Квантовая механика

Описание физических свойств на атомном и субатомном уровне

Волновые функции электрона в атоме водорода на разных уровнях энергии. Квантовая механика не может предсказать точное местоположение частицы в пространстве, а только вероятность ее нахождения в разных местах. ^[1] Более яркие области представляют более высокую вероятность нахождения электрона.

Квантовая механика — это фундаментальная теория , описывающая поведение природы на уровне атомов и ниже . ^{[2] : 1.1} Это основа всей квантовой физики , которая включает квантовую химию , квантовую теорию поля , квантовую технологию и квантовую информатику .

Квантовая механика может описать многие системы, которые классическая физика не может. Классическая физика может описать многие аспекты природы в обычном ( макроскопическом и (оптическом) микроскопическом ) масштабе, но недостаточна для описания их в очень малых субмикроскопических (атомных и субатомных ) масштабах. Большинство теорий в классической физике могут быть выведены из квантовой механики как приближение, справедливое в больших (макроскопических/микроскопических) масштабах. ^[3]

Квантовые системы имеют связанные состояния, которые квантуются до дискретных значений энергии , импульса , углового момента и других величин, в отличие от классических систем, где эти величины могут измеряться непрерывно. Измерения квантовых систем показывают характеристики как частиц , так и волн ( корпускулярно-волновой дуализм ), и существуют ограничения на то, насколько точно значение физической величины может быть предсказано до ее измерения, учитывая полный набор начальных условий ( принцип неопределенности ).

Квантовая механика постепенно возникла из теорий, объясняющих наблюдения, которые не могли быть согласованы с классической физикой, например, решение Макса Планка в 1900 году проблемы излучения черного тела и соответствие между энергией и частотой в статье Альберта Эйнштейна 1905 года , которая объяснила фотоэлектрический эффект . Эти ранние попытки понять микроскопические явления, теперь известные как « старая квантовая теория », привели к полному развитию квантовой механики в середине 1920-х годов Нильсом Бором , Эрвином Шредингером , Вернером Гейзенбергом , Максом Борном , Полем Дираком и другими. Современная теория сформулирована в различных специально разработанных математических формализмах . В одном из них математическая сущность, называемая волновой функцией , предоставляет информацию в форме амплитуд вероятности о том, что могут дать измерения энергии, импульса и других физических свойств частицы.

Обзор и основные понятия

Квантовая механика позволяет рассчитывать свойства и поведение физических систем. Обычно она применяется к микроскопическим системам: молекулам, атомам и субатомным частицам. Было показано, что она справедлива для сложных молекул с тысячами атомов, ^[4] но ее применение к людям поднимает философские проблемы, такие как друг Вигнера , а ее применение к Вселенной в целом остается спекулятивным. ^[5] Предсказания квантовой механики были проверены экспериментально с чрезвычайно высокой степенью точности . Например, было показано, что уточнение квантовой механики для взаимодействия света и вещества, известное как квантовая электродинамика (КЭД), согласуется с экспериментом в пределах 1 части из 10 ¹² при предсказании магнитных свойств электрона. ^[6]

Фундаментальной особенностью теории является то, что она обычно не может с уверенностью предсказать, что произойдет, а только дает вероятности. Математически вероятность находится путем взятия квадрата абсолютного значения комплексного числа , известного как амплитуда вероятности. Это известно как правило Борна , названное в честь физика Макса Борна . Например, квантовая частица, такая как электрон, может быть описана волновой функцией, которая связывает с каждой точкой пространства амплитуду вероятности. Применение правила Борна к этим амплитудам дает функцию плотности вероятности для положения, в котором электрон будет обнаружен, когда будет проведен эксперимент по его измерению. Это лучшее, что может сделать теория; она не может сказать наверняка, где будет обнаружен электрон. Уравнение Шредингера связывает набор амплитуд вероятности, которые относятся к одному моменту времени, с набором амплитуд вероятности, которые относятся к другому. ^{[7] : 67–87}

Одним из следствий математических правил квантовой механики является компромисс в предсказуемости между измеримыми величинами. Самая известная форма этого принципа неопределенности гласит, что независимо от того, как подготовлена ​​квантовая частица или насколько тщательно организованы эксперименты над ней, невозможно иметь точное предсказание для измерения ее положения и одновременно для измерения ее импульса . ^{[7] : 427–435}

Иллюстрация эксперимента с двумя щелями в физике.

Другим следствием математических правил квантовой механики является явление квантовой интерференции , которое часто иллюстрируется экспериментом с двумя щелями . В базовой версии этого эксперимента когерентный источник света , такой как лазерный луч, освещает пластину, пронизанную двумя параллельными щелями, и свет, проходящий через щели, наблюдается на экране за пластиной. ^{[8] : 102–111  [2] : 1.1–1.8} Волновая природа света приводит к тому, что световые волны, проходящие через две щели, интерферируют , создавая яркие и темные полосы на экране — результат, который нельзя было бы ожидать, если бы свет состоял из классических частиц. ^[8] Однако свет всегда поглощается на экране в дискретных точках, как отдельные частицы, а не как волны; интерференционная картина появляется из-за различной плотности попаданий этих частиц на экран. Более того, версии эксперимента, включающие детекторы на щелях, обнаруживают, что каждый обнаруженный фотон проходит через одну щель (как это сделала бы классическая частица), а не через обе щели (как это сделала бы волна). ^{[8] : 109  [9] [10]} Однако такие эксперименты показывают, что частицы не формируют интерференционную картину, если определить, через какую щель они проходят. Такое поведение известно как корпускулярно-волновой дуализм . В дополнение к свету, электроны , атомы и молекулы , как обнаружено, демонстрируют то же самое двойственное поведение при выстреле в сторону двойной щели. ^[2]

(Упрощенная) схема квантового туннелирования — явления, посредством которого частица может проходить сквозь барьер, что было бы невозможно в рамках классической механики.

Другим неклассическим явлением, предсказанным квантовой механикой, является квантовое туннелирование : частица, которая сталкивается с потенциальным барьером, может пересечь его, даже если ее кинетическая энергия меньше максимума потенциала. ^[11] В классической механике эта частица была бы поймана в ловушку. Квантовое туннелирование имеет несколько важных последствий, делая возможным радиоактивный распад , ядерный синтез в звездах и такие приложения, как сканирующая туннельная микроскопия , туннельный диод и туннельный полевой транзистор . ^{[12] [13]}

Когда квантовые системы взаимодействуют, результатом может стать создание квантовой запутанности : их свойства становятся настолько переплетенными, что описание целого исключительно в терминах отдельных частей больше невозможно. Эрвин Шредингер назвал запутанность «... характерной чертой квантовой механики, той, которая обеспечивает ее полный отход от классических линий мышления». ^[14] Квантовая запутанность делает возможными квантовые вычисления и является частью протоколов квантовой связи, таких как квантовое распределение ключей и сверхплотное кодирование . ^[15] Вопреки распространенному заблуждению, запутанность не позволяет посылать сигналы быстрее света , как показывает теорема об отсутствии связи . ^[15]

Другая возможность, открываемая запутанностью, — это проверка « скрытых переменных », гипотетических свойств, более фундаментальных, чем величины, рассматриваемые в самой квантовой теории, знание которых позволило бы делать более точные предсказания, чем дает квантовая теория. Набор результатов, наиболее значимым из которых является теорема Белла , продемонстрировал, что широкие классы таких теорий скрытых переменных фактически несовместимы с квантовой физикой. Согласно теореме Белла, если природа действительно действует в соответствии с какой-либо теорией локальных скрытых переменных, то результаты теста Белла будут ограничены определенным, количественно определяемым образом. Было проведено много тестов Белла, и они показали результаты, несовместимые с ограничениями, налагаемыми локальными скрытыми переменными. ^{[16] [17]}

Невозможно представить эти концепции более чем поверхностно, не введя в них математическую составляющую; понимание квантовой механики требует не только манипулирования комплексными числами, но и линейной алгебры , дифференциальных уравнений , теории групп и других более сложных предметов. ^{[18] [19]} Соответственно, в этой статье будет представлена ​​математическая формулировка квантовой механики и рассмотрено ее применение к некоторым полезным и часто изучаемым примерам.

Математическая формулировка

В математически строгой формулировке квантовой механики состояние квантово-механической системы является вектором, принадлежащим ( сепарабельному ) комплексному гильбертову пространству . Этот вектор постулируется как нормализованный относительно скалярного произведения гильбертова пространства, то есть он подчиняется , и он хорошо определен с точностью до комплексного числа по модулю 1 (глобальная фаза), то есть и представляет одну и ту же физическую систему. Другими словами, возможные состояния являются точками в проективном пространстве гильбертова пространства, обычно называемом комплексным проективным пространством . Точная природа этого гильбертова пространства зависит от системы — например, для описания положения и импульса гильбертово пространство является пространством комплексных квадратично-интегрируемых функций , в то время как гильбертово пространство для спина одного протона является просто пространством двумерных комплексных векторов с обычным скалярным произведением. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \langle \psi ,\psi \rangle =1}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle e^{i\alpha }\psi }$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Физические величины, представляющие интерес – положение, импульс, энергия, спин – представлены наблюдаемыми, которые являются эрмитовыми (точнее, самосопряженными ) линейными операторами, действующими в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние может быть собственным вектором наблюдаемой, в этом случае оно называется собственным состоянием , а связанное с ним собственное значение соответствует значению наблюдаемой в этом собственном состоянии. В более общем случае квантовое состояние будет линейной комбинацией собственных состояний, известной как квантовая суперпозиция . Когда наблюдаемая измеряется, результатом будет одно из ее собственных значений с вероятностью, заданной правилом Борна : в простейшем случае собственное значение невырождено, а вероятность определяется как , где – ее связанный с ней собственный вектор. В более общем случае собственное значение вырождено, а вероятность определяется как , где – проектор на ее связанное с ней собственное пространство. В непрерывном случае эти формулы вместо этого дают плотность вероятности . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle |\langle {\vec {\lambda }},\psi \rangle |^{2}}$ ${\displaystyle {\vec {\lambda }}}$ ${\displaystyle \langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle }$ ${\displaystyle P_{\lambda }}$

