В математике проективная геометрия — это изучение геометрических свойств , которые инвариантны относительно проективных преобразований . Это означает, что по сравнению с элементарной евклидовой геометрией проективная геометрия имеет другую настройку, проективное пространство , и выборочный набор основных геометрических понятий. Основные интуиции состоят в том, что проективное пространство имеет больше точек, чем евклидово пространство , для заданного измерения, и что разрешены геометрические преобразования , которые преобразуют дополнительные точки (называемые « точками на бесконечности ») в евклидовы точки, и наоборот.
Свойства, значимые для проективной геометрии, соблюдаются этой новой идеей преобразования, которая более радикальна по своим эффектам, чем может быть выражена матрицей преобразования и переносами ( аффинными преобразованиями ). Первый вопрос для геометров заключается в том, какой вид геометрии подходит для новой ситуации. В отличие от евклидовой геометрии , понятие угла не применяется в проективной геометрии, потому что никакая мера углов не является инвариантной относительно проективных преобразований, как это видно на перспективном рисунке с изменяющейся точки зрения. Одним из источников проективной геометрии действительно была теория перспективы. Еще одним отличием от элементарной геометрии является способ, которым параллельные линии можно сказать, что они встречаются в точке на бесконечности , как только концепция переводится в термины проективной геометрии. Опять же, это понятие имеет интуитивную основу, такую как железнодорожные пути, встречающиеся на горизонте на перспективном рисунке. См. Проективная плоскость для основ проективной геометрии в двух измерениях.
Хотя идеи были доступны и раньше, проективная геометрия была в основном развитием 19-го века. Она включала теорию комплексного проективного пространства , в которой координаты ( однородные координаты ) были комплексными числами. Несколько основных типов более абстрактной математики (включая теорию инвариантов , итальянскую школу алгебраической геометрии и программу Феликса Клейна в Эрлангене , приведшую к изучению классических групп ) были мотивированы проективной геометрией. Она также была предметом многих практиков сама по себе, как синтетическая геометрия . Другая тема, которая развилась из аксиоматических исследований проективной геометрии, — это конечная геометрия .
Тема проективной геометрии в настоящее время разделена на множество исследовательских подтем, двумя примерами которых являются проективная алгебраическая геометрия (изучение проективных многообразий ) и проективная дифференциальная геометрия (изучение дифференциальных инвариантов проективных преобразований).
Проективная геометрия является элементарной неметрической формой геометрии, что означает, что она не поддерживает никакую концепцию расстояния. В двух измерениях она начинается с изучения конфигураций точек и линий . То , что в этой разреженной обстановке действительно есть некоторый геометрический интерес, было впервые установлено Дезаргом и другими в их исследовании принципов перспективного искусства . [1] В пространствах с более высокими размерами рассматриваются гиперплоскости (которые всегда встречаются) и другие линейные подпространства, которые демонстрируют принцип двойственности. Простейшая иллюстрация двойственности - это проективная плоскость, где утверждения «две различные точки определяют уникальную линию» (т. е. линию, проходящую через них) и «две различные линии определяют уникальную точку» (т. е. их точку пересечения) показывают ту же структуру, что и предложения. Проективную геометрию также можно рассматривать как геометрию построений с помощью одной только линейки . [2] Поскольку проективная геометрия исключает построения с помощью циркуля , нет ни окружностей, ни углов, ни измерений, ни параллелей, ни концепции промежуточности (или «промежуточности»). [3] Было осознано, что теоремы, которые применимы к проективной геометрии, являются более простыми утверждениями. Например, различные конические сечения эквивалентны в (комплексной) проективной геометрии, и некоторые теоремы об окружностях можно рассматривать как частные случаи этих общих теорем.
В начале 19 века работы Жана-Виктора Понселе , Лазаря Карно и других выделили проективную геометрию в самостоятельную область математики . [3] Ее строгие основы были разработаны Карлом фон Штаудтом и усовершенствованы итальянцами Джузеппе Пеано , Марио Пьери , Алессандро Падоа и Джино Фано в конце 19 века. [4] Проективная геометрия, как и аффинная и евклидова геометрии , также может быть развита из Эрлангенской программы Феликса Клейна; проективная геометрия характеризуется инвариантами относительно преобразований проективной группы .
