Подобие (геометрия)

Свойство объектов, которые являются масштабированными или зеркальными версиями друг друга

Похожие цифры

В евклидовой геометрии два объекта подобны , если они имеют одинаковую форму , или если один имеет ту же форму, что и зеркальное отображение другого. Точнее, один может быть получен из другого путем равномерного масштабирования (увеличения или уменьшения), возможно, с дополнительным переносом , вращением и отражением . Это означает, что любой объект может быть изменен по масштабу, помещен заново и отражен так, чтобы точно совпасть с другим объектом. Если два объекта подобны, каждый из них конгруэнтен результату определенного равномерного масштабирования другого.

Например, все круги подобны друг другу, все квадраты подобны друг другу, и все равносторонние треугольники подобны друг другу. С другой стороны, не все эллипсы подобны друг другу, не все прямоугольники подобны друг другу, и не все равнобедренные треугольники подобны друг другу. Это происходит потому, что два эллипса могут иметь разные соотношения ширины к высоте, два прямоугольника могут иметь разные соотношения длины к ширине, а два равнобедренных треугольника могут иметь разные углы при основании.

Фигуры, показанные одним цветом, похожи

Если два угла треугольника имеют меры, равные мерам двух углов другого треугольника, то треугольники подобны. Соответственные стороны подобных многоугольников пропорциональны, а соответственные углы подобных многоугольников имеют одинаковую меру.

Две конгруэнтные фигуры подобны, с коэффициентом масштаба 1. Однако некоторые школьные учебники специально исключают конгруэнтные треугольники из определения подобных треугольников, настаивая на том, что размеры должны быть разными, чтобы треугольники считались подобными. ^{[ необходима цитата ]}

Подобные треугольники

Два треугольника, △ ABC и △ A'B'C', подобны тогда и только тогда, когда соответствующие углы имеют одинаковую меру: это означает, что они подобны тогда и только тогда, когда длины соответствующих сторон пропорциональны . ^[1] Можно показать, что два треугольника, имеющие равные углы ( равноугольные треугольники ), подобны, то есть можно доказать, что соответствующие стороны пропорциональны. Это известно как теорема подобия AAA. [ ^2] Обратите внимание, что «AAA» — мнемоническое обозначение: каждая из трех букв A относится к «углу». Из-за этой теоремы некоторые авторы упрощают определение подобных треугольников, требуя только, чтобы соответствующие три угла были равными. ^[3]

Существует несколько критериев, каждый из которых необходим и достаточен для того, чтобы два треугольника были подобны:

• Любые две пары углов равны, ^[4] что в евклидовой геометрии подразумевает, что все три угла равны: ^[a]

Если ∠ BAC по мере равен ∠ B'A'C', а ∠ ABC по мере равен ∠ A'B'C', то это означает, что ∠ ACB по мере равен ∠ A'C'B' , и треугольники подобны.

• Все соответствующие стороны пропорциональны: ^[5]

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}}={\frac {\overline {AC}}{\overline {A'C'}}}.}$$

Это эквивалентно утверждению, что один треугольник (или его зеркальное отражение) является увеличенным изображением другого.

• Любые две пары сторон пропорциональны, а углы, заключенные между этими сторонами, равны: ^[6]

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}},\quad \angle ABC\cong \angle A'B'C'.}$$

Это известно как критерий сходства SAS. ^[7] «SAS» — это мнемоническое обозначение: каждая из двух букв S относится к «стороне»; A относится к «углу» между двумя сторонами.

Символически запишем сходство и различие двух треугольников △ ABC и △ A'B'C' следующим образом: ^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\triangle ABC&\sim \triangle A'B'C'\\\triangle ABC&\nsim \triangle A'B'C'\end{aligned}}}$$

Существует несколько элементарных результатов относительно подобных треугольников в евклидовой геометрии: ^[9]

• Любые два равносторонних треугольника подобны.
• Два треугольника, подобные третьему треугольнику, подобны друг другу ( транзитивность подобия треугольников).
• Соответственные высоты подобных треугольников имеют такое же отношение, как и соответствующие стороны.
• Два прямоугольных треугольника подобны, если гипотенуза и одна из сторон имеют длины в одинаковом отношении. ^[10] В этом случае существует несколько эквивалентных условий, например, когда прямоугольные треугольники имеют острый угол одинаковой величины или когда длины катетов (сторон) находятся в одинаковой пропорции.

