stringtranslate.com

Закономерности в природе

Природные узоры формируются, когда ветер раздувает песок в дюнах пустыни Намиб . Дюны в форме полумесяца и рябь на их поверхности повторяются везде, где есть подходящие условия.
Узоры хамелеона Chamaeleo calyptratus обеспечивают маскировку и сигнализируют о настроении, а также о состоянии размножения .

Модели в природе — это видимые закономерности формы, встречающиеся в естественном мире . Эти модели повторяются в разных контекстах и ​​иногда могут быть смоделированы математически . Природные модели включают симметрии , деревья , спирали , меандры , волны , пену , мозаику , трещины и полосы. [1] Ранние греческие философы изучали модели, а Платон , Пифагор и Эмпедокл пытались объяснить порядок в природе. Современное понимание видимых моделей развивалось постепенно с течением времени.

В 19 веке бельгийский физик Жозеф Плато исследовал мыльные пленки , что привело его к формулировке концепции минимальной поверхности . Немецкий биолог и художник Эрнст Геккель нарисовал сотни морских организмов , чтобы подчеркнуть их симметрию . Шотландский биолог Д'Арси Томпсон был пионером в изучении закономерностей роста как растений, так и животных, показав, что простые уравнения могут объяснить спиральный рост. В 20 веке британский математик Алан Тьюринг предсказал механизмы морфогенеза , которые приводят к появлению узоров из пятен и полос. Венгерский биолог Аристид Линденмайер и французско-американский математик Бенуа Мандельброт показали, как математика фракталов может создавать закономерности роста растений.

Математика , физика и химия могут объяснить закономерности в природе на разных уровнях и масштабах. Закономерности в живых существах объясняются биологическими процессами естественного отбора и полового отбора . Исследования формирования закономерностей используют компьютерные модели для имитации широкого спектра закономерностей.

История

Ранние греческие философы пытались объяснить порядок в природе , предвосхищая современные концепции. Пифагор (ок. 570–ок. 495 до н. э.) объяснял закономерности в природе, такие как гармонии музыки, как возникающие из числа, которое он считал основной составляющей бытия. [a] Эмпедокл (ок. 494–ок. 434 до н. э.) в некоторой степени предвосхитил эволюционное объяснение Дарвина для структур организмов. [b] Платон (ок. 427–ок. 347 до н. э.) утверждал о существовании естественных универсалий . Он считал, что они состоят из идеальных форм ( εἶδος eidos : «форма»), физические объекты никогда не являются чем-то большим, чем несовершенными копиями. Таким образом, цветок может быть приблизительно круглым, но он никогда не является идеальным кругом. [2] Теофраст (ок. 372–ок. 287 до н. э.) отмечал, что растения, «которые имеют плоские листья, имеют их в правильном ряду»; Плиний Старший (23–79 гг. н. э.) отметил их узорчатое круговое расположение. [3] Спустя столетия Леонардо да Винчи (1452–1519) отметил спиральное расположение листовых узоров, а также то, что стволы деревьев приобретают последовательные кольца по мере старения, и предложил правило, которому, как утверждается, соответствуют площади поперечного сечения ветвей деревьев. [4] [3]

В 1202 году Леонардо Фибоначчи представил последовательность Фибоначчи западному миру в своей книге Liber Abaci . [5] Фибоначчи представил мысленный эксперимент по росту идеализированной популяции кроликов . [6] Иоганн Кеплер (1571–1630) указал на присутствие последовательности Фибоначчи в природе, используя ее для объяснения пятиугольной формы некоторых цветов. [3] В 1658 году английский врач и философ сэр Томас Браун обсуждал «как природа геометризирует» в «Саду Кира» , ссылаясь на пифагорейскую нумерологию, включающую число 5, и платоновскую форму рисунка квинконса . Центральная глава дискурса содержит примеры и наблюдения квинконса в ботанике. [7] В 1754 году Шарль Бонне заметил, что спиральный филлотаксис растений часто выражался как в рядах золотого сечения по часовой стрелке , так и против часовой стрелки . [3] Математические наблюдения филлотаксиса последовали за работами Карла Фридриха Шимпера и его друга Александра Брауна 1830 и 1830 годов соответственно; Огюст Браве и его брат Луи связали отношения филлотаксиса с последовательностью Фибоначчи в 1837 году, также отметив ее появление в сосновых шишках и ананасах . [3] В своей книге 1854 года немецкий психолог Адольф Цейзинг исследовал золотое сечение, выраженное в расположении частей растений, скелетах животных и разветвленных схемах их жилок и нервов, а также в кристаллах . [8] [9] [10]

В 19 веке бельгийский физик Жозеф Плато (1801–1883) сформулировал математическую задачу о существовании минимальной поверхности с заданной границей, которая теперь названа в его честь. Он интенсивно изучал мыльные пленки, формулируя законы Плато , которые описывают структуры, образованные пленками в пенах. [11] Лорд Кельвин определил проблему наиболее эффективного способа упаковки ячеек одинакового объема в пену в 1887 году; его решение использует только одно твердое тело, усеченные кубические соты с очень слегка изогнутыми гранями, чтобы соответствовать законам Плато. Лучшего решения не было найдено до 1993 года, когда Денис Вейр и Роберт Фелан предложили структуру Вейра–Фелана ; Пекинский национальный центр водных видов спорта адаптировал эту структуру для своей внешней стены на летних Олимпийских играх 2008 года . [12] Эрнст Геккель (1834–1919) рисовал прекрасные иллюстрации морских организмов, в частности радиолярий , подчеркивая их симметрию , чтобы поддержать свои псевдодарвиновские теории эволюции. [13] Американский фотограф Уилсон Бентли сделал первую микрофотографию снежинки в 1885 году. [14]

