связанной с макроскопическим движением объектов, а вместо этого с движением атомов и молекул, из которых они состоят. Согласно теореме о работе-энергии , когда сила действует на тело, пока это тело движется вдоль линии действия силы, сила совершает работу над телом, и количество выполненной работы равно изменению кинетической энергии тела. ^{[примечание 11]} Во многих представляющих интерес случаях чистая работа, выполненная силой, когда тело движется по замкнутому контуру — начиная с точки, двигаясь по некоторой траектории и возвращаясь в исходную точку — равна нулю. Если это так, то силу можно записать в терминах градиента функции , называемой скалярным потенциалом : ^{[42] : 303} Это верно для многих сил, включая силу тяжести, но не для трения; действительно, почти любая задача в учебнике по механике, не включающая трение, может быть выражена таким образом. ^{[45] : 19} Тот факт, что силу можно записать таким образом, можно понять из закона сохранения энергии . Без трения, рассеивающего энергию тела в тепло, энергия тела будет обмениваться между потенциальной и (нетепловой) кинетической формами, в то время как общее количество останется постоянным. Любое увеличение кинетической энергии, которое происходит, когда чистая сила, действующая на тело, ускоряет его до более высокой скорости, должно сопровождаться потерей потенциальной энергии. Таким образом, чистая сила, действующая на тело, определяется тем, каким образом уменьшается потенциальная энергия. $${\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } U\,.}$$

Движение и вращение твердого тела

Твердое тело — это объект, размер которого слишком велик, чтобы им пренебречь, и который сохраняет ту же форму с течением времени. В ньютоновской механике движение твердого тела часто понимается путем разделения его на движение центра масс тела и движение вокруг центра масс.

Центр масс

Общий центр масс вилок , пробки и зубочистки находится на кончике ручки.

Значимые аспекты движения протяженного тела можно понять, представив массу этого тела, сосредоточенную в одной точке, известной как центр масс. Местоположение центра масс тела зависит от того, как распределен материал этого тела. Для набора точечных объектов с массами в положениях центр масс находится в точке , где — общая масса набора. При отсутствии чистой внешней силы центр масс движется с постоянной скоростью по прямой линии. Это применимо, например, к столкновению двух тел. ^[49] Если общая внешняя сила не равна нулю, то центр масс изменяет скорость, как если бы он был точечным телом массы . Это следует из того факта, что внутренние силы внутри набора, силы, которые объекты оказывают друг на друга, возникают в сбалансированных парах по третьему закону Ньютона. В системе из двух тел, одно из которых намного массивнее другого, центр масс будет приблизительно совпадать с местоположением более массивного тела. ^{[18] : 22–24} ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{N}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}}$ $${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}},}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Вращательные аналоги законов Ньютона

Когда законы Ньютона применяются к вращающимся протяженным телам, они приводят к новым величинам, которые аналогичны тем, которые использовались в исходных законах. Аналогом массы является момент инерции , аналогом импульса является угловой момент , а аналогом силы является крутящий момент .

Угловой момент вычисляется относительно опорной точки. ^[50] Если вектор смещения от опорной точки до тела равен и тело имеет импульс , то угловой момент тела относительно этой точки равен, используя векторное векторное произведение , Взятие производной по времени от углового момента дает Первый член обращается в нуль, поскольку и направлены в одном направлении. Оставшийся член — это крутящий момент, Когда крутящий момент равен нулю, угловой момент постоянен, так же как когда сила равна нулю, импульс постоянен. ^{[18] : 14–15} Крутящий момент может исчезнуть, даже если сила не равна нулю, если тело расположено в опорной точке ( ) или если сила и вектор смещения направлены вдоль одной линии. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}$$ $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle m\mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Угловой момент совокупности точечных масс и, таким образом, протяженного тела находится путем сложения вкладов каждой из точек. Это дает возможность охарактеризовать вращение тела вокруг оси путем сложения угловых моментов его отдельных частей. Результат зависит от выбранной оси, формы тела и скорости вращения. ^{[18] : 28}

Многочастичная гравитационная система

Анимация трех точек или тел, притягивающихся друг к другу

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что любое тело притягивает любое другое тело вдоль прямой линии, соединяющей их. Величина силы притяжения пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Нахождение формы орбит, которые даст закон силы обратных квадратов, известно как задача Кеплера . Задача Кеплера может быть решена несколькими способами, в том числе путем демонстрации того, что вектор Лапласа–Рунге–Ленца постоянен, ^[51] или путем применения преобразования дуальности к двумерному гармоническому осциллятору. ^[52] Как бы она ни решалась, результатом является то, что орбиты будут коническими сечениями , то есть эллипсами (включая окружности), параболами или гиперболами . Эксцентриситет орбиты и, следовательно, тип конического сечения определяются энергией и угловым моментом вращающегося тела. Планеты не обладают достаточной энергией, чтобы покинуть Солнце, поэтому их орбиты представляют собой эллипсы (в хорошем приближении); поскольку планеты притягивают друг друга, фактические орбиты не являются в точности коническими сечениями.

Если добавляется третья масса, задача Кеплера становится задачей трех тел, которая в общем случае не имеет точного решения в замкнутой форме . То есть, нет способа начать с дифференциальных уравнений, подразумеваемых законами Ньютона, и после конечной последовательности стандартных математических операций получить уравнения, которые выражают движения трех тел с течением времени. ^{[53] [54]} Численные методы могут быть применены для получения полезных, хотя и приблизительных, результатов для задачи трех тел. ^[55] Положения и скорости тел могут быть сохранены в переменных в памяти компьютера; законы Ньютона используются для расчета того, как скорости будут изменяться в течение короткого промежутка времени, и, зная скорости, можно вычислить изменения положения в течение этого промежутка времени. Этот процесс зацикливается для приблизительного расчета траекторий тел. Вообще говоря, чем короче временной интервал, тем точнее приближение. ^[56]

Хаос и непредсказуемость

Нелинейная динамика

Три двойных маятника, инициализированные при почти одинаковых начальных условиях, со временем расходятся.

Законы движения Ньютона допускают возможность хаоса . ^{[57] [58]} То есть, качественно говоря, физические системы, подчиняющиеся законам Ньютона, могут проявлять чувствительную зависимость от своих начальных условий: небольшое изменение положения или скорости одной части системы может привести к тому, что вся система будет вести себя радикально иным образом в течение короткого времени. Примечательными примерами являются задача трех тел, двойной маятник , динамические бильярды и задача Ферми–Паста–Улама–Цингоу .

Законы Ньютона можно применить к жидкостям , рассматривая жидкость как состоящую из бесконечно малых частей, каждая из которых оказывает силы на соседние части. Уравнение импульса Эйлера является выражением второго закона Ньютона, адаптированным к динамике жидкости. ^{[59] [60]} Жидкость описывается полем скорости, т. е. функцией , которая назначает вектор скорости каждой точке в пространстве и времени. Небольшой объект, переносимый потоком жидкости, может менять скорость по двум причинам: во-первых, потому что поле скорости в его положении меняется со временем, и, во-вторых, потому что он перемещается в новое место, где поле скорости имеет другое значение. Следовательно, когда второй закон Ньютона применяется к бесконечно малой части жидкости, ускорение имеет два члена, комбинацию, известную как полная или материальная производная . Масса бесконечно малой части зависит от плотности жидкости , и на нее действует чистая сила, если давление жидкости изменяется с одной ее стороны на другую. Соответственно, становится где - плотность, - давление, и обозначает внешнее воздействие, такое как гравитационное притяжение. Включение эффекта вязкости превращает уравнение Эйлера в уравнение Навье-Стокса : где — кинематическая вязкость . ^[59] ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {F} /m}$ $${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\mathbf {f} ,}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ $${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} ,}$$ ${\displaystyle \nu }$

Сингулярности

Математически возможно, что совокупность точечных масс, движущихся в соответствии с законами Ньютона, может выбросить некоторые из них с такой силой, что они улетят в бесконечность за конечное время. ^[61] Это нефизическое поведение, известное как «нестолкновительная сингулярность», ^[54] зависит от того, являются ли массы точечными и способны приближаться друг к другу сколь угодно близко, а также от отсутствия релятивистского предела скорости в ньютоновской физике. ^[62]

Пока неизвестно, демонстрируют ли уравнения Эйлера и Навье–Стокса аналогичное поведение изначально гладких решений, «взрывающихся» за конечное время. Вопрос о существовании и гладкости решений Навье–Стокса является одной из проблем премии тысячелетия . ^[63]

Связь с другими формулировками классической физики

Классическая механика может быть математически сформулирована несколькими различными способами, помимо «ньютоновского» описания (которое само по себе, конечно, включает вклады других как до, так и после Ньютона). Физическое содержание этих различных формулировок такое же, как и у Ньютона, но они дают разные идеи и облегчают разные типы вычислений. Например, механика Лагранжа помогает сделать очевидной связь между симметриями и законами сохранения, и она полезна при расчете движения ограниченных тел, таких как масса, ограниченная для движения по криволинейной траектории или по поверхности сферы. ^{[18] : 48} Гамильтонова механика удобна для статистической физики , ^{[64] [65] : 57} приводит к дальнейшему пониманию симметрии, ^{[18] : 251} и может быть развита в сложные методы для теории возмущений . ^{[18] : 284} Из-за широты этих тем обсуждение здесь будет ограничено кратким рассмотрением того, как они переформулируют законы движения Ньютона.

