В математике пространство — это множество (иногда называемое вселенной ), наделенное структурой , определяющей отношения между элементами множества. Подпространство — это подмножество родительского пространства, которое сохраняет ту же структуру. Хотя современная математика использует много типов пространств, таких как евклидовы пространства , линейные пространства , топологические пространства , гильбертовы пространства или вероятностные пространства , она не определяет само понятие «пространства». [1] [a]
Пространство состоит из выбранных математических объектов , которые рассматриваются как точки , и выбранных отношений между этими точками. Природа точек может сильно различаться: например, точки могут представлять числа, функции в другом пространстве или подпространства другого пространства. Именно отношения определяют природу пространства. Точнее, изоморфные пространства считаются идентичными, где изоморфизм между двумя пространствами является взаимно-однозначным соответствием между их точками, которое сохраняет отношения. Например, отношения между точками трехмерного евклидова пространства однозначно определяются аксиомами Евклида, [b] и все трехмерные евклидовы пространства считаются идентичными.
Топологические понятия, такие как непрерывность, имеют естественные определения для каждого евклидова пространства. Однако топология не различает прямые линии от кривых, и связь между евклидовыми и топологическими пространствами, таким образом, является "забывчивой". Отношения такого рода более подробно рассматриваются в разделе "Типы пространств".
Не всегда ясно, следует ли рассматривать данный математический объект как геометрическое «пространство» или алгебраическую «структуру» . Общее определение «структуры», предложенное Бурбаки [2] , охватывает все общие типы пространств, дает общее определение изоморфизма и обосновывает перенос свойств между изоморфными структурами.
В древнегреческой математике «пространство» было геометрической абстракцией трехмерной реальности, наблюдаемой в повседневной жизни. Около 300 г. до н. э. Евклид дал аксиомы для свойств пространства. Евклид построил всю математику на этих геометрических основах, зайдя так далеко, что определил числа путем сравнения длин отрезков с длиной выбранного опорного отрезка.
Метод координат ( аналитическая геометрия ) был принят Рене Декартом в 1637 году . [3] В то время геометрические теоремы трактовались как абсолютные объективные истины, познаваемые посредством интуиции и разума, подобно объектам естественных наук; [4] : 11 а аксиомы трактовались как очевидные следствия определений. [4] : 15
Использовались два отношения эквивалентности между геометрическими фигурами: конгруэнтность и подобие . Переносы, повороты и отражения преобразуют фигуру в конгруэнтные фигуры; гомотетии — в подобные фигуры. Например, все окружности взаимно подобны, но эллипсы не подобны окружностям. Третье отношение эквивалентности, введенное Гаспаром Монжем в 1795 году, встречается в проективной геометрии : не только эллипсы, но и параболы, и гиперболы превращаются в окружности при соответствующих проективных преобразованиях; все они являются проективно эквивалентными фигурами.
Связь между двумя геометриями, евклидовой и проективной, [4] : 133 показывает, что математические объекты не даны нам вместе со своей структурой . [4] : 21 Скорее, каждая математическая теория описывает свои объекты некоторыми из их свойств, а именно теми, которые заложены в качестве аксиом в основу теории. [4] : 20
Расстояния и углы не могут появляться в теоремах проективной геометрии, поскольку эти понятия не упоминаются в аксиомах проективной геометрии и не определяются из упомянутых там понятий. Вопрос «чему равна сумма трех углов треугольника» имеет смысл в евклидовой геометрии, но бессмыслен в проективной геометрии.
Иная ситуация возникла в 19 веке: в некоторых геометриях сумма трех углов треугольника хорошо определена, но отличается от классического значения (180 градусов). Неевклидова гиперболическая геометрия , введенная Николаем Лобачевским в 1829 году и Яношем Бойяи в 1832 году (и Карлом Фридрихом Гауссом в 1816 году, неопубликовано) [4] : 133 утверждала, что сумма зависит от треугольника и всегда меньше 180 градусов. Эудженио Бельтрами в 1868 году и Феликс Клейн в 1871 году получили евклидовы «модели» неевклидовой гиперболической геометрии и тем самым полностью обосновали эту теорию как логическую возможность. [4] : 24 [5]
Это открытие заставило отказаться от претензий на абсолютную истинность евклидовой геометрии. Оно показало, что аксиомы не являются ни «очевидными», ни «следствиями определений». Скорее, они являются гипотезами. В какой степени они соответствуют экспериментальной реальности? Эта важная физическая проблема больше не имеет ничего общего с математикой. Даже если «геометрия» не соответствует экспериментальной реальности, ее теоремы остаются не менее «математическими истинами». [4] : 15
Евклидова модель неевклидовой геометрии — это выбор некоторых объектов, существующих в евклидовом пространстве, и некоторых отношений между этими объектами, которые удовлетворяют всем аксиомам (и, следовательно, всем теоремам) неевклидовой геометрии. Эти евклидовы объекты и отношения «играют» неевклидову геометрию, как современные актеры, играющие древнюю постановку. Актеры могут имитировать ситуацию, которая никогда не происходила в реальности. Отношения между актерами на сцене имитируют отношения между персонажами в пьесе. Аналогично, выбранные отношения между выбранными объектами евклидовой модели имитируют неевклидовы отношения. Это показывает, что отношения между объектами существенны в математике, в то время как природа объектов — нет.
Слово «геометрия» (от др.-греч. geo- «земля», -metron «измерение») изначально означало практический способ обработки длин, областей и объемов в пространстве, в котором мы живем, но затем получило широкое распространение (как и само понятие пространства, о котором здесь идет речь).
Согласно Бурбаки [4] : 131 период между 1795 годом ( Géométrie descriptive Монжа) и 1872 годом ( «Эрлангенская программа» Клейна) можно назвать «золотым веком геометрии». Первоначальное пространство, исследованное Евклидом, теперь называется трехмерным евклидовым пространством . Его аксиоматизация, начатая Евклидом 23 столетия назад, была реформирована с помощью аксиом Гильберта , аксиом Тарского и аксиом Биркгофа . Эти системы аксиом описывают пространство с помощью примитивных понятий (таких как «точка», «между», «конгруэнтный»), ограниченных рядом аксиом .
Аналитическая геометрия достигла большого прогресса и преуспела в замене теорем классической геометрии вычислениями с помощью инвариантов групп преобразований. [4] : 134, 5 С тех пор новые теоремы классической геометрии представляли больший интерес для любителей, чем для профессиональных математиков. [4] : 136 Однако наследие классической геометрии не было потеряно. По словам Бурбаки, [4] : 138 «переданная в своей роли автономной и живой науки, классическая геометрия таким образом преобразилась в универсальный язык современной математики».