В 20 веке А. Х. Чёрч изучал закономерности филлотаксиса в своей книге 1904 года. [15] В 1917 году Д'Арси Уэнтворт Томпсон опубликовал книгу «О росте и форме» ; его описание филлотаксиса и последовательности Фибоначчи, математических соотношений в спиральных моделях роста растений показало, что простые уравнения могут описывать спиральные модели роста рогов животных и раковин моллюсков . [16] В 1952 году учёный-компьютерщик Алан Тьюринг (1912–1954) написал книгу «Химические основы морфогенеза» , в которой анализировались механизмы, необходимые для создания закономерностей в живых организмах в процессе, называемом морфогенезом . [17] Он предсказал колебательные химические реакции , в частности реакцию Белоусова–Жаботинского . Эти механизмы активатора-ингибитора, как предположил Тьюринг, могут генерировать узоры (названные « узорами Тьюринга ») полос и пятен у животных и способствовать спиральным узорам, наблюдаемым в филлотаксисе растений. [18] В 1968 году венгерский биолог-теоретик Аристид Линденмайер (1925–1989) разработал L-систему , формальную грамматику , которая может использоваться для моделирования узоров роста растений в стиле фракталов . [19] L-системы имеют алфавит символов, которые можно комбинировать с помощью правил продукций для построения более крупных строк символов, и механизм для перевода сгенерированных строк в геометрические структуры. В 1975 году, после столетий медленного развития математики узоров Готфридом Лейбницем , Георгом Кантором , Хельге фон Кохом , Вацлавом Серпинским и другими, Бенуа Мандельброт написал знаменитую статью « Какова длина побережья Британии?». Статистическое самоподобие и дробная размерность , кристаллизующие математическую мысль в концепцию фрактала . [ 20]

Причины

Сложные узоры: тли и недавно родившиеся детеныши в скоплениях, напоминающих массивы, на листе платана , разделенных на многоугольники жилками , которых избегают молодые особи тли .

Живые существа, такие как орхидеи , колибри и хвост павлина , имеют абстрактные конструкции с красотой формы, рисунка и цвета, с которыми художники борются, чтобы соответствовать. [21] Красота, которую люди воспринимают в природе, имеет причины на разных уровнях, особенно в математике, которая управляет тем, какие узоры могут физически формироваться, а среди живых существ - в эффектах естественного отбора, которые управляют тем, как узоры развиваются. [22]

Математика стремится обнаружить и объяснить абстрактные закономерности или закономерности всех видов. [23] [24] Визуальные закономерности в природе находят объяснения в теории хаоса , фракталах, логарифмических спиралях, топологии и других математических закономерностях. Например, L-системы формируют убедительные модели различных закономерностей роста деревьев. [19]

Законы физики применяют абстракции математики к реальному миру, часто так, как если бы он был совершенным . Например, кристалл совершенен, когда у него нет структурных дефектов, таких как дислокации, и он полностью симметричен. Точное математическое совершенство может только приближать реальные объекты. [25] Видимые закономерности в природе управляются физическими законами ; например, меандры можно объяснить с помощью динамики жидкости .

В биологии естественный отбор может вызывать развитие узоров в живых существах по нескольким причинам, включая камуфляж , [26] половой отбор , [26] и различные виды сигнализации, включая мимикрию [27] и очищающий симбиоз . [28] У растений формы, цвета и узоры опыляемых насекомыми цветов , таких как лилия, эволюционировали, чтобы привлекать насекомых, таких как пчелы . Радиальные узоры цветов и полос, некоторые из которых видны только в ультрафиолетовом свете, служат нектарными указателями , которые можно увидеть на расстоянии. [29]

Типы узоров

Симметрия

Симметрия широко распространена в живых существах. Животные в основном имеют двустороннюю или зеркальную симметрию , как и листья растений и некоторые цветы, такие как орхидеи . [30] Растения часто имеют радиальную или вращательную симметрию , как и многие цветы и некоторые группы животных, такие как морские анемоны . Пятикратная симметрия обнаружена у иглокожих , группы, которая включает морских звезд , морских ежей и морских лилий . [31]

Среди неживых вещей снежинки обладают поразительной шестикратной симметрией ; структура каждой хлопья формирует запись различных условий во время ее кристаллизации, с почти одинаковой моделью роста на каждом из ее шести лучей. [32] Кристаллы в целом имеют множество симметрий и кристаллических привычек ; они могут быть кубическими или октаэдрическими, но истинные кристаллы не могут иметь пятикратную симметрию (в отличие от квазикристаллов ). [33] Вращательная симметрия обнаруживается в разных масштабах среди неживых вещей, включая коронообразный узор брызг , образующийся при падении капли в пруд, [34] а также как сфероидальную форму, так и кольца планеты, такой как Сатурн . [35]

Симметрия имеет множество причин. Радиальная симметрия подходит таким организмам, как актинии, взрослые особи которых не двигаются: пища и угрозы могут прибывать с любого направления. Но у животных, которые движутся в одном направлении, обязательно есть верхняя и нижняя стороны, головной и хвостовой концы, и, следовательно, левая и правая. Голова становится специализированной с ртом и органами чувств ( цефализация ), а тело становится двусторонне симметричным (хотя внутренние органы не обязательно должны быть). [36] Более загадочной является причина пятикратной (пентарадиальной) симметрии иглокожих. Ранние иглокожие были двусторонне симметричными, как и их личинки до сих пор. Самралл и Рэй утверждают, что потеря старой симметрии имела как эволюционные, так и экологические причины. [37] В случае ледяных яиц , легкое перемешивание воды, нагнетаемое достаточно сильным бризом, создает концентрические слои льда на частице семени, которая затем вырастает в плавающий шар, катясь через замерзающие потоки. [38]

