Корень единства

Корни 5-й степени из единицы (синие точки) на комплексной плоскости

В математике корень из единицы , иногда называемый числом Муавра , — это любое комплексное число , которое при возведении в некоторую положительную целую степень $n$ дает 1. Корни из единицы используются во многих разделах математики и особенно важны в теории чисел , теории групповых характеров и дискретном преобразовании Фурье .

Корни из единицы могут быть определены в любом поле . Если характеристика поля равна нулю, корни являются комплексными числами, которые также являются целыми алгебраическими числами . Для полей с положительной характеристикой корни принадлежат конечному полю , и, наоборот , каждый ненулевой элемент конечного поля является корнем из единицы. Любое алгебраически замкнутое поле содержит ровно $n$ $n$ -ных корней из единицы, за исключением случая, когда $n$ кратно (положительной) характеристике поля.

Общее определение

Корень $n-й$ степени из единицы , где $n$ — положительное целое число, — это число $z$ , удовлетворяющее уравнению ^[1]^[2] Если не указано иное, то корни из единицы могут быть приняты как комплексные числа (включая число 1 и число −1, если $n$ четное , которые являются комплексными с нулевой мнимой частью ), и в этом случае корни $n-$ й степени из единицы равны ^[3] $z^{n}=1.$ $\exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.$

Однако определяющее уравнение корней из единицы имеет смысл над любым полем (и даже над любым кольцом ) $F$ , и это позволяет рассматривать корни из единицы в $F$ . Какое бы ни было поле $F$ , корни из единицы в $F$ являются либо комплексными числами, если характеристика F равна 0, либо, в противном случае, принадлежат конечному полю . Наоборот, каждый ненулевой элемент в конечном поле является корнем из единицы в этом поле. Подробнее см $.$ Корень из единицы по модулю n и Конечное поле .

Говорят, что корень n-й степени из единицы $равен$ примитивно, если оно не является $m-$ й степени из единицы для некоторого меньшего $m$ , то есть если^[4]^[5]

z^{n}=1\quad {\text{и}}\quad z^{m}\neq 1{\text{ для }}m=1,2,3,\ldots ,n-1.

Если n — простое число , то все корни степени $n$ ^{из единицы, за исключением 1, являются примитивными. [6]}

В приведенной выше формуле в терминах показательных и тригонометрических функций примитивные корни степени $n$ из единицы — это те, для которых $k$ и $n$ являются взаимно простыми целыми числами .

Последующие разделы этой статьи будут соответствовать комплексным корням из единицы. Для случая корней из единицы в полях ненулевой характеристики см. Конечное поле § Корни из единицы . Для случая корней из единицы в кольцах модульных целых чисел см. Корень из единицы по модулю n .

Элементарные свойства

Каждый корень $n-й степени из единицы$ $z$ является примитивным корнем $a-$ й степени из единицы для некоторого $a \leq n$ , которое является наименьшим положительным целым числом, таким что $z a = 1$ .

Любая целая степень корня $n-й$ степени из единицы также является корнем $n-$ й степени из единицы, ^[7] так как

(z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.

Это также верно для отрицательных показателей. В частности, обратная величина корня $n-й$ степени из единицы является ее комплексно сопряженной , и также является корнем $n-$ й степени из единицы: ^[8]

{\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.

Если $z$ — корень $n-й$ степени из единицы и $a \equiv b (mod n)$ , то $z a = z b$ . Действительно, по определению сравнения по модулю n , $a = b + kn$ для некоторого целого числа $k$ , и, следовательно,

z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.

Следовательно, если задана степень $z a$ числа $z$ , то $z a = z r$ , где $0 \leq r < n$ — остаток от евклидова деления числа $a$ на $n$ .

Пусть $z$ будет примитивным корнем $n-й$ степени из единицы. Тогда степени $z$ , $z 2$ , ..., $z n -1$ , $z n = z 0 = 1$ являются корнями $n-й$ степени из единицы и все различны. (Если $z a = z b$ , где $1 \leq a < b \leq n$ , то $z b - a = 1$ , что означало бы, что $z$ не будет примитивным.) Это означает, что $z$ , $z 2$ , ..., $z n -1$ , $z n = z 0 = 1$ являются корнями $n-й$ степени из единицы, поскольку полиномиальное уравнение $n-$ й степени над полем (в данном случае полем комплексных чисел) имеет не более $n$ решений.

