3-многообразие

Математическое пространство

Изображение изнутри 3-тора . Все кубы на изображении являются одним и тем же кубом, поскольку свет в многообразии заворачивается в замкнутые петли, эффект заключается в том, что куб заполняет все пространство. Это пространство имеет конечный объем и не имеет границ.

В математике 3-многообразие — это топологическое пространство , которое локально выглядит как трехмерное евклидово пространство . 3 - многообразие можно рассматривать как возможную форму вселенной . Так же, как сфера выглядит как плоскость ( касательная плоскость ) для небольшого и достаточно близкого наблюдателя, все 3-многообразия выглядят как наша вселенная для достаточно малого наблюдателя. Это более точно определено в определении ниже.

Принципы

Определение

Топологическое пространство является 3-многообразием, если оно является хаусдорфовым пространством со второй аксиомой счетности и если каждая точка в нем имеет окрестность , гомеоморфную евклидову 3-пространству . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Математическая теория 3-многообразий

Топологические, кусочно-линейные и гладкие категории эквивалентны в трех измерениях, поэтому не делается большого различия в том, имеем ли мы дело, скажем, с топологическими 3-многообразиями или гладкими 3-многообразиями.

Явления в трех измерениях могут разительно отличаться от явлений в других измерениях, и поэтому преобладают очень специализированные методы, которые не обобщаются на измерения больше трех. Эта особая роль привела к открытию тесных связей с множеством других областей, таких как теория узлов , геометрическая теория групп , гиперболическая геометрия , теория чисел , теория Тейхмюллера , топологическая квантовая теория поля , калибровочная теория , гомология Флоера и уравнения с частными производными . Теория 3-многообразий считается частью низкомерной топологии или геометрической топологии .

Ключевая идея в теории — изучать 3-многообразие, рассматривая специальные поверхности, вложенные в него. Можно выбрать поверхность, которая будет хорошо помещена в 3-многообразие, что приводит к идее несжимаемой поверхности и теории многообразий Хакена , или можно выбрать дополнительные части, которые будут настолько хороши, насколько это возможно, что приведет к таким структурам, как расщепления Хегора , которые полезны даже в не-Хакеновском случае.

Вклад Терстона в теорию позволяет также учитывать во многих случаях дополнительную структуру, заданную определенной геометрией модели Терстона (которых существует восемь). Наиболее распространенной геометрией является гиперболическая геометрия. Использование геометрии в дополнение к специальным поверхностям часто бывает плодотворным.

Фундаментальные группы 3-многообразий строго отражают геометрическую и топологическую информацию, принадлежащую 3-многообразию. Таким образом, существует взаимодействие между теорией групп и топологическими методами.

Инварианты, описывающие 3-многообразия

3-многообразия являются интересным частным случаем низкоразмерной топологии, поскольку их топологические инварианты дают много информации об их структуре в целом. Если мы позволим быть 3-многообразием и быть его фундаментальной группой, то из них можно вывести много информации. Например, используя двойственность Пуанкаре и теорему Гуревича , мы имеем следующие группы гомологий : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi =\pi _{1}(M)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(M)&=H^{3}(M)=&\mathbb {Z} \\H_{1}(M)&=H^{2}(M)=&\pi /[\pi ,\pi ]\\H_{2}(M)&=H^{1}(M)=&{\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\\H_{3}(M)&=H^{0}(M)=&\mathbb {Z} \end{aligned}}}$

где последние две группы изоморфны группам гомологии и когомологии , соответственно; то есть, ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}(\pi ;\mathbb {Z} )&\cong \pi /[\pi ,\pi ]\\H^{1}(\pi ;\mathbb {Z} )&\cong {\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\end{aligned}}}$

Из этой информации можно найти базовую гомотопическую теоретическую классификацию 3-многообразий ^{[1] . Обратите внимание, что из} башни Постникова есть каноническое отображение

${\displaystyle q:M\to B\pi }$

Если мы возьмем проталкивание фундаментального класса в , то получим элемент . Оказывается, группа вместе с классом групповой гомологии дает полное алгебраическое описание гомотопического типа . ${\displaystyle [M]\in H_{3}(M)}$ ${\displaystyle H_{3}(B\pi )}$ ${\displaystyle \zeta _{M}=q_{*}([M])}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \zeta _{M}\in H_{3}(\pi ,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle M}$

Связанные суммы

Одной из важных топологических операций является связная сумма двух 3-многообразий . Фактически, из общих теорем топологии мы находим, что для трехмерного многообразия с разложением на связную сумму инварианты выше для могут быть вычислены из . В частности ${\displaystyle M_{1}\#M_{2}}$ ${\displaystyle M=M_{1}\#\cdots \#M_{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}(M)&=H_{1}(M_{1})\oplus \cdots \oplus H_{1}(M_{n})\\H_{2}(M)&=H_{2}(M_{1})\oplus \cdots \oplus H_{2}(M_{n})\\\pi _{1}(M)&=\pi _{1}(M_{1})*\cdots *\pi _{1}(M_{n})\end{aligned}}}$

