Пи

Число, примерно 3,14

Число π ( / p aɪ / ; пишется как « пи ») — математическая константа , которая является отношением длины окружности к ее диаметру , приблизительно равным 3,14159. Число π появляется во многих формулах в математике и физике . Это иррациональное число , что означает , что его нельзя точно выразить как отношение двух целых чисел, хотя дроби, такие как , обычно используются для его аппроксимации . Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не входит в постоянно повторяющийся узор . Это трансцендентное число , что означает, что оно не может быть решением уравнения , включающего только конечные суммы, произведения, степени и целые числа. Трансцендентность числа π подразумевает, что невозможно решить древнюю задачу квадратуры круга с помощью циркуля и линейки . Десятичные цифры числа π , по-видимому, распределены случайным образом , ^[a], но никаких доказательств этой гипотезы найдено не было. ${\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}$

На протяжении тысяч лет математики пытались расширить свое понимание числа π , иногда вычисляя его значение с высокой степенью точности. Древние цивилизации, включая египтян и вавилонян , требовали довольно точных приближений числа π для практических вычислений. Около 250  г. до н. э. греческий математик Архимед создал алгоритм для приближения числа π с произвольной точностью. В V веке н. э. китайские математики приблизили число π к семи цифрам, в то время как индийские математики сделали пятизначное приближение, оба использовали геометрические методы. Первая вычислительная формула для числа π , основанная на бесконечных рядах , была открыта тысячелетие спустя. ^{[1] [2]} Самое раннее известное использование греческой буквы π для представления отношения длины окружности к ее диаметру было сделано валлийским математиком Уильямом Джонсом в 1706 году. ^[3]

Изобретение исчисления вскоре привело к вычислению сотен цифр числа π , что было достаточно для всех практических научных вычислений. Тем не менее, в 20-м и 21-м веках математики и специалисты по информатике использовали новые подходы, которые в сочетании с ростом вычислительной мощности расширили десятичное представление числа π до многих триллионов цифр. ^{[4] [5]} Эти вычисления мотивированы разработкой эффективных алгоритмов для вычисления числовых рядов, а также стремлением человека побить рекорды. ^{[6] [7]} Обширные вычисления также использовались для тестирования суперкомпьютеров , а также для стресс-тестирования потребительского компьютерного оборудования.

Поскольку его определение относится к окружности, π встречается во многих формулах тригонометрии и геометрии , особенно тех, которые касаются окружностей, эллипсов и сфер. Он также встречается в формулах из других разделов науки, таких как космология , фракталы , термодинамика , механика и электромагнетизм . Он также появляется в областях, имеющих мало общего с геометрией, таких как теория чисел и статистика , и в современном математическом анализе может быть определен без какой-либо ссылки на геометрию. Вездесущность π делает его одной из самых широко известных математических констант внутри и за пределами науки. Было опубликовано несколько книг, посвященных π , и рекордные вычисления цифр π часто приводят к заголовкам новостей.

Основы

Имя

Символ, используемый математиками для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру, — это строчная греческая буква π , иногда записываемая как pi. ^[8] В английском языке π произносится как «pie» ( / p aɪ / PY ). ^[9] В математике строчная буква π отличается от ее заглавного и увеличенного аналога Π , который обозначает произведение последовательности , аналогично тому, как Σ обозначает суммирование .

Выбор символа π обсуждается в разделе Принятие символа π.

Определение

Длина окружности немного больше, чем в три раза, чем ее диаметр. Точное соотношение называется π .

Число π обычно определяется как отношение длины окружности C к ее диаметру d : [ ^10] $${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$$

Соотношение постоянно, независимо от размера круга. Например, если круг имеет диаметр в два раза больше другого круга, он также будет иметь вдвое большую окружность, сохраняя соотношение . Это определение π неявно использует плоскую (евклидову) геометрию ; хотя понятие круга можно распространить на любую кривую (неевклидову) геометрию , эти новые круги больше не будут удовлетворять формуле . ^[10] ${\textstyle {\frac {C}{d}}}$ ${\textstyle {\frac {C}{d}}}$ ${\textstyle \pi ={\frac {C}{d}}}$

Здесь длина окружности — это длина дуги по периметру окружности, величина, которая может быть формально определена независимо от геометрии с использованием пределов — концепции в исчислении . ^[11] Например, можно напрямую вычислить длину дуги верхней половины единичной окружности, заданной в декартовых координатах уравнением , как интеграл : ^[12] ${\textstyle x^{2}+y^{2}=1}$ $${\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$$

Такой интеграл был предложен в качестве определения числа π Карлом Вейерштрассом , который определил его непосредственно как интеграл в 1841 году. ^[b]

Интеграция больше не используется обычно в первом аналитическом определении, потому что, как объясняет Remmert 2012, дифференциальное исчисление обычно предшествует интегральному исчислению в университетской программе, поэтому желательно иметь определение π , которое не опирается на последнее. Одно из таких определений, данное Ричардом Балтцером ^[14] и популяризированное Эдмундом Ландау ^[15], выглядит следующим образом: π — это удвоенное наименьшее положительное число, при котором функция косинуса равна 0. ^{[10] [12] [16]} π также является наименьшим положительным числом, при котором функция синуса равна нулю, и разностью между последовательными нулями функции синуса. Косинус и синус могут быть определены независимо от геометрии как степенной ряд [ ^17] или как решение дифференциального уравнения ^[16] .

В похожем духе π можно определить, используя свойства комплексной экспоненты exp z комплексной переменной z . Как и косинус, комплексная экспонента может быть определена одним из нескольких способов. Набор комплексных чисел, при которых exp z равен единице, является тогда (мнимой) арифметической прогрессией вида: и существует единственное положительное действительное число π с этим свойством. ^{[12] [18]} $${\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}}$$

Вариацией той же идеи, использующей сложные математические концепции топологии и алгебры , является следующая теорема: ^[19] существует единственный ( с точностью до автоморфизма ) непрерывный изоморфизм из группы R / Z действительных чисел при сложении по модулю целых чисел ( группа окружности ) на мультипликативную группу комплексных чисел с абсолютным значением один. Число π тогда определяется как половина величины производной этого гомоморфизма. ^[20]

Иррациональность и нормальность

π — иррациональное число , то есть его нельзя записать в виде отношения двух целых чисел . Дроби, такие как ⁠22/7⁠ и ⁠355/113⁠ обычно используются для аппроксимации π , но никакая обыкновенная дробь (отношение целых чисел) не может быть его точным значением. ^[21] Поскольку π иррационально, оно имеет бесконечное количество цифр в своем десятичном представлении и не укладывается в бесконечно повторяющуюся схему цифр. Существует несколько доказательств того, что π иррационально ; они обычно требуют исчисления и опираются на технику reductio ad absurdum . Степень, в которой π может быть аппроксимировано рациональными числами (называемая мерой иррациональности ), точно не известна; оценки установили, что мера иррациональности больше или, по крайней мере, равна мере e , но меньше меры чисел Лиувилля . ^[22]

Цифры числа π не имеют очевидной закономерности и прошли тесты на статистическую случайность , включая тесты на нормальность ; число бесконечной длины называется нормальным, когда все возможные последовательности цифр (любой заданной длины) появляются одинаково часто. Предположение о том, что число π является нормальным , не было ни доказано, ни опровергнуто. ^[23]

С появлением компьютеров стало доступно большое количество цифр числа π , на которых можно было выполнять статистический анализ. Ясумаса Канада провел подробный статистический анализ десятичных цифр числа π и обнаружил, что они соответствуют нормальности; например, частоты десяти цифр от 0 до 9 были подвергнуты тестам на статистическую значимость , и никаких доказательств наличия закономерности обнаружено не было. ^[24] Любая случайная последовательность цифр содержит произвольно длинные подпоследовательности, которые кажутся неслучайными, согласно теореме о бесконечной обезьяне . Таким образом, поскольку последовательность цифр числа π проходит статистические тесты на случайность, она содержит некоторые последовательности цифр, которые могут казаться неслучайными, например, последовательность из шести последовательных девяток , которая начинается с 762-го десятичного знака десятичного представления числа π . ^[25] Это также называется «точкой Фейнмана» в математическом фольклоре , в честь Ричарда Фейнмана , хотя никакой связи с Фейнманом не известно.

Трансцендентность

Поскольку π — трансцендентное число , квадратура круга невозможна за конечное число шагов с использованием классических инструментов циркуля и линейки .

Помимо того, что π иррационально, оно также является трансцендентным числом , что означает, что оно не является решением какого-либо непостоянного полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, например . ^{[26] [c]} ${\textstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0}$

Трансцендентность числа π имеет два важных следствия: во-первых, π не может быть выражено с помощью какой-либо конечной комбинации рациональных чисел и квадратных корней или корней n -й степени (таких как или ). Во-вторых, поскольку никакое трансцендентное число не может быть построено с помощью циркуля и линейки , невозможно « квадратурировать круг ». Другими словами, невозможно построить, используя только циркуль и линейку, квадрат, площадь которого в точности равна площади данного круга. ^[27] Квадратура круга была одной из важных геометрических задач классической античности . ^[28] Математики-любители в наше время иногда пытались квадратурить круг и заявляли об успехе — несмотря на то, что это математически невозможно. ^{[29] [30]} ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$

Непрерывные дроби

Как иррациональное число, π не может быть представлено в виде обыкновенной дроби . Но каждое число, включая π , может быть представлено бесконечным рядом вложенных дробей, называемых цепной дробью : $${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$$

Усечение непрерывной дроби в любой точке дает рациональное приближение для π ; первые четыре из них — это 3 , ⁠22/7⁠ , ⁠333/106⁠ , и ⁠355/113⁠ . Эти числа являются одними из самых известных и наиболее широко используемых исторических приближений константы. Каждое приближение, полученное таким образом, является наилучшим рациональным приближением; то есть каждое ближе к π, чем любая другая дробь с тем же или меньшим знаменателем. ^[31] Поскольку π является трансцендентным, оно по определению не является алгебраическим и, следовательно, не может быть квадратичной иррациональностью . Следовательно, π не может иметь периодическую непрерывную дробь . Хотя простая непрерывная дробь для π (показанная выше) также не демонстрирует никакой другой очевидной закономерности, ^{[32] [33]} несколько обобщенных непрерывных дробей демонстрируют, например: ^[34] $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$$

Средняя из них принадлежит математику середины XVII века Уильяму Браункеру , см. § Формула Браункера .

Приблизительное значение и цифры

Некоторые приближения числа Пи включают в себя:

• Целые числа : 3
• Дроби : Приблизительные дроби включают (в порядке возрастания точности) ⁠22/7⁠ , ⁠333/106⁠ , ⁠355/113⁠ , ⁠52163/16604⁠ , ⁠103993/33102⁠ , ⁠104348/33215⁠ , и ⁠245850922/78256779⁠ . ^[31] (Список представляет собой выбранные термины из OEIS : A063674 и OEIS : A063673 .)
• Цифры : первые 50 десятичных цифр: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... ^[35] (см. OEIS : A000796 )

Цифры в других системах счисления

• Первые 48 двоичных ( с основанием 2) цифр (называемых битами ) равны 11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011... (см. OEIS : A004601 )
• Первые 36 цифр в троичной системе счисления (основание 3) — 10,010 211 012 222 010 211 002 111 110 221 222 220... (см. OEIS : A004602 )
• Первые 20 цифр в шестнадцатеричной системе счисления (основание 16) — 3.243F 6A88 85A3 08D3 1319... ^[36] (см. OEIS : A062964 )
• Первые пять шестидесятеричных (основание 60) цифр — это 3;8,29,44,0,47 ^[37] (см. OEIS : A060707 )

Комплексные числа и тождество Эйлера

Связь между мнимыми степенями числа e и точками на единичной окружности с центром в начале координат в комплексной плоскости задается формулой Эйлера

Любое комплексное число , скажем z , можно выразить с помощью пары действительных чисел . В полярной системе координат одно число ( радиус или r ) используется для представления расстояния z от начала комплексной плоскости , а другое (угол или φ ) — вращения против часовой стрелки от положительной действительной прямой: ^[38] где i — мнимая единица, удовлетворяющая . Частое появление π в комплексном анализе может быть связано с поведением показательной функции комплексной переменной, описываемой формулой Эйлера : ^[39] где константа e — основание натурального логарифма . Эта формула устанавливает соответствие между мнимыми степенями e и точками на единичной окружности с центром в начале комплексной плоскости. Подстановка в формулу Эйлера приводит к тождеству Эйлера , которое отмечается в математике из-за того, что содержит пять важных математических констант: ^{[39] [40]} $${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}$$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ $${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}$$ ${\displaystyle \varphi =\pi }$ $${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$$

Существует n различных комплексных чисел z, удовлетворяющих условию , и они называются « корнями n- й степени из единицы » ^[41] и определяются по формуле: ${\displaystyle z^{n}=1}$ $${\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}$$

История

Древность

Наиболее известные приближения к датировке числа π до нашей эры были точными до двух знаков после запятой; это было улучшено в китайской математике , в частности, к середине первого тысячелетия, до точности в семь знаков после запятой. После этого никакого дальнейшего прогресса не было до позднего средневековья.

Самые ранние письменные приближения числа π были найдены в Вавилоне и Египте, оба в пределах одного процента от истинного значения. В Вавилоне глиняная табличка , датированная 1900–1600 гг. до н. э., имеет геометрическое утверждение, которое, как подразумевается, рассматривает π как ⁠25/8⁠  = 3,125. ^[42] В Египте Папирус Ринда , датируемый примерно 1650 г. до н.э., но скопированный с документа, датированного 1850 г. до н.э., содержит формулу для площади круга, которая рассматривает π как . ^{[33] [42]} Хотя некоторые пирамидологи выдвинули теорию, что Великая пирамида в Гизе была построена с пропорциями, связанными с π , эта теория не получила широкого признания среди ученых. ^[43] В Шульба-сутрах индийской математики , датируемых устной традицией первого или второго тысячелетия до н.э., приводятся приближения, которые по-разному интерпретировались как приблизительно 3,08831, 3,08833, 3,004, 3 или 3,125. ^[44] ${\textstyle {\bigl (}{\frac {16}{9}}{\bigr )}^{2}\approx 3.16}$

Эпоха аппроксимации полигонов

Число π можно оценить, вычислив периметры описанных и вписанных многоугольников.

