Спин (физика)

Внутреннее квантовое свойство частиц

Спин — это внутренняя форма углового момента, переносимого элементарными частицами , а значит, и составными частицами, такими как адроны , атомные ядра и атомы. ^{[1] [2] : 183–184} Спин квантуется, и точные модели взаимодействия со спином требуют релятивистской квантовой механики или квантовой теории поля .

Существование электронного спинового момента выводится из экспериментов, таких как эксперимент Штерна-Герлаха , в котором наблюдалось, что атомы серебра обладают двумя возможными дискретными моментами импульса, несмотря на отсутствие орбитального момента импульса. [ ^3] Теорема релятивистского спина-статистики связывает квантование электронного спина с принципом исключения Паули : наблюдения исключения подразумевают спин, а наблюдения спина подразумевают исключение.

Спин математически описывается как вектор для некоторых частиц, таких как фотоны, и как спиноры и биспиноры для других частиц, таких как электроны. Спиноры и биспиноры ведут себя подобно векторам : они имеют определенные величины и изменяются при вращениях; однако, они используют нетрадиционное «направление». Все элементарные частицы данного вида имеют одинаковую величину спинового углового момента, хотя его направление может меняться. Они указываются путем присвоения частице спинового квантового числа . ^{[2] : 183–184}

Единицы измерения спина в системе СИ совпадают с единицами измерения классического углового момента (т. е. Н · м · с , Дж · с или кг · м ² · с ⁻¹ ). В квантовой механике угловой момент и спиновый угловой момент принимают дискретные значения, пропорциональные постоянной Планка . На практике спин обычно задается как безразмерное спиновое квантовое число путем деления спинового углового момента на приведенную постоянную Планка ħ . Часто «спиновое квантовое число» просто называют «спином».

Модели

Вращающаяся заряженная масса

Самые ранние модели спина электрона предполагали вращающуюся заряженную массу, но эта модель не срабатывает при детальном рассмотрении: требуемое пространственное распределение не соответствует ограничениям на радиус электрона : требуемая скорость вращения превышает скорость света. ^[4] В Стандартной модели все фундаментальные частицы считаются «точечными»: они оказывают свое воздействие через поле, которое их окружает. ^[5] Любая модель спина, основанная на вращении массы, должна соответствовать этой модели.

«Классически неописуемая двузначность» Паули

Вольфганг Паули , центральная фигура в истории квантового спина, изначально отвергал любую идею о том, что «степень свободы», которую он ввел для объяснения экспериментальных наблюдений, была связана с вращением. Он называл это «классически неописуемой двузначностью». Позже он допустил, что она связана с угловым моментом, но настаивал на том, чтобы считать спин абстрактным свойством. ^[6] Этот подход позволил Паули разработать доказательство своего фундаментального принципа исключения Паули , доказательство, которое теперь называется теоремой о спиновой статистике . ^[7] Оглядываясь назад, эта настойчивость и стиль его доказательства положили начало современной эре физики элементарных частиц, где доминируют абстрактные квантовые свойства, полученные из свойств симметрии. Конкретная интерпретация стала вторичной и необязательной. ^[6]

Циркуляция классических полей

Первая классическая модель спина предполагала малую жесткую частицу, вращающуюся вокруг оси, как можно предположить из обычного использования этого слова. Угловой момент также может быть вычислен из классического поля. ^{[8] [9] : 63} Применив подход Фредерика Белинфанте к вычислению углового момента поля, Ганс К. Оганян показал, что «спин по сути является волновым свойством... создаваемым циркулирующим потоком заряда в волновом поле электрона». ^[10] Эту же концепцию спина можно применить к гравитационным волнам в воде: «спин создается субволновым круговым движением частиц воды». ^[11]

В отличие от классической циркуляции волнового поля, которая допускает непрерывные значения углового момента, квантовые волновые поля допускают только дискретные значения. ^[10] Следовательно, передача энергии в состояния спинов или из них всегда происходит фиксированными квантовыми шагами. Разрешено только несколько шагов: для многих качественных целей сложность спиновых квантовых волновых полей можно игнорировать, а свойства системы можно обсуждать в терминах «целочисленных» или «полуцелочисленных» спиновых моделей, как обсуждается ниже в квантовых числах.

Релятивистский электрон Дирака

Количественные расчеты спиновых свойств электронов требуют релятивистского волнового уравнения Дирака . ^[7]

Отношение к орбитальному угловому моменту

Как следует из названия, спин изначально рассматривался как вращение частицы вокруг некоторой оси. Исторически орбитальный угловой момент связан с орбитами частиц. ^{[12] : 131} Хотя названия, основанные на механических моделях, сохранились, физическое объяснение — нет. Квантование фундаментально изменяет характер как спина, так и орбитального углового момента.

Поскольку элементарные частицы точечные, самовращение для них не вполне определено. Однако спин подразумевает, что фаза частицы зависит от угла, как при вращении угла θ вокруг оси, параллельной спину S. Это эквивалентно квантово-механической интерпретации импульса как фазовой зависимости в положении, а орбитального углового момента как фазовой зависимости в угловом положении. ${\displaystyle e^{iS\theta }\ ,}$

Для фермионов картина менее ясна: из теоремы Эренфеста угловая скорость равна производной гамильтониана по его сопряженному импульсу , который является оператором полного углового момента J = L + S. Следовательно, если гамильтониан H имеет какую-либо зависимость от спина S , то ⁠  ∂  Н / ∂  S ⁠   должно быть ненулевым; следовательно, дляклассической механикисуществование спина в гамильтониане создаст фактическую угловую скорость, а значит, и фактическое физическое вращение – то есть изменение фазового углаθс течением времени. Однако, справедливо ли это для свободного электрона, неоднозначно, поскольку для электрона| S |² является константой ⁠  1 /2⁠  ℏ ,и можно решить, что поскольку он не может измениться, то непарциального(∂). Поэтому вопрос интерпретации заключается в том, должен ли гамильтониан включать такой член, ираспространяетсяклассической механикиквантовую механику(собственный спиновый момент импульса любой частицы,S, являетсяквантовым числом,возникающим из «спинора» в математическом решении уравненияДирака, а не является более близкой к физической величиной, какорбитальный момент импульса L). Тем не менее, спин появляется вуравнении Дирака, и, таким образом, релятивистский гамильтониан электрона, рассматриваемый какполе Дирака, может быть интерпретирован как включающий зависимость в спинеS.^[9]

Квантовое число

Спин подчиняется математическим законам квантования углового момента . Конкретные свойства угловых моментов спина включают:

• Спиновые квантовые числа могут принимать как полуцелые, так и целые значения.
• Хотя направление спина элементарной частицы можно изменить, величину спина изменить нельзя.
• Спин заряженной частицы связан с магнитным дипольным моментом с g -фактором , отличным от 1. (В классическом контексте это означало бы, что внутреннее распределение заряда и массы для вращающегося объекта отличается. ^[4] )

