Квантовая теория поля

В теоретической физике квантовая теория поля ( КТП ) представляет собой теоретическую структуру, объединяющую классическую теорию поля , специальную теорию относительности и квантовую механику . ^[1]^{: xi} КТП используется в физике элементарных частиц для построения физических моделей субатомных частиц и в физике конденсированного состояния для построения моделей квазичастиц . Текущая стандартная модель физики элементарных частиц основана на квантовой теории поля.

История

Квантовая теория поля возникла из работы поколений физиков-теоретиков, охватывающей большую часть 20-го века. Ее развитие началось в 1920-х годах с описания взаимодействий между светом и электронами , достигнув кульминации в первой квантовой теории поля — квантовой электродинамике . Вскоре последовало серьезное теоретическое препятствие с появлением и сохранением различных бесконечностей в пертурбативных вычислениях, проблема, решенная только в 1950-х годах с изобретением процедуры перенормировки . Вторым серьезным препятствием стала очевидная неспособность КТП описывать слабые и сильные взаимодействия , до такой степени, что некоторые теоретики призвали отказаться от подхода теории поля. Развитие калибровочной теории и завершение Стандартной модели в 1970-х годах привели к возрождению квантовой теории поля.

Теоретическая основа

Линии магнитного поля, визуализированные с помощью железных опилок . Если посыпать лист бумаги железными опилками и поместить его над стержневым магнитом, опилки выстроятся в соответствии с направлением магнитного поля, образуя дуги, позволяющие наблюдателям четко видеть полюса магнита и видеть создаваемое магнитное поле.

Квантовая теория поля является результатом объединения классической теории поля , квантовой механики и специальной теории относительности . ^[1]^{: xi} Далее следует краткий обзор этих теоретических предшественников.

Самая ранняя успешная классическая теория поля возникла из закона всемирного тяготения Ньютона , несмотря на полное отсутствие концепции полей в его трактате 1687 года Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica . Сила гравитации, описанная Исааком Ньютоном, является « действием на расстоянии » — ее воздействие на удаленные объекты мгновенно, независимо от расстояния. Однако в обмене письмами с Ричардом Бентли Ньютон заявил, что «немыслимо, чтобы неодушевленная грубая материя могла без посредничества чего-то еще, что не является материальным, воздействовать на другую материю и влиять на нее без взаимного контакта». ^[2]^{: 4} Только в 18 веке физики-математики открыли удобное описание гравитации, основанное на полях — числовой величине ( в случае гравитационного поля — векторе ), приписанной каждой точке пространства, указывающей действие гравитации на любую частицу в этой точке. Однако это считалось просто математическим трюком. ^[3]^{: 18}

Поля начали обретать собственное существование с развитием электромагнетизма в 19 веке. Майкл Фарадей ввел английский термин «поле» в 1845 году. Он ввел поля как свойства пространства (даже когда оно лишено материи), имеющие физические эффекты. Он выступал против «действия на расстоянии» и предполагал, что взаимодействие между объектами происходит посредством заполняющих пространство «силовых линий». Это описание полей сохраняется и по сей день. ^[2]^[4]^{: 301}^[5]^{: 2}

Теория классического электромагнетизма была завершена в 1864 году уравнениями Максвелла , которые описывали связь между электрическим полем , магнитным полем , электрическим током и электрическим зарядом . Уравнения Максвелла подразумевали существование электромагнитных волн , явления, при котором электрические и магнитные поля распространяются из одной точки пространства в другую с конечной скоростью, которая оказывается скоростью света . Таким образом, действие на расстоянии было окончательно опровергнуто. ^[2]^{: 19}

Несмотря на огромный успех классического электромагнетизма, он не смог объяснить ни дискретные линии в атомных спектрах , ни распределение излучения черного тела на разных длинах волн. ^{[6] Изучение} Максом Планком излучения черного тела ознаменовало начало квантовой механики. Он рассматривал атомы, которые поглощают и испускают электромагнитное излучение , как крошечные осцилляторы с решающим свойством, что их энергия может принимать только ряд дискретных, а не непрерывных значений. Они известны как квантовые гармонические осцилляторы . Этот процесс ограничения энергии дискретными значениями называется квантованием. ^[7]^{: Гл.2} Основываясь на этой идее, Альберт Эйнштейн в 1905 году предложил объяснение фотоэлектрического эффекта , что свет состоит из отдельных пакетов энергии, называемых фотонами (квантами света). Это означало, что электромагнитное излучение, будучи волнами в классическом электромагнитном поле, также существует в форме частиц. ^[6]

В 1913 году Нильс Бор представил модель атомной структуры Бора , в которой электроны внутри атомов могут принимать только ряд дискретных, а не непрерывных энергий. Это еще один пример квантования. Модель Бора успешно объяснила дискретную природу атомных спектральных линий. В 1924 году Луи де Бройль выдвинул гипотезу дуализма волны и корпуса , согласно которой микроскопические частицы проявляют как волновые, так и корпускулярные свойства при различных обстоятельствах. ^[6] Объединив эти разрозненные идеи, между 1925 и 1926 годами была сформулирована последовательная дисциплина — квантовая механика , при этом важный вклад внесли Макс Планк , Луи де Бройль , Вернер Гейзенберг , Макс Борн , Эрвин Шредингер , Поль Дирак и Вольфганг Паули . ^[3]^{: 22–23}

В том же году, когда была опубликована его статья о фотоэлектрическом эффекте, Эйнштейн опубликовал свою теорию специальной теории относительности , основанную на электромагнетизме Максвелла. Были даны новые правила, называемые преобразованиями Лоренца , для описания того, как изменяются временные и пространственные координаты события при изменении скорости наблюдателя, и различие между временем и пространством было размыто. ^[3]^{: 19} Было высказано предположение, что все физические законы должны быть одинаковыми для наблюдателей с разными скоростями, т. е. что физические законы должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Оставалось две трудности. С точки зрения наблюдений, уравнение Шредингера , лежащее в основе квантовой механики, могло объяснить вынужденное излучение излучения атомами, когда электрон испускает новый фотон под действием внешнего электромагнитного поля, но оно не могло объяснить спонтанное излучение , когда электрон спонтанно уменьшается в энергии и испускает фотон даже без воздействия внешнего электромагнитного поля. Теоретически, уравнение Шредингера не могло описывать фотоны и не соответствовало принципам специальной теории относительности — оно трактует время как обычное число, одновременно переводя пространственные координаты в линейные операторы . ^[6]

Квантовая электродинамика

Квантовая теория поля естественным образом началась с изучения электромагнитных взаимодействий, поскольку электромагнитное поле было единственным известным классическим полем в 1920-х годах. ^[8]^{: 1}

Благодаря работам Борна, Гейзенберга и Паскуаля Джордана в 1925–1926 годах была разработана квантовая теория свободного электромагнитного поля (поля, не взаимодействующего с материей) посредством канонического квантования , рассматривающего электромагнитное поле как набор квантовых гармонических осцилляторов . ^[8]^{: 1} Однако, исключая взаимодействия, такая теория все еще не могла делать количественные предсказания относительно реального мира. ^[3]^{: 22}

В своей основополагающей статье 1927 года «Квантовая теория испускания и поглощения излучения » Дирак ввел термин «квантовая электродинамика» (КЭД), теорию, которая добавляет к терминам, описывающим свободное электромагнитное поле, дополнительный член взаимодействия между плотностью электрического тока и электромагнитным векторным потенциалом . Используя теорию возмущений первого порядка , он успешно объяснил явление спонтанного излучения. Согласно принципу неопределенности в квантовой механике, квантовые гармонические осцилляторы не могут оставаться неподвижными, но они имеют ненулевую минимальную энергию и всегда должны колебаться, даже в состоянии с наименьшей энергией ( основном состоянии ). Поэтому даже в идеальном вакууме остается колеблющееся электромагнитное поле, имеющее нулевую энергию . Именно эта квантовая флуктуация электромагнитных полей в вакууме «стимулирует» спонтанное излучение излучения электронами в атомах. Теория Дирака была чрезвычайно успешной в объяснении как излучения, так и поглощения излучения атомами; применяя теорию возмущений второго порядка, она смогла объяснить рассеяние фотонов, резонансную флуоресценцию и нерелятивистское комптоновское рассеяние . Тем не менее, применение теории возмущений более высокого порядка было сопряжено с проблемными бесконечностями в расчетах. ^[6]^{: 71}

В 1928 году Дирак записал волновое уравнение , описывающее релятивистские электроны: уравнение Дирака . Оно имело следующие важные следствия: спин электрона равен 1/2; g -фактор электрона равен 2; оно привело к правильной формуле Зоммерфельда для тонкой структуры атома водорода ; и его можно было использовать для вывода формулы Клейна–Нишины для релятивистского комптоновского рассеяния. Хотя результаты были плодотворными, теория также, по-видимому, подразумевала существование состояний с отрицательной энергией, которые могли бы привести к нестабильности атомов, поскольку они всегда могли бы распасться на состояния с более низкой энергией путем испускания излучения. ^[6]^{: 71–72}

В то время преобладало мнение, что мир состоит из двух совершенно разных ингредиентов: материальных частиц (таких как электроны) и квантовых полей (таких как фотоны). Материальные частицы считались вечными, а их физическое состояние описывалось вероятностями нахождения каждой частицы в любой заданной области пространства или диапазоне скоростей. С другой стороны, фотоны считались просто возбужденными состояниями лежащего в их основе квантованного электромагнитного поля и могли свободно создаваться или уничтожаться. Между 1928 и 1930 годами Джордан, Юджин Вигнер , Гейзенберг, Паули и Энрико Ферми обнаружили, что материальные частицы также можно рассматривать как возбужденные состояния квантовых полей. Так же, как фотоны являются возбужденными состояниями квантованного электромагнитного поля, так и каждый тип частиц имел свое соответствующее квантовое поле: электронное поле, протонное поле и т. д. При наличии достаточной энергии теперь стало возможным создание материальных частиц. Основываясь на этой идее, Ферми в 1932 году предложил объяснение бета-распада, известное как взаимодействие Ферми . Атомные ядра не содержат электронов как таковых , но в процессе распада электрон создается из окружающего электронного поля, аналогично фотону, создаваемому из окружающего электромагнитного поля при радиационном распаде возбужденного атома. ^[3]^{: 22–23}

В 1929 году Дирак и другие поняли, что отрицательные энергетические состояния, подразумеваемые уравнением Дирака, могут быть устранены, если предположить существование частиц с той же массой, что и электроны, но противоположным электрическим зарядом. Это не только обеспечило стабильность атомов, но и было первым предположением о существовании антиматерии . Действительно, доказательства существования позитронов были обнаружены в 1932 году Карлом Дэвидом Андерсоном в космических лучах . При достаточном количестве энергии, например, при поглощении фотона, может быть создана пара электрон-позитрон, процесс, называемый рождением пар ; обратный процесс, аннигиляция, также может происходить с испусканием фотона. Это показало, что число частиц не обязательно должно быть фиксированным во время взаимодействия. Однако исторически позитроны сначала считались «дырками» в бесконечном электронном море, а не новым типом частиц, и эта теория называлась теорией дырок Дирака . ^[6]^{: 72}^[3]^{: 23} КТП естественным образом включила античастицы в свой формализм. ^[3]^{: 24}

Бесконечности и перенормировка

Роберт Оппенгеймер показал в 1930 году, что пертурбативные вычисления высшего порядка в КЭД всегда приводили к бесконечным величинам, таким как собственная энергия электрона и энергия нулевой точки вакуума электронных и фотонных полей, ^[6] предполагая, что вычислительные методы того времени не могли должным образом обрабатывать взаимодействия, включающие фотоны с чрезвычайно высокими импульсами. ^[3]^{: 25} Только спустя 20 лет был разработан систематический подход к устранению таких бесконечностей.