Деревья, фракталы

Схема ветвления деревьев была описана в эпоху итальянского Возрождения Леонардо да Винчи . В «Трактате о живописи» он утверждал, что:

Все ветви дерева на каждой стадии его высоты, взятые вместе, равны по толщине стволу [под ними]. [39]

Более общая версия гласит, что когда родительская ветвь разделяется на две или более дочерних ветвей, площади поверхности дочерних ветвей складываются с площадью родительской ветви. [40] Эквивалентная формулировка заключается в том, что если родительская ветвь разделяется на две дочерние ветви, то диаметры поперечного сечения родительской и двух дочерних ветвей образуют прямоугольный треугольник . Одно из объяснений состоит в том, что это позволяет деревьям лучше противостоять сильным ветрам. [40] Моделирование биомеханических моделей согласуется с правилом. [41]

Фракталы — это бесконечно самоподобные , итерированные математические конструкции, имеющие фрактальную размерность . [20] [42] [43] Бесконечная итерация невозможна в природе, поэтому все «фрактальные» узоры являются лишь приблизительными. Например, листья папоротников и зонтичных (Apiaceae) самоподобны (перистые) только до 2, 3 или 4 уровней. Папоротниковоподобные узоры роста встречаются у растений и животных, включая мшанки , кораллы , гидроидные, такие как воздушный папоротник , Sertularia argentea , и у неживых вещей, в частности, электрических разрядов . Фракталы системы Линденмайера могут моделировать различные узоры роста деревьев, изменяя небольшое количество параметров, включая угол ветвления, расстояние между узлами или точками ветвления ( длина междоузлия ) и количество ветвей на точку ветвления. [19]

Фракталоподобные узоры широко распространены в природе, в таких разнообразных явлениях, как облака, речные сети , линии геологических разломов , горы , береговые линии , [44] окраска животных , снежинки , [45] кристаллы , [46] разветвление кровеносных сосудов , [47] клетки Пуркинье , [48] актиновые цитоскелеты , [49] и океанские волны . [50]

Спирали

Спирали распространены у растений и некоторых животных, особенно у моллюсков . Например, у наутилуса , головоногого моллюска, каждая камера его раковины является приблизительной копией следующей, масштабированной на постоянный коэффициент и расположенной в виде логарифмической спирали . [51] Учитывая современное понимание фракталов, спираль роста можно рассматривать как частный случай самоподобия. [52]

Растительные спирали можно увидеть в филлотаксисе , расположении листьев на стебле, и в расположении ( парастихии [53] ) других частей, как в сложных цветочных головках и семенных головках, таких как подсолнечник , или фруктовых структурах, таких как ананас [15] [54] : 337  и змеиный плод , а также в узоре чешуек в сосновых шишках , где множественные спирали идут как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. Эти расположения имеют объяснения на разных уровнях - математика, физика, химия, биология - каждое по отдельности правильно, но все они необходимы вместе. [55] Спирали филлотаксиса можно сгенерировать из соотношений Фибоначчи : последовательность Фибоначчи пробегает 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... (каждое последующее число является суммой двух предыдущих). Например, когда листья чередуются вверх по стеблю, один поворот спирали касается двух листьев, поэтому узор или соотношение составляет 1/2. У орешника соотношение составляет 1/3; в абрикосе это 2/5; в груше это 3/8; в миндале это 5/13. [56]

В дисковом филлотаксисе, как у подсолнечника и маргаритки , цветки располагаются вдоль спирали Ферма , но это замаскировано, поскольку последовательные цветки расположены на большом расстоянии друг от друга, на золотой угол , 137,508° (делящий круг в золотом сечении ); когда соцветие созревает, так что все элементы имеют одинаковый размер, это расстояние создает число Фибоначчи более очевидных спиралей. [57]

С точки зрения физики спирали являются конфигурациями с наименьшей энергией [58] , которые возникают спонтанно посредством самоорганизующихся процессов в динамических системах . [59] С точки зрения химии спираль может быть создана в результате процесса реакции-диффузии, включающего как активацию, так и ингибирование. Филлотаксис контролируется белками , которые манипулируют концентрацией растительного гормона ауксина , который активирует рост меристемы , наряду с другими механизмами для контроля относительного угла почек вокруг стебля. [60] С биологической точки зрения, расположение листьев как можно дальше друг от друга в любом заданном пространстве благоприятствует естественному отбору, поскольку это максимизирует доступ к ресурсам, особенно солнечному свету для фотосинтеза . [54]

Хаос, поток, извилины

В математике динамическая система является хаотичной, если она (высоко) чувствительна к начальным условиям (так называемый « эффект бабочки » [61] ), что требует математических свойств топологического перемешивания и плотных периодических орбит . [62]

Наряду с фракталами, теория хаоса занимает по существу универсальное место в влиянии на закономерности в природе. Существует связь между хаосом и фракталами — странные аттракторы в хаотических системах имеют фрактальную размерность . [63] Некоторые клеточные автоматы , простые наборы математических правил, которые генерируют закономерности, имеют хаотическое поведение, в частности, Правило 30 Стивена Вольфрама . [ 64]

Вихревые дорожки представляют собой зигзагообразные узоры закручивающихся вихрей, созданных неустойчивым разделением потока жидкости , чаще всего воздуха или воды, над препятствующими объектами. [65] Гладкий ( ламинарный ) поток начинает распадаться, когда размер препятствия или скорость потока становятся достаточно большими по сравнению с вязкостью жидкости .

