преобразование Фурье

Математическое преобразование, выражающее функцию времени как функцию частоты.

Примером применения преобразования Фурье является определение составляющих тонов в музыкальной волновой форме . Это изображение является результатом применения преобразования с постоянной добротностью ( преобразование, связанное с Фурье ) к волновой форме аккорда фортепиано C мажор . Первые три пика слева соответствуют частотам основной частоты аккорда (C, E, G). Остальные меньшие пики являются более высокочастотными обертонами основных тонов. Алгоритм обнаружения высоты тона может использовать относительную интенсивность этих пиков, чтобы сделать вывод о том, какие ноты нажал пианист.

В физике , инженерии и математике преобразование Фурье ( FT ) — это интегральное преобразование , которое принимает функцию в качестве входных данных и выводит другую функцию, которая описывает степень, в которой различные частоты присутствуют в исходной функции. Выходные данные преобразования — это комплекснозначная функция частоты. Термин «преобразование Фурье» относится как к этой комплекснозначной функции, так и к математической операции . Когда необходимо провести различие, выходные данные операции иногда называют представлением исходной функции в частотной области . Преобразование Фурье аналогично разложению звука музыкального аккорда на интенсивности его составляющих тонов .

Преобразование Фурье связывает временную область (красный цвет) с функцией в области частоты (синий цвет). Частоты компонентов, расширенные для всего спектра частот, показаны как пики в области частоты.

Красная синусоида может быть описана пиковой амплитудой (1), пик-пик (2), среднеквадратичной (3) и длиной волны (4). Красная и синяя синусоиды имеют разность фаз θ .

Функции, локализованные во временной области, имеют преобразования Фурье, которые распространяются по частотной области и наоборот, явление, известное как принцип неопределенности. Критическим случаем для этого принципа является функция Гаусса , имеющая существенное значение в теории вероятностей и статистике , а также в изучении физических явлений, демонстрирующих нормальное распределение (например, диффузия ). Преобразование Фурье функции Гаусса является еще одной функцией Гаусса. Жозеф Фурье ввел синусоидальные и косинусоидальные преобразования (которые соответствуют мнимым и действительным компонентам современного преобразования Фурье) в своем исследовании теплопередачи , где функции Гаусса появляются как решения уравнения теплопроводности .

Преобразование Фурье можно формально определить как несобственный интеграл Римана , что делает его интегральным преобразованием, хотя это определение не подходит для многих приложений, требующих более сложной теории интегрирования. ^{[примечание 1]} Например, многие относительно простые приложения используют дельта-функцию Дирака , которую можно формально рассматривать так, как если бы она была функцией, но обоснование требует математически более сложной точки зрения. ^{[примечание 2]}

Преобразование Фурье также можно обобщить на функции нескольких переменных в евклидовом пространстве , отправив функцию 3-мерного «пространства положений» в функцию 3-мерного импульса (или функцию пространства и времени в функцию 4-импульса ). Эта идея делает пространственное преобразование Фурье очень естественным при изучении волн, а также в квантовой механике , где важно иметь возможность представлять волновые решения как функции либо положения, либо импульса, а иногда и того и другого. В общем случае функции, к которым применимы методы Фурье, являются комплекснозначными и, возможно, векторнозначными . ^{[примечание 3]} Еще большее обобщение возможно для функций на группах , которые, помимо исходного преобразования Фурье на R или R ⁿ , в частности, включают дискретное временное преобразование Фурье (ДВПФ, группа = Z ), дискретное преобразование Фурье (ДПФ, группа = Z mod N ) и ряд Фурье или круговое преобразование Фурье (группа = S 1 , единичная окружность ≈ замкнутый конечный интервал с идентифицированными конечными точками). Последнее обычно используется для обработки периодических функций . Быстрое преобразование Фурье (БПФ) — это алгоритм для вычисления ДПФ.

Определение

Преобразование Фурье — это процесс анализа , разлагающий комплекснозначную функцию на составляющие ее частоты и их амплитуды. Обратный процесс — синтез , который воссоздает из своего преобразования. ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ ${\displaystyle \textstyle f(x)}$

Мы можем начать с аналогии, ряда Фурье , который анализирует на ограниченном интервале для некоторого положительного действительного числа. Составляющие частоты представляют собой дискретный набор гармоник на частотах , амплитуда и фаза которых задаются формулой анализа: Фактический ряд Фурье представляет собой формулу синтеза: На неограниченном интервале составляющие частоты представляют собой континуум : ^{[1] [2] [3]} и заменяются функцией : ^[4] ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ ${\displaystyle \textstyle x\in [-P/2,P/2],}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}},n\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}f(x)\,e^{-i2\pi {\frac {n}{P}}x}\,dx.}$$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},\quad \textstyle x\in [-P/2,P/2].}$$ ${\displaystyle P\to \infty ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}\to \xi \in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle c_{n}}$

преобразование Фурье

Оценка уравнения 1 для всех значений дает функцию частотной области . Интеграл может расходиться на некоторых частотах. (см. § Преобразование Фурье для периодических функций) Но он сходится для всех частот, когда затухает со всеми производными как : . (См. Функция Шварца ). По лемме Римана–Лебега преобразованная функция также затухает со всеми производными. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f^{(n)}(x)=0,n=0,1,2,\dots }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

Комплексное число в полярных координатах передает как амплитуду , так и фазу частоты. Интуитивная интерпретация уравнения 1 заключается в том, что эффект умножения на заключается в вычитании из каждой частотной составляющей функции ^{[примечание 4].} Только та составляющая, которая была на частоте, может дать ненулевое значение бесконечного интеграла, поскольку (по крайней мере формально) все остальные смещенные компоненты являются колебательными и интегрируются до нуля. (см. § Пример) ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle \xi }$

Соответствующая формула синтеза:

Обратное преобразование

Уравнение 2 представляет собой взвешенную сумму комплексных показательных функций. ${\displaystyle f(x)}$

Это также известно как теорема обращения Фурье и впервые было введено в «Аналитической теории теплоты» Фурье . ^{[5] [6] [7] [8]}

Функции и называются парой преобразований Фурье . ^[9]   Общепринятая нотация для обозначения пар преобразований : ^[10]   например   ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ $${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ),}$$ ${\displaystyle \operatorname {rect} (x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \operatorname {sinc} (\xi ).}$

Определение для функций, интегрируемых по Лебегу

До сих пор мы имели дело с функциями Шварца, которые быстро затухают на бесконечности, со всеми производными. Это исключает из определения многие функции, имеющие практическое значение, такие как функция rect . Измеримая функция называется интегрируемой (по Лебегу), если интеграл Лебега ее абсолютного значения конечен: Две измеримые функции эквивалентны, если они равны, за исключением множества меры нуль. Множество всех классов эквивалентности интегрируемых функций обозначается . Тогда: ^[11] ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .}$$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$

Определение  —  Преобразование Фурье интегрируемой по Лебегу функции определяется формулой Ур.1 . ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

Интегральное уравнение 1 хорошо определено для всех из-за предположения . (Можно показать, что функция ограничена и равномерно непрерывна в частотной области, и, более того, по лемме Римана–Лебега она равна нулю на бесконечности.) ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \|f\|_{1}<\infty }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C(\mathbb {R} )}$

Однако класс функций, интегрируемых по Лебегу, не является идеальным с точки зрения преобразования Фурье, поскольку не существует простой характеристики изображения, а значит, и простой характеристики обратного преобразования.

Унитарность и определение для квадратично интегрируемых функций

В то время как уравнение 1 определяет преобразование Фурье для (комплекснозначных) функций в , легко видеть, что оно не является хорошо определенным для других классов интегрируемости, что наиболее важно . Для функций в и с соглашениями уравнения 1 преобразование Фурье является унитарным оператором относительно скалярного произведения Гильберта на , ограниченным плотным подпространством интегрируемых функций. Следовательно, оно допускает уникальное непрерывное расширение до унитарного оператора на , также называемого преобразованием Фурье. Это расширение важно отчасти потому, что преобразование Фурье сохраняет пространство , так что, в отличие от случая , преобразование Фурье и обратное преобразование находятся на одной и той же основе, являясь преобразованиями одного и того же пространства функций в себя. ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}}$

Важно отметить, что для функций в преобразование Фурье больше не задается уравнением 1 (интерпретируемым как интеграл Лебега). Например, функция входит в , но не , поэтому интеграл уравнение 1 расходится. В таких случаях преобразование Фурье можно получить явно, регуляризировав интеграл и затем перейдя к пределу. На практике интеграл часто рассматривается как несобственный интеграл вместо собственного интеграла Лебега, но иногда для сходимости нужно использовать слабый предел или главное значение вместо (поточечных) пределов, подразумеваемых в несобственном интеграле. Титчмарш (1986) и Дайм и МакКин (1985) каждый из них приводят по три строгих способа расширения преобразования Фурье до квадратично интегрируемых функций с использованием этой процедуры. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$

Соглашения, выбранные в этой статье, являются соглашениями ^{гармонического} анализа и характеризуются как уникальные соглашения, такие, что преобразование Фурье является как ^{унитарным} на L2 , ^так и гомоморфизмом алгебры из L1 в L∞ , без перенормировки меры Лебега. ^[12]

Угловая частота (ω)

Когда независимая переменная ( ) представляет время (часто обозначается как ), переменная преобразования ( ) представляет частоту (часто обозначается как ). Например, если время измеряется в секундах , то частота измеряется в герцах . Преобразование Фурье также можно записать в терминах угловой частоты , единицами которой являются радианы в секунду. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega =2\pi \xi ,}$

Подстановка в уравнение 1 дает это соглашение, где функция перемаркирована В отличие от определения уравнения 1 , преобразование Фурье больше не является унитарным преобразованием , и между формулами для преобразования и его обратного меньше симметрии. Эти свойства восстанавливаются путем разделения множителя поровну между преобразованием и его обратным, что приводит к другому соглашению: Вариации всех трех соглашений могут быть созданы путем сопряжения комплексно-экспоненциального ядра как прямого, так и обратного преобразования. Знаки должны быть противоположными. ${\displaystyle \xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle {\widehat {f_{1}}}:}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{3}}}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega \,x}\,dx={\widehat {f_{1}}}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{3}}}(\omega )\cdot e^{i\omega \,x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 2\pi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{2}}}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\widehat {f_{1}}}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{2}}}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$

Расширение определения

Для преобразование Фурье можно определить с помощью интерполяции Марцинкевича . ${\displaystyle 1<p<2}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Преобразование Фурье может быть определено на областях, отличных от вещественной прямой. Преобразование Фурье на евклидовом пространстве и преобразование Фурье на локально абелевых группах обсуждаются далее в статье.

Преобразование Фурье также может быть определено для распределений с умеренным распределением , двойственное пространству быстро убывающих функций ( функциям Шварца ). Функция Шварца — это гладкая функция, которая убывает на бесконечности вместе со всеми своими производными. Пространство функций Шварца обозначается как , а его двойственное — это пространство распределений с умеренным распределением. Легко видеть, дифференцируя под интегралом и применяя лемму Римана-Лебега, что преобразование Фурье функции Шварца (определяемой формулой Eq.1 ) снова является функцией Шварца. Преобразование Фурье распределения с умеренным распределением определяется дуальностью: ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle \langle {\widehat {T}},\phi \rangle =\langle T,{\widehat {\phi }}\rangle ;\quad \forall \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).}$$

Существует много других характеристик преобразования Фурье. Например, одна из них использует теорему Стоуна–фон Неймана : преобразование Фурье является единственным унитарным переплетателем для симплектического и евклидова представлений Шредингера группы Гейзенберга .

Фон

История

В 1822 году Фурье заявил (см. Жозеф Фурье § Аналитическая теория тепла ), что любую функцию, непрерывную или прерывную, можно разложить в ряд синусов. ^[13] Эта важная работа была исправлена ​​и расширена другими, чтобы обеспечить основу для различных форм преобразования Фурье, используемых с тех пор.

Рис.1 При изображении функции на комплексной плоскости вектор, образованный ее мнимой и действительной частями, вращается вокруг начала координат. Его действительная часть представляет собой косинусоиду. ${\displaystyle A\cdot e^{i2\pi \xi t}}$ ${\displaystyle y(t)}$

Сложные синусоиды

В общем случае коэффициенты являются комплексными числами, имеющими две эквивалентные формы (см. формулу Эйлера ): ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.}$$

Продукт с ( Уравнение 2 ) имеет следующие формы: ${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}&=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}\\&=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}\\&=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.\end{aligned}}}$$

Примечательно, как легко произведение упростилось с помощью полярной формы и как легко прямоугольная форма была выведена путем применения формулы Эйлера.

Отрицательная частота

Формула Эйлера вводит возможность отрицательной   И ур.1 определяется Только некоторые комплекснозначные имеют преобразования (См. Аналитический сигнал . Простой пример: ). Но отрицательная частота необходима для характеристики всех других комплекснозначных, встречающихся в обработке сигналов , уравнениях в частных производных , радиолокации , нелинейной оптике , квантовой механике и других. ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle \forall \xi \in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0).}$ ${\displaystyle f(x),}$

Для действительного значения Уравнение 1 обладает свойством симметрии (см. § Сопряжение ниже). Эта избыточность позволяет Уравнению 2 отличать от   Но, конечно, оно не может сказать нам фактический знак, поскольку и неразличимы только на прямой действительных чисел. ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )}$ ${\displaystyle f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}.}$ ${\displaystyle \xi _{0},}$ ${\displaystyle \cos(2\pi \xi _{0}x)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi (-\xi _{0})x)}$

Преобразование Фурье для периодических функций

Преобразование Фурье периодической функции не может быть определено с помощью интегральной формулы напрямую. Для того чтобы интеграл в уравнении 1 был определен, функция должна быть абсолютно интегрируемой . Вместо этого обычно используют ряды Фурье . Можно расширить определение, включив в него периодические функции, рассматривая их как умеренные распределения .