Из предыдущего следует, что если $z$ является примитивным корнем $n-й$ степени из единицы, то тогда и только тогда, когда Если $z$ не является примитивным, то подразумевается, но обратное может быть ложным, как показано в следующем примере. Если $n$ $= 4$ , то непримитивным корнем $n-й$ степени из единицы является $z$ $= -1$ , и мы имеем , хотя $z^{a}=z^{b}$ $a\equiv b{\pmod {n}}.$ $a\equiv b{\pmod {n}}$ $z^{a}=z^{b},$ $z^{2}=z^{4}=1$ $2\not \equiv 4{\pmod {4}}.$

Пусть $z$ будет примитивным корнем $n-й$ степени из единицы. Степень $w = z k$ числа $z$ является примитивным корнем $a-$ й степени из единицы для

a={\frac {n}{\gcd(k,n)}},

где — наибольший общий делитель n и $k . Это следует$ $из$ того факта, что $ka$ $—$ наименьшее кратное $k$ , которое также является кратным $n$ . Другими словами, $ka$ — наименьшее общее кратное k и $n$ . Таким образом $\gcd(k,n)$

a={\frac {\operatorname {lcm} (k,n)}{k}}={\frac {kn}{k\gcd(k,n)}}={\frac {n}{\gcd(k,n)}}.

Таким образом, если $k$ и $n$ взаимно просты , z $k также$ является примитивным корнем $n-й$ степени из единицы, и, следовательно, существует $φ (n)$ различных примитивных корней $n-$ й степени из единицы (где $φ$ — функция Эйлера ). Это означает, что если $n$ — простое число, то все корни, кроме $+1,$ являются примитивными.

Другими словами, если $R(n)$ — множество всех корней $n-й$ степени из единицы, а $P(n)$ — множество первообразных корней, то $R(n)$ является несвязным объединением P $(n)$ :

\operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),

где обозначение означает, что $d$ $проходит$ через все положительные делители n , включая $1$ и $n$ .

Поскольку мощность R $(n)$ равна $n$ , а мощность $P(n)$ равна $φ (n)$ , это демонстрирует классическую формулу

\sum _{d\,|\,n}\varphi (d)=n.

Групповые свойства

Группа всех корней единства

Произведение и мультипликативная обратная величина двух корней из единицы также являются корнями из единицы. Фактически, если $x m = 1$ и $y n = 1$ , то $(x -1) m$ $=$ $1$ и $(xy) k = 1$ , где $k$ — наименьшее общее кратное m и $n$ .

Таким образом, корни из единицы образуют абелеву группу относительно умножения. Эта группа является подгруппой кручения группы окружности .

Группанкорни единства

Для целого числа n произведение и мультипликативное обратное двух корней $n-$ й степени из единицы также являются корнями $n- й степени из единицы. Следовательно, корни$ $n-$ й степени из единицы образуют абелеву группу относительно умножения.

Если дан примитивный корень $n-й$ степени из единицы $ω$ , то остальные корни $n-$ й степени являются степенями $ω$ . Это означает, что группа корней $n$ -й степени из единицы является циклической группой . Стоит отметить, что термин циклическая группа возник из того факта, что эта группа является подгруппой группы окружности .

Группа Галуа примитиванкорни единства

Пусть будет расширением поля рациональных чисел , порожденным примитивным корнем $n-$ й степени из единицы $ω$ . Поскольку каждый корень $n-$ й степени из единицы является степенью $ω$ , поле содержит все корни $n-$ й степени из единицы и является расширением Галуа $\mathbb {Q} (\omega )$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} (\omega )$ $\mathbb {Q} (\omega )$ $\mathbb {Q} .$

Если $k$ — целое число, $ω k$ — примитивный корень $n-й$ степени из единицы тогда и только тогда, когда $k$ и $n$ взаимно просты . В этом случае отображение

\omega \mapsto \omega ^{k}

индуцирует автоморфизм , который отображает каждый $n-$ й корень из единицы в его $k$ -ю степень. Каждый автоморфизм получается таким образом, и эти автоморфизмы образуют группу Галуа над полем рациональных чисел. $\mathbb {Q} (\omega )$ $\mathbb {Q} (\omega )$ $\mathbb {Q} (\omega )$

Правила возведения в степень подразумевают, что композиция двух таких автоморфизмов получается путем умножения показателей. Из этого следует, что отображение

k\mapsto \left(\omega \mapsto \omega ^{k}\right)

определяет групповой изоморфизм между единицами кольца целых чисел по модулю $n$ и группой Галуа $\mathbb {Q} (\omega ).$

Это показывает, что данная группа Галуа является абелевой , и подразумевает, таким образом, что примитивные корни единицы могут быть выражены через радикалы .

