Супералгебра

Алгебраическая структура, используемая в теоретической физике

В математике и теоретической физике супералгебра — это Z ₂ - градуированная алгебра . ^[1] То есть это алгебра над коммутативным кольцом или полем с разложением на «четные» и «нечетные» части и оператором умножения, учитывающим градуировку.

Приставка супер- происходит из теории суперсимметрии в теоретической физике. Супералгебры и их представления, супермодули , обеспечивают алгебраическую основу для формулировки суперсимметрии. Изучение таких объектов иногда называют суперлинейной алгеброй . Супералгебры также играют важную роль в смежной области супергеометрии , где они входят в определения градуированных многообразий , супермногообразий и суперсхем.

Формальное определение

Пусть K — коммутативное кольцо . В большинстве приложений K представляет собой поле характеристики , такое как R или C.

Супералгебра над K — это K -модуль A с разложением в прямую сумму

${\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}}$

вместе с билинейным умножением A × A → A таким, что

${\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

где индексы читаются по модулю 2, т.е. они считаются элементами Z ₂ .

Суперкольцо , или Z ₂ - градуированное кольцо , — это супералгебра над кольцом целых чисел Z.

Элементы каждого из A _i называются однородными . Четность однородного элемента x , обозначаемого | x |, равно 0 или 1 в зависимости от того, находится ли он в A ₀ или A ₁ . Элементы четности 0 называются четными , а элементы четности 1 - нечетными . Если x и y оба однородны, то и произведение xy и . ${\displaystyle |xy|=|x|+|y|}$

Ассоциативная супералгебра — это та, умножение которой ассоциативно , а унитальная супералгебра — это супералгебра с мультипликативным единичным элементом . Единичный элемент в единичной супералгебре обязательно четен. Если не указано иное, все супералгебры в этой статье считаются ассоциативными и унитальными.

Коммутативная супералгебра (или суперкоммутативная алгебра) — это та, которая удовлетворяет градуированной версии коммутативности . В частности, A коммутативен, если

${\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy\,}$

для всех однородных элементов x и y из A . Существуют супералгебры, которые коммутативны в обычном смысле, но не в смысле супералгебры. По этой причине коммутативные супералгебры во избежание путаницы часто называют суперкоммутативными . ^[2]

Соглашения о подписании

Когда Z2 _- градуация возникает как «свертывание» Z- или N - градуированной алгебры на четные и нечетные компоненты, тогда в литературе можно найти два различных (но по существу эквивалентных) соглашения о знаках. ^[3] Их можно назвать «соглашением о когомологических знаках» и «соглашением о суперзнаках». Они отличаются тем, как ведет себя антипод (обмен двух элементов). В первом случае имеется карта обмена

${\displaystyle xy\mapsto (-1)^{mn+pq}yx}$

где - степень ( Z- или N -градация) и четность. Аналогично, это степень и с четностью. Это соглашение обычно встречается в традиционных математических системах, таких как дифференциальная геометрия и дифференциальная топология. Другая конвенция состоит в том, чтобы принять ${\displaystyle m=\deg x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n=\deg y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle q.}$

${\displaystyle xy\mapsto (-1)^{pq}yx}$

с паритетами, заданными как и паритет. Это чаще встречается в текстах по физике и требует разумного использования функтора четности для отслеживания изоморфизмов. Подробные аргументы предоставлены Пьером Делинем ^[3]. ${\displaystyle p=m\!\!\!\!\mod 2}$ ${\displaystyle q=n\!\!\!\!\mod 2}$

Примеры

• Любую алгебру над коммутативным кольцом K можно рассматривать как чисто четную супералгебру над K ; то есть, считая A ₁ тривиальным.
• Любую Z- или N - градуированную алгебру можно рассматривать как супералгебру, читая градуировку по модулю 2. Сюда входят такие примеры, как тензорные алгебры и кольца полиномов над K .
• В частности, любая внешняя алгебра над K является супералгеброй. Внешняя алгебра является стандартным примером суперкоммутативной алгебры .
• Симметричные многочлены и знакопеременные многочлены вместе образуют супералгебру, являясь четной и нечетной частями соответственно. Обратите внимание, что это другая оценка, чем оценка по степени.
• Алгебры Клиффорда являются супералгебрами. Они, как правило, некоммутативны.
• Набор всех эндоморфизмов (обозначенных , где жирным шрифтом обозначено внутреннее , состоящее из всех линейных отображений) супервекторного пространства образует супералгебру при композиции. ${\displaystyle \mathbf {End} (V)\equiv \mathbf {Hom} (V,V)}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$
• Множество всех квадратных суперматриц с элементами из K образует супералгебру, обозначаемую M _{p | q} ( К ). Эту алгебру можно отождествить с алгеброй эндоморфизмов свободного супермодуля над K ранга p | q и является внутренним Hom для этого пространства.
• Супералгебры Ли — градуированный аналог алгебр Ли . Супералгебры Ли неединичны и неассоциативны; однако можно построить аналог универсальной обертывающей алгебры супералгебры Ли, которая является унитарной ассоциативной супералгеброй.

