Граница 24-ячейки состоит из 24 октаэдрических ячеек, по шесть из которых сходятся в каждой вершине, и по три — на каждом ребре. Вместе они имеют 96 треугольных граней, 96 ребер и 24 вершины. Вершинная фигура — куб . 24-ячейка самодвойственна . [a] 24-ячейка и тессеракт — единственные выпуклые правильные 4-многогранники, в которых длина ребра равна радиусу. [b]
24-ячейка не имеет регулярного аналога в трех измерениях или любом другом числе измерений, ни ниже, ни выше. [4] Это единственный из шести выпуклых правильных 4-многогранников, который не является аналогом одного из пяти Платоновых тел. Однако его можно рассматривать как аналог пары неправильных тел: кубооктаэдра и его двойственного ромбододекаэдра . [5]
Переводимые копии 24-ячеечной ячейки могут замостить четырехмерное пространство лицом к лицу, образуя 24-ячеечные соты . Как многогранник, который можно замостить путем перевода, 24-ячейка является примером параллелотопа , простейшего из тех, которые не являются также зонотопом . [6]
Геометрия
24-ячейка включает в себя геометрии каждого выпуклого правильного многогранника в первых четырех измерениях, за исключением 5-ячейки, тех, которые имеют 5 в своем символе Шлефли, [c] и правильных многоугольников с 7 или более сторонами. Другими словами, 24-ячейка содержит все правильные многогранники, сделанные из треугольников и квадратов, которые существуют в четырех измерениях, за исключением правильного 5-ячейки, но ни одного из пятиугольных многогранников. Геометрические соотношения между всеми этими правильными многогранниками можно наблюдать в одной 24-ячейке или 24-ячейке-соте .
24-ячейка является четвертой в последовательности из шести выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке размера и сложности). [d] Ее можно разбить на 3 перекрывающихся экземпляра ее предшественника тессеракта (8-ячейки), так же как 8-ячейку можно разбить на 2 перекрывающихся экземпляра ее предшественника 16-ячейки . [9] Обратная процедура построения каждой из них из экземпляра ее предшественника сохраняет радиус предшественника, но, как правило, создает последующую с меньшей длиной ребра. [e]
Эти координаты [10] можно построить как, выпрямляя 16- ячеечный с 8 вершинами перестановок (±2,0,0,0). Вершинная фигура 16-ячейки — октаэдр ; таким образом, разрезание вершин 16-ячейки в средней точке ее падающих ребер дает 8 октаэдрических ячеек. Этот процесс [11] также выпрямляет тетраэдрические ячейки 16-ячейки, которые становятся 16 октаэдрами, давая 24-ячейке 24 октаэдрические ячейки.
В этой системе отсчета 24-ячейка имеет ребра длиной √ 2 и вписана в 3-сферу радиусом √ 2 . Примечательно, что длина ребра равна радиусу описанной окружности, как в шестиугольнике или кубооктаэдре . Такие многогранники являются радиально равносторонними . [b]
24 вершины образуют 18 больших квадратов [f] (3 набора из 6 ортогональных [g] центральных квадратов), 3 из которых пересекаются в каждой вершине. Рассматривая только один квадрат в каждой вершине, 24-ячейку можно рассматривать как вершины 3 пар полностью ортогональных больших квадратов, которые не пересекаются [i] ни в одной вершине. [j]
Шестиугольники
24-ячейка является самодвойственной , имея столько же вершин (24), сколько ячеек, и столько же ребер (96), сколько граней.
Если взять двойственную к вышеприведенной 24-ячейке с длиной ребра √ 2 , возвратно-поступательно вращая ее вокруг вписанной сферы, то будет найдена еще одна 24-ячейка с длиной ребра и радиусом описанной окружности 1, а ее координаты раскрывают больше структуры. В этой системе отсчета 24-ячейка лежит вершиной вверх, и ее вершины можно задать следующим образом:
все 24 из которых лежат на расстоянии 1 от начала координат.
Рассматриваемые как кватернионы, [k] представляют собой единичные кватернионы Гурвица .
24-ячейка имеет единичный радиус и единичную длину ребра [b] в этой системе координат. Мы называем систему координатами единичного радиуса, чтобы отличать ее от других, таких как координаты радиуса √ 2 , использованные выше. [l]
24 вершины и 96 ребер образуют 16 неортогональных больших шестиугольников, [o] четыре из которых пересекаются [i] в каждой вершине. [q] Рассматривая только один шестиугольник в каждой вершине, 24-ячейку можно рассматривать как 24 вершины 4 непересекающихся шестиугольных больших кругов, которые параллельны друг другу по Клиффорду. [r]
12 осей и 16 шестиугольников 24-ячеечной структуры образуют конфигурацию Рейе , которая на языке конфигураций записывается как 12 4 16 3 , что указывает на то, что каждая ось принадлежит 4 шестиугольникам, а каждый шестиугольник содержит 3 оси. [12]
Треугольники
24 вершины образуют 32 равносторонних больших треугольника с длиной ребра √ 3 в 24-ячейке единичного радиуса, [u], вписанных в 16 больших шестиугольников. [v] Каждый большой треугольник представляет собой кольцо, соединяющее три полностью непересекающихся [w] больших квадрата. [aa]
Гиперкубические хорды
Вершинная геометрия радиально равностороннего [b] 24-ячейника, показывающая 3 больших круговых многоугольника и 4 длины хорд от вершины до вершины.
24 вершины 24-ячейки распределены [13] на четырех различных длинах хорд друг от друга: √ 1 , √ 2 , √ 3 и √ 4 .
Каждая вершина соединена с 8 другими [ab] ребром длиной 1, охватывающим 60° = π/3 дуги. Ближайшие 6 вершин [ac], расположенные на 90° = π/2 прочь, вдоль внутренней хорды длины √ 2. Еще 8 вершин лежат 120° = 2π/3 прочь, вдоль внутренней хорды длиной √ 3 . [ad] Противоположная вершина находится на расстоянии 180° = π прочь вдоль диаметра длиной 2. Наконец, поскольку 24-ячейка является радиально равносторонней, ее центр находится на расстоянии 1 длины ребра от всех вершин.
Чтобы наглядно представить, как внутренние многогранники 24-ячейки соединяются вместе (как описано ниже), помните, что четыре длины хорд ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) являются длинными диаметрами гиперкубов размерностей от 1 до 4: длинный диаметр квадрата равен √ 2 ; длинный диаметр куба равен √ 3 ; а длинный диаметр тессеракта равен √ 4 . [ae] Более того, длинный диаметр октаэдра равен √ 2 , как у квадрата; а длинный диаметр самой 24-ячейки равен √ 4 , как у тессеракта. В 24-ячейке хорды √ 2 являются ребрами центральных квадратов, а хорды √ 4 являются диагоналями центральных квадратов.
Геодезические
Стереографическая проекция 16 центральных шестиугольников 24-ячейки на их большие круги. Каждый большой круг разделен на 6 дуг-ребер в точках пересечения, где пересекаются 4 больших круга.
Хорды вершин 24-ячеечного многоугольника расположены в геодезических многоугольниках большого круга . [ag] Геодезическое расстояние между двумя вершинами 24-ячеечного многоугольника вдоль пути из √ 1 ребер всегда равно 1, 2 или 3, и оно равно 3 только для противоположных вершин. [ah]
√ 1 ребра встречаются в 16 больших шестиугольных кругах ( в плоскостях, наклоненных под углом 60 градусов друг к другу), 4 из которых пересекают [q] в каждой вершине. [p] 96 различных √ 1 ребер делят поверхность на 96 треугольных граней и 24 октаэдрические ячейки: 24-ячейка. 16 больших шестиугольных кругов можно разделить на 4 набора из 4 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда, так что только один большой шестиугольный круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, и 4 шестиугольника в каждом наборе достигают всех 24 вершин. [ak]
Хорды √ 2 встречаются в 18 квадратных больших кругах (3 набора из 6 ортогональных плоскостей [x] ), 3 из которых пересекаются в каждой вершине. [al] 72 различных хорды √ 2 не проходят в тех же плоскостях, что и большие шестиугольные круги; они не следуют ребрам 24-ячеек, они проходят через центры ее восьмиугольных ячеек. [am] 72 хорды √ 2 являются 3 ортогональными осями 24 октаэдрических ячеек, соединяющими вершины, которые находятся на расстоянии 2 √ 1 ребра друг от друга. 18 квадратных больших кругов можно разделить на 3 набора из 6 непересекающихся параллельных Клиффорду геодезических, [af] так, что только один большой квадратный круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, и 6 квадратов в каждом наборе достигают всех 24 вершин. [aq]
Хорды √ 3 встречаются в 32 больших треугольных кругах в 16 плоскостях, 4 из которых пересекаются в каждой вершине. [ad] 96 различных хорд √ 3 [u] проходят вершина к каждой другой вершине в тех же плоскостях, что и большие шестиугольные круги. [v] Они являются 3 ребрами 32 больших треугольников, вписанных в 16 больших шестиугольников, соединяя вершины, которые находятся на расстоянии 2 √ 1 ребра друг от друга на большом круге. [t]
Хорды √ 4 представлены в виде 12 диаметров от вершины к вершине (3 набора по 4 ортогональных оси), 24 радиуса вокруг 25-й центральной вершины.
Сумма квадратов длин [ar] всех этих различных хорд 24-клеточного пространства равна 576 = 24 2 . [as] Это все центральные многоугольники, проходящие через вершины, но в 4-пространстве есть геодезические на 3-сфере, которые вообще не лежат в центральных плоскостях. Существуют геодезические кратчайшие пути между двумя 24-клеточными вершинами, которые являются винтовыми, а не просто круговыми; они соответствуют диагональным изоклинным вращениям, а не простым вращениям. [at]
Ребра √ 1 встречаются в 48 параллельных парах, на расстоянии √ 3 друг от друга. Хорды √ 2 встречаются в 36 параллельных парах, на расстоянии √ 2 друг от друга. Хорды √ 3 встречаются в 48 параллельных парах, на расстоянии √ 1 друг от друга. [au]
Центральные плоскости 24-ячейки можно разделить на 4 ортогональные центральные гиперплоскости (3-пространства), каждая из которых образует кубооктаэдр . Большие шестиугольники находятся на расстоянии 60 градусов друг от друга; большие квадраты находятся на расстоянии 90 градусов или 60 градусов друг от друга; большой квадрат и большой шестиугольник находятся на расстоянии 90 градусов и 60 градусов друг от друга. [aw] Каждый набор подобных центральных многоугольников (квадратов или шестиугольников) можно разделить на 4 набора непересекающихся параллельных многоугольников Клиффорда (из 6 квадратов или 4 шестиугольников). [ax] Каждый набор параллельных больших окружностей Клиффорда представляет собой параллельное расслоение волокон , которое посещает все 24 вершины только один раз.
Каждый большой круг пересекается [i] с другими большими кругами, к которым он не параллелен Клиффорду, на одном √ 4 диаметре 24-ячейки. [ay] Большие круги, которые полностью ортогональны или иным образом параллельны Клиффорду [af], вообще не пересекаются: они проходят через непересекающиеся множества вершин. [az]
Конструкции
Треугольники и квадраты уникальным образом объединяются в 24-ячейке, образуя в качестве внутренних элементов [ba] все правильные выпуклые многогранники с треугольными и квадратными гранями в первых четырех измерениях (с оговорками для 5-ячейки и 600-ячейки ). [bb] Следовательно, существует множество способов построения или деконструкции 24-ячейки.
Взаимные конструкции из 8-клеточного и 16-клеточного
8 целочисленных вершин (±1, 0, 0, 0) являются вершинами правильного 16-клеточного многоугольника , а 16 полуцелочисленных вершин (± 1/2 , ± 1/2 , ± 1/2 , ± 1/2 ) являются вершинами его двойственного тессеракта (8-ячеечного). [22] Тессеракт дает конструкцию Госсета [23] 24-ячеечного, эквивалентную разрезанию тессеракта на 8 кубических пирамид , а затем присоединению их к граням второго тессеракта. Аналогичная конструкция в 3-пространстве дает ромбический додекаэдр, который, однако, не является правильным. [bc] 16-ячеечный дает обратную конструкцию 24-ячеечного, конструкцию Чезаро [24] , эквивалентную выпрямлению 16-ячеечного (усечению его углов по средним ребрам, как описано выше). Аналогичная конструкция в 3-пространстве дает кубооктаэдр (двойственный ромбическому додекаэдру), который, однако, не является правильным. Тессеракт и 16-ячейник являются единственными правильными 4-мя многогранниками в 24-ячейнике. [25]
Мы можем далее разделить 16 полуцелых вершин на две группы: те, чьи координаты содержат четное количество знаков минус (−), и те, у которых их нечетное количество. Каждая из этих групп из 8 вершин также определяет правильную 16-ячейку. Это показывает, что вершины 24-ячейки можно сгруппировать в три непересекающихся набора по восемь, причем каждый набор определяет правильную 16-ячейку, а дополнение определяет двойственный тессеракт. [26] Это также показывает, что симметрии 16-ячейки образуют подгруппу индекса 3 группы симметрии 24-ячейки. [z]
Уменьшения
Мы можем огранить 24-ячейку, разрезая [bd] через внутренние ячейки, ограниченные хордами вершин, чтобы удалить вершины, обнажая грани внутренних 4-многогранников, вписанных в 24-ячейку. Можно разрезать 24-ячейку через любой плоский шестиугольник с 6 вершинами, любой плоский прямоугольник с 4 вершинами или любой треугольник с 3 вершинами. Центральные плоскости большого круга (выше) — это только некоторые из этих плоскостей. Здесь мы раскроем некоторые из других: плоскости граней [be] внутренних многогранников. [bf]
8-ячеечный
Начиная с полной 24-ячейки, удалите 8 ортогональных вершин (4 противоположные пары на 4 перпендикулярных осях) и 8 ребер, которые исходят из каждой, разрезая 8 кубических ячеек, ограниченных √ 1 ребрами, чтобы удалить 8 кубических пирамид, вершины которых являются вершинами, которые нужно удалить. Это удаляет 4 ребра из каждого шестиугольного большого круга (сохраняя только одну противоположную пару ребер), так что не остается непрерывных шестиугольных больших кругов. Теперь 3 перпендикулярных ребра встречаются и образуют угол куба в каждой из 16 оставшихся вершин, [bg] и 32 оставшихся ребра делят поверхность на 24 квадратных грани и 8 кубических ячеек: тессеракт . Есть три способа сделать это (выбрать набор из 8 ортогональных вершин из 24), поэтому в 24-ячейку вписано три таких тессеракта. [t] Они перекрываются друг с другом, но большинство их наборов элементов не пересекаются: они имеют некоторое общее количество вершин, но не длину ребра, площадь грани или объем ячейки. [bh] Они имеют общее 4-содержимое, их общее ядро. [bi]
16-ячеечный
Начиная с полной 24-ячейки, удалите 16 вершин тессеракта (сохранив 8 вершин, которые вы удалили выше), разрезая 16 тетраэдрических ячеек, ограниченных √ 2 хордами, чтобы удалить 16 тетраэдрических пирамид , вершины которых являются вершинами, которые нужно удалить. Это удаляет 12 больших квадратов (сохраняя только один ортогональный набор) и все √ 1 ребра, обнажая √ 2 хорды в качестве новых ребер. Теперь оставшиеся 6 больших квадратов пересекаются перпендикулярно, по 3 в каждой из 8 оставшихся вершин, [bj] и их 24 ребра делят поверхность на 32 треугольные грани и 16 тетраэдрических ячеек: 16-ячейка . Есть три способа сделать это (удалить 1 из 3 наборов вершин тессеракта), так что есть три таких 16-ячейки, вписанных в 24-ячейку. [y] Они перекрываются друг с другом, но все их наборы элементов не пересекаются: [w] они не имеют общего количества вершин, длины ребра, [bk] или площади грани, но имеют общий объем ячейки. Они также имеют общее 4-содержимое, их общее ядро. [bi]
Тетраэдрические конструкции
24-ячейка может быть построена радиально из 96 равносторонних треугольников с длиной ребра √ 1, которые встречаются в центре многогранника, каждый из которых вносит два радиуса и ребро. [b] Они образуют 96 √ 1 тетраэдров (каждый вносит одну 24-ячейковую грань), все они имеют общую 25-ю центральную вершину. Они образуют 24 октаэдрические пирамиды (половины 16-ячеек) с вершинами в центре.
24-ячейка может быть построена из 96 равносторонних треугольников с длиной ребра √ 2 , где три вершины каждого треугольника расположены под углом 90° = π/2 друг от друга на 3-сфере. Они образуют 48 √ 2 -реберных тетраэдров (ячеек трех 16-ячеек), центрированных на 24-х радиусах середины ребра 24-ячейки. [bk]
24-ячейка — это не только 24-октаэдрическая ячейка, но и 24-кубическая ячейка, хотя кубы являются ячейками трех 8-ячеек, а не ячейками 24-ячейки, в которой они объемно не разделены.
24-ячейка может быть построена из 24 кубов с собственной длиной ребра (три 8-ячейки). [t] Каждый из кубов является общим для 2 8-ячеек, каждая из квадратных граней куба является общей для 4 кубов (в 2 8-ячейках), каждое из 96 ребер является общей для 8 квадратных граней (в 4 кубах в 2 8-ячейках), и каждая из 96 вершин является общей для 16 ребер (в 8 квадратных гранях в 4 кубах в 2 8-ячейках).
Отношения между внутренними многогранниками
24-ячеечный, три тессеракта и три 16-ячеечных тесно переплетены вокруг общего центра и пересекаются в общем ядре. [bi] Тессеракты и 16-ячеечные повернуты на 60° изоклинно [m] относительно друг друга. Это означает, что соответствующие вершины двух тессерактов или двух 16-ячеечных находятся на расстоянии √ 3 (120°) друг от друга. [t]
Тессеракты вписаны в 24-ячейку [bm] таким образом, что их вершины и ребра являются внешними элементами 24-ячейки, но их квадратные грани и кубические ячейки лежат внутри 24-ячейки (они не являются элементами 24-ячейки). 16-ячейки вписаны в 24-ячейку [bn] таким образом, что только их вершины являются внешними элементами 24-ячейки: их ребра, треугольные грани и тетраэдрические ячейки лежат внутри 24-ячейки. Внутренние [bo] 16-ячейковые ребра имеют длину √ 2 . [aa]
Рисунок Кеплера, изображающий тетраэдры в кубе. [29]
16-ячейки также вписаны в тессеракты: их √ 2 ребра являются диагоналями граней тессеракта, а их 8 вершин занимают каждую вторую вершину тессеракта. Каждый тессеракт имеет две 16-ячейки, вписанные в него (занимая противоположные вершины и диагонали граней), поэтому каждая 16-ячейка вписана в две из трех 8-ячеек. [30] [z] Это напоминает способ, которым в 3 измерениях два противостоящих правильных тетраэдра могут быть вписаны в куб, как это открыл Кеплер. [29] Фактически, это точная размерная аналогия ( демигиперкубы ), и 48 тетраэдрических ячеек вписаны в 24 кубические ячейки именно таким образом. [31] [bk]
24-ячейка заключает три тессеракта в своей оболочке из октаэдрических граней, оставляя 4-мерное пространство в некоторых местах между своей оболочкой и оболочкой каждого тессеракта из кубов. Каждый тессеракт заключает две из трех 16-ячеек, оставляя 4-мерное пространство в некоторых местах между своей оболочкой и оболочкой каждого 16-ячеечного тетраэдров. Таким образом, существуют измеримые [8] 4-мерные промежутки [bp] между 24-ячеечной, 8-ячеечной и 16-ячеечной оболочками. Формы, заполняющие эти промежутки, являются 4-пирамидами , упомянутыми выше. [bq]
Граничные ячейки
Несмотря на 4-мерные промежутки между 24-клеточными, 8-клеточными и 16-клеточными оболочками, их 3-мерные объемы перекрываются. Различные оболочки разделены в некоторых местах и соприкасаются в других местах (где между ними не лежит 4-пирамида). Там, где они соприкасаются, они сливаются и делят объем клетки: в этих местах они представляют собой одну и ту же 3-мембрану, а не два отдельных, а смежных 3-мерных слоя. [bs] Поскольку всего имеется 7 оболочек, есть места, где несколько оболочек сходятся вместе и объединяют объем, а также места, где оболочки взаимопроникают (переходят изнутри наружу друг друга).
Некоторые внутренние особенности лежат в пределах 3-пространства (внешней) граничной оболочки самой 24-ячейки: каждая октаэдрическая ячейка разделена пополам тремя перпендикулярными квадратами (по одному от каждого тессеракта), а диагонали этих квадратов (которые пересекают друг друга перпендикулярно в центре октаэдра) являются 16-ячеечными ребрами (по одному от каждой 16-ячейки). Каждый квадрат делит октаэдр на две квадратные пирамиды, а также связывает вместе две смежные кубические ячейки тессеракта в качестве их общей грани. [br]
Как мы видели выше, 16-ячеечные √ 2 тетраэдрические ячейки вписаны в тессеракт √ 1 кубических ячеек, разделяя тот же объем. 24-ячеечные √ 1 октаэдрические ячейки перекрывают свой объем с √ 1 кубическими ячейками: они разделены квадратной гранью на две квадратные пирамиды, [33] вершины которых также лежат в вершине куба. [bt] Октаэдры делят объем не только с кубами, но и с тетраэдрами, вписанными в них; таким образом, 24-ячеечные, тессеракты и 16-ячеечные ячейки разделяют некоторый граничный объем. [bs]
Как конфигурация
Эта матрица конфигурации [34] представляет собой 24-ячейку. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всей 24-ячейке. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.
Поскольку 24-ячейка является самодвойственной, ее матрица идентична ее повороту на 180 градусов.
Симметрии, корневые системы и мозаики
Соединение 24 вершин 24-ячеечной структуры (красные узлы) и ее немасштабированной двойственной структуры (желтые узлы) представляет собой 48 корневых векторов группы F 4 , как показано на этой проекции плоскости Коксетера F 4 .
24 корневых вектора корневой системы D 4 простой группы Ли SO(8) образуют вершины 24-ячейки. Вершины можно увидеть в 3 гиперплоскостях , [av] с 6 вершинами октаэдрической ячейки на каждой из внешних гиперплоскостей и 12 вершинами кубооктаэдра на центральной гиперплоскости. Эти вершины, в сочетании с 8 вершинами 16-ячейки , представляют 32 корневых вектора простых групп Ли B 4 и C 4 .
48 вершин (или, строго говоря, их радиус-векторы) объединения 24-ячейки и ее дуальной образуют корневую систему типа F 4 . [36] 24 вершины исходной 24-ячейки образуют корневую систему типа D 4 ; ее размер имеет отношение √ 2 : 1. Это также верно для 24 вершин ее дуальной. Полная группа симметрии 24-ячейки — это группа Вейля F 4 , которая генерируется отражениями через гиперплоскости, ортогональные корням F 4 . Это разрешимая группа порядка 1152. Группа вращательной симметрии 24-ячейки имеет порядок 576.
При интерпретации как кватернионов , [k] корневая решетка F 4 (которая является целым слоем вершин 24-ячейки) замкнута относительно умножения и, следовательно, является кольцом . Это кольцо интегральных кватернионов Гурвица . Вершины 24-ячейки образуют группу единиц (т. е. группу обратимых элементов) в кольце кватернионов Гурвица (эта группа также известна как бинарная тетраэдрическая группа ). Вершины 24-ячейки — это в точности 24 кватерниона Гурвица с квадратом нормы 1, а вершины двойственной 24-ячейки — это вершины с квадратом нормы 2. Корневая решетка D 4 является двойственной к F 4 и задается подкольцом кватернионов Гурвица с четным квадратом нормы. [38]
Рассматриваемые как 24 единичных кватерниона Гурвица , координаты единичного радиуса 24-ячейки представляют (в антиподальных парах) 12 вращений правильного тетраэдра. [39]
Ячейки Вороного решетки корней D 4 являются правильными 24-ячейками. Соответствующее замощение Вороного дает замощение 4-мерного евклидова пространства правильными 24-ячейками, 24-ячеечные соты . 24-ячейки центрированы в узлах решетки D 4 (кватернионы Гурвица с четным квадратом нормы), а вершины находятся в узлах решетки F 4 с нечетным квадратом нормы. Каждая 24-ячейка этой замощения имеет 24 соседа. С каждым из них она делит октаэдр. Она также имеет 24 других соседа, с которыми она делит только одну вершину. Восемь 24-ячеек встречаются в любой заданной вершине этой замощения. Символ Шлефли для этого замощения — {3,4,3,3}. Это одно из трех правильных замощений R 4 .