После измерения, если результат был получен, постулируется, что квантовое состояние коллапсирует до , в невырожденном случае, или до , в общем случае. Вероятностная природа квантовой механики, таким образом, вытекает из акта измерения. Это один из самых сложных для понимания аспектов квантовых систем. Это была центральная тема в знаменитых дебатах Бора-Эйнштейна , в которых два ученых пытались прояснить эти фундаментальные принципы с помощью мысленных экспериментов . В течение десятилетий после формулирования квантовой механики вопрос о том, что представляет собой «измерение», широко изучался. Были сформулированы новые интерпретации квантовой механики , которые покончили с понятием « коллапс волновой функции » (см., например, многомировую интерпретацию ). Основная идея заключается в том, что когда квантовая система взаимодействует с измерительным прибором, их соответствующие волновые функции становятся запутанными , так что исходная квантовая система перестает существовать как независимая сущность (см. Измерение в квантовой механике ^[20] ). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\vec {\lambda }}}$ ${\textstyle P_{\lambda }\psi {\big /}\!{\sqrt {\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle }}}$

Временная эволюция квантового состояния

Временная эволюция квантового состояния описывается уравнением Шредингера:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t)=H\psi (t).}$

Здесь обозначает гамильтониан , наблюдаемую, соответствующую полной энергии системы, а — приведенная постоянная Планка . Константа вводится для того, чтобы гамильтониан сводился к классическому гамильтониану в тех случаях, когда квантовую систему можно аппроксимировать классической системой; возможность такого приближения в определенных пределах называется принципом соответствия . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle i\hbar }$

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

${\displaystyle \psi (t)=e^{-iHt/\hbar }\psi (0).}$

Оператор известен как оператор эволюции во времени и имеет решающее свойство, что он унитарен . Эта эволюция во времени является детерминированной в том смысле, что – учитывая начальное квантовое состояние – она делает определенное предсказание того, каким будет квантовое состояние в любой более поздний момент времени. ^[21] ${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$ ${\displaystyle \psi (0)}$ ${\displaystyle \psi (t)}$

Рис. 1: Плотности вероятности, соответствующие волновым функциям электрона в атоме водорода, обладающего определенными уровнями энергии (увеличивающимися сверху вниз изображения: n = 1, 2, 3, ...) и угловыми моментами (увеличивающимися слева направо: s , p , d , ...). Более плотные области соответствуют более высокой плотности вероятности при измерении положения. Такие волновые функции напрямую сопоставимы с фигурами Хладни акустических мод колебаний в классической физике и также являются модами колебаний, обладающими резкой энергией и, таким образом, определенной частотой . Угловой момент и энергия квантуются и принимают только дискретные значения, подобные показанным. (Как в случае резонансных частот в акустике.)

Некоторые волновые функции создают распределения вероятностей, которые не зависят от времени, такие как собственные состояния гамильтониана . ^{[7] : 133–137} Многие системы, которые рассматриваются динамически в классической механике, описываются такими «статическими» волновыми функциями. Например, одиночный электрон в невозбужденном атоме классически изображается как частица, движущаяся по круговой траектории вокруг атомного ядра , тогда как в квантовой механике он описывается статической волновой функцией, окружающей ядро. Например, волновая функция электрона для невозбужденного атома водорода является сферически симметричной функцией, известной как s -орбиталь ( рис. 1 ).

Аналитические решения уравнения Шредингера известны для очень немногих относительно простых модельных гамильтонианов , включая квантовый гармонический осциллятор , частицу в ящике , дигидрогенный катион и атом водорода . Даже атом гелия , содержащий всего два электрона, не поддался всем попыткам полностью аналитического рассмотрения, не допуская решения в замкнутой форме . ^{[22] [23] [24]}

Однако существуют методы поиска приближенных решений. Один метод, называемый теорией возмущений , использует аналитический результат для простой квантово-механической модели, чтобы создать результат для связанной, но более сложной модели (например) путем добавления слабой потенциальной энергии . ^{[7] : 793} Другой метод приближения применяется к системам, для которых квантовая механика производит только небольшие отклонения от классического поведения. Эти отклонения затем могут быть вычислены на основе классического движения. ^{[7] : 849}

Принцип неопределенности

Одним из следствий базового квантового формализма является принцип неопределенности. В своей наиболее знакомой форме он гласит, что никакое приготовление квантовой частицы не может одновременно подразумевать точные предсказания как для измерения ее положения, так и для измерения ее импульса. ^{[25] [26]} И положение, и импульс являются наблюдаемыми, что означает, что они представлены эрмитовыми операторами . Оператор положения и оператор импульса не коммутируют, а скорее удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению : ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$

${\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P}}]=i\hbar .}$

Учитывая квантовое состояние, правило Борна позволяет нам вычислять ожидаемые значения для обоих и , и более того для их степеней. Определяя неопределенность для наблюдаемой величины с помощью стандартного отклонения , мы имеем ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \sigma _{X}={\textstyle {\sqrt {\left\langle X^{2}\right\rangle -\left\langle X\right\rangle ^{2}}}},}$

и то же самое для импульса:

${\displaystyle \sigma _{P}={\sqrt {\left\langle P^{2}\right\rangle -\left\langle P\right\rangle ^{2}}}.}$

Принцип неопределенности гласит, что

${\displaystyle \sigma _{X}\sigma _{P}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$

Любое стандартное отклонение в принципе может быть сделано произвольно малым, но не оба одновременно. ^[27] Это неравенство обобщается на произвольные пары самосопряженных операторов и . Коммутатор этих двух операторов равен ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle [A,B]=AB-BA,}$

и это дает нижнюю границу произведения стандартных отклонений:

${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\tfrac {1}{2}}\left|{\bigl \langle }[A,B]{\bigr \rangle }\right|.}$

Другим следствием канонического коммутационного соотношения является то, что операторы положения и импульса являются преобразованиями Фурье друг друга, так что описание объекта в соответствии с его импульсом является преобразованием Фурье его описания в соответствии с его положением. Тот факт, что зависимость по импульсу является преобразованием Фурье зависимости по положению, означает, что оператор импульса эквивалентен (с точностью до множителя ) взятию производной в соответствии с положением, поскольку в анализе Фурье дифференцирование соответствует умножению в дуальном пространстве . Вот почему в квантовых уравнениях в пространстве положения импульс заменяется на , и в частности в нерелятивистском уравнении Шредингера в пространстве положения квадрат импульса заменяется на лапласиан, умноженный на . ^[25] ${\displaystyle i/\hbar }$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$ ${\displaystyle -\hbar ^{2}}$

Композитные системы и запутанность

Когда две различные квантовые системы рассматриваются вместе, гильбертово пространство объединенной системы является тензорным произведением гильбертовых пространств двух компонентов. Например, пусть A и B — две квантовые системы с гильбертовыми пространствами и , соответственно. Гильбертово пространство составной системы тогда ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{AB}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}.}$

Если состояние первой системы — это вектор , а состояние второй системы — , то состояние составной системы — это ${\displaystyle \psi _{A}}$ ${\displaystyle \psi _{B}}$

${\displaystyle \psi _{A}\otimes \psi _{B}.}$

Однако не все состояния в совместном гильбертовом пространстве могут быть записаны в этой форме, поскольку принцип суперпозиции подразумевает, что линейные комбинации этих «разделимых» или «состояний-продуктов» также действительны. Например, если и являются возможными состояниями для системы , и аналогично и являются возможными состояниями для системы , то ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{AB}}$ ${\displaystyle \psi _{A}}$ ${\displaystyle \phi _{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi _{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{A}\otimes \psi _{B}+\phi _{A}\otimes \phi _{B}\right)}$

является допустимым совместным состоянием, которое не является разделимым. Состояния, которые не являются разделимыми, называются запутанными . ^{[28] [29]}

Если состояние составной системы запутано, невозможно описать ни компонентную систему A , ни систему B вектором состояния. Вместо этого можно определить матрицы приведенной плотности , которые описывают статистику, которую можно получить, выполняя измерения только на одной из компонентных систем. Однако это обязательно приводит к потере информации: знания матриц приведенной плотности отдельных систем недостаточно для реконструкции состояния составной системы. ^{[28] [29]} Так же, как матрицы плотности определяют состояние подсистемы более крупной системы, аналогично, положительные операторно-значные меры (POVM) описывают влияние на подсистему измерения, выполненного на более крупной системе. POVM широко используются в квантовой теории информации. ^{[28] [30]}

Как описано выше, запутанность является ключевой особенностью моделей процессов измерения, в которых прибор становится запутанным с измеряемой системой. Системы, взаимодействующие с окружающей средой, в которой они находятся, обычно становятся запутанными с этой средой, явление, известное как квантовая декогеренция . Это может объяснить, почему на практике квантовые эффекты трудно наблюдать в системах, больших, чем микроскопические. ^[31]

Эквивалентность между формулировками

Существует множество математически эквивалентных формулировок квантовой механики. Одной из старейших и наиболее распространенных является « теория преобразований », предложенная Полем Дираком , которая объединяет и обобщает две самые ранние формулировки квантовой механики — матричную механику (изобретенную Вернером Гейзенбергом ) и волновую механику (изобретенную Эрвином Шредингером ). ^[32] Альтернативной формулировкой квантовой механики является формулировка интеграла по траекториям Фейнмана , в которой квантово-механическая амплитуда рассматривается как сумма по всем возможным классическим и неклассическим путям между начальным и конечным состояниями. Это квантово-механический аналог принципа действия в классической механике. ^[33]

