Значения дзета-функции Римана в четных положительных целых числах были вычислены Эйлером. Первый из них, ζ (2) , дает решение Базельской проблемы . В 1979 году Роджер Апери доказал иррациональность ζ (3) . Значения в отрицательных целочисленных точках, также найденные Эйлером, являются рациональными числами и играют важную роль в теории модулярных форм . Известны многие обобщения дзета-функции Римана, такие как ряды Дирихле , L -функции Дирихле и L- функции .
Определение
Статья Бернхарда Римана О количестве простых чисел ниже заданной величины
Дзета-функция Римана ζ ( s ) — это функция комплексной переменной s = σ + it , где σ и t — действительные числа. (Обозначения s , σ и t традиционно используются при изучении дзета-функции вслед за Риманом.) Когда Re( s ) = σ > 1 , функцию можно записать в виде сходящегося суммирования или в виде интеграла:
где
это гамма-функция . Дзета-функция Римана определяется для других комплексных значений посредством аналитического продолжения функции, определенной для σ > 1 .
Леонард Эйлер рассмотрел приведенный выше ряд в 1740 году для целых положительных значений s , а позже Чебышев расширил определение до [4]
Вышеупомянутый ряд представляет собой прототип ряда Дирихле , который абсолютно сходится к аналитической функции для такого s , что σ > 1 , и расходится для всех остальных значений s . Риман показал, что функция, определяемая рядом на полуплоскости сходимости, может быть аналитически продолжена до всех комплексных значений s ≠ 1 . При s = 1 эта серия является гармонической серией , которая расходится к +∞ , и,
таким образом, дзета-функция Римана является мероморфной функцией на всей комплексной плоскости, которая голоморфна всюду, за исключением простого полюса в точке s = 1 с вычетом 1 .
где по определению левая часть равна ζ ( s ) , а бесконечное произведение в правой части распространяется на все простые числа p (такие выражения называются произведениями Эйлера ):
Обе части формулы произведения Эйлера сходятся при Re( s ) > 1 . Доказательство тождества Эйлера использует только формулу геометрической прогрессии и основную теорему арифметики . Поскольку гармонический ряд , полученный при s = 1 , расходится, формула Эйлера (которая становится Π p п/п - 1 ) подразумевает, что существует бесконечно много простых чисел . [5] Поскольку логарифм п/п - 1 примерно 1/п формулу также можно использовать для доказательства более сильного результата о том, что сумма обратных простых чисел бесконечна. С другой стороны, объединение этого с решетом Эратосфена показывает, что плотность множества простых чисел внутри множества натуральных чисел равна нулю.
Формулу произведения Эйлера можно использовать для вычисления асимптотической вероятности того, что случайно выбранные целые числа являются взаимно простыми . Интуитивно понятно, что вероятность того, что любое одно число делится на простое (или любое целое) p , равна 1/п . Следовательно, вероятность того, что все s чисел делятся на это простое число, равна 1/п с , а вероятность того, что хотя бы один из них нет , равна 1 − 1/п с . Теперь, для различных простых чисел, эти события делимости взаимно независимы, потому что кандидаты на делители взаимно просты (число делится на взаимно простые делители n и m тогда и только тогда, когда оно делится на nm , событие, которое происходит с вероятностью 1/нм ). Таким образом, асимптотическая вероятность того, что числа s взаимно просты, определяется произведением всех простых чисел:
Функциональное уравнение Римана
Эта дзета-функция удовлетворяет функциональному уравнению
, где Γ( s ) — гамма-функция . Это равенство мероморфных функций, справедливое на всей комплексной плоскости . Уравнение связывает значения дзета-функции Римана в точках s и 1 − s , в частности, связывая четные положительные целые числа с нечетными отрицательными целыми числами. Из-за нулей синусоидальной функции функциональное уравнение подразумевает, что ζ ( s ) имеет простой нуль в каждом четном отрицательном целом числе s = −2 n , известный как тривиальные нули ζ ( s ) . Когда s — четное положительное целое число, произведение sin( πс/2 )Γ(1 − s ) справа не равно нулю, потому что Γ(1 − s ) имеет простой полюс , который отменяет простой нуль синусоидального множителя.
