Арифметика – это элементарный раздел математики , изучающий числовые операции, такие как сложение , вычитание , умножение и деление . В более широком смысле сюда также входят возведение в степень , извлечение корней и логарифмирование . Арифметические системы можно различать по типу чисел, с которыми они работают. Целочисленная арифметика ограничивается вычислениями с положительными и отрицательными целыми числами . Арифметика рациональных чисел включает в себя операции с дробями , лежащими между целыми числами. Арифметика действительных чисел включает в себя вычисления как с рациональными , так и с иррациональными числами и охватывает всю числовую строку . Другое различие основано на системе счисления , используемой для выполнения вычислений. Десятичная арифметика является наиболее распространенной. Для выражения чисел используются основные цифры от 0 до 9 и их комбинации . Двоичная арифметика, напротив, используется большинством компьютеров и представляет числа как комбинации основных цифр 0 и 1. Некоторые арифметические системы работают с математическими объектами , отличными от чисел, например интервальная арифметика и матричная арифметика.
Практике арифметики насчитывает по меньшей мере тысячи, а возможно, и десятки тысяч лет. Древние цивилизации , такие как египтяне и шумеры , изобрели системы счисления для решения практических арифметических задач примерно в 3000 году до нашей эры. Начиная с VII и VI веков до нашей эры, древние греки начали более абстрактное изучение чисел и ввели метод строгих математических доказательств . Древние индийцы разработали концепцию нуля и десятичной системы , которую арабские математики в дальнейшем усовершенствовали и распространили на западный мир в средневековый период. Первые механические калькуляторы были изобретены в 17 веке. В XVIII и XIX веках развивается современная теория чисел и формулируются аксиоматические основы арифметики. В 20 веке появление электронных калькуляторов и компьютеров произвело революцию в точности и скорости выполнения арифметических вычислений.
Определение, этимология и смежные области
Арифметика – это фундаментальный раздел математики , изучающий числа и операции с ними. В частности, он занимается численными вычислениями с использованием арифметических операций сложения , вычитания , умножения и деления . [1] В более широком смысле сюда также входят возведение в степень , извлечение корней и логарифмирование . [2] Корень термина «арифметика» происходит от латинского термина « arithmetica », который происходит от древнегреческих слов ἀριθμός (арифмос), означающих «число», и ἀριθμητική τέχνη (арифметике техне), означающих «искусство счета». . [3]
Существуют разногласия относительно его точного определения. Согласно узкой характеристике, арифметика имеет дело только с натуральными числами . [4] Однако более распространенная точка зрения состоит в том, чтобы включать в свою область действия операции с целыми , рациональными числами , действительными числами , а иногда и с комплексными числами . [5] Некоторые определения ограничивают арифметику областью численных вычислений. [6] В более широком смысле оно также включает изучение того, как развивалось понятие чисел , анализ свойств и отношений между числами, а также изучение аксиоматической структуры арифметических операций. [7]
Арифметика тесно связана с теорией чисел , и некоторые авторы используют эти термины как синонимы. [8] Однако в более конкретном смысле теория чисел ограничивается изучением целых чисел и фокусируется на их свойствах и отношениях, таких как делимость , факторизация и простота . [9] Традиционно это известно как высшая арифметика. [10]
Арифметика тесно связана со многими разделами математики, которые зависят от числовых операций. Алгебра опирается на арифметические принципы для решения уравнений с использованием переменных. Эти принципы также играют ключевую роль в исчислении в попытках определить скорость изменений и площади под кривыми . Геометрия использует арифметические операции для измерения свойств фигур, а статистика использует их для анализа числовых данных. [11]
Числа
Числа — это математические объекты , используемые для подсчета величин и измерения величин. Они являются фундаментальными элементами арифметики, поскольку все арифметические операции выполняются над числами. Существуют разные виды чисел и разные системы счисления для их представления. [12]
Виды
Основными видами чисел, используемых в арифметике, являются натуральные числа , целые числа, целые числа , рациональные числа и действительные числа . [13] Натуральные числа – это целые числа, начинающиеся с 1 и заканчивающиеся бесконечностью. Они исключают 0 и отрицательные числа. Они также известны как счетные числа и могут быть выражены как {1, 2, 3, 4, ...}. Символ натуральных чисел: Целые числа идентичны натуральным числам с той лишь разницей, что они включают 0. Они могут быть представлены как {0, 1, 2, 3, 4, ...} и имеют символ . [14] Некоторые математики не проводят различия между натуральными и целыми числами, включая 0 в набор натуральных чисел. [15] Множество целых чисел включает в себя как положительные, так и отрицательные целые числа. Он имеет символ и может быть выражен как {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. [16]
Число является рациональным, если его можно представить как отношение двух целых чисел. Например, рациональное число образуется путем деления целого числа 1, называемого числителем, на целое число 2, называемое знаменателем. Другими примерами являются и . В набор рациональных чисел входят все целые числа, являющиеся дробями со знаменателем 1. Символ рациональных чисел — . [17] Десятичные дроби, такие как 0,3 и 25,12, представляют собой особый тип рациональных чисел, поскольку их знаменатель представляет собой степень 10. Например, 0,3 равно , а 25,12 равно . [18] Каждому рациональному числу соответствует конечная или повторяющаяся десятичная дробь . [19]
Иррациональные числа – это числа, которые невозможно выразить через отношение двух целых чисел. Примерами являются множество квадратных корней , таких как , и числа, такие как π и e (число Эйлера). [20] Десятичное представление иррационального числа бесконечно без повторяющихся десятичных знаков. [21] Множество рациональных чисел вместе с множеством иррациональных чисел составляют множество действительных чисел. Символ действительных чисел: . [22] Еще более широкие классы чисел включают комплексные числа и кватернионы . [23]
В зависимости от того, как используются числа, их можно разделить на кардинальные и порядковые . Кардинальные числа, такие как один, два и три, — это числа, выражающие количество объектов. Они отвечают на вопрос «сколько?». Порядковые номера, такие как первый, второй и третий, указывают порядок или размещение в серии. Они отвечают на вопрос «какая должность?». [24]
Системы счисления
Цифра — это символ, обозначающий число, а системы счисления — это системы представления . [25] Обычно они имеют ограниченное количество основных цифр, которые напрямую относятся к определенным числам. Система определяет, как эти основные цифры могут быть объединены для выражения любого числа. [26] Системы счисления бывают позиционными и непозиционными. Все ранние системы счисления были непозиционными. [27] Для непозиционных систем счисления значение цифры не зависит от ее положения в числительном. [28]
Простейшей непозиционной системой счисления является унарная система счисления . Он основан на одном символе числа 1. Все более высокие числа записываются путем повторения этого символа. Например, число 7 можно представить, повторив символ 1 семь раз. Эта система затрудняет запись больших чисел, поэтому многие непозиционные системы включают дополнительные символы для непосредственного представления больших чисел. [29] Вариации унарной системы счисления используются в счетных палочках с вмятинами и в счетных метках . [30]
Египетские иероглифы имели более сложную непозиционную систему счисления . У них есть дополнительные символы для чисел, таких как 10, 100, 1000 и 10 000. Эти символы можно объединить в сумму для более удобного выражения больших чисел. Например, в цифре 10 405 один раз используется символ 10 000, четыре раза — символ 100 и пять раз — символ 1. Похожая известная структура — это римская система счисления . В качестве основных цифр для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются символы I, V, X, L, C, D, M. [32]
Система счисления является позиционной, если положение основного числительного в сложном выражении определяет его значение. Позиционные системы счисления имеют систему счисления , которая действует как множимое различных позиций. Для каждой последующей позиции основание системы счисления возводится в более высокую степень. В общей десятичной системе, также называемой индуистско-арабской системой счисления , основание равно 10. Это означает, что первая цифра умножается на , следующая цифра умножается на и так далее. Например, десятичная цифра 532 означает . Из-за влияния положения цифр цифра 532 отличается от цифр 325 и 253, хотя цифры у них одинаковые. [33]
Другая позиционная система счисления, широко используемая в компьютерной арифметике , — это двоичная система с основанием 2. Это означает, что первая цифра умножается на , следующая цифра на и так далее. Например, число 13 в двоичной записи записывается как 1101, что означает . В вычислительной технике каждая цифра в двоичной системе счисления соответствует одному биту . [34] Самая ранняя позиционная система была разработана древними вавилонянами и имела систему счисления 60. [35]
Арифметические операции
Арифметические операции — это способы объединения, преобразования или манипулирования числами. Это функции , которые имеют числа как на входе, так и на выходе. [36] Наиболее важными операциями в арифметике являются сложение , вычитание , умножение и деление . [37] Дальнейшие операции включают возведение в степень , извлечение корней и логарифмирование . [38] Если эти операции выполняются над переменными, а не над числами, их иногда называют алгебраическими операциями . [39]
Двумя важными понятиями, связанными с арифметическими операциями, являются тождественные элементы и обратные элементы. Элемент идентификации или нейтральный элемент операции не вызывает никаких изменений, если он применяется к другому элементу. Например, единичным элементом сложения является 0, поскольку любая сумма числа и 0 дает одно и то же число. Инверсный элемент — это элемент, который в результате объединения с другим элементом образует идентификационный элемент. Например, аддитивное обратное число 6 равно -6, поскольку их сумма равна 0. [40]
Существуют не только обратные элементы, но и обратные операции . В неформальном смысле одна операция является обратной другой операции, если она отменяет первую операцию. Например, вычитание является обратным сложению, поскольку число возвращается к исходному значению, если второе число сначала добавляется, а затем вычитается, как в . Более формально, операция " " является обратной операции " ", если она удовлетворяет следующему условию: тогда и только тогда, когда . [41]
Коммутативность и ассоциативность — это законы, определяющие порядок выполнения некоторых арифметических операций. Операция является коммутативной, если порядок аргументов можно изменить, не влияя на результат. Например, это касается сложения, то же самое, что и . Ассоциативность — это правило, влияющее на порядок выполнения ряда операций. Операция называется ассоциативной, если в серии из двух операций не имеет значения, какая операция выполняется первой. Это относится, например, к умножению, поскольку это то же самое, что и . [42]
Сложение и вычитание
Сложение и вычитание
Сложение — это арифметическая операция, при которой два числа, называемые слагаемыми, объединяются в одно число, называемое суммой. Символ сложения: . Примеры: и . [43] Термин суммирование используется, если несколько сложений выполняются подряд. Счет — это тип повторяющегося сложения, при котором непрерывно прибавляется число 1. [44]
Вычитание является обратным действием сложения. В нем одно число, называемое вычитаемым, вычитается из другого, называемого вычитаемым. Результат этой операции называется разницей. Символ вычитания — . [45] Примерами являются и . Вычитание часто рассматривают как частный случай сложения: вместо вычитания положительного числа можно прибавить и отрицательное число. Например . Это помогает упростить математические вычисления за счет уменьшения количества основных арифметических операций, необходимых для выполнения вычислений. [46]
Аддитивный единичный элемент равен 0, а аддитивное обратное число является отрицательным для этого числа. Например, и . Сложение бывает как коммутативным, так и ассоциативным. [47]
