Математика и искусство связаны по-разному. Математику называют искусством, движимым красотой . Математику можно обнаружить в таких видах искусства, как музыка , танец , живопись , архитектура , скульптура и текстиль . Однако эта статья посвящена математике в изобразительном искусстве.
Математика и искусство имеют давнюю историческую связь. Художники использовали математику с 4-го века до нашей эры, когда греческий скульптор Поликлет написал свой Канон , предписывая пропорции , предположительно основанные на соотношении 1: √ 2 для идеального обнаженного мужчины. Настойчивые популярные утверждения об использовании золотого сечения в древнем искусстве и архитектуре без надежных доказательств. В эпоху итальянского Возрождения Лука Пачоли написал влиятельный трактат «О божественной пропорции» (1509 ) , иллюстрированный гравюрами на дереве Леонардо да Винчи , об использовании золотого сечения в искусстве. Другой итальянский художник, Пьеро делла Франческа , развил идеи Евклида о перспективе в таких трактатах, как «De Prospectiva Pingendi» , и в своих картинах. Гравер Альбрехт Дюрер много раз ссылался на математику в своей работе «Меланхолия I» . В наше время художник-график М. К. Эшер интенсивно использовал мозаику и гиперболическую геометрию с помощью математика Х. С. М. Коксетера , в то время как движение Де Стиджа , возглавляемое Тео ван Дусбургом и Питом Мондрианом , явно охватило геометрические формы. Математика вдохновила такие текстильные искусства, как лоскутное шитье , вязание , вышивка крестиком , вязание крючком , вышивка , ткачество , изготовление турецких и других ковров , а также килим . В исламском искусстве симметрия проявляется в таких разнообразных формах, как персидский гирих и марокканская плитка зеллиге , каменные ширмы с отверстиями в могольских джали и широко распространенные своды мукарнас .
Математика напрямую повлияла на искусство благодаря концептуальным инструментам, таким как линейная перспектива , анализ симметрии и математическим объектам, таким как многогранники и лента Мёбиуса . Магнус Веннингер создает красочные звездчатые многогранники , первоначально как модели для обучения. Математические концепции, такие как рекурсия и логический парадокс, можно увидеть на картинах Рене Магритта и гравюрах М.К. Эшера. Компьютерное искусство часто использует фракталы , включая множество Мандельброта , а иногда исследует другие математические объекты, такие как клеточные автоматы . Вызывает споры то, что художник Дэвид Хокни утверждал, что художники, начиная с эпохи Возрождения, использовали камеру -люциду для точного изображения сцен; Архитектор Филип Стедман также утверждал, что Вермеер использовал камеру-обскуру в своих характерных картинах.
Другие связи включают алгоритмический анализ произведений искусства с помощью рентгеновской флуоресцентной спектроскопии , открытие того, что традиционные батики из разных регионов Явы имеют различные фрактальные измерения , а также стимулы для математических исследований, особенно теории перспективы Филиппо Брунеллески , которая в конечном итоге привела к Жирару. Проективная геометрия Дезарга . Устойчивая точка зрения, основанная в конечном счете на пифагорейском представлении о гармонии в музыке, утверждает, что все организовано числом, что Бог является геометром мира и что, следовательно, геометрия мира священна .
Поликлет Старший (ок. 450–420 до н. э.) — греческий скульптор школы Аргоса , современник Фидия . Его работы и статуи были в основном бронзовыми и изображали спортсменов. По словам философа и математика Ксенократа , Поликлет считается одним из самых важных скульпторов классической античности за его работу над Дорифором и статуей Геры в Герайоне Аргоса . [3] Хотя его скульптуры, возможно, не так известны, как скульптуры Фидия, они вызывают большое восхищение. В своем «Каноне» , трактате, который он написал, призванном документировать «идеальные» пропорции тела обнаженного мужчины, Поликлет предлагает нам математический подход к скульптурированию человеческого тела. [3]
Сам Канон утерян, но предполагается, что Поликлет использовал последовательность пропорций, в которой каждая длина равна длине диагонали квадрата, нарисованного на его предшественнике, 1: √ 2 ( около 1:1,4142). [4]
Влияние Канона Поликлета огромно в классической греческой , римской скульптуре и скульптуре эпохи Возрождения , причем многие скульпторы следовали рецепту Поликлета. Хотя ни одна из оригинальных работ Поликлета не сохранилась, римские копии демонстрируют его идеал физического совершенства и математической точности. Некоторые ученые утверждают, что пифагорейская мысль повлияла на Канон Поликлета. [5] Канон применяет основные математические понятия греческой геометрии, такие как соотношение, пропорция и симметрия (по-гречески « гармоничные пропорции»), и превращает их в систему, способную описывать человеческую форму посредством серии непрерывных геометрических прогрессий. . [4]
В классические времена вместо того, чтобы уменьшать отдаленные фигуры с помощью линейной перспективы , художники определяли размеры объектов и фигур в соответствии с их тематической значимостью. В средние века некоторые художники для особого акцента использовали обратную перспективу . Мусульманский математик Альхазен (Ибн аль-Хайсам) описал теорию оптики в своей «Книге оптики» в 1021 году, но никогда не применял ее к искусству. [6] В эпоху Возрождения произошло возрождение классической греческой и римской культуры и идей, в том числе изучение математики для понимания природы и искусства . Два основных мотива побуждали художников позднего средневековья и эпохи Возрождения обращаться к математике. Сначала живописцам нужно было придумать, как изображать трехмерные сцены на двухмерном холсте. Во-вторых, и философы, и художники были убеждены, что математика является истинной сущностью физического мира и что всю Вселенную, включая искусство, можно объяснить в геометрических терминах. [7]