Лагранжиан

Лагранжева механика отличается от ньютоновской формулировки тем, что рассматривает целые траектории сразу, а не предсказывает движение тела в один момент времени. ^{[18] : 109} В лагранжевой механике принято обозначать положение с помощью , а скорость с помощью . Простейшим примером является массивная точечная частица, лагранжиан для которой можно записать как разность между ее кинетической и потенциальной энергиями: где кинетическая энергия равна , а потенциальная энергия — некоторая функция положения, . Физический путь, который частица пройдет между начальной и конечной точками , — это путь, для которого интеграл лагранжиана «стационарен». То есть физический путь обладает тем свойством, что его малые возмущения в первом приближении не изменят интеграл лагранжиана. Вариационное исчисление предоставляет математические инструменты для нахождения этого пути. ^{[42] : 485} Применение вариационного исчисления к задаче нахождения пути приводит к уравнению Эйлера–Лагранжа для частицы, Оценка частных производных лагранжиана дает что является переформулировкой второго закона Ньютона. Левая часть — производная импульса по времени, а правая часть — сила, представленная через потенциальную энергию. ^{[9] : 737} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\dot {q}}}$ $${\displaystyle L(q,{\dot {q}})=T-V,}$$ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}}$$ ${\displaystyle V(q)}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle q_{f}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(m{\dot {q}})=-{\frac {dV}{dq}},}$$

Ландау и Лифшиц утверждают, что формулировка Лагранжа делает концептуальное содержание классической механики более ясным, чем если начинать с законов Ньютона. ^[26] Механика Лагранжа предоставляет удобную основу для доказательства теоремы Нётер , которая связывает симметрии и законы сохранения. ^[66] Сохранение импульса можно вывести, применив теорему Нётер к лагранжиану для многочастичной системы, и, таким образом, третий закон Ньютона является теоремой, а не предположением. ^{[18] : 124}

Гамильтониан

Эмми Нётер , чьё доказательство в 1915 году знаменитой теоремы, связывающей симметрии и законы сохранения, стало ключевым событием в современной физике и может быть удобно изложено на языке лагранжевой или гамильтоновой механики.

В гамильтоновой механике динамика системы представлена ​​функцией, называемой гамильтонианом, которая во многих представляющих интерес случаях равна полной энергии системы. ^{[9] : 742} Гамильтониан является функцией положений и импульсов всех тел, составляющих систему, и он также может явно зависеть от времени. Производные по времени переменных положения и импульса задаются частными производными гамильтониана с помощью уравнений Гамильтона . ^{[18] : 203} Простейшим примером является точечная масса, вынужденная двигаться по прямой линии под действием потенциала. Записывая для координаты положения и для импульса тела, гамильтониан имеет вид В этом примере уравнения Гамильтона имеют вид и Оценивая эти частные производные, первое уравнение становится которое воспроизводит знакомое утверждение о том, что импульс тела является произведением его массы и скорости. Производная по времени импульса равна что, после отождествления отрицательной производной потенциала с силой, снова является вторым законом Ньютона. ^{[57] [9] : 742} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q).}$$ $${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}$$ $${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {p}{m}},}$$ $${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {dV}{dq}},}$$

Как и в формулировке Лагранжа, в гамильтоновой механике сохранение импульса можно вывести с помощью теоремы Нётер, что делает третий закон Ньютона идеей, которая выводится, а не предполагается. ^{[18] : 251}

Среди предложений по реформированию стандартной вводной программы по физике есть одно, в котором сначала изучают концепцию энергии, а затем концепцию силы, по сути, «вводная гамильтонова механика». ^{[67] [68]}

Гамильтон–Якоби

Уравнение Гамильтона–Якоби дает еще одну формулировку классической механики, которая делает ее математически аналогичной волновой оптике . ^{[18] : 284  [69]} Эта формулировка также использует гамильтоновы функции, но иным способом, чем описанная выше. Пути, проходимы телами или совокупностями тел, выводятся из функции положений и времени . Гамильтониан включен в уравнение Гамильтона–Якоби, дифференциальное уравнение для . Тела движутся с течением времени таким образом, что их траектории перпендикулярны поверхностям константы , аналогично тому, как световой луч распространяется в направлении, перпендикулярном его волновому фронту. Это проще всего выразить для случая единственной точечной массы, в которой есть функция , и точечная масса движется в направлении, вдоль которого изменяется наиболее круто. Другими словами, импульс точечной массы равен градиенту : Уравнение Гамильтона -Якоби для точечной массы равно Связь с законами Ньютона можно увидеть, рассмотрев точечную массу, движущуюся в независимом от времени потенциале , в этом случае уравнение Гамильтона-Якоби становится Взяв градиент обеих сторон, это становится Меняя порядок частных производных в левой части и используя правила степенной функции и цепи для первого члена в правой части, Собирая вместе члены, которые зависят от градиента , Это еще одно перевыражение второго закона Ньютона. ^[70] Выражение в скобках является полной или материальной производной , как упоминалось выше, ^[71] в которой первый член указывает, как дифференцируемая функция изменяется со временем в фиксированном месте, а второй член фиксирует, как движущаяся частица будет видеть различные значения этой функции по мере перемещения из одного места в другое: ${\displaystyle S(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\ldots ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S.}$$ $${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {\nabla } S,t\right).}$$ ${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$ $${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+V(\mathbf {q} ).}$$ $${\displaystyle -\mathbf {\nabla } {\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+\mathbf {\nabla } V.}$$ $${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\nabla } S={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\mathbf {\nabla } S+\mathbf {\nabla } V.}$$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]\mathbf {\nabla } S=-\mathbf {\nabla } V.}$$ $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } \right]={\frac {d}{dt}}.}$$

Связь с другими физическими теориями

Термодинамика и статистическая физика

Моделирование более крупной, но все еще микроскопической частицы (желтого цвета), окруженной газом из более мелких частиц, иллюстрирующее броуновское движение.

В статистической физике кинетическая теория газов применяет законы движения Ньютона к большому числу (обычно порядка числа Авогадро ) частиц. Кинетическая теория может объяснить, например, давление , которое газ оказывает на контейнер, содержащий его, как совокупность многих ударов атомов, каждый из которых передает крошечное количество импульса. ^{[65] : 62}

Уравнение Ланжевена является частным случаем второго закона Ньютона, адаптированным для случая описания небольшого объекта, бомбардируемого стохастически еще меньшими объектами. ^{[72] : 235} Его можно записать , где — коэффициент сопротивления , а — сила, которая изменяется случайным образом от момента к моменту, представляя собой чистый эффект столкновений с окружающими частицами. Это используется для моделирования броуновского движения . ^[73] $${\displaystyle m\mathbf {a} =-\gamma \mathbf {v} +\mathbf {\xi } \,}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {\xi } }$

Электромагнетизм

Три закона Ньютона можно применять к явлениям, связанным с электричеством и магнетизмом , хотя существуют тонкости и оговорки.

Закон Кулона для электрической силы между двумя неподвижными, электрически заряженными телами имеет во многом ту же математическую форму, что и закон всемирного тяготения Ньютона: сила пропорциональна произведению зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена ​​вдоль прямой линии между ними. Сила Кулона, которую заряд оказывает на заряд, равна по величине силе, которая оказывает на , и она указывает в совершенно противоположном направлении. Таким образом, закон Кулона согласуется с третьим законом Ньютона. ^[74] ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$

Электромагнетизм рассматривает силы как создаваемые полями, действующими на заряды. Закон силы Лоренца дает выражение для силы, действующей на заряженное тело, которое можно включить во второй закон Ньютона, чтобы вычислить его ускорение. ^{[75] : 85} Согласно закону силы Лоренца, заряженное тело в электрическом поле испытывает силу в направлении этого поля, силу, пропорциональную его заряду и напряженности электрического поля. Кроме того, движущееся заряженное тело в магнитном поле испытывает силу, которая также пропорциональна его заряду, в направлении, перпендикулярном как полю, так и направлению движения тела. Используя векторное векторное произведение , ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

Закон силы Лоренца в действии: электроны изгибаются по круговой траектории под действием магнитного поля.

Если электрическое поле исчезает ( ), то сила будет перпендикулярна движению заряда, как и в случае равномерного кругового движения, изученного выше, и заряд будет вращаться (или, в более общем смысле, двигаться по спирали ) вокруг линий магнитного поля с циклотронной частотой . ^{[72] : 222} Масс-спектрометрия работает путем приложения электрических и/или магнитных полей к движущимся зарядам и измерения результирующего ускорения, которое по закону силы Лоренца дает отношение массы к заряду . ^[76] ${\displaystyle \mathbf {E} =0}$ ${\displaystyle \omega =qB/m}$

Совокупности заряженных тел не всегда подчиняются третьему закону Ньютона: может быть изменение импульса одного тела без компенсирующего изменения импульса другого. Расхождение объясняется импульсом, переносимым самим электромагнитным полем. Импульс на единицу объема электромагнитного поля пропорционален вектору Пойнтинга . ^{[77] : 184  [78]}

Существует тонкий концептуальный конфликт между электромагнетизмом и первым законом Ньютона: теория электромагнетизма Максвелла предсказывает, что электромагнитные волны будут распространяться через пустое пространство с постоянной, определенной скоростью. Таким образом, некоторые инерциальные наблюдатели, по-видимому, имеют привилегированный статус по сравнению с другими, а именно теми, кто измеряет скорость света и находит ее значение, предсказанное уравнениями Максвелла. Другими словами, свет обеспечивает абсолютный стандарт скорости, однако принцип инерции утверждает, что такого стандарта быть не должно. Это напряжение разрешается в теории специальной теории относительности, которая пересматривает понятия пространства и времени таким образом, что все инерциальные наблюдатели согласятся относительно скорости света в вакууме. ^{[примечание 12]}