Даны треугольник △ ABC и отрезок DE , и с помощью циркуля и линейки можно найти точку F, такую, что △ ABC ~ △ DEF . Утверждение о том, что точка F , удовлетворяющая этому условию, существует, является постулатом Уоллиса ^[11] и логически эквивалентно постулату Евклида о параллельных прямых . ^[12] В гиперболической геометрии (где постулат Уоллиса ложен) подобные треугольники равны.

В аксиоматической трактовке евклидовой геометрии, данной Джорджем Дэвидом Биркгофом (см. аксиомы Биркгофа ), критерий подобия SAS, приведенный выше, был использован для замены как постулата параллельности Евклида, так и аксиомы SAS, что позволило существенно сократить аксиомы Гильберта . ^[7]

Подобные треугольники являются основой для многих синтетических (без использования координат) доказательств в евклидовой геометрии. Среди элементарных результатов, которые могут быть доказаны таким образом, есть: теорема о биссектрисе угла , теорема о среднем геометрическом , теорема Чевы , теорема Менелая и теорема Пифагора . Подобные треугольники также являются основой для тригонометрии прямоугольных треугольников . ^[13]

Другие подобные полигоны

Похожие прямоугольники

Понятие подобия распространяется на многоугольники с более чем тремя сторонами. Если даны любые два подобных многоугольника, соответствующие стороны, взятые в той же последовательности (даже если по часовой стрелке для одного многоугольника и против часовой стрелки для другого), пропорциональны , а соответствующие углы, взятые в той же последовательности, равны по величине. Однако пропорциональность соответствующих сторон сама по себе недостаточна для доказательства подобия многоугольников за пределами треугольников (иначе, например, все ромбы были бы подобны). Аналогично, равенство всех углов в последовательности не является достаточным для гарантии подобия (иначе все прямоугольники были бы подобны). Достаточным условием подобия многоугольников является пропорциональность соответствующих сторон и диагоналей.

Для данного n все правильные n -угольники подобны.

Похожие кривые

Несколько типов кривых обладают свойством, что все примеры этого типа похожи друг на друга. К ним относятся:

• Прямые (любые две прямые даже равны )
• Сегменты линии
• Круги
• Параболы ^[14]
• Гиперболы определенного эксцентриситета ^[15]
• Эллипсы определенного эксцентриситета ^[15]
• Цепные линии
• Графики функции логарифма для разных оснований
• Графики показательной функции для разных оснований
• Логарифмические спирали самоподобны.

В евклидовом пространстве

Подобие (также называемое преобразованием подобия или подобием ) евклидова пространства — это биекция f пространства на себя, которая умножает все расстояния на одно и то же положительное действительное число r , так что для любых двух точек x и y мы имеем

${\displaystyle d(f(x),f(y))=r\,d(x,y),}$

где d ( x , y ) — евклидово расстояние от x до y . ^[16] Скаляр r имеет много названий в литературе, включая: отношение подобия , фактор растяжения и коэффициент подобия . Когда r = 1, подобие называется изометрией ( жесткое преобразование ). Два множества называются подобными, если одно является образом другого при подобии.

Как отображение ⁠ ⁠ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},}$ подобие отношения r принимает вид

${\displaystyle f(x)=rAx+t,}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\in O^{n}(\mathbb {R} )}$ — ортогональная матрица размера n × n , а ⁠ ⁠ — вектор переноса. ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{n}}$

Сходства сохраняют плоскости, линии, перпендикулярность, параллельность, середины, неравенства между расстояниями и отрезками. ^[17] Сходства сохраняют углы, но не обязательно сохраняют ориентацию, прямые подобия сохраняют ориентацию, а противоположные подобия изменяют ее. ^[18]

Подобия евклидова пространства образуют группу относительно операции композиции, называемую группой подобий S. ^[19] Прямые подобия образуют нормальную подгруппу S , а евклидова группа изометрий E ( n ) также образует нормальную подгруппу. ^[20] Группа подобий S сама является подгруппой аффинной группы , поэтому каждое подобие является аффинным преобразованием .

Можно рассматривать евклидову плоскость как комплексную плоскость , ^[b] то есть как двумерное пространство над действительными числами . Двумерные преобразования подобия могут быть затем выражены в терминах комплексной арифметики и задаются как

• ${\displaystyle f(z)=az+b}$(прямые подобия) и
• ${\displaystyle f(z)=a{\overline {z}}+b}$(противоположные подобия),

где a и b — комплексные числа, a ≠ 0. Когда | a |= 1 , эти подобия являются изометриями.

