Полевая электронная эмиссия

Эмиссия электронов, вызванная электростатическим полем

Полевая электронная эмиссия , также известная как полевая эмиссия ( ПЭ ) и электронная полевая эмиссия , представляет собой эмиссию электронов , вызванную электростатическим полем . Наиболее распространенным контекстом является полевая эмиссия с твердой поверхности в вакуум . Однако полевая эмиссия может иметь место с твердых или жидких поверхностей, в вакуум, жидкость (например, воздух ) или любой непроводящий или слабопроводящий диэлектрик . Индуцированное полем продвижение электронов из валентной зоны в зону проводимости полупроводников ( эффект Зенера ) также можно рассматривать как форму полевой эмиссии. Терминология является исторической, поскольку родственные явления поверхностного фотоэффекта, термоионной эмиссии (или эффекта Ричардсона-Дешмана ) и « холодной электронной эмиссии», т. е. эмиссии электронов в сильных статических (или квазистатических) электрических полях, были открыты и изучены независимо с 1880-х по 1930-е годы. Когда полевая эмиссия используется без определителей, это обычно означает «холодную эмиссию».

Автоэлектронная эмиссия в чистых металлах происходит в сильных электрических полях : градиенты обычно превышают 1 гигавольт на метр и сильно зависят от работы выхода . Хотя источники электронов, основанные на автоэлектронной эмиссии, имеют ряд применений, автоэлектронная эмиссия чаще всего является нежелательным первичным источником вакуумного пробоя и явлений электрического разряда , которые инженеры пытаются предотвратить. Примерами применения поверхностной автоэлектронной эмиссии являются создание ярких источников электронов для электронных микроскопов высокого разрешения или разряд индуцированных зарядов с космических аппаратов . Устройства, которые устраняют индуцированные заряды, называются нейтрализаторами зарядов .

Полевая эмиссия была объяснена квантовым туннелированием электронов в конце 1920-х годов. Это был один из триумфов зарождающейся квантовой механики . Теория полевой эмиссии из объемных металлов была предложена Ральфом Х. Фаулером и Лотаром Вольфгангом Нордгеймом . ^[1] Семейство приближенных уравнений, уравнений Фаулера–Нордгейма, названо в их честь. Строго говоря, уравнения Фаулера–Нордгейма применимы только к полевой эмиссии из объемных металлов и (с соответствующей модификацией) к другим объемным кристаллическим твердым телам , но они часто используются — как грубое приближение — для описания полевой эмиссии из других материалов.

Терминология и соглашения

Полевая электронная эмиссия , полевая электронная эмиссия , полевая эмиссия и полевая электронная эмиссия — общие названия этого экспериментального явления и его теории. Здесь используется первое название.

Туннелирование Фаулера-Нордхейма — это волновое механическое туннелирование электронов через скругленный треугольный барьер, созданный на поверхности электронного проводника путем применения очень сильного электрического поля. Отдельные электроны могут выходить из многих материалов посредством туннелирования Фаулера-Нордхейма в различных обстоятельствах.

Холодная полевая электронная эмиссия (CFE) — это название особого статистического режима эмиссии, в котором электроны в эмиттере изначально находятся во внутреннем термодинамическом равновесии , и в котором большинство испускаемых электронов покидают электронные состояния, близкие к уровню Ферми эмиттера, посредством туннелирования Фаулера-Нордгейма . (В отличие от этого, в режиме эмиссии Шоттки большинство электронов покидают верхнюю часть барьера с уменьшенным полем из состояний, находящихся значительно выше уровня Ферми.) Многие твердые и жидкие материалы могут испускать электроны в режиме CFE, если приложено электрическое поле соответствующей величины.

Уравнения типа Фаулера–Нордгейма представляют собой семейство приближенных уравнений, полученных для описания CFE из внутренних электронных состояний в объемных металлах. Различные члены семейства представляют собой различные степени приближения к реальности. Приближенные уравнения необходимы, поскольку для физически реалистичных моделей туннельного барьера математически невозможно в принципе точно решить уравнение Шредингера любым простым способом. Нет никаких теоретических оснований полагать, что уравнения типа Фаулера–Нордгейма достоверно описывают полевую эмиссию из материалов, отличных от объемных кристаллических твердых тел.

Для металлов режим CFE распространяется на температуры, значительно превышающие комнатную. Существуют и другие режимы электронной эмиссии (такие как « термическая электронная эмиссия » и « эмиссия Шоттки »), которые требуют значительного внешнего нагрева эмиттера. Существуют также режимы эмиссии, в которых внутренние электроны не находятся в термодинамическом равновесии, а ток эмиссии частично или полностью определяется подачей электронов в излучающую область. Неравновесный процесс эмиссии такого рода можно назвать полевой (электронной) эмиссией, если большая часть электронов уходит путем туннелирования, но строго это не CFE, и не описывается точно уравнением типа Фаулера–Нордгейма.

Необходимо соблюдать осторожность, поскольку в некоторых контекстах (например, в космической технике) название «полевая эмиссия» применяется к полевой эмиссии ионов (полевая ионная эмиссия), а не электронов, а также поскольку в некоторых теоретических контекстах «полевая эмиссия» используется как общее название, охватывающее как полевую электронную эмиссию, так и полевую ионную эмиссию.

Исторически явление полевой электронной эмиссии было известно под разными названиями, включая «эффект Аеоны», «автоэлектронная эмиссия», «холодная эмиссия», «холоднокатодная эмиссия», «полевая эмиссия», «полевая электронная эмиссия» и «электронно-полевая эмиссия».

Уравнения в этой статье записаны с использованием Международной системы величин (ISQ). Это современная (после 1970-х годов) международная система, основанная на системе уравнений рационализированного метра-килограмм-секунды (rmks), которая используется для определения единиц SI. В старой литературе по полевой эмиссии (и статьях, которые напрямую копируют уравнения из старой литературы) часто записываются некоторые уравнения с использованием старой системы уравнений, которая не использует величину ε 0 . В этой статье все такие уравнения были преобразованы в современную международную форму. Для ясности это следует делать всегда.

Поскольку работа выхода обычно указывается в электронвольтах (эВ), а поля часто удобно измерять в вольтах на нанометр (В/нм), значения большинства универсальных констант приведены здесь в единицах, включающих эВ, В и нм. Все чаще это становится обычной практикой в ​​исследованиях полевой эмиссии. Однако все уравнения здесь являются уравнениями, совместимыми с ISQ, и остаются размерно согласованными, как того требует современная международная система. Для указания их статуса числовые значения универсальных констант приведены с семью значащими цифрами. Значения получены с использованием значений фундаментальных констант 2006 года.

Ранняя история полевой электронной эмиссии

Полевая электронная эмиссия имеет долгую, сложную и запутанную историю. В этом разделе рассматривается ранняя история, вплоть до вывода оригинального уравнения типа Фаулера–Нордгейма в 1928 году.

Оглядываясь назад, кажется вероятным, что электрические разряды, о которых сообщил Дж. Х. Винклер ^[2] в 1744 году, были инициированы КФЭ с его проволочного электрода. Однако содержательные исследования пришлось ждать до тех пор, пока Дж. Дж. Томсон [ ^3] не идентифицировал электрон в 1897 году, и пока не стало понятно — из работ по термической эмиссии ^[4] и фотоэмиссии ^[5] , — что электроны могут испускаться изнутри металлов (а не из молекул газа, адсорбированных поверхностью ), и что — в отсутствие приложенных полей — электроны, выходящие из металлов, должны были преодолеть барьер работы выхода.

По крайней мере, еще в 1913 году предполагалось, что индуцированная полем эмиссия является отдельным физическим эффектом. ^[6] Однако только после того, как методы вакуумной очистки и очистки образцов значительно улучшились, это стало общепризнанным. Лилиенфельд (который в первую очередь интересовался источниками электронов для медицинских рентгеновских приложений) опубликовал в 1922 году ^[7] первый четкий отчет на английском языке об экспериментальной феноменологии эффекта, который он назвал «автоэлектронной эмиссией». Он работал над этой темой в Лейпциге примерно с 1910 года. Кляйнт описывает эту и другие ранние работы. ^{[8] [9]}

После 1922 года интерес к экспериментам возрос, особенно в группах под руководством Милликена в Калифорнийском технологическом институте (Caltech) в Пасадене, Калифорния , ^[10] и Гослинга в General Electric Company в Лондоне. ^[11] Попытки понять автоэлектронную эмиссию включали построение графиков экспериментальных данных ток-напряжение ( i–V ) разными способами, чтобы найти прямолинейную зависимость. Ток увеличивался с напряжением быстрее, чем линейно, но графики типа log( i ) против V не были прямыми. ^[10] Уолтер Х. Шоттки ^[12] предположил в 1923 году, что эффект может быть вызван термически индуцированной эмиссией через барьер с уменьшенным полем. Если это так, то графики log( i ) против √ V должны быть прямыми, но они не были прямыми. ^[10] Объяснение Шоттки также не совместимо с экспериментальным наблюдением только очень слабой температурной зависимости в CFE ^[7] – момент, который изначально упускался из виду. ^[6]

Прорыв произошел, когда CC Lauritsen ^[13] (и J. Robert Oppenheimer независимо ^[14] ) обнаружили, что графики log( i ) против 1/ V дают хорошие прямые линии. Этот результат, опубликованный Millikan и Lauritsen ^[13] в начале 1928 года, был известен Фаулеру и Нордгейму .

Оппенгеймер предсказал ^[14], что индуцированное полем туннелирование электронов из атомов (эффект, который теперь называется полевой ионизацией) будет иметь эту зависимость i ( V ), обнаружил эту зависимость в опубликованных экспериментальных результатах полевой эмиссии Милликена и Эйринга ^[10] и предположил, что CFE было вызвано индуцированным полем туннелированием электронов из атомоподобных орбиталей в поверхностных атомах металла. Альтернативная теория Фаулера–Нордгейма ^[1] объяснила как открытие Милликена–Лауритсена, так и очень слабую зависимость тока от температуры. Теория Фаулера–Нордгейма предсказала, что оба являются последствиями, если CFE было вызвано индуцированным полем туннелированием из состояний типа свободных электронов в том, что мы сейчас называем зоной проводимости металла , с электронными состояниями, занятыми в соответствии со статистикой Ферми–Дирака .

Математические детали теории Оппенгеймера были серьезно неверны. ^[15] Также была небольшая численная ошибка в окончательном уравнении, приведенном теорией Фаулера-Нордгейма для плотности тока CFE : она была исправлена ​​в статье 1929 года (Stern, Gossling & Fowler 1929). ^[16]

Строго говоря, если барьерное поле в теории Фаулера–Нордхейма 1928 года точно пропорционально приложенному напряжению, и если площадь эмиссии не зависит от напряжения, то теория Фаулера–Нордхейма 1928 года предсказывает, что графики вида (log( i / V ² ) против 1/ V ) должны быть точными прямыми линиями. Однако современные экспериментальные методы были недостаточно хороши, чтобы различить теоретический результат Фаулера–Нордхейма и экспериментальный результат Милликена–Лауритсена.

Таким образом, к 1928 году было достигнуто базовое физическое понимание происхождения УЭП из объемных металлов и выведено исходное уравнение типа Фаулера–Нордгейма.

В литературе часто представляют работу Фаулера–Нордхейма как доказательство существования туннелирования электронов , как предсказывает волновая механика. Хотя это верно, справедливость волновой механики была в значительной степени принята к 1928 году. Более важная роль статьи Фаулера–Нордхейма заключалась в том, что она была убедительным аргументом из эксперимента, что статистика Ферми–Дирака применима к поведению электронов в металлах, как предположил Зоммерфельд ^[17] в 1927 году. Успех теории Фаулера–Нордхейма во многом подтвердил правильность идей Зоммерфельда и в значительной степени помог создать современную зонную теорию электронов . ^[18] В частности, исходное уравнение типа Фаулера–Нордхейма было одним из первых, включивших статистико-механические следствия существования спина электрона в теорию экспериментального эффекта конденсированного состояния. Статья Фаулера–Нордхейма также установила физическую основу для единой трактовки индуцированной полем и термически индуцированной электронной эмиссии . ^[18] До 1928 года предполагалось, что в металлах существуют два типа электронов: «термионы» и «электроны проводимости», и что токи термически испускаемых электронов обусловлены испусканием термоионов, а токи полевой эмиссии обусловлены испусканием электронов проводимости. Работа Фаулера–Нордхейма 1928 года предполагала, что термоионы не обязательно должны существовать как отдельный класс внутренних электронов: электроны могут исходить из одной зоны , занятой в соответствии со статистикой Ферми–Дирака, но будут испускаться статистически разными способами при различных условиях температуры и приложенного поля.

Идеи Оппенгеймера , Фаулера и Нордгейма также послужили важным стимулом для разработки Джорджем Гамовым ^[19] и Рональдом У. Герни и Эдвардом Кондоном ^{[20] [21]} позднее в 1928 году теории радиоактивного распада ядер (путем туннелирования альфа-частиц ). ^[22]

Практические применения: прошлое и настоящее

Полевая электронная микроскопия и связанные с ней основы

Как уже было отмечено, ранние экспериментальные работы по полевой электронной эмиссии (1910–1920) ^[7] были обусловлены желанием Лилиенфельда разработать миниатюрные рентгеновские трубки для медицинских применений. Однако было слишком рано, чтобы эта технология достигла успеха.