Симметрии и законы сохранения

Гамильтониан известен как генератор эволюции во времени, поскольку он определяет унитарный оператор эволюции во времени для каждого значения . Из этого соотношения между и следует, что любая наблюдаемая , которая коммутирует с , будет сохраняться : ее математическое ожидание не изменится со временем. ^{[7] : 471} Это утверждение обобщает, поскольку математически любой эрмитов оператор может генерировать семейство унитарных операторов, параметризованных переменной . При эволюции, порожденной , любая наблюдаемая , которая коммутирует с , будет сохраняться. Более того, если сохраняется при эволюции при , то сохраняется при эволюции, порожденной . Это подразумевает квантовую версию результата, доказанного Эмми Нётер в классической ( лагранжевой ) механике: для каждой дифференцируемой симметрии гамильтониана существует соответствующий закон сохранения . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle U(t)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Примеры

Свободная частица

Плотность вероятности положения гауссовского волнового пакета, движущегося в одном измерении в свободном пространстве

Простейшим примером квантовой системы с позиционной степенью свободы является свободная частица в одном пространственном измерении. Свободная частица — это частица, которая не подвержена внешним воздействиям, так что ее гамильтониан состоит только из ее кинетической энергии:

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}P^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}.}$

Общее решение уравнения Шредингера имеет вид

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {\psi }}(k,0)e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}\mathrm {d} k,}$

которая является суперпозицией всех возможных плоских волн , которые являются собственными состояниями оператора импульса с импульсом . Коэффициенты суперпозиции равны , что является преобразованием Фурье начального квантового состояния . ${\displaystyle e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}(k,0)}$ ${\displaystyle \psi (x,0)}$

Решение не может быть единственным собственным состоянием импульса или единственным собственным состоянием положения, поскольку они не являются нормализуемыми квантовыми состояниями. ^{[примечание 1]} Вместо этого мы можем рассмотреть гауссов волновой пакет :

${\displaystyle \psi (x,0)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{\pi a}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}}$

который имеет преобразование Фурье, и, следовательно, распределение импульса

${\displaystyle {\hat {\psi }}(k,0)={\sqrt[{4}]{\frac {a}{\pi }}}e^{-{\frac {ak^{2}}{2}}}.}$

Мы видим, что при уменьшении разброс в позиции уменьшается, но разброс в импульсе увеличивается. И наоборот, при увеличении разброс в импульсе уменьшается, но разброс в позиции увеличивается. Это иллюстрирует принцип неопределенности. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Поскольку мы позволяем гауссовскому волновому пакету эволюционировать во времени, мы видим, что его центр движется в пространстве с постоянной скоростью (как классическая частица без действующих на нее сил). Однако волновой пакет также будет распространяться с течением времени, что означает, что положение становится все более и более неопределенным. Неопределенность импульса, однако, остается постоянной. ^[34]

Частица в коробке

1-мерный ящик потенциальной энергии (или бесконечная потенциальная яма)

Частица в одномерном потенциальном энергетическом ящике является наиболее математически простым примером, где ограничения приводят к квантованию энергетических уровней. Ящик определяется как имеющий нулевую потенциальную энергию везде внутри определенной области, и, следовательно, бесконечную потенциальную энергию везде за пределами этой области. ^{[25] : 77–78} Для одномерного случая в направлении независимое от времени уравнение Шредингера может быть записано ${\displaystyle x}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .}$

С дифференциальным оператором, определяемым как

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}}$предыдущее уравнение напоминает классический аналог кинетической энергии ,

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,}$

причем в этом случае состояние имеет энергию , совпадающую с кинетической энергией частицы. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle E}$

Общие решения уравнения Шредингера для частицы в ящике имеют вид

${\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$

или, по формуле Эйлера ,

${\displaystyle \psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).\!}$

Бесконечные потенциальные стенки ящика определяют значения и при и где должны быть равны нулю. Таким образом, при , ${\displaystyle C,D,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle \psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D}$

и . В , ${\displaystyle D=0}$ ${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle \psi (L)=0=C\sin(kL),}$

в котором не может быть нулевым, так как это противоречило бы постулату, что норма имеет 1. Следовательно, поскольку , должно быть целым числом, кратным , ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \sin(kL)=0}$ ${\displaystyle kL}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .}$

Это ограничение подразумевает ограничение на уровни энергии, что приводит к ${\displaystyle k}$

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$

Конечная потенциальная яма является обобщением проблемы бесконечной потенциальной ямы на потенциальные ямы, имеющие конечную глубину. Проблема конечной потенциальной ямы математически сложнее, чем проблема бесконечной частицы в ящике, поскольку волновая функция не закреплена на нуль на стенках ямы. Вместо этого волновая функция должна удовлетворять более сложным математическим граничным условиям, поскольку она отлична от нуля в областях за пределами ямы. Другая связанная проблема — это проблема прямоугольного потенциального барьера , который предоставляет модель для эффекта квантового туннелирования , который играет важную роль в производительности современных технологий, таких как флэш-память и сканирующая туннельная микроскопия .

Гармонический осциллятор

Некоторые траектории гармонического осциллятора (т. е. шара, прикрепленного к пружине ) в классической механике (AB) и квантовой механике (CH). В квантовой механике положение шара представлено волной ( называемой волновой функцией), действительная часть которой показана синим цветом, а мнимая — красным. Некоторые траектории (такие как C, D, E и F) являются стоячими волнами (или « стационарными состояниями »). Каждая частота стоячей волны пропорциональна возможному уровню энергии осциллятора. Это «квантование энергии» не происходит в классической физике, где осциллятор может иметь любую энергию.

Как и в классическом случае, потенциал квантового гармонического осциллятора определяется выражением ^{[7] : 234}

${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$

Эту проблему можно решить либо прямым решением уравнения Шредингера, что не является тривиальным, либо с помощью более элегантного «метода лестницы», впервые предложенного Полем Дираком. Собственные состояния задаются как

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad }$

${\displaystyle n=0,1,2,\ldots .}$

где H _n — полиномы Эрмита

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right),}$

и соответствующие уровни энергии

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right).}$

Это еще один пример, иллюстрирующий дискретизацию энергии для связанных состояний .

Интерферометр Маха-Цендера

Схема интерферометра Маха-Цендера

Интерферометр Маха -Цендера (MZI) иллюстрирует концепции суперпозиции и интерференции с линейной алгеброй в размерности 2, а не дифференциальными уравнениями. Его можно рассматривать как упрощенную версию эксперимента с двумя щелями, но он представляет интерес и сам по себе, например, в квантовом ластике с отложенным выбором , тестере бомбы Элицура-Вайдмана и в исследованиях квантовой запутанности. ^{[35] [36]}

Мы можем смоделировать фотон, проходящий через интерферометр, учитывая, что в каждой точке он может находиться в суперпозиции только двух путей: «нижний» путь, который начинается слева, проходит прямо через оба светоделителя и заканчивается наверху, и «верхний» путь, который начинается снизу, проходит прямо через оба светоделителя и заканчивается справа. Квантовое состояние фотона, таким образом, является вектором, который является суперпозицией «нижнего» пути и «верхнего» пути , то есть для комплексного . Для соблюдения постулата о том, что мы требуем, чтобы . ${\displaystyle \psi \in \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \psi _{l}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \psi _{u}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \psi =\alpha \psi _{l}+\beta \psi _{u}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \langle \psi ,\psi \rangle =1}$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$

Оба светоделителя моделируются как унитарная матрица , что означает, что когда фотон встречает светоделитель, он либо останется на том же пути с амплитудой вероятности , либо отразится на другой путь с амплитудой вероятности . Фазовращатель на верхнем плече моделируется как унитарная матрица , что означает, что если фотон находится на «верхнем» пути, он приобретет относительную фазу , и останется неизменной, если он находится на нижнем пути. ${\displaystyle B={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle i/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\Delta \Phi }\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \Delta \Phi }$

Фотон, который входит в интерферометр слева, затем подвергается воздействию светоделителя , фазовращателя и еще одного светоделителя и, таким образом, оказывается в состоянии ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle BPB\psi _{l}=ie^{i\Delta \Phi /2}{\begin{pmatrix}-\sin(\Delta \Phi /2)\\\cos(\Delta \Phi /2)\end{pmatrix}},}$

и вероятности того, что он будет обнаружен справа или сверху, определяются соответственно как

${\displaystyle p(u)=|\langle \psi _{u},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\cos ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}},}$

${\displaystyle p(l)=|\langle \psi _{l},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\sin ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}}.}$

Поэтому можно использовать интерферометр Маха-Цендера для оценки сдвига фаз путем оценки этих вероятностей.

Интересно рассмотреть, что бы произошло, если бы фотон определенно находился либо на «нижнем», либо на «верхнем» пути между светоделителями. Этого можно добиться, заблокировав один из путей или, что эквивалентно, удалив первый светоделитель (и подавая фотон слева или снизу, по желанию). В обоих случаях больше не будет интерференции между путями, и вероятности задаются как , независимо от фазы . Из этого мы можем сделать вывод, что фотон не следует по одному или другому пути после первого светоделителя, а скорее находится в настоящей квантовой суперпозиции двух путей. ^[37] ${\displaystyle p(u)=p(l)=1/2}$ ${\displaystyle \Delta \Phi }$

Приложения

Квантовая механика достигла огромного успеха в объяснении многих особенностей нашей Вселенной, в отношении малых и дискретных величин и взаимодействий, которые не могут быть объяснены классическими методами . ^{[примечание 2]} Квантовая механика часто является единственной теорией, которая может раскрыть индивидуальное поведение субатомных частиц, составляющих все формы материи (электроны, протоны , нейтроны , фотоны и другие). Физика твердого тела и материаловедение зависят от квантовой механики. ^[38]

Во многих аспектах современная технология работает в масштабе, где квантовые эффекты значительны. Важные приложения квантовой теории включают квантовую химию , квантовую оптику , квантовые вычисления , сверхпроводящие магниты , светоизлучающие диоды , оптический усилитель и лазер, транзистор и полупроводники, такие как микропроцессор , медицинскую и исследовательскую визуализацию, такую ​​как магнитно-резонансная томография и электронная микроскопия . ^[39] Объяснения многих биологических и физических явлений коренятся в природе химической связи, в частности, макромолекулы ДНК .

