многообразие Пуассона

Математическая структура в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии , области математики , пуассоново многообразие — это гладкое многообразие , наделенное пуассоновой структурой. Понятие пуассонова многообразия обобщает понятие симплектического многообразия , которое в свою очередь обобщает фазовое пространство из гамильтоновой механики .

Структура Пуассона (или скобка Пуассона) на гладком многообразии — это функция на векторном пространстве гладких функций на , превращающая его в алгебру Ли, подчиненную правилу Лейбница (также известную как алгебра Пуассона ). Структуры Пуассона на многообразиях были введены Андре Лихнеровичем в 1977 году ^[1] и названы в честь французского математика Симеона Дени Пуассона из-за их раннего появления в его работах по аналитической механике . ^[2] ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Структура Пуассона на многообразии дает способ деформировать произведение функций в новое произведение, которое обычно не является коммутативным . Этот процесс известен как квантование деформации , поскольку классическая механика может быть основана на структурах Пуассона, в то время как квантовая механика включает некоммутативные кольца . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Введение

От фазовых пространств классической механики к симплектическим и пуассоновым многообразиям

В классической механике фазовое пространство физической системы состоит из всех возможных значений положения и импульсных переменных, допускаемых системой. Оно естественным образом наделено скобкой Пуассона/симплектической формой (см. ниже), что позволяет сформулировать уравнения Гамильтона и описать динамику системы через фазовое пространство во времени.

Например, отдельная частица, свободно движущаяся в -мерном евклидовом пространстве (т.е. имеющая в качестве конфигурационного пространства ), имеет фазовое пространство . Координаты описывают соответственно положения и обобщенные импульсы. Пространство наблюдаемых , т.е. гладких функций на , естественным образом наделено бинарной операцией, называемой скобкой Пуассона , определяемой как ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (q^{1},...,q^{n},p_{1},...,p_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \{f,g\}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right).}$

Такая скобка удовлетворяет стандартным свойствам скобки Ли , а также дальнейшей совместимости с произведением функций, а именно тождеством Лейбница . Эквивалентно, скобка Пуассона на может быть переформулирована с использованием симплектической формы ${\displaystyle \{f,g\cdot h\}=g\cdot \{f,h\}+\{f,g\}\cdot h}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \omega :=\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}.}$

Действительно, если рассмотреть гамильтоново векторное поле

${\displaystyle X_{f}:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}\partial _{q_{i}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}\partial _{p_{i}}}$

ассоциированная с функцией , тогда скобку Пуассона можно переписать как ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g}).}$

Стандартным примером симплектического многообразия , и, следовательно, многообразия Пуассона, является кокасательное расслоение любого конечномерного гладкого многообразия. Координаты на интерпретируются как положения частиц; пространство касательных в каждой точке образует пространство (канонически) сопряженных импульсов. Если является -мерным, является гладким многообразием размерности его можно рассматривать как связанное фазовое пространство. Кокасательное расслоение естественным образом снабжено канонической симплектической формой , которая в канонических координатах совпадает с описанной выше. В общем случае, по теореме Дарбу , любое произвольное симплектическое многообразие допускает специальные координаты, где форма и скобка эквивалентны, соответственно, симплектической форме и скобке Пуассона . Симплектическая геометрия является, таким образом, естественной математической установкой для описания классической гамильтоновой механики. ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle 2n;}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Многообразия Пуассона являются дальнейшими обобщениями симплектических многообразий, которые возникают путем аксиоматизации свойств, которым удовлетворяет скобка Пуассона на . Точнее, многообразие Пуассона состоит из гладкого многообразия (не обязательно четной размерности) вместе с абстрактной скобкой , все еще называемой скобкой Пуассона, которая не обязательно возникает из симплектической формы , но удовлетворяет тем же алгебраическим свойствам. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \omega }$

Геометрия Пуассона тесно связана с симплектической геометрией: например, каждая скобка Пуассона определяет слоение многообразия на симплектические подмногообразия . Однако изучение геометрии Пуассона требует методов, которые обычно не используются в симплектической геометрии, таких как теория группоидов и алгеброидов Ли .

Более того, существуют естественные примеры структур, которые должны быть «морально» симплектическими, но проявлять сингулярности, т. е. их «симплектическая форма» должна быть вырожденной. Например, гладкое факторирование симплектического многообразия по группе, действующей посредством симплектоморфизмов, является пуассоновым многообразием, которое в общем случае не является симплектическим. Эта ситуация моделирует случай физической системы, инвариантной относительно симметрий : «редуцированное» фазовое пространство, полученное факторизацией исходного фазового пространства по симметриям, в общем случае больше не симплектическое, а пуассоново.

История

Хотя современное определение многообразия Пуассона появилось только в 70–80-х годах, его происхождение восходит к девятнадцатому веку. Алан Вайнштейн резюмировал раннюю историю геометрии Пуассона следующим образом:

«Пуассон изобрел свои скобки как инструмент классической динамики. Якоби осознал важность этих скобок и выяснил их алгебраические свойства, а Ли начал изучать их геометрию». ^[3]

Действительно, Симеон Дени Пуассон ввел в 1809 году то, что мы сейчас называем скобкой Пуассона, чтобы получить новые интегралы движения , т.е. величины, которые сохраняются на протяжении всего движения. ^[4] Точнее, он доказал, что если две функции и являются интегралами движения, то существует третья функция, обозначенная как , которая также является интегралом движения. В гамильтоновой формулировке механики , где динамика физической системы описывается заданной функцией (обычно энергией системы), интеграл движения — это просто функция , которая коммутирует по Пуассону с , т.е. такая, что . То, что станет известно как теорема Пуассона, можно тогда сформулировать как ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \{f,g\}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \{f,h\}=0}$

${\displaystyle \{f,h\}=0,\{g,h\}=0\Rightarrow \{\{f,g\},h\}=0.}$

Вычисления Пуассона занимали много страниц, и его результаты были переоткрыты и упрощены два десятилетия спустя Карлом Густавом Якоби . ^[2] Якоби был первым, кто определил общие свойства скобки Пуассона как бинарной операции. Более того, он установил связь между скобкой (Пуассона) двух функций и скобкой (Ли) их связанных гамильтоновых векторных полей , т. е. для того, чтобы переформулировать (и дать гораздо более короткое доказательство) теоремы Пуассона об интегралах движения. ^[5] Работа Якоби по скобкам Пуассона повлияла на пионерские исследования Софуса Ли по симметриям дифференциальных уравнений , что привело к открытию групп Ли и алгебр Ли . Например, то, что сейчас называется линейными структурами Пуассона (т. е. скобками Пуассона на векторном пространстве, которые переводят линейные функции в линейные функции), в точности соответствует структурам алгебры Ли. Более того, интегрируемость линейной структуры Пуассона (см. ниже) тесно связана с интегрируемостью связанной с ней алгебры Ли в группу Ли. $${\displaystyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],}$$

