Радиус Земли (обозначается как R 🜨 или ) — это расстояние от центра Земли до точки на ее поверхности или вблизи нее. При аппроксимации фигуры Земли земным сфероидом радиус колеблется от максимального почти 6378 км (3963 миль) ( экваториальный радиус , обозначенный a ) до минимального почти 6357 км (3950 миль) ( полярный радиус , обозначенный b ).
В качестве единицы измерения в астрономии и геофизике иногда используется номинальный радиус Земли , который рекомендован Международным астрономическим союзом как экваториальное значение. [1]
Среднемировое значение обычно считается равным 6371 километру (3959 миль) с изменчивостью 0,3% (± 10 км) по следующим причинам. Международный союз геодезии и геофизики (IUGG) предоставляет три эталонных значения: средний радиус (R 1 ) трех радиусов, измеренных в двух точках экватора и на полюсе; аутентичный радиус , который представляет собой радиус сферы с той же площадью поверхности (R 2 ); и объемный радиус , который представляет собой радиус сферы, имеющей тот же объем, что и эллипсоид (R 3 ). [2] Все три значения составляют около 6371 километра (3959 миль).
Другие способы определения и измерения радиуса Земли включают радиус кривизны . Некоторые определения дают значения, выходящие за пределы диапазона между полярным радиусом и экваториальным радиусом, потому что они включают местную или геоидальную топографию или потому, что они зависят от абстрактных геометрических соображений.
Вращение Земли , изменения внутренней плотности и внешние приливные силы заставляют ее форму систематически отклоняться от идеальной сферы. [a] Локальная топография увеличивает дисперсию, в результате чего поверхность становится очень сложной. Чтобы быть понятными, наши описания поверхности Земли должны быть проще реальности. Следовательно, мы создаем модели, аппроксимирующие характеристики поверхности Земли, обычно полагаясь на самую простую модель, соответствующую потребностям.
Каждая из широко используемых моделей включает в себя некоторое понятие геометрического радиуса . Строго говоря, сферы — единственные твердые тела, имеющие радиусы, но более широкое использование термина « радиус» распространено во многих областях, в том числе в тех, которые имеют дело с моделями Земли. Ниже приводится неполный список моделей поверхности Земли, упорядоченный от точных к более приблизительным:
В случае геоида и эллипсоидов фиксированное расстояние от любой точки модели до указанного центра называется «радиусом Земли» или «радиусом Земли в этой точке» . [d] Любой средний радиус сферической модели также принято называть «радиусом Земли» . С другой стороны, при рассмотрении реальной поверхности Земли редко упоминается «радиус», поскольку в этом обычно нет практической необходимости. Скорее, полезно возвышение над или ниже уровня моря.
Независимо от модели, любой из этих геоцентрических радиусов находится между полярным минимумом около 6357 км и экваториальным максимумом около 6378 км (от 3950 до 3963 миль). Следовательно, Земля отклоняется от идеальной сферы всего на треть процента, что подтверждает сферическую модель в большинстве контекстов и оправдывает термин «радиус Земли». Хотя конкретные значения различаются, концепции в этой статье распространяются на любую крупную планету .
Вращение планеты заставляет ее приближаться к сплюснутому эллипсоиду /сфероиду с выпуклостью на экваторе и уплощением на северном и южном полюсах , так что экваториальный радиус a больше полярного радиуса b примерно на aq . Константа сжатия q определяется выражением
где ω — угловая частота , G — гравитационная постоянная , а M — масса планеты. [д] Для Земли1/д≈ 289 , что близко к измеренному обратному уплощению 1/ж≈ 298,257 . Кроме того, выпуклость на экваторе медленно меняется. Выпуклость уменьшалась, но с 1998 года выпуклость увеличилась, возможно, из-за перераспределения океанской массы посредством течений. [4]
Изменение плотности и толщины земной коры приводит к изменению силы тяжести по поверхности и во времени, так что средний уровень моря отличается от эллипсоида. Эта разница и есть высота геоида : положительная сверху или снаружи эллипсоида, отрицательная снизу или внутри. Изменение высоты геоида на Земле составляет менее 110 м (360 футов). Высота геоида может резко измениться из-за землетрясений (например, Суматра-Андаманское землетрясение ) или сокращения ледяных масс (например, в Гренландии ). [5]
Не все деформации возникают внутри Земли. Гравитационное притяжение Луны или Солнца может привести к изменению поверхности Земли в данной точке на десятые доли метра в течение почти 12-часового периода (см. Земной прилив ).