Связь с другими научными теориями

Классическая механика

Правила квантовой механики утверждают, что пространство состояний системы является гильбертовым пространством, а наблюдаемые системы являются эрмитовыми операторами, действующими на векторы в этом пространстве, хотя они не говорят нам, какое именно гильбертово пространство или какие операторы. Они могут быть выбраны соответствующим образом, чтобы получить количественное описание квантовой системы, необходимый шаг в создании физических предсказаний. Важным руководством для осуществления этого выбора является принцип соответствия , эвристика, которая утверждает, что предсказания квантовой механики сводятся к предсказаниям классической механики в режиме больших квантовых чисел . ^[40] Можно также начать с установленной классической модели конкретной системы, а затем попытаться угадать базовую квантовую модель, которая привела бы к классической модели в пределе соответствия. Этот подход известен как квантование . ^{[41] : 299  [42]}

Когда квантовая механика была первоначально сформулирована, она применялась к моделям, пределом соответствия которых была нерелятивистская классическая механика. Например, известная модель квантового гармонического осциллятора использует явно нерелятивистское выражение для кинетической энергии осциллятора и, таким образом, является квантовой версией классического гармонического осциллятора . ^{[7] : 234}

Сложности возникают с хаотическими системами , которые не имеют хороших квантовых чисел, и квантовый хаос изучает связь между классическими и квантовыми описаниями в этих системах. ^{[41] : 353}

Квантовая декогеренция — это механизм, посредством которого квантовые системы теряют когерентность и, таким образом, становятся неспособными демонстрировать многие типично квантовые эффекты: квантовые суперпозиции становятся просто вероятностными смесями, а квантовая запутанность становится просто классическими корреляциями. ^{[7] : 687–730} Квантовая когерентность обычно не проявляется в макроскопических масштабах, хотя при температурах, приближающихся к абсолютному нулю, квантовое поведение может проявляться макроскопически. ^{[примечание 3]}

Многие макроскопические свойства классической системы являются прямым следствием квантового поведения ее частей. Например, стабильность объемной материи (состоящей из атомов и молекул , которые быстро разрушаются под действием одних только электрических сил), жесткость твердых тел, а также механические, тепловые, химические, оптические и магнитные свойства материи являются результатами взаимодействия электрических зарядов по правилам квантовой механики. ^[43]

Специальная теория относительности и электродинамика

Ранние попытки объединить квантовую механику со специальной теорией относительности включали замену уравнения Шредингера ковариантным уравнением, таким как уравнение Клейна–Гордона или уравнение Дирака . Хотя эти теории успешно объясняли многие экспериментальные результаты, у них были определенные неудовлетворительные качества, вытекающие из их пренебрежения релятивистским рождением и уничтожением частиц. Полностью релятивистская квантовая теория требовала разработки квантовой теории поля, которая применяет квантование к полю (а не к фиксированному набору частиц). Первая полная квантовая теория поля, квантовая электродинамика , дает полностью квантовое описание электромагнитного взаимодействия . Квантовая электродинамика является, наряду с общей теорией относительности , одной из самых точных физических теорий, когда-либо созданных. ^{[44] [45]}

Полный аппарат квантовой теории поля часто не нужен для описания электродинамических систем. Более простой подход, который использовался с момента зарождения квантовой механики, заключается в том, чтобы рассматривать заряженные частицы как квантово-механические объекты, на которые действует классическое электромагнитное поле . Например, элементарная квантовая модель атома водорода описывает электрическое поле атома водорода с помощью классического кулоновского потенциала . ^{[7] : 285} Аналогично, в эксперименте Штерна-Герлаха заряженная частица моделируется как квантовая система, в то время как фоновое магнитное поле описывается классически. ^{[41] : 26} Этот «полуклассический» подход терпит неудачу, если квантовые флуктуации в электромагнитном поле играют важную роль, например, при излучении фотонов заряженными частицами . ${\displaystyle \textstyle -e^{2}/(4\pi \epsilon _{_{0}}r)}$

Также были разработаны квантовые теории поля для сильного ядерного взаимодействия и слабого ядерного взаимодействия . Квантовая теория поля сильного ядерного взаимодействия называется квантовой хромодинамикой и описывает взаимодействия субъядерных частиц, таких как кварки и глюоны . Слабое ядерное взаимодействие и электромагнитное взаимодействие были объединены в их квантованных формах в единую квантовую теорию поля (известную как электрослабая теория ) физиками Абдусом Саламом , Шелдоном Глэшоу и Стивеном Вайнбергом . ^[46]

Связь с общей теорией относительности

Несмотря на то, что предсказания как квантовой теории, так и общей теории относительности были подкреплены строгими и многократными эмпирическими доказательствами , их абстрактные формализмы противоречат друг другу, и их оказалось чрезвычайно трудно включить в одну последовательную, связную модель. Гравитация незначительна во многих областях физики элементарных частиц, так что объединение общей теории относительности и квантовой механики не является неотложной проблемой в этих конкретных приложениях. Однако отсутствие правильной теории квантовой гравитации является важной проблемой в физической космологии и поиске физиками элегантной « Теории всего » (TOE). Следовательно, разрешение несоответствий между обеими теориями было главной целью физики 20-го и 21-го веков. Эта TOE объединит не только модели субатомной физики, но и выведет четыре фундаментальные силы природы из одной силы или явления. ^[47]

Струнные колебания частиц в квантовом мире частиц.

Одним из предложений для этого является теория струн , которая утверждает, что точечные частицы физики частиц заменяются одномерными объектами, называемыми струнами . Теория струн описывает, как эти струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. На масштабах расстояний, больших, чем масштаб струны, струна выглядит как обычная частица, с ее массой , зарядом и другими свойствами, определяемыми колебательным состоянием струны. В теории струн одно из многих колебательных состояний струны соответствует гравитону , квантово-механической частице, которая переносит гравитационную силу. ^{[48] [49]}

Другая популярная теория — петлевая квантовая гравитация (LQG), которая описывает квантовые свойства гравитации и, таким образом, является теорией квантового пространства-времени . LQG — это попытка объединить и адаптировать стандартную квантовую механику и стандартную общую теорию относительности. Эта теория описывает пространство как чрезвычайно тонкую ткань, «сотканную» из конечных петель, называемых спиновыми сетями . Эволюция спиновой сети с течением времени называется спиновой пеной . Характерный масштаб длины спиновой пены — это длина Планка , приблизительно 1,616×10−35 ^м , и поэтому длины короче планковской длины не имеют физического смысла в LQG. ^[50]

Философские импликации

Нерешенная задача по физике :

Существует ли предпочтительная интерпретация квантовой механики? Каким образом квантовое описание реальности, включающее такие элементы, как « суперпозиция состояний» и « коллапс волновой функции », порождает реальность, которую мы воспринимаем?

(еще нерешенные проблемы по физике)

С момента своего создания многие контринтуитивные аспекты и результаты квантовой механики спровоцировали сильные философские дебаты и множество интерпретаций . Аргументы сосредоточены на вероятностной природе квантовой механики, трудностях с коллапсом волновой функции и связанной с этим проблемой измерения , а также квантовой нелокальности . Возможно, единственный консенсус, который существует по этим вопросам, заключается в том, что консенсуса нет. Ричард Фейнман однажды сказал: «Я думаю, что могу с уверенностью сказать, что никто не понимает квантовую механику». ^[51] По словам Стивена Вайнберга , «Сейчас, по моему мнению, нет полностью удовлетворительной интерпретации квантовой механики». ^[52]

Взгляды Нильса Бора , Вернера Гейзенберга и других физиков часто объединяются в « копенгагенскую интерпретацию ». ^{[53] [54]} Согласно этим взглядам, вероятностная природа квантовой механики не является временной чертой, которая в конечном итоге будет заменена детерминированной теорией, а представляет собой окончательный отказ от классической идеи «причинности». Бор, в частности, подчеркивал, что любое четко определенное применение формализма квантовой механики всегда должно ссылаться на экспериментальную установку из-за дополнительного характера доказательств, полученных в различных экспериментальных ситуациях. Интерпретации копенгагенского типа были приняты лауреатами Нобелевской премии по квантовой физике, включая Бора, ^[55] Гейзенберга, ^[56] Шредингера, ^[57] Фейнмана, ^[2] и Цайлингера ^[58], а также исследователей 21-го века в области квантовых основ. ^[59]

Альберт Эйнштейн , сам один из основателей квантовой теории , был обеспокоен ее очевидным несоблюдением некоторых заветных метафизических принципов, таких как детерминизм и локальность . Длительные обмены мнениями Эйнштейна с Бором о значении и статусе квантовой механики теперь известны как дебаты Бора–Эйнштейна . Эйнштейн считал, что в основе квантовой механики должна лежать теория, которая явно запрещает действие на расстоянии . Он утверждал, что квантовая механика неполна, теория, которая верна, но не фундаментальна, аналогично тому, как верна термодинамика , но фундаментальной теорией, стоящей за ней, является статистическая механика . В 1935 году Эйнштейн и его коллеги Борис Подольский и Натан Розен опубликовали аргумент о том, что принцип локальности подразумевает неполноту квантовой механики, мысленный эксперимент, позже названный парадоксом Эйнштейна–Подольского–Розена . ^{[примечание 4]} В 1964 году Джон Белл показал, что принцип локальности ЭПР вместе с детерминизмом на самом деле несовместимы с квантовой механикой: они подразумевали ограничения на корреляции, создаваемые системами расстояний, теперь известные как неравенства Белла , которые могут быть нарушены запутанными частицами. ^[64] С тех пор было проведено несколько экспериментов для получения этих корреляций, в результате чего они фактически нарушают неравенства Белла и, таким образом, опровергают соединение локальности с детерминизмом. ^{[16] [17]}

Бомианская механика показывает, что возможно переформулировать квантовую механику, сделав ее детерминированной, ценой того, что она станет явно нелокальной. Она приписывает физической системе не только волновую функцию, но и реальное положение, которое детерминировано развивается под нелокальным направляющим уравнением. Эволюция физической системы всегда задается уравнением Шредингера вместе с направляющим уравнением; никогда не происходит коллапса волновой функции. Это решает проблему измерения. ^[65]

Кот Шредингера в многомировой интерпретации квантовой механики, где разветвление Вселенной происходит посредством суперпозиции двух квантово-механических состояний.