Более того, 3-многообразие , которое нельзя описать как связную сумму двух 3-многообразий, называется простым . ${\displaystyle M}$

Вторые гомотопические группы

Для случая 3-многообразия, заданного связной суммой простых 3-многообразий, оказывается, что существует хорошее описание второй фундаментальной группы как α -модуля. ^[2] Для особого случая, когда каждый из них бесконечен, но не цикличен, если мы возьмем базовые вложения 2-сферы ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi ]}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M_{i})}$

${\displaystyle \sigma _{i}:S^{2}\to M}$где ${\displaystyle \sigma _{i}(S^{2})\subset M_{i}-\{B^{3}\}\subset M}$

тогда вторая фундаментальная группа имеет представление

${\displaystyle \pi _{2}(M)={\frac {\mathbb {Z} [\pi ]\{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\}}{(\sigma _{1}+\cdots +\sigma _{n})}}}$

давая простое вычисление этой группы.

Важные примеры 3-многообразий

Евклидово 3-пространство

Евклидово 3-пространство является наиболее важным примером 3-многообразия, поскольку все остальные определяются относительно него. Это просто стандартное 3-мерное векторное пространство над действительными числами.

3-сфера

Стереографическая проекция параллелей гиперсферы (красные), меридианов (синие) и гипермеридианов (зеленые). Поскольку эта проекция является конформной , кривые пересекают друг друга ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями: кривые, пересекающие <0,0,0,1>, имеют бесконечный радиус (= прямая линия).

3-сфера — это многомерный аналог сферы . Она состоит из множества точек, равноудаленных от фиксированной центральной точки в 4-мерном евклидовом пространстве . Так же, как обычная сфера (или 2-сфера) — это двумерная поверхность , образующая границу шара в трех измерениях, 3-сфера — это объект с тремя измерениями , образующий границу шара в четырех измерениях. Многие примеры 3-многообразий можно построить, взяв факторы 3-сферы по конечной группе, действующей свободно на посредством отображения , так что . ^[3] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \pi \to {\text{SO}}(4)}$ ${\displaystyle M=S^{3}/\pi }$

Реальное проективное 3-пространство

Реальное проективное 3-пространство, или RP ³ , является топологическим пространством прямых, проходящих через начало координат 0 в R 4 ^. Это компактное гладкое многообразие размерности 3 и является частным случаем Gr (1, R ⁴ ) грассманова пространства .

RP ³ ( диффеоморфен ) SO(3) , следовательно, допускает групповую структуру; накрывающее отображение S ³ → RP ³ является отображением групп Spin(3) → SO(3), где Spin(3) — группа Ли , которая является универсальным накрытием SO(3).

3-тор

Трехмерный тор является произведением трех окружностей. То есть:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}.}$

3-тор, T ³ может быть описан как частное R ³ при интегральных сдвигах в любой координате. То есть, 3-тор есть R ³ по модулю действия целочисленной решетки Z ³ (при этом действие берется как сложение векторов). Эквивалентно, 3-тор получается из 3-мерного куба путем склеивания противоположных граней.

В этом смысле 3-тор является примером 3-мерного компактного многообразия . Он также является примером компактной абелевой группы Ли . Это следует из того факта, что единичная окружность является компактной абелевой группой Ли (при отождествлении с единичными комплексными числами с умножением). Групповое умножение на торе тогда определяется покоординатным умножением.

Гиперболическое 3-пространство

Перспективная проекция додекаэдрической мозаики в H 3 .
Четыре додекаэдра встречаются на каждом ребре, и восемь встречаются на каждой вершине, как кубы кубической мозаики в E 3

Гиперболическое пространство — однородное пространство , которое можно охарактеризовать постоянной отрицательной кривизной . Это модель гиперболической геометрии . Оно отличается от евклидовых пространств с нулевой кривизной, которые определяют евклидову геометрию , и моделей эллиптической геометрии (например, 3-сферы ), которые имеют постоянную положительную кривизну. При вложении в евклидово пространство (более высокой размерности) каждая точка гиперболического пространства является седловой точкой . Другим отличительным свойством является количество пространства, покрываемого 3-шаром в гиперболическом 3-пространстве: оно увеличивается экспоненциально по отношению к радиусу шара, а не полиномиально.

Пуанкаре додекаэдрическое пространство

Гомологическая сфера Пуанкаре (также известная как додекаэдрическое пространство Пуанкаре) является частным примером гомологической сферы. Будучи сферическим 3-многообразием , она является единственной гомологической 3-сферой (помимо самой 3-сферы ) с конечной фундаментальной группой . Ее фундаментальная группа известна как бинарная икосаэдрическая группа и имеет порядок 120. Это показывает, что гипотеза Пуанкаре не может быть сформулирована только в терминах гомологии.

В 2003 году отсутствие структуры в самых крупных масштабах (выше 60 градусов) в космическом микроволновом фоне , которое в течение года наблюдалось космическим аппаратом WMAP, привело к предположению Жана-Пьера Люмине из Парижской обсерватории и его коллег, что форма Вселенной представляет собой сферу Пуанкаре. ^{[4] [5]} В 2008 году астрономы нашли наилучшую ориентацию на небе для модели и подтвердили некоторые из предсказаний модели, используя трехлетние наблюдения космического аппарата WMAP. ^[6] Однако пока нет убедительных доказательств правильности модели.