Традиционное определение спинового квантового числа : s = ⁠н/2⁠ , где n может быть любым неотрицательным целым числом . Следовательно, допустимые значения s равны 0, ⁠1/2⁠ , 1, ⁠3/2⁠ , 2 и т. д. Значение s для элементарной частицы зависит только от типа частицы и не может быть изменено каким-либо известным способом (в отличие от направления спина, описанного ниже). Спиновый угловой момент S любой физической системы квантуется . Допустимые значения S равны , где h — постоянная Планка , а — приведенная постоянная Планка. Напротив, орбитальный угловой момент может принимать только целые значения s ; т. е. четные значения n . $${\displaystyle S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}}={\frac {h}{2\pi }}\,{\sqrt {{\frac {n}{2}}{\frac {(n+2)}{2}}}}={\frac {h}{4\pi }}\,{\sqrt {n(n+2)}},}$$ ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

Фермионы и бозоны

Частицы с полуцелыми спинами, такие как ⁠1/2⁠ , ⁠3/2⁠ , ⁠5/2⁠ , известны как фермионы , в то время как частицы с целыми спинами, такими как 0, 1, 2, известны как бозоны . Два семейства частиц подчиняются разным правилам и в целом играют разные роли в мире вокруг нас. Ключевое различие между двумя семействами заключается в том, что фермионы подчиняются принципу исключения Паули : то есть не может быть двух идентичных фермионов одновременно с одинаковыми квантовыми числами (то есть, грубо говоря, с одинаковым положением, скоростью и направлением спина). Фермионы подчиняются правилам статистики Ферми–Дирака . Напротив, бозоны подчиняются правилам статистики Бозе–Эйнштейна и не имеют таких ограничений, поэтому они могут «группироваться» в идентичных состояниях. Кроме того, составные частицы могут иметь спины, отличные от спинов их составляющих частиц. Например, атом гелия-4 в основном состоянии имеет спин 0 и ведет себя как бозон, хотя кварки и электроны, которые его составляют, все являются фермионами.

Это имеет некоторые серьезные последствия:

• Кварки и лептоны (включая электроны и нейтрино ), составляющие то, что классически известно как материя , являются фермионами со спином  ⁠1/2⁠ . Распространенная идея о том, что «материя занимает пространство», на самом деле исходит из принципа исключения Паули, действующего на эти частицы, чтобы не допустить нахождения фермионов в одном и том же квантовом состоянии. Дальнейшее уплотнение потребовало бы, чтобы электроны занимали те же энергетические состояния, и поэтому своего рода давление (иногда называемое давлением вырождения электронов ) действует, чтобы противостоять слишком близкому расположению фермионов.
  Элементарные фермионы с другими спинами ( ⁠3/2⁠ , ⁠5/2⁠ и т. д.) не известны.
• Элементарные частицы, которые считаются переносчиками сил, являются бозонами со спином 1. Они включают фотон , который переносит электромагнитную силу , глюон ( сильное взаимодействие ), а также W- и Z-бозоны ( слабое взаимодействие ). Способность бозонов занимать одно и то же квантовое состояние используется в лазере , который выстраивает в ряд множество фотонов с одинаковым квантовым числом (одинаковым направлением и частотой), сверхтекучем жидком гелии, возникающем из атомов гелия-4, являющихся бозонами, и сверхпроводимости , где пары электронов (которые по отдельности являются фермионами) действуют как отдельные составные бозоны.
  Элементарные бозоны с другими спинами (0, 2, 3 и т. д.) исторически не были известны как существующие, хотя они получили значительную теоретическую обработку и хорошо обоснованы в своих соответствующих основных теориях. В частности, теоретики предложили гравитон ( существование которого предсказано некоторыми теориями квантовой гравитации ) со спином 2 и бозон Хиггса (объясняющий нарушение электрослабой симметрии ) со спином 0. С 2013 года бозон Хиггса со спином 0 считается доказанным. ^[13] Это первая скалярная элементарная частица (спин 0), известная о существовании в природе.
• Атомные ядра имеют ядерный спин , который может быть как полуцелым, так и целым числом, так что ядра могут быть либо фермионами, либо бозонами.

Теорема о спиновой статистике

Теорема о спине–статистике разделяет частицы на две группы: бозоны и фермионы , где бозоны подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна , а фермионы подчиняются статистике Ферми–Дирака (и, следовательно, принципу исключения Паули ). В частности, теорема требует, чтобы частицы с полуцелым спином подчинялись принципу исключения Паули , а частицы с целым спином — нет. Например, электроны имеют полуцелый спин и являются фермионами, которые подчиняются принципу исключения Паули, в то время как фотоны имеют целый спин и не подчиняются. Теорема была выведена Вольфгангом Паули в 1940 году; она опирается как на квантовую механику, так и на специальную теорию относительности . Паули описал эту связь между спином и статистикой как «одно из важнейших приложений специальной теории относительности». ^[14]

Магнитные моменты

Схематическая диаграмма, изображающая спин нейтрона в виде черной стрелки и магнитных силовых линий, связанных с магнитным моментом нейтрона . Нейтрон имеет отрицательный магнитный момент. В то время как спин нейтрона на этой диаграмме направлен вверх, магнитные силовые линии в центре диполя направлены вниз.

Частицы со спином могут обладать магнитным дипольным моментом , как вращающееся электрически заряженное тело в классической электродинамике . Эти магнитные моменты можно экспериментально наблюдать несколькими способами, например, путем отклонения частиц неоднородными магнитными полями в эксперименте Штерна-Герлаха или путем измерения магнитных полей, создаваемых самими частицами.

Собственный магнитный момент μ спин- ⁠1/2⁠ частица с зарядом q , массой m и спиновым угловым моментом S , равна ^[15]

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {g_{\text{s}}q}{2m}}\mathbf {S} ,}$

где безразмерная величина g _s называется спиновым g -фактором . Для исключительно орбитальных вращений он будет равен 1 (предполагая, что масса и заряд занимают сферы одинакового радиуса).

Электрон, будучи заряженной элементарной частицей, обладает ненулевым магнитным моментом . Одним из триумфов теории квантовой электродинамики является ее точное предсказание g -фактора электрона , который экспериментально определен как имеющий значение−2,002 319 304 360 92 (36) , где цифры в скобках обозначают неопределенность измерения в последних двух цифрах при одном стандартном отклонении . ^[16] Значение 2 возникает из уравнения Дирака , фундаментального уравнения, связывающего спин электрона с его электромагнитными свойствами, и отклонения от−2 возникает в результате взаимодействия электрона с окружающими квантовыми полями, включая его собственное электромагнитное поле и виртуальные частицы. ^[17]

Составные частицы также обладают магнитными моментами, связанными с их спином. В частности, нейтрон обладает ненулевым магнитным моментом, несмотря на то, что он электрически нейтрален. Этот факт был ранним указанием на то, что нейтрон не является элементарной частицей. Фактически, он состоит из кварков , которые являются электрически заряженными частицами. Магнитный момент нейтрона возникает из спинов отдельных кварков и их орбитальных движений.

