Эргодичность

Свойство равномерно заполняющего пространство движения

В математике эргодичность выражает идею о том , что точка движущейся системы, будь то динамическая система или стохастический процесс , в конечном итоге посетит все части пространства, в котором движется система, в однородном и случайном смысле. Это подразумевает, что среднее поведение системы может быть выведено из траектории « типичной» точки. Эквивалентно, достаточно большой набор случайных выборок из процесса может представлять средние статистические свойства всего процесса. Эргодичность — это свойство системы; это утверждение о том, что система не может быть сведена или разложена на более мелкие компоненты. Эргодическая теория — это изучение систем, обладающих эргодичностью.

Эргодические системы встречаются в широком диапазоне систем в физике и геометрии . Это можно грубо понять как следствие общего явления: движение частиц, то есть геодезические на гиперболическом многообразии, расходятся; когда это многообразие компактно , то есть имеет конечный размер, эти орбиты возвращаются в ту же общую область , в конечном итоге заполняя все пространство.

Эргодические системы охватывают здравый смысл, повседневные представления о случайности, например, дым может заполнить всю задымленную комнату, или что кусок металла может в конечном итоге иметь одинаковую температуру, или что подбрасывание честной монеты может выпадать орлом и решкой в ​​половине случаев. Более сильной концепцией, чем эргодичность, является концепция смешивания , которая направлена ​​на математическое описание здравых представлений о смешивании, таких как смешивание напитков или смешивание ингредиентов для приготовления пищи.

Правильная математическая формулировка эргодичности основана на формальных определениях теории меры и динамических систем , а точнее на понятии динамической системы, сохраняющей меру . Истоки эргодичности лежат в статистической физике , где Людвиг Больцман сформулировал эргодическую гипотезу .

Неформальное объяснение

Эргодичность встречается в широких областях физики и математики . ^[1] Все эти области объединены общим математическим описанием, описанием динамической системы, сохраняющей меру . Эквивалентно, эргодичность можно понимать в терминах стохастических процессов . Они являются одним и тем же, несмотря на использование совершенно разных обозначений и языка.

Динамические системы, сохраняющие меру

Математическое определение эргодичности направлено на то, чтобы охватить обычные повседневные идеи о случайности . Это включает в себя идеи о системах, которые движутся таким образом, чтобы (в конечном итоге) заполнить все пространство, такие как диффузия и броуновское движение , а также здравые понятия смешивания, такие как смешивание красок, напитков, ингредиентов для приготовления пищи, смешивание в промышленных процессах , дым в задымленной комнате, пыль в кольцах Сатурна и так далее. Чтобы обеспечить прочную математическую основу, описания эргодических систем начинаются с определения динамической системы, сохраняющей меру . Это записывается как ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T).}$

Под множеством понимается общее пространство, которое должно быть заполнено: миска для смешивания, задымленная комната и т. д. Под мерой понимается определение естественного объема пространства и его подпространств. Совокупность подпространств обозначается как , а размер любого заданного подмножества — ; размер — это его объем. Наивно можно было бы представить, что это множество мощности ; это не совсем работает, поскольку не все подмножества пространства имеют объем (знаменитый парадокс Банаха–Тарского ). Таким образом, условно, состоит из измеримых подмножеств — подмножеств, которые имеют объем. Оно всегда считается борелевским множеством — совокупностью подмножеств, которые могут быть построены путем взятия пересечений , объединений и дополнений множеств открытых множеств; их всегда можно считать измеримыми. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \mu (A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Эволюция системы во времени описывается картой . При наличии некоторого подмножества его карта в общем случае будет деформированной версией – она сплющена или растянута, сложена или разрезана на части. Математические примеры включают карту пекаря и карту подковы , обе вдохновленные выпечкой хлеба . Множество должно иметь тот же объем, что и ; сплющивание/растяжение не изменяет объем пространства, а только его распределение. Такая система является «сохраняющей меру» (сохраняющей площадь, сохраняющей объем). ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A}$

Формальная трудность возникает, когда кто-то пытается примирить объем множеств с необходимостью сохранения их размера при отображении. Проблема возникает, потому что, в общем случае, несколько различных точек в области функции могут отображаться в одну и ту же точку в ее диапазоне; то есть может быть с . Хуже того, одна точка не имеет размера. Этих трудностей можно избежать, работая с обратным отображением ; оно сопоставит любое заданное подмножество с частями, которые были собраны, чтобы составить его: эти части являются . Оно обладает важным свойством не терять след того, откуда все произошло. Более того, оно обладает важным свойством, что любое (сохраняющее меру) отображение является обратным некоторому отображению . Правильное определение сохраняющего объем отображения — это то, для которого , поскольку описывает все части-части, которые произошли из. ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle T(x)=T(y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle A}$

Теперь интересно изучить временную эволюцию системы. Если набор в конечном итоге заполняет все из в течение длительного периода времени (то есть, если приближается ко всем из для больших ), система называется эргодической . Если каждый набор ведет себя таким образом, система является консервативной системой , помещенной в противоположность диссипативной системе , где некоторые подмножества блуждают , чтобы никогда не вернуться. Примером может служить вода, текущая под гору: как только она стекает, она никогда не возвращается обратно. Озеро, которое образуется на дне этой реки, может, однако, стать хорошо перемешанным. Теорема об эргодическом разложении утверждает, что каждую эргодическую систему можно разделить на две части: консервативную часть и диссипативную часть. ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T^{n}(A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Смешивание — более сильное утверждение, чем эргодичность. Смешивание требует, чтобы это эргодическое свойство выполнялось между любыми двумя множествами , а не только между некоторым множеством и . То есть, если заданы любые два множества , система называется (топологически) смешивающей, если существует целое число такое, что для всех и , выполняется . Здесь обозначает пересечение множеств , а — пустое множество . Другие понятия смешивания включают сильное и слабое смешивание, которые описывают представление о том, что смешанные вещества смешиваются повсюду в равной пропорции. Это может быть нетривиально, как показывает практический опыт попыток смешивания липких, тягучих веществ. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \varnothing }$

