Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Задача Клэя о множестве рациональных решений уравнений, определяющих эллиптическую кривую

В математике гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера (часто называемая гипотезой Берча–Суиннертона-Дайера ) описывает множество рациональных решений уравнений, определяющих эллиптическую кривую . Это открытая проблема в области теории чисел , которая широко признана одной из самых сложных математических проблем. Она названа в честь математиков Брайана Джона Берча и Питера Суиннертона-Дайера , которые разработали гипотезу в первой половине 1960-х годов с помощью машинных вычислений. Были доказаны только частные случаи гипотезы.

Современная формулировка гипотезы связывает арифметические данные, связанные с эллиптической кривой E над числовым полем K , с поведением L -функции Хассе–Вейля L ( E ,  s ) поля E при s  = 1. Более конкретно, предполагается, что ранг абелевой группы E ( K ) точек поля E равен порядку нуля L ( E ,  s ) при s = 1. Первый ненулевой коэффициент в разложении Тейлора для L ( E ,  s ) при s = 1 задается более уточненными арифметическими данными, прикрепленными к E над K (Wiles 2006).

Гипотеза была выбрана в качестве одной из семи проблем Премии тысячелетия, перечисленных Математическим институтом Клэя , который предложил приз в размере 1 000 000 долларов за первое правильное доказательство. ^[1]

Фон

Морделл (1922) доказал теорему Морделла : группа рациональных точек на эллиптической кривой имеет конечный базис . Это означает, что для любой эллиптической кривой существует конечное подмножество рациональных точек на кривой, из которого могут быть получены все дальнейшие рациональные точки.

Если число рациональных точек на кривой бесконечно, то некоторая точка в конечном базисе должна иметь бесконечный порядок . Число независимых базисных точек с бесконечным порядком называется рангом кривой и является важным инвариантным свойством эллиптической кривой.

Если ранг эллиптической кривой равен 0, то кривая имеет только конечное число рациональных точек. С другой стороны, если ранг кривой больше 0, то кривая имеет бесконечное число рациональных точек.

Хотя теорема Морделла показывает, что ранг эллиптической кривой всегда конечен, она не дает эффективного метода вычисления ранга каждой кривой. Ранг некоторых эллиптических кривых можно вычислить с помощью численных методов, но (на текущем уровне знаний) неизвестно, обрабатывают ли эти методы все кривые.

L -функция L ( E , s  ) может быть определена для эллиптической кривой E путем построения произведения Эйлера из числа точек на кривой по модулю каждого простого числа p . Эта L -функция аналогична дзета -функции Римана и L-ряду Дирихле , который определен для двоичной квадратичной формы . Это частный случай L-функции Хассе–Вейля .

Естественное определение L ( E ,  s ) сходится только для значений s в комплексной плоскости с Re( s ) > 3/2. Хельмут Хассе предположил, что L ( E ,  s ) может быть расширено аналитическим продолжением на всю комплексную плоскость. Эта гипотеза была впервые доказана Дойрингом (1941) для эллиптических кривых с комплексным умножением . Впоследствии было показано, что она верна для всех эллиптических кривых над Q , как следствие теоремы о модулярности в 2001 году.

Нахождение рациональных точек на общей эллиптической кривой — сложная задача. Нахождение точек на эллиптической кривой по модулю заданного простого числа p концептуально просто, поскольку существует лишь конечное число возможностей для проверки. Однако для больших простых чисел это требует больших вычислительных затрат.

История

В начале 1960-х годов Питер Суиннертон-Дайер использовал компьютер EDSAC-2 в компьютерной лаборатории Кембриджского университета для вычисления числа точек по модулю p (обозначаемого как N _p ) для большого количества простых чисел p на эллиптических кривых, ранг которых был известен. Из этих численных результатов Бирч и Суиннертон-Дайер (1965) предположили, что N _p для кривой E с рангом r подчиняется асимптотическому закону

${\displaystyle \prod _{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\approx C\log(x)^{r}{\mbox{ as }}x\rightarrow \infty }$

где С — константа.