Это позволяет увидеть связь между рядом Фурье и преобразованием Фурье для периодических функций, имеющих сходящийся ряд Фурье . Если — периодическая функция с периодом , имеющая сходящийся ряд Фурье, то: где — коэффициенты ряда Фурье функции , а — дельта-функция Дирака . Другими словами, преобразование Фурье — это гребенчатая функция Дирака , зубцы которой умножаются на коэффициенты ряда Фурье. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),}$$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$

Выборка преобразования Фурье

Преобразование Фурье интегрируемой функции может быть получено путем выборки через регулярные интервалы произвольной длины. Эти выборки могут быть получены из одного цикла периодической функции , коэффициенты ряда Фурье которой пропорциональны этим выборкам, по формуле суммирования Пуассона : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}.}$ ${\displaystyle f_{P}}$ $${\displaystyle f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z} }$$

Интегрируемость обеспечивает сходимость периодического суммирования. Поэтому выборки можно определить с помощью анализа ряда Фурье: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.}$$

Когда имеет компактный носитель , имеет конечное число членов в интервале интегрирования. Когда не имеет компактного носителя, численная оценка требует аппроксимации, такой как сужение или усечение числа членов. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{P}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{P}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Пример

Следующие рисунки наглядно иллюстрируют, как интеграл преобразования Фурье измеряет, присутствует ли частота в конкретной функции. Первое изображение изображает функцию, которая представляет собой косинусоидальную волну 3  Гц (первый член), сформированную гауссовой огибающей функцией (второй член), которая плавно включает и выключает волну. Следующие 2 изображения показывают произведение , которое необходимо интегрировать для вычисления преобразования Фурье при +3 Гц. Действительная часть подынтегральной функции имеет неотрицательное среднее значение, поскольку чередующиеся знаки и колеблются с одинаковой скоростью и в фазе, тогда как и колеблются с одинаковой скоростью, но с ортогональной фазой. Абсолютное значение преобразования Фурье при +3 Гц равно 0,5, что относительно много. При добавлении к преобразованию Фурье при -3 Гц (что идентично, поскольку мы начали с реального сигнала) мы обнаруживаем, что амплитуда компонента частоты 3 Гц равна 1. ${\displaystyle f(t)=\cos(2\pi \ 3t)\ e^{-\pi t^{2}},}$ ${\displaystyle f(t)e^{-i2\pi 3t},}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (e^{-i2\pi 3t})}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (e^{-i2\pi 3t})}$

Исходная функция, имеющая сильную составляющую 3 Гц. Действительная и мнимая части подынтегральной функции ее преобразования Фурье при +3 Гц.

Однако, когда вы пытаетесь измерить частоту, которая отсутствует, как действительная, так и мнимая составляющая интеграла быстро меняются между положительными и отрицательными значениями. Например, красная кривая ищет 5 Гц. Абсолютное значение ее интеграла близко к нулю, что указывает на то, что в сигнале почти не было составляющей 5 Гц. Общая ситуация обычно сложнее, чем эта, но эвристически именно так преобразование Фурье измеряет, какая часть индивидуальной частоты присутствует в функции ${\displaystyle f(t).}$

• 
  Действительная и мнимая части подынтегрального выражения для его преобразования Фурье при +5 Гц.
• 
  Величина его преобразования Фурье с маркировкой +3 и +5 Гц.

Чтобы подтвердить более раннюю точку зрения, причина ответа на   Гц заключается в том, что     и     неразличимы. Преобразование     будет иметь только один ответ, амплитуда которого является интегралом гладкой огибающей:   тогда   как   ${\displaystyle \xi =-3}$ ${\displaystyle \cos(2\pi 3t)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi (-3)t)}$ ${\displaystyle e^{i2\pi 3t}\cdot e^{-\pi t^{2}}}$ ${\displaystyle e^{-\pi t^{2}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (f(t)\cdot e^{-i2\pi 3t})}$ ${\displaystyle e^{-\pi t^{2}}(1+\cos(2\pi 6t))/2.}$

Свойства преобразования Фурье

Пусть и представляют собой интегрируемые функции, измеримые по Лебегу на вещественной прямой, удовлетворяющие: Обозначим преобразования Фурье этих функций как и соответственно. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty .}$$ ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )}$

Основные свойства

Преобразование Фурье имеет следующие основные свойства: ^[14]

Линейность

$${\displaystyle a\ f(x)+b\ h(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ a\ {\widehat {f}}(\xi )+b\ {\widehat {h}}(\xi );\quad \ a,b\in \mathbb {C} }$$

Сдвиг во времени

$${\displaystyle f(x-x_{0})\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ e^{-i2\pi x_{0}\xi }\ {\widehat {f}}(\xi );\quad \ x_{0}\in \mathbb {R} }$$

Сдвиг частоты

$${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}f(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(\xi -\xi _{0});\quad \ \xi _{0}\in \mathbb {R} }$$

Масштабирование времени

$${\displaystyle f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right);\quad \ a\neq 0}$$Этот случай приводит к свойству обращения времени : ${\displaystyle a=-1}$ $${\displaystyle f(-x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(-\xi )}$$

Симметрия

Когда действительная и мнимая части комплексной функции разлагаются на четную и нечетную части , есть четыре компонента, обозначенные ниже индексами RE, RO, IE и IO. И есть взаимно-однозначное отображение между четырьмя компонентами комплексной временной функции и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ f\quad &=\quad &f_{_{RE}}\quad &+\quad &f_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &f_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ f_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &{\widehat {f}}\quad &=\quad &{\widehat {f}}_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ {\widehat {f}}_{IO}} \quad &+\quad i\ &{\widehat {f}}_{IE}\quad &+\quad &{\widehat {f}}_{RO}\end{aligned}}}$$

Из этого очевидны различные соотношения, например :

• Преобразование действительной функции — это сопряженная симметричная функция. Наоборот, сопряженное симметричное преобразование подразумевает действительную временную область. ${\displaystyle (f_{_{RE}}+f_{_{RO}})}$ ${\displaystyle {\hat {f}}_{RE}+i\ {\hat {f}}_{IO}.}$
• Преобразование мнимозначной функции является сопряженной антисимметричной функцией , и обратное утверждение верно. ${\displaystyle (i\ f_{_{IE}}+i\ f_{_{IO}})}$ ${\displaystyle {\hat {f}}_{RO}+i\ {\hat {f}}_{IE},}$
• Преобразование сопряженной симметричной функции является действительной функцией , и обратное утверждение верно. ${\displaystyle (f_{_{RE}}+i\ f_{_{IO}})}$ ${\displaystyle {\hat {f}}_{RE}+{\hat {f}}_{RO},}$
• Преобразование сопряженной антисимметричной функции является мнимозначной функцией , и обратное утверждение верно. ${\displaystyle (f_{_{RO}}+i\ f_{_{IE}})}$ ${\displaystyle i\ {\hat {f}}_{IE}+i{\hat {f}}_{IO},}$

Спряжение

$${\displaystyle {\bigl (}f(x){\bigr )}^{*}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ \left({\widehat {f}}(-\xi )\right)^{*}}$$(Примечание: ∗ обозначает комплексное сопряжение .)

В частности, если является действительным , то является даже симметричным (т.е. эрмитовой функцией ): ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\bigl (}{\widehat {f}}(\xi ){\bigr )}^{*}.}$$

А если чисто мнимое, то нечетно симметричное : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )=-({\widehat {f}}(\xi ))^{*}.}$$

Действительная и мнимая часть времени

$${\displaystyle \operatorname {Re} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {f}}(\xi )+{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Im} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2i}}\left({\widehat {f}}(\xi )-{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$$

Компонент нулевой частоты

Подставляя в определение, получаем: ${\displaystyle \xi =0}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx.}$$

Интеграл по области определения называется средним значением или смещением постоянного тока функции. ${\displaystyle f}$

Обратимость и периодичность

При подходящих условиях на функцию , ее можно восстановить из ее преобразования Фурье . Действительно, обозначая оператор преобразования Фурье как , так что , то для подходящих функций применение преобразования Фурье дважды просто переворачивает функцию: , что можно интерпретировать как «обращение времени». Поскольку обращение времени является двухпериодическим, применение этого дважды дает , поэтому оператор преобразования Фурье является четырехпериодическим, и аналогично обратное преобразование Фурье можно получить, применив преобразование Фурье три раза: . В частности, преобразование Фурье обратимо (при подходящих условиях). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}f:={\hat {f}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {F}}^{2}f\right)(x)=f(-x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}(f)=f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{3}\left({\hat {f}}\right)=f}$

Точнее, определяя оператор четности таким образом, что , мы имеем: Эти равенства операторов требуют тщательного определения пространства рассматриваемых функций, определения равенства функций (равенство в каждой точке? равенство почти всюду ?) и определения равенства операторов – то есть определения топологии на рассматриваемом пространстве функций и операторном пространстве. Они верны не для всех функций, но верны при различных условиях, которые являются содержанием различных форм теоремы об обращении Фурье . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(x)=f(-x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {id} ,\\{\mathcal {F}}^{1}&={\mathcal {F}},\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{4}&=\mathrm {id} \end{aligned}}}$$

Эта четырехкратная периодичность преобразования Фурье похожа на поворот плоскости на 90°, особенно потому, что двукратная итерация дает инверсию, и на самом деле эту аналогию можно сделать точной. В то время как преобразование Фурье можно просто интерпретировать как переключение временной области и частотной области, с обратным преобразованием Фурье, переключающим их обратно, более геометрически его можно интерпретировать как поворот на 90° в области время-частота (рассматривая время как ось x , а частоту как ось y ), и преобразование Фурье можно обобщить до дробного преобразования Фурье , которое включает повороты на другие углы. Это можно далее обобщить до линейных канонических преобразований , которые можно визуализировать как действие специальной линейной группы SL ₂ ( R ) на плоскости время-частота, с сохраненной симплектической формой, соответствующей принципу неопределенности, ниже. Этот подход особенно изучается в обработке сигналов , в рамках анализа время-частота .

Единицы

Переменная частоты должна иметь обратные единицы к единицам исходной области функции (обычно называемые t или x ). Например, если t измеряется в секундах, ξ должна быть выражена в циклах в секунду или герцах . Если шкала времени измеряется в единицах 2 π секунд, то вместо нее обычно используется другая греческая буква ω для представления угловой частоты (где ω = 2π ξ ) в единицах радиан в секунду. Если использовать x для единиц длины, то ξ должна быть выражена в обратных единицах длины, например, волновых числах . То есть существуют две версии действительной линии: одна, которая является диапазоном t и измеряется в единицах t , и другая, которая является диапазоном ξ и измеряется в обратных единицах к единицам t . Эти две различные версии действительной линии нельзя приравнивать друг к другу. Следовательно, преобразование Фурье переходит из одного пространства функций в другое пространство функций: функции, которые имеют другую область определения.

В общем случае ξ всегда следует считать линейной формой на пространстве ее области определения, то есть вторая вещественная прямая является дуальным пространством первой вещественной прямой. Более формальное объяснение и подробности см. в статье о линейной алгебре . Эта точка зрения становится существенной при обобщениях преобразования Фурье на общие группы симметрии , включая случай рядов Фурье.

То, что не существует одного предпочтительного способа (часто говорят «нет канонического способа») для сравнения двух версий действительной линии, которые участвуют в преобразовании Фурье — фиксация единиц на одной линии не навязывает масштаб единиц на другой линии — является причиной множества конкурирующих соглашений об определении преобразования Фурье. Различные определения, полученные в результате различного выбора единиц, отличаются различными константами.

В других соглашениях преобразование Фурье имеет i в показателе степени вместо − i , и наоборот для формулы обращения. Это соглашение распространено в современной физике ^[15] и является значением по умолчанию для Wolfram Alpha, и не означает, что частота стала отрицательной, поскольку не существует канонического определения положительности для частоты комплексной волны. Это просто означает, что есть амплитуда волны     вместо волны   (первое, со знаком минус, часто наблюдается во временной зависимости для синусоидальных плоских волновых решений уравнения электромагнитной волны или во временной зависимости для квантовых волновых функций ). Многие из тождеств, включающих преобразование Фурье, остаются действительными в этих соглашениях, при условии, что все термины, которые явно включают i, заменяются на − i . В электротехнике буква j обычно используется для мнимой единицы вместо i , поскольку i используется для тока. ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$

При использовании безразмерных единиц постоянные множители могут даже не быть записаны в определении преобразования. Например, в теории вероятностей характеристическая функция Φ функции плотности вероятности f случайной величины X непрерывного типа определяется без отрицательного знака в экспоненте, а поскольку единицы x игнорируются, то нет и 2 π : $${\displaystyle \phi (\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx.}$$

(В теории вероятностей и математической статистике предпочтение отдается использованию преобразования Фурье—Стилтьеса, поскольку многие случайные величины не являются непрерывными и не обладают функцией плотности, и приходится иметь дело не с функциями, а с распределениями , т. е. мерами, обладающими «атомами».)

С более высокой точки зрения групповых характеров , которая является гораздо более абстрактной, все эти произвольные выборы исчезают, как будет объяснено в последнем разделе этой статьи, где рассматривается понятие преобразования Фурье функции на локально компактной абелевой группе .

Равномерная непрерывность и лемма Римана–Лебега

Прямоугольная функция интегрируема по Лебегу .

Функция sinc , которая является преобразованием Фурье прямоугольной функции, ограничена и непрерывна, но не интегрируема по Лебегу.

Преобразование Фурье может быть определено в некоторых случаях для неинтегрируемых функций, но преобразования Фурье интегрируемых функций обладают рядом сильных свойств.

