Иоганн Карл Фридрих Гаусс (нем. Gauß [kaʁl ˈfʁiːdʁɪç ˈɡaʊs] ;[2][3] Латынь:Carolus Fridericus Gauss; 30 апреля 1777 г. – 23 февраля 1855 г.) был немецкимматематиком,астрономом,геодезистомифизиком,внесшим вклад во многие области математики и науки. Он был директоромГёттингенской обсерваториии профессором астрономии с 1807 г. до своей смерти в 1855 г.
Во время учебы в Гёттингенском университете он сформулировал несколько математических теорем . Гаусс завершил свои шедевры Disquisitiones Arithmeticae и Theoria motus corporum coelestium как частный учёный. Он дал второе и третье полные доказательства основной теоремы алгебры , внёс вклад в теорию чисел и разработал теории бинарных и тернарных квадратичных форм.
Гаусс сыграл важную роль в идентификации Цереры как карликовой планеты. Его работа о движении планетоидов, возмущенных большими планетами, привела к введению гауссовой гравитационной постоянной и метода наименьших квадратов , которые он открыл до того, как Адриен-Мари Лежандр опубликовал их. Гаусс отвечал за обширную геодезическую съемку королевства Ганновер вместе с проектом измерения дуги с 1820 по 1844 год; он был одним из основателей геофизики и сформулировал основные принципы магнетизма . Плодами его практической работы стали изобретения гелиотропа в 1821 году, магнитометра в 1833 году и — вместе с Вильгельмом Эдуардом Вебером — первого электромагнитного телеграфа в 1833 году.
Гаусс был первым, кто открыл и изучил неевклидову геометрию , а также ввел этот термин. Он также разработал быстрое преобразование Фурье примерно за 160 лет до Джона Тьюки и Джеймса Кули .
Гаусс отказался публиковать незаконченную работу и оставил несколько работ для редактирования посмертно . Он считал, что акт обучения, а не обладание знаниями, доставляет наибольшее наслаждение. Гаусс признавался, что не любит преподавание, но некоторые из его учеников стали влиятельными математиками, такими как Рихард Дедекинд и Бернхард Риман .
.jpg/1280px-Braunschweig_Brunswick_Geburtshaus_CF_Gauss_(1914).jpg)
Гаусс родился 30 апреля 1777 года в Брауншвейге в герцогстве Брауншвейг-Вольфенбюттель (ныне в немецкой земле Нижняя Саксония ). Его семья имела относительно низкий социальный статус. [4] Его отец Гебхард Дитрих Гаусс (1744–1808) работал мясником, каменщиком, садовником и казначеем фонда пособий по смерти. Гаусс характеризовал своего отца как порядочного и уважаемого, но грубого и властного дома. Он был опытным в письме и расчетах, тогда как его вторая жена Доротея, мать Карла Фридриха, была почти неграмотной. [5] У него был один старший брат от первого брака отца. [6]
Гаусс был вундеркиндом в математике. Когда учителя начальной школы заметили его интеллектуальные способности, они обратили на него внимание герцога Брауншвейгского , который отправил его в местный Коллегиум Каролинум , [a] который он посещал с 1792 по 1795 год вместе с Эберхардом Августом Вильгельмом фон Циммерманом в качестве одного из своих учителей. [8] [9] [10] После этого герцог предоставил ему ресурсы для изучения математики, естественных наук и классических языков в Гёттингенском университете до 1798 года. [11] Его профессором математики был Авраам Готхельф Кестнер , которого Гаусс называл «ведущим математиком среди поэтов и ведущим поэтом среди математиков» из-за его эпиграмм . [12] [b] Астрономию преподавал Карл Феликс Зейффер , с которым Гаусс поддерживал переписку после окончания университета; [13] Ольберс и Гаусс высмеивали его в своей переписке. [14] С другой стороны, он был высокого мнения о Георге Кристофе Лихтенберге , своем учителе физики, и о Христиане Готтлобе Гейне , чьи лекции по классике Гаусс посещал с удовольствием. [13] Его однокурсниками в то время были Иоганн Фридрих Бензенберг , Фаркаш Бойяи и Генрих Вильгельм Брандес . [13]
Он, вероятно, был самоучкой в математике, поскольку он независимо переоткрыл несколько теорем. [10] Он решил геометрическую задачу, которая занимала математиков со времен древних греков , когда он определил в 1796 году, какие правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки . Это открытие в конечном итоге привело Гаусса к выбору математики вместо филологии в качестве карьеры. [15] Математический дневник Гаусса, сборник кратких замечаний о его результатах с 1796 по 1814 год, показывает, что многие идеи для его математического magnum opus Disquisitiones Arithmeticae (1801) датируются этим временем. [16]
Гаусс получил степень доктора философии в 1799 году, не в Гёттингене, как иногда утверждают, [c] [17], а по особому запросу герцога Брауншвейгского из Университета Гельмштедта, единственного государственного университета герцогства. Иоганн Фридрих Пфафф оценил его докторскую диссертацию, и Гаусс получил степень заочно, без дальнейшего устного экзамена. [10] Затем герцог предоставил ему оплату проживания в качестве частного ученого в Брауншвейге. Впоследствии Гаусс отказался от приглашений из Российской академии наук в Санкт-Петербурге и Ландсхутского университета . [18] [19] Позже герцог пообещал ему основать обсерваторию в Брауншвейге в 1804 году. Архитектор Петер Йозеф Краэ сделал предварительные проекты, но одна из войн Наполеона перечеркнула эти планы: [20] герцог был убит в битве при Йене в 1806 году. Герцогство было упразднено в следующем году, и финансовая поддержка Гаусса прекратилась.
Когда Гаусс вычислял орбиты астероидов в первые годы века, он установил контакт с астрономическим сообществом Бремена и Лилиенталя , особенно с Вильгельмом Ольберсом , Карлом Людвигом Хардингом и Фридрихом Вильгельмом Бесселем , как частью неформальной группы астрономов, известной как Небесная полиция . [21] Одной из их целей было открытие дальнейших планет. Они собрали данные об астероидах и кометах в качестве основы для исследования Гауссом их орбит, которые он позже опубликовал в своем астрономическом magnum opus Theoria motus corporum coelestium (1809). [22]
В ноябре 1807 года Гаусс последовал призыву в Геттингенский университет , тогда учреждение недавно основанного Вестфальского королевства при Жероме Бонапарте , в качестве полного профессора и директора астрономической обсерватории , [23] и сохранял кафедру до своей смерти в 1855 году. Вскоре он столкнулся с требованием от Вестфальского правительства выплатить две тысячи франков в качестве военного взноса, который он не мог себе позволить заплатить. И Ольберс, и Лаплас хотели помочь ему с выплатой, но Гаусс отказался от их помощи. Наконец, анонимный человек из Франкфурта , позже выяснилось, что это был принц-примас Дальберг , [24] заплатил сумму. [23]
Гаусс взял на себя руководство 60-летней обсерваторией, основанной в 1748 году курфюрстом Георгом II и построенной на переоборудованной фортификационной башне [25] , с пригодными для использования, но частично устаревшими инструментами. [26] Строительство новой обсерватории было одобрено курфюрстом Георгом III в принципе еще в 1802 году, и Вестфальское правительство продолжило планирование [27] , но Гаусс не мог переехать на новое место работы до сентября 1816 года. [19] Он получил новые современные инструменты, включая два меридиана от Репсольда [28] и Рейхенбаха [29] и гелиометр от Фраунгофера [ 30] .