Пространство Зейферта–Вебера

В математике пространство Зейферта–Вебера (введенное Гербертом Зейфертом и Константином Вебером) — замкнутое гиперболическое 3-многообразие . Оно также известно как додекаэдрическое пространство Зейферта–Вебера и гиперболическое додекаэдрическое пространство . Это один из первых обнаруженных примеров замкнутых гиперболических 3-многообразий.

Он строится путем склеивания каждой грани додекаэдра с противоположной таким образом, что получается замкнутое 3-многообразие. Существует три способа последовательного выполнения этого склеивания. Противоположные грани смещены на 1/10 оборота, поэтому для их совмещения их необходимо повернуть на 1/10, 3/10 или 5/10 оборота; поворот на 3/10 дает пространство Зейферта–Вебера. Поворот на 1/10 дает гомологическую сферу Пуанкаре , а поворот на 5/10 дает 3-мерное действительное проективное пространство .

При склеивании в 3/10 оборота ребра исходного додекаэдра склеиваются друг с другом группами по пять. Таким образом, в пространстве Зейферта–Вебера каждое ребро окружено пятью пятиугольными гранями, а двугранный угол между этими пятиугольниками равен 72°. Это не соответствует двугранному углу 117° правильного додекаэдра в евклидовом пространстве, но в гиперболическом пространстве существуют правильные додекаэдры с любым двугранным углом от 60° до 117°, и гиперболический додекаэдр с двугранным углом 72° может быть использован для придания пространству Зейферта–Вебера геометрической структуры в виде гиперболического многообразия. Это фактор-пространство додекаэдрических сот порядка 5 , регулярное разбиение гиперболического 3-пространства додекаэдрами с этим двугранным углом.

коллектор Гизекинга

В математике многообразие Гизекинга — это каспированное гиперболическое 3-многообразие конечного объема. Оно неориентируемо и имеет наименьший объем среди некомпактных гиперболических многообразий, имея объем приблизительно 1,01494161. Оно было открыто Гуго Гизекингом (1912).

Многообразие Гизекинга можно построить, удалив вершины из тетраэдра , а затем склеив грани попарно с помощью аффинно-линейных отображений. Обозначим вершины 0, 1, 2, 3. Приклеим грань с вершинами 0, 1, 2 к грани с вершинами 3, 1, 0 в этом порядке. Приклеим грань 0, 2, 3 к грани 3, 2, 1 в этом порядке. В гиперболической структуре многообразия Гизекинга этот идеальный тетраэдр является каноническим многогранным разложением Дэвида Б. А. Эпштейна и Роберта К. Пеннера. ^[7] Более того, угол, образованный гранями, равен . Триангуляция имеет один тетраэдр, две грани, одно ребро и ни одной вершины, поэтому все ребра исходного тетраэдра склеены. ${\displaystyle \pi /3}$

Некоторые важные классы 3-многообразий

• Графовое многообразие
• Хакен коллектор
• Гомологические сферы
• Гиперболическое 3-многообразие
• I-связки
• Дополнения к узлам и связям
• Пространство линз
• Пространства волокнистых структур Зейферта , Круговые расслоения
• Сферическое 3-мерное многообразие
• Поверхностные расслоения над окружностью
• Торусный пучок

Гиперболические дополнения связи

Кольца Борромео представляют собой гиперболическую связь.

Гиперболическое зацепление — это зацепление в 3-сфере с дополнением , имеющее полную риманову метрику постоянной отрицательной кривизны , т.е. имеющее гиперболическую геометрию . Гиперболический узел — это гиперболическое зацепление с одной компонентой .

Следующие примеры особенно известны и изучены.

• узел восьмерка
• Ссылка Уайтхеда
• Кольца Борромео

Классы не обязательно являются взаимоисключающими.

Некоторые важные структуры на 3-многообразиях

Геометрия контакта

Контактная геометрия — это изучение геометрической структуры на гладких многообразиях , заданных распределением гиперплоскости в касательном расслоении и заданных одной формой , обе из которых удовлетворяют условию «максимальной невырожденности», называемому «полной неинтегрируемостью». Из теоремы Фробениуса можно узнать условие как противоположное условию, что распределение определяется слоением коразмерности один на многообразии («полная интегрируемость»).

Контактная геометрия во многих отношениях является нечетномерным аналогом симплектической геометрии , которая принадлежит четномерному миру. Как контактная, так и симплектическая геометрия мотивированы математическим формализмом классической механики , где можно рассматривать либо четномерное фазовое пространство механической системы, либо нечетномерное расширенное фазовое пространство, включающее временную переменную.

Хакен коллектор

Многообразие Хакена — это компактное , P²-неприводимое 3-многообразие, которое достаточно велико , что означает, что оно содержит правильно вложенную двустороннюю несжимаемую поверхность . Иногда рассматривают только ориентируемые многообразия Хакена, и в этом случае многообразие Хакена — это компактное, ориентируемое, неприводимое 3-многообразие, которое содержит ориентируемую, несжимаемую поверхность.