После теоретической работы Фаулера-Нордхейма в 1928 году, крупным достижением стало создание в 1937 году Эрвином В. Мюллером полевого электронного микроскопа (ПЭМ) сферической геометрии ^[23] (также называемого «микроскопом с полевой эмиссией»). В этом приборе эмиттером электронов является остроконечная проволока с радиусом вершины r . Она помещается в вакуумный корпус напротив детектора изображения (первоначально фосфорного экрана) на расстоянии R от него. Экран микроскопа показывает проекционное изображение распределения плотности тока J по вершине эмиттера с увеличением приблизительно ( R / r ), обычно от 10 ⁵ до 10 ⁶ . В исследованиях с помощью ПЭМ радиус вершины обычно составляет от 100 нм до 1 мкм. Кончик заостренной проволоки, когда его называют физическим объектом, называют «полевым эмиттером», «наконечником» или (недавно) «эмиттером Мюллера».

Когда поверхность эмиттера чистая, это изображение FEM характеризует: (a) материал, из которого сделан эмиттер; (b) ориентацию материала относительно оси иглы/проволоки; и (c) в некоторой степени форму конца эмиттера. На изображении FEM темные области соответствуют областям, где локальная работа выхода φ относительно высока и/или локальное барьерное поле F относительно низкое, поэтому J относительно низкое; светлые области соответствуют областям, где φ относительно низкое и/или F относительно высокое, поэтому J относительно высокое. Это предсказывает показатель степени уравнений типа Фаулера–Нордгейма [см. уравнение (30) ниже].

Адсорбция слоев атомов газа (например, кислорода) на поверхности эмиттера или ее части может создавать поверхностные электрические диполи , которые изменяют локальную работу выхода этой части поверхности. Это влияет на изображение FEM; также изменение работы выхода можно измерить с помощью графика Фаулера-Нордгейма (см. ниже). Таким образом, FEM стал ранним наблюдательным инструментом в науке о поверхности . ^{[24] [25]} Например, в 1960-х годах результаты FEM внесли значительный вклад в дискуссии о гетерогенном катализе . ^[26] FEM также использовался для изучения диффузии поверхностных атомов . Однако в настоящее время FEM почти полностью вытеснен более новыми методами науки о поверхности.

Следствием развития FEM и последующих экспериментов стало то, что стало возможным идентифицировать (из осмотра изображения FEM), когда эмиттер был «чистым», и, следовательно, демонстрировал свою чистую поверхность рабочей функции, установленную другими методами. Это было важно в экспериментах, разработанных для проверки действительности стандартного уравнения типа Фаулера–Нордгейма. ^{[27] [28]} Эти эксперименты вывели значение коэффициента преобразования напряжения в барьерное поле β из графика Фаулера–Нордгейма (см. ниже), предполагая чистую поверхность φ – значение для вольфрама, и сравнили его со значениями, полученными из наблюдений формы эмиттера с помощью электронного микроскопа и электростатического моделирования. Было достигнуто согласие в пределах около 10%. Только совсем недавно ^[29] стало возможным провести сравнение наоборот, приблизив хорошо подготовленный зонд к хорошо подготовленной поверхности так близко, что можно предположить приблизительную геометрию параллельной пластины, а коэффициент преобразования можно принять равным 1/ W , где W — измеренное расстояние между зондом и эмиттером. Анализ полученного графика Фаулера–Нордгейма дает значение рабочей функции, близкое к независимо известной рабочей функции эмиттера.

Полевая электронная спектроскопия (анализ энергии электронов)

Измерения распределения энергии электронов, испускаемых полем, были впервые опубликованы в 1939 году. ^[30] В 1959 году Янгом ^[31] было теоретически реализовано и экспериментально подтверждено Янгом и Мюллером ^[32] , что величина, измеряемая в сферической геометрии, представляет собой распределение полной энергии испускаемого электрона (его «полное распределение энергии»). Это происходит потому, что в сферической геометрии электроны движутся таким образом, что угловой момент относительно точки в эмиттере очень близко сохраняется. Следовательно, любая кинетическая энергия , которая при эмиссии находится в направлении, параллельном поверхности эмиттера, преобразуется в энергию, связанную с радиальным направлением движения. Таким образом, то, что измеряется в анализаторе энергии, является полной энергией при эмиссии.

С развитием чувствительных анализаторов энергии электронов в 1960-х годах стало возможным измерять тонкие детали общего распределения энергии. Они отражают тонкие детали физики поверхности , и техника полевой электронной спектроскопии процветала некоторое время, прежде чем ее вытеснили более новые методы науки о поверхности. ^{[33] [34]}

Полевые электронные эмиттеры как источники электронных пушек

Источник электронов с эмиттером Шоттки в электронном микроскопе

Для достижения высокого разрешения в электронных микроскопах и других электронно-лучевых приборах (например, используемых для электронно-лучевой литографии ) полезно начать с источника электронов, который является небольшим, оптически ярким и стабильным. Источники, основанные на геометрии эмиттера Мюллера, хорошо подходят по первым двум критериям. Первое наблюдение отдельного атома с помощью электронного микроскопа (ЭМ) было сделано Крю, Уоллом и Лэнгмором в 1970 году ^[35] с использованием сканирующего электронного микроскопа, оснащенного ранней полевой эмиссионной пушкой.

Начиная с 1950-х годов, значительные усилия были направлены на разработку источников полевой эмиссии для использования в электронных пушках . ^{[36] [37] [38]} [например, DD53] Были разработаны методы генерации осевых пучков либо путем наращивания эмиттера под действием поля, либо путем селективного осаждения адсорбата с низкой рабочей функцией ( обычно оксида циркония – ZrO) в плоскую вершину (100)-ориентированного вольфрамового эмиттера. ^[39]

Источники, работающие при комнатной температуре, имеют тот недостаток, что они быстро покрываются адсорбированными молекулами , которые поступают со стенок вакуумной системы, и эмиттер приходится время от времени очищать, «прогревая» до высокой температуры. В настоящее время более распространено использование источников на основе эмиттера Мюллера, которые работают при повышенных температурах, либо в режиме эмиссии Шоттки , либо в так называемом промежуточном режиме температурного поля. Многие современные электронные микроскопы высокого разрешения и электронно-лучевые приборы используют ту или иную форму источника электронов на основе эмиттера Мюллера. В настоящее время предпринимаются попытки разработать углеродные нанотрубки (УНТ) в качестве источников полевой эмиссии электронной пушки. ^{[40] [41]}

Использование источников полевой эмиссии в электронно-оптических приборах потребовало разработки соответствующих теорий оптики заряженных частиц, ^{[37] [42]} и разработки соответствующего моделирования. Для излучателей Мюллера были испробованы различные модели формы; лучшей, по-видимому, является модель «Сфера на ортогональном конусе» (SOC), представленная Дайком, Троланом, Доланом и Барнсом в 1953 году. ^[43] Важные моделирования, включающие отслеживание траектории с использованием модели излучателя SOC, были выполнены Визенцером и Эверхартом. ^{[44] [45] [46]} В настоящее время возможность моделирования полевой эмиссии из излучателей Мюллера часто включается в коммерческие программы электронной оптики, используемые для проектирования электронно-лучевых приборов. Проектирование эффективных современных полевых электронных пушек требует узкоспециализированных знаний.

Атомно-острые излучатели

В настоящее время возможно приготовить очень острые излучатели, включая излучатели, которые заканчиваются одним атомом. В этом случае электронная эмиссия исходит из области, примерно в два раза превышающей кристаллографический размер одного атома. Это было продемонстрировано путем сравнения изображений излучателя, полученных с помощью FEM и полевого ионного микроскопа (FIM). ^[47] Излучатели Мюллера с одной вершиной атома также имеют отношение к сканирующей зондовой микроскопии и гелиевой сканирующей ионной микроскопии (He SIM). ^[48] Методы их приготовления изучаются в течение многих лет. ^{[47] [49]} Связанным с этим важным недавним достижением стала разработка (для использования в He SIM) автоматизированной методики восстановления вершины из трех атомов («тримера») в ее исходное состояние, если тример распадается. ^[48]

Источники полевой эмиссии большой площади: вакуумная наноэлектроника

Материальные аспекты

Источники полевой эмиссии большой площади интересуют с 1970-х годов. В этих устройствах на подложке (первоначально кремниевой) создается высокая плотность отдельных участков полевой эмиссии. Это направление исследований стало известно сначала как «вакуумная микроэлектроника», а теперь как «вакуумная наноэлектроника».

Один из двух исходных типов устройств, « Spindt array » ^[50], использовал методы изготовления кремниевых интегральных схем (ИС) для создания регулярных массивов, в которых молибденовые конусы были нанесены в небольшие цилиндрические пустоты в оксидной пленке, а пустота была покрыта противоэлектродом с центральным круглым отверстием. Эта общая геометрия также использовалась с углеродными нанотрубками, выращенными в пустоте.

Другим оригинальным типом устройства был «излучатель Латама». ^{[51] [52]} Это были MIMIV (металл-изолятор-металл-изолятор-вакуум) – или, в более общем смысле, CDCDV (проводник-диэлектрик-проводник-диэлектрик-вакуум) – устройства, которые содержали проводящие частицы в диэлектрической пленке. Устройство излучает поле, поскольку его микроструктура/наноструктура обладает свойствами усиления поля. Этот материал имел потенциальное производственное преимущество, поскольку его можно было наносить как «чернила», поэтому методы изготовления ИС не требовались. Однако на практике оказалось сложно изготовить равномерно надежные устройства.

Исследования продвинулись в поисках других материалов, которые можно было бы наносить/выращивать в виде тонких пленок с подходящими свойствами усиления поля. В параллельной пластинчатой ​​компоновке «макроскопическое» поле F _M между пластинами определяется как F _M = V / W , где W — расстояние между пластинами, а V — приложенное напряжение. Если на одной пластине создается острый предмет, то локальное поле F на его вершине больше F _M и может быть связано с F _M соотношением

${\displaystyle F=\gamma F_{\mathrm {M} }.}$

Параметр γ называется «фактором усиления поля» и в основном определяется формой объекта. Поскольку характеристики полевой эмиссии определяются локальным полем F , то чем выше значение γ объекта, тем ниже значение F _M, при котором происходит значительная эмиссия. Следовательно, для заданного значения W тем ниже приложенное напряжение V, при котором происходит значительная эмиссия.

В течение примерно десяти лет с середины 1990-х годов наблюдался большой интерес к полевой эмиссии из плазменно-осажденных пленок аморфного и «алмазоподобного» углерода . ^{[53] [54]} Однако впоследствии интерес снизился, отчасти из-за появления излучателей УНТ , а отчасти из-за появившихся доказательств того, что места эмиссии могут быть связаны с углеродными частицами, созданными неизвестным образом в процессе осаждения : это предполагало, что контроль качества производственного процесса в промышленных масштабах может быть проблематичным.

Введение полевых эмиттеров CNT ^[41] как в форме «мата», так и в форме «выращенного массива» стало значительным шагом вперед. Были проведены обширные исследования как их физических характеристик, так и возможных технологических применений. ^[40] Для полевой эмиссии преимущество CNT заключается в том, что благодаря своей форме с высоким соотношением сторон они являются «естественными объектами усиления поля».

В последние годы также наблюдается значительный рост интереса к разработке других форм тонкопленочных эмиттеров, как основанных на других формах углерода (таких как «углеродные наностенки ^[55] »), так и на различных формах широкозонных полупроводников. ^[56] Особой целью является разработка «высоко -γ » наноструктур с достаточно высокой плотностью отдельных участков эмиссии. Тонкие пленки нанотрубок в форме паутин нанотрубок также используются для разработки электродов с полевой эмиссией. ^{[57] [58] [59]} Показано, что путем точной настройки параметров изготовления эти паутины могут достигать оптимальной плотности отдельных участков эмиссии. ^[57] Показано, что двухслойные электроды, изготовленные путем осаждения двух слоев этих паутин с перпендикулярным выравниванием друг к другу, способны снижать электрическое поле включения (электрическое поле, необходимое для достижения тока эмиссии 10 мкА/см2 ⁾ до 0,3 В/мкм и обеспечивать стабильную работу полевой эмиссии. ^[58]

Распространенной проблемой всех устройств с полевой эмиссией, особенно тех, которые работают в «условиях промышленного вакуума», является то, что эффективность эмиссии может быть ухудшена адсорбцией атомов газа, поступающих из других мест системы, а форма эмиттера может быть в принципе изменена пагубно различными нежелательными вспомогательными процессами, такими как бомбардировка ионами, создаваемыми при ударе испускаемых электронов о атомы газовой фазы и/или о поверхность противоэлектродов. Таким образом, важным промышленным требованием является «прочность в условиях плохого вакуума»; это необходимо учитывать при исследовании новых материалов эмиттера.

На момент написания статьи наиболее перспективными формами источников полевой эмиссии большой площади (конечно, с точки зрения достигаемой средней плотности тока эмиссии) представляются массивы Шпиндта и различные формы источников на основе УНТ.

Приложения

Разработка источников полевой эмиссии большой площади изначально была обусловлена ​​желанием создать новые, более эффективные формы электронного отображения информации . Они известны как « дисплеи с полевой эмиссией » или «наноэмиссионные дисплеи». Хотя было продемонстрировано несколько прототипов, ^[40] разработка таких дисплеев в надежные коммерческие продукты была затруднена различными проблемами промышленного производства, не связанными напрямую с характеристиками источника [En08].

Другие предлагаемые применения источников полевой эмиссии большой площади ^[40] включают генерацию микроволн , нейтрализацию космических аппаратов, генерацию рентгеновских лучей и (для источников массива) многолучевую литографию . Также в последнее время предпринимаются попытки разработать излучатели большой площади на гибких подложках в соответствии с более широкими тенденциями в направлении « пластиковой электроники ».