Многомировая интерпретация Эверетта , сформулированная в 1956 году, утверждает, что все возможности, описанные квантовой теорией, одновременно происходят в мультивселенной, состоящей в основном из независимых параллельных вселенных. ^[66] Это является следствием устранения аксиомы коллапса волнового пакета. Все возможные состояния измеряемой системы и измерительного прибора вместе с наблюдателем присутствуют в реальной физической квантовой суперпозиции. В то время как мультивселенная детерминирована, мы воспринимаем недетерминированное поведение, управляемое вероятностями, потому что мы не наблюдаем мультивселенную в целом, а только одну параллельную вселенную за раз. То, как именно это должно работать, было предметом многочисленных споров. Было предпринято несколько попыток осмыслить это и вывести правило Борна, ^{[67] [68]} без единого мнения о том, были ли они успешными. ^{[69] [70] [71]}

Реляционная квантовая механика появилась в конце 1990-х годов как современная производная идей копенгагенского типа ^[72] , а кьюбизм был разработан несколько лет спустя ^{[73] .}

История

Квантовая механика была разработана в первые десятилетия 20-го века, движимая необходимостью объяснить явления, которые, в некоторых случаях, наблюдались в более ранние времена. Научное исследование волновой природы света началось в 17-м и 18-м веках, когда такие ученые, как Роберт Гук , Христиан Гюйгенс и Леонард Эйлер, предложили волновую теорию света, основанную на экспериментальных наблюдениях. ^[74] В 1803 году английский полимат Томас Янг описал знаменитый эксперимент с двумя щелями . ^[75] Этот эксперимент сыграл важную роль в общем принятии волновой теории света .

В начале 19 века химические исследования Джона Дальтона и Амедео Авогадро придали вес атомной теории материи, идее, которую Джеймс Клерк Максвелл , Людвиг Больцман и другие развили для создания кинетической теории газов . Успехи кинетической теории придали еще большее доверие идее о том, что материя состоит из атомов, однако у теории также были недостатки, которые могли быть устранены только с развитием квантовой механики. ^[76] В то время как ранняя концепция атомов из греческой философии заключалась в том, что они являются неделимыми единицами — слово «атом» происходит от греческого слова «неразрезаемый», — в 19 веке были сформулированы гипотезы о субатомной структуре. Одним из важных открытий в этом отношении было наблюдение Майклом Фарадеем в 1838 году свечения, вызванного электрическим разрядом внутри стеклянной трубки, содержащей газ при низком давлении. Юлиус Плюккер , Иоганн Вильгельм Гитторф и Ойген Гольдштейн продолжили и улучшили работу Фарадея, что привело к открытию катодных лучей , которые, как обнаружил Дж. Дж. Томсон , состоят из субатомных частиц, которые впоследствии были названы электронами. ^{[77] [78]}

Макс Планк считается отцом квантовой теории.

Проблема излучения черного тела была открыта Густавом Кирхгофом в 1859 году. В 1900 году Макс Планк выдвинул гипотезу о том, что энергия излучается и поглощается дискретными «квантами» (или энергетическими пакетами), что дало расчет, который точно соответствовал наблюдаемым образцам излучения черного тела. ^[79] Слово квант происходит от латинского , что означает «насколько большой» или «насколько много». ^[80] Согласно Планку, количества энергии можно рассматривать как разделенные на «элементы», размер которых ( E ) будет пропорционален их частоте ( ν ):

${\displaystyle E=h\nu \ }$,

где h — постоянная Планка . Планк осторожно настаивал на том, что это был лишь аспект процессов поглощения и испускания излучения, а не физическая реальность излучения. ^[81] Фактически, он считал свою квантовую гипотезу математическим трюком для получения правильного ответа, а не значительным открытием. ^[82] Однако в 1905 году Альберт Эйнштейн реалистично интерпретировал квантовую гипотезу Планка и использовал ее для объяснения фотоэлектрического эффекта , при котором освещение определенных материалов светом может выбивать электроны из материала. Затем Нильс Бор развил идеи Планка об излучении в модель атома водорода , которая успешно предсказала спектральные линии водорода. ^[83] Эйнштейн далее развил эту идею, чтобы показать, что электромагнитную волну, такую ​​как свет, также можно описать как частицу (позже названную фотоном), с дискретным количеством энергии, которое зависит от ее частоты. ^[84] В своей статье «О квантовой теории излучения» Эйнштейн расширил взаимодействие между энергией и материей, чтобы объяснить поглощение и испускание энергии атомами. Хотя в то время его общая теория относительности затмила его, в этой статье был изложен механизм, лежащий в основе вынужденного излучения ^[85] , которое стало основой лазера. ^[86]

Сольвеевская конференция 1927 года в Брюсселе стала пятой всемирной физической конференцией.

Эта фаза известна как старая квантовая теория . Никогда не будучи полной или самосогласованной, старая квантовая теория была скорее набором эвристических поправок к классической механике. ^{[87] [88]} Теория теперь понимается как полуклассическое приближение к современной квантовой механике. ^{[89] [90]} Известные результаты этого периода включают, в дополнение к работам Планка, Эйнштейна и Бора, упомянутым выше, работу Эйнштейна и Питера Дебая по удельной теплоемкости твердых тел, доказательство Бора и Хендрики Йоханны ван Леувен того, что классическая физика не может объяснить диамагнетизм , и расширение Арнольдом Зоммерфельдом модели Бора для включения специальных релятивистских эффектов. ^{[87] [91]}

В середине 1920-х годов была разработана квантовая механика, которая стала стандартной формулировкой для атомной физики. В 1923 году французский физик Луи де Бройль выдвинул свою теорию волн материи, заявив, что частицы могут проявлять волновые характеристики и наоборот. Основываясь на подходе де Бройля, современная квантовая механика родилась в 1925 году, когда немецкие физики Вернер Гейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Йордан ^{[92] [93]} разработали матричную механику , а австрийский физик Эрвин Шредингер изобрел волновую механику . Борн представил вероятностную интерпретацию волновой функции Шредингера в июле 1926 года. ^[94] Таким образом, возникла целая область квантовой физики, что привело к ее более широкому принятию на Пятой Сольвеевской конференции в 1927 году. ^[95]

К 1930 году квантовая механика была далее объединена и формализована Дэвидом Гильбертом , Полем Дираком и Джоном фон Нейманом ^[96] с большим акцентом на измерение , статистическую природу наших знаний о реальности и философские спекуляции о «наблюдателе» . С тех пор она проникла во многие дисциплины, включая квантовую химию, квантовую электронику , квантовую оптику и квантовую информатику . Она также обеспечивает полезную основу для многих особенностей современной периодической таблицы элементов и описывает поведение атомов во время химической связи и поток электронов в компьютерных полупроводниках , и поэтому играет решающую роль во многих современных технологиях. Хотя квантовая механика была создана для описания мира очень малых величин, она также необходима для объяснения некоторых макроскопических явлений, таких как сверхпроводники ^[97] и сверхтекучие жидкости . ^[98]

Смотрите также

• Обозначение скобок
• Мысленные эксперименты Эйнштейна
• Список учебников по классической и квантовой механике
• Макроскопические квантовые явления
• Формулировка фазового пространства
• Регуляризация (физика)
• Двухуровневая квантовая система

Пояснительные записки

1. Собственное состояние импульса будет совершенно монохроматической волной бесконечной протяженности, которая не является квадратично интегрируемой. Аналогично, собственное состояние положения будет дельта -распределением Дирака , не является квадратично интегрируемым и технически вообще не является функцией. Следовательно, ни одно из них не может принадлежать гильбертову пространству частицы. Физики иногда вводят фиктивные «базы» для гильбертова пространства, включающие элементы вне этого пространства. Они придуманы для удобства вычислений и не представляют физические состояния. ^{[25] : 100–105}
2. См., например, Фейнмановские лекции по физике для некоторых технологических приложений, использующих квантовую механику, например, транзисторы (т. III , стр. 14–11 и далее), интегральные схемы , которые являются последующей технологией в физике твердого тела (т. II , стр. 8–6), и лазеры (т. III , стр. 9–13).
3. См . Макроскопические квантовые явления , Конденсат Бозе-Эйнштейна и Квантовая машина.
4. Опубликованная форма аргумента ЭПР была создана Подольским, и сам Эйнштейн не был ею удовлетворен. В своих собственных публикациях и переписке Эйнштейн использовал другой аргумент, чтобы настоять на том, что квантовая механика является неполной теорией. ^{[60] [61] [62] [63]}

