stringtranslate.com

Пропозициональное исчисление

Исчисление высказываний [a] является разделом логики . [1] Его также называют (первопорядковой) пропозициональной логикой , [2] логикой утверждений , [1] исчислением высказываний , [3] логикой высказываний , [1] или иногда логикой нулевого порядка . [4] [5] Оно имеет дело с высказываниями [1] (которые могут быть истинными или ложными ) [6] и отношениями между высказываниями, [7] включая построение аргументов на их основе. [8] Составные высказывания образуются путем соединения высказываний логическими связками, представляющими функции истинности конъюнкции , дизъюнкции , импликации , биусловия и отрицания . [9] [10] [11] [12] Некоторые источники включают другие связки, как в таблице ниже.

В отличие от логики первого порядка , пропозициональная логика не имеет дела с нелогическими объектами, предикатами о них или кванторами . Однако вся техника пропозициональной логики включена в логику первого порядка и логики более высокого порядка. В этом смысле пропозициональная логика является основой логики первого порядка и логики более высокого порядка.

Пропозициональная логика обычно изучается с помощью формального языка , в котором предложения представлены буквами, которые называются пропозициональными переменными . Затем они используются вместе с символами для связок для создания составных предложений. Из-за этого пропозициональные переменные называются атомарными формулами формального языка нулевого порядка. [10] [2] В то время как атомарные предложения обычно представлены буквами алфавита , [ 10] существует множество обозначений для представления логических связок. В следующей таблице показаны основные варианты обозначений для каждой из связок в пропозициональной логике.

Наиболее тщательно исследованной ветвью пропозициональной логики является классическая истинностно-функциональная пропозициональная логика , [1] в которой формулы интерпретируются как имеющие только одно из двух возможных значений истинности , истинностное значение истины или истинностное значение лжи . [15] Принцип двузначности и закон исключенного третьего поддерживаются. По сравнению с логикой первого порядка истинностно-функциональная пропозициональная логика считается логикой нулевого порядка . [4] [5]

История

Хотя пропозициональная логика (также называемая пропозициональным исчислением) была предложена более ранними философами, она была развита в формальную логику ( стоическую логику ) Хрисиппом в 3 веке до н. э. [16] и расширена его преемниками -стоиками . Логика была сосредоточена на предложениях . Это отличалось от традиционной силлогистической логики , которая фокусировалась на терминах . Однако большинство оригинальных трудов были утеряны [17] и в какой-то момент между 3 и 6 веками н. э. стоическая логика канула в Лету, чтобы воскреснуть только в 20 веке, в результате (повторного) открытия пропозициональной логики. [18]

Символическая логика , которая станет важной для совершенствования пропозициональной логики, была впервые разработана математиком 17-го/18-го века Готфридом Лейбницем , чей исчисление рационализатора , однако, было неизвестно более широкому логическому сообществу. Следовательно, многие из достижений Лейбница были воссозданы логиками, такими как Джордж Буль и Август де Морган , совершенно независимыми от Лейбница. [19]

Логика предикатов Готлоба Фреге основывается на пропозициональной логике и описывается как объединяющая «отличительные черты силлогистической логики и пропозициональной логики». [20] Следовательно, логика предикатов открыла новую эру в истории логики; однако, достижения в пропозициональной логике были достигнуты и после Фреге, включая естественную дедукцию , деревья истинности и таблицы истинности . Естественная дедукция была изобретена Герхардом Генценом и Станиславом Яськовским . Деревья истинности были изобретены Эвертом Виллемом Бетом . [21] Изобретение таблиц истинности, однако, не имеет точного авторства.

В работах Фреге [22] и Бертрана Рассела [ 23] есть идеи, повлиявшие на изобретение таблиц истинности. Сама фактическая табличная структура (отформатированная как таблица) обычно приписывается либо Людвигу Витгенштейну , либо Эмилю Посту (или обоим, независимо). [22] Помимо Фреге и Рассела, другие, кому приписывают идеи, предшествующие таблицам истинности, включают Филона, Буля, Чарльза Сандерса Пирса [24] и Эрнста Шрёдера . Другие, кому приписывают табличную структуру, включают Яна Лукасевича , Альфреда Норта Уайтхеда , Уильяма Стэнли Джевонса , Джона Венна и Кларенса Ирвинга Льюиса . [23] В конечном итоге, некоторые пришли к выводу, как Джон Шоски, что «Далеко не ясно, следует ли присваивать звание «изобретателя» таблиц истинности какому-либо одному человеку». [23]

Предложения

Пропозициональная логика, изучаемая в настоящее время в университетах, представляет собой спецификацию стандарта логического следования , в котором при оценке условий истинности предложения или того, следует ли предложение логически из другого предложения или группы предложений, учитываются только значения пропозициональных связок . [2]

Повествовательные предложения

Пропозициональная логика имеет дело с утверждениями , которые определяются как повествовательные предложения, имеющие истинностное значение. [25] [1] Примерами утверждений могут быть:

Повествовательные предложения противопоставляются вопросам , таким как «Что такое Википедия?», и императивным утверждениям, таким как «Пожалуйста, добавьте цитаты для подтверждения утверждений в этой статье». [26] [27] Такие недекларативные предложения не имеют истинностного значения , [28] и рассматриваются только в неклассических логиках , называемых эротическими и императивными логиками .

Составление предложений с помощью союзов

В пропозициональной логике утверждение может содержать одно или несколько других утверждений в качестве частей. [1] Сложные предложения образуются из более простых предложений и выражают отношения между составными предложениями. [29] Это делается путем их объединения с помощью логических связок : [29] [30] основными типами сложных предложений являются отрицания , союзы , дизъюнкции , импликации и двусторонние условия , [29] которые образуются путем использования соответствующих связок для соединения предложений. [31] [32] В английском языке эти связки выражаются словами «and» ( конъюнкция ), «or» ( дизъюнкция ), «not» ( отрицание ), «if» ( материальное условное предложение ) и «if and only if» ( двусторонние условия ). [1] [9] Примерами таких сложных предложений могут быть:

Если в предложениях отсутствуют какие-либо логические связки, они называются простыми предложениями [ 1] или атомарными предложениями ; [30] если они содержат одну или несколько логических связок, они называются сложными предложениями [ 29] или молекулярными предложениями [30] .

Предложенные связки — это более широкая категория, которая включает логические связки. [2] [30] Предложенные связки — это любые языковые частицы, которые связывают предложения для создания нового сложного предложения, [2] [30] или которые склоняют одно предложение для создания нового предложения. [2] Логическая связка , или пропозициональная связка , — это разновидность позиционной связки с характерной особенностью: когда исходные предложения, с которыми она работает, являются (или выражают) суждениями , новое предложение, которое получается в результате ее применения, также является (или выражает) суждением . [2] Философы расходятся во мнениях о том, что именно является суждением, [6] [2] , а также о том, какие позиционные связки в естественных языках следует считать логическими связками. [30] [2] Предложенные связки также называются функторами предложений , [33] а логические связки также называются функторами истины . [33]

Аргументы

Аргумент определяется как пара вещей, а именно набор предложений, называемых посылками , [ c] и предложение, называемое заключением . [34] [30] [ 33] Утверждается, что заключение следует из посылок, [33] а посылки утверждают, что они подтверждают заключение. [30]

Пример аргумента

Ниже приведен пример аргумента в рамках пропозициональной логики:

Предпосылка 1: Если идет дождь, то облачно.
Предпосылка 2: Идет дождь.
Вывод: облачно.