Одновременно числа начали вытеснять геометрию как основу математики. Например, в эссе Ричарда Дедекинда 1872 года Stetigkeit und irrationale Zahlen ( Непрерывность и иррациональные числа ) он утверждает, что точки на прямой должны обладать свойствами разрезов Дедекинда , и что, следовательно, прямая — это то же самое, что и множество действительных чисел. Дедекинд тщательно отмечает, что это предположение не может быть доказано. В современных трактовках утверждение Дедекинда часто принимается за определение прямой, тем самым сводя геометрию к арифметике. Трехмерное евклидово пространство определяется как аффинное пространство, связанное с которым векторное пространство разностей его элементов снабжено скалярным произведением. [6] Определение «с нуля», как у Евклида, в настоящее время используется нечасто, поскольку оно не раскрывает связь этого пространства с другими пространствами. Также трехмерное проективное пространство теперь определяется как пространство всех одномерных подпространств (то есть прямых линий, проходящих через начало координат) четырехмерного векторного пространства. Этот сдвиг в основах требует нового набора аксиом, и если эти аксиомы принимаются, классические аксиомы геометрии становятся теоремами.
Пространство теперь состоит из выбранных математических объектов (например, функций на другом пространстве или подпространств другого пространства или просто элементов множества), рассматриваемых как точки, и выбранных отношений между этими точками. Таким образом, пространства являются просто математическими структурами для удобства. Можно ожидать, что структуры, называемые «пространствами», воспринимаются более геометрически, чем другие математические объекты, но это не всегда так.
Согласно знаменитой вступительной лекции, прочитанной Бернхардом Риманом в 1854 году, каждый математический объект, параметризованный n действительными числами, может рассматриваться как точка n -мерного пространства всех таких объектов. [4] : 140 Современные математики следуют этой идее постоянно и находят крайне перспективным использовать терминологию классической геометрии почти везде. [4] : 138
Функции являются важными математическими объектами. Обычно они образуют бесконечномерные функциональные пространства , как уже отмечалось Риманом [4] : 141 и было разработано в 20 веке функциональным анализом .
Хотя каждый тип пространства имеет свое собственное определение, общая идея «пространства» ускользает от формализации. Некоторые структуры называются пространствами, другие — нет, без формального критерия. Более того, нет единого мнения относительно общей идеи «структуры». Согласно Пудлаку, [7] «Математика [...] не может быть полностью объяснена одним понятием, таким как математическая структура. Тем не менее, структуралистский подход Бурбаки — лучшее, что у нас есть». Мы вернемся к структуралистскому подходу Бурбаки в последнем разделе «Пространства и структуры», а сейчас мы наметим возможную классификацию пространств (и структур) в духе Бурбаки.
Мы классифицируем пространства на трех уровнях. Учитывая, что каждая математическая теория описывает свои объекты некоторыми их свойствами, первый вопрос, который следует задать: какими свойствами? Это приводит к первому (верхнему) уровню классификации. На втором уровне учитываются ответы на особенно важные вопросы (из числа вопросов, имеющих смысл согласно первому уровню). На третьем уровне классификации учитываются ответы на все возможные вопросы.
Например, классификация верхнего уровня различает евклидовы и проективные пространства , поскольку расстояние между двумя точками определено в евклидовых пространствах, но не определено в проективных пространствах. Другой пример. Вопрос «какова сумма трех углов треугольника» имеет смысл в евклидовом пространстве, но не в проективном пространстве. В неевклидовом пространстве вопрос имеет смысл, но на него отвечают по-другому, что не является различием верхнего уровня.
Кроме того, различие между евклидовой плоскостью и евклидовым трехмерным пространством не является различием верхнего уровня; вопрос «какова размерность» имеет смысл в обоих случаях.
Классификация второго уровня различает, например, евклидовы и неевклидовы пространства; конечномерные и бесконечномерные пространства; компактные и некомпактные пространства и т. д. В терминах Бурбаки [2] классификация второго уровня — это классификация по «видам». В отличие от биологической таксономии, пространство может принадлежать нескольким видам.
Классификация третьего уровня различает, например, пространства разной размерности, но не различает плоскость трехмерного евклидова пространства, рассматриваемую как двумерное евклидово пространство, и множество всех пар действительных чисел, также рассматриваемое как двумерное евклидово пространство. Аналогично она не различает различные евклидовы модели одного и того же неевклидова пространства. Более формально, третий уровень классифицирует пространства с точностью до изоморфизма . Изоморфизм между двумя пространствами определяется как взаимно однозначное соответствие между точками первого пространства и точками второго пространства, которое сохраняет все отношения, предусмотренные в соответствии с первым уровнем. Взаимно изоморфные пространства рассматриваются как копии одного пространства. Если одно из них принадлежит к данному виду, то они все принадлежат к нему.
Понятие изоморфизма проливает свет на классификацию верхнего уровня. При наличии взаимно-однозначного соответствия между двумя пространствами одного и того же класса верхнего уровня можно спросить, является ли это изоморфизмом или нет. Этот вопрос не имеет смысла для двух пространств разных классов.
Изоморфизм самому себе называется автоморфизмом. Автоморфизмы евклидова пространства — это сдвиги, повороты, отражения и композиции этих двух. Евклидово пространство однородно в том смысле, что каждая точка может быть преобразована в любую другую точку некоторым автоморфизмом.
Евклидовы аксиомы [b] не оставляют никакой свободы; они однозначно определяют все геометрические свойства пространства. Точнее: все трехмерные евклидовы пространства взаимно изоморфны. В этом смысле мы имеем «это» трехмерное евклидово пространство. В терминах Бурбаки соответствующая теория является однозначна . Напротив, топологические пространства, как правило, неизоморфны; их теория является многозначной . Похожая идея встречается в математической логике: теория называется категоричной, если все ее модели одинаковой мощности взаимно изоморфны. Согласно Бурбаки [8] , изучение многозначных теорий является наиболее яркой чертой, которая отличает современную математику от классической математики.