Ссылки

1. Борн, М. (1926). «Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge» [К квантовой механике процессов столкновений]. Zeitschrift für Physik . 37 (12): 863–867. Бибкод : 1926ZPhy...37..863B. дои : 10.1007/BF01397477. ISSN  1434-6001. S2CID  119896026.
2. Фейнман, Ричард; Лейтон, Роберт; Сэндс, Мэтью (1964). Лекции Фейнмана по физике. Том 3. Калифорнийский технологический институт. ISBN 978-0-201-50064-6. Получено 19 декабря 2020 г. .
3. Jaeger, Gregg (сентябрь 2014 г.). «Что в (квантовом) мире является макроскопическим?». American Journal of Physics . 82 (9): 896–905. Bibcode : 2014AmJPh..82..896J. doi : 10.1119/1.4878358.
4. Фейн, Яаков Ю.; Гейер, Филипп; Цвик, Патрик; Киалка, Филипп; Педалино, Себастьян; Майор, Марсель; Герлих, Стефан; Арндт, Маркус (сентябрь 2019 г.). «Квантовая суперпозиция молекул за пределами 25 кДа». Nature Physics . 15 (12): 1242–1245. Bibcode :2019NatPh..15.1242F. doi :10.1038/s41567-019-0663-9. S2CID  203638258.
5. Bojowald, Martin (2015). "Квантовая космология: обзор". Reports on Progress in Physics . 78 (2): 023901. arXiv : 1501.04899 . Bibcode : 2015RPPh...78b3901B. doi : 10.1088/0034-4885/78/2/023901. PMID  25582917. S2CID  18463042.
6. Fan, X.; Myers, TG; Sukra, BAD; Gabrielse, G. (2023-02-13). "Измерение магнитного момента электрона". Physical Review Letters . 130 (7): 071801. arXiv : 2209.13084 . Bibcode : 2023PhRvL.130g1801F. doi : 10.1103/PhysRevLett.130.071801. PMID  36867820.
7. Zwiebach, Бартон (2022). Освоение квантовой механики: основы, теория и приложения . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-04613-8.
8. Ледерман, Леон М.; Хилл, Кристофер Т. (2011). Квантовая физика для поэтов. США: Prometheus Books. ISBN 978-1-61614-281-0.
9. Мюллер-Кирстен, HJW (2006). Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траектории. США: World Scientific. стр. 14. ISBN 978-981-256-691-1.
10. Плотницкий, Аркадий (2012). Нильс Бор и дополнительность: Введение. США: Springer. С. 75–76. ISBN 978-1-4614-4517-3.
11. Гриффитс, Дэвид Дж. (1995). Введение в квантовую механику . Prentice Hall. ISBN 0-13-124405-1.
12. Трикслер, Ф. (2013). «Квантовое туннелирование к происхождению и эволюции жизни». Current Organic Chemistry . 17 (16): 1758–1770. doi :10.2174/13852728113179990083. PMC 3768233. PMID  24039543 . 
13. Файфер, Арнольд (2012-03-27). «Разработка более энергоэффективных транзисторов с помощью квантового туннелирования». Notre Dame News . Получено 2024-06-07 .
14. Баб, Джеффри (2019). «Квантовая запутанность». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет.
15. Caves, Carlton M. (2015). «Квантовая информатика: больше не появляется». В Келли, Пол; Агравал, Говинд; Басс, Майк; Хехт, Джефф; Страуд, Карлос (ред.). OSA Century of Optics . Оптическое общество . стр. 320–323. arXiv : 1302.1864 . Bibcode : 2013arXiv1302.1864C. ISBN 978-1-943580-04-0.
16. Wiseman, Howard (октябрь 2015 г.). «Смерть от эксперимента для локального реализма». Nature . 526 (7575): 649–650. doi : 10.1038/nature15631 . ISSN  0028-0836. PMID  26503054.
17. Wolchover, Natalie (7 февраля 2017 г.). «Эксперимент подтверждает квантовую странность». Quanta Magazine . Получено 8 февраля 2020 г. .
18. Баез, Джон К. (20 марта 2020 г.). «Как изучать математику и физику». Калифорнийский университет, Риверсайд . Получено 19 декабря 2020 г. Невозможно понять интерпретацию квантовой механики, не умея решать задачи квантовой механики  — чтобы понять теорию, нужно уметь ее использовать (и наоборот)
19. Саган, Карл (1996). Мир, полный демонов: наука как свеча во тьме . Ballantine Books. стр. 249. ISBN 0-345-40946-9.«Для большинства студентов-физиков («математическая основа» квантовой механики) может занять, скажем, от третьего класса до начала аспирантуры — примерно 15 лет. [...] Работа популяризатора науки, пытающегося донести какую-то идею квантовой механики до широкой аудитории, которая не прошла через эти обряды посвящения, является устрашающей. Действительно, по моему мнению, не существует ни одной успешной популяризации квантовой механики — отчасти по этой причине.
20. Гринстейн, Джордж; Зайонц, Артур (2006). "8 измерений". Квантовый вызов: современные исследования основ квантовой механики (2-е изд.). Джонс и Бартлетт. стр. 215. ISBN 978-0-7637-2470-2. Архивировано из оригинала 2023-01-02.
21. Вайнберг, Стивен (2010). Мечты об окончательной теории: поиск фундаментальных законов природы. Random House. стр. 82. ISBN 978-1-4070-6396-6.
22. Чжан, Жуйцинь; Дэн, Цунхао (1993-01-01). «Точные решения уравнения Шредингера для некоторых квантово-механических систем многих тел». Physical Review A. 47 ( 1): 71–77. Bibcode :1993PhRvA..47...71Z. doi :10.1103/PhysRevA.47.71. ISSN  1050-2947. PMID  9908895.
23. Ли, Цзин; Драммонд, НД; Шак, Питер; Олевано, Валерио (01.04.2019). «Сравнение многочастичных подходов с точным решением атома гелия». SciPost Physics . 6 (4): 040. arXiv : 1801.09977 . Bibcode : 2019ScPP....6...40L. doi : 10.21468/SciPostPhys.6.4.040 . ISSN  2542-4653.
24. Drake, Gordon WF (2023). «Высокоточные вычисления для гелия». В Drake, Gordon WF (ред.). Springer Handbook of Atomic, Molecular, and Optical Physics . Springer Handbooks. Cham: Springer International Publishing. стр. 199–216. doi :10.1007/978-3-030-73893-8_12. ISBN 978-3-030-73892-1.
25. Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (2005). Квантовая механика . Перевод Хемли, Сьюзен Рид; Островский, Николь; Островский, Дэн. Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-16433-X.
26. Ландау, Лев Д.; Лифшиц , Евгений М. (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Т. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1. OCLC  2284121.
27. Раздел 3.2 Ballentine, Leslie E. (1970), «Статистическая интерпретация квантовой механики», Reviews of Modern Physics , 42 (4): 358–381, Bibcode : 1970RvMP...42..358B, doi : 10.1103/RevModPhys.42.358, S2CID  120024263. Этот факт экспериментально хорошо известен, например, в квантовой оптике; см., например, гл. 2 и рис. 2.1 Леонхардт, Ульф (1997), Измерение квантового состояния света, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-49730-2.
28. Нильсен, Майкл А.; Чуан , Айзек Л. (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00217-3. OCLC  844974180.
29. Риффель, Элеанор Г.; Полак, Вольфганг Х. (2011). Квантовые вычисления: легкое введение . MIT Press. ISBN 978-0-262-01506-6.
30. Уайлд, Марк М. (2017). Квантовая теория информации (2-е изд.). Cambridge University Press. arXiv : 1106.1445 . doi :10.1017/9781316809976.001. ISBN 978-1-107-17616-4. OCLC  973404322. S2CID  2515538.
31. Шлосшауэр, Максимилиан (октябрь 2019 г.). «Квантовая декогеренция». Physics Reports . 831 : 1–57. arXiv : 1911.06282 . Bibcode : 2019PhR...831....1S. doi : 10.1016/j.physrep.2019.10.001. S2CID  208006050.
32. Рехенберг, Хельмут (1987). «Эрвин Шредингер и создание волновой механики» (PDF) . Acta Physica Polonica B . 19 (8): 683–695 . Получено 13 июня 2016 .
33. Фейнман, Ричард П.; Хиббс, Альберт Р. (2005). Стейер, Дэниел Ф. (ред.). Квантовая механика и интегралы по траекториям (исправленное издание). McGraw-Hill. стр. v–vii. ISBN 978-0-486-47722-0.
34. Мэтьюз, Пиравону Мэтьюз; Венкатесан, К. (1976). "Уравнение Шредингера и стационарные состояния". Учебник квантовой механики . Тата Макгроу-Хилл. стр. 36. ISBN 978-0-07-096510-2.
35. Париж, MGA (1999). «Запутанность и видимость на выходе интерферометра Маха–Цендера». Physical Review A. 59 ( 2): 1615–1621. arXiv : quant-ph/9811078 . Bibcode : 1999PhRvA..59.1615P. doi : 10.1103/PhysRevA.59.1615. S2CID  13963928.
36. Хаак, GR; Фёрстер, Х.; Бюттикер, М. (2010). «Обнаружение четности и запутывание с помощью интерферометра Маха-Цендера». Physical Review B. 82 ( 15): 155303. arXiv : 1005.3976 . Bibcode : 2010PhRvB..82o5303H. doi : 10.1103/PhysRevB.82.155303. S2CID  119261326.
37. Ведрал, Влатко (2006). Введение в квантовую информатику . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921570-6. OCLC  442351498.
38. Коэн, Марвин Л. (2008). "Эссе: Пятьдесят лет физики конденсированных сред". Physical Review Letters . 101 (25): 250001. Bibcode : 2008PhRvL.101y0001C. doi : 10.1103/PhysRevLett.101.250001. PMID  19113681. Получено 31 марта 2012 г.
39. Мэтсон, Джон. «Чем хороша квантовая механика?». Scientific American . Получено 18 мая 2016 г.
40. Типлер, Пол; Ллевеллин, Ральф (2008). Современная физика (5-е изд.). WH Freeman and Company. стр. 160–161. ISBN 978-0-7167-7550-8.
41. Перес, Эшер (1993). Квантовая теория: концепции и методы . Kluwer. ISBN 0-7923-2549-4.
42. Баез, Джон С. (2019-02-26). «Математика, которая переносит Ньютона в квантовый мир». Nautilus Quarterly . Получено 2024-03-23 .
43. "Atomic Properties". Academic.brooklyn.cuny.edu . Получено 18 августа 2012 г. .
44. Хокинг, Стивен; Пенроуз, Роджер (2010). Природа пространства и времени. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3474-7.
45. Аояма, Тацуми; Хаякава, Масаси; Киносита, Тоитиро; Нио, Макико (2012). «Вклад десятого порядка КЭД в электроны g-2 и улучшенное значение постоянной тонкой структуры». Physical Review Letters . 109 (11): 111807. arXiv : 1205.5368 . Bibcode :2012PhRvL.109k1807A. doi :10.1103/PhysRevLett.109.111807. PMID  23005618. S2CID  14712017.
46. "Нобелевская премия по физике 1979 года". Nobel Foundation . Получено 16 декабря 2020 г.
47. До свидания, Деннис (10 октября 2022 г.). «Черные дыры могут скрывать умопомрачительную тайну о нашей Вселенной — возьмите гравитацию, добавьте квантовую механику, перемешайте. Что вы получите? Может быть, голографический космос». The New York Times . Получено 10 октября 2022 г.
48. Беккер, Катрин; Беккер, Мелани ; Шварц, Джон (2007). Теория струн и М-теория: современное введение . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86069-7.
49. Цвибах, Бартон (2009). Первый курс теории струн . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88032-9.
50. Ровелли, Карло; Видотто, Франческа (2014). Ковариантная петлевая квантовая гравитация: элементарное введение в квантовую гравитацию и теорию спинфоама. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-14811-2.
51. Фейнман, Ричард (1967). Характер физического закона . MIT Press. стр. 129. ISBN 0-262-56003-8.