Логическая форма этого аргумента известна как modus ponens , [35] которая является классически допустимой формой. [36] Таким образом, в классической логике аргумент допустим , хотя он может быть или не быть обоснованным , в зависимости от метеорологических фактов в данном контексте. Этот пример аргумента будет повторно использован при объяснении § Формализация.

Обоснованность и обоснованность

Аргумент действителен тогда и только тогда, когда необходимо , чтобы, если все его предпосылки истинны, его заключение было истинным. [34] [37] [38] С другой стороны, аргумент действителен тогда и только тогда, когда невозможно, чтобы все его предпосылки были истинными, а заключение ложным. [38] [34]

Обоснованность противопоставляется обоснованности . [ 38] Аргумент обоснован тогда и только тогда, когда он обоснован и все его предпосылки истинны. [34] [38] В противном случае он необоснован . [38]

Логика, в целом, стремится точно указывать действительные аргументы. [30] Это делается путем определения действительного аргумента как такого, в котором его заключение является логическим следствием его посылок, [30] что, если понимать это как семантическое следствие , означает, что не существует случая, в котором посылки истинны, но заключение не истинно [30] – см. § Семантика ниже.

Формализация

Пропозициональная логика обычно изучается посредством формальной системы , в которой формулы формального языка интерпретируются для представления предложений . Этот формальный язык является основой для систем доказательств , которые позволяют выводить заключение из посылок, если и только если оно является их логическим следствием . В этом разделе будет показано, как это работает, путем формализовав аргумент § Пример. Формальный язык для пропозиционального исчисления будет полностью определен в § Язык, а обзор систем доказательств будет дан в § Системы доказательств.

Пропозициональные переменные

Поскольку пропозициональная логика не занимается структурой предложений за пределами точки, где они больше не могут быть разложены логическими связками, [35] [1] она обычно изучается путем замены таких атомарных (неделимых) утверждений буквами алфавита, которые интерпретируются как переменные, представляющие утверждения ( пропозициональные переменные ). [1] С пропозициональными переменными аргумент § Пример будет тогда символизироваться следующим образом:

Посылка 1:
Посылка 2:
Заключение:

Когда P интерпретируется как «Идет дождь», а Q как «Облачно», эти символические выражения точно соответствуют исходному выражению на естественном языке. Более того, они также будут соответствовать любому другому выводу с той же логической формой .

Когда формальная система используется для представления формальной логики, только буквы утверждений (обычно заглавные латинские буквы, такие как , и ) представляются напрямую. Естественно-языковые предложения, возникающие при их интерпретации, находятся вне сферы действия системы, и отношение между формальной системой и ее интерпретацией также находится вне самой формальной системы.

нотация Генцена

Если предположить, что справедливость modus ponens принята как аксиома , то тот же самый § Пример аргумента можно изобразить и так:

Этот метод отображения является обозначением Генцена для естественной дедукции и последовательного исчисления . [39] Посылки показаны над линией, называемой линией вывода , [11] разделенной запятой , которая указывает на комбинацию посылок. [40] Заключение написано под линией вывода. [11] Линия вывода представляет собой синтаксическое следствие , [11] иногда называемое дедуктивным следствием , [41] которое также обозначается знаком ⊢. [42] [41] Таким образом, вышесказанное можно также записать в одну строку как . [d]

Синтаксическое следствие противопоставляется семантическому следствию , [43] которое обозначается знаком ⊧. [42] [41] В этом случае заключение следует синтаксически, поскольку предполагается естественное правило вывода modus ponens . Подробнее о правилах вывода см. в разделах о системах доказательств ниже.

Язык

Язык (обычно называемый ) [41] [44] [30] исчисления высказываний определяется в терминах: [2] [ 10]

  1. набор примитивных символов, называемых атомарными формулами , атомарными предложениями , [35] [30] атомами, [45] заполнителями , простыми формулами , [45] буквами предложений , буквами предложений , [35] или переменными , и
  2. набор символов операторов, называемых связками , [14] [1] [46] логическими связками , [1] логическими операторами , [1] истинностно-функциональными связками, [1] истинностно-функторами , [33] или пропозициональными связками . [2]

Правильно сформированная формула — это любая атомарная формула или любая формула, которая может быть построена из атомарных формул с помощью операторных символов в соответствии с правилами грамматики. Язык , таким образом, определяется либо как идентичный своему набору правильно сформированных формул, [44], либо как содержащий этот набор (вместе, например, с его набором связок и переменных). [10] [30]

Обычно синтаксис определяется рекурсивно всего несколькими определениями, как показано далее; некоторые авторы явно включают скобки в качестве знаков препинания при определении синтаксиса своего языка, [30] [47], в то время как другие используют их без комментариев. [2] [10]

Синтаксис

При наличии набора атомарных пропозициональных переменных , , , ..., и набора пропозициональных связок , , , ... , , , , ... , , , , ..., формула пропозициональной логики определяется рекурсивно следующими определениями: [2] [10] [46] [e]

Определение 1 : Атомарные пропозициональные переменные являются формулами.
Определение 2 : Если — пропозициональная связка, а A, B, C, … — последовательность из m возможно, но не обязательно атомарных, возможно, но не обязательно различных формул, то результатом применения к A, B, C, … является формула.
Определение 3: Ничто иное не является формулой.

Записав результат применения к A, B, C, … в функциональной нотации, как (A, B, C, …), мы имеем следующие примеры правильно построенных формул:

То, что было дано выше как Определение 2 , которое отвечает за композицию формул, Колин Хаусон называет принципом композиции . [35] [f] Именно эта рекурсия в определении синтаксиса языка оправдывает использование слова «атомный» для обозначения пропозициональных переменных, поскольку все формулы в языке построены из атомов как конечных строительных блоков. [2] Составные формулы (все формулы, кроме атомов) называются молекулами , [45] или молекулярными предложениями . [30] (Это несовершенная аналогия с химией , поскольку химическая молекула иногда может иметь только один атом, как в одноатомных газах .) [45]

Определение, что «ничто иное не является формулой», данное выше как Определение 3 , исключает любую формулу из языка, которая специально не требуется другими определениями в синтаксисе. [33] В частности, оно исключает бесконечно длинные формулы из числа правильно сформированных . [33]

Грамматика CF в BNF

Альтернативой определениям синтаксиса, данным выше, является написание контекстно-свободной (КС) грамматики для языка в форме Бэкуса-Наура (БНФ). [49] [50] Это более распространено в компьютерной науке , чем в философии . [50] Это можно сделать многими способами, [49] из которых особенно кратким, для общего набора из пяти связок, является это единственное предложение: [50] [51]

Это предложение, в силу своей самореферентной природы (поскольку находится в некоторых ветвях определения ), также действует как рекурсивное определение , и, следовательно, определяет весь язык. Чтобы расширить его для добавления модальных операторов , нужно только добавить …  в конец предложения. [50]

Константы и схемы

Математики иногда различают пропозициональные константы, пропозициональные переменные и схемы. Пропозициональные константы представляют некоторое конкретное предложение, [52] в то время как пропозициональные переменные охватывают множество всех атомарных предложений. [52] Схемы, или схематические буквы , однако, охватывают все формулы. [33] [1] (Схематические буквы также называются метапеременными .) [34] Обычно пропозициональные константы обозначают как A , B и C , пропозициональные переменные — как P , Q и R , а схематические буквы часто являются греческими буквами, чаще всего φ , ψ и χ . [33] [1]

Однако некоторые авторы признают только две «пропозициональные константы» в своей формальной системе: специальный символ , называемый «истина», который всегда оценивается как True , и специальный символ , называемый «ложь», который всегда оценивается как False . [53] [54] [55] Другие авторы также включают эти символы с тем же значением, но считают их «функторами истинности с нулевым местом» [33] или, что эквивалентно, « нульарными связками». [46]

Семантика

Чтобы служить моделью логики данного естественного языка , формальный язык должен быть семантически интерпретирован. [30] В классической логике все предложения оцениваются как одно из двух значений истинности : Истина или Ложь . [1] [56] Например, « Википедия — это бесплатная онлайн-энциклопедия , которую может редактировать каждый» оценивается как Истина , [57] тогда как «Википедия — это бумажная энциклопедия » оценивается как Ложь . [58]

В других отношениях следующая формальная семантика может применяться к языку любой пропозициональной логики, но предположения о том, что существует только два семантических значения ( двузначность ), что только одно из двух присваивается каждой формуле в языке ( непротиворечивость ) и что каждой формуле присваивается значение ( исключенное третье ), являются отличительными чертами классической логики. [56] [59] [33] Чтобы узнать о неклассических логиках с более чем двумя истинностными значениями и их уникальной семантике, можно обратиться к статьям « Многозначная логика », « Трехзначная логика », « Конечнозначная логика » и « Бесконечнозначная логика ».