После большой работы над очень большим количеством теорем по предмету, таким образом, были поняты основы проективной геометрии. Структура инцидентности и перекрестное отношение являются фундаментальными инвариантами относительно проективных преобразований. Проективная геометрия может быть смоделирована аффинной плоскостью (или аффинным пространством) плюс прямой (гиперплоскостью) «на бесконечности», а затем рассматривать эту прямую (или гиперплоскость) как «обычную». [5] Алгебраическая модель для выполнения проективной геометрии в стиле аналитической геометрии задается однородными координатами. [6] [7] С другой стороны, аксиоматические исследования выявили существование недезарговых плоскостей , примеры, показывающие, что аксиомы инцидентности могут быть смоделированы (только в двух измерениях) структурами, недоступными для рассуждений через однородные системы координат.
В фундаментальном смысле проективная геометрия и упорядоченная геометрия являются элементарными, поскольку каждая из них включает минимальный набор аксиом , и любая из них может быть использована в качестве основы для аффинной и евклидовой геометрии . [8] [9] Проективная геометрия не является «упорядоченной» [3] и поэтому является отдельной основой для геометрии.
Первые геометрические свойства проективного характера были открыты в III веке Паппом Александрийским . [3] Филиппо Брунеллески (1404–1472) начал исследовать геометрию перспективы в 1425 году [10] (см. Перспектива (графическая) § История для более подробного обсуждения работ в области изобразительного искусства, которые мотивировали большую часть развития проективной геометрии). Иоганн Кеплер (1571–1630) и Жирар Дезарг (1591–1661) независимо друг от друга разработали концепцию «точки в бесконечности». [11] Дезарг разработал альтернативный способ построения перспективных рисунков, обобщив использование точек схода, чтобы включить случай, когда они находятся бесконечно далеко. Он превратил евклидову геометрию , где параллельные линии действительно параллельны, в частный случай всеобъемлющей геометрической системы. Исследование Дезарга о конических сечениях привлекло внимание 16-летнего Блеза Паскаля и помогло ему сформулировать теорему Паскаля . Работы Гаспара Монжа конца 18-го и начала 19-го века были важны для последующего развития проективной геометрии. Работа Дезарга игнорировалась, пока Мишель Шаль случайно не наткнулся на рукописную копию в 1845 году. Тем временем Жан-Виктор Понселе опубликовал основополагающий трактат по проективной геометрии в 1822 году. Понселе исследовал проективные свойства объектов (те, которые инвариантны относительно центральной проекции) и, основывая свою теорию на конкретном полюсе и полярном отношении относительно окружности, установил связь между метрическими и проективными свойствами. Было в конечном итоге показано, что неевклидовы геометрии, открытые вскоре после этого, имеют модели, такие как модель Клейна гиперболического пространства , относящиеся к проективной геометрии.
В 1855 году А. Ф. Мёбиус написал статью о перестановках, теперь называемых преобразованиями Мёбиуса , обобщенных окружностей в комплексной плоскости . Эти преобразования представляют проективности комплексной проективной прямой . При изучении прямых в пространстве Юлиус Плюккер использовал однородные координаты в своем описании, а множество прямых рассматривалось на квадрике Клейна , одном из ранних вкладов проективной геометрии в новую область, называемую алгебраической геометрией , ответвление аналитической геометрии с проективными идеями.
Проективная геометрия сыграла важную роль в подтверждении предположений Лобачевского и Бойяи относительно гиперболической геометрии , предоставив модели для гиперболической плоскости : [12] например, модель диска Пуанкаре , в которой обобщенные окружности, перпендикулярные единичной окружности, соответствуют «гиперболическим линиям» ( геодезическим ), а «трансляции» этой модели описываются преобразованиями Мёбиуса, которые отображают единичный круг в себя. Расстояние между точками задается метрикой Кэли–Клейна , которая, как известно, инвариантна относительно трансляций, поскольку она зависит от перекрестного отношения , ключевого проективного инварианта. Трансляции описываются по-разному: как изометрии в теории метрического пространства , как формально дробно-линейные преобразования и как проективные линейные преобразования проективной линейной группы , в данном случае SU(1, 1) .