Двойственная мозаика 24-ячеечных сот {3,4,3,3} — это 16-ячеечные соты {3,3,4,3} . Третья регулярная мозаика четырехмерного пространства — это тессерактовые соты {4,3,3,4} , вершины которых можно описать 4-целыми декартовыми координатами. [k] Конгруэнтные отношения между этими тремя мозаиками могут быть полезны для визуализации 24-ячеечных сот, в частности радиальной равносторонней симметрии, которую они разделяют с тессерактом. [b]
Соты с единичной длиной ребра 24 ячейки могут быть наложены на соты с единичной длиной ребра тессеракты таким образом, что каждая вершина тессеракта (каждая 4-целая координата) также является вершиной 24-ячейки (и ребра тессеракта также являются 24-ячеечными ребрами), и каждый центр 24-ячейки также является центром тессеракта. [41] 24-ячейки в два раза больше тессерактов по 4-мерному содержимому (гиперобъему), поэтому в целом есть два тессеракта для каждой 24-ячейки, только половина из которых вписана в 24-ячейку. Если эти тессеракты покрасить в черный цвет, а их смежные тессеракты (с которыми они разделяют кубическую грань) покрасить в красный цвет, получится 4-мерная шахматная доска. [42] Из 24 радиусов от центра до вершины [bu] каждой 24-ячейки, 16 также являются радиусами черного тессеракта, вписанного в 24-ячейку. Остальные 8 радиусов простираются за пределы черного тессеракта (через центры его кубических граней) к центрам 8 соседних красных тессерактов. Таким образом, 24-ячеечные соты и тессерактические соты совпадают особым образом: 8 из 24 вершин каждой 24-ячейки не встречаются в вершинах тессеракта (они встречаются в центре тессеракта). Каждый черный тессеракт вырезается из 24-ячейки путем усечения ее в этих 8 вершинах, отрезая 8 кубических пирамид (как при обратном построении Госсета, [23] но вместо того, чтобы быть удаленными, пирамиды просто окрашиваются в красный цвет и остаются на месте). Восемь 24-ячеек встречаются в центре каждого красного тессеракта: каждая из них встречается со своей противоположностью в этой общей вершине, а шесть других — в общей октаэдрической ячейке.
Красные тессеракты — это заполненные ячейки (они содержат центральную вершину и радиусы); черные тессеракты — это пустые ячейки. Набор вершин этого объединения двух сот включает вершины всех 24-ячеек и тессерактов, а также центры красных тессерактов. Добавление центров 24-ячеек (которые также являются центрами черных тессерактов) к этим сотам дает 16-ячеечные соты, набор вершин которых включает все вершины и центры всех 24-ячеек и тессерактов. Ранее пустые центры соседних 24-ячеек становятся противоположными вершинами единичной длины ребра 16-ячейки. 24 полу-16-ячейки (октаэдрические пирамиды) встречаются в каждом ранее пустом центре, чтобы заполнить каждую 24-ячейку, а их октаэдрические основания являются 6-вершинными октаэдрическими гранями 24-ячейки (общими с соседней 24-ячейкой). [bv]
Обратите внимание на полное отсутствие пятиугольников в этом объединении трех сот. Подобно 24-ячеечному, 4-мерное евклидово пространство само по себе полностью заполнено комплексом всех многогранников, которые могут быть построены из правильных треугольников и квадратов (кроме 5-ячеечного), но этот комплекс не требует (или не допускает) ни одного из пятиугольных многогранников. [c]
Вращения
Правильные выпуклые 4-мерные многогранники являются выражением их базовой симметрии , известной как SO(4) , группа вращений [43] вокруг фиксированной точки в 4-мерном евклидовом пространстве. [автор]
3 декартовых основания 24-клеточной системы счисления
Существует три различных ориентации тессерактовых сот, которые можно совместить с 24-ячеечными сотами, в зависимости от того, какой из трех непересекающихся наборов из 8 ортогональных вершин 24-ячеек (какой набор из 4 перпендикулярных осей или, что эквивалентно, какой вписанный базис из 16 ячеек) [n] был выбран для его выравнивания, точно так же, как три тессеракта могут быть вписаны в 24-ячейку, повернутыми относительно друг друга. [t] Расстояние от одной из этих ориентаций до другой представляет собой изоклинический поворот на 60 градусов ( двойной поворот на 60 градусов в каждой паре ортогональных инвариантных плоскостей вокруг одной фиксированной точки). [bz] Это вращение можно увидеть наиболее отчетливо в шестиугольных центральных плоскостях, где каждый шестиугольник поворачивается, чтобы изменить, какой из его трех диаметров выровнен с осью системы координат. [o]
Плоскости вращения
Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве можно рассматривать как композицию двух 2-мерных вращений в полностью ортогональных плоскостях. [45] Таким образом, общее вращение в 4-мерном пространстве является двойным вращением . [46] Существуют два важных особых случая, называемые простым вращением и изоклиническим вращением . [ce]
В 3 измерениях вращающийся многогранник имеет одну инвариантную центральную плоскость вращения . Плоскость является инвариантным множеством , поскольку каждая точка плоскости движется по окружности, но остается внутри плоскости. Только одна из центральных плоскостей многогранника может быть инвариантной во время конкретного вращения; выбор инвариантной центральной плоскости, а также угловое расстояние и направление вращения полностью определяют вращение. Точки вне инвариантной плоскости также движутся по окружностям (если только они не находятся на фиксированной оси вращения, перпендикулярной инвариантной плоскости), но окружности не лежат внутри центральной плоскости.
Когда 4-многогранник вращается только с одной инвариантной центральной плоскостью, происходит тот же самый вид простого вращения , который происходит в 3 измерениях. Одно отличие состоит в том, что вместо фиксированной оси вращения есть целая фиксированная центральная плоскость, в которой точки не движутся. Фиксированная плоскость — это одна центральная плоскость, которая полностью ортогональна инвариантной плоскости вращения. В 24-ячейке есть простое вращение, которое перенесет любую вершину непосредственно в любую другую вершину, также перемещая большинство других вершин, но оставляя не менее 2 и не более 6 других вершин неподвижными (вершины, которые пересекает фиксированная центральная плоскость). Вершина движется по большой окружности в инвариантной плоскости вращения между соседними вершинами большого шестиугольника, большого квадрата или большого двуугольника , а полностью ортогональная неподвижная плоскость — это двуугольник, квадрат или шестиугольник соответственно. [az]
Точки в полностью ортогональной центральной плоскости не ограничены фиксированностью. Также возможно, что они вращаются по окружностям, как вторая инвариантная плоскость, со скоростью, независимой от вращения первой инвариантной плоскости: двойной поворот в двух перпендикулярных непересекающихся плоскостях [h] вращения одновременно. [cc] В двойном повороте нет фиксированной плоскости или оси: каждая точка движется, кроме центральной точки. Угловое расстояние поворота может быть разным в двух полностью ортогональных центральных плоскостях, но они всегда обе инвариантны: их вращающиеся по окружности точки остаются внутри плоскости , поскольку вся плоскость наклоняется вбок при полностью ортогональном повороте. Вращение в 4-пространстве всегда имеет (по крайней мере) две полностью ортогональные инвариантные плоскости вращения, хотя при простом повороте угол поворота в одной из них равен 0.
Двойные вращения бывают двух хиральных форм: левое и правое вращения. [cf] При двойном вращении каждая вершина движется по спирали по двум ортогональным большим окружностям одновременно. [ca] Либо траектория имеет правую резьбу (как большинство винтов и болтов), двигаясь по окружностям в «одних и тех же» направлениях, либо она имеет левую резьбу (как болт с обратной резьбой), двигаясь по окружностям в том, что мы условно называем «противоположными» направлениями (согласно правилу правой руки , по которому мы условно говорим, какой путь «верх» на каждой из 4 осей координат). [48]
В двойных вращениях 24-ячейки, которые переводят вершины в вершины, одна инвариантная плоскость вращения содержит либо большой шестиугольник, либо большой квадрат, либо только ось (две вершины, большой двуугольник). Полностью ортогональная инвариантная плоскость вращения обязательно будет содержать большой двуугольник, большой квадрат или большой шестиугольник соответственно. Выбор инвариантной плоскости вращения, направления вращения и угла, на который ее следует вращать, а также направления вращения и угла, на который следует вращать ее полностью ортогональную плоскость, полностью определяет характер вращательного смещения. В 24-ячейке существует несколько примечательных видов двойного вращения, разрешенных этими параметрами. [49]
Изоклинные вращения
Когда углы поворота в двух инвариантных плоскостях совершенно одинаковы, происходит замечательно симметричное преобразование : [50] все плоскости большого круга, параллельные Клиффорду [af] инвариантным плоскостям, сами становятся инвариантными плоскостями поворота на тот же угол, и 4-многогранник вращается изоклинно во многих направлениях одновременно. [51] Каждая вершина перемещается на одинаковое расстояние в четырех ортогональных направлениях одновременно. [m] В 24-ячеечной плоскости любой изоклинный поворот на 60 градусов в гексагональной плоскости переводит каждую вершину в вершину, отстоящую на две длины ребра, поворачивает все 16 шестиугольников на 60 градусов и переводит каждый многоугольник большого круга (квадрат, [an] шестиугольник или треугольник) в многоугольник большого круга, параллельный Клиффорду того же вида, на 120 градусов дальше. Изоклинный поворот также называется смещением Клиффорда , в честь его первооткрывателя . [bz]
24-ячейка в анимации двойного вращения, кажется, выворачивает себя наизнанку. [ci] Кажется, что так и есть, потому что это действительно так, обращая хиральность всего 4-многогранника точно так же, как зеркало в ванной обращает хиральность вашего изображения с помощью отражения на 180 градусов. Каждое изоклиническое вращение на 360 градусов похоже на то, как если бы 24-ячеистая поверхность была снята как перчатка и вывернута наизнанку, превращая правую перчатку в левую (или наоборот). [52]
При простом вращении 24-ячейки в шестиугольной плоскости каждая вершина в плоскости сначала вращается вдоль ребра к смежной вершине на расстоянии 60 градусов. Но при изоклинном вращении в двух полностью ортогональных плоскостях, одна из которых является большим шестиугольником, [az] каждая вершина сначала вращается к вершине, находящейся на расстоянии двух длин ребра ( √ 3 и 120°). Винтовые геодезические двойного 60-градусного вращения проходят через каждую другую вершину, пропуская вершины между ними. [s] Каждая хорда √ 3 винтовой геодезической [cp] пересекает две центральные плоскости шестиугольников, параллельных Клиффорду, и лежит в другой центральной плоскости шестиугольника, которая пересекает их обе. [cu] Хорды √ 3 встречаются под углом 60°, но поскольку они лежат в разных плоскостях, они образуют спираль, а не треугольник. Три хорды √ 3 и поворот на 360° переводят вершину в соседнюю вершину, а не обратно в себя. Спираль из хорд √ 3 замыкается в петлю только после шести хорд √ 3 : поворот на 720° дважды вокруг 24-ячейки [cb] на косой гексаграмме с √ 3 ребрами. [ct] Несмотря на то, что все 24 вершины и все шестиугольники вращаются одновременно, изоклинический поворот на 360 градусов перемещает каждую вершину только на половину ее окружности. После поворота на 360 градусов каждая спираль отходит от 3 вершин и достигает четвертой вершины, смежной с исходной вершиной, но не возвращается точно в вершину, из которой она отходила. Каждая центральная плоскость (каждый шестиугольник или квадрат в 24-ячейке) повернулась на 360 градусов и была наклонена вбок на все 360 градусов обратно в свое первоначальное положение (как монета, подброшенная дважды), но ориентация 24-ячейки в 4-пространстве, в которое она встроена, теперь другая. [54] Поскольку 24-ячейка теперь вывернута наизнанку, если изоклиническое вращение продолжить в том же направлении еще на 360 градусов, 24 движущиеся вершины пройдут через другую половину вершин, которые были пропущены при первом вращении (12 антиподальных вершин из 12, которые были затронуты в первый раз), и каждая изоклиническая геодезическая вернется обратно в вершину, из которой она вышла, образуя замкнутую шестихордную спиральную петлю. Требуется изоклиническое вращение на 720 градусов для каждой геодезической гексаграммы2, чтобы завершить цикл через каждую вторую вершину из ее шести вершин путем намоткивокруг 24-ячейки дважды, возвращая 24-ячейку в ее первоначальную хиральную ориентацию. [dc]
Шестиугольный извилистый путь, который принимает каждая вершина, дважды обвиваясь вокруг 24-ячейки, образует двойную спираль, изогнутую в кольцо Мёбиуса , так что две нити двойной спирали образуют непрерывную одинарную нить в замкнутом контуре. [cw] В первом обороте вершина пересекает одну 3-хордовую нить двойной спирали; во втором обороте она пересекает вторую 3-хордовую нить, двигаясь в том же направлении вращения с той же ручностью (изгибая либо влево, либо вправо) на всем протяжении. Хотя это изоклинное кольцо Мёбиуса является замкнутой спиралью, а не двумерной окружностью, подобно большому кругу оно является геодезической линией, поскольку это кратчайший путь от вершины до вершины. [at]
Параллельные многогранники Клиффорда
Две плоскости также называются изоклинными, если изоклиническое вращение сведет их вместе. [aw] Изоклинные плоскости — это в точности те центральные плоскости с большими окружностями, параллельными Клиффорду. [56] Большие окружности, параллельные Клиффорду, не пересекаются, [af], поэтому у изоклинных многоугольников больших окружностей вершины не пересекаются. В 24-ячейке каждая шестиугольная центральная плоскость изоклинна трем другим, а каждая квадратная центральная плоскость изоклинна пяти другим. Мы можем выбрать 4 взаимно изоклинных (параллельных Клиффорду) больших шестиугольника (четырьмя разными способами), покрывающих все 24 вершины 24-ячейки всего один раз (шестиугольное расслоение). [ak] Мы можем выбрать 6 взаимно изоклинных (параллельных Клиффорду) больших квадратов [ck] (тремя разными способами), покрывающих все 24 вершины 24-ячейки всего один раз (квадратное расслоение). [aq] Каждое изоклиническое вращение, переводящее вершины в вершины, соответствует дискретному расслоению. [dg]
Двумерные многоугольники большого круга — не единственные многогранники в 24-ячейке, которые параллельны в смысле Клиффорда. [58] Конгруэнтные многогранники 2, 3 или 4 измерений можно назвать параллельными Клиффорду в 4 измерениях, если их соответствующие вершины находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Три 16-ячейки, вписанные в 24-ячейку, являются параллельными Клиффорду. Параллельные Клиффорду многогранники — это полностью непересекающиеся многогранники. [w] Изоклинный поворот на 60 градусов в гексагональных плоскостях переводит каждую 16-ячейку в непересекающуюся 16-ячейку. Как и все двойные повороты, изоклинные повороты бывают двух хиральных форм: слева от каждой 16-ячейки есть непересекающаяся 16-ячейка , а справа — другая . [y]
Все параллельные Клиффорду 4-мерные многогранники связаны изоклиническим вращением, [bz], но не все изоклинические многогранники являются параллельными Клиффорду (полностью непересекающимися). [dh] Три 8-ячейки в 24-ячейке являются изоклинными, но не параллельными Клиффорду. Как и 16-ячейки, они повернуты на 60 градусов изоклинно относительно друг друга, но их вершины не все непересекающиеся (и, следовательно, не все равноудалены). Каждая вершина встречается в двух из трех 8-ячеек (так как каждая 16-ячейка встречается в двух из трех 8-ячеек). [t]
Изоклинные вращения связывают выпуклые правильные 4-мерные многогранники друг с другом. Изоклинное вращение одной 16-ячейки создаст [di] 24-ячейку. Простое вращение одной 16-ячейки не создаст, потому что ее вершины не достигнут вершин ни одной из двух других 16-ячеек в ходе вращения. Изоклинное вращение 24-ячейки создаст 600-ячейку, а изоклинное вращение 600-ячейки создаст 120-ячейку. (Или они все могут быть созданы непосредственно изоклинным вращением 16-ячейки, создающим изоклинные копии самой себя.) Выпуклые правильные 4-мерные многогранники вложены друг в друга и прячутся рядом друг с другом в параллельных пространствах Клиффорда, которые составляют 3-сферу. [59] Для объекта с более чем одним измерением единственный способ напрямую достичь этих параллельных подпространств — это изоклиническое вращение. [dj]
Кольца
В 24-ячейке есть наборы колец шести различных видов, которые подробно описаны отдельно в других разделах этой статьи. В этом разделе описывается, как переплетаются различные виды колец.
24-ячейка содержит четыре вида геодезических волокон (многоугольных колец, проходящих через вершины): квадраты большого круга и их октаграммы изоклинной спирали , [aq] и шестиугольники большого круга и их гексаграммы изоклинной спирали. [ak] Она также содержит два вида колец ячеек (цепочки октаэдров, согнутых в кольцо в четвертом измерении): четыре октаэдра, соединенных вершиной к вершине и согнутых в квадрат, и шесть октаэдров, соединенных гранью к грани и согнутых в шестиугольник.
4-х ячеечные кольца
Четыре октаэдра с единичной длиной ребра могут быть соединены вершина к вершине вдоль общей оси длиной 4 √ 2 . Затем ось может быть согнута в квадрат с длиной ребра √ 2 . Хотя это возможно сделать в пространстве только трех измерений, в 24-ячейке это происходит не так. Хотя оси √ 2 четырех октаэдров занимают одну и ту же плоскость, образуя один из 18 √ 2 больших квадратов 24-ячейки, каждый октаэдр занимает отдельную 3-мерную гиперплоскость, [dk] , и используются все четыре измерения. 24-ячейка может быть разделена на 6 таких 4-ячеечных колец (три разных способа), взаимно связанных, как соседние звенья в цепи (но все эти звенья имеют общий центр). Изоклинный поворот в плоскости большого квадрата на угол, кратный 90°, переводит каждый октаэдр в кольце в октаэдр в кольце.
6-ячеечные кольца
Четырехмерное кольцо из 6 гранесоединенных октаэдров, ограниченное двумя пересекающимися наборами из трех параллельных больших шестиугольников Клиффорда разных цветов, вырезанное и разложенное на плоскости в трехмерном пространстве. [dl]
Шесть правильных октаэдров можно соединить лицом к лицу вдоль общей оси, которая проходит через их центры объема, образуя стопку или колонну только с треугольными гранями. В пространстве четырех измерений ось затем может быть согнута на 60° в четвертом измерении в каждом из шести центров октаэдра в плоскости, ортогональной всем трем ортогональным центральным плоскостям каждого октаэдра, так что верхняя и нижняя треугольные грани колонны станут совпадающими. Колонна становится кольцом вокруг шестиугольной оси. 24-ячейка может быть разделена на 4 таких кольца (четырьмя различными способами), взаимно взаимосвязанных. Поскольку шестиугольная ось соединяет центры ячеек (не вершины), это не большой шестиугольник 24-ячейки. [dn] Однако шесть больших шестиугольников можно найти в кольце из шести октаэдров, проходящих вдоль ребер октаэдров. В колонне из шести октаэдров (до того, как она согнута в кольцо) есть шесть спиральных путей вдоль ребер, идущих вверх по колонне: три параллельные спирали, закручивающиеся по часовой стрелке, и три параллельные спирали, закручивающиеся против часовой стрелки. Каждая спираль по часовой стрелке пересекает каждую спираль против часовой стрелки в двух вершинах, расположенных на расстоянии трех длин ребра друг от друга. Изгиб колонны в кольцо превращает эти спирали в шестиугольники большого круга. [dl] Кольцо имеет два набора из трех больших шестиугольников, каждый на трех больших окружностях, параллельных Клиффорду. [dp] Большие шестиугольники в каждом параллельном наборе из трех не пересекаются, но каждый пересекает другие три больших шестиугольника (которым он не является параллельным Клиффорду) в двух антиподных вершинах.
Простой поворот в любой из больших шестиугольных плоскостей на угол, кратный 60°, инвариантно поворачивает только этот шестиугольник, переводя каждую вершину в этом шестиугольнике в вершину в том же шестиугольнике. Изоклинный поворот на 60° в любой из шести больших шестиугольных плоскостей инвариантно поворачивает все три больших шестиугольника, параллельных Клиффорду, и переводит каждый октаэдр в кольце в несмежный октаэдр в кольце. [dr]
Каждый изоклинически смещенный октаэдр также поворачивается сам. После изоклинического вращения на 360° каждый октаэдр возвращается в то же положение, но в другой ориентации. При изоклиническом вращении на 720° его вершины возвращаются в исходную ориентацию .
Четыре Клиффордовых параллельных больших шестиугольника составляют дискретное расслоение волокон, покрывающее все 24 вершины в расслоении Хопфа . Четыре непересекающихся 6-ячеечных кольца составляют одно и то же дискретное расслоение. 24-ячеечный имеет четыре таких дискретных гексагональных расслоения, и каждое является доменом (контейнером) уникальной пары лево-правых изоклинических вращений (левых и правых расслоений волокон Хопфа). Каждый большой шестиугольник принадлежит только одному расслоению, [61], но каждое 6-ячеечное кольцо принадлежит трем расслоениям. 24-ячеечный содержит 16 больших шестиугольников, разделенных между четырьмя расслоениями, каждое из которых является набором из четырех 6-ячеечных колец, но 24-ячеечный имеет только четыре различных 6-ячеечных кольца. Каждое 6-клеточное кольцо содержит 3 больших шестиугольника в каждом из трех расслоений: только 3 из 4 параллельных шестиугольников Клиффорда каждого из трех расслоений и только 18 из 24 вершин. [dg]
Спиральные гексаграммы и их изоклины
Другой вид геодезического волокна, спиральные изоклины гексаграммы, можно найти в 6-ячеечном кольце октаэдров. Каждая из этих геодезических проходит через каждую вторую вершину косой гексаграммы 2 , которая в единичном радиусе, единичной длине ребра 24-ячейки имеет шесть √ 3 ребер. Гексаграмма не лежит в одной центральной плоскости, а состоит из шести связанных √ 3 хорд из шести различных больших окружностей шестиугольника в 6-ячеечном кольце. Изоклинное геодезическое волокно является путем изоклинного вращения, [на] спиральном, а не просто круговом пути вокруг 24-ячейки, который связывает вершины на расстоянии двух длин ребер и, следовательно, должен дважды обернуться вокруг 24-ячейки, прежде чем завершить свою петлю из шести вершин. [cl] Вместо плоского шестиугольника он образует перекошенную гексаграмму из двух трехсторонних 360-градусных полупетель: открытые треугольники, соединенные друг с другом встык в шестистороннюю петлю Мёбиуса. [cw]
Каждое 6-клеточное кольцо содержит шесть таких гексаграммных изоклин, три черных и три белых, которые соединяют четные и нечетные вершины соответственно. [do] Каждая из трех черно-белых пар изоклин принадлежит одному из трех расслоений, в которых встречается 6-клеточное кольцо. Правое (или левое) вращение каждого расслоения пересекает две черные изоклины и две белые изоклины параллельно, вращая все 24 вершины. [s]
Начиная с любой вершины на одном конце колонны из шести октаэдров, мы можем следовать изоклинному пути из √ 3 хорд изоклины от октаэдра до октаэдра. В 24-ячейке ребра √ 1 являются большими шестиугольными ребрами (и ребрами октаэдра); в колонне из шести октаэдров мы видим шесть больших шестиугольников, идущих вдоль ребер октаэдра. Хорды √ 3 являются большими шестиугольными диагоналями, соединяющими вершины больших шестиугольников на расстоянии двух √ 1 ребер друг от друга. Мы находим их в кольце из шести октаэдров, идущем от вершины в одном октаэдре к вершине в следующем октаэдре, проходя через грань, общую для двух октаэдров (но не касаясь ни одной из 3 вершин грани). Каждая хорда √ 3 является хордой всего лишь одного большого шестиугольника (ребра большого треугольника, вписанного в этот большой шестиугольник), но последовательные хорды √ 3 принадлежат разным большим шестиугольникам. [cu] В каждой вершине изоклинный путь хорд √ 3 изгибается на 60 градусов в двух центральных плоскостях [ds] сразу: на 60 градусов вокруг большого шестиугольника, которому принадлежит хорда перед вершиной, и на 60 градусов в плоскость другого большого шестиугольника целиком, которому принадлежит хорда после вершины. [dv] Таким образом, путь следует по одному большому шестиугольнику от каждого октаэдра к следующему, но переключается на другой из шести больших шестиугольников в следующем звене пути гексаграммы 2 . Если следовать вдоль колонны из шести октаэдров (и «вокруг конца», где колонна изогнута в кольцо), то на первый взгляд может показаться, что путь зигзагообразный между тремя соседними параллельными шестиугольными центральными плоскостями (как многоугольник Петри ), но это не так: любой изоклинный путь, который мы можем выделить, всегда зигзагообразен между двумя наборами из трех соседних параллельных шестиугольных центральных плоскостей, пересекая только каждую четную (или нечетную) вершину и никогда не меняя своей присущей четности/нечетности, поскольку он посещает все шесть больших шестиугольников в 6-клеточном кольце при вращении. [cg] Когда он проходит по одной хорде от каждого из шести больших шестиугольников, после 720 градусов изоклинного вращения (либо влево, либо вправо), он замыкает свою косую гексаграмму и начинает повторяться, снова вращаясь через черные (или белые) вершины и ячейки.