Меандры — это извилистые изгибы рек или других каналов, которые образуются, когда жидкость, чаще всего вода, течет вокруг изгибов. Как только путь слегка изгибается, размер и кривизна каждой петли увеличиваются, поскольку спиральный поток перетаскивает материал, такой как песок и гравий, через реку к внутренней части изгиба. Внешняя часть петли остается чистой и незащищенной, поэтому эрозия ускоряется, еще больше увеличивая извилистость в мощной положительной обратной петле . [66]

Волны, дюны

Волны — это возмущения, которые переносят энергию по мере своего движения. Механические волны распространяются через среду — воздух или воду, заставляя ее колебаться по мере прохождения. [67] Ветровые волны — это волны на поверхности моря , которые создают характерный хаотичный рисунок любого большого водоема, хотя их статистическое поведение можно предсказать с помощью моделей ветровых волн. [68] Когда волны в воде или ветер проходят по песку, они создают узоры ряби. Когда ветры дуют над большими песчаными массивами, они создают дюны , иногда в обширных полях дюн, как в пустыне Такла-Макан . Дюны могут образовывать ряд узоров, включая полумесяцы, очень длинные прямые линии, звезды, купола, параболы и продольные или сейфовые («мечовые») формы. [69]

Барханы или серповидные дюны образуются под воздействием ветра на песок пустыни; два рога полумесяца и скользящая поверхность направлены по ветру. Песок дует над наветренной поверхностью, которая находится примерно в 15 градусах от горизонтали, и падает на скользящую поверхность, где он накапливается до угла естественного откоса песка, который составляет около 35 градусов. Когда скользящая поверхность превышает угол естественного откоса, песок сходит лавинами , что является нелинейным поведением: добавление большого количества песка не вызывает ничего особенного, но затем добавление еще небольшого количества внезапно вызывает сход большого количества лавины. [70] Помимо этой нелинейности, барханы ведут себя скорее как одиночные волны . [71]

Пузыри, пена

Мыльный пузырь образует сферу , поверхность с минимальной площадью ( минимальная поверхность ) — наименьшая возможная площадь поверхности для заключенного объема. Два пузыря вместе образуют более сложную форму: внешние поверхности обоих пузырей сферические; эти поверхности соединены третьей сферической поверхностью, поскольку меньший пузырек слегка выпячивается в больший. [11]

Пена — это масса пузырьков; пены из различных материалов встречаются в природе. Пены, состоящие из мыльных пленок, подчиняются законам Плато , которые требуют, чтобы три мыльные пленки встречались на каждом краю под углом 120°, а четыре мыльных ребра встречались в каждой вершине под углом тетраэдра около 109,5°. Законы Плато также требуют, чтобы пленки были гладкими и непрерывными, а также имели постоянную среднюю кривизну в каждой точке. Например, пленка может оставаться почти плоской в ​​среднем, будучи изогнутой вверх в одном направлении (например, слева направо), при этом будучи изогнутой вниз в другом направлении (например, спереди назад). [72] [73] Конструкции с минимальными поверхностями могут использоваться в качестве палаток.

В масштабе живых клеток пенистые узоры обычны; радиолярии , спикулы губок , экзоскелеты силикофлагеллятов и кальцитовый скелет морского ежа , Cidaris rugosa , все напоминают минеральные слепки границ пены Плато. [74] [75] Скелет радиолярии , Aulonia hexagona , прекрасной морской формы, нарисованной Эрнстом Геккелем , выглядит так, как будто это сфера, полностью состоящая из шестиугольников, но это математически невозможно. Характеристика Эйлера гласит, что для любого выпуклого многогранника число граней плюс число вершин (углов) равно числу ребер плюс два. Результатом этой формулы является то, что любой замкнутый многогранник из шестиугольников должен включать ровно 12 пятиугольников, как футбольный мяч , геодезический купол Бакминстера Фуллера или молекула фуллерена . Это можно наглядно представить, заметив, что сетка из шестиугольников плоская, как лист проволочной сетки, но каждый добавленный пятиугольник заставляет сетку изгибаться (становится меньше углов, поэтому сетка втягивается) [76] .

Тесселяции

Мозаики — это узоры, образованные повторяющимися плитками по всей плоской поверхности. Существует 17 групп обоев с мозаикой. [77] Хотя они распространены в искусстве и дизайне, точно повторяющиеся мозаики сложнее найти в живых существах. Ячейки в бумажных гнездах общественных ос и восковые ячейки в сотах, построенных медоносными пчелами, являются хорошо известными примерами. Среди животных костистые рыбы, рептилии или панголины , или фрукты, такие как салак , защищены перекрывающимися чешуйками или остеодермами , которые образуют более или менее точно повторяющиеся единицы, хотя часто чешуйки на самом деле непрерывно различаются по размеру. Среди цветов рябчик змееголовый, Fritillaria meleagris , имеет мозаичный шахматный узор на своих лепестках. Структуры минералов являются хорошими примерами регулярно повторяющихся трехмерных массивов. Несмотря на сотни тысяч известных минералов, существует довольно мало возможных типов расположения атомов в кристалле , определяемых кристаллической структурой , кристаллической системой и точечной группой ; например, существует ровно 14 решеток Браве для 7 систем решеток в трехмерном пространстве. [78]

