Гамильтонова механика

Формулировка классической механики с использованием импульсов

Сэр Уильям Роуэн Гамильтон

В физике гамильтонова механика — это переформулировка лагранжевой механики , которая появилась в 1833 году. Введенная сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном , ^[1] гамильтонова механика заменяет (обобщенные) скорости, используемые в лагранжевой механике, на (обобщенные) импульсы . Обе теории дают интерпретации классической механики и описывают одни и те же физические явления. ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$

Гамильтонова механика тесно связана с геометрией (в частности, симплектической геометрией и пуассоновыми структурами ) и служит связующим звеном между классической и квантовой механикой .

Обзор

Координаты фазового пространства (п,д) и гамильтонианЧАС

Пусть будет механической системой с конфигурационным пространством и гладким лагранжианом Выберите стандартную систему координат на Величины называются импульсами . (Также обобщенные импульсы , сопряженные импульсы и канонические импульсы ). Для некоторого момента времени преобразование Лежандра определяется как отображение , которое, как предполагается, имеет гладкую обратную Для системы со степенями свободы механика Лагранжа определяет функцию энергии ${\displaystyle (M,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}.}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\to \left({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}\right)}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\mathcal {L}}.}$$

Преобразование Лежандра превращается в функцию, известную как гамильтониан . Гамильтониан удовлетворяет , что подразумевает, что где скорости находятся из ( -мерного) уравнения , которое, по предположению, однозначно разрешимо для ⁠ ⁠ . ( -мерная) пара называется координатами фазового пространства . (Также каноническими координатами ). ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}},{\boldsymbol {q}},t\right)=E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t),}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}$

От уравнения Эйлера–Лагранжа к уравнениям Гамильтона

В координатах фазового пространства ⁠ ⁠ ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}$ ( -мерное) уравнение Эйлера–Лагранжа становится уравнениями Гамильтона в размерностях ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}}=0}$$ ${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.}$

Доказательство

Гамильтониан — это преобразование Лежандра лагранжиана , поэтому имеем ${\displaystyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})={\boldsymbol {p}}{\boldsymbol {\dot {q}}}}$

и таким образом

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial {\mathcal {H}}/\partial {\boldsymbol {p}}&={\boldsymbol {\dot {q}}}\\\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {q}}&=-\partial {\mathcal {H}}/\partial {\boldsymbol {q}}\end{aligned}},}$

Кроме того, поскольку уравнения Эйлера-Лагранжа дают ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {p}}/\mathrm {d} t=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {q}}=-\partial {\mathcal {H}}/\partial {\boldsymbol {q}}.}$

От принципа стационарного действия к уравнениям Гамильтона

Пусть — множество гладких траекторий , для которых и Функционал действия определяется через , где ⁠ ⁠ , и (см. выше). Траектория является стационарной точкой ( и, следовательно, является уравнением движения) тогда и только тогда, когда траектория в координатах фазового пространства подчиняется уравнениям Гамильтона. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)\right)\,dt,}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {p}}(t),{\boldsymbol {q}}(t))}$

Основная физическая интерпретация

Простая интерпретация гамильтоновой механики исходит из ее применения к одномерной системе, состоящей из одной нерелятивистской частицы массы m . Значение гамильтониана — это полная энергия системы, в данном случае сумма кинетической и потенциальной энергии , традиционно обозначаемых T и V соответственно. Здесь p — импульс mv , а q — пространственная координата. Тогда T является функцией только p , тогда как V является функцией только q (т. е. T и V являются склерономными ). ${\displaystyle H(p,q)}$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V,\qquad T={\frac {p^{2}}{2m}},\qquad V=V(q)}$$

В этом примере производная по времени от q является скоростью, и поэтому первое уравнение Гамильтона означает, что скорость частицы равна производной ее кинетической энергии по ее импульсу. Производная по времени от импульса p равна ньютоновской силе , и поэтому второе уравнение Гамильтона означает, что сила равна отрицательному градиенту потенциальной энергии.