Доказательство функционального уравнения Римана
Доказательство функционального уравнения проводится следующим образом. Заметим, что если , то
В результате, если то
с обращением предельных процессов, оправданным абсолютной сходимостью (отсюда ужесточение требований к ).
Для удобства пусть
что является частным случаем тэта -функции . Затем
которое сходится для всех s , поэтому оно справедливо в силу аналитического продолжения. Более того, RHS не изменится, если s изменится на 1 - s . Следовательно,
какое функциональное уравнение. ЕС Титчмарш (1986). Теория дзета-функции Римана (2-е изд.). Оксфорд : Оксфордские научные публикации. стр. 21–22. ISBN0-19-853369-1.Приписывается Бернхарду Риману .
Функциональное уравнение было установлено Риманом в его статье 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины » и в первую очередь использовалось для построения аналитического продолжения. Эквивалентное соотношение было предположено Эйлером более ста лет назад, в 1749 году, для эта-функции Дирихле (перемежающаяся дзета-функция):
Кстати, это соотношение дает уравнение для вычисления ζ ( s ) в области 0 < Re( s ) < 1, т. е.
там, где η -ряд сходится (хотя и не абсолютно ) в большей полуплоскости s > 0 (при более подробный обзор истории функционального уравнения см., например, Благушин [6] [7] ).
Риман также нашел симметричную версию функционального уравнения, применимого к xi-функции:
которая удовлетворяет:
Этот фактор не был хорошо понят во времена Римана, пока не появилась диссертация Джона Тейта (1950) , в которой было показано, что этот так называемый «гамма-фактор» на самом деле является локальным L-фактором, соответствующим архимедову месту. , другими факторами разложения произведения Эйлера являются локальные L-факторы неархимедовых мест.
Нули, критическая линия и гипотеза Римана
Дзета-спираль Римана вдоль критической линии от высоты 999000 до миллиона (от красного до фиолетового)Дзета-функция Римана не имеет нулей справа от σ = 1 или (кроме тривиальных нулей) слева от σ = 0 (при этом нули не могут лежать слишком близко к этим линиям). При этом нетривиальные нули симметричны относительно действительной оси и прямой σ = 1/2 и, согласно гипотезе Римана , все они лежат на прямой σ = 1/2 .На этом изображении показан график дзета-функции Римана вдоль критической линии для реальных значений t от 0 до 34. Первые пять нулей на критической полосе ясно видны как место, где спирали проходят через начало координат.Действительная часть (красный) и мнимая часть (синий) дзета-функции Римана вдоль критической линии Re( s ) = 1/2. Первые нетривиальные нули можно увидеть при Im( s ) = ±14,135, ±21,022 и ±25,011.Анимация, показывающая дзета-функцию Римана вдоль критической линии. Дзета(1/2 + I y) для y в диапазоне от 1000 до 1005.
Функциональное уравнение показывает, что дзета-функция Римана имеет нули в точках −2, −4,... . Они называются тривиальными нулями . Они тривиальны в том смысле, что их существование относительно легко доказать, например, от греха π с/2 равен 0 в функциональном уравнении. Нетривиальные нули привлекли гораздо больше внимания, потому что их распределение не только гораздо менее изучено, но, что более важно, их исследование дает важные результаты, касающиеся простых чисел и связанных с ними объектов теории чисел. Известно, что любой нетривиальный нуль лежит в открытой полосе, называемой критической полосой . Множествоназывается критической линией . Гипотеза Римана , считающаяся одной из величайших нерешённых проблем математики, утверждает, что все нетривиальные нули находятся на критической прямой. В 1989 году Конри доказал, что более 40% нетривиальных нулей дзета-функции Римана находятся на критической линии. [8]
О дзета-функции Римана на критической линии см. Z -функцию .
Количество нулей в критической полосе
Пусть – число нулей в критической полосе , мнимые части которой лежат в интервале . Труджиан доказал, что если , то [11]
.
Гипотезы Харди – Литтлвуда
В 1914 году Годфри Гарольд Харди доказал, что ζ ( 1/2 + it ) имеет бесконечно много вещественных нулей. [12]
Харди и Джон Эденсор Литтлвуд сформулировали две гипотезы о плотности и расстоянии между нулями ζ ( 1/2 + it ) на интервалах больших положительных действительных чисел. Далее N ( T ) — общее количество действительных нулей, а N 0 ( T ) — общее количество нулей нечетного порядка функции ζ ( 1/2 + it ) , лежащие в интервале (0, T ] .