В двадцатом веке развивалась современная дифференциальная геометрия, но только в 1977 году Андре Лихнерович представил пуассоновы структуры как геометрические объекты на гладких многообразиях. ^[1] Пуассоновы многообразия были дополнительно изучены в основополагающей статье 1983 года Алана Вайнштейна , где впервые были доказаны многие основные структурные теоремы. ^[6]

Эти работы оказали огромное влияние в последующие десятилетия на развитие геометрии Пуассона, которая сегодня является самостоятельной областью и в то же время тесно переплетена со многими другими, включая некоммутативную геометрию , интегрируемые системы , топологические теории поля и теорию представлений .

Формальное определение

Существуют две основные точки зрения на определение пуассоновых структур: между ними принято и удобно переключаться.

Как кронштейн

Пусть будет гладким многообразием и пусть обозначает вещественную алгебру гладких вещественнозначных функций на , где умножение определено поточечно. Скобка Пуассона (или структура Пуассона ) на является - билинейным отображением ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$

определяющая структуру алгебры Пуассона на , т.е. удовлетворяющая следующим трем условиям: ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$

• Косая симметрия : . ${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$
• Тождество Якоби : . ${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$
• Правило Лейбница : . ${\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}}$

Первые два условия гарантируют, что определяет структуру алгебры Ли на , тогда как третье гарантирует, что для каждого линейное отображение является выводом алгебры , т.е. оно определяет векторное поле, называемое гамильтоновым векторным полем, связанным с . ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle f\in {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle X_{f}:=\{f,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle X_{f}\in {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle f}$

Выбирая локальные координаты , любая скобка Пуассона задается как скобка Пуассона координатных функций. ${\displaystyle (U,x^{i})}$ $${\displaystyle \{f,g\}_{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial x^{j}}},}$$ ${\displaystyle \pi ^{ij}=\{x^{i},x^{j}\}}$

Как бивектор

Бивектор Пуассона на гладком многообразии — это бивекторное поле , удовлетворяющее нелинейному уравнению в частных производных , где ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M):=\Gamma {\big (}\wedge ^{2}TM{\big )}}$ ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{{\mathfrak {X}}^{p}}(M)\times {{\mathfrak {X}}^{q}}(M)\to {{\mathfrak {X}}^{p+q-1}}(M)}$

обозначает скобку Схоутена–Нийенхейса на многовекторных полях. Выбирая локальные координаты , любой бивектор Пуассона задается как для кососимметричных гладких функций на . ${\displaystyle (U,x^{i})}$ $${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$ ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle U}$

Эквивалентность определений

Пусть будет билинейной кососимметричной скобкой (называемой «почти лиевой скобкой»), удовлетворяющей правилу Лейбница; тогда функция может быть описана для единственного гладкого бивекторного поля . Обратно, если задано любое гладкое бивекторное поле на , та же формула определяет почти лиеву скобку , которая автоматически подчиняется правилу Лейбница. ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle \{f,g\}}$ $${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg),}$$ ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg)}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

Тогда следующие условия интегрируемости эквивалентны:

• ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$удовлетворяет тождеству Якоби (следовательно, это скобка Пуассона);
• ${\displaystyle \pi }$удовлетворяет (следовательно, это бивектор Пуассона); ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$
• отображение является гомоморфизмом алгебры Ли, т.е. гамильтоновы векторные поля удовлетворяют ; ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)\to {\mathfrak {X}}(M),f\mapsto X_{f}}$ ${\displaystyle [X_{f},X_{g}]=X_{\{f,g\}}}$
• граф определяет структуру Дирака , т.е. лагранжево подрасслоение , замкнутое относительно стандартной скобки Куранта . ${\displaystyle {\rm {Graph}}(\pi )\subset TM\oplus T^{*}M}$ ${\displaystyle D\subset TM\oplus T^{*}M}$

Структура Пуассона, не удовлетворяющая ни одному из четырех требований, указанных выше, также называется почти пуассоновой структурой . ^[5]

Голоморфные структуры Пуассона

Определение структуры Пуассона для действительных гладких многообразий можно адаптировать и к комплексному случаю.

Голоморфное пуассоново многообразие — это комплексное многообразие , пучок голоморфных функций которого является пучком алгебр Пуассона. Эквивалентно, напомним, что голоморфное бивекторное поле на комплексном многообразии — это сечение такое, что . Тогда голоморфная пуассонова структура на — это голоморфное бивекторное поле, удовлетворяющее уравнению . Голоморфные пуассоновы многообразия можно охарактеризовать также в терминах структур Пуассона-Нийенхейса. ^[7] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi \in \Gamma (\wedge ^{2}T^{1,0}M)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}\pi =0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$

Многие результаты для реальных пуассоновых структур, например, относительно их интегрируемости, распространяются также на голоморфные структуры. ^{[8] [9]}

Голоморфные структуры Пуассона естественным образом появляются в контексте обобщенных комплексных структур : локально любое обобщенное комплексное многообразие является произведением симплектического многообразия и голоморфного многообразия Пуассона. ^[10]

Квантование деформации

Понятие многообразия Пуассона естественным образом возникает из теории деформации ассоциативных алгебр . Для гладкого многообразия гладкие функции образуют коммутативную алгебру над действительными числами , используя поточечное сложение и умножение (имея в виду, что для точек в ). Деформация th-го порядка этой алгебры задается формулой ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f*g=fg+\epsilon B_{1}(f,g)+\cdots +\epsilon ^{n}B_{n}(f,g){\pmod {\epsilon ^{n+1}}}}$

для таких, что звездочное произведение ассоциативно (по модулю ), но не обязательно коммутативно. ${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \epsilon ^{n+1}}$

Деформация первого порядка эквивалентна почти пуассоновой структуре , как определено выше, то есть билинейному отображению «скобок» ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$