Преобразование Фурье f̂ любой интегрируемой функции f равномерно непрерывно и [ ^16] $${\displaystyle \left\|{\hat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}}$$

По лемме Римана–Лебега , ^[11] $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .}$$

Однако не обязательно быть интегрируемым. Например, преобразование Фурье прямоугольной функции , которое интегрируемо, является функцией sinc , которая не интегрируема по Лебегу , поскольку ее несобственные интегралы ведут себя аналогично знакопеременным гармоническим рядам , сходясь к сумме, не будучи абсолютно сходящимися . ${\displaystyle {\hat {f}}}$

В общем случае невозможно записать обратное преобразование как интеграл Лебега . Однако, когда и f , и интегрируемы, обратное равенство выполняется почти для всех x . В результате преобразование Фурье инъективно на L 1 ( R ) . ${\displaystyle {\hat {f}}}$ $${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\xi }\,d\xi }$$

Теорема Планшереля и теорема Парсеваля

Главная страница: Теорема Планшереля

Пусть f ( x ) и g ( x ) интегрируемы, и пусть f̂ ( ξ ) и ĝ ( ξ ) — их преобразования Фурье. Если f ( x ) и g ( x ) также квадратично интегрируемы , то формула Парсеваля следует: ^[17]

$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi ){\overline {{\hat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,}$$где черта обозначает комплексное сопряжение .

Теорема Планшереля , вытекающая из вышесказанного, утверждает, что ^[18] $${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .}$$

Теорема Планшереля позволяет расширить преобразование Фурье, с помощью аргумента непрерывности, до унитарного оператора на L ² ( R ) . На L ¹ ( R ) ∩ L ² ( R ) это расширение согласуется с исходным преобразованием Фурье, определенным на L ¹ ( R ) , таким образом расширяя область преобразования Фурье до L ¹ ( R ) + L ² ( R ) (и, следовательно, до L ^p ( R ) для 1 ≤ p ≤ 2 ). Теорема Планшереля имеет интерпретацию в науке, что преобразование Фурье сохраняет энергию исходной величины. Терминология этих формул не совсем стандартизирована. Теорема Парсеваля была доказана только для рядов Фурье и впервые была доказана Ляпуновым. Но формула Парсеваля имеет смысл и для преобразования Фурье, и поэтому, хотя в контексте преобразования Фурье она была доказана Планшерелем, ее по-прежнему часто называют формулой Парсеваля, или соотношением Парсеваля, или даже теоремой Парсеваля.

Общую формулировку этого понятия в контексте локально компактных абелевых групп см . в двойственности Понтрягина .

Формула суммирования Пуассона

Формула суммирования Пуассона (PSF) — это уравнение, связывающее коэффициенты ряда Фурье периодического суммирования функции со значениями непрерывного преобразования Фурье этой функции. Формула суммирования Пуассона утверждает, что для достаточно регулярных функций f , $${\displaystyle \sum _{n}{\hat {f}}(n)=\sum _{n}f(n).}$$

Она имеет множество полезных форм, которые выводятся из базовой путем применения свойств масштабирования и сдвига во времени преобразования Фурье. Формула имеет приложения в инженерии, физике и теории чисел . Частотная область, дуальная стандартной формуле суммирования Пуассона, также называется дискретным временным преобразованием Фурье .

Суммирование Пуассона обычно ассоциируется с физикой периодических сред, например, с теплопроводностью на окружности. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности на окружности называется тета-функцией . Оно используется в теории чисел для доказательства свойств преобразования тета-функций, которые оказываются разновидностью модулярной формы , и в более общем плане связано с теорией автоморфных форм , где оно появляется с одной стороны формулы следа Сельберга .

Дифференциация

Предположим, что f ( x ) — абсолютно непрерывная дифференцируемая функция, и как f , так и ее производная f′ интегрируемы. Тогда преобразование Фурье производной задается как Более общо, преобразование Фурье n -й производной f ^{( n )} задается как $${\displaystyle {\widehat {f'\,}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=i2\pi \xi {\hat {f}}(\xi ).}$$ $${\displaystyle {\widehat {f^{(n)}}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\right\}=(i2\pi \xi )^{n}{\hat {f}}(\xi ).}$$

Аналогично, , поэтому ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\hat {f}}(\xi )\right\}=(i2\pi x)^{n}f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x^{n}f(x)\right\}=\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\hat {f}}(\xi ).}$

Применяя преобразование Фурье и используя эти формулы, некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения можно преобразовать в алгебраические уравнения, которые гораздо проще решать. Эти формулы также приводят к правилу большого пальца: « f ( x ) является гладкой тогда и только тогда, когда f̂ ( ξ ) быстро падает до 0 при | ξ | → ∞ ». Используя аналогичные правила для обратного преобразования Фурье, можно также сказать: « f ( x ) быстро падает до 0 при | x | → ∞ тогда и только тогда, когда f̂ ( ξ ) является гладкой».

Теорема о свертке

Преобразование Фурье осуществляет переход между сверткой и умножением функций. Если f ( x ) и g ( x ) являются интегрируемыми функциями с преобразованиями Фурье f̂ ( ξ ) и ĝ ( ξ ) соответственно, то преобразование Фурье свертки задается произведением преобразований Фурье f̂ ( ξ ) и ĝ ( ξ ) (при других соглашениях для определения преобразования Фурье может появиться постоянный множитель).

Это означает, что если: где ∗ обозначает операцию свертки, то: $${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$$ $${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\,{\hat {g}}(\xi ).}$$

В теории линейных систем с инвариантностью во времени (LTI) принято интерпретировать g ( x ) как импульсную характеристику системы LTI с входом f ( x ) и выходом h ( x ) , поскольку замена единичного импульса на f ( x ) дает h ( x ) = g ( x ) . В этом случае ĝ ( ξ ) представляет частотную характеристику системы.

Наоборот, если f ( x ) можно разложить в виде произведения двух квадратично интегрируемых функций p ( x ) и q ( x ) , то преобразование Фурье функции f ( x ) задается сверткой соответствующих преобразований Фурье p̂ ( ξ ) и q̂ ( ξ ) .

Теорема о кросс-корреляции

Аналогичным образом можно показать, что если h ( x ) является взаимной корреляцией f ( x ) и g ( x ) : то преобразование Фурье h ( x ) равно: $${\displaystyle h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy}$$ $${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\,{\hat {g}}(\xi ).}$$

В качестве частного случая автокорреляция функции f ( x ) имеет вид: для которого $${\displaystyle h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy}$$ $${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}.}$$

Собственные функции

Преобразование Фурье — это линейное преобразование, собственные функции которого подчиняются ${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=\lambda \psi ,}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} .}$

Набор собственных функций находится путем замечания, что однородное дифференциальное уравнение приводит к собственным функциям преобразования Фурье , пока форма уравнения остается инвариантной относительно преобразования Фурье. ^{[примечание 5]} Другими словами, каждое решение и его преобразование Фурье подчиняются одному и тому же уравнению. Предполагая единственность решений, каждое решение должно быть собственной функцией преобразования Фурье. Форма уравнения остается неизменной относительно преобразования Фурье, если может быть разложена в степенной ряд, в котором для всех членов один и тот же множитель любого из возникает из множителей, введенных правилами дифференцирования при преобразовании Фурье однородного дифференциального уравнения, поскольку этот множитель затем может быть сокращен. Простейший допустимый приводит к стандартному нормальному распределению . ^[19] $${\displaystyle \left[U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+U(x)\right]\psi (x)=0}$$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi )}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle U(x)}$ ${\displaystyle \pm 1,\pm i}$ ${\displaystyle i^{n}}$ ${\displaystyle U(x)=x}$

В более общем смысле, набор собственных функций также находится, если отметить, что правила дифференцирования подразумевают, что обыкновенное дифференциальное уравнение с константой и, будучи непостоянной четной функцией, остается инвариантным по форме при применении преобразования Фурье к обеим сторонам уравнения. Простейший пример приводится с помощью , что эквивалентно рассмотрению уравнения Шредингера для квантового гармонического осциллятора . ^[20] Соответствующие решения обеспечивают важный выбор ортонормированного базиса для L 2 ( R ) и задаются функциями Эрмита «физика» . Эквивалентно можно использовать , где He _n ( x ) — полиномы Эрмита «вероятностника» , определяемые как $${\displaystyle \left[W\left({\frac {i}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+W(x)\right]\psi (x)=C\psi (x)}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle W(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle W(x)=x^{2}}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),}$$ $${\displaystyle \mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

При таком соглашении для преобразования Фурье имеем, что $${\displaystyle {\hat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi ).}$$

Другими словами, функции Эрмита образуют полную ортонормированную систему собственных функций для преобразования Фурье на L ² ( R ) . ^{[14] [21]} Однако этот выбор собственных функций не является единственным. Поскольку существует только четыре различных собственных значения преобразования Фурье (четвертые корни из единицы ±1 и ± i ), и любая линейная комбинация собственных функций с тем же собственным значением дает другую собственную функцию. ^[22] Как следствие этого, можно разложить L ² ( R ) как прямую сумму четырех пространств H ₀ , H ₁ , H ₂ и H ₃ , где преобразование Фурье действует на He _k просто путем умножения на i ^k . ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {id} }$

Поскольку полный набор функций Эрмита ψ _n обеспечивает разрешение тождества, они диагонализируют оператор Фурье, т.е. преобразование Фурье может быть представлено такой суммой членов, взвешенных по указанным выше собственным значениям, и эти суммы могут быть явно просуммированы: $${\displaystyle {\mathcal {F}}[f](\xi )=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(\xi )~.}$$

Этот подход к определению преобразования Фурье был впервые предложен Норбертом Винером . ^[23] Среди других свойств, функции Эрмита убывают экспоненциально быстро как в частотной, так и во временной областях, и поэтому они используются для определения обобщения преобразования Фурье, а именно дробного преобразования Фурье, используемого в частотно-временном анализе. ^[24] В физике это преобразование было введено Эдвардом Кондоном . ^[25] Это изменение базисных функций становится возможным, поскольку преобразование Фурье является унитарным преобразованием при использовании правильных соглашений. Следовательно, при соответствующих условиях можно ожидать, что оно будет результатом самосопряженного генератора через ^[26] ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=e^{-itN}\psi .}$$

Оператор представляет собой числовой оператор квантового гармонического осциллятора, записанный как ^{[27] [28]} ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle N\equiv {\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}-1\right).}$$

Его можно интерпретировать как генератор дробных преобразований Фурье для произвольных значений t и обычного непрерывного преобразования Фурье для конкретного значения с ядром Мелера, реализующим соответствующее активное преобразование . Собственные функции являются функциями Эрмита , которые, следовательно, также являются собственными функциями ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle t=\pi /2,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

При расширении преобразования Фурье на распределения гребень Дирака также является собственной функцией преобразования Фурье.

Связь с группой Гейзенберга

Группа Гейзенберга — это определенная группа унитарных операторов в гильбертовом пространстве L ² ( R ) квадратично интегрируемых комплекснозначных функций f на вещественной прямой, порожденных переносами ( T _y f )( x ) = f ( x + y ) и умножением на e ^{i 2π ξx} , ( M _ξ f )( x ) = e ^{i 2π ξx} f ( x ) . Эти операторы не коммутируют, так как их (групповой) коммутатор есть , который является умножением на константу (не зависящую от x ) e ^{i 2π ξy} ∈ U (1) ( группа окружности комплексных чисел с единичным модулем). Как абстрактная группа, группа Гейзенберга — это трехмерная группа Ли троек ( x , ξ , z ) ∈ R ² × U (1) , с групповым законом $${\displaystyle \left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{i2\pi \xi y}f(x)}$$ $${\displaystyle \left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{i2\pi \left(x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{2}+x_{1}\xi _{2}\right)}\right).}$$

Обозначим группу Гейзенберга через H ₁ . Вышеприведенная процедура описывает не только структуру группы, но и стандартное унитарное представление H ₁ в гильбертовом пространстве, которое мы обозначим через ρ  : H ₁ → B ( L ² ( R )) . Определим линейный автоморфизм R ² так, что J 2 ⁼ − I . Этот J можно расширить до единственного автоморфизма H ₁ : $${\displaystyle J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-i2\pi \xi x}\right).}$$

Согласно теореме Стоуна–фон Неймана , унитарные представления ρ и ρ ∘ j унитарно эквивалентны, поэтому существует единственный переплетающий оператор W ∈ U ( L ² ( R )) такой, что Этот оператор W является преобразованием Фурье. $${\displaystyle \rho \circ j=W\rho W^{*}.}$$

Многие из стандартных свойств преобразования Фурье являются непосредственными следствиями этой более общей структуры. ^[29] Например, квадрат преобразования Фурье, W ² , является переплетателем, связанным с J ² = − I , и поэтому мы имеем ( W ² f )( x ) = f (− x ) является отражением исходной функции f .

Комплексный домен

Интеграл для преобразования Фурье можно изучать для комплексных значений его аргумента ξ . В зависимости от свойств f , он может вообще не сходиться вне действительной оси или может сходиться к комплексной аналитической функции для всех значений ξ = σ + iτ или к чему-то среднему. ^[30] $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \xi t}f(t)\,dt}$$

Теорема Пэли–Винера утверждает, что f является гладкой (т.е. n -кратно дифференцируемой для всех положительных целых чисел n ) и имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда f̂ ( σ + iτ ) является голоморфной функцией , для которой существует константа a > 0 такая, что для любого целого числа n ≥ 0 для некоторой константы C . (В этом случае f имеет носитель на [− a , a ] .) Это можно выразить, сказав, что f̂ является целой функцией , которая быстро убывает по σ (при фиксированном τ ) и экспоненциально растет по τ (равномерно по σ ). ^[31] $${\displaystyle \left\vert \xi ^{n}{\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq Ce^{a\vert \tau \vert }}$$

(Если f не является гладкой, а только L ² , утверждение все еще справедливо при условии n = 0 . ^[32] ) Пространство таких функций комплексной переменной называется пространством Пэли—Винера. Эта теорема была обобщена на полупростые группы Ли . ^[33]

Если f поддерживается на полупрямой t ≥ 0 , то f называется «причинной», поскольку функция импульсного отклика физически реализуемого фильтра должна обладать этим свойством, поскольку никакое следствие не может предшествовать своей причине. Пейли и Винер показали, что тогда f̂ расширяется до голоморфной функции на комплексной нижней полуплоскости τ < 0 , которая стремится к нулю, когда τ стремится к бесконечности. ^[34] Обратное неверно, и неизвестно, как охарактеризовать преобразование Фурье причинной функции. ^[35]

Преобразование Лапласа

Преобразование Фурье f̂ ( ξ ) связано с преобразованием Лапласа F ( s ) , которое также используется для решения дифференциальных уравнений и анализа фильтров .

