Фильтр Калмана

Алгоритм, который оценивает неизвестные на основе серии измерений с течением времени.

Фильтр Калмана отслеживает предполагаемое состояние системы, а также дисперсию или неопределенность оценки. Оценка обновляется с использованием модели перехода состояний и измерений. обозначает оценку состояния системы на временном шаге k до того, как было учтено k -е измерение y _k ; – соответствующая неопределенность. ${\displaystyle {\hat {x}}_{k\mid k-1}}$ ${\displaystyle P_{k\mid k-1}}$

Для статистики и теории управления фильтрация Калмана , также известная как линейно-квадратическая оценка ( LQE ), представляет собой алгоритм , который использует серию измерений, наблюдаемых с течением времени, включая статистический шум и другие неточности, и производит оценки неизвестных переменных, которые, как правило, более достоверны. более точны, чем те, которые основаны только на одном измерении, путем оценки совместного распределения вероятностей по переменным для каждого периода времени. Фильтр назван в честь Рудольфа Э. Кальмана , который был одним из основных разработчиков его теории.

Этот цифровой фильтр иногда называют фильтром Стратоновича-Кальмана-Бьюси, поскольку он представляет собой частный случай более общего нелинейного фильтра, разработанного несколько ранее советским математиком Русланом Стратоновичем . ^{[1] [2] [3] [4]} Фактически, некоторые уравнения линейного фильтра частного случая появились в статьях Стратоновича, опубликованных до лета 1961 года, когда Калман встретился со Стратоновичем во время конференции в Москве. ^[5]

Фильтрация Калмана ^[6] имеет многочисленные технологические применения. Обычное применение — наведение, навигация и управление транспортными средствами, особенно самолетами, космическими кораблями и кораблями, расположенными динамически . ^[7] Кроме того, фильтрация Калмана — это концепция, широко применяемая в анализе временных рядов , используемая для таких тем, как обработка сигналов и эконометрика . Фильтрация Калмана также является одной из основных тем планирования и управления движением роботов ^{[8] [9]} и может использоваться для оптимизации траектории . ^[10] Фильтр Калмана также работает для моделирования контроля движения центральной нервной системой . Из-за временной задержки между выдачей двигательных команд и получением сенсорной обратной связи использование фильтров Калмана ^[11] обеспечивает реалистичную модель для оценки текущего состояния двигательной системы и выдачи обновленных команд. ^[12]

Алгоритм работает в виде двухфазного процесса, состоящего из фазы прогнозирования и фазы обновления. На этапе прогнозирования фильтр Калмана производит оценки переменных текущего состояния , а также их неопределенностей. Как только результат следующего измерения (обязательно искаженный некоторой ошибкой, включая случайный шум) наблюдается, эти оценки обновляются с использованием средневзвешенного значения , при этом больший вес придается оценкам с большей уверенностью. Алгоритм рекурсивный . Он может работать в режиме реального времени , используя только текущие входные измерения и состояние, рассчитанное ранее, и его матрицу неопределенности; никакой дополнительной информации о прошлом не требуется.

Оптимальность фильтрации Калмана предполагает, что ошибки имеют нормальное (гауссово) распределение. По словам Рудольфа Э. Кальмана : «О случайных процессах делаются следующие предположения: физические случайные явления можно рассматривать как происходящие из-за первичных случайных источников, возбуждающих динамические системы. Предполагается, что первичными источниками являются независимые гауссовские случайные процессы с нулевым средним значением. ; динамические системы будут линейными». ^[13] Однако, независимо от гауссовости, если известны ковариации процесса и измерения, то фильтр Калмана является наилучшей возможной линейной оценкой в ​​смысле минимальной среднеквадратической ошибки , ^[14] хотя могут быть и лучшие нелинейные оценщики. Это распространенное заблуждение (увековеченное в литературе ^{[ где? ]} ), что фильтр Калмана не может быть строго применен, если не предполагается, что все шумовые процессы являются гауссовыми. ^[15]

Также были разработаны расширения и обобщения метода, такие как расширенный фильтр Калмана и фильтр Калмана без запаха, которые работают в нелинейных системах . В основе лежит скрытая марковская модель , в которой пространство состояний скрытых переменных является непрерывным , а все скрытые и наблюдаемые переменные имеют гауссово распределение. Фильтрация Калмана успешно использовалась в слиянии нескольких датчиков [ ^16] и распределенных сенсорных сетях для разработки распределенной или консенсусной фильтрации Калмана. ^[17]

История

Метод фильтрации назван в честь венгерского эмигранта Рудольфа Э. Кальмана , хотя Торвальд Николай Тиле ^{[18] [19]} и Питер Сверлинг разработали аналогичный алгоритм ранее. Ричард С. Бьюси из Лаборатории прикладной физики Джона Хопкинса внес свой вклад в разработку теории, в результате чего ее иногда называют фильтрацией Калмана – Бьюси. Калман был вдохновлен на создание фильтра Калмана путем применения переменных состояния к задаче фильтрации Винера . ^[20] Стэнли Ф. Шмидту обычно приписывают разработку первой реализации фильтра Калмана. Он понял, что фильтр можно разделить на две отдельные части: одна часть предназначена для периодов времени между выходными сигналами датчиков, а другая часть — для объединения измерений. ^[21] Именно во время визита Кальмана в Исследовательский центр Эймса НАСА Шмидт увидел применимость идей Кальмана к нелинейной проблеме оценки траектории программы « Аполлон», что привело к ее включению в навигационный компьютер «Аполлон ». ^{[22] : 16}

Эта фильтрация Калмана была впервые описана и частично развита в технических статьях Сверлинга (1958), Калмана (1960) и Калмана и Бьюси (1961).

Компьютер Apollo использовал 2 КБ оперативной памяти с магнитным сердечником и 36 КБ троса [...]. ЦП был построен на основе микросхем [...]. Тактовая частота была ниже 100 кГц [...]. Тот факт, что инженерам Массачусетского технологического института удалось упаковать такое хорошее программное обеспечение (одно из самых первых применений фильтра Калмана) в такой крошечный компьютер, поистине удивителен.

-  Интервью Мэтью Рида с Джеком Креншоу, TRS-80.org (2009) [1]

Фильтры Калмана сыграли жизненно важную роль в навигационных системах подводных лодок с ядерными баллистическими ракетами ВМС США , а также в системах наведения и навигации крылатых ракет, таких как ракета «Томагавк» ВМС США и крылатая ракета воздушного базирования ВВС США . Они также используются в системах наведения и навигации многоразовых ракет-носителей , в системах ориентации и навигации космических кораблей, стыкующихся с Международной космической станцией . ^[23]

Обзор расчета

Фильтрация Калмана использует динамическую модель системы (например, физические законы движения), известные управляющие входные данные для этой системы и множество последовательных измерений (например, от датчиков) для формирования оценки переменных величин системы (ее состояния ), которая лучше, чем оценка, полученная с использованием только одного измерения. По сути, это общий алгоритм объединения датчиков и данных .

Зашумленные данные датчиков, приближения в уравнениях, описывающих эволюцию системы, а также неучтенные внешние факторы — все это ограничивает возможность определения состояния системы. Фильтр Калмана эффективно справляется с неопределенностью, возникающей из-за зашумленных данных датчиков и, в некоторой степени, из-за случайных внешних факторов. Фильтр Калмана дает оценку состояния системы как среднее значение прогнозируемого состояния системы и нового измерения с использованием средневзвешенного значения . Цель весов состоит в том, чтобы значения с лучшей (т. е. меньшей) оценочной неопределенностью пользовались большим доверием. Веса рассчитываются на основе ковариации — меры предполагаемой неопределенности прогноза состояния системы. Результатом средневзвешенного значения является новая оценка состояния, которая находится между прогнозируемым и измеренным состоянием и имеет лучшую оценку неопределенности, чем любое из них по отдельности. Этот процесс повторяется на каждом временном шаге, при этом новая оценка и ее ковариация определяют прогноз, используемый в следующей итерации. Это означает, что фильтр Калмана работает рекурсивно и требует только последнего «наилучшего предположения», а не всей истории состояния системы для расчета нового состояния.

Важными факторами являются степень достоверности измерений и оценка текущего состояния. Отклик фильтра принято обсуждать с точки зрения коэффициента усиления фильтра Калмана . Коэффициент усиления Калмана представляет собой вес, придаваемый измерениям и оценке текущего состояния, и его можно «настроить» для достижения определенной производительности. При высоком коэффициенте усиления фильтр придает больший вес самым последним измерениям и, таким образом, более оперативно реагирует на них. При низком усилении фильтр более точно соответствует предсказаниям модели. В крайних случаях высокий коэффициент усиления (близкий к единице) приведет к более скачкообразной расчетной траектории, тогда как низкий коэффициент усиления (близкий к нулю) сгладит шум, но уменьшит скорость реагирования.

При выполнении реальных вычислений для фильтра (как описано ниже) оценка состояния и ковариации кодируются в матрицы , поскольку в одном наборе вычислений участвует несколько измерений. Это позволяет представить линейные зависимости между различными переменными состояния (такими как положение, скорость и ускорение) в любой из моделей перехода или ковариаций.

Пример приложения

В качестве примера приложения рассмотрим задачу определения точного местоположения грузовика. Грузовик может быть оснащен блоком GPS , который позволяет оценить местоположение с точностью до нескольких метров. Оценка GPS, скорее всего, будет зашумлена; показания быстро «прыгают», хотя и остаются в пределах нескольких метров от реального положения. Кроме того, поскольку ожидается, что грузовик будет следовать законам физики, его положение также можно оценить путем интегрирования его скорости во времени, определяемой путем отслеживания оборотов колес и угла поворота рулевого колеса. Это техника, известная как точный расчет . Как правило, точный расчет дает очень точную оценку положения грузовика, но со временем он будет отклоняться по мере накопления небольших ошибок.

В этом примере фильтр Калмана можно рассматривать как работающий в двух отдельных фазах: прогнозирование и обновление. На этапе прогнозирования старое положение грузовика будет изменено в соответствии с физическими законами движения (динамическая модель или модель «перехода состояний»). Будет рассчитана не только новая оценка положения, но и новая ковариация. Возможно, ковариация пропорциональна скорости грузовика, потому что мы более уверены в точности оценки местоположения при счислении пути на высоких скоростях, но очень уверены в оценке местоположения на низких скоростях. Затем, на этапе обновления, с устройства GPS снимается измерение положения грузовика. Наряду с этим измерением возникает некоторая неопределенность, и ее ковариация по отношению к прогнозу предыдущего этапа определяет, насколько новое измерение повлияет на обновленный прогноз. В идеале, поскольку оценки точного счисления имеют тенденцию отклоняться от реального положения, измерения GPS должны возвращать оценку положения обратно к реальному положению, но не нарушать ее до такой степени, что она становится шумной и быстро скачет.

Техническое описание и контекст

Фильтр Калмана — это эффективный рекурсивный фильтр , оценивающий внутреннее состояние линейной динамической системы на основе серии зашумленных измерений. Он используется в широком спектре инженерных и эконометрических приложений, от радиолокации и компьютерного зрения до оценки структурных макроэкономических моделей ^{[24] [25]} и является важной темой в теории управления и разработке систем управления . Вместе с линейно-квадратичным регулятором (ЛКР) фильтр Калмана решает задачу линейно-квадратично-гауссовского управления (ЛКГ). Фильтр Калмана, линейно-квадратичный регулятор и линейно-квадратичный гауссов регулятор являются решениями, возможно, наиболее фундаментальных проблем теории управления.

В большинстве приложений внутреннее состояние намного больше (имеет больше степеней свободы ), чем несколько измеряемых «наблюдаемых» параметров. Однако, объединив серию измерений, фильтр Калмана может оценить все внутреннее состояние.

Для теории Демпстера-Шейфера каждое уравнение состояния или наблюдение считается особым случаем линейной функции доверия , а фильтрация Калмана представляет собой особый случай объединения линейных функций доверия на дереве соединений или дереве Маркова . Дополнительные методы включают фильтрацию убеждений , которая использует Байес или доказательные обновления уравнений состояния.

В настоящее время существует большое разнообразие фильтров Калмана: первоначальная формулировка Калмана, называемая теперь «простым» фильтром Калмана, фильтр Калмана-Бьюси , «расширенный» фильтр Шмидта, информационный фильтр и множество фильтров «квадратного корня», которые были разработаны Бирманом, Торнтоном и многими другими. Вероятно, наиболее часто используемым типом очень простого фильтра Калмана является петля фазовой автоподстройки частоты , которая сейчас повсеместно используется в радиоприемниках, особенно в радиоприемниках с частотной модуляцией (FM), телевизорах, приемниках спутниковой связи , системах космической связи и практически в любой другой электронной технике. оборудование связи.