Первоначально это основывалось на несколько слабых тенденциях в графических диаграммах; это вызвало определенную долю скептицизма у Дж. В. С. Касселса (научного руководителя Берча по докторской диссертации). ^[2] Со временем числовых доказательств стало больше.

Это, в свою очередь, привело их к выдвижению общей гипотезы о поведении L-функции кривой L ( E ,  s ) при s = 1, а именно, что в этой точке она будет иметь нуль порядка r . Это была дальновидная гипотеза для того времени, учитывая, что аналитическое продолжение L ( E ,  s ) было установлено только для кривых с комплексным умножением, которые также были основным источником числовых примеров. (Примечание: обратная величина L-функции с некоторых точек зрения является более естественным объектом изучения; иногда это означает, что следует рассматривать полюса, а не нули.)

Гипотеза была впоследствии расширена, включив в нее предсказание точного ведущего коэффициента Тейлора L - функции при s  = 1. Она предположительно задается формулой ^[3]

${\displaystyle {\frac {L^{(r)}(E,1)}{r!}}={\frac {\#\mathrm {Sha} (E)\Omega _{E}R_{E}\prod _{p|N}c_{p}}{(\#E_{\mathrm {tor} })^{2}}}}$

где величины в правой части являются инвариантами кривой, изученной Касселсом, Тейтом , Шафаревичем и другими (Уайлс 2006):

${\displaystyle \#E_{\mathrm {tor} }}$- порядок группы кручения ,

${\displaystyle \#\mathrm {Sha} (E)=}$#Ш(E) — порядок группы Тейта–Шафаревича ,

${\displaystyle \Omega _{E}}$это действительный период E, умноженный на число связанных компонентов E ,

${\displaystyle R_{E}}$является регулятором E , который определяется через канонические высоты базиса рациональных точек,

${\displaystyle c_{p}}$— число Тамагавы E при простом числе p, делящее проводник N E. Его можно найти с помощью алгоритма Тейта .

На момент возникновения гипотезы было мало что известно, даже не была известна четкость левой стороны (называемой аналитической) или правой стороны (называемой алгебраической) этого уравнения. Джон Тейт выразил это в 1974 году в знаменитой цитате. ^{[4] : 198}

Эта замечательная гипотеза связывает поведение функции в точке, где в настоящее время неизвестно, определена ли она, с порядком группы Ш , о конечности которой неизвестно! ${\displaystyle L}$

По теореме о модулярности, доказанной в 2001 году для эллиптических кривых над левой стороной, теперь известно, что она хорошо определена, и конечность Ш(E) известна, когда дополнительно аналитический ранг не превышает 1, т. е. если обращается в нуль не более чем до порядка 1 при . Обе части остаются открытыми. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle L(E,s)}$ ${\displaystyle s=1}$

Текущий статус

График, выделенный синим цветом, для кривой y ²  =  x ³  − 5 x при изменении X в течение первых 100000 простых чисел. Ось X имеет логарифмическую шкалу - X нарисован на расстоянии, пропорциональном от 0-, а ось Y - логарифмическую шкалу, поэтому гипотеза предсказывает, что данные должны стремиться к линии наклона, равной рангу кривой, который в данном случае равен 1 - то есть частное как , с C , r как в тексте. Для сравнения, линия наклона 1 в (log(log),log)-шкале - то есть с уравнением - нарисована красным цветом на графике. ${\displaystyle \prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}}$ ${\displaystyle \log(\log(X))}$ ${\displaystyle {\frac {\log \left(\prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}\right)}{\log C+r\log(\log X))}}\rightarrow 1}$ ${\displaystyle X\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \log y=a+\log(\log x)}$

Гипотеза Бирча и Суиннертона-Дайера была доказана только в частных случаях:

