Сноп (математика)

Инструмент для отслеживания локально определенных данных, прикрепленных к открытым наборам топологического пространства

В математике пучок ( мн. ч .: пучки ) — это инструмент для систематического отслеживания данных (таких как множества , абелевы группы , кольца ), прикрепленных к открытым множествам топологического пространства и определенных локально по отношению к ним. Например, для каждого открытого множества данные могут быть кольцом непрерывных функций, определенных на этом открытом множестве. Такие данные ведут себя хорошо, поскольку их можно ограничить меньшими открытыми множествами, а также данные, назначенные открытому множеству, эквивалентны всем наборам совместимых данных, назначенным наборам меньших открытых множеств, покрывающих исходное открытое множество (интуитивно, каждое данное является суммой составляющих его данных).

Раздел математики, изучающий пучки, называется теорией пучков .

Пучки концептуально понимаются как общие и абстрактные объекты . Их правильное определение довольно техническое. Они конкретно определяются как пучки множеств или как пучки колец , например, в зависимости от типа данных, назначенных открытым множествам.

Существуют также отображения (или морфизмы ) из одного пучка в другой; пучки (определенного типа, такие как пучки абелевых групп ) с их морфизмами на фиксированном топологическом пространстве образуют категорию . С другой стороны, с каждым непрерывным отображением связан как функтор прямого образа , переводящий пучки и их морфизмы на области в пучки и морфизмы на области значений , так и функтор обратного образа, действующий в противоположном направлении. Эти функторы и некоторые их варианты являются существенными частями теории пучков.

Благодаря своей общей природе и универсальности пучки имеют несколько приложений в топологии и особенно в алгебраической и дифференциальной геометрии . Во-первых, геометрические структуры, такие как структура дифференцируемого многообразия или схемы, могут быть выражены в терминах пучка колец на пространстве. В таких контекстах несколько геометрических конструкций, таких как векторные расслоения или делители, естественным образом определяются в терминах пучков. Во-вторых, пучки обеспечивают основу для очень общей теории когомологий , которая охватывает также «обычные» топологические теории когомологий, такие как сингулярные когомологии . Особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , когомологии пучков обеспечивают мощную связь между топологическими и геометрическими свойствами пространств. Пучки также обеспечивают основу для теории D -модулей , которые обеспечивают приложения к теории дифференциальных уравнений . Кроме того, обобщения пучков на более общие параметры, чем топологические пространства, такие как топология Гротендика , обеспечили приложения к математической логике и теории чисел .

Определения и примеры

Во многих математических разделах несколько структур, определенных на топологическом пространстве (например, дифференцируемом многообразии ), могут быть естественным образом локализованы или ограничены открытыми подмножествами : типичные примеры включают непрерывные действительные или комплексные функции, дифференцируемые в -раз (действительные или комплексные) функции, ограниченные действительные функции, векторные поля и сечения любого векторного расслоения на пространстве. Возможность ограничивать данные меньшими открытыми подмножествами приводит к концепции предпучков. Грубо говоря, пучки — это те предпучки, где локальные данные могут быть склеены с глобальными данными. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle n}$

Предварительные связки

Пусть — топологическое пространство. Предпучок множеств на состоит из следующих данных: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

• Для каждого открытого множества существует множество . Это множество также обозначается . Элементы этого множества называются секциями над . Секции над называются глобальными секциями . ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• Для каждого включения открытых множеств , функция . Ввиду многих из приведенных ниже примеров морфизмы называются морфизмами ограничения . Если , то его ограничение часто обозначается по аналогии с ограничением функций. ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{V}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{V}^{U}}$ ${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{V}^{U}(s)}$ ${\displaystyle s|_{V}}$

Ограничительные морфизмы должны удовлетворять двум дополнительным ( функториальным ) свойствам:

• Для каждого открытого множества морфизм ограничения является морфизмом тождества на . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{U}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$
• Если у нас есть три открытых множества , то составное ${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{W}^{V}\circ {\text{res}}_{V}^{U}={\text{res}}_{W}^{U}}$

Неформально вторая аксиома гласит, что не имеет значения, ограничиваемся ли мы за один шаг или сначала ограничиваемся , а затем . Краткая функториальная переформулировка этого определения приведена ниже. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Многие примеры предпучков происходят из разных классов функций: любому можно присвоить множество непрерывных вещественных функций на . Тогда отображения ограничений просто задаются ограничением непрерывной функции на меньшим открытым подмножеством , которое снова является непрерывной функцией. Две аксиомы предпучка немедленно проверяются, тем самым давая пример предпучка. Это можно расширить до предпучка голоморфных функций и предпучка гладких функций . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{0}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(-)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(-)}$

Другим распространенным классом примеров является присвоение множеству константных вещественных функций на . Этот предпучок называется константным предпучком, связанным с , и обозначается . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}^{\text{psh}}}$

Снопы

Если задан предпучок, то естественным вопросом является то, в какой степени его секции над открытым множеством определяются их ограничениями на открытые подмножества . Пучок — это предпучок, секции которого, в техническом смысле, однозначно определяются их ограничениями. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Аксиоматически пучок — это предпучок, который удовлетворяет обеим следующим аксиомам:

1. ( Локальность ) Предположим, что — открытое множество, — открытое покрытие с для всех , и — сечения. Если для всех , то . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle s,t\in {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle s=t}$
2. ( Склеивание ) Предположим, что есть открытое множество, есть открытое покрытие с для всех , и есть семейство секций. Если все пары секций согласны с перекрытием их доменов, то есть, если для всех , то существует секция такая, что для всех . ^[1] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \{s_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}=s_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

В обеих этих аксиомах гипотеза об открытом покрытии эквивалентна предположению, что . ${\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}=U}$

Раздел , существование которого гарантируется аксиомой 2, называется склеиванием , конкатенацией или объединением разделов . По аксиоме 1 он уникален. Разделы и , удовлетворяющие предварительному условию соглашения аксиомы 2, часто называются совместимыми  ; таким образом, аксиомы 1 и 2 вместе утверждают, что любой набор попарно совместимых разделов может быть уникально склеен . Отделенный предпучок , или монопредпучок , — это предпучок, удовлетворяющий аксиоме 1. ^[2] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{j}}$