Группа Галуа действительной части первообразных корней из единицы

Действительная часть первообразных корней из единицы соотносится друг с другом как корни минимального многочлена Корни минимального многочлена равны всего лишь удвоенной действительной части; эти корни образуют циклическую группу Галуа. $2\cos(2\pi /n).$

Тригонометрическое выражение

Формула Муавра , которая верна для всех действительных $x$ и целых чисел $n$ , имеет вид

\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.

Установка $x = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠2π/н⁠$ дает примитивный $корень n-й$ степени из единицы – получаем

\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,

но

\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1

для $k = 1, 2, \dots, n - 1.$ Другими словами,

\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}

является примитивным корнем $n-й$ степени из единицы.

Эта формула показывает, что в комплексной плоскости корни $n-$ й степени из единицы находятся в вершинах правильного $n$ -стороннего многоугольника, вписанного в единичную окружность , с одной вершиной в точке 1 (см. графики для $n = 3$ и $n = 5$ справа). Этот геометрический факт объясняет термин «циклотомический» в таких фразах, как циклотомическое поле и циклотомический многочлен ; он происходит от греческих корней «цикло» (круг) и «томос» (разрезать, делить).

Формула Эйлера

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

которая верна для всех действительных $x$ , можно использовать, чтобы привести формулу для корней $n-й$ степени из единицы к виду

e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.

Из обсуждения в предыдущем разделе следует, что это примитивный корень $n-$ й степени тогда и только тогда, когда дробь $⁠$ $к / н ⁠$ в низших терминах; то есть, что $k$ и $n$ взаимно просты. Иррациональное число , которое может быть выражено как действительная часть корня из единицы; то есть, как, называется тригонометрическим числом . $\cos(2\pi k/n)$

Алгебраическое выражение

Корни $n-й$ степени из единицы по определению являются корнями многочлена $x$ $n$ $- 1$ и, таким образом, являются алгебраическими числами . Поскольку этот многочлен не является неприводимым (за исключением $n$ $= 1$ ), примитивные корни $n-$ й степени из единицы являются корнями неприводимого многочлена (над целыми числами) меньшей степени, называемого $n-м$ циклотомическим многочленом и часто обозначаемого $Φ$ $n$ . Степень $Φ$ $n$ задается функцией Эйлера , которая подсчитывает (помимо прочего) количество примитивных корней $n-$ й степени из единицы. ^[9] Корни $Φ$ $n$ являются в точности примитивными корнями $n-$ й степени из единицы.

Теорию Галуа можно использовать для того, чтобы показать, что циклотомические многочлены могут быть удобно решены в терминах радикалов. (Тривиальная форма неудобна, поскольку содержит непримитивные корни, такие как 1, которые не являются корнями циклотомического многочлена, и поскольку она не дает действительную и мнимую части отдельно.) Это означает, что для каждого положительного целого числа $n$ существует выражение, построенное из целых чисел путем извлечения корней, сложения, вычитания, умножения и деления (и ничего больше), такое, что примитивные корни $n-$ й степени из единицы являются в точности набором значений, которые могут быть получены путем выбора значений для извлечения корней ( $k$ возможных значений для $k-$ го корня). (Более подробную информацию см. в разделе Циклотомические поля ниже.) ${\sqrt[{n}]{1}}$

Гаусс доказал , что примитивный корень $n-$ й степени из единицы можно выразить, используя только квадратные корни , сложение, вычитание, умножение и деление , если и только если возможно построить с помощью циркуля и линейки правильный n -угольник . Это имеет место тогда и только тогда, когда $n$ является либо степенью двойки , либо произведением степени двойки и простых чисел Ферма , которые все различны.