1. Коутс и Уайлс (1977) доказали, что если E — кривая над числовым полем F с комплексным умножением на мнимое квадратичное поле K класса номер 1, F = K или Q , и L ( E , 1) не равно 0, то E ( F ) — конечная группа. Это было распространено на случай, когда F — любое конечное абелево расширение K Арто (1978).
2. Гросс и Загир (1986) показали, что если модулярная эллиптическая кривая имеет ноль первого порядка при s = 1, то она имеет рациональную точку бесконечного порядка; см. теорему Гросса–Загира .
3. Колывагин (1989) показал, что модулярная эллиптическая кривая E , для которой L ( E , 1) не равно нулю, имеет ранг 0, а модулярная эллиптическая кривая E, для которой L ( E , 1) имеет ноль первого порядка при s = 1, имеет ранг 1.
4. Рубин (1991) показал, что для эллиптических кривых, определенных над мнимым квадратичным полем K с комплексным умножением на K , если L -ряд эллиптической кривой не равен нулю при s = 1, то p -часть группы Тейта–Шафаревича имеет порядок, предсказанный гипотезой Берча и Суиннертона-Дайера, для всех простых чисел p > 7.
5. Брейль и др. (2001), расширяя работу Уайлса (1995), доказали, что все эллиптические кривые, определенные над рациональными числами, являются модулярными , что распространяет результаты № 2 и № 3 на все эллиптические кривые над рациональными числами и показывает, что L -функции всех эллиптических кривых над Q определены при s = 1.
6. Бхаргава и Шанкар (2015) доказали, что средний ранг группы Морделла–Вейля эллиптической кривой над Q ограничен сверху числом 7/6. Объединяя это с теоремой о p-четности Нековаржа (2009) и Докчицера и Докчицера (2010) и с доказательством основной гипотезы теории Ивасавы для GL(2) Скиннера и Урбана (2014), они приходят к выводу, что положительная доля эллиптических кривых над Q имеет аналитический ранг нуль и, следовательно, по Колывагину (1989), удовлетворяет гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера.

В настоящее время нет доказательств, включающих кривые с рангом выше 1.

Существуют обширные числовые доказательства истинности этой гипотезы. ^[5]

Последствия

Подобно гипотезе Римана , эта гипотеза имеет множество следствий, включая следующие два:

• Пусть n — нечетное целое число , свободное от квадратов . Предполагая гипотезу Бирча и Суиннертона-Дайера, n является площадью прямоугольного треугольника с рациональными длинами сторон ( конгруэнтное число ) тогда и только тогда, когда количество троек целых чисел ( x , y , z ), удовлетворяющих 2 x ² + y ² + 8 z ² = n , в два раза больше количества троек, удовлетворяющих 2 x ² + y ² + 32 z ² = n . Это утверждение, согласно теореме Туннелла (Tunnell 1983), связано с тем фактом, что n является конгруэнтным числом тогда и только тогда, когда эллиптическая кривая y ² = x ³ − n ² x имеет рациональную точку бесконечного порядка (таким образом, согласно гипотезе Бирча и Суиннертона-Дайера, ее L -функция имеет ноль в точке 1 ). Интерес к этому утверждению заключается в том, что это условие легко проверяется. ^[6]
• В другом направлении, некоторые аналитические методы позволяют оценить порядок нуля в центре критической полосы семейств L -функций. Принимая гипотезу BSD, эти оценки соответствуют информации о ранге рассматриваемых семейств эллиптических кривых. Например: предположим обобщенную гипотезу Римана и гипотезу BSD, средний ранг кривых, заданных y ² = x ³ + ax + b, меньше 2 . ^[7]

Обобщения

Существует версия этой гипотезы для общих абелевых многообразий над числовыми полями. Версия для абелевых многообразий над имеет следующий вид: ^{[8] : 462} ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \lim _{s\to 1}{\frac {L(A/\mathbb {Q} ,s)}{(s-1)^{r}}}={\frac {\#\mathrm {Sha} (A)\Omega _{A}R_{A}\prod _{p|N}c_{p}}{\#A(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}\cdot \#{\hat {A}}(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}}}.}$