которая является кососимметричной и удовлетворяет правилу Лейбница. ^[5] Явно, можно перейти от деформации к скобке с помощью

${\displaystyle f*g-g*f=\epsilon \{f,g\}{\pmod {\epsilon ^{2}}}.}$

Деформация первого порядка также эквивалентна бивекторному полю, то есть гладкому сечению . ${\displaystyle \wedge ^{2}TM}$

Скобка удовлетворяет тождеству Якоби (то есть является пуассоновой структурой) тогда и только тогда, когда соответствующая деформация первого порядка может быть расширена до деформации второго порядка. ^[5] Примечательно, что формула квантования Концевича показывает, что каждое пуассоново многообразие имеет квантование деформации . То есть, если деформация первого порядка может быть расширена до второго порядка, то она может быть расширена до бесконечного порядка. ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

Пример: Для любого гладкого многообразия кокасательное расслоение является симплектическим многообразием, а значит, и многообразием Пуассона. Соответствующая некоммутативная деформация связана с алгеброй линейных дифференциальных операторов на . Когда — вещественная прямая , некоммутативность алгебры дифференциальных операторов (известной как алгебра Вейля ) следует из вычисления, что ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(T^{*}M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x}},x{\bigg ]}=1.}$

Симплектические листья

Пуассоново многообразие естественным образом разбивается на регулярно погруженные симплектические многообразия возможно различных размерностей, называемые его симплектическими листами . Они возникают как максимальные интегральные подмногообразия полностью интегрируемого сингулярного слоения, натянутого на гамильтоновы векторные поля.

Ранг пуассоновской структуры

Напомним, что любое бивекторное поле можно рассматривать как косой гомоморфизм, музыкальный морфизм . Таким образом, изображение состоит из значений всех гамильтоновых векторных полей, вычисленных в каждом . ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM,\alpha \mapsto \pi (\alpha ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ ${\displaystyle {X_{f}}(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$

Ранг в точке — это ранг индуцированного линейного отображения . Точка называется регулярной для пуассоновой структуры на тогда и только тогда, когда ранг постоянен на открытой окрестности ; в противном случае она называется особой точкой . Регулярные точки образуют открытое плотное подпространство ; когда , т.е. отображение имеет постоянный ранг, пуассонова структура называется регулярной . Примерами регулярных пуассоновых структур являются тривиальные и невырожденные структуры (см. ниже). ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \pi _{x}^{\sharp }}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }\subseteq M}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }=M}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }}$ ${\displaystyle \pi }$

Обычный случай

Для регулярного многообразия Пуассона изображение является регулярным распределением ; легко проверить, что оно инволютивно, поэтому, по теореме Фробениуса , допускает разбиение на листья. Более того, бивектор Пуассона хорошо ограничивается каждым листом, которые, таким образом, становятся симплектическими многообразиями. ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ ${\displaystyle M}$

Необычный случай

Для нерегулярного пуассонова многообразия ситуация более сложная, поскольку распределение является сингулярным , т.е. векторные подпространства имеют разные размерности. ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{*}M)\subset T_{x}M}$

Интегральное подмногообразие для — это линейно связное подмногообразие, удовлетворяющее для всех . Интегральные подмногообразия для автоматически являются регулярно погруженными многообразиями, а максимальные интегральные подмногообразия для называются листьями из . ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)}$ ${\displaystyle S\subseteq M}$ ${\displaystyle T_{x}S={\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{\ast }M)}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Более того, каждый лист несет естественную симплектическую форму , определяемую условием для всех и . Соответственно, говорят о симплектических листах . Более того, как пространство регулярных точек, так и его дополнение насыщены симплектическими листами, поэтому симплектические листы могут быть как регулярными, так и сингулярными. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \omega _{S}\in {\Omega ^{2}}(S)}$ ${\displaystyle [{\omega _{S}}(X_{f},X_{g})](x)=-\{f,g\}(x)}$ ${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }}$

Теорема Вайнштейна о расщеплении

Чтобы показать существование симплектических листов в нерегулярном случае, можно использовать теорему о расщеплении Вайнштейна (или теорему Дарбу-Вайнштейна). ^[6] Она утверждает, что любое многообразие Пуассона локально расщепляется вокруг точки как произведение симплектического многообразия и трансверсального подмногообразия Пуассона, исчезающего в точке . Точнее, если , существуют локальные координаты такие, что бивектор Пуассона расщепляется как сумма ${\displaystyle (M^{n},\pi )}$ ${\displaystyle x_{0}\in M}$ ${\displaystyle (S^{2k},\omega )}$ ${\displaystyle (T^{n-2k},\pi _{T})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {rank} (\pi _{x_{0}})=2k}$ ${\displaystyle (U,p_{1},\ldots ,p_{k},q^{1},\ldots ,q^{k},x^{1},\ldots ,x^{n-2k})}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n-2k}\phi ^{ij}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$

где Обратите внимание, что когда ранг максимален (например, структура Пуассона невырождена, так что ), можно восстановить классическую теорему Дарбу для симплектических структур. ${\displaystyle \phi ^{ij}(x_{0})=0.}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n=2k}$

Примеры

Тривиальные структуры Пуассона

Каждое многообразие несет тривиальную структуру Пуассона , эквивалентно описываемую бивектором . Таким образом, каждая точка является нульмерным симплектическим листом. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{f,g\}=0}$ ${\displaystyle \pi =0}$ ${\displaystyle M}$

Невырожденные пуассоновские структуры

Бивекторное поле называется невырожденным, если является изоморфизмом векторных расслоений. Невырожденные пуассоновы бивекторные поля на самом деле то же самое, что и симплектические многообразия . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

Действительно, существует биективное соответствие между невырожденными бивекторными полями и невырожденными 2-формами , заданное музыкальным изоморфизмом ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1},}$

где закодировано как . Более того, является Пуассоновым точно тогда и только тогда, когда замкнуто; в таком случае скобка становится канонической скобкой Пуассона из гамильтоновой механики: ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega ^{\flat }:TM\to T^{*}M,\quad v\mapsto \omega (v,\cdot )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \{f,g\}:=\omega (X_{f},X_{g}).}$

Невырожденные пуассоновы структуры имеют только один симплектический лист, а именно себя, и их алгебра Пуассона становится кольцом Пуассона . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle ({\mathcal {C}}^{\infty }(M),\{\cdot ,\cdot \})}$