Разработка таких приложений является миссией вакуумной наноэлектроники. Однако полевые эмиттеры лучше всего работают в условиях хорошего сверхвысокого вакуума. Их наиболее успешные применения на сегодняшний день (FEM, FES и EM пушки) произошли в этих условиях. Печальным фактом остается то, что полевые эмиттеры и условия промышленного вакуума не очень хорошо сочетаются, и связанные с этим проблемы надежного обеспечения хорошей «вакуумной устойчивости» источников полевой эмиссии, используемых в таких условиях, все еще ждут лучших решений (вероятно, более умных решений по материалам), чем те, которые у нас есть в настоящее время.

Явления пробоя вакуума и электрического разряда

Как уже указывалось, сейчас считается, что самыми ранними проявлениями полевой электронной эмиссии были вызванные ею электрические разряды. После работы Фаулера–Нордхейма стало понятно, что CFE является одной из возможных основных причин вакуумного пробоя и явлений электрического разряда. (Подробные механизмы и пути, задействованные в этом, могут быть очень сложными, и не существует единой универсальной причины) ^[60] Там, где известно, что вакуумный пробой вызван электронной эмиссией с катода, первоначально предполагалось, что механизмом является CFE из небольших проводящих игольчатых выступов поверхности. Процедуры использовались (и используются) для округления и сглаживания поверхностей электродов, которые могут генерировать нежелательные токи полевой электронной эмиссии. Однако работа Латама и других ^[51] показала, что эмиссия также может быть связана с наличием полупроводниковых включений в гладких поверхностях. Физика того, как генерируется эмиссия, до сих пор полностью не изучена, но есть подозрение, что могут быть задействованы так называемые «эффекты тройного перехода». Дополнительную информацию можно найти в книге Латама ^[51] и в онлайн-библиографии. ^[60]

Внутренний перенос электронов в электронных устройствах

В некоторых электронных устройствах перенос электронов из одного материала в другой или (в случае наклонных зон) из одной зоны в другую (« туннелирование Зенера ») происходит посредством индуцированного полем туннельного процесса, который можно рассматривать как форму туннелирования Фаулера–Нордгейма. Например, в книге Родерика обсуждается теория, относящаяся к контактам металл–полупроводник . ^[61]

Туннелирование Фаулера-Нордхейма

Введение

Следующая часть статьи посвящена базовой теории эмиссии электронов холодного поля из объемных металлов. Лучше всего ее рассматривать в четыре основных этапа, включая теорию, связанную с: (1) выводом формулы для « вероятности выхода », рассматривая туннелирование электронов через скругленный треугольный барьер; (2) интегрированием по внутренним электронным состояниям для получения «полного распределения энергии»; ​​(3) вторым интегрированием для получения плотности тока эмиссии как функции локального поля барьера и локальной работы выхода; (4) преобразованием этого в формулу для тока как функции приложенного напряжения. Модифицированные уравнения, необходимые для эмиттеров большой площади, и вопросы анализа экспериментальных данных рассматриваются отдельно.

Туннелирование Фаулера-Нордхейма — это волновое механическое туннелирование электрона через точный или скругленный треугольный барьер. Распознаются две основные ситуации: (1) когда электрон изначально находится в локализованном состоянии ; (2) когда электрон изначально не сильно локализован и лучше всего представлен бегущей волной . Излучение из зоны проводимости объемного металла — это ситуация второго типа, и обсуждение здесь относится к этому случаю. Также предполагается, что барьер одномерный (т. е. не имеет боковой структуры) и не имеет мелкомасштабной структуры, которая вызывает эффекты « рассеивания » или «резонанса». Чтобы сделать это объяснение туннелирования Фаулера-Нордхейма относительно простым, эти предположения необходимы; но атомная структура вещества фактически игнорируется.

Движущая энергия

Для электрона одномерное уравнение Шредингера можно записать в виде

где Ψ( x ) — волновая функция электрона , выраженная как функция расстояния x, измеренного от электрической поверхности излучателя, ^[62] ħ — приведенная постоянная Планка , m — масса электрона, U ( x ) — потенциальная энергия электрона , En _— полная энергия электрона , связанная с движением в направлении x , а M ( x ) = [ U ( x ) − En _] называется движущей энергией электрона. ^[63] M ( x ) можно интерпретировать как отрицательную часть кинетической энергии электрона, связанной с движением гипотетического классического точечного электрона в направлении x , и она положительна в барьере.

Форма туннельного барьера определяется тем, как M ( x ) изменяется в зависимости от положения в области, где M ( x ) > 0. Две модели имеют особый статус в теории полевой эмиссии: точный треугольный (ET) барьер и барьер Шоттки-Нордгейма (SN) [ ^{64] [65]} Они задаются уравнениями (2) и (3) соответственно:

Здесь h — высота нулевого поля (или нередуцированная высота ) барьера, e — элементарный положительный заряд , F — поле барьера, а ε ₀ — электрическая постоянная . По соглашению F считается положительным, хотя классическое электростатическое поле было бы отрицательным. Уравнение SN использует классическую потенциальную энергию изображения для представления физического эффекта «корреляция и обмен».

Вероятность побега

Для электрона, приближающегося к данному барьеру изнутри, вероятность выхода (или « коэффициент прохождения » или «коэффициент проникновения») является функцией h и F и обозначается как D ( h , F ). Основной целью теории туннелирования является вычисление D ( h , F ). Для физически реалистичных моделей барьеров, таких как барьер Шоттки–Нордгейма, уравнение Шредингера не может быть решено точно каким-либо простым способом. Можно использовать следующий так называемый «полуклассический» подход. Параметр G ( h , F ) может быть определен с помощью интеграла JWKB (Джеффриса-Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна) : ^[66]

где интеграл берется через барьер (т.е. через область, где M  > 0), а параметр g является универсальной константой, определяемой выражением

Форбс переформулировал результат, доказанный Фрёманом и Фрёманом, чтобы показать, что формально – в одномерном случае – точное решение для D можно записать ^[67]

где предварительный фактор туннелирования P в принципе может быть оценен с помощью сложных итеративных интегрирований вдоль пути в комплексном пространстве . ^{[67] [68]} В режиме CFE мы имеем (по определению) G  ≫ 1. Кроме того, для простых моделей P  ≈ 1. Таким образом, уравнение (6) сводится к так называемой простой формуле JWKB :

Для точного треугольного барьера подстановка уравнения (2) в уравнение (4) дает G ^ET = bh ^3/2 / F , где

Этот параметр b является универсальной константой, иногда называемой второй константой Фаулера–Нордгейма . Для барьеров других форм мы пишем

где ν ( h , F ) — поправочный коэффициент, который в общем случае должен определяться путем численного интегрирования с использованием уравнения (4).

Поправочный коэффициент для барьера Шоттки-Нордгейма

Барьер Шоттки-Нордгейма для полевой эмиссии Фаулера-Нордгейма (и усиленной термоэлектронной эмиссии )

Барьер Шоттки–Нордгейма, который является моделью барьера, используемой при выводе стандартного уравнения типа Фаулера–Нордгейма, ^[69] является особым случаем. В этом случае известно, что поправочный коэффициент является функцией одной переменной f _h , определяемой как f _h  =  F / F _h , где F _h — поле, необходимое для уменьшения высоты барьера Шоттки–Нордгейма от h до 0. Это поле задается как ${\displaystyle {\it {\nu }}}$

Параметр f _h изменяется от 0 до 1 и может быть назван масштабированным барьерным полем для барьера Шоттки–Нордгейма с высотой нулевого поля h .

Для барьера Шоттки–Нордгейма ν ( h , F ) задается частным значением ν ( f _h ) функции ν ( ℓ′ ). Последняя является функцией математической физики сама по себе и была названа главной функцией барьера Шоттки–Нордгейма . Явное разложение в ряд для ν ( ℓ′ ) получено в статье 2008 года Дж. Дина. ^[70] Было найдено следующее хорошее простое приближение для ν ( f _h ^{): [69]}

Ширина распада

Ширина распада (по энергии), d _h , измеряет, насколько быстро вероятность выхода D уменьшается по мере увеличения высоты барьера h ; d _h определяется как:

Когда h увеличивается на d _h, то вероятность побега D уменьшается на коэффициент, близкий к e (≈ 2,718282). Для элементарной модели, основанной на точном треугольном барьере, где мы положим ν  = 1 и P  ≈ 1, мы получим

${\displaystyle d_{h}^{\mathrm {(el)} }={\frac {2F}{3b{\sqrt {h}}}}={\frac {eF}{g{\sqrt {h}}}}.}$

Ширина распада d _{h ,} полученная из более общего выражения (12), отличается от этого на «коэффициент коррекции ширины распада» λ _d , поэтому:

Обычно поправочный коэффициент можно приблизительно принять равным единице.

Особый интерес представляет ширина распада d _F для барьера с h, равным локальной рабочей функции φ . Численно это определяется как:

Для металлов значение d _F обычно составляет порядка 0,2 эВ, но меняется в зависимости от барьерного поля F .

Комментарии

Необходимо сделать историческую справку. Идея о том, что барьер Шоттки–Нордгейма нуждается в поправочном коэффициенте, как в уравнении (9), была введена Нордгеймом в 1928 году ^[65] , но его математический анализ коэффициента был неверным. Новая (правильная) функция была введена Берджессом, Кремером и Хьюстоном ^[71] в 1953 году, и ее математика была дополнительно развита Мерфи и Гудом в 1956 году. ^[72] Эта исправленная функция, иногда называемая «специальной эллиптической функцией полевой эмиссии», была выражена как функция математической переменной y, известной как «параметр Нордгейма». Только недавно (с 2006 по 2008 год) было осознано, что с математической точки зрения гораздо лучше использовать переменную ℓ′ ( = y ² ) . И только недавно стало возможным завершить определение ν ( ℓ′ ), разработав и доказав справедливость точного разложения в ряд для этой функции (исходя из известных частных решений гипергеометрического дифференциального уравнения Гаусса ). Кроме того, приближение (11) было найдено только недавно. Приближение (11) превосходит и, предположительно, в конечном итоге вытеснит все старые приближения эквивалентной сложности. Эти недавние разработки и их последствия, вероятно, окажут значительное влияние на исследования полевой эмиссии в свое время.

Нижеследующее резюме объединяет эти результаты. Для туннелирования значительно ниже вершины хорошо себя ведущего барьера разумной высоты вероятность побега D ( h , F ) формально определяется как:

где ν ( h , F ) — поправочный коэффициент, который в общем случае должен быть найден путем численного интегрирования. Для особого случая барьера Шоттки–Нордгейма существует аналитический результат, и ν ( h , F ) задается как ν ( f _h ), как обсуждалось выше; приближение (11) для ν ( f _h ) более чем достаточно для всех технологических целей. Префактор P также в принципе является функцией h и (возможно) F , но для простых физических моделей, обсуждаемых здесь, обычно бывает удовлетворительным сделать приближение P  = 1. Точный треугольный барьер — это особый случай, когда уравнение Шредингера может быть решено точно, как это сделали Фаулер и Нордгейм; ^[1] для этого физически нереалистичного случая ν ( f _h ) = 1, и существует аналитическое приближение для P.

Описанный здесь подход изначально был разработан для описания туннелирования Фаулера–Нордгейма с гладких, классически плоских, планарных излучающих поверхностей. Он подходит для гладких, классических криволинейных поверхностей с радиусами до 10–20 нм. Его можно адаптировать к поверхностям с более острым радиусом, но тогда такие величины, как ν и D, становятся значимыми функциями параметра(ов), используемых для описания кривизны поверхности. Когда излучатель настолько острый, что нельзя пренебречь деталями на атомном уровне, и/или туннельный барьер толще размеров вершины излучателя, то желателен более сложный подход.

Как было отмечено в начале, эффекты атомной структуры материалов игнорируются в относительно простых трактовках полевой электронной эмиссии, обсуждаемых здесь. Правильный учет атомной структуры является очень сложной проблемой, и был достигнут лишь ограниченный прогресс. ^[33] Однако, кажется вероятным, что основные влияния на теорию туннелирования Фаулера-Нордгейма (по сути) будут заключаться в изменении значений P и ν в уравнении (15) на величины, которые в настоящее время нелегко оценить.

Все эти замечания в принципе применимы к туннелированию Фаулера-Нордгейма из любого проводника, где (до туннелирования) электроны могут рассматриваться как находящиеся в состояниях бегущей волны . Подход может быть адаптирован для применения (приблизительно) к ситуациям, когда электроны изначально находятся в локализованных состояниях на или очень близко внутри излучающей поверхности, но это выходит за рамки данной статьи.

Распределение общей энергии

Распределение энергии испускаемых электронов важно как для научных экспериментов, которые используют распределение энергии испускаемых электронов для исследования аспектов физики поверхности эмиттера ^[34] , так и для источников полевой эмиссии, используемых в электронно-лучевых приборах, таких как электронные микроскопы . ^[42] В последнем случае «ширина» (по энергии) распределения влияет на то, насколько точно может быть сфокусирован луч.

Теоретическое объяснение здесь следует подходу Форбса. ^[73] Если ε обозначает полную энергию электрона относительно уровня Ферми эмиттера, а K _p обозначает кинетическую энергию электрона, параллельную поверхности эмиттера, то нормальная энергия электрона ε _n (иногда называемая его «энергией прямого движения») определяется как

Признаются два типа теоретического распределения энергии: нормальное распределение энергии (NED), которое показывает, как распределяется энергия ε _{n сразу после испускания (т. е. сразу за туннельным барьером); и} распределение полной энергии , которое показывает, как распределяется полная энергия ε . Когда уровень Ферми эмиттера используется в качестве нулевого уровня отсчета, как ε, так и ε _n могут быть как положительными, так и отрицательными.