Все термины имеют то же значение, что и для эллиптических кривых, за исключением того, что квадрат порядка кручения необходимо заменить на произведение, включающее двойственное абелево многообразие . Эллиптические кривые как одномерные абелевы многообразия являются своими собственными двойственными, т.е. , что упрощает формулировку гипотезы BSD. Регулятор необходимо понимать для спаривания между базисом для свободных частей и относительно расслоения Пуанкаре на произведении . ${\displaystyle \#A(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}\cdot \#{\hat {A}}(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {E}}=E}$ ${\displaystyle R_{A}}$ ${\displaystyle A(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle {\hat {A}}(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle A\times {\hat {A}}}$

Гипотеза Бирча-Суиннертона-Дайера ранга один для модулярных эллиптических кривых и модулярных абелевых многообразий типа GL(2) над полями вполне вещественных чисел была доказана Шоу-У Чжаном в 2001 году. ^{[9] [10]}

Другое обобщение дается гипотезой Блоха-Като . ^[11]

Примечания

1. Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера в Математическом институте Клэя
2. Стюарт, Ян (2013), Видения бесконечности: Великие математические проблемы, Basic Books, стр. 253, ISBN 9780465022403Касселс сначала был настроен весьма скептически.
3. Кремона, Джон (2011). "Численные доказательства гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера" (PDF) . Доклад на конференции BSD 50th Anniversary, май 2011 г., страница 50
4. Тейт, Джон Т. (1974). «Арифметика эллиптических кривых». Invent Math . 23 : 179–206. doi :10.1007/BF01389745., страница 198
5. Кремона, Джон (2011). "Численные доказательства гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера" (PDF) . Доклад на конференции BSD 50th Anniversary, май 2011 г.
6. Коблиц, Нил (1993). Введение в эллиптические кривые и модулярные формы . Graduate Texts in Mathematics. Том 97 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97966-2.
7. Хит-Браун, DR (2004). «Средний аналитический ранг эллиптических кривых». Duke Mathematical Journal . 122 (3): 591–623. arXiv : math/0305114 . doi :10.1215/S0012-7094-04-12235-3. MR  2057019. S2CID  15216987.
8. Хайндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия: Введение. Graduate Texts in Mathematics. Том 201. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. С. 462. doi :10.1007/978-1-4612-1210-2. ISBN 978-0-387-98975-4.
9. Чжан, Вэй (2013). «Гипотеза Бирча–Суиннертона-Дайера и точки Хегнера: обзор». Current Developments in Mathematics . 2013 : 169–203. doi : 10.4310/CDM.2013.v2013.n1.a3 ..
10. Leong, YK (июль–декабрь 2018 г.). «Shou-Wu Zhang: Number Theory and Arithmetic Algebraic Geometry» (PDF) . Imprints . No. 32. The Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore. pp. 32–36 . Получено 5 мая 2019 г. .
11. Кингс, Гвидо (2003). «Гипотеза Блоха–Като о специальных значениях L-функций. Обзор известных результатов». Journal de théorie des nombres de Bordeaux . 15 (1): 179–198. doi : 10.5802/jtnb.396 . ISSN  1246-7405. MR  2019010.