Нейтрино являются как элементарными, так и электрически нейтральными. Минимально расширенная Стандартная модель , которая учитывает ненулевые массы нейтрино, предсказывает магнитные моменты нейтрино: ^{[18] [19] [20]}

${\displaystyle \mu _{\nu }\approx 3\times 10^{-19}\mu _{\text{B}}{\frac {m_{\nu }c^{2}}{\text{eV}}},}$

где μ _ν — магнитные моменты нейтрино, m _ν — массы нейтрино, а μ _B — магнетон Бора . Однако новая физика выше электрослабой шкалы может привести к значительно более высоким магнитным моментам нейтрино. Можно показать модельно-независимым способом, что магнитные моменты нейтрино, большие, чем примерно 10 ⁻¹⁴  μ _B, являются «неестественными», поскольку они также приводят к большим радиационным вкладам в массу нейтрино. Поскольку известно, что массы нейтрино составляют максимум около1 эВ/ c ² , тонкая настройка была бы необходима для предотвращения больших вкладов в массу нейтрино через радиационные поправки. ^[21] Измерение магнитных моментов нейтрино является активной областью исследований. Экспериментальные результаты поставили магнитный момент нейтрино на уровне менее1,2 × 10 ⁻¹⁰  магнитного момента электрона.

С другой стороны, элементарные частицы со спином, но без электрического заряда, такие как фотон или Z-бозон , не имеют магнитного момента.

Температура Кюри и потеря выравнивания

В обычных материалах магнитные дипольные моменты отдельных атомов создают магнитные поля, которые нейтрализуют друг друга, поскольку каждый диполь указывает в случайном направлении, а общее среднее значение очень близко к нулю. Ферромагнитные материалы ниже своей температуры Кюри , однако, демонстрируют магнитные домены, в которых атомные дипольные моменты спонтанно выравниваются локально, создавая макроскопическое, ненулевое магнитное поле из домена. Это обычные «магниты», с которыми мы все знакомы.

В парамагнитных материалах магнитные дипольные моменты отдельных атомов будут частично выравниваться с внешним приложенным магнитным полем. В диамагнитных материалах, с другой стороны, магнитные дипольные моменты отдельных атомов выравниваются противоположно любому внешне приложенному магнитному полю, даже если для этого требуется энергия.

Изучение поведения таких « спиновых моделей » является процветающей областью исследований в физике конденсированного состояния . Например, модель Изинга описывает спины (диполи), которые имеют только два возможных состояния: вверх и вниз, тогда как в модели Гейзенберга вектор спина может указывать в любом направлении. Эти модели обладают многими интересными свойствами, которые привели к интересным результатам в теории фазовых переходов .

Направление

Квантовое число и кратность проекции спина

В классической механике момент импульса частицы обладает не только величиной (насколько быстро вращается тело), ​​но и направлением (вверх или вниз по оси вращения частицы). Квантово-механический спин также содержит информацию о направлении, но в более тонкой форме. Квантовая механика утверждает, что составляющая момента импульса для частицы со спином s, измеренная вдоль любого направления, может принимать только значения ^[22]

${\displaystyle S_{i}=\hbar s_{i},\quad s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

где S _i - спиновая компонента вдоль i -й оси ( x , y или z ), s _i - квантовое число проекции спина вдоль i -й оси, а s - главное спиновое квантовое число (обсуждалось в предыдущем разделе). Традиционно выбранное направление - ось z  :

${\displaystyle S_{z}=\hbar s_{z},\quad s_{z}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

где S _z — компонента спина вдоль оси z  , s _z — квантовое число проекции спина вдоль оси z  .

Видно, что существует 2 s + 1 возможных значений s _z . Число " 2 s + 1 " — это кратность спиновой системы. Например, существует только два возможных значения для спина- ⁠1/2⁠ частица: s _z = + ⁠1/2⁠ и s _z = − ⁠1/2⁠ . Они соответствуют квантовым состояниям , в которых спиновая компонента указывает в направлениях + z или − z соответственно, и часто называются «спин вверх» и «спин вниз». Для спина- ⁠3/2⁠ частица, как дельта-барион , возможные значения + ⁠3/2⁠ , + ⁠1/2⁠ , − ⁠1/2⁠ , − ⁠3/2⁠ .

Вектор

Отдельная точка в пространстве может вращаться непрерывно, не запутываясь. Обратите внимание, что после вращения на 360 градусов спираль переворачивается между ориентациями по часовой стрелке и против часовой стрелки. Она возвращается к своей первоначальной конфигурации после вращения на полные 720° .

Для данного квантового состояния можно было бы представить себе спиновый вектор , компоненты которого являются ожидаемыми значениями спиновых компонент вдоль каждой оси, т. е . Этот вектор затем будет описывать «направление», в котором указывает спин, что соответствует классическому понятию оси вращения . Оказывается, спиновый вектор не очень полезен в реальных квантово-механических расчетах, поскольку его нельзя измерить напрямую: s _x , s _y и s _z не могут обладать одновременными определенными значениями из-за квантового соотношения неопределенности между ними. Однако для статистически больших наборов частиц, которые были помещены в одно и то же чистое квантовое состояние, например, с помощью аппарата Штерна-Герлаха , спиновый вектор имеет четко определенное экспериментальное значение: он указывает направление в обычном пространстве, в котором должен быть ориентирован последующий детектор, чтобы достичь максимально возможной вероятности (100%) обнаружения каждой частицы в наборе. Для спин- ⁠ ${\textstyle \langle S\rangle }$ ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$1/2⁠ частиц эта вероятность плавно падает по мере увеличения угла между вектором спина и детектором, пока при угле 180° — то есть для детекторов, ориентированных в противоположном направлении к вектору спина — ожидание обнаружения частиц из коллекции не достигнет минимума 0%.

Как качественное понятие, вектор спина часто бывает удобен, поскольку его легко изобразить классически. Например, квантово-механический спин может проявлять явления, аналогичные классическим гироскопическим эффектам . Например, можно приложить своего рода « крутящий момент » к электрону, поместив его в магнитное поле (поле действует на собственный магнитный дипольный момент электрона — см. следующий раздел). Результатом является то, что вектор спина претерпевает прецессию , как классический гироскоп. Это явление известно как электронный спиновый резонанс (ЭПР). Эквивалентное поведение протонов в атомных ядрах используется в спектроскопии и визуализации ядерного магнитного резонанса (ЯМР).