Трещины

Трещины — это линейные отверстия, которые образуются в материалах для снятия напряжения . Когда эластичный материал равномерно растягивается или сжимается, он в конечном итоге достигает своей прочности на разрыв, а затем внезапно разрушается во всех направлениях, создавая трещины с соединениями под углом 120 градусов, так что три трещины встречаются в узле. И наоборот, когда неэластичный материал разрушается, образуются прямые трещины для снятия напряжения. Дальнейшее напряжение в том же направлении затем просто откроет существующие трещины; напряжение под прямым углом может создать новые трещины под углом 90 градусов к старым. Таким образом, рисунок трещин указывает, является ли материал эластичным или нет. [79] В жестком волокнистом материале, таком как кора дуба, трещины образуются для снятия напряжения, как обычно, но они не растут, пока их рост прерывается пучками прочных эластичных волокон. Поскольку каждый вид дерева имеет свою собственную структуру на уровне клеток и молекул, у каждого вида есть своя собственная картина расщепления в его коре. [80]

Пятна, полосы

Леопарды и божьи коровки пятнистые; скалярии и зебры полосатые. [81] Эти узоры имеют эволюционное объяснение: у них есть функции , которые увеличивают шансы того, что потомство узорчатого животного выживет и даст потомство. Одна из функций узоров животных — камуфляж ; [26] например, леопард , которого сложнее увидеть, ловит больше добычи. Другая функция — сигнализация [27] — например, божья коровка с меньшей вероятностью подвергнется нападению хищных птиц, которые охотятся с помощью зрения, если у нее яркие предупреждающие цвета, а также она неприятно горькая или ядовитая или имитирует других неприятных насекомых. Молодая птица может увидеть предупреждающее узорчатое насекомое, такое как божья коровка, и попытаться съесть его, но она сделает это только один раз; очень скоро она выплюнет горькое насекомое; другие божьи коровки в этом районе останутся нетронутыми. Молодые леопарды и божьи коровки, унаследовавшие гены , которые каким-то образом создают пятнистость, выживают. Но хотя эти эволюционные и функциональные аргументы объясняют, почему этим животным нужны их узоры, они не объясняют, как эти узоры формируются. [81]

Формирование паттерна

Алан Тьюринг [17] и позже математический биолог Джеймс Мюррей [ 82] описали механизм, который спонтанно создает пятнистые или полосатые узоры: систему реакции-диффузии [83] . Клетки молодого организма имеют гены, которые могут быть включены химическим сигналом, морфогеном , что приводит к росту определенного типа структуры, скажем, темно-пигментированного участка кожи. Если морфоген присутствует везде, результатом будет равномерная пигментация, как у черного леопарда. Но если он распределен неравномерно, могут возникнуть пятна или полосы. Тьюринг предположил, что может существовать обратная связь управления выработкой самого морфогена. Это может вызывать непрерывные колебания количества морфогена по мере его диффузии по телу. Для создания стоячих волновых узоров (чтобы привести к пятнам или полосам) необходим второй механизм: ингибиторное химическое вещество, которое отключает выработку морфогена, и которое само по себе диффундирует по телу быстрее, чем морфоген, что приводит к схеме активатор-ингибитор. Реакция Белоусова-Жаботинского является небиологическим примером такого рода схемы, химическим осциллятором . [83]

Более поздние исследования сумели создать убедительные модели узоров, столь разнообразных, как полосы зебры, пятна жирафа, пятна ягуара (средне-темные пятна, окруженные темными прерывистыми кольцами) и узоры панциря божьей коровки (различные геометрические расположения пятен и полос, см. иллюстрации). [84] Модели активации-торможения Ричарда Прама , разработанные на основе работы Тьюринга, используют шесть переменных для учета наблюдаемого диапазона девяти основных узоров пигментации внутри пера, от самого простого, центрального пигментного пятна, через концентрические пятна, полосы, шевроны, глазное пятно, пару центральных пятен, ряды парных пятен и массив точек. [85] [86] Более сложные модели имитируют сложные узоры перьев у цесарки Numida meleagris , у которой отдельные перья имеют переходы от полос у основания к массиву точек на дальнем (дистальном) конце. Для этого требуется колебание, создаваемое двумя ингибирующими сигналами, с взаимодействием как в пространстве, так и во времени. [86]

Узоры могут формироваться по другим причинам в растительном ландшафте тигрового кустарника [87] и пихтовых волн . [88] Полосы тигрового кустарника встречаются на засушливых склонах, где рост растений ограничен осадками. Каждая примерно горизонтальная полоса растительности эффективно собирает дождевую воду из голой зоны непосредственно над ней. [87] Пихтовые волны возникают в лесах на горных склонах после возмущения ветра, во время регенерации. Когда деревья падают, деревья, которые они укрывали, становятся обнаженными и, в свою очередь, с большей вероятностью будут повреждены, поэтому промежутки имеют тенденцию расширяться по ветру. Между тем, с наветренной стороны растут молодые деревья, защищенные ветровой тенью оставшихся высоких деревьев. [88] Природные узоры иногда формируются животными, как в курганах Мима на северо-западе США и некоторых других областях, которые, по-видимому, создавались в течение многих лет в результате рытья нор карманными сусликами , [89] в то время как так называемые круги фей в Намибии, по-видимому, созданы в результате взаимодействия конкурирующих групп песчаных термитов, а также конкуренции за воду среди пустынных растений. [90]

В вечномерзлых почвах с активным верхним слоем, подверженным ежегодному замерзанию и оттаиванию, может образовываться узорчатая земля , создавая круги, сети, ледяные клинья -полигоны, ступени и полосы. Тепловое сжатие приводит к образованию усадочных трещин; при оттепели вода заполняет трещины, расширяясь и образуя лед при следующем замерзании, и расширяя трещины в клинья. Эти трещины могут соединяться, образуя многоугольники и другие формы. [91]