Интерпретация (случай) и аргумент

Для данного языка интерпретация [60] оценка [ 47] или случай [ 30] [g] — это присвоение семантических значений каждой формуле из . [30] Для формального языка классической логики случай определяется как присвоение каждой формуле из одного или другого, но не обоих, значений истинности , а именно истины ( T или 1) и ложности ( F или 0). [61] [62] Интерпретация, которая следует правилам классической логики, иногда называется булевой оценкой [ 47] [63] Интерпретация формального языка для классической логики часто выражается в терминах таблиц истинности [64] [1] Поскольку каждой формуле присваивается только одно значение истинности, интерпретацию можно рассматривать как функцию , областью определения которой является , а диапазоном — ее набор семантических значений [ 2] или [30 ]

Для различных пропозициональных символов существуют различные возможные интерпретации. Для любого конкретного символа , например, существуют возможные интерпретации: либо присваивается T , либо присваивается F . А для пары существуют возможные интерпретации: либо оба присваиваются T , либо оба присваиваются F , либо присваивается T и присваивается F , либо присваивается F и присваивается T . [64] Поскольку имеет , то есть счетно много пропозициональных символов, существует , и, следовательно, несчетно много различных возможных интерпретаций как целого. [64]

Где — интерпретация, а и представляют собой формулы, определение аргумента , данное в § Аргументы, может быть сформулировано как пара , где — набор предпосылок, а — заключение. Определение обоснованности аргумента , т. е. его свойства, что , может быть сформулировано как отсутствие контрпримера , где контрпример определяется как случай , в котором все предпосылки аргумента истинны, но заключение не является истинным. [30] [35] Как будет показано в § Семантическая истина, обоснованность, следствие, это то же самое, что сказать, что заключение является семантическим следствием предпосылок.

Пропозициональная соединительная семантика

Интерпретация присваивает семантические значения атомарным формулам напрямую. [60] [30] Молекулярным формулам присваивается функция значения их составляющих атомов в соответствии с используемой связкой; [60] [30] связки определяются таким образом, что истинностное значение предложения, образованного из атомов со связками, зависит от истинностных значений атомов, к которым они применяются, и только от них. [60] [30] Это предположение Колин Хаусон называет предположением об истинностной функциональности связок . [35]

Семантика через таблицы истинности

Поскольку логические связки определяются семантически только в терминах значений истинности , которые они принимают, когда пропозициональные переменные , к которым они применяются, принимают одно из двух возможных значений истинности, [1] [30] семантическое определение связок обычно представляется в виде таблицы истинности для каждой из связок, [1] [30] [65] , как показано ниже:

Эта таблица охватывает каждую из пяти основных логических связок : [9] [10] [11] [12] конъюнкция (здесь обозначается как p ∧ q), дизъюнкция (p ∨ q), импликация (p → q), биусловная (p ↔ q) и отрицание (¬p или ¬q, в зависимости от обстоятельств). Этого достаточно для определения семантики каждого из этих операторов. [1] [66] [30] Для получения дополнительных таблиц истинности для большего количества различных видов связок см. статью « Таблица истинности ».

Семантика через выражения присваивания

Некоторые авторы (а именно, все авторы, цитируемые в этом подразделе) записывают семантику связок, используя список утверждений вместо таблицы. В этом формате, где есть интерпретация , пять связок определяются как: [33] [47]

Вместо , интерпретация может быть записана как , [33] [67] или, для определений, таких как выше, может быть записана просто как английское предложение " придается значение ". [47] Однако другие авторы [68] [69] могут предпочесть говорить о модели Тарского для языка, так что вместо этого они будут использовать обозначение , что эквивалентно выражению , где есть функция интерпретации для . [69]

Методы определения связок

Некоторые из этих связок могут быть определены в терминах других: например, импликация, p → q, может быть определена в терминах дизъюнкции и отрицания, как ¬p ∨ q; [70] а дизъюнкция может быть определена в терминах отрицания и конъюнкции, как ¬(¬p ∧ ¬q). [47] Фактически, истинностно-функционально полная система, [h] в том смысле, что все и только классические пропозициональные тавтологии являются теоремами, может быть выведена с использованием только дизъюнкции и отрицания (как это сделали Рассел , Уайтхед и Гильберт ), [2] или с использованием только импликации и отрицания (как это сделал Фреге ), [2] или с использованием только конъюнкции и отрицания, [2] или даже с использованием только одной связки для «не и» ( штрих Шеффера ), [3] [2] как это сделал Жан Никод . [2] Связка совместного отрицания ( логическое НЕ ) сама по себе будет достаточна для определения всех других связок, [47] но никакие другие связки не обладают этим свойством. [47]

Некоторые авторы, а именно Хаусон [35] и Каннингем [72], различают эквивалентность и двуусловную эквивалентность. (Что касается эквивалентности, Хаусон называет ее «истинностно-функциональной эквивалентностью», а Каннингем называет ее «логической эквивалентностью».) Эквивалентность обозначается знаком ⇔ и является символом метаязыка, в то время как двуусловная эквивалентность обозначается знаком ↔ и является логической связкой в ​​объектном языке . Независимо от этого, эквивалентность или двуусловная эквивалентность истинны тогда и только тогда, когда формулам, связанным с ней, приписывается одно и то же семантическое значение при каждой интерпретации. Другие авторы часто не делают этого различия и могут использовать слово «эквивалентность» [11] и/или символ ⇔ [73] для обозначения двуусловной связки своего объектного языка.

Семантическая истина, обоснованность, следствие

Если и как формулы (или предложения) языка , и как интерпретация (или случай) [i] , то применимы следующие определения: [64] [62]

Для толкований (случаев) иногда даются такие определения:

Для классической логики , которая предполагает, что все случаи являются полными и непротиворечивыми, [30] применимы следующие теоремы:

Системы доказательства

Системы доказательств в пропозициональной логике можно в целом классифицировать на системы семантических доказательств и системы синтаксических доказательств [ 82] [83] [84] в зависимости от вида логического следствия , на котором они основаны: системы семантических доказательств опираются на семантическое следствие ( ), [85] тогда как системы синтаксических доказательств опираются на синтаксическое следствие ( ). [86] Семантическое следствие имеет дело с истинностными значениями предложений во всех возможных интерпретациях, тогда как синтаксическое следствие касается вывода заключений из предпосылок на основе правил и аксиом в рамках формальной системы. [87] В этом разделе дается очень краткий обзор видов систем доказательств со ссылками на соответствующие разделы этой статьи по каждой из них, а также на отдельные статьи Википедии по каждой из них.