52. Вайнберг, Стивен (2012). «Коллапс вектора состояния». Physical Review A. 85 ( 6): 062116. arXiv : 1109.6462 . Bibcode : 2012PhRvA..85f2116W. doi : 10.1103/PhysRevA.85.062116. S2CID  119273840.
53. Говард, Дон (декабрь 2004 г.). «Кто придумал «Копенгагенскую интерпретацию»? Исследование мифологии». Философия науки . 71 (5): 669–682. doi :10.1086/425941. ISSN  0031-8248. S2CID  9454552.
54. Камиллери, Кристиан (май 2009 г.). «Создание мифа о Копенгагенской интерпретации». Perspectives on Science . 17 (1): 26–57. doi :10.1162/posc.2009.17.1.26. ISSN  1063-6145. S2CID  57559199.
55. Бор, Нильс (1928). «Квантовый постулат и недавнее развитие атомной теории». Nature . 121 (3050): 580–590. Bibcode :1928Natur.121..580B. doi : 10.1038/121580a0 .
56. Гейзенберг, Вернер (1971). Физика и философия: революция в современной науке . Мировые перспективы (3-е изд.). Лондон: Allen & Unwin. ISBN 978-0-04-530016-7. OCLC  743037461.
57. Шредингер, Эрвин (1980) [1935]. Триммер, Джон (ред.).«Важная ситуация в квантовой механике».«[Современная ситуация в квантовой механике]. Naturwissenschaften . 23 (50): 844–849. doi : 10.1007/BF01491987. JSTOR  986572. S2CID  22433857.
58. Ma, Xiao-song; Kofler, Johannes; Zeilinger, Anton (2016-03-03). "Delayed-choice gedanken experimental and their implementations". Reviews of Modern Physics . 88 (1): 015005. arXiv : 1407.2930 . Bibcode : 2016RvMP...88a5005M. doi : 10.1103/RevModPhys.88.015005. ISSN  0034-6861. S2CID  34901303.
59. Шлосшауэр, Максимилиан; Кофлер, Йоханнес; Цайлингер, Антон (1 августа 2013 г.). «Краткий обзор основополагающих установок в отношении квантовой механики». Исследования по истории и философии науки, часть B. 44 ( 3): 222–230. arXiv : 1301.1069 . Bibcode : 2013SHPMP..44..222S. doi : 10.1016/j.shpsb.2013.04.004. S2CID  55537196.
60. Харриган, Николас; Спеккенс, Роберт В. (2010). «Эйнштейн, неполнота и эпистемический взгляд на квантовые состояния». Основы физики . 40 (2): 125. arXiv : 0706.2661 . Bibcode :2010FoPh...40..125H. doi :10.1007/s10701-009-9347-0. S2CID  32755624.
61. Howard, D. (1985). «Эйнштейн о локальности и отделимости». Исследования по истории и философии науки Часть A. 16 ( 3): 171–201. Bibcode :1985SHPSA..16..171H. doi :10.1016/0039-3681(85)90001-9.
62. Sauer, Tilman (1 декабря 2007 г.). «Рукопись Эйнштейна о парадоксе ЭПР для спиновых наблюдаемых». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 38 (4): 879–887. Bibcode :2007SHPMP..38..879S. CiteSeerX 10.1.1.571.6089 . doi :10.1016/j.shpsb.2007.03.002. ISSN  1355-2198. 
63. Эйнштейн, Альберт (1949). «Автобиографические заметки». В Schilpp, Пол Артур (ред.). Альберт Эйнштейн: философ-ученый . Open Court Publishing Company.
64. Белл, Джон Стюарт (1 ноября 1964 г.). «О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена». Physics Physique Fizika . 1 (3): 195–200. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
65. Голдштейн, Шелдон (2017). «Бомовская механика». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет.
66. Барретт, Джеффри (2018). «Формулировка квантовой механики относительного состояния Эверетта». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет.
67. Эверетт, Хью ; Уилер, JA ; ДеВитт, BS ; Купер, LN ; Ван Вехтен, D.; Грэм, N. (1973). ДеВитт, Брайс ; Грэм, R. Нил (ред.). Многомировая интерпретация квантовой механики . Серия Принстона по физике. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . стр. v. ISBN 0-691-08131-X.
68. Уоллес, Дэвид (2003). «Эвереттовская рациональность: защита подхода Дойча к вероятности в интерпретации Эверетта». Stud. Hist. Phil. Mod. Phys . 34 (3): 415–438. arXiv : quant-ph/0303050 . Bibcode :2003SHPMP..34..415W. doi :10.1016/S1355-2198(03)00036-4. S2CID  1921913.
69. Ballentine, LE (1973). «Можно ли вывести статистический постулат квантовой теории? – Критика интерпретации многих вселенных». Foundations of Physics . 3 (2): 229–240. Bibcode : 1973FoPh....3..229B. doi : 10.1007/BF00708440. S2CID  121747282.
70. Ландсман, Н. П. (2008). «Правило Борна и его интерпретация» (PDF) . В Weinert, F.; Hentschel, K.; Greenberger, D.; Falkenburg, B. (ред.). Compendium of Quantum Physics . Springer. ISBN 978-3-540-70622-9. Вывод, по-видимому, состоит в том, что на сегодняшний день не было дано общепринятого вывода правила Борна, но это не означает, что такой вывод в принципе невозможен.
71. Кент, Адриан (2010). «Один мир против многих: неадекватность эвереттовских описаний эволюции, вероятности и научного подтверждения». В S. Saunders; J. Barrett; A. Kent; D. Wallace (ред.). Многие миры? Эверетт, Квантовая теория и реальность . Oxford University Press. arXiv : 0905.0624 . Bibcode :2009arXiv0905.0624K.
72. Van Fraassen, Bas C. (апрель 2010 г.). «Мир Ровелли». Основы физики . 40 (4): 390–417. Bibcode :2010FoPh...40..390V. doi :10.1007/s10701-009-9326-5. ISSN  0015-9018. S2CID  17217776.
73. Хили, Ричард (2016). «Квантово-байесовские и прагматические взгляды на квантовую теорию». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет.
74. Борн, Макс ; Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-64222-1. OCLC  1151058062.
75. Шайдер, Вальтер (апрель 1986 г.). «Привнесение одного из величайших моментов науки в класс». The Physics Teacher . 24 (4): 217–219. Bibcode : 1986PhTea..24..217S. doi : 10.1119/1.2341987. ISSN  0031-921X.
76. Фейнман, Ричард; Лейтон, Роберт; Сэндс, Мэтью (1964). Лекции Фейнмана по физике. Том 1. Калифорнийский технологический институт. ISBN 978-0-201-50064-6. Получено 30 сентября 2021 г. .
77. Мартин, Андре (1986), «Катодно-лучевые трубки для промышленного и военного применения», в Хоуксе, Питер (ред.), Достижения в электронике и электронной физике, том 67 , Academic Press, стр. 183, ISBN 978-0-08-057733-3Доказательства существования «катодных лучей» впервые были обнаружены Плюккером и Гитторфом...
78. Даль, Пер Ф. (1997). Вспышка катодных лучей: история электрона Дж. Дж. Томсона. CRC Press. стр. 47–57. ISBN 978-0-7503-0453-5.
79. Mehra, J. ; Rechenberg, H. (1982). Историческое развитие квантовой теории, т. 1: Квантовая теория Планка, Эйнштейна, Бора и Зоммерфельда. Ее основание и рост ее трудностей (1900–1925) . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90642-3.
80. "Quantum – Definition and More". Словарь Merriam-Webster. Архивировано из оригинала 26 октября 2012 г. Получено 18 августа 2012 г.
81. Kuhn, TS (1978). Теория черного тела и квантовый разрыв 1894–1912 . Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-502383-1.
82. Краг, Хельге (1 декабря 2000 г.). «Макс Планк: нерешительный революционер». Physics World . Получено 12 декабря 2020 г.
83. Stachel, John (2009). «Bohr and the Photon». Квантовая реальность, релятивистская причинность и закрытие эпистемического круга . Серия «Западное Онтарио» по философии науки. Том 73. Дордрехт: Springer. С. 69–83. doi :10.1007/978-1-4020-9107-0_5. ISBN 978-1-4020-9106-3.
84. Эйнштейн, Альберт (1905). «Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt» [Об эвристической точке зрения на производство и преобразование света]. Аннален дер Физик . 17 (6): 132–148. Бибкод : 1905АнП...322..132Е. дои : 10.1002/andp.19053220607 .Перепечатано в Stachel, John , ed. (1989). Собрание трудов Альберта Эйнштейна (на немецком языке). Том 2. Princeton University Press. С. 149–166.См. также «Ранние работы Эйнштейна по квантовой гипотезе», там же, стр. 134–148.
85. Эйнштейн, Альберт (1917). «Zur Quantentheorie der Strahlung» [К квантовой теории излучения]. Physikalische Zeitschrift (на немецком языке). 18 : 121–128. Бибкод : 1917PhyZ...18..121E.Перевод в Einstein, A. (1967). "О квантовой теории излучения". The Old Quantum Theory . Elsevier. стр. 167–183. doi :10.1016/b978-0-08-012102-4.50018-8. ISBN 978-0-08-012102-4.
86. Болл, Филип (2017-08-31). «Столетие назад Эйнштейн выдвинул идею лазера». Physics World . Получено 2024-03-23 .
87. ter Haar, D. (1967). Старая квантовая теория . Pergamon Press. стр. 3–75. ISBN 978-0-08-012101-7. LCCN  66-29628.
88. Бокулич, Алиса; Бокулич, Питер (2020-08-13). «Принцип соответствия Бора». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
89. "Полуклассическое приближение". Энциклопедия математики . Получено 1 февраля 2020 г.
90. Sakurai, JJ ; Napolitano, J. (2014). «Квантовая динамика». Современная квантовая механика . Pearson. ISBN 978-1-292-02410-3. OCLC  929609283.
91. Ахарони, Амикам (1996). Введение в теорию ферромагнетизма. Кларендон Пресс . стр. 6–7. ISBN 0-19-851791-2.
92. Дэвид Эдвардс, «Математические основы квантовой механики», Synthese , том 42, номер 1/сентябрь, 1979, стр. 1–70.
93. Дэвид Эдвардс, «Математические основы квантовой теории поля: фермионы, калибровочные поля и суперсимметрия. Часть I: Решеточные теории поля», Международный журнал теоретической физики , т. 20, № 7 (1981).
94. Бернстайн, Джереми (ноябрь 2005 г.). «Макс Борн и квантовая теория». American Journal of Physics . 73 (11): 999–1008. Bibcode : 2005AmJPh..73..999B. doi : 10.1119/1.2060717 . ISSN  0002-9505.
95. Пайс, Абрахам (1997). Повесть о двух континентах: жизнь физика в бурном мире . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 0-691-01243-1.
96. Ван Хоув, Леон (1958). «Вклад фон Неймана в квантовую механику» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 64 (3): Часть 2:95–99. doi : 10.1090/s0002-9904-1958-10206-2 . Архивировано (PDF) из оригинала 20 января 2024 г.
97. Фейнман, Ричард . "The Feynman Lectures on Physics Vol. III Ch. 21: The Schrödinger Equation in a Classical Context: A Seminar on Superconductivity, 21-4". Калифорнийский технологический институт . Архивировано из оригинала 15 декабря 2016 г. Получено 24 ноября 2015 г. ... долгое время считалось, что волновая функция уравнения Шредингера никогда не будет иметь макроскопического представления, аналогичного макроскопическому представлению амплитуды для фотонов. С другой стороны, теперь стало понятно, что явление сверхпроводимости представляет нам именно такую ​​ситуацию.
98. Packard, Richard (2006). «Berkeley Experiments on Superfluid Macroscopic Quantum Effects» (PDF) . Физический факультет Калифорнийского университета в Беркли. Архивировано из оригинала (PDF) 25 ноября 2015 г. . Получено 24 ноября 2015 г. .