Архимед разработал многоугольный подход к приближению числа π .

Первым зарегистрированным алгоритмом для строгого вычисления значения π был геометрический подход с использованием многоугольников, разработанный около 250 г. до н. э. греческим математиком Архимедом , реализующий метод исчерпания . ^[45] Этот многоугольный алгоритм доминировал более 1000 лет, и в результате π иногда называют постоянной Архимеда. ^[46] Архимед вычислил верхнюю и нижнюю границы π , нарисовав правильный шестиугольник внутри и снаружи круга и последовательно удваивая количество сторон, пока не достиг правильного многоугольника с 96 сторонами. Вычислив периметры этих многоугольников, он доказал, что ⁠223/71⁠ < π < ⁠22/7⁠ (то есть 3,1408 < π < 3,1429 ). ^[47] Верхняя граница Архимеда ⁠22/7⁠ возможно, привело к широко распространенному мнению, что π равно ⁠22/7⁠ . ^[48] Около 150 г. н.э. греко-римский ученый Птолемей в своем «Альмагесте » дал значение числа π , равное 3,1416, которое он, возможно, получил от Архимеда или от Аполлония Пергского . ^{[49] [50]} Математики, использующие полигональные алгоритмы, достигли 39 знаков числа π в 1630 г., рекорд был побит только в 1699 г., когда для достижения 71 знака были использованы бесконечные ряды. ^[51]

В Древнем Китае значения числа π включали 3,1547 (около 1 г. н.э.), (100 г. н.э., приблизительно 3,1623) и ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$142/45⁠ (III век, приблизительно 3,1556). ^[52] Около 265 г. н. э.математик из царства Вэй Лю Хуэй создал итерационный алгоритм на основе многоугольников и использовал его с многоугольником с 3072 сторонами, чтобы получить значение π, равное 3,1416. ^{[53] [54]} Позднее Лю изобрел более быстрый метод вычисления числа π и получил значение 3,14 с помощью 96-стороннего многоугольника, воспользовавшись тем фактом, что различия в площади последовательных многоугольников образуют геометрическую прогрессию с коэффициентом 4. ^[53] Китайский математик Цзу Чунчжи , около 480 г. н.э., вычислил этои предложил приближенияи, которые он назвал Milü ( «близкое отношение») и Yuelü («приблизительное отношение»), соответственно, используя алгоритм Лю Хуэя, примененный к 12 288-стороннему многоугольнику. С правильным значением для его семи первых десятичных цифр это значение оставалось наиболее точным приближением числа π, доступным в течение следующих 800 лет. ^[55] ${\displaystyle 3.1415926<\pi <3.1415927}$ ${\textstyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.14159292035...}$ ${\textstyle \pi \approx {\frac {22}{7}}=3.142857142857...}$

Индийский астроном Арьябхата использовал значение 3,1416 в своей работе «Арьябхатия» (499 г. н. э.). ^[56] Фибоначчи в  1220 г. вычислил 3,1418, используя полигональный метод, независимо от Архимеда. ^[57] Итальянский автор Данте , по-видимому, использовал это значение . ^[57] ${\textstyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142}$

Персидский астроном Джамшид аль-Каши в 1424 году с помощью многоугольника со сторонами ^{[58] [59]} получил девять шестидесятеричных цифр, что примерно эквивалентно 16 десятичным цифрам, что оставалось мировым рекордом около 180 лет. ^[60] Французский математик Франсуа Виет в 1579 году получил девять цифр с помощью многоугольника со сторонами ^[60] Фламандский математик Адриан ван Роомен достиг 15 десятичных знаков в 1593 году ^[60] В 1596 году голландский математик Людольф ван Кейлен достиг 20 цифр, рекорд, который он позже увеличил до 35 цифр (в результате в Германии до начала 20 века число π называлось «лудольфовым числом»). ^[61] Голландский ученый Виллеброрд Снеллиус достиг 34 знаков в 1621 году, ^[62] а австрийский астроном Кристоф Гринбергер пришел к 38 знакам в 1630 году, используя 10 ⁴⁰ сторон. ^[63] Христиан Гюйгенс смог достичь 10 десятичных знаков в 1654 году, используя немного другой метод, эквивалентный экстраполяции Ричардсона . ^{[64] [65]} ${\textstyle 3\times 2^{28}}$ ${\textstyle 3\times 2^{17}}$

Бесконечный ряд

Сравнение сходимости нескольких исторических бесконечных рядов для π . S _n — это приближение после взятия n членов. Каждый последующий подучасток увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (щелкните для получения подробностей)

Вычисление числа π было революционизировано развитием методов бесконечных рядов в 16-м и 17-м веках. Бесконечный ряд — это сумма членов бесконечной последовательности . Бесконечный ряд позволил математикам вычислять π с гораздо большей точностью, чем Архимед и другие, использовавшие геометрические методы. ^[66] Хотя бесконечные ряды использовались для π в первую очередь европейскими математиками, такими как Джеймс Грегори и Готфрид Вильгельм Лейбниц , этот подход также появился в школе Кералы где-то в 14-м или 15-м веке. ^{[67] [68]} Около 1500 года нашей эры письменное описание бесконечного ряда, который можно было использовать для вычисления π, было изложено в стихах на санскрите в Тантрасамграхе Нилаканты Сомаяджи . ^[67] Ряды представлены без доказательств, но доказательства представлены в более поздней работе, Yuktibhāṣā , около 1530 г. н. э. Описано несколько бесконечных рядов, включая ряды для синуса (которые Нилаканта приписывает Мадхаве из Сангамаграмы ), косинуса и арктангенса, которые теперь иногда называют рядами Мадхавы . Ряд для арктангенса иногда называют рядом Грегори или рядом Грегори–Лейбница. ^[67] Мадхава использовал бесконечные ряды для оценки числа π до 11 знаков около 1400 г. ^[69]

В 1593 году Франсуа Виет опубликовал то, что сейчас известно как формула Виета , бесконечное произведение (а не бесконечная сумма , которая чаще используется в вычислениях числа π ): ^{[70] [71] [72]} $${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$$

В 1655 году Джон Уоллис опубликовал то, что сейчас известно как произведение Уоллиса , также бесконечное произведение: ^[70] $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdots }$$

Исаак Ньютон использовал бесконечные ряды для вычисления числа π с точностью до 15 знаков, позже написав: «Мне стыдно сказать вам, до скольких знаков я довел эти вычисления». ^[73]

В 1660-х годах английский ученый Исаак Ньютон и немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц открыли исчисление , которое привело к разработке множества бесконечных рядов для приближения числа π . Сам Ньютон использовал ряд арксинуса для вычисления 15-значного приближения числа π в 1665 или 1666 году, написав: «Мне стыдно сказать вам, до скольких цифр я довел эти вычисления, не имея в то время других дел». ^[73]

В 1671 году Джеймс Грегори и независимо от него Лейбниц в 1673 году открыли разложение арктангенса в ряд Тейлора : ^{[67] [74] [75]} $${\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }$$

Этот ряд, иногда называемый рядом Грегори–Лейбница , равен при оценке с . ^[75] Но для он сходится непрактично медленно (то есть приближается к ответу очень постепенно), требуя примерно в десять раз больше членов для вычисления каждой дополнительной цифры. ^[76] ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle z=1}$

В 1699 году английский математик Авраам Шарп использовал ряд Грегори–Лейбница для вычисления числа π с точностью до 71 знака, побив предыдущий рекорд в 39 знаков, установленный с помощью полигонального алгоритма. ^[77] ${\textstyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$

В 1706 году Джон Мачин использовал ряд Грегори–Лейбница для создания алгоритма, который сходился гораздо быстрее: ^{[3] [78] [79]} $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.}$$

Мачин достиг 100 знаков числа π с помощью этой формулы. ^[80] Другие математики создали варианты, теперь известные как формулы типа Мачина , которые использовались для установки нескольких последовательных рекордов для вычисления знаков числа π . ^{[81] [80]}

Исаак Ньютон ускорил сходимость ряда Грегори–Лейбница в 1684 году (в неопубликованной работе; другие независимо обнаружили результат): ^[82]

${\displaystyle \arctan x={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots }$

Леонард Эйлер популяризировал этот ряд в своем учебнике по дифференциальному исчислению 1755 года и позже использовал его с формулами, подобными формулам Машина, включая ту, с помощью которой он вычислил 20 цифр числа π за один час. ^[83] ${\textstyle {\tfrac {\pi }{4}}=5\arctan {\tfrac {1}{7}}+2\arctan {\tfrac {3}{79}},}$

Формулы, подобные машинным, оставались самым известным методом вычисления числа π даже в эпоху компьютеров и использовались для установления рекордов на протяжении 250 лет, достигнув кульминации в 620-значном приближении в 1946 году, полученном Дэниелом Фергюсоном — наилучшем приближении, достигнутом без помощи вычислительного устройства. ^[84]

В 1844 году рекорд был установлен Захариасом Дазе , который использовал формулу, подобную формуле Машина, для вычисления 200 десятичных знаков числа π в уме по просьбе немецкого математика Карла Фридриха Гаусса . ^[85]

В 1853 году британский математик Уильям Шэнкс вычислил π до 607 цифр, но допустил ошибку в 528-й цифре, сделав все последующие цифры неверными. Хотя он вычислил еще 100 цифр в 1873 году, доведя общее число до 707, его предыдущая ошибка сделала все новые цифры также неверными. ^[86]

Скорость сходимости

Некоторые бесконечные ряды для π сходятся быстрее, чем другие. При выборе двух бесконечных рядов для π математики обычно используют тот, который сходится быстрее, поскольку более быстрая сходимость сокращает объем вычислений, необходимых для вычисления π с любой заданной точностью. ^[87] Простой бесконечный ряд для π — это ряд Грегори–Лейбница : ^[88] $${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }$$

По мере того, как отдельные члены этого бесконечного ряда добавляются к сумме, итог постепенно приближается к π , и – при достаточном количестве членов – может приблизиться к π настолько близко , насколько это необходимо. Он сходится довольно медленно – после 500 000 членов он дает только пять правильных десятичных цифр π . ^[89]

Бесконечный ряд для π (опубликованный Нилакантой в 15 веке), который сходится быстрее, чем ряд Грегори–Лейбница: ^{[90] [91]} $${\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }$$

В следующей таблице сравниваются скорости сходимости этих двух рядов:

После пяти членов сумма ряда Грегори–Лейбница находится в пределах 0,2 от правильного значения π , тогда как сумма ряда Нилаканты находится в пределах 0,002 от правильного значения. Ряд Нилаканты сходится быстрее и более полезен для вычисления цифр π . Ряды, которые сходятся еще быстрее, включают ряд Мачина и ряд Чудновского , последний дает 14 правильных десятичных цифр на член. ^[87]

Иррациональность и трансцендентность

Не все математические достижения, связанные с π, были направлены на повышение точности приближений. Когда Эйлер решил Базельскую задачу в 1735 году, найдя точное значение суммы обратных квадратов, он установил связь между π и простыми числами , которая позже способствовала развитию и изучению дзета-функции Римана : ^[92]

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$$

Швейцарский ученый Иоганн Генрих Ламберт в 1768 году доказал, что π иррационально , то есть оно не равно частному любых двух целых чисел. ^[21] Доказательство Ламберта использовало представление функции тангенса в виде непрерывной дроби. ^[93] Французский математик Адриен-Мари Лежандр доказал в 1794 году, что π ² также иррационально. В 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеманн доказал, что π трансцендентно , ^[94] подтвердив гипотезу, высказанную как Лежандром , так и Эйлером. ^{[95] [96] Харди и Райт утверждают} , что «доказательства были впоследствии изменены и упрощены Гильбертом, Гурвицем и другими авторами». ^[97]

Принятие символаπ

В самых ранних использованиях греческая буква π использовалась для обозначения полупериметра ( semiperipheria на латыни) круга ^[8] и объединялась в соотношениях с δ (для диаметра или полудиаметра) или ρ (для радиуса ) для формирования констант окружности. ^{[98] [99] [100] [101]} (До этого математики иногда использовали вместо нее такие буквы, как c или p . ^[102] ) Первое зарегистрированное использование - это " " Отреда , для выражения отношения периферии и диаметра в 1647 году и более поздних изданиях Clavis Mathematicae . ^{[103] [102]} Барроу также использовал " " для обозначения константы 3,14... , ^[104] в то время как Грегори вместо этого использовал " " для обозначения 6,28...  . ^{[105] [100]} ${\displaystyle \delta .\pi }$ ${\textstyle {\frac {\pi }{\delta }}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$

Самое раннее известное использование греческой буквы π для представления отношения длины окружности к ее диаметру было валлийским математиком Уильямом Джонсом в его работе 1706 года Synopsis Palmariorum Matheseos ; или Новое введение в математику . ^{[3] [106]} Греческая буква появляется на стр. 243 во фразе « Периферия ( π )», рассчитанной для окружности с радиусом один. Однако Джонс пишет, что его уравнения для π вышли из-под «рукояти поистине гениального мистера Джона Мачина », что приводит к предположению, что Мачин мог использовать греческую букву до Джонса. ^[102] Обозначение Джонса не было сразу принято другими математиками, и дробное обозначение все еще использовалось вплоть до 1767 года. ^{[98] [107]} ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$

Эйлер начал использовать однобуквенную форму, начиная с его «Очерка об объяснении свойств воздуха» 1727 года , хотя он использовал π = 6,28... , отношение периферии к радиусу, в этой и некоторых более поздних работах. ^{[108] [109]} Эйлер впервые использовал π = 3,14... в своей работе 1736 года «Механика» [ ^110] и продолжил в своей широко известной работе 1748 года «Введение в анализ бесконечности» (он писал: «для краткости мы будем записывать это число как π ; таким образом, π равно половине длины окружности радиуса 1 »). ^[111] Поскольку Эйлер активно переписывался с другими математиками Европы, использование греческой буквы быстро распространилось, и эта практика впоследствии стала общепринятой в западном мире , ^[102] хотя определение все еще варьировалось между 3,14... и 6,28... вплоть до 1761 года. ^[112]