Дальнейшие определения и конструкции

Даже подалгебра

Пусть A — супералгебра над коммутативным кольцом K. Подмодуль А0 , состоящий из _всех четных элементов, замкнут относительно умножения и содержит единицу А и поэтому образует подалгебру А , естественно называемую четной подалгеброй . Она образует обычную алгебру над K.

Множество всех нечетных элементов A ₁ представляет собой A ₀ -бимодуль , скалярное умножение которого есть просто умножение в A . Произведение в А придает А ₁ билинейную форму.

${\displaystyle \mu :A_{1}\otimes _{A_{0}}A_{1}\to A_{0}}$

такой, что

${\displaystyle \mu (x\otimes y)\cdot z=x\cdot \mu (y\otimes z)}$

для всех x , y и z в A ₁ . Это следует из ассоциативности произведения в A .

Инволюция степени

На любой супералгебре существует канонический инволютивный автоморфизм , называемый градуированной инволюцией . На однородных элементах он дается формулой

${\displaystyle {\hat {x}}=(-1)^{|x|}x}$

и на произвольных элементах по

${\displaystyle {\hat {x}}=x_{0}-x_{1}}$

где x _i — однородные части x . Если A не имеет 2-кручения (в частности, если 2 обратимо), то инволюцию степени можно использовать для различения четных и нечетных частей A :

${\displaystyle A_{i}=\{x\in A:{\hat {x}}=(-1)^{i}x\}.}$

Суперкоммутативность

Суперкоммутатор на A — это бинарный оператор, заданный формулой

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx}$

на однородных элементах, распространенный на все А по линейности. Говорят, что элементы x и y из A суперкоммутируют, если [ x , y ] = 0 .

Суперцентр A — это набор всех элементов A , которые суперкоммутируют со всеми элементами A :

${\displaystyle \mathrm {Z} (A)=\{a\in A:[a,x]=0{\text{ for all }}x\in A\}.}$

Суперцентр A , как правило, отличается от центра A как неградуированной алгебры . Коммутативная супералгебра — это та, суперцентр которой целиком принадлежит A.

Супертензорное произведение

Градуированное тензорное произведение двух супералгебр A и B можно рассматривать как супералгебру A ⊗ B с правилом умножения, определяемым следующим образом:

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=(-1)^{|b_{1}||a_{2}|}(a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}).}$

Если A или B чисто четные, это эквивалентно обычному неградуированному тензорному произведению (за исключением того, что результат градуирован). Однако в целом супертензорное произведение отличается от тензорного произведения A и B , рассматриваемых как обычные неградуированные алгебры.

Обобщения и категориальное определение

Определение супералгебры можно легко обобщить, включив в него супералгебры над коммутативным суперкольцом. Определение, данное выше, является специализацией случая, когда базовое кольцо чисто четное.

Пусть R — коммутативное суперкольцо. Супералгебра над R — это R -супермодуль A с R -билинейным умножением A × A → A , сохраняющим градуировку. Билинейность здесь означает, что

${\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=(-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)}$

для всех однородных элементов r ∈ R и x , y ∈ A.

Эквивалентно, можно определить супералгебру над R как суперкольцо A вместе с гомоморфизмом суперколец R → A , образ которого лежит в суперцентре A .

Можно также дать категорическое определение супералгебры . Категория всех R -супермодулей образует моноидальную категорию относительно супертензорного произведения, где R служит единичным объектом. Тогда ассоциативная супералгебра с единицей над R может быть определена как моноид в категории R -супермодулей. То есть супералгебра — это R -супермодуль A с двумя (четными) морфизмами

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &:A\otimes A\to A\\\eta &:R\to A\end{aligned}}}$

для которого коммутируют обычные диаграммы.

Примечания

1. Кац, Мартинес и Зельманов 2001, с. 3
2. Варадараджан 2004, с. 87
3. См. обсуждение этих двух случаев Делинем.

Рекомендации

• Делинь, П .; Морган, JW (1999). «Заметки о суперсимметрии (по Джозефу Бернштейну)». Квантовые поля и струны: курс для математиков . Том. 1. Американское математическое общество. стр. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.

• Кац, В.Г .; Мартинес, К.; Зельманов, Э. (2001). Градуированные простые йордановы супералгебры роста один. Мемуары из серии АМС. Том. 711. Книжный магазин АМС. ISBN 978-0-8218-2645-4.

• Манин, Ю.И. (1997). Теория калибровочного поля и сложная геометрия ((2-е изд.) Изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-61378-1.

• Варадараджан, В.С. (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение. Курант Конспект лекций по математике. Том. 11. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3574-6.