Зачатки перспективы появились у Джотто (1266/7 – 1337), который пытался нарисовать перспективу, используя алгебраический метод, чтобы определить расположение удаленных линий. В 1415 году итальянский архитектор Филиппо Брунеллески и его друг Леон Баттиста Альберти продемонстрировали во Флоренции геометрический метод применения перспективы, используя подобные треугольники , сформулированные Евклидом, для определения видимой высоты удаленных объектов. [8] [9] Собственные перспективные картины Брунеллески утеряны, но картина Мазаччо «Святая Троица» показывает его принципы в действии. [6] [10] [11]
_01.jpg/1280px-San_Romano_Battle_(Paolo_Uccello,_London)_01.jpg)
Итальянский художник Паоло Уччелло (1397–1475) был очарован перспективой, как это показано на его картинах « Битва при Сан-Романо » (ок. 1435–1460): сломанные копья удобно лежат вдоль линий перспективы. [12] [13]
Художник Пьеро делла Франческа (ок. 1415–1492) продемонстрировал этот новый сдвиг в мышлении итальянского Возрождения. Он был опытным математиком и геометром , писал книги по твердотельной геометрии и перспективе , в том числе Despectiva pingendi (О перспективе для живописи) , Trattato d'Abaco (Трактат о счетах) и De quinque corporibus Regularibus (О пяти правильных твердых телах) . [14] [15] [16] Историк Вазари в своих «Жизнеописаниях художников » называет Пьеро «величайшим геометром своего времени или, возможно, любого времени». [17] Интерес Пьеро к перспективе можно увидеть в его картинах, включая « Полиптих Перуджи» , [18] алтарь Сан-Агостино и «Бичевание Христа» . Его работы по геометрии оказали влияние на более поздних математиков и художников, включая Луку Пачоли в его «Божественной пропорции» и Леонардо да Винчи . Пьеро изучал классическую математику и труды Архимеда . [19] Его обучали коммерческой арифметике в «школах счетов»; его сочинения отформатированы как школьные учебники по счетам, [20] возможно, включая «Liber Abaci » Леонардо Пизано ( Фибоначчи ) 1202 года . Линейная перспектива только-только внедрялась в художественный мир. Альберти объяснил в своей книге «De pictura» 1435 года : «лучи света движутся по прямым линиям от точек наблюдаемой сцены к глазу, образуя своего рода пирамиду с глазом в качестве вершины». Картина, построенная с линейной перспективой, представляет собой поперечное сечение этой пирамиды. [21]
В «De Prospectiva Pingendi» Пьеро преобразует свои эмпирические наблюдения за тем, как аспекты фигуры меняются с точки зрения точки зрения, в математические доказательства. Его трактат начинается в духе Евклида: он определяет точку как «мельчайшую вещь, которую может постичь глаз». [a] [7] Он использует дедуктивную логику , чтобы привести читателя к перспективному представлению трехмерного тела. [22]
Художник Дэвид Хокни в своей книге «Тайное знание: заново открывая утраченные техники старых мастеров» утверждал , что художники начали использовать камеру-люциду с 1420-х годов, что привело к внезапному изменению точности и реализма, и что эту практику продолжили крупные художники, в том числе Энгр , Ван Эйк и Караваджо . [23] Критики расходятся во мнениях относительно того, был ли Хокни прав. [24] [25] Точно так же архитектор Филип Стедман спорно утверждал [26] , что Вермеер использовал другое устройство, камеру-обскуру , чтобы помочь ему создавать свои отчетливо наблюдаемые картины. [27]
В 1509 году Лука Пачоли (ок. 1447–1517) опубликовал книгу «De divinaпропорция» о математических и художественных пропорциях , в том числе в человеческом лице. Леонардо да Винчи (1452–1519) иллюстрировал текст гравюрами на дереве из твердых тел правильной формы, когда учился у Пачоли в 1490-х годах. Рисунки Леонардо, вероятно, являются первыми иллюстрациями скелетных тел. [28] Они, такие как ромбокубооктаэдр , были одними из первых, которые были нарисованы для демонстрации перспективы путем наложения друг на друга. В работе рассматривается перспектива в творчестве Пьеро делла Франческа , Мелоццо да Форли и Марко Пальмеццано . [29] Леонардо изучал «Сумму » Пачоли , из которой он скопировал таблицы пропорций. [30] В «Моне Лизе» и «Тайной вечере» работа Леонардо включала линейную перспективу с точкой схода , чтобы обеспечить видимую глубину. [31] « Тайная вечеря» построена в строгом соотношении 12:6:4:3, как и « Афинская школа» Рафаэля , в которой Пифагор изображен с табличкой идеальных соотношений, священной для пифагорейцев. [32] [33] В «Витрувианском человеке» Леонардо выразил идеи римского архитектора Витрувия , новаторски показывая мужскую фигуру дважды и центрируя ее как в круге, так и в квадрате. [34]
Еще в 15 веке криволинейная перспектива нашла свое отражение в картинах художников, интересующихся искажениями изображений. « Портрет Арнольфини » Яна ван Эйка 1434 года содержит выпуклое зеркало с отражениями людей на сцене, [35] а « Автопортрет Пармиджанино в выпуклом зеркале» , ок. 1523–1524 гг.: в центре изображено почти неискаженное лицо художника, с сильно изогнутым фоном и рукой художника по краю. [36]
Трехмерное пространство можно убедительно представить в искусстве, как и в техническом рисунке , не только перспективой, но и другими средствами. Косые проекции , в том числе кавалерийская перспектива (использовавшаяся французскими военными художниками для изображения укреплений в 18 веке), постоянно и повсеместно использовались китайскими художниками с первого или второго веков до 18 века. Китайцы переняли эту технику из Индии, которая заимствовала ее из Древнего Рима. Косая проекция встречается в японском искусстве, например, в картинах укиё-э Тории Киёнаги (1752–1815). [37]