В каждой вершине есть четыре больших шестиугольника [dx] и четыре гексаграммных изоклины (все черные или все белые), которые пересекаются в вершине. [dy] Четыре гексаграммных изоклины (две черные и две белые) составляют уникальный (левый или правый) пучок волокон изоклин, покрывающий все 24 вершины в каждом отдельном (левом или правом) изоклинном вращении. Каждое расслоение имеет уникальный левый и правый изоклинный поворот и соответствующие уникальные левые и правые пучки волокон изоклин. [dz] В 24-ячейке есть 16 различных гексаграммных изоклин (8 черных и 8 белых). [ea] Каждая изоклина является перекошенным многоугольником Клиффорда без присущей хиральности, но действует как левая (или правая) изоклина при пересечении левым (или правым) вращением в различных расслоениях. [cl]
Спиральные октаграммы и их изоклины
24-ячейка содержит 18 спиральных изоклин октаграммы (9 черных и 9 белых). Три пары спиралей ребер октаграммы находятся в каждой из трех вписанных 16-ячеек, описанных в другом месте как спиральная конструкция 16-ячеек . Подводя итог, каждую 16-ячеечную ячейку можно разложить (тремя различными способами) на пару лево-право 8-ячеечных колец √ 2 -реберных тетраэдрических ячеек. Каждое 8-ячеечное кольцо закручивается либо влево, либо вправо вокруг осевой спирали октаграммы из восьми хорд. В каждой 16-ячейке имеется ровно 6 отдельных спиралей, идентичных октаграмм, каждая из которых проходит через все восемь вершин. Каждая действует либо как левая спираль, либо как правая спираль, либо как многоугольник Петри в каждом из шести отдельных изоклинических вращений (три левых и три правых) и не имеет присущей хиральности, за исключением отношения к конкретному вращению. Смежные вершины на изоклинах октаграммы находятся на расстоянии √ 2 = 90° друг от друга, поэтому окружность изоклины равна 4𝝅. Изоклинный поворот на 90° в больших квадратных инвариантных плоскостях переводит каждую вершину в ее антиподальную вершину, на четыре вершины дальше в каждом направлении вдоль изоклины и на расстоянии √ 4 = 180° по диаметру изоклины.
Каждое из 3 расслоений 18 больших квадратов 24-клеточной структуры соответствует отдельному левому (и правому) изоклиническому вращению в инвариантных плоскостях больших квадратов. Каждый шаг вращения в 60° приводит к 6 непересекающимся большим квадратам (по 2 из каждой 16-клеточной структуры) к большим квадратам в соседней 16-клеточной структуре на 8-хордовых винтовых изоклинах, характерных для 16-клеточной структуры . [eb]
В 24-ячейке эти 18 спиральных октаграммных изоклин можно найти в шести ортогональных 4-ячеечных кольцах октаэдров. Каждое 4-ячеечное кольцо имеет ячейки, связанные вершиной к вершине вокруг большой квадратной оси, и мы находим антиподные вершины в противоположных вершинах большого квадрата. Хорда √ 4 (диаметр большого квадрата и изоклины) соединяет их. Граничные ячейки описывают, как оси √ 2 октаэдрических ячеек 24-ячеек являются ребрами тетраэдрических ячеек 16-ячеек, каждый тетраэдр вписан в куб (тессеракт), а каждый октаэдр вписан в пару кубов (из разных тессерактов), соединяя их. [br] Вершинно связанные октаэдры 4-ячеечного кольца также лежат в разных тессерактах. [bh] Четыре хорды диаметра √ 4 изоклины образуют октаграмму 8{4}=4{2} с √ 4 ребрами, каждое из которых проходит от вершины одного куба, октаэдра и тетраэдра к вершине другого куба, октаэдра и тетраэдра (в другом тессеракте) прямо через центр 24-ячейки на одной из 12 √ 4 осей.
Октаэдры в 4-ячеечных кольцах вершинно связаны с более чем двумя другими октаэдрами, потому что три 4-ячеечных кольца (и их три осевых больших квадрата, которые принадлежат разным 16-ячейкам) пересекаются под углом 90° в каждой связующей вершине. В этой вершине октаграмма делает сразу два прямоугольных поворота: на 90° вокруг большого квадрата и на 90° ортогонально в другое 4-ячеечное кольцо целиком. 180° четырехгранная дуга, соединяющая два конца каждой хорды диаметра √ 4 октаграммы, проходит через объемы и противоположные вершины двух граненосвязанных √ 2 тетраэдров (в той же 16-ячейке), которые также являются противоположными вершинами двух вершинно связанных октаэдров в разных 4-ячеечных кольцах (и разных тессерактах). Изоклина октаграммы 720° проходит через 8 вершин четырехклеточного кольца и через объемы 16 тетраэдров. В каждой вершине есть три больших квадрата и шесть изоклин октаграммы (три черно-белые пары), которые пересекаются в вершине. [ck]
Это характерное вращение 16-ячеечной структуры, а не характерное вращение 24-ячеечной структуры, и оно не перемещает все 16 ячеек 24-ячеечной структуры друг относительно друга, как это происходит при вращении 24-ячеечной структуры в больших шестиугольных плоскостях. [ec]
Характерная ортосхема
Каждый правильный 4-многогранник имеет свою характерную 4-ортосхему , неправильную 5-ячейку . [bl] Характерная 5-ячейка правильного 24-ячейника представлена диаграммой Коксетера-Дынкина, который можно прочитать как список двугранных углов между его зеркальными гранями. [ee] Это неправильная тетраэдрическая пирамида , основанная на характерном тетраэдре правильного октаэдра . Правильная 24-ячейка подразделяется своими гиперплоскостями симметрии на 1152 экземпляра ее характерной 5-ячейки, которые все встречаются в ее центре. [71]
Характеристическая 5-ячейка (4-ортосхема) имеет на четыре ребра больше, чем ее базовый характеристический тетраэдр (3-ортосхема), соединяя четыре вершины основания с его вершиной (пятая вершина 4-ортосхемы, в центре правильной 24-ячейки). [ef] Если правильная 24-ячейка имеет радиус и длину ребра 𝒍 = 1, десять ребер ее характеристической 5-ячейки имеют длины , , вокруг ее внешней прямоугольной треугольной грани (ребра, противоположные характеристическим углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), [ed] плюс , , (остальные три ребра внешней 3-ортосхемы грани характеристического тетраэдра, которые являются характеристическими радиусами октаэдра), плюс , , , (ребра, которые являются характеристическими радиусами 24-ячейки). Путь из 4 ребер вдоль ортогональных ребер ортосхемы выглядит следующим образом : сначала от вершины из 24 ячеек к центру ребра из 24 ячеек, затем поворот на 90° к центру грани из 24 ячеек, затем поворот на 90° к центру октаэдрической ячейки из 24 ячеек, затем поворот на 90° к центру октаэдрической ячейки из 24 ячеек, затем поворот на 90° к центру 24 ячеек.
Размышления
24-ячейка может быть построена путем отражений ее характерной 5-ячейки в ее собственных гранях (ее тетраэдрических зеркальных стенках). [например] Отражения и вращения связаны: отражение в четном числе пересекающихся зеркал является вращением. [72] Следовательно, правильные многогранники могут быть получены путем отражений или вращений. Например, любой 720° изоклинный поворот 24-ячейки в гексагональной инвариантной плоскости переносит каждую из 24 вершин в 5 других вершин и через них и обратно в себя, на перекошенной гексаграмме2 геодезической изоклине, которая дважды обвивает 3-сферу в каждой второй вершине гексаграммы. Любой набор из четырех ортогональных пар антиподальных вершин (8 вершин одной из трех вписанных 16-ячеек), совершающий половину такой орбиты, посещает 3 * 8 = 24 различных вершин и генерирует 24-ячейку последовательно за 3 шага одного изоклинного вращения на 360°, точно так же, как любая отдельная характерная 5-ячейка, отражающаяся в своих собственных зеркальных стенках, генерирует 24 вершины одновременно путем отражения.
Отслеживание орбиты одной такой 16-ячеечной вершины во время изоклинного вращения на 360° раскрывает больше о связи между отражениями и вращениями как генеративными операциями. [eh] Вершина следует изоклине (двоякоизогнутой геодезической окружности), а не любой из одинарноизогнутых геодезических окружностей, которые являются сегментами большого круга на каждой √ 3 хорде вращения. [cu] Изоклина соединяет вершины, находящиеся на расстоянии двух длин ребер, но изгибается в сторону от пути большого круга по двум ребрам, соединяющим эти вершины, пропуская вершину между ними. [cp] Хотя изоклина не следует ни одной большой окружности, она содержится в кольце другого типа: в 24-ячеечной она остается в 6-ячеечном кольце сферических [74] октаэдрических ячеек, пересекая одну вершину в каждой ячейке и проходя через объем двух соседних ячеек вблизи пропущенной вершины.
Операции хиральной симметрии
Операция симметрии — это поворот или отражение, которое оставляет объект в той же ориентации, неотличимым от себя до преобразования. 24-ячейка имеет 1152 различных операций симметрии (576 поворотов и 576 отражений). Каждое вращение эквивалентно двум отражениям в отдельной паре непараллельных зеркальных плоскостей. [eh]
На рисунке изображены наборы непересекающихся многоугольников большого круга, каждый из которых находится в отдельной центральной плоскости 24-ячейки. Например, {24/4}=4{6} — это ортогональная проекция 24-ячейки, изображающая 4 из ее [16] больших шестиугольных плоскостей. [r] 4 плоскости лежат параллельно Клиффорду плоскости проекции и друг другу, а их большие многоугольники в совокупности составляют дискретное расслоение Хопфа из 4 непересекающихся больших кругов, которые посещают все 24 вершины только один раз.
Каждая строка таблицы описывает класс различных вращений. Каждый класс вращений переводит изображенные левые плоскости в соответствующие изображенные правые плоскости . [ei] Вершины движущихся плоскостей движутся параллельно по изображенным полигональным изоклинным траекториям. Например, класс вращений состоит из [32] различных вращательных смещений на дуговое расстояние 2𝝅/3 = 120° между 16 большими шестиугольными плоскостями, представленными группой кватернионов , и соответствующим набором из 16 больших шестиугольных плоскостей, представленных группой кватернионов . [ek] Один из [32] различных поворотов этого класса перемещает репрезентативную вершинную координату в вершинную координату . [el]
В классе вращения каждая группа кватернионов может быть представителем не только своего собственного расслоения параллельных плоскостей Клиффорда [ek], но и других конгруэнтных расслоений. [r] Например, класс вращения переводит 4 шестиугольные плоскости в 4 шестиугольные плоскости, которые находятся на расстоянии 120°, в изоклиническом вращении. Но в жестком вращении такого рода [em] все [16] шестиугольных плоскостей движутся в конгруэнтных вращательных смещениях, поэтому этот класс вращения также включает , и . Название является общепринятым представлением для всех [16] конгруэнтных смещений плоскостей.
Эти классы вращений являются подклассами, которые имеют [32] различные вращательные смещения, а не [16], поскольку существует два хиральных способа выполнения любого класса вращений, обозначенных его левыми вращениями и его правыми вращениями . [16] Левые смещения этого класса не совпадают с [16] правыми смещениями, но энантиоморфны, как пара ботинок. [fu] Каждое левое (или правое) изоклиническое вращение переводит [16] левые плоскости в [16] правые плоскости, но левая и правая плоскости по-разному соответствуют левым и правым вращениям. Левые и правые вращательные смещения одной и той же левой плоскости переводят ее в разные правые плоскости.
Каждый класс вращения (строка таблицы) описывает отдельное левое (и правое) изоклиническое вращение. Левые (или правые) вращения одновременно переносят левые плоскости в правые плоскости, [cd] через характерный угол вращения. [aw] Например, вращение перемещает все [16] шестиугольных плоскостей одновременно на 2𝝅/3 = 120° каждая. Повторенное 6 раз, это левое (или правое) изоклинное вращение перемещает каждую плоскость на 720° и обратно к себе в той же ориентации , проходя через все 4 плоскости левого набора и все 4 плоскости правого набора по одному разу каждое. [ej] Изображение в столбце изоклин представляет это объединение левых и правых наборов плоскостей. В примере это можно увидеть как набор из 4 параллельных перекошенных гексаграмм Клиффорда , каждая из которых имеет одно ребро в каждой большой шестиугольной плоскости и перекошена влево (или вправо) в каждой вершине на протяжении левого (или правого) изоклинного вращения. [cf]
24-ячейка ограничена 24 октаэдрическими ячейками . Для наглядности удобно, что октаэдр имеет противостоящие параллельные грани (черта, которую он разделяет с ячейками тессеракта и 120 -ячейки ). Октаэдры можно сложить лицом к лицу по прямой линии, изогнутой в 4-м направлении в большой круг с окружностью 6 ячеек. [76] [77] Расположение ячеек поддается гиперсферическому описанию. Выберите произвольную ячейку и назовите ее « Северным полюсом ». Восемь меридианов большого круга (длиной в две ячейки) расходятся в 3 измерениях, сходясь в 3-й ячейке « Южного полюса ». Этот скелет составляет 18 из 24 ячеек (2 + 8 × 2 ). См. таблицу ниже.
В 24-ячейке есть еще один связанный большой круг, двойственный тому, что выше. Путь, который проходит через 6 вершин исключительно по ребрам, находится в двойственном многограннике, который является им самим, поскольку он самодвойственен. Это шестиугольные геодезические, описанные выше. [ak] Можно легко проследить этот путь в визуализации сечения экваториального кубооктаэдра .
Начиная с Северного полюса, мы можем построить 24-ячейку в 5 широтных слоях. За исключением полюсов, каждый слой представляет собой отдельную 2-сферу, при этом экватор является большой 2-сферой. [ap] Ячейки, помеченные в следующей таблице как экваториальные, являются интерстициальными по отношению к меридиональным ячейкам большого круга. Интерстициальные «экваториальные» ячейки касаются меридиональных ячеек своими гранями. Они касаются друг друга, а полюсных ячеек — своими вершинами. Это последнее подмножество из восьми немеридиональных и полюсных ячеек имеет то же относительное положение друг к другу, что и ячейки в тессеракте (8-ячейке), хотя они касаются своими вершинами, а не гранями.
Перспективная проекция с краем и центром, показывающая одно из четырех колец из 6 октаэдров вокруг экватора.
24-ячейка может быть разделена на непересекающиеся наборы из четырех таких 6-ячеечных колец большого круга, образуя дискретное расслоение Хопфа из четырех взаимосвязанных колец. [dg] Одно кольцо является «вертикальным», охватывая полюсные ячейки и четыре меридиональные ячейки. Остальные три кольца каждое охватывают две экваториальные ячейки и четыре меридиональные ячейки, две из северного полушария и две из южного. [78]
Обратите внимание, что этот путь большого круга шестиугольника подразумевает, что внутренний/двугранный угол между соседними ячейками составляет 180 - 360/6 = 120 градусов. Это предполагает, что вы можете сложить ровно три 24-ячейки в плоскости и сформировать 4-мерные соты из 24-ячеек, как описано ранее.
Можно также следовать по маршруту большого круга через противоположные вершины октаэдров, длиной в четыре ячейки. Это квадратные геодезические вдоль четырех √ 2 хорд, описанных выше. Этот путь соответствует диагональному обходу через квадраты в поперечном сечении кубооктаэдра. 24-ячейка является единственным правильным многогранником в более чем двух измерениях, где вы можете пересечь большой круг исключительно через противоположные вершины (и внутреннюю часть) каждой ячейки. Этот большой круг является самодвойственным. Этот путь был затронут выше в отношении набора из 8 немеридиональных (экваториальных) и полюсных ячеек.
24-ячеечное подмножество можно равномерно разделить на три 8-ячеечных подмножества, каждое из которых имеет организацию тессеракта. Каждое из этих подмножеств можно далее равномерно разделить на две взаимосвязанные большие круговые цепи длиной в четыре ячейки. В совокупности эти три подмножества теперь производят еще одно дискретное расслоение Хопфа из шести колец.
Параллельные проекции
Проекционные оболочки 24-ячеек. (Каждая ячейка нарисована с разными цветными гранями, перевернутые ячейки не нарисованы)
Вершинно -первая параллельная проекция 24-ячейки в трехмерное пространство имеет ромбическую додекаэдрическую оболочку . Двенадцать из 24 октаэдрических ячеек проецируются парами на шесть квадратных дипирамид, которые встречаются в центре ромбического додекаэдра. Оставшиеся 12 октаэдрических ячеек проецируются на 12 ромбических граней ромбического додекаэдра.
Параллельная проекция ячейки -первая 24-ячейки в 3-мерное пространство имеет кубооктаэдрическую оболочку. Две октаэдрические ячейки, ближайшая и дальняя от наблюдателя вдоль оси w , проецируются на октаэдр, вершины которого лежат в центре квадратных граней кубооктаэдра. Вокруг этого центрального октаэдра лежат проекции 16 других ячеек, имеющих 8 пар, каждая из которых проецируется на один из 8 объемов, лежащих между треугольной гранью центрального октаэдра и ближайшей треугольной гранью кубооктаэдра. Оставшиеся 6 ячеек проецируются на квадратные грани кубооктаэдра. Это соответствует разложению кубооктаэдра на правильный октаэдр и 8 неправильных, но равных октаэдров, каждый из которых имеет форму выпуклой оболочки куба с двумя удаленными противоположными вершинами.
Вершинно - перспективная проекция 24-ячеечной структуры в трехмерное пространство имеет тетракисгексаэдрическую оболочку. Расположение ячеек на этом изображении аналогично изображению при параллельной проекции.
Следующая последовательность изображений показывает структуру проекции перспективы cell-first 24-ячейки в 3 измерения. Точка обзора 4D расположена на расстоянии, равном пяти радиусам вершины-центра 24-ячейки.
Связанные многогранники
Три конструкции группы Коксетера
Существуют две формы с более низкой симметрией 24-ячеечной, полученные как выпрямленная 16-ячеечная , с симметрией B 4 или [3,3,4], нарисованной двухцветной с 8 и 16 октаэдрическими ячейками. Наконец, ее можно построить из симметрии D 4 или [3 1,1,1 ], и нарисованной трехцветной с 8 октаэдрами каждая.
Связанные сложные многоугольники
Правильный комплексный многоугольник 4 {3} 4 ,илисодержит 24 вершины 24-ячеек и 24 4-ребра, которые соответствуют центральным квадратам 24 из 48 октаэдрических ячеек. Его симметрия 4 [3] 4 , порядок 96. [79]
Правильный комплексный многогранник 3 {4} 3 ,или, в имеет действительное представление как 24-ячейка в 4-мерном пространстве. 3 {4} 3 имеет 24 вершины и 24 3-ребра. Его симметрия — 3 [4] 3 , порядок 72.
96 ребер 24-клетки можно разбить в золотом сечении , чтобы получить 96 вершин плосконосой 24-клетки . Это делается путем размещения векторов вдоль ребер 24-клетки таким образом, чтобы каждая двумерная грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разбить каждое ребро в золотом сечении вдоль направления его вектора. Аналогичная модификация октаэдра дает икосаэдр , или « плосконосый октаэдр ».
24-ячейка — это уникальный выпуклый самодвойственный правильный евклидов многогранник, который не является ни многоугольником , ни симплексом . Ослабление условия выпуклости допускает еще две фигуры: большой 120-ячейник и большой звездчатый 120-ячейник . С собой он может образовать соединение многогранников : соединение двух 24-ячейников.
Связанные однородные многогранники
24-элементную схему можно также получить как выпрямленную 16-элементную схему:
^ 24-ячейник — один из трех самодвойственных правильных евклидовых многогранников, которые не являются ни многоугольником , ни симплексом . Два других также являются 4-многогранниками, но не выпуклыми: большой звездчатый 120-ячейник и большой 120-ячейник . 24-ячейник почти уникален среди самодвойственных правильных выпуклых многогранников тем, что он и четные многоугольники — единственные такие многогранники, где грань не находится напротив ребра.
^ abcdefghij Длинный радиус (от центра до вершины) 24-ячейки равен длине ее ребра; таким образом, ее длинный диаметр (от вершины до противоположной вершины) равен 2 длинам ребра. Только несколько однородных многогранников обладают этим свойством, включая четырехмерную 24-ячейку и тессеракт , трехмерный кубооктаэдр и двумерный шестиугольник . (Кубоктаэдр является экваториальным сечением 24-ячейки, а шестиугольник является экваториальным сечением кубооктаэдра.) Радиально равносторонние многогранники — это те, которые могут быть построены с их длинными радиусами из равносторонних треугольников, которые встречаются в центре многогранника, каждый из которых вносит два радиуса и ребро.
^ ab Выпуклые правильные многогранники в первых четырех измерениях с 5 в символе Шлефли — это пентагон {5} , икосаэдр {3, 5}, додекаэдр {5, 3}, 600-ячейковый {3,3,5} и 120-ячейковый {5,3,3}. 5-ячейковый {3, 3, 3} также является пентагональным в том смысле, что его многоугольник Петри является пентагоном.
^ Выпуклые правильные 4-мерные многогранники можно упорядочить по размеру как меру 4-мерного содержимого (гиперобъема) для того же радиуса. Это их собственный порядок перечисления, порядок, в котором они вложены друг в друга как соединения. [7] Каждый больший многогранник в последовательности более круглый, чем его предшественник, заключая больше содержимого [8] в пределах того же радиуса. 4-симплекс (5-ячейка) является предельным наименьшим случаем, а 120-ячейка — наибольшим. Сложность (измеренная путем сравнения матриц конфигурации или просто числа вершин) следует тому же порядку. Это обеспечивает альтернативную числовую схему именования для правильных многогранников, в которой 24-ячейка является 24-точечным 4-многогранником: четвертым в восходящей последовательности, которая идет от 5-точечного 4-многогранника до 600-точечного 4-многогранника.