Пример

Сферический маятник состоит из массы m, движущейся без трения по поверхности сферы . Единственными силами , действующими на массу, являются реакция сферы и гравитация . Сферические координаты используются для описания положения массы в терминах ( r , θ , φ ) , где r фиксировано, r = ℓ .

Сферический маятник : углы и скорости.

Лагранжиан для этой системы равен ^[2] $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\varphi }}^{2}\right)+mg\ell \cos \theta .}$$

Таким образом, гамильтониан равен где и В терминах координат и импульсов гамильтониан читается как Уравнения Гамильтона дают временную эволюцию координат и сопряженных импульсов в четырех дифференциальных уравнениях первого порядка, Импульс ⁠ ⁠ , который соответствует вертикальной составляющей углового момента ⁠ ⁠ , является константой движения. Это является следствием вращательной симметрии системы вокруг вертикальной оси. Отсутствуя в гамильтониане, азимут является циклической координатой , что подразумевает сохранение его сопряженного импульса. $${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\varphi }{\dot {\varphi }}-L}$$ $${\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=m\ell ^{2}{\dot {\theta }}}$$ $${\displaystyle P_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}.}$$ $${\displaystyle H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mg\ell \cos \theta {\Big ]}} _{V}={\frac {P_{\theta }^{2}}{2m\ell ^{2}}}+{\frac {P_{\varphi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-mg\ell \cos \theta .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={P_{\theta } \over m\ell ^{2}}\\[6pt]{\dot {\varphi }}&={P_{\varphi } \over m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }\\[6pt]{\dot {P_{\theta }}}&={P_{\varphi }^{2} \over m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mg\ell \sin \theta \\[6pt]{\dot {P_{\varphi }}}&=0.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle P_{\varphi }}$ ${\displaystyle L_{z}=\ell \sin \theta \times m\ell \sin \theta \,{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Вывод уравнений Гамильтона

Уравнения Гамильтона можно вывести путем вычисления с использованием Лагранжиана ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ , обобщенных положений q ⁱ и обобщенных скоростей⋅дⁱ , где⁠⁠ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$.^[3]Здесь мы работаемвне оболочки, то есть⁠⁠ ${\displaystyle q^{i}}$,⁠⁠ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$,⁠⁠ ${\displaystyle t}$являются независимыми координатами в фазовом пространстве, не связанными никакими уравнениями движения (в частности,не являются производными⁠⁠).Полный дифференциаллагранжиана равен: Обобщенные координаты импульса были определены как⁠⁠, поэтому мы можем переписать уравнение как: ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$ ${\displaystyle q^{i}}$ $${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\,\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$ ${\displaystyle p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\mathcal {L}}=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\\=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} (p_{i}{\dot {q}}^{i})-{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,.\end{aligned}}}$$

После перестановки получаем: $${\displaystyle \mathrm {d} \!\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

Член в скобках в левой части — это просто гамильтониан, определенный ранее, поэтому: ${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

Можно также вычислить полный дифференциал гамильтониана относительно координат ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ вместо ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , что даст: ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

Теперь можно приравнять эти два выражения для ⁠ ⁠ ${\displaystyle d{\mathcal {H}}}$ , одно в терминах ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ , другое в терминах ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ : $${\displaystyle \sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ =\ \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .}$$

Поскольку эти расчеты являются офф-шелловыми, можно приравнять соответствующие коэффициенты ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} q^{i}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} p_{i}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ с обеих сторон: $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}\ .}$$

На оболочке подставляются параметрические функции , определяющие траекторию в фазовом пространстве со скоростями ⁠ ⁠ , подчиняющимися уравнениям Лагранжа : ${\displaystyle q^{i}=q^{i}(t)}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0\ .}$$

Перегруппировка и запись в терминах on-shell дает: ${\displaystyle p_{i}=p_{i}(t)}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}\ .}$$