Научную деятельность Гаусса, помимо чистой математики, можно условно разделить на три периода: астрономия была основным направлением в первые два десятилетия XIX века, геодезия — в третье десятилетие, а физика, в основном магнетизм, — в четвертое десятилетие. [31]
Гаусс не скрывал своего отвращения к чтению академических лекций. [18] [19] Но с самого начала своей академической карьеры в Геттингене он непрерывно читал лекции вплоть до 1854 года. [32] Он часто жаловался на бремя преподавания, считая, что это пустая трата времени. С другой стороны, он иногда описывал некоторых студентов как талантливых. [18] Большинство его лекций были посвящены астрономии, геодезии и прикладной математике , [33] и только три лекции были посвящены предметам чистой математики. [18] [d] Некоторые из учеников Гаусса впоследствии стали известными математиками, физиками и астрономами: Мориц Кантор , Дедекинд , Дирксен , Энке , Гульд , [e] Гейне , Клинкерфюс , Купфер , Листинг , Мёбиус , Николай , Риман , Риттер , Шеринг , Шерк , Шумахер , Штаудт , Штерн , Урсин ; как ученые-геологи Сарториус фон Вальтерсхаузен и Ваппеус . [18]
Гаусс не написал ни одного учебника и не любил популяризацию научных вопросов. Единственными его попытками популяризации были его работы о дате Пасхи (1800/1802) и эссе Erdmagnetismus und Magnetometer 1836 года . [35] Гаусс публиковал свои статьи и книги исключительно на латыни или немецком языке . [f] [g] Он писал на латыни в классическом стиле, но использовал некоторые общепринятые модификации, установленные современными математиками. [38]
В своей вступительной лекции в Геттингенском университете в 1808 году Гаусс заявил, что надежные наблюдения и результаты, достигаемые только сильным исчислением, являются единственными задачами астрономии. [33] В университете его сопровождал штат других преподавателей его дисциплин, которые завершили образовательную программу; в их число входили математик Тибо с его лекциями, [40] физик Майер , известный своими учебниками, [41] его преемник Вебер с 1831 года, и в обсерватории Хардинг , который читал основную часть лекций по практической астрономии. Когда обсерватория была достроена, Гаусс поселился в западном крыле новой обсерватории, а Хардинг — в восточном. [19] Когда-то они были в дружеских отношениях, но со временем отдалились, возможно — как предполагают некоторые биографы — потому что Гаусс хотел, чтобы равный ему по рангу Хардинг был не более чем его помощником или наблюдателем. [19] [h] Гаусс использовал новые меридианные круги почти исключительно и держал их подальше от Хардинга, за исключением некоторых очень редких совместных наблюдений. [43]
Брендель подразделяет астрономическую деятельность Гаусса хронологически на семь периодов, из которых годы с 1820 года считаются «периодом более низкой астрономической активности». [44] Новая, хорошо оборудованная обсерватория работала не так эффективно, как другие; астрономические исследования Гаусса носили характер индивидуального предприятия без долгосрочной программы наблюдений, и университет учредил место для ассистента только после смерти Хардинга в 1834 году. [42] [43] [i]
Тем не менее, Гаусс дважды отказывался от возможности решить проблему, приняв предложения из Берлина в 1810 и 1825 годах стать действительным членом Прусской академии, не обременяя себя преподавательскими обязанностями, а также из Лейпцигского университета в 1810 году и из Венского университета в 1842 году, возможно, из-за тяжелого положения семьи. [42] Зарплата Гаусса была повышена с 1000 рейхсталеров в 1810 году до 2400 рейхсталеров в 1824 году, [19] и в последние годы своей жизни он был одним из самых высокооплачиваемых профессоров университета. [45]
Когда в 1810 году к Гауссу обратился за помощью его коллега и друг Фридрих Вильгельм Бессель , у которого были проблемы в Кенигсбергском университете из-за отсутствия у него ученого звания, Гаусс предоставил Бесселю степень доктора honoris causa от философского факультета Геттингена в марте 1811 года. [j] Гаусс дал еще одну рекомендацию на почетную степень для Софи Жермен , но только незадолго до ее смерти, поэтому она ее так и не получила. [48] Он также оказал успешную поддержку математику Готхольду Эйзенштейну в Берлине. [49]
Гаусс был лоялен к Ганноверскому дому . После смерти короля Вильгельма IV в 1837 году новый ганноверский король Эрнест Август отменил конституцию 1833 года. Семь профессоров, позже известных как « Геттингенская семёрка », протестовали против этого, среди них его друг и соратник Вильгельм Вебер и зять Гаусса Генрих Эвальд. Все они были уволены, а трое из них исключены, но Эвальд и Вебер смогли остаться в Геттингене. Гаусс был глубоко затронут этой ссорой, но не видел возможности помочь им. [50]
Гаусс принимал участие в академическом управлении: трижды избирался деканом философского факультета. [51] Будучи доверенным вдовьим пенсионным фондом университета, он занимался актуарной наукой и написал доклад о стратегии стабилизации пособий. Он был назначен директором Королевской академии наук в Геттингене на девять лет. [51]
Гаусс оставался умственно активным до старости, даже страдая от подагры и общего недомогания. 23 февраля 1855 года он умер от сердечного приступа в Геттингене; [12] и был похоронен на кладбище Альбани там. Генрих Эвальд , зять Гаусса, и Вольфганг Сарториус фон Вальтерсхаузен , близкий друг и биограф Гаусса, произнесли надгробные речи на его похоронах. [52]
Гаусс был успешным инвестором и накопил значительное богатство с помощью акций и ценных бумаг, в конечном итоге стоимостью более 150 тысяч талеров; после его смерти в его комнатах было найдено около 18 тысяч талеров. [53]
На следующий день после смерти Гаусса его мозг был извлечен, законсервирован и изучен Рудольфом Вагнером , который обнаружил, что его масса была немного выше средней и составляла 1492 грамма (3,29 фунта). [54] [55] Сын Вагнера Герман , географ, в своей докторской диссертации оценил площадь мозга в 219 588 квадратных миллиметров (340,362 квадратных дюйма). [56] В 2013 году нейробиолог из Института биофизической химии Общества Макса Планка в Гёттингене обнаружил, что вскоре после первых исследований мозг Гаусса был перепутан из-за неправильной маркировки с мозгом врача Конрада Генриха Фукса , который умер в Гёттингене через несколько месяцев после Гаусса. [57] Дальнейшее исследование не выявило никаких заметных аномалий в мозге обоих людей. Таким образом, все исследования мозга Гаусса до 1998 года, за исключением первых исследований Рудольфа и Германа Вагнера, на самом деле относятся к мозгу Фукса. [58]
Гаусс женился на Иоганне Остхофф 9 октября 1805 года в церкви Святой Екатерины в Брауншвейге. [59] У них было двое сыновей и одна дочь: Йозеф (1806–1873), Вильгельмина (1808–1840) и Луи (1809–1810). Иоганна умерла 11 октября 1809 года, через месяц после рождения Луи, который сам умер несколько месяцев спустя. [60] Гаусс выбрал имена своих детей в честь Джузеппе Пиацци , Вильгельма Ольберса и Карла Людвига Хардинга, первооткрывателей первых астероидов. [61]
4 августа 1810 года вдовец женился на Вильгельмине (Минне) Вальдек, подруге своей первой жены, от которой у него было еще трое детей: Ойген (позже Ойген) (1811–1896), Вильгельм (позже Уильям) (1813–1879) и Тереза (1816–1864). Минна Гаусс умерла 12 сентября 1831 года после тяжелой болезни, длившейся более десяти лет. [62] Затем Тереза взяла на себя управление домашним хозяйством и заботилась о Гауссе до конца его жизни; после смерти отца она вышла замуж за актера Константина Штауфенау. [63] Ее сестра Вильгельмина вышла замуж за востоковеда Генриха Эвальда . [64] Мать Гаусса Доротея жила в его доме с 1817 года до своей смерти в 1839 году. [11]
Старший сын Джозеф, будучи еще школьником, помогал отцу в качестве помощника во время геодезической кампании летом 1821 года. После непродолжительного обучения в университете, в 1824 году Джозеф присоединился к ганноверской армии и снова помогал в геодезии в 1829 году. В 1830-х годах он отвечал за расширение геодезической сети в западных частях королевства. Имея геодезическую квалификацию, он оставил службу и занялся строительством железнодорожной сети в качестве директора Королевских ганноверских государственных железных дорог . В 1836 году он несколько месяцев изучал железнодорожную систему в США. [45] [k]
Ойген покинул Гёттинген в сентябре 1830 года и эмигрировал в Соединенные Штаты, где он присоединился к армии на пять лет. Затем он работал в Американской меховой компании на Среднем Западе. Позже он переехал в Миссури и стал успешным бизнесменом. [45] Вильгельм женился на племяннице астронома Бесселя ; [67] затем он переехал в Миссури, начал как фермер и разбогател на обувном бизнесе в Сент-Луисе в более поздние годы. [68] У Ойгена и Уильяма было много потомков в Америке, но потомки Гаусса, оставшиеся в Германии, все произошли от Иосифа, поскольку у дочерей не было детей. [45]
В первые два десятилетия XIX века Гаусс был единственным значительным математиком в Германии, сравнимым с ведущими французскими математиками; [69] его Disquisitiones Arithmeticae была первой математической книгой из Германии, переведенной на французский язык. [70]
Гаусс был «впереди нового развития» с документированными исследованиями с 1799 года, его богатством новых идей и его строгостью доказательств. [71] В то время как предыдущие математики, такие как Леонард Эйлер, позволяли читателям принимать участие в их рассуждениях о новых идеях, включая определенные ошибочные отклонения от правильного пути, [72] Гаусс, однако, ввел новый стиль прямого и полного объяснения, который не пытался показать читателю ход мыслей автора. [73]
Гаусс был первым, кто восстановил ту строгость доказательства, которой мы восхищаемся у древних и которая была несправедливо отодвинута на задний план исключительным интересом предшествующего периода к новым достижениям.