Для любого ε > 0 существует T 0 ( ε ) > 0 такое, что при
интервал ( T , T + H ] содержит нуль нечетного порядка.
Для любого ε > 0 существуют T 0 ( ε ) > 0 и c ε > 0 такие, что выполняется неравенство
держится, когда
Эти две гипотезы открыли новые направления в исследовании дзета-функции Римана.
В 2015 году Мосингхофф и Трудджиан доказали [15] , что дзета не имеет нулей в области
для | т | ≥ 2 . Это самая большая известная область без нуля в критической полосе для .
Самый сильный результат такого рода, на который можно надеяться, — это истинность гипотезы Римана, которая будет иметь множество глубоких последствий в теории чисел.
Другие результаты
Известно, что на критической прямой имеется бесконечно много нулей. Литтлвуд показал, что если последовательность ( γ n ) содержит мнимые части всех нулей в верхней полуплоскости в порядке возрастания, то
Теорема о критической линии утверждает, что положительная доля нетривиальных нулей лежит на критической линии. (Гипотеза Римана предполагает, что эта пропорция равна 1.)
В критической полосе ноль с наименьшей неотрицательной мнимой частью равен 1/2 + 14.13472514... я ( OEIS : A058303 ). Дело в том, что
для всех комплексных s ≠ 1 означает, что нули дзета-функции Римана симметричны относительно вещественной оси. Кроме того, объединяя эту симметрию с функциональным уравнением, можно увидеть, что нетривиальные нули симметричны относительно критической линии Re( s ) = 1/2 .
Также известно, что на строке с вещественной частью 1 нули не лежат.
Конкретные значения
Для любого положительного четного числа 2 n ,
где B 2 n — 2 n -е число Бернулли . Для нечетных положительных целых чисел такое простое выражение неизвестно, хотя считается, что эти значения связаны с алгебраической K -теорией целых чисел; см. Специальные значения L -функций .
Для неположительных целых чисел при
n ≥ 0 (используя соглашение, согласно которому B 1 = 1/2 ). В частности, ζ обращается в нуль при четных отрицательных целых числах, поскольку B m = 0 для всех нечетных m , отличных от 1. Это так называемые «тривиальные нули» дзета-функции.
Демонстрация конкретной ценности
известна как Базельская проблема . Обратная величина этой суммы отвечает на вопрос: какова вероятность того, что два случайно выбранных числа окажутся относительно простыми ? [20]
Значение
представляет собой константу Апери .
для любого комплексного числа s с действительной частью больше 1. Существует ряд подобных отношений с участием различных известных мультипликативных функций ; они приведены в статье о серии Дирихле .
Гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что это выражение справедливо, когда действительная часть s больше 1/2 .
Универсальность
Критическая полоса дзета-функции Римана обладает замечательным свойством универсальности . Эта универсальность дзета-функции утверждает, что существует некоторое место на критической полосе, которое сколь угодно хорошо аппроксимирует любую голоморфную функцию . Поскольку голоморфные функции очень общие, это свойство весьма примечательно. Первое доказательство универсальности было предоставлено Сергеем Михайловичем Ворониным в 1975 году. [21] Более поздние работы включали эффективные версии теоремы Воронина [22] и ее распространение на L-функции Дирихле . [23] [24]
Оценки максимума модуля дзета-функции
Пусть функции F ( T ; H ) и G ( s 0 ;Δ) определены равенствами
Здесь T — достаточно большое положительное число, 0 < H ≪ log log T , s 0 = σ 0 + iT , 1/2 ≤ σ 0 ≤ 1 , 0 < Δ < 1/3 . Оценка значений F и G снизу показывает, насколько большие (по модулю) значения ζ ( s ) могут принимать на коротких интервалах критической линии или в малых окрестностях точек, лежащих в критической полосе 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 .
Случай H ≫ log log T изучал Канаканахалли Рамачандра ; случай ∆ > c , где c — достаточно большая константа, тривиален.
Анатолий Карацуба доказал, в частности, [25] [26] , что если значения H и ∆ превосходят некоторые достаточно малые константы, то оценки
где c 1 и c 2 — некоторые абсолютные константы.
