Число

Используется для подсчета, измерения и маркировки.

Установите включения между натуральными числами (ℕ), целыми числами (ℤ), рациональными числами (ℚ), действительными числами (ℝ) и комплексными числами (ℂ)

Число — это математический объект, используемый для подсчета, измерения и маркировки. Наиболее простыми примерами являются натуральные числа 1, 2, 3, 4 и т. д. ^[1] Числа могут быть представлены в языке с помощью числовых слов. Более универсально, отдельные числа могут быть представлены символами, называемыми цифрами ; например, «5» — это цифра, представляющая число пять. Поскольку можно запомнить только относительно небольшое количество символов, основные цифры обычно организованы в числовую систему , которая является организованным способом представления любого числа. Наиболее распространенной числовой системой является индо-арабская числовая система , которая позволяет представлять любое неотрицательное целое число с помощью комбинации десяти основных числовых символов, называемых цифрами . ^{[2] [a]} Помимо использования при подсчете и измерении, цифры часто используются для меток (как в телефонных номерах), для упорядочивания (как в серийных номерах ) и для кодов (как в ISBN ). В обычном использовании число нечетко отличается от числа , которое оно представляет.

В математике понятие числа на протяжении столетий расширялось и включало ноль (0), ^[3] отрицательные числа , ^[4] рациональные числа , такие как половина , действительные числа, такие как квадратный корень из 2 и π , ^[5] и комплексные числа , ^[6] которые расширяют действительные числа квадратным корнем из −1 (и его комбинации с действительными числами путем сложения или вычитания его кратных). ^[4] Вычисления с числами выполняются с помощью арифметических операций, наиболее известными из которых являются сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень . Их изучение или использование называется арифметикой , термин, который также может относиться к теории чисел , изучению свойств чисел. ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\sqrt {2}}\right)}$

Помимо практического использования, числа имеют культурное значение во всем мире. ^{[7] [8]} Например, в западном обществе число 13 часто считается несчастливым , а « миллион » может означать «много», а не точное количество. ^[7] Хотя сейчас это считается лженаукой , вера в мистическое значение чисел, известная как нумерология , проникла в древнюю и средневековую мысль. ^[9] Нумерология оказала сильное влияние на развитие греческой математики , стимулируя исследование многих проблем теории чисел, которые до сих пор представляют интерес. ^[9]

В течение 19 века математики начали разрабатывать множество различных абстракций, которые разделяют определенные свойства чисел и могут рассматриваться как расширение концепции. Среди первых были гиперкомплексные числа , которые состоят из различных расширений или модификаций комплексной числовой системы. В современной математике числовые системы считаются важными специальными примерами более общих алгебраических структур, таких как кольца и поля , и применение термина «число» является вопросом соглашения, не имеющим принципиального значения. ^[10]

История

Первое использование чисел

Были обнаружены кости и другие артефакты с вырезанными на них отметками, которые, по мнению многих, являются метками учета . ^[11] Эти метки учета могли использоваться для подсчета прошедшего времени, например, количества дней, лунных циклов или для ведения учета количества, например, животных.

Система счисления не имеет понятия разрядного значения (как в современной десятичной системе счисления), что ограничивает ее представление больших чисел. Тем не менее, системы счисления считаются первым видом абстрактной числовой системы.

Первой известной системой счисления с разрядным значением была месопотамская система с основанием 60 ( ок.  3400  г. до н. э.), а самая ранняя известная система с основанием 10 датируется 3100 г. до н. э. в Египте . ^[12]

Цифры

Числа следует отличать от цифр , символов, используемых для представления чисел. Египтяне изобрели первую зашифрованную систему счисления, а греки последовали за ними, отобразив свои счетные числа на ионическом и дорическом алфавитах. ^[13] Римские цифры, система, которая использовала комбинации букв из римского алфавита, оставалась доминирующей в Европе до распространения превосходной индо-арабской системы счисления примерно в конце 14 века, и индо-арабская система счисления остается самой распространенной системой представления чисел в мире сегодня. ^{[14] [ нужен лучший источник ]} Ключом к эффективности системы был символ для нуля , который был разработан древнеиндийскими математиками около 500 года нашей эры. ^[14]

Ноль

Первое известное задокументированное использование нуля датируется 628 годом нашей эры и появилось в Brāhmasphuṭasiddhānta , главном труде индийского математика Брахмагупты . Он рассматривал 0 как число и обсуждал операции с ним, включая деление . К этому времени (VII век) эта концепция явно достигла Камбоджи в виде кхмерских цифр , и документация показывает, что эта идея позже распространилась на Китай и исламский мир .

Число 605 в кхмерских цифрах из надписи 683 г. н. э. Раннее использование нуля в качестве десятичной цифры.

«Brāhmasphuṭasiddhānta » Брахмагупты — первая книга, в которой ноль упоминается как число, поэтому Брахмагупту обычно считают первым, кто сформулировал концепцию нуля. Он дал правила использования нуля с отрицательными и положительными числами, например, «ноль плюс положительное число — это положительное число, а отрицательное число плюс ноль — это отрицательное число». « Brāhmasphuṭasiddhānta» — самый ранний известный текст, в котором ноль рассматривается как число само по себе, а не просто как цифра-заполнитель для представления другого числа, как это делали вавилоняне, или как символ отсутствия количества, как это делали Птолемей и римляне.

Использование 0 в качестве числа следует отличать от его использования в качестве числительного-заполнителя в системах счисления с разрядными значениями . Во многих древних текстах использовалось 0. Вавилонские и египетские тексты использовали его. Египтяне использовали слово nfr для обозначения нулевого баланса в двойной бухгалтерии . Индийские тексты использовали санскритское слово Shunye или shunya для обозначения концепции пустоты . В математических текстах это слово часто относится к числу ноль. ^[15] В похожем ключе Панини (V век до н. э.) использовал оператор null (ноль) в Ashtadhyayi , раннем примере алгебраической грамматики для санскритского языка (см. также Pingala ).

Существуют и другие случаи использования нуля до Брахмагупты, хотя документация по ним не столь полна, как в « Брахмаспхутасиддханте» .

Записи показывают, что древние греки, по-видимому, не были уверены в статусе 0 как числа: они спрашивали себя: «Как „ничто“ может быть чем-то?», что привело к интересным философским и, к периоду Средневековья, религиозным спорам о природе и существовании 0 и вакуума. Парадоксы Зенона Элейского частично зависят от неопределенной интерпретации 0. (Древние греки даже сомневались, является ли  1 числом.)