Трещиноватый рисунок , который развивается на мозге позвоночных, вызван физическим процессом ограниченного расширения, зависящим от двух геометрических параметров: относительного тангенциального расширения коры и относительной толщины коры . Похожие рисунки извилин (пиков) и борозд (впадин) были продемонстрированы в моделях мозга, начинающихся с гладких слоистых гелей, с рисунками, вызванными сжимающими механическими силами, возникающими в результате расширения внешнего слоя (представляющего кору) после добавления растворителя. Численные модели в компьютерном моделировании подтверждают естественные и экспериментальные наблюдения, что рисунки складчатости поверхности увеличиваются в более крупных мозгах. [92] [93]

Смотрите также

Ссылки

Сноски

  1. ^ Так называемые пифагорейцы , которые первыми занялись математикой, не только продвинули этот предмет, но и, пропитанные им, они вообразили, что принципы математики являются принципами всех вещей. Аристотель , Метафизика 1–5 , ок. 350 г. до н. э.
  2. ↑ Аристотель сообщает об Эмпедокле, утверждающем, что «там, где все происходило так, как должно было бы быть, если бы это происходило с определенной целью, там существа выживали, случайно соединяясь подходящим образом; но где этого не происходило, существа погибали». Физика , B8, 198b29 в Кирке и др., 304).

