Поля кадра в общей теории относительности

Пространство-время, смоделированное четырьмя поточечно-ортонормированными векторными полями

Поле системы координат в общей теории относительности (также называемое тетрадой или Вирбейном ) представляет собой набор из четырех поточечно - ортонормированных векторных полей , одного времениподобного и трех пространственноподобных , определенных на лоренцевом многообразии , которое физически интерпретируется как модель пространства-времени . Времяподобное поле единичного вектора часто обозначается, а три пространственноподобных поля единичного вектора — . Все тензорные величины, определенные на многообразии , могут быть выражены с помощью поля репера и двойственного ему поля кофрейма. ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\,{\vec {e}}_{3}}$

Поля системы отсчета были введены в общую теорию относительности Альбертом Эйнштейном в 1928 году ^[1] и Германом Вейлем в 1929 году. ^[2]

Индексное обозначение тетрад объясняется в тетраде (индексное обозначение) .

Физическая интерпретация

Поля репера лоренцева многообразия всегда соответствуют семейству идеальных наблюдателей, погруженных в данное пространство-время; интегральные кривые времениподобного поля единичного вектора являются мировыми линиями этих наблюдателей, и в каждом событии вдоль данной мировой линии три пространственноподобных поля единичного вектора определяют пространственную триаду, переносимую наблюдателем. Триаду можно рассматривать как определяющую оси пространственных координат локальной лабораторной системы координат , которая действует очень близко к мировой линии наблюдателя.

В общем, мировые линии этих наблюдателей не обязательно должны быть геодезическими, подобными времени . Если какая-либо из мировых линий отклоняется от геодезической траектории в каком-то регионе, мы можем думать о наблюдателях как о пробных частицах , которые ускоряются с помощью идеальных ракетных двигателей с тягой, равной величине их вектора ускорения . Альтернативно, если наш наблюдатель прикреплен к кусочку материи в шаре жидкости , находящемуся в гидростатическом равновесии , этот кусочек материи, как правило, будет ускоряться наружу за счет суммарного эффекта давления , удерживающего жидкий шар против притяжения собственной гравитации. Другие возможности включают наблюдателя, прикрепленного к свободной заряженной пробной частице в электровакуумном растворе , которая, конечно, будет ускорена силой Лоренца , или наблюдателя, прикрепленного к вращающейся пробной частице, которая может быть ускорена спин-спиновой силой.

Важно понимать, что рамки — это геометрические объекты . То есть векторные поля имеют смысл (в гладком многообразии) независимо от выбора координатной карты , а (в лоренцевом многообразии) - понятия ортогональности и длины. Таким образом, так же, как векторные поля и другие геометрические величины, поля рамок могут быть представлены в различных координатных схемах. Вычисления компонентов тензорных величин относительно данной системы координат всегда будут давать один и тот же результат, какая бы координатная карта ни использовалась для представления системы координат.

Эти поля необходимы для записи уравнения Дирака в искривленном пространстве-времени .

Указание рамки

Для записи системы координат необходимо выбрать карту координат на лоренцевом многообразии. Тогда каждое векторное поле на многообразии можно записать как линейную комбинацию четырех координатных базисных векторных полей:

${\displaystyle {\vec {X}}=X^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

Здесь используется соглашение Эйнштейна о суммировании , а векторные поля рассматриваются как линейные дифференциальные операторы первого порядка , а компоненты часто называются контравариантными компонентами . Это следует стандартным соглашениям об обозначениях сечений касательного расслоения . Альтернативные обозначения для широко используемых полей базисных векторов координат: ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle \partial /\partial x^{\mu }\equiv \partial _{x^{\mu }}\equiv \partial _{\mu }.}$

В частности, векторные поля в кадре можно выразить так:

${\displaystyle {\vec {e}}_{a}={e_{a}}^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

При «проектировании» кадра естественно необходимо с помощью заданной метрики обеспечить , чтобы четыре векторных поля были всюду ортонормированы.