Топологические понятия (непрерывность, сходимость, открытые множества, замкнутые множества и т. д.) определяются естественным образом в каждом евклидовом пространстве. Другими словами, каждое евклидово пространство также является топологическим пространством. Каждый изоморфизм между двумя евклидовыми пространствами также является изоморфизмом между соответствующими топологическими пространствами (называется « гомеоморфизмом »), но обратное неверно: гомеоморфизм может искажать расстояния. В терминах Бурбаки [2] «топологическое пространство» является базовой структурой структуры «евклидова пространства». Похожие идеи встречаются в теории категорий : категория евклидовых пространств является конкретной категорией над категорией топологических пространств; забывающий (или «обнажающий») функтор отображает первую категорию во вторую категорию.
Трехмерное евклидово пространство является частным случаем евклидова пространства. В терминах Бурбаки [2] вид трехмерного евклидова пространства богаче вида евклидова пространства. Аналогично вид компактного топологического пространства богаче вида топологического пространства.
Такие отношения между видами пространств можно выразить схематически, как показано на рис. 3. Стрелка от A к B означает, что каждое A-пространство также является B-пространством, или может рассматриваться как B-пространство, или предоставляет B-пространство и т. д. Рассматривая A и B как классы пространств, можно интерпретировать стрелку как переход от A к B. (В терминах Бурбаки [9] «процедура выведения» B-пространства из A-пространства. Не совсем функция, если только классы A, B не являются множествами; этот нюанс не делает недействительным следующее.) Две стрелки на рис. 3 необратимы, но по разным причинам.
Переход от «евклидова» к «топологическому» забывчив. Топология различает непрерывное и прерывное, но не различает прямолинейное и криволинейное. Интуиция подсказывает нам, что евклидова структура не может быть восстановлена из топологии. Доказательство использует автоморфизм топологического пространства (то есть самомоморфизм ), который не является автоморфизмом евклидова пространства (то есть не является композицией сдвигов, поворотов и отражений). Такое преобразование превращает данную евклидову структуру в (изоморфную, но) другую евклидову структуру; обе евклидовы структуры соответствуют одной топологической структуре.
Напротив, переход от "3-мерного евклидова" к "евклидову" не является забывчивым; евклидово пространство не обязательно должно быть 3-мерным, но если оно оказывается 3-мерным, оно является полноценным, никакая структура не теряется. Другими словами, последний переход является инъективным (один к одному), в то время как первый переход не является инъективным (многие к одному). Мы обозначаем инъективные переходы стрелкой с зазубренным хвостом, "↣", а не "→".
Оба перехода не являются сюръективными , то есть не каждое B-пространство получается из некоторого A-пространства. Во-первых, 3-мерное евклидово пространство является частным (не общим) случаем евклидова пространства. Во-вторых, топология евклидова пространства является частным случаем топологии (например, оно должно быть некомпактным, связным и т. д.). Мы обозначаем сюръективные переходы двунаправленной стрелкой, "↠", а не "→". См., например, рис. 4; там стрелка от "реального линейного топологического" к "реальному линейному" двунаправленная, поскольку каждое действительное линейное пространство допускает некоторую (по крайней мере одну) топологию, совместимую с его линейной структурой.
Такая топология не является единственной в общем случае, но единственной, когда действительное линейное пространство конечномерно. Для этих пространств переход является как инъективным, так и сюръективным, то есть биективным ; см. стрелку от «конечномерной действительной линейной топологической» к «конечномерной действительной линейной» на рис. 4. Обратный переход существует (и может быть показан второй, обратной стрелкой). Таким образом, два вида структур эквивалентны. На практике не делается различий между эквивалентными видами структур. [10] Эквивалентные структуры можно рассматривать как одну структуру, как показано большим прямоугольником на рис. 4.
Переходы, обозначенные стрелками, подчиняются изоморфизмам. То есть два изоморфных A-пространства приводят к двум изоморфным B-пространствам .
Диаграмма на рис. 4 коммутативна . То есть все направленные пути на диаграмме с одинаковыми начальными и конечными точками приводят к одному и тому же результату. Другие диаграммы ниже также коммутативны, за исключением пунктирных стрелок на рис. 9. Стрелка от «топологического» к «измеримому» пунктирная по причине, объясненной там: «Чтобы превратить топологическое пространство в измеримое, его наделяют σ-алгеброй. σ-алгебра борелевских множеств является наиболее популярным, но не единственным выбором». Сплошная стрелка обозначает распространенный, так называемый «канонический» переход, который напрашивается сам собой и широко используется, часто неявно, по умолчанию. Например, говоря о непрерывной функции на евклидовом пространстве, не нужно явно указывать ее топологию. Фактически, существуют и иногда используются альтернативные топологии, например, тонкая топология ; но они всегда указываются явно, поскольку они гораздо менее заметны, чем распространенная топология. Пунктирная стрелка указывает на то, что используется несколько переходов, и ни один из них не является достаточно распространенным.
Два основных пространства — это линейные пространства (также называемые векторными пространствами) и топологические пространства .
Линейные пространства имеют алгебраическую природу; существуют действительные линейные пространства (над полем действительных чисел ), комплексные линейные пространства (над полем комплексных чисел ) и, в более общем смысле, линейные пространства над любым полем. Каждое комплексное линейное пространство также является действительным линейным пространством (последнее лежит в основе первого), поскольку каждое комплексное число может быть задано двумя действительными числами. Например, комплексная плоскость, рассматриваемая как одномерное комплексное линейное пространство, может быть понижена до двумерного действительного линейного пространства. Напротив, действительную прямую можно рассматривать как одномерное действительное линейное пространство, но не как комплексное линейное пространство. См. также расширения полей . В более общем смысле, векторное пространство над полем также имеет структуру векторного пространства над подполем этого поля. Линейные операции, заданные в линейном пространстве по определению, приводят к таким понятиям, как прямые линии (и плоскости, и другие линейные подпространства); параллельные линии; эллипсы (и эллипсоиды). Однако невозможно определить ортогональные (перпендикулярные) линии или выделить окружности среди эллипсов, поскольку в линейном пространстве нет структуры, подобной скалярному произведению, которая могла бы использоваться для измерения углов. Размерность линейного пространства определяется как максимальное число линейно независимых векторов или, что эквивалентно, как минимальное число векторов, охватывающих пространство; она может быть конечной или бесконечной. Два линейных пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность. n -мерное комплексное линейное пространство также является 2 n -мерным действительным линейным пространством.