— Клейн 1894, стр. 101
Но для себя он пропагандировал совершенно иной идеал, изложенный в письме Фаркашу Бойяи следующим образом: [74]
Не знание, а акт обучения, не обладание, а акт достижения, дарует величайшее наслаждение. Когда я прояснил и исчерпал предмет, тогда я отворачиваюсь от него, чтобы снова войти во тьму.
— Даннингтон 2004, стр. 416
Посмертные статьи, его научный дневник [75] и краткие комментарии в его собственных учебниках показывают, что он работал в значительной степени эмпирическим путем. [76] [77] Он всю жизнь был занятым и увлеченным вычислителем, который делал свои вычисления с необычайной скоростью, в основном без точного контроля, но проверял результаты с помощью мастерской оценки. Тем не менее, его вычисления не всегда были свободны от ошибок. [78] Он справлялся с огромной рабочей нагрузкой, используя искусные инструменты. [79] Гаусс использовал множество математических таблиц , проверял их точность и строил новые таблицы по различным вопросам для личного использования. [80] Он разработал новые инструменты для эффективных вычислений, например, исключение Гаусса . [81] Было принято как любопытная черта его стиля работы то, что он выполнял вычисления с высокой степенью точности, намного большей, чем требовалось, и составлял таблицы с большим количеством знаков после запятой, чем когда-либо требовалось для практических целей. [82] Весьма вероятно, что этот метод дал ему много материала, который он использовал при нахождении теорем в теории чисел. [79] [83]
Гаусс отказывался публиковать работы, которые он не считал полными и неподлежащими критике. Этот перфекционизм соответствовал девизу его личной печати Pauca sed Matura («Мало, но созрели»). Многие коллеги поощряли его публиковать новые идеи и иногда упрекали его, если он, по их мнению, колебался слишком долго. Гаусс защищался, утверждая, что первоначальное открытие идей было легким, но подготовка презентабельной разработки была для него трудным делом, либо из-за нехватки времени, либо из-за «спокойствия ума». [35] Тем не менее, он опубликовал много коротких сообщений срочного содержания в различных журналах, но также оставил значительное литературное наследие. [84] [85] Гаусс называл математику «царицей наук», а арифметику — «царицей математики» [86] и, предположительно, однажды поддержал веру в необходимость немедленного понимания личности Эйлера как эталона в соответствии с становлением первоклассным математиком. [87]
В некоторых случаях Гаусс утверждал, что идеи другого ученого уже были у него ранее. Таким образом, его концепция приоритета как «первого, кто открыл, а не первого, кто опубликовал» отличалась от концепции его научных современников. [88] В отличие от его перфекционизма в представлении математических идей, его критиковали за небрежный способ цитирования. Он оправдывал себя весьма особым взглядом на правильное цитирование: если он давал ссылки, то только в достаточно полной форме, по отношению к предыдущим важным авторам, которых никто не должен был игнорировать; но цитирование таким образом требовало знания истории науки и больше времени, чем он хотел потратить. [35]
Вскоре после смерти Гаусса его друг Сарториус опубликовал первую биографию (1856), написанную в довольно восторженном стиле. Сарториус видел в нем спокойного и устремленного вперед человека с детской скромностью [89] , но также с «железным характером» [90] и непоколебимой силой духа. [91] Помимо его ближайшего окружения, другие считали его сдержанным и неприступным, «подобным олимпийцу, восседающему на вершине науки». [92] Его близкие современники соглашались, что Гаусс был человеком с трудным характером. Он часто отказывался принимать комплименты. Его посетители иногда раздражались его сварливым поведением, но вскоре его настроение могло измениться, и он становился очаровательным, открытым хозяином. [35] Гаусс терпеть не мог полемических натур; Вместе со своим коллегой Хаусманном он выступал против назначения Юстуса Либиха на университетскую кафедру в Геттингене, «потому что он всегда был вовлечен в какую-то полемику». [93]
Жизнь Гаусса была омрачена серьезными проблемами в его семье. Когда его первая жена Иоганна внезапно умерла вскоре после рождения их третьего ребенка, он выразил горе в последнем письме к своей умершей жене в стиле старинной погребальной песни , самом личном сохранившемся документе Гаусса. [94] [95] Ситуация ухудшилась, когда туберкулез окончательно разрушил здоровье его второй жены Минны за 13 лет; обе его дочери позже страдали от той же болезни. [96] Сам Гаусс дал лишь слабые намеки на свои страдания: в письме Бесселю от декабря 1831 года он описал себя как «жертву худших домашних страданий». [35]
Из-за болезни жены оба младших сына несколько лет учились в Целле , далеко от Гёттингена. Военная карьера его старшего сына Йозефа закончилась спустя более чем два десятилетия в звании плохо оплачиваемого первого лейтенанта , хотя он приобрел значительные познания в геодезии. Он нуждался в финансовой поддержке отца даже после того, как женился. [45] Второй сын Ойген разделял большую часть таланта своего отца в вычислениях и языках, но имел живой и иногда мятежный характер. Он хотел изучать филологию, тогда как Гаусс хотел, чтобы он стал юристом. Наделав долгов и вызвав публичный скандал, [97] Ойген внезапно покинул Гёттинген при драматических обстоятельствах в сентябре 1830 года и эмигрировал через Бремен в Соединенные Штаты. Он растратил небольшие деньги, которые взял для начала, после чего его отец отказался от дальнейшей финансовой поддержки. [45] Младший сын Вильгельм хотел получить квалификацию сельскохозяйственного администратора, но столкнулся с трудностями в получении соответствующего образования и в конечном итоге также эмигрировал. Только младшая дочь Гаусса Тереза сопровождала его в последние годы жизни. [63]
Сбор числовых данных о самых разных вещах, полезных и бесполезных, стал его привычкой в последние годы жизни, например, количество путей от его дома до определенных мест в Геттингене или количество дней жизни людей; в декабре 1851 года он поздравил Гумбольдта с тем, что тот достиг того же возраста, что и Исаак Ньютон на момент его смерти, исчисляемого днями. [98]
Подобно его превосходному знанию латыни , он также был знаком с современными языками. В возрасте 62 лет он начал самостоятельно изучать русский язык , весьма вероятно, чтобы понимать научные труды из России, среди которых были работы Лобачевского по неевклидовой геометрии. [99] Гаусс читал как классическую, так и современную литературу, а также английские и французские работы на языках оригинала. [100] [м] Его любимым английским автором был Вальтер Скотт , его любимым немецким автором был Жан Поль . [102] Гаусс любил петь и ходил на концерты. [103] Он был активным читателем газет; в последние годы своей жизни он каждый полдень посещал академический пресс-салон университета. [104] Гаусс не очень интересовался философией и высмеивал «казуистость так называемых метафизиков», под которыми он подразумевал сторонников современной школы натурфилософии . [105]
Гаусс имел «аристократическую и насквозь консервативную натуру», с небольшим уважением к интеллекту и морали людей, следуя девизу « mundus vult decipi ». [104] Он не любил Наполеона и его систему, и все виды насилия и революции вызывали у него ужас. Так, он осуждал методы революций 1848 года , хотя и соглашался с некоторыми из их целей, такими как идея объединенной Германии. [90] [n] Что касается политической системы, то он невысоко оценивал конституционную систему; он критиковал парламентариев своего времени за недостаток знаний и логические ошибки. [104]
Некоторые биографы Гаусса рассуждали о его религиозных убеждениях. Иногда он говорил: «Бог арифметизирует» [106] и «Я добился успеха — не благодаря моим тяжелым усилиям, а по милости Господа». [107] Гаусс был членом лютеранской церкви , как и большинство населения северной Германии. Кажется, он не верил во все догмы и не понимал Священную Библию буквально. [108] Сарториус упоминал религиозную терпимость Гаусса и оценивал его «ненасытную жажду истины» и его чувство справедливости как мотивированные религиозными убеждениями. [109]
В своей докторской диссертации 1799 года Гаусс доказал фундаментальную теорему алгебры , которая гласит, что каждый непостоянный одномерный многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень . Математики, включая Жана Лерона Д'Аламбера, до него приводили ложные доказательства, и диссертация Гаусса содержит критику работы Д'Аламбера. Впоследствии он привел еще три доказательства, последнее из которых в 1849 году было в целом строгим. Его попытки значительно прояснили концепцию комплексных чисел. [110]