Эксперименты по анализу энергии проводились на полевых эмиттерах с 1930-х годов. Однако только в конце 1950-х годов было осознано (Юнгом и Мюллером ^[31] [,YM58]), что эти эксперименты всегда измеряли полное распределение энергии, которое теперь обычно обозначается как j ( ε ). Это также верно (или почти верно), когда эмиссия исходит от небольшого выступа, усиливающего поле, на в остальном плоской поверхности. ^[34]

Чтобы увидеть, как можно рассчитать полное распределение энергии в рамках модели свободных электронов типа Зоммерфельда , взгляните на диаграмму энергетического пространства PT (PT="parallel-total").

Диаграмма энергетического пространства PT, показывающая область в энергетическом пространстве PT, где существуют состояния электронов бегущей волны.

Это показывает «параллельную кинетическую энергию» K _p на горизонтальной оси и полную энергию ε на вертикальной оси. Электрон внутри объемного металла обычно имеет значения K _p и ε , которые лежат в пределах слегка заштрихованной области. Можно показать, что каждый элемент d ε d K _p этого энергетического пространства вносит вклад в плотность электронного тока, падающего на внутреннюю часть границы эмиттера. ^[73] Здесь z _S — универсальная константа (называемая здесь плотностью питания Зоммерфельда ): ${\displaystyle z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }\mathrm {d} {\it {\epsilon }}\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }}$

и представляет собой функцию распределения Ферми–Дирака : ${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }}$

где T — термодинамическая температура , а k _B — постоянная Больцмана .

Этот элемент плотности падающего тока встречает барьер высотой h, определяемой выражением:

Соответствующая вероятность побега равна D ( h , F ): ее можно разложить (приблизительно) в виде ^[73]

где D _F — вероятность выхода через барьер неуменьшенной высоты, равная локальной работе выхода φ . Следовательно, элемент d ε d K _p вносит вклад в плотность тока эмиссии, а общий вклад, вносимый падающими электронами с энергиями в элементарном диапазоне d ε, таким образом, равен ${\displaystyle z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }D\mathrm {d} {\it {\epsilon }}\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }}$

где интеграл в принципе берется вдоль полосы, показанной на диаграмме, но на практике может быть расширен до ∞, когда ширина распада d _F намного меньше энергии Ферми K _F (что всегда имеет место для металла). Результат интегрирования можно записать:

где и — значения, соответствующие барьеру неуменьшенной высоты h, равной локальной работе выхода φ , и определяются этим уравнением. ${\displaystyle d_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle D_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle j_{\mathrm {F} }[\,=z_{\mathrm {S} }d_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} }]}$

Для данного излучателя с данным полем, приложенным к нему, не зависит от F , поэтому ур. (21) показывает, что форма распределения (по мере того, как ε увеличивается от отрицательного значения значительно ниже уровня Ферми) является растущей экспонентой, умноженной на функцию распределения FD. Это создает знакомую форму распределения, впервые предсказанную Янгом. ^[31] При низких температурах резко меняется от 1 до 0 вблизи уровня Ферми, а FWHM распределения определяется как: ${\displaystyle j_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )}$

Тот факт, что экспериментальные распределения полной энергии CFE имеют эту базовую форму, является хорошим экспериментальным подтверждением того, что электроны в металлах подчиняются статистике Ферми-Дирака .

Холодная полевая электронная эмиссия

Уравнения типа Фаулера–Нордгейма

Введение

Уравнения типа Фаулера–Нордгейма в форме J - F являются (приближенными) теоретическими уравнениями, полученными для описания локальной плотности тока J, испускаемого из внутренних электронных состояний в зоне проводимости объемного металла. Плотность тока эмиссии (ECD) J для некоторой небольшой однородной области эмиссионной поверхности обычно выражается как функция J ( φ , F ) локальной работы выхода φ и локального барьерного поля F , которые характеризуют небольшую область. Для резко изогнутых поверхностей J может также зависеть от параметра(ов), используемых для описания кривизны поверхности.

Из-за физических предположений, сделанных в исходном выводе, ^[1] термин уравнение типа Фаулера–Нордгейма долгое время использовался только для уравнений, описывающих ECD при нулевой температуре. Однако лучше разрешить этому названию включать слегка измененные уравнения (обсуждаемые ниже), которые справедливы для конечных температур в режиме выбросов CFE.

Форма нулевой температуры

Плотность тока лучше всего измерять в А/м ² . Полная плотность тока, испускаемая из небольшой однородной области, может быть получена путем интегрирования полного распределения энергии j ( ε ) относительно полной энергии электронов ε . При нулевой температуре функция распределения Ферми–Дирака f _FD = 1 для ε <0 и f _FD = 0 для ε >0. Таким образом, ECD при 0 К, J ₀ , определяется из уравнения (18) как

где — эффективный запас для состояния F , и определяется этим уравнением. Строго говоря, нижний предел интеграла должен быть − K _F , где K _F — энергия Ферми ; но если d _F намного меньше K _F (что всегда имеет место для металла), то никакой существенный вклад в интеграл не вносят энергии ниже K _F , и формально его можно расширить до –∞. ${\displaystyle Z_{\mathrm {F} }\;[=z_{\mathrm {S} }{d_{\mathrm {F} }}^{2}]}$

Результату (23) можно дать простую и полезную физическую интерпретацию, обратившись к рис. 1. Состояние электрона в точке «F» на диаграмме («состояние F») является «состоянием, движущимся вперед на уровне Ферми» (т. е. оно описывает электрон уровня Ферми, движущийся нормально к поверхности эмиттера и по направлению к ней). При 0 К электрон в этом состоянии видит барьер неуменьшенной высоты φ и имеет вероятность выхода D _{F ,} которая выше, чем для любого другого занятого электронного состояния. Поэтому удобно записывать J ₀ как Z _F D _F , где «эффективный запас» Z _F представляет собой плотность тока, которую должно было бы переносить состояние F внутри металла, если бы вся эмиссия исходила из состояния F.

На практике плотность тока в основном исходит из группы состояний, близких по энергии к состоянию F, большинство из которых лежат в сильно заштрихованной области на диаграмме энергетического пространства. Поскольку для модели свободных электронов вклад в плотность тока прямо пропорционален области в энергетическом пространстве (с плотностью питания Зоммерфельда z _S как константой пропорциональности), полезно думать о ECD как о выводимом из электронных состояний в области размером d _F ² (измеряемой в эВ ² ) на диаграмме энергетического пространства. То есть полезно думать о ECD как о выводимом из состояний в сильно заштрихованной области на рис. 1. (Это приближение медленно ухудшается с ростом температуры.)

Z _F также можно записать в виде:

где универсальная константа a , иногда называемая первой константой Фаулера-Нордхейма , определяется выражением

Это ясно показывает, что предэкспоненциальный множитель a φ ⁻¹ F ² , который появляется в уравнениях типа Фаулера–Нордгейма, относится к эффективному снабжению электронов поверхностью эмиттера в модели свободных электронов.

Ненулевые температуры

Чтобы получить результат, справедливый для ненулевой температуры, заметим из уравнения (23), что z _S d _F D _F = J ₀ / d _F . Таким образом, когда уравнение (21) интегрируется при ненулевой температуре, то — сделав эту замену и вставив явную форму функции распределения Ферми–Дирака — ECD J можно записать в виде:

где λ _T — поправочный коэффициент температуры, заданный интегралом. Интеграл можно преобразовать, записав и , а затем , в стандартный результат: ^[74] ${\displaystyle w=d_{\mathrm {F} }/k_{\mathrm {B} }T}$ ${\displaystyle x=\epsilon /d_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle u=\exp(x)}$

Это справедливо для w >1 (т.е. d _F / k _B T > 1). Следовательно – для температур, таких что k _B T < d _F :

где расширение справедливо только если (π k _B T / d _F ) ≪ 1. Примером значения (для φ = 4,5 эВ, F = 5 В/нм, T = 300 К) является λ _T = 1,024. Обычно считалось, что в режиме CFE λ _T всегда мала по сравнению с другими неопределенностями, и что обычно нет необходимости явно включать ее в формулы для плотности тока при комнатной температуре.

Режимы эмиссии для металлов на практике определяются диапазонами барьерного поля F и температуры T , для которых данное семейство уравнений эмиссии является математически адекватным. Когда барьерное поле F достаточно велико для того, чтобы режим CFE работал для эмиссии металла при 0 К, то условие k _B T < d _F обеспечивает формальную верхнюю границу (по температуре) для режима эмиссии CFE. Однако утверждается, что (из-за приближений, сделанных в другом месте при выводе) условие k _B T < 0,7 d _F является лучшим рабочим пределом: это соответствует значению λ _T около 1,09 и (для примера) верхнему температурному пределу для режима CFE около 1770 К. Этот предел является функцией барьерного поля. ^{[33] [72]}

Обратите внимание, что результат (28) здесь применим к барьеру любой формы (хотя d _F будет разным для разных барьеров).

Физически полное уравнение типа Фаулера–Нордгейма

Результат (23) также приводит к некоторому пониманию того, что происходит, когда учитываются эффекты атомного уровня, и зонная структура больше не похожа на структуру свободных электронов. Из-за наличия атомных ионных ядер поверхностный барьер, а также волновые функции электронов на поверхности будут другими. Это повлияет на значения поправочного коэффициента , префактора P и (в ограниченной степени) поправочного коэффициента λ _d . Эти изменения, в свою очередь, повлияют на значения параметра D _F и (в ограниченной степени) параметра d _F . Для реального металла плотность поставок будет меняться в зависимости от положения в энергетическом пространстве, и значение в точке «F» может отличаться от плотности поставок Зоммерфельда. Мы можем учесть этот эффект, введя поправочный коэффициент электронной зонной структуры λ _B в уравнение (23). Модинос обсудил, как этот коэффициент может быть вычислен: он оценивает, что он, скорее всего, будет между 0,1 и 1; он может лежать за пределами этих пределов, но маловероятно, что он будет лежать за пределами диапазона 0,01< λ _B <10. ^[75] ${\displaystyle \nu }$

Определяя общий поправочный коэффициент предложения λ _Z равным λ _T λ _B λ _d ² , и объединяя приведенные выше уравнения, мы приходим к так называемому физически полному уравнению типа Фаулера–Нордгейма: ^[76]

где [= ( φ , F )] — поправочный коэффициент экспоненты для барьера неуменьшенной высоты φ . Это наиболее общее уравнение типа Фаулера–Нордгейма. Другие уравнения в семействе получаются путем подстановки конкретных выражений для трех поправочных коэффициентов , P _F и λ _{Z ,} которые оно содержит. Так называемое элементарное уравнение типа Фаулера–Нордгейма, которое появляется в обсуждениях полевой эмиссии в учебниках для студентов, получается путем подстановки λ _Z →1, P _F →1, →1; это не дает хороших количественных предсказаний, поскольку делает барьер сильнее, чем он есть в физической реальности. Так называемое стандартное уравнение типа Фаулера–Нордгейма, первоначально разработанное Мерфи и Гудом ^[72] и широко используемое в литературе прошлого, получается путем подстановки λ _Z → t _F ⁻² , P _F →1, → v _F , где v _F — это v ( f ), где f — значение f _{h ,} полученное путем подстановки h = φ , а t _F — связанный параметр (значением, близким к единице). ^[69] ${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$

В более полной теории, описанной здесь, фактор t _F ⁻² является составной частью поправочного фактора λ _d ² [см. ^[67] и отметим, что λ _d ² там обозначено как λ _D ]. Нет существенной ценности в продолжении отдельной идентификации t _F ⁻² . Вероятно, на современном уровне знаний наилучшее приближение для простого уравнения типа Фаулера–Нордгейма, основанного на моделировании КЭУ из металлов, получается путем подстановки λ _Z →1, P _F → 1, → v ( f ). Это восстанавливает уравнение типа Фаулера–Нордгейма, использованное Дайком и Доланом в 1956 году, и может быть названо «упрощенным стандартным уравнением типа Фаулера–Нордгейма». ${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$

Рекомендуемая форма для простых расчетов типа Фаулера–Нордгейма

В явном виде это рекомендуемое упрощенное стандартное уравнение типа Фаулера–Нордгейма и связанные с ним формулы выглядят следующим образом:

где F _φ здесь — поле, необходимое для сведения к нулю барьера Шоттки–Нордгейма с неуменьшенной высотой, равной локальной работе выхода φ , а f — масштабированное поле барьера для барьера Шоттки–Нордгейма с неуменьшенной высотой φ . [Эта величина f могла бы быть записана точнее как f _φ ^SN , но это делает это уравнение типа Фаулера–Нордгейма менее загроможденным, если принять соглашение, что простое f означает величину, обозначенную как f _φ ^SN в ^[69] уравнении (2.16).] Для примера случая ( φ = 4,5 эВ, F = 5 В/нм), f ≈ 0,36 и v ( f ) ≈ 0,58; практические диапазоны для этих параметров обсуждаются далее в ^[77]

Обратите внимание, что переменная f (масштабированное барьерное поле) не совпадает с переменной y (параметром Нордгейма), широко используемой в литературе по полевой эмиссии прошлого, и что " v ( f )" НЕ имеет того же математического смысла и значений, что и величина " v ( y )", которая появляется в литературе по полевой эмиссии. В контексте пересмотренной теории, описанной здесь, формулы для v ( y ) и таблицы значений для v ( y ) следует игнорировать или рассматривать как значения v ( f1 ^/2 ). Если требуются более точные значения для v ( f ), то ^[69] предоставляет формулы, которые дают значения для v ( f ) с абсолютной математической точностью лучше, чем 8×10−10 ^. Однако приведенная выше формула приближения (30c), которая дает значения, правильные с абсолютной математической точностью лучше 0,0025, должна давать значения, достаточно точные для всех технологических целей. ^[69]

Комментарии

Необходима историческая справка о методах вывода уравнений типа Фаулера–Нордгейма. Существует несколько возможных подходов к выводу этих уравнений с использованием теории свободных электронов . Подход, используемый здесь, был представлен Форбсом в 2004 году и может быть описан как «интегрирование через полное распределение энергии с использованием параллельной кинетической энергии K _p в качестве первой переменной интегрирования». ^[73] По сути, это эквивалент процедуры Модиноса ^{[33] [75]} (в более продвинутой квантово-механической трактовке) для свободных электронов «интегрирования по поверхностной зоне Бриллюэна». Напротив, трактовки CFE для свободных электронов Янга в 1959 году ^[31], Гадзука и Пламмера в 1973 году ^[34] и Модиноса в 1984 году ^[33] также интегрируют через полное распределение энергии, но используют нормальную энергию ε _n (или связанную величину) в качестве первой переменной интегрирования.