Линейные пуассоновские структуры

Структура Пуассона на векторном пространстве называется линейной , если скобка двух линейных функций по-прежнему линейна. ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle V}$

Класс векторных пространств с линейными пуассоновыми структурами совпадает с классом дуальных алгебр Ли . Дуальная алгебра любой конечномерной Ли несет линейную скобку Пуассона, известную в литературе под названиями структуры Ли-Пуассона, Кириллова-Пуассона или KKS ( Kostant - Kirillov - Souriau ): где и производные интерпретируются как элементы бидуального . Эквивалентно, бивектор Пуассона может быть локально выражен как где - координаты на , а - ассоциированные структурные константы , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])}$ $${\displaystyle \{f,g\}(\xi ):=\xi ([d_{\xi }f,d_{\xi }g]_{\mathfrak {g}}),}$$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*}),\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle d_{\xi }f,d_{\xi }g:T_{\xi }{\mathfrak {g}}^{*}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{**}\cong {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle \pi =\sum _{i,j,k}c_{k}^{ij}x^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle c_{k}^{ij}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Наоборот, любая линейная структура Пуассона на должна иметь этот вид, т.е. существует естественная структура алгебры Ли, индуцированная на , скобка Ли-Пуассона которой восстанавливается . ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=V^{*}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

Симплектические листы структуры Ли-Пуассона на являются орбитами коприсоединенного действия на . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Расщепление линейных пуассоновских структур

Предыдущий пример можно обобщить следующим образом. Структура Пуассона на общем пространстве векторного расслоения называется послойно линейной , когда скобка двух гладких функций , ограничения которых на волокна линейны, приводит к скобке, которая линейна при ограничении на волокна. Эквивалентно, бивекторное поле Пуассона должно удовлетворять для любого , где — скалярное умножение . ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (m_{t})^{*}\pi =t\pi }$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle m_{t}:E\to E}$ ${\displaystyle v\mapsto tv}$

Класс векторных расслоений с линейными пуассоновыми структурами совпадает с классом двойственных алгеброидов Ли . Двойственный к любому алгеброиду Ли алгебра несет послойную линейную скобку Пуассона, ^[11] однозначно определяемую как , где есть оценка по . Эквивалентно, бивектор Пуассона может быть локально выражен как где есть координаты вокруг точки , есть послойные координаты на , двойственные к локальному фрейму , и и есть структурная функция , т.е. уникальные гладкие функции, удовлетворяющие Наоборот, любая послойная линейная пуассонова структура на должна иметь этот вид, т.е. существует естественная структура алгеброида Ли, индуцированная на , корсет Ли-Пуассона которой восстанавливает . ^[12] ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle (A,[\cdot ,\cdot ])}$ $${\displaystyle \{\mathrm {ev} _{\alpha },\mathrm {ev} _{\beta }\}:=ev_{[\alpha ,\beta ]}\quad \quad \forall \alpha ,\beta \in \Gamma (A),}$$ ${\displaystyle \mathrm {ev} _{\alpha }:A^{*}\to \mathbb {R} ,\phi \mapsto \phi (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \pi =\sum _{i,a}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{a<b,c}C_{ab}^{c}(x)y_{c}{\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial y_{b}}},}$$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle y_{a}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{a}^{i}}$ ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \rho (e_{a})=\sum _{i}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\quad \quad [e_{a},e_{b}]=\sum _{c}C_{ab}^{c}(x)e_{c}.}$$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A:=E^{*}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

Симплектические листы являются кокасательными расслоениями алгеброидных орбит ; эквивалентно, если интегрируемо в группоид Ли , они являются связными компонентами орбит кокасательного группоида . ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$

Для восстанавливаются линейные структуры Пуассона, в то время как для послойной линейной структуры Пуассона — это невырожденная структура, заданная канонической симплектической структурой кокасательного расслоения . ${\displaystyle M=\{*\}}$ ${\displaystyle A=TM}$ ${\displaystyle T^{*}M}$

Другие примеры и конструкции

• Любое постоянное бивекторное поле на векторном пространстве автоматически является пуассоновой структурой; действительно, все три члена в якобиаторе равны нулю, являясь скобкой с постоянной функцией.
• Любое бивекторное поле на двумерном многообразии автоматически является пуассоновой структурой; на самом деле, это 3-векторное поле, которое всегда равно нулю в размерности 2. ${\displaystyle [\pi ,\pi ]}$
• Для любого пуассоновского бивекторного поля на трехмерном многообразии бивекторное поле для любого автоматически является пуассоновым. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\pi }$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$
• Декартово произведение двух пуассоновых многообразий снова является пуассоновым многообразием. ${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$ ${\displaystyle (M_{0},\pi _{0})}$ ${\displaystyle (M_{1},\pi _{1})}$
• Пусть будет (регулярным) слоением размерности на и замкнутым слоением 2-формой, для которой мощность нигде не обращается в нуль. Это однозначно определяет регулярную структуру Пуассона на , требуя, чтобы симплектические листы были листами , снабженными индуцированной симплектической формой . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 2r}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega \in {\Omega ^{2}}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \omega ^{r}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \omega |_{S}}$
• Пусть — группа Ли, действующая на пуассоновом многообразии посредством диффеоморфизмов Пуассона. Если действие свободное и собственное , то фактор-многообразие наследует пуассонову структуру от (а именно, оно единственное, для которого погружение является отображением Пуассона). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle \pi _{M/G}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (M,\pi )\to (M/G,\pi _{M/G})}$

Когомологии Пуассона

Группы когомологий Пуассона многообразия Пуассона являются группами когомологий комплекса коцепей ${\displaystyle H^{k}(M,\pi )}$ $${\displaystyle \ldots \xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet }(M)\xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet +1}(M)\xrightarrow {d_{\pi }} \ldots \color {white}{\sum ^{i}}}$$

где оператор — скобка Схоутена-Нийенхейса с . Обратите внимание, что такая последовательность может быть определена для каждого бивектора на ; условие эквивалентно , т.е. является пуассоновским. ${\displaystyle d_{\pi }=[\pi ,-]}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{\pi }\circ d_{\pi }=0}$ ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$ ${\displaystyle M}$