Аргумент дзета-функции Римана
Функция
называется аргументом дзета-функции Римана. Здесь arg ζ ( 1/2 + it ) — приращение произвольной непрерывной ветви arg ζ ( s ) вдоль ломаной, соединяющей точки 2 , 2 + it и 1/2 + оно .
Имеются некоторые теоремы о свойствах функции S ( t ) . Среди этих результатов [27] [28] - теоремы о среднем значении для S ( t ) и его первого интеграла
об интервалах вещественной прямой, а также теорема, утверждающая, что каждый интервал ( T , T + H ] для
содержит как минимум
точки, в которых функция S ( t ) меняет знак. Ранее аналогичные результаты были получены Атле Сельбергом для случая
Представительства
Серия Дирихле[29]
Расширение области сходимости можно получить, переставляя исходный ряд. Сериал
сходится при Re( s ) > 0 , а
сходятся даже при Re( s ) > −1 . Таким образом, область сходимости может быть расширена до Re( s ) > − k для любого отрицательного целого числа − k .
Рекуррентная связь хорошо видна из выражения, справедливого для Re( s ) > −2 , позволяющего дальнейшее разложение путем интегрирования по частям.
Интегралы типа Меллина
Преобразование Меллина функции f ( x ) определяется как [30]
в области определения интеграла. Существуют различные выражения для дзета-функции в виде интегралов, подобных преобразованию Меллина. Если действительная часть s больше единицы, мы имеем
Аналогичное преобразование Меллина включает функцию Римана J ( x ) , которая считает степени простых чисел p n с весом 1/н , так что
Сейчас
Эти выражения можно использовать для доказательства теоремы о простых числах с помощью обратного преобразования Меллина. С функцией подсчета простых чисел Римана легче работать, и π ( x ) можно восстановить из нее путем обращения Мёбиуса .
Тета-функции
Дзета-функция Римана может быть задана преобразованием Меллина [31]
Однако этот интеграл сходится только в том случае, если действительная часть s больше 1, но его можно регуляризовать. Это дает следующее выражение для дзета-функции, которое четко определено для всех s , кроме 0 и 1:
Лоран серии
Дзета-функция Римана мероморфна с единственным полюсом первого порядка при s = 1 . Поэтому его можно разложить в ряд Лорана относительно s = 1 ; тогда развитие серии [32]
Для всех s ∈ C , s ≠ 1 , интегральное соотношение (ср. формулу Абеля–Планы )
верно, что можно использовать для числовой оценки дзета-функции.
Восходящий факториал
Другое развитие ряда с использованием возрастающего факториала , действительного для всей комплексной плоскости, - это [29]
Это можно использовать рекурсивно для расширения определения ряда Дирихле на все комплексные числа.
Дзета-функция Римана также появляется в форме, аналогичной преобразованию Меллина в интеграле по оператору Гаусса – Кузмина – Вирсинга, действующего на x s - 1 ; этот контекст приводит к расширению ряда с точки зрения падающего факториала . [33]
Эта форма ясно отображает простой полюс в точке s = 1 , тривиальные нули в точках −2, −4,... из-за члена гамма-функции в знаменателе и нетривиальные нули в точке s = ρ . (Чтобы обеспечить сходимость в последней формуле, произведение следует брать по «совпадающим парам» нулей, т.е. множители для пары нулей вида ρ и 1 − ρ следует объединить.)
Глобально конвергентный ряд
Глобально сходящийся ряд для дзета-функции, действительный для всех комплексных чисел s, кроме s = 1 + .2π я/пер. 2 n для некоторого целого числа n было высказано Конрадом Кноппом в 1926 году [34] и доказано Гельмутом Хассе в 1930 году [35] (см. суммирование Эйлера ):
Эта серия появилась в приложении к статье Хассе и была опубликована во второй раз Джонатаном Сондоу в 1994 году. [36]
Хассе также доказал глобально сходящийся ряд
в том же издании. [35] Исследования Ярослава Благоушина [37] [34]
показали, что аналогичная, эквивалентная серия была опубликована Джозефом Сером в 1926 году. [38]
В 1997 году К. Масланка дал еще один глобально сходящийся (кроме s = 1 ) ряд для дзета-функции Римана:
где действительные коэффициенты определяются выражением:
Вот числа Бернулли и обозначает символ Похгаммера. [39] [40]
Обратите внимание, что это представление дзета-функции по существу представляет собой интерполяцию с узлами, где узлами являются точки , то есть именно те, где значения дзета точно известны, как показал Эйлер. Элегантное и очень краткое доказательство этого представления дзета-функции, основанное на теореме Карлсона, было представлено Филиппом Флажоле в 2006 году. [41]
Асимптотическое поведение коэффициентов весьма любопытно: при растущих значениях мы наблюдаем регулярные колебания с почти экспоненциально убывающей амплитудой и медленно убывающей частотой (примерно как ). Используя метод перевала, мы можем показать, что
где означает:
( подробности см. в [42] ).