Существует также более старый подход, основанный на основополагающей статье Нордхейма 1928 года ^[78] , который формулирует задачу по-другому, а затем использует сначала K _p , а затем ε _n (или связанную величину) в качестве переменных интегрирования: это известно как «интегрирование через нормальное распределение энергии». Этот подход продолжает использоваться некоторыми авторами. Хотя он имеет некоторые преимущества, особенно при обсуждении явлений резонанса, он требует интегрирования функции распределения Ферми–Дирака на первом этапе интегрирования: для электронных зонных структур, не подобных свободным электронам, это может привести к очень сложной и подверженной ошибкам математике (как в работе Стрэттона по полупроводникам ). ^[79] Кроме того, интегрирование через нормальное распределение энергии не генерирует экспериментально измеренные распределения энергии электронов.

В целом, используемый здесь подход кажется более понятным и приводит к более простой математике.

Он также в принципе ближе к более сложным подходам, используемым при работе с реальными объемными кристаллическими твердыми телами, где первым шагом является либо интегрирование вкладов в ECD по постоянным энергетическим поверхностям в пространстве волновых векторов ( k -пространстве), ^[34] либо интегрирование вкладов по соответствующей поверхностной зоне Бриллюэна. ^[33] Подход Форбса эквивалентен либо интегрированию по сферической поверхности в k -пространстве с использованием переменной K _p для определения кольцевого элемента интегрирования, имеющего цилиндрическую симметрию относительно оси в направлении, нормальном к излучающей поверхности, либо интегрированию по (расширенной) поверхностной зоне Бриллюэна с использованием круговых кольцевых элементов.

Теоретические уравнения CFE

В предыдущем разделе объясняется, как вывести уравнения типа Фаулера–Нордгейма. Строго говоря, эти уравнения применимы только к КЭП из объемных металлов. Идеи в следующих разделах применимы к КЭП в более общем смысле, но уравнение (30) будет использовано для их иллюстрации.

Для CFE основные теоретические подходы обеспечивают связь между локальной плотностью тока эмиссии J и локальным барьерным полем F в локальном положении на эмиссионной поверхности. Эксперименты измеряют ток эмиссии i с некоторой определенной части эмиссионной поверхности как функцию напряжения V, приложенного к некоторому противоэлектроду. Чтобы связать эти переменные с J и F , используются вспомогательные уравнения.

Коэффициент преобразования напряжения в барьерное поле β определяется по формуле:

Значение F меняется от положения к положению на поверхности излучателя, и значение β меняется соответственно.

Для металлического эмиттера значение β для заданного положения будет постоянным (независимо от напряжения) при следующих условиях: (1) аппарат представляет собой «диодную» конструкцию, где единственными присутствующими электродами являются эмиттер и набор «окружения», все части которого находятся под одинаковым напряжением; (2) отсутствует значительный вакуумный пространственный заряд , эмитируемый полем (FEVSC) (это будет справедливо, за исключением случаев очень высоких плотностей тока эмиссии, около 10 ⁹ А/м ² или выше ^{[27] [80]} ); (3) отсутствуют значительные «поля пятен» ^[63] из-за неоднородностей в локальной работе выхода (обычно предполагается, что это так, но в некоторых обстоятельствах это может быть не так). Для неметаллов физические эффекты, называемые «проникновением поля» и « изгибом зоны » [M084], могут сделать β функцией приложенного напряжения, хотя, что удивительно, существует мало исследований этого эффекта.

Плотность тока эмиссии J изменяется от положения к положению по всей поверхности эмиттера. Полный ток эмиссии i из определенной части эмиттера получается путем интегрирования J по этой части. Чтобы получить простое уравнение для i ( V ), используется следующая процедура. Выбирается опорная точка « _r » в пределах этой части поверхности эмиттера (часто точка, в которой плотность тока самая высокая), и плотность тока в этой опорной точке обозначается как J _r . Параметр Ar , называемый воображаемой площадью эмиссии (относительно точки «r»), затем определяется как:

где интеграл берется по интересующей части излучателя.

Этот параметр Ar был введен в теорию CFE Стерном, Госслингом и Фаулером в 1929 году (которые назвали его «средневзвешенной площадью»). ^{[16] Для практических излучателей плотность тока эмиссии, используемая в уравнениях типа} _{Фаулера} –Нордгейма, всегда является плотностью тока в некоторой опорной точке (хотя это обычно не указывается). Устоявшееся соглашение обозначает эту опорную плотность тока простым символом J , а соответствующее локальное поле и коэффициент преобразования — простыми символами F и β , без нижнего индекса «r», использованного выше; в дальнейшем используется это соглашение.

Условная площадь излучения Ar часто будет функцией опорного локального поля (и, следовательно, напряжения) _[ ^30] и в некоторых обстоятельствах может быть существенной функцией температуры.

Поскольку A _r имеет математическое определение, оно не обязательно соответствует области, из которой наблюдается эмиссия от одноточечного излучателя в полевом электронном (эмиссионном) микроскопе . При большой площади излучателя, который содержит много отдельных участков эмиссии, A _r почти всегда будет очень очень ^{[ необходимо разъяснение ]} намного меньше «макроскопической» геометрической площади ( A _M ) излучателя, наблюдаемой визуально (см. ниже).

Включение этих вспомогательных уравнений в уравнение (30а) дает

Это упрощенное стандартное уравнение типа Фаулера–Нордгейма в форме i - V. Соответствующее «физически полное» уравнение получается путем умножения на λ _Z P _F .

Модифицированные уравнения для излучателей большой площади

Уравнения в предыдущем разделе применимы ко всем полевым эмиттерам, работающим в режиме CFE. Однако дальнейшие разработки полезны для эмиттеров большой площади, которые содержат много отдельных мест эмиссии.

Для таких излучателей условная площадь излучения почти всегда будет очень очень ^{[ необходимо уточнение ]} намного меньше кажущейся «макроскопической» геометрической площади ( A _M ) физического излучателя, наблюдаемой визуально. Безразмерный параметр α _r , эффективность площади излучения , может быть определен как

Кроме того, можно определить «макроскопическую» (или «среднюю») плотность тока эмиссии J _M (усредненную по геометрической площади A _M эмиттера) и связать ее с опорной плотностью тока J _{r ,} использованной выше, следующим образом:

Это приводит к следующим «версиям большой площади» упрощенного стандартного уравнения типа Фаулера–Нордгейма:

Оба эти уравнения содержат эффективность площади излучения α _r . Для любого данного излучателя этот параметр имеет значение, которое обычно не очень хорошо известно. В общем, α _r сильно варьируется как между различными материалами излучателя, так и между различными образцами одного и того же материала, подготовленными и обработанными разными способами. Значения в диапазоне от 10 ⁻¹⁰ до 10 ⁻⁶ кажутся вероятными, а значения за пределами этого диапазона могут быть возможны.

Наличие α _r в уравнении (36) объясняет разницу между макроскопическими плотностями тока, часто приводимыми в литературе (обычно 10 А/м ² для многих форм излучателей большой площади, отличных от решеток Шпиндта ^[50] ), и локальными плотностями тока в фактических местах эмиссии, которые могут сильно различаться, но, как полагают, обычно составляют порядка 10 ⁹ А/м ² или, возможно, немного меньше.

Значительная часть технологической литературы по эмиттерам большой площади не делает четких различий между локальной и макроскопической плотностью тока или между воображаемой площадью эмиссии A _r и макроскопической площадью A _M и/или опускает параметр α _r из цитируемых уравнений. Необходимо проявлять осторожность, чтобы избежать ошибок интерпретации.

Иногда также удобно разделить коэффициент преобразования β _r на «макроскопическую часть», которая относится к общей геометрии излучателя и его окружения, и «локальную часть», которая относится к способности очень локальной структуры поверхности излучателя усиливать электрическое поле. Обычно это делается путем определения «макроскопического поля» F _M , которое представляет собой поле, которое присутствовало бы в месте излучения при отсутствии локальной структуры, вызывающей усиление. Это поле F _M связано с приложенным напряжением «коэффициентом преобразования напряжения в макроскопическое поле» β _M, определяемым как:

В общем случае системы, состоящей из двух параллельных пластин, разнесенных на расстояние W , с излучающими наноструктурами, созданными на одной из них, β _M = 1/ W .

Затем определяется «коэффициент усиления поля» γ , который связывается со значениями β _r и β _M следующим образом:

С учетом ур. (31) это приводит к следующим формулам:

где, в соответствии с обычной конвенцией, суффикс "r" теперь был опущен из параметров, относящихся к опорной точке. Существуют формулы для оценки γ , с использованием классической электростатики , для различных форм излучателя, в частности "полусфера на столбе". ^[81]

Уравнение (40) подразумевает, что версии уравнений типа Фаулера–Нордгейма могут быть записаны, где либо F , либо βV везде заменяются на . Это часто делается в технологических приложениях, где основной интерес представляют свойства усиления поля локальной эмиттерной наноструктуры. Однако в некоторых прошлых работах неспособность провести четкое различие между барьерным полем F и макроскопическим полем F _M приводила к путанице или ошибкам. ${\displaystyle \gamma F_{\mathrm {M} }}$

В более общем плане, цели технологического развития полевых эмиттеров большой площади заключаются в повышении однородности эмиссии путем увеличения значения эффективности площади эмиссии α _r и снижении «начального» напряжения, при котором происходит значительная эмиссия, путем увеличения значения β . Уравнение (41) показывает, что это можно сделать двумя способами: либо пытаясь разработать «высоко- γ » наноструктуры, либо изменяя общую геометрию системы так, чтобы β _M увеличилось. Существуют различные компромиссы и ограничения.

На практике, хотя определение макроскопического поля, использованное выше, является наиболее распространенным, в литературе используются другие (по-другому определяемые) типы макроскопического поля и фактора усиления поля, особенно в связи с использованием зондов для исследования вольт - амперных характеристик отдельных излучателей. ^[82]

В технологических контекстах данные полевой эмиссии часто строятся с использованием (определения) F _M или 1/ F _M в качестве координаты x . Однако для научного анализа обычно лучше не предварительно манипулировать экспериментальными данными, а напрямую строить графики необработанных измеренных данных i - V. Значения технологических параметров, таких как (различные формы) γ , затем могут быть получены из подобранных параметров графика данных i - V (см. ниже), используя соответствующие определения.

Модифицированные уравнения для нанометрически острых излучателей

Большинство теоретических выводов в теории полевой эмиссии сделаны в предположении, что барьер принимает форму Шоттки–Нордгейма ур. (3). Однако эта форма барьера недействительна для эмиттеров с радиусами кривизны, сравнимыми с длиной туннельного барьера. Последняя зависит от работы выхода и поля, но в случаях, представляющих практический интерес, приближение барьера SN можно считать действительным для эмиттеров с радиусами , как объясняется в следующем параграфе. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R>20{\text{nm}}}$

Основное предположение приближения барьера SN состоит в том, что электростатический потенциальный член принимает линейную форму в области туннелирования. Доказано, что последнее справедливо только если . ^[83] Следовательно, если область туннелирования имеет длину , то при всем этом определяется процесс туннелирования; таким образом, если выполняется уравнение (1) и приближение барьера SN справедливо. Если вероятность туннелирования достаточно высока, чтобы произвести измеримую полевую эмиссию, L не превышает 1-2 нм. Следовательно, барьер SN справедлив для излучателей с радиусами порядка нескольких десятков нм. ${\displaystyle \Phi =Fx}$ ${\displaystyle x\ll R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x<L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L\ll R}$

Однако современные излучатели намного острее, чем этот, с радиусами порядка нескольких нм. Поэтому стандартное уравнение FN или любая его версия, которая предполагает барьер SN, приводит к значительным ошибкам для таких острых излучателей. Это было показано теоретически ^{[84] [85]} и подтверждено экспериментально. ^[86]

Вышеуказанная проблема была решена Кирицакисом и Ксантакисом ^[83] , которые обобщили барьер SN, включив электростатические эффекты кривизны эмиттера. Общая форма барьера для эмиттера с радиусом средней кривизны (обратной средней из двух главных кривизн) может быть асимптотически расширена как ^[87] ${\displaystyle R}$

После пренебрежения всеми членами и применения приближения JWKB (4) для этого барьера экспонента Гамова принимает вид, который обобщает уравнение (5) ${\displaystyle O(x/R)^{2}}$

где определяется формулой (30d), задается формулой (30c) и представляет собой новую функцию, которая может быть аппроксимирована аналогично (30c) (в ^[83] имеются типографские ошибки, исправленные здесь): ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v(f)}$ ${\displaystyle \omega (f)}$

Учитывая выражение для экспоненты Гамова как функции высоты барьера без поля , плотность излучаемого тока для холодной полевой эмиссии может быть получена из уравнения (23). Оно дает ${\displaystyle h}$

где функции и определяются как ${\displaystyle \lambda _{d}(f)}$ ${\displaystyle \psi (f)}$

и

В уравнении (46) для полноты изложения не аппроксимируется единицей, как в (29) и (30a), хотя для большинства практических случаев это очень хорошее приближение. Кроме того, уравнения (43), (44) и (46) совпадают с соответствующими уравнениями стандартной теории Фаулера–Нордгейма (3), (9) и (30a) в пределе ; это ожидаемо, поскольку первые уравнения обобщают вторые. ${\displaystyle \lambda _{d}}$ ${\displaystyle R\to \infty }$

Наконец, отметим, что приведенный выше анализ является асимптотическим в пределе , аналогично стандартной теории Фаулера–Нордгейма, использующей барьер SN. Однако добавление квадратичных членов делает его значительно более точным для излучателей с радиусами кривизны в диапазоне ~5–20 нм. Для более острых излучателей нет общего приближения для плотности тока. Чтобы получить плотность тока, необходимо вычислить электростатический потенциал и оценить интеграл JWKB численно. Для этой цели было разработано программное обеспечение для научных вычислений (см., например, GETELEC ^[88] ). ${\displaystyle L\ll R}$

Эмпирический CFEя–Вуравнение

На современном этапе развития теории CFE важно провести различие между теоретическими уравнениями CFE и эмпирическим уравнением CFE. Первые выведены из физики конденсированного состояния (хотя и в контекстах, где их детальная разработка затруднена). Эмпирическое уравнение CFE, с другой стороны, просто пытается представить фактическую экспериментальную форму зависимости тока i от напряжения V.