Умножение и деление
Умножение и деление
Умножение — это арифметическая операция, при которой два числа, называемые множителем и множимым, объединяются в одно число, называемое произведением. [48] [a] Символами умножения являются , , и *. Примеры: и . Если множимое является натуральным числом, то умножение аналогично повторному сложению, как в . [50]
Деление является обратным действием умножения. В нем одно число, известное как делимое, разбивается на несколько равных частей другим числом, называемым делителем. Результат этой операции называется фактором . Символами деления являются и . Примеры: и . [51] Деление часто рассматривается как частный случай умножения: вместо деления на число можно также умножить на обратное ему число . Обратное число равно 1, разделенному на это число. Например, . [52]
Мультипликативный единичный элемент равен 1, а мультипликативное обратное число является обратным этому числу. Например, и . Умножение бывает коммутативным и ассоциативным. [53]
Возведение в степень и логарифм
Возведение в степень и логарифм
Возведение в степень — это арифметическая операция, при которой число, известное как основание, возводится в степень другого числа, известного как показатель степени. Результат этой операции называется мощностью. Возведение в степень иногда выражается с помощью символа ^, но более распространенным способом является запись показателя степени в верхнем индексе сразу после основания. Примеры: и ^ . Если показатель степени является натуральным числом, то возведение в степень аналогично многократному умножению, как в . [54]
Корни — это особый тип возведения в степень с использованием дробного показателя. Например, квадратный корень из числа — это то же самое, что возведение числа в степень, а кубический корень из числа — это то же самое, что возведение числа в степень . Примеры: и . [55]
Логарифм является обратным возведению в степень. Логарифм числа по основанию — это показатель степени , до которого необходимо возвести, чтобы получить . Например, поскольку , логарифм по основанию 10 от 1000 равен 3. Логарифм по основанию обозначается как , или без круглых скобок, или даже без явного основания, когда основание можно понять из контекста. Итак, предыдущий пример можно записать . [56]
Возведение в степень и логарифм не имеют общих элементов тождества и обратных элементов, таких как сложение и умножение. Нейтральный элемент возведения в степень по отношению к показателю равен 1, как в . Однако возведение в степень не имеет общего единичного элемента, поскольку 1 не является нейтральным элементом для основания. [57] Возведение в степень и логарифм не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. [58]
Виды арифметики
В научной литературе обсуждаются различные типы арифметических систем. Они отличаются друг от друга в зависимости от того, с каким типом чисел они работают, какую систему счисления они используют для их представления и работают ли они с математическими объектами, отличными от чисел. [59]
Целочисленная арифметика
Целочисленная арифметика — это раздел арифметики, который занимается операцией с положительными и отрицательными целыми числами. [60] Простые операции с одной цифрой можно выполнять, следуя или запоминая таблицу, в которой представлены результаты всех возможных комбинаций, например таблицу сложения или таблицу умножения . Другими распространенными методами являются устный счет и подсчет пальцев . [61]
Для операций с числами, состоящими более чем из одной цифры, можно использовать различные методы для вычисления результата, используя несколько операций с одной цифрой подряд. Например, в методе сложения с переносами два числа пишутся одно над другим. Каждая пара цифр суммируется, начиная с самой правой цифры. Под ними пишется самая правая цифра суммы. Если сумма представляет собой двузначное число, то самая левая цифра, называемая «переносом», добавляется к следующей паре цифр слева. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будут добавлены все цифры. [62] Другими методами, используемыми для сложения целых чисел, являются метод числовой прямой , метод частичной суммы и метод компенсации. [63] Аналогичный метод используется для вычитания: он также начинается с самой правой цифры и использует «заимствование» или отрицательный перенос для столбца слева, если результат вычитания одной цифры отрицательный. [64]
Базовый метод целочисленного умножения предполагает многократное сложение . Например, произведение 3 × 4 можно вычислить как 3 + 3 + 3 + 3. [65] Распространенный метод умножения больших чисел называется длинным умножением . Этот метод начинается с записи множителя над множимым. Расчет начинается с умножения множителя только на самую правую цифру множимого и записи результата ниже, начиная с крайнего правого столбца. То же самое проделывается с каждой цифрой множимого и результат в каждом случае сдвигается на одну позицию влево. На последнем этапе все отдельные продукты складываются, чтобы получить общий продукт двух многозначных чисел. [66] Другими методами, используемыми для умножения, являются метод сетки и метод решетки . [67] Информатика заинтересована в алгоритмах умножения с низкой вычислительной сложностью , позволяющих эффективно умножать очень большие целые числа, таких как алгоритм Карацубы , алгоритм Шёнхаге-Штрассена и алгоритм Тума-Кука . [68] Распространенный метод деления называется длинным делением . Другие методы включают короткое деление и фрагментирование . [69]
Целочисленная арифметика не является замкнутой при делении. Это означает, что при делении одного целого числа на другое результат не всегда является целым числом. Например, 7 разделить на 2 — это не целое число, а 3,5. [70] Одним из способов гарантировать, что результат является целым числом, является округление результата до целого числа. Однако этот метод приводит к неточностям, поскольку исходное значение изменяется. [71] Другой метод состоит в том, чтобы выполнить деление только частично и сохранить остаток . Например, 7 разделить на 2 — это 3 с остатком 1. Этих трудностей можно избежать с помощью арифметики рациональных чисел, которая позволяет точно представлять дроби. [72]
Простой метод вычисления возведения в степень — многократное умножение. Например, возведение в степень 3 4 можно вычислить как 3 × 3 × 3 × 3. [73] Более эффективный метод, используемый для больших показателей, — это возведение в степень возведением в квадрат . Он разбивает вычисление на ряд операций возведения в квадрат. Например, возведение в степень 3 65 можно записать как (((((3 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 × 3 . Используя преимущества повторяющихся операций возведения в квадрат, потребуется всего 7 отдельных операций, а не 64 операции, необходимые для обычного повторного умножения. [74] Методы вычисления логарифмов включают ряд Тейлора и цепные дроби . [75] Целочисленная арифметика не замкнута относительно логарифма и возведения в степень с отрицательными показателями, а это означает, что результат этих операций не всегда является целым числом. [76]
Влиятельные теоремы в теории чисел включают фундаментальную теорему арифметики , теорему Евклида и последнюю теорему Ферма . [83] Согласно фундаментальной теореме арифметики, каждое целое число больше 1 является либо простым числом, либо может быть представлено как уникальное произведение простых чисел. Например, число 18 не является простым числом и может быть представлено как , все из которых являются простыми числами. Число 19 , напротив, является простым числом, не имеющим другой простой факторизации. [84] Теорема Евклида утверждает, что существует бесконечно много простых чисел. [85] Последняя теорема Ферма — это утверждение, что для решения уравнения не могут быть найдены положительные целые значения для , и , если оно больше . [86]
Арифметика рациональных чисел
Арифметика рациональных чисел — это раздел арифметики, который занимается манипулированием числами, которые можно выразить как отношение двух целых чисел. [87] Большинство арифметических операций над рациональными числами можно вычислить, выполнив серию целочисленных арифметических операций над числителями и знаменателями задействованных чисел. Если два рациональных числа имеют одинаковый знаменатель, то их можно сложить, сложив числители и сохранив общий знаменатель. Например, . Аналогичная процедура используется и для вычитания. Если у двух чисел разные знаменатели, их необходимо преобразовать, чтобы найти общий знаменатель. Этого можно достичь путем масштабирования первого числа со знаменателем второго числа и масштабирования второго числа со знаменателем первого числа. Например, . [88]
Два рациональных числа умножаются путем умножения их числителей и знаменателей соответственно, как в . Разделить одно рациональное число на другое можно, умножив первое число на обратное второму числу. Это означает, что числитель и знаменатель второго числа меняют положение. Например, . [89] В отличие от целочисленной арифметики, арифметика рациональных чисел замкнута относительно деления до тех пор, пока делитель не равен 0. [90]
И целочисленная арифметика, и арифметика рациональных чисел не замкнуты при возведении в степень и логарифме. [91] Одним из способов вычисления возведения в степень с дробным показателем является выполнение двух отдельных вычислений: одно возведение в степень с использованием числителя показателя степени, за которым следует извлечение корня n-й степени из результата на основе знаменателя показателя степени. Например, . Первую операцию можно выполнить, используя такие методы, как повторное умножение или возведение в степень возведением в квадрат. Один из способов получить приблизительный результат для второй операции — использовать метод Ньютона , который использует ряд шагов для постепенного уточнения первоначального предположения, пока оно не достигнет желаемого уровня точности. [92] Ряд Тейлора или метод цепной дроби можно использовать для вычисления логарифмов. [93]
Обозначение десятичной дроби — это особый способ представления рациональных чисел, знаменатель которых равен степени 10. Например, рациональные числа , и записываются как 0,1, 3,71 и 0,0044 в записи десятичной дроби. [94] Модифицированные версии методов вычисления целых чисел, такие как сложение с переносом и длинное умножение, могут применяться к вычислениям с десятичными дробями. [95] Не все рациональные числа имеют конечное представление в десятичной системе счисления. Например, рациональное число соответствует 0,333... с бесконечным числом троек. Сокращенное обозначение этого типа повторяющейся десятичной дроби — 0.3 . [96] Каждая повторяющаяся десятичная дробь выражает рациональное число. [19]
Арифметика действительных чисел
Арифметика действительных чисел — это раздел арифметики, который занимается манипулированием как рациональными, так и иррациональными числами. Иррациональные числа — это числа, которые нельзя выразить через дроби или повторяющиеся десятичные дроби, например, корень из 2 и π . [97] В отличие от арифметики рациональных чисел, арифметика действительных чисел замкнута при возведении в степень, если в качестве основы используется положительное число. То же самое верно и для логарифма положительных действительных чисел, если основание логарифма положительно, а не 1. [98]
Иррациональные числа представляют собой бесконечный неповторяющийся ряд десятичных цифр. Из-за этого часто не существует простого и точного способа выразить результаты арифметических операций, таких как или . [99] В тех случаях, когда абсолютная точность не требуется, проблема вычисления арифметических операций над действительными числами обычно решается путем усечения или округления. При усечении сохраняется определенное количество значащих цифр слева, а дополнительные цифры справа от последней значащей цифры удаляются. Например, число π имеет бесконечное количество цифр, начиная с 3,14159... . Если это число сократить до 4 значащих цифр, результат будет 3,141. Округление — это аналогичный процесс, при котором последняя значащая цифра увеличивается на единицу, если следующая цифра равна 5 или больше. Если следующая цифра меньше 5, последняя цифра остается прежней. Например, если число π округлить до 4 значащих цифр, результат будет 3,142, поскольку следующая цифра равна 5. [100] Эти методы необходимы для того, чтобы компьютеры могли эффективно выполнять вычисления с действительными числами. [101]