Работа Понселе , Якоба Штайнера и других не была направлена на расширение аналитической геометрии. Методы должны были быть синтетическими : по сути, проективное пространство, как оно понимается сейчас, должно было быть введено аксиоматически. В результате переформулирование ранних работ по проективной геометрии так, чтобы они удовлетворяли современным стандартам строгости, может быть довольно сложным. Даже в случае одной только проективной плоскости аксиоматический подход может привести к моделям, не описываемым с помощью линейной алгебры .
Этот период в геометрии был замещен исследованиями общей алгебраической кривой Клебша , Римана , Макса Нётера и других, которые расширили существующие методы, а затем и теорией инвариантов . К концу века итальянская школа алгебраической геометрии ( Энриквес , Сегре , Севери ) вырвалась из традиционного предмета в область, требующую более глубоких методов.
В конце 19-го века детальное изучение проективной геометрии стало менее модным, хотя литература по ней обширна. Некоторые важные работы были проделаны в исчислительной геометрии , в частности Шубертом, который теперь считается предвосхитившим теорию классов Черна , рассматриваемую как представляющую алгебраическую топологию грассманианов .
Проективная геометрия позже оказалась ключом к изобретению Полем Дираком квантовой механики . На фундаментальном уровне открытие того, что квантовые измерения могут не коммутировать, встревожило и разубедило Гейзенберга , но предыдущее изучение проективных плоскостей над некоммутативными кольцами, вероятно, сделало Дирака менее чувствительным. В более продвинутой работе Дирак использовал обширные чертежи в проективной геометрии, чтобы понять интуитивное значение своих уравнений, прежде чем записать свою работу в исключительно алгебраическом формализме. [13]
Проективная геометрия менее ограничительна, чем евклидова или аффинная геометрия . Это по сути неметрическая геометрия , что означает, что факты не зависят от какой-либо метрической структуры. При проективных преобразованиях структура инцидентности и отношение проективных гармонических сопряжений сохраняются. Проективный диапазон является одномерной основой. Проективная геометрия формализует один из центральных принципов перспективного искусства: параллельные линии встречаются на бесконечности и, следовательно, рисуются таким образом. По сути, проективную геометрию можно рассматривать как расширение евклидовой геометрии, в котором «направление» каждой линии включено в линию как дополнительная «точка», и в котором «горизонт» направлений, соответствующих копланарным линиям, рассматривается как «линия». Таким образом, две параллельные линии встречаются на линии горизонта в силу того, что они включают в себя одно и то же направление.
Идеализированные направления называются точками на бесконечности, а идеализированные горизонты называются линиями на бесконечности. В свою очередь, все эти линии лежат в плоскости на бесконечности. Однако бесконечность — это метрическое понятие, поэтому чисто проективная геометрия не выделяет никаких точек, линий или плоскостей в этом отношении — те, что на бесконечности, рассматриваются так же, как и любые другие.
Поскольку евклидова геометрия содержится в проективной геометрии — с проективной геометрией, имеющей более простую основу — общие результаты в евклидовой геометрии могут быть получены более прозрачным образом, где отдельные, но схожие теоремы евклидовой геометрии могут обрабатываться коллективно в рамках проективной геометрии. Например, параллельные и непараллельные прямые не нужно рассматривать как отдельные случаи; вместо этого произвольная проективная плоскость выделяется как идеальная плоскость и располагается «в бесконечности» с использованием однородных координат .
Дополнительные свойства фундаментальной важности включают теорему Дезарга и теорему Паппуса . В проективных пространствах размерности 3 и выше существует конструкция, позволяющая доказать теорему Дезарга . Но для размерности 2 она должна быть постулирована отдельно.