Учитывая локальные и переходные воздействия на высоту поверхности, значения, определенные ниже, основаны на модели «общего назначения», уточненной настолько глобально, насколько это возможно, в пределах 5 м (16 футов) от высоты опорного эллипсоида и с точностью до 100 м (330 футов). среднего уровня моря (без учета высоты геоида).
Кроме того, радиус можно оценить по кривизне Земли в определенной точке. Как и у тора , кривизна в точке будет наибольшей (наибольшей) в одном направлении (север-юг на Земле) и наименьшей (самой плоской) перпендикулярно (восток-запад). Соответствующий радиус кривизны зависит от местоположения и направления измерения от этой точки. Следствием этого является то, что расстояние до истинного горизонта на экваторе немного короче в направлении север-юг, чем в направлении восток-запад.
Таким образом, местные различия в рельефе не позволяют определить единый «точный» радиус. Можно принять только идеализированную модель. Со времени оценки Эратосфена было создано множество моделей. Исторически эти модели основывались на региональной топографии, что давало лучший опорный эллипсоид для исследуемой территории. По мере того, как спутниковое дистанционное зондирование и особенно система глобального позиционирования приобретали все большее значение, были разработаны настоящие глобальные модели, которые, хотя и не столь точны для региональных работ, но лучше всего приближают Землю в целом.
Следующие радиусы получены из опорного эллипсоида Всемирной геодезической системы 1984 года ( WGS-84 ) . [6] Это идеализированная поверхность, и земные измерения, использованные для ее расчета, имеют погрешность ±2 м как в экваториальном, так и в полярном измерениях. [7] Дополнительные расхождения, вызванные топографическими различиями в конкретных местах, могут быть значительными. При определении положения наблюдаемого места использование более точных значений радиусов WGS-84 может не привести к соответствующему повышению точности . [ нужны разъяснения ]
Значение экваториального радиуса определяется с точностью до 0,1 м в WGS-84. Значение полярного радиуса в этом разделе округлено до ближайших 0,1 м, что, как ожидается, будет достаточным для большинства применений. Если требуется более точное значение его полярного радиуса, обратитесь к эллипсоиду WGS-84.
Геоцентрический радиус — это расстояние от центра Земли до точки на поверхности сфероида на геодезической широте φ :
где a и b — соответственно экваториальный и полярный радиусы.
Экстремальные геоцентрические радиусы на эллипсоиде совпадают с экваториальным и полярным радиусами. Они являются вершинами эллипса и также совпадают с минимальным и максимальным радиусом кривизны.
Различают два основных радиуса кривизны : по меридиональному и нормальному вертикальным сечениям .
В частности, меридиональный радиус кривизны Земли (в направлении север-юг) в точке φ составляет: [9]
где эксцентриситет Земли . Это радиус, который измерил Эратосфен при измерении дуги .
Если одна точка появилась восточнее другой, можно найти приблизительную кривизну в направлении восток-запад. [ф]
Первичный вертикальный радиус кривизны Земли , также называемый поперечным радиусом кривизны Земли , определяется перпендикулярно ( ортогонально ) к M на геодезической широте φ [g] и составляет: [9]
N также можно интерпретировать геометрически как нормальное расстояние от поверхности эллипсоида до полярной оси. [10] Радиус параллели широты определяется выражением . [11] [12]
Меридиональный радиус кривизны Земли на экваторе равен полурасширенной прямой кишке меридиана :
Первичный вертикальный радиус кривизны Земли на экваторе равен экваториальному радиусу N = a .