Может случиться, что функция f, для которой интеграл Фурье вообще не сходится на действительной оси, тем не менее имеет комплексное преобразование Фурье, определенное в некоторой области комплексной плоскости .

Например, если f ( t ) имеет экспоненциальный рост, т.е. для некоторых констант C , a ≥ 0 , то ^[36] сходящимся для всех 2π τ < − a , является двустороннее преобразование Лапласа функции f . $${\displaystyle \vert f(t)\vert <Ce^{a\vert t\vert }}$$ $${\displaystyle {\hat {f}}(i\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi \tau t}f(t)\,dt,}$$

Более обычная версия («односторонняя») преобразования Лапласа — это $${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}$$

Если f также является причинной и аналитической, то: Таким образом, расширение преобразования Фурье на комплексную область означает, что оно включает преобразование Лапласа как частный случай в случае причинных функций, но с заменой переменной s = i 2π ξ . ${\displaystyle {\hat {f}}(i\tau )=F(-2\pi \tau ).}$

С другой, возможно, более классической точки зрения, преобразование Лапласа по своей форме включает в себя дополнительный экспоненциальный регулирующий член, который позволяет ему сходиться вне мнимой линии, где определено преобразование Фурье. Как таковое, оно может сходиться для не более чем экспоненциально расходящихся рядов и интегралов, тогда как исходное разложение Фурье не может, что позволяет анализировать системы с расходящимися или критическими элементами. Два конкретных примера из линейной обработки сигналов — это построение сетей фильтров полного пропускания из критической гребенки и смягчающих фильтров посредством точного подавления полюсов и нулей на единичной окружности. Такие конструкции распространены в обработке звука, где ищутся сильно нелинейные фазовые характеристики, как в реверберации.

Более того, когда для обработки сигналов ищутся расширенные импульсные отклики, самый простой способ их создания — иметь одну схему, которая производит расходящийся временной отклик, а затем отменить его расхождение с помощью задержанного противоположного и компенсирующего отклика. Там только схема задержки между ними допускает классическое описание Фурье, что является критическим. Обе схемы по бокам нестабильны и не допускают сходящегося разложения Фурье. Однако они допускают описание области Лапласа с идентичными полуплоскостями сходимости в комплексной плоскости (или в дискретном случае, Z-плоскости), где их эффекты отменяются.

В современной математике преобразование Лапласа традиционно относят к методам Фурье. Оба они относятся к гораздо более общей и более абстрактной идее гармонического анализа .

Инверсия

Тем не менее , если является комплексно-аналитическим для a ≤ τ ≤ b , то ${\displaystyle \xi =\sigma +i\tau }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ia)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma =\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ib)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma }$$по интегральной теореме Коши . Поэтому формула обращения Фурье может использовать интегрирование по разным линиям, параллельным действительной оси. ^[37]

Теорема: Если f ( t ) = 0 при t < 0 и | f ( t ) | < Ce ^{a | t |} для некоторых констант C , a > 0 , то для любого τ < − ⁠ $${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +i\tau )e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma ,}$$а/2π⁠ .

Из этой теоремы следует формула обращения Меллина для преобразования Лапласа ^[36] для любого b > a , где F ( s ) — преобразование Лапласа функции f ( t ) . $${\displaystyle f(t)={\frac {1}{i2\pi }}\int _{b-i\infty }^{b+i\infty }F(s)e^{st}\,ds}$$

Гипотезы могут быть ослаблены, как в результатах Карлесона и Ханта, до f ( t ) e ^{− at ,} равной L ¹ , при условии, что f имеет ограниченную вариацию в замкнутой окрестности t (ср. тест Дини ), значение f в t следует считать средним арифметическим левого и правого пределов, а интегралы следует брать в смысле главных значений Коши. ^[38]

Также доступны версии L ² этих формул инверсии. ^[39]

Преобразование Фурье в евклидовом пространстве

Преобразование Фурье может быть определено в любом произвольном числе измерений n . Как и в одномерном случае, существует множество соглашений. Для интегрируемой функции f ( x ) в этой статье берется определение: где x и ξ являются n -мерными векторами , а x · ξ является скалярным произведением векторов. В качестве альтернативы ξ можно рассматривать как принадлежащее к дуальному векторному пространству , в этом случае скалярное произведение становится сверткой x и ξ , обычно записываемой как ⟨ x , ξ ⟩ . $${\displaystyle {\hat {f}}({\boldsymbol {\xi }})={\mathcal {F}}(f)({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i2\pi {\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\star }}$

Все основные свойства, перечисленные выше, справедливы для n -мерного преобразования Фурье, как и теоремы Планшереля и Парсеваля. Когда функция интегрируема, преобразование Фурье по-прежнему равномерно непрерывно и лемма Римана–Лебега справедлива. ^[11]

Принцип неопределенности

Вообще говоря, чем более концентрирована функция f ( x ) , тем более размытым должно быть ее преобразование Фурье f̂ ( ξ ) . В частности, свойство масштабирования преобразования Фурье можно рассматривать как: если мы сжимаем функцию по x , ее преобразование Фурье растягивается по ξ . Невозможно произвольно сконцентрировать как функцию, так и ее преобразование Фурье.

Компромисс между уплотнением функции и ее преобразованием Фурье можно формализовать в виде принципа неопределенности , рассматривая функцию и ее преобразование Фурье как сопряженные переменные относительно симплектической формы в частотно-временной области : с точки зрения линейного канонического преобразования преобразование Фурье представляет собой поворот на 90° в частотно-временной области и сохраняет симплектическую форму .

Предположим, что f ( x ) — интегрируемая и квадратично-интегрируемая функция. Без потери общности предположим, что f ( x ) нормализована: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=1.}$$

Из теоремы Планшереля следует , что f̂ ( ξ ) также нормализована.

Разброс вокруг x = 0 может быть измерен дисперсией вокруг нуля ^[40], определяемой как $${\displaystyle D_{0}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx.}$$

В терминах вероятности это второй момент | f ( x ) | 2 ^{относительно} нуля.

Принцип неопределенности гласит, что если f ( x ) абсолютно непрерывна и функции x · f ( x ) и f ′ ( x ) квадратично интегрируемы, то ^[14] $${\displaystyle D_{0}(f)D_{0}({\hat {f}})\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}.}$$

Равенство достигается только в случае , когда σ > 0 произвольно и C ₁ = ⁠ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}\\\therefore {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\xi ^{2}}\end{aligned}}}$$⁴ √ 2/√ σ⁠ так что f является L ² -нормализованной. ^[14] Другими словами, где f является (нормализованной) гауссовой функцией с дисперсией σ ² /2 π , центрированной в нуле, а ее преобразование Фурье является гауссовой функцией с дисперсией σ ⁻² /2 π .

Фактически, это неравенство подразумевает, что: для любого x ₀ , ξ ₀ ∈ R . ^[41] $${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }(\xi -\xi _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$$

В квантовой механике волновые функции импульса и положения являются парами преобразований Фурье с точностью до множителя постоянной Планка . Если эту постоянную принять во внимание, то неравенство выше становится утверждением принципа неопределенности Гейзенберга . ^[42]

Более сильным принципом неопределенности является принцип неопределенности Хиршмана , который выражается как: где H ( p ) — дифференциальная энтропия функции плотности вероятности p ( x ) : где логарифмы могут быть в любом основании, которое является согласованным. Равенство достигается для гауссианы, как и в предыдущем случае. $${\displaystyle H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\hat {f}}\right|^{2}\right)\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle H(p)=-\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\log {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx}$$

Синусные и косинусные преобразования

Первоначальная формулировка преобразования Фурье не использовала комплексные числа, а синусы и косинусы. Статистики и другие до сих пор используют эту форму. Абсолютно интегрируемая функция f, для которой справедливо обращение Фурье, может быть расширена в терминах настоящих частот (избегая отрицательных частот, которые иногда считаются сложными для физической интерпретации ^[43] ) λ по $${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}a(\lambda )\cos(2\pi \lambda t)+b(\lambda )\sin(2\pi \lambda t){\bigr )}\,d\lambda .}$$

Это называется расширением в виде тригонометрического интеграла или расширением интеграла Фурье. Коэффициентные функции a и b можно найти, используя варианты косинусного преобразования Фурье и синусного преобразования Фурье (нормализации, опять же, не стандартизированы): и $${\displaystyle a(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \lambda t)\,dt}$$ $${\displaystyle b(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \lambda t)\,dt.}$$

В более ранней литературе упоминаются две функции преобразования: косинусное преобразование Фурье, a , и синусное преобразование Фурье, b .

Функцию f можно восстановить из преобразования синуса и косинуса, используя вместе с тригонометрическими тождествами. Это называется интегральной формулой Фурье. ^{[36] [44] [45] [46]} $${\displaystyle f(t)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cos {\bigl (}2\pi \lambda (\tau -t){\bigr )}\,d\tau \,d\lambda .}$$

Сферические гармоники

Пусть множество однородных гармонических полиномов степени k на R ⁿ обозначим через A _k . Множество A _k состоит из телесных сферических гармоник степени k . Телесные сферические гармоники играют аналогичную роль в высших размерностях полиномам Эрмита в размерности один. В частности, если f ( x ) = e ^{− π| x | 2} P ( x ) для некоторого P ( x ) из A _k , то f̂ ( ξ ) = i ^{− k} f ( ξ ) . Пусть множество H _k будет замыканием в L ² ( R ⁿ ) линейных комбинаций функций вида f (| x |) P ( x ) , где P ( x ) находится в A _k . Тогда пространство L ² ( R ⁿ ) является прямой суммой пространств H _k , а преобразование Фурье отображает каждое пространство H _k в себя и можно охарактеризовать действие преобразования Фурье на каждом пространстве H _k . ^[11]

Пусть f ( x ) = f ₀ (| x |) P ( x ) (с P ( x ) в A _k ), тогда где $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=F_{0}(|\xi |)P(\xi )}$$ $${\displaystyle F_{0}(r)=2\pi i^{-k}r^{-{\frac {n+2k-2}{2}}}\int _{0}^{\infty }f_{0}(s)J_{\frac {n+2k-2}{2}}(2\pi rs)s^{\frac {n+2k}{2}}\,ds.}$$

Здесь J _{( n + 2 k − 2)/2} обозначает функцию Бесселя первого рода с порядком ⁠п + 2 к − 2/2⁠ . При k = 0 это дает полезную формулу для преобразования Фурье радиальной функции. ^[47] Это по сути преобразование Ганкеля . Более того, существует простая рекурсия, связывающая случаи n + 2 и n ^[48], позволяющая вычислить, например, трехмерное преобразование Фурье радиальной функции из одномерного.

Проблемы с ограничениями

В более высоких размерностях становится интересным изучать проблемы ограничения для преобразования Фурье. Преобразование Фурье интегрируемой функции непрерывно, и ограничение этой функции на любое множество определено. Но для квадратично-интегрируемой функции преобразование Фурье может быть общим классом квадратично-интегрируемых функций. Таким образом, ограничение преобразования Фурье функции L ² ( R ⁿ ) не может быть определено на множествах меры 0. По-прежнему активно изучаются проблемы ограничения в L ^p для 1 < p < 2 . В некоторых случаях возможно определить ограничение преобразования Фурье на множество S , при условии, что S имеет ненулевую кривизну. Случай, когда S является единичной сферой в R ^{n ,} представляет особый интерес. В этом случае теорема об ограничении Томаса– Стейна утверждает, что ограничение преобразования Фурье на единичную сферу в R ⁿ является ограниченным оператором на L ^p при условии, что 1 ≤ p ≤ ⁠2 н + 2/н + 3⁠ .

Одно заметное различие между преобразованием Фурье в 1 измерении и в более высоких измерениях касается оператора частичной суммы. Рассмотрим увеличивающийся набор измеримых множеств E _{R ,} индексированных R ∈ (0,∞) : например, шары радиуса R с центром в начале координат или кубы со стороной 2 R . Для заданной интегрируемой функции f рассмотрим функцию f _{R ,} определенную как: $${\displaystyle f_{R}(x)=\int _{E_{R}}{\hat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\cdot \xi }\,d\xi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

Предположим дополнительно, что f ∈ L ^p ( R ⁿ ) . Для n = 1 и 1 < p < ∞ , если взять E _R = (− R , R ) , то f _R сходится к f в L ^{p ,} когда R стремится к бесконечности, в силу ограниченности преобразования Гильберта . Наивно можно надеяться, что то же самое справедливо и для n > 1 . В случае, когда E _R берется как куб со стороной R , сходимость все еще сохраняется. Другим естественным кандидатом является евклидов шар E _R = { ξ  : | ξ | < R } . Для того чтобы этот оператор частичной суммы сходился, необходимо, чтобы множитель для единичного шара был ограничен в L ^p ( R ⁿ ) . Для n ≥ 2 знаменитая теорема Чарльза Феффермана гласит , что множитель для единичного шара никогда не ограничен, если только p = 2 . ^[23] Фактически, когда p ≠ 2 , это показывает, что не только f _R может не сходиться к f в L ^p , но для некоторых функций f ∈ L p ⁽ R n ⁾ f R _даже не является элементом L ^p .