^ Длина ребра всегда будет разной, если только предшественник и последующий не являются радиально равносторонними, т. е. длина их ребра совпадает с их радиусом (поэтому оба сохраняются). Поскольку радиально равносторонние многогранники [b] редки, кажется, что единственная такая конструкция (в любом измерении) — это построение из 8-ячейки в 24-ячейку, что делает 24-ячейку уникальным правильным многогранником (в любом измерении), который имеет ту же длину ребра, что и его предшественник того же радиуса.
^ Края шести квадратов выровнены с линиями сетки системы координат радиуса √ 2. Например: ( 0, −1, 1, 0) ( 0, 1, 1, 0) ( 0, −1, −1, 0) ( 0, 1, −1, 0) — квадрат в плоскости xy . Края квадратов не являются ребрами 24-ячеек, они являются внутренними хордами, соединяющими две вершины, отстоящие друг от друга на 90 o ; поэтому квадраты являются просто невидимыми конфигурациями четырех вершин 24-ячеек, а не видимыми 24-ячеечными элементами.
^ До 6 плоскостей могут быть взаимно ортогональны в 4 измерениях. 3-мерное пространство вмещает только 3 перпендикулярные оси и 3 перпендикулярные плоскости через одну точку. В 4-мерном пространстве у нас может быть 4 перпендикулярные оси и 6 перпендикулярных плоскостей через точку (по той же причине, по которой у тетраэдра 6 ребер, а не 4): есть 6 способов взять 4 измерения по 2 за раз. Три такие перпендикулярные плоскости (пары осей) встречаются в каждой вершине 24-ячейки (по той же причине, по которой три ребра встречаются в каждой вершине тетраэдра). Каждая из 6 плоскостей полностью ортогональна только одной из других плоскостей: единственной, с которой она не имеет общей прямой (по той же причине, по которой каждое ребро тетраэдра ортогонально только одному из других ребер: единственному, с которым она не имеет общей точки). Две полностью ортогональные плоскости перпендикулярны и противоположны друг другу, как два ребра тетраэдра перпендикулярны и противоположны.
^ ab Чтобы визуализировать, как две плоскости могут пересекаться в одной точке в четырехмерном пространстве, рассмотрим евклидово пространство (w, x, y, z) и представим, что измерение w представляет собой время, а не пространственное измерение. Центральная плоскость xy (где w=0, z=0) не имеет общей оси с центральной плоскостью wz (где x=0, y=0). Плоскость xy существует только в один момент времени (w=0); плоскость wz (и в частности ось w) существует все время. Таким образом, их единственный момент и место пересечения находятся в начальной точке (0,0,0,0).
^ abcde Две плоскости в 4-мерном пространстве могут иметь четыре возможных взаимных положения: (1) они могут совпадать (быть в точности одной и той же плоскостью); (2) они могут быть параллельны (единственный способ, при котором они вообще не могут пересечься); (3) они могут пересекаться по одной линии, как это делают две непараллельные плоскости в 3-мерном пространстве; или (4) они могут пересекаться в одной точке [h], если они полностью ортогональны .
^ abcde24-ячейка как соединение шести непересекающихся больших квадратов {24/6}=6{4}.В 24-клеточном графе (из [18] различных больших квадратов) имеется 3 набора из 6 непересекающихся больших квадратов, [fc], обозначенных , , и . Каждый именованный набор [fd] из 6 параллельных Клиффорду [af] квадратов содержит дискретное расслоение, покрывающее все 24 вершины.
^ abcd В четырехмерной евклидовой геометрии кватернион — это просто декартова координата (w, x, y, z). Гамильтон не рассматривал их как таковые, когда открыл кватернионы . Шлефли был первым, кто рассмотрел четырехмерное евклидово пространство , опубликовав свое открытие регулярных полисхем в 1852 году, но Гамильтон никогда не находился под влиянием этой работы, которая оставалась неизвестной до 20 века. Гамильтон нашел кватернионы, когда понял, что четвертое измерение, в некотором смысле, будет необходимо для моделирования вращений в трехмерном пространстве. [37] Хотя он описывал кватернион как упорядоченное четырехэлементное кратное действительных чисел , кватернионы были для него расширением комплексных чисел, а не евклидовым пространством четырех измерений.
^ Края ортогональных больших квадратов не выровнены с линиями сетки системы координат единичного радиуса . Шесть квадратов лежат в 6 ортогональных плоскостях этой системы координат, но их края являются √ 2 диагоналями квадратов длины единичного ребра координатной решетки. Например: ( 0, 0, 1, 0) ( 0, −1, 0, 0) ( 0, 1, 0, 0) ( 0, 0, −1, 0) — квадрат в плоскости xy . Обратите внимание, что 8 целочисленных координат составляют вершины 6 ортогональных квадратов.
^ abcdefgh При изоклиническом вращении каждая точка в любом месте 4-мерного многогранника перемещается на равное расстояние в четырех ортогональных направлениях одновременно по 4-мерной диагонали . Точка смещается на полное пифагорово расстояние, равное квадратному корню из четырех, умноженному на квадрат этого расстояния. Все вершины смещаются в вершину, находящуюся на расстоянии не менее двух длин ребра. [s] Например, когда 24-ячейка единичного радиуса изоклинно вращается на 60° в инвариантной плоскости шестиугольника и на 60° в своей полностью ортогональной инвариантной плоскости, [az] каждая вершина смещается в другую вершину на √ 3 (120°) в сторону, перемещаясь на √ 3/4 ≈ 0,866 (половина длины хорды √ 3 ) в четырех ортогональных направлениях. [ch]
^ abc Каждый большой шестиугольник 24-ячеечной системы содержит одну ось (одну пару антиподальных вершин), принадлежащую каждой из трех вписанных 16-ячеек. 24-ячейка содержит три непересекающихся вписанных 16-ячеечной системы, повернутых на 60° изоклинно [м] относительно друг друга (так что их соответствующие вершины находятся на расстоянии 120° = √ 3 друг от друга). 16-ячеечная система является ортонормальным базисом для 4-мерной системы координат, поскольку ее 8 вершин определяют четыре ортогональные оси. При любом выборе системы координат вершиной вверх (например, координат единичного радиуса, используемых в этой статье), одна из трех вписанных 16-ячеек является базисом для системы координат, и каждый шестиугольник имеет только одну ось, которая является осью системы координат.
^ abcde Шестиугольники наклонены (наклонены) на 60 градусов относительно ортогональных плоскостей системы координат единичного радиуса. Каждая шестиугольная плоскость содержит только одну из 4 осей системы координат. [n] Шестиугольник состоит из 3 пар противоположных вершин (три 24-клеточных диаметра): одна противоположная пара вершин с целыми координатами (одна из четырех осей координат) и две противоположные пары вершин с полуцелыми координатами (не оси координат). Например: ( 0, 0, 1, 0) ( 1/2 , − 1/2 , 1/2 , − 1/2 )( 1/2 , 1/2 , 1/2 , 1/2 ) (− 1/2 , − 1/2 , − 1/2 , − 1/2 )(− 1/2 , 1/2 , − 1/2 , 1/2 ) (0,0, −1,0) — шестиугольник на оси Y. В отличие от квадратов √ 2 , шестиугольники на самом деле состоят из 24-ячеечных ребер, поэтому они являются видимыми особенностями 24-ячеечной структуры.
^ abc Восемь √ 1 ребер сходятся в искривленном 3-мерном пространстве из углов кубической вершинной фигуры 24-ячейки [ai] и встречаются в ее центре (вершине), где они образуют 4 прямые линии, которые там пересекаются. 8 вершин куба являются восемью ближайшими другими вершинами 24-ячейки. Прямые линии являются геодезическими: два √ 1 -длинных сегмента явно прямой линии (в 3-пространстве искривленной поверхности 24-ячейки), которая изогнута в 4-м измерении в большой круговой шестиугольник (в 4-пространстве). Представляемые изнутри этого искривленного 3-пространства, изгибы в шестиугольниках невидимы. Снаружи (если бы мы могли видеть 24-ячейку в 4-пространстве) прямые линии были бы видны изогнутыми в 4-м измерении в центрах куба, потому что центр смещен наружу в 4-м измерении, из гиперплоскости, определяемой вершинами куба. Таким образом, вершинный куб на самом деле является кубической пирамидой . В отличие от куба, он кажется радиально равносторонним (как тессеракт и сама 24-ячейка): его «радиус» равен длине его ребра. [aj]
^ abcd Нетрудно представить себе четыре шестиугольные плоскости, пересекающиеся под углом 60 градусов друг к другу, даже в трех измерениях. Четыре шестиугольные центральные плоскости пересекаются под углом 60 градусов в кубооктаэдре . Четыре из 16 шестиугольных центральных плоскостей 24-ячейки (лежащих в одной и той же трехмерной гиперплоскости) пересекаются в каждой из вершин 24-ячейки точно так же, как они пересекаются в центре кубооктаэдра. Но ребра вокруг вершины не пересекаются, как радиусы в центре кубооктаэдра; у 24-ячейки 8 ребер вокруг каждой вершины, а не 12, поэтому ее вершинной фигурой является куб, а не кубооктаэдр. 8 ребер пересекаются точно так же, как 8 ребер пересекаются в вершине канонической кубической пирамиды . [p]
^ abcdefghijkl24-ячейка как соединение четырех непересекающихся больших шестиугольников {24/4}=4{6}.В 24-ячейке (из [16] различных больших шестиугольников) имеется 4 набора из 4 непересекающихся больших шестиугольников, обозначенных , , и . [ej] Каждый именованный набор из 4 параллельных Клиффорду [af] шестиугольников содержит дискретное расслоение, покрывающее все 24 вершины.
^ abcdefghij При изоклиническом вращении вершины движутся по диагонали, как слоны в шахматах . Вершины при изоклиническом вращении не могут достичь своих ортогонально ближайших соседних вершин [ab] путем двойного вращения непосредственно к ним (а также ортогонально к этому направлению), потому что это двойное вращение переносит их по диагонали между их ближайшими вершинами, минуя их, в вершину, расположенную дальше в окружающей оболочке вершин большего радиуса, [ad] так же, как слоны ограничены белыми или черными полями шахматной доски и не могут достичь полей противоположного цвета, даже тех, которые находятся непосредственно рядом. [co] Предметы, движущиеся по диагонали, перемещаются дальше, чем на 1 единицу расстояния за каждый шаг движения ( √ 2 на шахматной доске, √ 3 в 24-клеточной клетке), но ценой пропуска половины пунктов назначения. [cb] Однако при изоклиническом вращении твердого тела все вершины вращаются одновременно, поэтому каждая точка назначения будет достигнута некоторой вершиной. Более того, существует еще одно изоклиническое вращение в инвариантных плоскостях шестиугольника, которое перемещает каждую вершину в соседнюю (ближайшую) вершину. 24-ячейка может сместить каждую вершину в вершину, отстоящую на 60° (ближайшую вершину), вращаясь изоклинно на 30° в двух полностью ортогональных инвариантных плоскостях (одна из которых — шестиугольник), не путем двойного вращения непосредственно к ближайшей вершине (и также ортогонально к этому направлению), а вместо этого путем двойного вращения непосредственно к более удаленной вершине (и также ортогонально к этому направлению). Это спиральное 30° изоклиническое вращение перемещает вершину на 60° в ее ближайшую соседнюю вершину по другому пути , чем простой поворот на 60°. Путь вдоль винтовой изоклины и путь вдоль простого большого круга имеют одинаковую длину дуги 60°, но они состоят из непересекающихся множеств точек (за исключением их конечных точек, двух вершин). Они оба являются геодезическими (кратчайшими) дугами, но на двух альтернативных видах геодезических кругов. Один из них дважды изогнут (через все четыре измерения), а другой просто изогнут (лежит в двумерной плоскости).
^ abcdefghijk 24-ячейка содержит 3 различных 8-ячейки (тессеракта), повернутые на 60° изоклинно относительно друг друга. Соответствующие вершины двух 8-ячеек находятся на расстоянии √ 3 (120°) друг от друга. Каждая 8-ячейка содержит 8 кубических ячеек, а каждый куб содержит четыре √ 3 хорды (его длинные диаметры). 8-ячейки не полностью не пересекаются (они имеют общие вершины), [w] но каждая √ 3 хорда встречается как длинный диаметр куба только в одной 8-ячейке. √ 3 хорды, соединяющие соответствующие вершины двух 8-ячеек, принадлежат третьей 8-ячейке как диаметры куба. [ad]
^ ab Эти треугольники с ребрами длиной √ 3 являются диагоналями [s] кубических ячеек с единичной длиной ребра, находящихся внутри 24-ячеечного многогранника, но эти кубические (тессерактные) [t] ячейки не являются ячейками координатной решетки единичного радиуса.
^ ab Эти треугольники лежат в тех же плоскостях, содержащих шестиугольники; [o] два треугольника с длиной ребра √ 3 вписаны в каждый шестиугольник. Например, в координатах единичного радиуса: ( 0, 0, 1, 0) ( 1/2 , − 1/2 , 1/2 , − 1/2 )( 1/2 , 1/2 , 1/2 , 1/2 ) (− 1/2 , − 1/2 , − 1/2 , − 1/2 )(− 1/2 , 1/2 , − 1/2 , 1/2 ) (0,0, −1,0) — два противостоящих центральных треугольника на оси y , причем каждый треугольник образован вершинами в чередующихся рядах. В отличие от шестиугольников, треугольники √ 3 не состоят из реальных 24-клеточных ребер, поэтому они являются невидимыми элементами 24-клеточной структуры, как и квадраты √ 2 .
^ abcdef Многогранники полностью непересекающиеся , если все их наборы элементов непересекающиеся: они не имеют общих вершин, ребер, граней или ячеек. Они могут по-прежнему перекрываться в пространстве, разделяя 4-контент, объем, площадь или происхождение.
^ abcde В 4-мерном пространстве мы можем построить 4 перпендикулярные оси и 6 перпендикулярных плоскостей, проходящих через точку. Без потери общности мы можем считать их осями и ортогональными центральными плоскостями декартовой системы координат (w, x, y, z). В 4 измерениях мы имеем те же 3 ортогональные плоскости (xy, xz, yz), что и в 3 измерениях, а также 3 другие (wx, wy, wz). Каждая из 6 ортогональных плоскостей имеет общую ось с 4 другими и полностью ортогональна только одной из других: единственной, с которой она не имеет общей оси. Таким образом, существует 3 пары полностью ортогональных плоскостей: xy и wz пересекаются только в начале координат; xz и wy пересекаются только в начале координат; yz и wx пересекаются только в начале координат.
^ abc Визуализируйте три 16-ячейки, вписанные в 24-ячейку (левую, правую и среднюю), и поворот, который переводит их друг в друга. Вершины средней 16-ячейки лежат на осях координат (w, x, y, z); [x] две другие повернуты на 60° изоклинно влево и вправо. 24-вершинная 24-ячейка представляет собой соединение трех 16-ячеек, три набора из 8 вершин которых распределены вокруг 24-ячейки симметрично; каждая вершина окружена 8 другими (в 3-мерном пространстве поверхности 4-мерной 24-ячейки ) , как вершины куба окружают его центр. [p] 8 окружающих вершин (углов куба) лежат в других 16-ячейках: 4 в другой 16-ячейке слева и 4 в другой 16-ячейке справа. Они являются вершинами двух тетраэдров, вписанных в куб, один из которых принадлежит (как ячейка) каждой 16-ячейке. Если ребра 16-ячеек равны √ 2 , каждая вершина соединения трех 16-ячеек находится на расстоянии √ 1 от своих 8 окружающих вершин в других 16-ячейках. Теперь представьте эти расстояния √ 1 как ребра 24-ячейки (продолжая представлять себе непересекающиеся 16-ячейки). Ребра √ 1 образуют большие шестиугольники из 6 вершин, которые проходят вокруг 24-ячейки в центральной плоскости. Четыре шестиугольника пересекаются в каждой вершине (и ее антиподальной вершине), наклоненные под углом 60° друг к другу. [q] Шестиугольники не перпендикулярны друг другу или перпендикулярным квадратным центральным плоскостям 16-ячеек. [o] Левая и правая 16-ячейки образуют тессеракт. [z] Две 16-ячейки имеют пары вершин, которые находятся на расстоянии одного √ 1 ребра (одного ребра шестиугольника) друг от друга. Но простой поворот на 60° не перенесет одну целую 16-ячейку в другую 16-ячейку, потому что их вершины находятся на расстоянии 60° друг от друга в разных направлениях, а простой поворот имеет только одну шестиугольную плоскость вращения. Один 16-ячейковый можно перевести в другой 16-ячейковый с помощью 60° изоклинического поворота, потому что изоклинический поворот симметричен относительно 3 сфер : четыре параллельные шестиугольные плоскости Клиффорда вращаются вместе, но в четырех различных направлениях вращения, [bz] переводя каждый 16-ячейковый в другой 16-ячейковый. Но поскольку изоклинический поворот на 60° является диагональным поворотом на 60° по двум ортогональным большим окружностям одновременно, [в] соответствующие вершины 16-ячейки и 16-ячейки, в которую он переносится, находятся на расстоянии 120° друг от друга: два √ 1 ребра шестиугольника (или одна √ 3 хорда шестиугольника) друг от друга, а не один √ 1ребро (60°) друг от друга. [m] В силу хиральной диагональной природы изоклинических вращений 16-ячейка не может достичь соседней 16-ячейки (вершины которой находятся на расстоянии одного √ 1 ребра), вращаясь к ней; [s] она может достичь только 16-ячейки за ней (на расстоянии 120°). Но, конечно, 16-ячейка за 16-ячейкой справа от нее — это 16-ячейка слева от нее. Таким образом, изоклиническое вращение на 60° перенесет каждую 16-ячейку в другую 16-ячейку: правое изоклиническое вращение на 60° перенесет среднюю 16-ячейку в 16-ячейку, которую мы изначально визуализировали как левую 16-ячейку, а левое изоклиническое вращение на 60° перенесет среднюю 16-ячейку в 16-ячейку, которую мы визуализировали как правую 16-ячейку. (Если так, то это была наша ошибка в визуализации; 16-ячейка «слева» на самом деле является той, которая достигается левым изоклиническим вращением, поскольку это единственный смысл, в котором две 16-ячейки находятся слева или справа друг от друга.) [cf]
^ abcd Каждая пара из трех 16-ячеек, вписанных в 24-ячейку, образует 4-мерный гиперкуб (тессеракт или 8-ячейку) , по размерной аналогии с тем, как два тетраэдра образуют куб: две 8-вершинные 16-ячейки вписаны в 16-вершинный тессеракт, занимая его чередующиеся вершины. Третья 16-ячейка не лежит внутри тессеракта; ее 8 вершин выступают из сторон тессеракта, образуя кубическую пирамиду на каждой из кубических ячеек тессеракта (как в конструкции Госсета 24-ячейки). Три пары 16-ячеек образуют три тессеракта. [t] Тессеракты имеют общие вершины, но 16-ячейки полностью не пересекаются. [w]
^ ab 18 больших квадратов 24-ячейки встречаются как три набора из 6 ортогональных больших квадратов, [x] каждый из которых образует 16-ячейку . [y] Три 16-ячейки полностью не пересекаются (и параллельны Клиффорду): каждая имеет свои собственные 8 вершин (на 4 ортогональных осях) и свои собственные 24 ребра (длиной √ 2 ). 18 квадратных больших кругов пересекаются 16 шестиугольными большими кругами; каждый шестиугольник имеет одну ось (2 вершины) в каждой 16-ячейке. [o] Два больших треугольника, вписанных в каждый большой шестиугольник (занимающие его чередующиеся вершины и с ребрами, которые являются его √ 3 хордами), имеют одну вершину в каждой 16-ячейке. Таким образом, каждый большой треугольник является кольцом, связывающим три полностью непересекающихся 16-ячейки . Существует четыре различных способа (четыре различных расслоения 24-ячеечной модели), в которых 8 вершин 16-ячеечной модели соответствуют треугольникам с вершинами, отстоящими на √ 3 друг от друга: имеется 32 различных связующих треугольника. Каждая пара 16-ячеечной модели образует тессеракт (8-ячеечный). [z] Каждый большой треугольник имеет одно ребро √ 3 в каждом тессеракте, поэтому он также является кольцом, связывающим три тессеракта.
^ ab 8 ближайших соседних вершин окружают вершину (в искривленном 3-мерном пространстве граничной поверхности 24-ячейки) так же, как 8 углов куба окружают его центр. ( Вершинная фигура 24-ячейки — куб.)
^ Шесть вторых по близости вершин окружают вершину в искривленном трехмерном пространстве так же, как шесть углов октаэдра окружают его центр.
^ abcd Восемь √ 3 хорд сходятся из углов кубической вершинной фигуры 24-ячейки [ai] и встречаются в ее центре (вершине), где они образуют 4 прямые линии, которые там пересекаются. Каждая из восьми √ 3 хорд идет от центра этого куба к центру диагонально смежного (связанного вершинами) куба [s] , который является другой вершиной 24-ячейки: одна расположена на расстоянии 120° в третьей концентрической оболочке из восьми √ 3 -удаленных вершин, окружающей вторую оболочку из шести √ 2 -удаленных вершин, которая окружает первую оболочку из восьми √ 1 -удаленных вершин.
^ Таким образом, ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) являются длинами вершинных хорд тессеракта, а также 24-ячейника. Они также являются диаметрами тессеракта (от короткого к длинному), хотя и не 24-ячейника.
^ abcdefghijklmnopqДва больших параллельных круга Клиффорда на 3-сфере, охватываемой скрученным кольцом . Они имеют общую центральную точку в 4-мерном евклидовом пространстве и могут лежать в полностью ортогональных плоскостях вращения.Параллели Клиффорда — это непересекающиеся кривые линии, которые параллельны в том смысле, что перпендикулярное (кратчайшее) расстояние между ними одинаково в каждой точке. [15] Двойная спираль — пример параллелизма Клиффорда в обычном 3-мерном евклидовом пространстве. В 4-мерном пространстве параллели Клиффорда встречаются как геодезические большие окружности на 3-мерной сфере . [16] В то время как в 3-мерном пространстве любые две геодезические большие окружности на 2-мерной сфере всегда будут пересекаться в двух антиподных точках, в 4-мерном пространстве не все большие окружности пересекаются; на 3-мерной сфере можно найти различные наборы параллельных Клиффорду непересекающихся геодезических больших окружностей. Возможно, самым простым примером является то, что на 3-мерной сфере можно нарисовать шесть взаимно ортогональных больших окружностей как три пары полностью ортогональных больших окружностей. [x] Каждая полностью ортогональная пара является параллельной Клиффорда. Две окружности вообще не могут пересекаться, поскольку они лежат в плоскостях, которые пересекаются только в одной точке: центре 3-сферы. [ao] Поскольку они перпендикулярны и имеют общий центр, [ap] две окружности, очевидно, не параллельны и не разделены обычным образом параллельных окружностей в 3-х измерениях; скорее, они соединены как соседние звенья в цепи, каждое из которых проходит через другое, не пересекаясь ни в одной точке, образуя связь Хопфа .
^ Геодезическая большая окружность лежит в 2-мерной плоскости, которая проходит через центр многогранника. Обратите внимание, что в 4 измерениях эта центральная плоскость не делит многогранник на две равные части, как это было бы в 3 измерениях, точно так же, как диаметр (центральная линия) делит пополам окружность, но не делит пополам сферу. Другое отличие состоит в том, что в 4 измерениях не все пары больших окружностей пересекаются в двух точках, как в 3 измерениях; некоторые пары пересекаются, но некоторые пары больших окружностей являются непересекающимися параллелями Клиффорда. [af]
^ ab Если пифагорово расстояние между любыми двумя вершинами равно √ 1 , их геодезическое расстояние равно 1; они могут быть двумя соседними вершинами (в искривленном 3-пространстве поверхности) или вершиной и центром (в 4-пространстве). Если их пифагорово расстояние равно √ 2 , их геодезическое расстояние равно 2 (будь то через 3-пространство или 4-пространство, потому что путь по краям — это та же прямая линия с одним изгибом на 90 o , что и путь через центр). Если их пифагорово расстояние равно √ 3 , их геодезическое расстояние по-прежнему равно 2 (будь то на шестиугольном большом круге после одного изгиба на 60 o , или как прямая линия с одним изгибом на 60 o , проходящая через центр). Наконец, если их пифагорово расстояние равно √ 4 , их геодезическое расстояние по-прежнему равно 2 в 4-мерном пространстве (прямо через центр), но достигает 3 в 3-мерном пространстве (проходя половину большого шестиугольного круга).