Используя теорему Дезарга в сочетании с другими аксиомами, можно геометрически определить основные операции арифметики. Полученные операции удовлетворяют аксиомам поля – за исключением того, что коммутативность умножения требует теоремы Паппуса о шестиугольнике . В результате точки каждой линии находятся во взаимно однозначном соответствии с заданным полем F , дополненным дополнительным элементом ∞, таким образом, что r ⋅ ∞ = ∞ , −∞ = ∞ , r + ∞ = ∞ , r / 0 = ∞ , r / ∞ = 0 , ∞ − r = r − ∞ = ∞ , за исключением того, что 0 / 0 , ∞ / ∞ , ∞ + ∞ , ∞ − ∞ , 0 ⋅ ∞ и ∞ ⋅ 0 остаются неопределенными.
Проективная геометрия также включает в себя полную теорию конических сечений , предмет, также широко разработанный в евклидовой геометрии. Есть преимущества в том, чтобы думать о гиперболе и эллипсе как о различающихся только тем, как гипербола лежит поперек линии на бесконечности ; и что парабола различается только тем, что касается одной и той же линии. Все семейство окружностей можно рассматривать как коники, проходящие через две заданные точки на линии на бесконечности — ценой требования комплексных координат. Поскольку координаты не являются «синтетическими», их заменяют, фиксируя линию и две точки на ней, и рассматривая линейную систему всех коник, проходящих через эти точки, как основной объект изучения. Этот метод оказался очень привлекательным для талантливых геометров, и тема была тщательно изучена. Примером этого метода является многотомный трактат Х. Ф. Бейкера .
Существует множество проективных геометрий, которые можно разделить на дискретные и непрерывные: дискретная геометрия состоит из множества точек, число которых может быть конечным или неконечным, в то время как непрерывная геометрия имеет бесконечно много точек без промежутков между ними.
Единственная проективная геометрия размерности 0 — это одна точка. Проективная геометрия размерности 1 состоит из одной линии, содержащей не менее 3 точек. Геометрическое построение арифметических операций не может быть выполнено ни в одном из этих случаев. Для размерности 2 существует богатая структура в силу отсутствия теоремы Дезарга .
Наименьшая двумерная проективная геометрия (с наименьшим количеством точек) — это плоскость Фано , которая имеет 3 точки на каждой прямой, всего 7 точек и 7 прямых, имеющих следующие коллинеарности:
с однородными координатами A = (0,0,1) , B = (0,1,1) , C = (0,1,0) , D = (1,0,1) , E = (1,0,0) , F = (1,1,1) , G = (1,1,0) , или, в аффинных координатах, A = (0,0) , B = (0,1) , C = (∞) , D = (1,0) , E = (0) , F = (1,1) и G = (1) . Аффинные координаты в дезарговой плоскости для точек, обозначенных как точки на бесконечности (в этом примере: C, E и G), можно определить несколькими другими способами.
В стандартной записи конечная проективная геометрия записывается как PG( a , b ), где:
Таким образом, пример, имеющий всего 7 точек, записывается как PG(2, 2) .
Термин «проективная геометрия» иногда используется для обозначения обобщенной базовой абстрактной геометрии, а иногда для обозначения конкретной геометрии, представляющей широкий интерес, такой как метрическая геометрия плоского пространства, которую мы анализируем с помощью однородных координат и в которую может быть встроена евклидова геометрия (отсюда ее название — расширенная евклидова плоскость ).
Фундаментальным свойством, которое выделяет все проективные геометрии, является свойство эллиптической инцидентности , согласно которому любые две различные прямые L и M в проективной плоскости пересекаются ровно в одной точке P. Особый случай в аналитической геометрии параллельных прямых включается в более гладкую форму прямой на бесконечности , на которой лежит P. Таким образом, прямая на бесконечности является такой же прямой, как и любая другая в теории: она никоим образом не является специальной или выдающейся. (В более позднем духе Эрлангенской программы можно было бы указать способ, которым группа преобразований может переместить любую прямую в прямую на бесконечности ).