Преобразование Фурье в функциональных пространствах

НаЛппространства

НаЛ¹

Определение преобразования Фурье с помощью интегральной формулы справедливо для интегрируемых по Лебегу функций f , то есть f ∈ L ¹ ( R ⁿ ) . $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx}$$

Преобразование Фурье F  : L ¹ ( R ⁿ ) → L ^∞ ( R ⁿ ) является ограниченным оператором . Это следует из наблюдения, которое показывает, что его операторная норма ограничена 1. Действительно, она равна 1, что можно увидеть, например, из преобразования функции rect. Изображение L ¹ является подмножеством пространства C ₀ ( R ⁿ ) непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности ( лемма Римана–Лебега ), хотя это и не все пространство. Действительно, не существует простой характеризации изображения. $${\displaystyle \left\vert {\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert f(x)\vert \,dx,}$$

НаЛ²

Поскольку компактно поддерживаемые гладкие функции интегрируемы и плотны в L ² ( R ⁿ ) , теорема Планшереля позволяет расширить определение преобразования Фурье на общие функции в L ² ( R ⁿ ) с помощью аргументов непрерывности. Преобразование Фурье в L ² ( R ⁿ ) больше не задается обычным интегралом Лебега, хотя его можно вычислить с помощью несобственного интеграла , здесь это означает, что для функции f из L ² , где предел берется в смысле L ² . ^{[49] [50]} ) $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\lim _{R\to \infty }\int _{|x|\leq R}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx}$$

Многие свойства преобразования Фурье в L ¹ переносятся на L ² с помощью подходящего ограничивающего аргумента.

Более того, F  : L ² ( R ⁿ ) → L ² ( R ⁿ ) является унитарным оператором . ^[51] Для того чтобы оператор был унитарным, достаточно показать, что он является биективным и сохраняет скалярное произведение, так что в этом случае они следуют из теоремы об обращении Фурье в сочетании с тем фактом, что для любых f , g ∈ L ² ( R ⁿ ) мы имеем $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\mathcal {F}}g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}f(x)g(x)\,dx.}$$

В частности, изображение L ² ( R ⁿ ) само подвергается преобразованию Фурье.

На другихЛ^п

Определение преобразования Фурье можно распространить на функции из L ^p ( R ⁿ ) для 1 ≤ p ≤ 2 , разложив такие функции на толстый хвост в L ² и толстую часть тела в L ¹ . В каждом из этих пространств преобразование Фурье функции из L ^p ( R ⁿ ) находится в L ^q ( R ⁿ ) , где q = ⁠п/п − 1⁠ является сопряженным по Гёльдеру значением p (по неравенству Хаусдорфа–Юнга ). Однако, за исключением p = 2 , изображение нелегко охарактеризовать. Дальнейшие расширения становятся более техническими. Преобразование Фурье функций в L ^p для диапазона 2 < p < ∞ требует изучения распределений. ^[16] Фактически, можно показать, что существуют функции в L ^p с p > 2, так что преобразование Фурье не определяется как функция. ^[11]

Темперированные распределения

Можно рассмотреть расширение области преобразования Фурье с L ¹ + L ² путем рассмотрения обобщенных функций или распределений. Распределение на R ⁿ является непрерывным линейным функционалом на пространстве C _c ( R ⁿ ) компактных гладких функций, снабженных подходящей топологией. Стратегия тогда заключается в том, чтобы рассмотреть действие преобразования Фурье на C _c ( R ⁿ ) и перейти к распределениям по двойственности. Препятствием к этому является то, что преобразование Фурье не отображает C _c ( R ⁿ ) в C _c ( R ⁿ ) . Фактически преобразование Фурье элемента в C _c ( R ⁿ ) не может исчезать на открытом множестве; см. выше обсуждение принципа неопределенности. Правильное пространство здесь - немного большее пространство функций Шварца . Преобразование Фурье является автоморфизмом на пространстве Шварца, как топологическом векторном пространстве, и, таким образом, индуцирует автоморфизм на своем двойственном, пространстве умеренных распределений. ^[11] Умеренные распределения включают все интегрируемые функции, упомянутые выше, а также хорошо ведущие себя функции полиномиального роста и распределения с компактным носителем.

Для определения преобразования Фурье умеренного распределения пусть f и g будут интегрируемыми функциями, а f̂ и ĝ — их преобразованиями Фурье соответственно. Тогда преобразование Фурье подчиняется следующей формуле умножения, ^[11] $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(x)g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\hat {g}}(x)\,dx.}$$

Каждая интегрируемая функция f определяет (индуцирует) распределение T _f соотношением для всех функций Шварца φ . Поэтому имеет смысл определить преобразование Фурье T̂ _{f функции} T f _{соотношением} для всех функций Шварца φ . Распространение этого на все темперированные распределения T дает общее определение преобразования Фурье. $${\displaystyle T_{f}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}$$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{f}(\varphi )=T_{f}\left({\hat {\varphi }}\right)}$$

Распределения можно дифференцировать, и вышеупомянутая совместимость преобразования Фурье с дифференцированием и сверткой остается верной для умеренных распределений.

Обобщения

Преобразование Фурье–Стилтьеса

Преобразование Фурье конечной борелевской меры ^{μ на Rn} определяется выражением : [ ^52] $${\displaystyle {\hat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i2\pi x\cdot \xi }\,d\mu .}$$

Это преобразование продолжает обладать многими свойствами преобразования Фурье интегрируемых функций. Одним из заметных отличий является то, что лемма Римана–Лебега не выполняется для мер. ^[16] В случае, когда dμ = f ( x ) dx , то приведенная выше формула сводится к обычному определению для преобразования Фурье функции f . В случае, когда μ является распределением вероятностей, связанным со случайной величиной X , преобразование Фурье–Стилтьеса тесно связано с характеристической функцией , но типичные соглашения в теории вероятностей берут e ^iξx вместо e ^{− i 2π ξx} . ^[14] В случае, когда распределение имеет функцию плотности вероятности, это определение сводится к преобразованию Фурье, примененному к функции плотности вероятности, снова с другим выбором констант.

Преобразование Фурье может быть использовано для характеристики мер. Теорема Бохнера характеризует, какие функции могут возникнуть как преобразование Фурье–Стилтьеса положительной меры на окружности. ^[16]

Более того, дельта-функция Дирака , хотя и не является функцией, является конечной борелевской мерой. Ее преобразование Фурье является постоянной функцией (конкретное значение которой зависит от формы используемого преобразования Фурье).

Локально компактные абелевы группы

Преобразование Фурье может быть обобщено на любую локально компактную абелеву группу. Локально компактная абелева группа — это абелева группа , которая в то же время является локально компактным хаусдорфовым топологическим пространством, так что групповая операция непрерывна. Если G — локально компактная абелева группа, она имеет инвариантную относительно трансляции меру μ , называемую мерой Хаара . Для локально компактной абелевой группы G множество неприводимых, т.е. одномерных, унитарных представлений называется ее характерами . С ее естественной групповой структурой и топологией равномерной сходимости на компактных множествах (то есть топологией, индуцированной компактно-открытой топологией на пространстве всех непрерывных функций из в группу окружности ), множество характеров Ĝ само является локально компактной абелевой группой, называемой двойственной по Понтрягину к G. Для функции f из L ¹ ( G ) ее преобразование Фурье определяется формулой ^[16] ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{G}\xi (x)f(x)\,d\mu \quad {\text{for any }}\xi \in {\hat {G}}.}$$

В этом случае справедлива лемма Римана–Лебега; f̂ ( ξ ) — функция, обращающаяся в нуль на бесконечности на Ĝ .

Примером является преобразование Фурье на T = R/Z ; здесь T — локально компактная абелева группа, а мера Хаара μ на T может рассматриваться как мера Лебега на [0,1). Рассмотрим представление T на комплексной плоскости C , которая является 1-мерным комплексным векторным пространством. Существует группа представлений (которые неприводимы, поскольку C — 1-мерно) , где для . ${\displaystyle \{e_{k}:T\rightarrow GL_{1}(C)=C^{*}\mid k\in Z\}}$ ${\displaystyle e_{k}(x)=e^{i2\pi kx}}$ ${\displaystyle x\in T}$

Характер такого представления, то есть след для каждого и , есть он сам. В случае представления конечной группы таблица характеров группы G представляет собой строки векторов, такие, что каждая строка является характером одного неприводимого представления G , и эти векторы образуют ортонормированный базис пространства функций класса, которые отображаются из G в C по лемме Шура. Теперь группа T больше не конечна, но все еще компактна, и она сохраняет ортонормированность таблицы характеров. Каждая строка таблицы является функцией от , а скалярное произведение между двумя функциями класса (все функции являются функциями класса, поскольку T абелева) определяется как с нормализующим множителем . Последовательность является ортонормированным базисом пространства функций класса . ${\displaystyle e_{k}(x)}$ ${\displaystyle x\in T}$ ${\displaystyle k\in Z}$ ${\displaystyle e^{i2\pi kx}}$ ${\displaystyle e_{k}(x)}$ ${\displaystyle x\in T,}$ ${\displaystyle f,g\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y){\overline {g}}(y)d\mu (y)}$ ${\displaystyle |T|=1}$ ${\displaystyle \{e_{k}\mid k\in Z\}}$ ${\displaystyle L^{2}(T,d\mu )}$

Для любого представления V конечной группы G , можно выразить как промежуток ( являются неперспективными представлениями группы G ), такой что . Аналогично для и , . Двойственное по Понтрягину представление есть и для , является его преобразованием Фурье для . ${\displaystyle \chi _{v}}$ ${\textstyle \sum _{i}\left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle \chi _{v_{i}}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\textstyle \left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{v}(g){\overline {\chi }}_{v_{i}}(g)}$ ${\displaystyle G=T}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle f(x)=\sum _{k\in Z}{\hat {f}}(k)e_{k}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}}$ ${\displaystyle \{e_{k}\}(k\in Z)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle {\hat {f}}(k)={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y)e^{-i2\pi ky}dy}$ ${\displaystyle e_{k}\in {\hat {T}}}$

преобразование Гельфанда

Преобразование Фурье также является частным случаем преобразования Гельфанда . В этом конкретном контексте оно тесно связано с отображением двойственности Понтрягина, определенным выше.

Для данной абелевой локально компактной хаусдорфовой топологической группы G , как и прежде, мы рассматриваем пространство L ¹ ( G ) , определенное с помощью меры Хаара. Со сверткой в ​​качестве умножения L ¹ ( G ) является абелевой банаховой алгеброй . Она также имеет инволюцию * , заданную формулой $${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}}.}$$

Взяв пополнение относительно наибольшей возможной C * -нормы, получаем ее охватывающую C * -алгебру, называемую групповой C * -алгеброй C *( G ) группы G . (Любая C * -норма на L ¹ ( G ) ограничена нормой L ¹ , поэтому их супремум существует.)

Для любой абелевой C * -алгебры A преобразование Гельфанда дает изоморфизм между A и C ₀ ( A ^) , где A ^ — мультипликативные линейные функционалы, т. е. одномерные представления, на A со слабой-* топологией. Отображение просто задается как Оказывается, что мультипликативные линейные функционалы C *( G ) , после подходящей идентификации, являются в точности характерами G , а преобразование Гельфанда, ограниченное плотным подмножеством L ¹ ( G ) , является преобразованием Фурье–Понтрягина. $${\displaystyle a\mapsto {\bigl (}\varphi \mapsto \varphi (a){\bigr )}}$$

Компактные неабелевы группы

Преобразование Фурье также может быть определено для функций на неабелевой группе, при условии, что группа компактна . Устраняя предположение, что базовая группа является абелевой, неприводимые унитарные представления не всегда должны быть одномерными. Это означает, что преобразование Фурье на неабелевой группе принимает значения как операторы гильбертова пространства. ^[53] Преобразование Фурье на компактных группах является основным инструментом в теории представлений ^[54] и некоммутативном гармоническом анализе .

Пусть G — компактная хаусдорфова топологическая группа . Пусть Σ обозначает совокупность всех классов изоморфизма конечномерных неприводимых унитарных представлений , а также определенный выбор представления U ^{( σ )} в гильбертовом пространстве Hσ конечной размерности dσ для каждого _σ ∈ Σ _. Если μ — конечная борелевская мера на G , то преобразование Фурье–Стилтьеса μ — это оператор на Hσ _, определяемый соотношением где U ^{( σ )} — комплексно-сопряженное представление U ^{( σ ),} действующее на Hσ _. Если μ абсолютно непрерывен относительно левоинвариантной вероятностной меры λ на G , представленной как для некоторого f ∈ L1 ( λ ) , ​​то можно отождествить преобразование Фурье f с преобразованием Фурье–Стилтьеса μ . $${\displaystyle \left\langle {\hat {\mu }}\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}\left\langle {\overline {U}}_{g}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\mu (g)}$$ $${\displaystyle d\mu =f\,d\lambda }$$

Отображение определяет изоморфизм между банаховым пространством M ( G ) конечных борелевских мер (см. rca пространство ) и замкнутым подпространством банахова пространства C _∞ (Σ), состоящим из всех последовательностей E = ( E _σ ), индексированных Σ (ограниченных) линейных операторов E _σ  : H _σ → H _σ , для которых норма конечна. « Теорема о свертке » утверждает, что, кроме того, этот изоморфизм банаховых пространств на самом деле является изометрическим изоморфизмом C*-алгебр в подпространство C _∞ (Σ) . Умножение на M ( G ) задается сверткой мер, а инволюция * , определяемая как и C _∞ (Σ), имеет естественную структуру C * -алгебры как операторы гильбертова пространства. $${\displaystyle \mu \mapsto {\hat {\mu }}}$$ $${\displaystyle \|E\|=\sup _{\sigma \in \Sigma }\left\|E_{\sigma }\right\|}$$ $${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}},}$$

Теорема Петера–Вейля верна, и отсюда следует вариант формулы обращения Фурье ( теорема Планшереля ): если f ∈ L ² ( G ) , то где суммирование понимается как сходящееся в смысле L ² . $${\displaystyle f(g)=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\operatorname {tr} \left({\hat {f}}(\sigma )U_{g}^{(\sigma )}\right)}$$

Обобщение преобразования Фурье на некоммутативную ситуацию также частично способствовало развитию некоммутативной геометрии . ^{[ требуется ссылка ]} В этом контексте категорическим обобщением преобразования Фурье на некоммутативные группы является двойственность Таннаки–Крейна , которая заменяет группу характеров категорией представлений. Однако при этом теряется связь с гармоническими функциями.