^ abcde Вершинная фигура — это грань, которая получается путем усечения вершины; канонически, по середине ребер, инцидентных вершине. Но можно сделать похожие вершинные фигуры с разными радиусами, усекая в любой точке вдоль этих ребер, вплоть до усечения в соседних вершинах, чтобы получить полноразмерную вершинную фигуру. Стиллвелл определяет вершинную фигуру как «выпуклую оболочку соседних вершин данной вершины». [14] Это то, что служит здесь иллюстративной цели.
^ Куб не является радиально равносторонним в евклидовом 3-пространстве , но кубическая пирамида является радиально равносторонней в искривленном 3-пространстве поверхности 24-клетки, 3-сферы . В 4-пространстве 8 ребер, исходящих из ее вершины, на самом деле не являются ее радиусами: вершина кубической пирамиды на самом деле не является ее центром, а лишь одной из ее вершин. Но в искривленном 3-пространстве ребра, исходящие симметрично из вершины, являются радиусами, поэтому куб является радиально равносторонним в этом искривленном 3-пространстве . В евклидовом 4-пространстве 24 ребра, исходящие симметрично из центральной точки, образуют радиально равностороннюю 24-клеточную поверхность, [b] , а симметричное подмножество из 16 этих ребер образует радиально равносторонний тессеракт .
^ abcdefg 24-ячейка имеет четыре набора из 4 непересекающихся параллельных Клиффорду [af] больших окружностей, каждая из которых проходит через 6 вершин (большой шестиугольник), причем только один большой шестиугольник в каждом наборе проходит через каждую вершину, и 4 шестиугольника в каждом наборе достигают всех 24 вершин. [r] Каждый набор представляет собой дискретное расслоение Хопфа из взаимосвязанных больших окружностей. 24-ячейка также может быть разделена (восемью различными способами) на 4 непересекающихся подмножества из 6 вершин (гексаграммы), которые не лежат в гексагональной центральной плоскости, каждая перекошенная гексаграмма образует изоклинную геодезическую или изоклину, которая является вращательной окружностью, пересекаемой этими 6 вершинами в одном конкретном левом или правом изоклиническом вращении. Каждый из этих наборов из четырех параллельных изоклин Клиффорда принадлежит одному из четырех дискретных расслоений Хопфа шестиугольных больших кругов. [df]
^ Шесть √ 2 хорд сходятся в 3-мерном пространстве из центров граней кубической вершинной фигуры 24-ячейки [ai] и встречаются в ее центре (вершине), где они образуют 3 прямые линии, которые пересекаются там перпендикулярно. 8 вершин куба являются восемью ближайшими другими вершинами 24-ячейки, и восемь √ 1 ребер сходятся оттуда, но давайте проигнорируем их сейчас, поскольку 7 прямых линий, пересекающихся в центре, сложно визуализировать все сразу. Каждая из шести хорд √ 2 проходит от центра этого куба (вершины) через центр грани к центру смежного (связанного гранью) куба, который является другой вершиной 24-ячейки: не ближайшей вершиной (в углах куба), а той, которая расположена на расстоянии 90° во второй концентрической оболочке из шести вершин, удаленных на √ 2 , которая окружает первую оболочку из восьми вершин, удаленных на √ 1 . Центр грани, через который проходит хорда √ 2 , является средней точкой хорды √ 2 , поэтому она лежит внутри 24-ячейки.
^ Можно разрезать 24-ячейку через 6 вершин (в любой шестиугольной плоскости большого круга) или через 4 вершины (в любой квадратной плоскости большого круга). Это можно увидеть в кубооктаэдре (центральной гиперплоскости 24-ячейки), где есть четыре шестиугольных больших круга (вдоль ребер) и шесть квадратных больших кругов (поперек квадратных граней по диагонали).
^ abcd В 16-ячейке 6 ортогональных больших квадратов образуют 3 пары полностью ортогональных больших кругов; каждая пара параллельна Клиффорду. В 24-ячейке 3 вписанных 16-ячейки повернуты на 60 градусов изоклинно [м] относительно друг друга; следовательно, их соответствующие вершины находятся на расстоянии 120 градусов друг от друга на шестиугольной большой окружности. Спаривание их вершин, которые находятся на расстоянии 90 градусов друг от друга, показывает соответствующие квадратные большие круги, которые параллельны Клиффорду. Каждый из 18 квадратных больших кругов параллелен Клиффорду не только одному другому квадратному большому кругу в той же 16-ячейке (полностью ортогональному), но также и двум квадратным большим кругам (которые полностью ортогональны друг другу) в каждой из двух других 16-ячеек. (Полностью ортогональные большие окружности являются параллельными Клиффорду, но не все параллели Клиффорда ортогональны. [ao] ) Изоклинный поворот на 60 градусов 24-ячеечной плоскости в гексагональных инвариантных плоскостях переводит каждую квадратную большую окружность в параллельную Клиффорду (но неортогональную) квадратную большую окружность в другой 16-ячеечной плоскости.
^ ab Каждая квадратная плоскость изоклинна (параллельна Клиффорду) пяти другим квадратным плоскостям, но полностью ортогональна только одной из них. [an] Каждая пара полностью ортогональных плоскостей имеет большие окружности, параллельные Клиффорду, но не все большие окружности, параллельные Клиффорду, ортогональны (например, ни одна из шестиугольных геодезических в 24-ячейке не является взаимно ортогональной).
^ abc В 4-пространстве два больших круга могут быть перпендикулярны и иметь общий центр , который является их единственной точкой пересечения , поскольку на 3-сфере имеется более одной большой 2-сферы . Аналогичная по размерности структура большого круга (большая 1-сфера) — это большая 2-сфера, [17], которая является обычной сферой, составляющей границу экватора , разделяющую 3-сферу на две равные половины, так же как большой круг делит 2-сферу. Хотя два больших параллельных круга Клиффорда [af] занимают одну и ту же 3-сферу, они лежат на разных больших 2-сферах. Большие 2-сферы — это параллельные Клиффорду 3-мерные объекты, смещенные относительно друг друга на фиксированное расстояние d в четвертом измерении. Их соответствующие точки (на их двух поверхностях) находятся на расстоянии d друг от друга. 2-сферы (под которыми мы подразумеваем их поверхности) вообще не пересекаются, хотя у них есть общая центральная точка в 4-пространстве. Смещение d между парой их соответствующих точек является хордой большого круга, пересекающего обе 2-сферы, поэтому d можно эквивалентно представить как линейное хордовое расстояние или как угловое расстояние.
^ abcd 24-ячейка имеет три набора из 6 непересекающихся параллельных больших окружностей Клиффорда, каждый из которых проходит через 4 вершины (большой квадрат), при этом только один большой квадрат в каждом наборе проходит через каждую вершину, и 6 квадратов в каждом наборе достигают всех 24 вершин. [j] Каждый набор представляет собой дискретное расслоение Хопфа из 6 взаимосвязанных больших квадратов, которое является просто соединением трех вписанных 16-ячейных дискретных расслоений Хопфа из 2 взаимосвязанных больших квадратов. 24-ячейку также можно разделить (шестью различными способами) на 3 непересекающихся подмножества по 8 вершин (октаграммы), которые не лежат в центральной плоскости квадрата, а составляют 16-ячейку и лежат на косой октаграмме3, образуя изоклинную геодезическую или изоклину, которая представляет собой вращательную окружность, пересекаемую этими 8 вершинами в одном конкретном левом или правом изоклинном вращении , когда они вращаются внутри 16-ячейки.
^ Сумма 1・96 + 2・72 + 3・96 + 4・12 равна 576.
^ Сумма квадратов длин всех различных хорд любого правильного выпуклого n-мерного многогранника единичного радиуса равна квадрату числа вершин. [18]
^ abcdefghijklm Точка при изоклинном вращении пересекает диагональную [m] прямую линию одной изоклинной геодезической , достигая своей цели напрямую, а не по изогнутой линии двух последовательных простых геодезических . [cc] Геодезическая — это кратчайший путь через пространство (интуитивно, нить, натянутая между двумя точками). Простые геодезические — это большие окружности, лежащие в центральной плоскости (единственный вид геодезических, которые встречаются в 3-пространстве на 2-сфере). Изоклинные геодезические отличаются: они не лежат в одной плоскости; они представляют собой 4-мерные спирали, а не простые 2-мерные окружности. [ca] Но они также не похожи на 3-мерную винтовую резьбу , потому что они образуют замкнутую петлю, как и любая окружность. [cw] Изоклинные геодезические — это 4-мерные большие окружности , и они такие же круговые, как и 2-мерные окружности: фактически, вдвое более круговые, потому что они изгибаются по двум ортогональным большим окружностям одновременно. [cx] Они являются истинными окружностями, [cb] и даже образуют расслоения, как обычные 2-мерные большие окружности. [ak] [aq] Эти изоклины — геодезические 1-мерные линии, вложенные в 4-мерное пространство. На 3-мерной сфере [cy] они всегда встречаются парами [da] как окружности Вилларсо на торе Клиффорда , геодезические пути, пройденные вершинами при изоклиническом вращении . Они представляют собой спирали, согнутые в петлю Мёбиуса в четвертом измерении, проходящие по диагональному извилистому маршруту вокруг 3-мерной сферы через несмежные вершины [s] косого многоугольника Клиффорда 4-мерного многогранника . [cl]
^ Каждая пара параллельных √ 1 ребер соединяет пару параллельных √ 3 хорд, образуя один из 48 прямоугольников (вписанных в 16 центральных шестиугольников), а каждая пара параллельных √ 2 хорд соединяет другую пару параллельных √ 2 хорд, образуя один из 18 центральных квадратов.
^ abcd Один из способов визуализации n -мерных гиперплоскостей - это n -пространств, которые могут быть определены n + 1 точками. Точка - это 0-пространство, которое определяется 1 точкой. Линия - это 1-пространство, которое определяется 2 точками, которые не совпадают. Плоскость - это 2-пространство, которое определяется 3 точками, которые не лежат на одной прямой (любой треугольник). В 4-пространстве 3-мерная гиперплоскость - это 3-пространство, которое определяется 4 точками, которые не лежат на одной прямой (любой тетраэдр). В 5-пространстве 4-мерная гиперплоскость - это 4-пространство, которое определяется 5 точками, которые не являются соклеточными (любая 5-ячейка). Эти симплексные фигуры делят гиперплоскость на две части (внутри и снаружи фигуры), но, кроме того, они делят окружающее пространство на две части (выше и ниже гиперплоскости). N точек ограничивают конечную симплексную фигуру (снаружи) и определяют бесконечную гиперплоскость (изнутри). [35] Эти два деления ортогональны, поэтому определяющий симплекс делит пространство на шесть областей: внутри симплекса и в гиперплоскости, внутри симплекса, но выше или ниже гиперплоскости, снаружи симплекса, но в гиперплоскости, и снаружи симплекса выше или ниже гиперплоскости.
^ abcdefgh Для фиксации относительного положения двух плоскостей в 4-мерном пространстве требуются два угла. [19] Поскольку все плоскости в одной гиперплоскости [av] находятся на расстоянии 0 градусов друг от друга в одном из двух углов, в 3-мерном пространстве требуется только один угол. Большие шестиугольники в разных гиперплоскостях находятся на расстоянии 60 градусов друг от друга в обоих углах. Большие квадраты в разных гиперплоскостях находятся на расстоянии 90 градусов друг от друга в обоих углах ( полностью ортогональны ) или на расстоянии 60 градусов друг от друга в обоих углах. [an] Плоскости, разделенные двумя равными углами, называются изоклинными . Плоскости, которые являются изоклинными, имеют параллельные Клиффорду большие окружности. [af] Большой квадрат и большой шестиугольник в разных гиперплоскостях могут быть изоклинными, но часто они разделены углом в 90 градусов и углом в 60 градусов.
^ Каждая пара параллельных многоугольников Клиффорда лежит в двух различных гиперплоскостях (кубооктаэдрах). 4 параллельных шестиугольника Клиффорда лежат в 4 различных кубооктаэдрах.
^ Два пересекающихся больших квадрата или больших шестиугольника имеют две общие противоположные вершины, но квадраты или шестиугольники на параллельных больших окружностях Клиффорда не имеют общих вершин. Два пересекающихся больших треугольника имеют только одну общую вершину, поскольку у них нет противоположных вершин.
^ abcd В 24-ячейке каждая плоскость большого квадрата полностью ортогональна другой плоскости большого квадрата, а каждая плоскость большого шестиугольника полностью ортогональна плоскости, пересекающей только две противоположные вершины: плоскости большого двуугольника .
^ abc Внутренние элементы не считаются элементами многогранника. Например, центр 24-ячейки является примечательным элементом (как и его длинные радиусы), но эти внутренние элементы не считаются элементами в его матрице конфигурации, которая учитывает только элементарные элементы (которые не являются внутренними по отношению ни к одному другому элементу, включая сам многогранник). Внутренние элементы не отображаются на большинстве диаграмм и иллюстраций в этой статье (они обычно невидимы). На иллюстрациях, показывающих внутренние элементы, мы всегда рисуем внутренние ребра пунктирными линиями, чтобы отличать их от элементарных ребер.
^ 600-ячейка больше 24-ячейки и содержит 24-ячейку в качестве внутреннего элемента. [20] Правильная 5-ячейка не встречается внутри ни одного выпуклого правильного 4-ячейного многогранника, за исключением 120-ячейки , [21] хотя каждый выпуклый 4-ячейный многогранник можно разложить на неправильные 5-ячейки.
^Построение ромбододекаэдра из куба.Эта анимация показывает построение ромбического додекаэдра из куба путем инвертирования пирамид куба, ориентированных от центра к граням. Построение Госсетом 24-ячеечного из тессеракта является 4-мерным аналогом этого процесса, инвертирующим пирамиды 8-ячеечного (тессеракта). [23]
^ Мы можем отрезать вершину от многоугольника 0-мерным режущим инструментом (например, кончиком ножа или головкой молнии), проведя его по 1-мерной линии, обнажив новое ребро. Мы можем отрезать вершину от многогранника 1-мерным режущим ребром (например, ножом), проведя его через 2-мерную плоскость грани, обнажив новую грань. Мы можем отрезать вершину от полихорона (4-многогранника) 2-мерной секущей плоскостью (например, снегоочистителем), проведя ее через 3-мерный объем ячейки, обнажив новую ячейку. Обратите внимание, что как и в пределах новой длины ребра многоугольника или новой площади грани многогранника, каждая точка в пределах нового объема ячейки теперь обнажается на поверхности полихорона.
^ Каждая плоскость грани ячейки пересекается с другими плоскостями грани своего типа, к которым она не полностью ортогональна или параллельна, на их характерном ребре хорды вершины. Смежные плоскости грани ячеек с ортогональными гранями (таких как кубы) пересекаются на ребре, поскольку они не полностью ортогональны. [i] Хотя их двугранный угол составляет 90 градусов в граничном 3-пространстве, они лежат в одной и той же гиперплоскости [av] (они совпадают, а не перпендикулярны в четвертом измерении); таким образом, они пересекаются по линии, как это делают непараллельные плоскости в любом 3-пространстве.
^ ab Единственные плоскости, проходящие ровно через 6 вершин 24-ячейки (не считая центральной вершины), — это 16 больших шестиугольных кругов . Плоскостей, проходящих ровно через 5 вершин, нет. Существует несколько видов плоскостей, проходящих ровно через 4 вершины: 18 √ 2 квадратных больших кругов, 72 √ 1 квадратных граней (тессеракт) и 144 √ 1 на √ 2 прямоугольника. Плоскости, проходящие ровно через 3 вершины, — это 96 √ 2 равносторонних треугольников (16-ячейки) и 96 √ 1 равносторонних треугольников (24-ячейки) . Существует бесконечное количество центральных плоскостей, проходящих ровно через две вершины ( двуугольники большого круга ); различают 16, поскольку каждая полностью ортогональна одной из 16 больших шестиугольных окружностей. Только многоугольники, состоящие из 24-ячеечных √ 1 ребер, видны в проекциях и вращающихся анимациях, иллюстрирующих эту статью; остальные содержат невидимые внутренние хорды. [ba]
^ Кубическая вершинная фигура 24-ячейки [ai] была усечена до тетраэдрической вершинной фигуры (см. рисунок Кеплера). Вершинный куб исчез, и теперь у вершинной фигуры осталось только 4 угла там, где раньше было 8. Четыре ребра тессеракта сходятся из вершин тетраэдра и встречаются в его центре, где они не пересекаются (поскольку тетраэдр не имеет противолежащих вершин).
^ abc Два тессеракта имеют только вершины, но не ребра, грани, кубы (с вписанными тетраэдрами) или октаэдры (центральные квадратные плоскости которых являются квадратными гранями кубов). Октаэдр, который касается другого октаэдра в вершине (но не в ребре или грани), касается октаэдра в другом тессеракте и пары смежных кубов в другом тессеракте, общую квадратную грань которых охватывает октаэдр, и тетраэдра, вписанного в каждый из этих кубов.
^ abcd Общее ядро 24-ячейки и вписанных в нее 8-ячеек и 16-ячеек — это вписанная в сферу 24-ячейка единичного радиуса с длиной ребра и радиусом 1/2. [27] Выпрямление любой из трех 16-ячеек показывает эту меньшую 24-ячейку, которая имеет 4-содержание всего 1/8 (1/16 от 24-ячейки единичного радиуса). Ее вершины лежат в центрах октаэдрических ячеек 24-ячейки, которые также являются центрами квадратных граней тессерактов, а также центрами ребер 16-ячеек. [28]
^ Кубическая вершинная фигура 24-ячейки [ai] была усечена до октаэдрической вершинной фигуры. Вершинный куб исчез, и теперь у вершинной фигуры осталось только 6 углов там, где раньше было 8. 6 √ 2 хорд, которые раньше сходились из центров граней куба, теперь сходятся из вершин октаэдра; но, как и прежде, они встречаются в центре, где перпендикулярно пересекаются 3 прямые линии. Вершины октаэдра расположены на расстоянии 90° снаружи исчезнувшего куба, в новых ближайших вершинах; до усечения это были вершины 24-ячейки во второй оболочке окружающих вершин.
^ abcd Каждая из 72 √ 2 хорд в 24-ячеечном кубе является диагональю грани в двух различных кубических ячейках (разных 8-ячеечных) и ребром четырех тетраэдрических ячеек (всего в одной 16-ячеечной).
^ ab Ортосхема — это хиральный неправильный симплекс с прямоугольными треугольными гранями, характерный для некоторого многогранника, если он точно заполнит этот многогранник своими отражениями в его собственных гранях ( зеркальными стенками ). Каждый правильный многогранник можно разбить радиально на экземпляры его характеристической ортосхемы, окружающей его центр. Характеристическая ортосхема имеет форму, описываемую той же диаграммой Коксетера-Дынкина , что и правильный многогранник без кольца образующих точек .
^ 24 вершины 24-ячейки, каждая из которых использована дважды, являются вершинами трех 16-вершинных тессерактов.
^ 24 вершины 24-ячейки, каждая из которых используется один раз, являются вершинами трех 8-вершинных 16-ячеек. [n]
^ Края 16-ячеек не показаны ни в одной из визуализаций в этой статье; если бы мы хотели показать внутренние края, их можно было бы нарисовать пунктирными линиями. Края вписанных тессерактов всегда видны, потому что они также являются краями 24-ячеек.
^ 4-мерное содержимое тессеракта с единичной длиной ребра равно 1 (по определению). Содержимое 24-ячейки с единичной длиной ребра равно 2, поэтому половина его содержимого находится внутри каждого тессеракта, а половина — между их оболочками. Каждая 16-ячейка (длина ребра √ 2 ) заключает в себе содержимое 2/3, оставляя 1/3 охватывающего тессеракта между их оболочками.
^ Между 24-ячеечной оболочкой и 8-ячеечной оболочкой мы имеем 8 кубических пирамид конструкции Госсета. Между 8-ячеечной оболочкой и 16-ячеечной оболочкой мы имеем 16 правильных тетраэдрических пирамид , вершины которых заполняют углы тессеракта.
^ abc Рассмотрим три перпендикулярных √ 2 длинных диаметра октаэдрической ячейки. [32] Каждый из них является ребром другой 16-ячейки. Два из них являются диагоналями грани квадратной грани между двумя кубами; каждый из них является √ 2 хордой, которая соединяет две вершины этих 8-ячейковых кубов через квадратную грань, соединяет две вершины двух 16-ячейковых тетраэдров (вписанных в кубы) и соединяет две противоположные вершины 24-ячейкового октаэдра (по диагонали через две из трех ортогональных квадратных центральных секций). [bk] Третий перпендикулярный длинный диаметр октаэдра делает то же самое (по симметрии); поэтому он также соединяет две вершины пары кубов через их общую квадратную грань: но это другая пара кубов, из одного из других тессерактов в 24-ячейке. [bh]
^ abc Поскольку в 24-ячейку вписаны три перекрывающихся тессеракта, [t] каждая октаэдрическая ячейка лежит в кубической ячейке одного тессеракта (в кубической пирамиде, основанной на кубе, но не в объеме куба), и в двух кубических ячейках каждого из двух других тессерактов (кубических ячейках, которые она охватывает, разделяя их объем). [br]
^ Это может показаться на первый взгляд невозможным с угловой точки зрения, и действительно так оно и есть в плоском пространстве всего из трех измерений. Если два куба лежат лицом к лицу в обычном трехмерном пространстве (например, на поверхности стола в обычной трехмерной комнате), октаэдр поместится внутри них так, что четыре из его шести вершин будут в четырех углах квадратной грани между двумя кубами; но тогда две другие октаэдрические вершины не будут лежать в углу куба (они будут попадать в объем двух кубов, но не в вершину куба). В четырех измерениях это не менее верно! Две другие октаэдрические вершины не лежат в углу соседнего куба, соединенного гранями, в том же тессеракте. Однако в 24-ячейке есть не только один вписанный тессеракт (из 8 кубов), есть три перекрывающихся тессеракта (по 8 кубов каждый). Две другие октаэдрические вершины лежат в углу куба: но куба в другом (перекрывающемся) тессеракте. [bs]
^ Важно визуализировать радиусы только как невидимые внутренние особенности 24-ячейки (пунктирные линии), поскольку они не являются краями сот. Аналогично, центр 24-ячейки пуст (не вершина сот).
^ В отличие от 24-ячеек и тессеракта, 16-ячейка не является радиально равносторонней; поэтому 16-ячеек двух разных размеров (единичная длина ребра против единичного радиуса) встречаются в сотах с единичной длиной ребра. Двадцать четыре 16-ячейки, которые встречаются в центре каждой 24-ячейки, имеют единичную длину ребра и радиус √ 2/2 . Три 16-ячейки, вписанные в каждую 24-ячейку, имеют длину ребра √ 2 и единичный радиус.
^ Трехмерные вращения происходят вокруг осевой линии. Четырехмерные вращения могут происходить вокруг плоскости. Так, в трех измерениях мы можем складывать плоскости вокруг общей линии (как при сворачивании плоской сетки из 6 квадратов в куб), а в четырех измерениях мы можем сворачивать ячейки вокруг общей плоскости (как при сворачивании плоской сетки из 8 кубов в тессеракт ). Складывание вокруг квадратной грани — это просто сворачивание вокруг двух ее ортогональных ребер одновременно ; в трех измерениях недостаточно места для этого, так же как в двух измерениях недостаточно места для сворачивания вокруг линии (достаточно только для сворачивания вокруг точки).