В более современных текстах используются обозначения for и or for . Это позволяет использовать визуально хитрый трюк, записывая метрику пространства-времени как внутреннее произведение координатных касательных векторов: ${\displaystyle \mathbf {g} _{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{x^{\mu }}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{a}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\mathbf {g} _{\mu }\cdot \mathbf {g} _{\nu }}$

и метрика Минковского в плоском пространстве как произведение гамм:

${\displaystyle \eta _{ab}=\gamma _{a}\cdot \gamma _{b}}$

Выбор для обозначения является намеренным объединением с обозначением, используемым для матриц Дирака ; это позволяет рассматривать их не только как векторы, но и как элементы алгебры, алгебры пространства-времени . При правильном использовании это может упростить некоторые обозначения, используемые при написании спинового соединения . ${\displaystyle \gamma _{a}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}}$

После принятия сигнатуры в силу двойственности каждый вектор базиса имеет двойственный ковектор в кобазисе и наоборот. Таким образом, каждое поле кадра связано с уникальным полем кокадра , и наоборот; Поле кофрейма — это набор из четырех ортогональных секций кокасательного расслоения .

Указание метрики с помощью кофрейма

Альтернативно, метрический тензор можно задать, записав кофрейм в терминах координатного базиса и указав, что метрический тензор задается формулой

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sum _{i=1}^{3}\sigma ^{i}\otimes \sigma ^{i},}$

где обозначает тензорное произведение . Это просто причудливый способ сказать, что кофрейм ортонормирован . Независимо от того, используется ли это для получения метрического тензора после записи кадра (и перехода к двойному кофрейму) или начинается с метрического тензора и используется для проверки того, что кадр был получен другими способами, это всегда должно оставаться верным. ${\displaystyle \otimes }$

Связь с метрическим тензором в координатной основе

Поле Вирбейна имеет два типа индексов: помечает общую координату пространства-времени и помечает локальное лоренцево пространство-время или локальные лабораторные координаты. ${\displaystyle e_{\ a}^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle a\,}$

Поле Вирбейна или поля кадра можно рассматривать как «матричный квадратный корень» метрического тензора , поскольку в координатном базисе ${\displaystyle g^{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle g^{\mu \nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ b}^{\nu }\eta ^{ab}\,}$

где – метрика Лоренца . ${\displaystyle \eta ^{ab}\,}$

Локальные индексы Лоренца поднимаются и опускаются с помощью метрики Лоренца так же, как общие координаты пространства-времени поднимаются и опускаются с помощью метрического тензора. Например:

${\displaystyle T^{a}=\eta ^{ab}T_{b}.}$

Поле Вирбейна позволяет осуществлять преобразование между пространством-временем и локальными индексами Лоренца. Например:

${\displaystyle T_{a}=e_{\ a}^{\mu }T_{\mu }.}$

С самим полем Вирбейна можно манипулировать таким же образом:

${\displaystyle e_{\ a}^{\nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ \mu }^{\nu }\,}$, с ${\displaystyle e_{\ \mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }.}$

И они могут сочетаться.

${\displaystyle T^{a}=e_{\mu }^{\ a}T^{\mu }.}$

Еще несколько примеров: Пространство-время и локальные координаты Лоренца можно смешивать вместе:

${\displaystyle T^{\mu a}=e_{\nu }^{\ a}T^{\mu \nu }.}$

Локальные координаты Лоренца преобразуются иначе, чем общие координаты пространства-времени. При общем преобразовании координат имеем:

${\displaystyle T'^{\mu a}={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}T^{\nu a}}$

а при локальном преобразовании Лоренца имеем:

${\displaystyle T'^{\mu a}=\Lambda (x)_{\ b}^{a}T^{\mu b}.}$

Сравнение с координатной базой

Координатные базисные векторы обладают особым свойством: их попарные скобки Ли исчезают. За исключением локально плоских областей, по крайней мере некоторые скобки Ли векторных полей из кадра не исчезнут. Полученный багаж, необходимый для вычислений с их помощью, является приемлемым, поскольку компоненты тензорных объектов относительно кадра (но не относительно координатного базиса) имеют прямую интерпретацию в терминах измерений, выполненных семейством идеальных наблюдателей, соответствующих кадру. .

Векторы координатного базиса могут иметь значение null , чего по определению не может произойти для векторов системы координат.

Невращающаяся и инерциальная системы отсчета.