Если $z$ является примитивным корнем $n-й степени$ из единицы, то же самое верно для $1/ z$ , и является удвоенной действительной частью $z$ . Другими словами, $Φ$ $n$ является обратным многочленом , многочлен, который имеет $r$ в качестве корня, может быть выведен из $Φ$ $n$ с помощью стандартной манипуляции с обратными многочленами, а примитивные корни $n-$ й степени из единицы могут быть выведены из корней путем решения квадратного уравнения То есть действительная часть примитивного корня равна , а его мнимая часть равна $r=z+{\frac {1}{z}}$ $R_{n}$ $R_{n}$ $z^{2}-rz+1=0.$ ${\frac {r}{2}},$ $\pm i{\sqrt {1-\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}}.$

Многочлен является неприводимым многочленом, все корни которого действительны. Его степень является степенью двойки, если и только если $n$ является произведением степени двойки на произведение (возможно, пустое ) различных простых чисел Ферма, и правильный $n$ -угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки. В противном случае он разрешим в радикалах, но один из них находится в casus irreducibilis , то есть каждое выражение корней в терминах радикалов включает недействительные радикалы . $R_{n}$

Явные выражения в низких степенях

При $n = 1$ циклотомический многочлен равен $Φ 1 (x) = x - 1.$ Следовательно, единственный примитивный первый корень из единицы равен 1, что является непримитивным корнем $n-$ й степени из единицы для любого n > 1.
Так как $Φ 2 (x) = x + 1$ , то единственный примитивный второй (квадратный) корень из единицы равен −1, что также является непримитивным корнем $n -й$ степени из единицы для любого четного $n > 2.$ С учетом предыдущего случая это завершает список действительных корней из единицы.
Так как $Φ 3 (x) = x 2 + x + 1$ , примитивные третьи ( кубические ) корни из единицы, которые являются корнями этого квадратного многочлена , равны ${\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.$
Так как $Φ 4 (x) = x 2 + 1$ , то два примитивных корня четвертой степени из единицы равны $i$ и $- i$ .
Так как $Φ 5 (x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1$ , четыре примитивных корня пятой степени из единицы являются корнями этого многочлена четвертой степени , который можно явно решить в терминах радикалов, что дает корни , где может принимать два значения 1 и −1 (одно и то же значение в двух вхождениях). ${\frac {\varepsilon {\sqrt {5}}-1}{4}}\pm i{\frac {\sqrt {10+2\varepsilon {\sqrt {5}}}}{4}},$ $\varepsilon$
Так как $Φ 6 (x) = x 2 - x + 1$ , то существует два примитивных корня шестой степени из единицы, которые являются отрицательными (а также квадратными корнями) двух примитивных кубических корней: ${\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}.$
Так как 7 не является простым числом Ферма, корни седьмой степени из единицы являются первыми, требующими кубических корней . Существует 6 примитивных седьмых корней из единицы, которые попарно комплексно сопряжены . Сумма корня и его сопряженного элемента равна удвоенной его действительной части. Эти три суммы являются тремя действительными корнями кубического многочлена , а примитивные седьмые корни из единицы находятся там, где $r$ пробегает корни указанного выше многочлена. Как и для каждого кубического многочлена, эти корни могут быть выражены через квадратные и кубические корни. Однако, поскольку все эти три корня действительны, это casus irreducibilis , и любое такое выражение включает в себя недействительные кубические корни. $r^{3}+r^{2}-2r-1,$ ${\frac {r}{2}}\pm i{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{4}}}},$
Так как $Φ 8 (x) = x 4 + 1$ , четыре примитивных корня восьмой степени из единицы являются квадратными корнями примитивных корней четвертой степени, $\pm i$ . Таким образом, они $\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {2}}{2}}.$
Действительную часть корня 17-й степени из единицы см. в разделе Гептадекагон .