Очень большие и очень маленькие действительные числа часто выражаются с использованием нормализованной научной записи . В нем числа представлены с помощью так называемой мантиссы , умноженной на степень 10. Мантисса представляет собой цифру, за которой следует десятичная точка и последовательность цифр. Например, нормализованное экспоненциальное обозначение числа 8276000 равно, а число 0,00735 имеет нормализованное экспоненциальное обозначение . [102]
Распространенный метод, используемый компьютерами для аппроксимации арифметики действительных чисел, называется арифметикой с плавающей запятой . Он представляет действительные числа, аналогичные научным обозначениям, через три числа: мантиссу, основание и показатель степени. [103] Точность мантиссы ограничена количеством битов, выделенных для ее представления. Если в результате арифметической операции получается число, для которого требуется больше бит, чем доступно, компьютер округляет результат до ближайшего представимого числа. Это приводит к ошибкам округления . [104] Следствием такого поведения является то, что некоторые законы арифметики нарушаются арифметикой с плавающей запятой. Например, сложение чисел с плавающей запятой не является ассоциативным, поскольку вносимые ошибки округления могут зависеть от порядка сложения. Это означает, что результат иногда отличается от результата . [105] Самый распространенный технический стандарт, используемый для арифметики с плавающей запятой, называется IEEE 754 . Помимо прочего, он определяет, как представляются числа, как выполняются арифметические операции и округления, а также как обрабатываются ошибки и исключения. [106] В случаях, когда скорость вычислений не является ограничивающим фактором, можно использовать арифметику произвольной точности , для которой точность вычислений ограничивается только памятью компьютера. [107]
Использование инструмента
Формы арифметики также можно отличить по инструментам, используемым для выполнения вычислений, и включают в себя множество подходов, помимо регулярного использования ручки и бумаги. Ментальная арифметика опирается исключительно на разум без внешних инструментов. Вместо этого он использует визуализацию, запоминание и определенные методы вычислений для решения арифметических задач. [108] Одним из таких методов является метод компенсации, который заключается в изменении чисел, чтобы облегчить расчет, а затем в последующей корректировке результата. Например, вместо того, чтобы вычислять , вычисляют , что проще, поскольку используется круглое число. На следующем этапе к результату добавляются, чтобы компенсировать предыдущую настройку. [109] Ментальную арифметику часто преподают в начальной школе для тренировки числовых способностей учащихся. [110]
Человеческое тело также можно использовать в качестве арифметического инструмента. Маленьких детей часто знакомят с использованием рук при счете пальцев , чтобы научить их цифрам и простым вычислениям. В самой базовой форме количество вытянутых пальцев соответствует представленному количеству, а арифметические операции, такие как сложение и вычитание, выполняются путем вытягивания или втягивания пальцев. Эта система ограничена небольшими числами, в то время как более продвинутые системы используют другие подходы и для представления больших количеств. [111] Человеческий голос используется в качестве арифметического средства при устном счете. [112]
Метки представляют собой простую систему, основанную на внешних инструментах, отличных от тела. Он основан на штрихах, нарисованных на поверхности, или насечках на деревянной палочке, чтобы отслеживать количество. В некоторых формах меток штрихи располагаются группами по пять, чтобы их было легче читать. [113] Счеты — более совершенный инструмент для представления чисел и выполнения вычислений. Счеты обычно состоят из ряда стержней, на каждой из которых находится несколько бусин . Каждая бусина представляет собой количество, которое засчитывается, если бусину переместить от одного конца стержня к другому. Расчеты происходят путем изменения положения бусинок до тех пор, пока окончательный рисунок бусинок не покажет результат. [114]
Механические калькуляторы автоматизируют этот процесс. Они предоставляют пользователю некое устройство ввода для ввода чисел, поворачивая циферблаты или нажимая клавиши. Они включают в себя внутренний механизм, обычно состоящий из шестерен , рычагов и колес для выполнения вычислений и отображения результатов. [115] Для электронных калькуляторов и компьютеров эта процедура дополнительно уточняется путем замены механических компонентов электронными схемами , такими как процессоры , которые объединяют и преобразуют электрические сигналы для выполнения вычислений. [116]
Другие
Есть много других видов арифметики. Модульная арифметика оперирует конечным набором чисел. Если в результате операции получается число, выходящее за пределы этого конечного набора, то это число возвращается обратно в набор, подобно тому, как стрелки часов снова начинают сначала после завершения одного цикла. Число, при котором происходит эта регулировка, называется модулем. Например, обычные часы имеют модуль 12. В случае прибавления 4 к 9 это означает, что результатом будет не 13, а 1. Тот же принцип применим и к другим операциям, таким как вычитание, умножение и деление. [117]
Некоторые формы арифметики связаны с операциями, выполняемыми над математическими объектами, отличными от чисел. Интервальная арифметика описывает операции с интервалами . Интервалы можно использовать для представления диапазона значений, если точная величина неизвестна, например, из-за ошибок измерения . Интервальная арифметика включает в себя такие операции, как сложение и умножение интервалов, например и . [118] Она тесно связана с аффинной арифметикой , целью которой является получение более точных результатов путем выполнения вычислений над аффинными формами, а не над интервалами. Аффинная форма — это число вместе с погрешностями, которые описывают, как число может отклоняться от фактической величины. [119] Векторная арифметика и матричная арифметика описывают арифметические операции над векторами и матрицами , такие как сложение векторов и умножение матриц . [120]
Арифметические системы можно классифицировать в зависимости от системы счисления, на которой они основаны. Например, десятичная арифметика описывает арифметические операции в десятичной системе. Другими примерами являются двоичная арифметика, восьмеричная арифметика и шестнадцатеричная арифметика. [121]
Арифметика составных единиц описывает арифметические операции, выполняемые над величинами с составными единицами. Он включает в себя дополнительные операции для управления преобразованием между количествами отдельных единиц и составных единиц. Например, операция редукции используется для преобразования составного количества 1 час 90 минут в единичное количество 150 минут. [122]
Недиофантова арифметика — это арифметические системы, которые нарушают традиционную арифметическую интуицию и включают такие уравнения, как и . [123] Их можно использовать для представления некоторых реальных ситуаций в современной физике и повседневной жизни. Например, уравнение можно использовать для описания наблюдения: если одна капля дождя добавляется к другой капле дождя, они не остаются двумя отдельными объектами, а становятся одним целым. [124]
Аксиоматические основы
Аксиоматические основы арифметики пытаются предоставить небольшой набор законов, так называемых аксиом , из которых могут быть выведены все фундаментальные свойства чисел и операции над числами. Они представляют собой логически последовательные и систематические основы, которые можно использовать для строгой формулировки математических доказательств . Двумя хорошо известными подходами являются аксиомы Дедекинда – Пеано и теоретико-множественные конструкции. [125]
Аксиомы Дедекинда – Пеано обеспечивают аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Их основные принципы были впервые сформулированы Рихардом Дедекиндом , а позднее уточнены Джузеппе Пеано . Они полагаются лишь на небольшое количество примитивных математических понятий, таких как 0, натуральное число и преемник . [б] Аксиомы Пеано определяют, как эти понятия связаны друг с другом. Все остальные арифметические понятия затем могут быть определены в терминах этих примитивных понятий. [126]
0 – натуральное число.
У каждого натурального числа есть преемник, который также является натуральным числом.
Последователи двух разных натуральных чисел никогда не бывают идентичными.
0 не является преемником натурального числа.
Если набор содержит 0 и всех его преемников, то он содержит все натуральные числа. [127] [с]
Числа больше 0 выражаются повторным применением функции-преемника . Например, есть и есть . Арифметические операции можно определить как механизмы, влияющие на применение функции-преемника. Например, добавление к любому числу равнозначно применению функции-преемника два раза к этому числу. [128]
Различные аксиоматизации арифметики опираются на теорию множеств. Они охватывают натуральные числа, но также могут быть распространены на целые, рациональные и действительные числа. Каждое натуральное число представлено уникальным набором. 0 обычно определяется как пустое множество . Каждое последующее число можно определить как объединение предыдущего числа с множеством, содержащим предыдущее число. Например, , и . [129] Целые числа можно определить как упорядоченные пары натуральных чисел, где второе число вычитается из первого. Например, пара (9, 0) представляет число 9, а пара (0, 9) представляет число -9. [130] Рациональные числа определяются как пары целых чисел, где первое число представляет собой числитель, а второе число представляет собой знаменатель. Например, пара (3, 7) представляет рациональное число . [131] Один из способов построения действительных чисел основан на концепции дедекиндовых разрезов . Согласно этому подходу, каждое действительное число представляется разделением всех рациональных чисел на два набора: один для всех чисел ниже представленного действительного числа, а другой для остальных. [132] Арифметические операции определяются как функции, которые выполняют различные теоретико-множественные преобразования над множествами, представляющими входные числа, для получения набора, представляющего результат. [133]
История
Самые ранние формы арифметики иногда восходят к счету и счетным меткам , используемым для учета количества. Некоторые историки предполагают, что кость Лебомбо (датированная примерно 43 000 лет назад) и кость Ишанго (датированная примерно 22 000–30 000 лет назад) являются древнейшими арифметическими артефактами, но эта интерпретация оспаривается. [134] Однако базовое чувство числа могло предшествовать этим открытиям и могло даже существовать до развития языка. [135]
Лишь с появлением древних цивилизаций , начиная примерно с 3000 г. до н.э., начал развиваться более сложный и структурированный подход к арифметике. Это стало необходимым из-за возросшей необходимости отслеживать хранящиеся предметы, управлять землевладением и организовывать обмены. [136] Все основные древние цивилизации разработали непозиционные системы счисления для облегчения представления чисел. У них также были символы для таких операций, как сложение и вычитание, и они знали дроби. Примерами являются египетские иероглифы , а также системы счисления, изобретенные в Шумере , Китае и Индии . [137] Первая позиционная система счисления была разработана вавилонянами примерно в 1800 году до нашей эры. Это было значительным улучшением по сравнению с более ранними системами счисления, поскольку делало представление больших чисел и вычисления над ними более эффективными. [138] Счеты использовались в качестве ручных вычислительных инструментов с древних времен как эффективное средство для выполнения сложных вычислений. [139]
Ранние цивилизации в основном использовали числа для конкретных практических целей и не имели абстрактной концепции самого числа. [140] Ситуация изменилась с приходом древнегреческих математиков , которые начали исследовать абстрактную природу чисел, а не изучать, как они применяются к конкретным задачам. [141] Еще одной новой особенностью было использование доказательств для установления математических истин и проверки теорий. [142] Еще одним вкладом стало их различие различных классов чисел, таких как четные числа , нечетные числа и простые числа . [143] Это включало открытие того, что числа для определенных геометрических длин иррациональны и поэтому не могут быть выражены в виде дроби. [144] Работы Фалеса Милетского и Пифагора в VII и VI веках до нашей эры часто считаются началом греческой математики. [145] Диофант был влиятельной фигурой в греческой арифметике в III веке до нашей эры благодаря его многочисленным вкладам в теорию чисел и исследованию применения арифметических операций к алгебраическим уравнениям . [146]