Некоторые кадры лучше других. Физический опыт инерциальных наблюдателей (которые не чувствуют сил) может представлять особый интерес, особенно в вакуумных или электровакуумных решениях . Математическая характеристика инерциальной системы отсчета очень проста: интегральные кривые времениподобного единичного векторного поля должны задавать геодезическую конгруэнтность , или, другими словами, ее вектор ускорения должен обращаться в нуль:

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}=0}$

Также часто желательно обеспечить, чтобы пространственная триада, которую несет каждый наблюдатель, не вращалась . В этом случае триаду можно рассматривать как гиростабилизированную . Критерий невращающейся инерциальной (NSI) системы координат снова очень прост:

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j}=0,\;\;j=0\dots 3}$

Это говорит о том, что по мере продвижения по мировой линии каждого наблюдателя их пространственная триада транспортируется параллельно . Невращающиеся инерциальные системы отсчета занимают особое место в общей теории относительности, поскольку в искривленном лоренцевом многообразии они максимально близки к системам Лоренца , используемым в специальной теории относительности (это специальные невращающиеся инерциальные системы отсчета в вакууме Минковского ).

В более общем смысле, если ускорение наших наблюдателей не равно нулю, мы можем заменить ковариантные производные ${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}\neq 0}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j},\;j=1\dots 3}$

с (пространственно спроецированными) производными Ферми – Уокера для определения невращающейся системы отсчета .

Учитывая лоренцево многообразие, мы можем найти бесконечное количество полей системы отсчета, даже если нам потребуются дополнительные свойства, такие как движение по инерции. Однако данное поле фрейма вполне может быть определено только на части многообразия.

Пример: Статические наблюдатели в вакууме Шварцшильда.

Будет поучительно рассмотреть подробнее несколько простых примеров. Рассмотрим знаменитый вакуум Шварцшильда , который моделирует пространство-время за пределами изолированного невращающегося сферически-симметричного массивного объекта, такого как звезда. В большинстве учебников метрический тензор записан в виде статической полярной сферической карты следующим образом:

${\displaystyle ds^{2}=-(1-2m/r)\,dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-2m/r}}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\;2m<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Более формально, метрический тензор можно разложить по кобазису координат как

${\displaystyle g=-(1-2m/r)\,dt\otimes dt+{\frac {1}{1-2m/r}}\,dr\otimes dr+r^{2}\,d\theta \otimes d\theta +r^{2}\sin(\theta )^{2}\,d\phi \otimes d\phi }$

Кофрейм можно прочитать из этого выражения:

${\displaystyle \sigma ^{0}={\sqrt {1-2m/r}}\,dt,\;\sigma ^{1}={\frac {dr}{\sqrt {1-2m/r}}},\;\sigma ^{2}=rd\theta ,\;\sigma ^{3}=r\sin(\theta )d\phi }$

Чтобы убедиться, что этот кофрейм действительно соответствует метрическому тензору Шварцшильда, просто подключите этот кофрейм к

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}+\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{3}}$

Двойной кадр является инверсным кофреймом, как показано ниже: (двойной кадр также транспонируется, чтобы сохранить локальный индекс в том же положении.)

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-2m/r}}}\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\partial _{r},\;{\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\partial _{\theta },\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\partial _{\phi }}$

(Знак плюс гарантирует, что это направление в будущее .) Это кадр, который моделирует опыт статичных наблюдателей , которые используют ракетные двигатели, чтобы «зависать» над массивным объектом . Тяга, необходимая им для сохранения своего положения, определяется величиной вектора ускорения. ${\displaystyle \sigma ^{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=-{\frac {m/r^{2}}{\sqrt {1-2m/r}}}\,{\vec {e}}_{1}}$

Это направление радиально внутрь, поскольку наблюдателям необходимо ускориться от объекта, чтобы не упасть на него. С другой стороны, пространственно спроецированные производные Ферми пространственных базисных векторов (по ) исчезают, так что это неспиновая система отсчета. ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Теперь можно вычислить компоненты различных тензорных величин относительно нашей системы отсчета и ее двойственного кофрейма.