На основе этого представления в 2003 году Луис Баес-Дуарте предложил новый критерий гипотезы Римана. [43] [44] [45] А именно, если мы определим коэффициенты как
Представление ряда неполными поличислами Бернулли.
Функция ζ при Re( s ) > 1 может быть представлена бесконечным рядом
где k ∈ {−1,0} , Wk — k- я ветвь W -функции Ламберта , а B( µ ) п , ≥2— неполное полибернуллиевское число. [48]
Преобразование Меллина карты Энгеля
Функция повторяется для поиска коэффициентов, входящих в разложения Энгеля . [49]
Преобразование Меллина отображения связано с дзета-функцией Римана формулой
Последовательность Туэ-Морса
Определенные линейные комбинации рядов Дирихле, коэффициенты которых являются членами последовательности Туэ-Морса, приводят к тождествам, включающим дзета-функцию Римана (Tóth, 2022 [50] ). Например:
где – член последовательности Туэ-Морса. Фактически, для всех с действительной частью больше , мы имеем
Численные алгоритмы
Классический алгоритм, использовавшийся примерно до 1930 года, основан на применении формулы Эйлера-Маклорена для получения для n и m положительных целых чисел:
которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 . Функция Клаузена Cl s ( θ ) может быть выбрана как действительная или мнимая часть Li s ( e iθ ) .
Эти функции можно аналитически продолжить в n -мерное комплексное пространство. Специальные значения, принимаемые этими функциями при целочисленных положительных аргументах, теоретики чисел называют кратными дзета-значениями и связаны со многими различными разделами математики и физики.
^ "Программа просмотра блокнотов Jupyter" . Nbviewer.ipython.org . Проверено 4 января 2017 г.
^ аб Штойдинг, Йорн; Суриаджайя, Аде Ирма (1 ноября 2020 г.). «Распределение значений дзета-функции Римана вдоль ее линий Юлиа». Вычислительные методы и теория функций . 20 (3): 389–401. дои : 10.1007/s40315-020-00316-x . hdl : 2324/4483207 . ISSN 2195-3724. S2CID 216323223. Из теоремы 2 следует, что ζ имеет существенную особенность на бесконечности.
^ Бомбьери, Энрико. «Гипотеза Римана – официальное описание проблемы» (PDF) . Математический институт Клея . Архивировано из оригинала (PDF) 22 декабря 2015 года . Проверено 8 августа 2014 г.
^ Сандифер, Чарльз Эдвард (2007). Как Эйлер это сделал . Математическая ассоциация Америки. п. 193. ИСБН978-0-88385-563-8.
^ Благоушин, IV (1 марта 2018 г.). История функционального уравнения дзета-функции. Семинар по истории математики. Санкт-Петербург, RU: Математический институт им. Стеклова; «онлайн PDF». Архивировано из оригинала 2 мая 2018 года . Проверено 2 мая 2018 г.
^ Благоушин, IV (2014). «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты». Журнал Рамануджана . 35 (1): 21–110. дои : 10.1007/s11139-013-9528-5. S2CID 120943474. Благоушин, IV (2017). «Дополнение». Журнал Рамануджана . 42 : 777–781. doi : 10.1007/s11139-015-9763-z. S2CID 125198685. Архивировано из оригинала 2 мая 2018 года . Проверено 2 мая 2018 г.
^ Конри, Дж. Б. (1989). «Более двух пятых нулей дзета-функции Римана находятся на критической линии». Дж. Рейн Анжью. Математика . 1989 (399): 1–26. дои : 10.1515/crll.1989.399.1. МР 1004130. S2CID 115910600.