Древние индийцы были первыми, кто разработал концепцию нуля как числа, используемого в вычислениях. Точные правила его работы были записаны Брахмагуптой примерно в 628 году нашей эры. [147] Понятие «ноль или ничего» существовало задолго до этого, но оно не считалось объектом арифметических операций. [148] Брахмагупта далее подробно обсудил вычисления с отрицательными числами и их применение к таким проблемам, как кредит и долг. [149] Сама концепция отрицательных чисел значительно старше и впервые была исследована в китайской математике в первом тысячелетии до нашей эры. [150]
Индийские математики также разработали позиционную десятичную систему, используемую сегодня, в частности концепцию нулевой цифры вместо пустых/отсутствующих позиций. Например, подробное описание его деятельности было предоставлено Арьябхатой примерно на рубеже VI века нашей эры. [151] Индийская десятичная система была дополнительно усовершенствована и расширена до нецелых чисел во время Золотого века ислама арабскими математиками, такими как Аль-Хорезми . Его работа оказала влияние на внедрение десятичной системы счисления в западный мир, который в то время опирался на римскую систему счисления . [152] Там она была популяризирована такими математиками, как Леонардо Фибоначчи , который жил в 12 и 13 веках и также разработал последовательность Фибоначчи . [153] В средние века и эпоху Возрождения было опубликовано множество популярных учебников, посвященных практическим расчетам в торговле. В этот период также стало широко распространено использование счетов. [154] В 16 веке математик Джероламо Кардано задумал концепцию комплексных чисел как способ решения кубических уравнений . [155]
В XVIII и XIX веках такие математики, как Леонард Эйлер и Карл Фридрих Гаусс, заложили основы современной теории чисел. [159] Еще одно событие этого периода касалось работ по формализации и основам арифметики, таких как теория множеств Георга Кантора и аксиомы Дедекинда-Пеано , используемые в качестве аксиоматизации арифметики натуральных чисел. [160] Компьютеры и электронные калькуляторы были впервые разработаны в 20 веке. Их широкое использование произвело революцию как в точности, так и в скорости, с которой могут быть выполнены даже сложные арифметические вычисления. [161]
В различных областях
Образование
Обучение арифметике является частью начального образования . Это одна из первых форм математического образования , с которой сталкиваются дети. Цель элементарной арифметики — дать учащимся базовое представление о числах и познакомить их с фундаментальными числовыми операциями, такими как сложение, вычитание, умножение и деление. [162] Обычно его вводят в отношении конкретных сценариев, таких как подсчет бусин , разделение класса на группы детей одинакового размера и расчет сдачи при покупке товаров. Обычными инструментами раннего обучения арифметике являются числовые линии , таблицы сложения и умножения, а также счетные блоки . [163]
На более поздних стадиях основное внимание уделяется более абстрактному пониманию. Они знакомят учащихся с различными типами чисел, такими как отрицательные числа, дроби, действительные числа и комплексные числа. Кроме того, они охватывают более сложные числовые операции, такие как возведение в степень, извлечение корней и логарифм. [164] Они также показывают, как арифметические операции используются в других разделах математики, например, их применение для описания геометрических фигур и использование переменных в алгебре. Другой аспект — научить учащихся использовать алгоритмы и калькуляторы для решения сложных арифметических задач. [165]
Психология
Психология арифметики интересуется тем, как люди и животные изучают числа, представляют их и используют для вычислений . Он исследует, как понимаются и решаются математические задачи и как арифметические способности связаны с восприятием , памятью , суждением и принятием решений . [166] Например, он исследует, как наборы конкретных предметов впервые встречаются в восприятии и впоследствии ассоциируются с числами. [167] Еще одна область исследований касается связи между численными расчетами и использованием языка для формирования представлений. [168] Психология также исследует биологическое происхождение арифметики как врожденной способности. Это касается довербальных и досимволических когнитивных процессов, реализующих арифметические операции, необходимые для успешного представления мира и выполнения таких задач, как пространственная навигация. [169]
Одним из понятий, изучаемых психологией, является умение считать , то есть способность понимать числовые понятия, применять их к конкретным ситуациям и рассуждать с их помощью. Оно включает в себя фундаментальное чувство чисел, а также способность оценивать и сравнивать количества. Кроме того, он включает в себя способности символически представлять числа в системах счисления, интерпретировать числовые данные и оценивать арифметические вычисления. [170] Умение считать является ключевым навыком во многих академических областях. Отсутствие навыков счета может препятствовать успеху в учебе и привести к принятию плохих экономических решений в повседневной жизни, например, из-за неправильного понимания планов ипотеки и страховых полисов . [171]
Философия
Философия арифметики изучает фундаментальные концепции и принципы, лежащие в основе чисел и арифметических операций. Он исследует природу и онтологический статус чисел, связь арифметики с языком и логикой , а также способы приобретения арифметических знаний . [172]
Согласно платонизму , числа существуют независимо от разума: они существуют как абстрактные объекты вне пространства-времени и без причинных сил. [173] Эта точка зрения отвергается интуиционистами , которые утверждают, что математические объекты являются мысленными конструкциями. [174] Дальнейшими теориями являются логицизм , который утверждает, что математические истины сводятся к логическим истинам , [175] и формализм , который утверждает, что математические принципы являются правилами того, как манипулируют символами, не утверждая, что они соответствуют сущностям вне деятельности, управляемой правилами. . [176]
Традиционно доминирующая точка зрения в эпистемологии арифметики состоит в том, что арифметические истины познаваемы априорно . Это означает, что их можно познать только путем мышления, без необходимости полагаться на чувственный опыт . [177] Некоторые сторонники этой точки зрения заявляют, что арифметические знания являются врожденными, в то время как другие утверждают, что существует некая форма рациональной интуиции , с помощью которой могут быть постигнуты математические истины. [178] Более поздняя альтернативная точка зрения была предложена философами- натуралистами , такими как Уиллард Ван Орман Куайн , которые утверждают, что математические принципы являются обобщениями высокого уровня, которые в конечном итоге основаны на чувственном мире, описанном эмпирическими науками. [179]
Другие
Арифметика актуальна для многих областей. В повседневной жизни требуется рассчитывать сдачу при покупках, управлять личными финансами , корректировать рецепт приготовления на разное количество порций. Предприятия используют арифметику для расчета прибылей и убытков и анализа рыночных тенденций . В области машиностроения его используют для измерения величин, расчета нагрузок и сил, а также проектирования конструкций. [180] Криптография опирается на арифметические операции для защиты конфиденциальной информации путем шифрования данных и сообщений. [181]
Арифметические операции лежат в основе многих разделов математики, таких как алгебра , исчисление и статистика . Через них влияние арифметики распространяется на большинство наук, таких как физика , информатика и экономика . Эти операции используются в расчетах, решении проблем , анализе данных и алгоритмах, что делает их неотъемлемой частью научных исследований, технологических разработок и экономического моделирования. [182]
^ Некоторые авторы используют другую терминологию и называют первое число множимым, а второе число - множителем. [49]
^ Преемником натурального числа является число, идущее после него. Например, 4 является преемником 3.
^ Существуют разные версии точной формулировки и количества аксиом. Например, некоторые формулировки начинаются с 1 вместо 0 в первой аксиоме.
Цитаты
^
Романовский 2008, стр. 302–303.
Персонал ХК 2022b
Персонал МВ 2023
Сотрудники МЭМ 2020a
^
Сотрудники МЭМ 2020a
Бургин 2022, стр. 57, 77.
Адамович 1994, с. 299
^
Пирс 2015, с. 109
Уэйт 2013, с. 42
Смит 1958, с. 7
^
Оливер 2005, с. 58
Хофвебер 2016, с. 153
^
Романовский 2008, стр. 302–303.
Персонал ХК 2022b
Персонал МВ 2023
Сотрудники МЭМ 2020a
^ Софиан 2017, с. 84.
^
Сотрудники МЭМ 2020a
Стивенсон и Уэйт 2011, с. 70
Романовский 2008, стр. 303–304.
^
Лозано-Робледо 2019, с. xiii
Нагель и Ньюман 2008, с. 4
^
Уилсон 2020, стр. 1–2.
Сотрудники МЭМ 2020b
Кэмпбелл 2012, с. 33
Роббинс 2006, с. 1
^
Дюверни 2010, с. в
Роббинс 2006, с. 1
^
Массер, Петерсон и Бургер 2013, с. 17
Кляйнер 2012, с. 255
Маркус и МакЭвой, 2016, с. 285
Монахан 2012
^
Романовский 2008, стр. 302–304.
Хаттар 2010, стр. 1–2.
Наков и Колев 2013, стр. 270–271.
^
Нагель 2002, стр. 180–181.
Людерер, Ноллау и Веттерс 2013, с. 9
Хаттар 2010, стр. 1–2.
^
Романовский 2008, с. 304
Нагель 2002, стр. 180–181.
Хиндри 2011, с. Икс
Сотрудники МЭМ 2016 г.
^
Раджан 2022, с. 17
Хафстрем 2013, с. 6
^
Романовский 2008, с. 304
Нагель 2002, стр. 180–181.
Хиндри 2011, с. Икс
Хафстрем 2013, с. 95
^
Романовский 2008, с. 304
Нагель 2002, стр. 180–181.
Хиндри 2011, с. Икс
Хафстрем 2013, с. 123
^
Геллерт и др. 2012, с. 33
^ ab Musser, Peterson & Burger 2013, с. 358.
^
Романовский 2008, с. 304
Нагель 2002, стр. 180–181.
Хиндри 2011, с. Икс
^
Массер, Петерсон и Бургер, 2013, стр. 358–359.
Руни 2021, с. 34
^
Романовский 2008, с. 304
Хиндри 2011, с. Икс
^
Хиндри 2011, с. Икс
Уорд 2012, с. 55
^
Орр 1995, с. 49
Нельсон 2019, с. xxxi
^
Руда 1948, стр. 1–2.
Персонал ХК 2022
Персонал ХК 2022а
^
Руда 1948, стр. 8–10.
Наков и Колев 2013, стр. 270–272.
^
Стахов 2020, с. 73
Наков и Колев 2013, стр. 271–272.
Йена, 2021 г., стр. 17–18.
^
Наков и Колев 2013, стр. 271–272.
Йена, 2021 г., стр. 17–18.
^
Руда 1948, стр. 8–10.
Мазумдер и Эбонг, 2023 г., стр. 18–19.
Монкайо 2018, с. 25
^
Руда 1948, с. 8
Мазумдер и Эбонг 2023, с. 18
^ Руда 1948, с. 10.
^
Руда 1948, стр. 8–10.
Мазумдер и Эбонг, 2023 г., стр. 18–19.
Стахов 2020, стр. 77–78.
^
Романовский 2008, с. 303
Ян 2013, с. 261
ITL Education Solutions Limited, 2011 г., с. 28
Руда 1948, стр. 2–3.
Йена, 2021 г., стр. 17–18.
^
Нагель 2002, с. 178
Йена, 2021 г., стр. 20–21.
Нуль и Лобур 2006, с. 40
^ Стахов 2020, с. 74.
^
Нагель 2002, с. 179
Гуссерль и Уиллард 2012, стр. XLIV – XLV.
О'Лири 2015, с. 190
^
Райзинг и др. 2021, с. 110
Сотрудники МЭМ 2020a
Нагель 2002, стр. 177, 179–180.
^
Сотрудники МЭМ 2020a
Бургин 2022, стр. 57, 77.
Адамович 1994, с. 299
Нагель 2002, стр. 177, 179–180.
^
Хан и Грэм, 2018 г., стр. 9–10.
Смит 1864, с. 55
^
Тарасов 2008, стр. 57–58.
Маццола, Милмейстер и Вайсманн, 2004, с. 66
Кренн и Лорюнсер 2023, с. 8
^
Кей, 2021 г., стр. 44–45.
Райт, Эллемор-Коллинз и Табор, 2011, стр. 136
^
Кренн и Лорюнсер 2023, с. 8
Маццола, Милмейстер и Вайсманн, 2004, с. 66
^
Массер, Петерсон и Бургер 2013, с. 87
Романовский 2008, с. 303
^ Бургин 2022, с. 25.
^
Романовский 2008, с. 303
Массер, Петерсон и Бургер, 2013, стр. 93–94.
Кей, 2021 г., стр. 44–45.
Райт, Эллемор-Коллинз и Табор, 2011, стр. 136
^
Пшеница 2015, с. 19
Райт, Эллемор-Коллинз и Табор, 2011, стр. 136–137.
Ахац и Андерсон 2005, с. 18
^
Маццола, Милмейстер и Вайсманн, 2004, с. 66
Романовский 2008, с. 303
Нагель 2002, стр. 179–180.
^
Романовский 2008, с. 303
Массер, Петерсон и Бургер, 2013, стр. 101–102.
^
Кавана 2017
Вайсштайн
^
Романовский 2008, с. 304
Райт, Эллемор-Коллинз и Табор, 2011, стр. 136
Массер, Петерсон и Бургер, 2013, стр. 101–102.
^
Романовский 2008, с. 303
Пшеница 2015, с. 19
Райт, Эллемор-Коллинз и Табор, 2011, стр. 136
^
Кей 2021, с. 117
Пшеница 2015, с. 19
Райт, Эллемор-Коллинз и Табор, 2011, стр. 136–137.
^
Маццола, Милмейстер и Вайсманн, 2004, с. 66
Романовский 2008, стр. 303–304.
Нагель 2002, стр. 179–180.
^
Массер, Петерсон и Бургер, 2013, стр. 117–118.
Кей, 2021 г., стр. 27–28.
^
Кей 2021, с. 118
Клозе 2014, с. 105
^
Кей, 2021 г., стр. 121–122.
Родда и Литтл 2015, с. 7
^
Кей 2021, с. 117
Маццола, Милмейстер и Вайсманн, 2004, с. 66
^
Салли и Салли (младшая) 2012, с. 3
Клозе 2014, стр. 107–108.
^
Нагель 2002, стр. 180–181.
Гупта 2019, с. 3
Ваккаро и Пепичелло, 2022 г., стр. 9–12.
Либлер 2018, с. 36
^
Романовский 2008, с. 304
Хиндри 2011, с. Икс
Хафстрем 2013, с. 95
^
Купферман 2015, стр. 45, 92.