Специальная теория относительности

В специальной теории относительности правило, которое Вильчек назвал «нулевым законом Ньютона», нарушается: масса составного объекта — это не просто сумма масс отдельных частей. ^{[81] : 33} Первый закон Ньютона, инерционное движение, остается верным. Форма второго закона Ньютона, согласно которой сила — это скорость изменения импульса, также верна, как и закон сохранения импульса. Однако определение импульса изменено. Среди последствий этого является тот факт, что чем быстрее движется тело, тем сложнее его ускорить, и поэтому, независимо от того, какая сила приложена, тело не может быть ускорено до скорости света. В зависимости от решаемой задачи импульс в специальной теории относительности можно представить в виде трехмерного вектора, , где — масса покоя тела , а — фактор Лоренца , который зависит от скорости тела. В качестве альтернативы импульс и сила могут быть представлены в виде четырехвекторов . ^{[82] : 107} ${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \gamma }$

Третий закон Ньютона должен быть изменен в специальной теории относительности. Третий закон относится к силам между двумя телами в один и тот же момент времени, и ключевой особенностью специальной теории относительности является то, что одновременность относительна. События, которые происходят в одно и то же время относительно одного наблюдателя, могут происходить в разное время относительно другого. Таким образом, в системе отсчета данного наблюдателя действие и реакция могут не быть точно противоположными, и общий импульс взаимодействующих тел может не сохраняться. Сохранение импульса восстанавливается путем включения импульса, сохраненного в поле, которое описывает взаимодействие тел. ^{[83] [84]}

Ньютоновская механика является хорошим приближением к специальной теории относительности, когда рассматриваемые скорости малы по сравнению со скоростью света. ^{[85] : 131}

Общая теория относительности

Общая теория относительности — это теория гравитации, которая превосходит теорию Ньютона. В общей теории относительности гравитационная сила ньютоновской механики переосмысливается как кривизна пространства-времени . Изогнутый путь, подобный орбите, приписываемый гравитационной силе в ньютоновской механике, является не результатом силы, отклоняющей тело от идеального прямолинейного пути, а скорее попыткой тела свободно падать через фон, который сам по себе искривлен присутствием других масс. Замечание Джона Арчибальда Уиллера , ставшее поговоркой среди физиков, резюмирует теорию: «Пространство-время говорит материи, как двигаться; материя говорит пространству-времени, как искривляться». ^{[86] [87]} Сам Уилер считал это взаимное отношение современной обобщенной формой третьего закона Ньютона. ^[86] Связь между распределением материи и кривизной пространства-времени задается уравнениями поля Эйнштейна , для выражения которых требуется тензорное исчисление . ^{[81] : 43  [88]}

Ньютоновская теория гравитации является хорошим приближением к предсказаниям общей теории относительности, когда гравитационные эффекты слабы и объекты движутся медленно по сравнению со скоростью света. ^{[79] : 327  [89]}

Квантовая механика

Квантовая механика — это теория физики, изначально разработанная для понимания микроскопических явлений: поведения в масштабах молекул, атомов или субатомных частиц. В общем и целом, чем меньше система, тем больше адекватная математическая модель потребует понимания квантовых эффектов. Концептуальная основа квантовой физики сильно отличается от классической физики . Вместо того чтобы думать о таких величинах, как положение, импульс и энергия, как о свойствах, которыми обладает объект , мы рассматриваем, какой результат может появиться при выполнении измерения выбранного типа. Квантовая механика позволяет физику вычислить вероятность того, что выбранное измерение вызовет определенный результат. ^{[90] [91]} Ожидаемое значение для измерения — это среднее значение возможных результатов, которые оно может дать, взвешенное по их вероятностям появления. ^[92]

Теорема Эренфеста устанавливает связь между квантовыми ожидаемыми значениями и вторым законом Ньютона, связь, которая обязательно неточна, поскольку квантовая физика принципиально отличается от классической. В квантовой физике положение и импульс представлены математическими сущностями, известными как эрмитовы операторы , а правило Борна используется для вычисления ожидаемых значений измерения положения или измерения импульса. Эти ожидаемые значения, как правило, будут меняться со временем; то есть, в зависимости от времени, в которое (например) выполняется измерение положения, вероятности его различных возможных результатов будут меняться. Теорема Эренфеста, грубо говоря, гласит, что уравнения, описывающие, как эти ожидаемые значения изменяются со временем, имеют форму, напоминающую второй закон Ньютона. Однако, чем более выражены квантовые эффекты в данной ситуации, тем сложнее вывести осмысленные выводы из этого сходства. ^{[примечание 13]}

История

• 
  Исаак Ньютон (1643–1727) на портрете кисти Годфри Кнеллера , написанном в 1689 году.
• 
  Собственный экземпляр «Начал» Ньютона с рукописными исправлениями для второго издания в библиотеке Рена в Тринити-колледже, Кембридж.
• 
  Первый и второй законы Ньютона на латыни из оригинального труда 1687 года Principia Mathematica

Концепции, используемые в законах движения Ньютона — масса, скорость, импульс, сила — имеют предшественников в более ранних работах, и содержание ньютоновской физики получило дальнейшее развитие после времени Ньютона. Ньютон объединил знание небесных движений с изучением событий на Земле и показал, что одна теория механики может охватывать и то, и другое. ^{[примечание 14]}

Античность и средневековье

Аристотель и «бурное» движение

Аристотель
(384–322 до н.э. )

Предмет физики часто прослеживается до Аристотеля , но история вовлеченных концепций затемнена множеством факторов. Точное соответствие между аристотелевскими и современными концепциями установить непросто: Аристотель не различал четко то, что мы называем скоростью и силой, использовал один и тот же термин для плотности и вязкости и представлял себе движение как всегда через среду, а не через пространство. Кроме того, некоторые концепции, часто называемые «аристотелевскими», лучше приписать его последователям и комментаторам. ^[97] Эти комментаторы обнаружили, что аристотелевская физика испытывала трудности с объяснением движения снаряда. ^{[примечание 15]} Аристотель разделил движение на два типа: «естественное» и «насильственное». «Естественное» движение земной твердой материи должно было падать вниз, тогда как «насильственное» движение могло толкать тело вбок. Более того, в аристотелевской физике «насильственное» движение требует непосредственной причины; отделенное от причины своего «бурного» движения, тело вернулось бы к своему «естественному» поведению. Однако копье продолжает двигаться после того, как покидает руку метателя. Аристотель пришел к выводу, что воздух вокруг копья должен быть наделен способностью двигать копье вперед.

Филопон и импульс

Иоанн Филопон , византийский греческий мыслитель, действовавший в шестом веке, считал это абсурдным: одна и та же среда, воздух, каким-то образом отвечала как за поддержание движения, так и за его препятствие. Если бы идея Аристотеля была верна, сказал Филопон, армии запускали бы оружие, дуя в него с помощью мехов. Филопон утверждал, что приведение тела в движение придает ему качество, импульс , которое будет содержаться в самом теле. Пока его импульс поддерживался, тело будет продолжать двигаться. ^{[99] : 47} В последующие столетия версии теории импульса были выдвинуты такими людьми, как Нур ад-Дин аль-Битруджи , Авиценна , Абу-ль-Баракат аль-Багдади , Иоанн Буридан и Альберт Саксонский . Оглядываясь назад, идею импульса можно рассматривать как предшественницу современной концепции импульса. ^{[примечание 16]} Интуиция, что объекты движутся в соответствии с каким-то импульсом, сохраняется у многих студентов, изучающих вводный курс физики. ^[101]

Инерция и первый закон

Французский философ Рене Декарт ввел понятие инерции посредством своих «законов природы» в «Мире » ( Traité du monde et de la lumière ), написанном в 1629–1633 годах. Однако «Мир» подразумевал гелиоцентрическое мировоззрение, и в 1633 году это представление породило большой конфликт между Галилео Галилеем и римско-католической инквизицией . Декарт знал об этом споре и не хотел вмешиваться. «Мир» был опубликован только в 1664 году, через десять лет после его смерти. ^[102]

Галилео Галилей
(1564–1642)

Современная концепция инерции приписывается Галилею. На основе своих экспериментов Галилей пришел к выводу, что «естественное» поведение движущегося тела — продолжать движение, пока что-то другое не помешает ему. В «Двух новых науках» (1638) Галилей писал: ^{[103] [104]}

Представьте себе любую частицу, спроецированную вдоль горизонтальной плоскости без трения; тогда мы знаем из того, что было более подробно объяснено на предыдущих страницах, что эта частица будет двигаться вдоль этой же плоскости равномерным и непрерывным движением, при условии, что плоскость не имеет границ.

Рене Декарт
(1596–1650)

Галилей осознал, что при движении снаряда гравитация Земли влияет на вертикальное, но не горизонтальное движение. ^[105] Однако идея Галилея об инерции была не совсем той, которая была бы кодифицирована в первом законе Ньютона. Галилей считал, что тело, движущееся на большое расстояние по инерции, будет следовать кривой Земли. Эта идея была исправлена ​​Исааком Бекманом , Декартом и Пьером Гассенди , которые признали, что инерциальное движение должно быть движением по прямой линии. ^[106] Декарт опубликовал свои законы природы (законы движения) с этим исправлением в «Началах философии» ( Principia Philosophiae ) в 1644 году, смягчив гелиоцентрическую часть. ^{[107] [102]}

Мяч при круговом движении перерезает нить и отлетает по касательной.

Первый закон природы: каждая вещь, предоставленная самой себе, продолжает оставаться в том же состоянии; так и любое движущееся тело продолжает двигаться до тех пор, пока что-то его не остановит.

Второй закон природы: каждое движущееся тело, предоставленное самому себе, движется по прямой линии; так и любое тело, движущееся по кругу, всегда стремится удалиться от центра круга.

По словам американского философа Ричарда Дж. Блэквелла , голландский ученый Христиан Гюйгенс разработал свою собственную, краткую версию закона в 1656 году. ^[108] Она была опубликована только в 1703 году, через восемь лет после его смерти, в первом абзаце его труда « De Motu Corporum ex Percussione» .

Гипотеза I: Любое тело, уже находящееся в движении, будет продолжать двигаться вечно с той же скоростью и по прямой линии, если ему не будет препятствовать.