Говорят, что 3-многообразие, конечно покрытое многообразием Хакена, является виртуально Хакеном . Гипотеза виртуально Хакена утверждает, что каждое компактное неприводимое 3-многообразие с бесконечной фундаментальной группой является виртуально Хакеном.

Многообразия Хакена были введены Вольфгангом Хакеном. Хакен доказал, что многообразия Хакена имеют иерархию , в которой они могут быть разделены на 3-шары вдоль несжимаемых поверхностей. Хакен также показал, что существует конечная процедура для нахождения несжимаемой поверхности, если 3-многообразие имеет таковую. Жако и Эртель дали алгоритм для определения, является ли 3-многообразие многообразием Хакена.

Основное ламинирование

Существенная слоистость — это слоистость, в которой каждый лист несжимаем и конец несжимаем, если дополнительные области слоистости неприводимы и если нет сферических листов.

Существенные ламинации обобщают несжимаемые поверхности, обнаруженные в многообразиях Хакена.

расщепление Хегора

Разбиение Хегора — это разложение компактного ориентированного 3-многообразия, которое получается в результате его деления на два тела-ручки .

Каждое замкнутое, ориентируемое трехмерное многообразие может быть получено таким образом; это следует из глубоких результатов о триангулируемости трехмерных многообразий, полученных Моисом . Это сильно контрастирует с многообразиями более высокой размерности, которые не обязательно должны допускать гладкие или кусочно-линейные структуры. Предполагая гладкость, существование расщепления Хегора также следует из работы Смейла о разложениях на ручки из теории Морса.

Натянутая слоистость

Натянутое слоение — это слоение коразмерности 1 3-многообразия со свойством, что существует единственная поперечная окружность, пересекающая каждый лист. Под поперечной окружностью подразумевается замкнутая петля, которая всегда трансверсальна касательному полю слоения. Эквивалентно, согласно результату Денниса Салливана , слоение коразмерности 1 является натянутым, если существует риманова метрика , которая делает каждый лист минимальной поверхностью .

Теория натянутых расслоений получила известность благодаря работам Уильяма Терстона и Дэвида Габая .

Фундаментальные результаты

Некоторые результаты названы гипотезами из-за исторических артефактов.

Начнем с чисто топологического:

Теорема Моисея

В геометрической топологии теорема Моисея , доказанная Эдвином Э. Моисеем в 1939 году, утверждает, что любое топологическое 3-многообразие имеет по существу единственную кусочно-линейную структуру и гладкую структуру .

Как следствие, каждое компактное 3-многообразие имеет разбиение Хегора .

Теорема о разложении простых чисел

Теорема о разложении на простые числа для 3-многообразий утверждает, что каждое компактное ориентируемое 3 - многообразие является связной суммой уникального ( с точностью до гомеоморфизма ) набора простых 3-многообразий .

Многообразие является простым , если его нельзя представить в виде связной суммы более чем одного многообразия, ни одно из которых не является сферой той же размерности.

Конечность Кнезера–Хакена

Конечность Кнезера-Хакена гласит, что для каждого компактного 3-многообразия существует константа C такая, что любой набор непересекающихся несжимаемых вложенных поверхностей мощности, большей C, должен содержать параллельные элементы.

Теоремы о петле и сфере

Теорема о петле является обобщением леммы Дена и ее правильнее было бы назвать «теоремой о диске». Впервые она была доказана Христосом Папакирьякопулосом в 1956 году вместе с леммой Дена и теоремой о сфере .

Простая и полезная версия теоремы о петле гласит, что если существует отображение

${\displaystyle f\colon (D^{2},\partial D^{2})\to (M,\partial M)\,}$

с ненулевым гомотопом в , то существует вложение с тем же свойством. ${\displaystyle f|\partial D^{2}}$ ${\displaystyle \partial M}$

Теорема о сферах Папакирьякопулоса  (1957) дает условия для того, чтобы элементы второй гомотопической группы 3-многообразия были представлены вложенными сферами.

Вот один из примеров:

Пусть — ориентируемое 3-многообразие, такое, что не является тривиальной группой. Тогда существует ненулевой элемент, имеющий представителя, который является вложением . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi _{2}(M)}$ ${\displaystyle \pi _{2}(M)}$ ${\displaystyle S^{2}\to M}$

Теоремы о кольце и торе

Теорема о кольце утверждает, что если пара непересекающихся простых замкнутых кривых на границе трехмерного многообразия свободно гомотопны, то они ограничивают правильно вложенное кольцо. Это не следует путать с теоремой о многомерности с тем же названием.

Теорема о торе выглядит следующим образом: Пусть M — компактное, неприводимое 3-многообразие с непустой границей. Если M допускает существенное отображение тора, то M допускает существенное вложение либо тора, либо кольца ^[8]

Разложение JSJ

Разложение JSJ , также известное как торическое разложение , представляет собой топологическую конструкцию, заданную следующей теоремой:

Неприводимые ориентируемые замкнутые (т.е. компактные и без границы) 3-многообразия имеют единственный (с точностью до изотопии ) минимальный набор дизъюнктно вложенных несжимаемых торов , такой что каждая компонента 3-многообразия, полученная разрезанием вдоль торов, является либо атороидальной , либо расслоенной по Зейферту .