Эргодические процессы

Приведенное выше обсуждение апеллирует к физическому смыслу объема. Объем не обязательно должен быть буквально некоторой частью трехмерного пространства ; это может быть некий абстрактный объем. Это обычно имеет место в статистических системах, где объем (мера) задается вероятностью. Общий объем соответствует вероятности один. Это соответствие работает, потому что аксиомы теории вероятностей идентичны аксиомам теории меры ; это аксиомы Колмогорова . ^[2]

Идея объема может быть очень абстрактной. Рассмотрим, например, множество всех возможных подбрасываний монеты: множество бесконечных последовательностей орлов и решек. Присвоив этому пространству объем 1, становится ясно, что половина всех таких последовательностей начинается с орлов, а половина — с решек. Можно разбить этот объем и другими способами: можно сказать: «Мне все равно на первые подбрасывания монеты; но я хочу, чтобы 'th из них были орлами, и тогда мне все равно, что будет после этого». Это можно записать как множество , где есть «все равно», а есть «орлы». Объем этого пространства снова равен половине. ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (*,\cdots ,*,h,*,\cdots )}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle h}$

Вышеизложенного достаточно, чтобы построить динамическую систему, сохраняющую меру, в ее полном объеме. Множества или , встречающиеся в '-м месте, называются цилиндрическими множествами . Множество всех возможных пересечений, объединений и дополнений цилиндрических множеств затем образуют борелевское множество, определенное выше. Формально цилиндрические множества образуют основу для топологии на пространстве всех возможных подбрасываний монеты бесконечной длины. Мера обладает всеми свойствами здравого смысла, на которые можно надеяться: мера цилиндрического множества с в '-м положении и в '-м положении, очевидно, равна 1/4 и так далее. Эти свойства здравого смысла сохраняются для дополнения множества и объединения множеств: все, кроме и в расположениях и, очевидно, имеет объем 3/4. Все вместе они образуют аксиомы сигма -аддитивной меры ; динамические системы, сохраняющие меру, всегда используют сигма-аддитивные меры. Для подбрасываний монеты эта мера называется мерой Бернулли . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$

Для процесса подбрасывания монеты оператор эволюции во времени — это оператор сдвига , который говорит «выбросить первый подбрасывание монеты и оставить остальные». Формально, если — последовательность подбрасываний монеты, то . Мера, очевидно, инвариантна к сдвигу: пока мы говорим о некотором наборе , где первый подбрасывание монеты — это значение «неважно», то объем не меняется: . Чтобы не говорить о первом подбрасывании монеты, проще определить как вставку значения «неважно» в первую позицию: . При таком определении, очевидно, что без ограничений на . Это снова пример того, почему используется в формальных определениях. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle x_{1}=*}$ ${\displaystyle \mu (A)}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (T(A))}$ ${\displaystyle T^{-1}}$ ${\displaystyle T^{-1}(x_{1},x_{2},\cdots )=(*,x_{1},x_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}=\mu (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T^{-1}}$

Вышеуказанная разработка берет случайный процесс, процесс Бернулли, и преобразует его в динамическую систему, сохраняющую меру. То же самое преобразование (эквивалентность, изоморфизм) может быть применено к любому стохастическому процессу . Таким образом, неформальное определение эргодичности заключается в том, что последовательность является эргодической, если она посещает все ; такие последовательности являются «типичными» для процесса. Другое заключается в том, что ее статистические свойства могут быть выведены из одной достаточно длинной случайной выборки процесса (таким образом, равномерно выбирая все ), или что любая совокупность случайных выборок из процесса должна представлять средние статистические свойства всего процесса (то есть выборки, взятые равномерно из , являются репрезентативными для в целом.) В данном примере последовательность подбрасываний монеты, где половина — орел, а половина — решка, является «типичной» последовательностью. ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Есть несколько важных моментов, которые следует сделать относительно процесса Бернулли. Если записать 0 для решек и 1 для орлов, то получится множество всех бесконечных строк двоичных цифр. Они соответствуют разложению действительных чисел по основанию два . Явно, если задана последовательность , соответствующее действительное число равно ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}$

${\displaystyle y=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}}$

Утверждение, что процесс Бернулли является эргодическим, эквивалентно утверждению, что действительные числа распределены равномерно. Множество всех таких строк можно записать различными способами: Это множество — множество Кантора , иногда называемое пространством Кантора , чтобы избежать путаницы с функцией Кантора ${\displaystyle \{h,t\}^{\infty }=\{h,t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\omega }=2^{\omega }=2^{\mathbb {N} }.}$

${\displaystyle C(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{3^{n}}}}$

В конце концов, это все «одно и то же».

Множество Кантора играет ключевую роль во многих разделах математики. В развлекательной математике оно лежит в основе фракталов удвоения периода ; в анализе оно появляется в огромном количестве теорем. Ключевым для стохастических процессов является разложение Вольда , которое утверждает, что любой стационарный процесс можно разложить на пару некоррелированных процессов, один из которых является детерминированным, а другой — процессом скользящего среднего .

Теорема об изоморфизме Орнштейна утверждает, что каждый стационарный стохастический процесс эквивалентен схеме Бернулли (процесс Бернулли с N -гранной (и, возможно, нечестной) игровой костью ). Другие результаты включают то, что каждая недиссипативная эргодическая система эквивалентна одометру Маркова , иногда называемому «суммирующей машиной», потому что она похожа на сложение в начальной школе, то есть берется последовательность цифр с основанием N , добавляется единица и распространяется биты переноса. Доказательство эквивалентности очень абстрактно; понимание результата не таково: добавляя единицу на каждом временном шаге, посещаются все возможные состояния одометра, пока он не перевернется и не начнется снова. Аналогично, эргодические системы посещают каждое состояние равномерно, переходя к следующему, пока они все не будут посещены.