Базовая модель динамической системы

Фильтрация Калмана основана на линейных динамических системах, дискретизированных во временной области. Они моделируются на основе цепи Маркова , построенной на линейных операторах, возмущенных ошибками, которые могут включать гауссов шум . Состояние целевой системы относится к истинной (хотя и скрытой) интересующей конфигурации системы, которая представлена ​​в виде вектора действительных чисел . При каждом дискретном приращении времени к состоянию применяется линейный оператор для генерации нового состояния с примесью некоторого шума и, возможно, некоторой информации от элементов управления системой, если они известны. Затем другой линейный оператор, смешанный с большим количеством шума, генерирует измеримые выходные данные (т. е. наблюдение) из истинного («скрытого») состояния. Фильтр Калмана можно рассматривать как аналог скрытой модели Маркова с той разницей, что скрытые переменные состояния имеют значения в непрерывном пространстве, а не в дискретном пространстве состояний, как в скрытой модели Маркова. Существует сильная аналогия между уравнениями фильтра Калмана и скрытой модели Маркова. Обзор этой и других моделей дан в Ровейсе и Гахрамани (1999) ^[26] и Гамильтоне (1994), глава 13. ^[27]

Чтобы использовать фильтр Калмана для оценки внутреннего состояния процесса с учетом только последовательности зашумленных наблюдений, необходимо смоделировать процесс в соответствии со следующей структурой. Это означает указание матриц для каждого временного шага k следующим образом:

• F _k , модель перехода состояний;
• H _k , модель наблюдения;
• Q _k , ковариация технологического шума;
• R _k , ковариация шума наблюдения;
• и иногда B _k , модель управляющего входа, как описано ниже; если B _k включен, то существует еще
• u _k , вектор управления, представляющий управляющий вход в модель управляющего входа.

Модель, лежащая в основе фильтра Калмана. Квадраты представляют собой матрицы. Эллипсы представляют собой многомерные нормальные распределения (с включенной матрицей среднего и ковариационной матрицей). Незаключенные значения являются векторами . В простом случае различные матрицы постоянны во времени, поэтому индексы не используются, но фильтрация Калмана позволяет любой из них изменяться на каждом временном шаге.

Модель фильтра Калмана предполагает, что истинное состояние в момент времени k развивается из состояния в ( k  - 1) в соответствии с

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}+\mathbf {w} _{k}}$

где

• F _k — модель перехода состояний, которая применяется к предыдущему состоянию x _{k -1} ;
• B _k — модель управляющего входа, которая применяется к вектору _{управления} uk ;
• w _k — шум процесса, который, как предполагается, получен из нулевого среднего многомерного нормального распределения , , с ковариацией , Q _k : . ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {Q} _{k}\right)}$

В момент времени k наблюдение (или измерение) z _k истинного состояния x _k производится в соответствии с

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

где

• H _k — модель наблюдения, которая отображает истинное пространство состояний в наблюдаемое пространство и
• v _k — шум наблюдения, который предполагается равным нулевому среднему гауссовскому белому шуму с ковариацией R _k : . ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {R} _{k}\right)}$

Начальное состояние и векторы шума на каждом шаге { x ₀ , w ₁ , ..., w _k , v ₁ , ... , v _k } предполагаются взаимно независимыми .

Многие динамические системы реального времени не совсем соответствуют этой модели. Фактически, немоделированная динамика может серьезно ухудшить производительность фильтра, даже если он должен был работать с неизвестными стохастическими сигналами в качестве входных данных. Причина этого в том, что эффект немоделируемой динамики зависит от входных данных и, следовательно, может привести алгоритм оценки к неустойчивости (он расходится). С другой стороны, независимые сигналы белого шума не приведут к расхождению алгоритма. Проблема различения шума измерений и немоделированной динамики сложна и рассматривается как проблема теории управления с использованием робастного управления . ^{[28] [29]}

Подробности

Фильтр Калмана представляет собой рекурсивный оценщик. Это означает, что для вычисления оценки текущего состояния необходимы только оцененное состояние из предыдущего временного шага и текущее измерение. В отличие от методов пакетной оценки, не требуется никакой истории наблюдений и/или оценок. Далее обозначения представляют собой оценку данных наблюдений в момент времени n вплоть до момента времени m ≤ n включительно . ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Состояние фильтра представлено двумя переменными:

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$, среднее значение апостериорной оценки состояния во время k с учетом наблюдений до момента k включительно ;
• ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$, ковариационная матрица апостериорной оценки (мера предполагаемой точности оценки состояния).

Структура алгоритма фильтра Калмана напоминает структуру альфа-бета-фильтра . Фильтр Калмана можно записать в виде одного уравнения; однако чаще всего его концептуализируют как две отдельные фазы: «Прогнозирование» и «Обновление». Фаза прогнозирования использует оценку состояния на предыдущем временном шаге для получения оценки состояния на текущем временном шаге. Эта прогнозируемая оценка состояния также известна как априорная оценка состояния, поскольку, хотя она и является оценкой состояния на текущем временном шаге, она не включает в себя информацию наблюдения с текущего временного шага. На этапе обновления нововведение (остаток предварительной подгонки), то есть разница между текущим априорным прогнозом и текущей информацией наблюдений, умножается на оптимальный коэффициент усиления Калмана и объединяется с предыдущей оценкой состояния для уточнения оценки состояния. Эта улучшенная оценка, основанная на текущих наблюдениях, называется оценкой апостериорного состояния.

Обычно эти две фазы чередуются: прогнозирование продвигает состояние до следующего запланированного наблюдения, а обновление включает наблюдение. Однако в этом нет необходимости; если наблюдение по какой-либо причине недоступно, обновление можно пропустить и выполнить несколько процедур прогнозирования. Аналогично, если одновременно доступны несколько независимых наблюдений, можно выполнить несколько процедур обновления (обычно с разными матрицами наблюдений H _k ). ^{[30] [31]}

Предсказывать

Обновлять

Приведенная выше формула обновленной ( апостериорной ) ковариации оценки действительна для оптимального коэффициента усиления K _k , который минимизирует остаточную ошибку, и в этом виде она наиболее широко используется в приложениях. Доказательство формул можно найти в разделе «Выводы» , где также показана формула, справедливая для любого K _{k .}

Более интуитивный способ выразить обновленную оценку состояния ( ): ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}){\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {z} _{k}}$

Это выражение напоминает нам линейную интерполяцию между [0,1]. В нашем случае: ${\displaystyle x=(1-t)(a)+t(b)}$ ${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle t}$— это матрица , из которой принимаются значения (высокая ошибка датчика) или проекция (низкая ошибка). ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle a}$— внутреннее состояние, оцененное по модели. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$
• ${\displaystyle b}$— внутреннее состояние , оцененное на основе измерений в предположении, что оно несингулярно. ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}^{-1}\mathbf {z} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$

Это выражение также напоминает этап обновления альфа-бета-фильтра .

Инварианты

Если модель точна и значения и точно отражают распределение значений начального состояния, то сохраняются следующие инварианты: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}]&=\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}]=0\\\operatorname {E} [{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}]&=0\end{aligned}}}$

где ожидаемое значение . _ То есть все оценки имеют среднюю ошибку, равную нулю. ${\displaystyle \operatorname {E} [\xi ]}$ ${\displaystyle \xi }$

Также:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\\\mathbf {S} _{k}&=\operatorname {cov} \left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}\right)\end{aligned}}}$

поэтому ковариационные матрицы точно отражают ковариацию оценок.

Оценка ковариаций шума Q k и R k

Практическая реализация фильтра Калмана часто затруднена из-за сложности получения хорошей оценки ковариационных матриц шума Q _k и R _k . Для оценки этих ковариаций на основе данных было проведено обширное исследование. Одним из практических методов достижения этой цели является метод наименьших квадратов автоковариации (ALS) , который использует автоковариации с запаздыванием по времени для рутинных рабочих данных для оценки ковариаций. ^{[32] [33]} Код GNU Octave и Matlab , используемый для расчета ковариационных матриц шума с использованием метода ALS, доступен в Интернете по лицензии GNU General Public License . ^[34] Был предложен полевой фильтр Калмана (FKF), байесовский алгоритм, который позволяет одновременно оценивать состояние, параметры и ковариацию шума. ^[35] Алгоритм FKF имеет рекурсивную формулировку, хорошую наблюдаемую сходимость и относительно низкую сложность, что позволяет предположить, что алгоритм FKF, возможно, может быть достойной альтернативой автоковариационным методам наименьших квадратов.

Оптимальность и производительность

Из теории следует, что фильтр Калмана обеспечивает оптимальную оценку состояния в случаях, когда а) модель идеально соответствует реальной системе, б) входящий шум «белый» (некоррелированный) и в) ковариации шума точно известны. Коррелированный шум также можно обрабатывать с помощью фильтров Калмана. ^[36] За последние десятилетия было предложено несколько методов оценки ковариации шума, включая ALS, упомянутый в разделе выше. После оценки ковариаций полезно оценить производительность фильтра; т.е. можно ли улучшить качество оценки состояния. Если фильтр Калмана работает оптимально, инновационная последовательность (выходная ошибка прогнозирования) представляет собой белый шум, поэтому свойство белизны инноваций измеряет производительность фильтра. Для этой цели можно использовать несколько различных методов. ^[37] Если члены шума распределены негауссовым образом, в литературе известны методы оценки эффективности оценки фильтра, которые используют вероятностные неравенства или теорию большой выборки. ^{[38] [39]}

Пример применения, технический

  Правда;  фильтрованный процесс;  наблюдения.

Представьте себе грузовик, едущий по прямым рельсам без трения. Первоначально грузовик неподвижен в положении 0, но его то и дело трясут случайными неконтролируемыми силами. Мы измеряем положение грузовика каждые Δt секунд , но эти измерения неточны; мы хотим сохранить модель положения и скорости грузовика . Здесь мы покажем, как мы получаем модель, на основе которой создаем наш фильтр Калмана.

Поскольку они постоянны, их временные индексы опускаются. ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {H} ,\mathbf {R} ,\mathbf {Q} }$

Положение и скорость грузовика описываются линейным пространством состояний.

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}={\begin{bmatrix}x\\{\dot {x}}\end{bmatrix}}}$

где – скорость, то есть производная положения по времени. ${\displaystyle {\dot {x}}}$

Мы предполагаем, что между временными шагами ( k  - 1) и k неконтролируемые силы вызывают постоянное ускорение k , которое нормально распределяется со средним _{значением} 0 и стандартным отклонением σ _a . Из законов движения Ньютона мы заключаем, что

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {G} a_{k}}$

(термин отсутствует , поскольку нет известных управляющих входных данных. Вместо этого k _— это эффект неизвестного входного сигнала, который применяет этот эффект к вектору состояния), где ${\displaystyle \mathbf {B} u}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}1&\Delta t\\0&1\end{bmatrix}}\\[4pt]\mathbf {G} &={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{2}\\[6pt]\Delta t\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

так что

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {w} _{k}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} _{k}&\sim N(0,\mathbf {Q} )\\\mathbf {Q} &=\mathbf {G} \mathbf {G} ^{\textsf {T}}\sigma _{a}^{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}{\Delta t}^{4}&{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}\\[6pt]{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}&{\Delta t}^{2}\end{bmatrix}}\sigma _{a}^{2}.\end{aligned}}}$

Матрица не является полным рангом (она имеет ранг один, если ). Следовательно, распределение не является абсолютно непрерывным и не имеет функции плотности вероятности . Другой способ выразить это, избегая явных вырожденных распределений, дается формулой ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \Delta t\neq 0}$ ${\displaystyle N(0,\mathbf {Q} )}$

${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim \mathbf {G} \cdot N\left(0,\sigma _{a}^{2}\right).}$

На каждом временном этапе производится зашумленное измерение истинного положения грузовика. Предположим, что шум измерения v _k также распределен нормально, со средним значением 0 и стандартным отклонением σ _z .

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {Hx} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

где

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathrm {E} \left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]={\begin{bmatrix}\sigma _{z}^{2}\end{bmatrix}}}$

Мы знаем начальное стартовое состояние грузовика с идеальной точностью, поэтому инициализируем

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

и чтобы сообщить фильтру, что мы знаем точное положение и скорость, мы даем ему нулевую ковариационную матрицу:

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

Если начальное положение и скорость точно не известны, ковариационную матрицу следует инициализировать подходящими отклонениями на ее диагонали:

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&0\\0&\sigma _{\dot {x}}^{2}\end{bmatrix}}}$

Тогда фильтр будет отдавать предпочтение информации первых измерений, а не информации, уже содержащейся в модели.

Асимптотическая форма

Для простоты предположим, что управляющий вход . Тогда фильтр Калмана можно записать: ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {0} }$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}].}$

Аналогичное уравнение справедливо, если мы добавим ненулевой управляющий вход. Матрицы усиления развиваются независимо от измерений . С учетом вышеизложенного четыре уравнения, необходимые для обновления коэффициента усиления Калмана, выглядят следующим образом: ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k},\\\mathbf {S} _{k}&=\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k},\\\mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1},\\\mathbf {P} _{k|k}&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k|k-1}.\end{aligned}}}$

Поскольку матрицы усиления зависят только от модели, а не от измерений, их можно рассчитать в автономном режиме. Сходимость матриц выигрыша к асимптотической матрице применима для условий, установленных Вальрандом и Димакисом. ^[40] Моделирование устанавливает количество шагов к конвергенции. Для примера с движущимся грузовиком, описанного выше, с . и моделирование показывает сходимость в итерациях. ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$ ${\displaystyle \Delta t=1}$ ${\displaystyle \sigma _{a}^{2}=\sigma _{z}^{2}=\sigma _{x}^{2}=\sigma _{\dot {x}}^{2}=1}$ ${\displaystyle 10}$

Используя асимптотический коэффициент усиления и предполагая, что и не зависят от , фильтр Калмана становится линейным, не зависящим от времени фильтром: ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}+\mathbf {K} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} \mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}].}$

Асимптотический коэффициент усиления , если он существует, можно вычислить, сначала решив следующее дискретное уравнение Риккати для асимптотической ковариации состояния : ^[40] ${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }=\mathbf {F} \left(\mathbf {P} _{\infty }-\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right)^{-1}\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\right)\mathbf {F} ^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} .}$

Затем асимптотический выигрыш вычисляется, как и раньше.