Альтернативы

В терминах обработки сигналов функция (времени) является представлением сигнала с идеальным временным разрешением , но без информации о частоте, в то время как преобразование Фурье имеет идеальное частотное разрешение , но без информации о времени: величина преобразования Фурье в точке — это то, сколько там частотного содержимого, но местоположение задается только фазой (аргументом преобразования Фурье в точке), а стоячие волны не локализованы во времени — синусоида продолжается до бесконечности, не затухая. Это ограничивает полезность преобразования Фурье для анализа сигналов, локализованных во времени, в частности переходных процессов или любого сигнала конечной протяженности.

В качестве альтернатив преобразованию Фурье в частотно-временном анализе используются частотно-временные преобразования или частотно-временные распределения для представления сигналов в форме, которая имеет некоторую временную информацию и некоторую частотную информацию – по принципу неопределенности между ними существует компромисс. Это могут быть обобщения преобразования Фурье, такие как кратковременное преобразование Фурье , дробное преобразование Фурье , синхронное сжатие преобразования Фурье, ^[55] или другие функции для представления сигналов, как в вейвлет-преобразованиях и чирплет-преобразованиях , с вейвлет-аналогом (непрерывного) преобразования Фурье, являющимся непрерывным вейвлет-преобразованием . ^[24]

Приложения

Некоторые проблемы, такие как некоторые дифференциальные уравнения, становится проще решать, если применить преобразование Фурье. В этом случае решение исходной задачи восстанавливается с помощью обратного преобразования Фурье.

Линейные операции, выполняемые в одной области (времени или частоте), имеют соответствующие операции в другой области, которые иногда проще выполнять. Операция дифференцирования во временной области соответствует умножению на частоту, ^{[примечание 6],} поэтому некоторые дифференциальные уравнения легче анализировать в частотной области. Кроме того, свертка во временной области соответствует обычному умножению в частотной области (см. Теорема о свертке ). После выполнения требуемых операций преобразование результата может быть выполнено обратно во временную область. Гармонический анализ — это систематическое изучение взаимосвязи между частотной и временной областями, включая виды функций или операций, которые «проще» в одной или другой, и имеет глубокие связи со многими областями современной математики.

Анализ дифференциальных уравнений

Возможно, наиболее важным применением преобразования Фурье является решение уравнений с частными производными . Многие уравнения математической физики девятнадцатого века можно рассматривать таким образом. Фурье изучал уравнение теплопроводности, которое в одном измерении и в безразмерных единицах имеет вид Пример, который мы приведем, немного более сложный, — это волновое уравнение в одном измерении, $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial y(x,t)}{\partial t}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}t}}.}$$

Как обычно, проблема не в том, чтобы найти решение: их бесконечно много. Проблема в так называемой "граничной задаче": найти решение, которое удовлетворяет "граничным условиям" $${\displaystyle y(x,0)=f(x),\qquad {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=g(x).}$$

Здесь f и g — заданные функции. Для уравнения теплопроводности может потребоваться только одно граничное условие (обычно первое). Но для волнового уравнения все еще существует бесконечно много решений y, удовлетворяющих первому граничному условию. Но когда накладываются оба условия, есть только одно возможное решение.

Легче найти преобразование Фурье ŷ решения, чем найти решение напрямую. Это происходит потому, что преобразование Фурье переводит дифференцирование в умножение на Фурье-дуальную переменную, и поэтому уравнение в частных производных, примененное к исходной функции, преобразуется в умножение на полиномиальные функции дуальных переменных, примененных к преобразованной функции. После определения ŷ мы можем применить обратное преобразование Фурье, чтобы найти y .

Метод Фурье заключается в следующем. Во-первых, заметим, что любая функция форм удовлетворяет волновому уравнению. Они называются элементарными решениями. $${\displaystyle \cos {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}{\text{ or }}\sin {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}}$$

Во-вторых, заметим, что поэтому любой интеграл удовлетворяет волновому уравнению для произвольных a ₊ , a ₋ , b ₊ , b ₋ . Этот интеграл можно интерпретировать как непрерывную линейную комбинацию решений линейного уравнения. $${\displaystyle {\begin{aligned}y(x,t)=\int _{0}^{\infty }d\xi {\Bigl [}&a_{+}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+a_{-}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x-t){\bigr )}+{}\\&b_{+}(\xi )\sin {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+b_{-}(\xi )\sin \left(2\pi \xi (x-t)\right){\Bigr ]}\end{aligned}}}$$

Теперь это напоминает формулу для синтеза Фурье функции. Фактически, это действительное обратное преобразование Фурье a _± и b _± по переменной x .

Третий шаг — изучить, как найти конкретные неизвестные коэффициентные функции a _± и b _± , которые приведут к y, удовлетворяющему граничным условиям. Нас интересуют значения этих решений при t = 0. Поэтому мы установим t = 0. Предполагая, что условия, необходимые для инверсии Фурье, выполнены, мы можем затем найти синусные и косинусные преобразования Фурье (по переменной x ) обеих сторон и получить и $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\cos(2\pi \xi x)\,dx=a_{+}+a_{-}}$$ $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\sin(2\pi \xi x)\,dx=b_{+}+b_{-}.}$$

Аналогично, взяв производную от y по t и применив затем преобразования Фурье синуса и косинуса, получаем и $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\sin(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(-a_{+}+a_{-}\right)}$$ $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\cos(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(b_{+}-b_{-}\right).}$$

Это четыре линейных уравнения относительно четырех неизвестных a _± и b _± , в терминах синус- и косинус-преобразований Фурье граничных условий, которые легко решаются с помощью элементарной алгебры, при условии, что эти преобразования можно найти.

Подводя итог, мы выбрали набор элементарных решений, параметризованных ξ , общее решение которых будет (непрерывной) линейной комбинацией в виде интеграла по параметру ξ . Но этот интеграл был в форме интеграла Фурье. Следующим шагом было выразить граничные условия в терминах этих интегралов и приравнять их заданным функциям f и g . Но эти выражения также приняли форму интеграла Фурье из-за свойств преобразования Фурье производной. Последним шагом было использование инверсии Фурье путем применения преобразования Фурье к обеим сторонам, таким образом получая выражения для коэффициентных функций a _± и b _± в терминах заданных граничных условий f и g .

С более высокой точки зрения процедура Фурье может быть переформулирована более концептуально. Поскольку есть две переменные, мы будем использовать преобразование Фурье как по x, так и по t, а не действовать так, как это делал Фурье, который преобразовывал только пространственные переменные. Обратите внимание, что ŷ следует рассматривать в смысле распределения, поскольку y ( x , t ) не будет L ¹ : как волна, она будет сохраняться во времени и, таким образом, не будет временным явлением. Но она будет ограничена, и поэтому ее преобразование Фурье можно определить как распределение. Операционные свойства преобразования Фурье, которые имеют отношение к этому уравнению, заключаются в том, что оно превращает дифференцирование по x в умножение на i 2π ξ , а дифференцирование по t в умножение на i 2π f , где f — частота. Тогда волновое уравнение становится алгебраическим уравнением относительно ŷ : Это эквивалентно требованию ŷ ( ξ , f ) = 0, если только ξ = ± f . Сразу же это объясняет, почему выбор элементарных решений, который мы сделали ранее, сработал так хорошо: очевидно, что f̂ = δ ( ξ ± f ) будут решениями. Применяя инверсию Фурье к этим дельта-функциям, мы получаем элементарные решения, которые мы выбрали ранее. Но с более высокой точки зрения, мы не выбираем элементарные решения, а скорее рассматриваем пространство всех распределений, которые поддерживаются на (вырожденной) конике ξ ² − f ² = 0 . $${\displaystyle \xi ^{2}{\hat {y}}(\xi ,f)=f^{2}{\hat {y}}(\xi ,f).}$$

Мы также можем рассмотреть распределения, поддерживаемые на конике, которые задаются распределениями одной переменной на прямой ξ = f плюс распределениями на прямой ξ = − f следующим образом: если Φ — любая тестовая функция, где s ₊ и s ₋ — распределения одной переменной. $${\displaystyle \iint {\hat {y}}\phi (\xi ,f)\,d\xi \,df=\int s_{+}\phi (\xi ,\xi )\,d\xi +\int s_{-}\phi (\xi ,-\xi )\,d\xi ,}$$

Тогда инверсия Фурье дает для граничных условий нечто очень похожее на то, что мы имели более конкретно выше (положим ^Φ ( ξ , f ) = ei ^{2π( xξ + tf )} , что, очевидно, имеет полиномиальный рост): и $${\displaystyle y(x,0)=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )+s_{-}(\xi ){\bigr \}}e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi }$$ $${\displaystyle {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )-s_{-}(\xi ){\bigr \}}i2\pi \xi e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi .}$$

Теперь, как и прежде, применение одномерного преобразования Фурье по переменной x к этим функциям x дает два уравнения относительно двух неизвестных распределений s _± (которые можно считать обычными функциями, если граничными условиями являются L ¹ или L ² ).

С вычислительной точки зрения, недостаток, конечно, в том, что сначала нужно вычислить преобразования Фурье граничных условий, затем собрать из них решение, а затем вычислить обратное преобразование Фурье. Формулы в замкнутой форме встречаются редко, за исключением случаев, когда есть некоторая геометрическая симметрия, которую можно использовать, а численные вычисления сложны из-за колебательной природы интегралов, что делает сходимость медленной и трудно оцениваемой. Для практических расчетов часто используются другие методы.

В двадцатом веке эти методы были распространены на все линейные уравнения в частных производных с полиномиальными коэффициентами, а также на некоторые нелинейные уравнения за счет расширения понятия преобразования Фурье с целью включения в него интегральных операторов Фурье.

Фурье-спектроскопия

Преобразование Фурье также используется в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и других видах спектроскопии , например, инфракрасной ( ИКФС ). В ЯМР экспоненциально сформированный сигнал спада свободной индукции (ССИ) приобретается во временной области и преобразуется Фурье в форму линии Лоренца в частотной области. Преобразование Фурье также используется в магнитно-резонансной томографии (МРТ) и масс-спектрометрии .

Квантовая механика

Преобразование Фурье полезно в квантовой механике по крайней мере двумя различными способами. Начнем с того, что базовая концептуальная структура квантовой механики постулирует существование пар дополнительных переменных , связанных принципом неопределенности Гейзенберга . Например, в одном измерении пространственная переменная q , скажем, частицы, может быть измерена только квантово-механическим « оператором положения » ценой потери информации об импульсе p частицы. Следовательно, физическое состояние частицы может быть описано либо функцией, называемой «волновой функцией», от q , либо функцией от p , но не функцией обеих переменных. Переменная p называется сопряженной переменной к q . В классической механике физическое состояние частицы (существующей в одном измерении, для простоты изложения) будет задано путем присвоения определенных значений как p , так и q одновременно. Таким образом, множество всех возможных физических состояний представляет собой двумерное действительное векторное пространство с осью p и осью q , называемое фазовым пространством .

Напротив, квантовая механика выбирает поляризацию этого пространства в том смысле, что она выбирает подпространство половины размерности, например, только ось q , но вместо того, чтобы рассматривать только точки, берет набор всех комплекснозначных «волновых функций» на этой оси. Тем не менее, выбор оси p является одинаково допустимой поляризацией, дающей другое представление набора возможных физических состояний частицы. Оба представления волновой функции связаны преобразованием Фурье, таким образом, что или, что эквивалентно, $${\displaystyle \phi (p)=\int dq\,\psi (q)e^{-ipq/h},}$$ $${\displaystyle \psi (q)=\int dp\,\phi (p)e^{ipq/h}.}$$

Физически реализуемые состояния — это L ² , и поэтому по теореме Планшереля их преобразования Фурье также будут L ² . (Обратите внимание, что поскольку q измеряется в единицах расстояния, а p — в единицах импульса, наличие постоянной Планка в показателе степени делает показатель степени безразмерным , как и должно быть.)

Таким образом, преобразование Фурье может быть использовано для перехода от одного способа представления состояния частицы, посредством волновой функции положения, к другому способу представления состояния частицы: посредством волновой функции импульса. Возможно бесконечно много различных поляризаций, и все они одинаково допустимы. Возможность преобразовывать состояния из одного представления в другое посредством преобразования Фурье не только удобна, но и является основной причиной принципа неопределенности Гейзенберга.

Другое применение преобразования Фурье как в квантовой механике, так и в квантовой теории поля — решение соответствующего волнового уравнения. В нерелятивистской квантовой механике уравнение Шредингера для изменяющейся во времени волновой функции в одном измерении, не подверженной внешним силам, имеет вид $${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$$

Это то же самое, что и уравнение теплопроводности, за исключением наличия мнимой единицы i . Для решения этого уравнения можно использовать методы Фурье.

При наличии потенциала, заданного функцией потенциальной энергии V ( x ) , уравнение принимает вид $${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$$

«Элементарные решения», как мы их назвали выше, являются так называемыми «стационарными состояниями» частицы, и алгоритм Фурье, как описано выше, все еще может быть использован для решения краевой задачи будущей эволюции ψ, учитывая ее значения для t = 0. Ни один из этих подходов не имеет большого практического применения в квантовой механике. Краевые задачи и временная эволюция волновой функции не представляют большого практического интереса: наиболее важны именно стационарные состояния.

В релятивистской квантовой механике уравнение Шредингера становится волновым уравнением, как это было обычно в классической физике, за исключением того, что рассматриваются комплекснозначные волны. Простым примером, при отсутствии взаимодействия с другими частицами или полями, является свободное одномерное уравнение Клейна–Гордона–Шредингера–Фока, на этот раз в безразмерных единицах, $${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+1\right)\psi (x,t)={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t).}$$

С математической точки зрения это то же самое, что и решенное выше волновое уравнение классической физики (но с комплекснозначной волной, что не имеет значения для методов). Это очень полезно в квантовой теории поля: каждый отдельный компонент Фурье волны можно рассматривать как отдельный гармонический осциллятор, а затем квантовать, процедура, известная как «вторичное квантование». Методы Фурье были адаптированы для работы с нетривиальными взаимодействиями.