Предпучок, состоящий из упомянутых выше непрерывных функций, является пучком. Это утверждение сводится к проверке того, что для заданных непрерывных функций , которые совпадают на пересечениях , существует единственная непрерывная функция , ограничение которой равно . Напротив, постоянный предпучок обычно не является пучком, поскольку он не удовлетворяет аксиоме локальности на пустом множестве (это более подробно объясняется в постоянный пучок ). ${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{i}}$

Предснопы и снопы обычно обозначаются заглавными буквами, что особенно распространено, предположительно, для французского слова, обозначающего сноп, faisceau . Также распространено использование каллиграфических букв, таких как . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Можно показать, что для задания пучка достаточно указать его ограничение на открытые множества базиса для топологии основного пространства. Более того, можно показать, что достаточно проверить аксиомы пучка выше относительно открытых множеств покрытия. Это наблюдение используется для построения другого примера, который имеет решающее значение в алгебраической геометрии, а именно квазикогерентных пучков . Здесь рассматриваемое топологическое пространство является спектром коммутативного кольца ${\displaystyle R}$ , точками которого являются простые идеалы в . Открытые множества образуют базис для топологии Зарисского на этом пространстве. Для данного -модуля существует пучок, обозначаемый на , который удовлетворяет ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{f}:=\{{\mathfrak {p}}\subseteq R,f\notin {\mathfrak {p}}\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$

${\displaystyle {\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],}$локализация в .​​ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$

Существует еще одна характеристика пучков, которая эквивалентна ранее обсуждавшейся. Предпучок является пучком тогда и только тогда, когда для любого открытого и любого открытого покрытия , является произведением слоев . Эта характеристика полезна при построении пучков, например, если являются абелевыми пучками , то ядро ​​морфизма пучков является пучком, поскольку проективные пределы коммутируют с проективными пределами. С другой стороны, коядро не всегда является пучком, поскольку индуктивный предел не обязательно коммутирует с проективными пределами. Один из способов исправить это — рассмотреть нётеровы топологические пространства; все открытые множества компактны, так что коядро является пучком, поскольку конечные проективные пределы коммутируют с индуктивными пределами. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{a}\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\cong {\mathcal {F}}(U_{a})\times _{{\mathcal {F}}(U_{a}\cap U_{b})}{\mathcal {F}}(U_{b})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$

Дополнительные примеры

Связка сечений непрерывной карты

Любое непрерывное отображение топологических пространств определяет пучок на , устанавливая ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle \Gamma (Y/X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma (Y/X)(U)=\{s:U\to Y,f\circ s=\operatorname {id} _{U}\}.}$

Любое такое обычно называется секцией , и этот пример является причиной того, почему элементы в обычно называются секциями. Эта конструкция особенно важна, когда является проекцией расслоения на его базовое пространство. Например, пучки гладких функций являются пучками секций тривиального расслоения . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle f}$

Другой пример: связка секций

${\displaystyle \mathbb {C} {\stackrel {\exp }{\longrightarrow }}\mathbb {C} \setminus \{0\}}$

— это пучок, который сопоставляет любому множество ветвей комплексного логарифма на . ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle U}$

Для данной точки и абелевой группы небоскребный пучок определяется следующим образом: если — открытое множество, содержащее , то . Если не содержит , то , тривиальная группа . Отображения ограничений являются либо тождественными на , если оба открытых множества содержат , либо нулевым отображением в противном случае. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{x}(U)=S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{x}(U)=0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Шкивы на коллекторах

На -мерном -многообразии существует ряд важных пучков, таких как пучок -раз непрерывно дифференцируемых функций (с ). Его сечения на некоторых открытых являются -функциями . Для этот пучок называется структурным пучком и обозначается . Ненулевые функции также образуют пучок, обозначаемый . Дифференциальные формы (степени ) также образуют пучок . Во всех этих примерах морфизмы ограничений задаются ограничивающими функциями или формами. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}^{j}}$ ${\displaystyle j\leq k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{j}}$ ${\displaystyle U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle j=k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega _{M}^{p}}$

Назначение, отправляемое компактно поддерживаемым функциям на , не является пучком, поскольку, в общем случае, нет способа сохранить это свойство, перейдя к меньшему открытому подмножеству. Вместо этого, это формирует ко-пучок , двойственную концепцию, где отображения ограничений идут в противоположном направлении, чем с пучками. ^[3] Однако, взятие двойственного из этих векторных пространств действительно дает пучок, пучок распределений . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Предпучки, которые не являются пучками

В дополнение к постоянному предпучку, упомянутому выше, который обычно не является пучком, существуют и другие примеры предпучков, которые не являются пучками:

• Пусть будет двухточечным топологическим пространством с дискретной топологией. Определим предпучок следующим образом: Отображение ограничения является проекцией на его первую координату, а отображение ограничения является проекцией на его вторую координату. — предпучок, который не разделен: глобальный раздел определяется тремя числами, но значения этого раздела над и определяют только два из этих чисел. Таким образом, хотя мы можем склеить любые два раздела над и , мы не можем склеить их уникальным образом. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F(\varnothing )=\{\varnothing \},\ F(\{x\})=\mathbb {R} ,\ F(\{y\})=\mathbb {R} ,\ F(\{x,y\})=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle F(\{x,y\})\to F(\{x\})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(\{x,y\})\to F(\{y\})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{y\}}$
• Пусть будет вещественной прямой , и пусть будет множеством ограниченных непрерывных функций на . Это не пучок, потому что не всегда возможно склеить. Например, пусть будет множеством всех таких, что . Тождественная функция ограничена на каждом . Следовательно, мы получаем сечение на . Однако эти сечения не склеиваются, потому что функция не ограничена на вещественной прямой. Следовательно, является предпучком, но не пучком. Фактически, является отделенным, потому что является подпредпучком пучка непрерывных функций. ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|<i}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Мотивирующие пучки из комплексных аналитических пространств и алгебраической геометрии

Одной из исторических мотиваций для пучков было изучение комплексных многообразий , ^[4] комплексной аналитической геометрии , ^[5] и теории схем из алгебраической геометрии . Это связано с тем, что во всех предыдущих случаях мы рассматриваем топологическое пространство вместе со структурным пучком, придавая ему структуру комплексного многообразия, комплексного аналитического пространства или схемы. Эта перспектива оснащения топологического пространства пучком имеет существенное значение для теории локально окольцованных пространств (см. ниже). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Технические проблемы со сложными коллекторами

Одной из главных исторических мотиваций для введения пучков было построение устройства, которое отслеживает голоморфные функции на комплексных многообразиях . Например, на компактном комплексном многообразии (вроде комплексного проективного пространства или исчезающего множества в проективном пространстве однородного многочлена ), единственные голоморфные функции ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