Поздние ольмеки из юго-центральной Мексики начали использовать символ нуля, ракушечный глиф , в Новом Свете, возможно, в 4 веке до н. э. , но определенно в 40 году до н. э., который стал неотъемлемой частью цифр и календаря майя . Арифметика майя использовала основание 4 и основание 5, записанное как основание 20. Джордж И. Санчес в 1961 году сообщил о основании 4, основании 5 «пальцевых» счет. ^{[16] [ нужен лучший источник ]}

К 130 году нашей эры Птолемей , под влиянием Гиппарха и вавилонян, использовал символ для 0 (маленький кружок с длинной чертой сверху) в шестидесятеричной системе счисления, в противном случае используя алфавитные греческие цифры . Поскольку он использовался отдельно, а не просто как заполнитель, этот эллинистический ноль был первым задокументированным использованием настоящего нуля в Старом Свете. В более поздних византийских рукописях его Syntaxis Mathematica ( Альмагест ) эллинистический ноль трансформировался в греческую букву Омикрон (иначе означающую 70).

Другой истинный ноль использовался в таблицах наряду с римскими цифрами к 525 году (первое известное использование Дионисия Малого ), но как слово, nulla, означающее «ничего» , а не как символ. Когда деление давало 0 в качестве остатка, использовалось nihil , также означающее «ничего ». Эти средневековые нули использовались всеми будущими средневековыми вычислителями (вычислителями Пасхи). Изолированное использование их начальной буквы, N, использовалось в таблице римских цифр Бедой или его коллегой около 725 года, как истинный символ нуля.

Отрицательные числа

Абстрактная концепция отрицательных чисел была признана еще в 100–50 гг. до н. э. в Китае. «Девять глав о математическом искусстве» содержат методы нахождения площадей фигур; красные стержни использовались для обозначения положительных коэффициентов , черные — для отрицательных. ^[17] Первое упоминание в западной работе относится к 3 веку н. э. в Греции. Диофант ссылался на уравнение, эквивалентное 4 x + 20 = 0 (решение отрицательно) в «Арифметике» , говоря, что уравнение дает абсурдный результат.

В 600-х годах в Индии для представления долгов использовались отрицательные числа. Предыдущая ссылка Диофанта была более подробно обсуждена индийским математиком Брахмагуптой в Brāhmasphuṭasiddhānta в 628 году, который использовал отрицательные числа для получения общей формы квадратной формулы , которая используется и сегодня. Однако в 12 веке в Индии Бхаскара дает отрицательные корни для квадратных уравнений, но говорит, что отрицательное значение «в этом случае не следует принимать, поскольку оно неадекватно; люди не одобряют отрицательные корни».

Европейские математики, по большей части, сопротивлялись концепции отрицательных чисел до 17-го века, хотя Фибоначчи допускал отрицательные решения в финансовых задачах, где они могли быть интерпретированы как долги (глава 13 Liber Abaci , 1202) и позже как убытки (во Flos ). Рене Декарт называл их ложными корнями, поскольку они возникали в алгебраических многочленах, но он нашел способ менять местами истинные корни и ложные корни. В то же время китайцы обозначали отрицательные числа, рисуя диагональную черту через самую правую ненулевую цифру соответствующего положительного числа. ^[18] Первое использование отрицательных чисел в европейской работе было в 15-м веке Николя Шуке . Он использовал их в качестве показателей степеней , но называл их «абсурдными числами».

Еще в XVIII веке было принято игнорировать любые отрицательные результаты, возвращаемые уравнениями, предполагая, что они бессмысленны.

Рациональные числа

Вероятно, что концепция дробных чисел восходит к доисторическим временам . Древние египтяне использовали свою египетскую дробную нотацию для рациональных чисел в математических текстах, таких как Математический папирус Ринда и Папирус Кахуна . Классические греческие и индийские математики изучали теорию рациональных чисел как часть общего изучения теории чисел . ^[19] Самым известным из них является «Начала» Евклида , датируемые примерно 300 годом до нашей эры. Из индийских текстов наиболее значимым является « Стананга-сутра» , которая также охватывает теорию чисел как часть общего изучения математики.

Концепция десятичных дробей тесно связана с десятичной позиционной системой счисления; похоже, что они развивались параллельно. Например, для джайнской математической сутры характерно включение вычислений приближений десятичных дробей к числу пи или квадратному корню из 2. ^{[ необходима цитата ]} Аналогично, вавилонские математические тексты использовали шестидесятеричные (с основанием 60) дроби с большой частотой.

Иррациональные числа

Самое раннее известное использование иррациональных чисел было в индийских сутрах Сульба, составленных между 800 и 500 годами до н. э. ^{[20] [ нужен лучший источник ]} Первые доказательства существования иррациональных чисел обычно приписываются Пифагору , а точнее пифагорейцу Гиппасу из Метапонта , который дал (скорее всего, геометрическое) доказательство иррациональности квадратного корня из 2 . История гласит, что Гиппас открыл иррациональные числа, когда пытался представить квадратный корень из 2 в виде дроби. Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не мог принять существование иррациональных чисел. Он не мог опровергнуть их существование с помощью логики, но он не мог принять иррациональные числа, и поэтому, как утверждается и часто сообщается, он приговорил Гиппаса к смерти через утопление, чтобы воспрепятствовать распространению этой обескураживающей новости. ^{[21] [ нужен лучший источник ]}

XVI век принес окончательное европейское признание отрицательных целых и дробных чисел. К XVII веку математики в основном использовали десятичные дроби с современной записью. Однако только в XIX веке математики разделили иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные части и снова занялись научным изучением иррациональных чисел. Оно оставалось почти бездействующим со времен Евклида . В 1872 году была осуществлена ​​публикация теорий Карла Вейерштрасса (его ученика Э. Коссака), Эдуарда Гейне ^[22] , Георга Кантора [ ^23] и Рихарда Дедекинда ^[24] . В 1869 году Шарль Мерей взял ту же отправную точку, что и Гейне, но теория обычно относится к 1872 году. Метод Вейерштрасса был полностью изложен Сальваторе Пинкерле (1880), а метод Дедекинда получил дополнительную известность благодаря более поздней работе автора (1888) и одобрению Пола Таннери (1894). Вейерштрасс, Кантор и Гейне основывают свои теории на бесконечных рядах, в то время как Дедекинд основывает свою на идее разреза (Шнитта) в системе действительных чисел , разделяя все рациональные числа на две группы, имеющие определенные характерные свойства. Тема получила более поздние вклады от рук Вейерштрасса, Кронекера [ ^25] и Мере.