Аббревиатура JSJ означает William Jaco , Peter Shalen и Klaus Johannson. Первые двое работали вместе, а третий — независимо. ^{[9] [10]}

Теорема Скотта

Теорема Скотта о ядре — это теорема о конечной представимости фундаментальных групп 3-многообразий, принадлежащая Г. Питеру Скотту . ^[11] Точное утверждение выглядит следующим образом:

Для данного 3-многообразия (не обязательно компактного ) с конечно порожденной фундаментальной группой существует компактное трехмерное подмногообразие , называемое компактным ядром или ядром Скотта , такое, что его отображение включения индуцирует изоморфизм на фундаментальных группах. В частности, это означает, что конечно порожденная 3-многообразная группа конечно представима .

Упрощенное доказательство дано в ^[12] , а более сильное утверждение о единственности доказано в ^{[13] .}

Теорема Ликориша–Уоллеса

Теорема Ликориша –Уоллеса утверждает, что любое замкнутое , ориентируемое , связное 3-многообразие может быть получено путем выполнения операции Дена на рамочном звене в 3-сфере с коэффициентами операции. Более того, каждый компонент звена можно считать незаузленным. ${\displaystyle \pm 1}$

Теоремы Вальдхаузена о топологической жесткости

Теоремы Фридгельма Вальдхаузена о топологической жесткости утверждают, что некоторые 3-многообразия (например, с несжимаемой поверхностью) гомеоморфны, если существует изоморфизм фундаментальных групп, сохраняющий границу.

Гипотеза Вальдхаузена о расщеплениях Хегора

Вальдхаузен выдвинул гипотезу, что каждое замкнутое ориентируемое 3-многообразие имеет лишь конечное число разбиений Хегора (с точностью до гомеоморфизма) любого заданного рода.

гипотеза Смита

Гипотеза Смита (теперь доказанная) утверждает, что если f является диффеоморфизмом 3 -сферы конечного порядка , то множество неподвижных точек f не может быть нетривиальным узлом .

Теорема о циклической хирургии

Теорема о циклической хирургии утверждает, что для компактного , связного , ориентируемого , неприводимого трехмерного многообразия M , граница которого является тором T , если M не является расслоенным по Зейферту пространством , а r, s являются наклонами на T, такими, что их заполнения Дена имеют циклическую фундаментальную группу, то расстояние между r и s (минимальное число раз, которое должны пересекаться две простые замкнутые кривые в T, представляющие r и s ) не превышает 1. Следовательно, существует не более трех заполнений Дена M с циклической фундаментальной группой.

Теорема Терстона о гиперболической хирургии Дена и теорема Йоргенсена–Терстона

Теорема Терстона о гиперболической хирургии Дена гласит: является гиперболическим до тех пор, пока избегается конечное множество исключительных наклонов для i -го каспа для каждого i . Кроме того, сходится к M в H как все для всех, соответствующих непустым заполнениям Дена . ${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$ ${\displaystyle p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}}$

Эта теорема принадлежит Уильяму Терстону и является основополагающей для теории гиперболических 3-многообразий. Она показывает, что нетривиальные пределы существуют в H. Исследование геометрической топологии Троелсом Йоргенсеном далее показывает, что все нетривиальные пределы возникают при заполнении Дена, как в теореме.

Другой важный результат Терстона заключается в том, что объем уменьшается при гиперболическом заполнении Дена. Фактически, теорема утверждает, что объем уменьшается при топологическом заполнении Дена, предполагая, конечно, что заполненное Деном многообразие является гиперболическим. Доказательство опирается на основные свойства нормы Громова .

Йоргенсен также показал, что функция объема на этом пространстве является непрерывной , собственной функцией. Таким образом, по предыдущим результатам нетривиальные пределы в H переходят в нетривиальные пределы в наборе объемов. Фактически, можно далее заключить, как это сделал Терстон, что набор объемов гиперболических 3-многообразий конечного объема имеет порядковый тип . Этот результат известен как теорема Терстона-Йоргенсена . Дальнейшая работа, характеризующая этот набор, была проделана Громовым . ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$

Кроме того, Габай, Мейерхофф и Милли показали, что многообразие Уикса имеет наименьший объем среди всех замкнутых ориентируемых гиперболических 3-многообразий.

Теорема гиперболизации Терстона для многообразий Хакена

Одна из форм теоремы Терстона о геометризации гласит: если M — компактное неприводимое атороидальное многообразие Хакена, граница которого имеет нулевую эйлерову характеристику, то внутренность M имеет полную гиперболическую структуру конечного объема.

Теорема жесткости Мостова подразумевает, что если многообразие размерности не менее 3 имеет гиперболическую структуру конечного объема, то оно по существу уникально.