Успенский и Семенов 2001, с. 113
Гири 2006, с. 796
^
Резник и Форд 2012, с. 110
Кляйн и др. 2010, стр. 67–68.
^
Кинтеро и Росарио 2016, с. 74
Эбби, Халберт и Бродхед, 2020, стр. 24–26.
^ Сперлинг и Стюарт 1981, стр. 7.
^ Сперлинг и Стюарт 1981, стр. 8.
^
Май 2020 г., стр. 35–36.
Сперлинг и Стюарт 1981, с. 9
^ Муни и др. 2014, с. 148.
^
Кляйн 2013, с. 249
Мюллер и др. 2018, с. 539
^ Дэвис, Гулдинг и Саггейт, 2017, стр. 11–12.
^ Хейлок и Кокберн 2008, с. 49.
^ Прата 2002, с. 138.
^ Кепф 2021, с. 49.
^ Гудштейн 2014, с. 33.
^
Кафаро, Эпикоко и Пулимено 2018, с. 7
Рейли 2009, с. 75
^
Кайт и др. 2008, с. 182
Махаджан 2010, стр. 66–69.
^
Кей 2021, с. 57
Кайт и др. 2008, с. 182
^
Сотрудники МЭМ 2016 г.
Григорьева 2018, стр. viii–ix.
Страница 2003, с. 15
^
Страница 2003, с. 34
Ян 2013, с. 12
^
Страница 2003, стр. 18–19, 34.
Сотрудники МНВ 2014a
^
Страница 2003, с. 34
Сотрудники МЭМ 2014 г.
^
Страница 2003, стр. 34–35.
Сотрудники МЭМ 2019 г.
^
Ян 2013, с. 12
Ян 2013а, с. 15
^
Сотрудники МЭМ 2016 г.
Кржижек, Сомер и Шолцова, 2021, стр. 23, 25, 37.
^
Кржижек, Сомер и Шолкова 2021, с. 23
Ризель 2012, с. 2
^
Сотрудники МЭМ 2016 г.
Кржижек, Сомер и Шолкова 2021, с. 25
^
Сотрудники МЭМ 2016 г.
Кржижек, Сомер и Шолкова 2021, с. 37
^
Геллерт и др. 2012, с. 30
Романовский 2008, с. 304
Хиндри 2011, с. Икс
Хафстрем 2013, с. 123
^
Геллерт и др. 2012, стр. 31–32.
Массер, Петерсон и Бургер 2013, с. 347
^ Геллерт и др. 2012, стр. 32–33.
^ Геллерт и др. 2012, с. 33.
^ Клозе 2014, с. 107.
^
Хоффман и Франкель 2018, стр. 161–162.
Ланге 2010, стр. 248–249.
Клозе 2014, стр. 105–107.
^
Кайт и др. 2008, с. 182
Махаджан 2010, стр. 66–69.
^
Геллерт и др. 2012, с. 33
Игараси и др. 2014, с. 18
^
Геллерт и др. 2012, с. 35
Букер и др. 2015, стр. 308–309.
^
Геллерт и др. 2012, с. 34
Игараси и др. 2014, с. 18
^
Массер, Петерсон и Бургер, 2013, стр. 358–359.
Персонал МЭМ 2020
Руни 2021, с. 34
Янг 2010, стр. 994–996.
^
Росси 2011, с. 101
Рейтано 2010, с. 42
Бронштейн и др. 2015, с. 2
^
Массер, Петерсон и Бургер, 2013, стр. 358–359.
Персонал МЭМ 2020
Руни 2021, с. 34
Янг 2010, стр. 994–996.
^
Уоллис 2013, стр. 20–21.
Янг 2010, стр. 996–997.
Молодой 2021, стр. 4–5.
^ Корен 2018, с. 71.
^
Уоллис 2013, с. 20
Роу, деФорест и Джамшиди, 2018, с. 24
^ Мюллер и др. 2009, стр. 13–16.
^
Корень 2018, с. 71
Мюллер и др. 2009, стр. 13–16.
Шварцландер 2017, с. 11.19
^
Стюарт 2022, с. 26
Мейер 2023, с. 234
^
Мюллер и др. 2009, с. 54
Брент и Циммерманн 2010, с. 79
Крайер 2014, с. 450
^ Даффи 2018, с. 1225.
^
Массер, Петерсон и Бургер 2013, с. 131
Вершаффель, Торбейнс и Де Смедт 2011, стр. 2177
^
Эмерсон и Бэбти 2014, с. 147
Массер, Петерсон и Бургер, 2013, стр. 131–132.
Вершаффель, Торбейнс и Де Смедт 2011, стр. 2177
^
Массер, Петерсон и Бургер 2013, с. 131
Вершаффель, Торбейнс и Де Смедт 2011, стр. 2177
^
Даукер 2019, с. 114
Берч, Гири и Кепке, 2015, с. 124
Отис 2024, стр. 15–19.
Гири 2006, с. 796
^
Отис 2024, стр. 15–19.
Гири 2006, с. 796
^
Руда 1948, с. 8
Мазумдер и Эбонг 2023, с. 18
^
Рейнольдс 2008, стр. 1–2.
Штернберг и Бен-Зеев 2012, стр. 95–96.
^
Локхарт 2017, стр. 136, 140–146.
О'Риган, 2012 г., стр. 24–25.
^
Хури и Ламот 2016, с. 2
Локхарт 2017, стр. 147–150.
Бургин 2022, стр. 119.
^
Лернер и Лернер 2008, стр. 2807–2808.
Уоллис 2011, стр. 303–304.
Кайзер и Гранада 2021, стр. 283–284.
^
Мур, Кирфотт и Клауд, 2009, стр. 10–11, 19.
Фарр, Джейкоб и Хамфрис 2023, с. 1057
^
Ваккаро и Пепичелло, 2022 г., стр. 9–11.
Чакраверти и Раут 2022, стр. 2–4, 39–40.
^
Либлер 2018, с. 36
Адхами и др. 2007, стр. 80–82, 98–102.
^
Шива 2018, стр. 3, 14.
Гупта 2019, с. 3
^ Бургин 2022, стр. 92–93.
^
Бургин 2022, стр. xviii–xx, xxiv, 137–138.
Каприо, Авени и Мукерджи, 2022, стр. 763–764.
^
Бургин 2022, с. 144
Каприо, Авени и Мукерджи, 2022, стр. 763–764.
Моряк, Росслер и Бургин 2023, стр. 226
^
Оливер 2005, с. 58
Сотрудники МЭМ 2020a
Плитка 2009, с. 243
^
Оливер 2005, с. 58
Феррейрос 2013, с. 251
Онгли и Кэри, 2013, стр. 24–25.
^
Оливер 2005, с. 58
Онгли и Кэри, 2013, стр. 24–25.
Тейлор 2012, с. 8
^
Онгли и Кэри, 2013, стр. 24–25.
Тейлор 2012, с. 8
^
Багария 2023, § 3. Теория трансфинитных ординалов и кардиналов
Каннингем 2016, стр. 83–84, 108.
^
Гамильтон и Ландин, 2018, с. 133
Багария 2023, § 5. Теория множеств как основа математики
^
Гамильтон и Ландин, 2018, стр. 157–158.
Багария 2023, § 5. Теория множеств как основа математики
^
Багария 2023, § 5. Теория множеств как основа математики
Гамильтон и Ландин, 2018, с. 252
^ Каннингем 2016, стр. 95–96.
^
Бургин 2022, стр. 2–3.
Руда 1948, стр. 1, 6, 8, 10.
Тиам и Рошон, 2019, с. 164
^
Бургин 2022, с. 3
Понтикорво, Шмбри и Миглино 2019, с. 33
^
Бургин, 2022 г., стр. 4–6.
Анг и Лам 2004, с. 170
^
Бургин 2022, стр. 5–7, 9–11.
Руда 1948, стр. 10–15.
Нагель 2002, с. 178
Хиндри 2011, с. ix
^
Бургин 2022, стр. 6–7, 9.
Руда 1948, стр. 16–18.
ITL Education Solutions Limited, 2011 г., с. 28
^
Руда 1948, с. 15
Ядин 2016, с. 24
^
Бургин 2022, стр. 4–5.
Браун 2010, с. 184
^
Бургин 2022, с. 15
Браун 2010, с. 184
Романовский 2008, с. 303
Нагель 2002, с. 178
^
Бургин 2022, с. 15
Мэдден и Обри 2017, с. XVII
^
Бургин 2022, с. 31
Пейн 2017, с. 202
^
Бургин 2022, стр. 20–21, 34.
Блох 2011, с. 52
^
Бургин 2022, с. 16
Лютцен 2023, с. 19
^
Бургин 2022, стр. 29–31.
Кляйн 2013а, с. 12
^
Бургин 2022, стр. 36–37.
Брэдли 2006, стр. 82–83.
Конради и Горанко 2015, с. 268
^
Бургин 2022, стр. 35–36.
Цай 2023, с. 110
^
Бургин 2022, стр. 37, 40.
Брэдли 2006, стр. 82–83.
Конради и Горанко 2015, с. 268
^
Хуа и Фэн 2020, стр. 119–120.
Чемла, Келлер и Пруст 2023, с. 47
^
Бургин 2022, стр. 13, 34.
Конради и Горанко 2015, с. 268
^
Бургин 2022, стр. 38, 43–46.
Конради и Горанко 2015, с. 268
^
Бургин 2022, с. 56
Оукс 2020, с. 330
^
Бургин 2022, с. 55
Веделл 2015, стр. 1235–1236.
^
Бургин 2022, с. 62
Лютцен 2023, с. 124
^ Вулло 2020, с. 140.
^
Чиньони и Коссу 2016, с. 103
Кетсер 2018, с. 255
Игараси и др. 2014, стр. 87–89.
^
Бургин 2022, с. 77
Эрикссон, Эстеп и Джонсон, 2013, с. 474
^
Бургин 2022, стр. 68–72.
Вейль 2009, с. ix
Карлссон 2011, с. 309
^
Бургин 2022, стр. 2, 88, 95–97.
Ван 1997, с. 334
^
Бургин 2022, стр. 119, 124.
Керли 2011, стр. 5, 19.
Игараси и др. 2014, с. 149
^
Сотрудники НКТМ
Массер, Петерсон и Бургер, 2013 г., Координаторы учебной программы по математике от дошкольного возраста до 8 класса, с. 44, с. 130
Одом, Барбарин и Васик 2009, с. 589
^
Ласки и др. 2015, стр. 1–3.
Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 59, 90–91, 93–94, 106–108.
Нюрнбергер-Хааг 2017, с. 215
^
Сотрудники НКТМ
Массер, Петерсон и Бургер, 2013, Координаторы учебной программы по математике от дошкольного возраста до 8 класса, стр. 208, 304, 340, 362.
^
Сотрудники НКТМ
Массер, Петерсон и Бургер, 2013 г., Координаторы учебной программы по математике от дошкольного возраста до 8 класса.
Каррахер и Шлиман 2015, с. 197
Рутвен 2012, стр. 435, 443–444.
^
Де Круз, Нет и Шлимм, 2010, стр. 59–60.
Грайс и др. 2023, Аннотация
^ Де Круз, Нет и Шлимм 2010, стр. 60–62.
^ Де Круз, Нет и Шлимм 2010, стр. 63.
^ Грайс и др. 2023, Аннотация.
^
Сотрудники Департамента образования штата Виктория, 2023 г.
Аскью 2010, стр. 33–34.
Дребен-Иримия 2010, с. 102
^
Сотрудники Департамента образования штата Виктория, 2023 г.
Барнс, Райс и Ханох, 2017, с. 196
Джерарди, Гетте и Мейер, 2013, стр. 11267–11268.