Системы, которые генерируют (бесконечные) последовательности из N букв, изучаются с помощью символической динамики . Важные частные случаи включают подсдвиги конечного типа и софические системы .

История и этимология

Термин эргодический , как обычно полагают, происходит от греческих слов ἔργον ( ergon : «работа») и ὁδός ( hodos : «путь», «путь»), выбранных Людвигом Больцманом во время работы над проблемой в статистической механике . ^[3] В то же время утверждается, что он является производным от ergomonode , введенного Больцманом в относительно малоизвестной статье 1884 года. Этимология, по-видимому, оспаривается и в других отношениях. ^[4]

Идея эргодичности родилась в области термодинамики , где было необходимо связать отдельные состояния молекул газа с температурой газа в целом и его временной эволюцией. Чтобы сделать это, было необходимо сформулировать, что именно означает для газов хорошо смешиваться вместе, так что термодинамическое равновесие можно было бы определить с математической строгостью . После того, как теория была хорошо развита в физике , она была быстро формализована и расширена, так что эргодическая теория долгое время была самостоятельной областью математики сама по себе. В рамках этого прогресса сосуществуют более одного немного отличающегося определения эргодичности и множество интерпретаций концепции в различных областях. ^{[ необходима цитата ]}

Например, в классической физике этот термин подразумевает, что система удовлетворяет эргодической гипотезе термодинамики ^[5] , при этом соответствующим пространством состояний является пространство положения и импульса .

В теории динамических систем пространство состояний обычно рассматривается как более общее фазовое пространство . С другой стороны, в теории кодирования пространство состояний часто дискретно как по времени, так и по состоянию, с меньшей сопутствующей структурой. Во всех этих областях идеи среднего по времени и среднего по ансамблю также могут нести дополнительный багаж, как в случае со многими возможными термодинамически значимыми функциями распределения , используемыми для определения средних по ансамблю в физике, и обратно. Таким образом, формализация концепции с помощью теории меры также служит объединяющей дисциплиной. В 1913 году Мишель Планшерель доказал строгую невозможность эргодичности для чисто механической системы. ^[6]

Эргодичность в физике и геометрии

Далее следует обзор эргодичности в физике и геометрии . Во всех случаях понятие эргодичности точно такое же, как и для динамических систем; нет никакой разницы , за исключением взглядов, обозначений, стиля мышления и журналов, в которых опубликованы результаты.

Физические системы можно разделить на три категории: классическая механика , которая описывает машины с конечным числом движущихся частей, квантовая механика , которая описывает структуру атомов, и статистическая механика , которая описывает газы, жидкости, твердые тела; сюда входит физика конденсированного состояния . Они представлены ниже.

В статистической механике

В этом разделе рассматривается эргодичность в статистической механике. Приведенное выше абстрактное определение объема требуется в качестве подходящей настройки для определений эргодичности в физике . Рассмотрим контейнер с жидкостью , или газом , или плазмой , или другим набором атомов или частиц . Каждая частица имеет трехмерное положение и трехмерную скорость и, таким образом, описывается шестью числами: точкой в ​​шестимерном пространстве Если в системе есть этих частиц, полное описание требует чисел. Любая система — это всего лишь одна точка в Физическая система — это , конечно, не все из ; если это ящик с шириной, высотой и длиной , то точка находится в Скорости также не могут быть бесконечными: они масштабируются некоторой вероятностной мерой, например мерой Больцмана–Гиббса для газа. Тем не менее, для близкого к числу Авогадро , это, очевидно, очень большое пространство. Это пространство называется каноническим ансамблем . ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 6N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}}$ ${\displaystyle W\times H\times L}$ ${\displaystyle \left(W\times H\times L\times \mathbb {R} ^{3}\right)^{N}.}$ ${\displaystyle N}$

Физическая система называется эргодической, если любая репрезентативная точка системы в конечном итоге посещает весь объем системы. Для приведенного выше примера это означает, что любой заданный атом не только посещает каждую часть ящика с равномерной вероятностью, но и делает это с каждой возможной скоростью с вероятностью, заданной распределением Больцмана для этой скорости (и, таким образом, равномерной относительно этой меры). Эргодическая гипотеза утверждает, что физические системы на самом деле являются эргодическими. Работают множественные временные масштабы: газы и жидкости кажутся эргодическими в коротких временных масштабах. Эргодичность в твердом теле можно рассматривать в терминах колебательных мод или фононов , поскольку очевидно, что атомы в твердом теле не обмениваются местоположениями. Стекла представляют собой вызов эргодической гипотезе; временные масштабы предполагаются в миллионах лет, но результаты спорны. Спиновые стекла представляют особые трудности. ${\displaystyle W\times H\times L}$

Формальные математические доказательства эргодичности в статистической физике найти трудно; большинство многомерных систем многих тел считаются эргодическими без математического доказательства. Исключения включают динамические бильярды , которые моделируют столкновения атомов типа бильярдных шаров в идеальном газе или плазме. Первая теорема об эргодичности для твердых сфер была для бильярдов Синая , которые рассматривают два шара, один из которых считается неподвижным, в начале координат. Когда второй шар сталкивается, он удаляется; применяя периодические граничные условия, он затем возвращается, чтобы столкнуться снова. Ссылаясь на однородность, это возвращение «второго» шара вместо этого можно считать «просто каким-то другим атомом», который попал в зону действия и движется, чтобы столкнуться с атомом в начале координат (который можно считать просто «любым другим атомом»). Это одно из немногих существующих формальных доказательств; нет эквивалентных утверждений, например, для атомов в жидкости, взаимодействующих посредством сил Ван-дер-Ваальса , даже если было бы здравым смыслом полагать, что такие системы являются эргодическими (и перемешивающими). ​​Однако можно привести более точные физические аргументы.

Простые динамические системы

Формальное изучение эргодичности можно осуществить, изучая довольно простые динамические системы. Некоторые из основных перечислены здесь.