Наконец, числовой оператор квантового гармонического осциллятора можно интерпретировать, например, через ядро ​​Мелера , как генератор преобразования Фурье . ^[27] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Обработка сигнала

Преобразование Фурье используется для спектрального анализа временных рядов. Однако субъект статистической обработки сигналов обычно не применяет преобразование Фурье к самому сигналу. Даже если реальный сигнал действительно является переходным, на практике было обнаружено целесообразным моделировать сигнал функцией (или, альтернативно, стохастическим процессом), которая является стационарной в том смысле, что ее характерные свойства постоянны во всем времени. Преобразование Фурье такой функции не существует в обычном смысле, и было обнаружено более полезным для анализа сигналов вместо этого взять преобразование Фурье ее автокорреляционной функции.

Автокорреляционная функция R функции f определяется как $${\displaystyle R_{f}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f(t)f(t+\tau )\,dt.}$$

Эта функция является функцией временного интервала τ, прошедшего между значениями f, которые необходимо коррелировать.

Для большинства функций f , встречающихся на практике, R является ограниченной четной функцией временной задержки τ , а для типичных зашумленных сигналов она оказывается равномерно непрерывной с максимумом при τ = 0 .

Функция автокорреляции, более правильно называемая функцией автоковариации, если она не нормализована каким-либо подходящим образом, измеряет силу корреляции между значениями f, разделенными временным лагом. Это способ поиска корреляции f с ее собственным прошлым. Она полезна даже для других статистических задач, помимо анализа сигналов. Например, если f ( t ) представляет температуру в момент времени t , можно ожидать сильной корреляции с температурой с временным лагом в 24 часа.

Он обладает преобразованием Фурье, $${\displaystyle P_{f}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }R_{f}(\tau )e^{-i2\pi \xi \tau }\,d\tau .}$$

Это преобразование Фурье называется функцией спектральной плотности мощности f . (Если сначала не отфильтровать все периодические компоненты из f , этот интеграл будет расходиться, но такие периодичности легко отфильтровать.)

Спектр мощности, как указано этой функцией плотности P , измеряет величину дисперсии, вносимой в данные частотой ξ . В электрических сигналах дисперсия пропорциональна средней мощности (энергии в единицу времени), и поэтому спектр мощности описывает, насколько разные частоты вносят вклад в среднюю мощность сигнала. Этот процесс называется спектральным анализом временных рядов и аналогичен обычному дисперсионному анализу данных, которые не являются временными рядами ( ANOVA ).

Знание того, какие частоты «важны» в этом смысле, имеет решающее значение для правильного проектирования фильтров и для правильной оценки измерительных приборов. Оно также может быть полезным для научного анализа явлений, ответственных за получение данных.

Спектр мощности сигнала можно также приблизительно измерить напрямую, измерив среднюю мощность, которая остается в сигнале после того, как все частоты за пределами узкой полосы были отфильтрованы.

Спектральный анализ выполняется и для визуальных сигналов. Спектр мощности игнорирует все фазовые соотношения, что достаточно хорошо для многих целей, но для видеосигналов должны использоваться и другие типы спектрального анализа, по-прежнему использующие преобразование Фурье в качестве инструмента.

Другие обозначения

Другие распространенные обозначения включают в себя: ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ $${\displaystyle {\tilde {f}}(\xi ),\ F(\xi ),\ {\mathcal {F}}\left(f\right)(\xi ),\ \left({\mathcal {F}}f\right)(\xi ),\ {\mathcal {F}}(f),\ {\mathcal {F}}\{f\},\ {\mathcal {F}}{\bigl (}f(t){\bigr )},\ {\mathcal {F}}{\bigl \{}f(t){\bigr \}}.}$$

В науке и технике также распространены такие замены: $${\displaystyle \xi \rightarrow f,\quad x\rightarrow t,\quad f\rightarrow x,\quad {\hat {f}}\rightarrow X.}$$

Таким образом, пара преобразований может стать ${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ {\hat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle x(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ X(f)}$

Недостатком записи заглавными буквами является то, что при выражении преобразований, таких как или , которые становятся более неуклюжими и ${\displaystyle {\widehat {f\cdot g}}}$ ${\displaystyle {\widehat {f'}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\cdot g\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'\}.}$

В некоторых контекстах, таких как физика элементарных частиц, один и тот же символ может использоваться как для функции, так и для ее преобразования Фурье, причем эти два символа различаются только своим аргументом, то есть будет относиться к преобразованию Фурье из-за аргумента импульса, тогда как будет относиться к исходной функции из-за позиционного аргумента. Хотя тильды могут использоваться как в для обозначения преобразований Фурье, тильды также могут использоваться для обозначения модификации величины с более инвариантной формой Лоренца, например , , поэтому следует соблюдать осторожность. Аналогично, часто обозначает преобразование Гильберта от . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(k_{1}+k_{2})}$ ${\displaystyle f(x_{0}+\pi {\vec {r}})}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {dk}{(2\pi )^{3}2\omega }}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f}$

Интерпретацию комплексной функции f̂ ( ξ ) можно облегчить, выразив ее в полярной координатной форме через две действительные функции A ( ξ ) и φ ( ξ ), где: — амплитуда , а — фаза (см. функцию arg ). $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=A(\xi )e^{i\varphi (\xi )}}$$ $${\displaystyle A(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|,}$$ $${\displaystyle \varphi (\xi )=\arg \left({\hat {f}}(\xi )\right),}$$

Тогда обратное преобразование можно записать: что является рекомбинацией всех частотных компонентов f ( x ) . Каждый компонент представляет собой комплексную синусоиду вида e ^{2π ixξ} , амплитуда которой равна A ( ξ ) и начальный фазовый угол (при x = 0 ) равен φ ( ξ ) . $${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }A(\xi )\ e^{i{\bigl (}2\pi \xi x+\varphi (\xi ){\bigr )}}\,d\xi ,}$$

Преобразование Фурье можно рассматривать как отображение на функциональных пространствах. Это отображение здесь обозначается F , а F ( f ) используется для обозначения преобразования Фурье функции f . Это отображение является линейным, что означает, что F также можно рассматривать как линейное преобразование на функциональном пространстве, и подразумевает, что стандартное обозначение в линейной алгебре применения линейного преобразования к вектору (здесь функция f ) может использоваться для записи F f вместо F ( f ) . Поскольку результатом применения преобразования Фурье снова является функция, нас может интересовать значение этой функции, оцененное при значении ξ для ее переменной, и это обозначается либо как F f ( ξ ) , либо как ( F f )( ξ ) . Обратите внимание, что в первом случае неявно подразумевается, что F сначала применяется к f , а затем результирующая функция оценивается при ξ , а не наоборот.

В математике и различных прикладных науках часто необходимо различать функцию f и значение f , когда ее переменная равна x , обозначаемое f ( x ) . Это означает, что обозначение типа F ( f ( x )) формально можно интерпретировать как преобразование Фурье значений f при x . Несмотря на этот недостаток, предыдущее обозначение часто встречается, часто когда необходимо преобразовать конкретную функцию или функцию конкретной переменной. Например, иногда используется для выражения того, что преобразование Фурье прямоугольной функции является функцией sinc , или используется для выражения свойства сдвига преобразования Фурье. $${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {rect} (x){\bigr )}=\operatorname {sinc} (\xi )}$$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}f(x+x_{0}){\bigr )}={\mathcal {F}}{\bigl (}f(x){\bigr )}\,e^{i2\pi x_{0}\xi }}$$

Обратите внимание, что последний пример верен только при условии, что преобразованная функция является функцией x , а не x ₀ .

Как обсуждалось выше, характеристическая функция случайной величины совпадает с преобразованием Фурье–Стилтьеса ее меры распределения, но в этом контексте обычно принимают другое соглашение для констант. Обычно характеристическая функция определяется $${\displaystyle E\left(e^{it\cdot X}\right)=\int e^{it\cdot x}\,d\mu _{X}(x).}$$

Как и в случае соглашения о "неунитарной угловой частоте" выше, множитель 2 π не появляется ни в нормирующей константе, ни в показателе степени. В отличие от любого из соглашений, представленных выше, это соглашение принимает противоположный знак в показателе степени.

Методы расчета

Соответствующий метод вычисления во многом зависит от того, как представлена ​​исходная математическая функция и желаемая форма выходной функции. В этом разделе мы рассмотрим как функции непрерывной переменной, так и функции дискретной переменной (т. е. упорядоченные пары значений и ). Для дискретнозначных интеграл преобразования становится суммой синусоид, которая по-прежнему является непрерывной функцией частоты ( или ). Когда синусоиды гармонически связаны (т. е. когда значения расположены на расстоянии целых кратных интервала), преобразование называется дискретно-временным преобразованием Фурье (ДВПФ). ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$

Дискретные преобразования Фурье и быстрые преобразования Фурье

Выборка DTFT при равноотстоящих значениях частоты является наиболее распространенным современным методом вычисления. Эффективные процедуры, в зависимости от необходимого разрешения по частоте, описаны в Дискретное преобразование Фурье § Выборка DTFT . Дискретное преобразование Фурье (DFT), используемое там, обычно вычисляется с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (FFT).

Аналитическое интегрирование замкнутых функций

Таблицы преобразований Фурье в замкнутой форме , такие как § Квадратично-интегрируемые функции, одномерные и § Таблица преобразований Фурье в дискретном времени , создаются путем математической оценки интеграла анализа Фурье (или суммирования) в другую функцию частоты в замкнутой форме ( или ). ^[56] Когда это математически возможно, это обеспечивает преобразование для континуума значений частоты. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega }$

Многие системы компьютерной алгебры, такие как Matlab и Mathematica , которые способны к символическому интегрированию , способны вычислять преобразования Фурье аналитически. Например, чтобы вычислить преобразование Фурье cos(6π t ) e ^{−π t 2 ,} можно ввести команду integrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) from -inf to infв Wolfram Alpha . ^{[примечание 7]}

Численное интегрирование замкнутых непрерывных функций

Дискретная выборка преобразования Фурье также может быть выполнена путем численного интегрирования определения при каждом значении частоты, для которого требуется преобразование. ^{[57] [58] [59]} Подход численного интегрирования работает с гораздо более широким классом функций, чем аналитический подход.

Численное интегрирование ряда упорядоченных пар

Если входная функция представляет собой ряд упорядоченных пар, численное интегрирование сводится к простому суммированию по набору пар данных. ^[60] DTFT является распространенным подслучаем этой более общей ситуации.

Таблицы важных преобразований Фурье

В следующих таблицах записаны некоторые замкнутые формы преобразований Фурье. Для функций f ( x ) и g ( x ) обозначим их преобразования Фурье как f̂ и ĝ . Включены только три наиболее распространенных соглашения. Может быть полезно отметить, что запись 105 дает связь между преобразованием Фурье функции и исходной функцией, которую можно рассматривать как связь преобразования Фурье и его обратного преобразования.

Функциональные отношения, одномерные

Преобразования Фурье в этой таблице можно найти в работах Эрдейи (1954) или Каммлера (2000, приложение).

Квадратично-интегрируемые функции, одномерные

Преобразования Фурье в этой таблице можно найти в работах Кэмпбелла и Фостера (1948), Эрдели (1954) или Каммлера (2000, приложение).

Распределения, одномерные

Преобразования Фурье в этой таблице можно найти в работах Эрдейи (1954) или Каммлера (2000, приложение).

Двумерные функции

Формулы для общегон-мерные функции

Смотрите также

• Аналоговая обработка сигнала
• Полоса Биверса–Липсона
• Преобразование Constant-Q
• Дискретное преобразование Фурье
• * Матрица ДПФ
• Быстрое преобразование Фурье
• Интегральный оператор Фурье
• Теорема обращения Фурье
• множитель Фурье
• ряд Фурье
• Синусоидальное преобразование Фурье
• Преобразование Фурье–Делиня
• Преобразование Фурье–Мукаи
• Дробное преобразование Фурье
• Косвенное преобразование Фурье
• Интегральное преобразование
  • преобразование Ганкеля
  • преобразование Хартли
• Преобразование Лапласа
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Линейное каноническое преобразование
• Список преобразований Фурье
• Преобразование Меллина
• Многомерное преобразование
• NGC 4622 , особенно изображение NGC 4622. Преобразование Фурье m = 2 .
• Нелокальный оператор
• Квантовое преобразование Фурье
• Квадратичное преобразование Фурье
• Кратковременное преобразование Фурье
• Спектральная плотность
  • Оценка спектральной плотности
• Символическая интеграция
• Дисперсионное преобразование Фурье с растяжением во времени
• Преобразование (математика)

Примечания

1. В зависимости от приложения наиболее подходящим может оказаться интегральный , распределительный или другой подход.
2. Вретблад (2000) дает убедительное обоснование этих формальных процедур, не вдаваясь слишком глубоко в функциональный анализ или теорию распределений .
3. В релятивистской квантовой механике встречаются векторные преобразования Фурье многокомпонентных волновых функций. В квантовой теории поля часто используются операторнозначные преобразования Фурье операторнозначных функций пространства-времени, см., например, Greiner & Reinhardt (1996).
4. Возможным источником путаницы является свойство сдвига частоты; т. е. преобразование функции равно   Значение этой функции при равно     означает , что частота была смещена к нулю (см. также Отрицательная частота ). ${\displaystyle f(x)e^{-i2\pi \xi _{0}x}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi +\xi _{0}).}$ ${\displaystyle \xi =0}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{0}),}$ ${\displaystyle \xi _{0}}$
5. Оператор определяется заменой на в разложении Тейлора ${\displaystyle U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle U(x).}$
6. С точностью до мнимого постоянного множителя, величина которого зависит от используемого соглашения о преобразовании Фурье.
7. Прямая команда fourier transform of cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2)также будет работать для Wolfram Alpha, хотя параметры соглашения (см. преобразование Фурье § Другие соглашения) должны быть изменены с параметра по умолчанию, который фактически эквивалентен integrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(i*omega*t) /sqrt(2*pi) from -inf to inf.
8. В работе Гельфанда и Шилова 1964, стр. 363, при неунитарных соглашениях этой таблицы преобразование дано как , из чего следует это, при . ${\displaystyle |\mathbf {x} |^{\lambda }}$
   ${\displaystyle 2^{\lambda +n}\pi ^{{\tfrac {1}{2}}n}{\frac {\Gamma \left({\frac {\lambda +n}{2}}\right)}{\Gamma \left(-{\frac {\lambda }{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\omega }}|^{-\lambda -n}}$
   ${\displaystyle \lambda =-\alpha }$

Цитаты

1. Кхаре, Бутола и Раджора 2023, стр. 13–14
2. Кайзер 1994, стр. 29
3. Рахман 2011, стр. 11
4. Дайм и МакКин 1985
5. Фурье 1822, стр. 525
6. Фурье 1878, стр. 408
7. Джордан (1883) доказывает на стр. 216–226 интегральную теорему Фурье, прежде чем изучать ряды Фурье.
8. Титчмарш 1986, стр. 1
9. Рахман 2011, стр. 10.
10. Оппенгейм, Шефер и Бак 1999, стр. 58
11. Штейн и Вайс 1971
12. Фолланд 1989
13. Фурье 1822
14. Пинский 2002
15. Арфкен 1985
16. Кацнельсон 1976
17. Рудин 1987, стр. 187
18. Рудин 1987, стр. 186
19. Фолланд 1992, стр. 216
20. Вольф 1979, стр. 307 и далее.
21. Фолланд 1989, стр. 53
22. Челегини, Гаделла и дель Ольмо, 2021 г.
23. Duoandikoetxea 2001
24. Boashash 2003
25. Кондон 1937
26. Вольф 1979, стр. 320
27. Wolf 1979, стр. 312
28. Фолланд 1989, стр. 52
29. Хау 1980
30. Пейли и Винер 1934
31. Гельфанд и Виленкин 1964
32. Кириллов и Гвишиани 1982
33. Клозель и Делорм 1985, стр. 331–333
34. де Гроот и Мазур 1984, стр. 146
35. Чампени 1987, стр. 80
36. Колмогоров и Фомин 1999
37. Винер 1949
38. Чампени 1987, стр. 63
39. Виддер и Винер 1938, с. 537
40. Пинский 2002, стр. 131
41. Штейн и Шакарчи 2003
42. Штейн и Шакарчи 2003, с. 158
43. Чатфилд 2004, стр. 113
44. Фурье 1822, стр. 441
45. Пуанкаре 1895, стр. 102
46. Уиттекер и Уотсон 1927, стр. 188
47. Графакос 2004
48. Графакос и Тешль 2013
49. В более общем случае можно взять последовательность функций, находящихся на пересечении L ¹ и L ² и сходящихся к f в L ² -норме, и определить преобразование Фурье функции f как L ² -предел преобразований Фурье этих функций.
50. "Прикладной анализ Фурье и элементы современной обработки сигналов. Лекция 3" (PDF) . 12 января 2016 г. Получено 11 октября 2019 г.
51. Штейн и Вайс 1971, Теория 2.3
52. Пинский 2002, стр. 256
53. Хьюитт и Росс 1970, Глава 8
54. Кнапп 2001
55. Коррейя, Л. Б.; Хусто, Дж. Ф.; Анжелико, БА (2024). «Полиномиальное адаптивное синхронное сжатие преобразования Фурье: метод оптимизации множественного разрешения». Цифровая обработка сигналов . 150 : 104526. doi : 10.1016/j.dsp.2024.104526.
56. Градштейн и др. 2015
57. Пресс и др. 1992
58. Бейли и Шварцтраубер 1994
59. Ладо 1971
60. Симонен и Олкконен 1985
61. "Интегральное свойство преобразования Фурье". The Fourier Transform .com . 2015 [2010]. Архивировано из оригинала 2022-01-26 . Получено 2023-08-20 .
62. Штейн и Вайс 1971, Теория IV.3.3
63. Истон 2010
64. Штейн и Вайс 1971, Теория 4.15
65. Штейн и Вайс 1971, стр. 6

Ссылки

• Арфкен, Джордж (1985), Математические методы для физиков (3-е изд.), Academic Press, ISBN 9780120598205
• Бейли, Дэвид Х.; Шварцтраубер, Пол Н. (1994), «Быстрый метод численной оценки непрерывных преобразований Фурье и Лапласа» (PDF) , SIAM Journal on Scientific Computing , 15 (5): 1105–1110, Bibcode :1994SJSC...15.1105B, CiteSeerX  10.1.1.127.1534 , doi :10.1137/0915067, архивировано из оригинала (PDF) 20 июля 2008 г. , извлечено 01 ноября 2017 г.
• Boashash, B., ред. (2003), Анализ и обработка частотно-временных сигналов: полный справочник , Оксфорд: Elsevier Science, ISBN 978-0-08-044335-5
• Бохнер, С.; Чандрасекхаран , К. (1949), Преобразования Фурье , Princeton University Press
• Брейсвелл, Р. Н. (2000), Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.), Бостон: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8
• Кэмпбелл, Джордж; Фостер, Рональд (1948), Интегралы Фурье для практических приложений , Нью-Йорк: D. Van Nostrand Company, Inc.
• Челегини, Энрико; Гаделла, Мануэль; дель Ольмо, Мариано А. (2021), «Функции Эрмита и ряды Фурье», Симметрия , 13 (5): 853, arXiv : 2007.10406 , Bibcode : 2021Symm...13..853C, doi : 10.3390/sym13050853
• Champeney, DC (1987), Справочник по теоремам Фурье , Cambridge University Press
• Чатфилд, Крис (2004), Анализ временных рядов: Введение, Тексты по статистической науке (6-е изд.), Лондон: Chapman & Hall/CRC, ISBN 9780203491683
• Клозель, Лоран; Делорм, Патрис (1985), «Sur le theorème de Paley-Wiener invariant pour les groupes de Lie reductifs reels», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 300 : 331–333
• Кондон, Э.У. (1937), «Погружение преобразования Фурье в непрерывную группу функциональных преобразований», Proc. Natl. Acad. Sci. , 23 (3): 158–164, Bibcode : 1937PNAS...23..158C, doi : 10.1073/pnas.23.3.158 , PMC  1076889 , PMID  16588141
• де Гроот, Сибрен Р.; Мазур, Питер (1984), Неравновесная термодинамика (2-е изд.), Нью-Йорк: Дувр .
• Duoandikoetxea, Javier (2001), Анализ Фурье , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2172-5
• Дайм, Х.; МакКин, Х. (1985), Ряды и интегралы Фурье , Academic Press , ISBN 978-0-12-226451-1
• Истон, Роджер Л. младший (2010), Методы Фурье в обработке изображений, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-68983-7, получено 26 мая 2020 г.
• Эрдели, Артур, изд. (1954), Таблицы интегральных преобразований , вып. 1, МакГроу-Хилл
• Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения , т. II (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , MR  0270403
• Фолланд, Джеральд (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве , Princeton University Press
• Фолланд, Джеральд (1992), Анализ Фурье и его приложения , Уодсворт и Брукс/Коул
• Fourier, J.B. Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur (in French), Paris: Firmin Didot, père et fils, OCLC 2688081
• Fourier, J.B. Joseph (1878) [1822], The Analytical Theory of Heat, translated by Alexander Freeman, The University Press (translated from French)
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015), Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.), Table of Integrals, Series, and Products, translated by Scripta Technica, Inc. (8th ed.), Academic Press, ISBN 978-0-12-384933-5
• Grafakos, Loukas (2004), Classical and Modern Fourier Analysis, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-035399-3
• Grafakos, Loukas; Teschl, Gerald (2013), "On Fourier transforms of radial functions and distributions", J. Fourier Anal. Appl., 19: 167–179, arXiv:1112.5469, doi:10.1007/s00041-012-9242-5, S2CID 1280745
• Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization, Springer, ISBN 978-3-540-59179-5
• Gelfand, I.M.; Shilov, G.E. (1964), Generalized Functions, vol. 1, New York: Academic Press (translated from Russian)
• Gelfand, I.M.; Vilenkin, N.Y. (1964), Generalized Functions, vol. 4, New York: Academic Press (translated from Russian)
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Abstract harmonic analysis, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, vol. II: Structure and analysis for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups, Springer, MR 0262773
• Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, vol. 1, Springer, ISBN 978-3-540-00662-6
• Howe, Roger (1980), "On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis", Bulletin of the American Mathematical Society, 3 (2): 821–844, doi:10.1090/S0273-0979-1980-14825-9, MR 0578375
• James, J.F. (2011), A Student's Guide to Fourier Transforms (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-17683-5
• Джордан, Камилла (1883), Cours d'Analyse de l'École Polytechnique , vol. II, Calcul Intégral: Intégrales définies et indéfinies (2-е изд.), Париж{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Кайзер, Джеральд (1994), «Дружественное руководство по вейвлетам», Physics Today , 48 (7): 57–58, Bibcode : 1995PhT....48g..57K, doi : 10.1063/1.2808105, ISBN 978-0-8176-3711-8
• Каммлер, Дэвид (2000), Первый курс анализа Фурье , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-578782-3
• Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ , Дувр , ISBN 978-0-486-63331-2
• Кхаре, Кедар; Бутола, Манси; Раджора, Сунайна (2023), «Глава 2.3 Преобразование Фурье как предельный случай ряда Фурье», Фурье-оптика и вычислительная визуализация (2-е изд.), Springer, doi : 10.1007/978-3-031-18353-9, ISBN 978-3-031-18353-9, S2CID  255676773
• Кириллов, Александр ; Гвишиани, Алексей Д. (1982) [1979], Теоремы и задачи функционального анализа , Springer(перевод с русского)
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп: обзор на основе примеров, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09089-4
• Колмогоров, Андрей Николаевич ; Фомин, Сергей Васильевич (1999) [1957], Элементы теории функций и функционального анализа, Дувр(перевод с русского)
• Ладо, Ф. (1971), «Численные преобразования Фурье в одном, двух и трех измерениях для расчетов жидкого состояния», Журнал вычислительной физики , 8 (3): 417–433, Bibcode : 1971JCoPh...8..417L, doi : 10.1016/0021-9991(71)90021-0
• Мюллер, Мейнард (2015), Преобразование Фурье в двух словах. (PDF) , Springer , doi :10.1007/978-3-319-21945-5, ISBN 978-3-319-21944-8, S2CID  8691186, заархивировано из оригинала (PDF) 2016-04-08 , извлечено 2016-03-28; также доступно в разделе «Основы обработки музыки», раздел 2.1, страницы 40–56
• Оппенгейм, Алан В.; Шефер , Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999), Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.), Аппер Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall, ISBN 0-13-754920-2
• Paley, R.E.A.C.; Wiener, Norbert (1934), Fourier Transforms in the Complex Domain, American Mathematical Society Colloquium Publications, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society
• Pinsky, Mark (2002), Introduction to Fourier Analysis and Wavelets, Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-37660-4
• Poincaré, Henri (1895), Théorie analytique de la propagation de la chaleur, Paris: Carré
• Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998), Handbook of Integral Equations, Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-0-8493-2876-3
• Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (1992), Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing, Second Edition (2nd ed.), Cambridge University Press
• Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996). Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (3 ed.). New Jersey: Prentice-Hall International. Bibcode:1996dspp.book.....P. ISBN 9780133942897. sAcfAQAAIAAJ.
• Rahman, Matiur (2011), Applications of Fourier Transforms to Generalized Functions, WIT Press, ISBN 978-1-84564-564-9
• Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis (3rd ed.), Singapore: McGraw Hill, ISBN 978-0-07-100276-9
• Simonen, P.; Olkkonen, H. (1985), "Fast method for computing the Fourier integral transform via Simpson's numerical integration", Journal of Biomedical Engineering, 7 (4): 337–340, doi:10.1016/0141-5425(85)90067-6, PMID 4057997
• Smith, Julius O. "Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications --- Second Edition". ccrma.stanford.edu. Retrieved 2022-12-29. We may think of a real sinusoid as being the sum of a positive-frequency and a negative-frequency complex sinusoid.
• Stein, Elias; Shakarchi, Rami (2003), Fourier Analysis: An introduction, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11384-5
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9
• Taneja, H.C. (2008), "Chapter 18: Fourier integrals and Fourier transforms", Advanced Engineering Mathematics, vol. 2, New Delhi, India: I. K. International Pvt Ltd, ISBN 978-8189866563
• Титчмарш, Э. (1986) [1948], Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.), Оксфордский университет: Clarendon Press , ISBN 978-0-8284-0324-5
• Вретблад, Андерс (2000), Анализ Фурье и его приложения , Graduate Texts in Mathematics , т. 223, Нью-Йорк: Springer , ISBN 978-0-387-00836-3
• Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1927), Курс современного анализа (4-е изд.), Cambridge University Press
• Виддер, Дэвид Вернон; Винер, Норберт (август 1938 г.), «Замечания о классической формуле обращения для интеграла Лапласа», Бюллетень Американского математического общества , 44 (8): 573–575, doi :10.1090/s0002-9904-1938-06812-7
• Винер, Норберт (1949), Экстраполяция, интерполяция и сглаживание стационарных временных рядов с инженерными приложениями , Кембридж, Массачусетс: Technology Press и John Wiley & Sons и Chapman & Hall
• Уилсон, Р.Г. (1995), Ряды Фурье и методы оптического преобразования в современной оптике , Нью-Йорк: Wiley , ISBN 978-0-471-30357-2
• Вольф, Курт Б. (1979), Интегральные преобразования в науке и технике, Springer , doi :10.1007/978-1-4757-0872-1, ISBN 978-1-4757-0874-5
• Йосида, К. (1968), Функциональный анализ , Springer , ISBN 978-3-540-58654-8

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с преобразованием Фурье на Wikimedia Commons
• Энциклопедия математики
• Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование Фурье». Математический мир .
• Преобразование Фурье в кристаллографии