Джексон 2008, с. 152
^
Хофвебер 2016, стр. 153–154, 162–163.
Оливер 2005, с. 58
Серпинская и Лерман 1996, с. 827
^
Оливер 2005, с. 58
Хорстен 2023, § 3. Платонизм
^ Хорстен 2023, § 2.2 Интуиционизм.
^
Хорстен 2023, § 2.1 Логизм
Хофвебер 2016, стр. 174–175.
^ Weir 2022, Ведущий раздел.
^
Оливер 2005, с. 58
Серпинская и Лерман 1996, с. 830
^
Оливер 2005, с. 58
Серпинская и Лерман 1996, стр. 827–876.
^
Хорстен 2023, § 3.2 Натурализм и незаменимость
Серпинская и Лерман 1996, с. 830
^
Локхарт 2017, стр. 1–2.
Птица 2021, с. 3
Обри 1999, с. 49
^
Омонди 2020, с. viii
Паар и Пельцль 2009, с. 13
^
Галлистел и Гельман, 2005, стр. 559–560.
Али Рахман и др. 2017, стр. 373–374.
Li & Schoenfeld 2019, Аннотация, Введение
Асано 2013, стр. xiii–xv.
Источники
Ахац, Томас; Андерсон, Джон Г. (2005). Технический цех Математика. ISBN Industrial Press Inc. 978-0-8311-3086-2.
Адамович, Зофия (1994). «Сила возведения в степень в арифметике». У Джозефа, Энтони; Миньо, Фульбер; Мюрат, Франсуа; Прум, Бернар; Рентшлер, Рудольф (ред.). Первый Европейский математический конгресс: Париж, 6–10 июля 1992 г. Том I, приглашенные лекции (Часть 1) . Биркхойзер. стр. 299–320. дои : 10.1007/978-3-0348-9110-3_9. ISBN 978-3-0348-9110-3.
Адхами, Реза; Минен, Питер М.; Минен, Питер; Хайт, Денис (2007). Фундаментальные концепции электротехники и вычислительной техники с практическими задачами проектирования. Универсал-Издательство. ISBN 978-1-58112-971-7.
Али Рахман, Эрна Сукинна; Шахрилл, Масита; Аббас, Нор Арифахвати; Тан, Эбби (2017). «Развитие математических навыков учащихся с учетом порядка действий». Международный журнал исследований в области образования и науки : 373. doi : 10.21890/ijres.327896 (неактивен 23 января 2024 г.).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of January 2024 (link)
Анг, Тянь Се; Лам, Лэй Йонг (2004). Мимолетные шаги: прослеживание концепции арифметики и алгебры в древнем Китае (пересмотренное издание). Всемирная научная. ISBN 978-981-4483-60-5.
Асано, Акихито (2013). Введение в математику для экономики . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-00760-4.
Аскью, Майк (2010). «Это не (просто) то, что вы делаете: эффективные учителя счета». В Яне, Томпсоне (ред.). Проблемы преподавания счета в начальной школе . McGraw-Hill Education (Великобритания). ISBN 978-0-335-24153-8.
Обри, Кэрол (1999). Развивающий подход к раннему чтению: помощь в повышении достижений детей и преодолении трудностей в обучении. А&С Черный. ISBN 978-1-4411-9164-9.
Багария, Джоан (2023). «Теория множеств». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 19 ноября 2023 г.
Барнс, Эндрю Дж.; Райс, Томас; Ханох, Янив (2017). «Использование поведенческой экономики для улучшения решений людей о покупке медицинской страховки». В Ханохе Янив; Барнс, Эндрю; Райс, Томас (ред.). Поведенческая экономика и здоровое поведение: ключевые концепции и текущие исследования . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-317-26952-6.
Берч, Дэниел Б.; Гири, Дэвид С.; Кепке, Кэтлин Манн (3 октября 2015 г.). Развитие математического познания: нейронные субстраты и генетические влияния. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-801909-2.
Берд, Джон (2021). Инженерная математика Берда . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-367-64378-2.
Блох, Итан Д. (2011). Реальные цифры и реальный анализ. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-72177-4.
Букер, Джордж; Бонд, Дениз; Воробей, Лен; Лебедь, Пол (2015). Преподавание начальной математики. Пирсон Высшее образование, Австралия. ISBN 978-1-4860-0488-1.
Брэдли, Майкл Дж. (2006). Рождение математики: от древности до 1300 года . Издательство информационной базы. ISBN 978-0-7910-9723-6.
Брент, Ричард П.; Циммерманн, Пол (2010). Современная компьютерная арифметика. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-49228-7.
Бронштейн И.Н.; Семендяев К.А.; Мусиоль, Герхард; Мюлиг, Хайнер (2015). Справочник по математике. Спрингер. ISBN 978-3-662-46221-8.
Браун, Дэвид (2010). «Измерение времени и расстояния на небесах над Месопотамией с краткими ссылками на другие древние астральные науки». В Морли, Иэн; Ренфрю, Колин (ред.). Археология измерения: понимание неба, земли и времени в древних обществах . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-11990-0.
Бургин, Марк (2022). Трилогия чисел и арифметики - Книга 1: История чисел и арифметики: информационная перспектива. Всемирная научная. ISBN 978-981-12-3685-3.
Кафаро, Массимо; Эпикоко, Итало; Пулимено, Марко (2018). «Методы разработки алгоритмов биоинформатики». Энциклопедия биоинформатики и вычислительной биологии: Азбука биоинформатики . Эльзевир. ISBN 978-0-12-811432-2.
Цай, Тяньсинь (2023 г.). Краткая история математики: прогулка по цивилизациям нашего мира. Спрингер Природа. ISBN 978-3-031-26841-0.
Кэмпбелл, Стивен Р. (2012). «Понимание элементарной теории чисел применительно к арифметике и алгебре». В Зазкисе, Рина; Кэмпбелл, Стивен Р. (ред.). Теория чисел в математическом образовании: перспективы и перспективы . Рутледж. ISBN 978-1-136-50143-2.
Каприо, Микеле; Авени, Андреа; Мукерджи, Саян (2022). «О трех классах недиофантовой арифметики». Involve, Математический журнал . 15 (5): 763–774. arXiv : 2102.04197 . doi : 10.2140/involve.2022.15.763. S2CID 231847291.
Каррахер, Дэвид В.; Шлиман, Аналюсия Д. (2015). «Мощные идеи по математике в начальной школе». На английском языке: Лин Д.; Киршнер, Дэвид (ред.). Справочник международных исследований в области математического образования . Рутледж. ISBN 978-1-134-62664-9.
Кавана, Джозеф (19 декабря 2017 г.). «6. Умножение с фиксированной точкой» . Основы компьютерной арифметики и Verilog HDL . ЦРК Пресс. ISBN 978-1-351-83411-7.
Чакраверти, Снехашиш; Рут, Саудамини (2022). Решение неопределенных статических и динамических задач на основе аффинной арифметики. Спрингер Природа. ISBN 978-3-031-02424-5.
Чемла, Карин; Келлер, Агата; Пруст, Кристина (2023). Культуры вычислений и количественной оценки в древнем мире: числа, измерения и операции в документах из Месопотамии, Китая и Южной Азии. Спрингер Природа. ISBN 978-3-030-98361-1.
Чиньони, Джоанни А.; Коссу, Джованни А. (2016). «Глобальный виртуальный музей информатики и технологий, идея проекта». В Татналле, Артур; Лесли, Кристофер (ред.). Международные сообщества изобретателей и инноваций: Международная конференция IFIP WG 9.7 по истории вычислений, ХК 2016, Бруклин, Нью-Йорк, США, 25–29 мая 2016 г., Пересмотренные избранные статьи . Спрингер. ISBN 978-3-319-49463-0.
Конради, Уиллем; Горанко, Валентин (2015). Логика и дискретная математика: краткое введение. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-118-76109-0.
Крайер, CW (2014). Математический учебник для инженеров. ИОС Пресс. ISBN 978-1-61499-299-8.
Каннингем, Дэниел В. (2016). Теория множеств: первый курс. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-316-68204-3.
Керли, Роберт (2011). Вычисления: от Abacus до iPad. Образовательное издательство Британника. ISBN 978-1-61530-707-4.
Кайт, Энни AM ; Петерсен, Вигдис; Вердонк, Бриджит; Вааделанд, Хокон; Джонс, Уильям Б. (2008). Справочник цепных дробей для специальных функций. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-6949-9.
Дэвис, Эндрю; Гулдинг, Мария; Саггейт, Дженнифер (2017). Математические знания для учителей начальных классов. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-317-21901-9.
Де Круз, Хелен; Нет, Хансйорг; Шлимм, Дирк (2010). «Когнитивные основы арифметики». В Лёве, Бенедикт; Мюллер, Томас (ред.). PhiMSAMP: Философия математики: социологические аспекты и математическая практика. Публикации колледжа. ISBN 978-1-904987-95-6.
Даукер, Энн (27 марта 2019 г.). Индивидуальные различия в арифметике: значение для психологии, нейронауки и образования. Рутледж. ISBN 978-1-317-62743-2.
Дребен-Иримия, Ольга (2010). Обучение пациентов в реабилитации. Издательство Джонс и Бартлетт. ISBN 978-1-4496-1775-2.
Даффи, Дэниел Дж. (2018). Оценка финансовых инструментов с использованием C++. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-119-17048-8.
Дюверни, Дэниел (2010). Теория чисел: элементарное введение через диофантовые проблемы. Всемирная научная. ISBN 978-981-4307-46-8.
Эбби, Кэролайн Б.; Халберт, Элизабет Т.; Бродхед, Рэйчел М. (2020). Акцент на сложении и вычитании: проведение исследований по математическому образованию в классе. Рутледж. ISBN 978-1-000-22087-2.
Эмерсон, Джейн; Бэбти, Патрисия (2014). Решение проблемы дискалькулии: обучение чувству числа. Издательство Блумсбери. ISBN 978-1-4729-2099-7.
Сотрудники МНВ (2020 г.). "Настоящий номер". Энциклопедия математики . Спрингер . Проверено 23 октября 2023 г.
Сотрудники МНВ (2020a). «Арифметика». Энциклопедия математики . Спрингер . Проверено 23 октября 2023 г.
Сотрудники МНВ (2020b). «Теория чисел». Энциклопедия математики . Спрингер . Проверено 23 октября 2023 г.
Сотрудники МН (2016 г.). "Натуральное число". Энциклопедия математики . Спрингер . Проверено 23 октября 2023 г.
Сотрудники МНВ (2014 г.). «Аналитическая теория чисел». Энциклопедия математики . Спрингер . Проверено 23 октября 2023 г.
Сотрудники МН (2019 г.). «Алгебраическая теория чисел». Энциклопедия математики . Спрингер . Проверено 23 октября 2023 г.
Сотрудники МНВ (2014a). «Элементарная теория чисел». Энциклопедия математики . Спрингер . Проверено 23 октября 2023 г.
Эрикссон, Кеннет; Эстеп, Дональд; Джонсон, Клаас (2013). Прикладная математика: Тело и душа: Том 2: Интегралы и геометрия в ИРн. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-05798-8.
Феррейрос, Хосе (2013). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике. Биркхойзер. ISBN 978-3-0348-5049-0.
Галлистел, Чехия; Гельман, Р. (2005). «Математическое познание». В Холиоке, Кей Джей; Моррисон, Р.Г. (ред.). Кембриджский справочник по мышлению и рассуждению . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-53101-6.
Гири, Дэвид К. (2006). «Развитие математического понимания». В Дэймоне, Уильям; Лернер, Ричард М.; Кун, Дина; Зиглер, Роберт С. (ред.). Справочник по детской психологии, познанию, восприятию и языку . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-05054-5.
Геллерт, В.; Хеллвич, М.; Кестнер, Х.; Кюстнер, Х. (2012). Краткая математическая энциклопедия ВНР. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-011-6982-0.