Иррациональное вращение окружности эргодично: орбита точки такова, что в конечном итоге каждая другая точка окружности посещается. Такие вращения являются частным случаем отображения обмена интервалами . Бета-разложения числа эргодичны: бета-разложения действительного числа выполняются не по основанию N , а по основанию - для некоторых Отражённая версия бета-разложения — это отображение палатки ; существует множество других эргодических отображений единичного интервала. Переходя к двум измерениям, арифметические бильярды с иррациональными углами эргодичны. Можно также взять плоский прямоугольник, раздавить его, разрезать и собрать заново; это ранее упомянутое отображение пекаря . Его точки можно описать набором двусторонних бесконечных строк в двух буквах, то есть простирающихся как влево, так и вправо; как таковое, оно выглядит как две копии процесса Бернулли. Если деформировать вбок во время сплющивания, то получится карта кошки Арнольда . Во многих отношениях карта кошки является прототипом любой другой подобной трансформации. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta .}$

В классической механике и геометрии

Эргодичность — широко распространенное явление при изучении симплектических и римановых многообразий . Симплектические многообразия обеспечивают обобщенную установку для классической механики , где движение механической системы описывается геодезической . Римановы многообразия являются особым случаем: кокасательное расслоение риманова многообразия всегда является симплектическим многообразием. В частности, геодезические на римановом многообразии задаются решением уравнений Гамильтона–Якоби .

Геодезический поток плоского тора, следующий любому иррациональному направлению, является эргодическим; неформально это означает, что при рисовании прямой линии в квадрате, начинающейся в любой точке и с иррациональным углом относительно сторон, если каждый раз, когда встречаешь сторону, начинаешь снова с противоположной стороны с тем же углом, линия в конечном итоге встретит каждое подмножество положительной меры. В более общем смысле на любой плоской поверхности существует много эргодических направлений для геодезического потока.

Для неплоских поверхностей геодезический поток любой отрицательно искривленной компактной римановой поверхности является эргодическим. Поверхность является «компактной» в том смысле, что она имеет конечную площадь поверхности. Геодезический поток является обобщением идеи движения по «прямой линии» на искривленной поверхности: такие прямые линии являются геодезическими . Одним из самых ранних изученных случаев является бильярд Адамара , который описывает геодезические на поверхности Больца , топологически эквивалентной бублику с двумя дырками. Эргодичность можно продемонстрировать неформально, если у вас есть шулер и какой-нибудь разумный пример бублика с двумя дырками: начиная с любого места, в любом направлении, вы пытаетесь провести прямую линию; для этого полезны линейки. Не требуется много времени, чтобы обнаружить, что вы не возвращаетесь в исходную точку. (Конечно, кривое рисование также может объяснить это; вот почему у нас есть доказательства.)

Эти результаты распространяются на более высокие размерности. Геодезический поток для отрицательно искривленных компактных римановых многообразий является эргодическим. Классическим примером этого является поток Аносова , который является орициклическим потоком на гиперболическом многообразии . Можно рассматривать это как своего рода расслоение Хопфа . Такие потоки обычно встречаются в классической механике , которая является изучением в физике конечномерных движущихся машин, например, двойного маятника и т. д. Классическая механика строится на симплектических многообразиях . Потоки на таких системах можно разложить на устойчивые и неустойчивые многообразия ; как правило, когда это возможно, получается хаотическое движение. То, что это является общим, можно увидеть, заметив, что кокасательное расслоение риманова многообразия ( всегда) является симплектическим многообразием; геодезический поток задается решением уравнений Гамильтона–Якоби для этого многообразия. В терминах канонических координат на кокасательном многообразии гамильтониан или энергия задается выражением ${\displaystyle (q,p)}$

${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$

с (обратным) метрическим тензором и импульсом . Сходство с кинетической энергией точечной частицы вряд ли случайно; в этом и заключается смысл называть такие вещи «энергией». В этом смысле хаотическое поведение с эргодическими орбитами является более или менее общим явлением в больших областях геометрии. ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$

Результаты эргодичности были получены в поверхностях переноса , гиперболических группах и систолической геометрии . Методы включают изучение эргодических потоков , разложение Хопфа и теорему Амброуза–Какутани–Кренгеля–Кубо . Важный класс систем — это системы Аксиомы А.

Получен ряд результатов как классификации, так и «антиклассификации». Теорема изоморфизма Орнштейна применима и здесь; снова, она утверждает, что большинство этих систем изоморфны некоторой схеме Бернулли . Это довольно аккуратно связывает эти системы с определением эргодичности, данным для стохастического процесса в предыдущем разделе. Результаты антиклассификации утверждают, что существует более чем счетное бесконечное число неэквивалентных эргодических динамических систем, сохраняющих меру. Это, возможно, не совсем удивительно, поскольку можно использовать точки в множестве Кантора для построения похожих, но разных систем. См. раздел динамическая система, сохраняющая меру, для краткого обзора некоторых результатов антиклассификации.

В волновой механике

Все предыдущие разделы рассматривали эргодиктику либо с точки зрения измеримой динамической системы, либо с точки зрения двойственного понятия отслеживания движения отдельных траекторий частиц. Тесно связанная концепция встречается в (нелинейной) волновой механике . Там резонансное взаимодействие допускает смешивание нормальных мод , что часто (но не всегда) приводит к возможной термализации системы. Одной из самых ранних систем, которая была тщательно изучена в этом контексте, является задача Ферми–Паста–Улама–Цингоу , цепочка слабо связанных осцилляторов.

Резонансное взаимодействие возможно всякий раз, когда дисперсионные соотношения для волновых сред позволяют трем или более нормальным модам суммироваться таким образом, чтобы сохранить как полный импульс, так и полную энергию. Это позволяет энергии, сконцентрированной в одной моде, перетекать в другие моды, в конечном итоге равномерно распределяя эту энергию по всем взаимодействующим модам.