По мнению Гюйгенса, этот закон был известен уже Галилею и Декарту среди других. ^[108]

Сила и второй закон

Христиан Гюйгенс
(1629–1695)

Христиан Гюйгенс в своей работе Horologium Oscillatorium (1673) выдвинул гипотезу, что «под действием силы тяжести, каковы бы ни были ее источники, тела движутся движением, состоящим как из равномерного движения в одном или другом направлении, так и из движения вниз под действием силы тяжести». Второй закон Ньютона обобщил эту гипотезу с силы тяжести на все силы. ^[109]

Одной из важных характеристик ньютоновской физики является то, что силы могут действовать на расстоянии , не требуя физического контакта. ^{[примечание 17]} Например, Солнце и Земля притягиваются друг к другу гравитационно, несмотря на то, что они разделены миллионами километров. Это контрастирует с идеей, отстаиваемой Декартом и другими, о том, что гравитация Солнца удерживает планеты на орбите, закручивая их в вихре прозрачной материи, эфира . ^[116] Ньютон рассматривал эфирные объяснения силы, но в конечном итоге отверг их. ^[114] Изучение магнетизма Уильямом Гилбертом и другими создало прецедент для размышлений о нематериальных силах, ^[114] и неспособный найти количественно удовлетворительное объяснение своего закона тяготения в терминах эфирной модели, Ньютон в конце концов заявил: « Я не выдвигаю никаких гипотез »: независимо от того, может ли модель, подобная вихрям Декарта, лежать в основе теорий движения и гравитации « Начал », первым основанием для их суждения должны быть успешные предсказания, которые они сделали. ^[117] И действительно, со времен Ньютона каждая попытка такой модели терпела неудачу .

Сохранение импульса и третий закон

Иоганн Кеплер
(1571–1630)

Иоганн Кеплер предположил, что гравитационное притяжение взаимно — например, Луна притягивает Землю, в то время как Земля притягивает Луну, — но он не утверждал, что такие пары равны и противоположны. ^[118] В своих «Принципах философии» (1644) Декарт ввел идею о том, что во время столкновения тел «количество движения» остается неизменным. Декарт определил это количество несколько неточно, сложив произведения скорости и «размера» каждого тела, где «размер» для него включал как объем, так и площадь поверхности. ^[119] Более того, Декарт думал о Вселенной как о пленуме , то есть заполненном материей, поэтому любое движение требовало, чтобы тело вытесняло среду при своем движении.

В 1650-х годах Гюйгенс изучал столкновения твердых сфер и вывел принцип, который сейчас определяется как сохранение импульса. ^{[120] [121]} Кристофер Рен позже вывел те же правила для упругих столкновений , что и Гюйгенс, а Джон Уоллис применил сохранение импульса для изучения неупругих столкновений . Ньютон ссылался на работы Гюйгенса, Рена и Уоллиса, чтобы подтвердить справедливость своего третьего закона. ^[122]

Ньютон пришел к своему набору из трех законов постепенно. В рукописи 1684 года, написанной Гюйгенсу , он перечислил четыре закона: принцип инерции, изменение движения силой, утверждение об относительном движении, которое сегодня назвали бы галилеевской инвариантностью , и правило, согласно которому взаимодействия между телами не изменяют движение их центра масс. В более поздней рукописи Ньютон добавил закон действия и противодействия, сказав, что этот закон и закон относительно центра масс подразумевают друг друга. Ньютон, вероятно, остановился на представлении в Principia с тремя основными законами, а затем другими утверждениями, сведенными к следствиям, в течение 1685 года. ^[123]

После того какПринципы

Страница 157 из «Механизма небес» (1831), расширенной версии первых двух томов «Трактата о небесной механике» Лапласа, написанной Мэри Сомервиль . ^[124] Здесь Сомервиль выводит закон обратных квадратов силы тяжести из законов Кеплера о движении планет .

Ньютон выразил свой второй закон, сказав, что сила, действующая на тело, пропорциональна изменению его движения или импульсу. К тому времени, как он написал « Начала», он уже разработал исчисление (которое он назвал « наукой флюксий »), но в « Началах» он не использовал его явно, возможно, потому, что считал геометрические аргументы в традиции Евклида более строгими. ^{[125] : 15  [126]} Следовательно, «Начала» не выражают ускорение как вторую производную положения, и поэтому не дают второй закон как . Эта форма второго закона была написана (для особого случая постоянной силы) по крайней мере еще в 1716 году Якобом Германом ; Леонард Эйлер использовал ее в качестве основной предпосылки в 1740-х годах. ^[127] Эйлер был пионером в изучении твердых тел ^[128] и создал основную теорию динамики жидкости. [ ^129] В пятитомном труде Пьера-Симона Лапласа «Traité de mécanique céleste» (1798–1825) он отказался от геометрии и разработал механику исключительно с помощью алгебраических выражений, одновременно решая вопросы, которые «Principia» оставили открытыми, например, полную теорию приливов и отливов . ^[130] ${\displaystyle F=ma}$

Концепция энергии стала ключевой частью ньютоновской механики в постньютоновский период. Решение Гюйгенса столкновения твердых сфер показало, что в этом случае сохраняется не только импульс, но и кинетическая энергия (или, скорее, величина, которую в ретроспективе мы можем определить как половину полной кинетической энергии). Вопрос о том, что сохраняется во всех других процессах, таких как неупругие столкновения и движение, замедленное трением, не был решен до 19 века. Дебаты на эту тему пересекались с философскими спорами между метафизическими взглядами Ньютона и Лейбница, и варианты термина «сила» иногда использовались для обозначения того, что мы бы назвали типами энергии. Например, в 1742 году Эмили дю Шатле писала: «Мертвая сила состоит из простой тенденции к движению: такова тенденция пружины, готовой расслабиться; живая сила — это та, которой обладает тело, когда оно находится в реальном движении». В современной терминологии «мертвая сила» и «живая сила» соответствуют потенциальной энергии и кинетической энергии соответственно. ^[131] Сохранение энергии не было установлено как универсальный принцип, пока не стало понятно, что энергия механической работы может рассеиваться в тепло. ^{[132] [133]} При наличии прочного обоснования концепции энергии законы Ньютона могли быть выведены в рамках формулировок классической механики, которые ставят энергию на первое место, как в лагранжевых и гамильтоновых формулировках, описанных выше.

Современные представления законов Ньютона используют математику векторов, тему, которая не была разработана до конца 19-го и начала 20-го веков. Векторная алгебра, разработанная Джозайей Уиллардом Гиббсом и Оливером Хевисайдом , произошла от более ранней системы кватернионов, изобретенной Уильямом Роуэном Гамильтоном , и в значительной степени вытеснила ее . ^{[134] [135]}

Смотрите также

• Законы движения Эйлера
• История классической механики
• Список одноименных законов
• Список уравнений классической механики
• Список научных законов, названных в честь людей
• Список учебников по классической механике и квантовой механике
• Купол Нортона

Примечания

1. См., например, Zain. ^{[4] : 1-2} Дэвид Тонг замечает: «Частица определяется как объект незначительного размера: например, электрон, теннисный мяч или планета. Очевидно, что справедливость этого утверждения зависит от контекста...» ^[5]
2. Отрицательное ускорение включает в себя как замедление (когда текущая скорость положительна), так и ускорение (когда текущая скорость отрицательна). Об этом и других моментах, которые часто вызывали затруднения у студентов, см. McDermott et al. ^[8]
3. По Коэну и Уитмену. ^[2] Другие формулировки см. у Эддингтона ^[13] и Фраучи и др. ^{[14] : 114} В переводе Эндрю Мотта 1729 года ньютоновское «nisi quatenus» было передано как « если только» вместо «кроме insofar», что, по мнению Хука, было ошибочным. ^{[15] [16]}
4. В одном учебнике отмечается, что брусок, скользящий по наклонной плоскости, — это то, что «некоторые циники считают самой скучной задачей во всей физике». ^{[23] : 70} Другой шутит: «Никто никогда не узнает, сколько умов, жаждущих познать секреты вселенной, вместо этого обнаружили себя изучающими наклонные плоскости и блоки и решили переключиться на какую-нибудь более интересную профессию». ^{[14] : 173}
5. Например, Хосе и Салетан (вслед за Махом и Эйзенбудом ^[24] ) принимают сохранение импульса как фундаментальный физический принцип и рассматривают как определение «силы». ^{[18] : 9} См. также Фраучи и др., ^{[14] : 134} , а также Фейнмана, Лейтона и Сэндса, ^{[25] : 12-1,} которые утверждают, что второй закон неполон без спецификации силы другим законом, таким как закон тяготения. Клеппнер и Коленков утверждают, что второй закон неполон без третьего закона: наблюдатель, который видит, как одно тело ускоряется без соответствующего ускорения другого тела для компенсации, заключил бы не о том, что действует сила, а о том, что они не являются инерциальными наблюдателями. ^{[23] : 60} Ландау и Лифшиц обходят этот вопрос, начиная с лагранжева формализма, а не с ньютоновского. ^[26] ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$
6. См., например, Moebs et al., ^[27] Gonick и Huffman, ^[28] Low и Wilson, ^[29] Stocklmayer et al., ^[30] Hellingman, ^[31] и Hodanbosi. ^[32]
7. См., например, Фраучи и др. ^{[14] : 356}
8. О первом см. Greiner, ^[35] или Wachter и Hoeber. ^[36] О втором см. Tait ^[37] и Heaviside. ^[38]
9. Среди многочисленных объяснений этого в учебниках есть Фраучи и др. ^{[14] : 104} и Боас ^{[42] : 287}
10. Среди многих учебников, посвященных этой теме, можно назвать Hand и Finch ^{[45] : 81} , а также Kleppner и Kolenkow. ^{[23] : 103}
11. Методы лечения можно найти, например, в работах Чабая и др. ^[47] и МакКаллума и др. ^{[48] : 449}
12. Обсуждения можно найти, например, в работах Фраучи и др., ^{[14] : 215} Панофски и Филлипс, ^{[77] : 272} Голдштейн, Пул и Сафко, ^{[79] : 277} и Вернер. ^[80]
13. Подробности можно найти в учебниках, например, Коэна-Таннуджи и др. ^{[93] : 242} и Переса ^{[94] : 302}
14. Как пишет один физик, «Физическая теория возможна, потому что мы погружены и включены в весь процесс – потому что мы можем воздействовать на объекты вокруг нас. Наша способность вмешиваться в природу проясняет даже движение планет вокруг Солнца – массы настолько велики и расстояния настолько огромны, что наши роли как участников кажутся незначительными. Ньютон смог преобразовать кинематическое описание солнечной системы Кеплера в гораздо более мощную динамическую теорию, потому что он добавил концепции из экспериментальных методов Галилея – силу, массу, импульс и гравитацию. По-настоящему внешний наблюдатель доберется только до Кеплера. Динамические концепции формулируются на основе того, что мы можем настроить, контролировать и измерять». ^[95] См., например, Каспара и Хеллмана. ^[96]
15. Аристотелевская физика также испытывала трудности с объяснением плавучести, и Галилей пытался разрешить этот вопрос, но безуспешно. ^[98]
16. Аннелиза Майер предупреждает: «Импетус не является ни силой, ни формой энергии, ни импульсом в современном смысле; он разделяет что-то со всеми этими другими концепциями, но он не идентичен ни одной из них». ^{[100] : 79}
17. Сам Ньютон был увлеченным алхимиком . Джон Мейнард Кейнс назвал его «последним из магов», чтобы описать его место в переходе между протонаукой и современной наукой. ^{[110] [111]} Было высказано предположение, что алхимия вдохновила Ньютона на идею «действия на расстоянии», т. е. когда одно тело оказывает силу на другое, не находясь в прямом контакте. ^[112] Это предположение пользовалось значительной поддержкой среди историков науки ^[113] , пока не стало возможным более обширное изучение трудов Ньютона, после чего оно вышло из моды. Однако, похоже, алхимия Ньютона повлияла на его оптику , в частности, на то, как он думал о сочетании цветов. ^{[114] [115]}