Ссылки

• Арто, Николь (1978). «О гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера для эллиптических кривых с комплексным умножением». Compositio Mathematica . 37 (2): 209–232. MR  0504632.
• Бхаргава, Манджул ; Шанкар, Арул (2015). «Тернарные кубические формы, имеющие ограниченные инварианты, и существование положительной доли эллиптических кривых, имеющих ранг 0». Annals of Mathematics . 181 (2): 587–621. arXiv : 1007.0052 . doi : 10.4007/annals.2015.181.2.4. S2CID  1456959.
• Бирч, Брайан ; Суиннертон-Дайер, Питер (1965). «Заметки об эллиптических кривых (II)». J. Reine Angew. Math. 165 (218): 79–108. doi :10.1515/crll.1965.218.79. S2CID  122531425.
• Брейль, Кристоф ; Конрад, Брайан ; Даймонд, Фред ; Тейлор, Ричард (2001). «О модулярности эллиптических кривых над Q: дикие 3-адические упражнения». Журнал Американского математического общества . 14 (4): 843–939. doi : 10.1090/S0894-0347-01-00370-8 .
• Коутс, Дж. Х .; Гринберг, Р.; Рибет, К. А.; Рубин , К. (1999). Арифметическая теория эллиптических кривых . Конспект лекций по математике. Том 1716. Springer-Verlag . ISBN 3-540-66546-3.
• Коутс, Дж.; Уайлс , А. (1977). «О гипотезе Бирча и Суиннертона-Дайера». Inventiones Mathematicae . 39 (3): 223–251. Bibcode : 1977InMat..39..223C. doi : 10.1007/BF01402975. S2CID  189832636. Zbl  0359.14009.
• Дойринг, Макс (1941). «Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper». Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 14 (1): 197–272. дои : 10.1007/BF02940746. S2CID  124821516.
• Докчицер, Тим; Докчицер, Владимир (2010). «О частных Берча–Суиннертона–Дайера по модулю квадратов». Annals of Mathematics . 172 (1): 567–596. arXiv : math/0610290 . doi :10.4007/annals.2010.172.567. MR  2680426. S2CID  9479748.
• Гросс, Бенедикт Х .; Загер, Дон Б. (1986). «Точки Хегнера и производные L-ряда». Математические изобретения . 84 (2): 225–320. Бибкод : 1986InMat..84..225G. дои : 10.1007/BF01388809. MR  0833192. S2CID  125716869.
• Колывагин, Виктор (1989). «Конечность E ( Q ) и X ( E ,  Q ) для одного класса кривых Вейля». Матем. Изв . СССР 32 (3): 523–541. Bibcode :1989IzMat..32..523K. doi :10.1070/im1989v032n03abeh000779.
• Морделл, Луис (1922). «О рациональных решениях неопределенных уравнений третьей и четвертой степеней». Proc. Camb. Phil. Soc. 21 : 179–192.
• Нековарж, Ян (2009). «О четности рангов групп Сельмера IV». Compositio Mathematica . 145 (6): 1351–1359. doi : 10.1112/S0010437X09003959 .
• Рубин, Карл (1991). «Основные гипотезы» теории Ивасавы для мнимых квадратичных полей». Математические изобретения . 103 (1): 25–68. Бибкод : 1991InMat.103...25R. дои : 10.1007/BF01239508. S2CID  120179735. Збл  0737.11030.
• Скиннер, Кристофер ; Урбан, Эрик (2014). «Основные гипотезы Ивасавы для GL ₂ ». Математические изобретения . 195 (1): 1–277. Бибкод : 2014InMat.195....1S. CiteSeerX  10.1.1.363.2008 . дои : 10.1007/s00222-013-0448-1. S2CID  120848645.
• Tunnell, Jerrold B. (1983). "Классическая диофантова задача и модулярные формы веса 3/2" (PDF) . Inventiones Mathematicae . 72 (2): 323–334. Bibcode :1983InMat..72..323T. doi :10.1007/BF01389327. hdl :10338.dmlcz/137483. S2CID  121099824. Zbl  0515.10013.
• Уайлс, Эндрю (1995). «Модулярные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма». Annals of Mathematics . Вторая серия. 141 (3): 443–551. doi :10.2307/2118559. ISSN  0003-486X. JSTOR  2118559. MR  1333035.
• Уайлз, Эндрю (2006). "Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера" (PDF) . В Карлсон, Джеймс; Джаффе, Артур ; Уайлз, Эндрю (ред.). Задачи премии тысячелетия . Американское математическое общество. стр. 31–44. ISBN 978-0-8218-3679-8. MR  2238272. Архивировано из оригинала (PDF) 29 марта 2018 г. Получено 16 декабря 2013 г.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Суиннертона-Дайера». MathWorld .
• «Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера». PlanetMath .
• Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера: интервью с профессором Анри Дармоном , Агнес Ф. Бодри
• Что такое гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера? Лекция Манджула Бхаргавы (сентябрь 2016 г.), прочитанная на конференции по исследованию Клэя, состоявшейся в Оксфордском университете