Резонансные взаимодействия между волнами помогают пролить свет на различие между высокоразмерным хаосом (то есть турбулентностью ) и термализацией. Когда нормальные моды могут быть объединены так, что энергия и импульс точно сохраняются, тогда применяется теория резонансных взаимодействий, и энергия распространяется на все взаимодействующие моды. Когда дисперсионные соотношения допускают только приблизительный баланс, возникает турбулентность или хаотическое движение. Затем турбулентные моды могут передавать энергию в моды, которые смешиваются, в конечном итоге приводя к термализации, но не до предшествующего интервала хаотического движения.

В квантовой механике

Что касается квантовой механики, то не существует универсального квантового определения эргодичности или даже хаоса (см. квантовый хаос ). ^[7] Однако существует теорема квантовой эргодичности , утверждающая, что математическое ожидание оператора сходится к соответствующему микроканоническому классическому среднему в полуклассическом пределе . Тем не менее, теорема не подразумевает, что все собственные состояния гамильтониана, классический аналог которого является хаотическим, являются особенностями и случайны. Например, теорема квантовой эргодичности не исключает существования неэргодических состояний, таких как квантовые шрамы . В дополнение к обычным шрамам, ^{[8] [9] [10] [11]} существуют два других типа квантовых шрамов, которые дополнительно иллюстрируют нарушение слабой эргодичности в квантовых хаотических системах: вызванные возмущением ^{[12] [13] [14] [15] [16]} и многочастичные квантовые шрамы. ^[17] ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

Определение для систем с дискретным временем

Эргодические меры обеспечивают один из краеугольных камней, с которым обычно обсуждается эргодичность. Формальное определение следует ниже.

Инвариантная мера

Пусть будет измеримым пространством . Если - измеримая функция от до себя и вероятностная мера на , то динамическая система, сохраняющая меру, определяется как динамическая система, для которой для всех . Говорят, что такое сохраняет эквивалентно, то есть - инвариантно . ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}=\mu (A)}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu ;}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$

Эргодическая мера

Измеримая функция называется -эргодической или эргодической мерой, если сохраняет и выполняется следующее условие: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

Для любого такого, что либо , либо . ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu (A)=1}$

Другими словами, не существует -инвариантных подмножеств вплоть до меры 0 (относительно ). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

Некоторые авторы ^[18] смягчают требование сохранения до требования, что является невырожденным преобразованием относительно , ​​имея в виду, что если является подмножеством, имеющим нулевую меру, то также имеет место и . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T^{-1}(N)}$ ${\displaystyle T(N)}$

Примеры

Простейший пример — когда есть конечное множество и подсчитывающая мера . Тогда самоотображение сохраняет тогда и только тогда, когда оно является биекцией, и оно эргодично тогда и только тогда, когда имеет только одну орбиту (то есть для каждого существует такое, что ). Например, если то цикл эргодичен, но перестановка — нет (она имеет два инвариантных подмножества и ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle y=T^{k}(x)}$ ${\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle (1\,2\,\cdots \,n)}$ ${\displaystyle (1\,2)(3\,4\,\cdots \,n)}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{3,4,\ldots ,n\}}$

Эквивалентные формулировки

Приведенное выше определение допускает следующие непосредственные переформулировки:

• для каждого при имеем или (где обозначает симметричную разность ); ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\bigtriangleup A\right)}}=0}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu (A)=1\,}$ ${\displaystyle \bigtriangleup }$
• для каждого с положительной мерой мы имеем ; ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\textstyle \mu {\mathord {\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }T^{-n}(A)\right)}}=1}$
• для каждых двух наборов положительной меры существует такой, что ; ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \mu {\mathord {\left(\left(T^{-n}(A)\right)\cap B\right)}}>0}$
• Каждая измеримая функция с является постоянной на подмножестве полной меры. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\circ T=f}$

Важно отметить, что условие в последней характеристике может быть ограничено только квадратично-интегрируемыми функциями :

• Если и то постоянна почти всюду. ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle f\circ T=f}$ ${\displaystyle f}$

Дополнительные примеры

Сдвиги и подсдвиги Бернулли

Пусть будет конечным множеством и с мерой произведения (каждый фактор наделен своей счетной мерой). Тогда оператор сдвига, определенный как , является -эргодическим . ^[19] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X=S^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\left((s_{k})_{k\in \mathbb {Z} })\right)=(s_{k+1})_{k\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \mu }$

Существует гораздо больше эргодических мер для отображения сдвига на . Периодические последовательности дают конечно поддерживаемые меры. Что еще интереснее, существуют бесконечно поддерживаемые меры, которые являются подсдвигами конечного типа . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

Иррациональные вращения

Пусть будет единичной окружностью с ее мерой Лебега . Для любого поворот угла задается выражением . Если то не является эргодическим для меры Лебега, поскольку она имеет бесконечно много конечных орбит. С другой стороны, если является иррациональным, то является эргодическим. ^[20] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ,\,|z|=1\}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle T_{\theta }(z)=e^{2i\pi \theta }z}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle T_{\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle T_{\theta }}$

Карта кота Арнольда

Пусть будет 2-тором. Тогда любой элемент определяет отображение себя, поскольку . Когда получается так называемое отображение кота Арнольда, которое является эргодическим для меры Лебега на торе. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g\left(\mathbb {Z} ^{2}\right)=\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\textstyle g=\left({\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}}\right)}$

Эргодические теоремы

Если — вероятностная мера на пространстве , которое является эргодическим для преобразования, то поточечная эргодическая теорема Г. Биркгофа утверждает, что для любой измеримой функции и для почти любой точки среднее по времени на орбите сходится к среднему по пространству . Формально это означает, что ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \lim _{k\to +\infty }\left({\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}f\left(T^{i}(x)\right)\right)=\int _{X}fd\mu .}$$

Средняя эргодическая теорема Дж. фон Неймана представляет собой похожее, более слабое утверждение об усредненных сдвигах квадратично интегрируемых функций.