Джерарди, Кристофер; Гетте, Лоренц; Мейер, Стефан (2013). «Численные способности предсказывают дефолт по ипотеке». Труды Национальной академии наук . 110 (28): 11267–11271. Бибкод : 2013PNAS..11011267G. дои : 10.1073/pnas.1220568110 . ПМЦ 3710828 . ПМИД 23798401.
Гудштейн, Р.Л. (2014). Основные понятия математики. Эльзевир. ISBN 978-1-4831-5405-3.
Грайс, Мэтт; Кемп, Саймон; Мортон, Никола Дж.; Грейс, Рэндольф К. (2023). «Психологические леса арифметики». Психологический обзор . дои : 10.1037/rev0000431. PMID 37358523. S2CID 259251163.
Григорьева, Эллина (2018). Методы решения задач теории чисел. Биркхойзер. ISBN 978-3-319-90915-8.
Гупта, Раджеш Кумар (2019). Численные методы: основы и приложения. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-108-68660-0.
Хафстром, Джон Эдвард (2013). Основные понятия современной математики. Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-31627-7.
Гамильтон, Норман Т.; Ландин, Джозеф (2018). Теория множеств: структура арифметики. Публикации Courier Dover. ISBN 978-0-486-83047-6.
Хейлок, Дерек; Кокберн, Энн Д. (2008). Понимание математики для детей младшего возраста: руководство для учителей начальных классов и младших классов начальной школы. МУДРЕЦ. ISBN 978-1-4462-0497-9.
Сотрудники ХК (2022 г.). "Цифра". Словарь американского наследия . ХарперКоллинз . Проверено 11 ноября 2023 г.
Сотрудники ХК (2022а). «Система счисления». Словарь американского наследия . ХарперКоллинз . Проверено 11 ноября 2023 г.
Сотрудники ХК (2022б). «Арифметика». Словарь американского наследия . ХарперКоллинз . Проверено 19 октября 2023 г.
Хоффман, Джо Д.; Франкель, Стивен (2018). Численные методы для инженеров и ученых. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4822-7060-0.
Хофвебер, Томас (2016). «Философия арифметики». Онтология и амбиции метафизики. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-876983-5.
Хорстен, Леон (2023). «Философия математики». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 22 ноября 2023 г.
Хуа, Цзюэмин; Фэн, Лишэн (2020). Тридцать великих изобретений Китая: от земледелия до артемизинина. Спрингер Природа. ISBN 978-981-15-6525-0.
Гуссерль, Эдмунд; Уиллард, Даллас (2012). «Введение переводчика». Философия арифметики: психологические и логические исследования с дополнительными текстами 1887–1901 гг . Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-010-0060-4.
Игараси, Ёсихидэ; Альтман, Том; Фунада, Марико; Камияма, Барбара (2014). Вычисления: историческая и техническая перспектива. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4822-2741-3.
ITL Education Solutions Limited (2011 г.). Введение в информатику. Пирсон Образовательная Индия. ISBN 978-81-317-6030-7.
Джексон, Жанна М. (2008). «Чтение/запись соединения». Во Флиппо, Рона Ф. (ред.). Справочник по чтению в колледже и исследованию стратегии обучения . Рутледж. ISBN 978-1-135-70373-8.
Йена, Сисир Кумар (2021). Программирование на C: научитесь программировать. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-000-46056-8.
Кайзер, Сара С.; Гранад, Кристофер (2021). Изучите квантовые вычисления с помощью Python и Q#: практический подход. Саймон и Шустер. ISBN 978-1-61729-613-0.
Карлссон, Андерс (2011). «Применение тепловых ядер на абелевых группах». В Голдфельде, Дориан; Йоргенсон, Джей; Джонс, Питер; Рамакришнан, Динакар; Рибет, Кеннет; Тейт, Джон (ред.). Теория чисел, анализ и геометрия: памяти Сержа Ланга . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4614-1259-5.
Кей, Энтони (2021). Системы счисления: путь к строгой математике. ЦРК Пресс. ISBN 978-0-429-60776-9.
Хан, Халид; Грэм, Тони Ли (2018). Инженерная математика с приложениями к пожарной технике. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-351-59761-6.
Хаттар, Динеш (2010). Руководство Пирсона по объективной арифметике для конкурсных экзаменов, 3/E. Пирсон Образовательная Индия. ISBN 978-81-317-2673-0.
Хури, Джозеф; Ламот, Жиль (12 мая 2016 г.). Математика, которая питает наш мир: как она устроена? Всемирная научная. ISBN 978-981-4730-86-0.
Кляйн, Элиза; Мёллер, Корбиниан; Дрессел, Катарина; Домас, Фрэнк; Вуд, Гильерме; Уиллмс, Клаус; Нуерк, Ханс-Кристоф (2010). «Нести или не нести - в этом вопрос? Распутывание эффекта переноса при сложении многозначных чисел». Акта Психологика . 135 (1): 67–76. дои : 10.1016/j.actpsy.2010.06.002 . ПМИД 20580340.
Кляйн, Андреас (2013). Потоковые шифры. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4471-5079-4.
Кляйн, Джейкоб (2013a). Греческая математическая мысль и происхождение алгебры. Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-31981-0.
Кляйнер, Израиль (2012). Экскурсии в историю математики. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-8268-2.
Клозе, Орвал М. (2014). Системы счисления и арифметические операции: объяснение основных принципов математики, лежащих в основе понимания и использования арифметики, предназначено для повышения квалификации кандидатов в учителя начальной школы. Сервисное обучение кандидатов в учителя начальной школы. Эльзевир. ISBN 978-1-4831-3709-4.
Коэтсьер, Теун (2018). Восхождение GIM, глобальной интеллектуальной машины: история производства и информационных машин. Спрингер. ISBN 978-3-319-96547-5.
Корен, Израиль (2018). Компьютерные арифметические алгоритмы. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4398-6371-8.
Кренн, Стефан; Лорюнсер, Томас (2023). Введение в обмен секретами: систематический обзор и руководство по выбору протокола. Спрингер Природа. ISBN 978-3-031-28161-7.
Купферман, Раз (2015). Математика начальной школы для родителей и учителей - Том 1. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4699-93-8.
Кржижек, Михал; Сомер, Лоуренс; Шолцова, Алена (2021). От великих открытий в теории чисел к приложениям. Спрингер Природа. ISBN 978-3-030-83899-7.
Ланге, Кеннет (2010). Численный анализ для статистиков. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-5944-7.
Ласки, Элида В.; Джордан, Джамила Р.; Дауст, Кэролайн; Мюррей, Анджела К. (2015). «Что делает математические манипуляции эффективными? Уроки когнитивной науки и образования Монтессори». СЕЙДЖ Открыть . 5 (2). дои : 10.1177/2158244015589588 . hdl : 1808/20642 . S2CID 11722953.
Лернер, Бренда Уилмот; Лернер, К. Ли, ред. (2008). «Модульная арифметика». Научная энциклопедия Гейла (4-е изд.). Томпсон Гейл. ISBN 978-1-4144-2877-2.
Ли, Йепин; Шенфельд, Алан Х. (2019). «Проблематизация преподавания и изучения математики как данности в STEM-образовании». Международный журнал STEM-образования . 6 (1). дои : 10.1186/s40594-019-0197-9 .
Либлер, Роберт А. (2018). Базовая матричная алгебра с алгоритмами и приложениями. ЦРК Пресс. ISBN 978-0-429-85287-9.
Локхарт, Пол (2017). Арифметика . Издательство Belknap Press издательства Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-97223-0.
Лосано-Робледо, Альваро (2019). Теория чисел и геометрия: введение в арифметическую геометрию. Американское математическое соц. ISBN 978-1-4704-5016-8.
Людерер, Бернд; Ноллау, Волкер; Веттерс, Клаус (2013). Математические формулы для экономистов. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-12431-4.
Лютцен, Йеспер (2023). История математической невозможности. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-286739-1.
Ма, Липинг (2020). Знание и преподавание элементарной математики: понимание учителями фундаментальной математики в Китае и США. Рутледж. ISBN 978-1-000-02734-1.
Мэдден, Дэниел Дж.; Обри, Джейсон А. (2017). Введение в доказательство посредством реального анализа. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-119-31472-1.
Махаджан, Санджой (2010). Математика уличных боев: искусство обоснованного угадывания и оппортунистического решения проблем. МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-26559-1.
Маркус, Рассел; МакЭвой, Марк (2016). Историческое введение в философию математики: читатель. Издательство Блумсбери. ISBN 978-1-4725-3291-6.
Мазумдер, Пинаки; Эбонг, Идонгесит Э. (2023). Лекции по принципам цифрового дизайна. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-000-92194-6.
Маццола, Гуэрино; Мильмейстер, Жерар; Вайсманн, Джоди (2004). Комплексная математика для компьютерщиков 1: множества и числа, графики и алгебра, логика и машины, линейная геометрия. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-20835-8.
Мейер, Карл Д. (2023). Матричный анализ и прикладная линейная алгебра: второе издание. СИАМ. ISBN 978-1-61197-744-8.
Монахан, Джон Ф. (2012). «2. Основные вычислительные алгоритмы». В «Нежности», Джеймс Э.; Хердле, Вольфганг Карл; Мори, Юичи (ред.). Справочник по вычислительной статистике: концепции и методы . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-21551-3.
Монкайо, Рауль (2018). Лаланг, Sinthome, Jouissance и номинация: помощник по чтению и комментарий к XXIII семинару Лакана о Sinthome. Рутледж. ISBN 978-0-429-91554-3.
Муни, Клэр; Бриггс, Мэри; Хансен, Алиса; Маккаллуш, Джудит; Флетчер, Майк (2014). Начальная математика: теория и практика преподавания. Обучение имеет значение. ISBN 978-1-4739-0707-2.
Мур, Рамон Э.; Кирфотт, Р. Бейкер; Клауд, Майкл Дж. (2009). Введение в интервальный анализ. СИАМ. ISBN 978-0-89871-669-6.
Мюллер, Жан-Мишель; Бруни, Николас; Динешен, Флоран де; Жаннерод, Клод-Пьер; Джолдес, Миоара; Лефевр, Винсент; Мелькионд, Гийом; Револь, Натали ; Торрес, Серж (2018). Справочник по арифметике с плавающей запятой. Биркхойзер. ISBN 978-3-319-76526-6.
Мюллер, Жан-Мишель; Бризебар, Николя; Динешен, Флоран де; Жаннерод, Клод-Пьер; Лефевр, Винсент; Мелькионд, Гийом; Револь, Натали ; Стеле, Дэмиен; Торрес, Серж (2009). Справочник по арифметике с плавающей запятой. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4705-6.
Массер, Гэри Л.; Петерсон, Блейк Э.; Бургер, Уильям Ф. (2013). Математика для учителей начальных классов: современный подход. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-118-48700-6.
Сотрудники МВ (2023 г.). «Определение арифметики». www.merriam-webster.com . Проверено 19 октября 2023 г.
Нагель, Эрнест; Ньюман, Джеймс Рой (2008). Доказательство Геделя. Нью-Йорк Пресс. ISBN 978-0-8147-5837-3.
Нагель, Роб (2002). Научная энциклопедия UXL. УХЛ. ISBN 978-0-7876-5440-5.
Наков, Светлин; Колев, Веселин (2013). Основы компьютерного программирования на C#: Болгарская книга C#. Издательство Фабер. ISBN 978-954-400-773-7.
Сотрудники НКТМ. «Числа и операции». www.nctm.org . Национальный совет учителей математики . Проверено 21 ноября 2023 г.
Нельсон, Джеральд (2019). Английский: Основная грамматика. Рутледж. ISBN 978-1-351-12273-3.
Налл, Линда; Лобур, Юлия (2006). Основы компьютерной организации и архитектуры. Джонс и Бартлетт Обучение. ISBN 978-0-7637-3769-6.