Математически квантово-механические спиновые состояния описываются вектороподобными объектами, известными как спиноры . Существуют тонкие различия между поведением спиноров и векторов при вращениях координат . Например, вращение спин- ⁠1/2⁠ частица на 360° не возвращает ее в то же самое квантовое состояние, а в состояние с противоположной квантовой фазой ; это можно обнаружить, в принципе, с помощью интерференционных экспериментов. Чтобы вернуть частицу в ее точное исходное состояние, нужно повернуть на 720°. ( Трюк с пластиной и лента Мёбиуса дают неквантовые аналогии.) Частица со спином ноль может иметь только одно квантовое состояние, даже после приложения крутящего момента. Поворот частицы со спином 2 на 180° может вернуть ее в то же самое квантовое состояние, а частицу со спином 4 следует повернуть на 90°, чтобы вернуть ее в то же самое квантовое состояние. Частица со спином 2 может быть аналогична прямой палке, которая выглядит одинаково даже после поворота на 180°, а частицу со спином 0 можно представить как сферу, которая выглядит одинаково после любого угла, на который она повернута.

Математическая формулировка

Оператор

Спин подчиняется коммутационным соотношениям ^[23], аналогичным соотношениям орбитального углового момента : где ε _jkl — символ Леви-Чивиты . Из этого следует (как и в случае углового момента ), что собственные векторы и ( выраженные как кеты в общем базисе S ) равны ^{[2] : 166} $${\displaystyle \left[{\hat {S}}_{j},{\hat {S}}_{k}\right]=i\hbar \varepsilon _{jkl}{\hat {S}}_{l},}$$ ${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{z}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}^{2}|s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle ,\\{\hat {S}}_{z}|s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}}$$

Операторы повышения и понижения спина , действующие на эти собственные векторы, дают . [ ^{2] : 166} $${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle ,}$$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}}$

Но в отличие от орбитального углового момента собственные векторы не являются сферическими гармониками . Они не являются функциями θ и φ . Также нет причин исключать полуцелые значения s и m _s .

Все квантово-механические частицы обладают собственным спином (хотя эта величина может быть равна нулю). Проекция спина на любую ось квантуется в единицах приведенной постоянной Планка , так что функция состояния частицы есть, скажем, не , а , где может принимать только значения следующего дискретного набора: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,s_{z})}$ ${\displaystyle s_{z}}$ $${\displaystyle s_{z}\in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\dots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.}$$

Различают бозоны (целый спин) и фермионы (полуцелый спин). Полный угловой момент, сохраняющийся в процессах взаимодействия, тогда является суммой орбитального углового момента и спина.

Матрицы Паули

Квантово -механические операторы, связанные со спином- ⁠1/2⁠ наблюдаемые находятся там, где в декартовых компонентах $${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }},}$$ $${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}.}$$

Для частного случая спина- ⁠1/2⁠ частицы, σ _x , σ _y и σ _z — три матрицы Паули : $${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$

Принцип исключения Паули

Принцип исключения Паули гласит, что волновая функция для системы из N идентичных частиц, имеющих спин s, должна изменяться при взаимных обменах любых двух из N частиц следующим образом: ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})}$ $${\displaystyle \psi (\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots )=(-1)^{2s}\psi (\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ).}$$

Таким образом, для бозонов префактор (−1) ^{2 s} уменьшится до +1, для фермионов до −1. Этот постулат перестановки для функций состояния N частиц имеет важнейшие последствия в повседневной жизни, например, в периодической таблице химических элементов.

Вращения

Как описано выше, квантовая механика утверждает, что компоненты углового момента, измеренные вдоль любого направления, могут принимать только ряд дискретных значений. Поэтому наиболее удобным квантово-механическим описанием спина частицы является набор комплексных чисел, соответствующих амплитудам нахождения заданного значения проекции ее собственного углового момента на заданную ось. Например, для спина- ⁠1/2⁠ частицы, нам понадобятся два числа a _±1/2 , дающие амплитуды ее нахождения с проекцией углового момента, равной + ⁠час/2⁠ и − ⁠час/2⁠ , удовлетворяющий требованию $${\displaystyle |a_{+1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}=1.}$$

Для общей частицы со спином s нам понадобится 2 s + 1 таких параметров. Поскольку эти числа зависят от выбора оси, они преобразуются друг в друга нетривиальным образом при вращении этой оси. Ясно, что закон преобразования должен быть линейным, поэтому мы можем представить его, связав матрицу с каждым вращением, и произведение двух матриц преобразования, соответствующих вращениям A и B, должно быть равно (с точностью до фазы) матрице, представляющей вращение AB. Кроме того, вращения сохраняют квантово-механическое внутреннее произведение, и то же самое должны делать наши матрицы преобразования: $${\displaystyle \sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right),}$$ $${\displaystyle \sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.}$$

Математически говоря, эти матрицы предоставляют унитарное проективное представление группы вращения SO(3) . Каждое такое представление соответствует представлению группы покрытия SO(3), которая есть SU(2) . ^[24] Существует одно n -мерное неприводимое представление SU(2) для каждого измерения, хотя это представление является n -мерным действительным для нечетных n и n -мерным комплексным для четных n (следовательно, действительной размерности 2 n ). Для вращения на угол θ в плоскости с нормальным вектором , где , а S - вектор операторов спина. ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ $${\displaystyle U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {S} },}$$ ${\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

Доказательство

Работая в системе координат, где , мы хотели бы показать, что S _x и S _y повернуты друг в друга на угол θ . Начиная с S _x . Используя единицы, где ħ = 1 : ${\textstyle {\hat {\theta }}={\hat {z}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}\rightarrow U^{\dagger }S_{x}U&=e^{i\theta S_{z}}S_{x}e^{-i\theta S_{z}}\\&=S_{x}+(i\theta )\left[S_{z},S_{x}\right]+\left({\frac {1}{2!}}\right)(i\theta )^{2}\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]+\left({\frac {1}{3!}}\right)(i\theta )^{3}\left[S_{z},\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]\right]+\cdots \end{aligned}}}$$

Используя соотношения коммутации оператора спина, мы видим, что коммутаторы оцениваются как i S _y для нечетных членов в ряду и как S _x для всех четных членов. Таким образом: как и ожидалось. Обратите внимание, что поскольку мы опирались только на соотношения коммутации оператора спина, это доказательство справедливо для любого измерения (т. е. для любого главного квантового числа спина s ) ^{[25] : 164} $${\displaystyle {\begin{aligned}U^{\dagger }S_{x}U&=S_{x}\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+\cdots \right]-S_{y}\left[\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}\cdots \right]\\&=S_{x}\cos \theta -S_{y}\sin \theta ,\end{aligned}}}$$

Общее вращение в трехмерном пространстве можно построить путем объединения операторов этого типа с использованием углов Эйлера : $${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha S_{x}}e^{-i\beta S_{y}}e^{-i\gamma S_{z}}.}$$

Неприводимое представление этой группы операторов обеспечивается D-матрицей Вигнера : где — малая d-матрица Вигнера . Обратите внимание, что при γ = 2π и α = β = 0 ; т. е. полный оборот вокруг оси z  , элементы D-матрицы Вигнера становятся $${\displaystyle D_{m'm}^{s}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle sm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|sm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{s}(\beta )e^{-im\gamma },}$$ $${\displaystyle d_{m'm}^{s}(\beta )=\langle sm'|e^{-i\beta s_{y}}|sm\rangle }$$ $${\displaystyle D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi )=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi }=\delta _{m'm}(-1)^{2m}.}$$

Вспоминая, что общее спиновое состояние может быть записано как суперпозиция состояний с определенным m , мы видим, что если s — целое число, то все значения m являются целыми числами, и эта матрица соответствует оператору тождества. Однако, если s — полуцелое число, то все значения m также являются полуцелыми числами, что дает (−1) ^{2 m} = −1 для всех m , и, следовательно, при повороте на 2 π состояние приобретает знак минус. Этот факт является важнейшим элементом доказательства теоремы о спиновой статистике .