В 1920-х годах эмпирические уравнения использовались для нахождения степени V , которая появлялась в показателе полулогарифмического уравнения, предположительно описывающего экспериментальные результаты CFE. В 1928 году теория и эксперимент были объединены, чтобы показать, что (за исключением, возможно, очень острых излучателей) эта мощность равна V ⁻¹ . Недавно было предложено, что эксперименты CFE теперь должны проводиться, чтобы попытаться найти степень ( κ ) V в предэкспоненте следующего эмпирического уравнения CFE: ^[89]

где B , C и κ рассматриваются как константы.

Из ур. (42) легко показать, что

В 1920-х годах экспериментальные методы не могли различить результаты κ = 0 (предполагаемые Милликеном и Лауртисеном) ^[13] и κ = 2 (предсказанные исходным уравнением типа Фаулера–Нордгейма). ^[1] Однако теперь должно быть возможно проводить достаточно точные измерения dlni/d(1/V) (при необходимости, используя методы синхронного усилителя /фазочувствительного обнаружения и компьютерного оборудования) и выводить κ из наклона соответствующего графика данных. ^[50]

После открытия приближения (30b) теперь совершенно ясно, что – даже для CFE из объемных металлов – значение κ = 2 не ожидается. Это можно показать следующим образом. Используя уравнение (30c) выше, безразмерный параметр η может быть определен как

Для φ = 4,50 эВ этот параметр имеет значение η = 4,64. Поскольку f = F / F _φ и v ( f ) задается уравнением (30b), показатель степени в упрощенном стандартном уравнении типа Фаулера–Нордгейма (30) можно записать в альтернативной форме, а затем разложить следующим образом: ^[69]

При условии, что коэффициент преобразования β не зависит от напряжения, параметр f имеет альтернативное определение f = V / V _φ , где V _φ — напряжение, необходимое в конкретной экспериментальной системе для уменьшения высоты барьера Шоттки–Нордгейма от φ до нуля. Таким образом, ясно, что фактор v ( f ) в показателе степени теоретического уравнения (30) приводит к дополнительной зависимости от V в предэкспоненте эмпирического уравнения. Таким образом, (для эффектов, обусловленных барьером Шоттки–Нордгейма, и для излучателя с φ = 4,5 эВ) мы получаем предсказание:

Поскольку в уравнении типа Фаулера–Нордгейма может также присутствовать зависимость от напряжения в других факторах, в частности в воображаемой области эмиссии ^[30] A _r и в локальной работе выхода, не обязательно ожидается, что κ для CFE из металла с локальной работой выхода 4,5 эВ будет иметь значение κ = 1,23, но, безусловно, нет никаких оснований ожидать, что оно будет иметь исходное значение Фаулера–Нордгейма κ = 2. ^[90]

Первая экспериментальная проверка этого предложения была проведена Кирком, который использовал немного более сложную форму анализа данных, чтобы найти значение 1,36 для своего параметра κ . Его параметр κ очень похож, но не совсем такой же, как параметр κ, используемый здесь, но тем не менее его результаты, по-видимому, подтверждают потенциальную полезность этой формы анализа. ^[91]

Использование эмпирического уравнения CFE (42) и измерение κ может быть особенно полезным для неметаллов. Строго говоря, уравнения типа Фаулера–Нордгейма применяются только к излучению из зоны проводимости объемных кристаллических твердых тел. Однако эмпирические уравнения формы (42) должны применяться ко всем материалам (хотя, возможно, для очень острых излучателей может потребоваться модификация). Кажется весьма вероятным, что одним из способов, которым уравнения CFE для новых материалов могут отличаться от уравнений типа Фаулера–Нордгейма, является то, что эти уравнения CFE могут иметь другую степень F (или V ) в своих предэкспоненциальных функциях. Измерения κ могут предоставить некоторые экспериментальные указания на это.

Графики Фаулера – Нордхейма и графики Милликена – Лауритсена

Первоначальное теоретическое уравнение, выведенное Фаулером и Нордгеймом ^[1] , в течение последних 80 лет влияло на способ построения и анализа экспериментальных данных CFE. На очень широко используемом графике Фаулера–Нордгейма, представленном Стерном и др. в 1929 г. ^[16], величина ln{ i / V ² } отображается в зависимости от 1/ V . Первоначально предполагалось, что (как предсказывалось исходным или элементарным уравнением типа Фаулера–Нордгейма) это создаст точную прямую линию наклона S _FN . S _FN будет связан с параметрами, которые появляются в показателе степени уравнения типа Фаулера–Нордгейма формы i - V следующим образом:

Следовательно, знание φ позволит определить β , и наоборот.

[В принципе, в геометриях систем, где присутствует локальная усиливающая поле наноструктура, и может быть определен макроскопический коэффициент преобразования β _M , знание β затем позволяет определить значение эффективного коэффициента усиления поля излучателя γ из формулы γ = β / β _M . В общем случае пленочного излучателя, созданного на одной пластине двухпластинчатой ​​конструкции с разделением пластин W (так что β _M = 1/ W ), тогда

В настоящее время это одно из наиболее вероятных применений графиков Фаулера–Нордгейма.]

Впоследствии стало ясно, что исходное мышление выше строго верно только для физически нереалистичной ситуации плоского излучателя и точного треугольного барьера. Для реальных излучателей и реальных барьеров необходимо ввести "коэффициент коррекции наклона" σ _{FN , что приводит к пересмотренной формуле}

На значение σ _FN , в принципе, будет влиять любой параметр в физически полном уравнении типа Фаулера–Нордгейма для i ( V ), который имеет зависимость от напряжения.

В настоящее время единственным параметром, который считается важным, является поправочный коэффициент , относящийся к форме барьера, и единственным барьером, для которого существует какая-либо хорошо обоснованная подробная теория, является барьер Шоттки–Нордгейма. В этом случае σ _FN задается математической функцией, называемой s . Эта функция s была впервые правильно табулирована (как функция параметра Нордгейма y ) Берджессом, Кремером и Хьюстоном в 1953 году; ^[71] и современная трактовка, которая дает s как функцию масштабированного поля барьера f для барьера Шоттки–Нордгейма, приведена в. ^[69] Однако давно стало ясно, что для практической работы излучателя значение s лежит в диапазоне от 0,9 до 1. ${\displaystyle \nu _{\mathrm {F} }}$

На практике из-за дополнительной сложности, связанной с подробным учетом коэффициента коррекции наклона, многие авторы (фактически) полагают σ _FN = 1 в уравнении (49), тем самым создавая систематическую ошибку в своих расчетных значениях β и/или γ , которая, как обычно считается, составляет около 5%.

Однако эмпирическое уравнение (42), которое в принципе является более общим, чем уравнения типа Фаулера–Нордгейма, приносит с собой возможные новые способы анализа данных полевой эмиссии i - V. В общем, можно предположить, что параметр B в эмпирическом уравнении связан с нередуцированной высотой H некоторого характерного барьера, наблюдаемого туннелирующими электронами

(В большинстве случаев, но не обязательно во всех, H будет равен локальной работе выхода; определенно это верно для металлов.) Вопрос в том, как определить значение B экспериментально. Есть два очевидных способа. (1) Предположим, что уравнение (43) можно использовать для определения достаточно точного экспериментального значения κ из наклона графика вида [−dln{ i }/d(1/ V ) против V ]. В этом случае второй график, ln( i )/ V ^κ против 1/ V , должен быть точной прямой линией наклона − B . Этот подход должен быть наиболее точным способом определения B .

(2) В качестве альтернативы, если значение κ точно неизвестно и не может быть точно измерено, но может быть оценено или предположено, то значение B может быть получено из графика вида [ln{ i } против 1/ V ]. Это форма графика, использованная Милликеном и Лауритсеном в 1928 году. Перестановка уравнения (43) дает

Таким образом, B можно определить с хорошей степенью приближения, определив средний наклон графика Милликена–Лауритсена в некотором диапазоне значений 1/ V и применив поправку, используя значение 1/ V в средней точке диапазона и предполагаемое значение κ .

Основные преимущества использования графика Милликена–Лауритсена и этой формы процедуры коррекции, а не графика Фаулера–Нордгейма и коэффициента коррекции наклона, заключаются в следующем. (1) Процедура построения графика немного более проста. (2) Коррекция включает физический параметр ( V ), который является измеряемой величиной, а не физический параметр ( f ), который необходимо вычислить [чтобы затем вычислить значение s ( f ) или, в более общем смысле, σFN ( _f )]. (3) Как сам параметр κ , так и процедура коррекции более прозрачны (и понятны), чем эквиваленты графика Фаулера–Нордгейма. (4) Эта процедура учитывает все физические эффекты, которые влияют на значение κ , тогда как процедура коррекции графика Фаулера–Нордгейма (в том виде, в котором она проводилась в течение последних 50 лет) учитывает только те эффекты, которые связаны с формой барьера – предполагая, кроме того, что эта форма является формой барьера Шоттки–Нордгейма. (5) Существует более четкое разделение теоретических и технологических проблем: теоретики будут заинтересованы в установлении того, какую информацию любые измеренные значения κ предоставляют о теории CFE; но экспериментаторы могут просто использовать измеренные значения κ , чтобы сделать более точные оценки (при необходимости) факторов усиления поля. ^{[ необходима цитата ]}

Эту процедуру коррекции для диаграмм Милликена–Лауритсена станет легче применять, когда будет сделано достаточное количество измерений κ , и появится лучшее представление о том, какими на самом деле являются типичные значения. В настоящее время кажется вероятным, что для большинства материалов κ будет лежать в диапазоне -1< κ <3. ^{[ необходима цитата ]}

Дополнительная теоретическая информация

Разработка приближенной теории CFE из металлов выше сравнительно проста по следующим причинам. (1) Теория свободных электронов Зоммерфельда с ее конкретными предположениями о распределении внутренних электронных состояний по энергии адекватно применима ко многим металлам в качестве первого приближения. (2) Большую часть времени металлы не имеют поверхностных состояний и (во многих случаях) волновые функции металлов не имеют значительных « поверхностных резонансов ». (3) Металлы имеют высокую плотность состояний на уровне Ферми, поэтому заряд, который генерирует/экранирует внешние электрические поля, лежит в основном снаружи верхнего атомного слоя, и не происходит никакого значимого «проникновения поля». (4) Металлы обладают высокой электропроводностью : внутри металлических эмиттеров не происходит значительных падений напряжения: это означает, что нет никаких факторов, препятствующих подаче электронов на эмиттерную поверхность, и что электроны в этой области могут находиться как в эффективном локальном термодинамическом равновесии , так и в эффективном термодинамическом равновесии с электронами в металлической опорной конструкции, на которой установлен эмиттер. (5) Эффекты на атомном уровне не учитываются. ^{[ необходима ссылка ]}

Развитие «простых» теорий полевой электронной эмиссии, и в частности развитие уравнений типа Фаулера–Нордгейма, опирается на то, что все пять из вышеперечисленных факторов верны. Для материалов, отличных от металлов (и для атомно-острых металлических эмиттеров), один или несколько из вышеперечисленных факторов будут неверны. Например, кристаллические полупроводники не имеют зонной структуры, подобной свободной электроне, имеют поверхностные состояния, подвержены проникновению поля и изгибу зон и могут демонстрировать как внутренние падения напряжения, так и статистическое разделение распределения электронов поверхностного состояния от распределения электронов в поверхностной области объемной зонной структуры (это разделение известно как «эффект Модино»). ^{[33] [92]}

На практике теория фактического процесса туннелирования Фаулера-Нордгейма во многом одинакова для всех материалов (хотя детали формы барьера могут различаться, и модифицированная теория должна быть разработана для начальных состояний, которые локализованы, а не являются бегущими волнами ). Однако, несмотря на такие различия, ожидается (для ситуаций термодинамического равновесия), что все уравнения CFE будут иметь показатели, которые ведут себя в целом схожим образом. Вот почему применение уравнений типа Фаулера-Нордгейма к материалам за пределами области выводов, приведенных здесь, часто работает. Если интерес представляют только параметры (такие как фактор усиления поля), которые относятся к наклону графиков Фаулера-Нордгейма или Милликена-Лауритсена и к показателю уравнения CFE, то теория типа Фаулера-Нордгейма часто будет давать разумные оценки. Однако попытки вывести значимые значения плотности тока обычно или всегда терпят неудачу.