Цитаты

  1. ↑ Стивенс 1974, стр. 3.
  2. ^ Балагер, Марк (7 апреля 2009 г.) [2004]. «Платонизм в метафизике». Стэнфордская энциклопедия философии . Получено 4 мая 2012 г.
  3. ^ abcde Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: История Фи, самого удивительного числа в мире (первое коммерческое издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Broadway Books . стр. 110. ISBN 978-0-7679-0816-0.
  4. ^ Да Винчи, Леонардо (1971). Тейлор, Памела (ред.). Записные книжки Леонардо да Винчи . Новая американская библиотека. стр. 121.
  5. ^ Сингх, Пармананд (1986). «Ачарья Хемачандра и (так называемые) числа Фибоначчи». Математическое образование Сиван . 20 (1): 28–30. ISSN  0047-6269.
  6. ^ Нотт, Рон. «Кролики Фибоначчи». Факультет инженерии и физических наук Университета Суррея .
  7. ^ Браун, Томас (1658). "Глава III". Сад Кира .
  8. ^ Падован, Ричард (1999). Пропорция: Наука, Философия, Архитектура. Тейлор и Фрэнсис. стр. 305–306. ISBN 978-0-419-22780-9.
  9. ^ Падован, Ричард (2002). «Пропорция: наука, философия, архитектура». Nexus Network Journal . 4 (1): 113–122. doi : 10.1007/s00004-001-0008-7 .
  10. ^ Цейзинг, Адольф (1854). Neue Lehre van den Proportionen des meschlischen Körpers . предисловие.
  11. ^ аб Стюарт 2001, стр. 108–109.
  12. ↑ Болл 2009а, стр. 73–76.
  13. ^ Болл 2009а, стр. 41.
  14. ^ Ханнави, Джон (2007). Энциклопедия фотографии девятнадцатого века. Том 1. CRC Press. стр. 149. ISBN 978-0-415-97235-2.
  15. ^ ab Livio, Mario (2003) [2002]. Золотое сечение: История Фи, самого удивительного числа в мире. Нью-Йорк: Broadway Books . стр. 111. ISBN 978-0-7679-0816-0.
  16. ^ О Д'Арси Архивировано 01.07.2017 в Wayback Machine . Д'Арси 150. Университет Данди и Университет Сент-Эндрюс . Получено 16 октября 2012 г.
  17. ^ ab Turing, AM (1952). «Химическая основа морфогенеза». Philosophical Transactions of the Royal Society B. 237 ( 641): 37–72. Bibcode :1952RSPTB.237...37T. doi :10.1098/rstb.1952.0012. S2CID  937133.
  18. ↑ Болл 2009а, стр. 163, 247–250.
  19. ^ abc Розенберг, Гжегож ; Саломаа, Арто. Математическая теория L-систем . Academic Press , Нью-Йорк, 1980. ISBN 0-12-597140-0 
  20. ^ ab Mandelbrot, Benoît B. (1983). Фрактальная геометрия природы . Macmillan.
  21. ^ Форбс, Питер. Вся эта бесполезная красота . The Guardian. Обзор: Нехудожественная литература. 11 февраля 2012 г.
  22. ↑ Стивенс 1974, стр. 222.
  23. ^ Steen, LA (1988). "The Science of Patterns". Science . 240 (4852): 611–616. Bibcode :1988Sci...240..611S. doi :10.1126/science.240.4852.611. PMID  17840903. S2CID  4849363. Архивировано из оригинала 28.10.2010 . Получено 02.05.2012 .
  24. ^ Девлин, Кит . Математика: Наука о закономерностях: Поиск порядка в жизни, разуме и Вселенной (Scientific American Paperback Library) 1996
  25. ^ Татаркевич, Владислав . «Совершенство в науках. II. Совершенство в физике и химии». Диалектика и гуманизм . 7 (2 (весна 1980)): 139.
  26. ^ abc Дарвин, Чарльз . О происхождении видов . 1859, глава 4.
  27. ^ ab Wickler, Wolfgang (1968). Мимикрия у растений и животных . Нью-Йорк: McGraw-Hill.
  28. ^ Poulin, R.; Grutter, AS (1996). «Очищающие симбиозы: приблизительные и адаптивные объяснения». BioScience . 46 (7): 512–517. doi : 10.2307/1312929 . JSTOR  1312929.
  29. ^ Koning, Ross (1994). "Plant Physiology Information Website". Адаптации опыления . Получено 2 мая 2012 г.
  30. ↑ Стюарт 2001, стр. 48–49.
  31. ^ Стюарт 2001, стр. 64–65.
  32. ^ Стюарт 2001, стр. 52.
  33. ^ Стюарт 2001, стр. 82–84.
  34. ^ Стюарт 2001, стр. 60.
  35. ^ Стюарт 2001, стр. 71.
  36. ^ Hickman, Cleveland P.; Roberts, Larry S.; Larson, Allan (2002). "Animal Diversity" (PDF) . Глава 8: Acoelomate Bilateral Animals (Третье изд.). стр. 139. Архивировано из оригинала (PDF) 17 мая 2016 г. Получено 25 октября 2012 г.
  37. ^ Самралл, Колин Д.; Врей, Грегори А. (январь 2007 г.). «Онтогенез в палеонтологической летописи: диверсификация планов строения тела и эволюция «аберрантной» симметрии у палеозойских иглокожих». Палеобиология . 33 (1): 149–163. Bibcode : 2007Pbio...33..149S. doi : 10.1666/06053.1. JSTOR  4500143. S2CID  84195721.
  38. ^ "Изображение недели – Боже милостивый, огромные ледяные шары!". Криосферные науки . Получено 2022-04-23 .
  39. ^ Рихтер, Жан Поль, изд. (1970) [1880]. Записные книжки Леонардо да Винчи. Дувр. ISBN 978-0-486-22572-2.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  40. ^ ab Palca, Joe (26 декабря 2011 г.). «Мудрость деревьев (Леонардо да Винчи знал это)». Morning Edition . NPR . Получено 16 июля 2019 г.
  41. ^ Минамино, Рёко; Татено, Масаки (2014). «Ветвление дерева: правило Леонардо да Винчи против биомеханических моделей». PLoS One . Том 9, № 4. стр. e93535. doi : 10.1371/journal.pone.0093535 .
  42. ^ Фальконер, Кеннет (2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения . Джон Уайли.
  43. ^ Бриггс, Джон (1992). Фракталы: Модели хаоса . Темза и Гудзон. стр. 148.
  44. ↑ Бэтти, Майкл (4 апреля 1985 г.). «Фракталы – геометрия между измерениями». New Scientist . 105 (1450): 31.
  45. ^ Мейер, Ив; Рок, Сильви (1993). Прогресс в вейвлет-анализе и приложениях: труды Международной конференции «Вейвлеты и приложения», Тулуза, Франция – июнь 1992 г. Atlantica Séguier Frontières. стр. 25. ISBN 9782863321300.
  46. ^ Карбоне, Алессандра; Громов, Михаил; Прусинкевич, Прземыслав (2000). Формирование паттернов в биологии, зрении и динамике . World Scientific. стр. 78. ISBN 978-9810237929.
  47. ^ Хан, Хорст К.; Георг, Манфред; Пайтген, Хайнц-Отто (2005). «Фрактальные аспекты трехмерной сосудистой конструктивной оптимизации». В Losa, Габриэле А.; Нонненмахер, Тео Ф. (ред.). Фракталы в биологии и медицине . Springer. стр. 55–66.
  48. ^ Takeda, T; Ishikawa, A; Ohtomo, K; Kobayashi, Y; Matsuoka, T (февраль 1992 г.). «Фрактальная размерность дендритного дерева мозжечковых клеток Пуркинье во время онто- и филогенетического развития». Neurosci Research . 13 (1): 19–31. doi :10.1016/0168-0102(92)90031-7. PMID  1314350. S2CID  4158401.