являются постоянными функциями. ^{[6] [7]} Это означает, что существуют два компактных комплексных многообразия , которые не являются изоморфными, но тем не менее их кольца глобальных голоморфных функций, обозначаемые , являются изоморфными. Сравните это с гладкими многообразиями , где каждое многообразие может быть вложено в некоторое , следовательно, его кольцо гладких функций получается путем ограничения гладких функций из . ${\displaystyle X,X'}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X),{\mathcal {H}}(X')}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

Другая сложность при рассмотрении кольца голоморфных функций на комплексном многообразии заключается в том, что задано достаточно малое открытое множество , голоморфные функции будут изоморфны . Пучки являются прямым инструментом для работы с этой сложностью, поскольку они позволяют отслеживать голоморфную структуру на базовом топологическом пространстве на произвольных открытых подмножествах . Это означает, что по мере того, как становится более сложным топологически, кольцо может быть выражено путем склеивания . Обратите внимание, что иногда этот пучок обозначается или просто , или даже когда мы хотим подчеркнуть пространство, с которым связан структурный пучок. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)\cong {\mathcal {H}}(\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U_{i})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Отслеживание подмногообразий с помощью пучков

Другой распространенный пример пучков может быть построен путем рассмотрения комплексного подмногообразия . Существует ассоциированный пучок , который берет открытое подмножество и дает кольцо голоморфных функций на . Этот вид формализма оказался чрезвычайно мощным и мотивирует множество гомологической алгебры, такой как когомологии пучков , поскольку теория пересечений может быть построена с использованием этих видов пучков из формулы пересечений Серра. ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle U\cap Y}$

Операции со шкивами

Морфизмы

Морфизмы пучков, грубо говоря, аналогичны функциям между ними. В отличие от функции между множествами, которая является просто назначением выходов входам, морфизмы пучков также должны быть совместимы с локально-глобальными структурами базовых пучков. Эта идея уточняется в следующем определении.

Пусть и — два пучка множеств (соответственно абелевых групп, колец и т. д.) на . Морфизм состоит из морфизма множеств (соответственно абелевых групп, колец и т. д.) для каждого открытого множества из , при условии, что этот морфизм совместим с ограничениями. Другими словами, для каждого открытого подмножества открытого множества следующая диаграмма коммутативна . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \varphi _{U}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {F}}(U)&\xrightarrow {\quad \varphi _{U}\quad } &{\mathcal {G}}(U)\\r_{V}^{U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }{r'}_{V}^{U}\\{\mathcal {F}}(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&{\mathcal {G}}(V)\end{array}}}$

Например, взятие производной дает морфизм пучков на . Действительно, если задана ( непрерывно дифференцируемая раз) функция (с открытым множеством ), ограничение (на меньшее открытое подмножество ) ее производной равно производной . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n-1}.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f|_{V}}$

С этим понятием морфизма пучки множеств (соответственно абелевых групп, колец и т. д.) на фиксированном топологическом пространстве образуют категорию . Поэтому общие категориальные понятия моно- , эпи- и изоморфизмов могут быть применены к пучкам. ${\displaystyle X}$

Морфизм пучков на является изоморфизмом (соответственно мономорфизмом) тогда и только тогда, когда существует открытое покрытие такое , что являются изоморфизмами (соответственно инъективными морфизмами) множеств (соответственно абелевых групп, колец и т. д.) для всех . Эти утверждения дают примеры того, как работать с пучками, используя локальную информацию, но важно отметить, что мы не можем проверить, является ли морфизм пучков эпиморфизмом, тем же способом. Действительно, утверждение о том, что отображения на уровне открытых множеств не всегда сюръективны для эпиморфизмов пучков, эквивалентно неточности функтора глобальных сечений — или, что эквивалентно, нетривиальности когомологий пучков . ${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi |_{U_{\alpha }}\colon {\mathcal {F}}(U_{\alpha })\rightarrow {\mathcal {G}}(U_{\alpha })}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {G}}(U)}$

Стебли снопа

Стебель пучка фиксирует свойства пучка «вокруг» точки , обобщая ростки функций . Здесь «вокруг» означает, что, концептуально говоря, мы рассматриваем все меньшие и меньшие окрестности точки. Конечно, ни одна отдельная окрестность не будет достаточно малой, что требует рассмотрения предела некоторого рода. Точнее, стебель определяется как ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U),}$

прямой предел распространяется на все открытые подмножества , содержащие заданную точку . Другими словами, элемент стебля задается сечением над некоторой открытой окрестностью , и два таких сечения считаются эквивалентными, если их ограничения совпадают на меньшей окрестности. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Естественный морфизм переводит сечение в его зародыш в точке . Это обобщает обычное определение зародыша . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle s_{x}}$ ${\displaystyle x}$

Во многих ситуациях знания стеблей пучка достаточно, чтобы контролировать сам пучок. Например, на стеблях можно проверить, является ли морфизм пучков мономорфизмом, эпиморфизмом или изоморфизмом. В этом смысле пучок определяется своими стеблями, которые являются локальными данными. Напротив, глобальная информация , присутствующая в пучке, т. е. глобальные сечения , т. е. сечения на всем пространстве , обычно несут меньше информации. Например, для компактного комплексного многообразия глобальные сечения пучка голоморфных функций равны просто , поскольку любая голоморфная функция ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle X\to \mathbb {C} }$

является постоянной по теореме Лиувилля . ^[6]

Превращение предпучка в пучок

Часто бывает полезно взять данные, содержащиеся в предпучке, и выразить их в виде пучка. Оказывается, что есть наилучший возможный способ сделать это. Он берет предпучок и создает новый пучок, называемый свипированием или пучком, связанным с предпучком . Например, свипирование постоянного предпучка (см. выше) называется постоянным пучком . Несмотря на свое название, его секции являются локально постоянными функциями. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Пучок может быть построен с использованием этального пространства , а именно как пучок сечений отображения ${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle E\to X.}$

Другая конструкция пучка осуществляется посредством функтора от предпучков к предпучкам, который постепенно улучшает свойства предпучка: для любого предпучка , является отделенным предпучком, а для любого отделенного предпучка , является пучком. Соответствующий пучок задается как . ^[8] ${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle L{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle L{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle LL{\mathcal {F}}}$