${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }=\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.}$

Кроме того, форма асимптотического фильтра Калмана, более часто используемая в теории управления, имеет вид

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}],}}$

где

${\displaystyle {\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }=\mathbf {F} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.}$

Это приводит к оценке вида

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=(\mathbf {F} -{\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }\mathbf {H} ){\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }\mathbf {z} _{k},}}$

Выводы

Фильтр Калмана можно получить как обобщенный метод наименьших квадратов , работающий с предыдущими данными. ^[41]

Получение ковариационной матрицы апостериорной оценки

Начнем с нашего инварианта ковариации ошибок P _{k  |  к} , как указано выше

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)}$

заменить в определении ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\mathbf {x} _{k}-\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}\right)\right]}$

и заменить ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}_{k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]\right)}$

и ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]\right)}$

и, собрав векторы ошибок, получим

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)-\mathbf {K} _{k}\mathbf {v} _{k}\right]}$

Поскольку ошибка измерения v _k не коррелирует с другими членами, это становится

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\right]+\operatorname {cov} \left[\mathbf {K} _{k}\mathbf {v} _{k}\right]}$

по свойствам векторной ковариации это становится

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\operatorname {cov} \left(\mathbf {v} _{k}\right)\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

что, используя наш инвариант на P _{k  |  k −1} , и определение R _k становится

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

Эта формула (иногда известная как форма Джозефа уравнения обновления ковариации) действительна для любого значения K _k . Оказывается, если K _k является оптимальным коэффициентом усиления Калмана, его можно упростить, как показано ниже.

Вывод выигрыша Кальмана

Фильтр Калмана представляет собой средство оценки минимальной среднеквадратической ошибки . Ошибка апостериорной оценки состояния равна

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

Мы стремимся минимизировать математическое ожидание квадрата величины этого вектора . Это эквивалентно минимизации следа ковариационной матрицы апостериорной оценки . Раскрывая члены приведенного выше уравнения и собирая их, мы получаем: ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left\|\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k}\right\|^{2}\right]}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k|k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}\right)\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}\\[6pt]&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$

Трасса минимизируется, когда ее матричная производная по матрице усиления равна нулю. Используя правила матрицы градиентов и симметрию задействованных матриц, мы находим, что

${\displaystyle {\frac {\partial \;\operatorname {tr} (\mathbf {P} _{k\mid k})}{\partial \;\mathbf {K} _{k}}}=-2\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}+2\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}=0.}$

Решение этого вопроса для K _k дает выигрыш Калмана:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}&=\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\\\Rightarrow \mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\end{aligned}}}$

Этот коэффициент усиления, известный как оптимальный коэффициент Калмана , при использовании дает оценки MMSE .

Упрощение формулы ковариации апостериорной ошибки

Формула, используемая для расчета ковариации апостериорной ошибки, может быть упрощена, когда коэффициент усиления Калмана равен оптимальному значению, полученному выше. Умножив обе части нашей формулы выигрыша Калмана справа на S _k K _k ^T , следует, что

${\displaystyle \mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

Возвращаясь к нашей расширенной формуле для ковариации апостериорной ошибки:

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

мы обнаруживаем, что последние два члена сокращаются, давая

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k\mid k-1}}$

Эта формула требует меньше вычислительных затрат и поэтому почти всегда используется на практике, но верна только для оптимального усиления. Если арифметическая точность необычно низкая, что вызывает проблемы с числовой стабильностью , или если намеренно используется неоптимальный коэффициент усиления Калмана, это упрощение невозможно применить; Необходимо использовать формулу ковариации апостериорной ошибки, полученную выше (форма Джозефа).

Анализ чувствительности

Уравнения фильтрации Калмана рекурсивно дают оценку состояния и его ковариацию ошибок . Оценка и ее качество зависят от параметров системы и статистики шума, подаваемой в качестве входных данных в оценщик. В этом разделе анализируется влияние неопределенностей на статистические входные данные для фильтра. ^[42] В отсутствие достоверной статистики или истинных значений ковариационных матриц шума и выражение ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

больше не обеспечивает фактическую ковариацию ошибок. Другими словами, . В большинстве приложений реального времени ковариационные матрицы, используемые при разработке фильтра Калмана, отличаются от фактических (истинных) матриц ковариаций шума. ^{[ нужна цитация ]} Этот анализ чувствительности описывает поведение ковариации ошибки оценки, когда ковариации шума, а также системные матрицы, которые подаются в качестве входных данных в фильтр, неверны. Таким образом, анализ чувствительности описывает устойчивость (или чувствительность) оценщика к неверно указанным статистическим и параметрическим входным данным для оценщика. ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}\neq E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$

Это обсуждение ограничивается анализом чувствительности к ошибкам в случае статистических неопределенностей. Здесь фактические ковариации шума обозначаются символами и соответственно, тогда как расчетные значения, используемые в средстве оценки, обозначаются символами и соответственно. Фактическая ковариация ошибок обозначается и , вычисленная с помощью фильтра Калмана, называется переменной Риккати. Когда и , это означает, что . При вычислении фактической ковариации ошибок с использованием , замена и использование того факта, что и , приводит к следующим рекурсивным уравнениям для  : ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}\equiv \mathbf {Q} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}\equiv \mathbf {R} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ ${\displaystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}^{a}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}^{a}}$

и

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}^{a}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

Во время вычислений фильтр по своей конструкции неявно предполагает, что и . Рекурсивные выражения для и идентичны, за исключением наличия и вместо расчетных значений и соответственно. Были проведены исследования для анализа надежности системы фильтров Калмана. ^[43] ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ ${\displaystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}}$ ${\displaystyle E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$

Форма квадратного корня

Одной из проблем фильтра Калмана является его численная стабильность . Если ковариация шума процесса Q _k мала, ошибка округления часто приводит к тому, что небольшое положительное собственное значение матрицы ковариации состояния P вычисляется как отрицательное число. Это делает числовое представление P неопределенным , в то время как его истинная форма является положительно определенной .

Положительно определенные матрицы обладают тем свойством, что они имеют квадратный корень треугольной матрицы P  =  S · S ^T . Это можно эффективно вычислить с помощью алгоритма факторизации Холецкого , но, что более важно, если ковариация сохраняется в этой форме, она никогда не сможет иметь отрицательную диагональ или стать асимметричной. Эквивалентной формой, которая позволяет избежать многих операций извлечения квадратного корня , ^{необходимых} для извлечения квадратного корня матрицы, но сохраняет желаемые числовые свойства, является форма разложения UD, P  =  U · D · UT , где U — единичная треугольная матрица (с единицей измерения). диагональ), а D — диагональная матрица.

Между этими двумя факторизация UD использует тот же объем памяти и несколько меньше вычислений и является наиболее часто используемой формой квадратного корня. (Ранняя литература об относительной эффективности несколько вводит в заблуждение, поскольку предполагалось, что извлечение квадратного корня требует гораздо больше времени, чем деление, ^{[44] :69} , в то время как на компьютерах 21-го века оно лишь немного дороже.)

Эффективные алгоритмы для шагов предсказания Калмана и обновления в форме квадратного корня были разработаны Г. Дж. Бирманом и К. Л. Торнтоном. ^{[44] [45]}

Разложение L · D · L ^T инновационной ковариационной матрицы S k _{является} основой для другого типа численно эффективного и надежного фильтра с квадратным корнем. ^[46] Алгоритм начинается с LU-разложения, реализованного в пакете линейной алгебры ( LAPACK ). Эти результаты далее учитываются в ^{структуре} L · D · LT с помощью методов Голуба и Ван Лоана (алгоритм 4.1.2) для симметричной неособой матрицы. ^[47] Любая сингулярная ковариационная матрица поворачивается так , что первое диагональное разбиение является неособым и хорошо обусловленным . Алгоритм поворота должен сохранять любую часть инновационной ковариационной матрицы, непосредственно соответствующую наблюдаемым переменным состояния H _k · x _k|k-1 , которые связаны со вспомогательными наблюдениями в y _k . Фильтр с квадратным корнем l · d · l ^{t требует} ортогонализации вектора наблюдения. ^{[45] [46]} Это можно сделать с помощью обратного извлечения квадратного корня из ковариационной матрицы для вспомогательных переменных, используя метод 2 в Higham (2002, стр. 263). ^[48]

Параллельная форма

Фильтр Калмана эффективен для последовательной обработки данных на центральных процессорах (ЦП), но в своей исходной форме он неэффективен на параллельных архитектурах, таких как графические процессоры (ГП). Однако процедуру обновления фильтра можно выразить в терминах ассоциативного оператора, используя формулировку Сярккя (2021). ^[49] Затем решение фильтра можно получить с помощью алгоритма суммы префиксов , который можно эффективно реализовать на графическом процессоре. ^[50] Это снижает вычислительную сложность с количества временных шагов до . ${\displaystyle O(N)}$ ${\displaystyle O(\log(N))}$

Связь с рекурсивной байесовской оценкой

Фильтр Калмана можно представить как одну из простейших динамических байесовских сетей . Фильтр Калмана вычисляет оценки истинных значений состояний рекурсивно во времени, используя входящие измерения и математическую модель процесса. Аналогичным образом, рекурсивная байесовская оценка вычисляет оценки неизвестной функции плотности вероятности (PDF) рекурсивно во времени с использованием входящих измерений и математической модели процесса. ^[51]

При рекурсивной байесовской оценке истинное состояние считается ненаблюдаемым марковским процессом , а измерения — наблюдаемыми состояниями скрытой марковской модели (HMM).

скрытая марковская модель

Из-за предположения Маркова истинное состояние условно независимо от всех предыдущих состояний, учитывая непосредственно предыдущее состояние.

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k-1})=p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})}$

Аналогично, измерение на k -м временном шаге зависит только от текущего состояния и условно независимо от всех других состояний с учетом текущего состояния.

${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k})=p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})}$

Используя эти предположения, распределение вероятностей по всем состояниям скрытой модели Маркова можно просто записать как:

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k},\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{k}\right)=p\left(\mathbf {x} _{0}\right)\prod _{i=1}^{k}p\left(\mathbf {z} _{i}\mid \mathbf {x} _{i}\right)p\left(\mathbf {x} _{i}\mid \mathbf {x} _{i-1}\right)}$

Однако, когда для оценки состояния x используется фильтр Калмана , интересующее распределение вероятностей связано с текущими состояниями, обусловленными измерениями до текущего временного шага. Это достигается путем исключения предыдущих состояний и деления на вероятность набора измерений.

Это приводит к тому, что фазы прогнозирования и обновления фильтра Калмана записаны вероятностно. Распределение вероятностей, связанное с прогнозируемым состоянием, представляет собой сумму (интеграл) произведений распределения вероятностей, связанного с переходом от ( k  - 1)-го временного шага к k -му, и распределения вероятностей, связанного с предыдущим состоянием, из всех возможных . ${\displaystyle x_{k-1}}$

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k-1}}$

Измерение, установленное до времени t, равно

${\displaystyle \mathbf {Z} _{t}=\left\{\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{t}\right\}}$

Распределение вероятностей обновления пропорционально произведению вероятности измерения и прогнозируемого состояния.

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k}\right)={\frac {p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}{p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}}}$

Знаменатель

${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k}}$

является нормировочным термином.

Остальные функции плотности вероятности:

${\displaystyle {\begin{aligned}p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1},\mathbf {Q} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k-1},\mathbf {P} _{k-1}\right)\end{aligned}}}$

PDF на предыдущем временном шаге индуктивно считается предполагаемым состоянием и ковариацией. Это оправдано, поскольку в качестве оптимального средства оценки фильтр Калмана наилучшим образом использует измерения, поэтому PDF для данных измерений представляет собой оценку фильтра Калмана. ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{k}}$

Предельная вероятность

В отношении рекурсивной байесовской интерпретации, описанной выше, фильтр Калмана можно рассматривать как генеративную модель , т.е. процесс генерации потока случайных наблюдений z = ( z ₀ , z ₁ , z ₂ , ...). В частности, процесс

1. Выберите скрытое состояние из предварительного распределения Гаусса . ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ ${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0},\mathbf {P} _{0\mid 0}\right)}$
2. Выберите наблюдение из модели наблюдения . ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}}$ ${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{0}\mid \mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{0}\mathbf {x} _{0},\mathbf {R} _{0}\right)}$
3. Для , сделайте ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$
   1. Попробуйте следующее скрытое состояние из модели перехода. ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ ${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k},\mathbf {Q} _{k}\right).}$
   2. Выборка наблюдения из модели наблюдения ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$ ${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right).}$

Этот процесс имеет структуру, идентичную скрытой марковской модели , за исключением того, что дискретное состояние и наблюдения заменяются непрерывными переменными, выбранными из гауссовских распределений.