Преобразования Лоренца

Мы могли бы попробовать тот же подход, чтобы определить поведение спина при общих преобразованиях Лоренца , но мы бы сразу обнаружили одно большое препятствие. В отличие от SO(3), группа преобразований Лоренца SO(3,1) некомпактна и , следовательно, не имеет никаких точных, унитарных, конечномерных представлений.

В случае спина- ⁠1/2⁠ частиц, можно найти конструкцию, которая включает как конечномерное представление, так и скалярное произведение, которое сохраняется этим представлением. Мы связываем с каждой частицей 4-компонентный спинор Дирака ψ . Эти спиноры преобразуются при преобразованиях Лоренца по закону где γ _ν — гамма-матрицы , а ω _μν — антисимметричная матрица 4 × 4, параметризующая преобразование. Можно показать, что скалярное произведение сохраняется. Однако оно не является положительно определенным, поэтому представление не является унитарным. $${\displaystyle \psi '=\exp {\left({\tfrac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi ,}$$ $${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$$

Измерение спина вдольх,у, илизтопоры

Каждая из ( эрмитовых ) матриц Паули спина- ⁠1/2⁠ частицы имеют два собственных значения , +1 и −1. Соответствующие нормализованные собственные векторы равны $${\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{array}}}$$

(Поскольку любой собственный вектор, умноженный на константу, все еще является собственным вектором, возникает неоднозначность относительно общего знака. В этой статье выбрано соглашение, согласно которому первый элемент является мнимым и отрицательным, если существует неоднозначность знака. Настоящее соглашение используется в программном обеспечении, таком как SymPy ; в то время как многие учебники по физике, такие как Sakurai и Griffiths, предпочитают делать его действительным и положительным.)

Согласно постулатам квантовой механики , эксперимент, предназначенный для измерения спина электрона по осям x , y или z,  может дать только собственное значение соответствующего оператора спина ( S _x , S _y или S _z ) по этой оси, т. е . ⁠час/2⁠ или – ⁠час/2⁠ . Квантовое состояние частицы (по отношению к спину) можно представить двухкомпонентным спинором : $${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}a+bi\\c+di\end{pmatrix}}.}$$

Когда спин этой частицы измеряется относительно заданной оси (в этом примере оси x  ), вероятность того, что ее спин будет измерен как ⁠час/2⁠ просто. Соответственно, вероятность того, что его спин будет измерен как – ⁠ ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$час/2⁠ — это просто. После измерения спиновое состояние частицы коллапсирует в соответствующее собственное состояние. В результате, если спин частицы вдоль заданной оси был измерен, чтобы иметь заданное собственное значение, все измерения дадут то же самое собственное значение (так каки т. д.), при условии, что измерения спина вдоль других осей не производятся. ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$ ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1}$

Измерение спина вдоль произвольной оси

Оператор для измерения спина вдоль произвольного направления оси легко получается из матриц спина Паули. Пусть u = ( u _x , u _y , u _z ) — произвольный единичный вектор. Тогда оператор для спина в этом направлении просто $${\displaystyle S_{u}={\frac {\hbar }{2}}(u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z}).}$$

Оператор Su имеет собственные _{значения} ± ⁠час/2⁠ , как и обычные спиновые матрицы. Этот метод нахождения оператора для спина в произвольном направлении обобщается на состояния с более высоким спином, берется скалярное произведение направления с вектором трех операторов для трехнаправлений осей x , y , z .

Нормализованный спинор для спина- ⁠1/2⁠ в направлении ( ux , u _y , uz ) (что работает для всех состояний спина _{, кроме} спина вниз, где это даст ⁠0/0⁠ ) ​​есть $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{pmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{pmatrix}}.}$$

Вышеуказанный спинор получается обычным способом путем диагонализации матрицы σ _u и нахождения собственных состояний, соответствующих собственным значениям. В квантовой механике векторы называются «нормализованными», когда они умножаются на нормирующий множитель, что приводит к тому, что вектор имеет длину, равную единице.

Совместимость измерений спина

Поскольку матрицы Паули не коммутируют , измерения спина вдоль различных осей несовместимы. Это означает, что если, например, мы знаем спин вдоль оси x  , а затем измеряем спин вдоль оси y  , мы делаем недействительными наши предыдущие знания о спине оси x  . Это можно увидеть из свойства собственных векторов (т. е. собственных состояний) матриц Паули, что $${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{y\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{y\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$$

Поэтому, когда физики измеряют спин частицы вдоль оси x  , например, ⁠час/2⁠ , спиновое состояние частицы коллапсирует в собственное состояние. Когда мы затем последовательно измеряем спин частицы вдоль оси y  , спиновое состояние теперь коллапсирует вили, каждое с вероятностью ⁠ ${\displaystyle |\psi _{x+}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{y+}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{y-}\rangle }$1/2⁠ . Допустим, в нашем примере мы измеряем − ⁠час/2⁠ . Когда мы теперь снова вернемся к измерению спина частицы вдоль оси x  , вероятности того, что мы измерим ⁠час/2⁠ или − ⁠час/2⁠ каждый ⁠1/2⁠ (т.е. они являются и соответственно). Это означает, что первоначальное измерение спина вдоль оси x  больше недействительно, поскольку спин вдоль оси x  теперь будет измеряться так, чтобы иметь любое собственное значение с равной вероятностью. ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$ ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$

Более высокие спины

Спин- ⁠1/2⁠ оператор S = ⁠час/2⁠ σ образует фундаментальное представление SU (2) . Взяв произведения Кронекера этого представления с собой многократно, можно построить все высшие неприводимые представления. То есть, результирующие операторы спина для систем с высшим спином в трех пространственных измерениях могут быть вычислены для произвольно больших s с использованием этого оператора спина и операторов лестницы . Например, взяв произведение Кронекера двух спинов- ⁠1/2⁠ дает четырехмерное представление, которое можно разделить на трехмерное представление со спином 1 ( триплетные состояния ) и одномерное представление со спином 0 ( синглетное состояние ).