Топологические пространства имеют аналитическую природу. Открытые множества , заданные в топологическом пространстве по определению, приводят к таким понятиям, как непрерывные функции , пути, отображения; сходящиеся последовательности, пределы ; внутренность, граница, внешность. Однако равномерная непрерывность , ограниченные множества , последовательности Коши , дифференцируемые функции (пути, отображения) остаются неопределенными. Изоморфизмы между топологическими пространствами традиционно называются гомеоморфизмами; это взаимно-однозначные соответствия, непрерывные в обоих направлениях. Открытый интервал (0,1) гомеоморфен всей действительной прямой (−∞,∞), но не гомеоморфен замкнутому интервалу [0,1] и окружности. Поверхность куба гомеоморфна сфере (поверхности шара), но не гомеоморфна тору. Евклидовы пространства разных размерностей не гомеоморфны, что кажется очевидным, но доказать это нелегко. Размерность топологического пространства определить трудно; Можно использовать индуктивную размерность (основанную на наблюдении, что размерность границы геометрической фигуры обычно на единицу меньше размерности самой фигуры) и размерность покрытия Лебега . В случае n -мерного евклидова пространства обе топологические размерности равны n .
Каждое подмножество топологического пространства само является топологическим пространством (в отличие от этого, только линейные подмножества линейного пространства являются линейными пространствами). Произвольные топологические пространства, исследуемые общей топологией (называемой также топологией точечных множеств), слишком разнообразны для полной классификации с точностью до гомеоморфизма. Компактные топологические пространства являются важным классом топологических пространств («видов» этого «типа»). Каждая непрерывная функция ограничена на таком пространстве. Замкнутый интервал [0,1] и расширенная вещественная прямая [−∞,∞] компактны; открытый интервал (0,1) и прямая (−∞,∞) — нет. Геометрическая топология исследует многообразия (еще один «вид» этого «типа»); это топологические пространства, локально гомеоморфные евклидовым пространствам (и удовлетворяющие нескольким дополнительным условиям). Многообразия малой размерности полностью классифицированы с точностью до гомеоморфизма.
Как линейная, так и топологическая структуры лежат в основе структуры линейного топологического пространства (другими словами, топологического векторного пространства). Линейное топологическое пространство является как действительным или комплексным линейным пространством, так и топологическим пространством, таким образом, что линейные операции являются непрерывными. Таким образом, линейное пространство, которое также является топологическим, в общем случае не является линейным топологическим пространством.
Каждое конечномерное действительное или комплексное линейное пространство является линейным топологическим пространством в том смысле, что оно несет одну и только одну топологию, которая делает его линейным топологическим пространством. Таким образом, две структуры, «конечномерное действительное или комплексное линейное пространство» и «конечномерное линейное топологическое пространство», эквивалентны, то есть взаимно базируются. Соответственно, каждое обратимое линейное преобразование конечномерного линейного топологического пространства является гомеоморфизмом. Три понятия размерности (одно алгебраическое и два топологических) согласуются для конечномерных действительных линейных пространств. Однако в бесконечномерных пространствах различные топологии могут соответствовать заданной линейной структуре, и обратимые линейные преобразования, как правило, не являются гомеоморфизмами.
Аффинные и проективные пространства удобно вводить с помощью линейных пространств следующим образом. n -мерное линейное подпространство ( n +1) -мерного линейного пространства, будучи само n -мерным линейным пространством, не является однородным; оно содержит особую точку, начало координат. Сдвигая его на внешний по отношению к нему вектор, получаем n -мерное аффинное подпространство. Оно однородно. Аффинное пространство не обязательно должно быть включено в линейное пространство, но изоморфно аффинному подпространству линейного пространства. Все n -мерные аффинные пространства над заданным полем взаимно изоморфны. По словам Джона Баэза , «аффинное пространство — это векторное пространство, которое забыло свое начало». В частности, каждое линейное пространство также является аффинным пространством.
Если задано n -мерное аффинное подпространство A в ( n +1)-мерном линейном пространстве L , то прямая линия в A может быть определена как пересечение A с двумерным линейным подпространством L , которое пересекает A : другими словами, с плоскостью, проходящей через начало координат, которая не параллельна A. В более общем смысле, k -мерное аффинное подпространство A — это пересечение A с ( k +1)-мерным линейным подпространством L , которое пересекает A.
Каждая точка аффинного подпространства A является пересечением A с одномерным линейным подпространством L . Однако некоторые одномерные подпространства L параллельны A ; в некотором смысле они пересекают A на бесконечности. Множество всех одномерных линейных подпространств ( n +1)-мерного линейного пространства по определению является n -мерным проективным пространством. И аффинное подпространство A вложено в проективное пространство как собственное подмножество. Однако само проективное пространство однородно. Прямая линия в проективном пространстве соответствует двумерному линейному подпространству ( n +1)-мерного линейного пространства. В более общем смысле, k -мерное проективное подпространство проективного пространства соответствует ( k +1)-мерному линейному подпространству ( n +1)-мерного линейного пространства и изоморфно k -мерному проективному пространству.
Определенные таким образом, аффинные и проективные пространства имеют алгебраическую природу; они могут быть действительными, комплексными и, в более общем смысле, над любым полем.
Каждое действительное или комплексное аффинное или проективное пространство также является топологическим пространством. Аффинное пространство является некомпактным многообразием; проективное пространство является компактным многообразием. В действительном проективном пространстве прямая линия гомеоморфна окружности, поэтому компактна, в отличие от прямой линии в линейном или аффинном пространстве.
Расстояния между точками определяются в метрическом пространстве . Изоморфизмы между метрическими пространствами называются изометриями. Каждое метрическое пространство также является топологическим пространством. Топологическое пространство называется метризуемым , если оно лежит в основе метрического пространства. Все многообразия метризуемы.
В метрическом пространстве можно определить ограниченные множества и последовательности Коши. Метрическое пространство называется полным , если все последовательности Коши сходятся. Каждое неполное пространство изометрически вложено, как плотное подмножество, в полное пространство (пополнение). Каждое компактное метрическое пространство является полным; вещественная прямая некомпактна, но полна; открытый интервал (0,1) является неполным.
Каждое евклидово пространство является также полным метрическим пространством. Более того, все геометрические понятия, имманентные евклидову пространству, могут быть охарактеризованы в терминах его метрики. Например, отрезок прямой, соединяющий две заданные точки A и C, состоит из всех точек B , таких, что расстояние между A и C равно сумме двух расстояний: между A и B и между B и C.
Размерность Хаусдорфа (связанная с числом маленьких шариков, покрывающих заданное множество) применяется к метрическим пространствам и может быть нецелым числом (особенно для фракталов ). Для n -мерного евклидова пространства размерность Хаусдорфа равна n .