Системы семантического доказательства

Пример таблицы истинности
Графическое представление частично построенной пропозициональной таблицы

Системы семантического доказательства опираются на концепцию семантического следствия, обозначаемую как , которая указывает на то, что если истинно, то также должно быть истинным в любой возможной интерпретации. [87]

Таблицы истинности

Таблица истинности — это метод семантического доказательства, используемый для определения истинностного значения пропозиционального логического выражения в каждом возможном сценарии. [88] Путем исчерпывающего перечисления истинностных значений составляющих его атомов таблица истинности может показать, является ли предложение истинным, ложным, тавтологичным или противоречивым. [89] См. § Семантическое доказательство с помощью таблиц истинности.

Семантические таблицы

Семантическая таблица — это еще один метод семантического доказательства, который систематически исследует истинность предложения. [90] Он строит дерево, где каждая ветвь представляет собой возможную интерпретацию рассматриваемых предложений. [91] Если каждая ветвь приводит к противоречию, исходное предложение считается противоречием, а его отрицание считается тавтологией . [ 35] См. § Семантическое доказательство с помощью таблиц.

Системы синтаксической проверки

Правила исчисления последовательностей высказываний LK в нотации Генцена

Системы синтаксического доказательства, напротив, фокусируются на формальном манипулировании символами в соответствии с определенными правилами. Понятие синтаксического следствия, , означает, что может быть получено из использования правил формальной системы. [87]

Аксиоматические системы

Аксиоматическая система — это набор аксиом или предположений, из которых логически выводятся другие утверждения (теоремы). [92] В пропозициональной логике аксиоматические системы определяют базовый набор утверждений, которые считаются самоочевидно истинными, а теоремы доказываются путем применения правил вывода к этим аксиомам. [93] См. § Синтаксическое доказательство с помощью аксиом.

Натуральный вычет

Естественная дедукция — это синтаксический метод доказательства, который подчеркивает вывод заключений из предпосылок посредством использования интуитивных правил, отражающих обычные рассуждения. [94] Каждое правило отражает определенную логическую связку и показывает, как ее можно ввести или устранить. [94] См. § Синтаксическое доказательство посредством естественной дедукции.

Последовательное исчисление

Секвенциальное исчисление — это формальная система, которая представляет логические выводы как последовательности или «секвенции» формул. [95] Разработанный Герхардом Генценом , этот подход фокусируется на структурных свойствах логических выводов и предоставляет мощную основу для доказательства утверждений в рамках пропозициональной логики. [95] [96]

Семантическое доказательство с помощью таблиц истинности

Используя семантическую концепцию валидности (истинности в любой интерпретации), можно доказать валидность формулы, используя таблицу истинности , которая дает каждую возможную интерпретацию (присвоение значений истинности переменным) формулы. [89] [45] [33] Если и только если все строки таблицы истинности оказываются истинными, формула семантически валидна (истинна в любой интерпретации). [89] [45] Кроме того, если (и только если) валидна, то является непоследовательной. [77] [78] [79]

Например, эта таблица показывает, что « p → (q ∨ r → (r → ¬p)) » недопустимо: [45]

Вычисление последнего столбца третьей строки можно отобразить следующим образом: [45]

Далее, используя теорему о том, что если и только если является действительным, [64] [74] мы можем использовать таблицу истинности для доказательства того, что формула является семантическим следствием набора формул: если и только если мы можем создать таблицу истинности, которая оказывается полностью истинной для формулы (то есть, если ). [97] [98]

Семантическое доказательство с помощью таблиц

Поскольку таблицы истинности имеют 2 n строк для n переменных, они могут быть утомительно длинными для больших значений n. [35] Аналитические таблицы являются более эффективным, но, тем не менее, механическим [65] методом семантического доказательства; они используют тот факт, что «мы ничего не узнаем о справедливости вывода, исследуя распределения истинностных значений, которые делают либо предпосылки ложными, либо заключение истинным: единственными релевантными распределениями при рассмотрении дедуктивной справедливости, очевидно, являются только те, которые делают предпосылки истинными или заключение ложным». [35]

Аналитические таблицы для пропозициональной логики полностью определены правилами, которые изложены в схематической форме ниже. [47] Эти правила используют «знаковые формулы», где знаковая формула является выражением или , где — (беззнаковая) формула языка . [47] (Неформально, читается как « является истинным», а читается как « является ложным».) [47] Их формальное семантическое определение таково: «при любой интерпретации знаковая формула называется истинной, если она истинна, и ложной, если она ложна, тогда как знаковая формула называется ложной, если она истинна, и истинной, если она ложна». [47]

В этой нотации правило 2 означает, что дает оба , тогда как разветвляется на . Обозначение следует понимать аналогично для правил 3 и 4. [47] Часто в таблицах для классической логики обозначение знаковой формулы упрощается, так что записывается просто как , и как , что объясняет название правила 1 « Правило двойного отрицания ». [35] [65]

Можно построить таблицу для набора формул, применяя правила для создания большего количества строк и ветвей дерева, пока каждая строка не будет использована, создавая полную таблицу. В некоторых случаях ветвь может содержать и для некоторых , что является противоречием. В этом случае говорят, что ветвь закрывается . [35] Если каждая ветвь в дереве закрывается, говорят, что само дерево закрывается. [35] В силу правил построения таблиц, закрытое дерево является доказательством того, что исходная формула или набор формул, использованных для ее построения, сами по себе были противоречивы и, следовательно, ложны. [35] И наоборот, таблица также может доказать, что логическая формула тавтологична : если формула тавтологична, ее отрицание является противоречием, поэтому таблица, построенная из ее отрицания, закроется. [35]

Чтобы построить таблицу для аргумента , сначала выписывают набор предпосылочных формул, , по одной формуле на каждой строке, подписанной (то есть для каждого в наборе); [65] и вместе с этими формулами (порядок неважен), также выписывают заключение, , подписанное (то есть ). [65] Затем создают дерево истинности (аналитическую таблицу), используя все эти строки в соответствии с правилами. [65] Замкнутое дерево будет доказательством того, что аргумент был действителен, в силу того факта, что тогда и только тогда, когда является противоречивым (также записывается как ). [65]

Список классически допустимых форм аргументации

Используя методы семантической проверки, такие как таблицы истинности или семантические таблицы, для проверки тавтологий и семантических следствий, можно показать, что в классической логике следующие классические формы аргументов являются семантически допустимыми, т. е. эти тавтологии и семантические следствия имеют место. [33] Мы используем ⟚ для обозначения эквивалентности и , то есть как сокращение для и ; [33] в качестве помощи при чтении символов дается описание каждой формулы. Описание читает символ ⊧ (называемый «двойным турникетом») как «следовательно», что является его обычным прочтением, [33] [99] хотя многие авторы предпочитают читать его как «влечет», [33] [100] или как «модели». [101]

Синтаксическое доказательство посредством естественной дедукции

Естественная дедукция , поскольку она является методом синтаксического доказательства, определяется путем предоставления правил вывода (также называемых правилами доказательства ) [34] для языка с типичным набором связок ; не используются никакие аксиомы, кроме этих правил. [104] Правила рассматриваются ниже, а затем приводится пример доказательства.