Полученные неприводимые представления дают следующие спиновые матрицы и собственные значения в z-базисе:

1. Для спина 1 они равны $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{-{\sqrt {2}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\-i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}&=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$
2. Для спина ⁠3/2⁠ они есть $${\displaystyle {\begin{array}{lclc}S_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-{\sqrt {3}}}\\-1\\1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\-1\\-1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}-1\\{\sqrt {3}}\\{-{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{-i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i{\sqrt {3}}}\\1\\{-i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i{\sqrt {3}}}\\1\\{i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\\\end{array}}}$$
3. Для спина ⁠5/2⁠ они есть $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}_{x}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{y}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{z}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$
4. Обобщение этих матриц для произвольного спина s таково , что индексы являются целыми числами, такими что $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(S_{x}\right)_{ab}&={\frac {\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}+\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{y}\right)_{ab}&={\frac {i\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}-\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{z}\right)_{ab}&=\hbar (s+1-a)\delta _{a,b}=\hbar (s+1-b)\delta _{a,b},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a,b}$ $${\displaystyle 1\leq a\leq 2s+1,\quad 1\leq b\leq 2s+1.}$$

Также полезная в квантовой механике многочастичных систем общая группа Паули G _n определяется как состоящая из всех n -кратных тензорных произведений матриц Паули.

Аналог формулы Эйлера в терминах матриц Паули для высших спинов понятен, но менее прост. ^[26] $${\displaystyle {\hat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})=e^{i{\frac {\theta }{2}}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}=I\cos {\frac {\theta }{2}}+i\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\sin {\frac {\theta }{2}}}$$

Паритет

В таблицах спиновых квантовых чисел s для ядер или частиц спин часто сопровождается знаком «+» или «−». ^{[ требуется ссылка ]} Это относится к четности с «+» для четной четности (волновая функция не меняется при пространственной инверсии) и «−» для нечетной четности (волновая функция отрицается при пространственной инверсии). Например, см. изотопы висмута , в которых список изотопов включает столбец ядерного спина и четности. Для Bi-209, самого долгоживущего изотопа, запись 9/2– означает, что ядерный спин равен 9/2, а четность нечетная.

Измерение спина

Ядерный спин атомов может быть определен путем сложных усовершенствований оригинального эксперимента Штерна-Герлаха . ^[27] Молекулярный пучок атомов с одной энергией (монохроматический) в неоднородном магнитном поле расщепляется на пучки, представляющие каждое возможное квантовое состояние спина. Для атома с электронным спином S и ядерным спином I существует (2 S + 1)(2 I + 1) состояний спина. Например, нейтральные атомы Na , которые имеют S = 1/2 , были пропущены через ряд неоднородных магнитных полей, которые выбрали одно из двух состояний электронного спина и разделили состояния ядерного спина, из которых наблюдались четыре пучка. Таким образом, ядерный спин для ²³ атомов Na оказался равным I = 3/2 . ^{[28] [29]}

Спин пионов , типа элементарной частицы, был определен принципом детального равновесия, примененным к тем столкновениям протонов, которые производили заряженные пионы и дейтерий . Известные значения спина для протонов и дейтерия позволяют проанализировать поперечное сечение столкновения, чтобы показать, что имеет спин . Для нейтральных пионов необходим другой подход. В этом случае реакция распада на два гамма- фотона со спином один: Эти результаты, дополненные дополнительным анализом, приводят к выводу, что нейтральный пион также имеет спин ноль. ^{[30] : 66} $${\displaystyle p+p\rightarrow \pi _{-}+d}$$ ${\displaystyle \pi _{-}}$ ${\displaystyle s_{\pi }=0}$ $${\displaystyle \pi _{0}\rightarrow 2\gamma }$$

Приложения

Спин имеет важные теоретические следствия и практические применения. Хорошо известные прямые применения спина включают:

• Спектроскопия ядерного магнитного резонанса (ЯМР) в химии;
• Спектроскопия электронного парамагнитного резонанса (ЭПР или ЭПР) в химии и физике;
• Магнитно-резонансная томография (МРТ) в медицине — разновидность прикладного ЯМР, которая основана на плотности спина протонов;
• Технология гигантских магниторезистивных (GMR) головок привода в современных жестких дисках .

Спин электрона играет важную роль в магнетизме , с приложениями, например, в компьютерной памяти. Манипулирование ядерным спином с помощью радиочастотных волн ( ядерный магнитный резонанс ) важно в химической спектроскопии и медицинской визуализации.

Спин-орбитальная связь приводит к тонкой структуре атомных спектров, которая используется в атомных часах и в современном определении секунды . Точные измерения g -фактора электрона сыграли важную роль в развитии и проверке квантовой электродинамики . Спин фотона связан с поляризацией света ( поляризацией фотона ).

Новое применение спина — это использование его в качестве бинарного носителя информации в спиновых транзисторах . Первоначальная концепция, предложенная в 1990 году, известна как спиновый транзистор Датта-Даса . ^[31] Электроника на основе спиновых транзисторов называется спинтроникой . Манипулирование спином в разбавленных магнитных полупроводниковых материалах , таких как легированные металлом ZnO или TiO _2, придает дополнительную степень свободы и может способствовать изготовлению более эффективной электроники. ^[32]

Существует множество косвенных применений и проявлений спина и связанного с ним принципа исключения Паули , начиная с периодической таблицы химических элементов.

История

Вольфганг Паули читает лекцию

Спин был впервые обнаружен в контексте спектра излучения щелочных металлов . Начиная примерно с 1910 года, множество экспериментов на различных атомах дали набор соотношений, включающих квантовые числа для уровней атомной энергии, частично обобщенных в модели Бора для атома ^{[33] : 106} Переходы между уровнями подчинялись правилам отбора , и было известно, что правила коррелируют с четным или нечетным атомным номером . Дополнительная информация была известна из изменений атомных спектров, наблюдаемых в сильных магнитных полях, известных как эффект Зеемана . В 1924 году Вольфганг Паули использовал этот большой набор эмпирических наблюдений, чтобы предложить новую степень свободы, ^[7] введя то, что он назвал «двузначностью, не описываемой классически» ^[34], связанной с электроном на самой внешней оболочке .

Физическая интерпретация «степени свободы» Паули изначально была неизвестна. Ральф Крониг , один из помощников Альфреда Ланде , предположил в начале 1925 года, что она была получена в результате собственного вращения электрона. Когда Паули услышал об этой идее, он резко ее раскритиковал, отметив, что гипотетическая поверхность электрона должна была бы двигаться быстрее скорости света , чтобы вращаться достаточно быстро и создавать необходимый угловой момент. Это нарушило бы теорию относительности . Во многом из-за критики Паули Крониг решил не публиковать свою идею. ^[35]

Осенью 1925 года та же мысль пришла в голову голландским физикам Джорджу Уленбеку и Сэмюэлю Гоудсмиту из Лейденского университета . По совету Пауля Эренфеста они опубликовали свои результаты. ^[36] Молодые физики тут же пожалели о публикации: Хендрик Лоренц и Вернер Гейзенберг оба указали на проблемы с концепцией вращающегося электрона. ^[37]

Паули был особенно не убежден и продолжал преследовать свою двузначную степень свободы. Это позволило ему сформулировать принцип исключения Паули , утверждающий, что никакие два электрона не могут иметь одинаковое квантовое состояние в одной и той же квантовой системе.