Идея о том, что пучок является наилучшим возможным приближением к пучку, уточняется с помощью следующего универсального свойства : существует естественный морфизм предпучков , такой что для любого пучка и любого морфизма предпучков существует единственный морфизм пучков, такой что . Фактически, является левым сопряженным функтором к функтору включения (или забывчивому функтору ) из категории пучков в категорию предпучков, и является единицей присоединения. Таким образом, категория пучков превращается в подкатегорию Жиро предпучков. Эта категориальная ситуация является причиной того, что функтор сшивания появляется при построении коядер морфизмов пучков или тензорных произведений пучков, но не для ядер, скажем. ${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle i\colon {\mathcal {F}}\to a{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f\colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon a{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f={\tilde {f}}i}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle i}$

Подпучки, факторпучки

Если — подпучок пучка абелевых групп, то фактор-пучок — это пучок, ассоциированный с предпучком ; другими словами, фактор-пучок вписывается в точную последовательность пучков абелевых групп; ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U\mapsto F(U)/K(U)}$

${\displaystyle 0\to K\to F\to Q\to 0.}$

(это также называется расширением пучка .)

Пусть — пучки абелевых групп. Множество морфизмов пучков из в образует абелеву группу (по структуре абелевой группы ). Пучок hom из и , обозначаемый как, ${\displaystyle F,G}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (F,G)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {Hom}}(F,G)}$

— это пучок абелевых групп, где — это пучок на , заданный как (обратите внимание, что свёртывание здесь не требуется). Прямая сумма и — это пучок, заданный как , а тензорное произведение и — это пучок, связанный с предпучком . ${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} (F|_{U},G|_{U})}$ ${\displaystyle F|_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (F|_{U})(V)=F(V)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\mapsto F(U)\oplus G(U)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes G(U)}$

Все эти операции распространяются на пучки модулей над пучком колец ; вышеприведенный случай является частным случаем, когда — постоянный пучок . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Базовая функториальность

Поскольку данные (пред-)пучка зависят от открытых подмножеств базового пространства, пучки на разных топологических пространствах не связаны друг с другом в том смысле, что между ними нет морфизмов. Однако, если задано непрерывное отображение между двумя топологическими пространствами, pushforward и pullback связывают пучки на с пучками на и наоборот. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Прямое изображение

Прямой проталкивающий образ (также известный как прямой образ ) пучка на — это пучок, определяемый формулой ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(f^{-1}(V)).}$

Вот открытое подмножество , так что его прообраз открыт в в силу непрерывности . Эта конструкция восстанавливает упомянутый выше небоскребный пучок : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle S_{x}=i_{*}(S)}$

где — включение, и рассматривается как пучок на синглтоне с помощью . ${\displaystyle i:\{x\}\to X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S(\{*\})=S,S(\emptyset )=\emptyset }$

Для отображения между локально компактными пространствами прямой образ с компактным носителем является подпучком прямого образа. ^[9] По определению, состоит из тех, носитель которых отображается правильно . Если является правильным сам по себе, то , но в общем случае они не согласны. ${\displaystyle (f_{!}{\mathcal {F}})(V)}$ ${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{!}{\mathcal {F}}=f_{*}{\mathcal {F}}}$

Обратное изображение

Обратный образ или обратный образ идет другим путем: он производит пучок на , обозначенный из пучка на . Если — включение открытого подмножества, то обратный образ — это просто ограничение, т. е. он задается как для открытого в . Пучок (на некотором пространстве ) называется локально постоянным , если при некоторых открытых подмножествах таких, что ограничение на все эти открытые подмножества постоянно. На широком диапазоне топологических пространств такие пучки эквивалентны представлениям фундаментальной группы . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Для общих отображений определение более сложное; оно подробно описано в функторе обратного образа . Стебель является существенным частным случаем отката ввиду естественной идентификации, где есть как указано выше: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}=i^{-1}{\mathcal {G}}(\{x\}).}$

В более общем смысле, стебли удовлетворяют . ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}}$

Расширение на ноль

Для включения открытого подмножества расширение пучка абелевых групп на ноль (произносится как «j нижний визг F») представляет собой пучкообразование предпучка, определяемое формулой ${\displaystyle j:U\to X}$ ${\displaystyle j_{!}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle V\mapsto {\mathcal {F}}(V)}$если и в противном случае. ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle V\mapsto 0}$

Для пучка на эта конструкция в некотором смысле является дополнительной к , где есть включение дополнения к : ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}}$ ${\displaystyle i:X\setminus U\to X}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}}$для в , а стебель равен нулю в противном случае, в то время как ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0}$для в , и равно в противном случае. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}}$

В более общем случае, если — локально замкнутое подмножество, то существует открытое из , содержащее такое, что замкнуто в . Пусть и — естественные включения. Тогда расширение нулем пучка на определяется соотношением . ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:A\to U}$ ${\displaystyle j:U\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle j_{!}f_{*}F}$

Благодаря своему хорошему поведению на стеблях расширение нулевым функтором полезно для сведения вопросов теории пучков к вопросам на стратах стратификации , т. е. разложения на меньшие локально замкнутые подмножества. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Дополняет

Связки в более общих категориях

В дополнение к (пред-)пучкам, представленным выше, где — просто набор, во многих случаях важно отслеживать дополнительную структуру на этих секциях. Например, секции пучка непрерывных функций естественным образом образуют действительное векторное пространство , а ограничение — это линейное отображение между этими векторными пространствами. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

Предпучки со значениями в произвольной категории определяются, если сначала рассмотреть категорию открытых множеств на как позетальную категорию , объектами которой являются открытые множества и морфизмами которой являются включения. Тогда -значный предпучок на совпадает с контравариантным функтором из в . Морфизмы в этой категории функторов, также известные как естественные преобразования , совпадают с морфизмами, определенными выше, как можно увидеть, распутав определения. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O(X)}$ ${\displaystyle C}$

Если целевая категория допускает все пределы , то -значный предпучок является пучком, если следующая диаграмма является уравнителем для каждого открытого покрытия любого открытого множества : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle F(U)\rightarrow \prod _{i}F(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Здесь первая карта является произведением карт ограничений

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i},U}\colon F(U)\rightarrow F(U_{i})}$

а пара стрелок — продукты двух наборов ограничений

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}\colon F(U_{i})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j})}$

и

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}\colon F(U_{j})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Если — абелева категория , это условие можно также перефразировать, потребовав, чтобы существовала точная последовательность ${\displaystyle C}$