Связанные свойства

Плотные орбиты

Непосредственным следствием определения эргодичности является то, что на топологическом пространстве , и если — σ-алгебра борелевских множеств , если является -эргодической, то -почти каждая орбита плотна в носителе . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

Это не эквивалентность, поскольку для преобразования, которое не является однозначно эргодическим, но для которого существует эргодическая мера с полным носителем , для любой другой эргодической меры мера не является эргодической для , но ее орбиты плотны в носителе. Явные примеры могут быть построены с мерами, инвариантными к сдвигу. ^[21] ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\mu _{0}+\mu _{1})}$ ${\displaystyle T}$

Смешивание

Преобразование пространства вероятностной меры называется перемешивающим для меры, если для любых измеримых множеств выполняется следующее: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A,B\subset X}$ $${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B)}$$

Сразу видно, что смешивающее преобразование также является эргодическим (принимая за -устойчивое подмножество и его дополнение). Обратное неверно, например, поворот на иррациональный угол на окружности (который является эргодическим согласно примерам выше) не является смешивающим (для достаточно малого интервала его последовательные образы не будут пересекать себя большую часть времени). Смешивающим является сдвиг Бернулли, и также является отображение кошки Арнольда. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle B}$

Такое понятие смешивания иногда называют сильным смешиванием, в отличие от слабого смешивания, которое означает, что $${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left|\mu (T^{-n}A\cap B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0}$$

Правильная эргодичность

Преобразование называется собственно эргодическим, если оно не имеет орбиты полной меры. В дискретном случае это означает, что мера не поддерживается на конечной орбите . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$

Определение для динамических систем с непрерывным временем

Определение по сути то же самое для динамических систем с непрерывным временем, что и для одного преобразования. Пусть будет измеримым пространством и для каждого , тогда такая система задается семейством измеримых функций из в себя, так что для любого соотношение выполняется (обычно также спрашивают, что отображение орбиты из также измеримо). Если является вероятностной мерой на , то мы говорим, что является -эргодической или является эргодической мерой для , если каждое сохраняет и выполняется следующее условие: ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle T_{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t,s\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle T_{s+t}=T_{s}\circ T_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times X\to X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle T_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$

Для любого , если для всех имеем то либо , либо . ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle T_{t}^{-1}(A)\subset A}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu (A)=1}$

Примеры

Как и в дискретном случае, простейшим примером является транзитивное действие, например, действие на окружности, заданное формулой, является эргодическим для меры Лебега. ${\displaystyle T_{t}(z)=e^{2i\pi t}z}$

Примером с бесконечным числом орбит является поток вдоль иррационального наклона на торе: пусть и . Пусть ; тогда если это эргодично для меры Лебега. ${\displaystyle X=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{t}(z_{1},z_{2})=\left(e^{2i\pi t}z_{1},e^{2\alpha i\pi t}z_{2}\right)}$ ${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Q} }$

Эргодические потоки

Дополнительные примеры эргодических потоков:

• Бильярды в выпуклых евклидовых областях;
• геодезический поток отрицательно искривленного риманова многообразия конечного объема является эргодическим (для нормализованной меры объема);
• поток орицикла на гиперболическом многообразии конечного объема является эргодическим (для нормализованной меры объема)

Эргодичность в компактных метрических пространствах

Если — компактное метрическое пространство , оно естественным образом наделено σ-алгеброй борелевских множеств . Дополнительная структура, вытекающая из топологии, позволяет построить гораздо более подробную теорию эргодических преобразований и мер на . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Интерпретация функционального анализа

Очень мощное альтернативное определение эргодических мер может быть дано с использованием теории банаховых пространств . Меры Радона на образуют банахово пространство, множество вероятностных мер на которого является выпуклым подмножеством. При заданном непрерывном преобразовании подмножество -инвариантных мер является замкнутым выпуклым подмножеством , и мера является эргодической для тогда и только тогда, когда она является крайней точкой этого выпуклого. ^[22] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)^{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Существование эргодических мер

В приведенной выше постановке из теоремы Банаха-Алаоглу следует , что всегда существуют экстремальные точки в . Следовательно, преобразование компактного метрического пространства всегда допускает эргодические меры. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)^{T}}$

Эргодическое разложение

В общем случае инвариантная мера не обязательно должна быть эргодической, но как следствие теории Шоке она всегда может быть выражена как барицентр вероятностной меры на множестве эргодических мер. Это называется эргодическим разложением меры. ^[23]

Пример

В случае и мера подсчета не является эргодической. Эргодические меры для являются равномерными мерами, поддерживаемыми на подмножествах и и каждая -инвариантная вероятностная мера может быть записана в виде для некоторого . В частности, это эргодическое разложение меры подсчета. ${\displaystyle X=\{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle T=(1\,2)(3\,4\,\cdots \,n)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{3,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t\mu _{1}+(1-t)\mu _{2}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\textstyle {\frac {2}{n}}\mu _{1}+{\frac {n-2}{n}}\mu _{2}}$

Непрерывные системы

Все в этом разделе дословно переносится на непрерывные действия компактных метрических пространств. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$

Уникальная эргодичность

Преобразование называется однозначно эргодическим, если существует единственная борелевская вероятностная мера , на которой эргодично для . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$

В рассмотренных выше примерах иррациональные повороты окружности являются однозначно эргодическими; ^[24] отображения сдвига таковыми не являются.

Вероятностная интерпретация: эргодические процессы

Если — случайный процесс с дискретным временем на пространстве , то он называется эргодическим, если совместное распределение переменных на инвариантно относительно отображения сдвига . Это частный случай понятий, обсуждавшихся выше. ${\displaystyle \left(X_{n}\right)_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\geq 1}\mapsto \left(x_{n+1}\right)_{n\geq 1}}$

Простейшим случаем является случай независимого и одинаково распределенного процесса, который соответствует описанной выше карте сдвига. Другим важным случаем является случай цепи Маркова , который подробно обсуждается ниже.