Соотношение площадей и объемов

Разбиение большого треугольника показывает , что он подобен маленькому треугольнику с отношением площадей 5. Отношение подобия равно Это можно использовать для построения непериодической бесконечной мозаики . ${\displaystyle {\tfrac {5}{h}}={\tfrac {h}{1}}={\sqrt {5}}.}$

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения соответствующих длин этих фигур (например, когда сторона квадрата или радиус круга умножаются на три, его площадь умножается на девять — т. е. на три в квадрате). Высоты подобных треугольников находятся в том же отношении, что и соответствующие стороны. Если треугольник имеет сторону длиной b и высоту , проведенную к этой стороне длиной h , то подобный треугольник с соответствующей стороной длиной kb будет иметь высоту, проведенную к этой стороне длиной kh . Площадь первого треугольника равна , а площадь подобного треугольника будет равна Подобные фигуры, которые можно разложить на подобные треугольники, будут иметь площади, связанные таким же образом. Соотношение справедливо и для фигур, которые не являются спрямляемыми. ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}bh,}$ $${\displaystyle A'={\frac {1}{2}}\cdot kb\cdot kh=k^{2}A.}$$

Отношение объёмов подобных фигур равно кубу отношения соответствующих длин этих фигур (например, если ребро куба или радиус сферы умножить на три, то его объём умножится на 27, т. е. на три в кубе).

Закон квадрата-куба Галилея касается подобных тел. Если отношение подобия (отношение соответствующих сторон) между телами равно k , то отношение площадей поверхностей тел будет равно k ² , а отношение объемов будет равно k ³ .

Сходство с центром

Примеры прямого сходства, каждое из которых имеет центр .

Если подобие имеет ровно одну инвариантную точку : точку, которую подобие сохраняет неизменной, то эта единственная точка называется « центром » подобия.

На первом изображении под заголовком слева то или иное подобие сжимает правильный многоугольник в концентрический , вершины которого находятся на одной стороне предыдущего многоугольника. Это вращательное сокращение повторяется , так что исходный многоугольник расширяется в бездну правильных многоугольников. Центр подобия является общим центром последовательных многоугольников. Красный отрезок соединяет вершину исходного многоугольника с его изображением под подобием, за которым следует красный отрезок, идущий к следующему изображению вершины, и так далее, образуя спираль . На самом деле мы можем видеть более трех прямых подобий на этом первом изображении, потому что каждый правильный многоугольник инвариантен относительно определенных прямых подобий, точнее, определенных вращений, центр которых является центром многоугольника, и композиция прямых подобий также является прямым подобием. Например, мы видим изображение исходного правильного пятиугольника при гомотетии отрицательного отношения –k , что представляет собой подобие угла ±180° и положительного отношения, равного k .

Ниже заголовка справа второе изображение показывает подобие, разложенное на вращение и гомотетию. Сходство и вращение имеют один и тот же угол +135 градусов по модулю 360 градусов . Сходство и гомотетия имеют одинаковое отношение ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},}$ мультипликативной обратной величины отношения ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ( квадратный корень из 2 ) обратного подобия . Точка S является общим центром трех преобразований: вращения, гомотетии и подобия. Например, точка W является образом F при вращении, а точка T является образом W при гомотетии, более кратко называя R , H и D предыдущие вращение, гомотетию и подобие, с « D » как «Прямое». $${\displaystyle T=H(W)=(R(F))=(H\circ R)(F)=D(F),}$$

Это прямое подобие, которое преобразует треугольник △ EFA в треугольник △ ATB , можно разложить на вращение и гомотетию того же центра S несколькими способами. Например, D = R ○ H = H ○ R , причем последнее разложение представлено только на изображении. Чтобы получить D, мы также можем составить в любом порядке вращение на угол –45° и гомотетию отношения ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {-{\sqrt {2}}}{2}}.}$

Если « M » как «Зеркало», а « I » как «Косвенно», то если M — отражение относительно прямой CW , то M ○ D = I — косвенное подобие, которое преобразует сегмент BF как D в сегмент CT , но преобразует точку E в B , а точку A в саму A. Квадрат ACBT — это образ ABEF при подобии I с отношением ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.}$ Точка A — центр этого подобия, поскольку любая точка K, будучи инвариантной относительно него, выполняется , возможно, только если AK = 0 , в противном случае записывается как A = K. ${\displaystyle AK={\tfrac {AK}{\sqrt {2}}},}$