Таким образом, уравнения Лагранжа эквивалентны уравнениям Гамильтона: $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\dot {p}}_{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,.}$$

В случае не зависящих от времени и ⁠ ⁠ , то есть ⁠ ⁠ , уравнения Гамильтона состоят из 2 n дифференциальных уравнений первого порядка , тогда как уравнения Лагранжа состоят из n уравнений второго порядка. Уравнения Гамильтона обычно не уменьшают трудности нахождения явных решений, но из них можно вывести важные теоретические результаты, поскольку координаты и импульсы являются независимыми переменными с почти симметричными ролями. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0}$

Уравнения Гамильтона имеют еще одно преимущество перед уравнениями Лагранжа: если система имеет симметрию, так что некоторая координата не встречается в гамильтониане (т. е. циклическая координата ), соответствующая координата импульса сохраняется вдоль каждой траектории, и эта координата может быть сведена к константе в других уравнениях набора. Это эффективно сводит задачу от n координат до ( n − 1) координат: это основа симплектической редукции в геометрии. В лагранжевом каркасе сохранение импульса также следует немедленно, однако все обобщенные скорости все еще встречаются в лагранжиане, и система уравнений в n координатах все еще должна быть решена. ^[4] ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$

Лагранжев и гамильтонов подходы обеспечивают основу для более глубоких результатов в классической механике и предлагают аналогичные формулировки в квантовой механике : формулировку интеграла по траекториям и уравнение Шредингера .

Свойства гамильтониана

• Значение гамильтониана равно полной энергии системы тогда и только тогда, когда функция энергии имеет то же свойство. (См. определение ⁠ ⁠ ). ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• ${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}}$когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {p} (t)}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ образуют решение уравнений Гамильтона.
  Действительно, и все, кроме последнего члена, отменяется. ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$не изменяется при точечных преобразованиях , т.е. плавных изменениях пространственных координат. (Следует из инвариантности функции энергии при точечных преобразованиях. Инвариантность может быть установлена ​​непосредственно). ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\leftrightarrow {\boldsymbol {q'}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle E_{\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.}$(См. § Вывод уравнений Гамильтона ).
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle -{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}}$ . (Сравните уравнения Гамильтона и Эйлера-Лагранжа или см. § Вывод уравнений Гамильтона ).
• ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=0}$тогда и только тогда, когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0}$ .
  Координата, для которой выполняется последнее уравнение, называется циклической (или игнорируемой ). Каждая циклическая координата уменьшает число степеней свободы на ⁠ ⁠ , вызывает сохранение соответствующего импульса и упрощает решение уравнений Гамильтона. ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Гамильтониан как полная энергия системы

В применении к данной системе гамильтониан часто принимается за $${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$$

где — кинетическая энергия, а — потенциальная энергия. Использовать это соотношение может быть проще, чем сначала вычислить лагранжиан, а затем вывести гамильтониан из лагранжиана. Однако это соотношение верно не для всех систем. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$

Соотношение справедливо для нерелятивистских систем, когда выполняются все следующие условия ^{[5] [6]} $${\displaystyle {\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0}$$ $${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}}$$

где — время, — число степеней свободы системы, а каждая — произвольная скалярная функция . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c_{ij}({\boldsymbol {q}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

На словах это означает, что соотношение справедливо, если не содержит времени как явной переменной (оно является склерономным ), не содержит обобщенной скорости как явной переменной и каждый член квадратичен по обобщенной скорости. ${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$

Доказательство

Предварительно перед этим доказательством важно устранить неоднозначность в соответствующей математической нотации. Хотя замена переменных может быть использована для приравнивания , важно отметить, что . В этом случае правая часть всегда оценивается как 0. Чтобы выполнить замену переменных внутри частной производной, следует использовать правило многомерной цепочки . Следовательно, чтобы избежать неоднозначности, следует указать аргументы функции любого члена внутри частной производной. ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)={\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\neq {\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$