Современный поиск большего количества цифр

Компьютерная эра и итеративные алгоритмы

Итерационный алгоритм Гаусса –Лежандра :
Инициализация Итерация Затем оценка для π задается выражением $${\displaystyle \textstyle a_{0}=1,\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad t_{0}={\frac {1}{4}},\quad p_{0}=1.}$$ $${\displaystyle \textstyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},}$$ $${\displaystyle \textstyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\quad \quad p_{n+1}=2p_{n}.}$$ $${\displaystyle \textstyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.}$$

Развитие компьютеров в середине 20-го века снова произвело революцию в охоте за цифрами числа π . Математики Джон Ренч и Леви Смит достигли 1120 цифр в 1949 году, используя настольный калькулятор. ^[113] Используя бесконечный ряд арктангенса , группа под руководством Джорджа Райтвизнера и Джона фон Неймана в том же году достигла 2037 цифр с помощью вычислений, которые заняли 70 часов машинного времени на компьютере ENIAC . ^{[114] [115]} Рекорд, всегда основанный на ряде арктангенсов, неоднократно побивался (3089 цифр в 1955 году, ^[116] 7480 цифр в 1957 году; 10 000 цифр в 1958 году; 100 000 цифр в 1961 году), пока в 1973 году не было достигнуто 1 миллион цифр. ^[114]

Два дополнительных события около 1980 года снова ускорили возможность вычисления π . Во-первых, открытие новых итеративных алгоритмов для вычисления π , которые были намного быстрее бесконечных рядов; и, во-вторых, изобретение быстрых алгоритмов умножения , которые могли очень быстро умножать большие числа. ^[117] Такие алгоритмы особенно важны в современных вычислениях π , поскольку большая часть времени компьютера посвящена умножению. ^[118] Они включают в себя алгоритм Карацубы , умножение Тоома–Кука и методы, основанные на преобразовании Фурье . ^[119]

Итерационные алгоритмы были независимо опубликованы в 1975–1976 годах физиком Юджином Саламином и ученым Ричардом Брентом . ^[120] Они избегают зависимости от бесконечных рядов. Итерационный алгоритм повторяет определенное вычисление, каждая итерация использует выходные данные предыдущих шагов в качестве своих входных данных, и выдает результат на каждом шаге, который сходится к желаемому значению. Этот подход был фактически изобретен более 160 лет назад Карлом Фридрихом Гауссом в том, что сейчас называется методом арифметико-геометрического среднего (метод AGM) или алгоритмом Гаусса–Лежандра . ^[120] В модификации Саламина и Брента он также называется алгоритмом Брента–Саламина.

Итерационные алгоритмы широко использовались после 1980 года, поскольку они быстрее, чем алгоритмы бесконечных рядов: в то время как бесконечные ряды обычно увеличивают количество правильных цифр аддитивно в последовательных терминах, итерационные алгоритмы обычно умножают количество правильных цифр на каждом шаге. Например, алгоритм Брента-Саламина удваивает количество цифр на каждой итерации. В 1984 году братья Джон и Питер Борвейн создали итерационный алгоритм, который учетверяет количество цифр на каждом шаге; а в 1987 году — алгоритм, который увеличивает количество цифр в пять раз на каждом шаге. ^[121] Итерационные методы использовались японским математиком Ясумасой Канадой для установки нескольких рекордов по вычислению числа π в период с 1995 по 2002 год. ^[122] Эта быстрая сходимость имеет свою цену: итерационные алгоритмы требуют значительно больше памяти, чем бесконечные ряды. ^[122]

Мотивы вычисленийπ

По мере того, как математики открывали новые алгоритмы и компьютеры становились доступными, число известных десятичных цифр числа π резко возросло. Вертикальная шкала — логарифмическая .

Для большинства численных вычислений с участием π достаточно нескольких цифр. По словам Йорга Арндта и Кристофа Хенеля, для выполнения большинства космологических вычислений достаточно тридцати девяти цифр, поскольку именно такая точность необходима для вычисления окружности наблюдаемой Вселенной с точностью до одного атома. Принимая во внимание дополнительные цифры, необходимые для компенсации ошибок округления вычислений , Арндт приходит к выводу, что для любого научного приложения будет достаточно нескольких сотен цифр. Несмотря на это, люди упорно трудились, чтобы вычислить π до тысяч и миллионов цифр. ^[123] Эти усилия можно отчасти приписать человеческому стремлению бить рекорды, и такие достижения с π часто попадают в заголовки газет по всему миру. ^{[124] [125]} Они также имеют практическую пользу, такую ​​как тестирование суперкомпьютеров , тестирование алгоритмов численного анализа (включая высокоточные алгоритмы умножения ); и в рамках чистой математики, предоставляя данные для оценки случайности цифр числа π . ^[126]

Быстро сходящийся ряд

Шриниваса Рамануджан , работая в изоляции в Индии, создал множество инновационных серий для вычисления числа π .

Современные калькуляторы π не используют исключительно итерационные алгоритмы. В 1980-х и 1990-х годах были открыты новые бесконечные ряды, которые столь же быстры, как и итерационные алгоритмы, но при этом проще и требуют меньше памяти. ^[122] Быстрые итерационные алгоритмы были предсказаны в 1914 году, когда индийский математик Шриниваса Рамануджан опубликовал десятки инновационных новых формул для π , замечательных своей элегантностью, математической глубиной и быстрой сходимостью. ^[127] Одна из его формул, основанная на модульных уравнениях , имеет вид $${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}\left(396^{4k}\right)}}.}$$

Этот ряд сходится гораздо быстрее, чем большинство рядов arctan, включая формулу Мачина. ^[128] Билл Госпер был первым, кто использовал его для прогресса в вычислении числа π , установив рекорд в 17 миллионов цифр в 1985 году. ^[129] Формулы Рамануджана предвосхитили современные алгоритмы, разработанные братьями Борвейн ( Джонатаном и Питером ) и братьями Чудновскими . ^[130] Формула Чудновского, разработанная в 1987 году, выглядит следующим образом: $${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {10005}}{4270934400}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!\,k!^{3}(-640320)^{3k}}}.}$$

Он выдает около 14 цифр числа π на один член ^[131] и использовался для нескольких рекордных вычислений числа π , включая первое вычисление, превзошедшее 1 миллиард (10 ⁹ ) цифр в 1989 году братьями Чудновскими, 10 триллионов (10 ¹³ ) цифр в 2011 году Александром Йи и Сигеру Кондо ^[132] и 100 триллионов цифр Эммой Харукой Ивао в 2022 году. ^[133] Для получения похожих формул см. также ряд Рамануджана–Сато .

В 2006 году математик Саймон Плуфф использовал алгоритм целочисленных отношений PSLQ ^[134] для генерации нескольких новых формул для π , соответствующих следующему шаблону: где q — это e π (константа Гельфонда), k — нечетное число , а a , b , c — некоторые рациональные числа, которые вычислил Плуфф. ^[135] $${\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),}$$

Методы Монте-Карло

Методы Монте-Карло , которые оценивают результаты нескольких случайных испытаний, могут быть использованы для создания приближений π . ^[136] Игла Бюффона является одним из таких методов: если игла длиной ℓ падает n раз на поверхность, на которой проведены параллельные линии на расстоянии t единиц друг от друга, и если x раз из этих раз она останавливается, пересекая линию ( x  > 0), то можно приблизить π на основе подсчетов: ^[137] $${\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}.}$$

Другой метод Монте-Карло для вычисления π — нарисовать круг, вписанный в квадрат, и случайным образом разместить точки в квадрате. Отношение точек внутри круга к общему числу точек будет приблизительно равно π/4 . ^[138]

Пять случайных блужданий по 200 шагов. Выборочное среднее значение | W ₂₀₀ | равно μ = 56/5 , и поэтому 2(200) μ ⁻² ≈ 3,19 находится в пределах 0,05 от  π .

Другой способ вычисления π с использованием вероятности — начать со случайного блуждания , сгенерированного последовательностью (честных) подбрасываний монеты: независимые случайные величины X _k такие, что X _k ∈ {−1,1} с равными вероятностями. Соответствующее случайное блуждание таково , что для каждого n , W _n извлекается из смещенного и масштабированного биномиального распределения . При изменении n W _n определяет (дискретный) стохастический процесс . Тогда π можно вычислить по формуле ^[139] $${\displaystyle W_{n}=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}$$ $${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{E[|W_{n}|]^{2}}}.}$$

Этот метод Монте-Карло не зависит от какой-либо связи с окружностями и является следствием центральной предельной теоремы , обсуждаемой ниже.

Эти методы Монте-Карло для аппроксимации π очень медленные по сравнению с другими методами и не дают никакой информации о точном количестве полученных цифр. Таким образом, они никогда не используются для аппроксимации π, когда требуется скорость или точность. ^[140]

Алгоритмы Spigot

В 1995 году были обнаружены два алгоритма, которые открыли новые пути исследования числа π . Их называют алгоритмами с краном, потому что, подобно воде, капающей из крана , они производят отдельные цифры числа π , которые не используются повторно после их вычисления. ^{[141] [142]} Это контрастирует с бесконечными рядами или итеративными алгоритмами, которые сохраняют и используют все промежуточные цифры до тех пор, пока не будет получен окончательный результат. ^[141]

Математики Стэн Вагон и Стэнли Рабинович разработали простой алгоритм Spigot в 1995 году. ^{[142] [143] [144]} Его скорость сравнима с алгоритмами arctan, но не такая быстрая, как итеративные алгоритмы. ^[143]

Другой алгоритм Spigot, алгоритм извлечения цифр BBP , был открыт в 1995 году Саймоном Плуффом: ^{[145] [146]} $${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$$

Эта формула, в отличие от других до нее, может производить любую отдельную шестнадцатеричную цифру π без вычисления всех предыдущих цифр. ^[145] Отдельные двоичные цифры могут быть извлечены из отдельных шестнадцатеричных цифр, а восьмеричные цифры могут быть извлечены из одной или двух шестнадцатеричных цифр. Важным применением алгоритмов извлечения цифр является проверка новых заявлений на вычисления записи π : после того, как новая запись заявлена, десятичный результат преобразуется в шестнадцатеричный, а затем алгоритм извлечения цифр используется для вычисления нескольких случайно выбранных шестнадцатеричных цифр ближе к концу; если они совпадают, это дает меру уверенности в том, что все вычисление верно. ^[132]

В период с 1998 по 2000 год проект распределенных вычислений PiHex использовал формулу Белларда (модификация алгоритма BBP) для вычисления квадриллионного (10 ¹⁵ ) бита числа π , который оказался равным 0. ^[147] В сентябре 2010 года сотрудник Yahoo! использовал приложение Hadoop компании на тысяче компьютеров в течение 23 дней для вычисления 256 бит числа π в двухквадриллионном (2×10 ¹⁵ ) бите, который также оказался равным нулю. ^[148]

В 2022 году Плафф нашел алгоритм с основанием 10 для вычисления цифр числа π . ^[149]

Роль и характеристики в математике

Поскольку π тесно связано с окружностью, оно встречается во многих формулах из областей геометрии и тригонометрии, особенно тех, которые касаются окружностей, сфер или эллипсов. Другие отрасли науки, такие как статистика, физика, анализ Фурье и теория чисел, также включают π в некоторые из своих важных формул.

Геометрия и тригонометрия

Площадь круга равна π , умноженному на заштрихованную площадь. Площадь единичного круга равна π .

π появляется в формулах для площадей и объемов геометрических фигур, основанных на окружностях, таких как эллипсы , сферы , конусы и торы . Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных формул, которые включают π . ^[150]

• Длина окружности радиуса r равна 2π r .
• Площадь круга радиусом r равна π r ² .
• Площадь эллипса с большой полуосью a и малой полуосью b равна π ab .
• Объем сферы радиусом r равен ⁠4/3⁠ π р ³ .
• Площадь поверхности сферы радиусом r равна 4π r ² .

Некоторые из приведенных выше формул являются частными случаями объема n -мерного шара и площади поверхности его границы, ( n −1)-мерной сферы , приведенной ниже.

Помимо окружностей, существуют и другие кривые постоянной ширины . По теореме Барбье , каждая кривая постоянной ширины имеет периметр, равный π, умноженному на ее ширину. Треугольник Рело (образованный пересечением трех окружностей со сторонами равностороннего треугольника в качестве их радиусов) имеет наименьшую возможную площадь для своей ширины, а окружность — наибольшую. Существуют также некруглые гладкие и даже алгебраические кривые постоянной ширины. ^[151]

Определенные интегралы , описывающие окружность, площадь или объем форм, образованных окружностями, обычно имеют значения, включающие π . Например, интеграл, определяющий половину площади круга радиусом один, задается как: ^[152] $${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$$

В этом интеграле функция представляет собой высоту над осью полукруга ( квадратный корень является следствием теоремы Пифагора ), а интеграл вычисляет площадь под полукругом. ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$ ${\displaystyle x}$

Существование таких интегралов делает π алгебраическим периодом . ^[153]

Единицы измерения угла

Функции синуса и косинуса повторяются с периодом 2π .

Тригонометрические функции опираются на углы, и математики обычно используют радианы в качестве единиц измерения. π играет важную роль в углах, измеряемых в радианах, которые определяются так, что полная окружность охватывает угол в 2π радиан  . Угловая мера 180° равна π радиан, а 1° = π /180 радиан . ^[154]

Обычные тригонометрические функции имеют периоды, кратные π ; например, синус и косинус имеют период 2 π , ^[155] поэтому для любого угла θ и любого целого числа k , ^[155] $${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right){\text{ and }}\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}$$

Собственные значения

Обертоны вибрирующей струны являются собственными функциями второй производной и образуют гармоническую прогрессию . Соответствующие собственные значения образуют арифметическую прогрессию целых кратных π .

Многие появления числа π в формулах математики и естественных наук связаны с его тесной связью с геометрией. Однако число π также появляется во многих естественных ситуациях, не имеющих, по-видимому, никакого отношения к геометрии.

Во многих приложениях он играет выдающуюся роль как собственное значение . Например, идеализированная вибрирующая струна может быть смоделирована как график функции f на единичном интервале [0, 1] с фиксированными концами f (0) = f (1) = 0. Режимы вибрации струны являются решениями дифференциального уравнения , или . Таким образом, λ является собственным значением оператора второй производной и ограничено теорией Штурма–Лиувилля , чтобы принимать только определенные конкретные значения. Оно должно быть положительным, поскольку оператор отрицательно определен , поэтому удобно записать λ = ν ² , где ν > 0 называется волновым числом . Тогда f ( x ) = sin( π x ) удовлетворяет граничным условиям и дифференциальному уравнению с ν = π . ^[156] ${\displaystyle f''(x)+\lambda f(x)=0}$ ${\displaystyle f''(t)=-\lambda f(x)}$ ${\displaystyle f\mapsto f''}$

Значение π , по сути, является наименьшим таким значением волнового числа и связано с фундаментальной модой колебания струны. Один из способов показать это — оценить энергию , которая удовлетворяет неравенству Виртингера : ^[157] для функции с f (0) = f (1) = 0 и f , f ′ оба квадратично интегрируемы , мы имеем: с равенством именно тогда, когда f кратно sin(π x ) . Здесь π появляется как оптимальная константа в неравенстве Виртингера, и из этого следует, что это наименьшее волновое число, используя вариационную характеристику собственного значения. Как следствие, π является наименьшим сингулярным значением оператора производной в пространстве функций на [0, 1], обращающихся в нуль в обеих конечных точках ( пространство Соболева ). ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,}$$ ${\displaystyle H_{0}^{1}[0,1]}$

Неравенства

Согласно легенде, рассказанной лордом Кельвином , древний город Карфаген был решением изопериметрической задачи : ^[158] те земли, граничащие с морем, которые царица Дидона могла окружить со всех сторон одной-единственной бычьей шкурой, разрезанной на полоски.

Число π служит в похожих задачах на собственные значения в многомерном анализе. Как упоминалось выше, его можно охарактеризовать через его роль как наилучшей константы в изопериметрическом неравенстве : область A, заключенная в плоскую жорданову кривую периметра P, удовлетворяет неравенству , и равенство очевидно достигается для круга, поскольку в этом случае A = π r ² и P = 2π r . ^[159] $${\displaystyle 4\pi A\leq P^{2},}$$

В конечном счете, как следствие изопериметрического неравенства, π появляется в оптимальной константе для критического неравенства Соболева в n измерениях, что, таким образом, характеризует роль π также во многих физических явлениях, например, в классической теории потенциала . ^{[160] [161] [162] В двух} измерениях критическое неравенство Соболева для f является гладкой функцией с компактным носителем в R ² , является градиентом f , а и относятся соответственно к L 2 и L 1 -норме . Неравенство Соболева эквивалентно изопериметрическому неравенству (в любом измерении) с теми же наилучшими константами. $${\displaystyle 2\pi \|f\|_{2}\leq \|\nabla f\|_{1}}$$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle \|f\|_{2}}$ ${\displaystyle \|\nabla f\|_{1}}$

Неравенство Виртингера также обобщается на неравенства Пуанкаре более высокой размерности , которые обеспечивают наилучшие константы для энергии Дирихле n -мерной мембраны. В частности, π является наибольшей константой, такой что для всех выпуклых подмножеств G из R ⁿ диаметра 1 и квадратично интегрируемых функций u на G со средним нулевым значением. ^[163] Так же, как неравенство Виртингера является вариационной формой задачи собственных значений Дирихле в одном измерении, неравенство Пуанкаре является вариационной формой задачи собственных значений Неймана в любом измерении. $${\displaystyle \pi \leq {\frac {\left(\int _{G}|\nabla u|^{2}\right)^{1/2}}{\left(\int _{G}|u|^{2}\right)^{1/2}}}}$$

Преобразование Фурье и принцип неопределенности Гейзенберга

Анимация геодезической в ​​группе Гейзенберга

Константа π также появляется как критический спектральный параметр в преобразовании Фурье . Это интегральное преобразование , которое переводит комплекснозначную интегрируемую функцию f на действительной прямой в функцию, определяемую как: $${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}$$

Хотя существует несколько различных соглашений для преобразования Фурье и его обратного преобразования, любое такое соглашение должно включать π где-то . Однако приведенное выше определение является наиболее каноническим, давая единственный унитарный оператор на L ² , который также является гомоморфизмом алгебры L ¹ в L ^∞ . ^[164]

Принцип неопределенности Гейзенберга также содержит число π . Принцип неопределенности дает точную нижнюю границу степени, в которой возможно локализовать функцию как в пространстве, так и по частоте: с нашими соглашениями для преобразования Фурье, $${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}.}$$

Физическое следствие, о неопределенности в одновременных наблюдениях положения и импульса квантово-механической системы, обсуждается ниже. Появление π в формулах анализа Фурье в конечном счете является следствием теоремы Стоуна–фон Неймана , утверждающей единственность представления Шредингера группы Гейзенберга . ^[165]

Гауссовы интегралы

График функции Гаусса ƒ ( x ) = e ^{− x 2} . Цветная область между функцией и осью x имеет площадь √ π .

В областях вероятности и статистики нормальное распределение часто используется как простая модель для сложных явлений; например, ученые обычно предполагают, что ошибка наблюдения в большинстве экспериментов следует нормальному распределению. ^[166] Гауссова функция , которая является функцией плотности вероятности нормального распределения со средним значением μ и стандартным отклонением σ , естественным образом содержит π : ^[167] $${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$$

Фактор делает площадь под графиком f равной единице, как и требуется для распределения вероятностей. Это следует из замены переменных в гауссовом интеграле : ^[167] который говорит, что площадь под основной колоколообразной кривой на рисунке равна квадратному корню из π . ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-u^{2}}\,du={\sqrt {\pi }}}$$

Центральная предельная теорема объясняет центральную роль нормальных распределений, и, таким образом , π , в вероятности и статистике. Эта теорема в конечном счете связана со спектральной характеристикой π как собственного значения, связанного с принципом неопределенности Гейзенберга, и тем фактом, что равенство выполняется в принципе неопределенности только для гауссовой функции. ^[168] Эквивалентно, π является уникальной константой, делающей гауссовское нормальное распределение e ^{−π x 2} равным его собственному преобразованию Фурье. ^[169] Действительно, согласно Хоу (1980), «вся работа» по установлению фундаментальных теорем анализа Фурье сводится к гауссовскому интегралу. ^[165]

Топология

Униформизация квартики Клейна , поверхности рода три и эйлеровой характеристики −4, как фактор гиперболической плоскости по группе симметрии PSL(2,7) плоскости Фано . Гиперболическая площадь фундаментальной области равна 8π , по Гауссу–Бонне.

Константа π появляется в формуле Гаусса–Бонне , которая связывает дифференциальную геометрию поверхностей с их топологией . В частности, если компактная поверхность Σ имеет гауссову кривизну K , то где χ (Σ) — эйлерова характеристика , которая является целым числом. ^[170] Примером является площадь поверхности сферы S кривизны 1 (так что ее радиус кривизны , совпадающий с ее радиусом, также равен 1.) Эйлерова характеристика сферы может быть вычислена из ее групп гомологии и оказывается равной двум. Таким образом, мы воспроизводим формулу для площади поверхности сферы радиуса 1. $${\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )}$$ $${\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi }$$

Константа появляется во многих других интегральных формулах в топологии, в частности, в тех, которые включают характеристические классы посредством гомоморфизма Черна–Вейля . ^[171]

Интегральная формула Коши

Комплексные аналитические функции можно визуализировать как набор линий тока и эквипотенциалей, систем кривых, пересекающихся под прямым углом. Здесь проиллюстрирован комплексный логарифм гамма-функции.

Одним из ключевых инструментов комплексного анализа является контурное интегрирование функции по положительно ориентированной ( спрямляемой ) жордановой кривой γ . Форма интегральной формулы Коши утверждает, что если точка z ₀ является внутренней по отношению к γ , то ^[172] $${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi i.}$$

Хотя кривая γ не является окружностью и, следовательно, не имеет очевидной связи с константой π , стандартное доказательство этого результата использует теорему Мореры , которая подразумевает, что интеграл инвариантен относительно гомотопии кривой, так что его можно деформировать в окружность, а затем явно проинтегрировать в полярных координатах. В более общем смысле верно, что если спрямляемая замкнутая кривая γ не содержит z ₀ , то указанный выше интеграл равен 2π i, умноженному на число оборотов кривой.

Общая форма интегральной формулы Коши устанавливает связь между значениями комплексной аналитической функции f ( z ) на жордановой кривой γ и значением f ( z ) в любой внутренней точке z ₀ кривой γ : ^[173] при условии, что f ( z ) аналитична в области, ограниченной γ , и непрерывно продолжается до γ . Интегральная формула Коши является частным случаем теоремы о вычетах , что если g ( z ) является мероморфной функцией в области, ограниченной γ , и непрерывна в окрестности γ , то где сумма вычетов в полюсах g ( z ) . $${\displaystyle \oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz=2\pi if(z_{0})}$$ $${\displaystyle \oint _{\gamma }g(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (g,a_{k})}$$

Векторные исчисления и физика

Константа π повсеместно встречается в векторном исчислении и теории потенциала , например, в законе Кулона , ^[174] законе Гаусса , уравнениях Максвелла и даже уравнениях поля Эйнштейна . ^{[175] [176]} Возможно, самым простым примером этого является двумерный ньютоновский потенциал , представляющий потенциал точечного источника в начале координат, связанное поле которого имеет единичный внешний поток через любую гладкую и ориентированную замкнутую поверхность, охватывающую источник: Множитель необходим для того, чтобы гарантировать, что является фундаментальным решением уравнения Пуассона в : ^[177] где - дельта-функция Дирака . $${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\log |\mathbf {x} |.}$$ ${\displaystyle 1/2\pi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle \Delta \Phi =\delta }$$ ${\displaystyle \delta }$

В более высоких измерениях факторы π присутствуют из-за нормализации по n-мерному объему единичной n-сферы . Например, в трех измерениях ньютоновский потенциал равен: ^[177] который имеет 2-мерный объем (т.е. площадь) единичной 2-сферы в знаменателе. $${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )=-{\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} |}},}$$

Общая кривизна

Эта кривая имеет общую кривизну 6π и индекс/число витков 3, хотя она имеет только число витков 2 вокруг p .

В математическом исследовании дифференциальной геометрии кривых полная кривизна погруженной плоской кривой представляет собой интеграл кривизны вдоль кривой , взятый относительно длины дуги :

${\displaystyle \int _{a}^{b}k(s)\,ds=2\pi N.}$

Полная кривизна замкнутой кривой всегда является целым числом, кратным 2π , где N называется индексом кривой или числом поворота — это число оборотов единичного касательного вектора вокруг начала координат или, что эквивалентно, степень отображения единичной окружности , назначающая каждой точке кривой единичный вектор скорости в этой точке. Эта карта похожа на карту Гаусса для поверхностей.

Гамма-функция и приближение Стирлинга

График гамма-функции на действительной оси

Функция факториала является произведением всех положительных целых чисел до n . Гамма-функция расширяет концепцию факториала (обычно определяемую только для неотрицательных целых чисел) на все комплексные числа, за исключением отрицательных действительных целых чисел, с тождеством . Когда гамма- функция вычисляется в полуцелых числах, результат содержит π . Например, и . ^[178] ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ ${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$ ${\textstyle \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}$

Гамма-функция определяется ее развитием произведения Вейерштрасса : ^[179] где γ — константа Эйлера–Маскерони . Оцененное при z = 1/2 и возведенное в квадрат, уравнение Γ(1/2) ² = π сводится к формуле произведения Уоллиса. Гамма-функция также связана с дзета-функцией Римана и тождествами для функционального определителя , в которых константа π играет важную роль. $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{z/n}}{1+z/n}}}$$

Гамма - функция используется для вычисления объема V _n ( r ) n -мерного шара радиуса r в евклидовом n -мерном пространстве и площади поверхности S _{n −1} ( r ) его границы, ( n −1)-мерной сферы : ^[180] $${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},}$$ $${\displaystyle S_{n-1}(r)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n-1}.}$$

Далее, из функционального уравнения следует , что $${\displaystyle 2\pi r={\frac {S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}}.}$$

Гамма-функцию можно использовать для создания простого приближения к факториальной функции n ! для больших n : которое известно как приближение Стирлинга . ^[181] Эквивалентно, ${\textstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ $${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}}.}$$

В качестве геометрического применения приближения Стирлинга пусть Δ _n обозначает стандартный симплекс в n -мерном евклидовом пространстве, а ( n  + 1)Δ _n обозначает симплекс, все стороны которого увеличены в n  + 1 раз . Тогда $${\displaystyle \operatorname {Vol} ((n+1)\Delta _{n})={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}\sim {\frac {e^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}.}$$

Гипотеза Эрхарта об объеме состоит в том, что это (оптимальная) верхняя граница объема выпуклого тела, содержащего только одну точку решетки . ^[182]

Теория чисел и дзета-функция Римана

Каждое простое число имеет связанную с ним группу Прюфера , которые являются арифметическими локализациями окружности. L-функции аналитической теории чисел также локализованы в каждом простом числе p .

Решение Базельской проблемы с использованием гипотезы Вейля : значение ζ (2) представляет собой гиперболическую площадь фундаментальной области модулярной группы , умноженную на π /2 .

Дзета -функция Римана ζ ( s ) используется во многих областях математики. При оценке при s = 2 ее можно записать как $${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }$$

Нахождение простого решения для этого бесконечного ряда было известной проблемой в математике, называемой Базельской проблемой . Леонард Эйлер решил ее в 1735 году, когда показал, что она равна π ² /6 . ^[92] Результат Эйлера приводит к результату теории чисел , что вероятность того, что два случайных числа являются взаимно простыми (то есть не имеют общих множителей), равна 6/π ² . ^{[183] ​​[184]} Эта вероятность основана на наблюдении, что вероятность того, что любое число делится на простое число p , равна 1/ p (например, каждое 7-е целое число делится на 7.) Следовательно, вероятность того, что два числа оба делятся на это простое число, равна 1/ p ² , а вероятность того, что хотя бы одно из них не делится, равна 1 − 1/ p ² . Для различных простых чисел эти события делимости взаимно независимы; поэтому вероятность того, что два числа являются взаимно простыми, определяется произведением по всем простым числам: ^[185] $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)&=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}\\[4pt]&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}\\[4pt]&={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%.\end{aligned}}}$$

Эту вероятность можно использовать в сочетании с генератором случайных чисел для аппроксимации числа π с использованием метода Монте-Карло. ^[186]

Решение Базельской проблемы подразумевает, что геометрически выведенная величина π связана глубоким образом с распределением простых чисел. Это частный случай гипотезы Вейля о числах Тамагавы , которая утверждает равенство подобных бесконечных произведений арифметических величин, локализованных в каждом простом числе p , и геометрической величины: обратной величины объема некоторого локально симметричного пространства . В случае Базельской проблемы это гиперболическое 3-многообразие SL ₂ ( R ) / SL ₂ ( Z ) . ^[187]

Дзета-функция также удовлетворяет функциональному уравнению Римана, которое включает в себя π и гамма-функцию: $${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$$

Кроме того, производная дзета-функции удовлетворяет $${\displaystyle \exp(-\zeta '(0))={\sqrt {2\pi }}.}$$

Следствием этого является то, что π может быть получено из функционального определителя гармонического осциллятора . Этот функциональный определитель может быть вычислен с помощью расширения произведения и эквивалентен формуле произведения Уоллиса. ^[188] Расчет может быть переработан в квантовой механике , в частности, вариационный подход к спектру атома водорода . ^[189]

ряд Фурье

π появляется в символах p-адических чисел (показано), которые являются элементами группы Прюфера . Диссертация Тейта активно использует этот механизм. ^[190]

Константа π также естественным образом появляется в рядах Фурье периодических функций . Периодические функции — это функции на группе T = R / Z дробных частей действительных чисел. Разложение Фурье показывает, что комплекснозначная функция f на T может быть записана как бесконечная линейная суперпозиция унитарных характеров T. То есть непрерывные групповые гомоморфизмы из T в группу окружности U (1) комплексных чисел с единичным модулем. Теорема гласит, что каждый характер T является одной из комплексных экспонент . ${\displaystyle e_{n}(x)=e^{2\pi inx}}$

На T существует единственный характер , с точностью до комплексного сопряжения, который является групповым изоморфизмом. Используя меру Хаара на группе окружности, константа π равна половине величины производной Радона–Никодима этого характера. Другие характеры имеют производные, величины которых являются положительными целыми кратными 2 π . ^[20] В результате константа π является единственным числом, таким что группа T , снабженная своей мерой Хаара, является двойственной по Понтрягину к решетке целых кратных 2 π . ^[191] Это версия одномерной формулы суммирования Пуассона .

Модульные формы и тета-функции

Тета-функции преобразуются под действием решетки периодов эллиптической кривой.

Константа π тесно связана с теорией модулярных форм и тета-функций . Например, алгоритм Чудновского существенным образом включает j-инвариант эллиптической кривой .

Модулярные формы — это голоморфные функции в верхней полуплоскости , характеризующиеся своими свойствами преобразования под действием модулярной группы (или ее различных подгрупп), решетки в группе . Примером является тета-функция Якоби , которая является разновидностью модулярной формы, называемой формой Якоби . ^[192] Иногда это записывается в терминах нома . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inz+i\pi n^{2}\tau }}$$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

Константа π является уникальной константой, делающей тета-функцию Якоби автоморфной формой , что означает, что она преобразуется определенным образом. Определенные тождества справедливы для всех автоморфных форм. Примером является , что подразумевает, что θ преобразуется как представление под дискретной группой Гейзенберга . Общие модулярные формы и другие тета-функции также включают π , опять же из-за теоремы Стоуна–фон Неймана . ^[192] $${\displaystyle \theta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i\tau -2\pi iz}\theta (z,\tau ),}$$

Распределение Коши и теория потенциала

Ведьма Аньези , названная в честь Марии Аньези (1718–1799), представляет собой геометрическую конструкцию графика распределения Коши.

Распределение Коши управляет прохождением броуновских частиц через мембрану.

Распределение Коши — это функция плотности вероятности . Полная вероятность равна единице, благодаря интегралу: $${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi .}$$

Энтропия Шеннона распределения Коши равна ln(4π) , что также включает π .

Распределение Коши играет важную роль в теории потенциала , поскольку это простейшая мера Фюрстенберга , классическое ядро ​​Пуассона, связанное с броуновским движением в полуплоскости. ^[193] Сопряженные гармонические функции , а также преобразование Гильберта связаны с асимптотикой ядра Пуассона. Преобразование Гильберта H является интегральным преобразованием, заданным главным значением Коши сингулярного интеграла $${\displaystyle Hf(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)\,dx}{x-t}}.}$$

Константа π является единственным (положительным) нормирующим множителем, таким, что H определяет линейную комплексную структуру на гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых действительных функций на действительной прямой. ^[194] Преобразование Гильберта, как и преобразование Фурье, можно охарактеризовать исключительно в терминах его свойств преобразования на гильбертовом пространстве L ² ( R ) : с точностью до нормирующего множителя это единственный ограниченный линейный оператор, который коммутирует с положительными расширениями и антикоммутирует со всеми отражениями действительной прямой. ^[195] Константа π является единственным нормирующим множителем, который делает это преобразование унитарным.

В множестве Мандельброта

Множество Мандельброта можно использовать для аппроксимации числа π .

Появление π во фрактале , называемом множеством Мандельброта, было обнаружено Дэвидом Боллом в 1991 году. ^[196] Он исследовал поведение множества Мандельброта вблизи «шейки» в точке (−0,75, 0) . Когда число итераций до расхождения для точки (−0,75, ε ) умножается на ε , результат приближается к π, когда ε приближается к нулю. Точка (0,25 + ε , 0) на вершине большой «долины» на правой стороне множества Мандельброта ведет себя аналогично: число итераций до расхождения, умноженное на квадратный корень из ε, стремится к π . ^{[196] [197]}

Проективная геометрия

Пусть V — множество всех дважды дифференцируемых действительных функций , удовлетворяющих обыкновенному дифференциальному уравнению . Тогда V — двумерное действительное векторное пространство с двумя параметрами, соответствующими паре начальных условий для дифференциального уравнения. Для любого пусть — оценочный функционал, который сопоставляет каждому значение функции f в действительной точке t . Тогда для каждого t ядро ​​является одномерным линейным подпространством V . Следовательно, определяет функцию из от действительной прямой до действительной проективной прямой . Эта функция является периодической, и величину π можно охарактеризовать как период этого отображения. ^[198] Это примечательно тем, что константа π , а не 2 π , естественным образом появляется в этом контексте. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f''(x)+f(x)=0}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle e_{t}:V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\in V}$ ${\displaystyle e_{t}(f)=f(t)}$ ${\displaystyle e_{t}}$ ${\displaystyle t\mapsto \ker e_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {P} (V)}$

Вне математики

Описание физических явлений

Хотя это и не физическая константа , π регулярно появляется в уравнениях, описывающих фундаментальные принципы вселенной, часто из-за связи π с окружностью и сферическими системами координат . Простая формула из области классической механики дает приблизительный период T простого маятника длиной L , качающегося с малой амплитудой ( g — ускорение свободного падения Земли ): ^[199] $${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}.}$$

Одной из ключевых формул квантовой механики является принцип неопределенности Гейзенберга , который показывает, что неопределенность измерения положения частицы (Δ x ) и ее импульса (Δ p ) не может быть сколь угодно малой одновременно (где h — постоянная Планка ): ^[200] $${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}.}$$

Тот факт, что π приблизительно равно 3, играет роль в относительно долгом времени жизни ортопозитрония . Обратное время жизни в низшем порядке по постоянной тонкой структуры α равно ^[201], где m _e — масса электрона. $${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m_{\text{e}}\alpha ^{6},}$$

π присутствует в некоторых формулах структурной инженерии, таких как формула потери устойчивости , выведенная Эйлером, которая дает максимальную осевую нагрузку F, которую длинная тонкая колонна длиной L , модулем упругости E и моментом инерции площади I может выдерживать без потери устойчивости: ^[202] $${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}.}$$

В области динамики жидкости содержится π в законе Стокса , который аппроксимирует силу трения F, действующую на малые сферические объекты радиуса R , движущиеся со скоростью v в жидкости с динамической вязкостью η : ^[203] $${\displaystyle F=6\pi \eta Rv.}$$

В электромагнетизме константа проницаемости вакуума μ ₀ появляется в уравнениях Максвелла , которые описывают свойства электрических и магнитных полей и электромагнитного излучения . До 20 мая 2019 года она определялась как точно $${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}{\text{ H/m}}\approx 1.2566370614\ldots \times 10^{-6}{\text{ N/A}}^{2}.}$$

Запоминание цифр

Пифилология — это практика запоминания большого количества цифр числа π , ^[204] а мировые рекорды хранятся в Книге рекордов Гиннесса . Рекорд по запоминанию цифр числа π , сертифицированный Книгой рекордов Гиннесса, составляет 70 000 цифр, прочитанных в Индии Раджвиром Миной за 9 часов и 27 минут 21 марта 2015 года. ^[205] В 2006 году Акира Харагути , японский инженер на пенсии, утверждал, что процитировал 100 000 знаков после запятой, но это заявление не было подтверждено Книгой рекордов Гиннесса. ^[206]

Одним из распространенных методов является запоминание истории или стихотворения, в котором длина слов представляет собой цифры числа π : первое слово состоит из трех букв, второе слово — из одной, третье — из четырех, четвертое — из одной, пятое — из пяти и так далее. Такие средства запоминания называются мнемоникой . Ранним примером мнемоники для числа π, первоначально придуманной английским ученым Джеймсом Джинсом , является «Как я хочу выпить, алкогольного, конечно, после тяжелых лекций, связанных с квантовой механикой». ^[204] Когда используется стихотворение, его иногда называют piem . ^[207] Стихи для запоминания числа π были написаны на нескольких языках в дополнение к английскому. ^[204] Рекордсмены, запоминающие число π, обычно не полагаются на стихи, а вместо этого используют такие методы, как запоминание числовых моделей и метод геометрических мест . ^[208]

Несколько авторов использовали цифры числа π для создания новой формы ограниченного письма , где длины слов должны представлять цифры числа π . Каденция Кадеика содержит первые 3835 цифр числа π таким образом, ^[209] а полноценная книга Not a Wake содержит 10 000 слов, каждое из которых представляет одну цифру числа π . ^[210]

В популярной культуре

Пирог с числом «пи». Многие пироги имеют круглую форму, а «пирог» и π являются омофонами , что делает пирог частым объектом каламбуров на тему числа «пи» .

Возможно, из-за простоты определения и повсеместного присутствия в формулах число π было представлено в популярной культуре больше, чем другие математические конструкции. ^[211]

В Palais de la Découverte (научный музей в Париже) есть круглая комната, известная как комната числа π . На ее стене начертаны 707 цифр числа π . Цифры представляют собой большие деревянные символы, прикрепленные к куполообразному потолку. Цифры были основаны на расчете 1873 года английского математика Уильяма Шэнкса , который включал ошибку, начинающуюся с 528-й цифры. Ошибка была обнаружена в 1946 году и исправлена ​​в 1949 году. ^[212]

В романе Карла Сагана 1985 года «Контакт» предполагается, что создатель вселенной спрятал сообщение глубоко в цифрах числа π . Эта часть истории была исключена из экранизации романа. ^{[213] [214]} Цифры числа π также были включены в текст песни «Pi» из альбома 2005 года Aerial Кейт Буш . ^[215] В эпизоде ​​сериала «Звездный путь » 1967 года « Волк в стаде » неконтролируемый компьютер сдерживается с помощью инструкции «Вычислить до последней цифры значение числа π ». ^[47]

В Соединенных Штатах День числа Пи приходится на 14 марта (пишется как 3/14 в американском стиле) и популярен среди студентов. ^[47] Число π и его цифровое представление часто используются самопровозглашенными «математиками- гиками » для шуток среди математически и технологически мыслящих групп. Приветствие колледжей , приписываемое по-разному Массачусетскому технологическому институту или Политехническому институту Ренсселера, включает «3,14159». ^{[216] [217]} День числа Пи в 2015 году был особенно значимым, потому что дата и время 3/14/15 9:26:53 отражали гораздо больше цифр числа Пи. ^{[218] [219]} В тех частях мира, где даты обычно отмечаются в формате день/месяц/год, 22 июля представляет собой «День приближения числа Пи», поскольку 22/7 = 3,142857. ^[220]

Некоторые предлагали заменить π на τ = 2 π , ^[221] утверждая, что τ , как число радиан за один оборот или отношение длины окружности к ее радиусу, более естественно, чем π, и упрощает многие формулы. ^{[222] [223]} Такое использование τ не вошло в общепринятую математику, ^[224] но с 2010 года это привело к тому, что люди стали праздновать День двух пи или День тау 28 июня. ^[225]

В 1897 году математик-любитель попытался убедить законодательный орган Индианы принять законопроект о числе пи в Индиане , в котором описывался метод квадратуры круга и содержался текст, подразумевавший различные неверные значения числа π , включая 3,2. Законопроект печально известен как попытка установить значение математической константы законодательным указом. Законопроект был принят Палатой представителей Индианы, но отклонен Сенатом, и поэтому не стал законом. ^[226]

В компьютерной культуре

В современной интернет-культуре люди и организации часто отдают дань уважения числу π . Например, компьютерный ученый Дональд Кнут позволил номерам версий своей программы TeX приближаться к π . Версии — 3, 3.1, 3.14 и так далее. ^[227]

Многие языки программирования включают π для использования в программах. Аналогично, τ был добавлен в несколько языков программирования как предопределенная константа. ^{[228] [229]}

Смотрите также

• Приближения числа π
• Хронология вычисления числа π
• Список математических констант

Ссылки

Пояснительные записки

1. В частности, предполагается, что π является нормальным числом , что подразумевает определенный вид статистической случайности его цифр во всех основаниях.
2. Конкретный интеграл, который использовал Вейерштрасс, был ^[13] $${\displaystyle \pi =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}.}$$
3. Показанный полином представляет собой первые несколько членов разложения синусоидальной функции в ряд Тейлора .

Цитаты

1. Эндрюс, Аски и Рой 1999, стр. 59.
2. Гупта, RC (1992). «Об остаточном члене ряда Мадхавы–Лейбница». Ганита Бхарати . 14 (1–4): 68–71.
3. Jones, William (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos. London: J. Wale. pp. 243, 263. p. 263: Существуют различные другие способы нахождения длин или площадей отдельных кривых линий или плоскостей , которые могут значительно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к окружности как 1 к 3,14159, и т. д. = π . Этот ряд (среди других для той же цели и выведенных из того же принципа) я получил от превосходного аналитика и моего весьма уважаемого друга г-на Джона Мачина ; и с его помощью число Ван Кейлена или то, что в статье 64.38, может быть исследовано со всей желаемой легкостью и быстротой.
   ${\displaystyle {\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=}$
   

   Перепечатано в Smith, David Eugene (1929). «William Jones: The First Use of π for the Circle Ratio». A Source Book in Mathematics . McGraw–Hill. pp. 346–347.

4. "πe триллион цифр числа π". pi2e.ch . Архивировано из оригинала 6 декабря 2016 года.
5. Харука Ивао, Эмма (14 марта 2019 г.). «Пи в небе: вычисление рекордных 31,4 триллиона цифр постоянной Архимеда в Google Cloud». Google Cloud Platform . Архивировано из оригинала 19 октября 2019 г. Получено 12 апреля 2019 г.
6. Арндт и Хенель 2006, стр. 17.
7. Бейли, Дэвид Х.; Плуфф, Саймон М.; Борвейн, Питер Б.; Борвейн, Джонатан М. (1997). «В поисках ПИ». The Mathematical Intelligencer . 19 (1): 50–56. CiteSeerX 10.1.1.138.7085 . doi :10.1007/BF03024340. ISSN  0343-6993. S2CID  14318695. 
8. Отред, Уильям (1652). Теорематум в libris Archimedis de sphaera et cylindro declarario (на латыни). Экскудебат Л. Личфилд, Венент апуд Т. Робинсон. дельта . π  :: полудиаметр. полупериферия
9. "pi". Dictionary.reference.com. 2 марта 1993 г. Архивировано из оригинала 28 июля 2014 г. Получено 18 июня 2012 г.
10. Arndt & Haenel 2006, стр. 8.
11. Апостол, Том (1967). Исчисление . Т. 1 (2-е изд.). Wiley. стр. 102. С логической точки зрения это неудовлетворительно на данном этапе, поскольку мы еще не обсудили концепцию длины дуги
12. Remmert 2012, стр. 129.
13. Реммерт 2012, стр. 148.
    Вейерштрасс, Карл (1841). «Darstellung einer analytischen Function einer complexen Veränderlichen, deren Absoluter Betrag zwischen zwei gegebenen Grenzen Liegt» [Представление аналитической функции комплексной переменной, абсолютное значение которой лежит между двумя заданными пределами]. Mathematische Werke (на немецком языке). Том. 1. Берлин: Майер и Мюллер (опубликовано в 1894 г.). стр. 51–66.
14. Бальцер, Ричард (1870). Die Elemente der Mathematik [ Элементы математики ] (на немецком языке). Хирзель. п. 195. Архивировано из оригинала 14 сентября 2016 года.
15. Ландау, Эдмунд (1934). Einführung in die Differentialrechnung und Integralrechnung (на немецком языке). Нордофф. п. 193.
16. Rudin, Walter (1976). Принципы математического анализа . McGraw-Hill. стр. 183. ISBN 978-0-07-054235-8.
17. Рудин, Уолтер (1986). Действительный и комплексный анализ . McGraw-Hill. стр. 2.
18. Альфорс, Ларс (1966). Комплексный анализ . McGraw-Hill. стр. 46.
19. Бурбаки, Николя (1981). Общая топология . Спрингер. §VIII.2.
20. Бурбаки, Николя (1979). Foctions d'unevariableréelle (на французском языке). Спрингер. §II.3.
21. Arndt & Haenel 2006, с. 5.
22. Салихов, В. (2008). «О мере иррациональности числа π». Российские математические обзоры . 53 (3): 570–572. Bibcode :2008RuMaS..63..570S. doi :10.1070/RM2008v063n03ABEH004543. ISSN  0036-0279. S2CID  250798202.
23. Арндт и Хенель 2006, стр. 22–23.
24. Арндт и Хенель 2006, стр. 22, 28–30.
25. Арндт и Хенель 2006, стр. 3.
26. Арндт и Хенель 2006, стр. 6.
27. Посаментье и Леманн 2004, с. 25
28. Эймар и Лафон 2004, стр. 129
29. Бекманн, Питер (1989) [1974]. История Пи . St. Martin's Press. стр. 37. ISBN 978-0-88029-418-8.
30. Шлагер, Нил; Лауэр, Джош (2001). Наука и ее время: понимание социальной значимости научного открытия . Gale Group. ISBN 978-0-7876-3933-4. Архивировано из оригинала 13 декабря 2019 . Получено 19 декабря 2019 ., стр. 185.
31. Eymard & Lafon 2004, с. 78
32. Арндт и Хенель 2006, стр. 33.
33. Моллин, РА (1999). «Продолжительная дробь драгоценных камней». Новый архив для Вискунде . 17 (3): 383–405. МР  1743850.
34. Ланге, Л. Дж. (май 1999 г.). «Элегантная непрерывная дробь для числа π ». The American Mathematical Monthly . 106 (5): 456–458. doi :10.2307/2589152. JSTOR  2589152.
35. Арндт и Хенель 2006, с. 240.
36. Арндт и Хенель 2006, с. 242.
37. Кеннеди, ES (1978). "Абу-р-Райхан аль-Бируни, 973–1048". Журнал истории астрономии . 9 : 65. Bibcode :1978JHA.....9...65K. doi :10.1177/002182867800900106. S2CID  126383231. Птолемей использовал приближение из трех шестидесятеричных цифр, а Джамшид аль-Каши расширил его до девяти цифр; см. Aaboe, Asger (1964). Episodes from the Early History of Mathematics. New Mathematical Library. Vol. 13. New York: Random House. p. 125. ISBN 978-0-88385-613-0. Архивировано из оригинала 29 ноября 2016 года.
38. Абрамсон 2014, Раздел 8.5: Полярная форма комплексных чисел.
39. Бронштейн и Семендяев 1971, с. 592
40. Maor, Eli (2009). E: История одного числа . Princeton University Press. стр. 160. ISBN 978-0-691-14134-3.
41. Эндрюс, Аски и Рой 1999, стр. 14.
42. Arndt & Haenel 2006, с. 167.
43. Герц-Фишлер, Роджер (2000). Форма Великой пирамиды. Wilfrid Laurier University Press. стр. 67–77, 165–166. ISBN 978-0-88920-324-2. Архивировано из оригинала 29 ноября 2016 . Получено 5 июня 2013 .
44. Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Princeton University Press. стр. 27. ISBN 978-0691120676.
45. Арндт и Хенель 2006, с. 170.
46. Арндт и Хенель 2006, стр. 175, 205.
47. Borwein, Jonathan M. (2014). «Жизнь числа π : от Архимеда до ENIAC и далее». В Sidoli, Nathan; Van Brummelen, Glen (ред.). From Alexandria, through Baghdad: Surveys and studies in the Ancient Greek and medieval Islamic Math Sciences in honor of JL Berggren . Heidelberg: Springer. pp. 531–561. doi :10.1007/978-3-642-36736-6_24. ISBN 978-3-642-36735-9. МР  3203895.
48. Арндт и Хенель 2006, с. 171.
49. Арндт и Хенель 2006, с. 176.
50. Бойер и Мерцбах 1991, стр. 168.
51. Arndt & Haenel 2006, стр. 15–16, 175, 184–186, 205. Гринбергер достиг 39 цифр в 1630 году; Шарп — 71 цифру в 1699 году.
52. Арндт и Хенель 2006, стр. 176–177.
53. Boyer & Merzbach 1991, стр. 202
54. Арндт и Хенель 2006, с. 177.
55. Арндт и Хенель 2006, с. 178.
56. Арндт и Хенель 2006, с. 179.
57. Arndt & Haenel 2006, с. 180.
58. Азарян, Мохаммад К. (2010). «al-Risāla al-muhītīyya: A Summary». Missouri Journal of Mathematical Sciences . 22 (2): 64–85. doi : 10.35834/mjms/1312233136 .
59. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999). "Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi". Архив истории математики MacTutor . Архивировано из оригинала 12 апреля 2011 года . Получено 11 августа 2012 года .
60. Arndt & Haenel 2006, стр. 182.
61. Арндт и Хенель 2006, стр. 182–183.
62. Арндт и Хенель 2006, с. 183.
63. Гринбергерус, Христофор (1630). Elementa Trigonometrica (PDF) (на латыни). Архивировано из оригинала (PDF) 1 февраля 2014 года.Его оценка была 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.
64. Brezinski, C. (2009). «Некоторые пионеры методов экстраполяции». В Bultheel, Adhemar ; Cools, Ronald (ред.). Рождение численного анализа. World Scientific. стр. 1–22. doi :10.1142/9789812836267_0001. ISBN 978-981-283-625-0.
65. Йодер, Джоэлла Г. (1996). «По следам геометрии: математический мир Христиана Гюйгенса». Де Зевентьенде Эув . 12 : 83–93 – через Цифровую библиотеку голландской литературы .
66. Арндт и Хенель 2006, стр. 185–191.
67. Рой, Ранджан (1990). «Открытие формулы ряда для π Лейбницем, Грегори и Нилакантой» (PDF) . Mathematics Magazine . 63 (5): 291–306. doi :10.1080/0025570X.1990.11977541. Архивировано из оригинала (PDF) 14 марта 2023 г. . Получено 21 февраля 2023 г. .
68. Арндт и Хенель 2006, стр. 185–186.
69. Джозеф, Джордж Гевергезе (1991). Гребень павлина: неевропейские корни математики. Princeton University Press. стр. 264. ISBN 978-0-691-13526-7.
70. Arndt & Haenel 2006, с. 187.
71. OEIS : A060294
72. Виета, Франциск (1593). Разнообразие математических ответов. Том. VIII.
73. Arndt & Haenel 2006, стр. 188. Ньютон цитируется Арндтом.
74. Хорват, Миклош (1983). «О лейбницевой квадратуре круга» (PDF) . Annales Universitatis Scientiarum Buddhaiensis (Sectio Computatorica) . 4 : 75–83.
75. Eymard & Lafon 2004, стр. 53–54.
76. Cooker, MJ (2011). "Быстрые формулы для медленно сходящихся чередующихся рядов" (PDF) . Mathematical Gazette . 95 (533): 218–226. doi :10.1017/S0025557200002928. S2CID  123392772. Архивировано из оригинала (PDF) 4 мая 2019 года . Получено 23 февраля 2023 года .
77. Арндт и Хенель 2006, с. 189.
78. Tweddle, Ian (1991). "Джон Мачин и Роберт Симсон о рядах обратных касательных для π ". Архив для History of Exact Sciences . 42 (1): 1–14. doi :10.1007/BF00384331. JSTOR  41133896. S2CID  121087222.
79. Арндт и Хенель 2006, стр. 192–193.
80. Arndt & Haenel 2006, стр. 72–74
81. Lehmer, DH (1938). "On Arccotangent Relations for π" (PDF) . American Mathematical Monthly . 45 (10): 657–664 Опубликовано: Mathematical Association of America. doi :10.1080/00029890.1938.11990873. JSTOR  2302434. Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2023 г. . Получено 21 февраля 2023 г. .
82. Рой, Ранджан (2021) [1-е изд. 2011]. Серии и продукты в развитии математики . Том 1 (2-е изд.). Cambridge University Press. С. 215–216, 219–220.

    Ньютон, Исаак (1971). Уайтсайд, Дерек Томас (ред.). Математические труды Исаака Ньютона . Т. 4, 1674–1684. Cambridge University Press. С. 526–653.

83. Сандифер, Эд (2009). "Оценка π" (PDF) . Как это сделал Эйлер .Перепечатано в книге «Как Эйлер сделал даже больше» . Математическая ассоциация Америки. 2014. С. 109–118.

    Эйлер, Леонард (1755). «§2.2.30». Institutiones Calculi Differentialis (на латыни). Academiae Imperialis Scientiarium Petropolitanae. п. 318. Е 212.

    Эйлер, Леонард (1798) [написано в 1779 году]. «Investigatio quarundam serierum, quae adrationem peripheriae Circuli ad Diametrum Vero Proxime Definiendam Maxime Sunt Accommodatae». Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitinae . 11 : 133–149, 167–168. Е 705.

    Цзянь-Ли, Хван (2004). «88.38 Некоторые наблюдения о методе арктангенсов для вычисления π ». Mathematical Gazette . 88 (512): 270–278. doi :10.1017/S0025557200175060. S2CID  123532808.

    Chien-Lih, Hwang (2005). "89.67 Элементарный вывод ряда Эйлера для функции арктангенса". Mathematical Gazette . 89 (516): 469–470. doi :10.1017/S0025557200178404. S2CID  123395287.

84. Арндт и Хенель 2006, стр. 192–196, 205.
85. Арндт и Хенель 2006, стр. 194–196
86. Хейс, Брайан (сентябрь 2014 г.). «Карандаш, бумага и число Пи». American Scientist . Том 102, № 5. стр. 342. doi :10.1511/2014.110.342 . Получено 22 января 2022 г.
87. Борвейн, Дж. М.; Борвейн, П. Б. (1988). «Рамануджан и Пи». Scientific American . 256 (2): 112–117. Bibcode : 1988SciAm.258b.112B. doi : 10.1038/scientificamerican0288-112.
    Арндт и Хенель 2006, стр. 15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202
88. Арндт и Хенель 2006, стр. 69–72.
89. Борвейн, Дж. М.; Борвейн, П. Б.; Дилчер, К. (1989). «Пи, числа Эйлера и асимптотические разложения». American Mathematical Monthly . 96 (8): 681–687. doi :10.2307/2324715. hdl : 1959.13/1043679 . JSTOR  2324715.
90. Арндт и Хенель 2006, Формула 16.10, стр. 223.
91. Уэллс, Дэвид (1997). Словарь любопытных и интересных чисел издательства Penguin (пересмотренное издание). Penguin. стр. 35. ISBN 978-0-14-026149-3.
92. Posamentier & Lehmann 2004, с. 284
93. Ламберт, Иоганн, «Mémoire sur quelques proprietés remarquables des quantités Transcantes circulaires et logarithmiques», перепечатано в Berggren, Borwein & Borwein 1997, стр. 129–140.
94. Линдеманн, Ф. (1882). «Über die Ludolph'sche Zahl». Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin . 2 : 679–682.
95. Арндт и Хенель 2006, с. 196.
96. Харди и Райт 1938 и 2000: 177 сноска § 11.13–14 ссылается на доказательство Линдеманна, опубликованное в Math. Ann . 20 (1882), 213–225.
97. см. Hardy and Wright 1938 и 2000:177 сноска § 11.13–14. Доказательства того, что e и π являются трансцендентными, можно найти на стр. 170–176. Они ссылаются на два источника доказательств в Landau 1927 или Perron 1910; см. «Список книг» на стр. 417–419 для полных цитат.
98. Cajori, Florian (2007). История математических обозначений: Том II. Cosimo, Inc. стр. 8–13. ISBN 978-1-60206-714-1. отношение длины окружности к ее диаметру было представлено в дробной форме с помощью двух букв ... JA Segner ... в 1767 году он представил 3,14159... как δ : π , как это сделал Отред более чем столетием ранее
99. Шеплер, ХК (1950) «Хронология числа Пи» Математический журнал . 23.
    Часть 1. Янв./Фев. (3): 165–170. doi :10.2307/3029284.
    Часть 2. Мар./Апр. (4): 216–228. doi :10.2307/3029832.
    Часть 3. Май/Июн. (5): 279–283. doi :10.2307/3029000.
    См. стр. 220: Уильям Отред использовал букву π для обозначения периферии (то есть окружности) круга.
100. Смит, Дэвид Э. (1958). История математики. Courier Corporation. стр. 312. ISBN 978-0-486-20430-7.
101. Арчибальд, RC (1921). «Исторические заметки о соотношении e ^{−( π /2)} = i ⁱ ». The American Mathematical Monthly . 28 (3): 116–121. doi :10.2307/2972388. JSTOR  2972388. Примечательно, что эти буквы никогда не используются по отдельности, то есть π не используется для «Semiperipheria»
102. Арндт и Хэнел 2006, стр. 166.
103. См., например, Отред, Уильям (1648). Clavis Mathematicæ [ Ключ к математике ] (на латыни). Лондон: Thomas Harper. С. 69.(Перевод на английский язык: Отред, Уильям (1694). Ключ к математике. Дж. Солсбери.)
104. Барроу, Айзек (1860). «Лекция XXIV». В Уэвелле, Уильяме (ред.). Математические работы Айзека Барроу (на латыни). Гарвардский университет. Издательство Кембриджского университета. стр. 381.
105. Грегориус, Дэвид (1695). «Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich STT Decanum Aedis Christi Oxoniae» (PDF) . Философские труды (на латыни). 19 (231): 637–652. Бибкод : 1695RSPT...19..637G. дои : 10.1098/rstl.1695.0114 . JSTOR  102382.
106. Arndt & Haenel 2006, стр. 165: Факсимиле текста Джонса можно найти в Berggren, Borwein & Borwein 1997, стр. 108–109.
107. Сегнер, Джоаннес Андреас (1756). Cursus Mathematicus (на латыни). Хале Магдебургские. п. 282. Архивировано из оригинала 15 октября 2017 года . Проверено 15 октября 2017 г.
108. Эйлер, Леонард (1727). «Tentamen explicationis phaenomenorum aeris» (PDF) . Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitana (на латыни). 2 : 351. Е007. Архивировано (PDF) из оригинала 1 апреля 2016 г. Проверено 15 октября 2017 г. Суматур пропорционально радиусам и периферии, I : πПеревод на английский язык Яна Брюса Архивировано 10 июня 2016 г. на Wayback Machine : « π берется для отношения радиуса к периферии [обратите внимание, что в этой работе эйлерово π вдвое больше нашего π .]»
109. Эйлер, Леонард (1747). Генри, Чарльз (ред.). Незнакомые письма Эйлера и Даламбера. Bulletino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche (на французском языке). Том. 19 (опубликовано в 1886 г.). п. 139. Е858. Автомобиль, soit π la circonference d'un cercle, dout le rayon est = 1Перевод на английский язык в Cajori, Florian (1913). "История экспоненциальных и логарифмических понятий". The American Mathematical Monthly . 20 (3): 75–84. doi :10.2307/2973441. JSTOR  2973441. Пусть π будет длиной окружности (!) единичного радиуса
110. Эйлер, Леонард (1736). «Гл. 3 Положение 34 Кор. 1». Механика sive motus scientia Analyte Exposita. (cum tabulis) (на латыни). Том. 1. Academiae Scientiarum Petropoli. п. 113. Е015. Обозначение 1: π rationem диаметр и периферия.Перевод на английский язык Яна Брюса Архивировано 10 июня 2016 г. на Wayback Machine  : «Пусть 1: π обозначает отношение диаметра к длине окружности»
111. Эйлер, Леонард (1922). Леонарди Эйлери, Opera omnia. 1, Математическая опера. Том VIII, Леонарди Эйлери «Введение в анализ бесконечности». Tomus primus / ediderunt Адольф Крацер и Фердинанд Рудио (на латыни). Губы: Б. Г. Теубнери. стр. 133–134. Е101. Архивировано из оригинала 16 октября 2017 года . Проверено 15 октября 2017 г.
112. Сегнер, Иоганн Андреас фон (1761). Cursus Mathematicus: Elementorum Analyseos Infinitorum Elementorum Analyseos Infinitorvm (на латыни). Ренгер. п. 374. Si autem π ​​noteteripheriam circuli, диаметр cuius eſt 2
113. Арндт и Хенель 2006, с. 205.
114. Arndt & Haenel 2006, с. 197.
115. Райтвизнер, Джордж (1950). «Определение чисел пи и е с точностью до 2000 знаков после запятой с помощью ENIAC». Математические таблицы и другие вспомогательные средства для вычислений . 4 (29): 11–15. doi :10.2307/2002695. JSTOR  2002695.
116. Николсон, Дж. К.; Джинел, Дж. (1955). «Некоторые комментарии по вычислению числа π методом NORC». Math. Tabl. Aids. Comp . 9 (52): 162–164. doi :10.2307/2002052. JSTOR  2002052.
117. Арндт и Хенель 2006, стр. 15–17.
118. Арндт и Хенель 2006, с. 131.
119. Арндт и Хенель 2006, стр. 132, 140.
120. Arndt & Haenel 2006, с. 87.
121. Arndt & Haenel 2006, стр. 111 (5 раз), стр. 113–114 (4 раза). Подробности алгоритмов см. в Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1987). Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity . Wiley. ISBN 978-0-471-31515-5.
122. Бейли, Дэвид Х. (16 мая 2003 г.). "Некоторые сведения о недавнем расчете числа Пи в Канаде" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 15 апреля 2012 г. . Получено 12 апреля 2012 г. .
123. Арндт и Хенель 2006, стр. 17–19
124. Шудель, Мэтт (25 марта 2009 г.). «Джон В. Ренч-младший: математик любил число Пи». The Washington Post . С. B5.
125. Коннор, Стив (8 января 2010 г.). «Большой вопрос: насколько близко мы подошли к пониманию точного значения числа пи?». The Independent . Лондон. Архивировано из оригинала 2 апреля 2012 г. Получено 14 апреля 2012 г.
126. Арндт и Хенель 2006, стр. 18.
127. Арндт и Хенель 2006, стр. 103–104.
128. Арндт и Хенел 2006, стр. 104
129. Арндт и Хенель 2006, стр. 104, 206
130. Арндт и Хенель 2006, стр. 110–111
131. Эймар и Лафон 2004, стр. 254
132. Бейли, Дэвид Х .; Борвейн, Джонатан М. (2016). "15.2 Вычислительные записи". Pi: Следующее поколение, Справочник по новейшей истории числа Пи и его вычислениям . Springer International Publishing. стр. 469. doi :10.1007/978-3-319-32377-0. ISBN 978-3-319-32375-6.
133. Кассель, Дэвид (11 июня 2022 г.). «Как Эмма Харука Ивао из Google помогла установить новый рекорд числа Пи». The New Stack .
134. PSLQ означает частичная сумма наименьших квадратов.
135. Плуфф, Саймон (апрель 2006 г.). «Идентичности, вдохновленные записными книжками Рамануджана (часть 2)» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 14 января 2012 г. . Получено 10 апреля 2009 г. .
136. Арндт и Хенел 2006, стр. 39
137. Рамали, Дж. Ф. (октябрь 1969 г.). «Проблема лапши Бюффона». The American Mathematical Monthly . 76 (8): 916–918. doi :10.2307/2317945. JSTOR  2317945.
138. Арндт и Хенель 2006, стр. 39–40
     Посаментье и Леманн 2004, стр. 105
139. Грюнбаум, Б. (1960). «Константы проекций». Труды Американского математического общества . 95 (3): 451–465. doi : 10.1090/s0002-9947-1960-0114110-9 .
140. Арндт и Хенель 2006, стр. 43
     Посаментье и Леманн 2004, стр. 105–108.
141. Arndt & Haenel 2006, стр. 77–84.
142. Гиббонс, Джереми (2006). "Неограниченные алгоритмы spigot для цифр числа pi" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 113 (4): 318–328. doi :10.2307/27641917. JSTOR  27641917. MR  2211758.
143. Arndt & Haenel 2006, с. 77.
144. Рабинович, Стэнли; Вагон, Стэн (март 1995). «Алгоритм Spigot для цифр числа Пи». American Mathematical Monthly . 102 (3): 195–203. doi :10.2307/2975006. JSTOR  2975006.
145. Arndt & Haenel 2006, стр. 117, 126–128.
146. Бейли, Дэвид Х .; Борвейн, Питер Б .; Плуфф, Саймон (апрель 1997 г.). «О быстром вычислении различных полилогарифмических констант» (PDF) . Математика вычислений . 66 (218): 903–913. Bibcode : 1997MaCom..66..903B. CiteSeerX 10.1.1.55.3762 . doi : 10.1090/S0025-5718-97-00856-9. S2CID  6109631. Архивировано (PDF) из оригинала 22 июля 2012 г. 
147. Arndt & Haenel 2006, стр. 20
     Формула Белларда в: Bellard, Fabrice . "Новая формула для вычисления n-й двоичной цифры числа pi". Архивировано из оригинала 12 сентября 2007 г. Получено 27 октября 2007 г.
148. Палмер, Джейсон (16 сентября 2010 г.). «Рекорд числа Пи побит, команда находит двухквадриллионную цифру». BBC News . Архивировано из оригинала 17 марта 2011 г. Получено 26 марта 2011 г.
149. Плуфф, Саймон (2022). «Формула для n-й десятичной цифры или двоичной цифры числа π и степеней числа π ». arXiv : 2201.12601 [math.NT].
150. Бронштейн и Семендяев 1971, стр. 200, 209.
151. Мартини, Хорст; Монтехано, Луис; Оливерос, Дебора (2019). Тела постоянной ширины: введение в выпуклую геометрию с приложениями . Биркхойзер. doi :10.1007/978-3-030-03868-7. ISBN 978-3-030-03866-3. MR  3930585. S2CID  127264210.

     См. теорему Барбье, следствие 5.1.1, стр. 98; треугольники Рёло, стр. 3, 10; гладкие кривые, такие как аналитическая кривая Рабиновича, § 5.3.3, стр. 111–112.