^ Эрик Вайсштейн . «Нули дзета-функции Римана» . Проверено 24 апреля 2021 г.
^ База данных L-функций и модульных форм. «Нули ζ(s)».
^ Трудджиан, Тимоти С. (2014). «Улучшенная верхняя оценка аргумента дзета-функции Римана на критической линии II». Дж. Теория чисел . 134 : 280–292. arXiv : 1208.5846 . дои : 10.1016/j.jnt.2013.07.017.
^ Харди, GH; Фекете, М.; Литтлвуд, Дж. Э. (1 сентября 1921 г.). «Нули дзета-функции Римана на критической линии». Журнал Лондонского математического общества . с1-1 : 15–19. дои : 10.1112/jlms/s1-1.1.15.
^ Даймонд, Гарольд Г. (1982). «Элементарные методы исследования распределения простых чисел». Бюллетень Американского математического общества . 7 (3): 553–89. дои : 10.1090/S0273-0979-1982-15057-1 . МР 0670132.
^ Форд, К. (2002). «Интеграл Виноградова и оценки дзета-функции Римана». Учеб. Лондонская математика. Соц . 85 (3): 565–633. arXiv : 1910.08209 . дои : 10.1112/S0024611502013655. S2CID 121144007.
^ Моссингхофф, Майкл Дж.; Трудджиан, Тимоти С. (2015). «Неотрицательные тригонометрические полиномы и область без нуля для дзета-функции Римана». Дж. Теория чисел . 157 : 329–349. arXiv : 1410.3926 . дои : 10.1016/J.JNT.2015.05.010. S2CID 117968965.
^ Полчински, Джозеф (1998). Введение в бозонную струну . Струнная теория. Том. I. Издательство Кембриджского университета. п. 22. ISBN978-0-521-63303-1.
^ Кайнц, AJ; Титулаер, UM (1992). «Точный двухпоточный метод моментов для решения кинетических задач пограничного слоя линейных кинетических уравнений». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 25 (7): 1855–1874. Бибкод : 1992JPhA...25.1855K. дои : 10.1088/0305-4470/25/7/026.
^ Дополнительные цифры и ссылки на эту константу доступны в OEIS : A059750 .
^ Сондоу, Джонатан (1998). «Антисимметричная формула для постоянной Эйлера». Журнал «Математика» . 71 (3): 219–220. дои : 10.1080/0025570X.1998.11996638. Архивировано из оригинала 4 июня 2011 года . Проверено 29 мая 2006 г.
^ Огилви, CS ; Андерсон, Дж. Т. (1988). Экскурсии по теории чисел . Дуврские публикации. стр. 29–35. ISBN0-486-25778-9.
^ Воронин, С.М. (1975). «Теорема об универсальности дзета-функции Римана». Изв. Акад. Наук СССР, сер. Матем . 39 : 475–486.Перепечатано в Math. СССР Изв. (1975) 9 : 443–445.
^ Карацуба, А.А. (2001). «Нижние оценки максимального модуля ζ ( s ) в малых областях критической полосы». Мат. Заметки . 70 (5): 796–798.
^ Карацуба, А.А. (2004). «Нижние оценки максимального модуля дзета-функции Римана на коротких отрезках критической линии». Изв. Росс. Акад. Наук, сер. Мат . 68 (8): 99–104. Бибкод :2004ИзМат..68.1157К. doi : 10.1070/IM2004v068n06ABEH000513. S2CID 250796539.
^ Карацуба, А.А. (1996). «Теорема о плотности и поведение аргумента дзета-функции Римана». Мат. Заметки (60): 448–449.
^ Карацуба, А.А. (1996). «О функции S ( t ) ». Изв. Росс. Акад. Наук, сер. Мат . 60 (5): 27–56.
^ аб Кнопп, Конрад (1947). Теория функций, часть вторая. Нью-Йорк, издания Дувра. стр. 51–55.
^ Риман, Бернхард (1859). « О числе простых чисел меньше заданной величины ». Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin .переведен и переиздан в Эдвардсе, HM (1974). Дзета-функция Римана . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 0-12-232750-0. Збл 0315.10035.
^ Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Спрингер. п. 422. ИСБН3-540-65399-6.
^ «Рядное представление дзеты Римана, полученное на основе оператора Гаусса-Кузьмина-Вирсинга» (PDF) . Linas.org . Проверено 4 января 2017 г.
^ аб Благоушин, Ярослав В. (2018). «Три примечания к представлениям Сера и Хассе для дзета-функций». ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА: Электронный журнал комбинаторной теории чисел . 18А : 1–45. arXiv : 1606.02044 . Бибкод : 2016arXiv160602044B.
^ abc Хассе, Гельмут (1930). «Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe» [Метод суммирования для ζ-ряда Римана]. Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 32 (1): 458–464. дои : 10.1007/BF01194645. S2CID 120392534.
^ Сондоу, Джонатан (1994). «Аналитическое продолжение дзета-функции Римана и значений отрицательных целых чисел посредством преобразования рядов Эйлера» (PDF) . Труды Американского математического общества . 120 (2): 421–424. дои : 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
^ Благоушин, Ярослав В. (2016). «Разложение обобщенных констант Эйлера в ряды полиномов от π −2 и в формальный обертывающий ряд только с рациональными коэффициентами». Журнал теории чисел . 158 : 365–396. arXiv : 1501.00740 . дои : 10.1016/j.jnt.2015.06.012.
^ Флажоле, Филипп; Вепстас, Линас (2008). «О различиях дзета-значений». Журнал вычислительной и прикладной математики . 220 (1–2 октября): 58–73. arXiv : math/0611332 . Бибкод : 2008JCoAM.220...58F. дои : 10.1016/j.cam.2007.07.040.
^ Масланка, Кшиштоф; Колежинский, Анджей (2022). «Высокоточный численный расчет констант Стилтьеса. Простой и быстрый алгоритм». Вычислительные методы в науке и технике . 28 (2): 47–59. arXiv : 2210.04609 . doi : 10.12921/cmst.2022.0000014. S2CID 252780397.
^ Баес-Дуарте, Луис (2003). «Новое необходимое и достаточное условие гипотезы Римана». Теория чисел . arXiv : math/0307215 . Бибкод : 2003math......7215B.
^ Масланка, Кшиштоф (2006). «Критерий Баэса-Дуарте для гипотезы Римана и интегралы Райса». Теория чисел . arXiv : math/0603713v2 . Бибкод : 2006math......3713M.
^ Вольф, Марек (2014). «Некоторые замечания о критерии Баэса-Дуарте для гипотезы Римана». Вычислительные методы в науке и технике . 20 (2): 39–47. дои : 10.12921/cmst.2014.20.02.39-47 .
^ Борвейн, Питер (2000). «Эффективный алгоритм для дзета-функции Римана» (PDF) . В Тере, Мишель А. (ред.). Конструктивный, экспериментальный и нелинейный анализ . Материалы конференции Канадского математического общества. Том. 27. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , от имени Канадского математического общества . стр. 29–34. ISBN978-0-8218-2167-1. Архивировано из оригинала (PDF) 26 июля 2011 года . Проверено 25 ноября 2017 г.
^ Мезё, Иштван (2013). «Первоначальная и дзета-функция Римана». Американский математический ежемесячник . 120 (4): 321.
^ Комацу, Такао; Мезё, Иштван (2016). «Неполные числа полибернулли, связанные с неполными числами Стирлинга». Публикации Mathematicae Дебрецен . 88 (3–4): 357–368. arXiv : 1510.05799 . дои : 10.5486/pmd.2016.7361. S2CID 55741906.
^ "A220335 - OEIS" . oeis.org . Проверено 17 апреля 2019 г.
^ Тот, Ласло (2022). «Линейные комбинации рядов Дирихле, связанных с последовательностью Туэ-Морса». Целые числа . 22 (статья 98). arXiv : 2211.13570 .
^ "Работа А. Кнауфа над спин-цепями и др.". Empslocal.ex.ac.uk . Проверено 4 января 2017 г.
^ Джин Уорд Смит. «Ближайшее целое число к местоположениям все более больших пиков abs(zeta(0,5 + i*2*Pi/log(2)*t)) для увеличения реального t». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Проверено 4 марта 2022 г.