Кроме того, это доказательство использует обозначение, подразумевающее, что . ${\displaystyle f(a,b,c)=f(a,b)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f(a,b,c)}{\partial c}}=0}$

Доказательство

Исходя из определений гамильтониана, обобщенных импульсов и лагранжиана для системы степеней свободы ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}p_{i}{\dot {q}}_{i}{\biggr )}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$$ $${\displaystyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$$

Подстановка обобщенных импульсов в гамильтониан дает $${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}$$

Подстановка Лагранжиана в результат дает $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-\left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)+V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\end{aligned}}}$$

Теперь предположим, что $${\displaystyle {\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i}$$

и также предположим, что $${\displaystyle {\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0}$$

Применение этих предположений приводит к $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}}$$

Далее предположим, что T имеет вид $${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}}$$

где каждая является произвольной скалярной функцией . ${\displaystyle c_{ij}({\boldsymbol {q}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

Дифференцируя это по , , получаем ${\displaystyle {\dot {q}}_{l}}$ ${\displaystyle l\in [1,n]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}{\frac {\partial \left[c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\end{aligned}}}$$

Разделение суммирования, оценка частной производной и повторное объединение суммирования дает $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}^{2}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}\\&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}0{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}+2c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}}$$

Суммирование (умноженное на ) приводит к результату ${\displaystyle {\dot {q}}_{l}}$ ${\displaystyle l}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\dot {q}}_{l}\right)&=\sum _{l=1}^{n}\left(\left(\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\right){\dot {q}}_{l}\right)\\&=\sum _{l=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\end{aligned}}}$$

Это упрощение является результатом теоремы Эйлера об однородной функции .

Следовательно, гамильтониан становится $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}}$$

Применение к системам точечных масс

Для системы точечных масс требование квадратичности по обобщенной скорости всегда выполняется для случая, когда , что в любом случае является требованием для . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$

Доказательство

Рассмотрим кинетическую энергию для системы из N точечных масс. Если предположить, что , то можно показать, что (См. Scleronomous § Application ). Следовательно, кинетическая энергия равна ${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$ $${\displaystyle T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\biggl (}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}){\biggr )}}$$

Правило цепочки для многих переменных можно использовать для расширения скорости $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {d\mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{dt}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\end{aligned}}}$$

В результате чего $${\displaystyle {\begin{aligned}T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(m_{k}\left(\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\cdot \sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\right)\right)\right)\\&=\sum _{k=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}}$$

Это соответствует требуемой форме.

Сохранение энергии

Если условия для выполняются, то сохранение гамильтониана подразумевает сохранение энергии. Для этого требуется дополнительное условие, которое не содержит время как явную переменную. ${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle {\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0}$$

Что касается расширенной формулировки Эйлера-Лагранжа (см. Механика Лагранжа § Расширения для включения неконсервативных сил ), функция диссипации Рэлея представляет собой диссипацию энергии по своей природе. Следовательно, энергия не сохраняется, когда . Это похоже на потенциал, зависящий от скорости. ${\displaystyle R\neq 0}$

Подводя итог, можно сказать, что требования, которым должна удовлетворять нерелятивистская система, следующие ^{[5] [6]} ${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V={\text{constant of time}}}$

1. ${\displaystyle V=V({\boldsymbol {q}})}$
2. ${\displaystyle T=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}$
3. ${\displaystyle T}$является однородной квадратичной функцией в ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {q}}}}$

Гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле

Достаточной иллюстрацией гамильтоновой механики является гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле . В декартовых координатах лагранжиан нерелятивистской классической частицы в электромагнитном поле имеет вид (в единицах СИ ): где q — электрический заряд частицы, φ — электрический скалярный потенциал , а A _i — компоненты магнитного векторного потенциала , которые могут явно зависеть от и ⁠ ⁠ . $${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi ,}$$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle t}$

Этот лагранжиан в сочетании с уравнением Эйлера–Лагранжа создает закон силы Лоренца и называется минимальной связью . $${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}$$

Канонические импульсы определяются по формуле: $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}.}$$

Таким образом, гамильтониан, как преобразование Лежандра лагранжиана, имеет вид: $${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi .}$$

Это уравнение часто используется в квантовой механике .