Используя морфизм , получаем морфизм из комплекса де Рама в комплекс Пуассона , индуцирующий групповой гомоморфизм . В невырожденном случае это становится изоморфизмом, так что когомологии Пуассона симплектического многообразия полностью восстанавливают его когомологии де Рама . ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }(M),d_{dR})}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {X}}^{\bullet }(M),d_{\pi })}$ ${\displaystyle H_{dR}^{\bullet }(M)\to H^{\bullet }(M,\pi )}$

В общем случае когомологии Пуассона трудно вычислить, но группы низкой степени содержат важную геометрическую информацию о структуре Пуассона:

• ${\displaystyle H^{0}(M,\pi )}$— пространство функций Казимира , т.е. гладких функций, коммутирующих по Пуассону со всеми остальными (или, что эквивалентно, гладких функций, постоянных на симплектических листах);
• ${\displaystyle H^{1}(M,\pi )}$— пространство векторных полей Пуассона по модулю гамильтоновых векторных полей;
• ${\displaystyle H^{2}(M,\pi )}$— пространство бесконечно малых деформаций пуассоновой структуры по модулю тривиальных деформаций;
• ${\displaystyle H^{3}(M,\pi )}$это пространство препятствий для распространения бесконечно малых деформаций до действительных деформаций.

Модульный класс

Модулярный класс многообразия Пуассона — это класс в первой группе когомологий Пуассона, который является препятствием к существованию формы объема, инвариантной относительно гамильтоновых потоков. ^[13] Он был введен Кошулем ^[14] и Вайнштейном ^{[15] .}

Напомним, что дивергенция векторного поля относительно заданной формы объема — это функция , определяемая соотношением . Модулярное векторное поле пуассонова многообразия относительно формы объема — это векторное поле, определяемое дивергенцией гамильтоновых векторных полей: . ${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)={\frac {{\mathcal {L}}_{X}\lambda }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X_{\lambda }}$ ${\displaystyle X_{\lambda }:f\mapsto {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})}$

Модулярное векторное поле является 1-коциклом Пуассона, т.е. удовлетворяет . Более того, при задании двух объемных форм и разность является гамильтоновым векторным полем. Соответственно, класс когомологий Пуассона не зависит от исходного выбора объемной формы , и он называется модулярным классом многообразия Пуассона. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{\lambda }}\pi =0}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle X_{\lambda _{1}}-X_{\lambda _{2}}}$ ${\displaystyle [X_{\lambda }]_{\pi }\in H^{1}(M,\pi )}$ ${\displaystyle \lambda }$

Многообразие Пуассона называется унимодулярным , если его модулярный класс равен нулю. Обратите внимание, что это происходит тогда и только тогда, когда существует объемная форма, такая, что модулярное векторное поле равно нулю, т.е. для каждого ; другими словами, инвариантно относительно потока любого гамильтонова векторного поля. Например: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda }$

• Симплектические структуры всегда унимодулярны, поскольку форма Лиувилля инвариантна относительно всех гамильтоновых векторных полей;
• Для линейных пуассоновых структур модулярный класс — это бесконечно малый модулярный характер , поскольку модулярное векторное поле, связанное со стандартной мерой Лебега на , является постоянным векторным полем на . Тогда унимодулярно как пуассоново многообразие тогда и только тогда, когда оно унимодулярно как алгебра Ли; ^[16] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$
• Для регулярных пуассоновых структур модулярный класс связан с классом Риба базового симплектического расслоения (элемент первой послойной группы когомологий, который препятствует существованию объемной нормальной формы, инвариантной векторными полями, касательными к расслоению). ^[17]

Гомология Пуассона

Когомологии Пуассона были введены в 1977 году самим Лихнеровичем; ^[1] десятилетие спустя Брилински ввел теорию гомологии для многообразий Пуассона, используя оператор . ^[18] ${\displaystyle \partial _{\pi }=[d,\iota _{\pi }]}$

Было доказано несколько результатов, связывающих гомологию Пуассона и когомологию. ^[19] Например, для ориентируемых унимодулярных многообразий Пуассона гомология Пуассона оказывается изоморфной когомологиям Пуассона: это было доказано независимо Сюй ^[20] и Эвансом-Лу-Вайнштейном. ^[16]

Карты Пуассона

Гладкое отображение между многообразиями Пуассона называется ${\displaystyle \varphi :M\to N}$Отображение Пуассона , если оно соблюдает пуассоновы структуры, т.е. выполняется одно из следующих эквивалентных условий (сравните с эквивалентными определениями пуассоновых структур выше):

• скобки Пуассона и удовлетворяют для любых и гладких функций ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}_{M}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}_{N}}$ ${\displaystyle {\{f,g\}_{N}}(\varphi (x))={\{f\circ \varphi ,g\circ \varphi \}_{M}}(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(N)}$
• бивекторные поля и -связаны , т.е. ${\displaystyle \pi _{M}}$ ${\displaystyle \pi _{N}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi _{N}=\varphi _{*}\pi _{M}}$
• Гамильтоновы векторные поля, связанные с каждой гладкой функцией, являются -связанными, т.е. ${\displaystyle H\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X_{H}=\varphi _{*}X_{H\circ \phi }}$
• дифференциал является морфизмом Дирака. ${\displaystyle d\varphi :(TM,{\rm {Graph}}(\pi _{M}))\to (TN,{\rm {Graph}}(\pi _{N}))}$

Антипуассоновское отображение удовлетворяет аналогичным условиям со знаком минус на одной стороне.