В некоторых приложениях полезно вычислить вероятность того, что фильтр Калмана с заданным набором параметров (априорное распределение, модели перехода и наблюдения, а также управляющие входы) будет генерировать конкретный наблюдаемый сигнал. Эта вероятность известна как предельное правдоподобие , поскольку она интегрирует («вытесняет») значения скрытых переменных состояния, поэтому ее можно вычислить, используя только наблюдаемый сигнал. Предельное правдоподобие может быть полезно для оценки различных вариантов параметров или для сравнения фильтра Калмана с другими моделями с использованием сравнения байесовских моделей .

Вычислить предельное правдоподобие как побочный эффект вычислений рекурсивной фильтрации несложно. По правилу цепочки вероятность можно факторизовать как произведение вероятности каждого наблюдения с учетом предыдущих наблюдений:

${\displaystyle p(\mathbf {z} )=\prod _{k=0}^{T}p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)}$,

а поскольку фильтр Калмана описывает марковский процесс, вся соответствующая информация из предыдущих наблюдений содержится в оценке текущего состояния. Таким образом, предельное правдоподобие определяется выражением ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {z} )&=\prod _{k=0}^{T}\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}\int {\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right){\mathcal {N}}\left(\mathbf {x} _{k};{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {R} _{k}+\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\right)\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}\right),\end{aligned}}}$

т. е. произведение гауссовых плотностей, каждая из которых соответствует плотности одного наблюдения z _k при текущем распределении фильтрации . Это можно легко вычислить как простое рекурсивное обновление; однако, чтобы избежать числового опустошения , в практической реализации обычно желательно вместо этого вычислить логарифмическую предельную вероятность . Приняв соглашение , это можно сделать с помощью правила рекурсивного обновления. ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}}$ ${\displaystyle \ell =\log p(\mathbf {z} )}$ ${\displaystyle \ell ^{(-1)}=0}$

${\displaystyle \ell ^{(k)}=\ell ^{(k-1)}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}+\log \left|\mathbf {S} _{k}\right|+d_{y}\log 2\pi \right),}$

где – размерность вектора измерения. ^[52] ${\displaystyle d_{y}}$

Важным приложением, в котором используется такая (логарифмическая) вероятность наблюдений (с учетом параметров фильтра), является отслеживание нескольких целей. Например, рассмотрим сценарий отслеживания объектов, где входными данными является поток наблюдений, однако неизвестно, сколько объектов находится в сцене (или количество объектов известно, но больше одного). Для такого сценария априори может быть неизвестно, какие наблюдения/измерения каким объектом были произведены. Средство отслеживания множественных гипотез (MHT) обычно формирует различные гипотезы ассоциации треков, где каждую гипотезу можно рассматривать как фильтр Калмана (для линейного гауссовского случая) с определенным набором параметров, связанных с гипотетическим объектом. Таким образом, важно вычислить вероятность наблюдений для различных рассматриваемых гипотез, чтобы можно было найти наиболее вероятную из них.

Информационный фильтр

В случаях, когда размерность вектора наблюдения y больше, чем размерность вектора пространства состояний x , информационный фильтр может избежать инверсии большей матрицы при вычислении коэффициента усиления Калмана ценой инвертирования меньшей матрицы на этапе прогнозирования. , тем самым экономя время вычислений. В информационном фильтре или обратном ковариационном фильтре оцененная ковариация и оцененное состояние заменяются информационной матрицей и информационным вектором соответственно. Они определяются как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\end{aligned}}}$

Точно так же прогнозируемая ковариация и состояние имеют эквивалентные информационные формы, определяемые как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\end{aligned}}}$

а также ковариация измерения и вектор измерения, которые определяются как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {H} _{k}\\\mathbf {i} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {z} _{k}\end{aligned}}}$

Обновление информации теперь становится тривиальной суммой. ^[53]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\mathbf {I} _{k}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {i} _{k}\end{aligned}}}$

Основное преимущество информационного фильтра состоит в том, что на каждом временном шаге можно фильтровать N измерений, просто суммируя их информационные матрицы и векторы.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {I} _{k,j}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {i} _{k,j}\end{aligned}}}$

Для прогнозирования информационного фильтра информационная матрица и вектор могут быть преобразованы обратно в их эквиваленты в пространстве состояний или, альтернативно, можно использовать прогнозирование информационного пространства. ^[53]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{k}&=\left[\mathbf {F} _{k}^{-1}\right]^{\textsf {T}}\mathbf {Y} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{-1}\\\mathbf {C} _{k}&=\mathbf {M} _{k}\left[\mathbf {M} _{k}+\mathbf {Q} _{k}^{-1}\right]^{-1}\\\mathbf {L} _{k}&=\mathbf {I} -\mathbf {C} _{k}\\\mathbf {Y} _{k\mid k-1}&=\mathbf {L} _{k}\mathbf {M} _{k}+\mathbf {C} _{k}\mathbf {Q} _{k}^{-1}\mathbf {C} _{k}^{\textsf {T}}\\{\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k-1}&=\mathbf {L} _{k}\left[\mathbf {F} _{k}^{-1}\right]^{\textsf {T}}{\hat {\mathbf {y} }}_{k-1\mid k-1}\end{aligned}}}$

Плавность с фиксированной задержкой

Оптимальный сглаживатель фиксированной задержки обеспечивает оптимальную оценку для данной фиксированной задержки с помощью измерений от до . ^[54] Его можно получить, используя предыдущую теорию через расширенное состояние, и основное уравнение фильтра выглядит следующим образом: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k-N\mid k}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {z} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-1\mid t}\\\vdots \\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-N+1\mid t}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {I} \\0\\\vdots \\0\\\end{bmatrix}}{\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}+{\begin{bmatrix}0&\ldots &0\\\mathbf {I} &0&\vdots \\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\mathbf {I} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {x} }}_{t-1\mid t-1}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-2\mid t-1}\\\vdots \\{\hat {\mathbf {x} }}_{t-N+1\mid t-1}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\mathbf {K} ^{(0)}\\\mathbf {K} ^{(1)}\\\vdots \\\mathbf {K} ^{(N-1)}\\\end{bmatrix}}\mathbf {y} _{t\mid t-1}}$

где:

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}}$оценивается с помощью стандартного фильтра Калмана;
• ${\displaystyle \mathbf {y} _{t\mid t-1}=\mathbf {z} _{t}-\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x} }}_{t\mid t-1}}$– нововведение, полученное с учетом оценки стандартного фильтра Калмана;
• различные с являются новыми переменными; т.е. они не появляются в стандартном фильтре Калмана; ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{t-i\mid t}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,N-1}$
• Прибыль рассчитывается по следующей схеме:

  ${\displaystyle \mathbf {K} ^{(i+1)}=\mathbf {P} ^{(i)}\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left[\mathbf {H} \mathbf {P} \mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right]^{-1}}$

и

${\displaystyle \mathbf {P} ^{(i)}=\mathbf {P} \left[\left(\mathbf {F} -\mathbf {K} \mathbf {H} \right)^{\textsf {T}}\right]^{i}}$

где и — ковариация ошибки прогнозирования и коэффициенты усиления стандартного фильтра Калмана (т. е. ). ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{t\mid t-1}}$

Если ковариация ошибки оценки определена так, что

${\displaystyle \mathbf {P} _{i}:=E\left[\left(\mathbf {x} _{t-i}-{\hat {\mathbf {x} }}_{t-i\mid t}\right)^{*}\left(\mathbf {x} _{t-i}-{\hat {\mathbf {x} }}_{t-i\mid t}\right)\mid z_{1}\ldots z_{t}\right],}$

тогда мы получаем, что улучшение оценки определяется выражением: ${\displaystyle \mathbf {x} _{t-i}}$

${\displaystyle \mathbf {P} -\mathbf {P} _{i}=\sum _{j=0}^{i}\left[\mathbf {P} ^{(j)}\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} \mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right)^{-1}\mathbf {H} \left(\mathbf {P} ^{(i)}\right)^{\textsf {T}}\right]}$

Сглаживатели с фиксированным интервалом

Оптимальный сглаживатель с фиксированным интервалом обеспечивает оптимальную оценку ( ) с использованием измерений от фиксированного интервала до . Это также называется «сглаживанием Калмана». Существует несколько широко используемых алгоритмов сглаживания. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid n}}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle \mathbf {z} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {z} _{n}}$

Раух-Тунг-Штрибель

Сглаживатель Рауха-Тунга-Штрибеля (RTS) представляет собой эффективный двухпроходный алгоритм сглаживания с фиксированным интервалом. ^[55]

Прямой проход аналогичен обычному алгоритму фильтра Калмана. Эти отфильтрованные априорные и апостериорные оценки состояния и ковариации сохраняются для использования при обратном проходе (для ретродиктации ). ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$

При обратном проходе мы вычисляем сглаженные оценки состояния и ковариации . Мы начинаем с последнего временного шага и движемся назад во времени, используя следующие рекурсивные уравнения: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid n}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}+\mathbf {C} _{k}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k+1\mid n}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k+1\mid k}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k}+\mathbf {C} _{k}\left(\mathbf {P} _{k+1\mid n}-\mathbf {P} _{k+1\mid k}\right)\mathbf {C} _{k}^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \mathbf {C} _{k}=\mathbf {P} _{k\mid k}\mathbf {F} _{k+1}^{\textsf {T}}\mathbf {P} _{k+1\mid k}^{-1}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{k\mid k}}$— апостериорная оценка состояния временного шага и — априорная оценка состояния временного шага . Те же обозначения применимы и к ковариации. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k+1\mid k}}$ ${\displaystyle k+1}$

Модифицированный более сглаживающий Брайсон – Фрейзер

Альтернативой алгоритму RTS является модифицированный сглаживатель с фиксированным интервалом Брайсона-Фрейзера (MBF), разработанный Бирманом. ^[45] При этом также используется обратный проход, который обрабатывает данные, сохраненные из прямого прохода фильтра Калмана. Уравнения обратного прохода включают рекурсивное вычисление данных, которые используются в каждый момент наблюдения для вычисления сглаженного состояния и ковариации.

Рекурсивные уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\Lambda }}_{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\mathbf {H} _{k}+{\hat {\mathbf {C} }}_{k}^{\textsf {T}}{\hat {\Lambda }}_{k}{\hat {\mathbf {C} }}_{k}\\{\hat {\Lambda }}_{k-1}&=\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}{\tilde {\Lambda }}_{k}\mathbf {F} _{k}\\{\hat {\Lambda }}_{n}&=0\\{\tilde {\lambda }}_{k}&=-\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\mathbf {y} _{k}+{\hat {\mathbf {C} }}_{k}^{\textsf {T}}{\hat {\lambda }}_{k}\\{\hat {\lambda }}_{k-1}&=\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}{\tilde {\lambda }}_{k}\\{\hat {\lambda }}_{n}&=0\end{aligned}}}$

где – остаточная ковариация и . Сглаженное состояние и ковариацию затем можно найти путем подстановки в уравнения ${\displaystyle \mathbf {S} _{k}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {C} }}_{k}=\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k}-\mathbf {P} _{k\mid k}{\hat {\Lambda }}_{k}\mathbf {P} _{k\mid k}\\\mathbf {x} _{k\mid n}&=\mathbf {x} _{k\mid k}-\mathbf {P} _{k\mid k}{\hat {\lambda }}_{k}\end{aligned}}}$

или

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}{\tilde {\Lambda }}_{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\\\mathbf {x} _{k\mid n}&=\mathbf {x} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}{\tilde {\lambda }}_{k}.\end{aligned}}}$

Важным преимуществом MBF является то, что он не требует поиска обратной ковариационной матрицы.

Сглаживание минимальной дисперсии

Сглаживатель с минимальной дисперсией может достичь наилучших показателей по ошибкам при условии, что модели линейны, их параметры и статистика шума точно известны. ^[56] Этот сглаживатель представляет собой изменяющееся во времени обобщение оптимального непричинного фильтра Винера в пространстве состояний .

Более плавные вычисления выполняются за два прохода. Прямые вычисления включают в себя предиктор на один шаг вперед и определяются выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k+1\mid k}&=(\mathbf {F} _{k}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}){\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {z} _{k}\\\alpha _{k}&=-\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {z} _{k}\end{aligned}}}$

Вышеуказанная система известна как обратный фактор Винера-Хопфа. Обратная рекурсия является дополнением к описанной выше прямой системе. Результат обратного прохода может быть вычислен путем применения прямых уравнений к результату, обращенному во времени, и результату, обращенному во времени. В случае оценки выпуска сглаженная оценка определяется выражением ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle \alpha _{k}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid N}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {R} _{k}\beta _{k}}$

Взяв причинную часть этого более гладкого результата с минимальной дисперсией, получим

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}_{k\mid k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {R} _{k}\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\alpha _{k}}$

который идентичен фильтру Калмана с минимальной дисперсией. Вышеупомянутые решения минимизируют дисперсию ошибки оценки выходных данных. Обратите внимание, что более гладкий вывод Рауха-Тунга-Штрибеля предполагает, что основные распределения являются гауссовыми, тогда как решения с минимальной дисперсией - нет. Оптимальные сглаживатели для оценки состояния и оценки входных данных могут быть построены аналогичным образом.