^ Уильям А. Сетарес (2005). Настройка, тембр, спектр, гамма (2-е изд.). Спрингер-Верлаг Лондон. п. 74. ...есть много разных способов оценить добротность, разумность, пригодность или качество весов... По некоторым показателям 12-тет является победителем, по другим - 19-тет кажется лучшим, часто 53-тет. оказывается среди победителей...
^ Большинство формул в этом разделе взяты из § 4 книги JM Borwein et al. (2000)
Борвейн, Джонатан ; Брэдли, Дэвид М.; Крэндалл, Ричард (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана» (PDF) . Дж. Компьютер. Прил. Математика . 121 (1–2): 247–296. Бибкод : 2000JCoAM.121..247B. дои : 10.1016/S0377-0427(00)00336-8 . Архивировано из оригинала (PDF) 13 декабря 2013 года.
Цвийович, Джурдже; Клиновски, Яцек (2002). «Интегральные представления дзета-функции Римана для нечетно-целых аргументов». Дж. Компьютер. Прил. Математика . 142 (2): 435–439. Бибкод : 2002JCoAM.142..435C. дои : 10.1016/S0377-0427(02)00358-8 . МР 1906742.
Цвийович, Джурдже; Клиновски, Яцек (1997). «Разложения в непрерывные дроби для дзета-функции Римана и полилогарифмов». Учеб. амер. Математика. Соц . 125 (9): 2543–2550. дои : 10.1090/S0002-9939-97-04102-6 .
Эдвардс, HM (1974). Дзета-функция Римана . Академическая пресса. ISBN 0-486-41740-9.Имеет английский перевод статьи Римана.
Адамар, Жак (1896). «О распределении нулей функции ζ (s) и ее арифметических последствиях». Бюллетень математического общества Франции . 14 : 199–220. дои : 10.24033/bsmf.545 .
Ивич, А. (1985). Дзета-функция Римана . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-80634-Х.
Мотохаси, Ю. (1997). Спектральная теория дзета-функции Римана . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521445205.
Карацуба, А.А. ; Воронин, С.М. (1992). Дзета-функция Римана . Берлин: В. де Грютер.
Мезё, Иштван; Дил, Айхан (2010). «Гипергармонический ряд с участием дзета-функции Гурвица». Журнал теории чисел . 130 (2): 360–369. дои : 10.1016/j.jnt.2009.08.005. HDL : 2437/90539 . МР 2564902. S2CID 122707401.
Монтгомери, Хью Л .; Воан, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел. I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том. 97. Издательство Кембриджского университета. Ч. 10. ISBN 978-0-521-84903-6.
Рао, Го (1996). «Распределение логарифмической производной дзета-функции Римана». Труды Лондонского математического общества . с3–72: 1–27. дои : 10.1112/plms/s3-72.1.1.
Риман, Бернхард (1859). «Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse». Monatsberichte der Berliner Akademie .. В Gesammelte Werke , Тойбнер, Лейпциг (1892 г.), перепечатано Дувром, Нью-Йорк (1953 г.).
Сондоу, Джонатан (1994). «Аналитическое продолжение дзета-функции Римана и значений в отрицательных целых числах посредством преобразования рядов Эйлера» (PDF) . Учеб. амер. Математика. Соц . 120 (2): 421–424. дои : 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
Титчмарш, ЕС (1986). Хит-Браун (ред.). Теория дзета-функции Римана (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж. Н. (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета. Ч. 13.
Дзета-функция Римана в Wolfram Mathworld — объяснение с использованием более математического подхода.
Таблицы выбранных нулей. Архивировано 17 мая 2009 г. на Wayback Machine.
Простые числа запутываются Общее, нетехническое описание значения дзета-функции по отношению к простым числам.
Рентгеновский снимок дзета-функции. Визуально ориентированное исследование того, где дзета реальна, а где чисто воображаема.
Формулы и тождества для дзета-функции Римана function.wolfram.com
Дзета-функция Римана и другие суммы обратных степеней, раздел 23.2 Абрамовица и Стегуна
Френкель, Эдвард . «Математическая задача на миллион долларов» (видео) . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 года . Проверено 11 марта 2014 г.
Преобразование Меллина и функциональное уравнение дзета-функции Римана. Вычислительные примеры методов преобразования Меллина, включающих дзета-функцию Римана.
Визуализация дзета-функции Римана и аналитическое продолжение видео от 3Blue1Brown