Как построить центр S прямого подобия D из квадрата ABEF , как найти точку S — центр поворота на угол +135°, который преобразует луч ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {SE}}}}$ в луч ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {SA}}}}$ ? Это задача на вписанный угол плюс вопрос ориентации . Множество точек P, таких что представляет собой дугу окружности EA , которая соединяет E и A , из которой два радиуса, ведущие к E и A, образуют центральный угол 2 (180° – 135°) = 2 × 45° = 90° . Это множество точек — синяя четверть окружности с центром F внутри квадрата ABEF . Таким же образом точка S является членом синей четверти окружности с центром T внутри квадрата BCAT . Таким образом, точка S является точкой пересечения этих двух четвертей окружностей. ${\displaystyle {\overset {}{{\overrightarrow {PE}},{\overrightarrow {PA}}=+135^{\circ }}}}$

В общих метрических пространствах

Треугольник Серпинского . Пространство, имеющее размерность самоподобия , приблизительно равную 1,58. (Из размерности Хаусдорфа .) ${\displaystyle {\tfrac {\log 3}{\log 2}}=\log _{2}3,}$

В общем метрическом пространстве ( X , d ) точное подобие — это функция f из метрического пространства X в себя, которая умножает все расстояния на один и тот же положительный скаляр r , называемый коэффициентом сжатия f , так что для любых двух точек x и y мы имеем

$${\displaystyle d(f(x),f(y))=rd(x,y).}$$

Более слабые версии подобия, например, имели бы f как билипшицеву функцию , а скаляр r — как предел

$${\displaystyle \lim {\frac {d(f(x),f(y))}{d(x,y)}}=r.}$$

Эта более слабая версия применяется, когда метрика представляет собой эффективное сопротивление на топологически самоподобном множестве.

Самоподобное подмножество метрического пространства ( X , d ) — это множество K , для которого существует конечный набор подобий { f _s } _{s ∈ S} с коэффициентами сжатия 0 ≤ r _s < 1, такой что K — единственное компактное подмножество X , для которого

Самоподобный набор, построенный с помощью двух подобий: ${\displaystyle {\begin{aligned}z'&=0.1[(4+i)z+4]\\z'&=0.1[(4+7i)z^{*}+5-2i]\end{aligned}}}$

$${\displaystyle \bigcup _{s\in S}f_{s}(K)=K.}$$

Эти самоподобные множества имеют самоподобную меру μ ^D с размерностью D, заданной формулой

$${\displaystyle \sum _{s\in S}(r_{s})^{D}=1}$$

что часто (но не всегда) равно размерности Хаусдорфа и размерности упаковки множества . Если перекрытия между f _s ( K ) «малы», то мы имеем следующую простую формулу для меры:

$${\displaystyle \mu ^{D}(f_{s_{1}}\circ f_{s_{2}}\circ \cdots \circ f_{s_{n}}(K))=(r_{s_{1}}\cdot r_{s_{2}}\cdots r_{s_{n}})^{D}.\,}$$

Топология

В топологии метрическое пространство может быть построено путем определения сходства вместо расстояния . Сходство — это функция, значение которой тем больше, чем ближе две точки (в отличие от расстояния, которое является мерой несходства : чем ближе точки, тем меньше расстояние).

Определение сходства может различаться у разных авторов в зависимости от того, какие свойства требуются. Основные общие свойства:

1. Положительно определено:

$${\displaystyle \forall (a,b),S(a,b)\geq 0}$$

1. По признаку сходства одного элемента с самим собой ( автоподобие ):

$${\displaystyle S(a,b)\leq S(a,a)\quad {\text{and}}\quad \forall (a,b),S(a,b)=S(a,a)\Leftrightarrow a=b}$$

Можно вызвать больше свойств, например:

• Отражательная способность : или ${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)=S(b,a),}$
• Конечность : ${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)<\infty .}$

Верхнее значение часто устанавливается равным 1 (что создает возможность вероятностной интерпретации подобия).

Обратите внимание, что в топологическом смысле, используемом здесь, подобие является своего рода мерой . Это использование не то же самое, что преобразование подобия в разделах § В евклидовом пространстве и § В общих метрических пространствах этой статьи.

Самоподобие

Самоподобие означает, что шаблон нетривиально подобен самому себе, например, набор {..., 0,5, 0,75, 1, 1,5, 2, 3, 4, 6, 8, 12, ...} чисел вида {2 ⁱ , 3·2 ⁱ } , где i пробегает все целые числа. Когда этот набор отображается в логарифмической шкале, он имеет одномерную трансляционную симметрию : прибавление или вычитание логарифма двух к логарифму одного из этих чисел дает логарифм другого из этих чисел. В данном наборе самих чисел это соответствует преобразованию подобия, в котором числа умножаются или делятся на два.