При калибровочном преобразовании : где f ( r , t ) — любая скалярная функция пространства и времени. Вышеупомянутый лагранжиан, канонические импульсы и гамильтониан преобразуются как: что по-прежнему дает то же самое уравнение Гамильтона: $${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}$$ $${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}$$

В квантовой механике волновая функция также будет подвергаться локальному групповому преобразованию U(1) ^[7] во время калибровочного преобразования, что подразумевает, что все физические результаты должны быть инвариантны относительно локальных преобразований U(1).

Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле

Релятивистский лагранжиан для частицы ( масса покоя и заряд ) определяется выражением : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}$$

Таким образом, канонический импульс частицы представляет собой сумму кинетического импульса и потенциального импульса. $${\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }$$

Решая для скорости, получаем $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}}$$

Итак, гамильтониан равен $${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi }$$

Это приводит к уравнению силы (эквивалентному уравнению Эйлера-Лагранжа ), из которого можно вывести $${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}$$

Приведенный выше вывод использует тождество векторного исчисления : $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} ).}$$

Эквивалентное выражение для гамильтониана как функции релятивистского (кинетического) импульса, ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {p} -q\mathbf {A} }$ , имеет вид $${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}$$

Это имеет то преимущество, что кинетический импульс может быть измерен экспериментально, тогда как канонический импульс не может. Обратите внимание, что гамильтониан ( полная энергия ) можно рассматривать как сумму релятивистской энергии (кинетическая+покоя) , ⁠ ⁠ , плюс потенциальная энергия , ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$ ${\displaystyle V=q\varphi }$

От симплектической геометрии к уравнениям Гамильтона

Геометрия гамильтоновых систем

Гамильтониан может индуцировать симплектическую структуру на гладком четномерном многообразии M ^{2 n} несколькими эквивалентными способами, наиболее известными из которых являются следующие: ^[8]

Как замкнутая невырожденная симплектическая 2-форма  ω . Согласно теореме Дарбу , в малой окрестности вокруг любой точки на M существуют подходящие локальные координаты ( канонические или симплектические координаты), в которых симплектическая форма становится: Форма индуцирует естественный изоморфизм касательного пространства с кокасательным пространством : ⁠ ⁠ . Это делается путем отображения вектора в 1-форму ⁠ ⁠ , где для всех ⁠ ⁠ . Ввиду билинейности и невырожденности ⁠ ⁠ , а также того факта, что ⁠ ⁠ , отображение действительно является линейным изоморфизмом . Этот изоморфизм естественен , поскольку он не меняется при изменении координат на Повторяя по всем ⁠ ⁠ , мы приходим к изоморфизму между бесконечномерным пространством гладких векторных полей и пространством гладких 1-форм. Для каждого и ⁠ ⁠ , ${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}$ $${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}\,.}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle \xi \in T_{x}M}$ ${\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi )}$ ${\displaystyle \eta \in T_{x}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \dim T_{x}M=\dim T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle \xi \to \omega _{\xi }}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M)}$ $${\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}$$

(В алгебраических терминах можно сказать, что -модули и изоморфны ). Если ⁠ ⁠ , то для любых фиксированных ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , и ⁠ ⁠ . известно как гамильтоново векторное поле . Соответствующее дифференциальное уравнение на называется уравнением Гамильтона . Здесь и - (зависящее от времени) значение векторного поля в ⁠ ⁠ . ${\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(M)}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{t}}$ ${\displaystyle dH\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle J(dH)\in {\text{Vect}}(M)}$ ${\displaystyle J(dH)}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}$$ ${\displaystyle x=x(t)}$ ${\displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}$ ${\displaystyle J(dH)}$ ${\displaystyle x\in M}$