Полярный радиус кривизны Земли (меридиональный или вертикальный) равен:
Азимутальный радиус кривизны Земли вдоль нормального сечения Земли по азимуту (измеренному по часовой стрелке от севера) α и широте φ , получается из формулы кривизны Эйлера следующим образом: [14] : 97
Можно объединить указанные выше главные радиусы кривизны ненаправленным образом.
Гауссовский радиус кривизны Земли на широте φ составляет : [14]
Где K – гауссова кривизна , .
Средний радиус кривизны Земли на широте φ составляет: [14] : 97.
Землю можно смоделировать как сферу разными способами. В этом разделе описаны распространенные способы. Для различных радиусов, полученных здесь, используются обозначения и размеры, отмеченные выше для Земли, полученные на основе эллипсоида WGS-84 ; [6] а именно,
Поскольку сфера является грубой аппроксимацией сфероида, который сам по себе является аппроксимацией геоида, единицы измерения здесь даны в километрах, а не в миллиметрах, подходящих для геодезии.
В астрономии Международный астрономический союз обозначает номинальный экваториальный радиус Земли как , который определяется как 6378,1 км (3963,2 мили). [1] : 3 Номинальный полярный радиус Земли определяется как = 6356,8 км (3949,9 миль). Эти значения соответствуют конвенции нулевого прилива Земли . Экваториальный радиус обычно используется в качестве номинального значения, если явно не требуется полярный радиус. [1] : 4 Номинальный радиус служит единицей длины в астрономии . (Обозначения определены так, что их можно легко обобщить для других планет ; например, для номинального полярного радиуса Юпитера .)
В геофизике Международный союз геодезии и геофизики (IUGG) определяет средний арифметический радиус Земли (обозначается R 1 ) как [2]
Коэффициент два объясняет двухосную симметрию земного сфероида, разновидности трехосного эллипсоида. Для Земли средний арифметический радиус составляет 6 371,0088 км (3 958,7613 миль). [15]
Аутентичный радиус Земли (что означает «равная площадь» ) — это радиус гипотетической идеальной сферы, имеющей ту же площадь поверхности, что и опорный эллипсоид . IUGG обозначает аутентичный радиус как R 2 . [2] Для сфероида существует решение в замкнутой форме: [16]
где е 2 =а 2 - б 2/2 _А — площадь поверхности сфероида.
Для Земли аутентичный радиус составляет 6371,0072 км (3958,7603 мили). [15]
Аутальный радиус также соответствует радиусу (глобальной) средней кривизны , полученной путем усреднения гауссовой кривизны , по поверхности эллипсоида. Используя теорему Гаусса – Бонне , это дает
Другая сферическая модель определяется объёмным радиусом Земли , который представляет собой радиус сферы объёма, равного эллипсоиду. IUGG обозначает объемный радиус как R 3 . [2]
Для Земли объемный радиус равен 6371,0008 км (3958,7564 мили). [15]
Другой глобальный радиус — это выпрямляющий радиус Земли , дающий сферу с окружностью, равной периметру эллипса, описываемого любым полярным поперечным сечением эллипсоида. Для этого необходимо найти эллиптический интеграл , учитывая полярный и экваториальный радиусы:
Радиус выпрямления эквивалентен среднему меридиональному значению, которое определяется как среднее значение M : [16]
Для пределов интегрирования [0,π/2], интегралы для выпрямления радиуса и среднего радиуса дают один и тот же результат, который для Земли составляет 6 367,4491 км (3 956,5494 миль).
Среднее меридиональное значение хорошо аппроксимируется полукубическим средним значением двух осей .
что отличается от точного результата менее чем на 1 мкм (4 × 10–5 дюймов); среднее значение двух осей,
Также можно использовать около 6 367,445 км (3 956,547 миль).
Приведенные выше математические выражения применимы к поверхности эллипсоида. В приведенных ниже случаях рассматривается топография Земли выше или ниже эталонного эллипсоида . По сути, это топографические геоцентрические расстояния R t , которые зависят не только от широты.