Нюрнбергер-Хааг, Джули (2017). «Одолжить, обменять, перегруппировать или распаковать? Выясняем, как учебные метафоры отображают десятичное число». В Джао, Лимин; Радакович, Ненад (ред.). Трансдисциплинарность в математическом образовании: стирание дисциплинарных границ . Спрингер. ISBN 978-3-319-63624-5.
О'Лири, Майкл Л. (2015). Первый курс математической логики и теории множеств. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-90588-3.
О'Риган, Джерард (5 марта 2012 г.). Краткая история вычислений. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4471-2359-0.
Оукс, Элизабет (2020). Энциклопедия ученых мира, обновленное издание. Издательство информационной базы. ISBN 978-1-4381-9545-2.
Одом, Сэмюэл Л.; Барбарин, Оскар А.; Васик, Барбара Ханна (2009). «Применение уроков науки о развитии к раннему образованию». В Барбарине, Оскар А.; Васик, Барбара Ханна (ред.). Справочник по развитию детей и раннему образованию: исследования на практике . Гилфорд Пресс. ISBN 978-1-60623-302-3.
Оливер, Александр Д. (2005). «Арифметика. Основы». В Хондерихе, Тед (ред.). Оксфордский справочник по философии. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-926479-7.
Омонди, Амос Р. (2020). Криптографическая арифметика: алгоритмы и аппаратные архитектуры. Спрингер Природа. ISBN 978-3-030-34142-8.
Онгли, Джон; Кэри, Розалинда (2013). Рассел: Путеводитель для растерянных. Издательство Блумсбери. ISBN 978-1-4411-9123-6.
Оре, Эйстейн (1948). Теория чисел и ее история . МакГроу-Хилл. ОСЛК 1397541.
Орр, Дэвид Б. (1995). Основы прикладной статистики и исследований. ЦРК Пресс. ISBN 978-0-412-98821-9.
Отис, Джессика Мари (2024). В цифрах: счет, религия и количественная трансформация ранней современной Англии. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-760877-7.
Паар, Кристоф; Пельцль, Ян (2009). Понимание криптографии: Учебник для студентов и практиков. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-04101-3.
Пейдж, Роберт Л. (2003). «Теория чисел, элементарная». Энциклопедия физических наук и технологий (Третье изд.). Академическая пресса. ISBN 978-0-12-227410-7.
Пейн, Эндрю (2017). Телеология действия в «Государстве» Платона. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-879902-3.
Пирс, Чарльз С. (2015). Арифметика. Вальтер де Грюйтер ГмбХ & Ко КГ. ISBN 978-3-11-086970-5.
Фарр, Мэтт; Якоб, Венцель; Хамфрис, Грег (2023). Физически обоснованный рендеринг: от теории к реализации (4-е изд.). МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-37403-3.
Понтикорво, Микела; Шмбри, Массимилиано; Миглино, Орацио (2019). «Как улучшить пространственное и числовое познание с помощью игрового и технологического подхода к обучению». В Висенте — Хосе Мануэль Феррандес; Альварес-Санчес, Хосе Рамон; Лопес, Феликс де ла Пас; Морео, Хавьер Толедо; Адели, Ходжат (ред.). Понимание функции мозга и эмоций: 8-я Международная рабочая конференция по взаимодействию естественных и искусственных вычислений, IWINAC 2019, Альмерия, Испания, 3–7 июня 2019 г., Материалы, Часть I. Спрингер. ISBN 978-3-030-19591-5.
Прата, Стивен (2002). С Праймер Плюс. Издательство Самс. ISBN 978-0-672-32222-8.
Кинтеро, Ана Хельвиа; Розарио, Гектор (2016). Математика имеет смысл!: конструктивистский подход к преподаванию и изучению математики. Всемирная научная. ISBN 978-1-78326-866-5.
Рейли, Норман Р. (2009). Введение в прикладные алгебраические системы. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-970992-2.
Рейтано, Роберт Р. (2010). Введение в количественные финансы: набор математических инструментов. МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-01369-7.
Резник, Л.Б.; Форд, WW (2012). Психология математики для обучения. Рутледж. ISBN 978-1-136-55759-0.
Рейнольдс, Барбара Э. (12 марта 2008 г.). "Счеты". В Селин, Хелейн (ред.). Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-4559-2.
Ризель, Ганс (2012). Простые числа и компьютерные методы факторизации. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0251-6.
Рост, Джеральд Р.; Мэтьюз, Джеймс Р.; Шоафф, Эйлин; Мэтью, Джудит (2021). О математике. Линус Обучение. ISBN 978-1-60797-892-3.
Роббинс, Невилл (2006). Начало теории чисел. Джонс и Бартлетт Обучение. ISBN 978-0-7637-3768-9.
Родда, Харви Дж. Э.; Литтл, Макс А. (2015). Понимание математических и статистических методов в гидрологии: подход, основанный на примерах. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-119-07659-9.
Роу, Джон; деФорест, Расс; Джамшиди, Сара (2018). Математика для устойчивого развития. Спрингер. ISBN 978-3-319-76660-7.
Романовский, Перри (2008). «Арифметика». В Лернере – Бренда Уилмот; Лернер, К. Ли (ред.). Научная энциклопедия Гейла (4-е изд.). Томпсон Гейл. ISBN 978-1-4144-2877-2.
Руни, Энн (2021). Думайте как математик. Издательская группа Розен. ISBN 978-1-4994-7092-5.
Росси, Ричард Дж. (2011). Теоремы, следствия, леммы и методы доказательства. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-118-03057-8.
Рутвен, Кеннет (2012). «12. Калькуляторы в учебной программе по математике: область применения персональных вычислительных технологий». В Бишопе, Алан; Клементс, Массачусетс (Кен); Кейтель-Крейдт, Кристина; Килпатрик, Джереми; Лаборд, Колетт (ред.). Международный справочник по математическому образованию . Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-009-1465-0.
Салли, Джудит Д.; Салли (младшая), Пол Дж. (2012). Целые числа, дроби и арифметика: Руководство для учителей. Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-8798-1.
Моряк, Уильям; Росслер, Отто Э.; Бургин, Марк (2023). Хаос, информация и будущее физики: диалог Симана-Росслера с информационными перспективами Бергина и Симана. Всемирная научная. ISBN 978-981-12-7138-0.
Шива, Саджан Г. (2018). Введение в логический дизайн . ЦРК Пресс. ISBN 978-1-351-98983-1.
Серпинская, Анна; Лерман, Стивен (1996). «Эпистемологии математики и математического образования». У Алана Дж. Бишопа; Кен Клементс; Кристин Кейтель; Джереми Килпатрик; Колетт Лаборд (ред.). Международный справочник по математическому образованию: Часть 1 . Международные справочники по образованию Kluwer, том. 4. Спрингер Нидерланды. стр. 827–876. дои : 10.1007/978-94-009-1465-0_23. ISBN 978-94-009-1465-0.
Смит, Дэвид Э. (1958). История математики. Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-20430-7.
Смит, Уильям (1864). Элементарная алгебра: для школ и академий. Бэйли и Нойес. ОСЛК 3901163143.
Софиан, Кэтрин (2017). Истоки математических знаний в детстве. Рутледж. ISBN 978-1-351-54175-6.
Сперлинг, Авраам; Стюарт, Монро (1981). Математика . Эльзевир Наука. ISBN 978-0-7506-0405-5.
Стахов, Алексей (2020). Математика гармонии как новое междисциплинарное направление и «золотая» парадигма современной науки - Том 2: Алгоритмическая теория измерения, Фибоначчи, золотая арифметика и троичная зеркально-симметричная арифметика. Всемирная научная. ISBN 978-981-12-1348-9.
Штернберг, Роберт Дж.; Бен-Зеев, Талия (12 октября 2012 г.). Природа математического мышления. Рутледж. ISBN 978-1-136-48750-7.
Стивенсон, Ангус; Уэйт, Морис (2011). Краткий Оксфордский словарь английского языка: роскошное издание. ОУП Оксфорд. ISBN 978-0-19-960111-0.
Стюарт, Дэвид Э. (2022). Численный анализ: аспирантура. Спрингер Природа. ISBN 978-3-031-08121-7.
Шварцландер, Эрл Э. (2017). «Высокоскоростная компьютерная арифметика». В Оклобдзии, Вожин Г. (ред.). Цифровой дизайн и производство . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-8493-8604-6.
Тарасов, Василий (2008). Квантовая механика негамильтоновых и диссипативных систем. Эльзевир. ISBN 978-0-08-055971-1.
Тейлор, Джозеф Л. (2012). Основы анализа. Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-8984-8.
Тиам, Тьерно; Рошон, Гилберт (2019). Устойчивое развитие, новые технологии и панафриканизм. Спрингер Природа. ISBN 978-3-030-22180-5.
Плитка, Мэри (2009). «Кантианский взгляд на философию математики». В Ирвине, Эндрю Д. (ред.). Философия математики . Эльзевир. ISBN 978-0-08-093058-9.
Успенский, В.А.; Семенов А.Л. (2001). «Решаемые и нерешаемые алгоритмические задачи». Табачников, Серж (ред.). Квант Селекта: Комбинаторика, И: Комбинаторика, И . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-2171-8.
Ваккаро, Альфредо; Пепичелло, Антонио (2022). Методы аффинной арифметики для анализа неопределенной энергосистемы. Эльзевир. ISBN 978-0-323-90503-9.
Вершаффель, Ливен; Торбейнс, Шутка; Де Смедт, Берт (2011). "Счет в уме". В Силе, Норберт М. (ред.). Энциклопедия наук об обучении . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-1427-9.
Сотрудники Департамента образования штата Виктория (2023 г.). «Счет для всех учащихся». www.education.vic.gov.au . Проверено 22 ноября 2023 г.
Вулло, Винченцо (2020). Gears: Том 3: Краткая история. Спрингер Природа. ISBN 978-3-030-40164-1.
Уэйт, Морис (2013). Карманный Оксфордский словарь английского языка. ОУП Оксфорд. ISBN 978-0-19-966615-7.
Уоллис, WD (2013). Руководство для начинающих по дискретной математике. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3826-1.
Уоллис, WD (2011). Руководство для начинающих по дискретной математике. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-8286-6.
Ван, Хао (1997). Логическое путешествие: от Гёделя к философии. МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-26125-8.
Уорд, JP (2012). Кватернионы и числа Кэли: алгебра и приложения. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-011-5768-1.
Веделл, Мориц (2015). «Цифры». В Классене, Альбрехт (ред.). Справочник средневековой культуры. Том 2 . Вальтер де Грюйтер ГмбХ & Ко КГ. ISBN 978-3-11-037763-7.
Вейль, Андре (2009). Теория чисел: подход через историю от Хаммурапи до Лежандра. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4571-7.
Вейр, Алан (2022). «Формализм в философии математики». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 22 ноября 2023 г.
Вайсштейн, Эрик В. «Множитель». Вольфрам Математический мир . Проверено 12 декабря 2023 г.
Уитер, Кэролайн (2015). Алгебра I. Дорлинг Киндерсли Лимитед. ISBN 978-0-241-88779-0.
Уилсон, Робин (2020). Теория чисел: очень краткое введение. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-879809-5.
Райт, Роберт Дж.; Эллемор-Коллинз, Дэвид; Табор, Памела Д. (2011). Развитие знаний о числах: оценка, обучение и вмешательство с детьми 7–11 лет. МУДРЕЦ. ISBN 978-1-4462-8927-3.
Ядин, Аарон (2016). Архитектура компьютерных систем. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-315-35592-4.
Ян, Сон Ю. (2013). Теория чисел для вычислений. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-04053-9.
Ян, Сун Ю. (2013a). Вычислительная теория чисел и современная криптография. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-118-18858-3.