Гамильтонову систему можно понимать как расслоение волокон E над временем R , причем волокно E _t является позиционным пространством в момент времени t ∈ R . Таким образом, лагранжиан является функцией на расслоении струй J над E ; взятие послойного преобразования Лежандра лагранжиана дает функцию на двойственном расслоении над временем, волокном которого в t является кокасательное пространство T ^∗ E _t , которое снабжено естественной симплектической формой , и эта последняя функция является гамильтонианом. Соответствие между лагранжевой и гамильтоновой механикой достигается с помощью тавтологической одноформы .

Любая гладкая вещественная функция H на симплектическом многообразии может быть использована для определения гамильтоновой системы . Функция H известна как «гамильтониан» или «энергетическая функция». Симплектическое многообразие затем называется фазовым пространством . Гамильтониан индуцирует специальное векторное поле на симплектическом многообразии, известное как гамильтоново векторное поле .

Гамильтоново векторное поле индуцирует гамильтонов поток на многообразии. Это однопараметрическое семейство преобразований многообразия (параметр кривых обычно называют «временем»); другими словами, изотопия симплектоморфизмов , начиная с тождества. По теореме Лиувилля каждый симплектоморфизм сохраняет форму объема на фазовом пространстве . Совокупность симплектоморфизмов, индуцируемых гамильтоновым потоком, обычно называют «гамильтоновой механикой» гамильтоновой системы.

Симплектическая структура индуцирует скобку Пуассона . Скобка Пуассона придает пространству функций на многообразии структуру алгебры Ли .

Если F и G — гладкие функции на M, то гладкая функция ω ( J ( dF ), J ( dG )) определена корректно; она называется скобкой Пуассона функций F и G и обозначается { F , G } . Скобка Пуассона обладает следующими свойствами:

1. билинейность
2. антисимметрия
3. Правило Лейбница : ${\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}$
4. Тождество Якоби : ${\displaystyle \{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0}$
5. невырожденность: если точка x на M не является критической для F , то существует гладкая функция G такая, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle \{F,G\}(x)\neq 0}$ .

Если задана функция f, если существует распределение вероятностей ρ , то (поскольку скорость фазового пространства имеет нулевую дивергенцию и вероятность сохраняется), можно показать, что ее конвективная производная равна нулю и, таким образом, $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},}$$ ${\displaystyle ({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}}$$

Это называется теоремой Лиувилля . Каждая гладкая функция G над симплектическим многообразием порождает однопараметрическое семейство симплектоморфизмов , и если { G , H } = 0 , то G сохраняется, а симплектоморфизмы являются преобразованиями симметрии .

Гамильтониан может иметь несколько сохраняющихся величин G _i . Если симплектическое многообразие имеет размерность 2 n и существует n функционально независимых сохраняющихся величин G _{i ,} которые находятся в инволюции (т. е. { G _i , G _j } = 0 ), то гамильтониан интегрируем по Лиувиллю . Теорема Лиувилля–Арнольда гласит, что локально любой интегрируемый по Лиувиллю гамильтониан может быть преобразован с помощью симплектоморфизма в новый гамильтониан с сохраняющимися величинами G _i в качестве координат; новые координаты называются координатами действие–угол . Преобразованный гамильтониан зависит только от G _i , и, следовательно, уравнения движения имеют простую форму для некоторой функции F . ^[9] Существует целая область, сосредоточенная на малых отклонениях от интегрируемых систем, управляемых теоремой КАМ . $${\displaystyle {\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}$$

Интегрируемость гамильтоновых векторных полей — открытый вопрос. В общем случае гамильтоновы системы хаотичны ; понятия меры, полноты, интегрируемости и устойчивости плохо определены.