Многообразия Пуассона являются объектами категории , с отображениями Пуассона в качестве морфизмов. Если отображение Пуассона также является диффеоморфизмом, то мы называем диффеоморфизм Пуассона . ${\displaystyle {\mathfrak {Poiss}}}$ ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ ${\displaystyle \varphi }$

Примеры

• Учитывая произведение пуассоновых многообразий , канонические проекции для являются отображениями Пуассона. ${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$ ${\displaystyle \mathrm {pr} _{i}:M_{0}\times M_{1}\to M_{i}}$ ${\displaystyle i\in \{0,1\}}$
• Отображение включения симплектического листа или открытого подпространства является отображением Пуассона.
• Если заданы две алгебры Ли и , то двойственный гомоморфизм любой алгебры Ли индуцирует отображение Пуассона между их линейными пуассоновыми структурами. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}}$
• Для двух алгеброидов Ли и , двойственный морфизм любого алгеброида Ли над единицей индуцирует отображение Пуассона между их послойной линейной пуассоновой структурой. ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle B\to M}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle B^{*}\to A^{*}}$

Следует отметить, что понятие отображения Пуассона принципиально отличается от понятия симплектического отображения . Например, с их стандартными симплектическими структурами не существует отображений Пуассона , тогда как симплектических отображений предостаточно. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}}$

Симплектические реализации

Симплектическая реализация на пуассоновом многообразии M состоит из симплектического многообразия вместе с отображением Пуассона , которое является сюръективной субмерсией. Грубо говоря, роль симплектической реализации заключается в «десингуляризации» сложного (вырожденного) пуассонова многообразия путем перехода к большему, но более простому (невырожденному) многообразию. ${\displaystyle (P,\omega )}$ ${\displaystyle \phi :(P,\omega )\to (M,\pi )}$

Обратите внимание, что некоторые авторы определяют симплектические реализации без этого последнего условия (так что, например, включение симплектического листа в пуассоново многообразие является примером) и называют полную симплектическую реализацию, где является сюръективной субмерсией. Примеры (полных) симплектических реализаций включают следующее: ${\displaystyle \phi }$

• Для тривиальной структуры Пуассона в качестве кокасательного расслоения берется , с его канонической симплектической структурой , а в качестве проекции . ${\displaystyle (M,0)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle T^{*}M\to M}$
• Для невырожденной пуассоновой структуры в качестве многообразия берется само многообразие , а в качестве тождества — . ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M\to M}$
• Для структуры Ли-Пуассона на берется как кокасательное расслоение группы Ли, интегрирующей , и как двойственное отображение дифференциала в тождестве (левого или правого) переноса . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T^{*}G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi :T^{*}G\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G\to G}$

Симплектическая реализация называется полной , если для любого полного гамильтонова векторного поля векторное поле также является полным. В то время как симплектические реализации всегда существуют для каждого пуассонова многообразия (и доступно несколько различных доказательств), ^{[6] [21] [22]} полных реализаций нет, и их существование играет фундаментальную роль в проблеме интегрируемости для пуассоновых многообразий (см. ниже). ^[23] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle X_{H\circ \phi }}$

Интеграция многообразий Пуассона

Любое пуассоново многообразие индуцирует структуру алгеброида Ли на своем кокасательном расслоении , также называемом кокасательным алгеброидом . Якорное отображение задается как , а скобка Ли на определяется как Несколько понятий, определенных для пуассоновых многообразий, можно интерпретировать через его алгеброид Ли : ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle T^{*}M\to M}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle \Gamma (T^{*}M)=\Omega ^{1}(M)}$ $${\displaystyle [\alpha ,\beta ]:={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-\iota _{\pi ^{\sharp }(\beta )}d\alpha ={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-{\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\beta )}(\alpha )-d\pi (\alpha ,\beta ).}$$ ${\displaystyle T^{*}M}$

• симплектическое слоение — это обычное (сингулярное) слоение, индуцированное якорем алгеброида Ли;
• симплектические листы являются орбитами алгеброида Ли;
• Пуассонова структура на регулярна именно тогда, когда соответствующий алгеброид Ли регулярен; ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$
• группы когомологий Пуассона совпадают с группами когомологий алгеброидов Ли с коэффициентами в тривиальном представлении; ${\displaystyle T^{*}M}$
• модулярный класс многообразия Пуассона совпадает с модулярным классом ассоциированного алгеброида Ли . ^[16] ${\displaystyle T^{*}M}$

Крайне важно отметить, что алгеброид Ли не всегда интегрируем до группоида Ли. ${\displaystyle T^{*}M}$

Симплектические группоиды

Асимплектический группоид — этогруппоид Ли вместе с симплектической формой, которая также является мультипликативной, т.е. она удовлетворяет следующей алгебраической совместимости с умножением группоида:. Эквивалентно, графикдолжен бытьлагранжевым подмногообразием.Среди нескольких следствий, размерностьавтоматически в два раза больше размерности. Понятие симплектического группоида было введено в конце 80-х годов независимо несколькими авторами.^{[24][25][21][11]} ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle m^{*}\omega ={\rm {pr}}_{1}^{*}\omega +{\rm {pr}}_{2}^{*}\omega }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle ({\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}},\omega \oplus \omega \oplus -\omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle M}$

Фундаментальная теорема утверждает, что базовое пространство любого симплектического группоида допускает единственную структуру Пуассона, такую, что исходное отображение и целевое отображение являются, соответственно, отображением Пуассона и антипуассоновым отображением. Более того, алгеброид Ли изоморфен кокасательному алгеброиду, связанному с многообразием Пуассона . ^[26] Обратно, если кокасательное расслоение многообразия Пуассона интегрируемо в некоторый группоид Ли , то автоматически является симплектическим группоидом. ^[27] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle s:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$ ${\displaystyle t:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$ ${\displaystyle {\rm {Lie}}({\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Соответственно, проблема интегрируемости для пуассонова многообразия состоит в нахождении (симплектического) группоида Ли, который интегрирует его котасательный алгеброид; когда это происходит, пуассонова структура называется интегрируемой .

В то время как любое пуассоново многообразие допускает локальную интеграцию (т. е. симплектический группоид, где умножение определено только локально), ^[26] существуют общие топологические препятствия к его интегрируемости, вытекающие из теории интегрируемости для алгеброидов Ли. ^[28] Используя такие препятствия, можно показать, что пуассоново многообразие интегрируемо тогда и только тогда, когда оно допускает полную симплектическую реализацию. ^[23]

Кандидат на симплектический группоид, интегрирующий заданное пуассоново многообразие, называется гомотопическим группоидом Пуассона и является просто группоидом Вайнштейна кокасательного алгеброида , состоящего из фактора банахова пространства специального класса путей в по подходящему эквивалентному отношению. Эквивалентно, может быть описан как бесконечномерный симплектический фактор . ^[29] ${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle T^{*}M\to M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$