Периодичность

Если $z$ — примитивный корень $n-й$ степени из единицы, то последовательность степеней

\dots , z -1, z 0, z 1, \dots

является $n$ -периодической (потому что $z j + n = z j z n = z j$ для всех значений $j$ ), а $n$ последовательностей степеней

s k : \dots , z k \cdot(-1), z k \cdot0, z k \cdot1, \dots

для $k = 1, \dots , n$ все являются $n$ -периодическими (потому что $z k \cdot(j + n) = z k \cdot j$ ). Более того, множество ${s 1, \dots , s n$ } этих последовательностей является базисом линейного пространства всех $n$ -периодических последовательностей. Это означает, что любая $n$ -периодическая последовательность комплексных чисел

\dots , х -1, х 0, х 1, \dots

может быть выражена как линейная комбинация степеней примитивного корня $n-$ й степени из единицы:

x_{j}=\sum _{k}X_{k}\cdot z^{k\cdot j}=X_{1}z^{1\cdot j}+\cdots +X_{n}\cdot z^{n\cdot j}

для некоторых комплексных чисел $X 1, \dots , X n$ и каждого целого числа $j$ .

Это форма анализа Фурье . Если $j$ — (дискретная) временная переменная, то $k$ — частота , а $X k$ — комплексная амплитуда .

Выбор примитивного корня $n-й$ степени из единицы

z=e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}

позволяет выразить $x j$ $как линейную комбинацию cos$ и $sin$ :

x_{j}=\sum _{k}A_{k}\cos {\frac {2\pi jk}{n}}+\sum _{k}B_{k}\sin {\frac {2\pi jk}{n}}.

Это дискретное преобразование Фурье .

Суммирование

Пусть $SR(n)$ будет суммой всех $n$ -х корней из единицы, примитивных или нет. Тогда

\operatorname {SR} (n)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1.\end{cases}}

Это непосредственное следствие формул Виета . Фактически, корни $n-$ й степени из единицы являются корнями многочлена $X n - 1$ , их сумма является коэффициентом степени $n - 1$ , который равен либо 1, либо 0 в зависимости от того, $n = 1$ или $n > 1$ .

В качестве альтернативы, при $n = 1$ доказывать нечего, а при $n > 1$ существует корень $z \neq 1$ – поскольку множество $S$ всех корней степени $n$ из единицы является группой , $z S = S$ , поэтому сумма удовлетворяет $z SR(n) = SR(n)$ , откуда $SR(n) = 0$ .

Пусть $SP(n)$ — сумма всех примитивных корней $n-й$ степени из единицы. Тогда

\operatorname {SP} (n)=\mu (n),

где $μ (n)$ — функция Мёбиуса .

В разделе Элементарные свойства было показано, что если $R(n)$ — множество всех корней $n-й$ степени из единицы, а $P(n)$ — множество первообразных корней, $то R(n)$ является несвязным объединением $P(n)$ :

\operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),

Это подразумевает

\operatorname {SR} (n)=\sum _{d\,|\,n}\operatorname {SP} (d).

Применение формулы обращения Мёбиуса дает

\operatorname {SP} (n)=\sum _{d\,|\,n}\mu (d)\operatorname {SR} \left({\frac {n}{d}}\right).

В этой формуле, если $d < n$ , то $SR(⁠ н / г ⁠) = 0$ , а для $d = n$ : $SR(⁠ н / г ⁠) = 1.$ Следовательно, $SP(n) = μ (n)$ .

Это частный случай $c n (1)$ суммы Рамануджана $c n (s)$ ^[10] , определяемой как сумма $s$ -х степеней примитивных корней $n-й$ степени из единицы:

c_{n}(s)=\sum _{a=1 \atop \gcd(a,n)=1}^{n}e^{2\pi i{\frac {a}{n}}s}.

Ортогональность

Из формулы суммирования следует соотношение ортогональности : для $j = 1, \dots , n$ и $j' = 1, \dots , n$

\sum _{k=1}^{n}{\overline {z^{j\cdot k}}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \delta _{j,j'}

где $δ$ — символ Кронекера , а $z$ — любой примитивный корень $n-й$ степени из единицы.

Матрица $U$ $размером n \times n,$ чей элемент $($ $j$ $,$ $k$ $)$ равен

U_{j,k}=n^{-{\frac {1}{2}}}\cdot z^{j\cdot k}

определяет дискретное преобразование Фурье . Вычисление обратного преобразования с использованием исключения Гаусса требует $O (n 3)$ операций. Однако из ортогональности следует, что $U$ является унитарным . То есть,

\sum _{k=1}^{n}{\overline {U_{j,k}}}\cdot U_{k,j'}=\delta _{j,j'},

и, таким образом, обратная величина $U$ — это просто комплексно сопряженная величина. (Этот факт был впервые отмечен Гауссом при решении задачи тригонометрической интерполяции .) Прямое применение $U$ или ее обратной величины к заданному вектору требует $O (n 2)$ операций. Алгоритмы быстрого преобразования Фурье сокращают количество операций еще больше до $O (n log n)$ .