Условия, что многообразие M должно быть неприводимым и атороидальным, являются необходимыми, поскольку гиперболические многообразия обладают этими свойствами. Однако условие, что многообразие должно быть многообразием Хакена, является излишне сильным. Гипотеза гиперболизации Терстона утверждает, что замкнутое неприводимое атороидальное 3-многообразие с бесконечной фундаментальной группой является гиперболическим, и это следует из доказательства Перельмана гипотезы геометризации Терстона.

Гипотеза о прирученности, также называемая гипотезой Мардена или гипотезой о прирученных концах

Теорема о ручности утверждает, что каждое полное гиперболическое 3-многообразие с конечно порожденной фундаментальной группой является топологически ручным , другими словами, гомеоморфным внутренности компактного 3-многообразия.

Теорема о ручности была выдвинута Марденом. Она была доказана Аголом и, независимо, Дэнни Калегари и Дэвидом Габаем . Это одно из фундаментальных свойств геометрически бесконечных гиперболических 3-многообразий, вместе с теоремой о плотности для клейновых групп и теоремой о конечном ламинировании . Она также подразумевает гипотезу о мере Альфорса .

Окончание гипотезы ламинирования

Теорема о конечном ламинировании , первоначально выдвинутая Уильямом Терстоном и позднее доказанная Джеффри Броком , Ричардом Канари и Яиром Мински, утверждает, что гиперболические 3-многообразия с конечно порожденными фундаментальными группами определяются своей топологией вместе с некоторыми «концевыми инвариантами», которые являются геодезическими ламинированиями на некоторых поверхностях границы многообразия.

гипотеза Пуанкаре

3-сфера является особенно важным 3-многообразием из-за теперь доказанной гипотезы Пуанкаре . Первоначально выдвинутая Анри Пуанкаре , теорема касается пространства, которое локально выглядит как обычное трехмерное пространство, но является связным, конечным по размеру и не имеет какой-либо границы (замкнутое 3 -многообразие). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, что каждая петля в пространстве может быть непрерывно стянута в точку, то оно обязательно является трехмерной сферой. Аналогичный результат был известен в более высоких измерениях в течение некоторого времени.

После почти столетия усилий математиков Григорий Перельман представил доказательство гипотезы в трех статьях, опубликованных в 2002 и 2003 годах на arXiv . Доказательство стало продолжением программы Ричарда С. Гамильтона по использованию потока Риччи для решения этой проблемы. Перельман представил модификацию стандартного потока Риччи, названную потоком Риччи с хирургией для систематического вырезания особых областей по мере их развития контролируемым образом. Несколько групп математиков подтвердили, что доказательство Перельмана верно.

Гипотеза геометризации Терстона

Гипотеза геометризации Терстона утверждает, что каждое из трехмерных топологических пространств имеет уникальную геометрическую структуру, которая может быть с ними связана. Это аналог теоремы об униформизации для двумерных поверхностей , которая утверждает, что каждой односвязной римановой поверхности можно придать одну из трех геометрий ( евклидову , сферическую или гиперболическую ). В трех измерениях не всегда возможно приписать одну геометрию всему топологическому пространству. Вместо этого гипотеза геометризации утверждает, что каждое замкнутое 3-многообразие можно каноническим образом разложить на части, каждая из которых имеет один из восьми типов геометрической структуры. Гипотеза была предложена Уильямом Терстоном (1982) и подразумевает несколько других гипотез, таких как гипотеза Пуанкаре и гипотеза эллиптичности Терстона .

Теорема гиперболизации Терстона подразумевает, что многообразия Хакена удовлетворяют гипотезе геометризации. Терстон объявил о доказательстве в 1980-х годах, и с тех пор в печати появилось несколько полных доказательств.

Григорий Перельман набросал доказательство полной гипотезы геометризации в 2003 году, используя поток Риччи с хирургией . Сейчас существует несколько различных рукописей (см. ниже) с подробностями доказательства. Гипотеза Пуанкаре и гипотеза о сферической форме пространства являются следствиями гипотезы геометризации, хотя существуют более короткие доказательства первой, которые не приводят к гипотезе геометризации.

Виртуально расслоенная гипотеза и виртуально гипотеза Хакена

Гипотеза виртуального расслоения , сформулированная американским математиком Уильямом Терстоном , утверждает, что каждое замкнутое неприводимое атороидальное 3 -многообразие с бесконечной фундаментальной группой имеет конечное покрытие , которое является поверхностным расслоением над окружностью .

Виртуально гипотеза Хакена утверждает, что каждое компактное , ориентируемое , неприводимое трехмерное многообразие с бесконечной фундаментальной группой виртуально Хакено . То есть, оно имеет конечное покрытие ( пространство покрытия с конечно-однозначным отображением покрытия), которое является многообразием Хакена .