Аналогичная интерпретация справедлива и для непрерывных во времени стохастических процессов, хотя построение измеримой структуры действия является более сложным.

Эргодичность цепей Маркова

Динамическая система, связанная с цепью Маркова

Пусть будет конечным множеством. Марковская цепь на определяется матрицей , где — вероятность перехода от к , поэтому для каждого имеем . Стационарная мера для — это вероятностная мера на такая, что  ; то есть для всех . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P\in [0,1]^{S\times S}}$ ${\displaystyle P(s_{1},s_{2})}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\textstyle \sum _{s'\in S}P(s,s')=1}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \nu P=\nu }$ ${\textstyle \sum _{s'\in S}\nu (s')P(s',s)=\nu (s)}$ ${\displaystyle s\in S}$

Используя эти данные, мы можем определить вероятностную меру на множестве с его произведением σ-алгебры, задав меры цилиндров следующим образом: ${\displaystyle \mu _{\nu }}$ ${\displaystyle X=S^{\mathbb {Z} }}$ $${\displaystyle \mu _{\nu }(\cdots \times S\times \{(s_{n},\ldots ,s_{m})\}\times S\times \cdots )=\nu (s_{n})P(s_{n},s_{n+1})\cdots P(s_{m-1},s_{m}).}$$

Стационарность означает, что мера инвариантна относительно отображения сдвига . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu _{\nu }}$ ${\displaystyle T\left(\left(s_{k}\right)_{k\in \mathbb {Z} })\right)=\left(s_{k+1}\right)_{k\in \mathbb {Z} }}$

Критерий эргодичности

Мера всегда эргодична для отображения сдвига, если связанная цепь Маркова неприводима (любое состояние может быть достигнуто с положительной вероятностью из любого другого состояния за конечное число шагов). ^[25] ${\displaystyle \mu _{\nu }}$

Вышеизложенные гипотезы подразумевают, что существует единственная стационарная мера для цепи Маркова. В терминах матрицы достаточным условием для этого является то, что 1 является простым собственным значением матрицы , а все другие собственные значения (в ) имеют модуль <1. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Обратите внимание, что в теории вероятностей цепь Маркова называется эргодической, если вдобавок каждое состояние является апериодическим (времена, когда вероятность возврата положительна, не являются кратными одному целому числу >1). Это не обязательно для того, чтобы инвариантная мера была эргодической; следовательно, понятия «эргодичности» для цепи Маркова и связанной с ней инвариантной относительно сдвига меры различны (для цепи она строго сильнее). ^[26]

Более того, критерий является «тогда и только тогда», когда все сообщающиеся классы в цепочке являются рекуррентными , и мы рассматриваем все стационарные меры.

Примеры

Подсчет меры

Если для всех то стационарная мера есть счетная мера, мера есть произведение счетных мер. Цепь Маркова эргодична, поэтому пример сдвига сверху является частным случаем критерия. ${\displaystyle P(s,s')=1/|S|}$ ${\displaystyle s,s'\in S}$ ${\displaystyle \mu _{P}}$

Неэргодические цепи Маркова

Цепи Маркова с повторяющимися сообщающимися классами, которые не являются неприводимыми, не являются эргодическими, и это можно сразу увидеть следующим образом. Если есть два различных повторяющихся сообщающихся класса, то существуют ненулевые стационарные меры, поддерживаемые на соответственно и подмножествах и оба инвариантны относительно сдвига и имеют меру 1/2 для инвариантной вероятностной меры . Очень простым примером этого является цепь на , заданная матрицей (оба состояния стационарны). ${\displaystyle S_{1},S_{2}\subsetneq S}$ ${\displaystyle \nu _{1},\nu _{2}}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle S_{2}^{\mathbb {Z} }}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\nu _{1}+\nu _{2})}$ ${\displaystyle S=\{1,2\}}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)}$

Периодическая цепь

Марковская цепь на , заданная матрицей , неприводима, но периодична. Таким образом, она не эргодична в смысле марковской цепи, хотя ассоциированная мера на эргодична для отображения сдвига. Однако сдвиг не является перемешивающим для этой меры, как и для множеств ${\displaystyle S=\{1,2\}}$ ${\textstyle \left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{1,2\}^{\mathbb {Z} }}$ $${\displaystyle A=\cdots \times \{1,2\}\times 1\times \{1,2\}\times 1\times \{1,2\}\cdots }$$

и $${\displaystyle B=\cdots \times \{1,2\}\times 2\times \{1,2\}\times 2\times \{1,2\}\cdots }$$

у нас есть, но ${\textstyle \mu (A)={\frac {1}{2}}=\mu (B)}$ $${\displaystyle \mu \left(T^{-n}A\cap B\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}{\text{ if }}n{\text{ is odd}}\\0{\text{ if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}}$$

Обобщения

Определение эргодичности также имеет смысл для групповых действий . Классическая теория (для обратимых преобразований) соответствует действиям или . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Для неабелевых групп инвариантных мер может не быть даже на компактных метрических пространствах. Однако определение эргодичности сохраняется без изменений, если заменить инвариантные меры квазиинвариантными мерами .

Важными примерами являются действия полупростой группы Ли (или решетки в ней) на ее границе Фюрстенберга .

Измеримое отношение эквивалентности называется эргодическим, если все насыщенные подмножества либо равны нулю, либо равны нулю.