Психология

Интуиция понятия геометрического подобия появляется уже у человеческих детей, как можно увидеть в их рисунках. ^[21]

Смотрите также

• Конгруэнтность (геометрия)
• Спиральное сходство
• Расстояние Хэмминга (сходство строк или последовательностей)
• преобразование Гельмерта
• Инверсионная геометрия
• индекс Жаккара
• Пропорциональность
• Основная теорема пропорциональности
• Семантическое сходство
• Поиск по сходству
• Подобие (философия)
• Пространство сходства в числовой таксономии
• Гомеоид (оболочка из концентрических, подобных эллипсоидов)
• Решение треугольников

Примечания

1. Сибли 1998, стр. 35.
2. Stahl 2003, стр. 127. Это также доказано в «Началах » Евклида , книга VI, предложение 4.
3. Например, Венема 2006, с. 122 и Хендерсон и Тайминя 2005, с. 123.
4. «Начала » Евклида , книга VI, предложение 4.
5. «Начала » Евклида , книга VI, предложение 5.
6. «Начала » Евклида , книга VI, предложение 6.
7. Venema 2006, стр. 143.
8. Посаментье, Альфред С.; Леманн, Ингмар (2012). Секреты треугольников . Prometheus Books. стр. 22.
9. Якобс 1974, стр. 384–393.
10. Адамар, Жак (2008). Уроки геометрии, т. I: Плоская геометрия. Американское математическое общество. Теорема 120, стр. 125. ISBN 978-0-8218-4367-3.
11. Назван в честь Джона Уоллиса (1616–1703)
12. Венема 2006, стр. 122.
13. Венема 2006, стр. 145.
14. доказательство с academia.edu
15. Форма эллипса или гиперболы зависит только от отношения b/a
16. Смарт 1998, стр. 92.
17. Йель 1968, стр. 47 Теорема 2.1.
18. Педоу 1988, стр. 179–181.
19. Йель 1968, стр. 46.
20. Педоу 1988, стр. 182.
21. Кокс, Дана Кристин (2008). Понимание сходства: соединение геометрических и числовых контекстов для пропорционального рассуждения (Ph.D.). Каламазу, Мичиган: Университет Западного Мичигана. ISBN 978-0-549-75657-6. S2CID  61331653.

1. Это утверждение неверно в неевклидовой геометрии , где сумма углов треугольника не равна 180 градусам.
2. Этот традиционный термин, как объясняется в статье, является неправильным. На самом деле это одномерная комплексная линия.

Ссылки

• Хендерсон, Дэвид В .; Тайминя, Дайна (2005). Опыт геометрии/евклидовой и неевклидовой с историей (3-е изд.). Pearson Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-143748-7.
• Якобс, Гарольд Р. (1974). Геометрия . WH Freeman and Co. ISBN 0-7167-0456-0.
• Педоу, Дэн (1988) [1970]. Геометрия/Комплексный курс . Дувр. ISBN 0-486-65812-0.
• Сибли, Томас К. (1998). Геометрическая точка зрения/Обзор геометрий . Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-87450-1.
• Смарт, Джеймс Р. (1998). Современные геометрии (5-е изд.). Брукс/Коул. ISBN 0-534-35188-3.
• Шталь, Саул (2003). Геометрия/От Евклида до узлов . Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-032927-1.
• Венема, Джерард А. (2006). Основы геометрии . Pearson Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-143700-5.
• Йель, Пол Б. (1968). Геометрия и симметрия . Холден-Дэй.

Дальнейшее чтение

• Седерберг, Джудит Н. (2001) [1989]. "Глава 3.12: Преобразования подобия". Курс современной геометрии . Springer. стр. 183–189. ISBN 0-387-98972-2.
• Coxeter, HSM (1969) [1961]. "§5 Подобие на евклидовой плоскости". стр. 67–76. "§7 Изометрия и подобие в евклидовом пространстве". стр. 96–104. Введение в геометрию . John Wiley & Sons .
• Эвальд, Гюнтер (1971). Геометрия: Введение . Wadsworth Publishing . С. 106, 181.
• Мартин, Джордж Э. (1982). "Глава 13: Сходства на плоскости". Трансформационная геометрия: Введение в симметрию . Springer. стр. 136–146. ISBN 0-387-90636-3.

Внешние ссылки

• Анимированная демонстрация подобных треугольников
• Основная теорема подобия - иллюстративный набросок динамической геометрии