Римановы многообразия

Важный частный случай состоит из тех гамильтонианов, которые являются квадратичными формами , то есть гамильтонианов, которые можно записать как, где ⟨, ⟩ _q — плавно меняющееся скалярное произведение на слоях T $${\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}}$$ ^∗
_дQ , кокасательное пространство к точке q в конфигурационном пространстве , иногда называемое кометрикой. Этот гамильтониан полностью состоит из кинетического члена .

Если рассмотреть риманово многообразие или псевдориманово многообразие , риманова метрика индуцирует линейный изоморфизм между касательным и кокасательным расслоениями. (См. Музыкальный изоморфизм ). Используя этот изоморфизм, можно определить кометрику. (В координатах матрица, определяющая кометрику, является обратной матрице, определяющей метрику.) Решения уравнений Гамильтона–Якоби для этого гамильтониана тогда совпадают с геодезическими на многообразии. В частности, гамильтонов поток в этом случае совпадает с геодезическим потоком . Существование таких решений и полнота множества решений подробно обсуждаются в статье о геодезических . См. также Геодезические как гамильтоновы потоки .

Субримановы многообразия

Когда кометрика вырождена, то она необратима. В этом случае нет риманова многообразия, так как нет метрики. Однако гамильтониан все еще существует. В случае, когда кометрика вырождена в каждой точке q многообразия конфигурационного пространства Q , так что ранг кометрики меньше размерности многообразия Q , то есть субриманово многообразие .

Гамильтониан в этом случае называется субримановым гамильтонианом . Каждый такой гамильтониан однозначно определяет комертику, и наоборот. Это подразумевает, что каждое субриманово многообразие однозначно определяется своим субримановым гамильтонианом, и что обратное верно: каждое субриманово многообразие имеет единственный субриманов гамильтониан. Существование субримановых геодезических дается теоремой Чжоу–Рашевского .

Непрерывная, вещественнозначная группа Гейзенберга дает простой пример субриманова многообразия. Для группы Гейзенберга гамильтониан задается как p _z не участвует в гамильтониане. $${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right).}$$

алгебры Пуассона

Гамильтоновы системы можно обобщить различными способами. Вместо того, чтобы просто рассматривать алгебру гладких функций над симплектическим многообразием , гамильтонову механику можно сформулировать на общих коммутативных унитальных вещественных алгебрах Пуассона . Состояние — это непрерывный линейный функционал на алгебре Пуассона (снабженной некоторой подходящей топологией ), такой, что для любого элемента A алгебры A ² отображается в неотрицательное вещественное число.

Дальнейшее обобщение дает динамика Намбу .

Обобщение на квантовую механику через скобку Пуассона

Уравнения Гамильтона выше хорошо работают для классической механики , но не для квантовой механики , поскольку обсуждаемые дифференциальные уравнения предполагают, что можно указать точное положение и импульс частицы одновременно в любой момент времени. Однако уравнения можно далее обобщить, чтобы затем расширить для применения к квантовой механике, а также к классической механике, посредством деформации алгебры Пуассона по p и q в алгебру скобок Мойала .

В частности, более общая форма уравнения Гамильтона имеет вид , где f — некоторая функция p и q , а H — гамильтониан. Чтобы узнать правила оценки скобки Пуассона , не прибегая к дифференциальным уравнениям, см. Алгебра Ли ; скобка Пуассона — это название скобки Ли в алгебре Пуассона . Затем эти скобки Пуассона можно расширить до скобок Мойала, соответствующих неэквивалентной алгебре Ли, как доказал Хильбранд Дж. Грёневольд , и тем самым описать квантово-механическую диффузию в фазовом пространстве (см. Формулировка фазового пространства и преобразование Вигнера–Вейля ). Этот более алгебраический подход не только позволяет в конечном итоге расширить распределения вероятностей в фазовом пространстве до распределений квазивероятности Вигнера , но и, при классической настройке скобок Пуассона, также обеспечивает большую мощность, помогая анализировать соответствующие сохраняющиеся величины в системе. $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}},}$$

Смотрите также

• Каноническое преобразование
• Классическая теория поля
• Гамильтонова теория поля
• Оптико-механическая аналогия Гамильтона
• Ковариантная гамильтонова теория поля
• Классическая механика
• Теория динамических систем
• Гамильтонова система
• Уравнение Гамильтона–Якоби
• Уравнение Гамильтона–Якоби–Эйнштейна
• Лагранжева механика
• Уравнения Максвелла
• Гамильтониан (квантовая механика)
• Квантовые уравнения Гамильтона
• Квантовая теория поля
• Гамильтонова оптика
• Теория Де Дондера–Вейля
• Геометрическая механика
• Рутианские механики
• Механика Намбу
• Гамильтонова механика жидкости
• Гамильтоново векторное поле

Ссылки

1. Гамильтон, Уильям Роуэн, сэр (1833). Об общем методе выражения путей света и планет с помощью коэффициентов характеристической функции. Напечатано П. Д. Харди. OCLC  68159539.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Ландау и Лифшиц 1976, стр. 33–34.
3. Этот вывод соответствует выводам, данным в Arnol'd 1989, стр. 65–66.
4. Голдштейн, Пул и Сафко 2002, стр. 347–349
5. Malham 2016, стр. 49–50
6. Ландау и Лифшиц 1976, стр. 14
7. Зинн-Джастин, Жан; Гуида, Риккардо (4 декабря 2008 г.). «Калибровочная инвариантность». Схоларпедия . 3 (12): 8287. Бибкод : 2008SchpJ...3.8287Z. doi : 10.4249/scholarpedia.8287 . ISSN  1941-6016.
8. Арнольд, Козлов и Нейштадт 1988, § 3. Гамильтонова механика.
9. Арнольд, Козлов и Нейштадт 1988 г.

Дальнейшее чтение

• Ландау, Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1976). Механика. Курс теоретической физики . Т. 1. Сайкс, Дж. Б. (Джон Брэдбери), Белл, Дж. С. (3-е изд.). Оксфорд. ISBN 0-08-021022-8. OCLC  2591126.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Абрахам, Р.; Марсден , Дж. Э. (1978). Основы механики (2-е изд., перераб., расширен. и переизд.). Рединг, Массачусетс: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-0102-X. OCLC  3516353.
• Арнольд, VI ; Козлов В.В.; Нейштадт, А.И. (1988). «Математические аспекты классической и небесной механики». Энциклопедия математических наук, Динамические системы III. Том. 3. Аносов, Д.В. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-17002-2. OCLC  16404140.
• Арнольд, В.И. (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. OCLC  18681352.
• Голдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П. младший; Сафко, Джон Л. (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско: Addison Wesley. ISBN 0-201-31611-0. OCLC  47056311.
• Виноградов, AM ; Купершмидт, BA (1977-08-31). "Структура гамильтоновой механики". Математические обзоры . 32 (4): 177–243. Bibcode :1977RuMaS..32..177V. doi :10.1070/RM1977v032n04ABEH001642. ISSN  0036-0279. S2CID  250805957.

Внешние ссылки

• Бинни, Джеймс Дж. , Классическая механика (конспекты лекций) (PDF) , Оксфордский университет , получено 27 октября 2010 г.
• Тонг, Дэвид , Классическая динамика (конспекты лекций в Кембридже), Кембриджский университет , получено 27 октября 2010 г.
• Гамильтон, Уильям Роуэн , «Об общем методе в динамике», Тринити-колледж в Дублине
• Малхэм, Саймон JA (2016), Введение в лагранжеву и гамильтонову механику (конспект лекций) (PDF)
• Морин, Дэвид (2008), Введение в классическую механику (Дополнительный материал: Метод Гамильтона) (PDF)