Равномерные пространства не вводят расстояния, но все еще позволяют использовать равномерную непрерывность, последовательности Коши (или фильтры или сети ), полноту и завершение. Каждое равномерное пространство также является топологическим пространством. Каждое линейное топологическое пространство (метризуемое или нет) также является равномерным пространством и является полным в конечной размерности, но, как правило, неполным в бесконечной размерности. В более общем смысле, каждая коммутативная топологическая группа также является равномерным пространством. Однако некоммутативная топологическая группа несет две равномерные структуры, одну левоинвариантную, другую правоинвариантную.
Векторы в евклидовом пространстве образуют линейное пространство, но каждый вектор также имеет длину, другими словами, норму, . Действительное или комплексное линейное пространство, наделенное нормой, является нормированным пространством . Каждое нормированное пространство является как линейным топологическим пространством, так и метрическим пространством. Банахово пространство является полным нормированным пространством. Многие пространства последовательностей или функций являются бесконечномерными банаховыми пространствами.
Множество всех векторов нормы меньше единицы называется единичным шаром нормированного пространства. Это выпуклое, центрально-симметричное множество, в общем случае не эллипсоид; например, это может быть многоугольник (на плоскости) или, в более общем случае, многогранник (в произвольной конечной размерности). Закон параллелограмма (также называемый тождеством параллелограмма)
Обычно это не выполняется в нормированных пространствах, но справедливо для векторов в евклидовых пространствах, что следует из того факта, что квадрат евклидовой нормы вектора равен его внутреннему произведению на самого себя, .
Пространство внутреннего произведения — это действительное или комплексное линейное пространство, наделенное билинейной или, соответственно, полуторалинейной формой, удовлетворяющей некоторым условиям и называемой внутренним произведением. Каждое внутреннее произведение также является нормированным пространством. Нормированное пространство лежит в основе внутреннего произведения тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет закону параллелограмма или, что эквивалентно, если его единичный шар является эллипсоидом. Углы между векторами определяются в пространствах внутреннего произведения. Гильбертово пространство определяется как полное внутреннее произведение. (Некоторые авторы настаивают на том, что оно должно быть комплексным, другие допускают также реальные гильбертовы пространства.) Многие пространства последовательностей или функций являются бесконечномерными гильбертовыми пространствами. Гильбертовы пространства очень важны для квантовой теории . [11]
Все n -мерные действительные пространства скалярного произведения взаимно изоморфны. Можно сказать, что n -мерное евклидово пространство является n -мерным действительным пространством скалярного произведения, которое забыло свое происхождение.
Гладкие многообразия не называются «пространствами», но могли бы ими быть. Каждое гладкое многообразие является топологическим многообразием и может быть вложено в конечномерное линейное пространство. Гладкие поверхности в конечномерном линейном пространстве являются гладкими многообразиями: например, поверхность эллипсоида является гладким многообразием, а многогранник — нет. Вещественные или комплексные конечномерные линейные, аффинные и проективные пространства также являются гладкими многообразиями.
В каждой своей точке гладкий путь в гладком многообразии имеет касательный вектор, который принадлежит касательному пространству многообразия в этой точке. Касательные пространства к n -мерному гладкому многообразию являются n -мерными линейными пространствами. Дифференциал гладкой функции на гладком многообразии дает линейный функционал на касательном пространстве в каждой точке.
Риманово многообразие , или риманово пространство, — это гладкое многообразие, касательные пространства которого снабжены внутренними произведениями, удовлетворяющими некоторым условиям. Евклидовы пространства также являются римановыми пространствами. Гладкие поверхности в евклидовых пространствах являются римановыми пространствами. Гиперболическое неевклидово пространство также является римановым пространством. Кривая в римановом пространстве имеет длину, а длина кратчайшей кривой между двумя точками определяет расстояние, так что риманово пространство является метрическим пространством. Угол между двумя кривыми, пересекающимися в точке, — это угол между их касательными.
Отказываясь от положительности скалярных произведений в касательных пространствах, получаем псевдоримановы пространства , включая лоренцевы пространства, которые очень важны для общей теории относительности .
Отказываясь от расстояний и углов, сохраняя объемы (геометрических тел), приходим к теории меры . Помимо объема, мера обобщает понятия площади, длины, распределения массы (или заряда), а также распределения вероятностей, согласно подходу Андрея Колмогорова к теории вероятностей .
«Геометрическое тело» классической математики гораздо более регулярно, чем просто набор точек. Граница тела имеет нулевой объем. Таким образом, объем тела равен объему его внутренней части, а внутренняя часть может быть исчерпана бесконечной последовательностью кубов. Напротив, граница произвольного набора точек может иметь ненулевой объем (пример: множество всех рациональных точек внутри данного куба). Теория меры преуспела в распространении понятия объема на обширный класс множеств, так называемых измеримых множеств . Действительно, неизмеримые множества почти никогда не встречаются в приложениях.
Измеримые множества, заданные в измеримом пространстве по определению, приводят к измеримым функциям и отображениям. Чтобы превратить топологическое пространство в измеримое, его наделяют σ-алгеброй. σ -алгебра борелевских множеств является наиболее популярным, но не единственным выбором. ( Иногда также используются множества Бэра , универсально измеримые множества и т. д.) Топология не определяется однозначно борелевской σ-алгеброй; например, топология нормы и слабая топология на сепарабельном гильбертовом пространстве приводят к одной и той же борелевской σ-алгебре . Не каждая σ-алгебра является борелевской σ-алгеброй некоторой топологии. [c] На самом деле, σ-алгебра может быть порождена заданным набором множеств (или функций) независимо от какой-либо топологии. Каждое подмножество измеримого пространства само по себе является измеримым пространством.
Стандартные измеримые пространства (также называемые стандартными борелевскими пространствами ) особенно полезны из-за некоторого сходства с компактными пространствами (см. EoM). Каждое биективное измеримое отображение между стандартными измеримыми пространствами является изоморфизмом; то есть обратное отображение также измеримо. И отображение между такими пространствами измеримо тогда и только тогда, когда его график измерим в пространстве произведения. Аналогично, каждое биективное непрерывное отображение между компактными метрическими пространствами является гомеоморфизмом; то есть обратное отображение также непрерывно. И отображение между такими пространствами непрерывно тогда и только тогда, когда его график замкнут в пространстве произведения.
Каждое борелевское множество в евклидовом пространстве (и, более общо, в полном сепарабельном метрическом пространстве), снабженное борелевской σ-алгеброй, является стандартным измеримым пространством. Все несчетные стандартные измеримые пространства взаимно изоморфны.