Золотое сечение (примерно равное 1,618) было известно еще Евклиду . [38] Золотое сечение постоянно утверждается, [39] [40] [41] [42] в наше время оно использовалось в искусстве и архитектуре древними людьми в Египте, Греции и других странах, без надежных доказательств. [43] Это утверждение может быть связано с путаницей с «золотой серединой», которая для древних греков означала «избежание излишеств в любом направлении», а не соотношение. [43] Пирамидологи с 19-го века приводят споры о сомнительных математических основаниях в пользу золотого сечения в конструкции пирамид. [b] Утверждается, что Парфенон , храм 5-го века до нашей эры в Афинах, использует золотое сечение в своем фасаде и плане этажа, [46] [47] [48] , но эти утверждения также опровергаются измерениями. [43] Утверждается, что Великая мечеть Кайруан в Тунисе также использует золотое сечение в своем дизайне, [49] но это соотношение не встречается в оригинальных частях мечети. [50] Историк архитектуры Фредерик Макоди Лунд утверждал в 1919 году, что Шартрский собор (12 век), Нотр-Дам в Лаоне (1157–1205) и Нотр-Дам де Пари (1160) спроектированы в соответствии с золотым сечением, [50] 51] рисует линии регулятора, чтобы обосновать свою позицию. Другие ученые утверждают, что до работы Пачоли в 1509 году золотое сечение было неизвестно художникам и архитекторам. [52] Например, высота и ширина фасада Нотр-Дама в Лаоне имеют соотношение 8/5 или 1,6, а не 1,618. Такие соотношения Фибоначчи быстро становится трудно отличить от золотого сечения. [53] После Пачоли золотое сечение более отчетливо заметно в произведениях искусства, включая «Мону Лизу» Леонардо . [54]
Другое соотношение, единственное другое морфическое число, [55] было названо пластическим числом [c] в 1928 году голландским архитектором Хансом ван дер Лааном (первоначально на французском языке оно называлось le nombre radiant ). [56] Его значение является решением кубического уравнения
иррациональное число, равное приблизительно 1,325. По мнению архитектора Ричарда Падована , это имеет характерные соотношения.3/4и1/7, которые определяют пределы человеческого восприятия при сопоставлении одного физического размера с другим. Ван дер Лаан использовал эти соотношения при проектировании церкви аббатства Св. Бенедиктусберга в Нидерландах в 1967 году. [56]
Плоские симметрии на протяжении тысячелетий использовались в таких произведениях искусства, как ковры , решетки, текстиль и плитка. [58] [59] [60] [61]
Многие традиционные ковры, будь то ворсовые ковры или килимы плоского переплетения , разделены на центральное поле и обрамляющую границу; оба могут иметь симметрию, хотя в коврах ручной работы она часто слегка нарушается мелкими деталями, вариациями рисунка и изменениями цвета, внесенными ткачом. [58] В килимах из Анатолии используемые мотивы обычно симметричны. Общий макет также обычно присутствует: полосы, полосы, чередующиеся с рядами мотивов, и упакованные массивы примерно шестиугольных мотивов. Поле обычно оформляется в виде обоев с группой обоев, такой как pmm, а граница может располагаться в виде фриза из группы фризов pm11, pmm2 или pma2. Турецкие и среднеазиатские килимы часто имеют три и более каймы в разных группах фризов. Ткачи определенно стремились к симметрии, не имея явных знаний ее математики. [58] Математик и теоретик архитектуры Никос Салингарос предполагает, что «мощное присутствие» [57] (эстетический эффект) «великого ковра» [57], такого как лучшие ковры Конья с двумя медальонами 17 века, создается математическим приемы, связанные с теориями архитектора Кристофера Александера . Эти методы включают в себя создание пары противоположностей; противоположные цветовые значения; геометрическое дифференцирование областей, используя дополнительные формы или балансируя направленность острых углов; обеспечение мелкомасштабной сложности (от уровня узла вверх) и как мелкомасштабной, так и крупномасштабной симметрии; повторяющиеся элементы в иерархии разного масштаба (с соотношением примерно 2,7 от каждого уровня к следующему). Салингарос утверждает, что «все успешные ковры удовлетворяют как минимум девяти из десяти вышеперечисленных правил», и предполагает, что на основе этих правил можно было бы создать метрику. [57]
Сложные решетки встречаются в работах индийского Джали , вырезанные из мрамора и украшающие гробницы и дворцы. [59] Китайские решетки, всегда с некоторой симметрией, существуют в 14 из 17 групп обоев; они часто имеют зеркальную, двойную зеркальную или вращательную симметрию. Некоторые имеют центральный медальон, а некоторые имеют окантовку в группе фриза. [62] Многие китайские решетки были математически проанализированы Дэниелом С. Даем; он называет Сычуань центром ремесла. [63]
Симметрии широко распространены в текстильном искусстве , включая лоскутное шитье , [60] вязание , [64] вышивку крестиком , вязание крючком , [65] вышивку [66] [67] и ткачество , [68] где они могут быть чисто декоративными или быть знаками искусства. положение дел. [69] Вращательная симметрия встречается в круглых структурах, таких как купола ; иногда они тщательно украшены симметричными узорами внутри и снаружи, как в мечети шейха Лотфоллы 1619 года в Исфахане . [70] Предметы вышивки и кружева , такие как скатерти и скатерти, изготовленные с использованием коклюшек или фриволите , могут иметь широкий спектр отражательной и вращательной симметрии, которые исследуются математически. [71]
