индийская математика

Развитие математики в Южной Азии

Индийская математика возникла на индийском субконтиненте ^[1] с 1200 г. до н. э. ^[2] до конца 18-го века. В классический период индийской математики (400 г. н. э. - 1200 г. н. э.) важный вклад внесли такие ученые, как Арьябхата , Брахмагупта , Бхаскара II , Варахамихира и Мадхава . Десятичная система счисления , используемая сегодня ^[3], была впервые зафиксирована в индийской математике. ^[4] Индийские математики внесли ранний вклад в изучение концепции нуля как числа, ^[5] отрицательных чисел , ^[6] арифметики и алгебры . ^[7] Кроме того, тригонометрия ^[8] получила дальнейшее развитие в Индии, и, в частности, там были разработаны современные определения синуса и косинуса . ^[9] Эти математические концепции были переданы на Ближний Восток, в Китай и Европу ^[7] и привели к дальнейшему развитию, которое теперь составляет основу многих областей математики.

Древние и средневековые индийские математические работы, все написанные на санскрите , обычно состояли из раздела сутр , в котором набор правил или задач излагался с большой экономией в стихах, чтобы помочь ученику запомнить их. За этим следовал второй раздел, состоящий из прозаического комментария (иногда нескольких комментариев разных ученых), который более подробно объяснял проблему и давал обоснование решения. В прозаическом разделе форма (и, следовательно, ее запоминание) не считалась столь важной, как вовлеченные идеи. ^{[1] [10]} Все математические работы передавались устно примерно до 500 г. до н. э.; после этого они передавались как устно, так и в рукописной форме. Самым старым сохранившимся математическим документом, созданным на индийском субконтиненте, является берестяная рукопись Бахшали , обнаруженная в 1881 г. в деревне Бахшали , недалеко от Пешавара (современный Пакистан ), и, вероятно, датируется 7 в. н. э. ^{[11] [12]}

Более поздней вехой в индийской математике стала разработка рядов для тригонометрических функций (синуса, косинуса и арктангенса ) математиками школы Кералы в 15 веке н. э. Их работа, завершенная за два столетия до изобретения исчисления в Европе, предоставила то, что сейчас считается первым примером степенного ряда (помимо геометрических рядов). ^[13] Однако они не сформулировали систематическую теорию дифференцирования и интегрирования , и нет никаких прямых свидетельств того, что их результаты были переданы за пределы Кералы . ^{[14] [15] [16] [17]}

Предыстория

Кубические веса, стандартизированные в цивилизации долины Инда

Раскопки в Хараппе , Мохенджо-Даро и других местах цивилизации долины Инда обнаружили доказательства использования «практической математики». Люди цивилизации долины Инда изготавливали кирпичи, размеры которых находились в пропорции 4:2:1, что считалось благоприятным для устойчивости кирпичной конструкции. Они использовали стандартизированную систему весов, основанную на соотношениях: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 и 500, с единичным весом, равным приблизительно 28 граммам (и приблизительно равным английской унции или греческой унции). Они массово производили грузы в правильных геометрических формах, которые включали гексаэдры , бочки , конусы и цилиндры , тем самым демонстрируя знание базовой геометрии . ^[18]

Жители цивилизации Инда также пытались стандартизировать измерение длины с высокой степенью точности. Они спроектировали линейку — линейку Мохенджо-Даро — единица длины которой (приблизительно 1,32 дюйма или 3,4 сантиметра) была разделена на десять равных частей. Кирпичи, изготовленные в древнем Мохенджо-Даро, часто имели размеры, которые были целыми кратными этой единицы длины. ^{[19] [20]}

Полые цилиндрические предметы, сделанные из ракушек и найденные в Лотхале (2200 г. до н. э.) и Дхолавире , демонстрируют способность измерять углы на плоскости, а также определять положение звезд для навигации. ^[21]

Ведический период

Самхиты и Брахманы

Религиозные тексты ведического периода предоставляют доказательства использования больших чисел . Ко времени Яджурведа-самхиты (1200–900 гг. до н. э.) в тексты включались числа вплоть до 10 ^{12. [2]} Например, мантра (священное чтение) в конце аннахомы ( «ритуала жертвоприношения пищи»), исполняемого во время ашвамедхи и произносимого непосредственно перед восходом солнца, во время восхода солнца и сразу после него, вызывает степени числа десять от ста до триллиона: ^[2]

Слава śata («сто», 10 ² ), слава sahasra («тысяча», 10 ³ ), слава ayuta («десять тысяч», 10 ⁴ ), слава niyuta («сто тысяч», 10 ⁵ ), слава prayuta («миллион», 10 ⁶ ), слава arbuda («десять миллионов», 10 ⁷ ), слава nyarbuda («сто миллионов», 10 ⁸ ), слава samudra («миллиард», 10 ⁹ , буквально «океан»), слава madhya («десять миллиардов», 10 ¹⁰ , буквально «середина»), слава anta («сто миллиардов», 10 ¹¹ , буквально «конец»), слава parārdha («один триллион», 10 ¹² буквально «за пределами части»), приветствую ушас (рассвет), приветствую вьюшти (сумерки), приветствую удешьят (тот, кто собирается взойти), приветствую удят (тот, кто восходит), приветствую удита (тот, кто только что взошел), приветствую сваргу (небеса), приветствую мартью (мир), приветствую всех. ^[2]

Решение простейшей дроби было известно людям Ригведы, как указано в Пуруш Сукте (РВ 10.90.4):

С тремя четвертями Пуруша поднялся наверх: одна четвертая его часть снова была здесь.

В « Шатапатха -брахмане» ( около 7 в. до н. э.) содержатся правила ритуальных геометрических построений, которые похожи на «Сульба-сутры». ^[22]

Сутры Шульба

В «Сулба-сутрах» (буквально «Афоризмы аккордов» на ведическом санскрите ) (ок. 700–400 гг. до н. э.) перечислены правила строительства жертвенных огненных алтарей. ^[23] Большинство математических задач, рассматриваемых в « Сулба-сутрах», исходят из «единого теологического требования» ^[24] , а именно, строительства огненных алтарей, которые имеют разные формы, но занимают одну и ту же площадь. Алтари должны были быть построены из пяти слоев обожженного кирпича, с дополнительным условием, что каждый слой состоит из 200 кирпичей и что никакие два соседних слоя не имеют конгруэнтного расположения кирпичей. ^[24]

По словам Хаяси, « Сульба-сутры» содержат «самое раннее сохранившееся словесное выражение теоремы Пифагора в мире, хотя она была известна уже древним вавилонянам ».

Диагональная веревка ( akṣṇayā-rajju ) продолговатого (прямоугольника) производит то же, что боковая ( pārśvamāni ) и горизонтальная ( tiryaṇmānī ) <веревки> производятся по отдельности». ^[25]

Поскольку это утверждение является сутрой , оно обязательно сжато, и то, что производят веревки, не уточняется, но контекст явно подразумевает квадратные площади, построенные на их длинах, и учитель мог бы объяснить это ученику. ^[25]

Они содержат списки Пифагоровых троек , ^[26] которые являются частными случаями Диофантовых уравнений . ^[27] Они также содержат утверждения (которые, как мы знаем задним числом, являются приблизительными) о квадратуре круга и «обхождении квадрата». ^[28]

Баудхаяна (ок. VIII в. до н. э.) составил « Сутру Баудхаяны Сульба» , самую известную «Сутру Сульба» , которая содержит примеры простых пифагорейских троек, таких как: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8, 15, 17) , (7, 24, 25) и (12, 35, 37) , ^[29] , а также утверждение теоремы Пифагора для сторон квадрата: «Веревка, натянутая по диагонали квадрата, образует площадь, в два раза превышающую площадь исходного квадрата». ^{[29] [30]} Она также содержит общее утверждение теоремы Пифагора (для сторон прямоугольника): «Веревка, натянутая по длине диагонали прямоугольника, образует площадь, которую вместе составляют вертикальная и горизонтальная стороны». ^[29] Баудхаяна дает выражение для квадратного корня из двух : ^[31]

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}=1.4142156\ldots }$

Выражение является точным до пяти знаков после запятой, истинное значение составляет 1,41421356... ^[32] Это выражение по структуре похоже на выражение, найденное на месопотамской табличке ^[33] из древневавилонского периода (1900–1600 гг. до н. э. ): ^[31]

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421297\ldots }$

что выражает √ 2 в шестидесятеричной системе и имеет точность до 5 знаков после запятой.

По словам математика С. Г. Дани, вавилонская клинописная табличка Plimpton 322, написанная около 1850 г. до н. э. ^[34], «содержит пятнадцать пифагорейских троек с довольно большими записями, включая (13500, 12709, 18541), которая является примитивной тройкой, ^[35] указывая, в частности, на то, что в Месопотамии в 1850 г. до н. э. существовало сложное понимание этой темы». «Поскольку эти таблички на несколько столетий старше периода Сульбасутры, принимая во внимание контекстуальное появление некоторых троек, разумно ожидать, что подобное понимание могло быть и в Индии». ^[36] Дани продолжает:

Поскольку главной целью Сульвасутры было описание конструкций алтарей и геометрических принципов, задействованных в них, тема пифагорейских троек, даже если бы она была хорошо понята, все равно могла не фигурировать в Сульвасутре . Появление троек в Сульвасутре сравнимо с математикой, с которой можно столкнуться во вводной книге по архитектуре или другой подобной прикладной области, и не будет напрямую соответствовать общим знаниям по теме в то время. Поскольку, к сожалению, не было найдено никаких других современных источников, возможно, никогда не будет возможности решить этот вопрос удовлетворительно. ^[36]

Всего было составлено три сутры Сульба . Оставшиеся две, сутра Манава Сульба, составленная Манавой (ок. 750–650 гг. до н. э.), и сутра Апастамба Сульба , составленная Апастамбой (ок. 600 г. до н. э.), содержали результаты, схожие с сутрой Баудхаяна Сульба .

Вьякарана

Важной вехой ведического периода была работа санскритского грамматика Панини (ок. 520–460 до н. э.). Его грамматика включает раннее использование булевой логики , нулевого оператора и контекстно-свободных грамматик , а также включает предшественника формы Бэкуса–Наура ( используемой в языках программирования описания ). ^{[37] [38]}

Пингала (300 г. до н.э. – 200 г. до н.э.)

Среди учёных постведического периода, внёсших вклад в математику, наиболее известен Пингала ( piṅgalá ) ( ок. 300–200 гг. до н. э.), теоретик музыки , автор Чхандас Шастры ( chandaḥ-śāstra , также Chhandas Sutra chhandaḥ-sūtra ), санскритского трактата о просодии . Работа Пингалы также содержит основные идеи чисел Фибоначчи (называемых maatraameru ). Хотя Чандах сутра не сохранилась полностью, сохранился комментарий к ней Халаюдхи, написанный в X веке. Халаюдха, который называет треугольник Паскаля Меру -прастара (буквально «лестница на гору Меру»), говорит следующее:

Начертите квадрат. Начиная с половины квадрата, начертите под ним два других подобных квадрата; под этими двумя — еще три квадрата и так далее. Разметку следует начать с того, что в первом квадрате поставьте 1. В каждом из двух квадратов второй строки поставьте 1. В третьей строке поставьте 1 в двух квадратах на концах, а в среднем квадрате — сумму цифр в двух квадратах, лежащих над ним. В четвертой строке поставьте 1 в двух квадратах на концах. В средних квадратах поставьте сумму цифр в двух квадратах над каждым. Продолжайте таким образом. Из этих строк вторая дает комбинации с одним слогом, третья — комбинации с двумя слогами, ... ^[39]

Текст также указывает на то, что Пингала знал о комбинаторной идентичности: ^[40]

${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n}}$

Катьяяна

Катьяяна (ок. 3 в. до н. э.) примечателен тем, что был последним из ведических математиков. Он написал Катьяяна Сульба Сутру , в которой изложено много геометрии , включая общую теорему Пифагора и вычисление квадратного корня из 2 с точностью до пяти знаков после запятой.

Джайнская математика (400 г. до н.э. – 200 г. н.э.)