Версия вышеупомянутого сглаживателя с непрерывным временем описана в ^{[57] , [58] .}

Алгоритмы ожидания-максимизации могут использоваться для расчета приблизительных оценок максимального правдоподобия неизвестных параметров пространства состояний в фильтрах минимальной дисперсии и сглаживателях. Часто неопределенности остаются внутри проблемных предположений. Сглаживатель, учитывающий неопределенности, можно создать, добавив к уравнению Риккати положительно определенный член. ^[59]

В случаях, когда модели нелинейны, поэтапная линеаризация может осуществляться в рамках фильтра минимальной дисперсии и более плавных рекурсий ( расширенная фильтрация Калмана ).

Частотно-взвешенные фильтры Калмана

Новаторские исследования восприятия звуков разных частот были проведены Флетчером и Мансоном в 1930-х годах. Их работа привела к стандартному способу взвешивания измеренных уровней звука при исследованиях промышленного шума и потери слуха. С тех пор частотные характеристики использовались в конструкциях фильтров и контроллеров для управления производительностью в интересующих диапазонах.

Обычно функция формирования частоты используется для взвешивания средней мощности спектральной плотности ошибки в указанной полосе частот. Пусть обозначает ошибку оценки выходного сигнала, проявляемую обычным фильтром Калмана. Также позвольте обозначить передаточную функцию причинно-частотного взвешивания. Оптимальное решение, минимизирующее дисперсию, получается простым построением . ${\displaystyle \mathbf {y} -{\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle \mathbf {W} \left(\mathbf {y} -{\hat {\mathbf {y} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {W} ^{-1}{\hat {\mathbf {y} }}}$

Конструкция остается открытым вопросом. Один из способов действий — идентифицировать систему, которая генерирует ошибку оценки, и установить значение, обратное этой системе. ^[60] Эту процедуру можно повторять для получения улучшения среднеквадратической ошибки за счет увеличения порядка фильтра. Тот же метод можно применить и к сглаживателям. ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$

Нелинейные фильтры

Базовый фильтр Калмана ограничен линейным предположением. Однако более сложные системы могут быть нелинейными . Нелинейность может быть связана либо с моделью процесса, либо с моделью наблюдения, либо с тем и другим.

Наиболее распространенными вариантами фильтров Калмана для нелинейных систем являются расширенный фильтр Калмана и фильтр Калмана без запаха. Пригодность того или иного фильтра использовать зависит от показателей нелинейности процесса и модели наблюдения. ^[61]

Расширенный фильтр Калмана

В расширенном фильтре Калмана (EKF) модели перехода состояний и наблюдения не обязательно должны быть линейными функциями состояния, а могут быть нелинейными функциями. Эти функции имеют дифференцируемый тип.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{k}&=f(\mathbf {x} _{k-1},\mathbf {u} _{k})+\mathbf {w} _{k}\\\mathbf {z} _{k}&=h(\mathbf {x} _{k})+\mathbf {v} _{k}\end{aligned}}}$

Функцию f можно использовать для вычисления прогнозируемого состояния на основе предыдущей оценки, и аналогичным образом функцию h можно использовать для вычисления прогнозируемого измерения на основе прогнозируемого состояния. Однако f и h нельзя применить к ковариации напрямую. Вместо этого вычисляется матрица частных производных (якобиан ) .

На каждом временном шаге якобиан оценивается с текущими предсказанными состояниями. Эти матрицы можно использовать в уравнениях фильтра Калмана. Этот процесс по существу линеаризует нелинейную функцию вокруг текущей оценки.

Фильтр Калмана без запаха

Когда модели перехода состояний и наблюдения, то есть функции прогнозирования и обновления и, сильно нелинейны, расширенный фильтр Калмана может давать особенно низкую производительность. ^{[62] [63]} Это связано с тем, что ковариация распространяется посредством линеаризации базовой нелинейной модели. Фильтр Калмана без запаха (UKF)  ^[62] использует метод детерминированной выборки, известный как преобразование без запаха (UT) , для выбора минимального набора точек выборки (называемых сигма-точками) вокруг среднего значения. Затем сигма-точки распространяются по нелинейным функциям, из которых затем формируются новое среднее значение и оценка ковариации. Результирующий фильтр зависит от того, как рассчитывается преобразованная статистика UT и какой набор сигма-точек используется. Следует отметить, что всегда можно последовательно строить новые УКФ. ^[64] Для некоторых систем полученная UKF более точно оценивает истинное среднее значение и ковариацию. ^[65] Это можно проверить с помощью выборки Монте-Карло или разложения апостериорной статистики в ряд Тейлора . Кроме того, этот метод устраняет необходимость явного расчета якобианов, что для сложных функций само по себе может быть трудной задачей (т. е. требовать сложных производных, если они выполняются аналитически, или затратно в вычислительном отношении, если они выполняются численно), если не невозможно (если эти функции не дифференцируемо). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$

Сигма-очки

Для случайного вектора сигма-точками является любой набор векторов. ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{L})}$

${\displaystyle \{\mathbf {s} _{0},\dots ,\mathbf {s} _{N}\}={\bigl \{}{\begin{pmatrix}s_{0,1}&s_{0,2}&\ldots &s_{0,L}\end{pmatrix}},\dots ,{\begin{pmatrix}s_{N,1}&s_{N,2}&\ldots &s_{N,L}\end{pmatrix}}{\bigr \}}}$

приписывается с

• веса первого порядка , которые удовлетворяют ${\displaystyle W_{0}^{a},\dots ,W_{N}^{a}}$

1. ${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}W_{j}^{a}=1}$
2. для всех : ${\displaystyle i=1,\dots ,L}$ ${\displaystyle E[x_{i}]=\sum _{j=0}^{N}W_{j}^{a}s_{j,i}}$

• веса второго порядка , которые удовлетворяют ${\displaystyle W_{0}^{c},\dots ,W_{N}^{c}}$

1. ${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}W_{j}^{c}=1}$
2. для всех пар . ${\displaystyle (i,l)\in \{1,\dots ,L\}^{2}:E[x_{i}x_{l}]=\sum _{j=0}^{N}W_{j}^{c}s_{j,i}s_{j,l}}$

Простой выбор сигма-точек и весов в алгоритме UKF: ${\displaystyle \mathbf {x} _{k-1\mid k-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {s} _{0}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}\\-1&<W_{0}^{a}=W_{0}^{c}<1\\\mathbf {s} _{j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+{\sqrt {\frac {L}{1-W_{0}}}}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\\mathbf {s} _{L+j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}-{\sqrt {\frac {L}{1-W_{0}}}}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\W_{j}^{a}&=W_{j}^{c}={\frac {1-W_{0}}{2L}},\quad j=1,\dots ,2L\end{aligned}}}$

где - средняя оценка . Вектор — это j- й столбец, где . Обычно получается путем разложения Холецкого . При некоторой осторожности уравнения фильтра можно выразить таким образом, чтобы они вычислялись напрямую, без промежуточных вычислений . Это называется фильтром Калмана с квадратным корнем без запаха . ^[66] ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k-1\mid k-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}=\mathbf {AA} ^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}}$

Вес среднего значения , может быть выбран произвольно. ${\displaystyle W_{0}}$

Другая популярная параметризация (которая обобщает вышеизложенное):

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {s} _{0}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}\\W_{0}^{a}&={\frac {\alpha ^{2}\kappa -L}{\alpha ^{2}\kappa }}\\W_{0}^{c}&=W_{0}^{a}+1-\alpha ^{2}+\beta \\\mathbf {s} _{j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\alpha {\sqrt {\kappa }}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\\mathbf {s} _{L+j}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}-\alpha {\sqrt {\kappa }}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots ,L\\W_{j}^{a}&=W_{j}^{c}={\frac {1}{2\alpha ^{2}\kappa }},\quad j=1,\dots ,2L.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \alpha }$и контролировать распространение сигма-точек. связано с распространением . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x}$

Соответствующие значения зависят от решаемой проблемы, но типичная рекомендация — , и . Однако большее значение (например, ) может быть полезным, чтобы лучше уловить разброс распределения и возможные нелинейности. ^[67] Если истинное распределение является гауссовским, оно является оптимальным. ^[68] ${\displaystyle \alpha =10^{-3}}$ ${\displaystyle \kappa =1}$ ${\displaystyle \beta =2}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \beta =2}$

Предсказывать

Как и в случае с EKF, прогноз UKF можно использовать независимо от обновления UKF, в сочетании с линейным обновлением (или даже EKF) или наоборот.

Учитывая оценки среднего значения, ковариации и , можно получить сигма-точки, как описано в разделе выше. Сигма-точки распространяются через функцию перехода f . ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}}$ ${\displaystyle N=2L+1}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{j}=f\left(\mathbf {s} _{j}\right)\quad j=0,\dots ,2L}$.

Распространенные сигма-точки взвешиваются для получения прогнозируемого среднего значения и ковариации.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{a}\mathbf {x} _{j}\\\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}\left(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\left(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}\end{aligned}}}$

где – веса первого порядка исходных сигма-точек, – веса второго порядка. Матрица представляет собой ковариацию шума перехода, . ${\displaystyle W_{j}^{a}}$ ${\displaystyle W_{j}^{c}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$

Обновлять

Учитывая оценки прогнозирования и , вычисляется новый набор сигма-точек с соответствующими весами первого порядка и весами второго порядка . ^[69] Эти сигма-точки преобразуются с помощью функции измерения . ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}}$ ${\displaystyle N=2L+1}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{0},\dots ,\mathbf {s} _{2L}}$ ${\displaystyle W_{0}^{a},\dots W_{2L}^{a}}$ ${\displaystyle W_{0}^{c},\dots ,W_{2L}^{c}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \mathbf {z} _{j}=h(\mathbf {s} _{j}),\,\,j=0,1,\dots ,2L}$.

Затем вычисляются эмпирическое среднее и ковариация преобразованных точек.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {z} }}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{a}\mathbf {z} _{j}\\[6pt]{\hat {\mathbf {S} }}_{k}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z} }})(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z} }})^{\textsf {T}}+\mathbf {R_{k}} \end{aligned}}}$

где – ковариационная матрица шума наблюдения, . Кроме того, также необходима матрица перекрестной ковариации. ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {C_{xz}} &=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1})(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z} }})^{\textsf {T}}.\end{aligned}}}$

Выигрыш Калмана

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}=\mathbf {C_{xz}} {\hat {\mathbf {S} }}_{k}^{-1}.\end{aligned}}}$

Обновленные оценки среднего и ковариации:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}+\mathbf {K} _{k}(\mathbf {z} _{k}-{\hat {\mathbf {z} }})\\\mathbf {P} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}{\hat {\mathbf {S} }}_{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}.\end{aligned}}}$

Дискриминационный фильтр Калмана

Когда модель наблюдения сильно нелинейна и/или негауссова, может оказаться выгодным применить правило и оценку Байеса. ${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})}$

${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})\approx {\frac {p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k})}{p(\mathbf {x} _{k})}}}$

где для нелинейных функций . Это заменяет генеративную спецификацию стандартного фильтра Калмана дискриминационной моделью для скрытых состояний с учетом наблюдений. ${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k})\approx {\mathcal {N}}(g(\mathbf {z} _{k}),Q(\mathbf {z} _{k}))}$ ${\displaystyle g,Q}$

В рамках модели стационарного состояния

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {x} _{1})&={\mathcal {N}}(0,\mathbf {T} ),\\p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})&={\mathcal {N}}(\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1},\mathbf {C} ),\end{aligned}}}$

где , если ${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {F} \mathbf {T} \mathbf {F} ^{\intercal }+\mathbf {C} }$

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{1:k})\approx {\mathcal {N}}({\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1},\mathbf {P} _{k|k-1}),}$

тогда, учитывая новое наблюдение , следует, что ^[70] ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k+1}\mid \mathbf {z} _{1:k+1})\approx {\mathcal {N}}({\hat {\mathbf {x} }}_{k+1|k},\mathbf {P} _{k+1|k})}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{k+1}&=\mathbf {F} \mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {F} ^{\intercal }+\mathbf {C} ,\\\mathbf {P} _{k+1|k}&=(\mathbf {M} _{k+1}^{-1}+Q(\mathbf {z} _{k})^{-1}-\mathbf {T} ^{-1})^{-1},\\{\hat {\mathbf {x} }}_{k+1|k}&=\mathbf {P} _{k+1|k}(\mathbf {M} _{k+1}^{-1}\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}+\mathbf {P} _{k+1|k}^{-1}g(\mathbf {z} _{k})).\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что это приближение должно быть положительно определенным; в случае, если это не так, ${\displaystyle Q(\mathbf {z} _{k})^{-1}-\mathbf {T} ^{-1}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k+1|k}=(\mathbf {M} _{k+1}^{-1}+Q(\mathbf {z} _{k})^{-1})^{-1}}$

вместо этого используется. Такой подход оказывается особенно полезным, когда размерность наблюдений намного превышает размерность скрытых состояний ^[71] и может использоваться для построения фильтров, которые особенно устойчивы к нестационарностям в модели наблюдения. ^[72]

Адаптивный фильтр Калмана

Адаптивные фильтры Калмана позволяют адаптироваться к динамике процесса, которая не моделируется в модели процесса , что происходит, например, в контексте маневрирующей цели, когда для отслеживания используется фильтр Калмана с постоянной скоростью (пониженного порядка). ^[73] ${\displaystyle \mathbf {F} (t)}$

Фильтр Калмана – Бьюси

Фильтрация Калмана – Бьюси (названная в честь Ричарда Сноудена Бьюси) представляет собой версию фильтрации Калмана с непрерывным временем. ^{[74] [75]}

Он основан на модели пространства состояний.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)\\\mathbf {z} (t)&=\mathbf {H} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {v} (t)\end{aligned}}}$

где и представляют интенсивности (или, точнее: матрицы спектральной плотности мощности - PSD) двух членов белого шума и соответственно. ${\displaystyle \mathbf {Q} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {w} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$

Фильтр состоит из двух дифференциальных уравнений: одного для оценки состояния и одного для ковариации:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\hat {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {F} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {K} (t)\left(\mathbf {z} (t)-\mathbf {H} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)\right)\\{\frac {d}{dt}}\mathbf {P} (t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} ^{\textsf {T}}(t)+\mathbf {Q} (t)-\mathbf {K} (t)\mathbf {R} (t)\mathbf {K} ^{\textsf {T}}(t)\end{aligned}}}$

где выигрыш Калмана определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {K} (t)=\mathbf {P} (t)\mathbf {H} ^{\textsf {T}}(t)\mathbf {R} ^{-1}(t)}$

Обратите внимание, что в этом выражении ковариация шума наблюдения одновременно представляет собой ковариацию ошибки прогнозирования (или инновации ) ; эти ковариации равны только в случае непрерывного времени. ^[76] ${\displaystyle \mathbf {K} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} (t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}(t)=\mathbf {z} (t)-\mathbf {H} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)}$

Различия между этапами прогнозирования и обновления дискретной фильтрации Калмана не существует в непрерывном времени.