Исламское искусство использует симметрию во многих своих формах искусства, особенно в мозаике гирих . Они сформированы с использованием набора из пяти форм плитки, а именно правильного десятиугольника, вытянутого шестиугольника, галстука-бабочки, ромба и правильного пятиугольника. Все стороны этих плиток имеют одинаковую длину; и все их углы кратны 36 ° (π/5 радиан ), что обеспечивает пятикратную и десятикратную симметрию. Плитки украшены полосками (гирих), которые обычно более заметны, чем границы плитки. В 2007 году физики Питер Лу и Пол Стейнхардт утверждали, что гирих напоминают квазикристаллические мозаики Пенроуза . [72] Сложная геометрическая плитка zellige является отличительным элементом марокканской архитектуры. [61] Своды Мукарнаса трехмерны, но были спроектированы в двух измерениях с рисунками геометрических ячеек. [73]
Платоновые тела и другие многогранники — постоянная тема в западном искусстве. Они встречаются, например, в мраморной мозаике с изображением небольшого звездчатого додекаэдра , приписываемой Паоло Уччелло, на полу базилики Сан-Марко в Венеции; [12] в схемах правильных многогранников Леонардо да Винчи, нарисованных в качестве иллюстраций к книге Луки Пачоли 1509 года «Божественная пропорция» ; [12] в виде стеклянного ромбокубооктаэдра на портрете Пачоли Якопо де Барбари, написанном в 1495 году; [12] в усеченном многограннике (и различных других математических объектах) на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I» ; [12] и на картине Сальвадора Дали «Тайная вечеря» , на которой Христос и его ученики изображены внутри гигантского додекаэдра . [74]
Альбрехт Дюрер (1471–1528) был немецким гравером эпохи Возрождения , который внес важный вклад в многогранную литературу в своей книге 1525 года Underweysung der Messung (Образование в области измерений) , призванной преподавать предметы линейной перспективы , геометрии в архитектуре , платоновых тел и правильные многоугольники . Дюрер, вероятно, находился под влиянием работ Луки Пачоли и Пьеро делла Франческа во время своих поездок в Италию . [75] Хотя примеры перспективы в Underweysung der Messung недостаточно развиты и содержат неточности, многогранники подробно обсуждаются. Дюрер также первым представил в тексте идею многогранных сеток — многогранников, развернутых так, чтобы они лежали ровно для печати. [76] В 1528 году Дюрер опубликовал еще одну влиятельную книгу о человеческих пропорциях под названием «Vier Bücher von Menschlicher Proportion» («Четыре книги о человеческих пропорциях»). [77]
Известная гравюра Дюрера «Меленхолия I» изображает разочарованного мыслителя, сидящего возле усеченного треугольного трапецоэдра и магического квадрата . [1] Эти два объекта и гравюра в целом стали предметом более современной интерпретации, чем содержание практически любой другой гравюры, [1] [78] [79] включая двухтомную книгу Питера-Клауса. Шустер, [80] и влиятельная дискуссия в монографии Дюрера Эрвина Панофски . [1] [81]
Картина Сальвадора Дали 1954 года «Гиперкуб тела » уникальным образом изображает крест Христа как развернутую трехмерную сеть гиперкуба , также известного как тессеракт : развертывание тессеракта на эти восемь кубов аналогично развертыванию сторон куба в крестообразная форма из шести квадратов, представляющая здесь божественную перспективу в виде четырехмерного правильного многогранника. [82] [83] На картине изображена фигура Христа перед тессарактом; Обычно его изображают прикрепленным к кресту гвоздями, но на картине гвоздей нет. Вместо этого перед его телом есть четыре маленьких куба, в углах самого переднего из восьми кубов тессаракта. Математик Томас Банчофф утверждает, что Дали пытался выйти за пределы трехмерного мира, а поэт и искусствовед Келли Гровьер говорит, что «картина, кажется, разрушила связь между духовностью спасения Христа и материальностью геометрического и физического мира». Похоже, что он устраняет пропасть, которая, по мнению многих, отделяет науку от религии». [84]
Традиционные индонезийские рисунки батика на ткани, изготовленные из воскового резиста, сочетают в себе репрезентативные мотивы (такие как цветочные и растительные элементы) с абстрактными и несколько хаотичными элементами, включая неточность в нанесении воскового резиста и случайные вариации, вызванные растрескиванием воска. Дизайн батика имеет фрактальное измерение от 1 до 2, которое варьируется в разных региональных стилях. Например, батик Чиребона имеет фрактальную размерность 1,1; батики Джокьякарты и Суракарты (Соло) в Центральной Яве имеют фрактальную размерность от 1,2 до 1,5; а батики Ласема на северном побережье Явы и Тасикмалая на Западной Яве имеют фрактальную размерность от 1,5 до 1,7. [85]
Капельная живопись современного художника Джексона Поллока также отличается своим фрактальным измерением. Его «Номер 14 » 1948 года имеет размер 1,45, подобный береговой линии, в то время как его более поздние картины имели последовательно более высокие фрактальные размеры и, соответственно, более сложные узоры. На создание одной из его последних работ, «Голубые полюса» , ушло шесть месяцев, и она имеет фрактальную размерность 1,72. [86]
Астроном Галилео Галилей в своей книге «Саджиаторе» писал, что «[Вселенная] написана на языке математики , а ее символами являются треугольники, круги и другие геометрические фигуры». [87] Художники, которые стремятся и стремятся изучать природу, должны, по мнению Галилея, сначала полностью понять математику. Математики, наоборот, стремились интерпретировать и анализировать искусство через призму геометрии и рациональности. Математик Фелипе Кукер предполагает, что математика, и особенно геометрия, является источником правил для «художественного творчества, основанного на правилах», хотя и не единственным. [88] Некоторые из многих нитей возникающих сложных отношений [89] описаны ниже.