Примечания

1. Шёпф, Х.-Г. (январь 1970 г.). "<scp>В.И. Арнольд</scp> и <scp> А. Авез</scp>, Эргодические проблемы классической механики. (Серия монографий по математической физике) IX + 286 S. m. Рис. Нью-Йорк/Амстердам, 1968. WA Benjamin, Inc. Цена 14,75 долларов, 6,95 долларов». ZAMM — Журнал прикладной математики и механики / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 50 (7–9): 506–506. дои : 10.1002/zamm.19700500721. ISSN  0044-2267.
2. Ахим Кленке, «Теория вероятностей: всеобъемлющий курс» (2013) Springer Universitext ISBN 978-1-4471-5360-3 DOI 10.1007/978-1-4471-5361-0 ( см. главу 1 )
3. Уолтерс 1982, §0.1, стр. 2
4. Галлавотти, Джованни (1995). «Эргодичность, ансамбли, необратимость в Больцмане и далее». Журнал статистической физики . 78 (5–6): 1571–1589. arXiv : chao-dyn/9403004 . Bibcode :1995JSP....78.1571G. doi :10.1007/BF02180143. S2CID  17605281.
5. Феллер, Уильям (1 августа 2008 г.). Введение в теорию вероятностей и ее применение (2-е изд.). Wiley India Pvt. Limited. стр. 271. ISBN 978-81-265-1806-7.
6. Планшерель, М. (1913). «Beweis der Unmöglichkeit ergodischer mechanischer Systeme». Аннален дер Физик . 42 : 1061–1063. дои : 10.1002/andp.19133471509.
7. Штокманн, Ханс-Юрген (1999). Квантовый хаос: Введение. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. doi : 10.1017/cbo9780511524622. ISBN 978-0-521-02715-1.
8. Хеллер, Эрик Дж. (1984-10-15). «Собственные функции связанного состояния классически хаотических гамильтоновых систем: шрамы периодических орбит». Physical Review Letters . 53 (16): 1515–1518. Bibcode :1984PhRvL..53.1515H. doi :10.1103/PhysRevLett.53.1515.
9. Каплан, Л. (1999-03-01). "Шрамы в квантовых хаотических волновых функциях". Нелинейность . 12 (2): R1–R40. doi :10.1088/0951-7715/12/2/009. ISSN  0951-7715. S2CID  250793219.
10. Каплан, Л.; Хеллер, Э.Дж. (апрель 1998 г.). «Линейная и нелинейная теория шрамов собственных функций». Annals of Physics . 264 (2): 171–206. arXiv : chao-dyn/9809011 . Bibcode : 1998AnPhy.264..171K. doi : 10.1006/aphy.1997.5773. S2CID  120635994.
11. Хеллер, Эрик Джонсон (2018). Полуклассический путь к динамике и спектроскопии. Принстон: Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-9029-3. OCLC  1034625177.
12. Кески-Рахконен, Дж.; Руханен, А.; Хеллер, Э.Дж.; Рясянен, Э. (21 ноября 2019 г.). «Квантовые шрамы Лиссажу». Письма о физических отзывах . 123 (21): 214101. arXiv : 1911.09729 . Бибкод : 2019PhRvL.123u4101K. doi : 10.1103/PhysRevLett.123.214101. PMID  31809168. S2CID  208248295.
13. Луукко, Пертту Дж. Дж.; Друри, Байрон; Клалес, Анна; Каплан, Лев; Хеллер, Эрик Дж.; Рясянен, Эса (28 ноября 2016 г.). «Сильное квантовое рубцевание местными примесями». Научные отчеты . 6 (1): 37656. arXiv : 1511.04198 . Бибкод : 2016NatSR...637656L. дои : 10.1038/srep37656. ISSN  2045-2322. ПМК 5124902 . ПМИД  27892510. 
14. Кески-Рахконен, Дж.; Луукко, PJJ; Каплан, Л.; Хеллер, Э.Дж.; Рясянен, Э. (20 сентября 2017 г.). «Управляемые квантовые шрамы в полупроводниковых квантовых точках». Физический обзор B . 96 (9): 094204. arXiv : 1710.00585 . Бибкод : 2017PhRvB..96i4204K. doi : 10.1103/PhysRevB.96.094204. S2CID  119083672.
15. Кески-Рахконен, Дж; Луукко, PJJ; Оберг, С; Рясянен, Э (21 января 2019 г.). «Влияние рубцевания на квантовый хаос в неупорядоченных квантовых ямах». Физический журнал: конденсированное вещество . 31 (10): 105301. arXiv : 1806.02598 . Бибкод : 2019JPCM...31j5301K. дои : 10.1088/1361-648x/aaf9fb. ISSN  0953-8984. PMID  30566927. S2CID  51693305.
16. Кески-Рахконен, Йоонас (2020). Квантовый хаос в неупорядоченных двумерных наноструктурах. Университет Тампере. ISBN 978-952-03-1699-0.
17. Тернер, CJ; Михайлидис, AA; Абанин, DA; Сербин, M.; Папич, Z. (июль 2018 г.). «Слабое нарушение эргодичности из-за квантовых многотельных шрамов». Nature Physics . 14 (7): 745–749. arXiv : 1711.03528 . Bibcode :2018NatPh..14..745T. doi :10.1038/s41567-018-0137-5. ISSN  1745-2481. S2CID  256706206.
18. Ааронсон, Джон (1997). Введение в бесконечную эргодическую теорию . Математические обзоры и монографии. Т. 50. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 21. doi :10.1090/surv/050. ISBN 0-8218-0494-4. МР  1450400.
19. Уолтерс 1982, стр. 32.
20. Уолтерс 1982, стр. 29.
21. "Пример системы, сохраняющей меру, с плотными орбитами, которая не является эргодической". MathOverflow . 1 сентября 2011 г. Получено 16 мая 2020 г.
22. Уолтерс 1982, стр. 152.
23. Уолтерс 1982, стр. 153.
24. Уолтерс 1982, стр. 159.
25. Уолтерс 1982, стр. 42.
26. «Различные варианты использования слова «эргодический»». MathOverflow . 4 сентября 2011 г. Получено 16 мая 2020 г.

Ссылки

• Уолтерс, Питер (1982). Введение в эргодическую теорию . Springer . ISBN 0-387-95152-0.
• Брин, Майкл; Гарретт, Штук (2002). Введение в динамические системы . Cambridge University Press. ISBN 0-521-80841-3.

Внешние ссылки

• Карма Даджани и Сьорд Дирксин, «Простое введение в эргодическую теорию»