Параллельные свойства эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрий контрастируют следующим образом:
Свойство параллельности эллиптической геометрии является ключевой идеей, которая приводит к принципу проективной двойственности, возможно, самому важному свойству, общему для всех проективных геометрий.
В 1825 году Жозеф Жергонн отметил принцип двойственности, характеризующий проективную геометрию плоскости: если задана любая теорема или определение этой геометрии, замена точки на прямую , лежать на на проход через , коллинеарно на конкурирующий , пересечение на соединение или наоборот приводит к другой теореме или допустимому определению, «двойственному» первой. Аналогично в 3 измерениях отношение двойственности сохраняется между точками и плоскостями, позволяя преобразовать любую теорему путем замены точки и плоскости , содержится в и содержит . В более общем смысле, для проективных пространств размерности N существует двойственность между подпространствами размерности R и размерности N − R − 1 . При N = 2 это специализируется на наиболее общеизвестной форме двойственности — между точками и прямыми. Принцип двойственности был также открыт независимо Жаном-Виктором Понселе .
Для установления двойственности требуется только установить теоремы, которые являются двойственными версиями аксиом для рассматриваемого измерения. Таким образом, для трехмерных пространств нужно показать, что (1*) каждая точка лежит в трех различных плоскостях, (2*) каждые две плоскости пересекаются по единственной линии и двойственную версию (3*) следующего содержания: если пересечение плоскости P и Q копланарно пересечению плоскости R и S, то таковыми являются и соответствующие пересечения плоскостей P и R, Q и S (предполагая, что плоскости P и S отличны от Q и R).
На практике принцип двойственности позволяет нам установить двойственное соответствие между двумя геометрическими конструкциями. Наиболее известным из них является полярность или взаимность двух фигур на конической кривой (в 2 измерениях) или квадратичной поверхности (в 3 измерениях). Обычный пример можно найти во взаимном движении симметричного многогранника в концентрической сфере для получения двойственного многогранника.
Другим примером является теорема Брианшона , двойственная уже упомянутой теореме Паскаля , и одно из доказательств которой просто состоит в применении принципа двойственности к теореме Паскаля. Вот сравнительные формулировки этих двух теорем (в обоих случаях в рамках проективной плоскости):
Любая заданная геометрия может быть выведена из соответствующего набора аксиом . Проективные геометрии характеризуются аксиомой «эллиптической параллельности», которая гласит, что любые две плоскости всегда пересекаются только в одной прямой , или в плоскости любые две прямые всегда пересекаются только в одной точке . Другими словами, в проективной геометрии нет таких вещей, как параллельные прямые или плоскости.
Было предложено много альтернативных наборов аксиом для проективной геометрии (см., например, Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).
Эти аксиомы основаны на Уайтхеде , "Аксиомы проективной геометрии". Существует два типа, точки и линии, и одно отношение "инцидентности" между точками и линиями. Три аксиомы таковы:
Причина, по которой предполагается, что каждая линия содержит не менее 3 точек, заключается в том, чтобы исключить некоторые вырожденные случаи. Пространства, удовлетворяющие этим трём аксиомам, либо имеют не более одной линии, либо являются проективными пространствами некоторой размерности над телом , либо являются недезарговыми плоскостями .
Можно добавить дополнительные аксиомы, ограничивающие размерность или координатное кольцо. Например, проективная геометрия Коксетера [14] ссылается на Веблена [15] в трех аксиомах выше, вместе с еще 5 аксиомами, которые делают размерность 3 и координатное кольцо коммутативным полем характеристики, отличной от 2.
Можно провести аксиоматизацию, постулируя тернарное отношение [ABC], чтобы обозначить, когда три точки (не обязательно все различные) являются коллинеарными. Аксиоматизацию можно также записать в терминах этого отношения:
Для двух различных точек, A и B, линия AB определяется как состоящая из всех точек C, для которых [ABC]. Аксиомы C0 и C1 затем обеспечивают формализацию G2; C2 для G1 и C3 для G3.