Дальнейшее чтение

В следующих работах, написанных практикующими физиками, предпринята попытка донести квантовую теорию до неспециалистов, используя минимум технических средств.

• Честер, Марвин (1987). Учебник квантовой механики . John Wiley. ISBN 0-486-42878-8 
• Кокс, Брайан ; Форшоу, Джефф (2011). Квантовая Вселенная: все, что может произойти, происходит . Аллен Лейн. ISBN 978-1-84614-432-5.
• Ричард Фейнман , 1985. QED: Странная теория света и материи , Princeton University Press. ISBN 0-691-08388-6 . Четыре элементарные лекции по квантовой электродинамике и квантовой теории поля , содержащие, однако, много полезной информации для экспертов. 
• Ghirardi, GianCarlo , 2004. Sneaking a Look at God's Cards , Gerald Malsbary, trans. Princeton Univ. Press. Самая техническая из цитируемых здесь работ. Отрывки, использующие алгебру , тригонометрию и скобочную нотацию, можно пропустить при первом чтении.
• Н. Дэвид Мермин , 1990, «Жуткие действия на расстоянии: тайны QT» в его книге «Буджумы на всем пути » . Издательство Кембриджского университета: 110–76.
• Виктор Стенгер , 2000. Вневременная реальность: симметрия, простота и множественные вселенные . Буффало, Нью-Йорк: Prometheus Books. Гл. 5–8. Включает космологические и философские соображения.

Более техническая информация:

• Бернстайн, Джереми (2009). Квантовые скачки. Кембридж, Массачусетс: Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 978-0-674-03541-6.
• Бом, Дэвид (1989). Квантовая теория . Dover Publications. ISBN 978-0-486-65969-5.
• Бинни, Джеймс ; Скиннер, Дэвид (2008). Физика квантовой механики . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-968857-9.
• Айсберг, Роберт; Резник, Роберт (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-87373-0.
• Брайс ДеВитт , Р. Нил Грэм, ред., 1973. Многомировая интерпретация квантовой механики , Принстонская серия по физике, Princeton University Press. ISBN 0-691-08131-X 
• Эверетт, Хью (1957). «Формулировка относительного состояния квантовой механики». Reviews of Modern Physics . 29 (3): 454–462. Bibcode : 1957RvMP...29..454E. doi : 10.1103/RevModPhys.29.454. S2CID  17178479.
• Фейнман, Ричард П.; Лейтон , Роберт Б.; Сэндс, Мэтью (1965). Лекции Фейнмана по физике . Том 1–3. Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-7382-0008-8.
• D. Greenberger , K. Hentschel , F. Weinert, ред., 2009. Compendium of quantum physics, Concepts, experimentals, history and philosophy , Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Короткие статьи по многим темам квантовой механики.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-111892-8. OCLC  40251748.Стандартный текст для студентов бакалавриата.
• Макс Джаммер , 1966. Концептуальное развитие квантовой механики . Макгроу Хилл.
• Hagen Kleinert , 2004. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 3-е изд. Singapore: World Scientific. Черновик 4-го издания. Архивировано 15.06.2008 в Wayback Machine
• Л. Д. Ландау , Э. М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Т. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.Электронная копия
• Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику . Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-8053-8714-8.
• Гюнтер Людвиг, 1968. Волновая механика . Лондон: Pergamon Press. ISBN 0-08-203204-1 
• Джордж Макки (2004). Математические основы квантовой механики . Dover Publications. ISBN 0-486-43517-2 . 
• Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика . Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-88702-7.
• Albert Messiah , 1966. Quantum Mechanics (т. I), перевод на английский с французского GM Temmer. North Holland, John Wiley & Sons. Ср. гл. IV, раздел III. онлайн
• Омнес, Роланд (1999). Понимание квантовой механики. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00435-8. OCLC  39849482.
• Шерри, Эрик Р. , 2006. Периодическая таблица : ее история и ее значение . Oxford University Press. Рассматривает степень, в которой химия и периодическая система были сведены к квантовой механике. ISBN 0-19-530573-6 
• Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики . Springer. ISBN 978-0-306-44790-7.
• Стоун, А. Дуглас (2013). Эйнштейн и квант . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13968-5.
• Transnational College of Lex (1996). Что такое квантовая механика? Физическое приключение . Language Research Foundation, Бостон. ISBN 978-0-9643504-1-0. OCLC  34661512.
• Велтман, Мартинус Дж. Г. (2003), Факты и загадки физики элементарных частиц .

На Викиучебнике

• Этот квантовый мир

Внешние ссылки

• Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон: История квантовой механики.
• Введение в квантовую теорию на Quantiki.
• Квантовая физика в относительно простом исполнении: три видеолекции Ганса Бете .

Материал курса

• «Quantum Cook Book» и «PHYS 201: Fundamentals of Physics II» Рамамурти Шанкара , Yale OpenCourseware.
• Современная физика: с волнами, термодинамикой и оптикой – онлайн-учебник.
• MIT OpenCourseWare : Химия и физика. См. 8.04, 8.05 и 8.06.
• .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px ​​0px,0px ​​0px); высота: 1 пиксель; поле: -1 пиксель; переполнение: скрыто; отступ: 0; положение: абсолютное; ширина: 1 пиксель}⁠5+1/2⁠ Примеры в квантовой механике.
• Курс квантовой механики Имперского колледжа.

Философия

• Исмаэль, Дженанн. «Квантовая механика». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Крипс, Генри. «Измерение в квантовой теории». В Zalta, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .