stringtranslate.com

Великая теорема Ферма

В теории чисел Великая теорема Ферма (иногда называемая гипотезой Ферма , особенно в старых текстах) утверждает, что никакие три положительных целых числа a , b и c не удовлетворяют уравнению a n + b n = c n для любого целого значения n , большего 2. Случаи n = 1 и n = 2 известны со времен античности тем, что имеют бесконечно много решений. [1]

Предложение было впервые сформулировано как теорема Пьером де Ферма около 1637 года на полях копии «Арифметики» . Ферма добавил, что у него было доказательство, которое было слишком большим, чтобы поместиться на полях. Хотя другие утверждения, заявленные Ферма без доказательства, впоследствии были доказаны другими и признаны теоремами Ферма (например, теорема Ферма о суммах двух квадратов ), Великая теорема Ферма не поддавалась доказательству, что привело к сомнениям в том, что у Ферма когда-либо было правильное доказательство. Следовательно, предложение стало известно как гипотеза, а не теорема. После 358 лет усилий математиков первое успешное доказательство было представлено в 1994 году Эндрю Уайлсом и официально опубликовано в 1995 году. Оно было описано как «потрясающий прогресс» в цитате для присуждения Уайлсу премии Абеля в 2016 году. [2] Оно также доказало большую часть гипотезы Таниямы-Шимуры, впоследствии известной как теорема о модулярности , и открыло совершенно новые подходы к решению множества других проблем и математически мощные методы поднятия модулярности .

Нерешённая проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в 19 и 20 веках. Это одна из самых известных теорем в истории математики , и до её доказательства она была занесена в Книгу рекордов Гиннесса как «самая сложная математическая проблема», отчасти потому, что теорема имеет наибольшее количество неудачных доказательств. [3]

Обзор

Пифагорейское происхождение

Уравнение Пифагора , x 2 + y 2 = z 2 , имеет бесконечное число положительных целых решений для x , y , и z ; эти решения известны как пифагоровые тройки (самый простой пример — 3, 4, 5). Около 1637 года Ферма написал на полях книги, что более общее уравнение a n + b n = c n не имеет решений в положительных целых числах, если n — целое число, большее 2. Хотя он утверждал, что имеет общее доказательство своей гипотезы, Ферма не оставил никаких подробностей своего доказательства, и ни одно из них так и не было найдено. Его утверждение было обнаружено примерно 30 лет спустя, после его смерти. Это утверждение, которое стало известно как Великая теорема Ферма , оставалось нерешенным в течение следующих трех с половиной столетий. [4]

В конечном итоге это утверждение стало одной из самых заметных нерешенных проблем математики. Попытки доказать это вызвали существенное развитие теории чисел , и со временем Великая теорема Ферма приобрела известность как нерешенная проблема математики .

Последующие разработки и решения

Специальный случай n = 4 , доказанный самим Ферма, достаточен для того, чтобы установить, что если теорема ложна для некоторого показателя n, который не является простым числом , она также должна быть ложной для некоторого меньшего n , поэтому только простые значения n нуждаются в дальнейшем исследовании. [примечание 1] В течение следующих двух столетий (1637–1839) гипотеза была доказана только для простых чисел 3, 5 и 7, хотя Софи Жермен ввела новшества и доказала подход, который был актуален для целого класса простых чисел. В середине 19 века Эрнст Куммер расширил это и доказал теорему для всех регулярных простых чисел , оставив нерегулярные простые числа для индивидуального анализа. Основываясь на работе Куммера и используя сложные компьютерные исследования, другие математики смогли расширить доказательство, чтобы охватить все простые показатели до четырех миллионов, [5] но доказательство для всех показателей было недоступным (это означает, что математики обычно считали доказательство невозможным, чрезвычайно сложным или недостижимым с текущими знаниями). [6]

Отдельно, около 1955 года, японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма заподозрили, что может существовать связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами , двумя совершенно разными областями математики. Известная в то время как гипотеза Таниямы–Шимуры (в конечном итоге как теорема о модулярности), она существовала сама по себе, без какой-либо очевидной связи с Последней теоремой Ферма. Она широко рассматривалась как значимая и важная сама по себе, но (как и теорема Ферма) широко считалась совершенно недоступной для доказательства. [7]

В 1984 году Герхард Фрей заметил очевидную связь между этими двумя ранее не связанными и нерешенными проблемами. Фрей дал схему, предполагающую, что это может быть доказано. Полное доказательство того, что две проблемы тесно связаны, было выполнено в 1986 году Кеном Рибетом , основанное на частичном доказательстве Жан-Пьера Серра , который доказал все, кроме одной части, известной как «гипотеза эпсилон» (см.: Теорема Рибета и кривая Фрея ). [2] Эти статьи Фрея, Серра и Рибета показали, что если гипотеза Таниямы–Шимуры может быть доказана по крайней мере для полустабильного класса эллиптических кривых, доказательство Великой теоремы Ферма также последует автоматически. Связь описана ниже: любое решение, которое может противоречить Великой теореме Ферма, может также использоваться для опровержения гипотезы Таниямы–Шимуры. Таким образом, если теорема о модулярности окажется верной, то по определению не может существовать решения, противоречащего Великой теореме Ферма, а это значит, что Великая теорема Ферма также должна быть верной.

Хотя обе проблемы были пугающими и широко считались «совершенно недоступными» для доказательства в то время, [2] это было первое предложение пути, по которому Великая теорема Ферма могла быть расширена и доказана для всех чисел, а не только для некоторых. В отличие от Великой теоремы Ферма, гипотеза Таниямы–Шимуры была основной активной областью исследований и рассматривалась как более доступная современной математике. [8] Однако общее мнение состояло в том, что это просто показало непрактичность доказательства гипотезы Таниямы–Шимуры. [9] Процитированная реакция математика Джона Коутса была распространенной: [9]

Я сам был очень скептически настроен относительно того, что прекрасная связь между Последней теоремой Ферма и гипотезой Таниямы–Шимуры действительно приведет к чему-либо, потому что, должен признаться, я не думал, что гипотеза Таниямы–Шимуры доступна доказательству. Хотя эта задача была прекрасна, ее, казалось, невозможно было доказать на самом деле. Должен признаться, я думал, что, вероятно, не увижу ее доказательства при своей жизни.

Услышав, что Рибет доказал правильность связи Фрея, английский математик Эндрю Уайлс , который с детства увлекался Великой теоремой Ферма и имел опыт работы с эллиптическими кривыми и смежными областями, решил попытаться доказать гипотезу Таниямы–Шимуры как способ доказать Великую теорему Ферма. В 1993 году, после шести лет тайной работы над проблемой, Уайлсу удалось доказать достаточно гипотезы, чтобы доказать Великую теорему Ферма. Статья Уайлса была огромной по размеру и охвату. В одной части его оригинальной статьи во время рецензирования был обнаружен недостаток , для устранения которого потребовался еще год и сотрудничество с бывшим студентом Ричардом Тейлором . В результате окончательное доказательство в 1995 году сопровождалось меньшей совместной статьей, показывающей, что фиксированные шаги были действительными. Достижение Уайлса широко освещалось в популярной прессе и было популяризировано в книгах и телевизионных программах. Оставшиеся части гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля, теперь доказанные и известные как теорема о модулярности, были впоследствии доказаны другими математиками, которые основывались на работе Уайлса в период с 1996 по 2001 год. [10] [11] [12] За свое доказательство Уайлс был удостоен чести и получил множество наград, включая премию Абеля 2016 года . [13] [14] [15]

Эквивалентные утверждения теоремы

Существует несколько альтернативных способов сформулировать Великую теорему Ферма, которые математически эквивалентны первоначальной постановке задачи.

Чтобы сформулировать их, мы используем следующие обозначения: пусть N будет множеством натуральных чисел 1, 2, 3, ..., пусть Z будет множеством целых чисел 0, ±1, ±2, ..., и пусть Q будет множеством рациональных чисел a / b , где a и b находятся в Z с b ≠ 0. В дальнейшем мы будем называть решение для x n + y n = z n, где один или более из x , y , или z равны нулю, тривиальным решением . Решение, где все три отличны от нуля, будет называться нетривиальным решением.

Для сравнения начнем с оригинальной формулировки.

Наиболее популярные трактовки предмета излагают это таким образом. Это также обычно утверждается над Z : [16]

Эквивалентность очевидна, если n четное. Если n нечетное и все три из x , y , z отрицательные, то мы можем заменить x , y , z на − x , − y , − z , чтобы получить решение в N . Если два из них отрицательные, это должны быть x и z или y и z . Если x , z отрицательные, а y положительный, то мы можем переставить, чтобы получить (− z ) n + y n = (− x ) n , что приведет к решению в N ; другой случай рассматривается аналогично. Теперь, если только один из них отрицательный, это должен быть x или y . Если x отрицательный, а y и z положительны, то его можно переставить, чтобы получить (− x ) n + z n = y n снова , что приведет к решению в N ; если y отрицательный, результат получается симметрично. Таким образом, во всех случаях нетривиальное решение в Z также будет означать, что решение существует в N , исходной формулировке задачи.

Это происходит потому, что показатели степеней x , y и z равны ( n ), поэтому , если есть решение в Q , то его можно умножить на соответствующий общий знаменатель, чтобы получить решение в Z , а значит, и в N.

Нетривиальное решение a , b , c ∈ Z для x n + y n = z n дает нетривиальное решение a / c , b / c ∈ Q для v n + w n = 1. Обратно, решение a / b , c / d ∈ Q для v n + w n = 1 дает нетривиальное решение ad , cb , bd для x n + y n = z n .

Эта последняя формулировка особенно плодотворна, поскольку она сводит задачу из задачи о поверхностях в трех измерениях к задаче о кривых в двух измерениях. Кроме того, она позволяет работать над полем Q , а не над кольцом Z ; поля демонстрируют большую структуру, чем кольца , что позволяет проводить более глубокий анализ их элементов.

Исследование этой эллиптической кривой с помощью теоремы Рибета показывает, что она не имеет модулярной формы . Однако доказательство Эндрю Уайлса доказывает, что любое уравнение вида y 2 = x ( x − a n )( x + b n ) имеет модулярную форму. Любое нетривиальное решение x p + y p = z p (где p — нечетное простое число) создало бы противоречие , что в свою очередь доказывает, что нетривиальных решений не существует. [18]

Другими словами, любое решение, которое может противоречить Великой теореме Ферма, может быть использовано и для противоречия теореме о модулярности. Таким образом, если бы теорема о модулярности была признана истинной, то из этого следовало бы, что противоречия Великой теореме Ферма также не может быть. Как описано выше, открытие этого эквивалентного утверждения имело решающее значение для окончательного решения Великой теоремы Ферма, поскольку оно давало средство, с помощью которого ее можно было «атаковать» для всех чисел одновременно.

История математики

Пифагор и Диофант

Пифагоровы тройки

В древние времена было известно, что треугольник, стороны которого находятся в соотношении 3:4:5, будет иметь прямой угол в качестве одного из своих углов. Это использовалось в строительстве и позже в ранней геометрии. Также было известно, что это один из примеров общего правила, что любой треугольник, где длина двух сторон, каждая из которых квадратирована и затем сложена вместе (3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25) , равна квадрату длины третьей стороны (5 2 = 25) , также будет прямоугольным треугольником. Теперь это известно как теорема Пифагора , а тройка чисел, которая удовлетворяет этому условию, называется пифагорейской тройкой; обе названы в честь древнегреческого Пифагора . Примерами являются (3, 4, 5) и (5, 12, 13). Существует бесконечно много таких троек [19] , и методы их создания изучались во многих культурах, начиная с вавилонян [20] и позднее древнегреческих , китайских и индийских математиков. [1] Математически определение пифагорейской тройки — это набор из трех целых чисел ( a , b , c ) , которые удовлетворяют уравнению [ 21 ] a2 + b2 = c2 .

Диофантовы уравнения

Уравнение Ферма, x n + y n = z n с положительными целыми решениями, является примером диофантова уравнения , [22] названного в честь александрийского математика 3-го века Диофанта , который изучал их и разработал методы решения некоторых видов диофантовых уравнений. Типичная диофантова задача состоит в том, чтобы найти два целых числа x и y, такие, что их сумма и сумма их квадратов равны двум заданным числам A и B соответственно:

Главным трудом Диофанта является «Арифметика» , от которой сохранилась лишь часть. [23] Предположение Ферма о его Великой теореме возникло во время чтения нового издания «Арифметики » , [24] которое было переведено на латынь и опубликовано в 1621 году Клодом Баше . [25] [26]

Диофантовы уравнения изучаются уже тысячи лет. Например, решения квадратного диофантова уравнения x 2 + y 2 = z 2 даются пифагорейскими тройками , первоначально решенными вавилонянами ( ок.  1800 г. до н. э. ). [27] Решения линейных диофантовых уравнений, таких как 26 x + 65 y = 13 , могут быть найдены с помощью алгоритма Евклида (ок. 5 в. до н. э.). [28] Многие диофантовы уравнения имеют форму, похожую на уравнение Великой теоремы Ферма с точки зрения алгебры, в том смысле, что они не имеют перекрестных членов, смешивающих две буквы, без совместного использования его особых свойств. Например, известно, что существует бесконечно много положительных целых чисел x , y , и z таких, что x n + y n = z m , где n и m — взаимно простые натуральные числа. [примечание 2]

Гипотеза Ферма

Задача II.8 в издании « Арифметики» Диофанта 1621 года . Справа — поля, которые были слишком малы, чтобы вместить предполагаемое доказательство Ферма его «последней теоремы».

Задача II.8 из «Арифметики» спрашивает, как данное квадратное число разбивается на два других квадрата; другими словами, для данного рационального числа k найти рациональные числа u и v такие, что k 2 = u 2 + v 2 . Диофант показывает, как решить эту задачу суммы квадратов для k = 4 (решения: u = 16/5 и v = 12/5 ). [29]

Около 1637 года Ферма написал свою Последнюю теорему на полях своего экземпляра «Арифметики» рядом с задачей Диофанта о сумме квадратов : [30] [31] [32]

После смерти Ферма в 1665 году его сын Клеман-Самуэль Ферма выпустил новое издание книги (1670), дополненное комментариями отца. [35] Хотя в то время это не было теоремой (то есть математическим утверждением, для которого существует доказательство ), со временем эта заметка на полях стала известна как Последняя теорема Ферма , [30] поскольку это была последняя из утвержденных теорем Ферма, которая осталась недоказанной. [36] [37]

Неизвестно, нашел ли Ферма действительное доказательство для всех показателей n , но это кажется маловероятным. Сохранилось только одно связанное с ним доказательство, а именно для случая n = 4 , как описано в разделе § Доказательства для конкретных показателей.

В то время как Ферма ставил случаи n = 4 и n = 3 в качестве вызовов своим математическим корреспондентам, таким как Марен Мерсенн , Блез Паскаль и Джон Уоллис , [38] он никогда не ставил общий случай. [39] Более того, за последние тридцать лет своей жизни Ферма больше никогда не писал о своем «поистине чудесном доказательстве» общего случая и никогда не публиковал его. Ван дер Поортен [39] предполагает, что, хотя отсутствие доказательства незначительно, отсутствие вызовов означает, что Ферма понял, что у него нет доказательства; он цитирует Вейля [40] , который говорит, что Ферма, должно быть, на короткое время обманул себя непоправимой идеей. Методы, которые Ферма мог использовать в таком «чудесном доказательстве», неизвестны.

Доказательство Уайлса и Тейлора опирается на методы 20-го века. [41] Доказательство Ферма должно было бы быть элементарным по сравнению с этим, учитывая математические знания его времени.

Хотя великая гипотеза Харви Фридмана подразумевает , что любая доказуемая теорема (включая последнюю теорему Ферма) может быть доказана с использованием только « элементарной арифметики функций », такое доказательство должно быть «элементарным» только в техническом смысле и может включать миллионы шагов, а значит, быть слишком длинным, чтобы быть доказательством Ферма.

Доказательства для конкретных показателей

Бесконечный спуск Ферма для случая Великой теоремы Ферма n=4 в издании « Арифметики» Диофанта 1670 года (стр. 338–339).

Показатель степени = 4

Сохранилось только одно соответствующее доказательство Ферма , в котором он использует технику бесконечного спуска , чтобы показать, что площадь прямоугольного треугольника с целыми сторонами никогда не может быть равна квадрату целого числа. [42] [43] [44] Его доказательство эквивалентно демонстрации того, что уравнение

не имеет примитивных решений в целых числах (нет попарно взаимно простых решений). В свою очередь, это доказывает Великую теорему Ферма для случая n = 4 , поскольку уравнение a 4 + b 4 = c 4 можно записать как c 4 − b 4 = ( a 2 ) 2 .

Альтернативные доказательства случая n = 4 были развиты позже [45] Френиклем де Бесси (1676 г.), [46] Леонардом Эйлером (1738 г.), [47] Кауслером (1802 г.), [48] Питером Барлоу (1811 г.), [49 ] ] Адриен-Мари Лежандр (1830), [50] Шопис (1825), [51] Олри Теркем (1846), [52] Жозеф Бертран (1851), [53] Виктор Лебег (1853, 1859, 1862), [54] Теофиль Пепен (1883), [55] Тафельмахер (1893), [56] Давид Гильберт (1897) ), [57] Бендз (1901), [58] Гамбиоли (1901), [59] Леопольд Кронекер (1901), [60] Банг (1905), [61] Зоммер (1907), [62] Боттари (1908), [63] Карел Рыхлик (1910), [64] Нуцхорн (1912), [65] Роберт Кармайкл (1913), [66] Хэнкок (1931), [67] Георге Вранчану (1966), [68] Грант и Перелла (1999), [69] Барбара (2007), [70] и Долан (2011). [71]

Другие экспоненты

После того, как Ферма доказал особый случай n = 4 , общее доказательство для всех n требовало только того, чтобы теорема была установлена ​​для всех нечетных простых показателей. [72] Другими словами, необходимо было доказать только то, что уравнение a n + b n = c n не имеет положительных целых решений ( a , b , c ), когда n — нечетное простое число . Это следует из того, что решение ( a , b , c ) для данного n эквивалентно решению для всех множителей n . Для иллюстрации пусть n будет разложено на d и e , n  =  de . Общее уравнение

а н + б н = с н

подразумевает, что ( a d , b d , c d ) является решением для показателя степени e

( а г ) е + ( б г ) е = ( в г ) е .

Таким образом, чтобы доказать, что уравнение Ферма не имеет решений для n > 2 , достаточно доказать, что оно не имеет решений хотя бы для одного простого множителя каждого n . Каждое целое число n > 2 делится на 4 или на нечетное простое число (или на оба). Следовательно, Великая теорема Ферма может быть доказана для всех n, если ее можно доказать для n = 4 и для всех нечетных простых чисел p .

В течение двух столетий после своей гипотезы (1637–1839) Великая теорема Ферма была доказана для трех нечетных простых показателей p  = 3, 5 и 7. Случай p = 3 впервые был сформулирован Абу-Махмудом Ходжанди (X век), но его попытка доказательства теоремы была неверной. [73] [74] В 1770 году Леонард Эйлер дал доказательство p  = 3, [75] но его доказательство методом бесконечного спуска [76] содержало большой пробел. [77] [78] [ 79] Однако, поскольку сам Эйлер доказал лемму, необходимую для завершения доказательства, в другой работе, ему обычно приписывают первое доказательство. [44] [80] [81] Независимые доказательства были опубликованы [82] Кауслером (1802 г.), [48] Лежандром (1823, 1830 г.), [50] [83] Кальцолари (1855 г.), [84] Габриэлем Ламе (1865 г.), [85] Питером Гатри Тейтом (1872 г.), [86] Зигмундом Гюнтером (1878 г.), [87] Гамбиоли (1901), [59] Крей (1909), [88] Рыхлик (1910), [64] Штокхаус (1910), [89] Кармайкл (1915), [90] Йоханнес ван дер Корпут (1915), [91] Аксель Туэ (1917), [92] и Дуарте (1944). [93]

Случай p = 5 был независимо доказан [94] Лежандром и Питером Густавом Леженом Дирихле около 1825 года. [95] [96] [44] [97] Альтернативные доказательства были разработаны [98] Карлом Фридрихом Гауссом (1875, посмертно), [99] Лебег (1843 г.), [100] Ламе (1847 г.), [101] Гамбиоли (1901), [59] [102] Веребрузов (1905), [103] [ нужна полная цитата ] Рыхлик (1910), [104] [ сомнительно – обсудить ] [ нужна полная цитата ] ван дер Корпут (1915), [91 ] и Гай Терджанян (1987). [105]

Случай p = 7 был доказан [106] [107] [44] [97] Ламе в 1839 году. [108] Его довольно сложное доказательство было упрощено в 1840 году Лебегом, [109] а еще более простые доказательства [110] были опубликованы Анджело Дженокки в 1864, 1874 и 1876 годах. [111] Альтернативные доказательства были разработаны Теофилем Пепеном (1876) [112] и Эдмоном Майе (1897). [113]

Великая теорема Ферма была также доказана для показателей n  = 6, 10 и 14. Доказательства для n = 6 были опубликованы Кауслером [48] , Туэ [114] , Тафельмахером [115] , Линдом [116] , Капферером [117 ] , Свифтом [118] и Бреушем [119] . Аналогично Дирихле [120] и Терджанян [121] каждый доказал случай n  = 14, в то время как Капферер [117] и Бреуш [119] каждый доказал случай n  = 10. Строго говоря, эти доказательства не нужны, поскольку эти случаи следуют из доказательств для n  = 3, 5 и 7 соответственно. Тем не менее, рассуждения этих доказательств для четных показателей отличаются от их аналогов для нечетных показателей. Доказательство Дирихле для n  = 14 было опубликовано в 1832 году, до доказательства Ламе 1839 года для n = 7. [ 122]

Все доказательства для конкретных показателей использовали технику бесконечного спуска Ферма [ требуется ссылка ] либо в ее первоначальной форме, либо в форме спуска по эллиптическим кривым или абелевым многообразиям. Детали и вспомогательные аргументы, однако, часто были ad hoc и привязаны к отдельному рассматриваемому показателю. [123] Поскольку они становились все более сложными по мере увеличения p , казалось маловероятным, что общий случай Великой теоремы Ферма может быть доказан путем построения доказательств для отдельных показателей. [123] Хотя некоторые общие результаты по Великой теореме Ферма были опубликованы в начале 19 века Нильсом Хенриком Абелем и Питером Барлоу , [124] [125] первая значительная работа по общей теореме была проделана Софи Жермен . [126]

Ранние современные прорывы

Софи Жермен

В начале 19 века Софи Жермен разработала несколько новых подходов к доказательству Великой теоремы Ферма для всех показателей. [127] Во-первых, она определила множество вспомогательных простых чисел θ , построенных из простого показателя степени p с помощью уравнения θ = 2hp + 1 , где h — любое целое число, не делящееся на три. Она показала, что если ни одно целое число, возведенное в p- ю степень, не является смежным по модулю θ ( условие непоследовательности ), то θ должно делить произведение xyz . Ее целью было использовать математическую индукцию, чтобы доказать, что для любого заданного p бесконечно много вспомогательных простых чисел θ удовлетворяют условию непоследовательности и, таким образом, делят xyz ; поскольку произведение xyz может иметь не более конечного числа простых множителей, такое доказательство установило бы Великую теорему Ферма. Хотя она разработала множество методов для установления условия непоследовательности, ей не удалось достичь своей стратегической цели. Она также работала над установлением нижних пределов размера решений уравнения Ферма для заданного показателя p , модифицированная версия которого была опубликована Адриеном-Мари Лежандром . В качестве побочного продукта этой последней работы она доказала теорему Софи Жермен , которая подтвердила первый случай Великой теоремы Ферма (а именно случай, в котором p не делит xyz ) для каждого нечетного простого показателя степени, меньшего 270, [127] [128] и для всех простых чисел p таких, что по крайней мере одно из 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 и 16 p + 1 является простым (в частности, простые числа p такие, что 2 p + 1 является простым, называются простыми числами Софи Жермен ). Жермен безуспешно пытался доказать первый случай Великой теоремы Ферма для всех четных показателей, в частности для n = 2 p , что было доказано Гаем Терджаняном в 1977 году. [129] В 1985 году Леонард Адлеман , Роджер Хит-Браун и Этьен Фувридоказал, что первый случай Великой теоремы Ферма справедлив для бесконечного числа нечетных простых чисел p . [130]

Эрнст Куммер и теория идеалов

В 1847 году Габриэль Ламе изложил доказательство Великой теоремы Ферма, основанное на факторизации уравнения x p + y p = z p в комплексных числах , в частности, циклотомического поля, основанного на корнях числа 1. Однако его доказательство не удалось, поскольку оно неверно предполагало, что такие комплексные числа могут быть однозначно разложены на простые множители, подобно целым числам. На этот пробел сразу же указал Жозеф Лиувилль , который позже прочитал статью, демонстрирующую эту неудачу однозначной факторизации, написанную Эрнстом Куммером .

Куммер поставил перед собой задачу определить, можно ли обобщить циклотомическое поле , включив в него новые простые числа, так чтобы была восстановлена ​​уникальная факторизация. Он преуспел в этой задаче, разработав идеальные числа .

(Часто утверждается, что Куммер пришел к своим «идеальным комплексным числам» из-за своего интереса к Великой теореме Ферма; даже часто рассказывают историю о том, что Куммер, как и Ламе , считал, что доказал Великую теорему Ферма, пока Лежен Дирихле не сказал ему, что его аргумент основан на уникальной факторизации; но эта история была впервые рассказана Куртом Гензелем в 1910 году, и доказательства указывают на то, что она, вероятно, возникла из-за путаницы одного из источников Гензеля. Гарольд Эдвардс сказал, что убеждение, что Куммер был в основном заинтересован в Великой теореме Ферма, «безусловно ошибочно». [131] См. историю идеальных чисел .)

Используя общий подход, изложенный Ламе, Куммер доказал оба случая Великой теоремы Ферма для всех регулярных простых чисел . Однако он не смог доказать теорему для исключительных простых чисел (нерегулярных простых чисел), которые предположительно встречаются примерно в 39% случаев ; единственными нерегулярными простыми числами ниже 270 являются 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 и 263.

гипотеза Морделла

В 1920-х годах Луис Морделл выдвинул гипотезу, которая подразумевала, что уравнение Ферма имеет не более конечного числа нетривиальных примитивных целочисленных решений, если показатель степени n больше двух. [132] [133] Эта гипотеза была доказана в 1983 году Гердом Фалтингсом [134] и теперь известна как теорема Фалтингса .

Вычислительные исследования

Во второй половине 20-го века вычислительные методы были использованы для расширения подхода Куммера к нерегулярным простым числам. В 1954 году Гарри Вандивер использовал компьютер SWAC, чтобы доказать Великую теорему Ферма для всех простых чисел до 2521. [135] К 1978 году Сэмюэл Вагстафф распространил это на все простые числа, меньшие 125 000. [136] К 1993 году Великая теорема Ферма была доказана для всех простых чисел, меньших четырех миллионов. [5]

Однако, несмотря на эти усилия и их результаты, не существовало никаких доказательств Великой теоремы Ферма. Доказательства отдельных показателей по своей природе никогда не могли доказать общий случай: даже если бы все показатели были проверены до чрезвычайно большого числа X, более высокий показатель за пределами X все еще мог бы существовать, для которого утверждение было бы неверным. (Это имело место в случае с некоторыми другими прошлыми гипотезами, такими как число Скьюза , и это не могло быть исключено в этой гипотезе.)

Связь с эллиптическими кривыми

Стратегия, которая в конечном итоге привела к успешному доказательству Великой теоремы Ферма, возникла из «поразительной» [137] : 211  гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля , предложенной около 1955 года, которую многие математики считали почти невозможно доказать, [137] : 223  и которая была связана в 1980-х годах Герхардом Фреем , Жан-Пьером Серром и Кеном Рибетом с уравнением Ферма. Выполнив частичное доказательство этой гипотезы в 1994 году, Эндрю Уайлс в конечном итоге преуспел в доказательстве Великой теоремы Ферма, а также проложил путь к полному доказательству другими того, что сейчас известно как теорема о модулярности .

Гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля

Около 1955 года японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма обнаружили возможную связь между двумя, казалось бы, совершенно разными ветвями математики, эллиптическими кривыми и модулярными формами . Полученная теорема о модулярности (в то время известная как гипотеза Таниямы–Шимуры) утверждает, что каждая эллиптическая кривая является модулярной , что означает, что ей может быть сопоставлена ​​уникальная модулярная форма .

Первоначально эта связь была отклонена как маловероятная или весьма спекулятивная, но была воспринята более серьезно, когда специалист по теории чисел Андре Вейль нашел доказательства, подтверждающие ее, хотя и не доказывающие ее; в результате гипотеза стала часто известна как гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля. [137] : 211–215 

Даже после того, как гипотеза привлекла к себе серьезное внимание, современные математики считали ее чрезвычайно сложной или, возможно, недоступной для доказательства. [137] : 203–205, 223, 226  Например, научный руководитель Уайлса Джон Коутс утверждает, что ее «фактически невозможно доказать» [137] : 226  , а Кен Рибет считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые считали [ее] совершенно недоступной», добавляя, что «Эндрю Уайлс, вероятно, был одним из немногих людей на земле, у которых хватило наглости мечтать о том, что можно действительно пойти и доказать [ее]» [137] : 223 

Теорема Рибета для кривых Фрея

В 1984 году Герхард Фрей заметил связь между уравнением Ферма и теоремой о модулярности, тогда еще гипотезой. Если бы уравнение Ферма имело какое-либо решение ( a , b , c ) для показателя p > 2 , то можно было бы показать, что полустабильная эллиптическая кривая (теперь известная как кривая Фрея-Хеллегоуарха [примечание 3] )

у 2 = х ( х − а п )( х + б п )

будет иметь такие необычные свойства, что вряд ли будет модулярным. [138] Это будет противоречить теореме о модулярности, которая утверждает, что все эллиптические кривые являются модулярными. Таким образом, Фрей заметил, что доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля может также одновременно доказать Великую теорему Ферма. [139] [140] По принципу контрапозиции , опровержение или опровержение Великой теоремы Ферма опровергнет гипотезу Таниямы–Шимуры–Вейля.

Проще говоря, Фрей показал, что если эта интуиция относительно его уравнения верна, то любой набор из четырех чисел ( a , b , c , n ), способный опровергнуть Великую теорему Ферма, может быть использован и для опровержения гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля. Следовательно, если последнее было верным, первое не могло быть опровергнуто и также должно было быть верным.

Следуя этой стратегии, доказательство Великой теоремы Ферма требовало двух шагов. Во-первых, необходимо было доказать теорему о модулярности или, по крайней мере, доказать ее для типов эллиптических кривых, которые включали уравнение Фрея (известные как полустабильные эллиптические кривые ). Это широко считалось недоступным для доказательства современными математиками. [137] : 203–205, 223, 226  Во-вторых, необходимо было показать, что интуиция Фрея была верной: если эллиптическая кривая была построена таким образом, используя набор чисел, которые были решением уравнения Ферма, то полученная эллиптическая кривая не могла быть модулярной. Фрей показал, что это было правдоподобно, но не зашел так далеко, чтобы дать полное доказательство. Недостающая часть (так называемая « гипотеза эпсилон », теперь известная как теорема Рибета ) была обнаружена Жан-Пьером Серром , который также дал почти полное доказательство, а связь, предложенная Фреем, была окончательно доказана в 1986 году Кеном Рибетом . [141]

Согласно работам Фрея, Серра и Рибета, ситуация выглядела следующим образом:

Общее доказательство Уайлса

Британский математик Эндрю Уайлс

Доказательство Рибетом гипотезы эпсилон в 1986 году достигло первой из двух целей, предложенных Фреем. Услышав об успехе Рибета, Эндрю Уайлс , английский математик, с детства увлеченный Великой теоремой Ферма и работавший над эллиптическими кривыми, решил посвятить себя выполнению второй половины: доказательству особого случая теоремы о модулярности (тогда известной как гипотеза Таниямы–Шимуры) для полустабильных эллиптических кривых. [142] [143]

Уайлс работал над этой задачей в течение шести лет в условиях почти полной секретности, скрывая свои усилия, публикуя предыдущие работы небольшими фрагментами в качестве отдельных статей и доверяя их только своей жене. [137] : 229–230  Его первоначальное исследование предполагало доказательство по индукции , [137] : 230–232, 249–252  и он основывал свою первоначальную работу и первый значительный прорыв на теории Галуа [137] : 251–253, 259  прежде чем переключиться на попытку расширить горизонтальную теорию Ивасавы для индуктивного аргумента около 1990–91 годов, когда казалось, что не существует адекватного подхода к проблеме. [137] : 258–259  Однако к середине 1991 года теория Ивасавы, как казалось, также не достигала центральных вопросов в проблеме. [137] : 259–260  [144] [145] В ответ он обратился к коллегам, чтобы найти какие-либо намеки на передовые исследования и новые методы, и обнаружил систему Эйлера, недавно разработанную Виктором Колывагиным и Маттиасом Флахом, которая, казалось, была «сделана специально» для индуктивной части его доказательства. [137] : 260–261  Уайлс изучил и расширил этот подход, который сработал. Поскольку его работа широко опиралась на этот подход, который был новым для математики и для Уайлса, в январе 1993 года он попросил своего коллегу из Принстона Ника Каца помочь ему проверить его рассуждения на наличие тонких ошибок. В то время они пришли к выводу, что методы, которые использовал Уайлс, по-видимому, работали правильно. [137] : 261–265  [146] [147]

К середине мая 1993 года Уайлс был готов сказать своей жене, что, по его мнению, он решил доказательство Великой теоремы Ферма, [137] : 265  и к июню он почувствовал себя достаточно уверенно, чтобы представить свои результаты в трех лекциях, прочитанных 21–23 июня 1993 года в Институте математических наук Исаака Ньютона . [148] [149] В частности, Уайлс представил свое доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры для полустабильных эллиптических кривых; вместе с доказательством Рибета гипотезы эпсилон это подразумевало Великую теорему Ферма. Однако во время рецензирования стало очевидно , что критическая точка в доказательстве была неверной. Оно содержало ошибку в оценке порядка конкретной группы . Ошибка была обнаружена несколькими математиками, рецензирующими рукопись Уайлса, включая Каца (в его роли рецензента) [150] , который предупредил Уайлса 23 августа 1993 года. [151]

Ошибка не сделала бы его работу бесполезной: каждая часть работы Уайлса была весьма значимой и новаторской сама по себе, как и многие разработки и методы, которые он создал в ходе своей работы, и только одна часть была затронута. [137] : 289, 296–297  Однако без этой доказанной части не было фактического доказательства Великой теоремы Ферма. Уайлс провел почти год, пытаясь исправить свое доказательство, сначала самостоятельно, а затем в сотрудничестве со своим бывшим студентом Ричардом Тейлором , но безуспешно. [152] [153] [154] К концу 1993 года распространились слухи, что при пристальном рассмотрении доказательство Уайлса потерпело неудачу, но насколько серьезно, было неизвестно. Математики начали оказывать давление на Уайлса, чтобы тот раскрыл свою работу, была ли она полной или нет, чтобы более широкое сообщество могло исследовать и использовать то, чего ему удалось достичь. Но вместо того, чтобы быть исправленным, проблема, которая изначально казалась незначительной, теперь казалась очень значительной, гораздо более серьезной и менее простой для решения. [155]

Уайлс утверждает, что утром 19 сентября 1994 года он был на грани сдачи и почти смирился с тем, что потерпел неудачу, и опубликовал свою работу, чтобы другие могли ее развить и исправить ошибку. Он добавляет, что он в последний раз пытался понять фундаментальные причины, по которым его подход не мог работать, когда у него внезапно возникло озарение: конкретная причина, по которой подход Колывагина-Флаха не работал напрямую, также означала, что его первоначальные попытки с использованием теории Ивасавы могли бы работать, если бы он усилил ее, используя свой опыт, полученный в подходе Колывагина-Флаха. Исправление одного подхода с помощью инструментов из другого подхода решило бы проблему для всех случаев, которые еще не были доказаны его рецензируемой статьей. [152] [156] Позже он описал, что теория Ивасавы и подход Колывагина-Флаха были неадекватны каждый по отдельности, но вместе они могли бы стать достаточно мощными, чтобы преодолеть это последнее препятствие. [152]

Я сидел за своим столом и изучал метод Колывагина-Флаха. Не то чтобы я верил, что смогу заставить его работать, но я думал, что, по крайней мере, смогу объяснить, почему он не работает. Внезапно у меня было это невероятное откровение. Я понял, что метод Колывагина-Флаха не работает, но это было все, что мне было нужно, чтобы заставить работать мою первоначальную теорию Ивасавы трехлетней давности. Так из пепла Колывагина-Флаха, казалось, возникло истинное решение проблемы. Это было так неописуемо прекрасно; это было так просто и так элегантно. Я не мог понять, как я его пропустил, и просто смотрел на него в недоумении в течение двадцати минут. Затем в течение дня я ходил по отделу и все время возвращался к своему столу, чтобы посмотреть, там ли он еще. Он все еще был там. Я не мог сдержать себя, я был так взволнован. Это был самый важный момент в моей рабочей жизни. Ничто из того, что я когда-либо сделаю снова, не будет значить так много.

—  Эндрю Уайлс, цитируемый Саймоном Сингхом [157]

24 октября 1994 года Уайлс представил две рукописи: «Модулярные эллиптические кривые и Последняя теорема Ферма» [158] [159] и «Теоретические свойства колец некоторых алгебр Гекке» [160], вторая из которых была написана в соавторстве с Тейлором и доказала, что были выполнены определенные условия, необходимые для обоснования исправленного шага в основной статье. Две статьи были проверены и опубликованы в полном объеме в выпуске Annals of Mathematics за май 1995 года . Метод доказательства идентификации кольца деформации с алгеброй Гекке (теперь называемый теоремой R=T ) для доказательства теорем о подъеме модулярности стал влиятельным достижением в алгебраической теории чисел .

В этих работах была установлена ​​теорема модулярности для полустабильных эллиптических кривых — последний шаг в доказательстве Великой теоремы Ферма, спустя 358 лет после ее выдвижения.

Последующие события

Полная гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля была окончательно доказана Даймондом (1996), [10] Конрадом и др. (1999), [11] и Брейлем и др. (2001) [12], которые, опираясь на работу Уайлса, постепенно откалывали оставшиеся случаи, пока не был доказан полный результат. Теперь полностью доказанная гипотеза стала известна как теорема о модулярности .

Несколько других теорем в теории чисел, похожих на Великую теорему Ферма, также следуют из тех же рассуждений, используя теорему о модулярности. Например: никакой куб не может быть записан в виде суммы двух взаимно простых n- х степеней, n ≥ 3. (Случай n = 3 был известен еще Эйлеру .)

Связь с другими проблемами и обобщениями

Великая теорема Ферма рассматривает решения уравнения Ферма: a n + b n = c n с положительными целыми числами a , b и c и целым числом n больше 2. Существует несколько обобщений уравнения Ферма до более общих уравнений, которые позволяют показателю степени n быть отрицательным целым числом или рациональным числом или рассматривать три различных показателя степени.

Обобщенное уравнение Ферма

Обобщенное уравнение Ферма обобщает утверждение последней теоремы Ферма, рассматривая положительные целые решения a , b , c , m , n , k, удовлетворяющие [161]

В частности, показатели степеней m , n , k не обязательно должны быть равны, тогда как последняя теорема Ферма рассматривает случай m = n = k .

Гипотеза Била , также известная как гипотеза Молдина [162] и гипотеза Тиждемана-Загира [163] [164] [165], утверждает, что не существует решений обобщенного уравнения Ферма в положительных целых числах a , b , c , m , n , k, где a , b и c являются попарно взаимно простыми, а все m , n , k больше 2. [166]

Гипотеза Ферма –Каталана обобщает последнюю теорему Ферма с помощью идей гипотезы Каталана . [167] [168] Гипотеза утверждает, что обобщенное уравнение Ферма имеет только конечное число решений ( a , b , c , m , n , k ) с различными тройками значений ( am , bn , ck ) , где a , b , c — положительные взаимно простые целые числа, а m , n , k — положительные целые числа, удовлетворяющие условию

Утверждение касается конечности множества решений, поскольку существует 10 известных решений . [161]

Обратное уравнение Ферма

Когда мы допускаем, чтобы показатель степени n был обратным целому числу, то есть n = 1/ m для некоторого целого числа m , мы имеем обратное уравнение Ферма a 1/ m + b 1/ m = c 1/ m . Все решения этого уравнения были вычислены Хендриком Ленстрой в 1992 году. [169] В случае, когда требуется, чтобы корни степени m были действительными и положительными, все решения даются как [170]

для положительных целых чисел r , s , t , где s и t взаимно просты.

Рациональные показатели степени

Для диофантова уравнения a n / m + b n / m = c n / m, где n не равно 1, Беннетт, Гласс и Секей доказали в 2004 году для n > 2 , что если n и m взаимно просты, то существуют целочисленные решения тогда и только тогда, когда 6 делит m , а a 1/ m , b 1/ m и c 1/ m являются различными комплексными корнями 6-й степени одного и того же действительного числа. [171]

Отрицательные целые показатели степени

н= −1

Все примитивные целочисленные решения (т.е. те, у которых нет простого множителя, общего для всех a , b и c ) оптического уравнения a −1 + b −1 = c −1 можно записать как [172]

для положительных, взаимно простых целых чисел m , k .

н= −2

Случай n = −2 также имеет бесконечное множество решений, и они имеют геометрическую интерпретацию в терминах прямоугольных треугольников с целыми сторонами и целой высотой к гипотенузе . [173] [174] Все примитивные решения для a −2 + b −2 = d −2 даются формулой

для взаимно простых целых чисел u , v с v > u . Геометрическая интерпретация такова, что a и b являются целыми катетами прямоугольного треугольника, а d является целой высотой к гипотенузе. Тогда сама гипотенуза является целым числом

поэтому ( a , b , c ) — пифагорова тройка .

н< −2

Не существует решений в целых числах для a n + b n = c n для целых чисел n < −2 . Если бы они были, уравнение можно было бы умножить на a | n | b | n | c | n |, чтобы получить ( bc ) | n | + ( ac ) | n | = ( ab ) | n | , что невозможно по Великой теореме Ферма.

гипотеза abc

Гипотеза abc грубо утверждает, что если три положительных целых числа a , b и c (отсюда и название) взаимно просты и удовлетворяют условию a + b = c , то радикал d числа abc обычно не намного меньше c . В частности, гипотеза abc в своей наиболее стандартной формулировке подразумевает последнюю теорему Ферма для достаточно больших n . [175] [176] [177] Модифицированная гипотеза Шпиро эквивалентна гипотезе abc и, следовательно, имеет то же самое следствие. [178] [177] Эффективная версия гипотезы abc или эффективная версия модифицированной гипотезы Шпиро напрямую подразумевает последнюю теорему Ферма. [177]

Призы и неверные доказательства

В 1816 году и снова в 1850 году Французская академия наук предложила премию за общее доказательство Великой теоремы Ферма. [179] [180] В 1857 году академия присудила 3000 франков и золотую медаль Куммеру за его исследования идеальных чисел, хотя он не подал заявку на премию. [179] Другая премия была предложена в 1883 году Брюссельской академией. [181]

В 1908 году немецкий промышленник и математик-любитель Пауль Вольфскель завещал 100 000 золотых марок — крупную сумму по тем временам — Гёттингенской академии наук в качестве премии за полное доказательство Великой теоремы Ферма. [182] [183] ​​27 июня 1908 года академия опубликовала девять правил присуждения премии. Среди прочего, эти правила требовали, чтобы доказательство было опубликовано в рецензируемом журнале; премия не присуждалась в течение двух лет после публикации; и что никакая премия не присуждалась после 13 сентября 2007 года, примерно через столетие после начала конкурса. [184] 27 июня 1997 года Уайлс получил премию Вольфскеля, которая тогда составляла 50 000 долларов. [185] В марте 2016 года Уайлс был награжден премией Абеля от правительства Норвегии в размере 600 000 евро за «его потрясающее доказательство Великой теоремы Ферма с помощью гипотезы о модулярности для полустабильных эллиптических кривых, открывшее новую эру в теории чисел». [186]

До доказательства Уайлса в комитет Вольфскеля были представлены тысячи неверных доказательств, что составило примерно 10 футов (3,0 метра) корреспонденции. [187] Только за первый год (1907–1908) было представлено 621 попытка доказательства, хотя к 1970-м годам скорость представления снизилась примерно до 3–4 попыток доказательства в месяц. Согласно некоторым утверждениям, Эдмунд Ландау имел тенденцию использовать специальную предварительно напечатанную форму для таких доказательств, где место первой ошибки оставалось пустым, чтобы его мог заполнить один из его аспирантов. [188] По словам Ф. Шлихтинга, рецензента Вольфскеля, большинство доказательств основывались на элементарных методах, которым обучали в школах, и часто представлялись «людьми с техническим образованием, но неудавшейся карьерой». [189] По словам историка математики Говарда Ивса , «Великая теорема Ферма имеет особое отличие: это математическая задача, для которой опубликовано наибольшее количество неверных доказательств». [181]

В популярной культуре

Популярность теоремы за пределами науки привела к тому, что ее описывают как достижение «редчайшей математической награды: особой роли в поп-культуре ». [190]

Чешская почтовая марка, посвященная доказательству Уайлса

В рассказе Артура Порджеса 1954 года « Дьявол и Саймон Флэгг » рассказывается о математике , который договаривается с Дьяволом о том, что тот не сможет предоставить доказательство Великой теоремы Ферма в течение двадцати четырех часов. [191]

В эпизоде ​​Симпсонов " Волшебник вечнозелёной террасы " Гомер Симпсон пишет уравнение 3987 12 + 4365 12 = 4472 12 на доске, которое, по-видимому, является контрпримером к Великой теореме Ферма. Уравнение неверно, но оно кажется правильным, если ввести его в калькулятор с 10 значащими цифрами . [192]

В эпизоде ​​« The Royale » сериала « Звездный путь: Следующее поколение » капитан Пикард утверждает, что теорема все еще не доказана в 24 веке. Доказательство было опубликовано через пять лет после выхода эпизода в эфир. [193]

Смотрите также

Сноски

  1. ^ Если бы показатель степени n не был простым или 4, то можно было бы записать n либо как произведение двух меньших целых чисел ( n = PQ ), в котором P является простым числом, большим 2, и тогда a n = a PQ = ( a Q ) P для каждого из a , b , и c . То есть эквивалентное решение также должно было бы существовать для степени простого числа P , которая меньше n ; или же, поскольку n было бы степенью 2, большей 4, и если записать n = 4 Q , то тот же аргумент был бы справедлив.
  2. ^ Например, (( j r + 1) s ) r + ( j ( j r + 1) s ) r = ( j r + 1) rs +1 .
  3. ^ Эта эллиптическая кривая была впервые предложена в 1960-х годах Ивом Хеллегуарчем  [de] , но он не обратил внимания на ее немодулярность. Для получения более подробной информации см. Хеллегуарч, Ив (2001). Приглашение в математику Ферма-Уайлса . Academic Press. ISBN 978-0-12-339251-0.

Ссылки

  1. ^ Аб Сингх, стр. 18–20
  2. ^ abc "Abel Prize 2016 – полная цитата". Архивировано из оригинала 20 мая 2020 года . Получено 16 марта 2016 года .
  3. ^ "Наука и технологии". Книга рекордов Гиннесса . Guinness Publishing Ltd. 1995. ISBN 9780965238304.
  4. ^ Найджел Бостон. «Доказательство Великой теоремы Ферма» (PDF) . стр. 5.
  5. ^ ab Buhler J, Crandell R, Ernvall R, Metsänkylä T (1993). «Нерегулярные простые числа и циклотомические инварианты до четырех миллионов». Mathematics of Computation . 61 (203). Американское математическое общество: 151–153. Bibcode : 1993MaCom..61..151B. doi : 10.2307/2152942 . JSTOR  2152942.
  6. ^ Сингх, стр. 223
  7. ^ Сингх 1997, стр. 203–205, 223, 226
  8. ^ Сингх, стр. 144, цитирует реакцию Уайлса на эту новость: «Я был наэлектризован. В тот момент я понял, что ход моей жизни меняется, потому что это означало, что для доказательства Великой теоремы Ферма мне нужно было всего лишь доказать гипотезу Таниямы–Шимуры. Это означало, что моя детская мечта теперь стала достойным делом для работы».
  9. ^ Аб Сингх, стр. 144
  10. ^ ab Diamond, Fred (июль 1996 г.). «О кольцах деформации и кольцах Гекке». Анналы математики . 144 (1): 137–166. doi :10.2307/2118586. JSTOR  2118586.
  11. ^ ab Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (1999). «Modularity of certain potential Barsotti-Tate Galois representations». Журнал Американского математического общества . 12 (2): 521–567. doi : 10.1090/S0894-0347-99-00287-8 . ISSN  0894-0347.
  12. ^ ab Брейль, Кристоф; Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (15 мая 2001 г.). «О модулярности эллиптических кривых над Q: Дикие 3-адические упражнения». Журнал Американского математического общества . 14 (4): 843–939. doi : 10.1090/S0894-0347-01-00370-8 . ISSN  0894-0347.
  13. ^ Кастельвекки, Давиде (15 марта 2016 г.). «Последняя теорема Ферма приносит Эндрю Уайлсу премию Абеля». Nature . 531 (7594): 287. Bibcode :2016Natur.531..287C. doi : 10.1038/nature.2016.19552 . PMID  26983518. S2CID  4383161.
  14. ↑ Британский математик сэр Эндрю Уайлс получает премию Абеля по математике – The Washington Post.
  15. ^ Решена 300-летняя математическая задача, профессор выиграл 700 тысяч долларов – CNN.com.
  16. ^ Weisstein, Eric W. "Fermat's Last Theorem". MathWorld – A Wolfram Web Resource . Получено 7 мая 2021 г.
  17. ^ Уайлс, Эндрю (1995). «Модулярные эллиптические кривые и Последняя теорема Ферма» (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 448. doi :10.2307/2118559. JSTOR  2118559. OCLC  37032255. Архивировано из оригинала (PDF) 10 мая 2011 г. Получено 11 августа 2003 г. Предложение Фрея в обозначениях следующей теоремы состояло в том, чтобы показать, что (гипотетическая) эллиптическая кривая y 2 = x ( x + u p )( x – v p ) не может быть модулярной.
  18. ^ Рибет, Кен (1990). «О модулярных представлениях Gal(Q/Q), возникающих из модулярных форм» (PDF) . Inventiones Mathematicae . 100 (2): 432. Bibcode :1990InMat.100..431R. doi :10.1007/BF01231195. hdl :10338.dmlcz/147454. MR  1047143. S2CID  120614740.
  19. ^ Стиллвелл Дж. (2003). Элементы теории чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 110–112. ISBN 0-387-95587-9. Получено 17 марта 2016 г.
  20. ^ Aczel 1996, стр. 13–15
  21. ↑ Старк 1978, стр. 151–155.
  22. ↑ Старк 1978, стр. 145–146.
  23. ↑ Сингх, стр. 50–51.
  24. ^ Старк 1978, стр. 145
  25. ^ Aczel 1996, стр. 44–45
  26. ↑ Сингх, стр. 56–58.
  27. ^ Aczel 1996, стр. 14–15
  28. ↑ Старк 1978, стр. 44–47.
  29. ^ Фриберг 2007, стр. 333–334
  30. ^ ab Dickson 1919, стр. 731
  31. ↑ Сингх, стр. 60–62.
  32. ^ Aczel 1996, стр. 9
  33. ↑ Т. Хит, Диофант Александрийский. Второе издание, Cambridge University Press, 1910, перепечатано Dover, NY, 1964, стр. 144–145.
  34. ^ Манин и Панчишкин 2007, стр. 341
  35. ↑ Сингх, стр. 62–66.
  36. ^ Сингх, стр. 67
  37. ^ Aczel 1996, стр. 10
  38. ↑ Рибенбойм, стр. 13, 24
  39. ^ Аб ван дер Поортен, Примечания и примечания 1.2, стр. 5
  40. ^ Андре Вайль (1984). Теория чисел: подход через историю. От Хаммурапи до Лежандра . Базель, Швейцария: Birkhäuser. стр. 104.
  41. ↑ Документальный фильм BBC.[ мертвая ссылка на YouTube ]
  42. ↑ Freeman L (12 мая 2005 г.). "Fermat's One Proof" . Получено 23 мая 2009 г. .
  43. ↑ Диксон 1919, стр. 615–616.
  44. ^ abcd Aczel 1996, стр. 44
  45. ↑ Рибенбойм, стр. 15–24.
  46. ^ Френикль де Бесси, Traité des Triangles Rectangles en Nombres , vol. I, 1676, Париж. Перепечатано в Mém. акад. Рой. наук. , 5 , 1666–1699 (1729)
  47. ^ Эйлер Л. (1738). «Демонстрации Theorematum quorundam arithmeticorum». Новые комментарии Academiae Scientiarum Petropolitanae . 10 : 125–146.. Переиздание Opera omnia , сер. I, «Commentationes Arithmeticae», том. I, стр. 38–58, Лейпциг: Тойбнер (1915).
  48. ^ abc Kausler CF (1802). «Новая демонстрация теоремы, не связанная с суммой, не дифференцируемая дуорум куборум кубум эссе posse». Novi Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 13 : 245–253.
  49. ^ Барлоу П. (1811). Элементарное исследование теории чисел . Церковь Св. Павла, Лондон: Дж. Джонсон. С. 144–145.
  50. ^ аб Лежандр AM (1830). Теория де Номбрес (Том II) (3-е изд.). Париж: Фирмен Дидо Фрер.Переиздано в 1955 году А. Бланшаром (Париж).
  51. ^ Схопис (1825). Einige Sätze aus der unbestimmten Analytik . Гуммбиннен: Программа.
  52. ^ Теркем О (1846). «Теоремы о силах номбров». Новые анналы математики . 5 : 70–87.
  53. ^ Бертран Дж (1851). Traité Élémentaire d'Algèbre . Париж: Хашетт. стр. 217–230, 395.
  54. ^ Лебег В.А. (1853). «Решение биквадратичных уравнений z 2 знак равно x 4 ± 2 м y 4 , z 2 знак равно 2 м x 4 - y 4 , 2 м z 2 знак равно x 4 ± y 4 ». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 18 : 73–86.
    Лебег В.А. (1859). Упражнения по цифровому анализу . Париж: Лейбер и Фараге. стр. 83–84, 89.
    Лебег В.А. (1862). Введение в духе Теории Номбров . Париж: Малле-Башелье. стр. 71–73.
  55. ^ Пепин Т (1883). «Этюд по неопределенному уравнению ax 4 + by 4 = cz 2 ». Атти Национальной Академии Линчеи. Класс физических, математических и естественных наук. Рендиконти Линчеи. Серия IX. Математика и приложения . 36 : 34–70.
  56. ^ А. Тафельмахер (1893). «Об обучении x4 + y4 = z4». Аналитики Университета Чили . 84 : 307–320.
  57. ^ Гильберт Д. (1897). «Теория алгебраической теории». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 4 : 175–546.Перепечатано в 1965 году в Gesammelte Abhandlungen, vol. Я по Нью-Йорку: Челси.
  58. ^ Бендз Т.Р. (1901). Öfver diophantiska ekvationen x n + y n = z n (Диссертация). Уппсала: Альмквист и Викселлс Боктрикен.
  59. ^ abc Гамбиоли Д (1901). «Библиографическая память о последней теории Ферма». Периодика математики . 16 : 145–192.
  60. ^ Кронекер Л. (1901). Vorlesungen über Zahlentheorie, vol. Я. ​Лейпциг: Тойбнер. стр. 35–38.Переиздано New York:Springer-Verlag в 1978 году.
  61. ^ Банг А (1905). «Нет Бевиса в Лигнигене x 4 - y 4 = z 4 , я не могу иметь обоснование Лёзингера». Ныт Тидсскрифт для Математика . 16Б : 31–35. JSTOR  24528323.
  62. ^ Соммер Дж (1907). Vorlesungen über Zahlentheorie . Лейпциг: Тойбнер.
  63. ^ Боттари А (1908). «Интересное решение питагорических уравнений и применение всех теоретических решений теории чисел». Периодика математики . 23 : 104–110.
  64. ^ аб Рычлик К (1910). «О последней теореме Ферма для n  = 4 и n  = 3 (на чешском языке)». Časopis Pro Pestování Matematicy and Fysiky . 39 : 65–86.
  65. ^ Нуцхорн Ф (1912). «День убестемте Выравнивание x 4 + y 4 = z 4 ». Ныт Тидсскрифт для Математика . 23Б : 33–38.
  66. ^ Кармайкл РД (1913). «О невозможности некоторых диофантовых уравнений и систем уравнений». American Mathematical Monthly . 20 (7). Математическая ассоциация Америки: 213–221. doi :10.2307/2974106. JSTOR  2974106.
  67. ^ Хэнкок Х. (1931). Основы теории алгебраических чисел, т. I. Нью-Йорк: Macmillan.
  68. ^ Георге Вранчану (1966). «Asupra teorema lui Fermat pentru n = 4 ». Газета Математика Серия А. 71 : 334–335.Перепечатано в 1977 году в Opera matematica , vol. 4, стр. 202–205, Бухарест: Editura Academiei Republicii Socialiste România.
  69. ↑ Грант, Майк и Перелла, Малкольм, «Спуск к иррациональному», Mathematical Gazette 83, июль 1999 г., стр. 263–267.
  70. ↑ Барбара, Рой, «Великая теорема Ферма в случае n = 4 », Mathematical Gazette 91, июль 2007 г., 260–262.
  71. ↑ Долан, Стэн, «Метод Ферма о спуске к бесконечности », Mathematical Gazette 95, июль 2011 г., 269–271.
  72. ↑ Рибенбойм, стр. 1–2
  73. ^ Диксон 1919, стр. 545
  74. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Абу Махмуд Хамид ибн аль-Хидр Аль-Худжанди». MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
  75. ^ Эйлер Л (1770) Vollständige Anleitung zur Algebra , Рой. акад. наук, Санкт-Петербург.
  76. ^ Freeman L (22 мая 2005 г.). "Великая теорема Ферма: доказательство для n = 3" . Получено 23 мая 2009 г.
  77. ↑ Рибенбойм, стр. 24–25.
  78. ^ Морделл 1921, стр. 6–8
  79. ^ Эдвардс 1996, стр. 39–40
  80. ^ Эдвардс 1996, стр. 40, 52–54
  81. ^ JJ Mačys (2007). «О гипотетическом доказательстве Эйлера». Mathematical Notes . 82 (3–4): 352–356. doi :10.1134/S0001434607090088. MR  2364600. S2CID  121798358.
  82. ↑ Рибенбойм, стр. 33, 37–41
  83. ^ Лежандр AM (1823). «Исследования вопросов неопределенного и частного анализа теории Ферма». Мемуары Королевской академии наук . 6 :1–60.Переиздано в 1825 году как «Второе приложение» к печати 2-го издания Essai sur la Théorie des Nombres , Courcier (Париж). Также переиздано в 1909 году в Sphinx-Oedipe , 4 , 97–128.
  84. ^ Кальцолари Л (1855). Ориентировочно, чтобы объяснить теорию Ферма по неопределенному уравнению x n + y n = z n . Феррара.
  85. ^ Ламе Дж . (1865). «Этюд кубических биномов x 3 ± y 3 ». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 61 : 921–924, 961–965.
  86. ^ Tait PG (1872). «Математические заметки». Труды Королевского общества Эдинбурга . 7 : 144. doi :10.1017/s0370164600041857.
  87. ^ Гюнтер, С. (1878). «Ueber die unbestimmte Gleichung x3 + y3 = a3». Sitzungsberichte der Königliche böhmische Gesellschaft der Wissenschaften в Праге . ярг. 1878–1880: 112–120.
  88. ^ Крей, Х. (1909). «Neuer Beweis eines arithmetischen Satzes». Mathematich-Naturwissenschaftliche Blätter . 6 (12): 179–180.
  89. ^ Штокхаус H (1910). Beitrag zum Beweis des Fermatschen Satzes . Лейпциг: Брандштеттер.
  90. ^ Кармайкл РД (1915). Диофантов анализ . Нью-Йорк: Wiley.
  91. ^ Аб ван дер Корпут JG (1915). «Quelques образует квадратичные и quelques неопределенные уравнения». Новый архив для Вискунде . 11 : 45–75.
  92. ^ Туэ, Аксель (1917). «Et bevis for at ligningen A3 + B3 = C3 er unmulig i hele tal franul forskjellige tal A, B и C». Архив Mathematik og Naturvidenskab . 34 (15): 3–7.Перепечатано в Selected Mathematical Papers (1977), Осло: Universitetsforlaget, стр. 555–559.
  93. ^ Дуарте FJ (1944). «Sobre la ecuacion x 3 + y 3 + z 3 = 0». Boletín de la Academia de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales (Каракас) . 8 : 971–979.
  94. ^ Freeman L (28 октября 2005 г.). "Великая теорема Ферма: доказательство для n = 5" . Получено 23 мая 2009 г.
  95. ↑ Рибенбойм, стр. 49
  96. ^ Морделл 1921, стр. 8–9
  97. ^ Аб Сингх, стр. 106
  98. ↑ Рибенбойм, стр. 55–57.
  99. ^ Гаусс CF (1875). «Новая теория Zerlegung der Cuben». Zur Theorie der complexen Zahlen, Werke, vol. II (2-е изд.). Кенигль. Гес. Висс. Геттинген. стр. 387–391.(Опубликовано посмертно)
  100. ^ Лебег В.А. (1843). «Новые теории по неопределенному уравнению x 5 + y 5 = az 5 ». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 8 : 49–70.
  101. ^ Ламе Дж . (1847). «Запоминание о разрешении комплексных чисел A 5 + B 5 + C 5 = 0». Журнал Mathématiques Pures et Appliquées . 12 : 137–171.
  102. ^ Гамбиоли Д (1903–1904). «Intorno all'ultimo teorema di Fermat». Иль Питагора . 10 : 11–13, 41–42.
  103. ↑ Веребрусов А.С. (1905). «Об уравнении x 5 + y 5 = Az 5 » . М. мат. сб . 25 : 466–473.
  104. ^ Рычлик К (1910). «О последней теореме Ферма для n  = 5 (по-чешски) ». Часопис Пест. Мат . 39 : 185–195, 305–317.
  105. ^ Терджанян Г (1987). «К вопросу о В.А. Лебеге». Анналы Института Фурье . 37 (3): 19–37. дои : 10.5802/aif.1096 .
  106. ↑ Рибенбойм, стр. 57–63.
  107. ^ Морделл 1921, стр. 8
  108. ^ Ламе Дж . (1839). «Мемуар о последней теории Ферма». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 9 : 45–46.
    Ламе Г. (1840 г.). «Mémoire d'analyse indéterminée démontrant que l'équation x 7 + y 7 = z 7 невозможна в нескольких частях». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 5 : 195–211.
  109. ^ Лебег В.А. (1840). «Демонстрация невозможности решения уравнения x 7 + y 7 + z 7 = 0 в разных числах». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 5 : 276–279, 348–349.
  110. ^ Freeman L (18 января 2006 г.). "Великая теорема Ферма: доказательство для n = 7" . Получено 23 мая 2009 г.
  111. ^ Генокки А (1864). «Условно все уравнения x7 + y7 + z7 = 0». Аннали ди Математика Pura ed Applicata . 6 : 287–288. дои : 10.1007/bf03198884. S2CID  124916552.
    Генокки А (1874 г.). «Sur l'impossabilité de quelques égalités doubles». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 78 : 433–436.
    Генокки А (1876 г.). «Обобщение теории Ламе о невозможности уравнения x 7 + y 7 + z 7 = 0». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 82 : 910–913.
  112. ^ Пепин Т (1876). «Невозможность уравнения x 7 + y 7 + z 7 = 0». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 82 : 676–679, 743–747.
  113. ^ Майе Э (1897). «Sur l'equation indéterminée axλt + byλt = czλt». Французская ассоциация развития наук, Сент-Этьен, завершение 26-й сессии, вторая вечеринка . 26 : 156–168.
  114. ^ Туэ А (1896). «Über die Auflösbarkeit einiger unbestimmter Gleichungen». Det Kongelige Norske Videnskabers Selskabs Skrifter . 7 .Перепечатано в Selected Mathematical Papers , стр. 19–30, Осло: Universitetsforlaget (1977).
  115. ^ Тафельмахер WLA (1897). «La ecuación x 3 + y 3 = z 2 : Una demostración nueva del theorema de Fermat para el caso de las sestas potencias». Аналитики Университета Чили . 97 : 63–80.
  116. ^ Линд Б. (1909). «Einige zahlentheoretische Sätze». Архив математики и физики . 15 : 368–369.
  117. ^ аб Капферер Х (1913). «Beweis des Fermatschen Satzes für die Expenten 6 и 10». Архив математики и физики . 21 : 143–146.
  118. ^ Swift E (1914). «Решение задачи 206». American Mathematical Monthly . 21 (7): 238–239. doi :10.2307/2972379. JSTOR  2972379.
  119. ^ ab Breusch R (1960). «Простое доказательство последней теоремы Ферма для n  = 6, n  = 10». Mathematics Magazine . 33 (5): 279–281. doi :10.2307/3029800. JSTOR  3029800.
  120. ^ Дирихле PGL (1832). «Демонстрация теории Ферма для 14 случаев мощи ». Журнал для королевы и математики . 9 : 390–393.Перепечатано в Werke , т. I, стр. 189–194, Берлин: G. Reimer (1889); перепечатано Нью-Йорк: Chelsea (1969).
  121. ^ Терджанян Г (1974). «L'équation x 14 + y 14 = z 14 в числах». Бюллетень математических наук . Серия 2. 98 : 91–95.
  122. ^ Эдвардс 1996, стр. 73–74
  123. ^ Эдвардс 1996, стр. 74
  124. ^ Диксон 1919, стр. 733