Циклотомические многочлены

Нули многочлена

p(z)=z^{n}-1

являются в точности корнями $n-$ й степени из единицы, каждый с кратностью 1. $n-$ й циклотомический многочлен определяется тем фактом, что его нули являются в точности примитивными корнями $n-$ й степени из единицы, каждый с кратностью 1.

\Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(z-z_{k})

где $z 1, z 2, z 3, \dots, z φ(n)$ — примитивные корни $n-й степени из единицы, а$ $φ(n)$ — функция Эйлера . Многочлен $Φ n (z)$ имеет целые коэффициенты и является неприводимым многочленом над рациональными числами (то есть его нельзя записать как произведение двух многочленов положительной степени с рациональными коэффициентами). ^[9] Случай простого $n$ , который проще общего утверждения, следует из применения критерия Эйзенштейна к многочлену

{\frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},

и расширяется с помощью биномиальной теоремы .

Каждый корень $n-й$ степени из единицы является примитивным корнем $d-$ й степени из единицы для ровно одного положительного делителя $d$ числа $n$ . Это подразумевает, что ^[9]

z^{n}-1=\prod _{d\,|\,n}\Phi _{d}(z).

Эта формула представляет собой разложение многочлена $z n - 1$ на неприводимые множители:

{\begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\end{aligned}}

Применение инверсии Мёбиуса к формуле дает

\Phi _{n}(z)=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},

где $μ$ — функция Мёбиуса . Таким образом, первые несколько циклотомических полиномов — это

Φ 1 (z) = z - 1

Φ 2 (z) знак равно (z 2 - 1)\cdot(z - 1) -1 знак равно z + 1

Φ 3 (z) знак равно (z 3 - 1)\cdot(z - 1) -1 знак равно z 2 + z + 1

Φ 4 (z) знак равно (z 4 - 1)\cdot (z 2 - 1) -1 знак равно z 2 + 1

Φ 5 (z) знак равно (z 5 - 1)\cdot (z - 1) -1 знак равно z 4 + z 3 + z 2 + z + 1

Φ 6 (z) знак равно (z 6 - 1)\cdot(z 3 - 1) -1 \cdot(z 2 - 1) -1 \cdot(z - 1) знак равно z 2 - z + 1

Φ 7 (z) знак равно (z 7 - 1)\cdot (z - 1) -1 знак равно z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1

Φ 8 (z) знак равно (z 8 - 1)\cdot(z 4 - 1) -1 знак равно z 4 + 1

Если $p$ — простое число , то все корни $p-$ й степени из единицы, за исключением 1, являются примитивными корнями $p- й степени. Следовательно,$ ^[6] Подставляя любое положительное целое число ≥ 2 вместо $z$ , эта сумма становится основанием z repunit . Таким образом, необходимым (но не достаточным) условием для того, чтобы repunit был простым, является то, чтобы его длина была простой. $\Phi _{p}(z)={\frac {z^{p}-1}{z-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.$

Обратите внимание, что, вопреки первому впечатлению, не все коэффициенты всех циклотомических многочленов равны 0, 1 или −1. Первым исключением является $Φ 105$ . Неудивительно, что на получение примера уходит так много времени, поскольку поведение коэффициентов зависит не столько от $n ,$ сколько от того, сколько нечетных простых множителей появляется в $n$ . Точнее, можно показать, что если $n$ имеет 1 или 2 нечетных простых множителя (например, $n = 150$ ), то $n$ -й циклотомический многочлен имеет только коэффициенты 0, 1 или −1. Таким образом, первое мыслимое $n$ , для которого может быть коэффициент, кроме 0, 1 или −1, является произведением трех наименьших нечетных простых чисел, и это $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$ . Это само по себе не доказывает, что 105-й многочлен имеет другой коэффициент, но показывает, что это первый, который вообще имеет шанс работать (и затем вычисление коэффициентов показывает, что это так). Теорема Шура гласит, что существуют циклотомические многочлены с коэффициентами, произвольно большими по абсолютной величине . В частности, если где — нечетные простые числа, а t — нечетное число, то $1 -$ $t$ встречается как коэффициент в $n$ -м циклотомическом многочлене. ^[11] $n=p_{1}p_{2}\cdots p_{t},$ $p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{t}$ $p_{1}+p_{2}>p_{t},$

Известно много ограничений относительно значений, которые циклотомические многочлены могут принимать при целых числах. Например, если $p$ — простое число, то $d ∣ Φ p (d)$ тогда и только тогда, когда $d \equiv 1 (mod p)$ .

Циклотомические многочлены разрешимы в радикалах , поскольку корни из единицы сами являются радикалами. Более того, существуют более информативные радикальные выражения для корней $n-$ й степени из единицы с дополнительным свойством ^[12] , что каждое значение выражения, полученное выбором значений радикалов (например, знаков квадратных корней), является примитивным корнем $n-$ й степени из единицы. Это было показано еще Гауссом в 1797 году. ^[13] Существуют эффективные алгоритмы для вычисления таких выражений. ^[14]

Циклические группы

Корни $n-й$ степени из единицы образуют при умножении циклическую группу порядка n $,$ и фактически эти группы включают в себя все конечные подгруппы мультипликативной группы поля комплексных чисел. Генератором для этой циклической группы является примитивный корень $n-й$ степени из единицы.

Корни $n-й$ степени из единицы образуют неприводимое представление любой циклической группы порядка $n$ . Соотношение ортогональности также следует из групповых теоретических принципов, описанных в разделе Группа характеров .

Корни единицы появляются как элементы собственных векторов любой циркулянтной матрицы ; то есть матриц, которые инвариантны относительно циклических сдвигов, факт, который также следует из теории представления групп как вариант теоремы Блоха . ^[15]^{[ нужна страница ]} В частности, если рассматривается циркулянтная эрмитова матрица (например, дискретизированный одномерный лапласиан с периодическими границами ^[16] ), свойство ортогональности немедленно следует из обычной ортогональности собственных векторов эрмитовых матриц.

Циклотомические поля

Присоединяя примитивный корень $n-й$ степени из единицы, получаем $n-$ е циклотомическое поле. Это поле содержит все $n-$ е корни из единицы и является полем разложения $n-$ го циклотомического многочлена над. Расширение поля имеет степень φ( n ), а его группа Галуа естественно изоморфна мультипликативной группе единиц кольца $\mathbb {Q} ,$ $\mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n)).$ $\mathbb {Q} .$ $\mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .$

Так как группа Галуа абелева, это абелево расширение . Каждое подполе циклотомического поля является абелевым расширением рациональных чисел. Из этого следует, что каждый n-й корень из единицы может быть выражен в терминах k -корней, с различными k, не превосходящими φ( n ) . В этих случаях теория Галуа может быть явно записана в терминах гауссовых периодов : эта теория из Disquisitiones Arithmeticae Гаусса была опубликована за много лет до Галуа. ^[17] $\mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q}$

Наоборот, каждое абелево расширение рациональных чисел является таким подполем циклотомического поля – это содержание теоремы Кронекера , обычно называемой теоремой Кронекера–Вебера на том основании, что Вебер завершил доказательство.

Отношение к квадратичным целым числам

При $n = 1, 2$ оба корня из единицы 1 и −1 являются целыми числами .

Для трех значений $n$ корни из единицы являются квадратными целыми числами :

Для $n = 3, 6$ они являются целыми числами Эйзенштейна ( $D = -3$ ).
При $n = 4$ они являются гауссовыми целыми числами ( $D = -1$ ): см. Мнимая единица .

Для четырех других значений $n$ первообразные корни из единицы не являются квадратными целыми числами, но сумма любого корня из единицы с его комплексно сопряженным (также корнем $n-$ й степени из единицы) является квадратным целым числом.

При $n = 5, 10$ ни один из недействительных корней из единицы (удовлетворяющих уравнению четвертой степени ) не является квадратным целым числом, но сумма $z + z = 2 Re z$ каждого корня с его комплексно сопряженным (также корнем 5-й степени из единицы) является элементом кольца $Z [⁠ 1 + \sqrt 5 / 2 ⁠]$ ( $D = 5$ ). Для двух пар недействительных корней пятой степени из единицы эти суммы являютсяобратной золотой пропорциейиотрицательнойзолотой пропорцией.

При $n = 8$ для любого корня из единицы $z + z$ равно либо 0, ±2, либо ± √ 2 ( $D = 2$ ).

При $n = 12$ для любого корня из единицы $z + z$ равно либо 0, ±1, ±2, либо ± √ 3 ( $D = 3$ ).

Смотрите также

система Арганда
Группа круга , единичные комплексные числа
Циклотомическое поле
Групповая схема корней из единицы
Характер Дирихле
Сумма Рамануджана
Вектор Витта
персонаж Тейхмюллера

Примечания

^ Хэдлок, Чарльз Р. (2000). Теория поля и ее классические проблемы, том 14. Cambridge University Press. стр. 84–86. ISBN 978-0-88385-032-9.
^ Ланг, Серж (2002). «Корни единства». Алгебра . Springer. стр. 276–277. ISBN 978-0-387-95385-4.
^ Meserve, Bruce E. (1982). Основные понятия алгебры . Dover Publications. стр. 52.
^ Московиц, Мартин А. (2003). Приключения в математике. World Scientific. стр. 36. ISBN 9789812794949.
^ Лидл, Рудольф; Пильц, Гюнтер (1984). Прикладная абстрактная алгебра. Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер. п. 149. дои : 10.1007/978-1-4615-6465-2. ISBN 978-0-387-96166-8.
^ ab Моранди, Патрик (1996). Теория поля и Галуа. Graduate Texts in Mathematics. Т. 167. Springer. С. 74. doi :10.1007/978-1-4612-4040-2. ISBN 978-0-387-94753-2.
^ Рейли, Норман Р. (2009). Введение в прикладные алгебраические системы. Oxford University Press. стр. 137. ISBN 978-0-19-536787-4.
^ Ротман, Джозеф Дж. (2015). Advanced Modern Algebra. Том 1 (3-е изд.). Американское математическое общество. стр. 129. ISBN 9781470415549.
^ abc Ризель, Ганс (1994). Факторизация простых чисел и компьютерные методы факторизации. Springer. стр. 306. ISBN 0-8176-3743-5.
^ Апостол, Том М. (1976). Введение в аналитическую теорию чисел. Бакалаврские тексты по математике. Springer. стр. 160. doi :10.1007/978-1-4757-5579-4. ISBN 978-1-4419-2805-4.
^ Лемер, Эмма (1936). «О величине коэффициентов циклотомического многочлена». Бюллетень Американского математического общества . 42 (6): 389–392. doi : 10.1090/S0002-9904-1936-06309-3 .
^ Ландау, Сьюзен ; Миллер, Гэри Л. (1985). «Разрешимость радикалами за полиномиальное время». Журнал компьютерных и системных наук . 30 (2): 179–208. doi :10.1016/0022-0000(85)90013-3.
^ Гаусс, Карл Ф. (1965). Арифметические исследования . Издательство Йельского университета. стр. §§359–360. ISBN 0-300-09473-6.
^ Вебер, Андреас; Кекейзен, Михаэль. "Решение циклотомических многочленов с помощью радикальных выражений" (PDF) . Получено 22 июня 2007 г.
^ Инуи, Тетуро; Танабэ, Юкито; Онодера, Ёситака (1996). Теория групп и ее приложения в физике . Springer.
^ Стрэнг, Гилберт (1999). «Дискретное косинусное преобразование». Обзор SIAM . 41 (1): 135–147. Bibcode : 1999SIAMR..41..135S. doi : 10.1137/S0036144598336745.
↑ « Disquisitiones » были опубликованы в 1801 году, Галуа родился в 1811 году, умер в 1832 году, но были опубликованы только в 1846 году.

Ссылки

Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
Милн, Джеймс С. (1998). «Алгебраическая теория чисел». Заметки к курсу .
Милн, Джеймс С. (1997). «Теория полей классов». Заметки к курсу .
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
Нойкирх, Юрген (1986). Теория полей классов . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-15251-2.
Вашингтон, Лоуренс К. (1997). Введение в циклотомические поля (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0.
Дербишир, Джон (2006). «Корни единства». Неизвестное количество . Вашингтон, округ Колумбия: Joseph Henry Press . ISBN 0-309-09657-X.