К счастью, к февралю 1926 года Ллевеллин Томас сумел разрешить двукратное расхождение между экспериментальными результатами для тонкой структуры в спектре водорода и расчетами, основанными на модели Уленбека и Гоудсмита (и неопубликованной модели Кронига). ^{[2] : 385} Это расхождение было вызвано релятивистским эффектом, разницей между вращающейся системой покоя электрона и ядерной системой покоя; эффект теперь известен как прецессия Томаса . ^[7] Результат Томаса убедил Паули, что спин электрона был правильной интерпретацией его двузначной степени свободы, в то время как он продолжал настаивать на том, что классическая модель вращающегося заряда недействительна. ^{[34] [6]}

В 1927 году Паули формализовал теорию спина, используя теорию квантовой механики, созданную Эрвином Шредингером и Вернером Гейзенбергом . Он был пионером в использовании матриц Паули в качестве представления операторов спина и ввел двухкомпонентную спинорную волновую функцию.

Теория спина Паули была нерелятивистской. В 1928 году Поль Дирак опубликовал свое релятивистское электронное уравнение, используя четырехкомпонентный спинор (известный как « спинор Дирака ») для волновой функции электрона. Релятивистский спин объяснил гиромагнитную аномалию. В 1940 году Паули доказал теорему о спиновой статистике , которая гласит, что фермионы имеют полуцелый спин, а бозоны — целый спин. ^[7]

Оглядываясь назад, первым прямым экспериментальным доказательством спина электрона был эксперимент Штерна-Герлаха 1922 года. Однако правильное объяснение этого эксперимента было дано только в 1927 году. ^[38] Первоначальная интерпретация предполагала, что два пятна, наблюдаемые в эксперименте, были обусловлены квантованным орбитальным угловым моментом . Однако в 1927 году Рональд Фрейзер показал, что атомы натрия изотропны и не имеют орбитального углового момента, и предположил, что наблюдаемые магнитные свойства были обусловлены спином электрона. ^[39] В том же году Фиппс и Тейлор применили технику Штерна-Герлаха к атомам водорода; основное состояние водорода имеет нулевой угловой момент, но измерения снова показали два пика. ^[40] После того, как квантовая теория была установлена, стало ясно, что первоначальная интерпретация не могла быть правильной: возможные значения орбитального углового момента вдоль одной оси всегда являются нечетным числом, в отличие от наблюдений. Атомы водорода имеют один электрон с двумя спиновыми состояниями, дающими два наблюдаемых пятна; Атомы серебра имеют замкнутые оболочки, которые не вносят вклад в магнитный момент, и только спин несогласованного внешнего электрона реагирует на поле.

Смотрите также

• Хиральность (физика)
• Динамическая ядерная поляризация
• Спиральность (физика элементарных частиц)
• Преобразование Гольштейна – Примакова.
• Теорема Крамерса
• Уравнение Паули
• Псевдовектор Паули–Любанского
• Уравнение Рариты–Швингера
• Теория представлений SU(2)
• Спиновый угловой момент света
• Спиновая инженерия
• Спин-флип
• Спиновые изомеры водорода
• Спин-орбитальное взаимодействие
• Тензор спина
• Спинтроника
• Спиновая волна
• Ираст