${\displaystyle 0\to F(U)\to \prod _{i}F(U_{i})\xrightarrow {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}-\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}} \prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Частный случай этого условия пучка возникает для пустого множества, а также для пустого множества индексов . В этом случае условие пучка требует , чтобы был конечный объект в . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\emptyset )}$ ${\displaystyle C}$

Окольцованные пространства и пучки модулей

В нескольких геометрических дисциплинах, включая алгебраическую геометрию и дифференциальную геометрию , пространства сопровождаются естественным пучком колец, часто называемым структурным пучком и обозначаемым . Такая пара называется окольцованным пространством . Многие типы пространств можно определить как определенные типы окольцованных пространств. Обычно все стебли структурного пучка являются локальными кольцами , и в этом случае пара называется локально окольцованным пространством . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Например, -мерное многообразие является локально окольцованным пространством, структурный пучок которого состоит из -функций на открытых подмножествах . Свойство быть локально окольцованным пространством означает, что такая функция, которая отлична от нуля в точке , также отлична от нуля на достаточно малой открытой окрестности . Некоторые авторы фактически определяют действительные (или комплексные) многообразия как локально окольцованные пространства, которые локально изоморфны паре, состоящей из открытого подмножества (соответственно ) вместе с пучком (соответственно голоморфных) функций. ^[10] Аналогично, схемы , основополагающее понятие пространств в алгебраической геометрии, являются локально окольцованными пространствами, которые локально изоморфны спектру кольца . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Для данного окольцованного пространства пучок модулей — это пучок такой, что на каждом открытом множестве из есть -модуль и для каждого включения открытых множеств отображение ограничений совместимо с отображением ограничений : ограничение fs — это ограничение, умноженное на ограничение для любого из и из . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)\to {\mathcal {O}}(V)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$

Наиболее важными геометрическими объектами являются пучки модулей. Например, существует взаимно-однозначное соответствие между векторными расслоениями и локально свободными пучками -модулей . Эта парадигма применима к вещественным векторным расслоениям, комплексным векторным расслоениям или векторным расслоениям в алгебраической геометрии (где состоит из гладких функций, голоморфных функций или регулярных функций соответственно). Пучки решений дифференциальных уравнений являются -модулями , то есть модулями над пучком дифференциальных операторов . На любом топологическом пространстве модули над постоянным пучком совпадают с пучками абелевых групп в указанном выше смысле. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Существует другой функтор обратного образа для пучков модулей над пучками колец. Этот функтор обычно обозначается и он отличен от . См. функтор обратного образа . ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

Условия конечности для пучков модулей

Условия конечности для модуля над коммутативными кольцами порождают аналогичные условия конечности для пучков модулей: называется конечно порожденным (соответственно конечно представленным ), если для каждой точки из существует открытая окрестность , натуральное число (возможно, зависящее от ) и сюръективный морфизм пучков (соответственно, дополнительно натуральное число и точная последовательность .) Параллельно понятию когерентного модуля , называется когерентным пучком , если он имеет конечный тип и если для каждого открытого множества и каждого морфизма пучков (не обязательно сюръективного) ядро ​​имеет конечный тип. является когерентным , если он когерентен как модуль над собой. Как и для модулей, когерентность в общем случае является строго более сильным условием, чем конечное представление. Теорема когерентности Ока утверждает, что пучок голоморфных функций на комплексном многообразии когерентен. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}\to 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}\to {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Это пространство пучка

В приведенных выше примерах было отмечено, что некоторые пучки естественным образом возникают как пучки сечений. Фактически, все пучки множеств можно представить как пучки сечений топологического пространства, называемого étalé space , от французского слова étalé [etale] , что примерно означает «распространённый». Если — пучок над , то étalé space (иногда называемое étale space ) из является топологическим пространством вместе с локальным гомеоморфизмом таким, что пучок сечений из является . Пространство обычно очень странное, и даже если пучок возникает из естественной топологической ситуации, может не иметь какой-либо ясной топологической интерпретации. Например, если — пучок сечений непрерывной функции , то тогда и только тогда, когда — локальный гомеоморфизм . ${\displaystyle F\in {\text{Sh}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \Gamma (\pi ,-)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle E=Y}$ ${\displaystyle f}$

Этальное пространство строится из стеблей над . Как набор, это их несвязное объединение и является очевидным отображением, которое принимает значение на стебле над . Топология определяется следующим образом. Для каждого элемента и каждого мы получаем росток в , обозначаемый или . Эти ростки определяют точки . Для любого и объединение этих точек (для всех ) объявляется открытым в . Обратите внимание, что каждый стебель имеет дискретную топологию как топологию подпространства. Два морфизма между пучками определяют непрерывное отображение соответствующих этальных пространств, которое совместимо с проекционными отображениями (в том смысле, что каждый росток отображается в росток над той же точкой). Это превращает конструкцию в функтор. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [s]_{x}}$ ${\displaystyle s_{x}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle E}$

Конструкция выше определяет эквивалентность категорий между категорией пучков множеств на и категорией этальных пространств над . Конструкция этального пространства может быть применена также к предпучку, в этом случае пучок сечений этального пространства восстанавливает пучок, связанный с данным предпучком. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Эта конструкция превращает все пучки в представимые функторы на определенных категориях топологических пространств. Как и выше, пусть будет пучком на , пусть будет его этальным пространством, и пусть будет естественной проекцией. Рассмотрим надкатегорию топологических пространств над , то есть категорию топологических пространств вместе с фиксированными непрерывными отображениями в . Каждый объект этой категории является непрерывным отображением , а морфизм из в является непрерывным отображением , которое коммутирует с двумя отображениями в . Существует функтор ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle {\text{Top}}/X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle Z\to X}$ ${\displaystyle Y\to Z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma :{\text{Top}}/X\to {\text{Sets}}}$

отправка объекта в . Например, если это включение открытого подмножества, то ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle f^{-1}F(Y)}$ ${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(U)=F(U)=\Gamma (F,U)}$

и для включения точки , то ${\displaystyle i:\{x\}\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(\{x\})=F|_{x}}$

является стеблем в . Существует естественный изоморфизм ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle (f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )}$,

что показывает, что (для этального пространства) представляет собой функтор . ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle E}$строится так, что отображение проекции является отображением покрытия. В алгебраической геометрии естественный аналог отображения покрытия называется étale morphism . Несмотря на сходство с "étalé", слово étale [etal] имеет другое значение во французском языке. Можно превратить в схему и в морфизм схем таким образом, что сохранится то же самое универсальное свойство, но в общем случае это не будет étale morphism, поскольку оно не является квазиконечным. Однако формально это étale . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Определение пучков этальными пространствами старше определения, данного ранее в статье. Оно все еще распространено в некоторых областях математики, таких как математический анализ .

Когомологии пучков

В контекстах, где открытое множество фиксировано, а пучок рассматривается как переменная, множество также часто обозначается ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle \Gamma (U,F).}$

Как было отмечено выше, этот функтор не сохраняет эпиморфизмы. Вместо этого эпиморфизм пучков — это отображение со следующим свойством: для любого сечения существует покрытие , где ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$

${\displaystyle U=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$

открытых подмножеств, таких, что ограничение находится в образе . Однако само не обязательно должно быть в образе . Конкретным примером этого явления является экспоненциальное отображение ${\displaystyle g|_{U_{i}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{i})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}{\stackrel {\exp }{\to }}{\mathcal {O}}^{\times }}$

между пучком голоморфных функций и ненулевыми голоморфными функциями. Это отображение является эпиморфизмом, что равносильно утверждению, что любая ненулевая голоморфная функция (на некотором открытом подмножестве в , скажем), допускает комплексный логарифм локально , ​​т. е. после ограничения соответствующими открытыми подмножествами. Однако не обязательно иметь логарифм глобально. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

Когомологии пучков улавливают это явление. Точнее, для точной последовательности пучков абелевых групп

${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}_{1}\to {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}\to 0,}$

(т.е. эпиморфизм, ядром которого является ), существует длинная точная последовательность С помощью этой последовательности первая группа когомологий является мерой несюръективности отображения между сечениями и . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ $${\displaystyle 0\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{1})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{2})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{2})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{2}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to \dots }$$ ${\displaystyle H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{3}}$

Существует несколько различных способов построения когомологий пучков. Гротендик (1957) ввел их, определив когомологии пучков как производный функтор . Этот метод теоретически удовлетворительный, но, будучи основанным на инъективных резолюциях , малопригоден для конкретных вычислений. Резолюции Годемана являются еще одним общим, но практически недоступным подходом. ${\displaystyle \Gamma }$

Вычисление когомологий пучков

Особенно в контексте пучков на многообразиях, когомологии пучков часто можно вычислить с помощью резолюций мягкими пучками , тонкими пучками и вялыми пучками (также известными как flasque-пучки от французского flasque, что означает вялый). Например, аргумент разбиения единицы показывает, что пучок гладких функций на многообразии является мягким. Высшие группы когомологий для исчезают для мягких пучков, что дает способ вычисления когомологий других пучков. Например, комплекс де Рама является резолюцией постоянного пучка на любом гладком многообразии, поэтому когомологии пучка равны его когомологиям де Рама . ${\displaystyle H^{i}(U,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$

Другой подход — когомологии Чеха . Когомологии Чеха были первой теорией когомологий, разработанной для пучков, и они хорошо подходят для конкретных вычислений, таких как вычисление когерентных когомологий пучков комплексного проективного пространства . ^[11] Они связывают разделы об открытых подмножествах пространства с классами когомологий на пространстве. В большинстве случаев когомологии Чеха вычисляют те же группы когомологий, что и производные когомологии функторов. Однако для некоторых патологических пространств когомологии Чеха дадут правильные, но неправильные высшие группы когомологий. Чтобы обойти это, Жан-Луи Вердье разработал гиперпокрытия . Гиперпокрытия не только дают правильные высшие группы когомологий, но и позволяют заменять упомянутые выше открытые подмножества определенными морфизмами из другого пространства. Эта гибкость необходима в некоторых приложениях, таких как построение смешанных структур Ходжа Пьера Делиня . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle H^{1}}$

Многие другие когерентные группы когомологий пучков находятся с использованием вложения пространства в пространство с известными когомологиями, например , или некоторое взвешенное проективное пространство . Таким образом, известные группы когомологий пучков на этих окружающих пространствах могут быть связаны с пучками , давая . Например, вычисление когерентных когомологий пучков проективных плоских кривых легко находится. Одной большой теоремой в этом пространстве является разложение Ходжа, найденное с использованием спектральной последовательности, связанной с группами когомологий пучков , доказанное Делинем. ^{[12] [13]} По сути, -страница с терминами ${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle H^{i}(Y,i_{*}{\mathcal {F}})\cong H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p}(X,\Omega _{X}^{q})}$

когомологии пучка гладкого проективного многообразия вырождаются, что означает . Это дает каноническую структуру Ходжа на группах когомологий . Позднее было обнаружено, что эти группы когомологий могут быть легко явно вычислены с использованием вычетов Гриффитса . См. идеал Якобиана . Такого рода теоремы приводят к одной из самых глубоких теорем о когомологиях алгебраических многообразий, теореме о разложении , прокладывающей путь для смешанных модулей Ходжа . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$ ${\displaystyle H^{k}(X,\mathbb {C} )}$

Другим чистым подходом к вычислению некоторых групп когомологий является теорема Бореля–Ботта–Вейля , которая отождествляет группы когомологий некоторых линейных расслоений на флаговых многообразиях с неприводимыми представлениями групп Ли . Эту теорему можно использовать, например, для простого вычисления групп когомологий всех линейных расслоений на проективном пространстве и многообразиях Грассмана .

Во многих случаях существует теория двойственности для пучков, обобщающая двойственность Пуанкаре . См. двойственность Гротендика и двойственность Вердье .

Производные категории пучков

Производная категория категории пучков, скажем, абелевых групп на некотором пространстве X , обозначаемая здесь как , является концептуальным убежищем для когомологий пучков в силу следующего соотношения: ${\displaystyle D(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} ,{\mathcal {F}}[n]).}$

Сопряжение между , которое является левым сопряженным к (уже на уровне пучков абелевых групп), приводит к сопряжению ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle f^{-1}:D(Y)\rightleftarrows D(X):Rf_{*}}$(для ), ${\displaystyle f:X\to Y}$

где — производный функтор. Этот последний функтор охватывает понятие когомологий пучка, поскольку для . ${\displaystyle Rf_{*}}$ ${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=R^{n}f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

Подобно , прямой образ с компактным носителем также может быть получен. В силу следующего изоморфизма параметризует когомологии с компактным носителем слоев : ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (R^{i}f_{!}{\mathcal {F}})_{y}=H_{c}^{i}(f^{-1}(y),{\mathcal {F}}).}$^[14]

Этот изоморфизм является примером теоремы об изменении базы . Существует еще одно дополнение

${\displaystyle Rf_{!}:D(X)\rightleftarrows D(Y):f^{!}.}$

В отличие от всех рассмотренных выше функторов, скрученный (или исключительный) обратный образ функтора в общем случае определяется только на уровне производных категорий , т. е. функтор не получается как производный функтор некоторого функтора между абелевыми категориями. Если и X — гладкое ориентируемое многообразие размерности n , то ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

${\displaystyle f^{!}{\underline {\mathbf {R} }}\cong {\underline {\mathbf {R} }}[n].}$^[15]

Это вычисление и совместимость функторов с двойственностью (см. Двойственность Вердье ) можно использовать для получения высоколобого объяснения двойственности Пуанкаре . В контексте квазикогерентных пучков на схемах существует похожая двойственность, известная как когерентная двойственность .

Извращенные пучки — это определенные объекты в , т. е. комплексы пучков (но не в общих пучках как таковых). Они являются важным инструментом для изучения геометрии особенностей . ^[16] ${\displaystyle D(X)}$

Производные категории когерентных пучков и группа Гротендика

Другое важное применение производных категорий пучков связано с производной категорией когерентных пучков на схеме, обозначенной . Это использовалось Гротендиком в его развитии теории пересечений ^[17] с использованием производных категорий и K-теории , что произведение пересечений подсхем представлено в K-теории как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{Coh}(X)}$ ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]\cdot [Y_{2}]=[{\mathcal {O}}_{Y_{1}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{Y_{2}}]\in K({\text{Coh(X)}})}$

где — когерентные пучки, определяемые -модулями, заданными их структурными пучками . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y_{i}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Места и топосы

Гипотезы Вейля Андре Вейля утверждали , что существует теория когомологий для алгебраических многообразий над конечными полями , которая дала бы аналог гипотезы Римана . Когомологии комплексного многообразия можно определить как когомологии пучка локально постоянного пучка в евклидовой топологии, что предполагает определение теории когомологий Вейля в положительной характеристике как когомологии пучка постоянного пучка. Но единственной классической топологией на таком многообразии является топология Зарисского , а топология Зарисского имеет очень мало открытых множеств, настолько мало, что когомологии любого пучка, постоянного по Зарисскому, на неприводимом многообразии обращаются в нуль (за исключением степени ноль). Александр Гротендик решил эту проблему, введя топологии Гротендика , которые аксиоматизируют понятие покрытия . Понимание Гротендика состояло в том, что определение пучка зависит только от открытых множеств топологического пространства, а не от отдельных точек. После того, как он аксиоматизировал понятие покрытия, открытые множества могли быть заменены другими объектами. Предпучок переводит каждый из этих объектов в данные, как и прежде, а пучок — это предпучок, который удовлетворяет аксиоме склеивания относительно нашего нового понятия покрытия. Это позволило Гротендику определить этальные когомологии и ℓ-адические когомологии , которые в конечном итоге были использованы для доказательства гипотез Вейля. ${\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }}}$

Категория с топологией Гротендика называется сайтом . Категория пучков на сайте называется топосом или топосом Гротендика . Понятие топоса было позже абстрагировано Уильямом Ловером и Майлзом Тирни для определения элементарного топоса , который имеет связь с математической логикой .

История

Первые истоки теории пучков трудно определить – они могут быть соразмерны идее аналитического продолжения ^{[ необходимо разъяснение ] . Потребовалось около 15 лет, чтобы из основополагающей работы по} когомологиям возникла узнаваемая, самостоятельная теория пучков .

• 1936 Эдуард Чех вводит конструкцию нерва для связывания симплициального комплекса с открытым покрытием.
• 1938 Хасслер Уитни дает «современное» определение когомологий, обобщая работу с тех пор, как Дж. В. Александер и Колмогоров впервые определили коцепи .
• 1943 Норман Стинрод публикует работу о гомологии с локальными коэффициентами . ^[18]
• 1945 Жан Лере публикует работу, выполненную им в качестве военнопленного , мотивированную доказательством теорем о неподвижной точке для применения в теории уравнений в частных производных ; это начало теории пучков и спектральных последовательностей . ^[19]
• 1947 Анри Картан переосмысливает теорему де Рама с помощью пучковых методов в переписке с Андре Вейлем (см. Теорема де Рама–Вейля ). Лере дает определение пучка в своих курсах через замкнутые множества (позднее панцири ).
• 1948 г. На семинаре Картана впервые излагается теория пучков.
• 1950 Теория пучков "второго издания" с семинара Картана: используется определение пространства пучков ( espace étalé ) со структурой послойного анализа. Вводятся опоры и когомологии с опорами. Непрерывные отображения приводят к спектральным последовательностям. В то же время Киёси Ока вводит идею (смежную с этой) пучка идеалов от нескольких комплексных переменных .
• 1951 г. Семинар Картана доказывает теоремы А и В , основанные на работе Оки.
• 1953 Картан и Жан-Пьер Серр доказывают теорему конечности для когерентных пучков в аналитической теории ^[20] , а также двойственность Серра .
• 1954 Работа Серра Faisceaux algébriques cohérents ^[21] (опубликована в 1955 году) вводит пучки в алгебраическую геометрию . Эти идеи немедленно эксплуатируются Фридрихом Хирцебрухом , который пишет в 1956 году большую книгу о топологических методах.
• 1955 Александр Гротендик на лекциях в Канзасе определяет абелеву категорию и предпучок и, используя инъективные резолюции, допускает прямое использование когомологий пучков на всех топологических пространствах в качестве производных функторов .
• 1956 г. Доклад Оскара Зарисского «Алгебраическая теория пучков» ^[22]
• В 1957 году в статье Гротендика в Тохоку ^[23] была переписана гомологическая алгебра ; он доказывает двойственность Гротендика (т. е. двойственность Серра для возможно особых алгебраических многообразий).
• 1957 и далее: Гротендик расширяет теорию пучков в соответствии с потребностями алгебраической геометрии, вводя: схемы и общие пучки на них, локальные когомологии , производные категории (совместно с Вердье) и топологии Гротендика . Возникает также его влиятельная схематическая идея « шести операций » в гомологической алгебре.
• 1958 Опубликована книга Роджера Годемента по теории пучков. Примерно в это же время Микио Сато предлагает свои гиперфункции , которые, как выяснится, имеют пучково-теоретическую природу.