Примеры интеграций

• Тривиальная структура Пуассона всегда интегрируема, симплектический группоид представляет собой расслоение абелевых (аддитивных) групп с канонической симплектической формой. ${\displaystyle (M,0)}$ ${\displaystyle T^{*}M\rightrightarrows M}$
• Невырожденная структура Пуассона на всегда интегрируема, причем симплектический группоид является парным группоидом вместе с симплектической формой (для ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle s^{*}\omega -t^{*}\omega }$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1}}$
• Структура Ли-Пуассона на всегда интегрируема, причем симплектический группоид является ( коприсоединенным ) группоидом действия для односвязного интегрирования , вместе с канонической симплектической формой . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G\times {\mathfrak {g}}^{*}\rightrightarrows {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T^{*}G\cong G\times {\mathfrak {g}}^{*}}$
• Структура Ли-Пуассона на интегрируема тогда и только тогда, когда алгеброид Ли интегрируем до группоида Ли , причем симплектический группоид является кокасательным группоидом с канонической симплектической формой. ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$

Подмногообразия

Подмногообразие Пуассона — это погруженное подмногообразие, такое что отображение погружения является отображением Пуассона. Эквивалентно, можно спросить, что каждое гамильтоново векторное поле , для , касается . ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle N\subseteq M}$ ${\displaystyle (N,\pi _{\mid N})\hookrightarrow (M,\pi )}$ ${\displaystyle X_{f}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle N}$

Это определение очень естественно и удовлетворяет нескольким хорошим свойствам, например, трансверсальное пересечение двух пуассоновых подмногообразий снова является пуассоновым подмногообразием. Однако, оно также имеет несколько проблем:

• Подмногообразия Пуассона встречаются редко: например, единственными подмногообразиями Пуассона симплектического многообразия являются открытые множества;
• определение не ведет себя функториально: если — пуассоново отображение, трансверсальное пуассонову подмногообразию , то подмногообразие не обязательно является пуассоновым. ${\displaystyle \Phi :(M,\pi _{M})\to (N,\pi _{N})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}(Q)}$ ${\displaystyle M}$

Чтобы преодолеть эти проблемы, часто используют понятие трансверсали Пуассона (первоначально называвшейся косимплектическим подмногообразием). ^[6] Его можно определить как подмногообразие , которое трансверсально каждому симплектическому листу и такое, что пересечение является симплектическим подмногообразием . Из этого следует, что любая трансверсаль Пуассона наследует каноническую структуру Пуассона от . В случае невырожденного многообразия Пуассона (единственным симплектическим листом которого является он сам), трансверсали Пуассона являются тем же самым, что и симплектические подмногообразия. ${\displaystyle X\subseteq M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\cap S}$ ${\displaystyle (S,\omega _{S})}$ ${\displaystyle X\subseteq (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi _{X}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle M}$

Более общие классы подмногообразий играют важную роль в геометрии Пуассона, включая подмногообразия Ли–Дирака, подмногообразия Пуассона–Дирака, коизотропные подмногообразия и предпуассоновы подмногообразия.