Ссылки

1. Торнтон, Стивен Т.; Мэрион, Джерри Б. (2004). Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.). Брук Коул. стр. 49. ISBN 0-534-40896-6.
2. Newton, I. (1999). Principia, Математические начала натуральной философии . Перевод Cohen, IB; Whitman, A. Лос-Анджелес: Издательство Калифорнийского университета.
3. Ньютон, Исаак; Читтенден, NW; Мотт, Эндрю; Хилл, Теодор Престон (1846). Newton's Principia: The Mathematical Principia of Natural Philosophy. Библиотеки Калифорнийского университета. Дэниел Эйди.
4. Zain, Samya (2019). Методы классической механики: от лагранжевой к ньютоновской механике. Институт физики. ISBN 978-0-750-32076-4. OCLC  1084752471.
5. Тонг, Дэвид (январь 2015 г.). "Классическая динамика: Математические трипосы Кембриджского университета, часть II" (PDF) . Кембриджский университет . Получено 12 февраля 2022 г. .
6. Хьюз-Халлетт, Дебора ; МакКаллум, Уильям Г.; Глисон , Эндрю М .; и др. (2013). Исчисление: одно- и многомерное (6-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. стр. 76–78. ISBN 978-0-470-88861-2. OCLC  794034942.
7. Томпсон, Сильванус П.; Гарднер , Мартин (1998). Calculus Made Easy . Macmillan. стр. 84–85. ISBN 978-0-312-18548-0. OCLC  799163595.
8. Макдермотт, Лиллиан К .; Розенквист, Марк Л.; ван Зи, Эмили Х. (июнь 1987 г.). «Студенческие трудности в соединении графов и физики: примеры из кинематики». American Journal of Physics . 55 (6): 503–513. Bibcode : 1987AmJPh..55..503M. doi : 10.1119/1.15104. ISSN  0002-9505.
9. Gbur, Greg (2011). Математические методы для оптической физики и техники. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-91510-9. OCLC  704518582.
10. Драйвер, Розалинд; Уоррингтон, Линда (1 июля 1985 г.). «Использование учащимися принципа сохранения энергии в проблемных ситуациях». Physics Education . 20 (4): 171–176. Bibcode : 1985PhyEd..20..171D. doi : 10.1088/0031-9120/20/4/308. S2CID  250781921.
11. Брукс, Дэвид Т.; Эткина, Евгения (25 июня 2009 г.). ""Сила", онтология и язык". Physical Review Special Topics - Исследования в области физического образования . 5 (1): 010110. Bibcode : 2009PRPER...5a0110B. doi : 10.1103/PhysRevSTPER.5.010110 . ISSN  1554-9178.
12. Уроне, Пол Питер; Хинрикс, Роджер; Диркс, Ким; Шарма, Манджула (2021). Колледж физики. ОпенСтакс . ISBN 978-1-947172-01-2. OCLC  895896190.
13. Эддингтон, Артур (1929). Природа физического мира . Нью-Йорк: Macmillan. С. 123–125.
14. Фраучи, Стивен К .; Оленик, Ричард П.; Апостол, Том М.; Гудштейн , Дэвид Л. (2007). Механическая вселенная: механика и тепло (расширенное издание). Кембридж [Кембриджшир]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71590-4. OCLC  227002144.
15. Hoek, D. (2023). «Только вынужденные изменения: новый взгляд на инерцию». Философия науки . 90 (1): 60–73. arXiv : 2112.02339 . doi : 10.1017/psa.2021.38.
16. Паппас, Стефани (5 сентября 2023 г.). «Неправильный перевод первого закона Ньютона обнаружен спустя почти 300 лет». Scientific American .
17. Резник, Роберт (1968). Введение в специальную теорию относительности . Wiley. С. 8–16. OCLC  1120819093.
18. Хосе, Хорхе В .; Салетан, Юджин Дж. (1998). Классическая динамика: современный подход. Кембридж [Англия]: Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64890-5. OCLC  857769535.
19. Брэдинг, Кэтрин (август 2019 г.). «Заметка о стержнях и часах в «Началах» Ньютона». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 67 : 160–166. Bibcode :2019SHPMP..67..160B. doi :10.1016/j.shpsb.2017.07.004. S2CID  125131430.
20. Фезер, Норман (1959). Введение в физику массы, длины и времени . Великобритания: University Press. С. 126–128.
21. Резник, Роберт; Холлидей, Дэвид (1966). «Раздел 5-4: Масса; Второй закон Ньютона». Физика . John Wiley & Sons. LCCN  66-11527.
22. Розенгрант, Дэвид; Ван Хейвелен, Алан; Эткина, Евгения (1 июня 2009 г.). «Используют ли и понимают ли студенты диаграммы свободных тел?». Physical Review Special Topics — Исследования в области физического образования . 5 (1): 010108. Bibcode : 2009PRPER...5a0108R. doi : 10.1103/PhysRevSTPER.5.010108 . ISSN  1554-9178.
23. Клеппнер, Дэниел; Коленков, Роберт Дж. (2014). Введение в механику (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19811-0. OCLC  854617117.
24. Эйзенбуд, Леонард (1958). «О классических законах движения». American Journal of Physics . 26 : 144–159. doi : 10.1119/1.1934608.
25. Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс , Мэтью Л. (1989) [1965]. Лекции Фейнмана по физике, том 1. Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0-201-02010-6. OCLC  531535.
26. Ландау, Лев Д. ; Лифшиц, Евгений М. (1969). Механика . Курс теоретической физики . Том 1. Перевод Сайкса, Дж. Б.; Белла, Дж. С. (2-е изд.). Pergamon Press . стр. vii. ISBN 978-0-080-06466-6. OCLC  898931862. Только при таком подходе изложение действительно может составить логическое целое и избежать тавтологических определений основных механических величин. Оно, кроме того, существенно проще и приводит к наиболее полному и прямому способу решения задач механики.
27. Моебс, Уильям; и др. (2023). «5.5 Третий закон Ньютона». Университетская физика, Том 1 . ОпенСтакс. п. 220. ИСБН 978-1-947172-20-3.
28. Gonick, Larry ; Huffman, Art (1991). Карикатурное руководство по физике . HarperPerennial. стр. 50. ISBN 0-06-273100-9.
29. Лоу, Дэвид Дж.; Уилсон, Кейт Ф. (январь 2017 г.). «Роль конкурирующих структур знаний в подрыве обучения: второй и третий законы Ньютона». American Journal of Physics . 85 (1): 54–65. Bibcode : 2017AmJPh..85...54L. doi : 10.1119/1.4972041. ISSN  0002-9505.
30. Stocklmayer, Sue ; Rayner, John P.; Gore, Michael M. (октябрь 2012 г.). «Изменение порядка законов Ньютона — почему и как третий закон должен быть первым». The Physics Teacher . 50 (7): 406–409. Bibcode : 2012PhTea..50..406S. doi : 10.1119/1.4752043. ISSN  0031-921X.
31. Хеллингман, К. (март 1992 г.). «Ньютонов третий закон пересматривается». Physics Education . 27 (2): 112–115. Bibcode : 1992PhyEd..27..112H. doi : 10.1088/0031-9120/27/2/011. ISSN  0031-9120. S2CID  250891975.
32. Hodanbosi, Carol (август 1996 г.). Fairman, Jonathan G. (ред.). "Третий закон движения". www.grc.nasa.gov .
33. Вильчек, Франк (2003). "Происхождение массы" (PDF) . MIT Physics Annual 2003 . Получено 13 января 2022 .
34. Шерр, Рэйчел Э.; Редиш, Эдвард Ф. (1 января 2005 г.). «Нулевой закон Ньютона: учимся, слушая наших учеников». Учитель физики . 43 (1): 41–45. Bibcode : 2005PhTea..43...41S. doi : 10.1119/1.1845990. ISSN  0031-921X.
35. Грейнер, Уолтер (2003). Классическая механика: точечные частицы и теория относительности. Нью-Йорк: Springer. С. 135. ISBN 978-0-387-21851-9.
36. Вахтер, Армин; Хёбер, Хеннинг (2006). Сборник теоретической физики . Нью-Йорк: Springer. С. 6. ISBN 978-0-387-25799-0.
37. Тейт, Питер Гатри (1889). «Механика». Encyclopaedia Britannica . Т. 15 (9-е изд.). С. 715–716.
38. Хевисайд, Оливер (август 1905 г.). «Поперечный импульс электрона». Nature . 72 (1870): 429. Bibcode :1905Natur..72Q.429H. doi : 10.1038/072429a0 . ISSN  0028-0836. S2CID  4016382.
39. Никодеми, Олимпия (1 февраля 2010 г.). «Галилей и Орезм: кто современен? Кто средневековый?». Mathematics Magazine . 83 (1): 24–32. doi :10.4169/002557010X479965. ISSN  0025-570X. S2CID  122113958.
40. Шольберг, Кейт (2020). «Часто задаваемые вопросы: движение снаряда». Физика 361. Получено 16 января 2022 г.
41. Карли, Марта; Липпиелло, Стефания; Пантано, Орнелла; Перона, Марио; Тормен, Джузеппе (19 марта 2020 г.). «Проверка способности студентов использовать производные, интегралы и векторы в чисто математическом контексте и в физическом контексте». Physical Review Physics Education Research . 16 (1): 010111. Bibcode :2020PRPER..16a0111C. doi : 10.1103/PhysRevPhysEducRes.16.010111 . hdl : 11577/3340932 . ISSN  2469-9896. S2CID  215832738.