В этот момент пучки стали основной частью математики, и их использование никоим образом не ограничивалось алгебраической топологией . Позже было обнаружено, что логика в категориях пучков является интуиционистской логикой (это наблюдение теперь часто называют семантикой Крипке–Джойала , но, вероятно, его следует приписать нескольким авторам).

Смотрите также

• Когерентный пучок
• Жерб
• Стек (математика)
• Связка спектров
• Извращенный сноп
• Предпучок пространств
• Конструируемый пучок
• Теорема де Рама

Примечания

1. Эйзенбуд, Дэвид; Харрис, Джо (6 апреля 2006 г.), Геометрия схем , GTM , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer, стр. 11–18, ISBN 978-0-387-22639-2
2. Теннисон, BR (1975), Теория пучков , Cambridge University Press , MR  0404390
3. Бредон (1997, Глава V, §1)
4. Демайи, Жан-Пьер. «Комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 28 августа 2020 г.
5. Картан, Анри. «Аналитические комплексы и когомологии разнообразия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 8 октября 2020 года.
6. "дифференциальная геометрия - голоморфные функции на комплексном компактном многообразии являются только константами". Mathematics Stack Exchange . Получено 2020-10-07 .
7. Хоули, Ньютон С. (1950). «Теорема о компактных комплексных многообразиях». Annals of Mathematics . 52 (3): 637–641. doi :10.2307/1969438. JSTOR  1969438.
8. SGA 4 II 3.0.5
9. Иверсен (1986, Глава VII)
10. Раманан (2005)
11. Хартшорн (1977), Теорема III.5.1.
12. Делинь, Пьер (1971). «Теория де Ходж: II». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 40 :5–57. дои : 10.1007/BF02684692. S2CID  118967613.
13. Делинь, Пьер (1974). «Теория де Ходж: III». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 44 : 5–77. дои : 10.1007/BF02685881. S2CID  189777706.
14. Иверсен (1986, Глава VII, Теорема 1.4)
15. Кашивара и Шапира (1994, глава III, §3.1)
16. де Катальдо и Мильорини (2010)
17. Гротендик. «Формализм пересечений собственных алгебраических схем».
18. Стинрод, NE (1943). «Гомологии с локальными коэффициентами». Annals of Mathematics . 44 (4): 610–627. doi :10.2307/1969099. JSTOR  1969099.
19. Дьедонне, Жан (1989). История алгебраической и дифференциальной топологии 1900–1960 . Биркхойзер. С. 123–141. ISBN 978-0-8176-3388-2.
20. Картан, Анри; Серр, Жан-Пьер (1953). «Теорема конечности, касающаяся компактных аналитических разновидностей». Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris . 237 : 128–130. Збл  0050.17701.
21. Серр, Жан-Пьер (1955), «Faisceaux algébriques cohérents» (PDF) , Annals of Mathematics , Second Series, 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969915, MR  0068874
22. Зариски, Оскар (1956), «Научный отчет о втором летнем институте, несколько комплексных переменных. Часть III. Алгебраическая теория пучков», Бюллетень Американского математического общества , 62 (2): 117–141, doi : 10.1090/S0002-9904-1956-10018-9 , ISSN  0002-9904
23. Гротендик, Александр (1957), «Sur quelques point d'algèbre homologique», The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , ISSN  0040-8735, MR  0102537

Ссылки

• Бредон, Глен Э. (1997), Теория пучков , Graduate Texts in Mathematics, т. 170 (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94905-5, г-н  1481706(ориентировано на обычные топологические приложения)
• de Cataldo, Andrea Mark; Migliorini, Luca (2010). «Что такое извращенный пучок?» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 57 (5): 632–4. arXiv : 1004.2983 . Bibcode :2010arXiv1004.2983D. MR  2664042.
• Годеман, Роджер (2006) [1973], Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Париж: Hermann, ISBN 2705612521, МР  0345092
• Гротендик, Александр (1957), «Sur quelques point d'algèbre homologique», The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , ISSN  0040-8735, MR  0102537
• Хирцебрух, Фридрих (1995), Топологические методы в алгебраической геометрии , Классика математики, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58663-0, г-н  1335917(обновленное издание классики, использующее достаточно теории пучков, чтобы продемонстрировать ее силу)
• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN 3-540-16389-1, МР  0842190
• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (1994), Пучки на многообразиях , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], том. 292, Шпрингер-Верлаг, ISBN 978-3-540-51861-7, г-н  1299726(продвинутые методы, такие как производная категория и исчезающие циклы в наиболее разумных пространствах)
• Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1994), Пучки в геометрии и логике: Первое введение в теорию топосов , Universitext, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97710-2, МР  1300636(подчеркнуто категориальная теория и топосы)
• Мартин, Уильям Т.; Черн, Шиинг-Шен ; Зариски, Оскар (1956), «Научный отчет о Втором летнем институте, несколько комплексных переменных», Бюллетень Американского математического общества , 62 (2): 79–141, doi : 10.1090/S0002-9904-1956-10013-X , ISSN  0002-9904, MR  0077995
• Раманан, С. (2005), Глобальное исчисление , Graduate Studies in Mathematics, т. 65, Американское математическое общество, doi : 10.1090/gsm/065, ISBN 0-8218-3702-8, МР  2104612
• Сибах, Дж. Артур ; Сибах, Линда А.; Стин, Линн А. (1970), «Что такое сноп», American Mathematical Monthly , 77 (7): 681–703, doi :10.1080/00029890.1970.11992563, MR  0263073, S2CID  203043621
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Faisceaux algébriques cohérents» (PDF) , Annals of Mathematics , Вторая серия, 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969915, MR  0068874
• Свон, Ричард Г. (1964), Теория пучков , Чикагские лекции по математике (3-е изд.), Издательство Чикагского университета , ISBN 9780226783291(краткие заметки лекций)
• Теннисон, Барри Р. (1975), Теория пучков, Серия лекций Лондонского математического общества, т. 20, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-20784-3, МР  0404390(педагогическое лечение)
• Rosiak, Daniel (2022). Теория пучков через примеры. Кембридж, Массачусетс. doi :10.7551/mitpress/12581.001.0001. ISBN 978-0-262-37042-4. OCLC  1333708310. S2CID  253133215.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)(вводная книга с открытым доступом)