Второе дифференциальное уравнение для ковариации является примером уравнения Риккати . Нелинейные обобщения фильтров Калмана – Бьюси включают расширенный по времени фильтр Калмана.

Гибридный фильтр Калмана

Большинство физических систем представлены в виде моделей с непрерывным временем, в то время как измерения в дискретном времени часто проводятся для оценки состояния с помощью цифрового процессора. Таким образом, модель системы и модель измерения имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t),&\mathbf {w} (t)&\sim N\left(\mathbf {0} ,\mathbf {Q} (t)\right)\\\mathbf {z} _{k}&=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k},&\mathbf {v} _{k}&\sim N(\mathbf {0} ,\mathbf {R} _{k})\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {x} (t_{k})}$.

Инициализировать

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}=E\left[\mathbf {x} (t_{0})\right],\mathbf {P} _{0\mid 0}=\operatorname {Var} \left[\mathbf {x} \left(t_{0}\right)\right]}$

Предсказывать

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)&=\mathbf {F} (t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t){\text{, with }}{\hat {\mathbf {x} }}\left(t_{k-1}\right)={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}\\\Rightarrow {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}&={\hat {\mathbf {x} }}\left(t_{k}\right)\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} (t){\text{, with }}\mathbf {P} \left(t_{k-1}\right)=\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\\\Rightarrow \mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {P} \left(t_{k}\right)\end{aligned}}}$

Уравнения прогнозирования получены из уравнений фильтра Калмана непрерывного времени без обновления результатов измерений, т.е. Прогнозируемое состояние и ковариация рассчитываются соответственно путем решения системы дифференциальных уравнений с начальным значением, равным оценке на предыдущем шаге. ${\displaystyle \mathbf {K} (t)=0}$

В случае линейных систем, инвариантных во времени, динамика непрерывного времени может быть точно дискретизирована в систему дискретного времени с использованием матричных экспонент .

Обновлять

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}\right)^{-1}\\{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}\right)\\\mathbf {P} _{k\mid k}&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\end{aligned}}}$

Уравнения обновления идентичны уравнениям фильтра Калмана дискретного времени.

Варианты восстановления разреженных сигналов

Традиционный фильтр Калмана также использовался для восстановления редких, возможно, динамических сигналов из зашумленных наблюдений. В недавних работах ^{[77] [78] [79]} используются понятия из теории сжатого зондирования /выборки, такие как свойство ограниченной изометрии и связанные с ним аргументы вероятностного восстановления, для последовательной оценки разреженного состояния в изначально малоразмерных системах.

Связь с гауссовскими процессами

Поскольку линейные гауссовские модели в пространстве состояний приводят к гауссовским процессам, фильтры Калмана можно рассматривать как последовательные решатели регрессии гауссовского процесса . ^[80]

Приложения

• Системы ориентации и направления
• Автопилот
• Оценка состояния заряда электрической батареи (SoC) ^{[81] [82]}
• Интерфейсы мозг-компьютер ^{[70] [72] [71]}
• Хаотические сигналы
• Отслеживание и подгонка вершин заряженных частиц в детекторах частиц ^[83]
• Отслеживание объектов в компьютерном зрении
• Динамическое позиционирование в сфере доставки
• Экономика , в частности макроэкономика , анализ временных рядов и эконометрика ^[84]
• Инерциальная система наведения
• Ядерная медицина - восстановление изображений однофотонной эмиссионной компьютерной томографии ^[85]
• Определение орбиты
• Оценка состояния энергосистемы
• Радар-трекер
• Спутниковые навигационные системы
• Сейсмология ^[86]
• Бездатчиковое управление частотно-регулируемыми приводами двигателей переменного тока
• Одновременная локализация и картографирование
• Улучшение речи
• Визуальная одометрия
• Прогноз погоды
• Навигационная система
• 3D моделирование
• Структурный мониторинг здоровья
• Сенсомоторная обработка человека ^[87]

Смотрите также

• Альфа-бета-фильтр
• Взвешивание обратной дисперсии
• Ковариационное пересечение
• Усвоение данных
• Ансамбль фильтра Калмана
• Расширенный фильтр Калмана
• Быстрый фильтр Калмана
• Задача фильтрации (случайные процессы)
• Обобщенная фильтрация
• Инвариантный расширенный фильтр Калмана
• Адаптивный фильтр ядра
• Теорема Масрелье
• Оценка движущегося горизонта
• Оценщик фильтра частиц
• ПИД-регулятор
• Метод предиктора-корректора
• Рекурсивный фильтр наименьших квадратов
• Фильтр Шмидта – Калмана
• Принцип разделения
• Управление скользящим режимом
• Матрица перехода состояний
• Стохастические дифференциальные уравнения
• Переключение фильтра Калмана