42. Боас, Мэри Л. (2006). Математические методы в физических науках (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. ISBN 978-0-471-19826-0. OCLC  61332593.
43. Браун, Майк (2010). Как я убил Плутон и почему это было неизбежно (1-е изд.). Нью-Йорк: Spiegel & Grau. ISBN 978-0-385-53108-5. OCLC  495271396.
44. Topper, D.; Vincent, DE (1 января 1999 г.). «Анализ диаграммы снаряда Ньютона». European Journal of Physics . 20 (1): 59–66. Bibcode : 1999EJPh...20...59T. doi : 10.1088/0143-0807/20/1/018. ISSN  0143-0807. S2CID  250883796.
45. Hand, Louis N.; Finch, Janet D. (1998). Аналитическая механика. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-57327-0. OCLC  37903527.
46. Биллах, К. Юсуф; Скэнлан, Роберт Х. (1 февраля 1991 г.). «Резонанс, разрушение моста Такома-Нэрроус и учебники по физике для студентов» (PDF) . American Journal of Physics . 59 (2): 118–124. Bibcode :1991AmJPh..59..118B. doi :10.1119/1.16590. ISSN  0002-9505.
47. Чабай, Рут ; Шервуд, Брюс; Титус, Аарон (июль 2019 г.). «Унифицированный современный подход к преподаванию энергии во вводной физике». American Journal of Physics . 87 (7): 504–509. Bibcode : 2019AmJPh..87..504C. doi : 10.1119/1.5109519 . ISSN  0002-9505. S2CID  197512796.
48. Хьюз-Халлетт, Дебора ; МакКаллум, Уильям Г .; Глисон, Эндрю М .; и др. (2013). Исчисление: одно- и многомерное (6-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-470-88861-2. OCLC  794034942.
49. Люблинская, Ирина Е. (январь 1998). «Центральные столкновения — общий случай». Учитель физики . 36 (1): 18–19. Bibcode :1998PhTea..36...18L. doi :10.1119/1.879949. ISSN  0031-921X.
50. Close, Hunter G.; Heron, Paula RL (октябрь 2011 г.). «Понимание студентами углового момента классических частиц». American Journal of Physics . 79 (10): 1068–1078. Bibcode : 2011AmJPh..79.1068C. doi : 10.1119/1.3579141. ISSN  0002-9505.
51. Мунган, Карл Э. (1 марта 2005 г.). «Еще один комментарий к «Эксцентриситету как вектору»». European Journal of Physics . 26 (2): L7–L9. doi :10.1088/0143-0807/26/2/L01. ISSN  0143-0807. S2CID  121740340.
52. Саджио, Мария Луиза (1 января 2013 г.). «Преобразование Болина: скрытая симметрия, которая связывает Гука с Ньютоном». European Journal of Physics . 34 (1): 129–137. Bibcode : 2013EJPh...34..129S. doi : 10.1088/0143-0807/34/1/129. ISSN  0143-0807. S2CID  119949261.
53. Барроу-Грин, июнь (1997). Пуанкаре и задача трех тел . Американское математическое общество. стр. 8–12. Bibcode :1997ptbp.book.....B. ISBN 978-0-8218-0367-7.
54. Barrow-Green, июнь (2008). «Проблема трех тел». В Gowers, Timothy ; Barrow-Green, июнь ; Leader, Imre (ред.). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. стр. 726–728. ISBN 978-0-691-11880-2. OCLC  682200048.
55. Брин, Барбара Дж.; Вайдерт, Кристин Э.; Линднер, Джон Ф.; Уокер, Лиза Мэй; Келли, Кейси; Хайдтманн, Эван (апрель 2008 г.). «Приглашение к ошеломляюще параллельным вычислениям». American Journal of Physics . 76 (4): 347–352. Bibcode : 2008AmJPh..76..347B. doi : 10.1119/1.2834738. ISSN  0002-9505.
56. МакКэндлиш, Дэвид (июль 1973 г.). Ширер, Дональд Л. (ред.). «Решения задачи трех тел с помощью компьютера». American Journal of Physics . 41 (7): 928–929. doi :10.1119/1.1987423. ISSN  0002-9505.
57. Masoliver, Jaume; Ros, Ana (1 марта 2011 г.). «Интегрируемость и хаос: классическая неопределенность». European Journal of Physics . 32 (2): 431–458. arXiv : 1012.4384 . Bibcode :2011EJPh...32..431M. doi :10.1088/0143-0807/32/2/016. ISSN  0143-0807. S2CID  58892714.
58. Лоус, Присцилла В. (апрель 2004 г.). «Урок по колебаниям, детерминизму и хаосу для студентов, изучающих физику на начальном этапе». American Journal of Physics . 72 (4): 446–452. Bibcode : 2004AmJPh..72..446L. doi : 10.1119/1.1649964. ISSN  0002-9505.
59. Zee, Anthony (2020). Fly by Night Physics . Princeton University Press. стр. 363–364. ISBN 978-0-691-18254-4. OCLC  1288147292.
60. Хан-Кван, Дэниел; Якобелли, Микаэла (7 апреля 2021 г.). «От второго закона Ньютона до уравнений Эйлера идеальных жидкостей». Труды Американского математического общества . 149 (7): 3045–3061. arXiv : 2006.14924 . doi : 10.1090/proc/15349 . ISSN  0002-9939. S2CID  220127889.
61. Саари, Дональд Г .; Ся, Чжихун (май 1995). «От бесконечности за конечное время» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 42 : 538–546.
62. Baez, John C. (2021). «Борьба с континуумом». В Anel, Mathieu; Catren, Gabriel (ред.). Новые пространства в физике: формальные и концептуальные размышления . Cambridge University Press. стр. 281–326. arXiv : 1609.01421 . ISBN 978-1-108-49062-7. OCLC  1195899886.
63. Фефферман, Чарльз Л. (2006). «Существование и гладкость уравнения Навье–Стокса». В Карлсон, Джеймс; Джаффе, Артур ; Уайлс, Эндрю (ред.). Проблемы премии тысячелетия (PDF) . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. стр. 57–67. ISBN 978-0-821-83679-8. OCLC  466500872.
64. Эренфест, Пол ; Эренфест, Татьяна (1990) [1959]. Концептуальные основы статистического подхода в механике. Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 18. ISBN 0-486-66250-0. OCLC  20934820.
65. Kardar, Mehran (2007). Статистическая физика частиц . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-87342-0. OCLC  860391091.
66. Байерс, Нина (2006). «Эмми Нётер». В Байерс, Нина; Уильямс, Гэри (ред.). Из тени: вклад женщин 20-го века в физику . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 83–96. ISBN 978-0-521-82197-1. OCLC  1150964892.
67. ЛеГресли, Сара Э.; Дельгадо, Дженнифер А.; Брунер, Кристофер Р.; Мюррей, Майкл Дж.; Фишер, Кристофер Дж. (13 сентября 2019 г.). «Учебная программа по начальной физике с упором на энергию, основанная на исчислении, улучшает успеваемость учащихся на местном уровне и на последующих курсах». Physical Review Physics Education Research . 15 (2): 020126. Bibcode :2019PRPER..15b0126L. doi : 10.1103/PhysRevPhysEducRes.15.020126 . hdl : 1808/29610 . ISSN  2469-9896. S2CID  203484310.
68. Болл, Филип (13 сентября 2019 г.). «Обучение энергии прежде сил». Физика . 12 : 100. Bibcode : 2019PhyOJ..12..100B. doi : 10.1103/Physics.12.100. S2CID  204188746.
69. Houchmandzadeh, Bahram (май 2020 г.). «Уравнение Гамильтона–Якоби: альтернативный подход». American Journal of Physics . 88 (5): 353–359. arXiv : 1910.09414 . Bibcode :2020AmJPh..88..353H. doi :10.1119/10.0000781. ISSN  0002-9505. S2CID  204800598.
70. Розен, Натан (февраль 1965 г.). «Смешанные состояния в классической механике». American Journal of Physics . 33 (2): 146–150. Bibcode : 1965AmJPh..33..146R. doi : 10.1119/1.1971282. ISSN  0002-9505.
71. Weiner, JH (ноябрь 1974). «Гидродинамическая аналогия уравнения Гамильтона–Якоби». American Journal of Physics . 42 (11): 1026–1028. Bibcode : 1974AmJPh..42.1026W. doi : 10.1119/1.1987920. ISSN  0002-9505.
72. Райхл, Линда Э. (2016). Современный курс статистической физики (4-е изд.). Вайнхайм, Германия: Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-69048-0. OCLC  966177746.
73. Mermin, N. David (август 1961). «Две модели броуновского движения». American Journal of Physics . 29 (8): 510–517. Bibcode : 1961AmJPh..29..510M. doi : 10.1119/1.1937823. ISSN  0002-9505.
74. Kneubil, Fabiana B. (1 ноября 2016 г.). «Нарушение третьего закона Ньютона: электромагнитные примеры». European Journal of Physics . 37 (6): 065201. Bibcode : 2016EJPh...37f5201K. doi : 10.1088/0143-0807/37/6/065201. ISSN  0143-0807. S2CID  126380404.
75. Тоннелат, Мария-Антуанетта (1966). Принципы электромагнитной теории и теории относительности. Дордрехт: D. Reidel. ISBN 90-277-0107-5. OCLC  844001.
76. Чу, Кэролайн С.; Лебрилла, Карлито Б. (2010). «Введение в современные методы масс-спектрометрии». В Jue, Thomas (ред.). Биомедицинские приложения биофизики. Тотова, Нью-Джерси: Humana Press. стр. 137–154. doi :10.1007/978-1-60327-233-9_6. ISBN 978-1-60327-233-9. Получено 24 марта 2022 г. .
77. Panofsky, Wolfgang KH ; Phillips, Melba (2005) [1962]. Классическое электричество и магнетизм (2-е изд.). Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 0-486-43924-0. OCLC  56526974.
78. Бонга, Беатрис; Пуассон, Эрик; Янг, Хуан (ноябрь 2018 г.). «Собственный момент и баланс углового момента для вращающейся заряженной сферы». American Journal of Physics . 86 (11): 839–848. arXiv : 1805.01372 . Bibcode :2018AmJPh..86..839B. doi :10.1119/1.5054590. ISSN  0002-9505. S2CID  53625857.
79. Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско: Addison Wesley. ISBN 0-201-31611-0. OCLC  47056311.
80. Вернер, Рейнхард Ф. (9 октября 2014 г.). «Комментарий к «Что сделал Белл»". Журнал физики A: Математический и теоретический . 47 (42): 424011. Bibcode : 2014JPhA...47P4011W. doi : 10.1088/1751-8113/47/42/424011. ISSN  1751-8113. S2CID  122180759.
81. Choquet-Bruhat, Yvonne (2009). Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна. Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-155226-7. OCLC  317496332.
82. Эллис, Джордж Ф.Р .; Уильямс, Рут М. (2000). Плоское и искривленное пространство-время (2-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-850657-0. OCLC  44694623.
83. Френч, AP (1968). Специальная теория относительности . WW Norton and Company. стр. 224. ISBN 0-393-09804-4.
84. Хавас, Питер (1 октября 1964 г.). «Четырехмерные формулировки ньютоновской механики и их связь со специальной и общей теорией относительности». Reviews of Modern Physics . 36 (4): 938–965. Bibcode :1964RvMP...36..938H. doi :10.1103/RevModPhys.36.938. ISSN  0034-6861. ...обычное предположение ньютоновской механики состоит в том, что силы определяются одновременными положениями (и, возможно, их производными) частиц, и что они связаны третьим законом Ньютона. Такое предположение невозможно в специальной теории относительности, поскольку одновременность не является инвариантным понятием в этой теории.
85. Ставров, Ива (2020). Кривизна пространства и времени, с введением в геометрический анализ . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-6313-7. OCLC  1202475208.
86. Wheeler, John Archibald (18 июня 2010 г.). Геоны, черные дыры и квантовая пена: жизнь в физике. WW Norton & Company. ISBN 978-0-393-07948-7.
87. Керстинг, Магдалена (май 2019 г.). «Свободное падение в искривленном пространстве-времени — как визуализировать гравитацию в общей теории относительности». Physics Education . 54 (3): 035008. Bibcode :2019PhyEd..54c5008K. doi : 10.1088/1361-6552/ab08f5 . hdl : 10852/74677 . ISSN  0031-9120. S2CID  127471222.
88. Прескод-Вайнштейн, Чанда (2021). Неупорядоченный космос: путешествие в темную материю, пространство-время и отложенные сны. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Bold Type Books. ISBN 978-1-5417-2470-9. OCLC  1164503847.
89. Гудштейн, Джудит Р. (2018). Итальянские математики Эйнштейна: Риччи, Леви-Чивита и рождение общей теории относительности. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 143. ISBN 978-1-4704-2846-4. OCLC  1020305599.
90. Mermin, N. David (1993). «Скрытые переменные и две теоремы Джона Белла». Reviews of Modern Physics . 65 (3): 803–815. arXiv : 1802.10119 . Bibcode :1993RvMP...65..803M. doi :10.1103/RevModPhys.65.803. S2CID  119546199. Фундаментальная квантовая доктрина заключается в том, что измерение, как правило, не раскрывает ранее существовавшее значение измеряемого свойства.
91. Шаффер, Кэтрин; Баррето Лемос, Габриэла (24 мая 2019 г.). «Уничтожение вещности: введение в «Что» и «Ну и что» квантовой физики». Основы науки . 26 : 7–26. arXiv : 1908.07936 . doi : 10.1007/s10699-019-09608-5. ISSN  1233-1821. S2CID  182656563.
92. Маршман, Эмили; Сингх, Чандралекха (1 марта 2017 г.). «Исследование и улучшение понимания студентами вероятностных распределений для измерения физических наблюдаемых в квантовой механике». European Journal of Physics . 38 (2): 025705. Bibcode : 2017EJPh...38b5705M. doi : 10.1088/1361-6404/aa57d1 . ISSN  0143-0807. S2CID  126311599.
93. Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (2005). Квантовая механика . Перевод Хемли, Сьюзен Рид; Островский, Николь; Островский, Дэн. Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-16433-X.
94. Перес, Эшер (1993). Квантовая теория: концепции и методы . Kluwer . ISBN 0-7923-2549-4. OCLC  28854083.
95. D. Bilodeau, цитируется в Fuchs, Christopher A. (6 января 2011 г.). Coming of Age with Quantum Information . Cambridge University Press. стр. 310–311. ISBN 978-0-521-19926-1. OCLC  759812415.
96. Каспар, Макс (2012) [1959]. Кеплер . Перевод Хеллмана, К. Дорис . Довер. стр. 178. ISBN 978-0-486-15175-5. OCLC  874097920.
97. Угалья, Моника (2015). «Гидостатическая физика Аристотеля». Аннали делла Нормальная школа Пизы. Класс письма и философии . 7 (1): 169–199. ISSN  0392-095Х. JSTOR  43915795.
98. Straulino, S.; Gambi, CMC; Righini, A. (январь 2011 г.). «Эксперименты по плавучести и поверхностному натяжению после Галилео Галилея». American Journal of Physics . 79 (1): 32–36. Bibcode :2011AmJPh..79...32S. doi :10.1119/1.3492721. hdl : 2158/530056 . ISSN  0002-9505. Аристотель в своей «Физике» утверждал, что твердая вода должна иметь больший вес, чем жидкая вода, при том же объеме. Мы знаем, что это утверждение неверно, потому что плотность льда ниже, чем у воды (водородные связи создают открытую кристаллическую структуру в твердой фазе), и по этой причине лед может плавать. [...] Аристотелевская теория плавучести утверждает, что тела в жидкости поддерживаются сопротивлением жидкости разделению проникающим предметом, подобно тому, как большой кусок дерева поддерживает топор, ударяющий по нему, или мед поддерживает ложку. Согласно этой теории, лодка должна тонуть на мелководье больше, чем в открытом море, подобно тому, как топор может легко проникнуть и даже сломать небольшой кусок дерева, но не может проникнуть в большой кусок.
99. Сорабджи, Ричард (2010). «Джон Филопон». Филопон и отвержение аристотелевской науки (2-е изд.). Институт классических исследований Лондонского университета. ISBN 978-1-905-67018-5. JSTOR  44216227. OCLC  878730683.
100. Майер, Аннелиза (1982). Сарджент, Стивен Д. (ред.). На пороге точной науки . Издательство Пенсильванского университета. ISBN 978-0-812-27831-6. OCLC  495305340.
101. См., например:
     • Итон, Филип; Вавруска, Кинси; Уиллоуби, Шеннон (25 апреля 2019 г.). «Изучение неньютоновских представлений о мире до и после обучения, измеренных с помощью инвентаризации концепций силы». Physical Review Physics Education Research . 15 (1): 010123. Bibcode : 2019PRPER..15a0123E. doi : 10.1103/PhysRevPhysEducRes.15.010123 . ISSN  2469-9896. S2CID  149482566.
     • Робертсон, Эми Д.; Гудхью, Лиза М.; Шерр, Рэйчел Э .; Херон, Паула Р.Л. (март 2021 г.). «Импетоподобное рассуждение как продолжение ньютоновской физики». The Physics Teacher . 59 (3): 185–188. doi :10.1119/10.0003660. ISSN  0031-921X. S2CID  233803836.
     • Робертсон, Эми Д.; Гудхью, Лиза М.; Шерр, Рэйчел Э .; Херон, Паула Р.Л. (30 марта 2021 г.). «Концептуальные ресурсы для студентов университета по пониманию сил». Physical Review Physics Education Research . 17 (1): 010121. Bibcode : 2021PRPER..17a0121R. doi : 10.1103/PhysRevPhysEducRes.17.010121 . ISSN  2469-9896. S2CID  243143427.
102. Blackwell, Richard J. (1966). «Законы движения Декарта». Isis . 57 (2): 220–234. doi :10.1086/350115. JSTOR  227961. S2CID  144278075.
103. Галилей, Г. (1954) [1638, 1914]. Крю, Х.; Де Сальвио, А. (ред.). Диалоги о двух новых науках. Dover Publications Inc., стр. 268.
104. Галилей, Г. (1974) [1638]. Две новые науки, включая центры тяжести и силу удара. Перевод Дрейка, С. Издательство Висконсинского университета. С. 217 [268].
105. Хеллман, К. Дорис (1955). «Наука в эпоху Возрождения: обзор». Renaissance News . 8 (4): 186–200. doi :10.2307/2858681. ISSN  0277-903X. JSTOR  2858681.
106. ЛоЛордо, Антония (2007). Пьер Гассенди и рождение ранней современной философии. Нью-Йорк: Cambridge University Press. С. 175–180. ISBN 978-0-511-34982-9. OCLC  182818133.
107. Декарт, Р. (2008) [1644]. Беннетт, Дж. (ред.). Принципы философии (PDF) . Часть II, § 37, 39.
108. Блэквелл, Ричард Дж.; Гюйгенс, Кристиан (1977). «Христиан Гюйгенс. Движение сталкивающихся тел». Исида . 68 (4): 574–597. дои : 10.1086/351876. JSTOR  230011. S2CID  144406041.
109. Pourciau, Bruce (октябрь 2011 г.). «Действительно ли второй закон Ньютона — закон Ньютона?». American Journal of Physics . 79 (10): 1015–1022. Bibcode : 2011AmJPh..79.1015P. doi : 10.1119/1.3607433. ISSN  0002-9505.
110. Фара, Патрисия (15 августа 2003 г.). «Был ли Ньютон ньютонианцем?». Science . 301 (5635): 920. doi :10.1126/science.1088786. ISSN  0036-8075. S2CID  170120455.
111. Хиггитт, Ребекка (2015). Наука и культура в девятнадцатом веке: воссоздание Ньютона. Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис. стр. 147. ISBN 978-1-317-31495-0. OCLC  934741893.
112. Доббс, Бетти Джо Титер (1975). Основы алхимии Ньютона: Или «Охота на Грин-Лайон» . Cambridge University Press. С. 211–212. ISBN 9780521273817. OCLC  1058581988.
113. Уэст, Ричард (1980). Никогда не отдыхай . Cambridge University Press. стр. 390. ISBN 9780521231435. OCLC  5677169.
114. Newman, William R. (2016). «Предварительная переоценка алхимии Ньютона». Cambridge Companion to Newton (2-е изд.). Cambridge University Press. стр. 454–484. ISBN 978-1-107-01546-3. OCLC  953450997.
115. Нуммедал, Тара (1 июня 2020 г.). «Уильям Р. Ньюман. Ньютон-алхимик: наука, загадка и поиски «секретного огня» природы». Isis . 111 (2): 395–396. doi :10.1086/709344. ISSN  0021-1753. S2CID  243203703.
116. Олдерси-Уильямс, Хью (2020). Dutch Light: Христиан Гюйгенс и становление науки в Европе. Лондон: Picador. ISBN 978-1-5098-9333-1. OCLC  1144105192.
117. Коэн, И. Бернард (1962). «Первая английская версия «Гипотез Ньютона не изобретаю». Isis . 53 (3): 379–388. doi :10.1086/349598. ISSN  0021-1753. JSTOR  227788. S2CID  144575106.
118. Джаммер, Макс (1999) [1962]. Концепции силы: исследование основ динамики . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 91, 127. ISBN 978-0-486-40689-3. OCLC  40964671.
119. Словик, Эдвард (15 октября 2021 г.). «Физика Декарта». Стэнфордская энциклопедия философии . Получено 6 марта 2022 г.
120. Эрлихсон, Герман (февраль 1997 г.). «Молодой Гюйгенс решает проблему упругих столкновений». American Journal of Physics . 65 (2): 149–154. Bibcode :1997AmJPh..65..149E. doi :10.1119/1.18659. ISSN  0002-9505.
121. Смит, Джордж Э. (октябрь 2006 г.). «Спор о живой силе: полемика на заре динамики». Physics Today . 59 (10): 31–36. Bibcode : 2006PhT....59j..31S. doi : 10.1063/1.2387086. ISSN  0031-9228.
122. Дэвис, ЭБ (2009). «Некоторые размышления о «Началах» Ньютона». Британский журнал истории науки . 42 (2): 211–224. doi :10.1017/S000708740800188X. ISSN  0007-0874. JSTOR  25592244. S2CID  145120248.
123. Смит, Джордж Э. (декабрь 2020 г.). «Законы движения Ньютона». В Шлиссер, Эрик; Сминк, Крис (ред.). Оксфордский справочник Ньютона . Oxford University Press. Онлайн до печати. ​​doi : 10.1093/oxfordhb/9780199930418.013.35. ISBN 978-0-199-93041-8. OCLC  972369868.
124. Patterson, Elizabeth C. (декабрь 1969 г.). "Mary Somerville". The British Journal for the History of Science . 4 (4): 311–339. doi :10.1017/S0007087400010232. ISSN  0007-0874. S2CID  246612625. Ни в коем случае это не был просто перевод работы Лапласа. Вместо этого он пытался объяснить его метод "... с помощью которого эти результаты были выведены из одного общего уравнения движения материи" и довести математические навыки читателя до точки, где изложение математики и идей Лапласа было бы осмысленным — затем дать дайджест на английском языке его великой работы. При необходимости к оригинальному тексту добавлялись диаграммы и включались доказательства различных задач по физической механике и астрономии. ... [П]осле своего появления книга продолжала служить учебником по высшей математике и астрономии в английских школах.
125. Барон, Маргарет Э. (1969). Истоки исчисления бесконечно малых величин (1-е изд.). Оксфорд: Pergamon Press. ISBN 978-1-483-28092-9. OCLC  892067655.
126. Данлоп, Кэтрин (май 2012 г.). «Математическая форма измерения и аргумент в пользу предложения I в «Началах» Ньютона». Synthese . 186 (1): 191–229. doi :10.1007/s11229-011-9983-8. ISSN  0039-7857. S2CID  11794836.
127. Смит, Джордж (20 декабря 2007 г.). «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» Ньютона. Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 6 марта 2022 г.
128. Marquina, JE; Marquina, ML; Marquina, V.; Hernández-Gómez, JJ (1 января 2017 г.). «Леонард Эйлер и механика твердых тел». European Journal of Physics . 38 (1): 015001. Bibcode : 2017EJPh...38a5001M. doi : 10.1088/0143-0807/38/1/015001. ISSN  0143-0807. S2CID  125948408.
129. Гессе, Мэри Б. (2005) [1961]. Силы и поля: концепция действия на расстоянии в истории физики (переиздание Dover). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 189. ISBN 978-0-486-44240-2. OCLC  57579169.
130. Смит, Джордж (19 декабря 2007 г.). «Исаак Ньютон». Стэнфордская энциклопедия философии . Получено 6 марта 2022 г. Эти достижения в нашем понимании движения планет привели Лапласа к созданию четырех основных томов его « Traité de mécanique céleste» с 1799 по 1805 г. — работы, в которой собраны в одном месте все теоретические и эмпирические результаты исследований, основанных на «Principia» Ньютона . С этого времени ньютоновская наука возникла из работы Лапласа, а не Ньютона.
131. Райхенбергер, Андреа (июнь 2018 г.). «Интерпретация Эмили Дю Шатле законов движения в свете механики 18-го века». Исследования по истории и философии науки Часть A. 69 : 1–11. Bibcode : 2018SHPSA..69....1R. doi : 10.1016/j.shpsa.2018.01.006. PMID  29857796. S2CID  46923474.
132. Фронтали, Клара (сентябрь 2014 г.). «История физических терминов: «энергия»». Физическое образование . 49 (5): 564–573. Bibcode : 2014PhyEd..49..564F. doi : 10.1088/0031-9120/49/5/564. ISSN  0031-9120. S2CID  122097990.
133. Gbur, Greg (10 декабря 2018 г.). «История сохранения энергии: бумы, кровь и пиво (часть 1)». Черепа в звездах . Получено 7 марта 2022 г. «История сохранения энергии: бумы, кровь и пиво (часть 2)». 29 декабря 2018 г. Получено 7 марта 2022 г. «История сохранения энергии: бумы, кровь и пиво (часть 3)». 25 августа 2019 г. Получено 7 марта 2022 г.
134. Сильва, Сибелле Селестино; де Андраде Мартинс, Роберто (сентябрь 2002 г.). «Полярные и аксиальные векторы против кватернионов». American Journal of Physics . 70 (9): 958–963. Bibcode : 2002AmJPh..70..958S. doi : 10.1119/1.1475326. ISSN  0002-9505.
135. Райх, Карин (1996). «Возникновение векторного исчисления в физике: первые десятилетия». В Schubring, Gert (ред.). Герман Гюнтер Грассман (1809–1877): визионер-математик, ученый и неогуманист . Boston Studies in the Philosophy of Science. Vol. 187. Kluwer. pp. 197–210. ISBN 978-9-048-14758-8. OCLC  799299609.

Дальнейшее чтение

• Законы динамики Ньютона - Фейнмановские лекции по физике
• Чакрабарти, Дипто; Дурмашкин, Питер; Томасик, Мишель; Фребель, Анна ; Вулетич, Владан (2016). "Классическая механика". MIT OpenCourseWare . Получено 17 января 2022 г.