^ Существует (по крайней мере) два вида правильных размерных аналогий : обычный вид между измерением n и измерением n + 1, и гораздо более редкий и менее очевидный вид между измерением n и измерением n + 2. Примером последнего является то, что вращения в 4-мерном пространстве могут происходить вокруг одной точки, как и вращения в 2-мерном пространстве. Другим является правило n- мерной сферы , согласно которому площадь поверхности сферы, вложенной в n + 2 измерения, составляет ровно 2 π r , умноженное на объем , заключенный в сфере, вложенной в n измерений, наиболее известными примерами являются то, что длина окружности составляет 2 π r, умноженное на 1, а площадь поверхности обычной сферы составляет 2 π r, умноженное на 2 r . Коксетер приводит [44] это как пример того, как размерная аналогия может подвести нас как метод, но на самом деле это наша неспособность распознать, является ли одномерная или двумерная аналогия подходящим методом.
^ Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве могут происходить вокруг плоскости, например, когда соседние ячейки сворачиваются вокруг своей плоскости пересечения (по аналогии с тем, как соседние грани сворачиваются вокруг своей линии пересечения). [bw] Но в четырех измерениях есть еще один способ, которым могут происходить вращения, называемый двойным вращением . Двойные вращения являются возникающим явлением в четвертом измерении и не имеют аналогии в трех измерениях: складывание квадратных граней и складывание кубических ячеек являются примерами простых вращений , единственного вида, который происходит менее чем в четырех измерениях. При 3-мерных вращениях точки на линии остаются неподвижными во время вращения, в то время как каждая другая точка движется. При 4-мерных простых вращениях точки на плоскости остаются неподвижными во время вращения, в то время как каждая другая точка движется. При 4-мерных двойных вращениях точка остается неподвижной во время вращения, а каждая другая точка движется (как при 2-мерном вращении!). [bx]
^ abcde При смещении Клиффорда , также известном как изоклиническое вращение , все инвариантные плоскости, параллельные Клиффорду [af], смещаются в четырех ортогональных направлениях одновременно: они поворачиваются на один и тот же угол, и в то же время они наклоняются вбок на тот же угол при полностью ортогональном вращении. [cb] Смещение Клиффорда является 4 -мерно диагональным . [m] Каждая плоскость, параллельная Клиффорду одной из полностью ортогональных плоскостей (включая в этом случае весь параллельный Клиффорду пучок из 4 шестиугольников, но не все 16 шестиугольников), инвариантна относительно изоклинического вращения: все точки плоскости вращаются по окружностям, но остаются в плоскости, даже если вся плоскость наклоняется вбок. [cd] Все 16 шестиугольников вращаются на один и тот же угол (хотя только 4 из них делают это инвариантно). Все 16 шестиугольников повернуты на 60 градусов, а также смещены вбок на 60 градусов к параллельному шестиугольнику Клиффорда. Все остальные центральные многоугольники (например, квадраты) также смещены к параллельному многоугольнику Клиффорда на 60 градусов.
^ abc В двойном вращении можно сказать, что каждая вершина движется по двум полностью ортогональным большим окружностям одновременно, но она не остается в центральной плоскости ни одной из этих исходных больших окружностей; вместо этого она движется по винтовой геодезической, которая проходит по диагонали между большими окружностями. Две полностью ортогональные плоскости вращения называются инвариантными , поскольку точки в каждой остаются на своих местах в плоскости , когда плоскость движется , вращаясь и наклоняясь вбок на угол, на который вращается другая плоскость.
^ abcdefg Изоклинный поворот на 60° — это два простых поворота на 60° одновременно. [cv] Он перемещает все вершины на 120° одновременно в разных направлениях. Шесть последовательных диагональных поворотных приращений, по 60°x60° каждый, перемещают каждую вершину на 720° на двойной петле Мёбиуса, называемой изоклиной , дважды вокруг 24-ячейки и обратно в исходную точку за то же время (шесть единиц вращения), которое потребовалось бы для простого поворота, чтобы вершина один раз обошла 24-ячейку на обычной большой окружности. [cw] Спиральная двойная петля 4𝝅 изоклина — это просто другой вид одиночного полного круга с тем же временным интервалом и периодом (6 хорд), что и простая большая окружность. Изоклина — это одна истинная окружность, [cx] такая же идеально круглая и геодезическая, как и простой большой круг, даже несмотря на то, что ее хорды на √ 3 длиннее, ее окружность равна 4𝝅 вместо 2𝝅, [cz] она описывает окружность в четырех измерениях вместо двух, [da] и действует в двух хиральных формах (левой и правой), хотя все такие окружности одной и той же окружности непосредственно конгруэнтны. [cl] Тем не менее, чтобы избежать путаницы, мы всегда называем ее изоклиной и оставляем термин большой круг для обычного большого круга на плоскости. [db]
^ abcd Любое двойное вращение (включая изоклиническое вращение) можно рассматривать как композицию двух простых вращений a и b : левое двойное вращение как a, затем b , и правое двойное вращение как b, затем a . Простые вращения не являются коммутативными; левое и правое вращения (в общем случае) достигают разных пунктов назначения. Разница между двойным вращением и его двумя составляющими простыми вращениями заключается в том, что двойное вращение является 4-мерным диагональным: каждая движущаяся вершина достигает своего пункта назначения напрямую, не проходя через промежуточную точку, затронутую a , затем b , или другую промежуточную точку, затронутую b , затем a , путем вращения по одной винтовой геодезической (так что это кратчайший путь). [ca] И наоборот, любое простое вращение можно рассматривать как композицию двух равноугольных двойных вращений (левое изоклиническое вращение и правое изоклиническое вращение), [cb] , как обнаружил Кэли ; возможно, удивительно, что эта композиция коммутативна и возможна для любого двойного вращения. [47]
^ abcdef При изоклиническом вращении каждая инвариантная плоскость параллельна по Клиффорду плоскости, к которой она движется, и они не пересекаются в любой момент времени (кроме центральной точки). При простом вращении инвариантная плоскость пересекает плоскость, к которой она движется, по прямой и движется к ней, вращаясь вокруг этой прямой.
^ Вращение в 4-пространстве полностью характеризуется выбором инвариантной плоскости, угла и направления (влево или вправо), через которые оно вращается, и другого угла и направления, через которые вращается его одна полностью ортогональная инвариантная плоскость. Два вращательных смещения идентичны, если они имеют одну и ту же пару инвариантных плоскостей вращения, через одни и те же углы в одних и тех же направлениях (и, следовательно, также одну и ту же хиральную пару направлений). Таким образом, общее вращение в 4-пространстве является двойным вращением , характеризуемым двумя углами. Простое вращение является особым случаем, в котором один угол вращения равен 0. [cc] Изоклинное вращение является другим особым случаем, [bz] похожим, но не идентичным двум простым вращениям через один и тот же угол. [cd]
^ abcd Прилагательные left и right обычно используются в двух разных смыслах, чтобы различать два различных вида пар. Они могут относиться к альтернативным направлениям: рука на левой стороне тела по сравнению с рукой на правой стороне. Или они могут относиться к хиральной паре энантиоморфных объектов: левая рука является зеркальным отражением правой руки (как вывернутая наизнанку перчатка). В случае с руками подразумеваемый смысл редко бывает двусмысленным, потому что, конечно, рука на левой стороне является зеркальным отражением руки на правой стороне: рука либо левая , либо правая в обоих смыслах. Но в случае дважды вращающихся 4-мерных объектов правильно применяется только один смысл левого и правого: энантиоморфный смысл, в котором левое и правое вращение являются вывернутыми наизнанку зеркальными отображениями друг друга. Есть два направления, которые мы можем назвать положительными и отрицательными, в которых движущиеся вершины могут вращаться по своим изоклинам, но было бы двусмысленно называть эти круговые направления «правыми» и «левыми», поскольку направление вращения и его хиральность являются независимыми свойствами: правое (или левое) вращение может вращаться как в положительном, так и в отрицательном направлении. Левое вращение не является вращением «влево», правое вращение не является вращением «вправо», и в отличие от ваших левой и правой рук, двойные вращения не лежат на левой или правой стороне 4-политопа. Если двойные вращения необходимо сопоставить с левой и правой руками, их лучше рассматривать как пару сцепленных рук, центрированных на теле, потому что, конечно, у них есть общий центр.
^ abc Многоугольник Петри из 24 ячеек представляет собой косой додекагон {12}, а также (ортогонально) косую додекаграмму {12/5}, которая зигзагообразно изгибается на 90° влево и вправо, подобно ребрам, разделяющим черные и белые квадраты на шахматной доске . [64] Напротив, изоклина косого гексаграмма 2 не изгибается, а остается по одну или другую сторону от разделительной линии между черным и белым, подобно путям слонов вдоль диагоналей черных или белых квадратов шахматной доски. [s] Двенадцатиугольник Петри представляет собой круговую спираль из √ 1 ребер, которая зигзагообразно изгибается на 90° влево и вправо вдоль 12 ребер 6 различных октаэдров (с 3 последовательными ребрами в каждом октаэдре) при вращении на 360°. Напротив, изоклинная гексаграмма 2 имеет √ 3 ребра, которые все изгибаются либо влево, либо вправо в каждой второй вершине вдоль геодезической спирали обеих хиральностей (левой и правой) [cl], но только одного цвета (черного или белого), [co] посещая одну вершину каждого из тех же 6 октаэдров при повороте на 720°.
^ ab √ 3/4 ≈ 0,866 — это большой радиус правильного тетраэдра с √ 2 ребрами (ячейка с единичным радиусом 16 ячеек). Эти четыре радиуса тетраэдра не ортогональны и симметрично расходятся, сжимаясь в 3 измерения (а не в 4). Четыре ортогональных смещения √ 3/4 ≈ 0,866, суммирующиеся в смещении на 120° в характерном изоклиническом вращении 24 ячеек [м], не так легко визуализировать, как радиусы, но их можно представить как последовательные ортогональные шаги на пути, простирающемся во всех 4 измерениях, вдоль ортогональных ребер 4-ортосхемы . В реальном левом (или правом) изоклинном вращении четыре ортогональных шага √ 3/4 ≈ 0,866 каждого смещения на 120° являются параллельными, а не последовательными, поэтому они на самом деле являются симметричными радиусами в 4 измерениях. Фактически они являются четырьмя ортогональными радиусами середины ребра 24-ячейки единичного радиуса с центром во вращающейся вершине. Наконец, в 2-мерных единицах √ 3/4 ≈ 0,866 — это площадь грани равностороннего треугольника единичного ребра 24-ячейки единичного радиуса. Площадь радиальных равносторонних треугольников в радиально равностороннем многограннике единичного радиуса [b] равна √ 3/4 ≈ 0,866.
^ То, что двойной поворот может вывернуть 4-мерный многогранник наизнанку, еще более заметно в двойном повороте тессеракта .
^ Поскольку трудно раскрасить точки и линии в белый цвет, мы иногда используем черный и красный вместо черного и белого. В частности, хорды изоклин иногда изображаются черными или красными пунктирными линиями. [ba]
^ abc Каждая большая квадратная плоскость изоклинна (параллельна Клиффорду) пяти другим квадратным плоскостям, но полностью ортогональна только одной из них. [an] Каждая пара полностью ортогональных плоскостей имеет большие окружности, параллельные Клиффорду, но не все большие окружности, параллельные Клиффорду, ортогональны (например, ни одна из шестиугольных геодезических в 24-ячейке не является взаимно ортогональной). Существует также другой способ, которым полностью ортогональные плоскости находятся в выделенной категории плоскостей, параллельных Клиффорду: они не являются хиральными , или, строго говоря, обладают обеими хиральностями. Пара изоклинных (параллельных Клиффорду) плоскостей является либо левой парой , либо правой парой , если только они не разделены двумя углами в 90° (полностью ортогональные плоскости) или 0° (совпадающие плоскости). [57] Большинство изоклинных плоскостей сводятся вместе только левым изоклиническим вращением или правым изоклиническим вращением соответственно. Полностью ортогональные плоскости являются особыми: пара плоскостей является как левой, так и правой парой, поэтому либо левое, либо правое изоклиническое вращение сведет их вместе. Это происходит, потому что изоклинические квадратные плоскости находятся на 180° друг от друга во всех парах вершин: не просто параллельны Клиффорду, а полностью ортогональны. Изоклины (хиральные пути вершин) [при] 90° изоклинических вращений являются особыми по той же причине. Левая и правая изоклины проходят через один и тот же набор антиподных вершин (попадая на оба конца каждой 16-клеточной оси ), вместо того, чтобы проходить через непересекающиеся левые и правые подмножества черных или белых антиподных вершин (попадая только на один конец каждой оси), как это делают левые и правые изоклины всех других расслоений.
^ abcdefghijklm Хордовый путь изоклины (геодезическая, вдоль которой движется вершина при изоклиническом вращении) можно назвать многоугольником Клиффорда 4-политопа , поскольку это косая многоугольная форма вращательных окружностей, пересекаемых вершинами 4-политопа при его характерном смещении Клиффорда . [63] Изоклина представляет собой винтовую двойную петлю Мёбиуса, которая дважды меняет свою хиральность в ходе полного двойного цикла. Обе петли полностью содержатся в одном и том же кольце ячеек, где обе следуют хордам, соединяющим четные (нечетные) вершины: обычно противоположные вершины соседних ячеек, отстоящие друг от друга на две длины ребер. [co] Обе «половины» двойной петли проходят через каждую ячейку в кольце ячеек, но пересекают только две четные (нечетные) вершины в каждой четной (нечетной) ячейке. Каждая пара пересекающихся вершин в четной (нечетной) ячейке лежит напротив друг друга на ленте Мёбиуса , на расстоянии ровно одной длины ребра друг от друга. Таким образом, через каждую ячейку проходят обе спирали, которые являются параллелями Клиффорда [af] противоположной хиральности в каждой паре параллельных точек. Глобально эти две спирали представляют собой одну связанную окружность обеих хиральностей без кручения в сети . Изоклина действует как левая (или правая) изоклина, когда ее пересекает левое (или правое) вращение (различных расслоений). [cb]
^ Хиральность и четность/нечетность — это разные ароматы. Вещи, которые имеют четность координат, являются черными или белыми: квадраты шахматной доски , [cj] ячейки , вершины и изоклины , которые соединяют их изоклинным вращением. [at] Все остальное является черным и белым: например, смежные пары ячеек, соединенных гранями , или ребра и хорды , которые черные на одном конце и белые на другом. Вещи, которые имеют хиральность, бывают в правых или левых энантиоморфных формах: изоклинные вращения и хиральные объекты , которые включают характерные ортосхемы , наборы больших многоугольных плоскостей Клиффорда , параллельных [ck] пучков волокон параллельных кругов Клиффорда (независимо от того, являются ли сами круги хиральными) и хиральные кольца ячеек, обнаруженные в 16- и 600-ячеечных . Вещи, которые не имеют ни четной/нечетной четности, ни хиральности, включают все ребра и грани (разделяемые черными и белыми ячейками), большие круговые многоугольники и их расслоения , а также нехиральные клеточные кольца, такие как клеточные кольца октаэдров с 24 ячейками. Некоторые вещи имеют как четную/нечетную четность, так и хиральность: изоклины черные или белые, потому что они соединяют вершины, которые все одного цвета, и они действуют как левые или правые хиральные объекты, когда они являются вершинными путями в левом или правом вращении, хотя сами по себе не имеют присущей хиральности. Каждое левое (или правое) вращение пересекает равное количество черных и белых изоклин. [cl]
^ Левые и правые изоклинические вращения делят 24 ячейки (и 24 вершины) на черные и белые одинаковым образом. [42] Вращения всех расслоений одного и того же вида большого многоугольника используют одну и ту же шахматную доску, что является соглашением системы координат, основанной на четных и нечетных координатах. Левое и правое не являются цветами: в любом левом (или правом) вращении половина движущихся вершин черные, идущие вдоль черных изоклин через черные вершины, а другая половина — белые вершины, также вращающиеся между собой. [см]
^ abcdefgh Изоклинные вращения [at] разделяют 24 клетки (и 24 вершины) 24-клеточного поля на два непересекающихся подмножества по 12 клеток (и 12 вершин), четные и нечетные (или черные и белые), которые меняются местами между собой способом, размерно аналогичным тому, как диагональные ходы слонов [s] ограничивают их черными или белыми полями шахматной доски . [cn]
^ ab Хотя соседние вершины на изоклинной геодезической находятся на расстоянии √ 3 хорды друг от друга, точка на твердом теле при вращении не перемещается по хорде: она перемещается по дуге между двумя конечными точками хорды (большее расстояние). При простом вращении между двумя вершинами, отстоящими на √ 3 , вершина перемещается по дуге шестиугольного большого круга к вершине, находящейся на расстоянии двух больших ребер шестиугольника, и проходит через промежуточную вершину шестиугольника на полпути. Но при изоклинном вращении между двумя вершинами, отстоящими на √ 3 , вершина перемещается по винтовой дуге, называемой изоклиной (не плоской большой окружностью), [at], которая не проходит через промежуточную вершину: она пропускает вершину, ближайшую к ее средней точке. [s]
^ P 0 и P 1 лежат в одной гиперплоскости (одном и том же центральном кубооктаэдре), поэтому их другой угол разделения равен 0. [aw]
^ V 0 и V 2 находятся на расстоянии двух √ 3 хорд друг от друга на геодезическом пути этой вращательной изоклины, но это не кратчайший геодезический путь между ними. В 24-ячейке невозможно, чтобы две вершины находились дальше, чем на одну √ 3 хорду, если только они не являются вершинами-антиподами, отстоящими на √ 4 друг от друга. [ah] V 0 и V 2 находятся на расстоянии одной √ 3 хорды друг от друга на какой-то другой изоклине и всего на √ 1 друг от друга на каком-то большом шестиугольнике. Между V 0 и V 2 изоклинное вращение прошло длинный путь вокруг 24-ячейки за две √ 3 хорды, чтобы достичь вершины, которая находилась всего на расстоянии √ 1 . В более общем смысле, изоклины являются геодезическими, поскольку расстояние между их соседними вершинами является кратчайшим расстоянием между этими двумя вершинами в некотором повороте, соединяющем их, но на 3-сфере может быть другой поворот, который короче. Путь между двумя вершинами вдоль геодезической не всегда является кратчайшим расстоянием между ними (даже на обычных геодезических большого круга).
^ P 0 и P 2 находятся на расстоянии 60° друг от друга в обоих углах разделения. [aw] Параллельные плоскости Клиффорда являются изоклинными (что означает, что они разделены двумя равными углами), и их соответствующие вершины находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Хотя V 0 и V 2 находятся на расстоянии двух √ 3 хорд друг от друга, [cr] P 0 и P 2 находятся всего на расстоянии одного √ 1 ребра друг от друга (в каждой паре ближайших вершин).
^ abcd Каждая половина косой гексаграммы представляет собой открытый треугольник из трех √ 3 хорд, два открытых конца которого находятся на расстоянии одной √ 1 длины ребра друг от друга. Две половины, как и вся изоклина, не имеют внутренней хиральности, но имеют одинаковый цвет четности (черный или белый). Половины представляют собой два противоположных «края» ленты Мёбиуса шириной √ 1 ; на самом деле у нее есть только одно ребро, которое представляет собой один непрерывный круг с 6 хордами.
^ abc От любой вершины V 0 в исходной большой шестиугольной плоскости изоклинного вращения P 0 первая достигнутая вершина V 1 находится на расстоянии 120 градусов вдоль хорды √ 3 , лежащей в другой шестиугольной плоскости P 1 . P 1 наклонена к P 0 под углом 60°. [cq] Вторая достигнутая вершина V 2 находится на расстоянии 120 градусов от V 1 вдоль второй хорды √ 3 , лежащей в другой шестиугольной плоскости P 2 , которая является Клиффордовой параллельной P 0 . [cs] (Обратите внимание, что V 1 лежит в обеих пересекающихся плоскостях P 1 и P 2 , так как V 0 лежит и в P 0 , и в P 1 . Но P 0 и P 2 не имеют общих вершин; они не пересекаются.) Третья вершина, достигнутая в V 3, находится на 120 градусов дальше V 2 вдоль третьей хорды √ 3 , лежащей в другой шестиугольной плоскости P 3 , которая является Клиффордовой параллельной P 1 . V 0 и V 3 являются смежными вершинами, находящимися на расстоянии √ 1 друг от друга. [ct] Три хорды √ 3 лежат в разных 8-ячейках. [t] От V 0 до V 3 происходит изоклинное вращение на 360°, и это половина гексаграммы 2 Клиффорда с двойной петлей 24-ячейки. [cl]
^ Композиция двух простых вращений на 60° в паре полностью ортогональных инвариантных плоскостей представляет собой изоклиническое вращение на 60° в четырех парах полностью ортогональных инвариантных плоскостей. [cc] Таким образом, изоклиническое вращение представляет собой соединение четырех простых вращений, и все 24 вершины вращаются в инвариантных шестиугольных плоскостях, в отличие от всего лишь 6 вершин в простом вращении.
^ abcd Поскольку спиральная гексаграмма 2 геодезической 24-клеточной структуры изогнута в скрученное кольцо в четвертом измерении, как лента Мёбиуса , ее винтовая резьба удваивается поперек себя при каждом обороте, меняя ее хиральность [cl] , но не меняя ее четность/нечетность вращения (черный или белый). [co] Изоклинный путь с 6 вершинами образует двойную петлю Мёбиуса, как трехмерная двойная спираль с концами двух ее параллельных спиралей с 3 вершинами, соединенными друг с другом крест-накрест. Эта изоклина с углом 60° [de] является перекошенным примером правильного составного многоугольника , обозначаемого {6/2}=2{3} или гексаграммой 2 . [ct] Последовательные √ 3 ребра принадлежат разным 8-ячейкам, поскольку изоклинное вращение на 720° проводит каждый шестиугольник через все шесть шестиугольников в 6-ячеечном кольце, а каждую 8-ячейку через все три 8-ячейки дважды. [t]
^ ab Изоклинные геодезические или изоклины являются 4-мерными большими окружностями в том смысле, что они являются 1-мерными геодезическими линиями , которые изгибаются в 4-пространстве сразу в две ортогональные большие окружности. [cy] Их не следует путать с большими 2-сферами , [17] которые являются 4-мерными аналогами больших окружностей (большими 1-сферами). [ap] Дискретные изоклины являются многоугольниками; [cl] дискретные большие 2-сферы являются многогранниками.
^ abcd Все изоклины являются геодезическими , а изоклины на 3-сфере являются окружностями (одинаково искривленными в каждом измерении), но не все изоклины на 3-многообразиях в 4-пространстве являются окружностями.
^ Все 3-сферические изоклины одной и той же окружности являются прямо конгруэнтными окружностями. [cy] Обычный большой круг является изоклиной окружности ; простые вращения многогранников единичного радиуса происходят на 2𝝅 изоклинах. Двойные вращения могут иметь изоклины, отличные от окружности. Характерное вращение правильного 4-политопа — это изоклиническое вращение, в котором центральные плоскости, содержащие его ребра, являются инвариантными плоскостями вращения. 16-ячеечный и 24-ячеечный реберные вращения совершаются на изоклинах окружности 4𝝅. 600-ячеечный реберные вращения совершаются на изоклинах окружности 5𝝅.
^ abc Изоклины на 3-сфере встречаются в непересекающихся парах четной/нечетной четности координат. [co] Одна черная или белая изоклина образует петлю Мёбиуса, называемую торическим узлом {1,1} или кругом Вилларсо [55], в которой каждый из двух «кругов», связанных в петлю Мёбиуса «восьмерка», проходит через все четыре измерения. [cl] Двойная петля является настоящей окружностью в четырех измерениях. [cb] Четные и нечетные изоклины также связаны, но не в петлю Мёбиуса, а как связь Хопфа двух непересекающихся окружностей, [af] как и все параллельные изоклины Клиффорда расслоения Хопфа .