Концепция линии обобщается на плоскости и подпространства более высокой размерности. Подпространство AB...XY может быть, таким образом, рекурсивно определено в терминах подпространства AB...X как содержащее все точки всех линий YZ, поскольку Z пробегает AB...X. Коллинеарность затем обобщается до отношения «независимости». Набор точек {A, B, ..., Z} является независимым, [AB...Z], если {A, B, ..., Z} является минимальным порождающим подмножеством для подпространства AB...Z.
Проективные аксиомы могут быть дополнены дополнительными аксиомами, постулирующими ограничения на размерность пространства. Минимальная размерность определяется существованием независимого множества требуемого размера. Для наименьших размерностей соответствующие условия могут быть сформулированы в эквивалентной форме следующим образом. Проективное пространство имеет:
Максимальное измерение также может быть определено аналогичным образом. Для наименьших измерений они принимают следующие формы. Проективное пространство имеет:
и так далее. Это общая теорема (следствие аксиомы (3)), что все копланарные прямые пересекаются — тот самый принцип, который изначально должна была воплощать проективная геометрия. Поэтому свойство (M3) может быть эквивалентно сформулировано как то, что все прямые пересекают друг друга.
Обычно предполагается, что проективные пространства имеют по крайней мере размерность 2. В некоторых случаях, если фокус находится на проективных плоскостях, может быть постулирован вариант M3. Аксиомы (Eves 1997: 111), например, включают (1), (2), (L3) и (M3). Аксиома (3) становится бессмысленно истинной при (M3) и, следовательно, не нужна в этом контексте.
В геометрии инцидентности большинство авторов [16] предлагают трактовку, которая охватывает плоскость Фано PG(2, 2) как наименьшую конечную проективную плоскость. Система аксиом, которая достигает этого, выглядит следующим образом:
Введение в геометрию Коксетера [17] дает список из пяти аксиом для более ограниченной концепции проективной плоскости, которая приписывается Бахману, добавляя теорему Паппуса к списку аксиом выше (которая исключает недезарговы плоскости ) и исключая проективные плоскости над полями характеристики 2 (те, которые не удовлетворяют аксиоме Фано ). Ограниченные плоскости, заданные таким образом, больше напоминают действительную проективную плоскость .
При наличии трех неколлинеарных точек есть три линии, соединяющие их, но при наличии четырех точек, не трех коллинеарных, есть шесть соединительных линий и три дополнительные «диагональные точки», определяемые их пересечениями. Наука проективной геометрии фиксирует этот излишек, определяемый четырьмя точками, через кватернарное отношение и проективности, которые сохраняют полную конфигурацию четырехугольника .
Гармоническая четверка точек на прямой возникает, когда существует полный четырехугольник, две диагональные точки которого находятся в первой и третьей позиции четверки, а две другие позиции являются точками на линиях, соединяющих две точки четырехугольника через третью диагональную точку. [18]
Пространственная перспективность проективной конфигурации в одной плоскости даёт такую же конфигурацию в другой, и это применимо к конфигурации полного четырёхугольника. Таким образом, гармонические четверки сохраняются перспективностью. Если одна перспективность следует за другой, конфигурации следуют за ними. Композиция двух перспективностей — это уже не перспективность, а проективность .
В то время как все соответствующие точки перспективности сходятся в одной точке, эта сходимость не верна для проективности, которая не является перспективностью. В проективной геометрии пересечение линий, образованных соответствующими точками проективности на плоскости, представляет особый интерес. Множество таких пересечений называется проективной коникой , и в знак признания работы Якоба Штайнера , оно упоминается как коника Штайнера .
Предположим, что проективность образована двумя перспективами, центрированными на точках A и B , связывающими x с X посредством посредника p :
Проективность тогда Тогда, учитывая проективность, индуцированная коника равна
Если заданы коника C и точка P, не лежащая на ней, то две различные секущие, проходящие через P, пересекают C в четырех точках. Эти четыре точки определяют четырехугольник, диагональной точкой которого является P. Прямая, проходящая через две другие диагональные точки, называется полярой P , а P — полюсом этой прямой. [19] С другой стороны, полярная прямая P — это множество проективных гармонических сопряжений P на переменной секущей прямой, проходящей через P и C.