Мерное пространство — это измеримое пространство, наделенное мерой. Евклидово пространство с мерой Лебега — это мерное пространство. Теория интегрирования определяет интегрируемость и интегралы измеримых функций на мерном пространстве.
Множества меры 0, называемые нулевыми множествами, являются пренебрежимо малыми. Соответственно, «изоморфизм mod 0» определяется как изоморфизм между подмножествами полной меры (то есть с пренебрежимо малым дополнением).
Вероятностное пространство — это мерное пространство, такое, что мера всего пространства равна 1. Произведение любого семейства (конечного или нет) вероятностных пространств является вероятностным пространством. Напротив, для мерных пространств в общем случае определено только произведение конечного числа пространств. Соответственно, существует много бесконечномерных вероятностных мер (особенно гауссовских мер ), но нет бесконечномерных мер Лебега.
Стандартные вероятностные пространства особенно полезны . На стандартном вероятностном пространстве условное ожидание можно рассматривать как интеграл по условной мере ( регулярные условные вероятности , см. также распад меры ). Если заданы два стандартных вероятностных пространства, каждый гомоморфизм их алгебр мер индуцируется некоторым сохраняющим меру отображением. Каждая вероятностная мера на стандартном измеримом пространстве приводит к стандартному вероятностному пространству. Произведение последовательности (конечной или нет) стандартных вероятностных пространств является стандартным вероятностным пространством. Все неатомические стандартные вероятностные пространства взаимно изоморфны по модулю 0; одно из них — интервал (0,1) с мерой Лебега.
Эти пространства менее геометричны. В частности, идея размерности, применимая (в той или иной форме) ко всем другим пространствам, не применима к измеримым, мерным и вероятностным пространствам.
Теоретическое изучение исчисления, известное как математический анализ , привело в начале 20-го века к рассмотрению линейных пространств вещественных или комплекснозначных функций. Самыми ранними примерами были функциональные пространства , каждое из которых было адаптировано к своему собственному классу задач. Эти примеры имели много общих черт, и эти черты вскоре были абстрагированы в гильбертовы пространства, банаховы пространства и более общие топологические векторные пространства. Они были мощным инструментом для решения широкого круга математических задач.
Наиболее подробную информацию нес класс пространств, называемых банаховыми алгебрами . Это банаховы пространства вместе с непрерывной операцией умножения. Важным ранним примером была банахова алгебра существенно ограниченных измеримых функций на пространстве с мерой X. Этот набор функций является банаховым пространством относительно поточечного сложения и скалярного умножения. С операцией поточечного умножения он становится особым типом банахова пространства, которое теперь называется коммутативной алгеброй фон Неймана . Поточечное умножение определяет представление этой алгебры на гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на X. Раннее наблюдение Джона фон Неймана состояло в том, что это соответствие также работало в обратном направлении: учитывая некоторые мягкие технические гипотезы, коммутативная алгебра фон Неймана вместе с представлением на гильбертовом пространстве определяет пространство с мерой, и эти две конструкции (алгебры фон Неймана плюс представление и пространства с мерой) являются взаимно обратными.
Затем фон Нейман предположил, что некоммутативные алгебры фон Неймана должны иметь геометрический смысл, как и коммутативные алгебры фон Неймана. Вместе с Фрэнсисом Мюрреем он создал классификацию алгебр фон Неймана. Конструкция прямого интеграла показывает, как разбить любую алгебру фон Неймана на набор более простых алгебр, называемых факторами . Фон Нейман и Мюррей классифицировали факторы на три типа. Тип I был почти идентичен коммутативному случаю. Типы II и III демонстрировали новые явления. Алгебра фон Неймана типа II определяла геометрию с той специфической особенностью, что размерность могла быть любым неотрицательным действительным числом, а не только целым числом. Алгебры типа III были теми, которые не были ни типами I, ни II, и после нескольких десятилетий усилий было доказано, что они тесно связаны с факторами типа II.
Несколько иной подход к геометрии функциональных пространств развивался одновременно с работой фон Неймана и Мюррея по классификации факторов. Этот подход представляет собой теорию C*-алгебр . Здесь мотивирующим примером является C*-алгебра , где X — локально компактное хаусдорфово топологическое пространство. По определению, это алгебра непрерывных комплекснозначных функций на X , которые исчезают на бесконечности (что в общих чертах означает, что чем дальше вы уходите от выбранной точки, тем ближе функция становится к нулю) с операциями поточечного сложения и умножения. Теорема Гельфанда–Наймарка подразумевала, что существует соответствие между коммутативными C*-алгебрами и геометрическими объектами: Каждая коммутативная C*-алгебра имеет вид для некоторого локально компактного хаусдорфова пространства X. Следовательно, можно изучать локально компактные хаусдорфовы пространства исключительно в терминах коммутативных C*-алгебр. Некоммутативная геометрия берет это как вдохновение для изучения некоммутативных C*-алгебр: Если бы существовала такая вещь, как «некоммутативное пространство X », то это была бы некоммутативная C*-алгебра ; если бы вдобавок теорема Гельфанда–Наймарка была применена к этим несуществующим объектам, то пространства (коммутативные или нет) были бы такими же, как C*-алгебры; поэтому, из-за отсутствия прямого подхода к определению некоммутативного пространства, некоммутативное пространство определяется как некоммутативная C*-алгебра. Многие стандартные геометрические инструменты можно переформулировать в терминах C*-алгебр, и это дает геометрически вдохновленные методы для изучения некоммутативных C*-алгебр .
Оба эти примера теперь являются случаями области, называемой некоммутативной геометрией . Конкретные примеры алгебр фон Неймана и C*-алгебр известны как некоммутативная теория меры и некоммутативная топология соответственно. Некоммутативная геометрия — это не просто стремление к общности ради самой себя и не просто любопытство. Некоммутативные пространства возникают естественным образом, даже неизбежно, из некоторых конструкций. Например, рассмотрим непериодические мозаики Пенроуза плоскости воздушными змеями и дротиками. Теорема гласит, что в такой мозаике каждая конечная часть воздушных змеев и дротиков появляется бесконечно часто. Как следствие, нет способа различить две мозаики Пенроуза, глядя на конечную часть. Это делает невозможным назначение множества всех мозаик топологии в традиционном смысле. Несмотря на это, мозаики Пенроуза определяют некоммутативную C*-алгебру, и, следовательно, их можно изучать методами некоммутативной геометрии. Другой пример, представляющий большой интерес в дифференциальной геометрии , исходит от слоений многообразий. Это способы разбиения многообразия на подмногообразия меньшей размерности, называемые листьями , каждое из которых локально параллельно другим близлежащим. Множество всех листьев можно превратить в топологическое пространство. Однако пример иррационального вращения показывает, что это топологическое пространство может быть недоступно методам классической теории меры. Однако существует некоммутативная алгебра фон Неймана, связанная с листовым пространством слоения, и это снова дает в противном случае непонятному пространству хорошую геометрическую структуру.
Алгебраическая геометрия изучает геометрические свойства полиномиальных уравнений. Полиномы — это тип функции, определяемый с помощью основных арифметических операций сложения и умножения. Из-за этого они тесно связаны с алгеброй. Алгебраическая геометрия предлагает способ применения геометрических методов к вопросам чистой алгебры, и наоборот.
До 1940-х годов алгебраическая геометрия работала исключительно над комплексными числами, и наиболее фундаментальным многообразием было проективное пространство. Геометрия проективного пространства тесно связана с теорией перспективы , а ее алгебра описывается однородными многочленами . Все другие многообразия были определены как подмножества проективного пространства. Проективные многообразия были подмножествами, определяемыми набором однородных многочленов. В каждой точке проективного многообразия все многочлены в наборе должны были быть равны нулю. Дополнение нулевого множества линейного многочлена является аффинным пространством, а аффинное многообразие было пересечением проективного многообразия с аффинным пространством.
Андре Вейль увидел, что геометрические рассуждения иногда можно применять в ситуациях теории чисел, где рассматриваемые пространства могут быть дискретными или даже конечными. В погоне за этой идеей Вейль переписал основы алгебраической геометрии, освободив алгебраическую геометрию от ее зависимости от комплексных чисел и введя абстрактные алгебраические многообразия , которые не были вложены в проективное пространство. Теперь они просто называются многообразиями .
Тип пространства, лежащий в основе большинства современных алгебраических геометрий, является даже более общим, чем абстрактные алгебраические многообразия Вейля. Он был введен Александром Гротендиком и называется схемой . Одной из мотиваций теории схем является то, что многочлены необычно структурированы среди функций, и алгебраические многообразия, следовательно, являются жесткими. Это создает проблемы при попытке изучения вырожденных ситуаций. Например, почти любая пара точек на окружности определяет уникальную линию, называемую секущей, и по мере того, как две точки движутся по окружности, секущая линия непрерывно меняется. Однако, когда две точки сталкиваются, секущая линия вырождается в касательную линию. Касательная линия уникальна, но геометрия этой конфигурации — одной точки на окружности — недостаточно выразительна, чтобы определить уникальную линию. Изучение таких ситуаций требует теории, способной назначать дополнительные данные вырожденным ситуациям.
Одним из строительных блоков схемы является топологическое пространство. Топологические пространства имеют непрерывные функции, но непрерывные функции слишком общие, чтобы отражать основную алгебраическую структуру, представляющую интерес. Другим ингредиентом схемы, таким образом, является пучок в топологическом пространстве, называемый «структурным пучком». На каждом открытом подмножестве топологического пространства пучок определяет набор функций, называемых «регулярными функциями». Топологическое пространство и структурный пучок вместе должны удовлетворять условиям, которые означают, что функции происходят из алгебраических операций.
Подобно многообразиям, схемы определяются как пространства, которые локально моделируются на знакомом пространстве. В случае многообразий знакомым пространством является евклидово пространство. Для схемы локальные модели называются аффинными схемами . Аффинные схемы обеспечивают прямую связь между алгебраической геометрией и коммутативной алгеброй . Основными объектами изучения коммутативной алгебры являются коммутативные кольца . Если — коммутативное кольцо, то существует соответствующая аффинная схема , которая переводит алгебраическую структуру в геометрию. И наоборот, каждая аффинная схема определяет коммутативное кольцо, а именно кольцо глобальных сечений ее структурного пучка. Эти две операции взаимно обратны, поэтому аффинные схемы предоставляют новый язык для изучения вопросов коммутативной алгебры. По определению, каждая точка в схеме имеет открытую окрестность, которая является аффинной схемой.
Существует много схем, которые не являются аффинными. В частности, проективные пространства удовлетворяют условию, называемому правильностью , которое аналогично компактности. Аффинные схемы не могут быть правильными (за исключением тривиальных ситуаций, например, когда схема имеет только одну точку), и, следовательно, ни одно проективное пространство не является аффинной схемой (за исключением нульмерных проективных пространств). Проективные схемы, то есть те, которые возникают как замкнутые подсхемы проективного пространства, являются единственным наиболее важным семейством схем. [12]
Было введено несколько обобщений схем. Майкл Артин определил алгебраическое пространство как фактор схемы по отношениям эквивалентности , которые определяют этальные морфизмы . Алгебраические пространства сохраняют многие полезные свойства схем, одновременно являясь более гибкими. Например, теорему Киля–Мори можно использовать для того, чтобы показать, что многие пространства модулей являются алгебраическими пространствами.
Более общим, чем алгебраическое пространство, является стек Делиня–Мамфорда . Стеки DM похожи на схемы, но они допускают сингулярности, которые не могут быть описаны исключительно в терминах полиномов. Они играют ту же роль для схем, что и орбифолды для многообразий . Например, фактор аффинной плоскости по конечной группе вращений вокруг начала координат дает стек Делиня–Мамфорда, который не является схемой или алгебраическим пространством. Вдали от начала координат фактор по действию группы определяет конечные множества равноотстоящих точек на окружности. Но в начале координат окружность состоит только из одной точки, самого начала координат, и действие группы фиксирует эту точку. Однако в стеке фактора DM эта точка поставляется с дополнительными данными, поскольку является фактором. Этот вид утонченной структуры полезен в теории пространств модулей, и на самом деле он был первоначально введен для описания модулей алгебраических кривых .
Дальнейшее обобщение — алгебраические стеки , также называемые стеками Артина. Стеки DM ограничены факторами по действиям конечной группы. Хотя этого достаточно для многих задач теории модулей, для других это слишком ограничительно, и стеки Артина допускают более общие факторы.
В работе Гротендика о гипотезах Вейля он ввел новый тип топологии, который теперь называется топологией Гротендика . Топологическое пространство (в обычном смысле) аксиоматизирует понятие «близости», делая две точки близкими тогда и только тогда, когда они лежат во многих из тех же открытых множеств. Напротив, топология Гротендика аксиоматизирует понятие «покрытия». Покрытие пространства — это набор подпространств, которые совместно содержат всю информацию об окружающем пространстве. Поскольку пучки определяются в терминах покрытий, топологию Гротендика также можно рассматривать как аксиоматизацию теории пучков.
Работа Гротендика над топологиями привела его к теории топосов . В своих мемуарах Récoltes et Semailles он назвал их своей «самой обширной концепцией». [13] Пучок (либо в топологическом пространстве, либо относительно топологии Гротендика) используется для выражения локальных данных. Категория всех пучков несет в себе все возможные способы выражения локальных данных. Поскольку топологические пространства построены из точек, которые сами по себе являются своего рода локальными данными, категория пучков может поэтому использоваться в качестве замены исходного пространства. Гротендик впоследствии определил топос как категорию пучков и изучал топосы как объекты, представляющие интерес сами по себе. Теперь они называются топосами Гротендика .
Каждое топологическое пространство определяет топос, и наоборот. Существуют топологические пространства, где взятие связанного топоса теряет информацию, но они, как правило, считаются патологическими. (Необходимым и достаточным условием является то, чтобы топологическое пространство было трезвым пространством .) И наоборот, существуют топосы, связанные топологические пространства которых не захватывают исходный топос. Но, будучи далекими от патологических, эти топосы могут представлять большой математический интерес. Например, теория Гротендика этальных когомологий (которая в конечном итоге привела к доказательству гипотез Вейля) может быть сформулирована как когомологии в этальном топосе схемы, и этот топос не исходит из топологического пространства.
Топологические пространства на самом деле приводят к очень специальным топосам, называемым локалями . Множество открытых подмножеств топологического пространства определяет решетку . Аксиомы топологического пространства приводят к тому, что эти решетки являются полными алгебрами Гейтинга . Теория локалей берет это за отправную точку. Локаль определяется как полная алгебра Гейтинга, и элементарные свойства топологических пространств переформулируются и передоказываются в этих терминах. Концепция локали оказывается более общей, чем топологическое пространство, в том смысле, что каждое трезвомыслящее топологическое пространство определяет уникальную локаль, но многие интересные локали не происходят из топологических пространств. Поскольку локали не обязательно должны иметь точки, изучение локалей в шутку называют бесточечной топологией .
Topoi также демонстрируют глубокие связи с математической логикой. Каждый топос Гротендика имеет специальный пучок, называемый классификатором подобъектов. Этот классификатор подобъектов функционирует как множество всех возможных значений истинности. В топосе множеств классификатор подобъектов — это множество , соответствующее «Ложь» и «Истина». Но в других топосах классификатор подобъектов может быть гораздо сложнее. Ловер и Тирни признали, что аксиоматизация классификатора подобъектов дала более общий вид топоса, теперь известный как элементарный топос , и что элементарные топосы были моделями интуиционистской логики . Помимо предоставления мощного способа применения инструментов из логики в геометрию, это сделало возможным использование геометрических методов в логике.
По словам Кевина Арлина,
Тем не менее, общее определение «структуры» было предложено Бурбаки; [2] оно охватывает все типы пространств, упомянутых выше, (почти?) все типы математических структур, используемых до сих пор, и многое другое. Оно дает общее определение изоморфизма и обосновывает перенос свойств между изоморфными структурами. Однако оно никогда активно не использовалось в математической практике (даже в математических трактатах, написанных самим Бурбаки). Вот последние фразы из рецензии Роберта Рида [14] на книгу Лео Корри:
Более подробную информацию о математических структурах см. в Википедии: математическая структура , эквивалентные определения математических структур и перенос структуры .
Различие между геометрическими «пространствами» и алгебраическими «структурами» иногда ясно, иногда неуловимо. Очевидно, что группы являются алгебраическими, в то время как евклидовы пространства являются геометрическими. Модули над кольцами столь же алгебраичны, как и группы. В частности, когда кольцо кажется полем , модуль кажется линейным пространством ; является ли оно алгебраическим или геометрическим? В частности, когда оно конечномерно, над действительными числами и снабжено скалярным произведением , оно становится евклидовым пространством ; теперь геометрическим. (Алгебраическое?) поле действительных чисел совпадает с (геометрической?) действительной прямой . Его алгебраическое замыкание , (алгебраическое?) поле комплексных чисел , совпадает с (геометрической?) комплексной плоскостью . Это, прежде всего, «место, где мы проводим анализ » (а не алгебру или геометрию).
Каждое пространство, рассмотренное в разделе "Типы пространств" выше, за исключением подразделов "Некоммутативная геометрия", "Схемы" и "Топои", представляет собой множество ("главное базовое множество" структуры, согласно Бурбаки), наделенное некоторой дополнительной структурой; элементы базового множества обычно называются "точками" этого пространства. Напротив, элементы (базового множества) алгебраической структуры обычно не называются "точками".
Однако иногда используется более одного главного базового множества. Например, двумерная проективная геометрия может быть формализована с помощью двух базовых множеств , множества точек и множества линий. Более того, яркой особенностью проективных плоскостей является симметрия ролей, которые играют точки и линии . Менее геометрический пример: граф может быть формализован с помощью двух базовых множеств , множества вершин (называемых также узлами или точками) и множества ребер (называемых также дугами или линиями). Как правило, Бурбаки предусматривает конечное число главных базовых множеств и конечное число вспомогательных базовых множеств .
Многие математические структуры геометрического вкуса, рассмотренные в подразделах "Некоммутативная геометрия", "Схемы" и "Топои" выше, не предусматривают базовый набор точек. Например, " точечная топология " (другими словами, точечная топология, или теория локалей) начинается с одного базового набора, элементы которого имитируют открытые множества в топологическом пространстве (но не являются множествами точек); см. также мереотопология и точечная геометрия .
Эта статья была отправлена в WikiJournal of Science для внешнего академического рецензирования в 2017 году (отчеты рецензентов). Обновленный контент был повторно интегрирован в страницу Википедии по лицензии CC-BY-SA-3.0 ( 2018 ). Версия записи, на которой она была проверена: Борис Цирельсон ; и др. (1 июня 2018 г.). "Пространства в математике" (PDF) . WikiJournal of Science . 1 (1): 2. doi : 10.15347/WJS/2018.002 . ISSN 2470-6345. Wikidata Q55120290.
Медиа, связанные с Космосом (математика) на Wikimedia Commons