  49. ^ Садег, Саназ (2017). «Плазматическая мембрана разделена на отсеки самоподобной кортикальной актиновой сетью». Physical Review X . 7 (1): 011031. arXiv : 1702.03997 . Bibcode :2017PhRvX...7a1031S. doi :10.1103/PhysRevX.7.011031. PMC 5500227 . PMID  28690919. 
  50. ^ Эддисон, Пол С. (1997). Фракталы и хаос: иллюстрированный курс . CRC Press. С. 44–46.
  51. ^ Маор, Эли. e: История одного числа . Princeton University Press, 2009. Страница 135.
  52. ↑ Болл 2009а, стр. 29–32.
  53. ^ "Спиральные решетки и парастихи". Smith College . Архивировано из оригинала 26 мая 2010 года . Получено 24 сентября 2013 года .
  54. ^ ab Kappraff, Jay (2004). "Рост растений: исследование чисел" (PDF) . Форма . 19 : 335–354. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04 . Получено 2012-05-02 .
  55. ^ Болл 2009а, стр. 13.
  56. ^ Коксетер, Х. С. М. (1961). Введение в геометрию . Wiley. стр. 169.
  57. ^ Прусинкевич, Пшемыслав ; Линденмайер, Аристид (1990). Алгоритмическая красота растений. Springer-Verlag. С. 101–107. ISBN 978-0-387-97297-8.
  58. ^ Левитов, Л.С. (15 марта 1991 г.). «Энергетический подход к филлотаксису». Europhysics Letters . 14 (6): 533–539. Bibcode : 1991EL.....14..533L. doi : 10.1209/0295-5075/14/6/006. S2CID  250864634.
  59. ^ Дуади, С.; Кудер, И. (март 1992 г.). «Филлотаксис как физический самоорганизованный процесс роста». Physical Review Letters . 68 (13): 2098–2101. Bibcode : 1992PhRvL..68.2098D. doi : 10.1103/PhysRevLett.68.2098. PMID  10045303.
  60. ↑ Болл 2009а, стр. 163, 249–250.
  61. ^ Лоренц, Эдвард Н. (март 1963 г.). «Детерминированный непериодический поток». Журнал атмосферных наук . 20 (2): 130–141. Bibcode :1963JAtS...20..130L. doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 .
  62. ^ Элайди, Сабер Н. (1999). Дискретный хаос . Chapman & Hall/CRC. стр. 117.
  63. ^ Рюэль, Дэвид (1991). Случай и хаос . Princeton University Press.
  64. ^ Вольфрам, Стивен (2002). Новый вид науки . Wolfram Media.
  65. ^ фон Карман, Теодор (1963). Аэродинамика . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0070676022.. Дувр (1994): ISBN 978-0486434858 . 
  66. ^ Lewalle, Jacques (2006). "Flow Separation and Secondary Flow: Section 9.1" (PDF) . Lecture Notes in Incompressible Fluid Dynamics: Phenomenology, Concepts and Analytical Tools . Сиракузы, Нью-Йорк: Сиракузский университет. Архивировано из оригинала (PDF) 29 сентября 2011 г..
  67. ^ Френч, А. П. (1971). Вибрации и волны . Нельсон Торнс.
  68. ^ Толман, Х. Л. (2008). «Практическое моделирование ветровых волн» (PDF) . В Махмуд, М. Ф. (ред.). Труды конференции CBMS по волнам на воде: теория и эксперимент . Университет Говарда, США, 13–18 мая 2008 г. World Scientific Publications.
  69. ^ "Типы дюн". USGS . 29 октября 1997 г. Получено 2 мая 2012 г.
  70. ^ Strahler, A.; Archibold, OW (2008). Физическая география: наука и системы окружающей среды человека (4-е изд.). John Wiley. стр. 442.
  71. ^ Schwämmle, V.; Herrman, HJ (11 декабря 2003 г.). «Поведение одиночных волн песчаных дюн». Nature . 426 (6967): 619–620. Bibcode :2003Natur.426..619S. doi :10.1038/426619a. PMID  14668849. S2CID  688445.
  72. ^ Болл 2009а, стр. 68.
  73. ^ Альмгрен, Фредерик Дж. младший; Тейлор, Джин Э. (июль 1976 г.). «Геометрия мыльных пленок и мыльных пузырей». Scientific American . 235 (235): 82–93. Bibcode : 1976SciAm.235a..82A. doi : 10.1038/scientificamerican0776-82.
  74. ^ Болл 2009а, стр. 96–101.
  75. ^ Броди, Кристина (февраль 2005 г.). «Геометрия и узор в природе 3: отверстия в тестах радиолярий и диатомовых водорослей». Микроскопия-Великобритания . Получено 28 мая 2012 г.
  76. ↑ Болл 2009а, стр. 51–54.
  77. ^ Армстронг, М. А. (1988). Группы и симметрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag.
  78. ^ Хук, Дж. Р.; Холл, Х. Э. Физика твердого тела (2-е издание). Серия физики Манчестера, John Wiley & Sons, 2010. ISBN 978-0-471-92804-1 
  79. ↑ Стивенс 1974, стр. 207.
  80. ↑ Стивенс 1974, стр. 208.
  81. ^ ab Ball 2009a, стр. 156–158.
  82. ^ Мюррей, Джеймс Д. (9 марта 2013 г.). Математическая биология. Springer Science & Business Media. стр. 436–450. ISBN 978-3-662-08539-4.
  83. ^ ab Ball 2009a, стр. 159–167.
  84. ^ Болл 2009а, стр. 168–180.
  85. ^ Ротенберг 2011, стр. 93–95.
  86. ^ ab Prum, Richard O. ; Williamson, Scott (2002). "Реакционно-диффузионные модели внутриперьевой пигментации" (PDF) . Труды Королевского общества Лондона B . 269 (1493): 781–792. doi :10.1098/rspb.2001.1896. PMC 1690965 . PMID  11958709. 
  87. ^ ab Tongway, DJ; Valentin, C.; Seghieri, J. (2001). Полосчатая структура растительности в засушливых и полузасушливых условиях . Нью-Йорк: Springer-Verlag.
  88. ^ ab D'Avanzo, C. (22 февраля 2004 г.). "Пихтовые волны: регенерация в хвойных лесах Новой Англии". TIEE . Получено 26 мая 2012 г. .
  89. ^ Морелл, Ребекка (2013-12-09). «Цифровые суслики» решают загадку кургана Мима». BBC News . Получено 9 декабря 2013 г.
  90. ↑ Сэмпл, Иэн (18 января 2017 г.). «Секрет „волшебных кругов“ Намибии может быть наконец-то раскрыт». The Guardian . Получено 18 января 2017 г.
  91. ^ "Permafrost: Patterned Ground". Инженерный корпус армии США . Архивировано из оригинала 7 марта 2015 года . Получено 17 февраля 2015 года .
  92. ^ Гхош, Тиа. «Причудливая структура складок человеческого мозга воссоздана в чане». Scientific American . Получено 5 апреля 2018 г.
  93. ^ Таллинен, Туома; Чунг, Джун Янг; Биггинс, Джон С.; Махадеван, Л. (2014). «Гирификация из-за ограниченного расширения коры». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 111 (35): 12667–12672. arXiv : 1503.03853 . Bibcode : 2014PNAS..11112667T. doi : 10.1073/pnas.1406015111 . PMC 4156754. PMID  25136099 . 

Библиография

Авторы-новаторы

В латинском Викиресурсе есть оригинальный текст, относящийся к этой статье:
Liber abbaci

Книги общего характера

Узоры природы (как искусство)

Внешние ссылки