В сообщении на ArXiv от 25 августа 2009 года ^[14] Дэниел Уайз неявно подразумевал (ссылаясь на тогда еще неопубликованную более длинную рукопись), что он доказал гипотезу о виртуально расслоенной матрице для случая, когда 3-многообразие замкнуто, гиперболично и многообразие Хакена. За этим последовала обзорная статья в Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences. ^[15] Затем последовало еще несколько препринтов ^[16] , включая вышеупомянутую более длинную рукопись Уайза. ^[17] В марте 2012 года во время конференции в Институте Анри Пуанкаре в Париже Ян Агол объявил, что он может доказать гипотезу о виртуально расслоенной матрице для замкнутых гиперболических 3-многообразий. ^[18] Доказательство основано на результатах Кана и Марковича ^{[19] [20]} в их доказательстве гипотезы о подгруппе поверхности и результатах Вайса в доказательстве теоремы о ненормальном специальном факторе ^[17] и результатах Бержерона и Вайса для кубуляции групп. ^[14] Вместе с результатами Вайса это влечет гипотезу о виртуально расслоенной структуре для всех замкнутых гиперболических 3-многообразий.

Простая гипотеза петли

Если — отображение замкнутых связных поверхностей, такое что не является инъективным, то существует нестягиваемая простая замкнутая кривая, такая что является гомотопически тривиальной. Эта гипотеза была доказана Давидом Габаем . ${\displaystyle f\colon S\rightarrow T}$ ${\displaystyle f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)}$ ${\displaystyle \alpha \subset S}$ ${\displaystyle f|_{a}}$

Гипотеза о подгруппе поверхности

Гипотеза Фридхельма Вальдхаузена о подгруппе поверхности утверждает, что фундаментальная группа каждого замкнутого неприводимого 3-многообразия с бесконечной фундаментальной группой имеет подгруппу поверхности. Под «подгруппой поверхности» мы подразумеваем фундаментальную группу замкнутой поверхности, а не 2-сферы. Эта задача указана как задача 3.75 в списке задач Робиона Кирби . ^[21]

Если предположить гипотезу геометризации , единственным открытым случаем были замкнутые гиперболические 3-многообразия . Доказательство этого случая было объявлено летом 2009 года Джереми Каном и Владимиром Марковичем и изложено в докладе 4 августа 2009 года на конференции FRG (Focused Research Group), организованной Университетом Юты. Препринт появился на arxiv в октябре 2009 года. ^[22] Их статья была опубликована в Annals of Mathematics в 2012 году. ^[23] В июне 2012 года Кан и Маркович получили награду Clay Research Awards от Clay Mathematics Institute на церемонии в Оксфорде . ^[24]

Важные предположения

Гипотеза о кабелях

Гипотеза о кабельной связи утверждает, что если операция Дена на узле в 3-сфере дает приводимое 3-многообразие, то этот узел является -кабелем на некотором другом узле, и операция должна была быть выполнена с использованием наклона . ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle pq}$

Гипотеза Любоцкого–Сарнака

Фундаментальная группа любого конечного по объему гиперболического n -многообразия не обладает свойством τ.