Хотя джайнизм как религия и философия существовал до своего самого известного представителя, великого Махавирасвами (6 век до н. э.), большинство джайнских текстов на математические темы были составлены после 6 века до н. э. Джайнские математики важны исторически как важнейшие связующие звенья между математикой ведического периода и математикой «классического периода».

Значительный исторический вклад джайнских математиков состоял в том, что они освободили индийскую математику от религиозных и ритуальных ограничений. В частности, их увлечение перечислением очень больших чисел и бесконечностей привело их к классификации чисел на три класса: перечислимые, неисчислимые и бесконечные . Не довольствуясь простым понятием бесконечности, их тексты определяют пять различных типов бесконечности: бесконечность в одном направлении, бесконечность в двух направлениях, бесконечность по площади, бесконечность везде и бесконечность вечно. Кроме того, джайнские математики разработали обозначения для простых степеней (и показателей) чисел, таких как квадраты и кубы, что позволило им определить простые алгебраические уравнения ( bījagaṇita samīkaraṇa ). Джайнские математики, по-видимому, также были первыми, кто использовал слово шунья (буквально пустота на санскрите ) для обозначения нуля. Это слово является окончательным этимологическим источником английского слова «zero» , поскольку оно было калькировано в арабский язык как ṣifr , а затем впоследствии заимствовано в средневековую латынь как zephirum , и, наконец, попало в английский язык после прохождения через один или несколько романских языков (ср. французский zéro , итальянский zero ). ^[41]

В дополнение к Surya Prajnapti , важные джайнские работы по математике включают Sthānāṅga Sūtra (ок. 300 г. до н. э. - 200 г. н. э.); Anuyogadwara Sutra (ок. 200 г. до н. э. - 100 г. н. э.), которая включает в себя самое раннее известное описание факториалов в индийской математике; ^[42] и Ṣaṭkhanṅḍāgama (ок. 2 в. н. э.). Важными джайнскими математиками были Bhadrabahu (ум. 298 г. до н. э.), автор двух астрономических работ, Bhadrabahavi-Samhita и комментария к Surya Prajnapti ; Yativrisham Acharya (ок. 176 г. до н. э.), который был автором математического текста под названием Tiloyapannati ; и Умасвати (ок. 150 г. до н. э.), который, хотя и более известен своими влиятельными трудами по джайнской философии и метафизике , написал математический труд под названием « Таттвартха-сутра» .

Устная традиция

Математики древней и раннесредневековой Индии почти все были санскритскими пандитами ( paṇḍita «ученый человек»), ^[43] которые были обучены санскритскому языку и литературе и обладали «общим запасом знаний по грамматике ( vyākaraṇa ), экзегезе ( mīmāṃsā ) и логике ( nyāya )». ^[43] Запоминание «того, что услышано» ( śruti на санскрите) посредством декламации играло важную роль в передаче священных текстов в древней Индии. Запоминание и декламация также использовались для передачи философских и литературных произведений, а также трактатов по ритуалу и грамматике. Современные ученые древней Индии отмечают «действительно замечательные достижения индийских пандитов, которые сохраняли чрезвычайно объемные тексты устно на протяжении тысячелетий». ^[44]

Стили запоминания

Древняя индийская культура тратила колоссальную энергию на то, чтобы эти тексты передавались из поколения в поколение с необычайной точностью. ^[45] Например, заучивание священных Вед включало до одиннадцати форм декламации одного и того же текста. Тексты впоследствии «проверялись» путем сравнения различных декламированных версий. Формы декламации включали джата-патха (буквально «сетчатая декламация»), в которой каждые два соседних слова в тексте сначала декламировались в их первоначальном порядке, затем повторялись в обратном порядке и, наконец, повторялись в первоначальном порядке. ^[46] Таким образом, декламация происходила следующим образом:

слово1слово2, слово2слово1, слово1слово2; слово2слово3, слово3слово2, слово2слово3; ...

В другой форме декламации, дхваджа-патха ^[46] (дословно «декламация флагов»), последовательность из N слов декламировалась (и запоминалась) путем объединения первых двух и последних двух слов, а затем продолжалась следующим образом:

слово ₁ слово ₂ , слово _{N − 1} слово _N ; слово ₂ слово ₃ , слово _{N − 2} слово _{N − 1} ; ..; слово _{N − 1} слово _N , слово ₁ слово ₂ ;

Самая сложная форма декламации, гхана-патха (буквально «плотная декламация»), по словам Филлиозата ^[46] , имела вид:

слово1слово2, слово2слово1, слово1слово2слово3, слово3слово2слово1, слово1слово2слово3; слово2слово3, слово3слово2, слово2слово3слово4, слово4слово3слово2, слово2слово3слово4; ...

О том, что эти методы были эффективны, свидетельствует сохранение древнейшего индийского религиозного текста, Ригведы (ок. 1500 г. до н. э.), как единого текста, без каких-либо разночтений. ^[46] Аналогичные методы использовались для запоминания математических текстов, передача которых оставалась исключительно устной до конца ведического периода (ок. 500 г. до н. э.).

TheСутражанр

Математическая деятельность в Древней Индии началась как часть «методологического размышления» над священными Ведами , которое приняло форму трудов, называемых Ведангами , или «Вспомогательными материалами Вед» (VII–IV вв. до н. э.). ^[47] Необходимость сохранения звучания священного текста с помощью шикши ( фонетики ) и чхандас ( метрики ); сохранения его смысла с помощью вьякараны ( грамматики ) и нирукты ( этимологии ); и правильного выполнения обрядов в правильное время с помощью кальпы ( ритуала ) и джьотиши ( астрологии ), привела к появлению шести дисциплин Веданг . [ ^47] Математика возникла как часть последних двух дисциплин, ритуала и астрономии (которая также включала астрологию). Поскольку Веданги непосредственно предшествовали использованию письма в Древней Индии, они образовали последнюю часть исключительно устной литературы. Они были выражены в сильно сжатой мнемонической форме, сутре (буквально «нить»):

Знатоки сутры знают , что она имеет мало фонем, лишена двусмысленности, содержит суть, обращена ко всему, не имеет пауз и не вызывает возражений. ^[47]

Крайняя краткость достигалась несколькими способами, в том числе использованием многоточия «за пределами допустимого для естественного языка» ^[47], использованием технических названий вместо более длинных описательных названий, сокращением списков путем упоминания только первой и последней записи, а также использованием маркеров и переменных. ^[47] Сутры создают впечатление, что общение через текст было «только частью всего наставления. Остальная часть наставления, должно быть , передавалась по так называемой Гуру-шишья парампаре , «непрерывной преемственности от учителя ( гуру ) к ученику ( шисья )», и она не была открыта для широкой публики» и, возможно, даже держалась в секрете. ^[48] Краткость, достигнутая в сутре, демонстрируется в следующем примере из Баудхаяна Шульба Сутры (700 г. до н. э.).

Проект домашнего огненного алтаря в « Шулба-сутре»

Домашний огненный алтарь в ведический период требовал по ритуалу иметь квадратное основание и состоять из пяти слоев кирпичей с 21 кирпичом в каждом слое. Один из методов строительства алтаря состоял в том, чтобы разделить одну сторону квадрата на три равные части с помощью шнура или веревки, затем разделить поперечную (или перпендикулярную) сторону на семь равных частей и тем самым подразделить квадрат на 21 конгруэнтный прямоугольник. Затем кирпичи были спроектированы так, чтобы иметь форму составляющего прямоугольника, и был создан слой. Для формирования следующего слоя использовалась та же формула, но кирпичи были расположены поперечно. ^[49] Затем процесс был повторен еще три раза (с чередованием направлений), чтобы завершить строительство. В Baudhāyana Śulba Sūtra эта процедура описана следующими словами:

II.64. Разделив четырехугольник на семь, делят поперечный [шнур] на три.
II.65. В другом слое кладут [кирпичи], указывающие на север. ^[49]

Согласно Филлиозату ^[50] , священнослужитель, строящий алтарь, имеет в своем распоряжении лишь несколько инструментов и материалов: шнур (санскрит, rajju , ж. р.), два колышка (санскрит, śanku , муж. р.) и глина для изготовления кирпичей (санскрит, iṣṭakā , ж. р.). Краткость достигается в сутре , поскольку явно не упоминается, что определяет прилагательное «поперечный»; однако из женской формы прилагательного (санскрит) легко выводится, что оно определяет «шнур». Аналогично, во второй строфе «кирпичи» явно не упоминаются, но снова подразумеваются женской формой множественного числа от «North-pointing». Наконец, в первой строфе нигде прямо не говорится, что первый слой кирпичей ориентирован в направлении восток-запад, но это также подразумевается явным упоминанием «направления на север» во второй строфе; поскольку, если бы ориентация подразумевалась одинаковой в двух слоях, она либо не упоминалась бы вообще, либо упоминалась бы только в первой строфе. Все эти выводы делает священнослужитель, когда он вспоминает формулу. ^[49]

Письменная традиция: прозаический комментарий

С ростом сложности математики и других точных наук потребовались как письмо, так и вычисления. В результате многие математические работы стали записываться в рукописях, которые затем копировались и переписывались из поколения в поколение.

Сегодня в Индии насчитывается около тридцати миллионов рукописей, что является крупнейшим в мире собранием рукописных материалов для чтения. Письменная культура индийской науки восходит по крайней мере к пятому веку до нашей эры... как показывают элементы месопотамской литературы о предзнаменованиях и астрономии, которые проникли в Индию в то время и (не) были... определенно сохранены устно. ^[51]

Самый ранний математический прозаический комментарий был на работу Āryabhaṭīya (написана в 499 г. н. э.), работу по астрономии и математике. Математическая часть Āryabhaṭīya состояла из 33 сутр (в стихотворной форме), состоящих из математических утверждений или правил, но без каких-либо доказательств. ^[52] Однако, по словам Хаяши, ^[53] «это не обязательно означает, что их авторы не доказывали их. Вероятно, это был вопрос стиля изложения». Со времени Бхаскары I (600 г. н. э. и далее) прозаические комментарии все чаще стали включать некоторые производные ( upapatti ). Комментарий Бхаскары I к Āryabhaṭīya имел следующую структуру: ^[52]

• Правило ('сутра') в стихах Арьябхаты
• Комментарий Бхаскары I, состоящий из:
  • Разъяснение правила (тогда производные были еще редки, но позже стали более распространенными)
  • Пример ( uddeśaka ) обычно в стихах.
  • Установка ( nyāsa/sthāpanā ) числовых данных.
  • Обработка ( карана ) раствора.
  • Проверка ( pratyayakaraṇa , буквально «убеждать») ответа. Они стали редкими к 13 веку, к тому времени предпочтение отдавалось выводам или доказательствам. ^[52]

Обычно для любой математической темы ученики в Древней Индии сначала запоминали сутры , которые, как объяснялось ранее, были «намеренно неадекватны» ^[51] в пояснительных деталях (чтобы лаконично передать голые математические правила). Затем ученики работали над темами прозаического комментария, записывая (и рисуя диаграммы) на меловых и пыльных досках ( т. е. досках, покрытых пылью). Последнее занятие, являющееся основным элементом математической работы, позже побудило математика-астронома Брахмагупту ( около 7 в. н. э.) охарактеризовать астрономические вычисления как «пыльную работу» (санскрит: dhulikarman ). ^[54]

Цифры и десятичная система счисления

Хорошо известно, что десятичная система счисления, используемая сегодня, была впервые зафиксирована в Индии, затем передана в исламский мир и, в конечном итоге, в Европу. ^[55] Сирийский епископ Северус Себохт писал в середине VII века н. э. о «девяти знаках» индийцев для выражения чисел. ^[55] Однако как, когда и где была изобретена первая десятичная система счисления, не совсем ясно. ^[56]

Самым ранним сохранившимся письмом , использовавшимся в Индии, было письмо кхароштхи , использовавшееся в культуре Гандхара на северо-западе. Считается, что оно имеет арамейское происхождение и использовалось с 4-го века до н. э. по 4-й век н. э. Почти одновременно с ним на большей части субконтинента появилось другое письмо, письмо брахми , которое позже стало основой многих письменностей Южной Азии и Юго-Восточной Азии. Оба письма имели числовые символы и числовые системы, которые изначально не основывались на системе разрядных значений. ^[57]