Ссылки

1. Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика (3-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 372–373. ISBN 978-0-471-88702-7.
2. Гриффитс, Дэвид (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.).
3. Айсберг, Роберт; Резник, Роберт (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Wiley. С. 272–273. ISBN 978-0-471-87373-0.
4. Sebens, Charles T. (ноябрь 2019 г.). «Как вращаются электроны». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 68 : 40–50. arXiv : 1806.01121 . doi :10.1016/j.shpsb.2019.04.007. S2CID  51693779.
5. "Fermilab Today". www.fnal.gov . Получено 2023-06-16 .
6. Giulini, Domenico (2008-09-01). «Спин электрона или «классически неописуемая двузначность»». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 39 (3): 557–578. arXiv : 0710.3128 . doi :10.1016/j.shpsb.2008.03.005. ISSN  1355-2198.
7. Фрелих, Юрг (2009). «Спин, или собственно: спин и квантовая статистика». В Дюплантье, Бертран; Раймонд, Жан-Мишель; Ривассо, Винсент (ред.). Спин. Прогресс в математической физике, том 55. Базель: Birkhäuser Basel. стр. 1–60. дои : 10.1007/978-3-7643-8799-0_1. ISBN 978-3-7643-8798-3.
8. Лидер, Эллиот; Лорсе, Седрик (2014-08-20). «Проблема углового момента: в чем суть и имеет ли это значение?». Physics Reports . Проблема углового момента: в чем суть и имеет ли это значение?. 541 (3): 163–248. arXiv : 1309.4235 . doi :10.1016/j.physrep.2014.02.010. ISSN  0370-1573.
9. Пескин, М. Э. и Шредер, Д. В. (1995). Квантовая теория поля . Продвинутая книжная программа. Гл. 3.
10. Ohanian, Hans C. (1986-06-01). "Что такое спин?" (PDF) . American Journal of Physics . 54 (6): 500–505. Bibcode : 1986AmJPh..54..500O. doi : 10.1119/1.14580. ISSN  0002-9505.
11. Блиох, Константин Ю.; Пунцманн, Хорст; Ся, Хуа; Нори, Франко; Шац, Михаэль (2022-01-21). "Теория поля спин и импульс в волнах на воде". Science Advances . 8 (3): eabm1295. Bibcode :2022SciA....8.1295B. doi :10.1126/sciadv.abm1295. ISSN  2375-2548. PMC 8782445 . PMID  35061526. 
12. Уиттекер, Эдмунд, сэр (1989). История теорий эфира и электричества . Том 2. Courier Dover Publications. стр. 87, 131. ISBN 0-486-26126-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
13. Информация о бозоне Хиггса на официальном сайте ЦЕРНа .
14. Паули, Вольфганг (1940). «Связь между спином и статистикой» (PDF) . Phys. Rev. 58 ( 8): 716–722. Bibcode :1940PhRv...58..716P. doi :10.1103/PhysRev.58.716.
15. Физика атомов и молекул, Б. Х. Брансден, К. Дж. Джоачейн, Longman, 1983, ISBN 0-582-44401-2 . 
16. "2022 CODATA Value: электронный g-фактор". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 2024-05-18 .
17. Фейнман, РП (1985). «Электроны и их взаимодействия». QED: Странная теория света и материи . Принстон, Нью-Джерси : Princeton University Press . стр. 115. ISBN 978-0-691-08388-9. Через несколько лет было обнаружено, что это значение [ − ⁠1/2⁠ g ] было не совсем 1, а немного больше – что-то около 1,00116. Эта поправка была впервые выведена в 1948 году Швингером как j × j, деленное на 2 π [ sic ] [где j – квадратный корень из постоянной тонкой структуры ], и была связана с альтернативным способом, которым электрон может перемещаться с места на место: вместо того, чтобы перемещаться напрямую из одной точки в другую, электрон движется некоторое время и внезапно испускает фотон; затем (о ужас!) он поглощает свой собственный фотон.
18. Марчиано, В. Дж .; Санда, А. И. (1977). «Экзотические распады мюона и тяжелых лептонов в калибровочных теориях». Physics Letters . B67 (3): 303–305. Bibcode : 1977PhLB...67..303M. doi : 10.1016/0370-2693(77)90377-X.
19. Ли, Б. В.; Шрок, Р. Э. (1977). «Естественное подавление нарушения симметрии в калибровочных теориях: несохранение мюонного и электронно-лептонного числа». Physical Review . D16 (5): 1444–1473. Bibcode : 1977PhRvD..16.1444L. doi : 10.1103/PhysRevD.16.1444. S2CID  1430757.
20. K. Fujikawa; RE Shrock (1980). «Магнитный момент массивного нейтрино и вращение спина нейтрино». Physical Review Letters . 45 (12): 963–966. Bibcode : 1980PhRvL..45..963F. doi : 10.1103/PhysRevLett.45.963.
21. Белл, Н. Ф.; Чирильяно, В.; Рэмси-Мусольф, М.; Фогель, П.; Уайз, Марк; и др. (2005). «Насколько магнитно нейтрино Дирака?». Physical Review Letters . 95 (15): 151802. arXiv : hep-ph/0504134 . Bibcode : 2005PhRvL..95o1802B. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.151802. PMID  16241715. S2CID  7832411.
22. Кванты: Справочник концепций, П. У. Аткинс, Oxford University Press, 1974, ISBN 0-19-855493-1 . 
23. Мессия, Альберт (2014). "Угловой момент в квантовой механике". Квантовая механика . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 540. ISBN 978-1-306-51279-4. OCLC  874097814.
24. BC Hall (2013). Квантовая теория для математиков . Springer. С. 354–358.
25. Сакурай, Джун Джон; Наполитано, Джим (2017). Современная квантовая механика (PDF) (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-108-42241-3.
26. Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014). "Компактная формула для вращений как спиновых матричных полиномов". SIGMA . 10 : 084. arXiv : 1402.3541 . Bibcode :2014SIGMA..10..084C. doi :10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID  18776942.
27. Гамильтон, Дональд Р. (1941-12-01). «Молекулярные пучки и ядерные моменты». American Journal of Physics . 9 (6): 319–337. doi :10.1119/1.1991712. ISSN  0002-9505.
28. Раби, II; Коэн, VW (1933-04-01). «Ядерный спин натрия». Physical Review . 43 (7): 582–583. doi :10.1103/PhysRev.43.582. ISSN  0031-899X.
29. Эстерманн, И. (1946-07-01). «Молекулярная лучевая техника». Reviews of Modern Physics . 18 (3): 300–323. doi :10.1103/RevModPhys.18.300. ISSN  0034-6861.
30. Перкинс, Дональд Х. (2008). Введение в физику высоких энергий (4. Aufl., 8. печатное издание). Кембридж: Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-62196-0.
31. Датта, С.; Дас, Б. (1990). «Электронный аналог электрооптического модулятора». Applied Physics Letters . 56 (7): 665–667. Bibcode : 1990ApPhL..56..665D. doi : 10.1063/1.102730.
32. Assadi, MHN; Hanaor, DAH (2013). «Теоретическое исследование энергетики и магнетизма меди в полиморфах TiO _{2 ».} Журнал прикладной физики . 113 (23): 233913–233913–5. arXiv : 1304.1854 . Bibcode : 2013JAP...113w3913A. doi : 10.1063/1.4811539. S2CID  94599250.
33. Уиттекер, Эдмунд Т. (1989). История теорий эфира и электричества. 2: Современные теории, 1900 - 1926 (переиздание). Нью-Йорк: Dover Publ. ISBN 978-0-486-26126-3.
34. Вольфганг Паули (13 декабря 1946 г.). «Принцип исключения и квантовая механика». Нобелевская лекция . Нобелевская премия .
35. Пайс, Абрахам (1991). Niels Bohr's Times . Оксфорд: Clarendon Press. С. 244. ISBN 978-0-19-852049-8.
36. Уленбек, Г., Г.; Гаудсмит, С. (ноябрь 1925 г.). «Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des Internalen Verhaltens jedes einzelnen Elektrons». Die Naturwissenschaften (на немецком языке). 13 (47): 953–954. дои : 10.1007/bf01558878. ISSN  0028-1042. S2CID  32211960.
37. Пайс, Абрахам (1989-12-01). «Джордж Уленбек и открытие электронного спина». Physics Today . 42 (12): 34–40. doi :10.1063/1.881186. ISSN  0031-9228.
38. Б. Фридрих; Д. Хершбах (2003). «Штерн и Герлах: как плохая сигара помогла переориентировать атомную физику». Physics Today . 56 (12): 53. Bibcode : 2003PhT....56l..53F. doi : 10.1063/1.1650229 . S2CID  17572089.
39. "Эффективное сечение ориентированного атома водорода". Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера . 114 (767): 212–221. Март 1927 г. doi : 10.1098/rspa.1927.0036 . ISSN  0950-1207.
40. Резник, Р.; Эйсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 274. ISBN 978-0-471-87373-0.

Дальнейшее чтение

• Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (2006). Квантовая механика (2-томное изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-56952-7.
• Кондон, Э.У.; Шортли, Г.Х. (1935). "Особенно Глава 3". Теория атомных спектров . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-09209-8.
• Hipple, JA; Sommer, H.; Thomas, HA (1949). «Точный метод определения Фарадея с помощью магнитного резонанса». Physical Review . 76 (12): 1877–1878. Bibcode : 1949PhRv...76.1877H. doi : 10.1103/PhysRev.76.1877.2.
• Эдмондс, AR (1957). Угловой момент в квантовой механике . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07912-7.
• Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
• Томпсон, Уильям Дж. (1994). Угловой момент: иллюстрированное руководство по вращательным симметриям для физических систем . Wiley. ISBN 978-0-471-55264-2.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: механика, колебания и волны, термодинамика (5-е изд.). WH Freeman. ISBN 978-0-7167-0809-4.
• Син-Итиро Томонага, История вращения, 1 997

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные со спином (физика) в Викицитатнике
• Гоудсмит об открытии спина электрона.
• Природа : «Вехи в развитии «спина» с 1896 года».
• ECE 495N Лекция 36: Спин Онлайн лекция С. Датты