Математик Джерри П. Кинг описывает математику как искусство, заявляя, что «ключами к математике являются красота и элегантность, а не скучность и техничность», и что красота является движущей силой математических исследований. [90] Кинг цитирует эссе математика Г.Х. Харди «Апология математика» 1940 года . В нем Харди обсуждает, почему он считает две теоремы классического времени наиболее важными, а именно доказательство Евклида , что существует бесконечно много простых чисел , и доказательство того, что квадратный корень из 2 иррационален . Кинг оценивает это последнее по критериям Харди математической элегантности : « серьёзность, глубина, общность, неожиданность, неизбежность и экономность » (курсив Кинга) и описывает доказательство как «эстетичное». [91] Венгерский математик Пауль Эрдеш согласился с тем, что математика обладает красотой, но рассматривал причины, не поддающиеся объяснению: «Почему числа прекрасны? Это все равно что спрашивать, почему Девятая симфония Бетховена прекрасна. Если вы не понимаете, почему, кто-то не сможет вам сказать Я знаю, что цифры прекрасны». [92]
Математику можно обнаружить во многих искусствах, таких как музыка , танец , [93] живопись , архитектура и скульптура . Каждый из них тесно связан с математикой. [94] Среди связей с изобразительным искусством математика может предоставить художникам инструменты, такие как правила линейной перспективы , описанные Бруком Тейлором и Иоганном Ламбертом , или методы начертательной геометрии , которые сейчас применяются в программном моделировании твердых тел, датировании. вернемся к Альбрехту Дюреру и Гаспару Монжу . [95] Художники Луки Пачоли в средние века , Леонардо да Винчи и Альбрехта Дюрера в эпоху Возрождения использовали и развивали математические идеи в своей художественной работе. [94] [96] Использование перспективы началось, несмотря на некоторые зачаточные обычаи в архитектуре Древней Греции, с итальянскими художниками, такими как Джотто , в 13 веке; такие правила, как точка схода, были впервые сформулированы Брунеллески примерно в 1413 году, [6] его теория оказала влияние на Леонардо и Дюрера. Работа Исаака Ньютона над оптическим спектром повлияла на «Теорию цвета» Гете и , в свою очередь, на таких художников , как Филипп Отто Рунге , Дж. М. У. Тёрнер , [97] прерафаэлиты и Василий Кандинский . [98] [99] Художники также могут проанализировать симметрию сцены. [100] Инструменты могут применяться математиками, изучающими искусство, или художниками, вдохновленными математикой, такими как М. К. Эшер (вдохновленный Х. С. М. Коксетером ) и архитектор Фрэнк Гери , который более сдержанно утверждал, что компьютерное проектирование позволило ему выразить себя в совершенно новый способ. [101]
Художник Ричард Райт утверждает, что математические объекты, которые можно сконструировать, можно рассматривать либо «как процессы моделирования явлений», либо как произведения « компьютерного искусства ». Он рассматривает природу математической мысли, отмечая, что фракталы были известны математикам за столетие до того, как они были признаны таковыми. В заключение Райт заявляет, что уместно подвергать математические объекты любым методам, используемым для «примирения с культурными артефактами, такими как искусство, напряжением между объективностью и субъективностью, их метафорическими значениями и характером репрезентативных систем». В качестве примеров он приводит изображение из множества Мандельброта , изображение, созданное алгоритмом клеточного автомата , и изображение, визуализированное компьютером , и обсуждает, со ссылкой на тест Тьюринга , могут ли алгоритмические продукты быть искусством. [102] В книге Сашо Каладжиевского «Математика и искусство: введение в визуальную математику» используется аналогичный подход, рассматривая подходящие темы визуальной математики, такие как мозаика, фракталы и гиперболическая геометрия. [103]
Некоторые из первых произведений компьютерного искусства были созданы «Рисовальной машиной 1» Десмонда Пола Генри , аналоговой машиной, основанной на компьютере бомбового прицела и выставленной в 1962 году. [104] [105] Машина была способна создавать сложные, абстрактные , асимметричные, криволинейные, но повторяющиеся рисунки линий. [104] [106] Совсем недавно Хамид Надери Йеганех создал формы, напоминающие объекты реального мира, такие как рыбы и птицы, используя формулы, которые последовательно изменяются для рисования семейств кривых или угловых линий. [107] [108] [109] Такие художники, как Микаэль Хвидтфельдт Кристенсен, создают произведения генеративного или алгоритмического искусства , написав сценарии для такой программной системы, как Structure Synth : художник эффективно направляет систему на применение желаемой комбинации математических операций к выбранный набор данных. [110] [111]
Книга математика и физика-теоретика Анри Пуанкаре « Наука и гипотеза» была широко прочитана кубистами , в том числе Пабло Пикассо и Жаном Метцингером . [113] [114] Будучи хорошо знакомым с работами Бернхарда Римана по неевклидовой геометрии, Пуанкаре более чем осознавал, что евклидова геометрия — это всего лишь одна из многих возможных геометрических конфигураций, а не абсолютная объективная истина. Возможное существование четвертого измерения вдохновило художников усомниться в классической перспективе Возрождения : неевклидова геометрия стала действенной альтернативой. [115] [116] [117] Идея о том, что живопись может быть выражена математически, в цвете и форме, способствовала развитию кубизма, художественного движения, которое привело к абстрактному искусству . [118] Метцингер в 1910 году писал, что: «[Пикассо] излагает свободную, подвижную перспективу, из которой гениальный математик Морис Принсе вывел целую геометрию». [119] Позже Метцингер писал в своих мемуарах:
Морис Принс часто присоединялся к нам... как художник он концептуализировал математику, как эстетик он использовал n -мерные континуумы. Он любил заинтересовывать художников новыми взглядами на космос , открытыми Шлегелем и некоторыми другими. Ему это удалось. [120]
Стремление создавать обучающие или исследовательские модели математических форм естественным образом создает объекты, обладающие симметрией и удивительными или приятными формами. Некоторые из них вдохновили таких художников, как дадаисты Ман Рэй , [121] Марсель Дюшан [122] и Макс Эрнст , [123] [124] и следующий за Ман Рэем Хироши Сугимото . [125]
Ман Рэй сфотографировал некоторые математические модели Института Анри Пуанкаре в Париже, в том числе Objet Mathematique (Математический объект). Он отметил, что это представляет собой поверхности Эннепера с постоянной отрицательной кривизной , полученные из псевдосферы . Эта математическая основа была для него важна, поскольку позволяла ему отрицать, что объект был «абстрактным», вместо этого утверждая, что он был так же реален, как писсуар, который Дюшан превратил в произведение искусства. Ман Рэй признал, что формула объекта [поверхности Эннепера] «ничего для меня не значила, но сами формы были столь же разнообразны и аутентичны, как и любые другие формы в природе». Он использовал свои фотографии математических моделей в качестве фигур в своих сериях по пьесам Шекспира , таких как картина 1934 года «Антоний и Клеопатра» . [126] Арт-репортер Джонатан Китс в статье для ForbesLife утверждает, что Ман Рэй фотографировал «эллиптические параболоиды и конические точки в том же чувственном свете, что и его фотографии Кики де Монпарнас », и «гениально перепрофилирует крутые математические расчеты, чтобы раскрыть топология желания». [127] Скульпторы двадцатого века, такие как Генри Мур , Барбара Хепворт и Наум Габо, черпали вдохновение из математических моделей. [128] Мур писал о своей книге «Мать и дитя на струнах» 1938 года : «Несомненно, источником моих струнных фигур был Музей науки ... Я был очарован математическими моделями, которые я там видел... Это не было научным исследованием этих фигур. моделей, но меня волновала возможность смотреть сквозь струны, как через птичью клетку, и видеть одну форму внутри другой». [129]
Художники Тео ван Дусбург и Пит Мондриан основали движение Де Стиль , которое они хотели «создать визуальный словарь, состоящий из элементарных геометрических форм, понятных всем и адаптируемых к любой дисциплине». [130] [131] Многие из их работ явно состоят из линейчатых квадратов и треугольников, иногда также с кругами. Художники De Stijl работали в области живописи, мебели, дизайна интерьера и архитектуры. [130] После распада Де Стейла Ван Дусбург основал движение «Авангардное искусство» , описав свою «Арифметическую композицию» 1929–1930 годов , серию из четырех черных квадратов по диагонали квадратного фона, как «структуру, которую можно контролируемая, определенная поверхность без случайных элементов или индивидуального каприза», но «не лишенная духа, не лишенная всеобщего и не... пустая, поскольку есть все , что соответствует внутреннему ритму». Искусствовед Глэдис Фабр отмечает, что в картине действуют два прогресса: растущие черные квадраты и чередующийся фон. [132]
Математика мозаики , многогранников, формирования пространства и самореференции предоставила художнику-графику М. К. Эшеру (1898–1972) материал на всю жизнь для его гравюр на дереве. [133] [134] В «Наброске Альгамбры» Эшер показал, что искусство можно создавать с помощью многоугольников или правильных форм, таких как треугольники, квадраты и шестиугольники. Эшер использовал неправильные многоугольники при мозаике плоскости и часто использовал отражения, скользящие отражения и перемещения для получения дополнительных узоров. Многие его работы содержат невозможные конструкции, выполненные с использованием геометрических объектов, которые создают противоречие между перспективной проекцией и трехмерностью, но приятны человеческому зрению. Книга Эшера «Восхождение и спуск » основана на « невозможной лестнице », созданной ученым-медиком Лайонелом Пенроузом и его сыном, математиком Роджером Пенроузом . [135] [136] [137]
Некоторые из многочисленных мозаичных рисунков Эшера были вдохновлены беседами с математиком Х.С.М. Коксетером о гиперболической геометрии . [138] Эшера особенно интересовали пять конкретных многогранников, которые много раз встречаются в его работах. Платоновы тела — тетраэдры, кубы, октаэдры, додекаэдры и икосаэдры — особенно заметны в « Порядке и хаосе» и «Четырех правильных телах» . [139] Эти звездчатые фигуры часто находятся внутри другой фигуры, что еще больше искажает угол обзора и форму многогранников и создает многогранное перспективное произведение искусства. [140]
Визуальная сложность математических структур, таких как мозаика и многогранники, вдохновила на создание множества математических произведений. Стюарт Коффин собирает многогранные головоломки в редком и красивом лесу; Джордж Харт работает над теорией многогранников и лепит объекты, вдохновленные ими; Магнус Веннингер делает «особенно красивые» модели сложных звездчатых многогранников . [141]
Искаженные перспективы анаморфозы исследуются в искусстве с шестнадцатого века, когда Ганс Гольбейн Младший включил сильно искаженный череп в свою картину 1533 года «Послы» . С тех пор многие художники, в том числе Эшер, использовали анаморфные приемы. [142]
Математика топологии вдохновила в наше время нескольких художников. Скульптор Джон Робинсон (1935–2007) создал такие работы, как «Гордиев узел» и «Повязки дружбы» , демонстрируя теорию узлов в полированной бронзе. [7] Другие работы Робинсона исследуют топологию торов . Бытие основано на кольцах Борромео – наборе из трех кругов, никакие два из которых не связаны между собой, но в которых всю структуру невозможно разобрать, не разрушив. [143] Скульптор Хеламан Фергюсон создает сложные поверхности и другие топологические объекты . [144] Его работы представляют собой визуальное представление математических объектов; Восьмеричный путь основан на проективной специальной линейной группе PSL(2,7) — конечной группе из 168 элементов. [145] [146] Скульптор Батшеба Гроссман аналогичным образом основывает свою работу на математических структурах. [147] [148] Художник Нельсон Сайерс включает в свое искусство математические концепции и теоремы, от топосов и схем до теоремы о четырех цветах и иррациональности числа π . [149]
Проект исследования гуманитарных наук исследует связи между математикой и искусством с помощью ленты Мёбиуса , флексагонов , оригами и панорамной фотографии. [150]
Математические объекты, включая многообразие Лоренца и гиперболическую плоскость, были созданы с использованием волоконного искусства, в том числе вязания крючком. [d] [152] Американская ткачиха Ада Дитц в 1949 году написала монографию «Алгебраические выражения в текстиле ручной работы» , в которой определила схемы ткачества, основанные на разложении многомерных полиномов . [153] Математик Дайна Тайминя продемонстрировала особенности гиперболической плоскости, связав крючком в 2001 году. [154] Это побудило Маргарет и Кристину Вертхайм связать крючком коралловый риф , состоящий из множества морских животных, таких как голожаберные , чьи формы основаны на гиперболических плоскостях. [155] Математик Дж. К. П. Миллер использовал клеточный автомат «Правило 90» для создания гобеленов , изображающих как деревья, так и абстрактные узоры из треугольников. [156] «Математики» [157] Пэт Эшфорт и Стив Пламмер используют в своем обучении вязаные версии математических объектов, таких как гексафлексагоны , хотя их губку Менгера оказалось слишком сложно вязать, и вместо этого она была сделана из пластикового холста. [158] [159] Их проект «mathghans» («Афганцы для школ») ввел вязание в британскую учебную программу по математике и технологиям. [160] [161]
Моделирование — далеко не единственный возможный способ иллюстрации математических понятий. « Триптих Стефанески» Джотто , 1320 год, иллюстрирует рекурсию в форме мизансцены ; На центральной панели триптиха слева внизу изображена коленопреклоненная фигура кардинала Стефанески, держащего триптих как подношение. [164] Метафизические картины Джорджо де Кирико, такие как его «Великий метафизический интерьер» 1917 года, исследуют вопрос уровней репрезентации в искусстве, изображая картины внутри его картин. [165]
Искусство может служить примером логических парадоксов, как в некоторых картинах сюрреалиста Рене Магритта , которые можно прочитать как семиотические шутки о путанице между уровнями. В «Человеческом состоянии» (1933) Магритт изображает мольберт (на реальном холсте), плавно поддерживающий вид из окна, обрамленного на картине «настоящими» шторами. Точно так же «Галерея печати» Эшера (1956) представляет собой гравюру, изображающую искаженный город, содержащий галерею, рекурсивно содержащую изображение, и так до бесконечности . [166] Магритт использовал сферы и кубоиды, чтобы искажать реальность по-другому, рисуя их рядом с множеством домов в своей « Ментальной арифметике» 1931 года , как если бы они были детскими строительными блоками, но размером с дом. [167] The Guardian заметила, что «жуткий образ игрушечного городка» предсказал узурпацию модернизмом «уютных традиционных форм», но также играет с человеческой склонностью искать закономерности в природе . [168]
Последняя картина Сальвадора Дали, «Ласточкин хвост» (1983), была частью серии, вдохновленной теорией катастроф Рене Тома . [170] Испанский художник и скульптор Пабло Паласуэло (1916–2007) сосредоточил внимание на исследовании формы. Он разработал стиль, который назвал геометрией жизни и геометрией всей природы. Состоящий из простых геометрических фигур с детальным рисунком и раскраской, в таких работах, как Angular I и Automnes , Паласуэло выразил себя в геометрических трансформациях. [7]
Художник Адриан Грей практикует балансировку камней , используя трение и центр тяжести для создания поразительных и, казалось бы, невозможных композиций. [171]
Однако художники не обязательно воспринимают геометрию буквально. Как пишет Дуглас Хофштадтер в своем размышлении о человеческом мышлении 1980 года, Гёдель, Эшер, Бах , посредством (среди прочего) математики искусства: «Разница между рисунком Эшера и неевклидовой геометрией состоит в том, что в последней понятна для неопределенных терминов можно найти интерпретации, в результате чего получается понятная целостная система, тогда как в первом случае конечный результат несовместим с концепцией мира, независимо от того, как долго человек смотрит на картины». Хофштадтер обсуждает, казалось бы, парадоксальную галерею литографий Эшера ; на нем изображен приморский город с художественной галереей, которая, кажется, содержит картину с изображением приморского города, причем на уровнях реальности в изображении существует «странная петля или запутанная иерархия». Самого художника, отмечает Хофштадтер, не видно; его реальность и его отношение к литографии не парадоксальны. [169] Центральная пустота изображения также привлекла интерес математиков Барта де Смита и Хендрика Ленстры , которые предполагают, что она может содержать собственную копию эффекта Дросте , повернутую и сжатую; это было бы еще одной иллюстрацией рекурсии помимо той, которую отметил Хофштадтер. [172] [173]
Алгоритмический анализ изображений произведений искусства, например, с помощью рентгеновской флуоресцентной спектроскопии , может раскрыть информацию об искусстве. Такие методы могут раскрыть изображения в слоях краски, позже покрытых художником; помочь историкам искусства визуализировать произведение искусства до того, как оно треснет или потускнеет; помочь отличить копию от оригинала или отличить стиль мазка мастера от стиля его учеников. [174] [175]
Стиль капельной живописи Джексона Поллока [176] имеет определенное фрактальное измерение ; [177] Среди художников, которые, возможно, повлияли на управляемый хаос Поллока , [178] Макс Эрнст рисовал фигуры Лиссажу непосредственно, размахивая проколотым ведром с краской по холсту. [179]
Ученый-компьютерщик Нил Доджсон исследовал, можно ли охарактеризовать полосатые картины Бриджит Райли математически, придя к выводу, что, хотя расстояние разделения могло «обеспечить некоторую характеристику», а глобальная энтропия работала на некоторых картинах, автокорреляция не удалась, поскольку узоры Райли были нерегулярными. Локальная энтропия сработала лучше всего и хорошо коррелировала с описанием, данным искусствоведом Робертом Кудиелкой. [180]
В книге «Эстетическая мера» американского математика Джорджа Биркгофа 1933 года предлагается количественная метрика эстетического качества произведения искусства. Он не пытается измерить коннотации произведения, например, что может означать картина, а ограничивается «элементами порядка» многоугольной фигуры. Биркгоф сначала объединяет (как сумму) пять таких элементов: существует ли вертикальная ось симметрии; существует ли оптическое равновесие; сколько у него вращательных симметрий; насколько фигура похожа на обои; и есть ли неудовлетворительные особенности, такие как расположение двух вершин слишком близко друг к другу. Эта метрика O принимает значение от −3 до 7. Вторая метрика C подсчитывает элементы фигуры, что для многоугольника представляет собой количество различных прямых линий, содержащих хотя бы одну из его сторон. Затем Биркгоф определяет свою эстетическую меру красоты объекта как O/C . Это можно интерпретировать как баланс между удовольствием, которое доставляет рассматривание объекта, и количеством усилий, необходимых для его восприятия. Предложение Биркгофа подвергалось различной критике, не в последнюю очередь за попытку выразить красоту в формуле, но он никогда не утверждал, что сделал это. [181]
Искусство иногда стимулировало развитие математики, например, когда теория перспективы Брунеллески в архитектуре и живописи положила начало циклу исследований, которые привели к работе Брука Тейлора и Иоганна Генриха Ламберта по математическим основам перспективного рисунка [182] и, в конечном итоге, к математика проективной геометрии Жирара Дезарга и Жана-Виктора Понселе . [183]
Японское искусство складывания бумаги оригами было математически переработано Томоко Фусэ с использованием модулей , конгруэнтных кусочков бумаги, таких как квадраты, и превращения их в многогранники или плитки. [184] Складывание бумаги было использовано в 1893 году Т. Сундара Рао в его « Геометрических упражнениях по складыванию бумаги» для демонстрации геометрических доказательств. [185] Математика складывания бумаги была исследована в теореме Маэкавы , [186] Теореме Кавасаки , [187] и аксиомах Хузиты-Хатори . [188]
Оптические иллюзии , такие как спираль Фрейзера, поразительно демонстрируют ограничения человеческого зрительного восприятия, создавая то, что историк искусства Эрнст Гомбрих назвал «непонятным трюком». Черно-белые веревки, которые кажутся образующими спирали , на самом деле являются концентрическими кругами . Оп-арт середины двадцатого века или стиль оптического искусства живописи и графики использовали такие эффекты для создания впечатления движения и мигающих или вибрирующих узоров, наблюдаемых в работах таких художников, как Бриджит Райли , Спирос Хоремис [190] и Виктор Вазарели . [191]
В одном из направлений искусства, начиная с Древней Греции, Бог рассматривается как геометр мира, и поэтому геометрия мира считается священной. Вера в то, что Бог создал Вселенную по геометрическому плану, имеет древнее происхождение. Плутарх приписал это убеждение Платону , написав, что «Платон говорил, что Бог постоянно геометризирует» ( Convivialium disputationum , liber 8,2). С тех пор этот образ оказал влияние на западную мысль. Платоновская концепция, в свою очередь, произошла от пифагорейского представления о гармонии в музыке, где ноты располагались в идеальных пропорциях, соответствующих длине струн лиры; действительно, пифагорейцы считали, что все организовано числом. Точно так же в платоновской мысли правильные или Платоновые тела диктуют пропорции, встречающиеся в природе и искусстве. [192] [193] Иллюминация в Виндобонском кодексе XIII века показывает, как Бог рисует вселенную с помощью циркуля, что может относиться к стиху из Ветхого Завета: «Когда он утвердил небеса, я был там: когда он поставь компас на поверхность бездны» (Притчи 8:27). [194] В 1596 году астроном-математик Иоганн Кеплер смоделировал Вселенную как набор вложенных друг в друга платоновых тел, определив относительные размеры орбит планет. [194] В произведении Уильяма Блейка «Ветхий днями» (изображающем Уризена , воплощение Блейка разума и закона) и в его картине физика Исаака Ньютона , обнаженного, сгорбленного и рисующего циркулем, символика циркуля используется для критики обычного разума и материализма. как ограниченный. [195] [196] На картине Сальвадора Дали «Распятие» (Corpus Hypercubus) 1954 года крест изображен как гиперкуб , представляющий божественную перспективу с четырьмя измерениями, а не с обычными тремя. [83] В «Таинстве Тайной Вечери» Дали (1955) Христос и его ученики изображены внутри гигантского додекаэдра . [197]
которые иллюстрируют увлечение Уччелло перспективой. Соревнующиеся бойцы сражаются на поле боя, усеянном сломанными копьями, которые упали почти в виде сетки и направлены в точку схода где-то вдалеке.
.jpg/1280px-The_Arnolfini_Portrait,_d%C3%A9tail_(2).jpg)
2.jpg/1280px-Ming_flower_brocade_(cropped)2.jpg)
{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ){{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ){{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь )В книге I, после некоторых элементарных построений, вводящих идею о том, что видимый размер объекта на самом деле представляет собой его угол, стянутый в глазу, и ссылаясь на книги I и VI «Начала» Евклида и «Оптику» Евклида, он обращается в предложении 13 к изображение квадрата, лежащего на земле перед зрителем. Что на самом деле должен нарисовать художник? После этого объекты строятся в квадрате (например, плитка для изображения кафельного пола) и соответствующие объекты строятся в перспективе; в Книге II над этими плоскими объектами воздвигаются призмы, обозначающие дома, колонны и т. д.; но основой метода является исходный квадрат, из которого следует все остальное.
{{cite book}}: |journal=игнорируется ( помощь )Геометрическая техника построения золотого сечения, видимо, определила основные решения пространственной организации. Золотое сечение неоднократно появляется в некоторых размерах здания. Это проявляется в общей пропорции плана и размерах молитвенного помещения, двора и минарета. Существование золотого сечения в некоторых частях мечети Кайруан указывает на то, что элементы, спроектированные и созданные с использованием этого принципа, возможно, были реализованы в тот же период.
{{cite book}}: |journal=игнорируется ( помощь ){{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь ){{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь ){{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь ){{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )Поллок умер в 1956 году, до того, как были открыты хаос и фракталы. Поэтому маловероятно, что Поллок сознательно понимал фракталы, которые рисовал. Тем не менее, его введение фракталов было намеренным. Например, цвет опорного слоя был выбран для создания максимально резкого контраста с фоном холста, и этот слой также занимает больше места на холсте, чем другие слои, что позволяет предположить, что Поллок хотел, чтобы этот высоко фрактальный опорный слой визуально доминировал над картиной. Более того, после того, как картины были закончены, он закреплял холст, чтобы удалить области возле края холста, где плотность рисунка была менее однородной.
В течение начала 1980-х годов паттерны Райли переходили от более регулярных к более случайным (что характеризуется глобальной энтропией), не теряя при этом своей ритмической структуры (характеризуемой локальной энтропией). Это отражает описание Куделькой своего художественного развития.