^ abc Изоклина — это круговая геодезическая траектория, пройденная вершиной, лежащей в инвариантной плоскости вращения, за полный оборот. При изоклинном вращении каждая вершина лежит в инвариантной плоскости вращения, а изоклина, по которой она вращается, является винтовой геодезической окружностью, которая проходит через все четыре измерения, а не простой геодезической большой окружностью в плоскости. При простом вращении существует только одна инвариантная плоскость вращения, и каждая вершина, лежащая в ней, вращается по простой геодезической большой окружности в плоскости. Как винтовая геодезическая изоклина изоклинного вращения, так и простая геодезическая изоклина простого вращения являются большими окружностями, но чтобы избежать путаницы между ними, мы обычно резервируем термин изоклина для первой и резервируем термин большой круг для второй, обычной большой окружности в плоскости. Строго говоря, последняя является изоклиной окружности , а первая является изоклиной окружности, большей . [в]
^ При изоклинном вращении на 720° жесткого 24-ячеистого многоугольника 24 вершины вращаются вдоль четырех отдельных геодезических петель параллельной гексаграммы Клиффорда 2 (шесть вершин, вращающихся в каждой петле) и возвращаются в исходные положения. [da]
^ Длину ленты можно измерить по ее средней линии или разрезав полученную ленту Мёбиуса перпендикулярно ее границе так, чтобы получился прямоугольник.
^ Полоску бумаги можно сложить в виде сплющенной ленты Мёбиуса на плоскости, сложив ее под углом так, чтобы ее центральная линия лежала вдоль равностороннего треугольника, и соединив концы. Самая короткая полоска, для которой это возможно, состоит из трех равносторонних бумажных треугольников, сложенных по краям, где встречаются два треугольника. Поскольку петля пересекает обе стороны каждого бумажного треугольника, она представляет собой шестиугольную петлю над шестью равносторонними треугольниками. Ее соотношение сторон — отношение длины ленты [dd] к ее ширине — равно .
^ Каждый набор полигонов большого круга Клиффорда, параллельных Клиффорду, представляет собой другой пучок волокон, нежели соответствующий набор полиграмм Клиффорда, параллельных изоклинам [at] , но два пучка волокон вместе составляют одно и то же дискретное расслоение Хопфа , поскольку они перечисляют 24 вершины вместе посредством их пересечения в одном и том же отличном (левом или правом) изоклиническом вращении. Они являются основой и утком одной и той же тканой ткани, которая является расслоением.
^ abc Выбор разбиения правильного 4-мерного многогранника на кольца ячеек (расслоение) произволен, поскольку все его ячейки идентичны. Никакое конкретное расслоение не выделяется, если только 4-мерный многогранник не является вращающимся. Каждое расслоение соответствует паре лево-правых изоклинных вращений в определенном наборе параллельных Клиффорду инвариантных центральных плоскостей вращения. В 24-мерном многограннике выделение гексагонального расслоения [ak] означает выбор непересекающегося набора из четырех 6-мерных колец, который является уникальным контейнером пары лево-правых изоклинных вращений в четырех параллельных Клиффорду гексагональных инвариантных плоскостях. Левые и правые вращения происходят в хиральных подпространствах этого контейнера, [62], но расслоение и октаэдрические кольца ячеек сами по себе не являются хиральными объектами. [do]
^ Все изоклинные плоскости являются параллельными Клиффорду (полностью не пересекаются). [w] Трех- и четырехмерные коцентрические объекты могут пересекаться (иметь общие элементы), но все равно быть связанными изоклинным вращением. Многогранники и 4-политопы могут быть изоклинными и не не пересекаться, если все их соответствующие плоскости являются либо параллельными Клиффорду, либо соклеточными (лежат в одной гиперплоскости), либо совпадающими (в одной плоскости).
^ Под генерацией мы подразумеваем просто то, что некоторая вершина первого многогранника посетит каждую вершину сгенерированного многогранника в ходе вращения.
^ Подобно ключу, открывающему четырехмерный замок, объект должен повернуться в двух совершенно перпендикулярных цилиндрах тумблера, чтобы переместиться на короткое расстояние между параллельными подпространствами Клиффорда.
^ Так же, как каждая грань многогранника занимает отдельную (двумерную) плоскость грани, каждая ячейка полихорона занимает отдельную (трехмерную) гиперплоскость ячейки . [av]
^ ab Существует выбор плоскостей, в которых можно сложить колонну в кольцо, но они эквивалентны в том, что производят конгруэнтные кольца. Какие бы плоскости складывания ни были выбраны, каждая из шести спиралей соединяет свои два конца и образует простой большой круговой шестиугольник. Эти шестиугольники не являются спиралями: они лежат на обычных плоских больших кругах. Три из них являются параллельными Клиффорду [af] и принадлежат одному шестиугольному расслоению. Они пересекают другие три, которые принадлежат другому шестиугольному расслоению. Три параллельных больших круга каждого расслоения закручиваются вокруг друг друга в том смысле, что они образуют связь из трех обычных кругов, но они не скручены: 6-клеточное кольцо не имеет кручения , ни по часовой стрелке, ни против часовой стрелки. [do]
^ Когда октаэдры с единичными ребрами расположены лицом к лицу, расстояние между их центрами объема составляет √ 2/3 ≈ 0,816. [60] Когда 24 октаэдра, связанных гранями, согнуты в 24-ячейку, лежащую на 3-сфере, центры октаэдров находятся ближе друг к другу в 4-пространстве. Внутри искривленного 3-мерного поверхностного пространства, заполненного 24 ячейками, центры ячеек все еще находятся на расстоянии √ 2/3 друг от друга вдоль изогнутых геодезических, которые их соединяют. Но на прямых хордах, которые их соединяют, которые опускаются внутрь 3-сферы, они находятся всего на 1/2 длины ребра друг от друга.
^ Аксиальный шестиугольник кольца из 6 октаэдров не пересекает ни одной вершины или ребра 24-ячейки, но касается граней. В 24-ячейке с единичной длиной ребра он имеет ребра длиной 1/2. [dm] Поскольку он соединяет шесть центров ячеек, аксиальный шестиугольник является большим шестиугольником меньшей двойной 24-ячейки, которая образована соединением 24 центров ячеек. [bi]
^ abcde Существует только один вид 6-клеточного кольца, а не два различных хиральных вида (правый и левый), поскольку октаэдры имеют противоположные грани и образуют нескрученные клеточные кольца. В дополнение к двум наборам из трех больших шестиугольников Клиффорда [af] , через 6-клеточное кольцо проходят три черные и три белые изоклинные гексаграммные геодезические. [ak] Каждая из этих хиральных косых гексаграмм лежит на другом виде окружности, называемой изоклиной , [cy] винтовой окружностью, проходящей через все четыре измерения, а не лежащей в одной плоскости. [at] Эти винтовые большие окружности встречаются в пучках волокон Клиффорда , как и обычные плоские большие окружности. В 6-клеточном кольце черные и белые гексаграммы проходят через четные и нечетные вершины соответственно и пропускают вершины между ними, поэтому изоклины не пересекаются. [co]
^ Три больших шестиугольника параллельны Клиффорду, что отличается от обычного параллелизма. [af] Большие шестиугольники, параллельные Клиффорду, проходят друг через друга, как смежные звенья цепи, образуя связь Хопфа . В отличие от звеньев в трехмерной цепи, они имеют одну и ту же центральную точку. В 24-ячеечном многоугольнике большие шестиугольники, параллельные Клиффорду, встречаются в наборах по четыре, а не по три. Четвертый параллельный шестиугольник полностью лежит вне 6-ячеечного кольца; его 6 вершин полностью отделены от 18 вершин кольца.
^ В столбце из 6 октаэдрических ячеек мы нумеруем ячейки от 0 до 5, идя вверх по столбцу. Мы также помечаем каждую вершину целым числом от 0 до 5 в зависимости от того, на сколько длин ребер она находится вверх по столбцу.
^ Изоклинный поворот на угол, кратный 60°, переводит четные октаэдры в кольце в четные октаэдры, а нечетные октаэдры в нечетные октаэдры. [dq] Невозможно, чтобы четный октаэдр достиг нечетного октаэдра, и наоборот, только левым или правым изоклинным поворотом. [co]
^ Две центральные плоскости, в которых путь изгибается на 60° в вершине, — это (a) плоскость большого шестиугольника, к которой принадлежит хорда перед вершиной, и (b) плоскость большого шестиугольника, к которой принадлежит хорда после вершины. Плоскость (b) содержит хорду изоклины 120°, соединяющую исходную вершину с вершиной в плоскости большого шестиугольника (c), параллельной Клиффорду (a); вершина движется по этой хорде к этой следующей вершине. Угол наклона между параллельными Клиффорду (изоклинными) плоскостями большого шестиугольника (a) и (c) также равен 60°. В этом интервале 60° изоклинного вращения плоскость большого шестиугольника (a) поворачивается на 60° внутри себя и наклоняется на 60° в ортогональной плоскости (не плоскости (b)), чтобы стать плоскостью большого шестиугольника (c). Три большие шестиугольные плоскости (a), (b) и (c) не ортогональны (они наклонены под углом 60° друг к другу), но (a) и (b) являются двумя центральными шестиугольниками в одном и том же кубооктаэдре, а (b) и (c) также в ортогональном кубооктаэдре. [q]
^ Каждая вершина 6-клеточного кольца пересекается двумя косыми гексаграммами одинаковой четности (черными или белыми), принадлежащими разным расслоениям. [do]
^ ab Каждая вершина 6-клеточного кольца пропущена двумя половинами той же двойной гексаграммы Мёбиуса, [dv], которые изгибаются мимо нее с обеих сторон.
^ abc В каждой вершине есть только одна смежная большая шестиугольная плоскость, в которую изоклина может согнуться на 60 градусов: изоклинный путь является детерминированным в том смысле, что он линейный, а не разветвленный, потому что каждая вершина в кольце ячеек является местом пересечения только двух из шести больших шестиугольников, содержащихся в кольце ячеек. Если каждому большому шестиугольнику заданы ребра и хорды определенного цвета (как на иллюстрации с 6-ячеечным кольцом), мы можем назвать каждый большой шестиугольник его цветом, а каждый вид вершин — двухцветным именем через дефис. Кольцо ячеек содержит 18 вершин, названных 9 уникальными двухцветными комбинациями; каждая вершина и ее антиподальная вершина имеют в своем имени те же два цвета, поскольку, когда два больших шестиугольника пересекаются, они делают это в антиподальных вершинах. Каждая изоклинная косая гексаграмма [ct] содержит одну √ 3 хорду каждого цвета и посещает 6 из 9 различных цветовых пар вершины. [dt] Каждое 6-клеточное кольцо содержит шесть таких изоклинных косых гексаграмм, три черных и три белых. [du]
^ Хорда √ 3 проходит через середину одного из радиусов √ 1 24-ячейки . Поскольку 24-ячейка может быть построена с ее длинными радиусами из √ 1 треугольников, которые встречаются в ее центре, [b] это середина одного из шести √ 1 треугольников в большом шестиугольнике, как показано на диаграмме хорд.
^ Каждая пара смежных ребер большого шестиугольника имеет только одну изоклину, изгибающуюся вдоль нее, [du] пропуская вершину между двумя ребрами (но не так, как ребро √ 3 большого треугольника, вписанного в большой шестиугольник, пропускает вершину, [dw] потому что изоклина является дугой на поверхности, а не хордой). Если мы пронумеруем вершины вокруг шестиугольника 0-5, шестиугольник будет иметь три пары смежных ребер, соединяющих четные вершины (один вписанный большой треугольник), и три пары, соединяющих нечетные вершины (другой вписанный большой треугольник). Четные и нечетные пары ребер имеют дугу черной и белой изоклины соответственно, изгибающуюся вдоль нее. [co] Три черные и три белые изоклины принадлежат одному и тому же 6-клеточному кольцу одного и того же расслоения. [dv]
^ ab Каждая изоклина гексаграммы касается только одного конца оси, в отличие от большого круга, который касается обоих концов. Параллельные пары Клиффорда черных и белых изоклин из одной и той же пары лево-правых изоклинных вращений (одного и того же расслоения) не пересекаются, но касаются противоположных (антиподальных) вершин одной из 12 осей 24-клетки.
^ Сами изоклины не являются левыми или правыми, только пучки являются таковыми. Каждая изоклина является левой и правой. [cl]
^ 12 черно-белых пар изоклин гексаграммы в каждом расслоении [dy] и 16 отдельных изоклин гексаграммы в 24-ячейке образуют конфигурацию Рейе 12 4 16 3 , точно так же, как 12 осей и 16 шестиугольников 24-ячейки. Каждая из 12 черно-белых пар встречается в одном кольце ячеек каждого расслоения из 4 изоклин гексаграммы, и каждое кольцо ячеек содержит 3 черно-белые пары из 16 изоклин гексаграммы.
^ ab Как и в 16-ячеечной модели, изоклина представляет собой октаграмму , пересекающую только 8 вершин, хотя в 24-ячеечной модели больше вершин, расположенных ближе друг к другу, чем в 16-ячеечной. Изоклинная кривая пропускает дополнительные вершины между ними. Как и в 16-ячеечной модели, первая вершина, которую она пересекает, находится на расстоянии √ 2. В 24-ячеечной модели используется больше изоклин октаграммы (3 параллельно в каждом повороте), чем в 16-ячеечной (1 в каждом повороте). 3 спиральные изоклины параллельны Клиффорду; [af] они закручиваются вокруг друг друга в тройной спирали, при этом соответствующие пары вершин непересекающихся спиралей соединены хордами √ 1 = 60°. Тройная спираль из 3 изоклин содержит 24 непересекающихся √ 2 ребра (6 непересекающихся больших квадратов) и 24 вершины и представляет собой дискретное расслоение 24-ячеечного кольца, как и 4-ячеечное кольцо.
^ Изоклинное вращение 600- ячеек в больших квадратных плоскостях переводит целые 16-ячеек в другие 16-ячеек в различных 24-ячейках.
^ ab (Коксетер 1973) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы меняем соглашения Коксетера на противоположные и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.
^ Для правильного k -политопа диаграмма Коксетера-Дынкина характеристической k -ортосхемы является диаграммой k -политопа без кольца порождающих точек . Правильный k -политоп подразделяется своими симметрийными ( k -1)-элементами на g экземпляров своей характеристической k -ортосхемы, которые окружают его центр, где g - порядок группы симметрии k -политопа . [ 70 ]
^ Четыре ребра каждой 4-ортосхемы, которые встречаются в центре правильного 4-политопа, имеют неравную длину, поскольку они являются четырьмя характеристическими радиусами правильного 4-политопа: радиусом вершины, радиусом центра ребра, радиусом центра грани и радиусом центра ячейки. Пять вершин 4-ортосхемы всегда включают одну правильную вершину 4-политопа, один центр ребра правильного 4-политопа, один центр грани правильного 4-политопа, один центр ячейки правильного 4-политопа и центр правильного 4-политопа. Эти пять вершин (в этом порядке) составляют путь вдоль четырех взаимно перпендикулярных ребер (который делает три поворота под прямым углом), характерную особенность 4-ортосхемы. 4-ортосхема имеет пять разнородных граней 3-ортосхемы.
^ Отражающая поверхность (3-мерного) многогранника состоит из 2-мерных граней; отражающая поверхность (4-мерного) полихора состоит из 3-мерных ячеек.
^ ab Пусть Q обозначает поворот, R — отражение, T — перенос, и пусть Q q R r T обозначает произведение нескольких таких преобразований, все коммутативные друг с другом. Тогда RT — скользящее отражение (в двух или трех измерениях), QR — поворотное отражение, QT — винтовое смещение, а Q 2 — двойное вращение (в четырех измерениях). Каждое ортогональное преобразование выражается как Q q R r
, где 2 q + r ≤ n , число измерений. Преобразования, включающие перенос, выражаются как Q q R r T , где 2 q + r + 1 ≤ n . Для n = 4 в частности, каждое смещение является либо двойным вращением Q 2 , либо винтовым смещением QT (где компонент вращения Q является простым вращением). Каждое энантиоморфное преобразование в 4-пространстве (обратная хиральность) является QRT. [73]
^ Левые плоскости параллельны Клиффорду, а правые плоскости параллельны Клиффорду; каждый набор плоскостей является расслоением. Каждая левая плоскость параллельна Клиффорду соответствующей правой плоскости в изоклиническом вращении, [cd], но два набора плоскостей не все взаимно параллельны Клиффорду; они являются различными расслоениями, за исключением строк таблицы, где левая и правая плоскости являются одним и тем же набором.
^ ab Наборы плоскостей и не являются непересекающимися; объединение любых двух из этих четырех наборов является набором из 6 плоскостей. Левое (по сравнению с правым) изоклиническое вращение каждого из этих классов вращений (строки таблицы) посещает отличную левую (по сравнению с правым) круговую последовательность того же набора из 6 параллельных плоскостей Клиффорда.
^ abcdefgh Группа кватернионов соответствует отдельному набору многоугольников большого круга, параллельных Клиффорду, например, соответствует набору из четырех непересекающихся больших шестиугольников. [r] Обратите внимание, что и обычно являются различными наборами. Соответствующие вершины плоскостей и плоскостей находятся на расстоянии 180° друг от друга. [aw]
^ ab Кватернионная декартова координата обозначает вершину, соединенную с верхней вершиной одним экземпляром отдельной хорды. Условная верхняя вершина 4-многогранника единичного радиуса в стандартной ориентации (вершиной вверх) — это , декартов «северный полюс». Таким образом, eg обозначает хорду √ 1 с длиной дуги 60°. Каждая такая отдельная хорда является ребром отдельного большого кругового многоугольника, в данном примере большого шестиугольника, пересекающего северный и южный полюса. Большие круговые многоугольники встречаются в наборах центральных плоскостей, параллельных Клиффорду, причем каждый набор непересекающихся больших кругов содержит дискретное расслоение Хопфа , пересекающее каждую вершину только один раз. Один большой круговой многоугольник в каждом наборе пересекает северный и южный полюса. Таким образом, эта кватернионная координата представляет собой 4 непересекающихся больших шестиугольника, изображенных на рисунке, группу кватернионов [ek] , которая включает одно отдельное расслоение [16] больших шестиугольников (четыре расслоения больших шестиугольников), которые встречаются в 24-ячейке. [r]
^ abc При изоклиническом вращении все левые плоскости движутся вместе, остаются параллельными Клиффорду во время движения и переносят все свои точки в правые плоскости по мере своего движения: они являются инвариантными плоскостями. [cd] Поскольку левый (и правый) набор центральных многоугольников представляет собой расслоение, покрывающее все вершины, каждая вершина является точкой, переносимой в инвариантной плоскости.
^ Каждый класс вращательных смещений (каждая строка таблицы) соответствует отдельному жесткому левому (и правому) изоклиническому вращению в нескольких инвариантных плоскостях одновременно. [em] Изоклина — это путь, по которому следует вершина, [db] которая является винтовой геодезической окружностью, которая не лежит ни в одной центральной плоскости. Каждое вращательное смещение переводит одну инвариантную левую плоскость в соответствующую инвариантную правую плоскость , причем все левые (или правые) смещения происходят одновременно. [cd] Каждая левая плоскость отделена от соответствующей правой плоскости двумя равными углами, [aw] каждый из которых равен половине угла дуги, на который смещена каждая вершина (угол и расстояние, которые указаны в столбце Класс вращения ).
^Each hexagon rides on only three skew hexagram isoclines, not six, because opposite vertices of each hexagon ride on opposing rails of the same Clifford hexagram, in the same (not opposite) rotational direction.[cl]
^ a bIn this orthogonal projection of the 24-point 24-cell to a {12/4}=4{3} dodecagram, each point represents two vertices, and each line represents multiple √3 chords. Each disjoint triangle can be seen as a skew {6/2} hexagram with √3 edges: two open skew triangles with their opposite ends connected in a Möbius loop with a circumference of 4𝝅. The hexagram projects to a single triangle in two dimensions because it skews through all four dimensions. Those 4 disjoint skew hexagram isoclines are the Clifford parallel circular vertex paths of the fibration's characteristic left (and right) isoclinic rotation.[at] The 4 Clifford parallel great hexagons of the fibration[r] are invariant planes of this rotation. The great hexagons rotate in incremental displacements of 60° like wheels and 60° orthogonally like coins flipping, displacing each vertex by 120°, as their vertices move along parallel helical isocline paths through successive Clifford parallel hexagon planes.[eo] Alternatively, the 4 triangles can be seen as 8 disjoint triangles: 4 pairs of Clifford parallel great triangles, where two opposing great triangles lie in the same great hexagon central plane, so a fibration of 4 Clifford parallel great hexagon planes is represented.[r] This illustrates that the 4 hexagram isoclines also correspond to a distinct fibration, in fact the same fibration as 4 great hexagons.
^The isoclinic rotation in great hexagon invariant planes takes each vertex to a vertex two vertices away (120° = √3 away), without passing through any intervening vertices. Each left hexagon rotates 60° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 60° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right hexagon plane. Repeated 6 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^ a bIn this orthogonal projection of the 24-point 24-cell to a {12/4}=4{3} dodecagram, each point represents two vertices, and each line represents multiple √3 chords. The 4 triangles can be seen as 8 disjoint triangles: 4 pairs of Clifford parallel great triangles, where two opposing great triangles lie in the same great hexagon central plane, so a fibration of 4 Clifford parallel great hexagon planes is represented, as in the 4 left planes of this rotation class (table row).[r]
^Each hexagon rides on only two parallel dodecagon isoclines, not six, because only alternate vertices of each hexagon ride on different dodecagon rails; the three vertices of each great triangle inscribed in the great hexagon occupy the same dodecagon Petrie polygon, four vertices apart, and they circulate on that isocline.[cl]
^ a b cIn this orthogonal projection of the 24-point 24-cell to a {12/2}=2{6} dodecagram, each point represents two vertices, and each line represents multiple 24-cell edges. Each disjoint hexagon can be seen as a skew {12} dodecagon, a Petrie polygon of the 24-cell, by viewing it as two open skew hexagons with their opposite ends connected in a Möbius loop with a circumference of 4𝝅. The dodecagon projects to a single hexagon in two dimensions because it skews through all four dimensions. Those 2 disjoint skew dodecagons are the Clifford parallel circular vertex paths of the fibration's characteristic left (and right) isoclinic rotation.[at] The 4 Clifford parallel great hexagons of the fibration[r] are invariant planes of this rotation. The great hexagons rotate in incremental displacements of 30° like wheels and 30° orthogonally like coins flipping, displacing each vertex by 60°, as their vertices move along parallel helical isocline paths through successive Clifford parallel hexagon planes.[es] Alternatively, the 2 hexagons can be seen as 4 disjoint hexagons: 2 pairs of Clifford parallel great hexagons, so a fibration of 4 Clifford parallel great hexagon planes is represented.[r] This illustrates that the 2 dodecagon isoclines also correspond to a distinct fibration, in fact the same fibration as 4 great hexagons.
^At the mid-point of the isocline arc (30° away) it passes directly over the mid-point of a 24-cell edge.
^The isoclinic rotation in great hexagon invariant planes takes each vertex to a vertex one vertex away (60° = √1 away), without passing through any intervening vertices.[eu] Each left hexagon rotates 30° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 30° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right hexagon plane. Repeated 12 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The isoclinic rotation in great hexagon invariant planes takes each vertex through a 360° rotation and back to itself (360° = √0 away), without passing through any intervening vertices. Each left hexagon rotates 180° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 180° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right hexagon plane. Repeated 2 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The isoclinic rotation in hexagon invariant planes takes each vertex to a vertex three vertices away (180° = √4 away),[ek] without passing through any intervening vertices. Each left hexagon rotates 90° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 90° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right hexagon plane. Repeated 4 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The edges and 4𝝅 characteristic rotations of the 16-cell lie in the great square central planes. Rotations of this type are an expression of the symmetry group. The edges and 4𝝅 characteristic rotations of the 24-cell lie in the great hexagon (great triangle) central planes. Rotations of this type are an expression of the symmetry group.