Стили нотации

Разные авторы в некоторой степени различаются относительно того, какие правила вывода они приводят, что будет отмечено. Однако более поразительным для внешнего вида и ощущения доказательства является изменение стилей обозначений. Обозначение § Генцена, которое было рассмотрено ранее для короткого аргумента, на самом деле может быть сложено для получения больших древовидных доказательств естественного вывода [39] [11] — не путать с «деревьями истины», что является другим названием аналитических таблиц . [65] Существует также стиль, принадлежащий Станиславу Яськовскому , в котором формулы в доказательстве записаны внутри различных вложенных ящиков, [39] и есть упрощение стиля Яськовского, принадлежащее Фредерику Фитчу ( обозначение Фитча ), в котором ящики упрощены до простых горизонтальных линий под введениями предположений и вертикальных линий слева от линий, которые находятся под предположением. [39] Наконец, есть единственный стиль записи, который фактически будет использоваться в этой статье, который принадлежит Патрику Суппесу [39] , но был значительно популяризирован Э. Дж. Леммоном и Бенсоном Мейтсом [105] . Преимущество этого метода в том, что с графической точки зрения он наименее трудоемок для создания и отображения, что сделало его естественным выбором для редактора , написавшего эту часть статьи, который не понимал сложных команд LaTeX , которые потребовались бы для создания доказательств в других методах.

Доказательство , тогда изложенное в соответствии со стилем обозначений Саппса–Леммона , [39] представляет собой последовательность строк, содержащих предложения, [ 34] где каждое предложение является либо предположением, либо результатом применения правила доказательства к более ранним предложениям в последовательности. [34] Каждая строка доказательства состоит из предложения доказательства вместе с его аннотацией , его набором предположений и текущим номером строки . [34] Набор предположений перечисляет предположения, от которых зависит данное предложение доказательства, на которые ссылаются номера строк. [34] Аннотация указывает, какое правило доказательства было применено и к каким более ранним строкам, чтобы получить текущее предложение. [34] См. пример доказательства естественной дедукции §.

Правила вывода

Правила вывода естественной дедукции, в конечном счете, принадлежащие Генцену , приведены ниже. [104] Существует десять примитивных правил доказательства, которые представляют собой правило предположения , плюс четыре пары правил введения и исключения для бинарных связок, а также правило reductio ad adbsurdum . [34] Дизъюнктивный силлогизм может использоваться как более простая альтернатива правильному ∨-исключению, [34] а MTT и DN являются обычно заданными правилами, [104] хотя они не являются примитивными. [34]

Пример доказательства естественного вычета

Приведенное ниже доказательство [34] выводится только из MPP и RAA и использует их , что показывает, что MTT не является примитивным правилом, поскольку его можно вывести из этих двух других правил.

Синтаксическое доказательство через аксиомы

Доказательства можно выполнять аксиоматически, что означает, что некоторые тавтологии принимаются как самоочевидные, а различные другие выводятся из них с использованием modus ponens в качестве правила вывода , а также правила подстановки , которое позволяет заменить любую правильно построенную формулу любым ее подстановочным экземпляром . [107] В качестве альтернативы можно использовать схемы аксиом вместо аксиом, и никакое правило подстановки не используется. [107]

В этом разделе приведены аксиомы некоторых исторически примечательных аксиоматических систем для пропозициональной логики. Для получения дополнительных примеров, а также металогических теорем, которые являются специфическими для таких аксиоматических систем (таких как их полнота и непротиворечивость), см. статью Аксиоматическая система (логика) .

ФрегеBegriffsschrift

Хотя аксиоматическое доказательство использовалось со времен знаменитого древнегреческого учебника «Элементы геометрии» Евклида , в пропозициональной логике оно восходит к Begriffsschrift Готлоба Фреге 1879 года . [33] [107] Система Фреге использовала в качестве связок только импликацию и отрицание , [2] и имела шесть аксиом, [107] а именно: [108] [109]

Они были использованы Фреге вместе с modus ponens и правилом подстановки (которое использовалось, но никогда точно не формулировалось), чтобы получить полную и последовательную аксиоматизацию классической истинностно-функциональной пропозициональной логики. [108]

Лукасевич P2

Ян Лукасевич показал, что в системе Фреге «третья аксиома излишняя, поскольку ее можно вывести из двух предыдущих аксиом, и что последние три аксиомы можно заменить одним предложением ». [109] Что, взятое из польской записи Лукасевича в современную запись, означает . Таким образом, Лукасевичу приписывают [107] эту систему из трех аксиом:

Как и система Фреге, эта система использует правило подстановки и использует modus ponens в качестве правила вывода. [107] Точно такую ​​же систему (с явным правилом подстановки) дал Алонзо Чёрч , [110] который назвал её системой P2 [ 110] [111] и помог популяризировать её. [111]

Схематическая форма P2

Можно избежать использования правила подстановки, представив аксиомы в схематической форме, используя их для создания бесконечного набора аксиом. Следовательно, используя греческие буквы для представления схем (металогических переменных, которые могут обозначать любые правильно сформированные формулы ), аксиомы задаются как: [33] [111]

Схематическая версия P 2 приписывается Джону фон Нейману [ 107] и используется в базе данных формальных доказательств Metamath "set.mm". [111] Она также приписывается Гильберту [112] и названа в этом контексте [112]

Пример доказательства в P2

В качестве примера ниже приведено доказательство в P 2. Сначала аксиомам даны имена:

(А1)
(А2)
(А3)

И доказательство следующее:

  1.       (пример (A1))
  2.       (пример (A2))
  3.       (из (1) и (2) по modus ponens )
  4.       (пример (A1))
  5.       (из (4) и (3) по modus ponens)

Решатели

Одно из заметных различий между исчислением высказываний и исчислением предикатов заключается в том, что выполнимость пропозициональной формулы разрешима . [113] Определение выполнимости пропозициональных логических формул является NP-полной проблемой. Однако существуют практические методы (например, алгоритм DPLL , 1962; алгоритм Чаффа , 2001), которые очень быстры для многих полезных случаев. Недавние работы расширили алгоритмы решателя SAT для работы с предложениями, содержащими арифметические выражения ; это решатели SMT .

Смотрите также

Высшие логические уровни

Похожие темы

Примечания

  1. ^ Многие источники пишут это с определенным артиклем, как исчисление высказываний, в то время как другие просто называют это исчислением высказываний без артикля.
  2. ^ «Или оба» ясно показывает [30] , что это логическая дизъюнкция , а не исключающее или , которое более распространено в английском языке.
  3. ^ Набор предпосылок может быть пустым набором ; [33] [34] аргумент из пустого набора предпосылок действителен тогда и только тогда, когда заключение является тавтологией . [ 33] [34]
  4. ^ Турникет, для синтаксического следования, имеет более низкий приоритет, чем запятая, которая представляет комбинацию посылок, которая, в свою очередь, имеет более низкий приоритет, чем стрелка, используемая для материальной импликации; поэтому для интерпретации этой формулы скобки не нужны. [40]
  5. ^ Здесь дан очень общий и абстрактный синтаксис, следующий обозначениям в SEP, [2], но включающий третье определение, которое очень часто дается явно другими источниками, такими как Gillon, [10] Bostock, [33] Allen & Hand, [34] и многими другими. Как отмечено в другом месте статьи, языки по-разному составляют свой набор атомарных пропозициональных переменных из заглавных или строчных букв (часто фокусируясь на P/p, Q/q и R/r), с подстрочными цифрами или без них; и в свой набор связок они могут включать либо полный набор из пяти типичных связок, , либо любые из его функционально полных подмножеств. (И, конечно, они также могут использовать любые варианты обозначений этих связок.)
  6. ^ Обратите внимание, что фраза «принцип композиции» относилась к другим вещам в других контекстах, и даже в контексте логики, поскольку Бертран Рассел использовал ее для обозначения принципа, согласно которому «предложение, подразумевающее каждое из двух предложений, подразумевает их оба». [48]
  7. ^ Название «интерпретация» используется некоторыми авторами, а название «случай» — другими авторами. Эта статья будет безразличной и будет использовать любое из них, поскольку она редактируется совместно и нет единого мнения о том, какую терминологию следует принять.
  8. ^ Истинно-функционально полный набор связок [2] также называется просто функционально полным , или адекватным для истинно-функциональной логики , [35] или выразительно адекватным , [71] или просто адекватным . [35] [71]
  9. ^ Некоторые из этих определений используют слово «интерпретация» и говорят о том, что предложения/формулы истинны или ложны «под» ним, а некоторые будут использовать слово «случай» и говорить о том, что предложения/формулы истинны или ложны «в» нем. Опубликованные надежные источники ( WP:RS ) использовали оба вида терминологических соглашений, хотя обычно данный автор будет использовать только одно из них. Поскольку эта статья редактировалась совместно и нет единого мнения о том, какое соглашение использовать, эти вариации в терминологии были оставлены.
  10. ^ Традиционно , без ничего слева от турникета, используется для обозначения тавтологии. Это можно интерпретировать как то, что является семантическим следствием пустого множества формул, т. е. , но с пустыми скобками, опущенными для простоты; [33] что равносильно утверждению, что это тавтология, т. е. что нет интерпретации, при которой она ложна. [33]
  11. ^ Для упрощения формулировки правила слово «отрицание» здесь используется следующим образом: отрицание формулы , которая не является отрицанием , есть , тогда как отрицание , , имеет два отрицания , а именно, и . [34]

Ссылки

  1. ^ abcdefghijklmnopqrstu vwxy "Пропозициональная логика | Интернет-энциклопедия философии" . Получено 22 марта 2024 г.
  2. ^ abcdefghijklmnopqrstu vw Franks, Curtis (2023), "Propositional Logic", в Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (ред. осень 2023 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 22 марта 2024 г.
  3. ^ ab Weisstein, Eric W. "Propositional Calculus". mathworld.wolfram.com . Получено 22 марта 2024 г. .
  4. ^ ab Белоглавек, Радим; Даубен, Джозеф Уоррен; Клир, Джордж Дж. (2017). Нечеткая логика и математика: историческая перспектива . Нью-Йорк, Нью-Йорк, Соединенные Штаты Америки: Oxford University Press. стр. 463. ISBN 978-0-19-020001-5.
  5. ^ ab Manzano, María (2005). Расширения логики первого порядка . Кембриджские трактаты по теоретической информатике (цифровая печать первой версии в мягкой обложке, ред.). Кембридж: Cambridge University Press. стр. 180. ISBN 978-0-521-35435-6.
  6. ^ ab McGrath, Matthew; Frank, Devin (2023), "Propositions", в Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (зимнее издание 2023 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 22 марта 2024 г.
  7. ^ "Предикатная логика". www3.cs.stonybrook.edu . Получено 22 марта 2024 г. .
  8. ^ "Философия 404: Лекция пятая". www.webpages.uidaho.edu . Получено 22 марта 2024 г. .
  9. ^ abc "3.1 Propositional Logic". www.teach.cs.toronto.edu . Получено 22 марта 2024 г. .
  10. ^ abcdefghi Дэвис, Стивен; Гиллон, Брендан С., ред. (2004). Семантика: читатель . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-513697-5.
  11. ^ abcdefg Платон, Ян фон (2013). Элементы логического рассуждения (1-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. С. 9, 32, 121. ISBN 978-1-107-03659-8.
  12. ^ ab "Propositional Logic". www.cs.miami.edu . Получено 22 марта 2024 г. .
  13. ^ Платон, Ян фон (2013). Элементы логического рассуждения (1-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. стр. 9. ISBN 978-1-107-03659-8.
  14. ^ ab Weisstein, Eric W. "Connective". mathworld.wolfram.com . Получено 22 марта 2024 г. .
  15. ^ "Пропозициональная логика | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org . Получено 20 августа 2020 г. .
  16. ^ Бобзиен, Сюзанна (1 января 2016 г.). «Древняя логика». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии. Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет – через Стэнфордскую энциклопедию философии.
  17. ^ "Пропозициональная логика | Интернет-энциклопедия философии" . Получено 20 августа 2020 г.
  18. ^ Бобзиен, Сюзанна (2020), «Древняя логика», в Zalta, Edward N. (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (лето 2020 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 22 марта 2024 г.
  19. ^ Peckhaus, Volker (1 января 2014 г.). «Влияние Лейбница на логику 19-го века». В Zalta, Edward N. (ред.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University – через Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  20. ^ Херли, Патрик (2007). Краткое введение в логику, 10-е издание . Wadsworth Publishing. стр. 392.
  21. ^ Бет, Эверт В.; «Семантическое следствие и формальная выводимость», серия: Mededlingen van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Afdeling Letterkunde, Nieuwe Reeks, vol. 18, нет. 13, Северо-Голландский Уитг. Mij., Амстердам, 1955, стр. 309–42. Перепечатано в Jaakko Intikka (ed.) The Philosophy of Mathematics , Oxford University Press, 1969.
  22. ^ ab Истина во Фреге
  23. ^ abc "Рассел: Журнал исследований Бертрана Рассела".
  24. ^ Анеллис, Ирвинг Х. (2012). «Истинно-функциональный анализ Пирса и происхождение таблицы истинности». История и философия логики . 33 : 87–97. doi :10.1080/01445340.2011.621702. S2CID  170654885.
  25. ^ "Part2Mod1: ЛОГИКА: Утверждения, Отрицания, Квантификаторы, Таблицы истинности". www.math.fsu.edu . Получено 22 марта 2024 г. .
  26. ^ "Lecture Notes on Logical Organization and Critical Thinking". www2.hawaii.edu . Получено 22 марта 2024 г. .
  27. ^ "Логические связки". sites.millersville.edu . Получено 22 марта 2024 г. .
  28. ^ "Lecture1". www.cs.columbia.edu . Получено 22 марта 2024 г. .
  29. ^ abcd "Введение в логику - Глава 2". intrologic.stanford.edu . Получено 22 марта 2024 г. .
  30. ^ abcdefghijklmnopqrstu vwxyz aa ab ac ad ae af ag ah ai aj ak al am an ao ap aq ar as at au av aw ax Beall, Джеффри С. (2010). Логика: основы (1. изд.). Лондон: Рутледж. стр. 6, 8, 14–16, 19–20, 44–48, 50–53, 56. ISBN. 978-0-203-85155-5.
  31. ^ "Watson". watson.latech.edu . Получено 22 марта 2024 г. .
  32. ^ "Введение в теоретическую информатику, Глава 1". www.cs.odu.edu . Получено 22 марта 2024 г. .
  33. ^ abcdefghijklmnopqrstu vwxy Bostock, David (1997). Промежуточная логика . Oxford: New York: Clarendon Press; Oxford University Press. стр. 4–5, 8–13, 18–19, 22, 27, 29, 191, 194. ISBN 978-0-19-875141-0.
  34. ^ abcdefghijklmnopqrstu vwxyz aa ab ac ad ae af ag ah ai aj ak al am an ao ap aq ar as at au av aw ax ay az ba bb bc bd be bf bg bh bi bj bk bl bm bn bo bp bq br Аллен, Колин ; Хэнд, Майкл (2022). Букварь по логике (3-е изд.). Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-54364-4.
  35. ^ abcdefghijklmnopqrst Хаусон, Колин (1997). Логика с деревьями: введение в символическую логику . Лондон; Нью-Йорк: Routledge. С. ix, x, 5–6, 15–16, 20, 24–29, 38, 42–43, 47. ISBN 978-0-415-13342-5.
  36. ^ Стойнич, Уна (2017). «Modus Ponens человека: модальность, связность и логика». Философия и феноменологические исследования . 95 (1): 167–214. doi :10.1111/phpr.12307. ISSN  0031-8205. JSTOR  48578954.
  37. ^ Дутил Новаес, Катарина (2022), «Аргумент и аргументация», в Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (ред. осень 2022 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 5 апреля 2024 г.
  38. ^ abcde "Validity and Soundness | Internet Encyclopedia of Philosophy" . Получено 5 апреля 2024 г. .
  39. ^ abcdef Пеллетье, Фрэнсис Джеффри; Хазен, Аллен (2024), «Естественные системы дедукции в логике», в Zalta, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (весеннее издание 2024 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , получено 22 марта 2024 г.
  40. ^ ab Restall, Greg (2018), «Substructural Logics», в Zalta, Edward N. (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (весеннее издание 2018 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 22 марта 2024 г.
  41. ^ abcd "Компактность | Интернет-энциклопедия философии" . Получено 22 марта 2024 г.
  42. ^ ab "Темы лекций для студентов, изучающих дискретную математику". math.colorado.edu . Получено 22 марта 2024 г. .
  43. ^ Paseau, Alexander; Pregel, Fabian (2023), «Дедуктивизм в философии математики», в Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (ред. осень 2023 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 22 марта 2024 г.
  44. ^ ab Demey, Lorenz; Kooi, Barteld; Sack, Joshua (2023), «Логика и вероятность», в Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (ред. осень 2023 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 22 марта 2024 г.
  45. ^ abcdefgh Клини, Стивен Коул (2002). Математическая логика (ред. Дувра). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7.
  46. ^ abc Humberstone, Lloyd (2011). Связующие. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. С. 118, 702. ISBN 978-0-262-01654-4. OCLC  694679197.
  47. ^ abcdefghijklmn Smullyan, Raymond M. (1995). Логика первого порядка . Нью-Йорк: Dover. С. 5, 10–11, 14. ISBN 978-0-486-68370-6.
  48. ^ Рассел, Бертран (2010). Принципы математики . Классика Routledge. Лондон: Routledge. С. 17. ISBN 978-0-415-48741-2.
  49. ^ ab Hodges, Wilfrid (1977). Логика . Harmondsworth; Нью-Йорк: Penguin. С. 80–85. ISBN 978-0-14-021985-2.
  50. ^ abcd Ханссон, Свен Ове; Хендрикс, Винсент Ф. (2018). Введение в формальную философию . Тексты Springer для бакалавриата по философии. Cham: Springer. стр. 38. ISBN 978-3-030-08454-7.
  51. ^ Айяла-Ринкон, Маурисио; де Моура, Флавио LC (2017). Прикладная логика для компьютерных специалистов. Темы бакалавриата по информатике. Springer. стр. 2. doi :10.1007/978-3-319-51653-0. ISBN 978-3-319-51651-6.
  52. ^ ab Lande, Nelson P. (2013). Классическая логика и ее кроличьи норы: первый курс . Индианаполис, Индиана: Hackett Publishing Co., Inc. стр. 20. ISBN 978-1-60384-948-7.
  53. ^ Голдрей, Дерек (2005). Исчисление высказываний и предикатов: модель аргумента . Лондон: Springer. С. 69. ISBN 978-1-85233-921-0.
  54. ^ "Propositional Logic". www.cs.rochester.edu . Получено 22 марта 2024 г. .
  55. ^ "Исчисление высказываний". www.cs.cornell.edu . Получено 22 марта 2024 г. .
  56. ^ ab Шрамко, Ярослав; Вансинг, Генрих (2021), «Ценности истины», в Zalta, Edward N. (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (зима 2021 г. ред.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 23 марта 2024 г.
  57. ^ Меткалф, Дэвид; Пауэлл, Джон (2011). «Следует ли врачам отвергать Википедию?». Журнал Королевского медицинского общества . 104 (12): 488–489. doi :10.1258/jrsm.2011.110227. ISSN  0141-0768. PMC 3241521. PMID 22179287  . 
  58. ^ Айерс, Фиби; Мэтьюз, Чарльз; Йейтс, Бен (2008). Как работает Википедия: и как вы можете стать ее частью. Сан-Франциско: No Starch Press. стр. 22. ISBN 978-1-59327-176-3. OCLC  185698411.
  59. ^ Шапиро, Стюарт; Коури Киссель, Тереза ​​(2024), «Классическая логика», в Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (весеннее издание 2024 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 25 марта 2024 г.
  60. ^ abcd Landman, Fred (1991). "Структуры для семантики". Исследования по лингвистике и философии . 45 : 127. doi :10.1007/978-94-011-3212-1. ISBN 978-0-7923-1240-6. ISSN  0924-4662.
  61. ^ Nascimento, Marco Antonio Chaer (2015). Frontiers in quantum methods and applications in chemistry and physics: favorite materials of QSCP-XVIII (Paraty, Brazil, December, 2013) . Прогресс в теоретической химии и физике. Международный семинар по квантовым системам в химии и физике. Cham: Springer. стр. 255. ISBN 978-3-319-14397-2.
  62. ^ abcdefg Chowdhary, KR (2020). «Основы искусственного интеллекта». SpringerLink : 31–34. doi :10.1007/978-81-322-3972-7. ISBN 978-81-322-3970-3.
  63. ^ Рестолл, Грег; Стэндефер, Шон (3 января 2023 г.). Логические методы. MIT Press. стр. 76. ISBN 978-0-262-54484-9.
  64. ^ abcdefghijklmnopqrst Хантер, Джеффри (1971). Металогика: Введение в метатеорию стандартной логики первого порядка . Издательство Калифорнийского университета. ISBN 0-520-02356-0.
  65. ^ abcdefgh Рестолл, Грег (2010). Логика: введение . Основы философии. Лондон: Routledge. С. 5, 36–41, 55–60, 69. ISBN 978-0-415-40068-8.
  66. ^ Aloni, Maria (2023), «Disjunction», в Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (весеннее издание 2023 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , дата обращения 23 марта 2024 г.
  67. ^ Makridis, Odysseus (2022). Символическая логика . Философия Palgrave сегодня. Cham, Швейцария: Palgrave Macmillan. стр. 119. ISBN 978-3-030-67395-6.
  68. ^ Берджесс, Джон П. (2009). Философская логика. Принстонские основы современной философии. Принстон: Princeton University Press. стр. 5. ISBN 978-0-691-13789-6. OCLC  276141382.
  69. ^ ab Beall, JC; Restall, Greg (2006). Логический плюрализм. Clarendon Press. стр. 38. ISBN 978-0-19-928840-3.
  70. Левин, Оскар. Логика высказываний.
  71. ^ ab Смит, Питер (2003), Введение в формальную логику , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-00804-4. (Определяет «выразительно адекватный», сокращенно до «адекватный набор связок» в заголовке раздела.)
  72. ^ Каннингем, Дэниел В. (2016). Теория множеств: первый курс . Кембриджские математические учебники. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-12032-7.
  73. ^ Дженесерет, Майкл; Као, Эрик Дж. (2017). Введение в логику. Лекции по синтезу в информатике. Cham: Springer International Publishing. стр. 18. doi : 10.1007/978-3-031-01801-5. ISBN 978-3-031-00673-9.
  74. ^ abcdefg Роджерс, Роберт Л. (1971). Математическая логика и формализованные теории. Elsevier. стр. 38–39. doi :10.1016/c2013-0-11894-6. ISBN 978-0-7204-2098-2.