  125. ^ Рибенбойм П (1979). 13 лекций по Великой теореме Ферма . Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 51–54. ISBN 978-0-387-90432-0.
  126. ↑ Сингх, стр. 97–109.
  127. ^ ab Laubenbacher R, Pengelley D (2007). "Voici ce que j'ai trouvé: Sophie Germain's grand plan to proof Fermat's Last Theorem" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 5 апреля 2013 года . Получено 19 мая 2009 года .
  128. ^ Aczel 1996, стр. 57
  129. ^ Терджанян, Г. (1977). «Sur l'équation x 2 p + y 2 p = z 2 p ». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB . 285 : 973–975.
  130. ^ Adleman LM, Heath-Brown DR (июнь 1985). «Первый случай последней теоремы Ферма». Inventiones Mathematicae . 79 (2). Berlin: Springer: 409–416. Bibcode : 1985InMat..79..409A. doi : 10.1007/BF01388981. S2CID  122537472.
  131. ^ Эдвардс 1996, стр. 79
  132. ^ Aczel 1996, стр. 84–88
  133. ↑ Сингх, стр. 232–234.
  134. ^ Фальтингс Г (1983). «Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern». Математические изобретения . 73 (3): 349–366. Бибкод : 1983InMat..73..349F. дои : 10.1007/BF01388432. S2CID  121049418.
  135. ^ Рибенбойм П (1979). 13 лекций по Великой теореме Ферма . Нью-Йорк: Springer Verlag. стр. 202. ISBN 978-0-387-90432-0.
  136. ^ Вагстафф СС младший (1978). «Нерегулярные простые числа до 125000». Математика вычислений . 32 (142). Американское математическое общество: 583–591. doi :10.2307/2006167. JSTOR  2006167.(PDF) Архивировано 24 октября 2012 г. на Wayback Machine
  137. ^ abcdefghijklmnop Великая теорема Ферма, Саймон Сингх, 1997, ISBN 1-85702-521-0 
  138. ^ Фрей Г. (1986). «Связи между устойчивыми эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями». Annales Universitatis Saraviensis. Серия Mathematicae . 1 : 1–40.
  139. ↑ Сингх, стр. 194–198.
  140. ^ Aczel 1996, стр. 109–114.
  141. ^ Рибет, Кен (1990). «О модулярных представлениях Gal(Q/Q), возникающих из модулярных форм» (PDF) . Inventiones Mathematicae . 100 (2): 431–476. Bibcode :1990InMat.100..431R. doi :10.1007/BF01231195. hdl :10338.dmlcz/147454. MR  1047143. S2CID  120614740.
  142. ^ Сингх, стр. 205
  143. ^ Aczel 1996, стр. 117–118
  144. ↑ Сингх, стр. 237–238.
  145. ^ Aczel 1996, стр. 121–122
  146. ↑ Сингх, стр. 239–243.
  147. ^ Aczel 1996, стр. 122–125
  148. ^ Сингх, стр. 244–253
  149. ^ Aczel 1996, стр. 1–4, 126–128.
  150. ^ Aczel 1996, стр. 128–130
  151. ^ Сингх, стр. 257
  152. ^ abc Сингх, стр. 269–277
  153. ↑ Год спустя, загвоздка в математическом доказательстве сохраняется 28 июня 1994 г.
  154. ↑ 26 июня – 2 июля; Год спустя головоломка Ферма все еще не вполне QED 3 июля 1994 г.
  155. ↑ Сингх, стр. 175–185.
  156. ^ Aczel 1996, стр. 132–134
  157. ↑ Сингх, стр. 186–187 (текст сокращен)
  158. ^ Уайлс, Эндрю (1995). «Модулярные эллиптические кривые и Последняя теорема Ферма» (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 443–551. doi :10.2307/2118559. JSTOR  2118559. OCLC  37032255. Архивировано из оригинала (PDF) 28 июня 2003 г.
  159. ^ «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» (PDF) .
  160. ^ Тейлор Р. , Уайлс А. (1995). «Теоретические свойства колец некоторых алгебр Гекке». Annals of Mathematics . 141 (3): 553–572. doi :10.2307/2118560. JSTOR  2118560. OCLC  37032255. Архивировано из оригинала 27 ноября 2001 г.
  161. ^ ab Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре; Гауэрс, Тимоти (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. стр. 361–362. ISBN 9781400830398.
  162. ^ "Гипотеза Молдина/Тейдемана-Загира". Prime Puzzles . Получено 1 октября 2016 г.
  163. ^ Элкис, Ноам Д. (2007). «Азбука теории чисел» (PDF) . Обзор математики Гарвардского колледжа . 1 (1).
  164. ^ Мишель Вальдшмидт (2004). «Открытые диофантовые задачи». Московский математический журнал . 4 : 245–305. arXiv : math/0312440 . дои : 10.17323/1609-4514-2004-4-1-245-305. S2CID  11845578.
  165. ^ Крэндалл, Ричард; Померанс, Карл (2000). Простые числа: вычислительная перспектива . Springer. стр. 417. ISBN 978-0387-25282-7.
  166. ^ "Гипотеза Била". Американское математическое общество . Получено 21 августа 2016 г.
  167. ^ Цай, Тяньсинь; Чен, Дэйи; Чжан, Юн (2015). «Новое обобщение Великой теоремы Ферма». Журнал теории чисел . 149 : 33–45. arXiv : 1310.0897 . дои : 10.1016/j.jnt.2014.09.014. S2CID  119732583.
  168. ^ Михайлеску, Преда (2007). «Циклотомическое исследование гипотезы Каталана–Ферма». Mathematica Gottingensis .
  169. ^ Lenstra Jr. HW (1992). «Об обратном уравнении Ферма». Дискретная математика . 106–107: 329–331. doi :10.1016/0012-365x(92)90561-s.
  170. ^ Ньюман М. (1981). «Радикальное диофантово уравнение». Журнал теории чисел . 13 (4): 495–498. doi : 10.1016/0022-314x(81)90040-8 .
  171. ^ Беннетт, Кертис Д.; Гласс, AMW; Секей, Габор Дж. (2004). «Последняя теорема Ферма для рациональных показателей». American Mathematical Monthly . 111 (4): 322–329. doi :10.2307/4145241. JSTOR  4145241. MR  2057186.
  172. ↑ Диксон 1919, стр. 688–691.
  173. ^ Voles, Roger (июль 1999). "Целочисленные решения a −2  +  b −2  =  d −2 ". Mathematical Gazette . 83 (497): 269–271. doi :10.2307/3619056. JSTOR  3619056. S2CID  123267065.
  174. ^ Ричиник, Дженнифер (июль 2008 г.). «Перевернутая теорема Пифагора». Mathematical Gazette . 92 : 313–317. doi :10.1017/S0025557200183275. S2CID  125989951.
  175. ^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Выпускные тексты по математике. Т. 211. Springer-Verlag New York. С. 196.
  176. ^ Elkies, Noam (1991). "ABC подразумевает Морделла". International Mathematics Research Notices . 1991 (7): 99–109. doi : 10.1155/S1073792891000144 . Наше доказательство обобщает известную импликацию "эффективный ABC [стрелка вправо] в конечном итоге Ферма", которая была первоначальной мотивацией для гипотезы ABC.
  177. ^ abc Грэнвилл, Эндрю ; Такер, Томас (2002). «Это так просто, как abc» (PDF) . Уведомления AMS . 49 (10): 1224–1231.
  178. ^ Остерле, Джозеф (1988). «Новые подходы к «теореме» Ферма». Астериск . Семинар Бурбаки, опыт 694 (161): 165–186. ISSN  0303-1179. МР  0992208.
  179. ^ ab Aczel 1996, стр. 69
  180. ^ Сингх, стр. 105
  181. ^ ab Koshy T (2001). Элементарная теория чисел с приложениями . Нью-Йорк: Academic Press. стр. 544. ISBN 978-0-12-421171-1.
  182. ↑ Сингх, стр. 120–125, 131–133, 295–296
  183. ^ Aczel 1996, стр. 70
  184. ↑ Сингх, стр. 120–125.
  185. ^ Сингх, стр. 284
  186. ^ "The Abel Prize citation 2016". The Abel Prize . Комитет премии Абеля. Март 2016. Архивировано из оригинала 20 мая 2020 года . Получено 16 марта 2016 года .
  187. ^ Сингх, стр. 295
  188. ^ Колеса, жизнь и другие математические развлечения , Мартин Гарднер
  189. ↑ Сингх, стр. 295–296.
  190. ↑ Гармон, Джей (21 февраля 2006 г.). «Geek Trivia: The math behind the myth» (Любопытные факты: математика, стоящая за мифом). TechRepublic . Получено 21 мая 2022 г.
  191. ^ Касман, Алекс (январь 2003 г.). «Математика в художественной литературе: междисциплинарный курс». PRIMUS . 13 (1): 1–16. doi :10.1080/10511970308984042. ISSN  1051-1970. S2CID  122365046.
  192. ^ Сингх, Саймон (2013). Симпсоны и их математические секреты. A&C Black. С. 35–36. ISBN 978-1-4088-3530-2.
  193. ^ Моузман, Эндрю (1 сентября 2017 г.). «Вот забавная математическая шутка в «Звездном пути: Следующее поколение»». Popular Mechanics . Получено 9 июня 2023 г.

Библиография

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки

В Wikibooks есть больше информации по теме: Великая теорема Ферма
В Викицитатнике есть цитаты, связанные с Великой теоремой Ферма .
На Викискладе есть медиафайлы по теме Последняя теорема Ферма .