В период с 1934 по 1938 год Эрнст Штюкельберг опубликовал ряд статей, в которых была установлена релятивистски инвариантная формулировка КТП. В 1947 году Штюкельберг также независимо разработал полную процедуру перенормировки. Такие достижения не были поняты и признаны теоретическим сообществом. ^[6]

Столкнувшись с этими бесконечностями, Джон Арчибальд Уилер и Гейзенберг предложили в 1937 и 1943 годах соответственно заменить проблемную КТП так называемой теорией S-матрицы . Поскольку конкретные детали микроскопических взаимодействий недоступны для наблюдений, теория должна была только попытаться описать отношения между небольшим числом наблюдаемых ( например, энергия атома) во взаимодействии, а не заниматься микроскопическими подробностями взаимодействия. В 1945 году Ричард Фейнман и Уилер смело предложили полностью отказаться от КТП и предложили действие на расстоянии в качестве механизма взаимодействия частиц. ^[3]^{: 26}

В 1947 году Уиллис Лэмб и Роберт Резерфорд измерили мельчайшую разницу в уровнях энергии ²S _1/2 и ²P _1/2 атома водорода, также называемую сдвигом Лэмба . Игнорируя вклад фотонов, энергия которых превышает массу электрона, Ганс Бете успешно оценил численное значение сдвига Лэмба. ^[6]^[3]^{: 28} Впоследствии Норман Майлз Кролл , Лэмб, Джеймс Брюс Френч и Виктор Вайскопф снова подтвердили это значение, используя подход, в котором бесконечности отменяли другие бесконечностей, чтобы получить конечные величины. Однако этот метод был неуклюжим и ненадежным и не мог быть обобщен на другие вычисления. ^[6]

Прорыв в конечном итоге произошел около 1950 года, когда Джулиан Швингер , Ричард Фейнман , Фримен Дайсон и Шиничиро Томонага разработали более надежный метод устранения бесконечностей . Основная идея заключается в замене вычисленных значений массы и заряда, хотя они могут быть бесконечными, их конечными измеренными значениями. Эта систематическая вычислительная процедура известна как перенормировка и может применяться к произвольному порядку в теории возмущений. ^[6] Как сказал Томонага в своей Нобелевской лекции:

Поскольку те части измененной массы и заряда, которые возникли из-за полевых реакций, [становятся бесконечными], их невозможно вычислить с помощью теории. Однако масса и заряд, наблюдаемые в экспериментах, не являются исходными массой и зарядом, а массой и зарядом, измененными полевыми реакциями, и они конечны. С другой стороны, масса и заряд, появляющиеся в теории, являются… значениями, измененными полевыми реакциями. Поскольку это так, и особенно поскольку теория неспособна вычислить измененную массу и заряд, мы можем принять процедуру феноменологической замены их экспериментальными значениями... Эта процедура называется перенормировкой массы и заряда... После долгих, трудоемких вычислений, менее искусных, чем у Швингера, мы получили результат... который согласуется с [американцами]. ^[9]

Применив процедуру перенормировки, наконец были сделаны расчеты, объясняющие аномальный магнитный момент электрона (отклонение g -фактора электрона от 2) и поляризацию вакуума . Эти результаты в значительной степени согласуются с экспериментальными измерениями, тем самым ознаменовав конец «войны против бесконечностей». ^[6]

В то же время Фейнман ввел формулировку интеграла по траектории квантовой механики и диаграммы Фейнмана . ^[8]^{: 2} Последние можно использовать для визуальной и интуитивной организации и для помощи в вычислении членов возмущенного разложения. Каждая диаграмма может быть интерпретирована как пути частиц во взаимодействии, причем каждая вершина и линия имеют соответствующее математическое выражение, а произведение этих выражений дает амплитуду рассеяния взаимодействия, представленного диаграммой. ^[1]^{: 5}

Именно с изобретением процедуры перенормировки и диаграмм Фейнмана КТП, наконец, возникла как полная теоретическая структура. ^[8]^{: 2}

Неперенормируемость

Учитывая колоссальный успех QED, многие теоретики в течение нескольких лет после 1949 года считали, что QFT вскоре сможет обеспечить понимание всех микроскопических явлений, а не только взаимодействий между фотонами, электронами и позитронами. Вопреки этому оптимизму, QFT вступила в очередной период депрессии, который длился почти два десятилетия. ^[3]^{: 30}

Первым препятствием была ограниченная применимость процедуры перенормировки. В пертурбативных вычислениях в КЭД все бесконечные величины могли быть устранены путем переопределения небольшого (конечного) числа физических величин (а именно массы и заряда электрона). Дайсон доказал в 1949 году, что это возможно только для небольшого класса теорий, называемых «перенормируемыми теориями», примером которых является КЭД. Однако большинство теорий, включая теорию слабого взаимодействия Ферми , являются «неперенормируемыми». Любое пертурбативное вычисление в этих теориях за пределами первого порядка привело бы к бесконечностям, которые нельзя было бы устранить путем переопределения конечного числа физических величин. ^[3]^{: 30}

Вторая серьезная проблема возникла из-за ограниченной применимости метода диаграммы Фейнмана, который основан на разложении ряда в теории возмущений. Для того чтобы ряд сходился и вычисления низкого порядка были хорошим приближением, константа связи , в которой разлагается ряд, должна быть достаточно малым числом. Константа связи в КЭД является константой тонкой структуры $α \approx 1/137$ , которая достаточно мала, чтобы в реалистичных расчетах нужно было рассматривать только самые простые диаграммы Фейнмана самого низкого порядка. Напротив, константа связи в сильном взаимодействии примерно порядка единицы, что делает сложные диаграммы Фейнмана более высокого порядка такими же важными, как и простые. Таким образом, не было способа получить надежные количественные предсказания для сильного взаимодействия с использованием методов пертурбативной КТП. ^[3]^{: 31}

С этими надвигающимися трудностями многие теоретики начали отворачиваться от QFT. Некоторые сосредоточились на принципах симметрии и законах сохранения , в то время как другие подхватили старую теорию S-матрицы Уиллера и Гейзенберга. QFT использовалась эвристически как руководящие принципы, но не как основа для количественных расчетов. ^[3]^{: 31}

Теория источника

Однако Швингер пошел другим путем. Более десяти лет он и его студенты были почти единственными сторонниками теории поля, ^[10]^{: 454} , но в 1951 году ^[11]^[12] он нашел способ обойти проблему бесконечностей с помощью нового метода, использующего внешние источники в качестве токов, связанных с калибровочными полями. ^[13] Мотивированный предыдущими открытиями, Швингер продолжал следовать этому подходу, чтобы «квантово» обобщить классический процесс связывания внешних сил с параметрами конфигурационного пространства, известными как множители Лагранжа. Он обобщил свою теорию источников в 1966 году ^[14], затем расширил приложения теории к квантовой электродинамике в своем трехтомном сборнике под названием: Частицы, источники и поля. ^[15]^[16]^[17] Развитие физики пионов, в которой новая точка зрения была применена наиболее успешно, убедило его в больших преимуществах математической простоты и концептуальной ясности, которые давало ее использование. ^[15]

В теории источников нет расходимостей и перенормировок. Ее можно рассматривать как вычислительный инструмент теории поля, но она более общая. ^[18] Используя теорию источников, Швингер смог вычислить аномальный магнитный момент электрона, что он и сделал в 1947 году, но на этот раз без «отвлекающих замечаний» о бесконечных величинах. ^[10]^{: 467}

Швингер также применил теорию источника к своей теории гравитации QFT и смог воспроизвести все четыре классических результата Эйнштейна: гравитационное красное смещение, отклонение и замедление света гравитацией и прецессию перигелия Меркурия. ^[19] Пренебрежение теорией источника со стороны физического сообщества стало для Швингера большим разочарованием:

Недостаток признания этих фактов другими был удручающим, но понятным. - Й. Швингер ^[15]

См. « инцидент с обувью » между Дж. Швингером и С. Вайнбергом . ^[10]

Стандартная модель

В 1954 году Ян Чен-Нин и Роберт Миллс обобщили локальную симметрию КЭД, что привело к неабелевым калибровочным теориям (также известным как теории Янга–Миллса), которые основаны на более сложных локальных группах симметрии . ^[20]^{: 5} В КЭД (электрически) заряженные частицы взаимодействуют посредством обмена фотонами, тогда как в неабелевой калибровочной теории частицы, несущие новый тип « заряда », взаимодействуют посредством обмена безмассовыми калибровочными бозонами . В отличие от фотонов, эти калибровочные бозоны сами несут заряд. ^[3]^{: 32}^[21]

Шелдон Глэшоу разработал неабелеву калибровочную теорию, которая объединила электромагнитные и слабые взаимодействия в 1960 году. В 1964 году Абдус Салам и Джон Клайв Уорд пришли к той же теории другим путем. Эта теория, тем не менее, была неперенормируемой. ^[22]

Питер Хиггс , Роберт Браут , Франсуа Энглер , Джеральд Гуральник , Карл Хаген и Том Киббл в своих знаменитых статьях в Physical Review Letters предположили , что калибровочная симметрия в теориях Янга–Миллса может быть нарушена механизмом, называемым спонтанным нарушением симметрии , посредством которого изначально безмассовые калибровочные бозоны могут приобретать массу. ^[20]^{: 5–6}

Объединив более раннюю теорию Глэшоу, Салама и Уорда с идеей спонтанного нарушения симметрии, Стивен Вайнберг в 1967 году записал теорию, описывающую электрослабые взаимодействия между всеми лептонами и эффекты бозона Хиггса . Его теория сначала в основном игнорировалась, ^[22]^[20]^{: 6} пока она не была возвращена на свет в 1971 году доказательством Джерарда 'т Хоофта того, что неабелевы калибровочные теории перенормируемы. Электрослабая теория Вайнберга и Салама была расширена с лептонов на кварки в 1970 году Глэшоу, Джоном Илиопулосом и Лучано Майани , что ознаменовало ее завершение. ^[22]

Харальд Фрицш , Мюррей Гелл-Манн и Генрих Лейтвайлер в 1971 году обнаружили, что некоторые явления, связанные с сильным взаимодействием , также могут быть объяснены неабелевой калибровочной теорией. Так родилась квантовая хромодинамика (КХД). В 1973 году Дэвид Гросс , Фрэнк Вильчек и Хью Дэвид Политцер показали, что неабелевы калибровочные теории являются « асимптотически свободными », что означает, что при перенормировке константа связи сильного взаимодействия уменьшается с увеличением энергии взаимодействия. (Подобные открытия были сделаны много раз ранее, но они в значительной степени игнорировались.) ^[20]^{: 11} Следовательно, по крайней мере во взаимодействиях при высоких энергиях, константа связи в КХД становится достаточно малой, чтобы гарантировать разложение в ряд возмущений, что делает возможными количественные предсказания для сильного взаимодействия. ^[3]^{: 32}

Эти теоретические прорывы привели к возрождению КТП. Полная теория, включающая в себя электрослабую теорию и хромодинамику, сегодня называется Стандартной моделью элементарных частиц. ^[23] Стандартная модель успешно описывает все фундаментальные взаимодействия, за исключением гравитации , и ее многочисленные предсказания получили замечательное экспериментальное подтверждение в последующие десятилетия. ^[8]^{: 3} Бозон Хиггса , центральный в механизме спонтанного нарушения симметрии, был наконец обнаружен в 2012 году в ЦЕРНе , что ознаменовало полную проверку существования всех составляющих Стандартной модели. ^[24]

Другие разработки

В 1970-х годах появились непертурбативные методы в неабелевых калибровочных теориях. Монополь 'т Хоофта–Полякова был теоретически открыт 'т Хоофтом и Александром Поляковым , трубки потока — Хольгером Бехом Нильсеном и Полем Олесеном, а инстантоны — Поляковым и соавторами. Эти объекты недоступны через теорию возмущений. ^[8]^{: 4}

Суперсимметрия также появилась в тот же период. Первая суперсимметричная квантовая теория поля в четырех измерениях была построена Юрием Гольфандом и Евгением Лихтманом в 1970 году, но их результат не привлек широкого внимания из-за железного занавеса . Суперсимметрия появилась в теоретическом сообществе только после работы Юлиуса Весса и Бруно Зумино в 1973 году. ^[8]^{: 7}

Среди четырех фундаментальных взаимодействий гравитация остается единственным, которому не хватает последовательного описания квантовой теории поля. Различные попытки теории квантовой гравитации привели к развитию теории струн , ^[8]^{: 6} сама по себе является типом двумерной квантовой теории поля с конформной симметрией . ^[25] Джоэл Шерк и Джон Шварц впервые предположили в 1974 году, что теория струн может быть квантовой теорией гравитации. ^[26]

Физика конденсированного состояния

Хотя квантовая теория поля возникла в результате изучения взаимодействий между элементарными частицами, она успешно применялась и к другим физическим системам, в частности к многочастичным системам в физике конденсированного состояния .

Исторически механизм Хиггса спонтанного нарушения симметрии был результатом применения Ёитиро Намбу теории сверхпроводимости к элементарным частицам, в то время как концепция перенормировки возникла из изучения фазовых переходов второго рода в веществе. ^[27]

Вскоре после введения фотонов Эйнштейн выполнил процедуру квантования колебаний в кристалле, что привело к первой квазичастице — фононам . Лев Ландау утверждал, что низкоэнергетические возбуждения во многих системах конденсированных сред могут быть описаны в терминах взаимодействий между набором квазичастиц. Метод диаграмм Фейнмана КТП естественным образом хорошо подходил для анализа различных явлений в системах конденсированных сред. ^[28]

Калибровочная теория используется для описания квантования магнитного потока в сверхпроводниках, сопротивления в квантовом эффекте Холла , а также соотношения между частотой и напряжением в эффекте Джозефсона переменного тока . ^[28]

Принципы

Для простоты в следующих разделах используются естественные единицы измерения , в которых приведенная постоянная Планка $ħ$ и скорость света $c$ приняты равными единице.

Классические поля

Классическое поле является функцией пространственных и временных координат. ^[29] Примерами служат гравитационное поле в ньютоновской гравитации $g (x, t)$ и электрическое поле $E (x, t)$ и магнитное поле $B (x, t)$ в классическом электромагнетизме . Классическое поле можно рассматривать как численную величину, назначенную каждой точке пространства, которая изменяется со временем. Следовательно, оно имеет бесконечно много степеней свободы . ^[29]^[30]

Многие явления, демонстрирующие квантово-механические свойства, не могут быть объяснены только классическими полями. Такие явления, как фотоэлектрический эффект, лучше всего объясняются дискретными частицами ( фотонами ), а не пространственно непрерывным полем. Цель квантовой теории поля — описать различные квантово-механические явления с помощью модифицированной концепции полей.

Каноническое квантование и интегралы по траекториям являются двумя распространенными формулировками КТП. ^[31]^{: 61} Чтобы мотивировать основы КТП, ниже приведен обзор классической теории поля.

Простейшее классическое поле — это действительное скалярное поле — действительное число в каждой точке пространства, которое изменяется со временем. Оно обозначается как $ϕ (x, t)$ , где $x$ — радиус-вектор, а $t$ — время. Предположим, что лагранжиан поля, , равен $L$

L=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1}{2}}(\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],

где — плотность лагранжиана, — производная поля по времени, $\nabla$ — оператор градиента, а $m$ — действительный параметр («масса» поля). Применяем уравнение Эйлера–Лагранжа к лагранжиану: ^[1]^{: 16} ${\mathcal {L}}$ ${\dot {\phi }}$

{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\right]+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x^{i})}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0,

получаем уравнения движения поля, описывающие его изменение во времени и пространстве:

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+m^{2}\right)\phi =0.

Это известно как уравнение Клейна–Гордона . ^[1]^{: 17}

Уравнение Клейна–Гордона является волновым уравнением , поэтому его решения можно выразить в виде суммы нормальных мод (полученных с помощью преобразования Фурье ) следующим образом:

\phi (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left(a_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+a_{\mathbf {p} }^{*}e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right),

где $a$ — комплексное число (нормализованное по соглашению), $*$ обозначает комплексное сопряжение , а $ω p$ — частота нормальной моды:

\omega _{\mathbf {p} }={\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+m^{2}}}.

Таким образом, каждая нормальная мода, соответствующая одному $p,$ может рассматриваться как классический гармонический осциллятор с частотой $ω p$ . ^[1]^{: 21,26}

Каноническое квантование

Процедура квантования для указанного выше классического поля в поле квантового оператора аналогична преобразованию классического гармонического осциллятора в квантовый гармонический осциллятор .

Смещение классического гармонического осциллятора описывается уравнением

x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}ae^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}a^{*}e^{i\omega t},

где $a$ — комплексное число (нормализованное по соглашению), а $ω$ — частота осциллятора. Обратите внимание, что $x$ — это смещение частицы в простом гармоническом движении от положения равновесия, не путать с пространственной меткой $x$ квантового поля.

Для квантового гармонического осциллятора $x (t)$ преобразуется в линейный оператор : ${\hat {x}}(t)$

{\hat {x}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}e^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega t}.

Комплексные числа $a$ и $a *$ заменяются на оператор уничтожения и оператор рождения соответственно, где $†$ обозначает эрмитово сопряжение . Коммутационное соотношение между ними имеет вид ${\hat {a}}$ ${\hat {a}}^{\dagger }$

\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.

Гамильтониан простого гармонического осциллятора можно записать как

{\hat {H}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\hbar \omega .

Состояние вакуума , которое является состоянием с наименьшей энергией, определяется как $|0\rangle$

{\hat {a}}|0\rangle =0

и имеет энергию Можно легко проверить, что подразумевает, что увеличивает энергию простого гармонического осциллятора на . Например, состояние является собственным состоянием энергии . Любое собственное состояние энергии одного гармонического осциллятора может быть получено из путем последовательного применения оператора создания : ^[1]^{: 20} и любое состояние системы может быть выражено как линейная комбинация состояний ${\frac {1}{2}}\hbar \omega .$ $[{\hat {H}},{\hat {a}}^{\dagger }]=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger },$ ${\hat {a}}^{\dagger }$ $\hbar \omega$ ${\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle$ $3\hbar \omega /2$ $|0\rangle$ ${\hat {a}}^{\dagger }$

|n\rangle \propto \left({\hat {a}}^{\dagger }\right)^{n}|0\rangle .

Аналогичную процедуру можно применить к реальному скалярному полю $ϕ$ , преобразуя его в оператор квантового поля , в то время как оператор уничтожения , оператор рождения и угловая частота теперь имеют вид для конкретного $p$ : ${\hat {\phi }}$ ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }$ ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }$ $\omega _{\mathbf {p} }$

{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right).

Их коммутационные соотношения следующие: ^[1]^{: 21}

\left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} ),\quad \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }\right]=\left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=0,

где $δ$ — дельта-функция Дирака . Состояние вакуума определяется как $|0\rangle$

{\hat {a}}_{\mathbf {p} }|0\rangle =0,\quad {\text{for all }}\mathbf {p} .

Любое квантовое состояние поля может быть получено путем последовательного применения операторов рождения (или линейной комбинации таких состояний), например ^[1]^{: 22} $|0\rangle$ ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }$

\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{3}}^{\dagger }\right)^{3}{\hat {a}}_{\mathbf {p} _{2}}^{\dagger }\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{1}}^{\dagger }\right)^{2}|0\rangle .

В то время как пространство состояний одного квантового гармонического осциллятора содержит все дискретные энергетические состояния одной колеблющейся частицы, пространство состояний квантового поля содержит дискретные энергетические уровни произвольного числа частиц. Последнее пространство известно как пространство Фока , что может объяснить тот факт, что числа частиц не фиксированы в релятивистских квантовых системах. ^[32] Процесс квантования произвольного числа частиц вместо одной частицы часто также называют вторичным квантованием . ^[1]^{: 19}

Вышеуказанная процедура является прямым применением нерелятивистской квантовой механики и может быть использована для квантования (комплексных) скалярных полей, полей Дирака , ^[1]^{: 52} векторных полей ( например, электромагнитного поля) и даже струн . ^[33] Однако операторы рождения и уничтожения хорошо определены только в простейших теориях, которые не содержат взаимодействий (так называемая свободная теория). В случае реального скалярного поля существование этих операторов было следствием разложения решений классических уравнений движения в сумму нормальных мод. Для выполнения вычислений по любой реалистичной взаимодействующей теории необходима теория возмущений .

Лагранжиан любого квантового поля в природе будет содержать члены взаимодействия в дополнение к свободным членам теории. Например, член взаимодействия четвертой степени может быть введен в лагранжиан реального скалярного поля: ^[1]^{: 77}

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )\left(\partial ^{\mu }\phi \right)-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4},

где $μ$ — индекс пространства-времени, и т.д. Суммирование по индексу $μ$ опущено в соответствии с обозначениями Эйнштейна . Если параметр $λ$ достаточно мал, то взаимодействующая теория, описываемая приведенным выше лагранжианом, может рассматриваться как малое возмущение свободной теории. $\partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}$

Интегралы по траектории

Формулировка интеграла по траектории QFT связана с прямым вычислением амплитуды рассеяния определенного процесса взаимодействия, а не с установлением операторов и пространств состояний. Чтобы вычислить амплитуду вероятности для системы, чтобы эволюционировать из некоторого начального состояния в момент времени $t$ $= 0$ в некоторое конечное состояние в момент $времени t$ $=$ $T$ , общее время $T$ делится на $N$ небольших интервалов. Общая амплитуда является произведением амплитуды эволюции в пределах каждого интервала, интегрированной по всем промежуточным состояниям. Пусть $H$ будет гамильтонианом ( т.е. генератором эволюции во времени ), тогда ^[31]^{: 10} $|\phi _{I}\rangle$ $|\phi _{F}\rangle$

\langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int d\phi _{1}\int d\phi _{2}\cdots \int d\phi _{N-1}\,\langle \phi _{F}|e^{-iHT/N}|\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle \phi _{2}|e^{-iHT/N}|\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|e^{-iHT/N}|\phi _{I}\rangle .

Принимая предел $N \to \infty$ , указанное выше произведение интегралов становится интегралом Фейнмана по траектории: ^[1]^{: 282}^[31]^{: 12}

\langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int {\mathcal {D}}\phi (t)\,\exp \left\{i\int _{0}^{T}dt\,L\right\},

где $L$ — лагранжиан, включающий $ϕ$ и его производные по пространственным и временным координатам, полученный из гамильтониана $H$ с помощью преобразования Лежандра . Начальные и конечные условия интеграла по траектории соответственно

\phi (0)=\phi _{I},\quad \phi (T)=\phi _{F}.

Другими словами, общая амплитуда представляет собой сумму амплитуд всех возможных путей между начальным и конечным состояниями, где амплитуда пути задается экспонентой в подынтегральном выражении.

Двухточечная корреляционная функция

В расчетах часто встречаются выражения типа в свободной или взаимодействующей теории соответственно. Здесь и — позиционные четыре-векторы , — оператор упорядочения времени , который перетасовывает свои операнды так, что временные компоненты и увеличиваются справа налево, а — основное состояние (вакуумное состояние) взаимодействующей теории, отличное от свободного основного состояния . Это выражение представляет амплитуду вероятности распространения поля от $y$ до $x$ и имеет несколько названий, например, двухточечный пропагатор , двухточечная корреляционная функция , двухточечная функция Грина или двухточечная функция для краткости. ^[1]^{: 82} $\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \quad {\text{or}}\quad \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle$ $x$ $y$ $T$ $x^{0}$ $y^{0}$ $|\Omega \rangle$ $|0\rangle$

Свободная двухточечная функция, также известная как пропагатор Фейнмана , может быть найдена для действительного скалярного поля либо с помощью канонического квантования, либо с помощью интегралов по траектории: ^[1]^{: 31,288}^[31]^{: 23}

\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \equiv D_{F}(x-y)=\lim _{\epsilon \to 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip_{\mu }(x^{\mu }-y^{\mu })}.

В теории взаимодействия, где лагранжиан или гамильтониан содержит члены или описывающие взаимодействия, двухточечную функцию определить сложнее. Однако, как с помощью канонической формулировки квантования, так и с помощью формулировки интеграла по траектории, ее можно выразить через бесконечный ряд возмущений свободной двухточечной функции. $L_{I}(t)$ $H_{I}(t)$

В каноническом квантовании двухточечная корреляционная функция может быть записана как: ^[1]^{: 87}

\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\left\langle 0\left|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }{\left\langle 0\left|T\left\{\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }},

где $ε$ — бесконечно малое число, а $ϕ I$ — оператор поля в свободной теории. Здесь экспоненту следует понимать как ее разложение в степенной ряд . Например, в -теории взаимодействующий член гамильтониана равен , ^[1]^{: 84} и разложение двухточечного коррелятора в терминах становится Это разложение возмущения выражает взаимодействующую двухточечную функцию в терминах величин , которые оцениваются в свободной теории. $\phi ^{4}$ ${\textstyle H_{I}(t)=\int d^{3}x\,{\frac {\lambda }{4!}}\phi _{I}(x)^{4}}$ $\lambda$ $\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle ={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }}.$ $\langle 0|\cdots |0\rangle$

В формулировке интеграла по траектории двухточечная корреляционная функция может быть записана ^[1]^{: 284}

\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}},

где — плотность Лагранжа. Как и в предыдущем абзаце, экспоненту можно разложить в ряд по $λ$ , сводя взаимодействующую двухточечную функцию к величинам в свободной теории. ${\mathcal {L}}$

Теорема Вика далее сводит любую $n$ -точечную корреляционную функцию в свободной теории к сумме произведений двухточечных корреляционных функций. Например,

{\begin{aligned}\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle &=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{3})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{4})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{3})\}|0\rangle .\end{aligned}}

Поскольку взаимодействующие корреляционные функции могут быть выражены через свободные корреляционные функции, для вычисления всех физических величин в (пертурбативной) взаимодействующей теории необходимо оценивать только последние. ^[1]^{: 90} Это делает пропагатор Фейнмана одной из важнейших величин в квантовой теории поля.

Диаграмма Фейнмана

Корреляционные функции во взаимодействующей теории можно записать в виде ряда возмущений. Каждый член ряда является произведением пропагаторов Фейнмана в свободной теории и может быть визуально представлен диаграммой Фейнмана . Например, член $λ 1$ в двухточечной корреляционной функции в теории $ϕ 4$ равен

{\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle .

После применения теоремы Вика один из членов имеет вид

12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(x-z)D_{F}(y-z)D_{F}(z-z).

Этот термин можно получить из диаграммы Фейнмана

Диаграмма состоит из

внешние вершины , соединенные одним ребром и обозначенные точками (здесь обозначены и ). $x$ $y$
внутренние вершины , соединенные четырьмя ребрами и обозначенные точками (здесь обозначены ). $z$
ребра, соединяющие вершины и представленные линиями.

Каждая вершина соответствует одному фактору поля в соответствующей точке пространства-времени, в то время как ребра соответствуют пропагаторам между точками пространства-времени. Член в ряду возмущений, соответствующий диаграмме, получается путем записи выражения, которое следует из так называемых правил Фейнмана: $\phi$

Для каждой внутренней вершины запишите множитель . $z_{i}$ ${\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}$
Для каждого ребра, соединяющего две вершины и , запишите множитель . $z_{i}$ $z_{j}$ $D_{F}(z_{i}-z_{j})$
Разделите на коэффициент симметрии диаграммы.

С коэффициентом симметрии , следуя этим правилам, получаем точное выражение выше. Преобразуя пропагатор Фурье, правила Фейнмана можно переформулировать из пространства положений в пространство импульсов. ^[1]^{: 91–94} $2$

Чтобы вычислить $n$ -точечную корреляционную функцию до $k$ -го порядка, перечислите все действительные диаграммы Фейнмана с $n$ внешними точками и $k$ или менее вершинами, а затем используйте правила Фейнмана, чтобы получить выражение для каждого члена. Чтобы быть точным,

\langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle

равно сумме (выражений, соответствующих) всем связанным диаграммам с $n$ внешними точками. (Связанные диаграммы — это те, в которых каждая вершина связана с внешней точкой посредством линий. Компоненты, которые полностью отключены от внешних линий, иногда называются «вакуумными пузырьками».) В теории взаимодействия $ϕ 4$ , обсуждавшейся выше, каждая вершина должна иметь четыре ножки. ^[1]^{: 98}

В реальных приложениях амплитуда рассеяния определенного взаимодействия или скорость распада частицы могут быть вычислены из S-матрицы , которую, в свою очередь, можно найти с помощью метода диаграммы Фейнмана. ^[1]^{: 102–115}

Диаграммы Фейнмана, лишенные «петель», называются диаграммами древовидного уровня, которые описывают процессы взаимодействия самого низкого порядка; те, которые содержат $n$ петель, называются диаграммами $n$ -петлевых, которые описывают вклады более высокого порядка или радиационные поправки к взаимодействию. ^[31]^{: 44} Линии, конечные точки которых являются вершинами, можно рассматривать как распространение виртуальных частиц . ^[1]^{: 31}

Перенормировка

Правила Фейнмана можно использовать для прямой оценки диаграмм древовидного уровня. Однако наивное вычисление петлевых диаграмм, таких как показанная выше, приведет к расходящимся интегралам импульса, что, по-видимому, подразумевает, что почти все члены в пертурбативном разложении бесконечны. Процедура перенормировки представляет собой систематический процесс для устранения таких бесконечностей.

Параметры, появляющиеся в лагранжиане, такие как масса $m$ и константа связи $λ$ , не имеют физического смысла — $m$ , $λ$ и напряженность поля $ϕ$ не являются экспериментально измеримыми величинами и называются здесь голой массой, голой константой связи и голым полем соответственно. Физическая масса и константа связи измеряются в некотором процессе взаимодействия и, как правило, отличаются от голых величин. При вычислении физических величин из этого процесса взаимодействия можно ограничить область расходящихся интегралов импульса так, чтобы она была ниже некоторого обрезания импульса $Λ$ , получить выражения для физических величин, а затем взять предел $Λ \to \infty$ . Это пример регуляризации , класса методов для обработки расходимостей в КТП, где $Λ$ является регулятором.

Подход, проиллюстрированный выше, называется голой теорией возмущений, поскольку вычисления включают только голые величины, такие как масса и константа связи. Другой подход, называемый перенормированной теорией возмущений, заключается в использовании физически значимых величин с самого начала. В случае теории $ϕ 4$ сначала переопределяется напряженность поля:

\phi =Z^{1/2}\phi _{r},

где $ϕ$ — голое поле, $ϕ r$ — перенормированное поле, а $Z$ — константа, которую необходимо определить. Плотность лагранжиана становится:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!}}\phi _{r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4!}}\phi _{r}^{4},

где $m r$ и $λ r$ — экспериментально измеряемые, перенормированные масса и константа связи соответственно, и

\delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}=m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\lambda Z^{2}-\lambda _{r}

константы, которые необходимо определить. Первые три члена представляют собой плотность Лагранжа $ϕ 4 ,$ записанную в терминах перенормированных величин, в то время как последние три члена называются «контрчленами». Поскольку Лагранжиан теперь содержит больше членов, диаграммы Фейнмана должны включать дополнительные элементы, каждый со своими собственными правилами Фейнмана. Процедура описывается следующим образом. Сначала выберите схему регуляризации (такую как регуляризация обрезания, введенная выше, или размерная регуляризация ); назовите регулятор $Λ$ . Вычислите диаграммы Фейнмана, в которых расходящиеся члены будут зависеть от $Λ$ . Затем определите $δ Z$ , $δ m$ и $δ λ$ таким образом, чтобы диаграммы Фейнмана для контрчленов точно отменили расходящиеся члены в обычных диаграммах Фейнмана, когда взят предел $Λ \to \infty$ . Таким образом, получаются осмысленные конечные величины. ^[1]^{: 323–326}

В перенормируемых теориях можно устранить все бесконечности, чтобы получить конечный результат, тогда как в неперенормируемых теориях бесконечности не могут быть устранены путем переопределения небольшого числа параметров. Стандартная модель элементарных частиц является перенормируемой КТП, ^[1]^{: 719–727} , тогда как квантовая гравитация неперенормируема. ^[1]^{: 798}^[31]^{: 421}

Группа ренормализации

Группа перенормировки , разработанная Кеннетом Уилсоном , представляет собой математический аппарат, используемый для изучения изменений физических параметров (коэффициентов в лагранжиане) при рассмотрении системы в разных масштабах. ^[1]^{: 393} То, как каждый параметр изменяется с масштабом, описывается его β- функцией . ^[1]^{: 417} Корреляционные функции, которые лежат в основе количественных физических предсказаний, изменяются с масштабом в соответствии с уравнением Каллана–Симанзика . ^[1]^{: 410–411}

Например, константа связи в КЭД, а именно элементарный заряд $e$ , имеет следующую β- функцию:

\beta (e)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {de}{d\Lambda }}={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}+O{\mathord {\left(e^{5}\right)}},

где $Λ$ — шкала энергий, в которой выполняется измерение $e$ . Это дифференциальное уравнение подразумевает, что наблюдаемый элементарный заряд увеличивается с увеличением шкалы. ^[34] Перенормированная константа связи, которая изменяется с энергетической шкалой, также называется бегущей константой связи. ^[1]^{: 420}

Константа связи $g$ в квантовой хромодинамике , неабелевой калибровочной теории, основанной на группе симметрии $SU(3)$ , имеет следующую β- функцию:

\beta (g)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {dg}{d\Lambda }}={\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}\left(-11+{\frac {2}{3}}N_{f}\right)+O{\mathord {\left(g^{5}\right)}},

где $N f$ — число ароматов кварков . В случае, когда $N$ $f$ $\leq 16$ (в Стандартной модели $N$ $f$ $= 6$ ), константа связи $g$ уменьшается с ростом масштаба энергии. Следовательно, в то время как сильное взаимодействие сильно при низких энергиях, оно становится очень слабым при взаимодействиях с высокими энергиями, явление, известное как асимптотическая свобода . ^[1]^{: 531}

Конформные теории поля (КТП) — это специальные КТП, которые допускают конформную симметрию . Они нечувствительны к изменениям масштаба, поскольку все их константы связи имеют исчезающую β -функцию. (Однако обратное неверно — исчезновение всех β -функций не подразумевает конформную симметрию теории.) ^[35] Примерами служат теория струн ^[25] и $N = 4$ суперсимметричная теория Янга–Миллса . ^[36]

Согласно картине Уилсона, каждая КТП фундаментально сопровождается ее энергетическим обрезанием $Λ$ , т. е. что теория больше не действительна при энергиях выше $Λ$ , и все степени свободы выше масштаба $Λ$ должны быть опущены. Например, обрезание может быть обратным атомному расстоянию в системе конденсированного вещества, а в физике элементарных частиц оно может быть связано с фундаментальной «зернистостью» пространства-времени, вызванной квантовыми флуктуациями в гравитации. Масштаб обрезания теорий взаимодействий частиц лежит далеко за пределами современных экспериментов. Даже если бы теория была очень сложной в этом масштабе, пока ее связи достаточно слабы, она должна описываться при низких энергиях перенормируемой эффективной теорией поля . ^[1]^{: 402–403} Разница между перенормируемыми и неперенормируемыми теориями заключается в том, что первые нечувствительны к деталям при высоких энергиях, тогда как вторые зависят от них. ^[8]^{: 2} Согласно этой точке зрения, неперенормируемые теории следует рассматривать как низкоэнергетические эффективные теории более фундаментальной теории. Неспособность удалить обрезание $Λ$ из расчетов в такой теории просто указывает на то, что новые физические явления появляются в масштабах выше $Λ$ , где необходима новая теория. ^[31]^{: 156}

Другие теории

Процедуры квантования и перенормировки, описанные в предыдущих разделах, выполняются для свободной теории и теории ϕ 4 реального скалярного поля. Подобный процесс может быть выполнен для других типов полей, включая комплексное скалярное поле, векторное поле и поле Дирака , а также других типов членов взаимодействия, включая электромагнитное взаимодействие и взаимодействие Юкавы .

Например, квантовая электродинамика содержит поле Дирака $ψ,$ представляющее электронное поле, и векторное поле $A μ,$ представляющее электромагнитное поле ( поле фотона ). (Несмотря на свое название, квантовое электромагнитное «поле» на самом деле соответствует классическому электромагнитному четырехпотенциалу , а не классическим электрическим и магнитным полям.) Полная плотность лагранжиана КЭД равна:

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },

где $γ μ$ — матрицы Дирака , , и — напряженность электромагнитного поля . Параметрами в этой теории являются (голая) масса электрона $m$ и (голый) элементарный заряд $e$ . Первый и второй члены в плотности лагранжиана соответствуют свободному полю Дирака и свободным векторным полям соответственно. Последний член описывает взаимодействие между полями электрона и фотона, которое рассматривается как возмущение из свободных теорий. ^[1]^{: 78} ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$

Выше показан пример диаграммы Фейнмана на уровне дерева в КЭД. Она описывает электрон и позитрон, которые аннигилируют, создавая фотон вне оболочки , а затем распадаются на новую пару электрона и позитрона. Время идет слева направо. Стрелки, направленные вперед во времени, представляют распространение электронов, в то время как направленные назад во времени, представляют распространение позитронов. Волнистая линия представляет распространение фотона. Каждая вершина в диаграммах Фейнмана КЭД должна иметь входящую и выходящую фермионную (позитрон/электрон) ножку, а также фотонную ножку.

Симметрия калибровок

$Если в каждой точке пространства-времени x$ выполняется следующее преобразование полей (локальное преобразование), то лагранжиан КЭД остается неизменным или инвариантным:

\psi (x)\to e^{i\alpha (x)}\psi (x),\quad A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+ie^{-1}e^{-i\alpha (x)}\partial _{\mu }e^{i\alpha (x)},

где $α (x)$ — любая функция пространственно-временных координат. Если лагранжиан теории (или, точнее, действие ) инвариантен относительно определенного локального преобразования, то преобразование называется калибровочной симметрией теории. ^[1]^{: 482–483} Калибровочные симметрии образуют группу в каждой точке пространства-времени. В случае КЭД последовательное применение двух различных локальных преобразований симметрии и является еще одним преобразованием симметрии . Для любого $α$ $($ $x$ $)$ , является элементом группы $U(1)$ , поэтому говорят, что КЭД имеет калибровочную симметрию $U(1)$ . ^[1]^{: 496} Фотонное поле $A$ $μ$ можно назвать калибровочным бозоном $U(1)$ . $e^{i\alpha (x)}$ $e^{i\alpha '(x)}$ $e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ $e^{i\alpha (x)}$

$U(1)$ — абелева группа , что означает, что результат одинаков независимо от порядка применения ее элементов. КТП также могут быть построены на неабелевых группах , что приводит к неабелевым калибровочным теориям (также известным как теории Янга–Миллса). ^[1]^{: 489} Квантовая хромодинамика , описывающая сильное взаимодействие, является неабелевой калибровочной теорией с калибровочной симметрией $SU(3)$ . Она содержит три поля Дирака $ψ i, i = 1,2,3,$ представляющие кварковые поля, а также восемь векторных полей $A a,μ, a = 1,...,8,$ представляющие глюонные поля, которые являются калибровочными бозонами $SU(3)$ . ^[1]^{: 547} Плотность лагранжиана КХД равна: ^[1]^{: 490–491}

{\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}^{i}\gamma ^{\mu }(D_{\mu })^{ij}\psi ^{j}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\mu \nu }-m{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{i},

где $D μ$ — калибровочно- ковариантная производная :

D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}t^{a},

где $g$ — константа связи, $t a$ — восемь генераторов SU $(3)$ в фундаментальном представлении ( матрицы $3\times3$ ),

F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},

и $f abc$ — структурные константы SU $(3)$ . Повторяющиеся индексы $i, j, a$ неявно суммируются по следующим обозначениям Эйнштейна. Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразования:

\psi ^{i}(x)\to U^{ij}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu }^{a}(x)t^{a}\to U(x)\left[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial _{\mu }\right]U^{\dagger }(x),

где $U (x)$ — элемент $SU(3)$ в каждой точке пространства-времени $x$ :

U(x)=e^{i\alpha (x)^{a}t^{a}}.

Предшествующее обсуждение симметрий находится на уровне лагранжиана. Другими словами, это «классические» симметрии. После квантования некоторые теории больше не будут демонстрировать свои классические симметрии, явление, называемое аномалией . Например, в формулировке интеграла по траекториям, несмотря на инвариантность плотности лагранжиана при определенном локальном преобразовании полей, мера интеграла по траекториям может измениться. ^[31]^{: 243} Чтобы теория, описывающая природу, была последовательной, она не должна содержать никаких аномалий в своей калибровочной симметрии. Стандартная модель элементарных частиц является калибровочной теорией, основанной на группе $SU(3) \times SU(2) \times U(1)$ , в которой все аномалии точно сокращаются. ^[1]^{: 705–707} ${\mathcal {L}}[\phi ,\partial _{\mu }\phi ]$ ${\textstyle \int {\mathcal {D}}\phi }$

Теоретическую основу общей теории относительности , принцип эквивалентности , можно также понимать как форму калибровочной симметрии, что делает общую теорию относительности калибровочной теорией, основанной на группе Лоренца . ^[37]

Теорема Нётер утверждает, что каждая непрерывная симметрия, т.е. параметр в преобразовании симметрии является непрерывным, а не дискретным, приводит к соответствующему закону сохранения . ^[1]^{: 17–18}^[31]^{: 73} Например, симметрия $U(1)$ КЭД подразумевает сохранение заряда . ^[38]

Калибровочные преобразования не связывают различные квантовые состояния. Скорее, они связывают два эквивалентных математических описания одного и того же квантового состояния. Например, фотонное поле $A μ$ , будучи четырехвектором , имеет четыре кажущиеся степени свободы, но фактическое состояние фотона описывается его двумя степенями свободы, соответствующими поляризации . Оставшиеся две степени свободы называются «избыточными» — по-видимому, различные способы записи $A μ$ могут быть связаны друг с другом калибровочным преобразованием и фактически описывать одно и то же состояние фотонного поля. В этом смысле калибровочная инвариантность — это не «реальная» симметрия, а отражение «избыточности» выбранного математического описания. ^[31]^{: 168}

Для учета избыточности калибровки в формулировке интеграла по траектории необходимо выполнить так называемую процедуру фиксации калибровки Фаддеева–Попова . В неабелевых калибровочных теориях такая процедура вводит новые поля, называемые «призраками». Частицы, соответствующие полям-призракам, называются частицами-призраками, которые не могут быть обнаружены извне. ^[1]^{: 512–515} Более строгое обобщение процедуры Фаддеева–Попова дается BRST-квантованием . ^[1]^{: 517}

Спонтанное нарушение симметрии

Спонтанное нарушение симметрии — это механизм, посредством которого симметрия лагранжиана нарушается системой, описываемой им. ^[1]^{: 347}

Чтобы проиллюстрировать механизм, рассмотрим линейную сигма-модель, содержащую $N$ действительных скалярных полей, описываемых плотностью Лагранжа:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi ^{i}\right)\left(\partial ^{\mu }\phi ^{i}\right)+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{i}\phi ^{i}-{\frac {\lambda }{4}}\left(\phi ^{i}\phi ^{i}\right)^{2},

где $μ$ и $λ$ — действительные параметры. Теория допускает глобальную симметрию $O(N)$ :

\phi ^{i}\to R^{ij}\phi ^{j},\quad R\in \mathrm {O} (N).

Низшим энергетическим состоянием (основным состоянием или вакуумным состоянием) классической теории является любое однородное поле $ϕ 0 ,$ удовлетворяющее условию

\phi _{0}^{i}\phi _{0}^{i}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.

Без потери общности пусть основное состояние находится в $N$ -ом направлении:

\phi _{0}^{i}=\left(0,\cdots ,0,{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\right).

Исходные $N$ полей можно переписать как:

\phi ^{i}(x)=\left(\pi ^{1}(x),\cdots ,\pi ^{N-1}(x),{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}+\sigma (x)\right),

и исходная плотность Лагранжа как:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\pi ^{k}\right)\left(\partial ^{\mu }\pi ^{k}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\sigma \right)\left(\partial ^{\mu }\sigma \right)-{\frac {1}{2}}\left(2\mu ^{2}\right)\sigma ^{2}-{\sqrt {\lambda }}\mu \sigma ^{3}-{\sqrt {\lambda }}\mu \pi ^{k}\pi ^{k}\sigma -{\frac {\lambda }{2}}\pi ^{k}\pi ^{k}\sigma ^{2}-{\frac {\lambda }{4}}\left(\pi ^{k}\pi ^{k}\right)^{2},

где $k = 1, ..., N - 1.$ Первоначальная глобальная симметрия $O(N)$ больше не проявляется, остается только подгруппа $O(N - 1)$ . Большая симметрия до спонтанного нарушения симметрии называется «скрытой» или спонтанно нарушенной. ^[1]^{: 349–350}

Теорема Голдстоуна утверждает, что при спонтанном нарушении симметрии каждая нарушенная непрерывная глобальная симметрия приводит к безмассовому полю, называемому бозоном Голдстоуна. В приведенном выше примере $O(N)$ имеет $N (N - 1)/2$ непрерывных симметрий (размерность его алгебры Ли ), тогда как $O(N - 1)$ имеет $(N - 1)(N - 2)/2$ . Число нарушенных симметрий равно их разности, $N - 1$ , что соответствует $N - 1$ безмассовым полям $π k$ . ^[1]^{: 351}

С другой стороны, когда калибровочная (в отличие от глобальной) симметрия спонтанно нарушается, результирующий бозон Голдстоуна «съедается» соответствующим калибровочным бозоном, становясь дополнительной степенью свободы для калибровочного бозона. Теорема эквивалентности бозонов Голдстоуна утверждает, что при высокой энергии амплитуда испускания или поглощения продольно поляризованного массивного калибровочного бозона становится равной амплитуде испускания или поглощения бозона Голдстоуна, который был съеден калибровочным бозоном. ^[1]^{: 743–744}

В квантовой теории поля ферромагнетизма спонтанное нарушение симметрии может объяснить выравнивание магнитных диполей при низких температурах. ^[31]^{: 199} В Стандартной модели элементарных частиц бозоны W и Z , которые в противном случае были бы безмассовыми в результате калибровочной симметрии, приобретают массу посредством спонтанного нарушения симметрии бозона Хиггса , процесса, называемого механизмом Хиггса . ^[1]^{: 690}

Суперсимметрия

Все экспериментально известные симметрии в природе связывают бозоны с бозонами и фермионы с фермионами. Теоретики выдвинули гипотезу о существовании типа симметрии, называемой суперсимметрией , которая связывает бозоны и фермионы. ^[1]^{: 795}^[31]^{: 443}

Стандартная модель подчиняется симметрии Пуанкаре , генераторами которой являются пространственно-временные трансляции $P μ$ и преобразования Лоренца $J μν$ . ^[39]^{: 58–60} В дополнение к этим генераторам суперсимметрия в (3+1)-измерениях включает в себя дополнительные генераторы $Q α$ , называемые суперзарядами , которые сами преобразуются как фермионы Вейля . ^[1]^{: 795}^[31]^{: 444} Группа симметрии, генерируемая всеми этими генераторами, известна как группа суперПуанкаре . В общем случае может быть более одного набора генераторов суперсимметрии, $Q α I, I = 1, ..., N$ , которые генерируют соответствующую суперсимметрию $N = 1$ , суперсимметрию $N = 2$ и так далее. ^[1]^{: 795}^[31]^{: 450} Суперсимметрия может быть также построена в других измерениях, ^[40] особенно в измерениях (1+1) для ее применения в теории суперструн . ^[41]

Лагранжиан суперсимметричной теории должен быть инвариантен относительно действия супергруппы Пуанкаре. ^[31]^{: 448} Примерами таких теорий являются: Минимальная суперсимметричная стандартная модель (MSSM), $N = 4$ суперсимметричная теория Янга–Миллса , ^[31]^{: 450} и теория суперструн. В суперсимметричной теории каждый фермион имеет бозонного суперпартнера и наоборот. ^[31]^{: 444}

Если суперсимметрия повышается до локальной симметрии, то результирующая калибровочная теория является расширением общей теории относительности, называемой супергравитацией . ^[42]

Суперсимметрия является потенциальным решением многих современных проблем в физике. Например, проблема иерархии Стандартной модели — почему масса бозона Хиггса не исправляется радиационно (при перенормировке) до очень высокого масштаба, такого как масштаб великого объединения или масштаб Планка — может быть решена путем связывания поля Хиггса и его суперпартнера, Хиггсино . Радиационные поправки из-за петель бозона Хиггса в диаграммах Фейнмана отменяются соответствующими петлями Хиггсино. Суперсимметрия также предлагает ответы на великое объединение всех калибровочных констант связи в Стандартной модели, а также на природу темной материи . ^[1]^{: 796–797}^[43]

Тем не менее, эксперименты еще не предоставили доказательств существования суперсимметричных частиц. Если бы суперсимметрия была истинной симметрией природы, то она должна была бы быть нарушенной симметрией, и энергия нарушения симметрии должна быть выше, чем те, которые достижимы в современных экспериментах. ^[1]^{: 797}^[31]^{: 443}

Другие пространства-времена

Теория $ϕ 4$ , QED, QCD, а также вся Стандартная модель предполагают (3+1)-мерное пространство Минковского (3 пространственных и 1 временное измерение) в качестве фона, на котором определяются квантовые поля. Однако QFT априори не накладывает никаких ограничений на количество измерений или геометрию пространства-времени.

В физике конденсированного состояния КТП используется для описания (2+1)-мерных электронных газов . ^[44] В физике высоких энергий теория струн является типом (1+1)-мерной КТП, ^[31]^{: 452}^[25] в то время как теория Калуцы–Клейна использует гравитацию в дополнительных измерениях для создания калибровочных теорий в более низких измерениях. ^[31]^{: 428–429}

В пространстве Минковского плоская метрика $η μν$ используется для повышения и понижения индексов пространства-времени в лагранжиане, например:

A_{\mu }A^{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,

где $η µν$ является обратным $η µν,$ удовлетворяющим условию $η µρ η ρν = δ µ ν$ . С другой стороны, для КТП в искривленном пространстве-времени используется общая метрика (например, метрика Шварцшильда, описывающая черную дыру ):

A_{\mu }A^{\mu }=g_{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,

где $g μν$ — это обратная величина $g μν$ . Для реального скалярного поля плотность лагранжиана в общем пространственно-временном фоне равна

{\mathcal {L}}={\sqrt {|g|}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\phi \nabla _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right),

где $g = det(g μν)$ , а $\nabla μ$ обозначает ковариантную производную . ^[45] Лагранжиан КТП, а следовательно, и его вычислительные результаты и физические предсказания, зависят от геометрии фона пространства-времени.

Топологическая квантовая теория поля

Корреляционные функции и физические предсказания QFT зависят от метрики пространства-времени $g μν$ . Для специального класса QFT, называемых топологическими квантовыми теориями поля (TQFT), все корреляционные функции не зависят от непрерывных изменений метрики пространства-времени. ^[46]^{: 36} QFT в искривленном пространстве-времени обычно изменяются в соответствии с геометрией (локальной структурой) фона пространства-времени, в то время как TQFT инвариантны относительно диффеоморфизмов пространства-времени , но чувствительны к топологии (глобальной структуре) пространства-времени. Это означает, что все вычислительные результаты TQFT являются топологическими инвариантами базового пространства-времени. Теория Черна-Саймонса является примером TQFT и использовалась для построения моделей квантовой гравитации. ^[47] Приложения TQFT включают дробный квантовый эффект Холла и топологические квантовые компьютеры . ^[48]^{: 1–5} Траектория мировой линии фракционированных частиц (известных как анионы ) может образовывать конфигурацию связи в пространстве-времени, ^[49] которая связывает статистику сплетения анионов в физике с инвариантами связи в математике. Топологические квантовые теории поля (TQFT), применимые к передовым исследованиям топологических квантовых вопросов, включают калибровочные теории Черна-Саймонса-Виттена в 2+1 измерениях пространства-времени, другие новые экзотические TQFT в 3+1 измерениях пространства-времени и далее. ^[50]

Пертурбативные и непертурбативные методы

Используя теорию возмущений , общий эффект малого члена взаимодействия может быть аппроксимирован порядок за порядком путем разложения в ряд числа виртуальных частиц, участвующих во взаимодействии. Каждый член в разложении может быть понят как один из возможных способов взаимодействия (физических) частиц друг с другом через виртуальные частицы, выраженный визуально с помощью диаграммы Фейнмана . Электромагнитная сила между двумя электронами в КЭД представлена (в первом порядке в теории возмущений) распространением виртуального фотона. Аналогичным образом, W- и Z-бозоны переносят слабое взаимодействие, в то время как глюоны переносят сильное взаимодействие. Интерпретация взаимодействия как суммы промежуточных состояний, включающих обмен различными виртуальными частицами, имеет смысл только в рамках теории возмущений. Напротив, непертурбативные методы в КТП рассматривают взаимодействующий лагранжиан как целое без какого-либо разложения в ряд. Вместо частиц, которые переносят взаимодействия, эти методы породили такие концепции, как монополь 'т Хоофта–Полякова , доменная стенка , потоковая трубка и инстантон . ^[8] Примеры квантовых теорий поля, которые полностью решаются непертурбативно, включают минимальные модели конформной теории поля ^[51] и модель Тирринга . ^[52]

Математическая строгость

Несмотря на свой ошеломляющий успех в физике частиц и физике конденсированного состояния, сама КТП не имеет формальной математической основы. Например, согласно теореме Хаага , не существует четко определенной картины взаимодействия для КТП, что подразумевает, что теория возмущений КТП, которая лежит в основе всего метода диаграмм Фейнмана , принципиально плохо определена. ^[53]

Однако пертурбативной квантовой теории поля, которая требует только, чтобы величины были вычислимы как формальный степенной ряд без каких-либо требований сходимости, можно дать строгую математическую трактовку. В частности, монография Кевина Костелло «Перенормировка и эффективная теория поля» ^[54] дает строгую формулировку пертурбативной перенормировки, которая объединяет оба подхода эффективной теории поля Каданова , Уилсона и Полчински , вместе с подходом Баталина-Вилковыского к квантованию калибровочных теорий. Более того, пертурбативным методам интегралов по траекториям, обычно понимаемым как формальные вычислительные методы, вдохновленные конечномерной теорией интегрирования, ^[55] можно дать надежную математическую интерпретацию из их конечномерных аналогов. ^[56]

Начиная с 1950-х годов ^[57] физики-теоретики и математики пытались организовать все КТП в набор аксиом , чтобы математически строго установить существование конкретных моделей релятивистской КТП и изучить их свойства. Это направление исследований называется конструктивной квантовой теорией поля , подразделом математической физики , ^[58]^{: 2} , которое привело к таким результатам, как теорема CPT , теорема о спиновой статистике и теорема Голдстоуна , ^[57], а также к математически строгим конструкциям многих взаимодействующих КТП в двух и трех измерениях пространства-времени, например, двумерные скалярные теории поля с произвольными полиномиальными взаимодействиями, ^[59] трехмерные скалярные теории поля с квартикальным взаимодействием и т. д. ^[60]

По сравнению с обычной КТП, топологическая квантовая теория поля и конформная теория поля лучше подкреплены математически — обе могут быть классифицированы в рамках представлений кобордизмов . ^[61]

Алгебраическая квантовая теория поля — это еще один подход к аксиоматизации КТП, в котором фундаментальными объектами являются локальные операторы и алгебраические отношения между ними. Аксиоматические системы, следующие этому подходу, включают аксиомы Вайтмана и аксиомы Хаага–Кастлера . ^[58]^{: 2–3} Один из способов построения теорий, удовлетворяющих аксиомам Вайтмана, — это использование аксиом Остервальдера–Шрадера , которые дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы теория реального времени была получена из теории мнимого времени путем аналитического продолжения ( вращение Вика ). ^[58]^{: 10}

Существование Янга-Миллса и разрыв масс , одна из проблем премии тысячелетия , касается четко определенного существования теорий Янга-Миллса, как установлено вышеприведенными аксиомами. Полная постановка проблемы выглядит следующим образом. ^[62]

Докажите, что для любой компактной простой калибровочной группы $G$ нетривиальная квантовая теория Янга–Миллса существует на и имеет массовый зазор $Δ > 0.$ Существование включает установление аксиоматических свойств, по крайней мере столь же сильных, как те, которые указаны в работах Стритера и Вайтмана (1964), Остервальдера и Шрадера (1973) и Остервальдера и Шрадера (1975). $\mathbb {R} ^{4}$

Смотрите также

Ссылки

^ abcdefghijklmnopqrstu vwxyz aa ab ac ad ae af ag ah ai aj ak al am an ao ap aq ar as at au av aw ax ay az Peskin, M .; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Вествью Пресс. ISBN 978-0-201-50397-5.
^ abc Hobson, Art (2013). «Частиц нет, есть только поля». American Journal of Physics . 81 (211): 211–223. arXiv : 1204.4616 . Bibcode : 2013AmJPh..81..211H. doi : 10.1119/1.4789885. S2CID 18254182.
^ abcdefghijklmnop Вайнберг, Стивен (1977). «Поиск единства: заметки по истории квантовой теории поля». Daedalus . 106 (4): 17–35. JSTOR 20024506.
^ Heilbron, JL , ред. (2003). Оксфордский компаньон по истории современной науки. Оксфорд; Нью-Йорк: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-511229-0.
^ Томсон, Джозеф Джон ; Максвелл, Джеймс Клерк (1893). Заметки о последних исследованиях в области электричества и магнетизма, задуманные как продолжение «Трактата об электричестве и магнетизме» профессора Клерка-Максвелла. Clarendon Press .
^ abcdefghijklm Вайскопф, Виктор (ноябрь 1981 г.). «Развитие теории поля за последние 50 лет». Physics Today . 34 (11): 69–85. Bibcode : 1981PhT....34k..69W. doi : 10.1063/1.2914365.
^ Гейзенберг, Вернер (1999). Физика и философия: революция в современной науке. Серия «Великие умы». Амхерст, Нью-Йорк: Prometheus Books . ISBN 978-1-57392-694-2.
^ abcdefghij Шифман, М. (2012). Advanced Topics in Quantum Field Theory . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19084-8.
^ Томонага, Шиничиро (1966). «Развитие квантовой электродинамики». Science . 154 (3751): 864–868. Bibcode :1966Sci...154..864T. doi :10.1126/science.154.3751.864. PMID 17744604.
^ abc Милтон, KA; Мехра, Джагдиш (2000). Восхождение на гору: научная биография Джулиана Швингера (переиздание). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850658-4.
^ Швингер, Джулиан (июль 1951 г.). «О функциях Грина квантованных полей. I». Труды Национальной академии наук . 37 (7): 452–455. Bibcode : 1951PNAS...37..452S. doi : 10.1073/pnas.37.7.452 . ISSN 0027-8424. PMC 1063400. PMID 16578383 .
^ Швингер, Джулиан (июль 1951 г.). «О функциях Грина квантованных полей. II». Труды Национальной академии наук . 37 (7): 455–459. Bibcode : 1951PNAS...37..455S. doi : 10.1073/pnas.37.7.455 . ISSN 0027-8424. PMC 1063401. PMID 16578384 .
^ Швебер, Сильван С. (2005-05-31). «Источники функций Грина Швингера». Труды Национальной академии наук . 102 (22): 7783–7788. doi : 10.1073/pnas.0405167101 . ISSN 0027-8424. PMC 1142349. PMID 15930139 .
^ Швингер, Джулиан (1966). «Частицы и источники». Phys Rev. 152 ( 4): 1219. Bibcode : 1966PhRv..152.1219S. doi : 10.1103/PhysRev.152.1219.
^ abc Швингер, Джулиан (1998). Частицы, источники и поля т. 1. Рединг, Массачусетс: Perseus Books. стр. xi. ISBN 0-7382-0053-0.
^ Швингер, Джулиан (1998). Частицы, источники и поля. 2 (1-е печатное издание). Чтение, Масса: Расширенная книжная программа, Perseus Books. ISBN 978-0-7382-0054-5.
^ Швингер, Джулиан (1998). Частицы, источники и поля. 3 (1-е печатное издание). Чтение, Масса: Продвинутая книжная программа, Perseus Books. ISBN 978-0-7382-0055-2.
^ CR Hagen; et al., ред. (1967). Труды Международной конференции по частицам и полям 1967 года . Нью-Йорк: Interscience. стр. 128.
^ Швингер, Джулиан (1998). Частицы, источники и поля т. 1. Рединг, Массачусетс: Perseus Bookks. стр. 82–85.
^ abcd 't Hooft, Gerard (2015-03-17). "Эволюция квантовой теории поля". Стандартная теория физики элементарных частиц . Расширенная серия по направлениям в физике высоких энергий. Том 26. стр. 1–27. arXiv : 1503.05007 . Bibcode :2016stpp.conf....1T. doi :10.1142/9789814733519_0001. ISBN 978-981-4733-50-2. S2CID 119198452.
^ Янг, CN ; Миллс, RL (1954-10-01). «Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность». Physical Review . 96 (1): 191–195. Bibcode : 1954PhRv...96..191Y. doi : 10.1103/PhysRev.96.191 .
^ abc Coleman, Sidney (1979-12-14). «Нобелевская премия по физике 1979 года». Science . 206 (4424): 1290–1292. Bibcode :1979Sci...206.1290C. doi :10.1126/science.206.4424.1290. JSTOR 1749117. PMID 17799637.
^ Саттон, Кристин . "Стандартная модель". britannica.com . Encyclopaedia Britannica . Получено 14 августа 2018 г.
^ Киббл, Том ВБ (12.12.2014). «Стандартная модель физики элементарных частиц». arXiv : 1412.4094 [physics.hist-ph].
^ abc Полчински, Джозеф (2005). Теория струн . Том 1. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67227-6.
^ Шварц, Джон Х. (2012-01-04). «Ранняя история теории струн и суперсимметрии». arXiv : 1201.0981 [physics.hist-ph].
^ "Общие проблемы в конденсированных средах и физике высоких энергий" (PDF) . science.energy.gov . Офис науки, Министерство энергетики США . 2015-02-02 . Получено 2018-07-18 .
^ ab Wilczek, Frank (2016-04-19). "Физика частиц и конденсированное состояние: сага продолжается". Physica Scripta . 2016 (T168): 014003. arXiv : 1604.05669 . Bibcode : 2016PhST..168a4003W. doi : 10.1088/0031-8949/T168/1/014003. S2CID 118439678.
^ ab Tong 2015, Глава 1
^ Фактически, его число степеней свободы несчетно, поскольку размерность векторного пространства непрерывных (дифференцируемых, вещественно-аналитических) функций даже на конечномерном евклидовом пространстве несчетна. С другой стороны, подпространства (этих функциональных пространств), которые обычно рассматриваются, такие как гильбертовы пространства (например, пространство квадратично интегрируемых вещественных функций) или сепарабельные банаховы пространства (например, пространство непрерывных вещественных функций на компактном интервале с равномерной нормой сходимости), имеют счетную (т. е. счетно бесконечную) размерность в категории банаховых пространств (хотя их евклидова размерность векторного пространства все еще несчетна), поэтому в этих ограниченных контекстах число степеней свободы (интерпретируемое теперь как размерность векторного пространства плотного подпространства, а не размерность векторного пространства самого интересующего функционального пространства) счетно.
^ abcdefghijklmnopqrst Zee, A. (2010). Квантовая теория поля в двух словах . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01019-9.
^ Фок, В. (10 марта 1932 г.). «Konfigurationsraum und zweite Quantelung». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 75 (9–10): 622–647. Бибкод : 1932ZPhy...75..622F. дои : 10.1007/BF01344458. S2CID 186238995.
^ Беккер, Катрин; Беккер, Мелани ; Шварц, Джон Х. (2007). Теория струн и М-теория . Cambridge University Press. стр. 36. ISBN 978-0-521-86069-7.
^ Фудзита, Такехиса (2008-02-01). "Физика уравнения ренормгруппы в КЭД". arXiv : hep-th/0606101 .
^ Ахарони, Офер; Гур-Ари, Гай; Клингхоффер, Низан (2015-05-19). "Голографический словарь бета-функций констант связи с несколькими следами". Журнал физики высоких энергий . 2015 (5): 31. arXiv : 1501.06664 . Bibcode : 2015JHEP...05..031A. doi : 10.1007/JHEP05(2015)031. S2CID 115167208.
^ Ковач, Стефано (1999-08-26). " $N$ $= 4$ суперсимметричная теория Янга–Миллса и соответствие AdS/SCFT". arXiv : hep-th/9908171 .
^ Вельтман, М. Дж. Г. (1976). Методы в теории поля, Труды летней школы в Лез-Уш, Лез-Уш, Франция, 1975 .
^ Брэдинг, Кэтрин А. (март 2002 г.). «Какая симметрия? Нётер, Вейль и сохранение электрического заряда». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 33 (1): 3–22. Bibcode :2002SHPMP..33....3B. CiteSeerX 10.1.1.569.106 . doi :10.1016/S1355-2198(01)00033-8.
^ Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55001-7.
^ Де Вит, Бернар; Луи, Ян (1998-02-18). "Суперсимметрия и дуальности в различных измерениях". arXiv : hep-th/9801132 .
^ Полчински, Джозеф (2005). Теория струн . Том 2. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67228-3.
^ Nath, P.; Arnowitt, R. (1975). «Обобщенная суперкалибровочная симметрия как новая структура для единых калибровочных теорий». Physics Letters B. 56 ( 2): 177. Bibcode : 1975PhLB...56..177N. doi : 10.1016/0370-2693(75)90297-x.
^ Муньос, Карлос (2017-01-18). "Модели суперсимметрии для темной материи". EPJ Web of Conferences . 136 : 01002. arXiv : 1701.05259 . Bibcode : 2017EPJWC.13601002M. doi : 10.1051/epjconf/201713601002. S2CID 55199323.
^ Моранди, Г.; Содано, П.; Тальякоццо, А.; Тогнетти, В. (2000). Теории поля для низкоразмерных конденсированных систем. Спрингер. ISBN 978-3-662-04273-1.
^ Паркер, Леонард Э.; Томс, Дэвид Дж. (2009). Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени . Cambridge University Press. стр. 43. ISBN 978-0-521-87787-9.
^ Иванчевич, Владимир Г.; Иванчевич, Тияна Т. (2008-12-11). «Конспект лекций для студентов по топологической квантовой теории поля». arXiv : 0810.0344v5 [math-th].
^ Карлип, Стивен (1998). Квантовая гравитация в измерениях 2+1. Cambridge University Press. С. 27–29. arXiv : 2312.12596 . doi :10.1017/CBO9780511564192. ISBN 9780511564192.
^ Карквиль, Нильс; Рункель, Инго (2018). «Вводные лекции по топологической квантовой теории поля». Banach Center Publications . 114 : 9–47. arXiv : 1705.05734 . doi : 10.4064/bc114-1. S2CID 119166976.
^ Виттен, Эдвард (1989). «Квантовая теория поля и многочлен Джонса». Сообщения по математической физике . 121 (3): 351–399. Bibcode :1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/BF01217730. MR 0990772. S2CID 14951363.
^ Путров, Павел; Ван, Ювен; Яу, Шинг-Тунг (2017). «Статистика плетения и инварианты связей бозонной/фермионной топологической квантовой материи в измерениях 2+1 и 3+1». Annals of Physics . 384 (C): 254–287. arXiv : 1612.09298 . Bibcode :2017AnPhy.384..254P. doi :10.1016/j.aop.2017.06.019. S2CID 119578849.
^ Ди Франческо, Филипп; Матье, Пьер; Сенешаль, Дэвид (1997). Конформная теория поля. Спрингер. ISBN 978-1-4612-7475-9.
^ Тирринг, В. (1958). «Разрешимая релятивистская теория поля?». Annals of Physics . 3 (1): 91–112. Bibcode : 1958AnPhy...3...91T. doi : 10.1016/0003-4916(58)90015-0.
^ Хааг, Рудольф (1955). «О квантовых теориях поля» (PDF) . Дэн Мэт Фис Медд . 29 (12).
^ Кевин Костелло, Перенормировка и эффективная теория поля , Математические обзоры и монографии, том 170, Американское математическое общество, 2011, ISBN 978-0-8218-5288-0
^ Джеральд Б. Фолланд, Квантовая теория поля: туристический путеводитель для математиков , Математические обзоры и монографии, том 149, Американское математическое общество, 2008, ISBN 0821847058 | chapter=8
^ Нгуен, Тимоти (2016). «Пертурбативный подход к интегралам по траекториям: краткое математическое изложение». J. Math. Phys . 57 (9): 092301. arXiv : 1505.04809 . Bibcode : 2016JMP....57i2301N. doi : 10.1063/1.4962800. S2CID 54813572.
^ ab Buchholz, Detlev (2000). "Текущие тенденции в аксиоматической квантовой теории поля". Квантовая теория поля . Конспект лекций по физике. Том 558. С. 43–64. arXiv : hep-th/9811233 . Bibcode :2000LNP...558...43B. doi :10.1007/3-540-44482-3_4. ISBN 978-3-540-67972-1. S2CID 5052535.
^ abc Саммерс, Стивен Дж. (2016-03-31). «Взгляд на конструктивную квантовую теорию поля». arXiv : 1203.3991v2 [math-ph].
^ Саймон, Барри (1974). P(phi)_2 Евклидова (квантовая) теория поля . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 0-691-08144-1. OCLC 905864308.
^ Глимм, Джеймс; Джаффе, Артур (1987). Квантовая физика: функциональная интегральная точка зрения . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. ISBN 978-1-4612-4728-9. OCLC 852790676.
^ Сати, Хишам; Шрайбер, Урс (2012-01-06). «Обзор математических основ квантовой теории поля и пертурбативной теории струн». arXiv : 1109.0955v2 [math-ph].
^ Джаффе, Артур ; Виттен, Эдвард . "Квантовая теория Янга–Миллса" (PDF) . Clay Mathematics Institute . Архивировано из оригинала (PDF) 2015-03-30 . Получено 2018-07-18 .

Библиография

Стритер, Р.; Уайтман, А. (1964). PCT, спин и статистика и все такое . WA Benjamin.
Остервальдер, К.; Шрадер, Р. (1973). «Аксиомы для евклидовых функций Грина». Сообщения по математической физике . 31 (2): 83–112. Bibcode :1973CMaPh..31...83O. doi :10.1007/BF01645738. S2CID 189829853.
Остервальдер, К.; Шрадер, Р. (1975). "Аксиомы для евклидовых функций Грина II". Communications in Mathematical Physics . 42 (3): 281–305. Bibcode :1975CMaPh..42..281O. doi :10.1007/BF01608978. S2CID 119389461.

Дальнейшее чтение

Обычные читатели

Pais, A. (1994) [1986]. Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World (переиздание). Оксфорд, Нью-Йорк, Торонто: Oxford University Press . ISBN 978-0198519973.
Швебер, СС (1994). QED и люди, которые ее создали: Дайсон, Фейнман, Швингер и Томонага . Princeton University Press . ISBN 9780691033273.
Фейнман, РП (2001) [1964]. Характер физического закона . MIT Press . ISBN 978-0-262-56003-0.
Фейнман, РП (2006) [1985]. QED: Странная теория света и материи . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12575-6.
Гриббин, Дж. (1998). Q — квант: физика элементарных частиц от А до Я. Вайденфельд и Николсон . ISBN 978-0-297-81752-9.

Вводные тексты

Макмахон, Д. (2008). Квантовая теория поля . McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-154382-8.
Боголюбов Н. ; Ширков, Д. (1982). Квантовые поля . Бенджамин Каммингс . ISBN 978-0-8053-0983-6.
Фрэмптон, PH (2000). Теории калибровочного поля . Frontiers in Physics (2-е изд.). Wiley .; Фрэмптон, Пол Х. (22 сентября 2008 г.). 2008, 3-е издание. John Wiley & Sons. ISBN 978-3527408351.
Грейнер, В .; Мюллер, Б. (2000). Калибровочная теория слабых взаимодействий . Springer . ISBN 978-3-540-67672-0.
Itzykson, C. ; Zuber, J.-B. (1980). Квантовая теория поля . McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-032071-0.
Кейн, Г. Л. (1987). Современная физика элементарных частиц . Группа Персей . ISBN 978-0-201-11749-3.
Кляйнерт, Х .; Шульте-Фролинде, Верена (2001). Критические свойства φ4-теорий. Всемирная научная . ISBN 978-981-02-4658-7.
Кляйнерт, Х. (2008). Многозначные поля в конденсированном веществе, электродинамике и гравитации (PDF) . World Scientific. ISBN 978-981-279-170-2.
Ланкастер, Том; Бланделл, Стивен (2014). Квантовая теория поля для одаренных любителей. Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-969933-9. OCLC 859651399.
Лоудон, Р. (1983). Квантовая теория света . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851155-7.
Мандл, Ф .; Шоу, Г. (1993). Квантовая теория поля . John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-94186-6.
Райдер, Л. Х. (1985). Квантовая теория поля. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-33859-2.
Шварц, МД (2014). Квантовая теория поля и стандартная модель. Cambridge University Press. ISBN 978-1107034730. Архивировано из оригинала 2018-03-22 . Получено 2020-05-13 .
Ynduráin, FJ (1996). Релятивистская квантовая механика и введение в теорию поля (1-е изд.). Springer. Bibcode : 1996rqmi.book.....Y. doi : 10.1007/978-3-642-61057-8. ISBN 978-3-540-60453-2.
Грейнер, В.; Рейнхардт, Дж. (1996). Квантование поля . Springer. ISBN 978-3-540-59179-5.
Пескин, М.; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Westview Press . ISBN 978-0-201-50397-5.
Шарф, Гюнтер (2014) [1989]. Конечная квантовая электродинамика: причинный подход (третье изд.). Dover Publications. ISBN 978-0486492735.
Средницкий, М. (2007). Квантовая теория поля. Cambridge University Press . ISBN 978-0521-8644-97.
Тонг, Дэвид (2015). "Лекции по квантовой теории поля" . Получено 2016-02-09 .
Уильямс, АГ (2022). Введение в квантовую теорию поля: от классической механики до калибровочных теорий поля . Cambridge University Press . ISBN 978-1108470902.
Зи, Энтони (2010). Квантовая теория поля в двух словах (2-е изд.). Princeton University Press . ISBN 978-0691140346.

Расширенные тексты

Браун, Лоуэлл С. (1994). Квантовая теория поля . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46946-3.
Боголюбов, Н.; Логунов, А.А .; Оксак, А.И.; Тодоров, ИТ (1990). Общие принципы квантовой теории поля . Kluwer Academic Publishers . ISBN 978-0-7923-0540-8.
Вайнберг, С. (1995). Квантовая теория полей . Том 1. Cambridge University Press . ISBN 978-0521550017.

Внешние ссылки

Медиа, связанные с квантовой теорией поля на Wikimedia Commons

Одномерная квантовая теория поля на Викиверситете

«Квантовая теория поля», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Стэнфордская энциклопедия философии : «Квантовая теория поля», Мейнард Кульман.
Сигел, Уоррен, 2005. Fields. arXiv :hep-th/9912205.
Квантовая теория поля П. Дж. Малдерса