Рекомендации

1. Стратонович, Р.Л. (1959). Оптимальные нелинейные системы, обеспечивающие отделение сигнала с постоянными параметрами от шума . Радиофизика, 2:6, стр. 892–901.
2. Стратонович, Р.Л. (1959). К теории оптимальной нелинейной фильтрации случайных функций . Теория вероятностей и ее приложения, 4, стр. 223–225.
3. Стратонович, Р.Л. (1960) Применение теории марковских процессов к оптимальной фильтрации . Радиотехника и электронная физика, 5:11, стр. 1–19.
4. Стратонович, Р.Л. (1960). Условные марковские процессы . Теория вероятностей и ее приложения, 5, стр. 156–178.
5. Степанов, О.А. (15 мая 2011 г.). «Кальмановская фильтрация: прошлое и настоящее. Взгляд из России. (К 80-летию со дня рождения Рудольфа Эмиля Кальмана)». Гироскопия и навигация . 2 (2): 105. дои : 10.1134/S2075108711020076. S2CID  53120402.
6. Фаузи, Хилман; Батул, Узма (15 июля 2019 г.). «Проект трехстержневой фермы с использованием оптимизатора фильтра Калмана, моделирующего одно решение». Мекатроника . 1 (2): 98–102. дои : 10.15282/mekatronika.v1i2.4991 . S2CID  222355496.
7. Пол Зарчан; Говард Мусофф (2000). Основы фильтрации Калмана: практический подход. Американский институт аэронавтики и астронавтики, Incorporated. ISBN 978-1-56347-455-2.
8. Лора-Миллан, Хулио С.; Идальго, Андрес Ф.; Рокон, Эдуардо (2021). «Расширенный фильтр Калмана на основе IMU для оценки сагиттальной кинематики нижних конечностей походки для управления носимыми роботизированными устройствами». Доступ IEEE . 9 : 144540–144554. Бибкод : 2021IEEA...9n4540L. дои : 10.1109/ACCESS.2021.3122160 . hdl : 10261/254265 . ISSN  2169-3536. S2CID  239938971.
9. Калита, Диана; Ляхов, Павел (декабрь 2022 г.). «Обнаружение движущихся объектов на основе комбинации фильтра Калмана и медианной фильтрации». Большие данные и когнитивные вычисления . 6 (4): 142. дои : 10.3390/bdcc6040142 . ISSN  2504-2289.
10. Гизельс, Эрик; Марчеллино, Массимилиано (2018). Прикладное экономическое прогнозирование с использованием методов временных рядов . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 419. ИСБН 978-0-19-062201-5. ОКЛК  1010658777.
11. Аззам, М. Абдулла; Батул, Узма; Фаузи, Хилман (15 июля 2019 г.). «Проектирование винтовой пружины с использованием оптимизатора фильтра Калмана, моделирующего одно решение». Мекатроника . 1 (2): 93–97. дои : 10.15282/mekatronika.v1i2.4990 . S2CID  221855079.
12. Вулперт, Дэниел; Гахрамани, Зубин (2000). «Вычислительные принципы нейробиологии движения». Природная неврология . 3 : 1212–7. дои : 10.1038/81497. PMID  11127840. S2CID  736756.
13. Кальман, RE (1960). «Новый подход к задачам линейной фильтрации и прогнозирования». Журнал фундаментальной инженерии . 82 : 35–45. дои : 10.1115/1.3662552. S2CID  1242324.
14. Хамферис, Джеффри (2012). «Свежий взгляд на фильтр Калмана». Обзор СИАМ . 54 (4): 801–823. дои : 10.1137/100799666.
15. Ульманн, Джеффри; Жюльер, Саймон (2022). «Гауссовость и фильтр Калмана: простая, но сложная связь» (PDF) . Журнал Ciencia e Ingeniería . 14 (1): 21–26. дои : 10.46571/JCI.2022.1.2. S2CID  251143915.
16. Ли, Ванъянь; Ван, Цзидун; Вэй, Голян; Ма, Лифенг; Ху, Цзюнь; Дин, Деруи (2015). «Опрос по мультисенсорному слиянию и консенсусной фильтрации для сенсорных сетей». Дискретная динамика в природе и обществе . 2015 : 1–12. дои : 10.1155/2015/683701 . ISSN  1026-0226.
17. Ли, Ванъянь; Ван, Цзидун; Хо, Дэниел У.К.; Вэй, Голян (2019). «Об ограниченности ковариаций ошибок для задач консенсусной фильтрации Калмана». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 65 (6): 2654–2661. дои : 10.1109/TAC.2019.2942826. ISSN  0018-9286. S2CID  204196474.
18. Лауритцен, SL (декабрь 1981 г.). «Анализ временных рядов в 1880 году. Обсуждение вклада Т. Н. Тиле». Международный статистический обзор . 49 (3): 319–331. дои : 10.2307/1402616. JSTOR  1402616. Он выводит рекурсивную процедуру для оценки компонента регрессии и прогнозирования броуновского движения. Эта процедура теперь известна как фильтрация Калмана.
19. Лауритцен, SL (2002). Тиле: пионер статистики. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . п. 41. ИСБН 978-0-19-850972-1. Он решает задачу оценки коэффициентов регрессии и прогнозирования значений броуновского движения методом наименьших квадратов и дает изящную рекурсивную процедуру проведения вычислений. В настоящее время эта процедура известна как фильтрация Калмана .
20. Гревал, Мохиндер С.; Эндрюс, Ангус П. (2015). «1». Фильтрация Калмана: теория и практика с использованием MATLAB (4-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. стр. 16–18. ISBN 978-1-118-98498-7.
21. «Мохиндер С. Гревал и Ангус П. Эндрюс» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2016 г. Проверено 23 апреля 2015 г.
22. Джеррольд Х. Суддат; Роберт Х. Кидд; Арнольд Г. Рейнхольд (август 1967 г.). Линеаризованный анализ ошибок бортовых основных навигационных систем лунного модуля «Аполлон», НАСА TN D-4027 (PDF) . Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства. {{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь )
23. Гейлор, Дэвид; Лайтси, Э. Гленн (2003). «Проектирование фильтра Калмана GPS/INS для космических аппаратов, работающих в непосредственной близости от Международной космической станции». Конференция и выставка AIAA по наведению, навигации и управлению . дои : 10.2514/6.2003-5445. ISBN 978-1-62410-090-1.
24. Ингвар Стрид; Карл Валентин (апрель 2009 г.). «Блочная фильтрация Калмана для крупномасштабных моделей DSGE». Вычислительная экономика . 33 (3): 277–304. CiteSeerX 10.1.1.232.3790 . дои : 10.1007/s10614-008-9160-4. hdl : 10419/81929. S2CID  3042206. 
25. Мартин Мёллер Андреасен (2008). «Нелинейные модели DSGE, фильтр Калмана с центральной разностью и фильтр частиц со смещением среднего значения» (PDF) .^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
26. Ровейс, С; Гахрамани, З. (1999). «Объединяющий обзор линейных гауссовских моделей» (PDF) . Нейронные вычисления . 11 (2): 305–45. дои : 10.1162/089976699300016674. PMID  9950734. S2CID  2590898.
27. Гамильтон, Дж. (1994), Анализ временных рядов , Princeton University Press. Глава 13, «Фильтр Калмана»
28. Исихара, JY; Терра, Миннесота; Кампос, JCT (2006). «Надежный фильтр Калмана для дескрипторных систем». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 51 (8): 1354. doi :10.1109/TAC.2006.878741. S2CID  12741796.
29. Терра, Марко Х.; Серри, Жоао П.; Исихара, Жоао Ю. (2014). «Оптимальный робастный линейный квадратичный регулятор для систем, подверженных неопределенностям». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 59 (9): 2586–2591. дои : 10.1109/TAC.2014.2309282. S2CID  8810105.
30. Келли, Алонзо (1994). «Трехмерная формулировка навигационного фильтра Калмана для автономных транспортных средств» (PDF) в пространстве состояний . Документ DTIC : 13. Архивировано (PDF) из оригинала 30 декабря 2014 г.Исправленная версия 2006 г., заархивирована 10 января 2017 г. на Wayback Machine.
31. Рид, Ян; Срок, Хилари. «Оценка II» (PDF) . www.robots.ox.ac.uk . Оксфордский университет . Проверено 6 августа 2014 г.
32. Раджамани, Мурали (октябрь 2007 г.). Методы на основе данных для улучшения оценки состояния в управлении с прогнозированием моделей (PDF) (кандидатская диссертация). Университет Висконсина-Мэдисона. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 4 апреля 2011 г.
33. Раджамани, Мурали Р.; Роулингс, Джеймс Б. (2009). «Оценка структуры возмущения по данным с использованием полуопределенного программирования и оптимального взвешивания». Автоматика . 45 (1): 142–148. doi :10.1016/j.automatica.2008.05.032. S2CID  5699674.
34. "Набор инструментов для автоковариации наименьших квадратов" . Jbrwww.che.wisc.edu . Проверено 18 августа 2021 г.
35. Баня, П.; Барановский, Дж. (12 декабря 2016 г.). Полевой фильтр Калмана и его аппроксимация. 55-я конференция IEEE по принятию решений и управлению (CDC). Лас-Вегас, Невада, США: IEEE. стр. 2875–2880.
36. Бар-Шалом, Яаков; Ли, С.-Ронг; Кирубараджан, Тиагалингам (2001). Оценка с применением к отслеживанию и навигации . Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons, Inc., стр. 319 и далее. дои : 10.1002/0471221279. ISBN 0-471-41655-Х.
37. Три теста на оптимальность с числовыми примерами описаны у Питера, Матиско (2012). «Тесты оптимальности и адаптивный фильтр Калмана». 16-й симпозиум МФБ по идентификации систем . Том. 45. стр. 1523–1528. doi : 10.3182/20120711-3-BE-2027.00011. ISBN 978-3-902823-06-9. {{cite book}}: |journal=игнорируется ( помощь )
38. Сполл, Джеймс К. (1995). «Неравенство Канторовича для анализа ошибок фильтра Калмана с неизвестными распределениями шума». Автоматика . 31 (10): 1513–1517. дои : 10.1016/0005-1098(95)00069-9.
39. Марьяк, Дж.Л.; Сполл, Дж. К.; Хейдон, Б.Д. (2004). «Использование фильтра Калмана для вывода в моделях в пространстве состояний с неизвестным распределением шума». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 49 : 87–90. дои : 10.1109/TAC.2003.821415. S2CID  21143516.
40. Уолранд, Джин; Димакис, Антонис (август 2006 г.). Случайные процессы в системах — Конспекты лекций (PDF) . стр. 69–70. Архивировано из оригинала (PDF) 7 мая 2019 г. Проверено 7 мая 2019 г.
41. Сант, Дональд Т. «Обобщенный метод наименьших квадратов, применяемый к моделям с изменяющимися во времени параметрами». Анналы экономических и социальных измерений, том 6, номер 3. NBER, 1977. 301–314. Онлайн PDF-файл
42. Андерсон, Брайан Д.О.; Мур, Джон Б. (1979). Оптимальная фильтрация . Нью-Йорк: Прентис Холл . стр. 129–133. ISBN 978-0-13-638122-8.
43. Цзинъян Лу. «Атака с использованием ложной информации для оценки динамического состояния в мультисенсорных системах», Fusion 2014
44. Торнтон, Кэтрин Л. (15 октября 1976 г.). Треугольные ковариационные факторизации для фильтрации Калмана (доктор философии). НАСА . Технический меморандум НАСА 33-798.
45. Бирман, GJ (1977). «Методы факторизации для дискретной последовательной оценки». Методы факторизации для дискретного последовательного оценивания . Бибкод : 1977fmds.book.....B.
46. Бар-Шалом, Яаков; Ли, С. Ронг; Кирубараджан, Тиагалингам (июль 2001 г.). Оценка с применением к отслеживанию и навигации . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . стр. 308–317. ISBN 978-0-471-41655-5.
47. Голуб, Джин Х.; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996). Матричные вычисления . Исследования Джона Хопкинса по математическим наукам (Третье изд.). Балтимор, Мэриленд: Университет Джонса Хопкинса . п. 139. ИСБН 978-0-8018-5414-9.
48. Хайэм, Николас Дж. (2002). Точность и устойчивость численных алгоритмов (второе изд.). Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики . п. 680. ИСБН 978-0-89871-521-7.
49. Сярккя, С.; Анхель Ф. Гарсиа-Фернандес (2021). «Временная параллелизация байесовских сглаживателей». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 66 (1): 299–306. arXiv : 1905.13002 . дои : 10.1109/TAC.2020.2976316. S2CID  213695560.
50. «Параллельная сумма префиксов (сканирование) с помощью CUDA» . Developer.nvidia.com/ . Проверено 21 февраля 2020 г. Операция сканирования представляет собой простой и мощный параллельный примитив с широким спектром применений. В этой главе мы объяснили эффективную реализацию сканирования с использованием CUDA, которая обеспечивает значительное ускорение по сравнению с последовательной реализацией на быстром процессоре и по сравнению с параллельной реализацией в OpenGL на том же графическом процессоре. В связи с растущей мощностью обычных параллельных процессоров, таких как графические процессоры, мы ожидаем, что в ближайшие годы значение алгоритмов параллельного обработки данных, таких как сканирование, будет возрастать.
51. Масрелиез, К. Йохан; Мартин, РД (1977). «Надежная байесовская оценка для линейной модели и усиление фильтра Калмана». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 22 (3): 361–371. дои : 10.1109/TAC.1977.1101538.
52. Люткеполь, Хельмут (1991). Введение в анализ множественных временных рядов . Гейдельберг: Springer-Verlag Berlin. п. 435.
53. Габриэль Т. Тережану (4 августа 2012 г.). «Учебное пособие по дискретному фильтру Калмана» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 августа 2020 г. Проверено 13 апреля 2016 г.
54. Андерсон, Брайан Д.О.; Мур, Джон Б. (1979). Оптимальная фильтрация . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall, Inc., стр. 176–190. ISBN 978-0-13-638122-8.
55. Раух, HE; Тунг, Ф.; Стрибель, Коннектикут (август 1965 г.). «Оценки максимального правдоподобия линейных динамических систем». Журнал АИАА . 3 (8): 1445–1450. Бибкод : 1965AIAAJ...3.1445R. дои : 10.2514/3.3166.
56. Эйнике, Джорджия (март 2006 г.). «Оптимальные и надежные формулировки непричинных фильтров». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 54 (3): 1069–1077. Бибкод : 2006ITSP...54.1069E. дои :10.1109/TSP.2005.863042. S2CID  15376718.
57. Эйнике, Джорджия (апрель 2007 г.). «Асимптотическая оптимальность сглаживателя с фиксированным интервалом с минимальной дисперсией». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 55 (4): 1543–1547. Бибкод : 2007ITSP...55.1543E. дои :10.1109/TSP.2006.889402. S2CID  16218530.
58. Эйнике, Джорджия; Ралстон, Джей Си; Харгрейв, Колорадо; Рид, округ Колумбия; Хейнсворт, Д.В. (декабрь 2008 г.). «Автоматизация разработки длинных забоев. Применение сглаживания минимальной дисперсии». Журнал IEEE Control Systems . 28 (6): 28–37. дои : 10.1109/MCS.2008.929281. S2CID  36072082.
59. Эйнике, Джорджия (декабрь 2009 г.). «Асимптотическая оптимальность сглаживателя с фиксированным интервалом с минимальной дисперсией». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 54 (12): 2904–2908. Бибкод : 2007ITSP...55.1543E. дои :10.1109/TSP.2006.889402. S2CID  16218530.
60. Эйнике, Джорджия (декабрь 2014 г.). «Итеративные процедуры частотно-взвешенной фильтрации и сглаживания». Письма об обработке сигналов IEEE . 21 (12): 1467–1470. Бибкод : 2014ISPL...21.1467E. дои :10.1109/LSP.2014.2341641. S2CID  13569109.
61. Бисвас, Санат К.; Цяо, Ли; Демпстер, Эндрю Г. (01 декабря 2020 г.). «Количественный подход к прогнозированию пригодности использования фильтра Калмана без запаха в нелинейном приложении». Автоматика . 122 : 109241. doi : 10.1016/j.automatica.2020.109241. ISSN  0005-1098. S2CID  225028760.
62. Жюльер, Саймон Дж.; Ульманн, Джеффри К. (2004). «Фильтрация без запаха и нелинейная оценка». Труды IEEE . 92 (3): 401–422. doi :10.1109/JPROC.2003.823141. S2CID  9614092.
63. Жюльер, Саймон Дж.; Ульманн, Джеффри К. (1997). «Новое расширение фильтра Калмана для нелинейных систем» (PDF) . В Кадаре, Иван (ред.). Обработка сигналов, объединение датчиков и распознавание целей VI . Труды SPIE. Том. 3. С. 182–193. Бибкод : 1997SPIE.3068..182J. CiteSeerX 10.1.1.5.2891 . дои : 10.1117/12.280797. S2CID  7937456 . Проверено 3 мая 2008 г. 
64. Менегаз, HMT; Исихара, JY; Борхес, Джорджия; Варгас, АН (октябрь 2015 г.). «Систематизация теории фильтра Калмана без запаха». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 60 (10): 2583–2598. дои : 10.1109/tac.2015.2404511. hdl : 20.500.11824/251 . ISSN  0018-9286. S2CID  12606055.
65. Густавссон, Фредрик; Хендебю, Густав (2012). «Некоторые связи между расширенными фильтрами Калмана и фильтрами Калмана без запаха». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 60 (2): 545–555. Бибкод : 2012ИТСП...60..545Г. дои : 10.1109/tsp.2011.2172431. S2CID  17876531.
66. Ван дер Мерве, Р.; Ван, Э.А. (2001). «Квадратный корневой фильтр Калмана без запаха для оценки состояния и параметров». 2001 Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов. Судебные разбирательства (Кат. № 01CH37221) . Том. 6. С. 3461–3464. дои : 10.1109/ICASSP.2001.940586. ISBN 0-7803-7041-4. S2CID  7290857.
67. Битцер, С. (2016). «Разоблачение UKF: как это работает, когда это работает и когда лучше брать образцы» . дои : 10.5281/zenodo.44386. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
68. Ван, Э.А.; Ван дер Мерве, Р. (2000). «Фильтр Калмана без запаха для нелинейной оценки» (PDF) . Материалы симпозиума IEEE 2000 по адаптивным системам обработки сигналов, связи и управления (кат. № 00EX373) . п. 153. CiteSeerX 10.1.1.361.9373 . дои : 10.1109/ASSPCC.2000.882463. ISBN  978-0-7803-5800-3. S2CID  13992571. Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2012 г. Проверено 31 января 2010 г.
69. Саркка, Симо (сентябрь 2007 г.). «О фильтрации Калмана без запаха для оценки состояния нелинейных систем, работающих в непрерывном времени». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 52 (9): 1631–1641. дои : 10.1109/TAC.2007.904453.
70. Беркхарт, Майкл С.; Брандман, Дэвид М.; Франко, Брайан; Хохберг, Ли; Харрисон, Мэтью Т. (2020). «Дискриминативный фильтр Калмана для байесовской фильтрации с нелинейными и негауссовскими моделями наблюдения». Нейронные вычисления . 32 (5): 969–1017. дои : 10.1162/neco_a_01275. ПМЦ 8259355 . PMID  32187000. S2CID  212748230 . Проверено 26 марта 2021 г. 
71. Беркхарт, Майкл К. (2019). Дискриминационный подход к байесовской фильтрации с применением к декодированию нейронов человека (Диссертация). Провиденс, Род-Айленд, США: Университет Брауна. doi : 10.26300/nhfp-xv22.
72. Брандман, Дэвид М.; Беркхарт, Майкл С.; Келемен, Джессика; Франко, Брайан; Харрисон, Мэтью Т.; Хохберг, Ли Р. (2018). «Надежное управление курсором с обратной связью у человека с тетраплегией с использованием регрессии гауссовского процесса». Нейронные вычисления . 30 (11): 2986–3008. дои : 10.1162/neco_a_01129. ПМК 6685768 . ПМИД  30216140 . Проверено 26 марта 2021 г. 
73. Бар-Шалом, Яаков; Ли, С.-Ронг; Кирубараджан, Тиагалингам (2001). Оценка с применением к отслеживанию и навигации . Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons, Inc., стр. 421 и далее. дои : 10.1002/0471221279. ISBN 0-471-41655-Х.
74. Бьюси, Р.С. и Джозеф, П.Д., Фильтрация случайных процессов с применением к руководству, John Wiley & Sons, 1968; 2-е издание, AMS Chelsea Publ., 2005. ISBN 0-8218-3782-6. 
75. Джазвински, Эндрю Х., Стохастические процессы и теория фильтрации, Academic Press, Нью-Йорк, 1970. ISBN 0-12-381550-9 
76. Кайлат, Т. (1968). «Инновационный подход к оценке методом наименьших квадратов. Часть I: Линейная фильтрация аддитивного белого шума». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 13 (6): 646–655. дои : 10.1109/TAC.1968.1099025.
77. Васвани, Намрата (2008). «Сжатое зондирование с фильтрацией Кальмана». 2008 15-я Международная конференция IEEE по обработке изображений . стр. 893–896. arXiv : 0804.0819 . дои : 10.1109/ICIP.2008.4711899. ISBN 978-1-4244-1765-0. S2CID  9282476.
78. Карми, Авиши; Гурфил, Пини; Каневский, Дмитрий (2010). «Методы восстановления разреженных сигналов с использованием фильтрации Калмана со встроенными нормами псевдоизмерений и квазинормами». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 58 (4): 2405–2409. Бибкод : 2010ITSP...58.2405C. дои :10.1109/TSP.2009.2038959. S2CID  10569233.
79. Захария, Дэйв; Чаттерджи, Сайкат; Янссон, Магнус (2012). «Динамическое итеративное преследование». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 60 (9): 4967–4972. arXiv : 1206.2496 . Бибкод : 2012ITSP...60.4967Z. дои :10.1109/TSP.2012.2203813. S2CID  18467024.
80. Сярккя, Симо; Хартикайнен, Йоуни; Свенссон, Леннарт; Сандблом, Фредрик (22 апреля 2015 г.). «О связи между квадратурами гауссовского процесса и методами сигма-точки». arXiv : 1504.05994 [stat.ME].
81. Васеби, Амир; Партовибахш, Марал; Батаи, С. Мохаммад Таги (2007). «Новая комбинированная модель аккумулятора для оценки состояния заряда свинцово-кислотных аккумуляторов на основе расширенного фильтра Калмана для гибридных электромобилей». Журнал источников энергии . 174 (1): 30–40. Бибкод : 2007JPS...174...30В. дои : 10.1016/j.jpowsour.2007.04.011.
82. Васеби, А.; Батаи, SMT; Партовибахш, М. (2008). «Прогнозирование уровня заряда свинцово-кислотных аккумуляторов гибридных электромобилей с помощью расширенного фильтра Калмана». Преобразование энергии и управление . 49 : 75–82. doi :10.1016/j.enconman.2007.05.017.
83. Фрувирт, Р. (1987). «Применение фильтрации Калмана для отслеживания и подгонки вершин». Ядерные приборы и методы в физических исследованиях . Секция А. 262 (2–3): 444–450. Бибкод : 1987NIMPA.262..444F. дои : 10.1016/0168-9002(87)90887-4.
84. Харви, Эндрю К. (1994). «Применение фильтра Калмана в эконометрике». В Бьюли, Трумэн (ред.). Достижения в эконометрике . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 285ф. ISBN 978-0-521-46726-1.
85. Бульфельфель, Д.; Рангаян, РМ; Хан, LJ; Клойбер, Р.; Кудувалли, Г. Р. (1994). «Двумерное восстановление изображений однофотонной эмиссионной компьютерной томографии с использованием фильтра Калмана». Транзакции IEEE по медицинской визуализации . 13 (1): 102–109. дои : 10.1109/42.276148. ПМИД  18218487.
86. Бок, Ю.; Кроуэлл, Б.; Уэбб, Ф.; Кедар, С.; Клейтон, Р.; Мияхара, Б. (2008). «Объединение высокоскоростных GPS и сейсмических данных: применение к системам раннего предупреждения для смягчения геологических опасностей». Тезисы осеннего собрания АГУ . 43 : G43B–01. Бибкод : 2008AGUFM.G43B..01B.
87. Вулперт, DM; Миалл, Р.К. (1996). «Передовые модели физиологического моторного контроля». Нейронные сети . 9 (8): 1265–1279. дои : 10.1016/S0893-6080(96)00035-4. ПМИД  12662535.