Например, приливный тензор для наших статических наблюдателей определяется с использованием тензорной записи (для координатной основы) как

${\displaystyle E[X]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

где мы пишем , чтобы не загромождать обозначения. Единственными его ненулевыми компонентами по отношению к нашему кофрейму оказываются ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle E[X]_{11}=-2m/r^{3},\;E[X]_{22}=E[X]_{33}=m/r^{3}}$

Соответствующие компоненты координатного базиса:

${\displaystyle E[X]_{rr}=-2m/r^{3}/(1-2m/r),\;E[X]_{\theta \theta }=m/r,\;E[X]_{\phi \phi }=m\sin(\theta )^{2}/r}$

(Небольшое замечание по поводу обозначений: многие авторы ставят курсоры над абстрактными индексами, относящимися к фрейму. При записи конкретных компонентов удобно обозначать компоненты фрейма 0,1,2,3 и координировать компоненты . Поскольку выражение типа не не имеет смысла как тензорное уравнение , путаницы быть не должно.) ${\displaystyle t,r,\theta ,\phi }$ ${\displaystyle S_{ab}=36m/r}$

Сравните приливный тензор ньютоновской гравитации, который является бесследовой частью гессиана гравитационного потенциала . Используя тензорную запись для тензорного поля, определенного в трехмерном евклидовом пространстве, это можно записать ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Phi _{ij}=U_{,ij}-{\frac {1}{3}}{U^{,k}}_{,k}\,\eta _{ij}}$

Читатель, возможно, пожелает провернуть это (обратите внимание, что член-след фактически исчезает тождественно, когда U гармоничен) и сравнить результаты со следующим элементарным подходом: мы можем сравнить гравитационные силы на двух соседних наблюдателей, лежащих на одной и той же радиальной линии:

${\displaystyle m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})}$

Поскольку при обсуждении тензоров мы имеем дело с полилинейной алгеброй , мы сохраняем только члены первого порядка, поэтому . Аналогичным образом мы можем сравнить силу гравитации, действующую на двух соседних наблюдателей, лежащих на одной сфере . Используя элементарную тригонометрию и приближение малых углов, мы находим, что векторы сил отличаются на вектор, касательный к сфере, величина которой равна ${\displaystyle \Phi _{11}=-2m/r^{3}}$ ${\displaystyle r=r_{0}}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,\sin(\theta )\approx {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\frac {m}{r_{0}^{3}}}\,h}$

Используя приближение малого угла, мы проигнорировали все члены порядка , поэтому тангенциальные компоненты равны . Здесь мы имеем в виду очевидную систему координат, полученную из полярной сферической карты для нашего трехмерного евклидова пространства: ${\displaystyle O(h^{2})}$ ${\displaystyle \Phi _{22}=\Phi _{33}=m/r^{3}}$

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

Проще говоря, вычисленные выше компоненты координат даже не масштабируются должным образом, поэтому они явно не могут соответствовать тому, что наблюдатель будет измерять даже приблизительно. (По совпадению, компоненты ньютоновского приливного тензора точно совпадают с компонентами релятивистского приливного тензора, которые мы выписали выше.) ${\displaystyle E[X]_{\theta \theta },\,E[X]_{\phi \phi }}$

Пример: наблюдатели Леметра в вакууме Шварцшильда.

Чтобы найти инерциальную систему отсчета, мы можем усилить нашу статическую систему отсчета в направлении с помощью неопределенного параметра ускорения (в зависимости от радиальной координаты), вычислить вектор ускорения новой неопределенной системы отсчета, установить его равным нулю и найти неизвестное ускорение. параметр. В результате получится рамка, которую мы сможем использовать для изучения физического опыта наблюдателей, которые свободно и радиально падают на массивный объект. Соответствующим выбором константы интегрирования мы получаем систему наблюдателей Лемэтра , которые падают из состояния покоя на пространственной бесконечности . (Эта фраза не имеет смысла, но читателю, без сомнения, не составит труда понять ее смысл.) На статической полярной сферической карте эта система отсчета получается из координат Леметра и может быть записана как ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\frac {1}{1-2m/r}}\,\partial _{t}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}-{\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Обратите внимание, что , и это «наклоняется внутрь», как и должно быть, поскольку его интегральные кривые представляют собой времяподобные геодезические, представляющие мировые линии падающих наблюдателей. Действительно, поскольку ковариантные производные всех четырех базисных векторов (взятых по ) тождественно равны нулю, наша новая система отсчета является невращающейся инерциальной системой отсчета . ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}\neq {\vec {f}}_{0},\;{\vec {e}}_{1}\neq {\vec {f}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Если наш массивный объект на самом деле является (невращающейся) черной дырой , мы, вероятно, хотим последовать опыту наблюдателей Леметра, когда они проваливаются за горизонт событий в точке . Поскольку статические полярные сферические координаты имеют сингулярность координат на горизонте, нам нужно будет переключиться на более подходящую координатную карту. Самый простой возможный выбор — определить новую временную координату с помощью ${\displaystyle r=2m}$