  75. ^ "6. Семантика пропозициональной логики — документация Logic and Proof 3.18.4". leanprover.github.io . Получено 28 марта 2024 г. .
  76. ^ «Представление знаний и рассуждение: основы логики». www.emse.fr . Получено 28 марта 2024 г. .
  77. ^ ab "1.4: Тавтологии и противоречия". Mathematics LibreTexts . 9 сентября 2021 г. Получено 29 марта 2024 г.
  78. ^ ab Сильвестр, Джереми. EF Тавтологии и противоречия.
  79. ^ ab DeLancey, Craig; Woodrow, Jenna (2017). Elementary Formal Logic (1-е изд.). Pressbooks.
  80. ^ Дикс, Дж.; Фишер, Майкл; Новак, Питер, ред. (2010). Вычислительная логика в многоагентных системах: 10-й международный семинар, CLIMA X, Гамбург, Германия, 9-10 сентября 2009 г.: пересмотренные избранные и приглашенные доклады. Конспект лекций по информатике. Берлин; Нью-Йорк: Springer. стр. 49. ISBN 978-3-642-16866-6. OCLC  681481210.
  81. ^ Prakken, Henry; Bistarelli, Stefano; Santini, Francesco; Taticchi, Carlo, ред. (2020). Вычислительные модели аргументации: труды comma 2020. Frontiers in artificial intelligence and applications. Washington: IOS Press. стр. 252. ISBN 978-1-64368-106-1.
  82. ^ Аводей, Стив; Арнольд, Грег Фрост-, ред. (2024). Рудольф Карнап: исследования по семантике: собрание сочинений Рудольфа Карнапа, том 7. Нью-Йорк: Oxford University Press. стр. xxvii. ISBN 978-0-19-289487-8.
  83. ^ Harel, Guershon; Stylianides, Andreas J., ред. (2018). Advances in Mathematics Education Research on Proof and Proving: An International Perspective . ICME-13 Monographs (1-е изд. 2018 г.). Cham: Springer International Publishing : Imprint: Springer. стр. 181. ISBN 978-3-319-70996-3.
  84. ^ DeLancey, Craig (2017). «Краткое введение в логику: §4. Доказательства». Milne Publishing . Получено 23 марта 2024 г.
  85. ^ Фергюсон, Томас Маколей; Прист, Грэм (23 июня 2016 г.), «семантическое следствие», Словарь логики , Oxford University Press, doi : 10.1093/acref/9780191816802.001.0001, ISBN 978-0-19-181680-2, получено 23 марта 2024 г.
  86. ^ Фергюсон, Томас Маколей; Прист, Грэм (23 июня 2016 г.), «синтаксическое следствие», Словарь логики , Oxford University Press, doi : 10.1093/acref/9780191816802.001.0001, ISBN 978-0-19-181680-2, получено 23 марта 2024 г.
  87. ^ abc Кук, Рой Т. (2009). Словарь философской логики . Эдинбург: Издательство Эдинбургского университета. С. 82, 176. ISBN 978-0-7486-2559-8.
  88. ^ "Таблица истинности | Булевы значения, операторы, правила | Britannica". www.britannica.com . 14 марта 2024 г. . Получено 23 марта 2024 г. .
  89. ^ abc "MathematicalLogic". www.cs.yale.edu . Получено 23 марта 2024 г. .
  90. ^ "Analytic Tableaux". www3.cs.stonybrook.edu . Получено 23 марта 2024 г. .
  91. ^ "Формальная логика - Семантические таблицы, доказательства, правила | Britannica". www.britannica.com . Получено 23 марта 2024 г. .
  92. ^ "Аксиоматический метод | Логика, доказательства и основания | Britannica". www.britannica.com . Получено 23 марта 2024 г. .
  93. ^ "Пропозициональная логика". mally.stanford.edu . Получено 23 марта 2024 г. .
  94. ^ ab "Естественная дедукция | Интернет-энциклопедия философии" . Получено 23 марта 2024 г.
  95. ^ ab Weisstein, Eric W. "Sequent Calculus". mathworld.wolfram.com . Получено 23 марта 2024 г. .
  96. ^ "Интерактивный учебник по последовательному исчислению". logitext.mit.edu . Получено 23 марта 2024 г. .
  97. ^ Лукас, Питер; Гааг, Линда ван дер (1991). Принципы экспертных систем (PDF) . Международная серия по информатике. Уокингем, Англия; Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley. стр. 26. ISBN 978-0-201-41640-4.
  98. ^ Бахмайр, Лео (2009). "CSE541 Логика в информатике" (PDF) . Университет Стоуни-Брук .
  99. ^ Лоусон, Марк В. (2019). Первый курс логики . Бока-Ратон: CRC Press, Taylor & Francis Group. стр. пример 1.58. ISBN 978-0-8153-8664-3.
  100. ^ Дин, Невилл (2003). Логика и язык . Basingstoke: Palgrave Macmillan. стр. 66. ISBN 978-0-333-91977-4.
  101. ^ Чизвелл, Ян; Ходжес, Уилфрид (2007). Математическая логика . Оксфордские тексты по логике. Оксфорд: Oxford university press. стр. 3. ISBN 978-0-19-857100-1.
  102. ^ abcdefghijklmno Ходжес, Уилфрид (2001). Логика (2-е изд.). Лондон: Penguin Books. стр. 130–131. ISBN 978-0-14-100314-6.
  103. ^ Toida, Shunichi (2 августа 2009 г.). «Доказательство импликаций». Материал веб-курса «Дискретные структуры/дискретная математика» CS381 . Кафедра компьютерных наук, Университет Олд Доминион . Получено 10 марта 2010 г.
  104. ^ abcdefghijklmnopqrstu vwxyz aa ab ac ad ae af ag ah Леммон, Эдвард Джон (1998). Начало логики . Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC. стр. везде, особенно 39–40. ISBN 978-0-412-38090-7.
  105. ^ "Естественные системы вывода в логике > Заметки (Стэнфордская энциклопедия философии)". plato.stanford.edu . Получено 19 апреля 2024 г. .
  106. ^ abcdef Артур, Ричард TW (2017). Введение в логику: использование естественной дедукции, реальных аргументов, немного истории и немного юмора (2-е изд.). Питерборо, Онтарио: Broadview Press. ISBN 978-1-55481-332-2. OCLC  962129086.
  107. ^ abcdefg Smullyan, Raymond M. (23 июля 2014 г.). Руководство для начинающих по математической логике. Courier Corporation. стр. 102–103. ISBN 978-0-486-49237-7.
  108. ^ ab Мендельсон, Ричард Л. (10 января 2005 г.). Философия Готтлоба Фреге. Cambridge University Press. стр. 185. ISBN 978-1-139-44403-3.
  109. ^ Аб Лукасевич, Январь (1970). Ян Лукасевич: Избранные произведения. Северная Голландия. п. 136.
  110. ^ ab Church, Alonzo (1996). Введение в математическую логику. Princeton University Press. стр. 119. ISBN 978-0-691-02906-1.
  111. ^ abcd "Proof Explorer - Домашняя страница - Metamath". us.metamath.org . Получено 2 июля 2024 г. .
  112. ^ ab Walicki, Michał (2017). Введение в математическую логику (Расширенное издание). Нью-Джерси: World Scientific. стр. 126. ISBN 978-981-4719-95-7.
  113. ^ WVO Quine, Математическая логика (1980), стр. 81. Издательство Гарвардского университета, 0-674-55451-5

Дальнейшее чтение

Похожие работы

Внешние ссылки