дальнейшее чтение

• Эйнике, Джорджия (2019). Сглаживание, фильтрация и прогнозирование: оценка прошлого, настоящего и будущего (2-е изд.) . Издательство Амазон Прайм. ISBN 978-0-6485115-0-2.
• Джинья Су; Байбинг Ли; Вэнь-Хуа Чен (2015). «О существовании, оптимальности и асимптотической устойчивости фильтра Калмана с частично наблюдаемыми входами». Автоматика . 53 : 149–154. дои : 10.1016/j.automatica.2014.12.044 .
• Гельб, А. (1974). Прикладная оптимальная оценка . МТИ Пресс.
• Кальман, Р.Э. (1960). «Новый подход к проблемам линейной фильтрации и прогнозирования» (PDF) . Журнал фундаментальной инженерии . 82 (1): 35–45. дои : 10.1115/1.3662552. S2CID  1242324. Архивировано из оригинала (PDF) 29 мая 2008 г. Проверено 3 мая 2008 г.
• Кальман, Р.Э.; Бьюси, RS (1961). «Новые результаты в теории линейной фильтрации и прогнозирования». Журнал фундаментальной инженерии . 83 : 95–108. CiteSeerX  10.1.1.361.6851 . дои : 10.1115/1.3658902. S2CID  8141345.
• Харви, AC (1990). Прогнозирование, модели структурных временных рядов и фильтр Калмана. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-40573-7.
• Ровейс, С.; Гахрамани, З. (1999). «Объединяющий обзор линейных гауссовских моделей» (PDF) . Нейронные вычисления . 11 (2): 305–345. дои : 10.1162/089976699300016674. PMID  9950734. S2CID  2590898.
• Саймон, Д. (2006). Оценка оптимального состояния: Калман, H бесконечность и нелинейные подходы. Уайли-Интерсайенс. Архивировано из оригинала 30 декабря 2010 г. Проверено 5 июля 2006 г.
• Уорвик, К. (1987). «Оптимальные наблюдатели для моделей ARMA». Международный журнал контроля . 46 (5): 1493–1503. дои : 10.1080/00207178708933989.
• Бирман, Дж.Дж. (1977). Методы факторизации для дискретного последовательного оценивания . Том. 128. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44981-4. {{cite book}}: |journal=игнорируется ( помощь )
• Божич, С.М. (1994). Цифровая фильтрация и фильтрация Калмана . Баттерворт-Хайнеманн.
• Хайкин, С. (2002). Адаптивная теория фильтров . Прентис Холл.
• Лю, В.; Принсипи, Дж. К. и Хайкин, С. (2010). Адаптивная фильтрация ядра: подробное введение . Джон Уайли.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Манолакис, Д.Г. (1999). Статистическая и адаптивная обработка сигналов . Артех Хаус.
• Уэлч, Грег; Бишоп, Гэри (1997). «SCAAT: инкрементное отслеживание с неполной информацией» (PDF) . SIGGRAPH '97 Материалы 24-й ежегодной конференции по компьютерной графике и интерактивным технологиям . ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co., стр. 333–344. дои : 10.1145/258734.258876. ISBN 978-0-89791-896-1. S2CID  1512754.
• Джазвински, Эндрю Х. (1970). Стохастические процессы и фильтрация . Математика в науке и технике. Нью-Йорк: Академическая пресса . п. 376. ИСБН 978-0-12-381550-7.
• Мэйбек, Питер С. (1979). «Глава 1» (PDF) . Стохастические модели, оценка и контроль . Математика в науке и технике. Том. 141–1. Нью-Йорк: Академическая пресса . ISBN 978-0-12-480701-3.
• Мория, Н. (2011). Введение в фильтрацию Калмана: взгляд физика . Нью-Йорк: ISBN Nova Science Publishers, Inc.  978-1-61668-311-5.
• Дуник, Дж.; Симандл М.; Страка О. (2009). «Методы оценки ковариационных матриц состояния и шума измерения: аспекты и сравнение». 15-й симпозиум МФБ по идентификации систем, 2009 г. Франция. стр. 372–377. doi : 10.3182/20090706-3-FR-2004.00061. ISBN 978-3-902661-47-0.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Чуи, Чарльз К.; Чен, Гуанжун (2009). Фильтрация Калмана в приложениях реального времени . Серия Спрингера по информационным наукам. Том. 17 (4-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер . п. 229. ИСБН 978-3-540-87848-3.
• Спайви, Бен; Хеденгрен, Дж. Д. и Эдгар, Т. Ф. (2010). «Ограниченная нелинейная оценка загрязнения промышленных процессов». Исследования в области промышленной и инженерной химии . 49 (17): 7824–7831. дои : 10.1021/ie9018116.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Томас Кайлат ; Али Х. Сайед ; Бабак Хассиби (2000). Линейная оценка . Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-022464-4.
• Али Х. Сайед (2008). Адаптивные фильтры . Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-470-25388-5.

Внешние ссылки

• Новый подход к задачам линейной фильтрации и прогнозирования, Р.Э. Калман, 1960 г.
• Калмана и байесовские фильтры в Python. Учебник по фильтрации Калмана с открытым исходным кодом.
• Как работает фильтр Калмана, в картинках. Подсвечивает фильтр Калмана картинками и цветами.
• Фильтр Калмана-Бьюси, производный фильтр Калмана-Бьюси.
• Видеолекция MIT о фильтре Калмана на YouTube
• Фильтр Калмана в Javascript. Библиотека фильтров Калмана с открытым исходным кодом для node.js и веб-браузера.
• Введение в фильтр Калмана. Архивировано 24 февраля 2021 г. на Wayback Machine , курс SIGGRAPH 2001, Грег Уэлч и Гэри Бишоп.
• Веб-страница фильтра Калмана со множеством ссылок
• Простое объяснение фильтра Калмана: пошаговое руководство по использованию фильтра Калмана с уравнениями
• «Фильтры Калмана, используемые в моделях погоды» (PDF) . СИАМ Новости . 36 (8). Октябрь 2003 г. Архивировано из оригинала (PDF) 17 мая 2011 г. Проверено 27 января 2007 г.
• Хазелтин, Эрик Л.; Роулингс, Джеймс Б. (2005). «Критическая оценка расширенной фильтрации Калмана и оценки скользящего горизонта». Исследования в области промышленной и инженерной химии . 44 (8): 2451. doi :10.1021/ie034308l.
• Библиотека подпрограмм оценки Джеральда Дж. Бирмана: соответствует коду в исследовательской монографии «Методы факторизации для дискретной последовательной оценки», первоначально опубликованной Academic Press в 1977 году. Переиздано Dover.
• Matlab Toolbox, реализующий части библиотеки подпрограмм оценки Джеральда Дж. Бирмана: факторизация UD/UDU' и LD/LDL' с соответствующими обновлениями времени и измерений, составляющими фильтр Калмана.
• Панель инструментов Matlab для фильтрации Калмана, применяемая для одновременной локализации и картографирования: транспортное средство, движущееся в 1D, 2D и 3D
• Фильтр Калмана в воспроизведении гильбертовых пространств ядра. Подробное введение.
• Код Matlab для оценки модели процентных ставок Кокса-Ингерсолла-Росса с фильтром Калмана. Архивировано 9 февраля 2014 г. в Wayback Machine : соответствует статье «Оценка и тестирование моделей экспоненциально-аффинной временной структуры с помощью фильтра Калмана», опубликованной Review of Quantitative Finance. и бухгалтерский учет в 1999 году.
• Онлайн-демонстрация фильтра Калмана. Демонстрация фильтра Калмана (и других методов ассимиляции данных) с использованием двойных экспериментов.
• Ботелла, Гильермо; Мартин Х., Хосе Антонио; Сантос, Матильда; Мейер-Баезе, Уве (2011). «Мультимодальная встраиваемая сенсорная система на основе FPGA, объединяющая зрение низкого и среднего уровня». Датчики . 11 (12): 1251–1259. Бибкод : 2011Senso..11.8164B. дои : 10.3390/s110808164 . ПМЦ  3231703 . ПМИД  22164069.
• Примеры и инструкции по использованию фильтров Калмана с MATLAB. Учебное пособие по фильтрации и оценке.
• Объяснение фильтрации (оценки) за один час, десять минут, одну минуту и ​​одно предложение Ю-Чи Хо
• Симо Сярккя (2013). «Байесовская фильтрация и сглаживание». Издательство Кембриджского университета. Полный текст доступен на сайте автора https://users.aalto.fi/~ssarkka/.