Топографическое среднее геоцентрическое расстояние усредняет высоту повсюду, что приводит к значениюНа 230 м больше, чем средний радиус IUGG, аутентичный радиус или объемный радиус. Это топографическое среднее значение составляет 6 371,230 км (3 958,899 миль) с погрешностью 10 м (33 фута). [18]
Диаметр Земли просто в два раза больше радиуса Земли; например, экваториальный диаметр (2a ) и полярный диаметр (2b ) . Для эллипсоида WGS84 это соответственно:
Окружность Земли равна длине периметра . Экваториальная окружность — это просто периметр круга : C e =2 πa , выраженный в экваториальном радиусе a . Полярная окружность равна C p =4 m p , что в четыре раза больше четверти меридиана m p = aE ( e ), куда полярный радиус b входит через эксцентриситет, e = (1− b 2 / a 2 ) 0,5 ;см. в разделе «Эллипс#Окружность» .
Длина дуги более общих кривых поверхности , таких как дуги меридианов и геодезические , также может быть получена из экваториальных и полярных радиусов Земли.
Аналогично и для площади поверхности , либо на основе картографической проекции , либо на основе геодезического многоугольника .
Объем Земли или объем опорного эллипсоида равен V =4/3π а 2 б . Используя параметрыэллипсоида вращения WGS84 , a = 6378,137 км и b =6 356 ,752 3142 км , V = 1,08321 × 10 12 км 3 (2,5988 × 10 11 куб. миль) . [19]
В этой таблице суммированы принятые значения радиуса Земли.
Первое опубликованное упоминание о размерах Земли появилось около 350 г. до н.э. , когда Аристотель сообщил в своей книге «О небесах» [21] , что математики предположили, что окружность Земли равна 400 000 стадий . Ученые интерпретировали цифру Аристотеля как очень точную [22] до почти удвоенной истинной ценности. [23] Первое известное научное измерение и расчет окружности Земли было выполнено Эратосфеном примерно в 240 году до нашей эры. Оценки точности измерений Эратосфена колеблются от 0,5% до 17%. [24] И для Аристотеля, и для Эратосфена неуверенность в точности их оценок связана с современной неопределенностью, какую длину стадиона они имели в виду.
Около 100 г. до н. э. Посидоний Апамейский пересчитал радиус Земли и обнаружил, что он близок к радиусу Эратосфена [25] , но позже Страбон ошибочно приписал ему значение примерно 3/4 от фактического размера. [26] Клавдий Птолемей около 150 г. н.э. предоставил эмпирические доказательства, подтверждающие сферическую форму Земли , [27] но он принял меньшее значение, приписываемое Посидонию. Его весьма влиятельная работа « Альмагест » [28] не оставила у средневековых ученых сомнений в том, что Земля имеет сферическую форму, но они ошибались относительно ее размеров.
К 1490 году Христофор Колумб считал, что путешествие на 3000 миль на запад от западного побережья Пиренейского полуострова позволит ему достичь восточных побережий Азии . [29] Однако в 1492 году это путешествие привело его флот в Америку . Экспедиция Магеллана (1519–1522), которая была первым кругосветным плаванием , убедительно продемонстрировала сферичность Земли [30] и подтвердила первоначальные измерения Эратосфена в 40 000 км (25 000 миль).
Около 1690 года Исаак Ньютон и Христиан Гюйгенс утверждали, что Земля ближе к сплюснутому сфероиду , чем к сфере. Однако около 1730 года Жак Кассини выступил за вытянутый сфероид вместо этого из-за различных интерпретаций ньютоновской механики . [31] Чтобы решить этот вопрос, Французская геодезическая миссия (1735–1739) измерила один градус широты в двух местах: одном возле Полярного круга , а другом около экватора . Экспедиция обнаружила, что гипотеза Ньютона верна: [32] Земля сплющивается у полюсов из-за центробежной силы вращения .