Смотрите также

• Многообразие Намбу–Пуассона
• Группа Пуассона–Ли
• Супермногообразие Пуассона

Ссылки

1. Лихнерович, А. (1977). «Разновидности Пуассона и алгебры лжи». Дж. Диф. Геом. 12 (2): 253–300. дои : 10.4310/jdg/1214433987 . МР  0501133.
2. Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2022-11-29). "Семь концепций, приписываемых Симеону-Дени Пуассону". SIGMA. Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 18 : 092. arXiv : 2211.15946 . doi : 10.3842/SIGMA.2022.092 .
3. Вайнштейн, Алан (1998-08-01). "Пуассонова геометрия". Дифференциальная геометрия и ее приложения . Симплектическая геометрия. 9 (1): 213–238. doi : 10.1016/S0926-2245(98)00022-9 . ISSN  0926-2245.
4. Пуассон, Симеон Дени (1809). «Sur la вариация произвольных констант в вопросах механики». Journal de l'École Polytechnique  [fr] (на французском языке). 15e cahier (8): 266–344 – через HathiTrust .
5. Сильва, Ана Каннас да; Вайнштейн, Алан (1999). Геометрические модели некоммутативных алгебр (PDF) . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0952-0. OCLC  42433917.
6. Вайнштейн, Алан (1983-01-01). "Локальная структура пуассоновых многообразий". Журнал дифференциальной геометрии . 18 (3). doi : 10.4310/jdg/1214437787 . ISSN  0022-040X.
7. Xu , P. (2010-07-08). "Голоморфные пуассоновы многообразия и голоморфные алгеброиды Ли". Международные уведомления по математическим исследованиям . 2008. arXiv : 0707.4253 . doi : 10.1093/imrn/rnn088. ISSN  1073-7928.
8. Лоран-Жангу, Камилла; Стьенон, Матье; Сюй, Пин (01 декабря 2009 г.). «Интегрирование голоморфных алгеброидов Ли». Математические Аннален . 345 (4): 895–923. arXiv : 0803.2031 . дои : 10.1007/s00208-009-0388-7. ISSN  1432-1807. S2CID  41629.
9. Брока, Дэмиен; Сюй, Пин (2022). «Симплектические реализации голоморфных пуассоновых многообразий». Mathematical Research Letters . 29 (4): 903–944. arXiv : 1512.08847 . doi : 10.4310/MRL.2022.v29.n4.a1 . ISSN  1945-001X.
10. Бейли, Майкл (2013-08-01). "Локальная классификация обобщенных комплексных структур". Журнал дифференциальной геометрии . 95 (1). arXiv : 1201.4887 . doi : 10.4310/jdg/1375124607 . ISSN  0022-040X.
11. Косте, А.; Дазорд, П.; Вайнштейн, А. (1987). «Groupoïdessymplexiques» [Симплектические группоиды]. Публикации Департамента математики (Лион) (на французском языке) (2A): 1–62. ISSN  2547-6300.
12. Курант, Теодор Джеймс (1990). «Многообразия Дирака». Труды Американского математического общества . 319 (2): 631–661. doi : 10.1090/S0002-9947-1990-0998124-1 . ISSN  0002-9947.
13. Косманн-Шварцбах, Иветт (2008-01-16). "Пуассоновы многообразия, алгеброиды Ли, модулярные классы: обзор". SIGMA. Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 4 : 005. arXiv : 0710.3098 . Bibcode :2008SIGMA...4..005K. doi : 10.3842/SIGMA.2008.005 .
14. Кошул, Жан-Луи (1985). «Crochet de Schouten-Nijenhuis et cohomologie» [скобка Схоутена-Ниженхейса и когомологии]. Астериск (на французском языке). С131 : 257–271.
15. Вайнштейн, Алан (1997-11-01). «Группа модульных автоморфизмов пуассонова многообразия». Журнал геометрии и физики . 23 (3): 379–394. Bibcode : 1997JGP....23..379W. doi : 10.1016/S0393-0440(97)80011-3. ISSN  0393-0440.
16. Evens, Sam; Lu, Jiang-Hua; Weinstein, Alan (1999). «Трансверсальные меры, модулярный класс и спаривание когомологий для алгеброидов Ли». The Quarterly Journal of Mathematics . 50 (200): 417–436. arXiv : dg-ga/9610008 . doi :10.1093/qjmath/50.200.417.
17. Абукатеб, Абдельхак; Бусетта, Мохамед (2003-07-01). «Модулярный класс регулярного пуассонова многообразия и класс Риба его симплектического слоения». Comptes Rendus Mathematique . 337 (1): 61–66. arXiv : math/0211405v1 . doi : 10.1016/S1631-073X(03)00254-1 . ISSN  1631-073X.
18. Брилински, Жан-Люк (1988-01-01). "Дифференциальный комплекс для пуассоновых многообразий". Журнал дифференциальной геометрии . 28 (1). doi : 10.4310/jdg/1214442161 . ISSN  0022-040X. S2CID  122451743.
19. Фернандес, Мариса; Ибаньес, Рауль; Леон, Мануэль де (1996). «Когомологии Пуассона и канонические гомологии многообразий Пуассона». Архив Математикум . 032 (1): 29–56. ISSN  0044-8753.
20. Сюй, Пин (1999-02-01). «Алгебры Герстенхабера и BV-алгебры в геометрии Пуассона». Сообщения по математической физике . 200 (3): 545–560. arXiv : dg-ga/9703001 . Bibcode :1999CMaPh.200..545X. doi :10.1007/s002200050540. ISSN  1432-0916. S2CID  16559555.
21. Карасев, МВ (1987-06-30). "Аналоги объектов теории групп Ли для нелинейных скобок Пуассона". Математика СССР-Известия . 28 (3): 497–527. Bibcode :1987IzMat..28..497K. doi :10.1070/im1987v028n03abeh000895. ISSN  0025-5726.
22. Crainic, Marius ; Marcut, Ioan (2011). «О существовании симплектических реализаций». Журнал симплектической геометрии . 9 (4): 435–444. doi : 10.4310/JSG.2011.v9.n4.a2 . ISSN  1540-2347.
23. Crainic, Marius ; Fernandes, Rui (2004-01-01). "Интегрируемость скобок Пуассона". Журнал дифференциальной геометрии . 66 (1). arXiv : math/0210152 . doi : 10.4310/jdg/1090415030 . ISSN  0022-040X.
24. Вайнштейн, Алан (1987-01-01). «Симплектические группоиды и пуассоновы многообразия». Бюллетень Американского математического общества . 16 (1): 101–105. doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15473-5 . ISSN  0273-0979.
25. Закржевский, С. (1990). «Квантовые и классические псевдогруппы. II. Дифференциальные и симплектические псевдогруппы». Communications in Mathematical Physics . 134 (2): 371–395. doi :10.1007/BF02097707. ISSN  0010-3616. S2CID  122926678 – через Project Euclid .
26. Albert, Claude; Dazord, Pierre (1991). Dazord, Pierre; Weinstein, Alan (ред.). "Groupoïdes de Lie et Groupoïdes Symplectiques" [Группоиды Ли и симплектические группоиды]. Симплектическая геометрия, группоиды и интегрируемые системы . Издательства Mathematical Sciences Research Institute Publications (на французском языке). 20. New York, NY: Springer US: 1–11. doi :10.1007/978-1-4613-9719-9_1. ISBN 978-1-4613-9719-9.
27. Лю, З. -Дж.; Сюй, П. (1996-01-01). «Точные биалгеброиды Ли и группоиды Пуассона». Геометрический и функциональный анализ . 6 (1): 138–145. doi :10.1007/BF02246770. ISSN  1420-8970. S2CID  121836719 – через Европейскую библиотеку цифровой математики.
28. Crainic, Marius ; Fernandes, Rui (2003-03-01). «Интегрируемость скобок Ли». Annals of Mathematics . 157 (2): 575–620. arXiv : math/0105033 . doi : 10.4007/annals.2003.157.575 . ISSN  0003-486X.
29. Cattaneo, Alberto S. ; Felder, Giovanni (2001). "Poisson sigma models and symplectic groupoids". Quantization of Singular Symplectic Quotients . Progress in Mathematics. Basel: Birkhäuser: 61–93. arXiv : math/0003023 . doi :10.1007/978-3-0348-8364-1_4. ISBN 978-3-0348-8364-1. S2CID  10248666.

Книги и обзоры

• Бхаскара, КХ; Вишванат, К. (1988). Пуассоновы алгебры и пуассоновы многообразия . Лонгман. ISBN 0-582-01989-3.
• Каннас да Силва, Ана ; Вайнштейн, Алан (1999). Геометрические модели некоммутативных алгебр . AMS Berkeley Mathematics Lecture Notes, 10.
• Дюфур, Ж.-П.; Цунг, Н.Т. (2005). Пуассоновы структуры и их нормальные формы . Том 242. Биркхойзер Прогресс в математике.
• Crainic, Marius ; Loja Fernandes, Rui ; Mărcuț, Ioan (2021). Лекции по геометрии Пуассона. Аспирантура по математике . Американское математическое общество . ISBN 978-1-4704-6667-1.Предыдущая версия доступна на [1].
• Гийемен, Виктор ; Стернберг, Шломо (1984). Симплектические методы в физике . Нью-Йорк: Cambridge University Press . ISBN 0-521-24866-3.
• Либерманн, Полетт ; Марль, К.-М. (1987). Симплектическая геометрия и аналитическая механика . Дордрехт: Рейдель. ISBN 90-277-2438-5.
• Вайсман, Изу (1994). Лекции по геометрии пуассоновых многообразий . Биркхойзер.См. также обзор Пин Сюй в бюллетене AMS.
• Вайнштейн, Алан (1998). «Пуассонова геометрия». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 9 (1–2): 213–238. doi : 10.1016/S0926-2245(98)00022-9 .