В предисловии к Disquisitiones Гаусс датирует начало своей работы по теории чисел 1795 годом. Изучая работы предшествующих математиков, таких как Ферма, Эйлер, Лагранж и Лежандр, он понял, что эти ученые уже нашли многое из того, что он открыл сам. [111] Disquisitiones Arithmeticae , написанные с 1798 года и опубликованные в 1801 году, объединили теорию чисел как дисциплину и охватили как элементарную, так и алгебраическую теорию чисел . В них он вводит символ тройной черты ( ≡ ) для сравнения и использует его для ясного представления модулярной арифметики . [112] В нем рассматриваются теорема об уникальной факторизации и примитивные корни по модулю n . В основных главах Гаусс представляет первые два доказательства закона квадратичной взаимности [113] и развивает теории бинарных [114] и тернарных квадратичных форм . [115]
Disquisitiones включают в себя закон композиции Гаусса для бинарных квадратичных форм, а также перечисление числа представлений целого числа в виде суммы трех квадратов. Как почти немедленное следствие его теоремы о трех квадратах , он доказывает треугольный случай теоремы Ферма о многоугольных числах для n = 3. [116] Из нескольких аналитических результатов о числах классов , которые Гаусс приводит без доказательства в конце пятой главы, [117] следует, что Гаусс уже знал формулу числа классов в 1801 году. [118]
В последней главе Гаусс приводит доказательство конструктивности правильного гептадекагона ( 17-стороннего многоугольника) с помощью линейки и циркуля , сводя эту геометрическую задачу к алгебраической. [119] Он показывает, что правильный многоугольник конструктивен, если число его сторон равно либо степени 2 , либо произведению степени 2 и любого числа различных простых чисел Ферма . В той же главе он приводит результат о числе решений некоторых кубических многочленов с коэффициентами в конечных полях , что равно подсчету целых точек на эллиптической кривой . [120] Незаконченная восьмая глава была найдена среди оставшихся работ только после его смерти, состоящая из работы, выполненной в 1797–1799 годах. [121] [122]
Одним из первых результатов Гаусса была эмпирически найденная гипотеза 1792 года – позже названная теоремой о простых числах – дающая оценку количества простых чисел с помощью интегрального логарифма . [123] [o]
Когда Ольберс призвал Гаусса в 1816 году побороться за премию Французской академии за доказательство Великой теоремы Ферма (ВТФ), он отказался из-за своей низкой оценки по этому вопросу. Однако среди его левых работ была найдена короткая недатированная статья с доказательствами ВТФ для случаев n = 3 и n = 5. [125] Частный случай n = 3 был доказан гораздо раньше Леонардом Эйлером , но Гаусс разработал более обтекаемое доказательство, которое использовало целые числа Эйзенштейна ; хотя и более общее, доказательство было проще, чем в случае действительных целых чисел. [126]
Гаусс внес вклад в решение гипотезы Кеплера в 1831 году, доказав, что наибольшая плотность упаковки сфер в трехмерном пространстве достигается, когда центры сфер образуют кубическую гранецентрированную компоновку, [127] , когда он рецензировал книгу Людвига Августа Зеебера по теории редукции положительных тернарных квадратичных форм. [128] Заметив некоторые недостатки в доказательстве Зеебера, он упростил многие из его аргументов, доказал центральную гипотезу и заметил, что эта теорема эквивалентна гипотезе Кеплера для регулярных компоновок. [129]
В двух работах о биквадратичных вычетах (1828, 1832) Гаусс ввел кольцо гауссовых целых чисел , показал, что это уникальная факторизационная область . [130] и обобщил некоторые ключевые арифметические концепции, такие как малая теорема Ферма и лемма Гаусса . Основной целью введения этого кольца было сформулировать закон биквадратичной взаимности [130] – как обнаружил Гаусс, кольца комплексных целых чисел являются естественной средой для таких высших законов взаимности. [131]
Во второй статье он сформулировал общий закон биквадратичной взаимности и доказал несколько его частных случаев. В более ранней публикации 1818 года, содержащей его пятое и шестое доказательства квадратичной взаимности, он утверждал, что методы этих доказательств ( сумм Гаусса ) могут быть применены для доказательства высших законов взаимности. [132]
Одним из первых открытий Гаусса было понятие арифметико-геометрического среднего (АГС) двух положительных действительных чисел. [133] Он открыл его связь с эллиптическими интегралами в 1798–1799 годах с помощью преобразования Ландена , а запись в дневнике зафиксировала открытие связи константы Гаусса с лемнискатическими эллиптическими функциями , результат, который Гаусс заявил, что «несомненно, откроет совершенно новую область анализа». [134] Он также сделал ранние набеги на более формальные вопросы основ комплексного анализа , и из письма Бесселю в 1811 году ясно, что он знал «фундаментальную теорему комплексного анализа» — интегральную теорему Коши — и понимал понятие комплексных вычетов при интегрировании вокруг полюсов . [120] [135]
Теорема Эйлера о пятиугольных числах , вместе с другими исследованиями по AGM и лемнискатическим функциям, привела его к множеству результатов по тета-функциям Якоби , [120] достигших кульминации в открытии в 1808 году позже названного тождества тройного произведения Якоби , которое включает теорему Эйлера как частный случай. [136] Его работы показывают, что он знал модулярные преобразования порядка 3, 5, 7 для эллиптических функций с 1808 года. [137] [p] [q]
Несколько математических фрагментов в его Nachlass указывают на то, что он знал части современной теории модулярных форм . [120] В своей работе над многозначной AGM двух комплексных чисел он обнаружил глубокую связь между бесконечным множеством значений AGM с ее двумя «простейшими значениями». [134] В своих неопубликованных работах он распознал и сделал набросок ключевого понятия фундаментальной области для модулярной группы . [139] [140] Одним из набросков Гаусса такого рода был рисунок мозаики единичного круга «равносторонними» гиперболическими треугольниками со всеми углами, равными . [141]
Примером проницательности Гаусса в области анализа является загадочное замечание о том, что принципы деления окружности циркулем и линейкой могут быть также применены к делению лемнискатной кривой , что вдохновило Абеля на теорему о делении лемнискат. [r] Другим примером является его публикация "Summatio quarundam serierum singularium" (1811) об определении знака квадратичной суммы Гаусса , в которой он решил основную проблему, введя q-аналоги биномиальных коэффициентов и манипулируя ими с помощью нескольких оригинальных тождеств, которые, по-видимому, вытекают из его работы по теории эллиптических функций; однако Гаусс изложил свой аргумент формальным образом, который не раскрывает его происхождения из теории эллиптических функций, и только более поздние работы математиков, таких как Якоби и Эрмит, раскрыли суть его аргумента. [142]
В «Disquisitiones generales circa series infinitam...» (1813) он дает первое систематическое описание общей гипергеометрической функции и показывает, что многие из функций, известных в то время, являются частными случаями гипергеометрической функции. [143] Эта работа является первой в истории математики, в которой проводится точное исследование сходимости бесконечных рядов. [144] Кроме того, в ней рассматриваются бесконечные цепные дроби, возникающие как отношения гипергеометрических функций, которые теперь называются цепными дробями Гаусса . [145]
В 1823 году Гаусс получил премию Датского общества за эссе о конформных отображениях , которое содержит несколько разработок, относящихся к области комплексного анализа. [146] Гаусс заявил, что сохраняющие углы отображения в комплексной плоскости должны быть комплексными аналитическими функциями , и использовал позднее названное уравнение Бельтрами, чтобы доказать существование изотермических координат на аналитических поверхностях. Эссе завершается примерами конформных отображений в сферу и эллипсоид вращения . [147]
Гаусс часто выводил теоремы индуктивно из числовых данных, которые он собирал эмпирическим путем. [77] Таким образом, использование эффективных алгоритмов для облегчения вычислений было жизненно важным для его исследований, и он внес большой вклад в числовой анализ , как метод гауссовой квадратуры, опубликованный в 1816 году. [148]
В частном письме Герлингу от 1823 года [149] он описал решение системы линейных уравнений 4X4 с использованием метода Гаусса-Зейделя – «косвенного» итерационного метода для решения линейных систем, и рекомендовал его вместо обычного метода «прямого исключения» для систем из более чем двух уравнений. [150]
Гаусс изобрел алгоритм для вычисления того, что сейчас называется дискретными преобразованиями Фурье , при вычислении орбит Паллады и Юноны в 1805 году, за 160 лет до того, как Кули и Тьюки нашли свой аналогичный алгоритм Кули–Тьюки FFT . [151] Он разработал его как метод тригонометрической интерполяции , но статья Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata была опубликована только посмертно в 1876 году, [152] ей предшествовала первая презентация Жозефа Фурье по этой теме в 1807 году. [153]
Первая публикация после докторской диссертации была посвящена определению даты Пасхи (1800 г.), элементарному вопросу математики. Гаусс стремился представить наиболее удобный алгоритм для людей, не имеющих никаких знаний о церковной или даже астрономической хронологии, и поэтому избегал обычно требуемых терминов золотого числа , эпакты , солнечного цикла , доменикалической буквы и любых религиозных коннотаций. [154] Биографы размышляли о причине, по которой Гаусс занимался этим вопросом, но это, вероятно, понятно из исторического фона. Замена юлианского календаря григорианским календарем вызвала путаницу в Священной Римской империи с XVI века и не была завершена в Германии до 1700 года, когда разница в одиннадцать дней была устранена, но разница в расчете даты Пасхи осталась между протестантскими и католическими территориями. Дальнейшее соглашение 1776 года уравняло конфессиональный способ счета; Таким образом, в протестантских государствах, таких как герцогство Брауншвейг, Пасха 1777 года, за пять недель до рождения Гаусса, была первой, рассчитанной по-новому. [155] Общественные трудности замены могут быть историческим фоном для путаницы по этому вопросу в семье Гаусс (см. главу: Анекдоты). Поскольку она связана с пасхальными правилами, вскоре в 1802 году последовал очерк о дате Песаха . [156]
1 января 1801 года итальянский астроном Джузеппе Пиацци открыл новый небесный объект, предположив, что это давно искомая планета между Марсом и Юпитером в соответствии с так называемым законом Тициуса-Боде , и назвал его Церерой . [157] Он мог отслеживать его только в течение короткого времени, пока он не скрылся за бликами Солнца. Математических инструментов того времени было недостаточно, чтобы экстраполировать положение из немногих данных для его повторного появления. Гаусс взялся за эту проблему и предсказал положение для возможного повторного открытия в декабре 1801 года. Это оказалось точным в пределах половины градуса, когда Франц Ксавьер фон Зах 7 и 31 декабря в Готе и независимо Генрих Ольберс 1 и 2 января в Бремене идентифицировали объект вблизи предсказанного положения. [158] [s]
Метод Гаусса приводит к уравнению восьмой степени, одно решение которого, орбита Земли, известно. Искомое решение затем отделяется от оставшихся шести на основе физических условий. В этой работе Гаусс использовал комплексные методы приближения, которые он создал для этой цели. [159]
Открытие Цереры привело Гаусса к теории движения планетоидов, возмущенного большими планетами, в конечном итоге опубликованной в 1809 году как Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum . [160] Она ввела гауссову гравитационную постоянную . [33]
С тех пор как были открыты новые астероиды, Гаусс занялся возмущениями их орбитальных элементов . Сначала он исследовал Цереру аналитическими методами, подобными методам Лапласа, но его любимым объектом была Паллада из-за ее большого эксцентриситета и наклонения орбиты , из-за чего метод Лапласа не работал. Гаусс использовал свои собственные инструменты: арифметико-геометрическое среднее , гипергеометрическую функцию и свой метод интерполяции. [161] Он обнаружил орбитальный резонанс с Юпитером в пропорции 18:7 в 1812 году; Гаусс дал этот результат как шифр и дал явное значение только в письмах Ольберсу и Бесселю. [162] [163] [t] После долгих лет работы он закончил ее в 1816 году, не получив результата, который показался бы ему достаточным. Это ознаменовало конец его деятельности в теоретической астрономии. [165]
Одним из плодов исследований Гаусса по возмущениям Паллады стала работа Determinatio Attractionis... (1818) о методе теоретической астрономии, который позже стал известен как «метод эллиптических колец». Она ввела концепцию усреднения, в которой планета на орбите заменяется фиктивным кольцом с плотностью массы, пропорциональной времени, необходимому планете для прохождения соответствующих орбитальных дуг. [166] Гаусс представляет метод оценки гравитационного притяжения такого эллиптического кольца, который включает несколько шагов; один из них включает прямое применение алгоритма арифметико-геометрического среднего (AGM) для вычисления эллиптического интеграла . [167]
В то время как вклад Гаусса в теоретическую астрономию подошел к концу, более практическая деятельность в наблюдательной астрономии продолжалась и занимала его на протяжении всей его карьеры. Даже в начале 1799 года Гаусс занимался определением долготы с использованием лунного параллакса, для чего он разработал более удобные формулы, чем те, которые были в общем употреблении. [168] После назначения на должность директора обсерватории он придавал значение фундаментальным астрономическим константам в переписке с Бесселем. Сам Гаусс предоставил таблицы для нутации и аберрации, солнечных координат и рефракции. [169] Он внес большой вклад в сферическую геометрию и в этом контексте решил некоторые практические проблемы навигации по звездам . [170] Он опубликовал большое количество наблюдений, в основном по малым планетам и кометам; его последним наблюдением было солнечное затмение 28 июля 1851 года. [171]
Гаусс, вероятно, использовал метод наименьших квадратов для вычисления орбиты Цереры, чтобы минимизировать влияние ошибки измерения . [88] Метод был впервые опубликован Адриеном-Мари Лежандром в 1805 году, но Гаусс утверждал в Theoria motus (1809), что он использовал его с 1794 или 1795 года. [172] [173] [174] В истории статистики это разногласие называется «спором о приоритете открытия метода наименьших квадратов». [88] Гаусс доказал, что метод имеет самую низкую дисперсию выборки в классе линейных несмещенных оценок при предположении нормально распределенных ошибок ( теорема Гаусса–Маркова ), в двухчастной статье Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae (1823). [175]
В первой статье он доказал неравенство Гаусса ( неравенство типа Чебышева ) для унимодальных распределений и сформулировал без доказательства другое неравенство для моментов четвертого порядка (частный случай неравенства Гаусса-Винклера). [176] Он вывел нижние и верхние границы для дисперсии выборочной дисперсии . Во второй статье Гаусс описал рекурсивные методы наименьших квадратов . Его работа по теории ошибок была расширена в нескольких направлениях геодезистом Фридрихом Робертом Гельмертом до модели Гаусса-Гельмерта . [177]
Гаусс также внес вклад в проблемы теории вероятностей , которые не связаны напрямую с теорией ошибок. Одним из примеров является дневниковая запись, в которой он пытался описать асимптотическое распределение записей в разложении непрерывной дроби случайного числа, равномерно распределенного в (0,1) . Он вывел это распределение, теперь известное как распределение Гаусса-Кузьмина , как побочный продукт открытия эргодичности отображения Гаусса для непрерывных дробей . Решение Гаусса является первым результатом в метрической теории непрерывных дробей. [178]
.jpg/1280px-Vize-Heliotrop_Gau%C3%9F-Ausstellung_Bomann-Museum_(1).jpg)
Гаусс был занят геодезическими проблемами с 1799 года, когда он помогал Карлу Людвигу фон Лекоку с расчетами во время его обследования в Вестфалии . [179] Начиная с 1804 года он самостоятельно изучал геодезическую практику с секстантом в Брауншвейге, [180] и Геттингене. [181]
С 1816 года бывший ученик Гаусса Генрих Христиан Шумахер , тогда профессор в Копенгагене , но живущий в Альтоне ( Гольштейн ) недалеко от Гамбурга в качестве руководителя обсерватории, провел триангуляцию полуострова Ютландия от Скагена на севере до Лауэнбурга на юге. [u] Этот проект был основой для создания карты, но также был направлен на определение геодезической дуги между конечными пунктами. Данные с геодезических дуг использовались для определения размеров земного геоида , и большие расстояния дуги давали более точные результаты. Шумахер попросил Гаусса продолжить эту работу дальше на юг в королевстве Ганновер; Гаусс согласился после непродолжительного колебания. Наконец, в мае 1820 года король Георг IV отдал приказ Гауссу. [182]
Измерение дуги требует точного астрономического определения по крайней мере двух точек в сети . Гаусс и Шумахер использовали любимый случай, когда обе обсерватории в Геттингене и Альтоне, в саду дома Шумахера, располагались почти на одной и той же долготе . Широта измерялась обоими их инструментами и зенитным сектором Рамсдена , который был доставлен в обе обсерватории. [183] [v]
Гаусс и Шумахер уже определили некоторые углы между Люнебургом , Гамбургом и Лауэнбургом для геодезической связи в октябре 1818 года. [184] Летом 1821 года и до 1825 года Гаусс лично руководил триангуляционными работами от Тюрингии на юге до реки Эльбы на севере. Треугольник между Хоэр-Хагеном , Гроссер-Инзельсбергом в Тюрингенском лесу и Броккеном в горах Гарц был самым большим, который когда-либо измерял Гаусс, с максимальным размером 107 км (66,5 миль). В малонаселенной Люнебургской пустоши без значительных естественных вершин или искусственных построек у него возникли трудности с поиском подходящих точек триангуляции; иногда приходилось прокладывать тропы через растительность. [155] [185]
Для указания сигналов Гаусс изобрел новый инструмент с подвижными зеркалами и небольшой телескоп, который отражает солнечные лучи в точки триангуляции, и назвал его гелиотропом . [186] Другой подходящей конструкцией для той же цели был секстант с дополнительным зеркалом, который он назвал вице-гелиотропом . [187] Гауссу помогали солдаты ганноверской армии, среди которых был его старший сын Йозеф. Гаусс принял участие в измерении базовой линии ( Braak Base Line ) Шумахера в деревне Браак близ Гамбурга в 1820 году и использовал результат для оценки ганноверской триангуляции. [188]
Дополнительным результатом стало лучшее значение сплющивания аппроксимированного земного эллипсоида . [189] [w] Гаусс разработал универсальную поперечную проекцию Меркатора для Земли в форме эллипса (то, что он назвал конформной проекцией ) [191] для представления геодезических данных на плоских картах.
Когда измерение дуги было закончено, Гаусс начал расширение триангуляции на запад, чтобы получить обзор всего королевства Ганновер с королевским указом от 25 марта 1828 года. [192] Практическая работа была направлена тремя офицерами армии, среди которых был лейтенант Йозеф Гаусс. Полная оценка данных была в руках Гаусса, который применил к нему свои математические изобретения, такие как метод наименьших квадратов и метод исключения . Проект был завершен в 1844 году, и Гаусс отправил окончательный отчет по проекту правительству; его метод проекции не был отредактирован до 1866 года. [193] [194]
В 1828 году, изучая различия в широте , Гаусс впервые определил физическое приближение для фигуры Земли как поверхности, всюду перпендикулярной направлению силы тяжести; [195] позже его аспирант Иоганн Бенедикт Листинг назвал это геоидом . [196]
Геодезическая съемка Ганновера подогрела интерес Гаусса к дифференциальной геометрии и топологии , областям математики, имеющим дело с кривыми и поверхностями . Это привело его в 1828 году к публикации мемуара, который знаменует собой рождение современной дифференциальной геометрии поверхностей , поскольку он отошел от традиционных способов рассмотрения поверхностей как декартовых графиков функций двух переменных, и который инициировал исследование поверхностей с «внутренней» точки зрения двумерного существа, ограниченного в движении по нему. В результате, Theorema Egregium ( замечательная теорема ) установила свойство понятия гауссовой кривизны . Неформально, теорема гласит, что кривизна поверхности может быть полностью определена путем измерения углов и расстояний на поверхности, независимо от вложения поверхности в трехмерное или двумерное пространство. [197]
Теорема Egregium приводит к абстракции поверхностей как дважды расширенного многообразия ; она проясняет различие между внутренними свойствами многообразия ( метрикой ) и его физической реализацией в окружающем пространстве. Следствием этого является невозможность изометрического преобразования между поверхностями различной гауссовой кривизны. Это практически означает, что сфера или эллипсоид не могут быть преобразованы в плоскость без искажения, что вызывает фундаментальную проблему при проектировании проекций для географических карт. [197] Часть этого эссе посвящена глубокому изучению геодезических . В частности, Гаусс доказывает локальную теорему Гаусса–Бонне о геодезических треугольниках и обобщает теорему Лежандра о сферических треугольниках на геодезические треугольники на произвольных поверхностях с непрерывной кривизной; он обнаружил, что углы «достаточно малого» геодезического треугольника отклоняются от углов плоского треугольника с теми же сторонами способом, который зависит только от значений кривизны поверхности в вершинах треугольника, независимо от поведения поверхности внутри треугольника. [198]
В мемуарах Гаусса 1828 года отсутствует концепция геодезической кривизны . Однако в ранее неопубликованной рукописи, весьма вероятно написанной в 1822–1825 годах, он ввел термин «боковая кривизна» (нем. Seitenkrümmung) и доказал ее инвариантность относительно изометрических преобразований, результат, который позже был получен Фердинандом Миндингом и опубликован им в 1830 году. Эта статья Гаусса содержит ядро его леммы о полной кривизне, а также ее обобщение, найденное и доказанное Пьером Оссианом Бонне в 1848 году и известное как теорема Гаусса–Бонне . [199]
При жизни Гаусса велась оживленная дискуссия о постулате параллельности в евклидовой геометрии . [200] Было предпринято множество попыток доказать его в рамках аксиом Евклида, в то время как некоторые математики обсуждали возможность геометрических систем без него. [201] Гаусс размышлял об основах геометрии с 1790-х годов, но в 1810-х годах он понял, что неевклидова геометрия без постулата параллельности может решить эту проблему. [202] [200] В письме Францу Тауринусу от 1824 года он представил краткий и понятный очерк того, что он назвал « неевклидовой геометрией », [203] но он настоятельно запретил Тауринусу использовать ее каким-либо образом. [202] Гауссу приписывают то, что он был тем, кто первым открыл и изучил неевклидову геометрию, и даже ввел этот термин. [204] [203] [205]
Первые публикации по неевклидовой геометрии в истории математики были написаны Николаем Лобачевским в 1829 году и Яношем Бойяи в 1832 году. [201] В последующие годы Гаусс писал свои идеи по этой теме, но не публиковал их, таким образом избегая влияния на современную научную дискуссию. [202] [206] Гаусс похвалил идеи Яноша Бойяи в письме к своему отцу и университетскому другу Фаркашу Бойяи [207], утверждая, что они соответствуют его собственным мыслям нескольких десятилетий. [202] [208] Однако не совсем ясно, в какой степени он предшествовал Лобачевскому и Бойяи, поскольку его замечания в письме лишь расплывчаты и неясны. [201]
Сарториус впервые упомянул работу Гаусса по неевклидовой геометрии в 1856 году, но только издание левых статей в VIII томе Собрания сочинений (1900) показало идеи Гаусса по этому вопросу, в то время, когда неевклидова геометрия уже вышла из полемических дискуссий. [202]
Гаусс также был одним из первых пионеров топологии или Geometria Situs , как ее называли при жизни. Первое доказательство фундаментальной теоремы алгебры в 1799 году содержало по существу топологическое доказательство; пятьдесят лет спустя он развил топологическое доказательство в своем четвертом доказательстве этой теоремы. [209]
Еще одна встреча с топологическими понятиями произошла с ним в ходе его астрономической работы в 1804 году, когда он определил границы области на небесной сфере , в которой могут появляться кометы и астероиды, и которую он назвал «Зодиаком». Он обнаружил, что если орбиты Земли и кометы связаны , то по топологическим причинам Зодиак — это вся сфера. В 1848 году в контексте открытия астероида 7 Ирис он опубликовал дальнейшее качественное обсуждение Зодиака. [210]
В письмах Гаусса 1820–1830 годов он интенсивно размышлял над темами, тесно связанными с Geometria Situs, и постепенно осознавал семантическую сложность в этой области. Фрагменты этого периода показывают, что он пытался классифицировать «трактовые фигуры», которые представляют собой замкнутые плоские кривые с конечным числом поперечных самопересечений, которые также могут быть плоскими проекциями узлов . [211] Для этого он разработал символическую схему, код Гаусса , который в некотором смысле захватил характерные черты трактовых фигур. [212] [213]
В фрагменте 1833 года Гаусс определил число связей двух пространственных кривых с помощью определенного двойного интеграла и, таким образом, впервые дал аналитическую формулировку топологического явления. В той же связи он посетовал на незначительный прогресс, достигнутый в Geometria Situs, и заметил, что одной из ее центральных проблем будет «подсчет переплетений двух замкнутых или бесконечных кривых». Его записные книжки того периода показывают, что он также думал о других топологических объектах, таких как косы и клубки . [210]
Влияние Гаусса в последующие годы на развивающуюся область топологии, которую он высоко ценил, было обусловлено случайными замечаниями и устными сообщениями Мёбиусу и Листингу. [214]
Гаусс применил концепцию комплексных чисел для решения известных проблем новым лаконичным способом. Например, в короткой заметке 1836 года о геометрических аспектах тернарных форм и их применении в кристаллографии [215] он сформулировал фундаментальную теорему аксонометрии , которая говорит, как представить трехмерный куб на двумерной плоскости с полной точностью с помощью комплексных чисел. [216] Он описал вращения этой сферы как действие определенных линейных дробных преобразований на расширенной комплексной плоскости [217] и дал доказательство геометрической теоремы о том, что высоты треугольника всегда встречаются в одном ортоцентре . [218]
Гаусс интересовался « Pentagramma mirificum » Джона Непера – некой сферической пентаграммой – в течение нескольких десятилетий; [219] он подходил к ней с разных точек зрения и постепенно достиг полного понимания ее геометрических, алгебраических и аналитических аспектов. [220] В частности, в 1843 году он сформулировал и доказал несколько теорем, связывающих эллиптические функции, сферические пятиугольники Непера и пятиугольники Понселе на плоскости. [221]
Кроме того, он предложил решение задачи построения эллипса наибольшей площади внутри заданного четырехугольника [222] [ 223] и обнаружил удивительный результат о вычислении площади пятиугольников [224] [225] .
Гаусс интересовался магнетизмом с 1803 года. [226] После того, как Александр фон Гумбольдт посетил Гёттинген в 1826 году, оба учёных начали интенсивные исследования геомагнетизма , отчасти независимо, отчасти в продуктивном сотрудничестве. [227] В 1828 году Гаусс был гостем Гумбольдта на конференции Общества немецких естествоиспытателей и врачей в Берлине, где он познакомился с физиком Вильгельмом Вебером . [228]
Когда Вебер получил кафедру физики в Геттингене в качестве преемника Иоганна Тобиаса Майера по рекомендации Гаусса в 1831 году, они оба начали плодотворное сотрудничество, что привело к новому знанию магнетизма с представлением единицы магнетизма в терминах массы, заряда и времени. [229] Они основали Магнитную ассоциацию (нем. Magnetischer Verein ), международную рабочую группу из нескольких обсерваторий, которая поддерживала измерения магнитного поля Земли во многих регионах мира одинаковыми методами в согласованные даты в годы с 1836 по 1841 год. [230]
В 1836 году Гумбольдт предложил создать всемирную сеть геомагнитных станций в британских владениях в письме герцогу Сассекскому , тогдашнему президенту Королевского общества; он предложил, чтобы магнитные измерения проводились в стандартизированных условиях с использованием его методов. [231] [232] Вместе с другими инициаторами это привело к глобальной программе, известной как « Магнитный крестовый поход » под руководством Эдварда Сабина . Даты, время и интервалы наблюдений были определены заранее, в качестве стандарта использовалось среднее время Геттингена . [233] В этой глобальной программе участвовала 61 станция на всех пяти континентах. Гаусс и Вебер основали серию для публикации результатов, шесть томов были отредактированы между 1837 и 1843 годами. Отъезд Вебера в Лейпциг в 1843 году как поздний эффект дела Геттингенской семерки ознаменовал конец деятельности Магнитной ассоциации. [230]
Следуя примеру Гумбольдта, Гаусс приказал построить магнитную обсерваторию в саду обсерватории, но ученые разошлись во мнениях по поводу инструментального оборудования; Гаусс предпочел стационарные инструменты, которые, как он думал, давали более точные результаты, тогда как Гумбольдт привык к подвижным инструментам. Гаусс интересовался временными и пространственными изменениями магнитного склонения, наклонения и интенсивности, но различал концепцию магнитной интенсивности Гумбольдта с терминами «горизонтальной» и «вертикальной» интенсивности. Вместе с Вебером он разработал методы измерения компонентов интенсивности магнитного поля и сконструировал подходящий магнитометр для измерения абсолютных значений силы магнитного поля Земли, а не более относительных, которые зависели от аппарата. [230] [234] Точность магнитометра была примерно в десять раз выше, чем у предыдущих инструментов. С этой работой Гаусс был первым, кто вывел немеханическую величину из основных механических величин. [233]
Гаусс разработал Общую теорию земного магнетизма (1839), в которой, как он считал, описывалась природа магнитной силы; по словам Феликса Клейна, эта работа представляет собой представление наблюдений с использованием сферических гармоник , а не физическую теорию. [235] Теория предсказывала существование ровно двух магнитных полюсов на Земле, таким образом, идея Ханстина о четырех магнитных полюсах устарела, [236] и данные позволили определить их местоположение с довольно хорошей точностью. [237]
Гаусс оказал влияние на начало геофизики в России, когда Адольф Теодор Купфер , один из его бывших учеников, основал магнитную обсерваторию в Санкт-Петербурге , следуя примеру обсерватории в Геттингене, и аналогично Ивану Симонову в Казани . [236]
Открытия Ганса Христиана Эрстеда по электромагнетизму и Майкла Фарадея по электромагнитной индукции привлекли внимание Гаусса к этим вопросам. [238] Гаусс и Вебер нашли правила для разветвленных электрических цепей, которые позже были найдены независимо и впервые опубликованы Густавом Кирхгофом и названы в его честь законами цепей Кирхгофа , [239] и провели исследования по электромагнетизму. Они построили первый электромеханический телеграф в 1833 году, а сам Вебер соединил обсерваторию с институтом физики в центре города Геттинген, [y] но они не заботились о дальнейшем развитии этого изобретения в коммерческих целях. [240] [241]
Основные теоретические интересы Гаусса в электромагнетизме нашли отражение в его попытках сформулировать количественные законы, управляющие электромагнитной индукцией. В записных книжках этих лет он записал несколько инновационных формулировок; он открыл идею векторной потенциальной функции (независимо переоткрытой Францем Эрнстом Нейманом в 1845 году), а в январе 1835 года он записал «закон индукции», эквивалентный закону Фарадея , который гласил, что электродвижущая сила в данной точке пространства равна мгновенной скорости изменения (по времени) этой функции. [242] [243]
Гаусс пытался найти единый закон для дальнодействующих эффектов электростатики , электродинамики , электромагнетизма и индукции , сопоставимый с законом тяготения Ньютона, [244] но его попытка закончилась «трагической неудачей». [233]
С тех пор как Исаак Ньютон теоретически показал, что Земля и вращающиеся звезды принимают несферическую форму, проблема притяжения эллипсоидов приобрела значение в математической астрономии. В своей первой публикации по теории потенциала, "Theoria attractionis..." (1813), Гаусс предоставил замкнутое выражение для гравитационного притяжения однородного трехосного эллипсоида в каждой точке пространства. [245] В отличие от предыдущих исследований Маклорена , Лапласа и Лагранжа, новое решение Гаусса рассматривало притяжение более непосредственно в форме эллиптического интеграла. В процессе он также доказал и применил некоторые особые случаи так называемой теоремы Гаусса в векторном анализе . [246]
В Общих теоремах о силах притяжения и отталкивания, действующих в обратных пропорциях квадратичных расстояний (1840), Гаусс дал основу теории магнитного потенциала , основанной на Лагранже, Лапласе и Пуассоне; [235] кажется маловероятным, что он знал предыдущие работы Джорджа Грина по этой теме. [238] Однако Гаусс так и не смог привести никаких обоснований магнетизма, ни теории магнетизма, подобной работе Ньютона о гравитации, которая позволила бы ученым предсказывать геомагнитные эффекты в будущем. [233]
Расчеты Гаусса позволили изготовителю инструментов Иоганну Георгу Репсольду в Гамбурге сконструировать новую ахроматическую систему линз в 1810 году. Основной проблемой, среди прочих трудностей, было неточное знание показателя преломления и дисперсии используемых типов стекла. [247] В короткой статье 1817 года Гаусс рассмотрел проблему устранения хроматической аберрации в двойных линзах и вычислил корректировки формы и коэффициентов преломления, необходимые для ее минимизации. Его работа была отмечена оптиком Карлом Августом фон Штейнгелем , который в 1860 году представил ахроматический дублет Штейнгеля , частично основанный на расчетах Гаусса. [248] Многие результаты в геометрической оптике разбросаны только в переписках и заметках Гаусса. [249]
В «Диоптических исследованиях» (1840) Гаусс дал первый систематический анализ формирования изображений в параксиальном приближении ( гауссова оптика ). [250] Он охарактеризовал оптические системы в параксиальном приближении только по их кардинальным точкам , [251] и вывел формулу гауссовой линзы , применимую без ограничений относительно толщины линз. [252] [253]
Первое дело Гаусса в механике касалось вращения Земли . Когда его университетский друг Бензенберг проводил эксперименты по определению отклонения падающих масс от перпендикуляра в 1802 году, что сегодня известно как эффект силы Кориолиса , он попросил Гаусса провести теоретический расчет значений для сравнения с экспериментальными. Гаусс разработал систему фундаментальных уравнений для движения, и результаты в достаточной степени соответствовали данным Бензенберга, который добавил соображения Гаусса в качестве приложения к своей книге об экспериментах по падению. [254]
После того, как Фуко публично продемонстрировал вращение Земли с помощью своего эксперимента с маятником в 1851 году, Герлинг попросил Гаусса дать дополнительные объяснения. Это побудило Гаусса разработать новый аппарат для демонстрации с гораздо более короткой длиной маятника, чем у Фуко. Колебания наблюдались с помощью считывающего телескопа с вертикальной шкалой и зеркалом, закрепленным на маятнике. Это описано в переписке Гаусса и Герлинга, и Вебер провел несколько экспериментов с этим аппаратом в 1853 году, но данные не были опубликованы. [255] [256]
Принцип наименьшего принуждения Гаусса 1829 года был установлен как общая концепция для преодоления разделения механики на статику и динамику, объединяя принцип Даламбера с принципом виртуальной работы Лагранжа и показывая аналогии с методом наименьших квадратов . [257]
В 1828 году Гаусс был назначен главой Совета по мерам и весам Ганноверского королевства. Он обеспечил создание стандартов длины и мер. Сам Гаусс заботился о трудоемких мерах и отдавал подробные распоряжения по механической подготовке. [155] В переписке с Шумахером, который также работал над этим вопросом, он описал новые идеи для весов высокой точности. [258] Он представил правительству окончательные отчеты по ганноверскому футу и фунту в 1841 году. Эта работа приобрела больше, чем региональное значение, благодаря постановлению закона 1836 года, который связал ганноверские меры с английскими. [155]
Сообщалось о нескольких историях его ранней гениальности. Мать Карла Фридриха Гаусса никогда не записывала дату его рождения, помня только, что он родился в среду, за восемь дней до праздника Вознесения Господня , который наступает через 39 дней после Пасхи. Позже Гаусс решил эту загадку о дате своего рождения в контексте поиска даты Пасхи , выведя методы вычисления даты как в прошлые, так и в будущие годы. [259]
В своем мемориале Гаусса Вольфганг Сарториус фон Вальтерсхаузен рассказывает историю о трехлетнем Гауссе, который исправил математическую ошибку, допущенную его отцом. Самая популярная история, также рассказанная Сарториусом, повествует о школьном упражнении: учитель Бюттнер и его помощник Мартин Бартельс приказали ученикам сложить арифметическую последовательность . Из примерно сотни учеников Гаусс был первым, кто решил задачу правильно со значительным отрывом. [260] [8] Хотя (или потому что) Сарториус не привел никаких подробностей, со временем было создано много версий этой истории, со все большим количеством подробностей относительно природы последовательности — наиболее частой из которых была классическая задача сложения всех целых чисел от 1 до 100 — и обстоятельств в классе. [261] [z]
Первое членство в научном обществе было предоставлено Гауссу в 1802 году Российской академией наук . [263] Дальнейшие членства (соответствующие, иностранные или полные) были предоставлены Академией наук в Геттингене (1802/1807), [264] Французской академией наук (1804/1820), [265] Королевским обществом Лондона (1804), [266] Королевской прусской академией в Берлине (1810), [267] Национальной академией наук в Вероне (1810), [268] Королевским обществом Эдинбурга (1820), [269] Баварской академией наук Мюнхена (1820), [270] Королевской датской академией в Копенгагене (1821), [271] Королевским астрономическим обществом в Лондоне (1821), [272] Королевской шведской академией наук (1821), [271] Американской академией искусств и наук в Бостоне (1822), [273 ] Королевское Богемское общество наук в Праге (1833), [274] Королевская академия наук, литературы и изящных искусств Бельгии (1841/1845), [275] Королевское общество наук в Уппсале (1843), [274] Королевская Ирландская академия в Дублине (1843), [274] Королевский институт Нидерландов (1845/1851), [276] Испанская королевская академия наук в Мадриде (1850), [277] Русское географическое общество (1851), [278] Императорская академия наук в Вене (1848), [278] Американское философское общество (1853), [279] Кембриджское философское общество , [278] и Королевское голландское общество наук в Харлеме. [280] [281]
В 1848 году Казанский университет и философский факультет Пражского университета избрали его почетным членом. [280]
Гаусс получил премию Лаланда от Французской академии наук в 1809 году за теорию планет и способы определения их орбит всего по трем наблюдениям, [282] премию Датской академии наук в 1823 году за свои мемуары о конформной проекции, [274] и медаль Копли от Королевского общества в 1838 году за «его изобретения и математические исследования в области магнетизма». [281] [283] [33]
Гаусс был назначен рыцарем французского Почетного легиона в 1837 году [284] и был одним из первых членов прусского ордена Pour le Merite (гражданский класс), когда он был учрежден в 1842 году. [285] Он получил орден Вестфальской короны (1810), [281] датский орден Даннеброга (1817), [281] ганноверский королевский гвельфский орден (1815), [281] шведский орден Полярной звезды (1844), [286] орден Генриха Льва (1849), [286] и баварский орден Максимилиана за науку и искусство (1853). [278]
Короли Ганновера присвоили ему почетные титулы « Гофрат » (1816) [51] и «Гехаймер Гофрат» [aa] (1845). В 1949 году, по случаю его золотого юбилея получения докторской степени, он получил почетное гражданство обоих городов Брауншвейг и Геттинген. [278] Вскоре после его смерти по приказу короля Ганновера Георга V была выпущена медаль с надписью на обороте «Принцу математиков». [287]
«Gauss-Gesellschaft Göttingen» («Геттингенское общество Гаусса») было основано в 1964 году для исследования жизни и творчества Карла Фридриха Гаусса и связанных с ним лиц и редактирует Mitteilungen der Gauss-Gesellschaft ( «Сообщения Гауссовского общества »). [288]
Гёттингенская академия наук и гуманитарных наук предоставляет полную коллекцию известных писем от Карла Фридриха Гаусса и к нему, которая доступна онлайн. [34] Литературное наследие хранится и предоставляется Государственной и университетской библиотекой Гёттингена . [289] Письменные материалы Карла Фридриха Гаусса и членов его семьи также можно найти в муниципальном архиве Брауншвейга. [290]
.jpg/1280px-Ewald,_Georg_Heinrich_August_(1803-1875).jpg)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [я]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