Ссылки

1. Сваруп, Г. Ананда (1974). «О теореме К. Б. Томаса». Журнал Лондонского математического общества . s2-8 (1): 13–21. doi :10.1112/jlms/s2-8.1.13. ISSN  1469-7750.
2. Сваруп, Г. Ананда (1973-06-01). «О вложенных сферах в 3-многообразия». Mathematische Annalen . 203 (2): 89–102. doi :10.1007/BF01431437. ISSN  1432-1807. S2CID  120672504.
3. Циммерман, Бруно. О классификации конечных групп, действующих на гомологических 3-сферах . CiteSeerX 10.1.1.218.102 . 
4. «Является ли Вселенная додекаэдром?», статья в PhysicsWorld.
5. Люмине, Жан-Пьер ; Уикс, Джеффри ; Риасуэло, Ален; Леук, Роланд; Узан, Жан-Филипп (2003-10-09). «Топология додекаэдрического пространства как объяснение слабых широкоугольных температурных корреляций в космическом микроволновом фоне». Nature . 425 (6958): 593–595. arXiv : astro-ph/0310253 . Bibcode : 2003Natur.425..593L. doi : 10.1038/nature01944. PMID  14534579. S2CID  4380713.
6. Рукема, Будевейн; Збигнев Булинский; Агнешка Саневска; Николя Э. Годен (2008). «Проверка гипотезы топологии додекаэдрического пространства Пуанкаре с данными WMAP CMB». Астрономия и астрофизика . 482 (3): 747–753. arXiv : 0801.0006 . Бибкод : 2008A&A...482..747L. дои : 10.1051/0004-6361:20078777. S2CID  1616362.
7. Эпштейн, Дэвид БА ; Пеннер, Роберт К. (1988). «Евклидовы разложения некомпактных гиперболических многообразий». Журнал дифференциальной геометрии . 27 (1): 67–80. doi : 10.4310/jdg/1214441650 . MR  0918457.
8. Фойстель, Чарльз Д. (1976). «О теореме о торе и ее приложениях». Труды Американского математического общества . 217 : 1–43. doi : 10.1090/s0002-9947-1976-0394666-3 .
9. Жако, Уильям; Шален, Питер Б. Новая теорема разложения для неприводимых достаточно больших 3-многообразий. Алгебраическая и геометрическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), часть 2, стр. 71–84, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1978.
10. Йохансон, Клаус, Гомотопические эквивалентности 3-многообразий с границами. Lecture Notes in Mathematics, 761. Springer, Берлин, 1979. ISBN 3-540-09714-7 
11. Скотт, Г. Питер (1973), «Компактные подмногообразия 3-многообразий», Журнал Лондонского математического общества , Вторая серия, 7 (2): 246–250, doi :10.1112/jlms/s2-7.2.246, MR  0326737
12. Рубинштейн, Дж. Хайам ; Сваруп, Гэдд А. (1990), «О основной теореме Скотта», Бюллетень Лондонского математического общества , 22 (5): 495–498, doi :10.1112/blms/22.5.495, MR  1082023
13. Харрис, Люк; Скотт, Г. Питер (1996), «Уникальность компактных ядер для 3-многообразий», Pacific Journal of Mathematics , 172 (1): 139–150, doi : 10.2140/pjm.1996.172.139 , MR  1379290
14. Бержерон, Николас; Вайс, Дэниел Т. (2009). «Граничний критерий кубуляции». arXiv : 0908.3609 [math.GT].
15. Wise, Daniel T. (2009-10-29), «Объявление об исследовании: Структура групп с квазивыпуклой иерархией», Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences , 16 : 44–55, doi : 10.3934/era.2009.16.44 , MR  2558631
16. Хаглунд и Вайс, Теорема сочетания для специальных кубических комплексов ,
    Хруска и Вайс, Свойства конечности кубированных групп ,
    Хсу и Вайс, Кубулирующие ненормальные амальгамы ,
    http://comet.lehman.cuny.edu/behrstock/cbms/program.html
17. Daniel T. Wise, Структура групп с квазивыпуклой иерархией , https://docs.google.com/file/d/0B45cNx80t5-2NTU0ZTdhMmItZTIxOS00ZGUyLWE0YzItNTEyYWFiMjczZmIz/edit?pli=1
18. Эйгол, Ян; Гроувс, Дэниел; Мэннинг, Джейсон (2012). «Виртуальная гипотеза Хакена». arXiv : 1204.2810 [math.GT].
19. Кан, Джереми; Маркович, Владимир (2009). «Погружение почти геодезических поверхностей в замкнутое гиперболическое трехмерное многообразие». arXiv : 0910.5501 [math.GT].
20. Кан, Джереми; Маркович, Владимир (2010). «Подсчет существенных поверхностей в замкнутом гиперболическом 3-многообразии». arXiv : 1012.2828 [math.GT].
21. Робион Кирби , Проблемы низкоразмерной топологии
22. Кан, Джереми; Маркович, Владимир (2009). «Погружение почти геодезических поверхностей в замкнутое гиперболическое трехмерное многообразие». arXiv : 0910.5501 [math.GT].
23. Кан, Джереми ; Маркович, Владимир (2012), «Погружение почти геодезических поверхностей в замкнутое гиперболическое трехмерное многообразие», Annals of Mathematics , 175 (3): 1127–1190, arXiv : 0910.5501 , doi : 10.4007/annals.2012.175.3.4, S2CID  32593851
24. "Конференция по исследованию глины 2012 года". Архивировано из оригинала 4 июня 2012 года . Получено 30 апреля 2020 года .

Дальнейшее чтение

• Hempel, John (2004), 3-многообразия , Providence, RI: Американское математическое общество , doi : 10.1090/chel/349, ISBN 0-8218-3695-1, МР  2098385
• Жако, Уильям Х. (1980), Лекции по топологии трехмерных многообразий , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1693-4, МР  0565450
• Рольфсен, Дейл (1976), Узлы и связи , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-914098-16-0, МР  1277811
• Терстон, Уильям П. (1997), Трехмерная геометрия и топология , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-08304-5, г-н  1435975
• Адамс, Колин Конрад (2004), The Knot Book. Элементарное введение в математическую теорию узлов. Переиздание оригинала 1994 года. , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xiv+307, ISBN 0-8050-7380-9, МР  2079925
• Бинг, Р. Х. (1983), Геометрическая топология 3-многообразий , Colloquium Publications, т. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. x+238, ISBN 0-8218-1040-5, МР  0928227
• Терстон, Уильям П. (1982). «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия». Бюллетень Американского математического общества . 6 (3): 357–382. doi : 10.1090/s0273-0979-1982-15003-0 . ISSN  0273-0979.
• Папакирьякопулос, Христос Д. (1957-01-15). «О лемме Дена и асферичности узлов». Труды Национальной академии наук . 43 (1): 169–172. Bibcode :1957PNAS...43..169P. doi : 10.1073/pnas.43.1.169 . ISSN  0027-8424. PMC  528404 . PMID  16589993.
• «Topologische Fragen der Differentialgeometry 43. Gewebe und Gruppen [31–32h]», Gesammelte Abhandlungen / Сборник статей , DE GRUYTER, 2005, doi : 10.1515/9783110894516.239, ISBN 978-3-11-089451-6

Внешние ссылки

• Хэтчер, Аллен, Заметки о базовой топологии 3-многообразий, Корнелльский университет
• Стрикленд, Нил, Бестиарий топологических объектов