Самые ранние сохранившиеся свидетельства использования десятичных цифр в Индии и Юго-Восточной Азии относятся к середине первого тысячелетия н. э. ^[58] На медной пластине из Гуджарата, Индия, указана дата 595 г. н. э., записанная в десятичной системе счисления, хотя есть некоторые сомнения относительно подлинности пластины. ^[58] Десятичные цифры, записывающие годы 683 г. н. э., также были найдены в надписях на камнях в Индонезии и Камбодже, где индийское культурное влияние было существенным. ^[58]

Существуют более древние текстовые источники, хотя сохранившиеся рукописные копии этих текстов относятся к гораздо более поздним датам. ^[59] Вероятно, самым ранним таким источником является работа буддийского философа Васумитры, датируемая, вероятно, I в. н. э. ^[59] Обсуждая счетные ямы торговцев, Васумитра замечает: «Когда [та же] глиняная счетная деталь находится на месте единиц, она обозначается как один, когда в сотнях — как сто». ^[59] Хотя такие ссылки, по-видимому, подразумевают, что его читатели знали о представлении значений в десятичном разряде, «краткость их намеков и неоднозначность их дат, однако, не устанавливают надежно хронологию развития этой концепции». ^[59]

Третье десятичное представление использовалось в технике стихотворной композиции, позже названной Бхута-санкхья (дословно «числа объектов»), которую использовали ранние санскритские авторы технических книг. ^[60] Поскольку многие ранние технические работы были написаны в стихах, числа часто представлялись объектами в естественном или религиозном мире, которые им соответствовали; это позволяло установить соответствие «многие к одному» для каждого числа и упрощало стихотворную композицию. ^[60] По словам Плофкера, ^[61] число 4, например, можно было представить словом « Веда » (поскольку таких религиозных текстов было четыре), число 32 — словом «зубы» (поскольку полный набор состоит из 32), а число 1 — словом «луна» (поскольку есть только одна луна). ^[60] Таким образом, Веда/зубы/луна соответствовали бы десятичному числу 1324, поскольку соглашение для чисел заключалось в том, чтобы перечислять их цифры справа налево. ^[60] Самое раннее упоминание, использующее номера объектов, относится к санскритскому тексту около 269 г. н. э. Yavanajātaka (буквально «греческий гороскоп») Спхуджидхваджи, стихотворной версии более ранней (около 150 г. н. э.) индийской прозаической адаптации утерянного труда по эллинистической астрологии. ^[62] Такое использование, по-видимому, подтверждает тот факт, что к середине 3-го века н. э. система значений десятичной позиции была знакома, по крайней мере читателям астрономических и астрологических текстов в Индии. ^[60]

Была выдвинута гипотеза, что индийская система десятичной разрядности была основана на символах, которые использовались на китайских счетных досках еще в середине первого тысячелетия до нашей эры. ^[63] По словам Плофкера, ^[61]

Эти счетные доски, как и индийские счетные ямы, ..., имели десятичную позиционную структуру значений ... Индийцы вполне могли узнать об этих десятичных позиционных «стержневых цифрах» от китайских буддийских паломников или других путешественников, или они могли разработать эту концепцию независимо от своей более ранней безпозиционной системы; никаких документальных свидетельств, подтверждающих какой-либо из выводов, не сохранилось». ^[63]

Рукопись Бахшали

Древнейшей сохранившейся математической рукописью в Индии является рукопись Бахшали , рукопись на бересте, написанная на «буддийском гибридном санскрите» ^[12] письмом Шарада , которое использовалось в северо-западном регионе индийского субконтинента между VIII и XII веками н. э. ^[64] Рукопись была обнаружена в 1881 году фермером во время раскопок каменного ограждения в деревне Бахшали, недалеко от Пешавара (тогда в Британской Индии , а теперь в Пакистане ). Авторство неизвестно, рукопись в настоящее время хранится в Бодлианской библиотеке Оксфордского университета . Недавно ее датировали 224–383 гг. н. э. ^[65]

Сохранившаяся рукопись насчитывает семьдесят листов, некоторые из которых находятся во фрагментах. Ее математическое содержание состоит из правил и примеров, написанных в стихах, вместе с прозаическими комментариями, которые включают решения примеров. ^[64] Рассматриваемые темы включают арифметику (дроби, квадратные корни, прибыль и убыток, простые проценты, правило трех и regula falsi ) и алгебру (одновременные линейные уравнения и квадратные уравнения ), а также арифметические прогрессии. Кроме того, есть несколько геометрических задач (включая задачи об объемах нерегулярных твердых тел). Рукопись Бахшали также «использует десятичную систему значений с точкой для нуля». ^[64] Многие из ее задач относятся к категории, известной как «задачи выравнивания», которые приводят к системам линейных уравнений. Один пример из фрагмента III-5-3v следующий:

У одного торговца есть семь лошадей асава , у другого — девять лошадей хая , а у третьего — десять верблюдов. Они одинаково богаты по стоимости своих животных, если каждый дает по два животных, по одному каждому из остальных. Найдите цену каждого животного и общую стоимость животных, которыми владеет каждый торговец. ^[66]

Прозаический комментарий, сопровождающий пример, решает задачу, преобразуя ее в три (недоопределенных) уравнения с четырьмя неизвестными и предполагая, что все цены являются целыми числами. ^[66]

В 2017 году радиоуглеродное датирование показало, что три образца рукописи относятся к трем разным векам: с 224 по 383 гг. н. э., 680-779 гг. н. э. и 885-993 гг. н. э. Неизвестно, как фрагменты из разных веков оказались упакованы вместе. ^{[67] [68] [69]}

Классический период (400–1300)

Этот период часто называют золотым веком индийской математики. В этот период такие математики, как Арьябхата , Варахамихира , Брахмагупта , Бхаскара I , Махавира , Бхаскара II , Мадхава из Сангамаграма и Нилакантха Сомаяджи, придали более широкую и ясную форму многим разделам математики. Их вклад распространился на Азию, Ближний Восток и, в конечном итоге, на Европу. В отличие от ведической математики, их работы включали как астрономические, так и математические вклады. Фактически, математика того периода была включена в «астральную науку» ( джьотихшастра ) и состояла из трех поддисциплин: математические науки ( ганита или тантра ), гороскопическая астрология ( хора или джатака ) и гадание (самхита). ^[54] Это трехстороннее разделение можно увидеть в компиляции Варахамихиры VI века — Панчасиддхантика ^[70] (буквально панча , «пять», сиддханта , «заключение обсуждения», датированной 575 годом н.э. ) — пяти более ранних работ: Сурья Сиддханта , Ромака Сиддханта , Паулиса Сиддханта , Васиштха Сиддханта и Пайтамаха . , которые были адаптацией еще более ранних работ месопотамской, греческой, египетской, римской и индийской астрономии. Как объяснялось ранее, основные тексты были составлены стихами на санскрите и сопровождались комментариями в прозе. ^[54]

Четвертый-шестой века

Сурья Сиддханта

Хотя авторство неизвестно, « Сурья-сиддханта» (ок. 400 г.) содержит корни современной тригонометрии . ^{[ требуется ссылка ]} Поскольку в ней содержится много слов иностранного происхождения, некоторые авторы считают, что она была написана под влиянием Месопотамии и Греции. ^{[71] [ требуется лучший источник ]}

В этом древнем тексте впервые в качестве тригонометрических функций используются следующие: ^{[ необходима ссылка ]}

• Синус ( Джья ).
• Косинус ( Коджья ).
• Арксинус ( Открам джья ).

Позднее на этот текст ссылались индийские математики, такие как Арьябхата, а более поздние переводы на арабский и латинский языки оказали большое влияние в Европе и на Ближнем Востоке.

Календарь Чхеди

В этом календаре Чхеди (594 г.) содержится раннее использование современной позиционной индо-арабской системы счисления, которая в настоящее время используется повсеместно.

Арьябхата I

Арьябхата (476–550) написал Арьябхатия. Он описал важные фундаментальные принципы математики в 332 шлоках . Трактат содержал:

• Квадратные уравнения
• Тригонометрия
• Значение числа π с точностью до 4 знаков после запятой.

Арьябхата также написал « Арья Сиддханту» , которая сейчас утеряна. Вклад Арьябхаты включает в себя:

Тригонометрия:

(См. также: таблицу синусов Арьябхаты )

• Ввел тригонометрические функции .
• Определил синус ( jya ) как современное отношение между половиной угла и половиной хорды.
• Определил косинус ( коджья ).
• Дал определение стиху ( уткрама-джья ).
• Определил обратный синус ( открам джа ).
• Приведены методы расчета их приблизительных числовых значений.
• Содержит самые ранние таблицы значений синуса, косинуса и версина с интервалами 3,75° от 0° до 90°, с точностью до 4 знаков после запятой.
• Содержит тригонометрическую формулу sin( n + 1) x − sin nx = sin nx − sin( n − 1) x − (1/225)sin nx .
• Сферическая тригонометрия .

Арифметика:

• Цепные дроби .

Алгебра:

• Решения систем квадратных уравнений.
• Целочисленные решения линейных уравнений методом, эквивалентным современному методу.
• Общее решение неопределенного линейного уравнения.

Математическая астрономия:

• Точные расчеты астрономических констант, таких как:
  • Солнечное затмение .
  • Лунное затмение .
  • Формула для суммы кубов , которая стала важным шагом в развитии интегрального исчисления. ^[72]

Варахамихира

Варахамихира (505–587) создал « Панча Сиддханту» ( Пять астрономических канонов ). Он внес важный вклад в тригонометрию, включая таблицы синусов и косинусов с точностью до 4 знаков после запятой и следующие формулы, связывающие функции синуса и косинуса :

• ${\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$
• ${\displaystyle \sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {1-\cos(2x)}{2}}=\sin ^{2}(x)}$

Седьмой и восьмой века

Теорема Брахмагупты утверждает, что AF = FD .

В VII веке в индийской математике начали формироваться две отдельные области: арифметика (включавшая измерение ) и алгебра . Позднее эти две области будут называться pāṭī-gaṇita (буквально «математика алгоритмов») и bīja-gaṇita (буквально «математика семян», где «семена» — подобно семенам растений — представляют собой неизвестные с потенциалом генерировать, в данном случае, решения уравнений). ^[73] Брахмагупта в своем астрономическом труде Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 г. н. э.) включил две главы (12 и 18), посвященные этим областям. Глава 12, содержащая 66 санскритских стихов, была разделена на два раздела: «основные операции» (включая кубические корни, дроби, отношение и пропорцию, а также бартер) и «практическая математика» (включая смешение, математические ряды, плоские фигуры, укладку кирпичей, распиловку леса и укладку зерна). ^[74] В последнем разделе он сформулировал свою знаменитую теорему о диагоналях вписанного четырехугольника : ^[74]

Теорема Брахмагупты: Если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны друг другу, то перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к любой стороне четырехугольника, всегда делит пополам противоположную сторону.

Глава 12 также включала формулу для площади вписанного четырехугольника (обобщение формулы Герона ), а также полное описание рациональных треугольников ( т. е. треугольников с рациональными сторонами и рациональными площадями).

Формула Брахмагупты: Площадь A вписанного четырехугольника со сторонами длиной a , b , c , d соответственно определяется по формуле

${\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,}$

где s — полупериметр , определяемый как ${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Теорема Брахмагупты о рациональных треугольниках: Треугольник с рациональными сторонами и рациональной площадью имеет вид: ${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)}$

для некоторых рациональных чисел и . ^[75] ${\displaystyle u,v,}$ ${\displaystyle w}$

Глава 18 содержала 103 санскритских стиха, которые начинались с правил арифметических операций с нулём и отрицательными числами ^[74] и считаются первым систематическим рассмотрением предмета. Все правила (включая и ) были правильными, за одним исключением: . ^[74] Позже в главе он дал первое явное (хотя всё ещё не полностью общее) решение квадратного уравнения : ${\displaystyle a+0=\ a}$ ${\displaystyle a\times 0=0}$ ${\displaystyle {\frac {0}{0}}=0}$

${\displaystyle \ ax^{2}+bx=c}$

К абсолютному числу, умноженному на четырехкратный [коэффициент] квадрата, прибавьте квадрат [коэффициента] среднего члена; квадратный корень из того же числа за вычетом [коэффициента] среднего члена, деленный на удвоенный [коэффициент] квадрата, и будет значением. ^[76]

Это эквивалентно:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

Также в главе 18 Брахмагупта смог добиться прогресса в нахождении (интегральных) решений уравнения Пелла , ^[77]

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1,}$

где — неквадратное целое число. Он сделал это, открыв следующее тождество: ^[77] ${\displaystyle N}$

Тождество Брахмагупты: которое было обобщением более раннего тождества Диофанта : ^[77] Брахмагупта использовал свое тождество, чтобы доказать следующую лемму: ^[77] ${\displaystyle \ (x^{2}-Ny^{2})(x'^{2}-Ny'^{2})=(xx'+Nyy')^{2}-N(xy'+x'y)^{2}}$

Лемма (Брахмагупта): Если является решением и является решением , то: ${\displaystyle x=x_{1},\ \ y=y_{1}\ \ }$ ${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1},}$ ${\displaystyle x=x_{2},\ \ y=y_{2}\ \ }$ ${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{2},}$

${\displaystyle x=x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},\ \ y=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\ \ }$это решение ${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1}k_{2}}$

Затем он использовал эту лемму для генерации бесконечного множества (целочисленных) решений уравнения Пелля по одному решению и сформулировал следующую теорему:

Теорема (Брахмагупта): Если уравнение имеет целочисленное решение для любого из двух , то уравнение Пелля: ${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k}$ ${\displaystyle \ k=\pm 4,\pm 2,-1}$

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1}$

также имеет целочисленное решение. ^[78]

Брахмагупта на самом деле не доказал теорему, а скорее разработал примеры, используя свой метод. Первый пример, который он представил, был: ^[77]

Пример (Брахмагупта): Найдите целые числа, такие что: ${\displaystyle \ x,\ y\ }$

${\displaystyle \ x^{2}-92y^{2}=1}$

В своем комментарии Брахмагупта добавил: «Человек, решивший эту задачу в течение года, является математиком». ^[77] Решение, которое он предоставил, было следующим:

${\displaystyle \ x=1151,\ y=120}$

Бхаскара I

Бхаскара I (ок. 600–680) расширил творчество Арьябхаты в своих книгах под названием «Махабхаскария» , «Арьябхатия-бхашья» и «Лагху-бхаскария» . Он произвел:

• Решения неопределенных уравнений.
• Рациональное приближение функции синуса .
• Формула для вычисления синуса острого угла без использования таблицы, с точностью до двух знаков после запятой.

Девятый-двенадцатый века

Вирасена

Вирасена (8 век) был джайнским математиком при дворе Раштракута, царя Амогхаварши из Маньякхеты , Карнатака. Он написал Дхавалу , комментарий к джайнской математике, который:

• Рассматривает концепцию ardhaccheda , количество раз, которое число может быть разделено пополам, и перечисляет различные правила, включающие эту операцию. Это совпадает с двоичным логарифмом , когда применяется к степеням двойки , ^{[79] [80],} но отличается для других чисел, более близко напоминающих 2-адический порядок .

Вирасена также дала:

• Вывод объема усеченного конуса посредством своего рода бесконечной процедуры.

Считается, что большую часть математического материала в « Дхавале» можно приписать более ранним авторам, особенно Кунда-Кунде, Шамакунде, Тумбулуре, Самантабхадре и Баппадеве, которые писали между 200 и 600 годами н. э. ^[80]

Махавира

Махавира Ачарья (ок. 800–870) из Карнатаки , последний из выдающихся джайнских математиков, жил в IX веке и пользовался покровительством царя Раштракута Амогхаварши. Он написал книгу под названием Ganit Saar Sangraha о числовой математике, а также написал трактаты по широкому кругу математических тем. К ним относятся математика:

• Ноль
• Квадраты
• Кубики
• квадратные корни , кубические корни и ряды , выходящие за эти рамки
• Геометрия плоскости
• Твёрдая геометрия
• Проблемы, связанные с отбрасыванием теней
• Формулы, выведенные для вычисления площади эллипса и четырехугольника внутри круга .

Махавира также:

• Утверждал, что квадратного корня из отрицательного числа не существует.
• Привел сумму ряда, члены которого являются квадратами арифметической прогрессии , и дал эмпирические правила для площади и периметра эллипса.
• Решил кубические уравнения.
• Решены уравнения четвертой степени.
• Решил некоторые уравнения пятой степени и многочлены более высокого порядка .
• Дал общие решения полиномиальных уравнений высшего порядка:
  • ${\displaystyle \ ax^{n}=q}$
  • ${\displaystyle a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=p}$
• Решал неопределенные квадратные уравнения.
• Решены неопределенные кубические уравнения.
• Решены неопределенные уравнения высшего порядка.

Шридхара

Шридхара (ок. 870–930), живший в Бенгалии , написал книги под названием «Нав Шатика» , «Три Шатика» и «Пати Ганита» . Он дал:

• Хорошее правило для нахождения объема шара .
• Формула решения квадратных уравнений .

Пати Ганита — это работа по арифметике и измерению . В ней рассматриваются различные операции, в том числе:

• Элементарные операции
• Извлечение квадратных и кубических корней.
• Дроби.
• Даны восемь правил для операций с нулем.
• Методы суммирования различных арифметических и геометрических рядов, которые стали стандартными источниками в более поздних работах.

Манджула

Уравнения Арьябхаты были разработаны в 10 веке Манджулой (также Мунджалой ), который понял, что выражение ^[81]

${\displaystyle \ \sin w'-\sin w}$

можно приблизительно выразить как

${\displaystyle \ (w'-w)\cos w}$

Это было разработано его более поздним предшественником Бхаскарой II, который нашел производную синуса. ^[81]

Арьябхата II

Арьябхата II (ок. 920–1000) написал комментарий к Шридхаре и астрономический трактат « Маха-Сиддханта» . Маха-Сиддханта состоит из 18 глав и обсуждает:

• Числовая математика ( Анк Ганит ).
• Алгебра.
• Решения неопределенных уравнений ( куттака ).

Шрипати

Шрипати Мишра (1019–1066) написал книги «Сиддханта Шекхара» , крупную работу по астрономии в 19 главах, и «Ганит Тилака» , неполный арифметический трактат в 125 стихов, основанный на работе Шридхары. Он работал в основном над:

• Перестановки и комбинации .
• Общее решение одновременного неопределенного линейного уравнения.

Он также был автором «Дхикотидакараны» , произведения из двадцати стихов на темы:

• Солнечное затмение .
• Лунное затмение .

« Дхруваманаса» — это произведение из 105 стихов, посвященное:

• Расчет планетарных долгот
• затмения .
• транзиты планет .

Немичандра Сиддханта Чакравати

Немичандра Сиддханта Чакравати (ок. 1100 г.) написал математический трактат под названием «Гоме-мат Саар» .

Бхаскара II

Бхаскара II (1114–1185) был математиком-астрономом, который написал ряд важных трактатов, а именно: « Сиддханта Широмани» , «Лилавати» , «Биджаганита» , «Гола Аддхая» , «Гриха Ганитам» и «Каран Каутоохал» . Ряд его трудов позже были переданы на Ближний Восток и в Европу. Среди его трудов:

Арифметика:

• Расчет процентов
• Арифметические и геометрические прогрессии
• Геометрия плоскости
• Твёрдая геометрия
• Тень гномона
• Решения комбинаций
• Привел доказательство того, что деление на ноль дает бесконечность .

Алгебра:

• Распознавание положительного числа, имеющего два квадратных корня.
• Сурдс .
• Операции с продуктами нескольких неизвестных.
• Решения:
  • Квадратные уравнения.
  • Кубические уравнения.
  • Уравнения четвертой степени.
  • Уравнения с более чем одним неизвестным.
  • Квадратные уравнения с более чем одним неизвестным.
  • Общая форма уравнения Пелля с использованием метода чакравала .
  • Общее неопределенное квадратное уравнение с использованием метода чакравала .
  • Неопределенные кубические уравнения.
  • Неопределенные уравнения четвертой степени.
  • Неопределенные полиномиальные уравнения высшего порядка.

Геометрия:

• Дал доказательство теоремы Пифагора .

Исчисление:

• Предварительная концепция дифференциации
• Открыл дифференциальный коэффициент .
• Сформулировал раннюю форму теоремы Ролля , частного случая теоремы о среднем значении (одной из важнейших теорем исчисления и анализа).
• Вывел дифференциал синусоидальной функции, хотя и не обманул понятия производной.
• Вычисленное число π с точностью до пяти знаков после запятой.
• Рассчитал длину обращения Земли вокруг Солнца с точностью до 9 знаков после запятой. ^[82]

Тригонометрия:

• Развитие сферической тригонометрии
• Тригонометрические формулы:
  • ${\displaystyle \ \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)}$
  • ${\displaystyle \ \sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)}$

Средневековая и ранняя современная математика (1300–1800)

Навья-Ньяя

Навья-ньяя или нео-логическая даршана (школа) индийской философии была основана в 13 веке философом Гангешей Упадхьяей из Митхилы . ^[83] Это было развитие классической ньяя-даршаны. Другие влияния на навья-ньяю оказали работы более ранних философов Вачаспати Мишры (900–980 гг. н. э.) и Удаяны (конец 10 века).

Книга Гангеши Tattvacintāmaṇi («Мысль-драгоценность реальности») была написана частично в ответ на Khandanakhandakhādya Шрихарши, защиту Адвайта Веданты , которая предложила ряд тщательных критических замечаний теорий Ньяя о мышлении и языке. ^[84] Navya-Nyāya разработала сложный язык и концептуальную схему, которые позволили ей поднимать, анализировать и решать проблемы в логике и эпистемологии. Она включает в себя наименование каждого объекта для анализа, определение отличительной характеристики для названного объекта и проверку уместности определяющей характеристики с использованием праман . ^[85]

Школа Кералы

Сеть учителей школы астрономии и математики Кералы

Страницы из « Юктибхасы» ок. 1530 г.

Керальская школа астрономии и математики была основана Мадхавой из Сангамаграмы в Керале, Южная Индия , и включала в себя среди своих членов: Парамешвара , Нилаканта Сомаяджи , Джьештадева , Ачьюта Пишарати , Мелпатхур Нараяна Бхаттатири и Ачьюта Паниккар. Она процветала между 14 и 16 веками, и оригинальные открытия школы, по-видимому, закончились с Нараяной Бхаттатири (1559–1632). Пытаясь решить астрономические проблемы, астрономы керальской школы независимо друг от друга создали ряд важных математических концепций. Самые важные результаты, разложение в ряд для тригонометрических функций , были даны в стихах на санскрите в книге Нилаканты под названием Тантрасанграха и комментарии к этой работе под названием Тантрасанграха-вакхья неизвестного автора. Теоремы были сформулированы без доказательств, но доказательства рядов для синуса , косинуса и арктангенса были предоставлены столетием позже в работе «Юктибхаша» (ок. 1500–ок. 1610), написанной на языке малаялам Джьештадевой . ^[86]

Их открытие этих трех важных рядов расширений исчисления — за несколько столетий до того, как исчисление было разработано в Европе Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем — было достижением. Однако Керальская школа не изобрела исчисление , ^[87] потому что, хотя они смогли разработать ряды Тейлора для важных тригонометрических функций , они не разработали ни теорию дифференциации или интегрирования , ни фундаментальную теорему исчисления . ^[72] Результаты, полученные Керальской школой, включают:

• (Бесконечная) геометрическая прогрессия : ^[88] ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for }}|x|<1}$
• Полустрогое доказательство (см. замечание «индукция» ниже) результата: для больших n . ^[86] ${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$
• Интуитивное использование математической индукции , однако индуктивная гипотеза не была сформулирована и не использовалась в доказательствах. ^[86]
• Применение идей из (того, что должно было стать) дифференциального и интегрального исчисления для получения (Тейлора–Маклорена) бесконечных рядов для sin x, cos x и arctan x. ^[87] Тантрасанграха -вакхья дает ряд в стихах, которые при переводе в математическую нотацию можно записать как: ^[86]

${\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}y/x\leq 1.}$

${\displaystyle r\sin x=x-x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots }$

${\displaystyle r-\cos x=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}{\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots ,}$

где при r  = 1 ряд сводится к стандартному степенному ряду для этих тригонометрических функций, например:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

и

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

• Использование ректификации (вычисления длины) дуги окружности для доказательства этих результатов. (Более поздний метод Лейбница, использующий квадратуру, т.е. вычисление площади под дугой окружности, не использовался.) ^[86]
• Использование разложения ряда для получения формулы Лейбница для π : ^[86] ${\displaystyle \arctan x}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

• Рациональная аппроксимация ошибки для конечной суммы интересующего их ряда. Например, ошибка, , (для нечетного n и i = 1, 2, 3) для ряда: ${\displaystyle f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots +(-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\text{where }}f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.}$

• Манипулирование ошибкой для получения более быстрого сходящегося ряда для : ^[86] ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

• Используя улучшенный ряд для вывода рационального выражения, ^[86] 104348/33215 для π с точностью до девяти знаков после запятой, т.е.  3,141592653.
• Использование интуитивного понятия предела для вычисления этих результатов. ^[86]
• Полустрогий (см. замечание о пределах выше) метод дифференцирования некоторых тригонометрических функций. ^[72] Однако они не сформулировали понятие функции и не имели знаний об экспоненциальных или логарифмических функциях.

Труды керальской школы были впервые изложены для западного мира англичанином CM Whish в 1835 году. По словам Whish, керальские математики « заложили основу для полной системы флюксий », и эти труды изобиловали « флюксиональными формами и рядами, которые нельзя найти ни в одной работе зарубежных стран » . ^[89]

Однако результаты Уиша были почти полностью проигнорированы, пока более века спустя открытия школы Кералы не были снова исследованы Ч. Раджагопалом и его коллегами. Их работа включает комментарии к доказательствам ряда арктанов в Юктибхасе , данные в двух статьях, ^{[90] [91]} комментарий к доказательству Юктибхасы ряда синусов и косинусов ^[92] и две статьи, которые предоставляют санскритские стихи Тантрасанграхавакхьи для ряда арктанов, синусов и косинусов (с английским переводом и комментариями). ^{[93] [94]}

Парамешвара (ок. 1370–1460) написал комментарии к произведениям Бхаскары I , Арьябхаты и Бхаскары II. Его «Лилавати Бхасья» , комментарий к «Лилавати» Бхаскары II , содержит одно из его важных открытий: версию теоремы о среднем значении . Нилакантха Сомаяджи (1444–1544) составил « Тантра-Самграха» (которая «породила» более поздний анонимный комментарий «Тантрасанграха-вьякхья» и дальнейший комментарий под названием «Юктидипайка» , написанный в 1501 году). Он разработал и расширил вклад Мадхавы.

Читрабхану (ок. 1530) был математиком 16-го века из Кералы, который дал целочисленные решения 21 типа систем двух одновременных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Эти типы являются всеми возможными парами уравнений следующих семи форм:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x+y=a,\ x-y=b,\ xy=c,x^{2}+y^{2}=d,\\[8pt]&x^{2}-y^{2}=e,\ x^{3}+y^{3}=f,\ x^{3}-y^{3}=g\end{aligned}}}$

Для каждого случая Читрабхану дал объяснение и обоснование своего правила, а также пример. Некоторые из его объяснений являются алгебраическими, в то время как другие — геометрическими. Джьештхадева (ок. 1500–1575) был еще одним представителем керальской школы. Его ключевой работой была « Юкти-бхаса» (написанная на малаялам, региональном языке Кералы). Джьештхадева представил доказательства большинства математических теорем и бесконечных рядов, ранее открытых Мадхавой и другими математиками керальской школы.

Другие

Нараяна Пандит был математиком 14 века, который написал два важных математических труда: арифметический трактат, Ганита Каумуди , и алгебраический трактат, Биджганита Ватамса . Ганита Каумуди является одним из самых революционных трудов в области комбинаторики, в котором был разработан метод систематического создания всех перестановок заданной последовательности. В своем Ганита Каумуди Нараяна предложил следующую задачу о стаде коров и телят:

Корова производит одного теленка каждый год. Начиная с четвертого года, каждый теленок производит одного теленка в начале каждого года. Сколько всего коров и телят будет через 20 лет?

Перевод на современный математический язык рекуррентных последовательностей :

N _n = N _n-1 + N _n-3 для n > 2 ,

с начальными значениями

Н ₀ = Н ₁ = Н ₂ = 1 .

Первые несколько членов - 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88,... (последовательность A000930 в OEIS ). Предельное соотношение между последовательными членами - это суперзолотое сечение . . Нараяна также считается автором подробного комментария к Lilavati Бхаскары II , озаглавленного G anita Kaumudia (или Karma-Paddhati ). ^[95]

Обвинения в европоцентризме

Было высказано предположение, что индийский вклад в математику не получил должного признания в современной истории и что многие открытия и изобретения индийских математиков в настоящее время культурно приписываются их западным коллегам в результате европоцентризма . Согласно взгляду Г. Г. Джозефа на « Этноматематику »:

[Их работа] принимает во внимание некоторые из возражений, выдвинутых по поводу классической европоцентрической траектории. Осознание [индийской и арабской математики] слишком вероятно будет сдерживаться пренебрежительным отрицанием их важности по сравнению с греческой математикой. Вклад других цивилизаций – в первую очередь Китая и Индии – воспринимается либо как заимствование из греческих источников, либо как внесший лишь незначительный вклад в развитие основной математики. Открытость к более поздним результатам исследований, особенно в случае индийской и китайской математики, к сожалению, отсутствует" ^[96]

Историк математики Флориан Каджори писал, что он и другие «подозревают, что Диофант получил свои первые знания об алгебре из Индии». ^[97] Он также писал, что «несомненно, что части индуистской математики имеют греческое происхождение». ^[98]

Совсем недавно, как обсуждалось в предыдущем разделе, бесконечные ряды исчисления для тригонометрических функций (переоткрытые Грегори, Тейлором и Маклореном в конце 17-го века) были описаны в Индии математиками школы Кералы , примерно на два столетия раньше. Некоторые ученые недавно предположили, что знание этих результатов могло быть передано в Европу через торговый путь из Кералы торговцами и миссионерами -иезуитами . ^[99] Керала находилась в постоянном контакте с Китаем и Аравией , а примерно с 1500 года — с Европой. Тот факт, что пути сообщения существовали, и хронология является подходящей, безусловно, делает такую ​​передачу возможной. Однако никаких доказательств передачи не было найдено. ^[99] По словам Дэвида Брессо , «нет никаких доказательств того, что индийская работа о рядах была известна за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века». ^{[87] [100]}

И арабские, и индийские ученые сделали открытия до 17 века, которые теперь считаются частью исчисления. ^[72] Однако они не «объединили множество различных идей в двух объединяющих темах производной и интеграла , как это сделали Ньютон и Лейбниц , не показали связь между ними и не превратили исчисление в великий инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня». ^[72] Интеллектуальная карьера как Ньютона, так и Лейбница хорошо документирована, и нет никаких указаний на то, что их работа не была их собственной; ^[72] однако, неизвестно с уверенностью, узнали ли непосредственные предшественники Ньютона и Лейбница, «включая, в частности, Ферма и Роберваля, [могли] узнать о некоторых идеях исламских и индийских математиков из источников, которые нам сейчас неизвестны». ^[72] Это область текущих исследований, особенно в коллекциях рукописей Испании и Магриба , и она ведется, среди прочего, в CNRS . ^[72]

Приход Индии в современную математику

• Ашутош Мукерджи был признан первым современным индийским математиком, вошедшим в область математических исследований, и основавшим Калькуттское математическое общество в 1908 году. Среди его математических вкладов Мукерджи определил несколько важных выводов ответа Гаспара Майнарди на определение наклонной траектории системы конфокальных эллипсов. Он также внес неизменный вклад в дифференциальную геометрию , разработав аналитические методы упрощения интерпретации Гаспара Монжа его общего дифференциального уравнения для конических сечений. ^{[101] [102]}
• Шриниваса Рамануджан [a] (22 декабря 1887 г. – 26 апреля 1920 г.) был индийским математиком. Хотя у него почти не было формального образования в области чистой математики, он внес значительный вклад в математический анализ, теорию чисел, бесконечные ряды и непрерывные дроби, включая решения математических задач, которые тогда считались неразрешимыми.
• Радж Чандра Бозе (или Басу) (19 июня 1901 — 31 октября 1987) был индийско-американским математиком и статистиком, наиболее известным по его работам в теории дизайна , конечной геометрии и теории кодов с исправлением ошибок , в которой класс кодов БЧХ частично назван в его честь. Он также изобрел понятия частичной геометрии , схемы ассоциации и сильно регулярного графа и начал систематическое изучение разностных множеств для построения симметричных блок-схем . Он был известен своей работой вместе с SS Shrikhande и ET Parker в их опровержении знаменитой гипотезы, выдвинутой Леонардом Эйлером в 1782 году, что ни для какого n не существует двух взаимно ортогональных латинских квадратов порядка 4 n  + 2.
• CR Rao был индийско-американским математиком и статистиком. ^[103] Он был почетным профессором в Университете штата Пенсильвания и научным сотрудником в Университете в Буффало . Рао был удостоен многочисленных коллоквиумов, почетных степеней и фестивальных сборников и был награжден Национальной медалью США за науку в 2002 году. ^[104] Американская статистическая ассоциация описала его как « живую легенду », чья работа повлияла не только на статистику, но и имела далеко идущие последствия для таких различных областей, как экономика, генетика, антропология, геология, национальное планирование, демография, биометрия и медицина». ^[104] Times of India включила Рао в список 10 лучших индийских ученых всех времен. ^[105]
• Хариш-Чандра FRS ^{[106] [107]} (11 октября 1923 г. – 16 октября 1983 г.) был индийско-американским математиком и физиком , который выполнил фундаментальную работу в области теории представлений , особенно гармонического анализа на полупростых группах Ли . ^{[108] [109] [110]}
• SR Шриниваса Варадхан , FRS (родился 2 января 1940 года) — индийско-американский математик. Он известен своим фундаментальным вкладом в теорию вероятностей и, в частности, созданием единой теории больших отклонений . ^[111] В 2007 году он стал первым азиатом, получившим премию Абеля . ^{[112] [113]}
• Манджул Бхаргава — канадско-американский математик, родившийся в индийской семье. Бхаргава был награжден медалью Филдса в 2014 году. Согласно цитате Международного математического союза , он был награжден премией «за разработку новых мощных методов в геометрии чисел , которые он применил для подсчета колец малого ранга и ограничения среднего ранга эллиптических кривых». ^{[114] [115] [116]} Он также был членом престижного комитета премии Падма 2023 года.[1]
• Субхаш Кхот FRS (родился 10 июня 1978 года в Ичалкарани ) ^[117] — индийско-американский математик и теоретик информатики , профессор компьютерных наук имени Джулиуса Сильвера в Институте математических наук Куранта в Нью-Йоркском университете . Кхот внес вклад в область вычислительной сложности и наиболее известен своей уникальной игровой гипотезой . Кхот получил премию Рольфа Неванлинны 2014 года от Международного математического союза и стипендию Макартура в 2016 году. ^[118] Он был избран членом Королевского общества в 2017 году. ^[119]

Смотрите также

• Шульба Сутры
• Керальская школа астрономии и математики
• Сурья Сиддханта
• Брахмагупта
• Шриниваса Рамануджан
• Бахшали рукопись
• Список индийских математиков
• Индийская наука и технологии
• Индийская логика
• Индийская астрономия
• История математики
• Список чисел в индуистских писаниях

Примечания

1. (Ким Плофкер 2007, стр. 1)
2. (Хаяси 2005, стр. 360–361)
3. (Ифра 2000, стр. 346): «Мера гениальности индийской цивилизации, которой мы обязаны нашей современной (числовой) системой, тем более велика, что она была единственной за всю историю, достигшей этого триумфа. Некоторым культурам удалось раньше индийской открыть одну или в лучшем случае две характеристики этого интеллектуального подвига. Но ни одной из них не удалось объединить в полную и связную систему необходимые и достаточные условия для числовой системы с таким же потенциалом, как у нашей».
4. (Плофкер 2009, стр. 44–47)
5. (Бурбаки 1998, стр. 46): «...наша десятичная система, которая (при посредничестве арабов) произошла от индуистской математики, где ее использование засвидетельствовано уже с первых веков нашей эры. Следует отметить, кроме того, что концепция нуля как числа, а не простого символа разделения) и ее введение в вычисления также относятся к первоначальному вкладу индусов».
6. (Бурбаки 1998, стр. 49): Современная арифметика была известна в средние века как «Modus Indorum» или метод индийцев. Леонардо Пизанский писал, что по сравнению с методом индийцев все другие методы являются ошибкой. Этот метод индийцев есть не что иное, как наша очень простая арифметика сложения, вычитания, умножения и деления. Правила для этих четырех простых процедур были впервые записаны Брахмагуптой в 7 веке н. э. «В этом отношении индусы уже осознают интерпретацию, которую отрицательные числа должны иметь в определенных случаях (например, долг в коммерческой задаче). В последующие столетия, по мере распространения на Запад (через посредничество арабов) методов и результатов греческой и индуистской математики, человек становится более привычным к обращению с этими числами, и у него начинают появляться другие «представления» для них, которые являются геометрическими или динамическими».
7. "algebra" 2007. Britannica Concise Encyclopedia Архивировано 29 сентября 2007 г. в Wayback Machine . Encyclopædia Britannica Online. 16 мая 2007 г. Цитата: "Полноценная десятичная позиционная система, безусловно, существовала в Индии к IX в. (н. э.), однако многие из ее центральных идей были переданы задолго до этого времени в Китай и исламский мир. Более того, индийская арифметика разработала последовательные и правильные правила для работы с положительными и отрицательными числами и для обращения с нулем как с любым другим числом, даже в проблемных контекстах, таких как деление. Прошло несколько сотен лет, прежде чем европейские математики полностью интегрировали такие идеи в развивающуюся дисциплину алгебры".
8. (Pingree 2003, стр. 45) Цитата: «Геометрия и ее раздел тригонометрия были математикой, которую индийские астрономы использовали чаще всего. Греческие математики использовали полную хорду и никогда не представляли себе полухорду, которую мы используем сегодня. Полухорда была впервые использована Арьябхатой, что сделало тригонометрию намного проще. Фактически, индийские астрономы в третьем или четвертом веке, используя греческую таблицу хорд до Птолемея, составили таблицы синусов и версинов, из которых было тривиально вывести косинусы. Эта новая система тригонометрии, созданная в Индии, была передана арабам в конце восьмого века, а ими, в расширенной форме, на латинский Запад и византийский Восток в двенадцатом веке».
9. (Бурбаки 1998, стр. 126): «Что касается тригонометрии, то она презирается геометрами и предоставляется геодезистам и астрономам; именно эти последние ( Аристарх , Гиппарх , Птолемей ) устанавливают основные соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника (плоского или сферического) и составляют первые таблицы (они состоят из таблиц, дающих хорду дуги , вырезанной углом на окружности радиуса r , другими словами, число ; введение синуса, с которым легче обращаться, принадлежит индийским математикам средних веков)». ${\displaystyle \theta <\pi }$ ${\displaystyle 2r\sin \left(\theta /2\right)}$
10. (Филлиозат 2004, стр. 140–143)
11. (Хаяси 1995)
12. (Ким Плофкер 2007, стр. 6)
13. (Стилвелл 2004, стр. 173)
14. (Bressoud 2002, стр. 12) Цитата: «Нет никаких доказательств того, что индийские работы о рядах были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века. Голд и Пингри утверждают [4], что к тому времени, когда эти ряды были заново открыты в Европе, они, по всем практическим соображениям, были утеряны для Индии. Разложения синуса, косинуса и арктангенса передавались через несколько поколений учеников, но они оставались бесплодными наблюдениями, для которых никто не мог найти особого применения».
15. (Plofker 2001, стр. 293) Цитата: «Нередко в обсуждениях индийской математики можно встретить такие утверждения, как то, что «концепция дифференциации была понята [в Индии] со времен Манджулы (... в 10 веке)» [Joseph 1991, 300], или что «мы можем считать Мадхаву основателем математического анализа» (Joseph 1991, 293), или что Бхаскара II может претендовать на то, чтобы быть «предшественником Ньютона и Лейбница в открытии принципа дифференциального исчисления» (Bag 1979, 294). ... Сходства, особенно между ранним европейским исчислением и керальскими работами по степенным рядам, даже вдохновили предположения о возможной передаче математических идей с побережья Малабара в 15 веке или позже в латинский научный мир (например, в (Bag 1979, 285)). ... Однако следует иметь в виду, что такой акцент на сходстве санскритской (или малаяламской) и латинской математики рискует снизить нашу способность полностью видеть и понимать первую. Говоря об индийском "открытии принципа дифференциального исчисления", мы несколько затемняем тот факт, что индийские методы выражения изменений в синусе посредством косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в пределах этого специфического тригонометрического контекста. Дифференциальный "принцип" не был обобщен на произвольные функции — на самом деле, явное понятие произвольной функции, не говоря уже о ее производной или алгоритме взятия производной, здесь неуместно"
16. (Pingree 1992, стр. 562) Цитата: «Один пример, который я могу вам привести, относится к демонстрации индийцем Мадхавой, примерно в 1400 году нашей эры, бесконечного степенного ряда тригонометрических функций с использованием геометрических и алгебраических аргументов. Когда это было впервые описано на английском языке Чарльзом Мэтью Уишем в 1830-х годах, это было объявлено открытием индийцами исчисления. Это заявление и достижения Мадхавы были проигнорированы западными историками, вероятно, сначала потому, что они не могли признать, что индиец открыл исчисление, но позже потому, что никто больше не читал Transactions of the Royal Asiatic Society , в которых была опубликована статья Уиша. Этот вопрос снова всплыл в 1950-х годах, и теперь у нас есть санскритские тексты, должным образом отредактированные, и мы понимаем хитрый способ, которым Мадхава вывел ряд без исчисления; но многие историки до сих пор считают невозможным представить себе проблему и ее решение в терминах чего-либо иного, кроме исчисления, и заявить, что исчисление — это то, что обнаружил Мадхава. В этом случае элегантность и блеск математики Мадхавы искажаются, поскольку они погребены под текущим математическим решением проблемы, для которой он открыл альтернативное и мощное решение».
17. (Katz 1995, стр. 173–174) Цитата: «Насколько близко исламские и индийские ученые подошли к изобретению исчисления? Исламские ученые почти разработали общую формулу для нахождения интегралов многочленов к 1000 году нашей эры — и, очевидно, могли найти такую ​​формулу для любого многочлена, который их интересовал. Но, по-видимому, их не интересовал ни один многочлен степени выше четвертой, по крайней мере, в любом из материалов, которые дошли до нас. Индийские ученые, с другой стороны, к 1600 году могли использовать формулу суммы ибн аль-Хайтама для произвольных интегральных степеней при вычислении степенных рядов для функций, которые их интересовали. К тому же времени они также знали, как вычислять дифференциалы этих функций. Таким образом, некоторые из основных идей исчисления были известны в Египте и Индии за много столетий до Ньютона. Однако не похоже, чтобы исламские или индийские математики видели необходимость в объединении некоторых разрозненных идей, которые мы включают под названием исчисление. По-видимому, их интересовали только конкретные случаи, в которых эти идеи были необходимы. ... Поэтому нет никакой опасности, что нам придется переписывать тексты по истории, чтобы удалить утверждение, что Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление. Они, безусловно, были теми, кто смог объединить множество различных идей под двумя объединяющими темами производной и интеграла, показать связь между ними и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня».
18. Сержан, Бернар (1997), Женез де л'Инд (на французском языке), Париж: Payot, стр. 113, ISBN 978-2-228-89116-5
19. Коппа, А. и др. (6 апреля 2006 г.), «Ранняя неолитическая традиция стоматологии: кремневые наконечники оказались на удивление эффективными для сверления зубной эмали у доисторического населения», Nature , 440 (7085): 755–6, Bibcode : 2006Natur.440..755C, doi : 10.1038/440755a, PMID  16598247, S2CID  6787162.
20. Бишт, Р.С. (1982), «Раскопки в Банавали: 1974–77», в Possehl, Gregory L. (ред.), Harappan Civilisation: A Contemporary Perspective , Нью-Дели: Oxford and IBH Publishing Co., стр. 113–124
21. Рао, SR (июль 1992 г.). «Навигационный инструмент хараппских моряков» (PDF) . Морская археология . 3 : 61–62. Архивировано из оригинала (PDF) 8 августа 2017 г.
22. А. Зайденберг, 1978. Происхождение математики. Архив истории точных наук, т. 18.
23. (Стааль 1999)
24. (Хаяси 2003, стр. 118)
25. (Хаяси 2005, стр. 363)
26. Пифагоровы тройки — это тройки целых чисел (a, b, c) со свойством: a ² +b ² = c ² . Таким образом, 3 ² +4 ² = 5 ² , 8 ² +15 ² = 17 ² , 12 ² +35 ² = 37 ² и т. д.
27. (Кук 2005, стр. 198): «Арифметическое содержание сутр Шульва состоит из правил нахождения пифагорейских троек, таких как (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8, 15, 17) и (12, 35, 37) . Неясно, какое практическое применение имели эти арифметические правила. Лучшее предположение заключается в том, что они были частью религиозного ритуала. В индуистском доме требовалось иметь три огня, горящих на трех разных алтарях. Три алтаря должны были быть разной формы, но все три должны были иметь одинаковую площадь. Эти условия приводили к определенным «диофантовым» проблемам, частным случаем которых является генерация пифагорейских троек, чтобы сделать одно квадратное целое число равным сумме двух других».
28. (Cooke 2005, стр. 199–200): «Требование трех алтарей равной площади, но разной формы объяснило бы интерес к преобразованию площадей. Среди других задач по преобразованию площади индусы рассматривали, в частности, задачу квадратуры круга. В Бодхайана-сутре излагается обратная задача построения круга, равного данному квадрату. В качестве решения приводится следующая приблизительная конструкция... этот результат является лишь приблизительным. Однако авторы не делали различий между двумя результатами. В терминах, которые мы можем оценить, эта конструкция дает значение для π, равное 18 (3 − 2 √ 2 ), что составляет около 3,088».
29. (Джозеф 2000, стр. 229)
30. "Vedic Maths Complete Detail". ALLEN IntelliBrain . Получено 22 октября 2022 г. .
31. (Кук 2005, стр. 200)
32. Значение этого приближения, 577/408, является седьмым в последовательности все более точных приближений 3/2, 7/5, 17/12, ... к √ 2 , числители и знаменатели которых были известны как "числа сторон и диаметров" древним грекам, а в современной математике называются числами Пелля . Если x / y является одним членом в этой последовательности приближений, то следующим будет ( x  + 2 y )/( x  +  y ). Эти приближения также могут быть получены путем усечения представления непрерывной дроби √ 2 .
33. Нойгебауэр, О. и А. Сакс. 1945. Математические клинописные тексты , Нью-Хейвен, Коннектикут, Издательство Йельского университета. стр. 45.
34. Математический факультет Университета Британской Колумбии, The Babylonian tabled Plimpton 322 Архивировано 17 июня 2020 года на Wayback Machine .
35. Три положительных целых числа образуют примитивную пифагорейскую тройку, если c ² = a ² +b ² и если наибольший общий делитель a, b, c равен 1. В конкретном примере Plimpton322 это означает, что 13500 ² +12709 ² = 18541 ² и что эти три числа не имеют общих делителей. Однако некоторые ученые оспаривают пифагорейскую интерпретацию этой таблички; подробности см. в Plimpton 322. ${\displaystyle (a,b,c)}$
36. (Дэни 2003)
37. Ингерман, Питер Зилахи (1 марта 1967 г.). «Предложена «форма Панини-Бакуса»». Коммуникации АКМ . 10 (3): 137. дои : 10.1145/363162.363165 . ISSN  0001-0782. S2CID  52817672.
38. "Panini-Backus". infinityfoundation.com . Получено 16 марта 2018 г. .
39. (Фаулер 1996, стр. 11)
40. (Сингх 1936, стр. 623–624)
41. • Harper, Douglas (2011). "Zero". Etymonline Etymology Dictionary . Архивировано из оригинала 3 июля 2017 года. цифра, которая обозначает ноль в арабской нотации", также "отсутствие всякого количества, рассматриваемого как количество", около 1600 г., от французского zéro или непосредственно от итальянского zero, от средневекового латинского zephirum, от арабского sifr "шифр", перевод санскритского sunya-m "пустое место, пустыня, ноль
    • Меннингер, Карл (1992). Числовые слова и числовые символы: культурная история чисел. Courier Dover Publications. стр. 399–404. ISBN 978-0-486-27096-8. Получено 5 января 2016 г.
    • "ноль, сущ." OED Online . Oxford University Press . Декабрь 2011. Архивировано из оригинала 7 марта 2012 г. Получено 4 марта 2012 г. Французский zéro (1515 в Hatzfeld & Darmesteter) или его исходный итальянский zero, для *zefiro, < арабский çifr
42. Датта, Бибхутибхусан; Сингх, Авадхеш Нараян (2019). «Использование перестановок и комбинаций в Индии». В Колачана, Адитья; Махеш, К.; Рамасубраманиан, К. (ред.). Исследования по индийской математике и астрономии: избранные статьи Крипы Шанкара Шуклы . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Springer Singapore. стр. 356–376. doi :10.1007/978-981-13-7326-8_18. S2CID  191141516.. Переработано К. С. Шуклой из статьи в Indian Journal of History of Science 27 (3): 231–249, 1992, MR MR1189487. См. стр. 363.
43. (Филлиозат 2004, стр. 137)
44. (Пингри 1988, стр. 637)
45. (Стааль 1986)
46. (Филлиозат 2004, стр. 139)
47. (Филлиозат 2004, стр. 140–141)
48. (Яно 2006, стр. 146)
49. (Филлиозат 2004, стр. 143–144)
50. (Филлиозат 2004, стр. 144)
51. (Пингри 1988, стр. 638)
52. (Хаяси 2003, стр. 122–123)
53. (Хаяси 2003, стр. 123)
54. (Хаяси 2003, стр. 119)
55. (Плофкер 2007, стр. 395)
56. (Плофкер 2007, стр. 395); (Плофкер 2009, стр. 47–48)
57. (Хаяси 2005, стр. 366)
58. (Плофкер 2009, стр. 45)
59. (Плофкер 2009, стр. 46)
60. (Плофкер 2009, стр. 47)
61. (Плофкер 2009)
62. (Пингри 1978, стр. 494)
63. (Плофкер 2009, стр. 48)
64. (Хаяси 2005, стр. 371)
65. «Просвещая Индию: в центре внимания древнейшие зафиксированные источники «нуля», рукопись Бахшали».
66. Антон, Говард и Крис Роррес. 2005. Элементарная линейная алгебра с приложениями. 9-е издание. Нью-Йорк: John Wiley and Sons. 864 страницы. ISBN 0-471-66959-8 . 
67. Девлин, Ханна (13 сентября 2017 г.). «Много шума из ничего: древний индийский текст содержит самый ранний символ нуля». The Guardian . ISSN  0261-3077 . Получено 14 сентября 2017 г. .
68. Мейсон, Робин (14 сентября 2017 г.). «Oxford Radiocarbon Accelerator Unit dates the world's Ancient Recorded Origin of the Zero Symbol». Школа археологии, Оксфордский университет . Архивировано из оригинала 14 сентября 2017 г. Получено 14 сентября 2017 г.
69. «Радиоуглеродное датирование показало, что рукопись Бахшали содержит древнейшие зарегистрированные источники символа «ноль»». Бодлианская библиотека . 14 сентября 2017 г. Получено 14 сентября 2017 г.
70. (Нейгебауэр и Пингри 1970)
71. Кук, Роджер (1997), «Математика индусов», История математики: краткий курс , Wiley-Interscience, стр. 197, ISBN 978-0-471-18082-1, Слово Сиддханта означает то, что доказано или установлено . Сутры Сульва имеют индуистское происхождение, но Сиддханты содержат так много слов иностранного происхождения, что они, несомненно, имеют корни в Месопотамии и Греции.
72. (Кац 1995)
73. (Хаяси 2005, стр. 369)
74. (Хаяси 2003, стр. 121–122)
75. (Стилвелл 2004, стр. 77)
76. (Стилвелл 2004, стр. 87)
77. (Stillwell 2004, стр. 72–73)
78. (Стилвелл 2004, стр. 74–76)
79. Гупта, Р. К. (2000), «История математики в Индии», в Hoiberg, Dale; Ramchandani, Indu (ред.), Студенческая Britannica India: Избранные эссе , Popular Prakashan, стр. 329
80. Singh, AN, Mathematics of Dhavala, Lucknow University, архивировано из оригинала 11 мая 2011 г. , извлечено 31 июля 2010 г.
81. Joseph (2000), стр. 298–300.
82. Кук, Роджер (1997). История математики: краткий курс. Архив Интернета. Нью-Йорк: Wiley. ISBN 978-0-471-18082-1.
83. Видьябхусана, Сатис Чандра (1920). История индийской логики: Древние, средневековые и современные школы. Дели: Motilal Banarsidass. С. 405–6. ISBN 9788120805651.
84. Сатис Чандра Видьябхусана (1920). История индийской логики: Древние, средневековые и современные школы. Дели: Motilal Banarsidas. стр. 405. ISBN 9788120805651.
85. Ganeri, Jonardon (2023), «Аналитическая философия в ранней современной Индии», в Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (ред.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (зимнее издание 2023 г.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , получено 23 января 2024 г.
86. (Рой 1990)
87. (Брессо 2002)
88. (Сингх 1936)
89. (Whis 1835)
90. Раджагопал, Ч.; Рангачари, М.С. (1949), «Забытая глава индуистской математики», Scripta Mathematica , 15 : 201–209.
91. Раджагопал, Ч.; Рангачари, М.С. (1951), «Об индуистском доказательстве ряда Грегори», Scripta Mathematica , 17 : 65–74.
92. Раджагопал, Ч.; Венкатараман, А. (1949), «Степенные ряды синуса и косинуса в индийской математике», Журнал Королевского азиатского общества Бенгалии (наука) , 15 : 1–13.
93. Раджагопал, К.; Рангачари, MS (1977), «О неиспользованном источнике средневековой керальской математики», Архив истории точных наук , 18 (2): 89–102, doi : 10.1007/BF00348142, S2CID  51861422.
94. Раджагопал, К.; Рангачари, М.С. (1986), «О средневековой математике Кералы», Архив истории точных наук , 35 (2): 91–99, doi :10.1007/BF00357622, ​​S2CID  121678430.
95. Divakaran, PP (2018), «От 500 г. до н. э. до 500 г. н. э.», Источники и исследования по истории математики и физических наук , Сингапур: Springer Singapore, стр. 143–173, ISBN 978-981-13-1773-6, получено 18 июня 2024 г.
96. Джозеф, ГГ, 1997. «Основы европоцентризма в математике». В Этноматематика: вызов европоцентризму в математическом образовании (ред. Пауэлл, А.Б. и др.). SUNY Press. ISBN 0-7914-3352-8 . стр.67-68. 
97. Каджори, Флориан (1893), "The Hinduos", История математики, стр. 86 , Macmillan & Co., В алгебре, вероятно, существовало взаимное дарение и получение [между Грецией и Индией]. Мы подозреваем, что Диофант получил свой первый проблеск алгебраических знаний из Индии
98. Флориан Каджори (2010). « История элементарной математики — с советами по методам обучения ». стр. 94. ISBN 1-4460-2221-8 
99. Almeida, DF; John, JK; Zadorozhnyy, A. (2001), «Керальская математика: ее возможная передача в Европу и последующие образовательные последствия», Journal of Natural Geometry , 20 : 77–104.
100. Голд, Д.; Пингри, Д. (1991), «До сих пор неизвестная санскритская работа, касающаяся вывода Мадхавой степенного ряда для синуса и косинуса», Historia Scientiarum , 42 : 49–65.
101. "Математик в Асутоше Мукхопадхьяе" (PDF) . Current Science . Получено 29 сентября 2017 г. .
102. "Сэр Ашутош Мукерджи: педагог, лидер и создатель институтов" (PDF) . Current Science . Получено 29 сентября 2017 г. .
103. "The Numberdars". Times Crest . 1 октября 2001 г. Архивировано из оригинала 23 марта 2016 г. Получено 14 марта 2016 г.
104. "Статистики в истории: Кальямпуди Р. Рао". Американская статистическая ассоциация . 30 ноября 2016 г. Архивировано из оригинала 3 марта 2016 г. Получено 4 октября 2009 г.
105. "CRRao в новостях". Институт математики, статистики и компьютерных наук CRRao.
106. Ленглендс, Роберт П. (1985). «Хариш-Чандра. 11 октября 1923 г. - 16 октября 1983 г.». Биографические мемуары членов Королевского общества . 31 : 198–225. дои : 10.1098/rsbm.1985.0008 . JSTOR  769925.
107. Агарвал, Рави П.; Сен, Сьямал К. (11 ноября 2014 г.). Создатели математических и вычислительных наук. Springer. ISBN 978-3-319-10870-4.
108. Индийская математика в проекте «Генеалогия математики»
109. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Индийская математика», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
110. Варадараджан, ВС (1984). «Хариш-Чандра (1923–1983)». The Mathematical Intelligencer . 6 (3): 9–13. doi :10.1007/BF03024122. S2CID  122014700.
111. Рамачандран, Р. (7–20 апреля 2007 г.). «Наука о шансе». Frontline . Индия. Архивировано из оригинала 11 декабря 2007 г.
112. "2007: Шриниваса С.Р. Варадхан | Премия Абеля" . abelprize.no .
113. "Индиец выигрывает Норвежскую премию Абеля по математике". Hindustan Times . 23 марта 2007 г.
114. "Fields Medal 2014" (пресс-релиз). Международный математический союз . Получено 10 февраля 2021 г.
115. "Пресс-релиз - Манджул Бхаргава" (PDF) . Международный математический союз . 10 февраля 2021 г.
116. "Лауреаты премии Филдса 2014 года с краткими цитатами | Международный математический союз (IMU)". www.mathunion.org . Получено 9 февраля 2021 г. .
117. "Subhash Khot - Heidelberg Laureate Forum". - Heidelberg Laureate Forum . Получено 3 июля 2024 г. .
118. "Субхаш Хот - Фонд Макартуров" .
119. "Профессор Субхаш Хот" . Получено 27 июля 2024 г.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1998), Элементы истории математики , Берлин, Гейдельберг и Нью-Йорк: Springer-Verlag , 301 страница, ISBN 978-3-540-64767-6.
• Бойер, К. Б.; Мерцбак (предыдущая статья Айзека Азимова), Калифорнийский университет (1991), История математики, Нью-Йорк: John Wiley and Sons, 736 страниц, ISBN 978-0-471-54397-8.
• Брессо, Дэвид (2002), «Было ли исчисление изобретено в Индии?», The College Mathematics Journal , 33 (1): 2–13, doi :10.2307/1558972, JSTOR  1558972.
• Бронкхорст, Йоханнес (2001), «Панини и Евклид: размышления об индийской геометрии», Журнал индийской философии , 29 (1–2), Springer Netherlands: 43–80, doi :10.1023/A:1017506118885, S2CID  115779583.
• Бернетт, Чарльз (2006), «Семантика индийских числительных в арабском, греческом и латинском языках», Журнал индийской философии , 34 (1–2), Springer-Нидерланды: 15–30, doi :10.1007/s10781-005-8153-z, S2CID  170783929.
• Бертон, Дэвид М. (1997), История математики: Введение , The McGraw-Hill Companies, Inc., стр. 193–220.
• Кук, Роджер (2005), История математики: краткий курс , Нью-Йорк: Wiley-Interscience, 632 страницы, ISBN 978-0-471-44459-6.
• Дани, СГ (25 июля 2003 г.), «О пифагорейских тройках в «Шульвасутре»» (PDF) , Current Science , 85 (2): 219–224.
• Датта, Бибхутибхусан (декабрь 1931 г.), «Ранние литературные свидетельства использования нуля в Индии», The American Mathematical Monthly , 38 (10): 566–572, doi :10.2307/2301384, JSTOR  2301384.
• Датта, Бибхутибхусан; Сингх, Авадеш Нараян (1962), История индуистской математики: первоисточник , Бомбей: Asia Publishing House.
• Де Янг, Грегг (1995), «Евклидова геометрия в математической традиции исламской Индии», Historia Mathematica , 22 (2): 138–153, doi : 10.1006/hmat.1995.1014.
• Ким Плофкер (2007), «математика, Южная Азия», Encyclopaedia Britannica Online , стр. 1–12 , получено 18 мая 2007 г..
• Филлиоза, Пьер-Сильвен (2004), «Древняя санскритская математика: устная традиция и письменная литература», в Чемле, Карин ; Коэн, Роберт С.; Ренн, Юрген; и др. (ред.), История науки, История текста (Бостонская серия по философии науки) , Дордрехт: Springer Нидерланды, 254 страницы, стр. 137–157, стр. 360–375, doi : 10.1007/1-4020- 2321-9_7, ISBN 978-1-4020-2320-0.
• Фаулер, Дэвид (1996), «Функция биномиального коэффициента», The American Mathematical Monthly , 103 (1): 1–17, doi :10.2307/2975209, JSTOR  2975209.
• Хаяси, Такао (1995), «Рукопись Бахшали», древний индийский математический трактат , Гронинген: Эгберт Форстен, 596 страниц, ISBN 978-90-6980-087-5.
• Хаяши, Такао (1997), «Правило Арьябхаты и таблица синус-разностей», Historia Mathematica , 24 (4): 396–406, doi : 10.1006/hmat.1997.2160.
• Хаяси, Такао (2003), «Индийская математика», в Grattan-Guinness, Ivor (ред.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences , т. 1, Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джона Хопкинса, стр. 118–130, ISBN 978-0-8018-7396-6.
• Хаяси, Такао (2005), «Индийская математика», в книге Флуда, Гэвина (ред.), «The Blackwell Companion to Hinduism» , Оксфорд: Бэзил Блэквелл, 616 страниц, стр. 360–375, стр. 360–375, ISBN 978-1-4051-3251-0.
• Хендерсон, Дэвид В. (2000), «Квадратные корни в сутрах Сульбы», в Горини, Кэтрин А. (ред.), Геометрия в действии: статьи по прикладной геометрии , т. 53, Вашингтон, округ Колумбия: Заметки математической ассоциации Америки , стр. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.
• Ифра, Жорж (2000). Всеобщая история чисел: от доисторических времен до компьютеров . Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0471393401.
• Джозеф, Г. Г. (2000), «Хребет павлина: неевропейские корни математики», Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, 416 страниц, ISBN 978-0-691-00659-8.
• Кац, Виктор Дж. (1995), «Идеи исчисления в исламе и Индии», Mathematics Magazine , 68 (3): 163–174, doi :10.2307/2691411, JSTOR  2691411.
• Кац, Виктор Дж., ред. (2007), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 385–514, ISBN 978-0-691-11485-9.
• Келлер, Агате (2005), «Заставляем диаграммы говорить, в комментарии Бхаскары I к Арьябхатии» (PDF) , Historia Mathematica , 32 (3): 275–302, doi :10.1016/j.hm.2004.09.001.
• Киченассами, Сатынад (2006), «Правило Баудхаяны для квадратуры круга», Historia Mathematica , 33 (2): 149–183, doi : 10.1016/j.hm.2005.05.001.
• Нойгебауэр, Отто ; Пингри, Дэвид , ред. (1970), Панчасиддхантика Варахамихиры , Копенгаген{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link). Новое издание с переводом и комментариями, (2 тома).
• Пингри, Дэвид (1971), «О греческом происхождении индийской планетарной модели, использующей двойной эпицикл», Журнал исторической астрономии , 2 (1): 80–85, Bibcode : 1971JHA.....2...80P, doi : 10.1177/002182867100200202, S2CID  118053453.
• Пингри, Дэвид (1973), «Месопотамское происхождение ранней индийской математической астрономии», Журнал исторической астрономии , 4 (1): 1–12, Bibcode : 1973JHA.....4....1P, doi : 10.1177/002182867300400102, S2CID  125228353.
• Пингри, Дэвид , ред. (1978), Яванаджатака Спхуджидхваджи , Harvard Oriental Series 48 (2 тома), отредактировано, переведено и прокомментировано Д. Пингри, Кембридж, Массачусетс{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link).
• Пингри, Дэвид (1988), «Рецензируемые работы: Верность устной традиции и истоки науки Фрица Стааля», Журнал Американского восточного общества , 108 (4): 637–638, doi : 10.2307/603154, JSTOR  603154.
• Пингри, Дэвид (1992), «Элленофилия против истории науки», Isis , 83 (4): 554–563, Bibcode : 1992Isis...83..554P, doi : 10.1086/356288, JSTOR  234257, S2CID  68570164
• Pingree, David (2003), «Логика не-западной науки: математические открытия в средневековой Индии», Daedalus , 132 (4): 45–54, doi : 10.1162/001152603771338779 , S2CID  57559157, архивировано из оригинала 15 января 2011 г. , извлечено 1 сентября 2017 г..
• Плофкер, Ким (1996), «Пример метода секущей итеративной аппроксимации в санскритском тексте пятнадцатого века», Historia Mathematica , 23 (3): 246–256, doi : 10.1006/hmat.1996.0026.
• Плофкер, Ким (2001), ««Ошибка» в индийском «приближении ряда Тейлора» к синусу», Historia Mathematica , 28 (4): 283–295, doi : 10.1006/hmat.2001.2331.
• Плофкер, К. (2007), «Математика Индии», в Katz, Victor J. (ред.), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 385–514, ISBN 978-0-691-11485-9.
• Плофкер, Ким (2009), Математика в Индии: 500 г. до н.э.–1800 г. н.э. , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12067-6.
• Прайс, Джон Ф. (2000), «Прикладная геометрия сутр Сульба» (PDF) , в Горини, Кэтрин А. (ред.), Геометрия в действии: статьи по прикладной геометрии , т. 53, Вашингтон, округ Колумбия: Заметки математической ассоциации Америки, стр. 46–58, ISBN 978-0-88385-164-7, заархивировано из оригинала (PDF) 27 сентября 2007 г. , извлечено 20 мая 2007 г..
• Рой, Ранджан (1990), «Открытие формулы ряда для Лейбница, Грегори и Нилаканты», Mathematics Magazine , 63 (5): 291–306, doi :10.2307/2690896, JSTOR  2690896 ${\displaystyle \pi }$.
• Сингх, AN (1936), «Об использовании рядов в индийской математике», Osiris , 1 (1): 606–628, doi :10.1086/368443, JSTOR  301627, S2CID  144760421
• Стаал, Фриц (1986), «Верность устной традиции и истоки науки», Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie von Wetenschappen, Afd. Леттеркунде , Новая серия, 49 (8), Амстердам: Издательство North Holland Publishing Company..
• Стаал, Фриц (1995), «Санскрит науки», Журнал индийской философии , 23 (1), Springer Netherlands: 73–127, doi : 10.1007/BF01062067, S2CID  170755274.
• Стаал, Фриц (1999), «Греческая и ведическая геометрия», Журнал индийской философии , 27 (1–2): 105–127, doi :10.1023/A:1004364417713, S2CID  170894641.
• Стаал, Фриц (2001), «Квадраты и прямоугольники в Веде», Журнал индийской философии , 29 (1–2), Springer Нидерланды: 256–272, doi : 10.1023/A: 1017527129520, S2CID  170403804.
• Стаал, Фриц (2006), «Искусственные языки в науках и цивилизациях», Журнал индийской философии , 34 (1), Springer Netherlands: 89–141, doi :10.1007/s10781-005-8189-0, S2CID  170968871.
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история , Тексты по математике для бакалавров (2-е изд.), Springer, Берлин и Нью-Йорк, 568 страниц, doi :10.1007/978-1-4684-9281-1, ISBN 978-0-387-95336-6.
• Тибо, Джордж (1984) [1875], Математика в процессе становления в Древней Индии: переиздания «О сульвасутрах» и «Баудхьяяна сульва-сутры», Калькутта и Дели: KP Bagchi and Company (ориг. Журнал Азиатского общества Бенгалии), 133 страницы.
• ван дер Варден, Б.Л. (1983), Геометрия и алгебра в древних цивилизациях , Берлин и Нью-Йорк: Springer, 223 страницы, ISBN 978-0-387-12159-8
• ван дер Варден, Б.Л. (1988), «О ромака-сиддханте», Архив истории точных наук , 38 (1): 1–11, doi : 10.1007/BF00329976, S2CID  189788738
• van der Waerden, BL (1988), «Реконструкция греческой таблицы хорд», Архив истории точных наук , 38 (1): 23–38, Bibcode : 1988AHES...38...23V, doi : 10.1007/BF00329978, S2CID  189793547
• Ван Нутен, Б. (1993), «Двоичные числа в индийской древности», Журнал индийской философии , 21 (1), Springer Netherlands: 31–50, doi : 10.1007/BF01092744, S2CID  171039636
• Whish, Charles (1835), «Об индуистской квадратуре круга и бесконечном ряде пропорций окружности к диаметру, представленных в четырех Шастрах, Тантре Санграхам, Юкти Бхаше, Чарана Падхати и Садратнамале», Труды Королевского Азиатского общества Великобритании и Ирландии , 3 (3): 509–523, doi :10.1017/S0950473700001221, JSTOR  25581775
• Яно, Мичио (2006), «Устная и письменная передача точных наук на санскрите», Журнал индийской философии , 34 (1–2), Springer Netherlands: 143–160, doi :10.1007/s10781-005-8175-6, S2CID  170679879

Дальнейшее чтение

Источники на санскрите

• Келлер, Агата (2006), Изложение математического семени. Том 1: Перевод: Перевод Бхаскары I в математической главе Арьябхатии , Базель, Бостон и Берлин: Birkhäuser Verlag, 172 страницы, ISBN 978-3-7643-7291-0.
• Келлер, Агата (2006), Изложение математического семени. Том 2: Дополнения: Перевод Бхаскары I к математической главе Арьябхатии , Базель, Бостон и Берлин: Birkhäuser Verlag, 206 страниц, ISBN 978-3-7643-7292-7.
• Сарма, К. В. , ред. (1976), Арьябхатийа Арьябхаты с комментариями Сурьядевы Яджвана , критически отредактированная с введением и приложениями, Нью-Дели : Индийская национальная академия наук.
• Сен, С. Н.; Баг, А. К., ред. (1983), «Шулбасутры» Баудхаяны, Апастамбы, Катьяяны и Манавы , с текстом, английским переводом и комментариями, Нью-Дели: Индийская национальная научная академия.
• Шукла, К. С., ред. (1976), Арьябхатийа Арьябхаты с комментариями Бхаскары I и Сомешвары , критически отредактировано с введением, английским переводом, примечаниями, комментариями и указателями, Нью - Дели: Индийская национальная научная академия.
• Шукла, К. С., ред. (1988), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa , критически отредактировано с введением, английским переводом, примечаниями, комментариями и указателями, в сотрудничестве с К. В. Сармой , Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.

Внешние ссылки

• Наука и математика в Индии
• Обзор индийской математики, Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс , 2000.
• Индийские математики
• Индекс древнеиндийской математики, Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс, 2004.
• Индийская математика: восстановление баланса, студенческие проекты по истории математики. Ян Пирс. Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс, 2002.
• Индийская математика в программе «В наше время » на BBC
• InSIGHT 2009 — семинар по традиционным индийским наукам для школьников, проводимый кафедрой компьютерных наук Университета Анны в Ченнаи, Индия.
• Математика в Древней Индии Р. Шридхарана
• Комбинаторные методы в Древней Индии
• Математика до С. Рамануджана