Обратите внимание, что прямая линия на графике Фаулера–Нордхейма или Милликена–Лауритсена не означает , что эмиссия из соответствующего материала подчиняется уравнению типа Фаулера–Нордхейма: она указывает только на то, что механизм эмиссии для отдельных электронов, вероятно, представляет собой туннелирование Фаулера–Нордхейма. ^{[ необходима ссылка ]}

Различные материалы могут иметь радикально разные распределения энергии внутренних электронных состояний, поэтому процесс интегрирования вкладов плотности тока по внутренним электронным состояниям может привести к существенно разным выражениям для предэкспонент плотности тока для различных классов материалов. В частности, мощность барьерного поля, появляющаяся в предэкспоненте, может отличаться от исходного значения Фаулера–Нордгейма «2». Исследование эффектов такого рода является активной темой исследований. Эффекты «резонанса» и « рассеивания » на атомном уровне, если они произойдут, также изменят теорию.

Там, где материалы подвержены проникновению поля и изгибу зон, необходимой предпосылкой является наличие хороших теорий таких эффектов (для каждого отдельного класса материалов) до того, как могут быть разработаны подробные теории CFE. Там, где происходят эффекты падения напряжения, тогда теория тока эмиссии может, в большей или меньшей степени, стать теорией, которая включает внутренние транспортные эффекты, и может стать очень сложной.

Смотрите также

• Полевой эмиссионный микроскоп
• Зонды полевой эмиссии
• Массив полевых эмиттеров
• Автоэмиссионный дисплей
• Эффект Франца-Келдыша

Ссылки

1. Фаулер, Р. Х.; д-р Л. Нордхайм (1928-05-01). "Электронная эмиссия в интенсивных электрических полях" (PDF) . Труды Королевского общества A . 119 (781): 173–181. Bibcode :1928RSPSA.119..173F. doi : 10.1098/rspa.1928.0091 . Получено 26.10.2009 .
2. Винклер, Дж. Х. (1744). Gedanken von den Eigenschaften, Wirkungen und Ursachen der Electricität Nebst Beschreibung zweiner electricscher Maschinen . Лейпциг: Глава книги Breitkopf.
3. Томсон, Дж. Дж. (октябрь 1897 г.). «Катодные лучи» (PDF) . Phil. Mag . 5-я серия. 44 (269): 293–316. doi :10.1080/14786449708621070.
4. Ричардсон, О. В. (1916). Излучение электричества горячими телами . Лондон: Longmans.
5. Эйнштейн, А. (1905). «Об эвристической точке зрения о создании и преобразовании света». Ann. Phys. Chem . 17 (6): 132–148. Bibcode :1905AnP...322..132E. doi : 10.1002/andp.19053220607 .
6. Richardson, OW (1929). "Термоионные явления и законы, которые ими управляют" (PDF) . Нобелевские лекции по физике 1922-1941 . Получено 25.10.2009 .
7. Лилиенфельд, Дж. Э. (1922). Am. J. Roentgenol . 9 : 192. {{cite journal}}: Отсутствует или пусто |title=( помощь )
8. Кляйнт, К. (1993). «О ранней истории полевой эмиссии, включая попытки туннельной спектроскопии». Progress in Surface Science . 42 (1–4): 101–115. Bibcode : 1993PrSS...42..101K. doi : 10.1016/0079-6816(93)90064-3.
9. Кляйнт, К. (2004). «Комментарии и ссылки, касающиеся ранних работ по полевой электронной эмиссии». Анализ поверхности и интерфейса . 36 (56): 387–390. doi :10.1002/sia.1894. S2CID  95452585.
10. Millikan, RA ; Eyring, CF (1926). «Законы, управляющие вытягиванием электронов из металлов под действием интенсивных электрических полей». Phys. Rev. 27 ( 1): 51–67. Bibcode :1926PhRv...27...51M. doi :10.1103/PhysRev.27.51.
11. Госслинг, Б.С. (1926). «Эмиссия электронов под влиянием интенсивных электрических полей». Phil. Mag. 7-я серия. 1 (3): 609–635. doi :10.1080/14786442608633662.
12. Шоттки, В. (декабрь 1923 г.). «Über kalte und Warme Elektronenentladungen». Zeitschrift für Physik A. 14 (63): 63–106. Бибкод : 1923ZPhy...14...63S. дои : 10.1007/bf01340034. S2CID  119879862.
13. Millikan, RA ; Lauritsen, CC (1928). "Связь полевых токов с термоионными токами". PNAS . 14 (1): 45–49. Bibcode :1928PNAS...14...45M. doi : 10.1073/pnas.14.1.45 . PMC 1085345 . PMID  16587302. 
14. Oppenheimer, JR (1928). "Три заметки о квантовой теории апериодических эффектов". Physical Review . 31 (1): 66–81. Bibcode : 1928PhRv...31...66O. doi : 10.1103/PhysRev.31.66.
15. Ямабэ, Т.; Тачибана, А.; Сильверстоун, Х.Дж. (1977). «Теория ионизации атома водорода внешним электростатическим полем». Physical Review A. 16 ( 3): 877–890. Bibcode : 1977PhRvA..16..877Y. doi : 10.1103/PhysRevA.16.877.
16. Stern, TE; Gossling, BS; Fowler, RH (1929). «Дальнейшие исследования эмиссии электронов холодными металлами». Труды Королевского общества A. 124 ( 795): 699–723. Bibcode :1929RSPSA.124..699S. doi : 10.1098/rspa.1929.0147 . JSTOR  95240.
17. Зоммерфельд, А. (1927). «Zur Elektronentheorie der Metalle». Naturwissenschaften . 15 (41): 825. Бибкод : 1927NW.....15..825S. дои : 10.1007/BF01505083. S2CID  39403393.
18. Зоммерфельд, А.; Бет, Х. (1963). «Справочник по физике». Юлиус Спрингер-Верлаг . 24 .
19. Z. Physik 5 1, 204 (1928) Г. Гамов, "Zur Quantentheorie des Atomkernes".
20. Gurney, RW; Condon, EU (1928). "Волновая механика и радиоактивный распад". Nature . 122 (3073): 439. Bibcode :1928Natur.122..439G. doi : 10.1038/122439a0 .
21. Gurney, RW; Condon, EU (1929). «Квантовая механика и радиоактивный распад». Physical Review . 33 (2): 127–140. Bibcode : 1929PhRv...33..127G. doi : 10.1103/PhysRev.33.127.
22. Кондон, ЕС (1978). «Туннелирование – как все это началось». Американский журнал физики . 46 (4): 319–323. Bibcode : 1978AmJPh..46..319C. doi : 10.1119/1.11306.
23. Мюллер, EW (1937). «Электронномикроскопические беобахтунген фон Фельдкатоден». З. Физ . 106 (9–10): 541–550. Бибкод : 1937ZPhy..106..541M. дои : 10.1007/BF01339895. S2CID  120836411.
24. Гомер, Р. (1961). Полевая эмиссия и полевая ионизация . Кембридж, Массачусетс: Harvard Univ. Press. ISBN 1-56396-124-5.
25. Swanson, LW; Bell, AE (1975). "Последние достижения в полевой электронной микроскопии металлов". Advances in Electronics and Electron Physics . 32 : 193–309. doi :10.1016/S0065-2539(08)60236-X. ISBN 9780120145324.
26. "Роль адсорбированного состояния в гетерогенном катализе", Обсуждение. Faraday Soc., том 41 (1966)
27. Dyke, WP; Trolan, JK (1953). «Автоэлектронная эмиссия: большие плотности тока, пространственный заряд и вакуумная дуга». Physical Review . 89 (4): 799–808. Bibcode :1953PhRv...89..799D. doi :10.1103/PhysRev.89.799.
28. Дайк, WP; Долан, WW (1956). "Полевая эмиссия". Advances in Electronics and Electron Physics . 8 : 89–185. Bibcode :1956AEEP....8...89D. doi :10.1016/S0065-2539(08)61226-3. ISBN 9780120145089.
29. Пандей, АД; Мюллер, Гюнтер; Решке, Детлеф; Зингер, Ксения (2009). "Полевая эмиссия из кристаллического ниобия". Physical Review Special Topics - Accelerators and Beams . 12 (2): 023501. Bibcode : 2009PhRvS..12b3501D. doi : 10.1103/PhysRevSTAB.12.023501 .
30. Эбботт, FR; Хендерсон, Джозеф Э. (1939). «Диапазон и действительность уравнения тока поля». Physical Review . 56 (1): 113–118. Bibcode :1939PhRv...56..113A. doi :10.1103/PhysRev.56.113.
31. Янг, Рассел Д. (1959). «Теоретическое распределение полной энергии электронов, испускаемых полем». Physical Review . 113 (1): 110–114. Bibcode : 1959PhRv..113..110Y. doi : 10.1103/PhysRev.113.110.
32. Янг, Рассел Д.; Мюллер, Эрвин В. (1959). «Экспериментальное измерение распределения полной энергии электронов, испускаемых полем». Physical Review . 113 (1): 115–120. Bibcode :1959PhRv..113..115Y. doi :10.1103/PhysRev.113.115.
33. А. Модинос (1984). Полевая, термоионная и вторичная электронно-эмиссионная спектроскопия . Пленум, Нью-Йорк. ISBN 0-306-41321-3.
34. Gadzuk, JW; Plummer, EW (1973). "Распределение энергии полевой эмиссии (FEED)". Reviews of Modern Physics . 45 (3): 487–548. Bibcode : 1973RvMP...45..487G. doi : 10.1103/RevModPhys.45.487.
35. Crewe, AV; Wall, J.; Langmore, J. (1970). «Видимость отдельных атомов». Science . 168 (3937): 1338–40. Bibcode :1970Sci...168.1338C. doi :10.1126/science.168.3937.1338. PMID  17731040. S2CID  31952480.
36. Charbonnier, F (1996). «Разработка и использование полевого эмиттера в качестве источника электронов высокой интенсивности». Applied Surface Science . 94–95: 26–43. Bibcode : 1996ApSS...94...26C. doi : 10.1016/0169-4332(95)00517-X.
37. J.Orloff, ed. (2008). Справочник по оптике заряженных частиц (2-е изд.). CRC Press.
38. LW Swanson и AE Bell, Adv. Electron. Electron Phys. 32 (1973) 193
39. Swanson, LW (1975). "Сравнительное исследование циркониевого и наплавленного W термополевого катода". Журнал вакуумной науки и технологии . 12 (6): 1228. Bibcode : 1975JVST...12.1228S. doi : 10.1116/1.568503.
40. Milne WI; et al. (Сентябрь 2008 г.). "E nano newsletter" (13). {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
41. De Jonge, Niels; Bonard, Jean-Marc (2004). "Углеродные нанотрубки — источники электронов и их применение". Philosophical Transactions of the Royal Society A . 362 (1823): 2239–66. Bibcode :2004RSPTA.362.2239D. doi :10.1098/rsta.2004.1438. PMID  15370480. S2CID  14497829.
42. PW Hawkes; E. Kaspar (1996). "44,45". Принципы электронной оптики . Том 2. Academic Press, Лондон.
43. Дайк, WP; Тролан, JK; Долан, WW; Барнс, Джордж (1953). «Полевой эмиттер: изготовление, электронная микроскопия и расчеты электрического поля». Журнал прикладной физики . 24 (5): 570. Bibcode : 1953JAP....24..570D. doi : 10.1063/1.1721330.
44. Эверхарт, TE (1967). «Упрощенный анализ источников электронов с точечным катодом». Журнал прикладной физики . 38 (13): 4944. Bibcode : 1967JAP....38.4944E. doi : 10.1063/1.1709260.
45. Wiesner, JC (1973). "Точечные катодные источники электронов - электронная оптика начальной диодной области". Журнал прикладной физики . 44 (5): 2140. Bibcode :1973JAP....44.2140W. doi : 10.1063/1.1662526 .
46. Wiesner, JC (1974). "Источники электронов с точечным катодом - Электронная оптика начальной диодной области: исправления и дополнения". Журнал прикладной физики . 45 (6): 2797. Bibcode : 1974JAP....45.2797W. doi : 10.1063/1.1663676 .
47. Fink, Hans-Werner (1988). «Точечный источник для ионов и электронов». Physica Scripta . 38 (2): 260–263. Bibcode : 1988PhyS...38..260F. doi : 10.1088/0031-8949/38/2/029. S2CID  250806259.
48. Ward, BW; Notte, John A.; Economou, NP (2006). «Гелиевый ионный микроскоп: новый инструмент для наномасштабной микроскопии и метрологии». Журнал вакуумной науки и технологии B. 24 ( 6): 2871. Bibcode : 2006JVSTB..24.2871W. doi : 10.1116/1.2357967. S2CID  55043024.
49. Binh, Vu Thien; Garcia, N.; Purcell, ST (1996). "Электронная полевая эмиссия из атомных источников: изготовление, свойства и применение наноострий". Advances in Imaging and Electron Physics . 95 : 63–153. doi :10.1016/S1076-5670(08)70156-3. ISBN 9780120147373.
50. Spindt, CA (1976). "Физические свойства тонкопленочных автоэмиссионных катодов с молибденовыми конусами". Журнал прикладной физики . 47 (12): 5248–5263. Bibcode : 1976JAP....47.5248S. doi : 10.1063/1.322600.
51. RV Latham, ed. (1995). Высоковольтная вакуумная изоляция: основные концепции и технологическая практика . Academic, Лондон.
52. Форбс, Р. (2001). «Низко-макроскопическая электронная эмиссия из углеродных пленок и других электрически наноструктурированных гетерогенных материалов: гипотезы о механизме эмиссии». Твердотельная электроника . 45 (6): 779–808. Bibcode : 2001SSEle..45..779F. doi : 10.1016/S0038-1101(00)00208-2.
53. Робертсон, Дж. (2002). «Алмазоподобный аморфный углерод». Материаловедение и инженерия: R: Отчеты . 37 (4–6): 129–281. doi :10.1016/S0927-796X(02)00005-0. S2CID  135487365.
54. СРП Сильва; Джей Ди Кэри; РУА Хан; Э.Г. Герстнер; СП Ангита (2002 г.). «9». В HS Nalwa (ред.). Справочник по тонкопленочным материалам . Академический, Лондон.
55. Hojati-Talemi, P.; Simon, G. (2011). «Исследование полевой эмиссии графеновых наностен, подготовленных методом микроволновой плазмы». Carbon . 49 (8): 2875–2877. Bibcode :2011Carbo..49.2875H. doi :10.1016/j.carbon.2011.03.004.
56. Xu, N; Huq, S (2005). «Новые материалы с холодным катодом и их применение». Materials Science and Engineering: R: Reports . 48 (2–5): 47–189. doi :10.1016/j.mser.2004.12.001.
57. Hojati-Talemi, Pejman; Hawkins, Stephen; Huynh, Chi; Simon, George P. (2013). «Понимание параметров, влияющих на свойства полевой эмиссии непосредственно прядомых углеродных нанотрубок». Carbon . 57 : 388–394. Bibcode :2013Carbo..57..388H. doi :10.1016/j.carbon.2013.01.088.
58. Hojati-Talemi, Pejman; Hawkins, Stephen C.; Huynh, Chi P.; Simon, George P. (2013). «Высокоэффективная низковольтная электронная эмиссия из прядомых углеродных нанотрубок». Carbon . 57 : 169–173. Bibcode :2013Carbo..57..169H. doi :10.1016/j.carbon.2013.01.060.
59. Кузнецов, Александр А.; Ли, Сергей Б.; Чжан, Мэй; Боман, Рэй Х.; Захидов, Анвар А. (2010). «Электронная полевая эмиссия из прозрачных многослойных углеродных нанотрубок для инвертированных полевых эмиссионных дисплеев». Carbon . 48 (1): 41–46. Bibcode :2010Carbo..48...41K. doi :10.1016/j.carbon.2009.08.009.
60. H. Craig Miller (ноябрь 2003 г.). "Библиография: электрические разряды в вакууме: 1877-2000". Архивировано из оригинала 13 ноября 2007 г.
61. Rhoderick, EH (1978). Контакты металл-полупроводник . Oxford: Clarendon Press . ISBN 0-19-859323-6.
62. Форбс, Р. (1999). «Электрическая поверхность как центроид поверхностно-индуцированного заряда». Ультрамикроскопия . 79 (1–4): 25–34. doi :10.1016/S0304-3991(99)00098-4.
63. Herring, Conyers; Nichols, M. (1949). «Термоэлектронная эмиссия». Reviews of Modern Physics . 21 (2): 185–270. Bibcode : 1949RvMP...21..185H. doi : 10.1103/RevModPhys.21.185.
64. В. Шоттки (1914). Phys. Z. 15 : 872. {{cite journal}}: Отсутствует или пусто |title=( помощь )
65. LW Nordheim (1928). "Влияние силы изображения на испускание и отражение электронов металлами". Труды Королевского общества A. 121 ( 788): 626–639. Bibcode :1928RSPSA.121..626N. doi : 10.1098/rspa.1928.0222 .
66. Х. Джеффрис (1924). «О некоторых приближенных решениях линейных дифференциальных уравнений второго порядка». Труды Лондонского математического общества . 23 : 428–436. doi :10.1112/plms/s2-23.1.428.
67. Forbes, Richard G. (2008). "О необходимости туннельного предварительного фактора в теории туннелирования Фаулера–Нордгейма" (PDF) . Журнал прикладной физики . 103 (11): 114911–114911–8. Bibcode :2008JAP...103k4911F. doi :10.1063/1.2937077.
68. Х. Фрёман и П. О. Фрёман, «Приближение JWKB: вклад в теорию» (Северная Голландия, Амстердам, 1965).
69. Форбс, Ричард Г.; Дин, Джонатан Х.Б. (2007). «Переформулирование стандартной теории туннелирования Фаулера–Нордгейма и эмиссии электронов холодного поля». Труды Королевского общества A. 463 ( 2087): 2907–2927. Bibcode : 2007RSPSA.463.2907F. doi : 10.1098/rspa.2007.0030. S2CID  121328308.
70. Deane, Jonathan HB; Forbes, Richard G (2008). «Формальный вывод точного разложения в ряд для главной барьерной функции Шоттки–Нордгейма с использованием гипергеометрического дифференциального уравнения Гаусса». Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 41 (39): 395301. Bibcode : 2008JPhA...41M5301D. doi : 10.1088/1751-8113/41/39/395301. S2CID  122711134.
71. Берджесс, RE; Хьюстон, JM; Хьюстон, J. (1953). "Исправленные значения функций полевой эмиссии Фаулера–Нордгейма v(y) и s(y)". Physical Review . 90 (4): 515. Bibcode :1953PhRv...90..515B. doi :10.1103/PhysRev.90.515.
72. Murphy, EL; Good, RH (1956). «Термоионная эмиссия, автоэлектронная эмиссия и переходная область». Physical Review . 102 (6): 1464–1473. Bibcode :1956PhRv..102.1464M. doi :10.1103/PhysRev.102.1464.
73. Форбс, Ричард Г. (2004). «Использование диаграмм энергетического пространства в моделях свободных электронов полевой электронной эмиссии». Анализ поверхности и интерфейса . 36 (56): 395–401. doi :10.1002/sia.1900. S2CID  121435016.
74. Градштейн и Рыжик (1980). Таблицы интегралов, рядов и произведений . Academic, Нью-Йорк.см. формулу 3.241 (2), при μ =1
75. Modinos, A (2001). "Теоретический анализ данных полевой эмиссии". Solid-State Electronics . 45 (6): 809–816. Bibcode : 2001SSEle..45..809M. doi : 10.1016/S0038-1101(00)00218-5.
76. Форбс, Ричард Г. (2008). "Физика обобщенных уравнений типа Фаулера–Нордгейма". Журнал вакуумной науки и технологии B. 26 ( 2): 788. Bibcode :2008JVSTB..26..788F. doi :10.1116/1.2827505. S2CID  20219379.
77. Форбс, Ричард Г. (2008). «Описание характеристик тока/напряжения полевой эмиссии в терминах масштабированных значений поля барьера (f-значений)». Журнал вакуумной науки и технологии B. 26 ( 1): 209. Bibcode : 2008JVSTB..26..209F. doi : 10.1116/1.2834563.
78. Л. В. Нордхайм (1928). «Zur Theorie der thermischen Emission und der Reflection von Elektronen an Metallen». З. Физ . 46 (11–12): 833–855. Бибкод : 1928ZPhy...46..833N. дои : 10.1007/BF01391020. S2CID  119880921.
79. Страттон, Роберт (1962). «Теория полевой эмиссии из полупроводников». Physical Review . 125 (1): 67–82. Bibcode : 1962PhRv..125...67S. doi : 10.1103/PhysRev.125.67.
80. Форбс, Ричард Г. (2008). «Точный анализ уменьшения поля поверхности из-за полевого вакуумного пространственного заряда в геометрии параллельных плоскостей с использованием простых безразмерных уравнений» (PDF) . Журнал прикладной физики . 104 (8): 084303–084303–10. Bibcode :2008JAP...104h4303F. doi :10.1063/1.2996005.
81. Forbes, R; Edgcombe, CJ; Valdrè, U (2003). «Некоторые комментарии о моделях для усиления поля». Ультрамикроскопия . 95 (1–4): 57–65. doi :10.1016/S0304-3991(02)00297-8. PMID  12535545.
82. Смит, RC; Форрест, RD; Кэри, JD; Хсу, WK; Сильва, SRP (2005). "Интерпретация фактора усиления в непланарных полевых эмиттерах" (PDF) . Applied Physics Letters . 87 (1): 013111. Bibcode :2005ApPhL..87a3111S. doi :10.1063/1.1989443.
83. Кирицакис, А.; Ксантакис, Дж. П. (2015). «Вывод обобщенного уравнения Фаулера–Нордгейма для наноскопических полевых излучателей». Труды Королевского общества A . 471 (2174): 20140811. Bibcode :2015RSPSA.47140811K. doi : 10.1098/rspa.2014.0811 .
84. He, J.; Cutler, PH (1991). «Вывод обобщенного уравнения Фаулера–Нордгейма для наноскопических полевых излучателей». Applied Physics Letters . 59 (13): 1644. Bibcode : 1991ApPhL..59.1644H. doi : 10.1063/1.106257.
85. Фурсей, ГН; Глазанов, ДВ (1998). «Отклонения от теории Фаулера–Нордгейма и особенности полевой электронной эмиссии из мелкомасштабных объектов». Журнал вакуумной науки и техники B. 16 ( 2): 910. Bibcode :1998JVSTB..16..910F. doi :10.1116/1.589929.
86. Кабрера, Х. и др. (2013). «Масштабная инвариантность диодного туннельного перехода». Physical Review B. 87 ( 11): 115436. arXiv : 1303.4985 . Bibcode : 2013PhRvB..87k5436C. doi : 10.1103/PhysRevB.87.115436. S2CID  118361236.
87. Кирицакис, Андреас (2023-03-21). "Общая форма туннельного барьера для нанометрически острых электронных эмиттеров". Журнал прикладной физики . 133 (11): 113302. arXiv : 2207.06263 . Bibcode : 2023JAP...133k3302K. doi : 10.1063/5.0144608. ISSN  0021-8979. S2CID  256390628.
88. Кирицакис, А.; Джурабекова, Ф. (2017). «Общий вычислительный метод для электронной эмиссии и тепловых эффектов в наноостриях с полевой эмиссией». Computational Materials Science . 128 : 15. arXiv : 1609.02364 . doi :10.1016/j.commatsci.2016.11.010. S2CID  11369516.
89. Форбс, Ричард Г. (2008). "Призыв к экспериментальной проверке пересмотренной математической формы для эмпирических вольт-амперных характеристик полевой эмиссии" (PDF) . Applied Physics Letters . 92 (19): 193105. Bibcode :2008ApPhL..92s3105F. doi :10.1063/1.2918446.
90. Йенсен, К. Л. (1999). "Потенциалы обменно-корреляционного, дипольного и зарядового изображения для источников электронов: изменение высоты барьера в зависимости от температуры и поля". Журнал прикладной физики . 85 (5): 2667. Bibcode : 1999JAP....85.2667J. doi : 10.1063/1.369584 .
91. Т. Кирк, 21-й стажер. Конференция по вакуумной наноэлектронике, Вроцлав, июль 2008 г.
92. Модинос, А (1974). «Полевая эмиссия из поверхностных состояний в полупроводниках». Surface Science . 42 (1): 205–227. Bibcode :1974SurSc..42..205M. doi :10.1016/0039-6028(74)90013-2. S2CID  96704831.

Дальнейшее чтение

Общая информация

• W. Zhu, ред. (2001). Вакуумная микроэлектроника . Wiley, Нью-Йорк.
• GN Fursey (2005). Полевая эмиссия в вакуумной микроэлектронике . Kluwer Academic, Нью-Йорк. ISBN 0-306-47450-6.

Проникновение поля и изгиб зон (полупроводники)

• Seiwatz, Ruth; Green, Mino (1958). «Расчеты пространственного заряда для полупроводников». Журнал прикладной физики . 29 (7): 1034. Bibcode : 1958JAP....29.1034S. doi : 10.1063/1.1723358.
• А. Мани, Й. Гольдштейн и Н. Б. Гровер, Поверхности полупроводников (Северная Голландия, Амстердам, 1965).
• В. Мёнш, Полупроводниковые поверхности и интерфейсы (Springer, Берлин, 1995).
• Пэн, Цзе; Ли, Чжибин; Хэ, Чуньшань; Чэнь, Гуйхуа; Ван, Вэйлян; Дэн, Шаочжи; Сюй, Ниншенг; Чжэн, Сяо; Чэнь, Гуаньхуа; Эджкомб, Крис Дж.; Форбс, Ричард Г. (2008). «Роль вершинных диполей и проникновения поля в физике заряженных, излучающих поле однослойных углеродных нанотрубок». Журнал прикладной физики . 104 (1). Издательство AIP: 014310–014310–12. arXiv : cond-mat/0612600 . Bibcode : 2008JAP...104a4310P. doi : 10.1063/1.2946449. ISSN  0021-8979. S2CID  53453404.

Вакуумный пространственный заряд, создаваемый полевым излучением

• Barbour, JP; Dolan, WW; Trolan, JK; Martin, EE; Dyke, WP (1953). «Эффекты пространственного заряда в полевой эмиссии». Physical Review . 92 (1): 45–51. Bibcode :1953PhRv...92...45B. doi :10.1103/PhysRev.92.45.

Автоэлектронная эмиссия при высоких температурах и фотоавтоэлектронная эмиссия

• Дженсен, Кевин (2007). Физика электронной эмиссии . Достижения в области визуализации и электронной физики. Т. 149. Сан-Диего: Academic Press. ISBN 978-0-12-374207-0. OCLC  647688316.

Взрывная электронная эмиссия, индуцированная полем

• Г.А. Месяц, Взрывная электронная эмиссия (УРО Пресс, Екатеринбург, 1998),