152. Герман, Эдвин; Стрэнг, Гилберт (2016). «Раздел 5.5, упражнение 316». Исчисление . Том 1. OpenStax . стр. 594.
153. Концевич, Максим; Загир, Дон (2001), Энгквист, Бьёрн; Шмид, Вильфрид (ред.), «Периоды», Mathematics Unlimited — 2001 and Beyond , Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 771–808, doi :10.1007/978-3-642-56478-9_39, ISBN 978-3-642-56478-9, получено 23 сентября 2024 г.
154. Абрамсон 2014, Раздел 5.1: Углы.
155. Бронштейн и Семендяев 1971, стр. 210–211.
156. Гильберт, Дэвид ; Курант, Ричард (1966). Методы математической физики, том 1. Wiley. С. 286–290.
157. Дайм и МакКин 1972, стр. 47.
158. Томпсон, Уильям (1894). «Изопериметрические задачи». Серия «Природа»: Популярные лекции и выступления . II : 571–592.
159. Чавел, Айзек (2001). Изопериметрические неравенства . Cambridge University Press.
160. Таленти, Джорджио (1976). «Лучшая константа в неравенстве Соболева». Аннали ди Математика Pura ed Applicata . 110 (1): 353–372. CiteSeerX 10.1.1.615.4193 . дои : 10.1007/BF02418013. ISSN  1618-1891. S2CID  16923822. 
161. Л. Эспозито; К. Нич; К. Тромбетти (2011). «Лучшие константы в неравенствах Пуанкаре для выпуклых областей». arXiv : 1110.2960 [math.AP].
162. Дель Пино, М.; Долбо, Дж. (2002). «Наилучшие константы для неравенств Гальярдо – Ниренберга и приложения к нелинейной диффузии». Журнал Mathématiques Pures et Appliquées . 81 (9): 847–875. CiteSeerX 10.1.1.57.7077 . дои : 10.1016/s0021-7824(02)01266-7. S2CID  8409465. 
163. Payne, LE; Weinberger, HF (1960). "Оптимальное неравенство Пуанкаре для выпуклых областей". Архив для Rational Mechanics and Analysis . 5 (1): 286–292. Bibcode :1960ArRMA...5..286P. doi :10.1007/BF00252910. ISSN  0003-9527. S2CID  121881343.
164. Фолланд, Джеральд (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Princeton University Press. стр. 5.
165. Howe, Roger (1980). «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе». Бюллетень Американского математического общества . 3 (2): 821–844. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14825-9 . MR  0578375.
166. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1 , Wiley, 1968, стр. 174–190.
167. Бронштейн и Семендяев 1971, стр. 106–107, 744, 748.
168. Дим и Маккин 1972, раздел 2.7.
169. Стайн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971). Анализ Фурье на евклидовых пространствах . Princeton University Press. стр. 6.; Теорема 1.13.
170. Спивак, Майкл (1999). Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию . Том 3. Publish or Perish Press.; Глава 6.
171. Кобаяси, Сёсичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии . Т. 2 (Новое издание). Wiley Interscience . С. 293.; Глава XII Характерные классы
172. Альфорс, Ларс (1966). Комплексный анализ . McGraw-Hill. стр. 115.
173. Джоглекар, SD (2005). Математическая физика . Universities Press. стр. 166. ISBN 978-81-7371-422-1.
174. Schey, HM (1996). Div, Grad, Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению . WW Norton. ISBN 0-393-96997-5.
175. Йео, Адриан (2006). Удовольствия от числа пи, числа е и других интересных чисел . World Scientific Pub. стр. 21. ISBN 978-981-270-078-0.
176. Элерс, Юрген (2000). Уравнения поля Эйнштейна и их физические следствия . Springer. стр. 7. ISBN 978-3-540-67073-5.
177. Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка , Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-41160-7
178. Бронштейн и Семендяев 1971, стр. 191–192.
179. Артин, Эмиль (1964). Гамма-функция . Серия Athena; избранные темы математики (1-е изд.). Холт, Райнхарт и Уинстон.
180. Эванс, Лоуренс (1997). Уравнения с частными производными . AMS. стр. 615.
181. Бронштейн и Семендяев 1971, с. 190
182. Бенджамин Нилл; Андреас Паффенхольц (2014). «О случае равенства в гипотезе объема Эрхарта». Advances in Geometry . 14 (4): 579–586. arXiv : 1205.1270 . doi : 10.1515/advgeom-2014-0001. ISSN  1615-7168. S2CID  119125713.
183. Арндт и Хенел 2006, стр. 41–43
184. Эта теорема была доказана Эрнесто Чезаро в 1881 году. Более строгое доказательство, чем интуитивное и неформальное, приведенное здесь, см. в Hardy, GH (2008). Введение в теорию чисел . Oxford University Press. Теорема 332. ISBN 978-0-19-921986-5.
185. Огилви, CS ; Андерсон, JT (1988). Экскурсии в теорию чисел . Dover Publications Inc. стр. 29–35. ISBN 0-486-25778-9.
186. Арндт и Хенел 2006, стр. 43
187. Платонов, Владимир; Рапинчук, Андрей (1994). Алгебраические группы и теория чисел . Academic Press. С. 262–265.
188. Sondow, J. (1994). «Аналитическое продолжение дзета-функции Римана и значений при отрицательных целых числах с помощью преобразования Эйлера для рядов». Труды Американского математического общества . 120 (2): 421–424. CiteSeerX 10.1.1.352.5774 . doi :10.1090/s0002-9939-1994-1172954-7. S2CID  122276856. 
189. T. Friedmann; CR Hagen (2015). "Квантово-механический вывод формулы Уоллиса для числа пи". Журнал математической физики . 56 (11): 112101. arXiv : 1510.07813 . Bibcode : 2015JMP....56k2101F. doi : 10.1063/1.4930800. S2CID  119315853.
190. Тейт, Джон Т. (1950). «Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Гекке». В Cassels, JWS; Fröhlich, A. (ред.). Алгебраическая теория чисел (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965) . Томпсон, Вашингтон, округ Колумбия. стр. 305–347. ISBN 978-0-9502734-2-6. МР  0217026.
191. Дим и Маккин 1972, Глава 4.
192. Мамфорд, Дэвид (1983). Лекции Тата по Тета I. Бостон: Биркхаузер. С. 1–117. ISBN 978-3-7643-3109-2.
193. Порт, Сидней; Стоун, Чарльз (1978). Броуновское движение и классическая теория потенциала . Academic Press. стр. 29.
194. Титчмарш, Э. (1948). Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.). Оксфордский университет: Clarendon Press (опубликовано в 1986 году). ISBN 978-0-8284-0324-5.
195. Стайн, Элиас (1970). Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций . Princeton University Press.; Глава II.
196. Klebanoff, Aaron (2001). "Pi in the Mandelbrot set" (PDF) . Fractals . 9 (4): 393–402. doi :10.1142/S0218348X01000828. Архивировано из оригинала (PDF) 27 октября 2011 г. . Получено 14 апреля 2012 г. .
197. Пейтген, Хайнц-Отто (2004). Хаос и фракталы: новые рубежи науки . Springer. С. 801–803. ISBN 978-0-387-20229-7.
198. Овсиенко, В.; Табачников, С. (2004). "Раздел 1.3". Проективная дифференциальная геометрия старая и новая: от производной Шварца до когомологий групп диффеоморфизмов . Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83186-4.
199. Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (1997). Основы физики (5-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 381. ISBN 0-471-14854-7.
200. Уроне, Пол Питер; Хинрихс, Роджер (2022). «29.7 Вероятность: принцип неопределенности Гейзенберга». College Physics 2e . OpenStax .
201. Itzykson, C. ; Zuber, J.-B. (1980). Квантовая теория поля (ред. 2005 г.). Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44568-7. LCCN  2005053026. OCLC  61200849.
202. Лоу, Питер (1971). Классическая теория структур, основанная на дифференциальном уравнении . Cambridge University Press. С. 116–118. ISBN 978-0-521-08089-7.
203. Бэтчелор, Г. К. (1967). Введение в гидродинамику . Cambridge University Press. стр. 233. ISBN 0-521-66396-2.
204. Arndt & Haenel 2006, стр. 44–45
205. «Самое большое количество запоминаемых мест числа Пи». Архивировано 14 февраля 2016 г. в Wayback Machine , Книга рекордов Гиннесса.
206. Отаке, Томоко (17 декабря 2006 г.). «Как кто-то может запомнить 100 000 чисел?». The Japan Times . Архивировано из оригинала 18 августа 2013 г. Получено 27 октября 2007 г.
207. Данези, Марсель (январь 2021 г.). «Глава 4: Пи в популярной культуре». Пи ( π ) в природе, искусстве и культуре . Брилл. п. 97. дои : 10.1163/9789004433397. ISBN 9789004433373. S2CID  224869535.
208. Раз, А.; Паккард, МГ (2009). «Кусочек числа Пи: разведочное нейровизуализирующее исследование кодирования и извлечения цифр у превосходного мемориста». Neurocase . 15 (5): 361–372. doi :10.1080/13554790902776896. PMC 4323087 . PMID  19585350. 
209. Кит, Майк . "Cadaeic Cadenza Notes & Commentary". Архивировано из оригинала 18 января 2009 года . Получено 29 июля 2009 года .
210. Кит, Майкл; Диана Кит (17 февраля 2010 г.). Not A Wake: Мечта, воплощающая цифры (пи) полностью для 10 000 знаков после запятой . Vinculum Press. ISBN 978-0-9630097-1-5.
211. Например, Пиковер называет π «самой известной математической константой всех времен», а Петерсон пишет: «Однако из всех известных математических констант число π продолжает привлекать наибольшее внимание», ссылаясь на духи Givenchy π, фильм Pi и День числа Pi в качестве примеров. См.: Pickover, Clifford A. (1995). Keys to Infinity. Wiley & Sons. стр. 59. ISBN 978-0-471-11857-2. Петерсон, Иварс (2002). Математические путешествия: от сюрреалистических чисел до магических кругов. Спектр MAA. Математическая ассоциация Америки. стр. 17. ISBN 978-0-88385-537-9. Архивировано из оригинала 29 ноября 2016 года.
212. Посаментье и Леманн 2004, с. 118
     Арндт и Хенель 2006, с. 50
213. Арндт и Хенел 2006, стр. 14
214. Полстер, Беркард ; Росс, Марти (2012). Математика идет в кино . Издательство Университета Джонса Хопкинса. С. 56–57. ISBN 978-1-421-40484-4.
215. Джилл, Энди (4 ноября 2005 г.). "Обзор Aerial". The Independent . Архивировано из оригинала 15 октября 2006 г. почти аутистическое удовлетворение обсессивно-компульсивного математика, очарованного "Пи" (что дает возможность услышать, как Буш медленно поет большие куски рассматриваемого числа, длиной в несколько десятков цифр)
216. Рубилло, Джеймс М. (январь 1989). «Дезинтегрируйте их». Учитель математики . 82 (1): 10. JSTOR  27966082.
217. Петроски, Генри (2011). Название «Алфавит инженера: крупицы из мягкой стороны профессии». Cambridge University Press. стр. 47. ISBN 978-1-139-50530-7.
218. "Счастливого дня числа Пи! Посмотрите эти потрясающие видео детей, читающих вслух число 3,14". USAToday.com . 14 марта 2015 г. Архивировано из оригинала 15 марта 2015 г. Получено 14 марта 2015 г.
219. Розенталь, Джеффри С. (февраль 2015 г.). «Мгновенное число Пи». Math Horizons . 22 (3): 22. doi :10.4169/mathhorizons.22.3.22. S2CID  218542599.
220. Гриффин, Эндрю. «День числа Пи: почему некоторые математики отказываются праздновать 14 марта и не будут соблюдать этот день, полный десертов». The Independent . Архивировано из оригинала 24 апреля 2019 года . Получено 2 февраля 2019 года .
221. Фрейбергер, Марианна; Томас, Рэйчел (2015). «Тау – новое π». Numericon: Путешествие по скрытым жизням чисел . Quercus. стр. 159. ISBN 978-1-62365-411-5.
222. Эбботт, Стивен (апрель 2012 г.). «Мое обращение в тауизм» (PDF) . Math Horizons . 19 (4): 34. doi :10.4169/mathhorizons.19.4.34. S2CID  126179022. Архивировано (PDF) из оригинала 28 сентября 2013 г.
223. Пале, Роберт (2001). «π Is Wrong!» (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 23 (3): 7–8. doi :10.1007/BF03026846. S2CID  120965049. Архивировано (PDF) из оригинала 22 июня 2012 г.
224. «Жизнь числа «пи» вне опасности – Эксперты холодно отнеслись к кампании по замене числа на «тау». Telegraph India . 30 июня 2011 г. Архивировано из оригинала 13 июля 2013 г.
225. "Забудьте о дне числа Пи. Мы должны праздновать день числа Тау | Science News" . Получено 2 мая 2023 г.
226. Arndt & Haenel 2006, стр. 211–212
     Posamentier & Lehmann 2004, стр. 36–37 Hallerberg, Arthur (май 1977). "Indiana's squared circle". Mathematics Magazine . 50 (3): 136–140. doi :10.2307/2689499. JSTOR  2689499.
     
227. Кнут, Дональд (3 октября 1990 г.). «Будущее TeX и Metafont» (PDF) . TeX Mag . 5 (1): 145. Архивировано (PDF) из оригинала 13 апреля 2016 г. . Получено 17 февраля 2017 г. .
228. «PEP 628 – Добавить math.tau».
229. "Crate tau" . Получено 6 декабря 2022 г. .

Общие и цитируемые источники

• Абрамсон, Джей (2014). Precalculus. OpenStax .
• Эндрюс, Джордж Э.; Эски, Ричард; Рой, Ранджан (1999). Специальные функции. Кембридж: University Press. ISBN 978-0-521-78988-2.
• Арндт, Йорг; Хэнель, Кристоф (2006). Пи на свободе. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-66572-4. Получено 5 июня 2013 г.Перевод на английский язык выполнен Катрионой и Дэвидом Лишка.
• Берггрен, Леннарт; Борвейн, Джонатан ; Борвейн, Питер (1997). Пи: Справочник . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-20571-7.
• Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики (2-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Бронштейн, Илья; Семендяев К.А. (1971). Путеводитель по математике . Верлаг Харри Дойч . ISBN 978-3-87144-095-3.
• Дайм, Х.; МакКин, Х. П. (1972). Ряды и интегралы Фурье . Academic Press.
• Эймар, Пьер; Лафон, Жан Пьер (2004). Число π . Перевод Уилсона, Стивена. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3246-2.Английский перевод Autour du nombre π (на французском языке). Герман. 1999.
• Посаментье, Альфред С.; Леманн, Ингмар (2004). π: Биография самого загадочного числа в мире . Книги Прометея. ISBN 978-1-59102-200-8.
• Реммерт, Рейнхольд (2012). «Гл. 5 Что такое π?». В Хайнц-Дитер Эббингауз; Ганс Гермес; Фридрих Хирцебрух; Макс Кехер; Клаус Майнцер; Юрген Нойкирх; Александр Престель; Райнхольд Реммерт (ред.). Числа . Спрингер. ISBN 978-1-4612-1005-4.

Дальнейшее чтение

• Блатнер, Дэвид (1999). Радость числа π . Walker & Company. ISBN 978-0-8027-7562-7.
• Делаэ, Жан-Поль (1997). Очаровательный номер π . Париж: Библиотека Pour la Science. ISBN 2-902918-25-9.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Пи». MathWorld .
• Демонстрация Ламбертом (1761) иррациональности числа π , онлайн Архивировано 31 декабря 2014 г. на Wayback Machine и проанализировано BibNum Архивировано 2 апреля 2015 г. на Wayback Machine (PDF).
• Поисковая система π 2 миллиарда цифр для поиска π , e и √ 2
• приближение числа π точками решетки и приближение числа π прямоугольниками и трапециями (интерактивные иллюстрации)