${\displaystyle T(t,r)=t-\int {\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,dr=t+2{\sqrt {2mr}}+2m\log \left({\frac {{\sqrt {r}}-{\sqrt {2m}}}{{\sqrt {r}}+{\sqrt {2m}}}}\right)}$

Это дает диаграмму Пенлеве . Новый элемент строки

${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+\left(dr+{\sqrt {2m/r}}\,dT\right)^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <T<\infty ,\;0<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Что касается диаграммы Пенлеве, система Леметра имеет вид

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}=\partial _{T}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Обратите внимание, что их пространственная триада выглядит точно так же, как рамка трехмерного евклидова пространства, о которой мы упоминали выше (когда вычисляли ньютоновский приливной тензор). Действительно, пространственные гиперсрезы оказываются локально изометричными плоскому трехмерному евклидову пространству! (Это замечательное и довольно особенное свойство вакуума Шварцшильда; большинство пространств-временей не допускают разбиения на плоские пространственные секции.) ${\displaystyle T=T_{0}}$

Приливный тензор, взятый относительно наблюдателей Леметра, равен

${\displaystyle E[Y]_{ab}=R_{ambn}\,Y^{m}\,Y^{n}}$

где мы пишем , чтобы не загромождать обозначения. Это другой тензор , чем тот, который мы получили выше, поскольку он определен с использованием другого семейства наблюдателей . Тем не менее, его неисчезающие компоненты выглядят знакомо: . (Это опять-таки весьма специфическое свойство вакуума Шварцшильда.) ${\displaystyle Y={\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle E[Y]_{11}=-2m/r^{3},\,E[Y]_{22}=E[Y]_{33}=m/r^{3}}$

Обратите внимание, что просто невозможно определить статических наблюдателей на горизонте событий или внутри него. С другой стороны, наблюдатели Леметра также не определены во всей внешней области , покрытой статической полярной сферической картой, поэтому в этих примерах ни система Леметра, ни статическая система координат не определены на всем многообразии.

Пример: наблюдатели Хагихары в вакууме Шварцшильда.

Точно так же, как мы нашли наблюдателей Леметра, мы можем увеличить нашу статическую систему координат в направлении на неопределенный параметр (в зависимости от радиальной координаты), вычислить вектор ускорения и потребовать, чтобы он исчез в экваториальной плоскости . Новая система Хагихары описывает физический опыт наблюдателей, находящихся на стабильных круговых орбитах вокруг нашего массивного объекта. Вероятно, впервые его обсудил астроном Юсуке Хагихара . ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

В статической полярной сферической карте система Хагихары имеет вид

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

который в экваториальной плоскости становится

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

Приливный тензор где оказывается заданным (в экваториальной плоскости) выражением ${\displaystyle E[Z]_{ab}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}={\vec {h}}_{0}}$

${\displaystyle E[Z]_{11}=-{\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {2-3m/r}{1-2m/r}}=-{\frac {2m}{r^{3}}}-{\frac {m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{22}={\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {1}{1-3m/r}}=-{\frac {m}{r^{3}}}+{\frac {3m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{33}={\frac {m}{r^{3}}}}$

Таким образом, по сравнению со статическим наблюдателем, зависающим на заданном координатном радиусе, наблюдатель Хагихары на стабильной круговой орбите с тем же координатным радиусом будет измерять радиальные приливные силы, которые немного больше по величине, и поперечные приливные силы, которые больше не являются изотропными (но немного больше (ортогонально направлению движения).

Обратите внимание, что рамка Хагихары определена только для региона . Действительно, устойчивые круговые орбиты существуют только на , поэтому внутри этого локуса не следует использовать систему отсчета. ${\displaystyle r>3m}$ ${\displaystyle r>6m}$

Вычисление производных Ферми показывает, что только что данное поле системы отсчета фактически вращается относительно гиростабилизированной системы отсчета. Основная причина этого легко обнаружить: в этом кадре каждый наблюдатель Хагихары сохраняет свои пространственные векторы радиально выровненными , поэтому вращается вокруг , пока наблюдатель вращается вокруг центрального массивного объекта. Однако после поправки на это наблюдение небольшая прецессия оси вращения гироскопа, которую несет наблюдатель Хагихара, все еще сохраняется; это эффект прецессии де Ситтера (также называемый эффектом геодезической прецессии ). ${\displaystyle {\vec {h}}_{1},\;{\vec {h}}_{3}}$ ${\displaystyle {\vec {h}}_{2}}$

Обобщения

Эта статья посвящена применению систем фреймов в общей теории относительности и, в частности, их физической интерпретации. Здесь мы очень кратко изложим общую концепцию. В n -мерном римановом многообразии или псевдоримановом многообразии поле фрейма представляет собой набор ортонормированных векторных полей , которые образуют основу касательного пространства в каждой точке многообразия. Это возможно глобально непрерывным образом тогда и только тогда, когда многообразие распараллеливаемо . Как и раньше, системы координат могут быть заданы в терминах заданного координатного базиса, и в неплоской области некоторые из их попарных скобок Ли не смогут исчезнуть.

Фактически, учитывая любое пространство внутреннего произведения , мы можем определить новое пространство, состоящее из всех кортежей ортонормированных базисов для . Применение этой конструкции к каждому касательному пространству дает ортонормированное расслоение реперов (псевдо)риманова многообразия, а поле реперов является сечением этого расслоения. В более общем смысле мы можем рассматривать расслоения фреймов, связанные с любым векторным расслоением или даже с произвольными расслоениями главных расслоений . Обозначение становится немного более сложным, поскольку становится сложнее избежать различия между индексами, относящимися к базе, и индексами, относящимися к волокну. Многие авторы говорят о внутренних компонентах , когда речь идет о компонентах, индексируемых волокном. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Смотрите также

• Точные решения в общей теории относительности
• Жорж Леметр
• Карл Шварцшильд
• Движущаяся рамка
• Поль Пенлеве
• Тетрадный формализм
• Юсуке Хагихара

Рекомендации

1. Альберт Эйнштейн «Геометрия Римана с Aufrechterhaltung des Begriffes des Fernparallelismus», Sitzungsberichte der Preussischen Akademieder Wissenschaften, Physikalisch-MathematischeKlasse , p217-221, 7.6.1928, http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:YP5 DFQU1 . Английский перевод доступен у Джеффри Йепеса, «Теория поля Вирбейна Эйнштейна в искривленном пространстве», https://arxiv.org/abs/1106.2037.
2. Герман Вейль «Электрон и гравитация I», Zeitschrift Physik , 56, стр. 330–352, 1929.

• Мануэль Теккиолли (2019). «О математике формализма кофреймов и теории Эйнштейна-Картана - краткий обзор». Вселенная . 5(10) (Торсионная гравитация): 206.arXiv : 2008.08314 . Бибкод : 2019Univ....5..206T. дои : 10.3390/universe5100206 .
• Фландрия, Харли (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-66169-5.См. главу IV о фреймах в ^E3 , затем см. главу VIII о полях фреймов в римановых многообразиях . Эта книга на самом деле не рассматривает лоренцевы многообразия, но, имея в руках эту информацию, читатель хорошо подготовлен к следующей цитате.
• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.В этой книге поле фрейма (кофреймовое поле) называется анголономным базисом векторов (ковекторов) . Важная информация широко разбросана, но ее легко найти с помощью обширного указателя.
• Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.Ф. (1980). Классическая теория полей (4-е изд.) . Лондон: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-2768-9.В этой книге поле фрейма называется тетрадой ( не путать со стандартным теперь термином NP-тетрада, используемым в формализме Ньюмана-Пенроуза ). См. раздел 98 .
• Де Феличе, Ф.; Кларк, CJ (1992). Относительность искривленных многообразий . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42908-0.См. главу 4 о фреймах и кофреймах. Если вам когда-нибудь понадобится дополнительная информация о полях фрейма, возможно, вам стоит поискать здесь!