^Two great circle polygons either intersect in a common axis, or they are Clifford parallel (isoclinic) and share no vertices.[aw] Three great squares and four great hexagons intersect at each 24-cell vertex. Each great hexagon intersects 9 distinct great squares, 3 in each of its 3 axes, and lies Clifford parallel to the other 9 great squares. Each great square intersects 8 distinct great hexagons, 4 in each of its 2 axes, and lies Clifford parallel to the other 8 great hexagons.
^ a b cThis hybrid isoclinic rotation carries the two kinds of central planes to each other: great square planes characteristic of the 16-cell and great hexagon (great triangle) planes characteristic of the 24-cell.[ey] This is possible because some great hexagon planes lie Clifford parallel to some great square planes.[ez]
^The isoclinic rotation in great hexagon invariant planes takes each vertex to a vertex one vertex away (60° = √1 away), without passing through any intervening vertices. Each left hexagon rotates 30° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 30° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right square plane.[fa] Repeated 12 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The 24-cell has 18 great squares, in 3 disjoint sets of 6 mutually orthogonal great squares comprising a 16-cell.[x] Within each 16-cell are 3 sets of 2 completely orthogonal great squares, so each great square is disjoint not only from all the great squares in the other two 16-cells, but also from one other great square in the same 16-cell. Each great square is disjoint from 13 others, and shares two vertices (an axis) with 4 others (in the same 16-cell).
^Because in the 24-cell each great square is completely orthogonal to another great square, the quaternion groups and (for example) correspond to the same set of great square planes. That distinct set of 6 disjoint great squares has two names, used in the left (or right) rotational context, because it constitutes both a left and a right fibration of great squares.
^The isoclinic rotation in hexagon invariant planes takes each vertex to a vertex two vertices away (120° = √3 away), without passing through any intervening vertices. Each left hexagon rotates 60° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 60° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right square plane.[fa] Repeated 6 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The isoclinic rotation in great square invariant planes takes each vertex through a 360° rotation and back to itself (360° = √0 away), without passing through any intervening vertices. Each left square rotates 180° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 180° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right square plane. Repeated 2 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^A quaternion Cartesian coordinate designates a vertex joined to a top vertex by one instance of a distinct chord. The conventional top vertex of a unit radius 4-polytope in cell-first orientation is . Thus e.g. designates a √2 chord of 90° arc-length. Each such distinct chord is an edge of a distinct great circle polygon, in this example a great square, intersecting the top vertex. Great circle polygons occur in sets of Clifford parallel central planes, each set of disjoint great circles comprising a discrete Hopf fibration that intersects every vertex just once. One great circle polygon in each set intersects the top vertex. This quaternion coordinate is thus representative of the 6 disjoint great squares pictured, a quaternion group[ek] which comprise one distinct fibration of the [18] great squares (three fibrations of great squares) that occur in the 24-cell.[j]
^The representative coordinate is not a vertex of the unit-radius 24-cell in standard (vertex-up) orientation, it is the center of an octahedral cell. Some of the 24-cell's lines of symmetry (Coxeter's "reflecting circles") run through cell centers rather than through vertices, and quaternion group corresponds to a set of those. However, also corresponds to the set of great squares pictured, which lie orthogonal to those cells (completely disjoint from the cell).[fg]
^The isoclinic rotation in great square invariant planes takes each vertex to a vertex 180° = √4 away,[ek] without passing through any intervening vertices. Each left square rotates 90° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 90° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right square, which in this rotation is the completely orthogonal plane. Repeated 4 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^Icositetragon {24/9}=3{8/3} is a compound of three octagrams {8/3}, as the 24-cell is a compound of three 16-cells.This orthogonal projection of a 24-cell to a 24-gram {24/9}=3{8/3} exhibits 3 disjoint octagram {8/3} isoclines of a 16-cell, each of which is a circular isocline path through the 8 vertices of one of the 3 disjoint 16-cells inscribed in the 24-cell.
^In this orthogonal projection of the 24-point 24-cell to a {12/3}=3{4} dodecagram, each point represents two vertices, and each line represents multiple √2 chords. Each disjoint square can be seen as a skew {8/3} octagram with √2 edges: two open skew squares with their opposite ends connected in a Möbius loop with a circumference of 4𝝅, visible in the {24/9}=3{8/3} orthogonal projection.[fj] The octagram projects to a single square in two dimensions because it skews through all four dimensions. Those 3 disjoint skew octagram isoclines are the circular vertex paths characteristic of an isoclinic rotation in great square planes, in which the 6 Clifford parallel great squares are invariant rotation planes. The great squares rotate 90° like wheels and 90° orthogonally like coins flipping, displacing each vertex by 180°, so each vertex exchanges places with its antipodal vertex. Each octagram isocline circles through the 8 vertices of a disjoint 16-cell. Alternatively, the 3 squares can be seen as a fibration of 6 Clifford parallel squares.[j] This illustrates that the 3 octagram isoclines also correspond to a distinct fibration, in fact the same fibration as 6 squares.
^At the mid-point of the isocline arc (45° away) it passes directly over the mid-point of a 24-cell edge.
^The isoclinic rotation in great square invariant planes takes each vertex to a vertex 90° = √2 away, without passing through any intervening vertices.[fl] Each left square rotates 45° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 45° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right square plane. Repeated 8 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The isoclinic rotation in great square invariant planes takes each vertex through a 360° rotation and back to itself (360° = √0 away), without passing through any intervening vertices. Each left square rotates 180° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 180° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right square plane. Repeated 2 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The isoclinic rotation in great hexagon invariant planes takes each vertex to a vertex one vertex away (60° = √1 away), without passing through any intervening vertices. Each left square rotates 30° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 30° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right hexagon plane.[fa] Repeated 12 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The isoclinic rotation in great square invariant planes takes each vertex to a vertex 180° = √4 away,[ek] without passing through any intervening vertices. Each left square rotates 90° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 90° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right square plane, which in this rotation is the completely orthogonal plane. Repeated 4 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^At the mid-point of the isocline arc (45° away) it passes directly over the mid-point of a 24-cell edge.
^The isoclinic rotation in great digon invariant planes takes each vertex to a vertex 90° = √2 away, without passing through any intervening vertices.[fq] Each left digon rotates 45° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 45° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right digon plane. Repeated 8 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The rotation is the identity operation of the 24-cell, in which no points move.
^The rotation is the central inversion of the 24-cell. This isoclinic rotation in great digon invariant planes takes each vertex to a vertex 180° = √4 away,[ek] without passing through any intervening vertices. Each left digon rotates 90° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 90° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right digon plane, which in this rotation is the completely orthogonal plane. Repeated 4 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^A right rotation is performed by rotating the left and right planes in the "same" direction, and a left rotation is performed by rotating left and right planes in "opposite" directions, according to the right hand rule by which we conventionally say which way is "up" on each of the 4 coordinate axes. Left and right rotations are chiral enantiomorphous shapes (like a pair of shoes), not opposite rotational directions. Both left and right rotations can be performed in either the positive or negative rotational direction (from left planes to right planes, or right planes to left planes), but that is an additional distinction.[cf]
Citations
^Coxeter 1973, p. 118, Chapter VII: Ordinary Polytopes in Higher Space.
^Johnson 2018, p. 249, 11.5.
^Ghyka 1977, p. 68.
^Coxeter 1973, p. 289, Epilogue; "Another peculiarity of four-dimensional space is the occurrence of the 24-cell {3,4,3}, which stands quite alone, having no analogue above or below."
^Coxeter 1995, p. 25, (Paper 3) Two aspects of the regular 24-cell in four dimensions.
^Coxeter 1968, p. 70, §4.12 The Classification of Zonohedra.
^Coxeter 1973, p. 136, §7.8 The enumeration of possible regular figures.
^ a bCoxeter 1973, pp. 292–293, Table I(ii): The sixteen regular polytopes {p,q,r} in four dimensions; An invaluable table providing all 20 metrics of each 4-polytope in edge length units. They must be algebraically converted to compare polytopes of unit radius.
^Coxeter 1973, p. 302, Table VI (ii): 𝐈𝐈 = {3,4,3}: see Result column
^Coxeter 1973, p. 156, §8.7. Cartesian Coordinates.
^Coxeter 1973, pp. 145–146, §8.1 The simple truncations of the general regular polytope.
^Waegell & Aravind 2009, pp. 4–5, §3.4 The 24-cell: points, lines and Reye's configuration; In the 24-cell Reye's "points" and "lines" are axes and hexagons, respectively.
^Coxeter 1973, p. 298, Table V: The Distribution of Vertices of Four-Dimensional Polytopes in Parallel Solid Sections (§13.1); (i) Sections of {3,4,3} (edge 2) beginning with a vertex; see column a.
^Stillwell 2001, p. 17.
^Tyrrell & Semple 1971, pp. 5–6, §3. Clifford's original definition of parallelism.
^Kim & Rote 2016, pp. 8–10, Relations to Clifford Parallelism.
^ a bStillwell 2001, p. 24.
^Copher 2019, p. 6, §3.2 Theorem 3.4.
^Kim & Rote 2016, p. 7, §6 Angles between two Planes in 4-Space; "In four (and higher) dimensions, we need two angles to fix the relative position between two planes. (More generally, k angles are defined between k-dimensional subspaces.)".
^Coxeter 1973, p. 153, 8.5. Gosset's construction for {3,3,5}: "In fact, the vertices of {3,3,5}, each taken 5 times, are the vertices of 25 {3,4,3}'s."
^Coxeter 1973, p. 304, Table VI(iv) II={5,3,3}: Faceting {5,3,3}[120𝛼4]{3,3,5} of the 120-cell reveals 120 regular 5-cells.
^Egan 2021, animation of a rotating 24-cell: red half-integer vertices (tesseract), yellow and black integer vertices (16-cell).
^ a b cCoxeter 1973, p. 150, Gosset.
^Coxeter 1973, p. 148, §8.2. Cesaro's construction for {3, 4, 3}..
^Coxeter 1973, p. 302, Table VI(ii) II={3,4,3}, Result column.
^Coxeter 1973, pp. 149–150, §8.22. see illustrations Fig. 8.2A and Fig 8.2B
^Coxeter 1995, p. 29, (Paper 3) Two aspects of the regular 24-cell in four dimensions; "The common content of the 4-cube and the 16-cell is a smaller {3,4,3} whose vertices are the permutations of [(±1/2, ±1/2, 0, 0)]".
^Coxeter 1973, p. 147, §8.1 The simple truncations of the general regular polytope; "At a point of contact, [elements of a regular polytope and elements of its dual in which it is inscribed in some manner] lie in completely orthogonal subspaces of the tangent hyperplane to the sphere [of reciprocation], so their only common point is the point of contact itself....[i] In fact, the [various] radii 0𝑹, 1𝑹, 2𝑹, ... determine the polytopes ... whose vertices are the centers of elements 𝐈𝐈0, 𝐈𝐈1, 𝐈𝐈2, ... of the original polytope."
^ a bKepler 1619, p. 181.
^van Ittersum 2020, pp. 73–79, §4.2.
^Coxeter 1973, p. 269, §14.32. "For instance, in the case of ...."
^van Ittersum 2020, p. 79.
^Coxeter 1973, p. 150: "Thus the 24 cells of the {3, 4, 3} are dipyramids based on the 24 squares of the . (Their centres are the mid-points of the 24 edges of the .)"
^Coxeter 1973, p. 12, §1.8. Configurations.
^Coxeter 1973, p. 120, §7.2.: "... any n+1 points which do not lie in an (n-1)-space are the vertices of an n-dimensional simplex.... Thus the general simplex may alternatively be defined as a finite region of n-space enclosed by n+1 hyperplanes or (n-1)-spaces."
^van Ittersum 2020, p. 78, §4.2.5.
^Stillwell 2001, p. 18-21.
^Egan 2021; quaternions, the binary tetrahedral group and the binary octahedral group, with rotating illustrations.
^Stillwell 2001, p. 22.
^Koca, Al-Ajmi & Koc 2007.
^Coxeter 1973, p. 163: Coxeter notes that Thorold Gosset was apparently the first to see that the cells of the 24-cell honeycomb {3,4,3,3} are concentric with alternate cells of the tesseractic honeycomb {4,3,3,4}, and that this observation enabled Gosset's method of construction of the complete set of regular polytopes and honeycombs.
^ a bCoxeter 1973, p. 156: "...the chess-board has an n-dimensional analogue."
^Mamone, Pileio & Levitt 2010, pp. 1438–1439, §4.5 Regular Convex 4-Polytopes; the 24-cell has 1152 symmetry operations (rotations and reflections) as enumerated in Table 2, symmetry group 𝐹4.
^Coxeter 1973, p. 119, §7.1. Dimensional Analogy: "For instance, seeing that the circumference of a circle is 2π r, while the surface of a sphere is 4π r 2, ... it is unlikely that the use of analogy, unaided by computation, would ever lead us to the correct expression [for the hyper-surface of a hyper-sphere], 2π2r3."
^Kim & Rote 2016, p. 6, §5. Four-Dimensional Rotations.
^Perez-Gracia & Thomas 2017, §7. Conclusions; "Rotations in three dimensions are determined by a rotation axis and the rotation angle about it, where the rotation axis is perpendicular to the plane in which points are being rotated. The situation in four dimensions is more complicated. In this case, rotations are determined by two orthogonal planes and two angles, one for each plane. Cayley proved that a general 4D rotation can always be decomposed into two 4D rotations, each of them being determined by two equal rotation angles up to a sign change."
^Perez-Gracia & Thomas 2017.
^Perez-Gracia & Thomas 2017, pp. 12−13, §5. A useful mapping.
^Coxeter 1995, pp. 30–32, (Paper 3) Two aspects of the regular 24-cell in four dimensions; §3. The Dodecagonal Aspect;[cg] Coxeter considers the 150°/30° double rotation of period 12 which locates 12 of the 225 distinct 24-cells inscribed in the 120-cell, a regular 4-polytope with 120 dodecahedral cells that is the convex hull of the compound of 25 disjoint 24-cells.
^Perez-Gracia & Thomas 2017, pp. 2−3, §2. Isoclinic rotations.
^Kim & Rote 2016, pp. 7–10, §6. Angles between two Planes in 4-Space.
^Coxeter 1973, p. 141, §7.x. Historical remarks; "Möbius realized, as early as 1827, that a four-dimensional rotation would be required to bring two enantiomorphous solids into coincidence. This idea was neatly deployed by H. G. Wells in The Plattner Story."
^Feynman & Weinberg 1987, The reason for antiparticles.
^Mebius 2015, pp. 2–3, Motivation; "This research originated from ... the desire to construct a computer implementation of a specific motion of the human arm, known among folk dance experts as the Philippine wine dance or Binasuan and performed by physicist Richard P. Feynman during his Dirac memorial lecture 1986[53] to show that a single rotation (2𝝅) is not equivalent in all respects to no rotation at all, whereas a double rotation (4𝝅) is."
^Dorst 2019, p. 44, §1. Villarceau Circles; "In mathematics, the path that the (1, 1) knot on the torus traces is also known as a Villarceau circle. Villarceau circles are usually introduced as two intersecting circles that are the cross-section of a torus by a well-chosen plane cutting it. Picking one such circle and rotating it around the torus axis, the resulting family of circles can be used to rule the torus. By nesting tori smartly, the collection of all such circles then form a Hopf fibration.... we prefer to consider the Villarceau circle as the (1, 1) torus knot rather than as a planar cut."
^Kim & Rote 2016, pp. 8–9, Relations to Clifford parallelism.
^Kim & Rote 2016, p. 8, Left and Right Pairs of Isoclinic Planes.
^Tyrrell & Semple 1971, pp. 1–9, §1. Introduction.
^Tyrrell & Semple 1971, pp. 20–33, Clifford Parallel Spaces and Clifford Reguli.
^Coxeter 1973, pp. 292–293, Table I(i): Octahedron.
^Kim & Rote 2016, pp. 14–16, §8.3 Properties of the Hopf Fibration; Corollary 9. Every great circle belongs to a unique right [(and left)] Hopf bundle.
^Kim & Rote 2016, p. 12, §8 The Construction of Hopf Fibrations; 3.
^Tyrrell & Semple 1971, pp. 34–57, Linear Systems of Clifford Parallels.
^Coxeter 1973, pp. 292–293, Table I(ii); 24-cell h1 is {12}, h2 is {12/5}.
^Coxeter 1973, pp. 292–293, Table I(ii); 24-cell Petrie polygon h1 is {12}.
^Coxeter 1973, pp. 292–293, Table I(ii); 24-cell Petrie polygon orthogonal h2 is {12/5}, half of {24/5} as each Petrie polygon is half the 24-cell.
^Coxeter 1973, pp. 292–293, Table I(ii); "24-cell".
^Coxeter 1973, p. 139, §7.9 The characteristic simplex.
^Coxeter 1973, p. 290, Table I(ii); "dihedral angles".
^Coxeter 1973, pp. 130–133, §7.6 The symmetry group of the general regular polytope.
^Kim & Rote 2016, pp. 17–20, §10 The Coxeter Classification of Four-Dimensional Point Groups.
^Coxeter 1973, pp. 33–38, §3.1 Congruent transformations.
^Coxeter 1973, pp. 217–218, §12.2 Congruent transformations.
^Coxeter 1973, p. 138; "We allow the Schläfli symbol {p,..., v} to have three different meanings: a Euclidean polytope, a spherical polytope, and a spherical honeycomb. This need not cause any confusion, so long as the situation is frankly recognized. The differences are clearly seen in the concept of dihedral angle."
^Coxeter 1970, p. 18, §8. The simplex, cube, cross-polytope and 24-cell; Coxeter studied cell rings in the general case of their geometry and group theory, identifying each cell ring as a polytope in its own right which fills a three-dimensional manifold (such as the 3-sphere) with its corresponding honeycomb. He found that cell rings follow Petrie polygons[cg] and some (but not all) cell rings and their honeycombs are twisted, occurring in left- and right-handed chiral forms. Specifically, he found that since the 24-cell's octahedral cells have opposing faces, the cell rings in the 24-cell are of the non-chiral (directly congruent) kind.[do] Each of the 24-cell's cell rings has its corresponding honeycomb in Euclidean (rather than hyperbolic) space, so the 24-cell tiles 4-dimensional Euclidean space by translation to form the 24-cell honeycomb.
^Banchoff 2013, studied the decomposition of regular 4-polytopes into honeycombs of tori tiling the Clifford torus, showed how the honeycombs correspond to Hopf fibrations, and made a particular study of the 24-cell's 4 rings of 6 octahedral cells with illustrations.
Coxeter, H.S.M. (1970), "Twisted Honeycombs", Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics, 4, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society
Stillwell, John (January 2001). "The Story of the 120-Cell" (PDF). Notices of the AMS. 48 (1): 17–25.
Ghyka, Matila (1977). The Geometry of Art and Life. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-23542-4.
Banchoff, Thomas F. (2013). "Torus Decompostions of Regular Polytopes in 4-space". In Senechal, Marjorie (ed.). Shaping Space. Springer New York. pp. 257–266. doi:10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8.
Copher, Jessica (2019). "Sums and Products of Regular Polytopes' Squared Chord Lengths". arXiv:1903.06971 [math.MG].
van Ittersum, Clara (2020). Symmetry groups of regular polytopes in three and four dimensions (Thesis). Delft University of Technology.
Kim, Heuna; Rote, G. (2016). "Congruence Testing of Point Sets in 4 Dimensions". arXiv:1603.07269 [cs.CG].
Waegell, Mordecai; Aravind, P. K. (2009-11-12). "Critical noncolorings of the 600-cell proving the Bell-Kochen-Specker theorem". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 43 (10): 105304. arXiv:0911.2289. doi:10.1088/1751-8113/43/10/105304. S2CID 118501180.
Egan, Greg (23 December 2021). "Symmetries and the 24-cell". gregegan.net. Retrieved 10 October 2022.
Mamone, Salvatore; Pileio, Giuseppe; Levitt, Malcolm H. (2010). "Orientational Sampling Schemes Based on Four Dimensional Polytopes". Symmetry. 2 (3): 1423–1449. Bibcode:2010Symm....2.1423M. doi:10.3390/sym2031423.
Mebius, Johan (July 2015) [11 Jan 1994]. Applications of Quaternions to Dynamical Simulation, Computer Graphics and Biomechanics (Thesis). Delft University of Technology. doi:10.13140/RG.2.1.3310.3205.
Feynman, Richard; Weinberg, Steven (1987). Elementary particles and the laws of physics. Cambridge University Press.
Dorst, Leo (2019). "Conformal Villarceau Rotors". Advances in Applied Clifford Algebras. 29 (44). doi:10.1007/s00006-019-0960-5. S2CID 253592159.
Koca, Mehmet; Al-Ajmi, Mudhahir; Koc, Ramazan (November 2007). "Polyhedra obtained from Coxeter groups and quaternions". Journal of Mathematical Physics. 48 (11): 113514. Bibcode:2007JMP....48k3514K. doi:10.1063/1.2809467.
External links
24-cell animations
24-cell in stereographic projections
24-cell description and diagrams Archived 2007-07-15 at the Wayback Machine
Petrie dodecagons in the 24-cell: mathematics and animation software
или
или
.svg/1280px-Regular_star_figure_6(4,1).svg.png)
.svg/1280px-Regular_star_figure_4(6,1).svg.png)
.svg/1280px-Regular_star_figure_3(8,3).svg.png)
![{\displaystyle [32]R_{q7,q8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489741954b4269c41ef0d491551ee3eb322f003d)
![{\displaystyle [d]{R_{ql,qr}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bbb52ecdb49bbf48eca911c51159a7cde6297b5)
![{\displaystyle [4]R_{q7,q8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142972752f455c2ebf6dfa810fad486e42a64adc)
![{\displaystyle [4]R_{-q7,-q8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/979305387cd62fe7cd50162981451034c04d0a46)
![{\displaystyle [4]R_{q8,q7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce6367e92819738a98ca78a723632627cbac1d46)
![{\displaystyle [4]R_{-q8,-q7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ec9c74197b1c39b504adea0b886925dd1c3c53)
![{\displaystyle [16]R_{q7,q8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b226f3971360ad4951192127156d716546993525)
![{\displaystyle [32]R_{q7,-q8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75389b1a12b5ecc21fcf5aa341e21ea1a735185e)
![{\displaystyle [32]R_{q7,q7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac021392aa0cc4678c9af39214f175504d374ab)
![{\displaystyle [32]R_{q7,-q7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90455b7de215a272c1f8b03f89d553a617c778c2)
![{\displaystyle [16]R_{q7,q1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d24c32c1cbc71058e7641ea96c69e98007561df)
![{\displaystyle [16]R_{q7,-q1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f88d38fb45fb9aef8062cde605b83186924cd8)
![{\displaystyle [36]R_{q6,q6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a314e52d3680d2dc1dc28729f1ff0dbbf052b885)
![{\displaystyle [36]R_{q6,-q6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ebb3a857917b540fe0c670009be886efe59caa)
![{\displaystyle [144]R_{q6,-q4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5b13de83f9b8da9b3751c83873524f5eb6d267)
![{\displaystyle [72]R_{q4,q4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/306d2b2366566140b924e18d4538c03a27a3db95)
![{\displaystyle [96]R_{q2,q7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9526fab41f1ec7f186656fc326a4437467f564)
![{\displaystyle [18]R_{q2,-q2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ba6f25fdb101b789fc5799477ca895d33cfe98)
![{\displaystyle [12]R_{q2,q1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a697458f87b1290700d8ce01919f215dc0b038ea)
![{\displaystyle [1]R_{q1,q1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b5c23335f59d47afb2203de0dd0057e5195b2b0)
![{\displaystyle [1]R_{q1,-q1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4bd1b012a0bed1d34937533f1cc8a6bf4afb73)
![{\displaystyle \gamma _{4}[2\beta _{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed6d31ffad37e44fd0966bb3f883b38a4fb178c)