Поиск корней уравнений пятой и более высокой степени был важным достижением; теорема Абеля–Руффини ( Руффини 1799, Абель 1824) показала, что их нельзя решить с помощью радикалов (формул, включающих только арифметические операции и корни). Следовательно, необходимо было рассмотреть более широкий набор алгебраических чисел (все решения полиномиальных уравнений). Галуа (1832) связал полиномиальные уравнения с теорией групп, что дало начало области теории Галуа .

Простые непрерывные дроби , тесно связанные с иррациональными числами (и благодаря Катальди, 1613), привлекли внимание Эйлера [ ^26] и в начале 19 века стали известны благодаря трудам Жозефа Луи Лагранжа . Другие примечательные вклады были сделаны Дракенмюллером (1837), Кунце (1857), Лемке (1870) и Гюнтером (1872). Рамус ^[27] первым связал этот предмет с детерминантами , что привело к последующему вкладу Гейне ^{[28] ,} Мёбиуса и Гюнтера ^[29] в теорию Kettenbruchdeterminanten .

Трансцендентные числа и действительные числа

Существование трансцендентных чисел ^[30] впервые установил Лиувилль (1844, 1851). Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Линдеман доказал в 1882 году, что π трансцендентно. Наконец, Кантор показал, что множество всех действительных чисел несчетно бесконечно, но множество всех алгебраических чисел счетно бесконечно , поэтому существует несчетно бесконечное число трансцендентных чисел.

Бесконечность и бесконечно малые величины

Самая ранняя известная концепция математической бесконечности появляется в Яджурведе , древнеиндийском тексте, в котором в одном месте говорится: «Если вы удалите часть из бесконечности или добавите часть к бесконечности, все равно останется бесконечность». Бесконечность была популярной темой философского изучения среди джайнских математиков около 400 г. до н. э. Они различали пять типов бесконечности: бесконечность в одном и двух направлениях, бесконечность по площади, бесконечность везде и бесконечность вечно. Этот символ часто используется для обозначения бесконечного количества. ${\displaystyle {\text{∞}}}$

Аристотель определил традиционное западное понятие математической бесконечности. Он различал актуальную бесконечность и потенциальную бесконечность — общее мнение состояло в том, что только последняя имела истинное значение. В « Двух новых науках » Галилео Галилея обсуждалась идея взаимно-однозначных соответствий между бесконечными множествами. Но следующий крупный шаг вперед в теории был сделан Георгом Кантором ; в 1895 году он опубликовал книгу о своей новой теории множеств , введя, среди прочего, трансфинитные числа и сформулировав гипотезу континуума .

В 1960-х годах Абрахам Робинсон показал, как можно строго определить бесконечно большие и бесконечно малые числа и использовать их для разработки области нестандартного анализа. Система гипердействительных чисел представляет собой строгий метод обработки идей о бесконечных и бесконечно малых числах, которые использовались математиками, учеными и инженерами повседневно с тех пор, как Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление бесконечно малых .

Современная геометрическая версия бесконечности дана проективной геометрией , которая вводит «идеальные точки на бесконечности», по одной для каждого пространственного направления. Каждое семейство параллельных линий в заданном направлении постулируется сходящимся к соответствующей идеальной точке. Это тесно связано с идеей точек схода в перспективном рисовании.

Комплексные числа

Самое раннее мимолетное упоминание квадратных корней отрицательных чисел встречается в работе математика и изобретателя Герона Александрийского в I веке нашей эры , когда он рассматривал объем невозможной усеченной пирамиды . Они стали более заметными, когда в XVI веке итальянские математики, такие как Никколо Фонтана Тарталья и Джероламо Кардано , открыли замкнутые формулы для корней многочленов третьей и четвертой степени . Вскоре стало понятно, что эти формулы, даже если интересовались только действительными решениями, иногда требовали манипуляций с квадратными корнями отрицательных чисел.

Это было вдвойне тревожно, поскольку в то время они даже не считали отрицательные числа твёрдыми. Когда Рене Декарт ввёл термин «мнимые» для этих величин в 1637 году, он намеревался использовать его как уничижительный. (См. мнимые числа для обсуждения «реальности» комплексных чисел.) Дополнительным источником путаницы было то, что уравнение

${\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$

казалось капризно несовместимым с алгебраическим тождеством

${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}$

которая действительна для положительных действительных чисел a и b , а также использовалась в вычислениях комплексных чисел, где одно из a , b положительно, а другое отрицательно. Неправильное использование этой идентичности и связанная с ней идентичность

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$

в случае, когда и a , и b отрицательны, это даже сбивало с толку Эйлера . ^[31] Эта трудность в конечном итоге привела его к соглашению об использовании специального символа i вместо , чтобы защититься от этой ошибки. ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

В XVIII веке работали Абрахам де Муавр и Леонард Эйлер . Формула Муавра (1730) гласит:

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }$

в то время как формула комплексного анализа Эйлера (1748) дала нам:

${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.}$

Существование комплексных чисел не было полностью принято, пока Каспар Вессель не описал геометрическую интерпретацию в 1799 году. Карл Фридрих Гаусс переоткрыл и популяризировал ее несколько лет спустя, и в результате теория комплексных чисел получила заметное расширение. Идея графического представления комплексных чисел появилась, однако, еще в 1685 году в трактате Валлиса « De algebra tractatus ».

В том же году Гаусс предоставил первое общепринятое доказательство фундаментальной теоремы алгебры , показав, что каждый многочлен над комплексными числами имеет полный набор решений в этой области. Гаусс изучал комплексные числа вида a + bi , где a и b — целые числа (теперь называемые гауссовыми целыми числами ) или рациональные числа. Его ученик, Готтхольд Эйзенштейн , изучал тип a + bω , где ω — комплексный корень из x ³ − 1 = 0 (теперь называемый целыми числами Эйзенштейна ). Другие такие классы (называемые циклотомическими полями ) комплексных чисел выводятся из корней из единицы x ^k − 1 = 0 для более высоких значений k . Это обобщение во многом обязано Эрнсту Куммеру , который также изобрёл идеальные числа , которые были выражены как геометрические сущности Феликсом Клейном в 1893 году.

В 1850 году Виктор Александр Пюизо сделал ключевой шаг к различению полюсов и точек ветвления и ввел концепцию существенных особых точек . ^{[ необходимо разъяснение ]} Это в конечном итоге привело к концепции расширенной комплексной плоскости .

Простые числа

Простые числа изучались на протяжении всей письменной истории. ^{[ требуется ссылка ]} Это положительные целые числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Евклид посвятил одну книгу «Начал» теории простых чисел; в ней он доказал бесконечность простых чисел и основную теорему арифметики , а также представил алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел.

В 240 году до нашей эры Эратосфен использовал решето Эратосфена для быстрого выделения простых чисел. Но большая часть дальнейшего развития теории простых чисел в Европе относится к эпохе Возрождения и более поздним эпохам. ^{[ необходима цитата ]}

В 1796 году Адриен-Мари Лежандр выдвинул гипотезу о простых числах , описывающую асимптотическое распределение простых чисел. Другие результаты, касающиеся распределения простых чисел, включают доказательство Эйлера того, что сумма обратных величин простых чисел расходится, и гипотезу Гольдбаха , которая утверждает, что любое достаточно большое четное число является суммой двух простых чисел. Еще одна гипотеза, связанная с распределением простых чисел, — гипотеза Римана , сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году. Теорема о простых числах была окончательно доказана Жаком Адамаром и Шарлем де ла Валле-Пуссеном в 1896 году. Гипотезы Гольдбаха и Римана остаются недоказанными и неопровергнутыми.

Основная классификация

Числа можно классифицировать по множествам , называемым числовыми множествами или числовыми системами , например, натуральные числа и действительные числа . Основные числовые системы следующие:

Каждая из этих числовых систем является подмножеством следующей. Так, например, рациональное число также является действительным числом, а каждое действительное число также является комплексным числом. Это можно выразить символически как

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$.

Более полный список наборов чисел представлен на следующей диаграмме.

Натуральные числа

Натуральные числа, начиная с 1

Наиболее знакомыми числами являются натуральные числа (иногда называемые целыми числами или счетными числами): 1, 2, 3 и так далее. Традиционно последовательность натуральных чисел начиналась с 1 (0 даже не считался числом для древних греков.) Однако в 19 веке теоретики множеств и другие математики начали включать 0 ( мощность пустого множества , т. е. 0 элементов, где 0, таким образом, является наименьшим кардинальным числом ) в множество натуральных чисел. ^{[32] [33]} Сегодня разные математики используют этот термин для описания обоих множеств, включая 0 или нет. Математический символ для множества всех натуральных чисел — N , также пишется , и иногда или когда необходимо указать, должно ли множество начинаться с 0 или 1 соответственно. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$

В десятичной системе счисления, которая сегодня практически повсеместно используется для математических операций, символы натуральных чисел записываются с помощью десяти цифр : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Основание или основание — это количество уникальных числовых цифр, включая ноль, которые система счисления использует для представления чисел (для десятичной системы основание равно 10). В этой десятичной системе самая правая цифра натурального числа имеет разрядное значение 1, а каждая вторая цифра имеет разрядное значение, в десять раз превышающее разрядное значение цифры справа от нее.

В теории множеств , которая способна выступать в качестве аксиоматической основы для современной математики, ^[34] натуральные числа могут быть представлены классами эквивалентных множеств. Например, число 3 может быть представлено как класс всех множеств, которые имеют ровно три элемента. Альтернативно, в арифметике Пеано число 3 представлено как sss0, где s — функция «последователя» (т. е. 3 — третий преемник 0). Возможны многие различные представления; все, что нужно для формального представления 3, — это вписать определенный символ или комбинацию символов три раза.

Целые числа

Отрицательное положительное целое число определяется как число, которое дает 0 при добавлении к соответствующему положительному целому числу. Отрицательные числа обычно записываются со знаком минус ( знак минус ). Например, отрицательное число 7 записывается как −7, а 7 + (−7) = 0 . Когда множество отрицательных чисел объединяется с множеством натуральных чисел (включая 0), результат определяется как множество целых чисел , Z также пишется . Здесь буква Z происходит от немецкого Zahl  'число'. Множество целых чисел образует кольцо с операциями сложения и умножения. ^[35] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Натуральные числа образуют подмножество целых чисел. Поскольку не существует единого стандарта для включения или невключения нуля в натуральные числа, натуральные числа без нуля обычно называются положительными целыми числами , а натуральные числа с нулем называются неотрицательными целыми числами .

Рациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби с целым числителем и положительным целым знаменателем. Отрицательные знаменатели допускаются, но обычно их избегают, поскольку каждое рациональное число равно дроби с положительным знаменателем. Дроби записываются в виде двух целых чисел, числителя и знаменателя, с разделительной чертой между ними. Дробь ⁠м/н⁠ представляет m частей целого, разделенного на n равных частей. Две различные дроби могут соответствовать одному и тому же рациональному числу; например ⁠1/2⁠ и ⁠2/4⁠ равны, то есть:

${\displaystyle {1 \over 2}={2 \over 4}.}$

В общем,

${\displaystyle {a \over b}={c \over d}}$если и только если ${\displaystyle {a\times d}={c\times b}.}$

Если абсолютное значение m больше n (предполагается положительным), то абсолютное значение дроби больше 1. Дроби могут быть больше, меньше или равны 1, а также могут быть положительными, отрицательными или 0. Множество всех рациональных чисел включает целые числа, поскольку каждое целое число можно записать в виде дроби со знаменателем 1. Например, −7 можно записать  ⁠−7/1⁠ . Символ для рациональных чисел — Q (от частное ), также пишется . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Реальные цифры

Символ для действительных чисел — R , также записывается как Они включают в себя все числа измерения. Каждое действительное число соответствует точке на числовой прямой . Следующий параграф будет посвящен в основном положительным действительным числам. Обработка отрицательных действительных чисел соответствует общим правилам арифметики, и их обозначение — это просто добавление к соответствующей положительной цифре знака минус , например, −123,456. ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Большинство действительных чисел можно аппроксимировать только десятичными числами, в которых десятичная точка находится справа от цифры с разрядным значением 1. Каждая цифра справа от десятичной точки имеет разрядное значение, равное одной десятой разрядного значения цифры слева от нее. Например, 123,456 представляет ⁠123456/1000⁠ , или, говоря словами, сто, два десятка, три единицы, четыре десятых, пять сотых и шесть тысячных. Действительное число может быть выражено конечным числом десятичных цифр, только если оно рационально и его дробная часть имеет знаменатель, простые множители которого равны 2 или 5 или обоим, потому что это простые множители 10, основания десятичной системы. Так, например, одна половина равна 0,5, одна пятая равна 0,2, одна десятая равна 0,1, а одна пятидесятая равна 0,02. Представление других действительных чисел в виде десятичных дробей потребовало бы бесконечной последовательности цифр справа от десятичной точки. Если эта бесконечная последовательность цифр следует шаблону, ее можно записать с помощью многоточия или другой записи, которая указывает на повторяющийся шаблон. Такая десятичная дробь называется повторяющейся десятичной дробью . Так ⁠1/3⁠ можно записать как 0.333..., с многоточием, указывающим на то, что шаблон продолжается. Вечно повторяющиеся тройки также записываются как 0. 3 . ^[36]

Оказывается, эти повторяющиеся десятичные дроби (включая повторение нулей ) обозначают именно рациональные числа, то есть все рациональные числа также являются действительными числами, но это не тот случай, когда каждое действительное число является рациональным. Действительное число, которое не является рациональным, называется иррациональным . Известное иррациональное действительное число — это π , отношение длины окружности любого круга к его диаметру . Когда пи записывается как

${\displaystyle \pi =3.14159265358979\dots ,}$

как это иногда бывает, многоточие не означает, что десятичные дроби повторяются (они этого не делают), а скорее, что им нет конца. Было доказано, что π иррационально . Другое известное число, которое, как доказано, является иррациональным действительным числом, это

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,}$

квадратный корень из 2 , то есть уникальное положительное действительное число, квадрат которого равен 2. Оба эти числа были аппроксимированы (с помощью компьютера) до триллионов (1 триллион = 10 ¹² = 1 000 000 000 000 ) цифр.

Не только эти выдающиеся примеры, но и почти все действительные числа являются иррациональными и, следовательно, не имеют повторяющихся шаблонов и, следовательно, не имеют соответствующей десятичной цифры. Они могут быть только приближены десятичными цифрами, обозначающими округленные или усеченные действительные числа. Любое округленное или усеченное число обязательно является рациональным числом, которых существует только счетное количество . Все измерения по своей природе являются приближениями и всегда имеют погрешность . Таким образом, 123,456 считается приближением любого действительного числа, большего или равного ⁠1234555/10000⁠ и строго меньше ⁠1234565/10000⁠ (округляя до 3 знаков после запятой) или любого действительного числа, большего или равного ⁠123456/1000⁠ и строго меньше ⁠123457/1000⁠ (усечение после 3-й десятичной точки). Цифры, которые предполагают большую точность, чем само измерение, следует удалить. Оставшиеся цифры называются значимыми цифрами . Например, измерения с помощью линейки редко можно выполнить без погрешности не менее 0,001 м . Если стороны прямоугольника измерены как 1,23 м и 4,56 м, то умножение дает площадь прямоугольника между 5,614591 м2 ^и 5,603011 м2 ^. Поскольку не сохраняется даже вторая цифра после десятичной точки, следующие цифры не являются значимыми . Поэтому результат обычно округляется до 5,61.

Так же, как одна и та же дробь может быть записана более чем одним способом, одно и то же действительное число может иметь более одного десятичного представления. Например, 0,999... , 1,0, 1,00, 1,000, ..., все представляют натуральное число 1. Данное действительное число имеет только следующие десятичные представления: приближение к некоторому конечному числу десятичных знаков, приближение, в котором устанавливается закономерность, которая продолжается для неограниченного числа десятичных знаков, или точное значение только с конечным числом десятичных знаков. В этом последнем случае последняя ненулевая цифра может быть заменена цифрой на единицу меньшей, за которой следует неограниченное число девяток, или за последней ненулевой цифрой может следовать неограниченное число нулей. Таким образом, точное действительное число 3,74 можно также записать как 3,7399999999... и 3,74000000000.... Аналогично, десятичное число с неограниченным количеством нулей можно переписать, отбросив нули справа от самой правой ненулевой цифры, а десятичное число с неограниченным количеством девяток можно переписать, увеличив на единицу самую правую цифру, меньшую 9, и изменив все девятки справа от этой цифры на нули. Наконец, неограниченную последовательность нулей справа от десятичной точки можно отбросить. Например, 6,849999999999... = 6,85 и 6,850000000000... = 6,85. Наконец, если все цифры в числе равны 0, то число равно 0, а если все цифры в числе представляют собой бесконечную последовательность девяток, то можно отбросить девятки справа от десятичной точки и прибавить единицу к последовательности девяток слева от десятичной точки. Например, 99,999... = 100.

Действительные числа также обладают важным, но весьма техническим свойством, называемым свойством наименьшей верхней границы .

Можно показать, что любое упорядоченное поле , которое также является полным , изоморфно действительным числам. Действительные числа, однако, не являются алгебраически замкнутым полем , поскольку они не включают решение (часто называемое квадратным корнем из минус единицы ) алгебраического уравнения . ${\displaystyle x^{2}+1=0}$

Комплексные числа

Переходя на более высокий уровень абстракции, действительные числа можно расширить до комплексных чисел . Этот набор чисел исторически возник из попыток найти замкнутые формулы для корней кубических и квадратичных многочленов. Это привело к выражениям, включающим квадратные корни отрицательных чисел, и в конечном итоге к определению нового числа: квадратного корня из −1, обозначаемого i , символом, назначенным Леонардом Эйлером , и называемым мнимой единицей . Комплексные числа состоят из всех чисел вида

${\displaystyle \,a+bi}$

где a и b — действительные числа. По этой причине комплексные числа соответствуют точкам на комплексной плоскости , векторном пространстве двух действительных измерений . В выражении a + bi действительное число a называется действительной частью , а b — мнимой частью . Если действительная часть комплексного числа равна 0, то число называется мнимым числом или упоминается как чисто мнимое ; если мнимая часть равна 0, то число является действительным числом. Таким образом, действительные числа являются подмножеством комплексных чисел. Если действительная и мнимая части комплексного числа являются целыми числами, то число называется гауссовым целым числом . Символ для комплексных чисел — C или . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Основная теорема алгебры утверждает, что комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле , что означает, что каждый многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в комплексных числах. Как и действительные числа, комплексные числа образуют поле , которое является полным , но в отличие от действительных чисел оно не упорядочено . То есть, нет последовательного смысла, который можно было бы приписать утверждению, что i больше 1, и нет смысла в утверждении, что i меньше 1. С технической точки зрения, комплексные числа не имеют общего порядка , совместимого с полевыми операциями .

Подклассы целых чисел

Чётные и нечётные числа

Чётное число — это целое число, которое «делится нацело» на два, то есть делится на два без остатка ; нечётное число — это целое число, которое не является чётным. (Старомодный термин «делится нацело» теперь почти всегда сокращается до « делится ».) Любое нечётное число n может быть построено по формуле n = 2 k + 1 для подходящего целого числа k . Начиная с k = 0, первыми неотрицательными нечётными числами являются {1, 3, 5, 7, ...}. Любое чётное число m имеет вид m = 2 k , где k снова является целым числом . Аналогично первыми неотрицательными чётными числами являются {0, 2, 4, 6, ...}.

Простые числа

Простое число , часто сокращаемое до простого , — это целое число больше 1, которое не является произведением двух меньших положительных целых чисел. Первые несколько простых чисел — 2, 3, 5, 7 и 11. Не существует такой простой формулы, как для нечетных и четных чисел, чтобы генерировать простые числа. Простые числа широко изучались более 2000 лет и привели к множеству вопросов, ответы были даны только на некоторые из них. Изучение этих вопросов относится к теории чисел . Гипотеза Гольдбаха является примером все еще не решенного вопроса: «Является ли каждое четное число суммой двух простых чисел?»

Один из ответов на вопрос о том, является ли каждое целое число, большее единицы, произведением простых чисел только одним способом, за исключением перестановки простых чисел, был подтвержден; это доказанное утверждение называется основной теоремой арифметики . Доказательство приводится в «Началах» Евклида .

Другие классы целых чисел

Многие подмножества натуральных чисел были предметом специальных исследований и были названы, часто в честь первого математика, который их изучал. Примерами таких множеств целых чисел являются числа Фибоначчи и совершенные числа . Для получения дополнительных примеров см. Последовательность целых чисел .

Подклассы комплексных чисел

Алгебраические, иррациональные и трансцендентные числа

Алгебраические числа — это числа, которые являются решением полиномиального уравнения с целыми коэффициентами. Действительные числа, которые не являются рациональными числами, называются иррациональными числами . Комплексные числа, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными числами . Алгебраические числа, которые являются решениями монического полиномиального уравнения с целыми коэффициентами, называются целыми алгебраическими числами .

Периоды и экспоненциальные периоды

Период — это комплексное число, которое может быть выражено как интеграл алгебраической функции по алгебраической области . Периоды — это класс чисел, включающий, наряду с алгебраическими числами, многие известные математические константы, такие как число π . Набор периодов образует счетное кольцо и заполняет пробел между алгебраическими и трансцендентными числами. ^{[37] [38]}

Периоды можно расширить, разрешив подынтегральному выражению быть произведением алгебраической функции и экспоненты алгебраической функции. Это дает еще одно счетное кольцо: экспоненциальные периоды. Число e , а также постоянная Эйлера являются экспоненциальными периодами. ^{[37] [39]}

Конструируемые числа

Исходя из классических задач на построения с помощью циркуля и линейки , конструктивные числа — это такие комплексные числа, действительную и мнимую части которых можно построить с помощью циркуля и линейки, начиная с заданного отрезка единичной длины, за конечное число шагов.

Вычислимые числа

Вычислимое число , также известное как рекурсивное число , — это действительное число , такое что существует алгоритм , который, при заданном положительном числе n в качестве входных данных, выдает первые n цифр десятичного представления вычислимого числа. Эквивалентные определения могут быть даны с использованием μ-рекурсивных функций , машин Тьюринга или λ-исчисления . Вычислимые числа стабильны для всех обычных арифметических операций, включая вычисление корней многочлена , и таким образом образуют действительное замкнутое поле , содержащее действительные алгебраические числа .

Вычислимые числа можно рассматривать как действительные числа, которые могут быть точно представлены в компьютере: вычислимое число точно представлено своими первыми цифрами и программой для вычисления дальнейших цифр. Однако вычислимые числа редко используются на практике. Одна из причин заключается в том, что не существует алгоритма для проверки равенства двух вычислимых чисел. Точнее, не может существовать никакого алгоритма, который принимает любое вычислимое число в качестве входных данных и решает в каждом случае, равно ли это число нулю или нет.

Множество вычислимых чисел имеет ту же мощность, что и натуральные числа. Поэтому почти все действительные числа невычислимы. Однако очень сложно явно создать действительное число, которое невычислимо.

Расширения концепции

п-адические числа

P -адические числа могут иметь бесконечно длинные расширения слева от десятичной точки, точно так же, как действительные числа могут иметь бесконечно длинные расширения справа. Получающаяся система счисления зависит от того, какое основание используется для цифр: возможно любое основание, но основание простого числа обеспечивает наилучшие математические свойства. Множество p -адических чисел содержит рациональные числа, но не содержится в комплексных числах.

Элементы поля алгебраических функций над конечным полем и алгебраические числа имеют много схожих свойств (см. Аналогия с полем функций ). Поэтому они часто рассматриваются теоретиками чисел как числа. В этой аналогии важную роль играют p -адические числа.

Гиперкомплексные числа

Некоторые числовые системы, не входящие в комплексные числа, могут быть построены из действительных чисел таким образом, чтобы обобщить построение комплексных чисел. Иногда их называют гиперкомплексными числами . Они включают кватернионы , введенные сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном , в которых умножение не является коммутативным , октонионы , в которых умножение не является ассоциативным в дополнение к тому, что оно не является коммутативным, и седенионы , в которых умножение не является альтернативным , ни ассоциативным, ни коммутативным. Гиперкомплексные числа включают одну действительную единицу вместе с мнимыми единицами, для которых n является неотрицательным целым числом. Например, кватернионы в общем случае могут быть представлены с использованием формы ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}$$

где коэффициенты a , b , c , d — действительные числа, а i , j , k — три различные мнимые единицы.

Каждая гиперкомплексная числовая система является подмножеством следующей гиперкомплексной числовой системы двойной размерности, полученной с помощью конструкции Кэли–Диксона . Например, 4-мерные кватернионы являются подмножеством 8-мерных кватернионов , которые в свою очередь являются подмножеством 16-мерных седенионов , в свою очередь подмножеством 32-мерных тригинтадуонионов , и так до бесконечности с размерностями, где n — любое неотрицательное целое число. Включая комплексные и действительные числа и их подмножества, это можно выразить символически как: ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} \subset \mathbb {T} \subset \cdots }$

Альтернативно, исходя из действительных чисел , которые имеют нулевые комплексные единицы, это можно выразить как ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}\subset {\mathcal {C}}_{1}\subset {\mathcal {C}}_{2}\subset {\mathcal {C}}_{3}\subset {\mathcal {C}}_{4}\subset {\mathcal {C}}_{5}\subset \cdots \subset C_{n}}$

с содержащимися размерами. ^[40] ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Трансфинитные числа

Для работы с бесконечными множествами натуральные числа были обобщены до порядковых и кардинальных чисел . Первые дают упорядочение множества, а вторые — его размер. Для конечных множеств как порядковые, так и кардинальные числа отождествляются с натуральными числами. В бесконечном случае многим порядковым числам соответствуют одно и то же кардинальное число.

Нестандартные числа

Гипердействительные числа используются в нестандартном анализе . Гипердействительные числа, или нестандартные действительные числа (обычно обозначаемые как * R ), обозначают упорядоченное поле , которое является надлежащим расширением упорядоченного поля действительных чисел R и удовлетворяет принципу переноса . Этот принцип позволяет переинтерпретировать истинные утверждения первого порядка о R как истинные утверждения первого порядка о * R .

Сверхреальные и сюрреальные числа расширяют действительные числа путем добавления бесконечно малых чисел и бесконечно больших чисел, но при этом по-прежнему образуют поля .

Смотрите также

• Математический портал

• Конкретное число
• Список номеров
• Список типов чисел
• Математическая константа  – фиксированное число, получившее название.
• Комплексные числа
• Числовое познание
• Порядки величин
• Физическая константа  – Универсальная и неизменная физическая величина.
• Физическая величина  – Измеримое свойство материала или системы.
• Пи  – число, приблизительно равное 3,14
• Позиционная нотация  – метод представления или кодирования чисел.
• Простое число  – число, делящееся только на 1 или само на себя.
• Скаляр (математика)  – элементы поля, например, действительные числа, в контексте линейной алгебры.
• Субитизация и подсчет

Примечания

1. В лингвистике цифра может относиться к символу, например, 5, а также к слову или фразе, обозначающей число, например , «пятьсот»; к цифрам относятся также другие слова, обозначающие числа, например, «дюжина».

1. "number, n." OED Online . Oxford University Press. Архивировано из оригинала 4 октября 2018 г. Получено 16 мая 2017 г.
2. "числительное, прил. и сущ." OED Online . Oxford University Press. Архивировано из оригинала 30 июля 2022 г. Получено 16 мая 2017 г.
3. Мэтсон, Джон. «Происхождение нуля». Scientific American . Архивировано из оригинала 26 августа 2017 года . Получено 16 мая 2017 года .
4. Hodgkin, Luke (2 июня 2005 г.). История математики: от Месопотамии до современности. OUP Oxford. стр. 85–88. ISBN 978-0-19-152383-0. Архивировано из оригинала 4 февраля 2019 . Получено 16 мая 2017 .
5. Математика в разных культурах: история не-западной математики . Дордрехт: Kluwer Academic. 2000. С. 410–411. ISBN 1-4020-0260-2.
6. Декарт, Рене (1954) [1637]. La Géométrie: Геометрия Рене Декарта с факсимиле первого издания. Дуврские публикации . ISBN 0-486-60068-8. Получено 20 апреля 2011 г.
7. Gilsdorf, Thomas E. (2012). Введение в культурную математику: с примерами отоми и инков. Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. ISBN 978-1-118-19416-4. OCLC  793103475.
8. Рестиво, Сал П. (1992). Математика в обществе и истории: социологические исследования. Дордрехт. ISBN 978-94-011-2944-2. OCLC  883391697.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
9. Ore, Øystein (1988). Теория чисел и ее история. Нью-Йорк: Довер. ISBN 0-486-65620-9. OCLC  17413345.
10. Gouvêa, Fernando Q. The Princeton Companion to Mathematics , Глава II.1, "Истоки современной математики" , стр. 82. Princeton University Press, 28 сентября 2008 г. ISBN 978-0-691-11880-2 . "Сегодня уже не так просто решить, что считать "числом". Объекты из исходной последовательности "целое, рациональное, действительное и комплексное" определенно являются числами, но таковыми являются и p -адические числа. С другой стороны, кватернионы редко называют "числами", хотя их можно использовать для координации определенных математических понятий". 
11. Маршак, Александр (1971). Корни цивилизации; когнитивные начала первого искусства человека, символ и нотация ([1-е изд.] ред.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-040535-2. OCLC  257105.
12. "Египетские математические папирусы – Математики африканской диаспоры". Math.buffalo.edu. Архивировано из оригинала 7 апреля 2015 года . Получено 30 января 2012 года .
13. Chrisomalis, Stephen (1 сентября 2003 г.). «Египетское происхождение греческих алфавитных цифр». Antiquity . 77 (297): 485–96. doi :10.1017/S0003598X00092541. ISSN  0003-598X. S2CID  160523072.
14. Bulliet, Richard; Crossley, Pamela; Headrick, Daniel; Hirsch, Steven; Johnson, Lyman (2010). Земля и ее народы: глобальная история, том 1. Cengage Learning. стр. 192. ISBN 978-1-4390-8474-8. Архивировано из оригинала 28 января 2017 г. . Получено 16 мая 2017 г. . Индийские математики изобрели концепцию нуля и разработали «арабские» цифры и систему позиционной записи, используемую в большинстве частей света сегодня.
15. "Архив рассылки Historia Matematica: Re: [HM] The Zero Story: вопрос". Sunsite.utk.edu. 26 апреля 1999 г. Архивировано из оригинала 12 января 2012 г. Получено 30 января 2012 г.
16. Санчес, Джордж И. (1961). Арифметика на языке майя . Остин, Техас: самостоятельно опубликовано.
17. Сташков, Рональд; Роберт Брэдшоу (2004). Математическая палитра (3-е изд.) . Брукс Коул. стр. 41. ISBN 0-534-40365-4.
18. Смит, Дэвид Юджин (1958). История современной математики . Dover Publications. стр. 259. ISBN 0-486-20429-4.
19. "Классическая греческая культура (статья)". Khan Academy . Архивировано из оригинала 4 мая 2022 года . Получено 4 мая 2022 года .
20. Селин, Хелайн , ред. (2000). Математика в разных культурах: история не-западной математики . Kluwer Academic Publishers. стр. 451. ISBN 0-7923-6481-3.
21. оды Архита ". В DR Shackleton Bailey (ред.). Гарвардские исследования по классической филологии . Издательство Гарвардского университета. стр. 83. ISBN 0-674-37935-7.
22. Эдуард Гейне, «Die Elemente der Functionenlehre», Журнал [Crelle] für die reine und angewandte Mathematik , № 74 (1872): 172–188.
23. Георг Кантор, "Ueber unendliche, Lineare Punktmannichfaltigkeiten", pt. 5, Mathematische Annalen , 21, 4 (1883–12): 545–591.
24. Ричард Дедекинд, Stetigkeit и иррациональный Зален. Архивировано 9 июля 2021 г. в Wayback Machine (Брауншвейг: Friedrich Vieweg & Sohn, 1872). Впоследствии опубликовано в: ———, Gesammelte mathematische Werke , изд. Роберт Фрике, Эмми Нётер и Ойстейн Оре (Брауншвейг: Фридрих Видег и Зон, 1932), том. 3, стр. 315–334.
25. Л. Кронекер, «Ueber den Zahlbegriff», Журнал [Крелле] für die reine und angewandte Mathematik , № 101 (1887): 337–355.
26. Леонард Эйлер, «Conjectura circa naturam aeris, pro explicandis phaenomenis in atmosphaera observatis», Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae , 1779, 1 (1779): 162–187.
27. Рамус, «Determinanternes Anvendelse til at bes temme Loven for de converrende Bröker», в: Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs naturvidenskabelige og mathematiske Afhandlinger (Kjoebenhavn: 1855), стр. 106.
28. Эдуард Гейне, «Einige Eigenschaften der Laméschen Funktionen», Журнал [Crelle] für die reine und angewandte Mathematik , № 56 (январь 1859 г.): 87–99 на 97.
29. Зигмунд Гюнтер, Darstellung der Näherungswerthe von Kettenbrüchen в независимой форме (Эрланген: Эдуард Бесольд, 1873); ———, «Kettenbruchdeterminanten», в: Lehrbuch der Determinanten-Theorie: Für Studirende (Эрланген: Эдуард Бесольд, 1875), ок. 6, стр. 156–186.
30. Богомольный, А. "Что такое число?". Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles . Архивировано из оригинала 23 сентября 2010 года . Получено 11 июля 2010 года .
31. Мартинес, Альберто А. (2007). «Ошибка Эйлера? Правило радикального произведения в исторической перспективе» (PDF) . The American Mathematical Monthly . 114 (4): 273–285. doi :10.1080/00029890.2007.11920416. S2CID  43778192.
32. Вайсштейн, Эрик В. «Натуральные числа». MathWorld .
33. "натуральное число". Merriam-Webster.com . Merriam-Webster . Архивировано из оригинала 13 декабря 2019 . Получено 4 октября 2014 .
34. Suppes, Patrick (1972). Аксиоматическая теория множеств. Courier Dover Publications. стр. 1. ISBN 0-486-61630-4.
35. Вайсштейн, Эрик В. «Целое число». Математический мир .
36. Weisstein, Eric W. "Repeating Decimal". Wolfram MathWorld . Архивировано из оригинала 5 августа 2020 г. Получено 23 июля 2020 г.
37. Концевич, Максим; Загер, Дон (2001), Энгквист, Бьёрн; Шмид, Вильфрид (ред.), «Периоды», Mathematics Unlimited — 2001 и далее , Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 771–808, doi : 10.1007/978-3-642-56478-9_39, ISBN 978-3-642-56478-9, получено 22 сентября 2024 г.
38. Weisstein, Eric W. "Algebraic Period". mathworld.wolfram.com . Получено 22 сентября 2024 г. .
39. Lagarias, Jeffrey C. (19 июля 2013 г.). «Константа Эйлера: работа Эйлера и современные разработки». Бюллетень Американского математического общества . 50 (4): 527–628. arXiv : 1303.1856 . doi : 10.1090/S0273-0979-2013-01423-X. ISSN  0273-0979.
40. Saniga, Metod; Holweck, Frédéric; Pracna, Petr (2015). «От алгебр Кэли-Диксона до комбинаторных грассманианов». Математика . 3 (4). MDPI AG: 1192–1221. arXiv : 1405.6888 . doi : 10.3390/math3041192 . ISSN  2227-7390.

Ссылки

• Тобиас Данциг , Число, язык науки; критический обзор, написанный для образованных нематематиков , Нью-Йорк, The Macmillan Company, 1930. ^{[ ISBN отсутствует ]}
• Эрих Фридман, Что особенного в этом числе? Архивировано 23.02.2018 в Wayback Machine
• Стивен Галович, Введение в математические структуры , Харкорт Брейс Джаванович, 1989, ISBN 0-15-543468-3 . 
• Пол Халмос , Наивная теория множеств , Springer, 1974, ISBN 0-387-90092-6 . 
• Моррис Клайн , Математическая мысль от древности до современности , Oxford University Press, 1990. ISBN 978-0195061352 
• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел , Principia Mathematica до *56, Cambridge University Press, 1910. ^{[ ISBN отсутствует ]}
• Лео Кори, Краткая история чисел , Oxford University Press, 2015, ISBN 978-0-19-870259-7 . 

Внешние ссылки

• Нечаев, В.И. (2001) [1994]. «Число». Энциклопедия математики . Издательство ЭМС .
• Таллант, Джонатан. «Существуют ли числа». Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 8 марта 2016 г. . Получено 6 апреля 2013 г. .
• В наше время: отрицательные числа. BBC Radio 4. 9 марта 2006 г. Архивировано из оригинала 31 мая 2022 г.
• Робин Уилсон (7 ноября 2007 г.). "4000 Years of Numbers". Gresham College . Архивировано из оригинала 8 апреля 2022 г.
• Крулвич, Роберт (22 июля 2011 г.). «Какое любимое число в мире?». NPR . Архивировано из оригинала 18 мая 2021 г. Получено 17 сентября 2011 г.; "Обниматься с 9, целоваться с 8, подмигивать 7". NPR . 21 августа 2011 г. Архивировано из оригинала 6 ноября 2018 г. Получено 17 сентября 2011 г.
• Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей