Джон фон Нейман

Венгерско-американский математик и физик (1903–1957).

Джон фон Нейман ( / v ɒ n ˈ n ɔɪ m ən / von NOY -mən ; венгерский : Neumann János Lajos [ˈnɒjmɒn ˈjaːnoʃ ˈlɒjoʃ] ; 28 декабря 1903 — 8 февраля 1957) — венгерско-американский математик , физик , компьютерщик . учёный , инженер и эрудит . Он имел, пожалуй, самый широкий охват среди всех математиков своего времени, ^[9] интегрируя чистые и прикладные науки и внося значительный вклад во многие области, включая математику , физику , экономику , вычислительную технику и статистику . Он был пионером в построении математической основы квантовой физики , в развитии функционального анализа и теории игр , вводя или кодифицируя концепции, включая клеточные автоматы , универсальный конструктор и цифровой компьютер . Его анализ структуры самовоспроизведения предшествовал открытию структуры ДНК .

Во время Второй мировой войны фон Нейман работал над Манхэттенским проектом . Он разработал математические модели взрывных линз , используемых в ядерном оружии имплозивного типа . ^[10] До и после войны он консультировал многие организации, включая Управление научных исследований и разработок , Армейскую лабораторию баллистических исследований , Проект специального вооружения Вооруженных сил и Национальную лабораторию Ок-Ридж . ^[11] На пике своего влияния в 1950-х годах он возглавлял ряд комитетов Министерства обороны , включая Комитет по оценке стратегических ракет и Научно-консультативный комитет по межконтинентальным баллистическим ракетам . Он также был членом влиятельной Комиссии по атомной энергии , отвечавшей за все развитие атомной энергетики в стране. Вместе с Бернардом Шривером и Тревором Гарднером он сыграл ключевую роль в разработке и разработке первых программ межконтинентальных баллистических ракет США . ^[12] В то время он считался ведущим национальным экспертом по ядерному оружию и ведущим ученым в области обороны в Пентагоне .

Вклад и интеллектуальные способности фон Неймана вызвали похвалу коллег в области физики, математики и других наук. Награды, которые он получил, варьируются от Медали Свободы до кратера на Луне, названного в его честь.

Жизнь и образование

История семьи

Фон Нейман родился в Будапеште , Венгерское королевство (тогда входившее в состав Австро-Венгерской империи ), ^{[13] [14] [15]} 28 декабря 1903 года в богатой, нерелигиозной еврейской семье. Его имя при рождении было Нойман Янош Лайош. В венгерском языке фамилия стоит на первом месте, а его имена эквивалентны Джону Луи на английском языке. ^[16]

Он был старшим из трех братьев; двумя его младшими братьями и сестрами были Михай (Майкл) и Миклош (Николас). ^[17] Его отец Нойман Микса (Макс фон Нейман) был банкиром и имел степень доктора права . Он переехал в Будапешт из Печа в конце 1880-х годов. ^[18] Отец и дед Миксы родились в Онде (ныне часть Серенча ), округ Земплен , северная Венгрия. Матерью Джона была Канн Маргит (англ. Маргарет Канн); ^[19] ее родителями были Якаб Канн и Каталин Майзельс из семьи Майзельс . ^[20] Три поколения семьи Канн жили в просторных квартирах над офисами Канн-Хеллер в Будапеште; Семья фон Неймана занимала 18-комнатную квартиру на верхнем этаже. ^[21]

20 февраля 1913 года император Франц Иосиф возвел отца Иоанна в венгерский дворянский сан за службу Австро-Венгерской империи. ^[22] Таким образом, семья Нойманн приобрела наследственное наименование Маргиттай , что означает «Маргитта» (сегодня Маргита , Румыния). Семья не имела никакого отношения к городу; это название было выбрано в честь Маргарет, как и выбранный ими герб с изображением трех Маргарит . Нейман Янош стал маргиттаем Нейманом Яношем (Джон Нейман де Маргитта), которого он позже сменил на немца Иоганна фон Неймана. ^[23]

Вундеркинд

Фон Нейман был вундеркиндом , который в шесть лет мог делить в уме два восьмизначных числа ^{[24] [25]} и разговаривать на древнегреческом языке . ^[26] Его, его братьев и его двоюродных братьев обучали гувернантки. Отец фон Неймана считал, что знание других языков, кроме родного венгерского, необходимо, поэтому детей обучали английскому , французскому , немецкому и итальянскому языкам . ^[27] К восьми годам фон Нейман был знаком с дифференциальным и интегральным исчислением , а к двенадцати годам он прочитал «Теорию функций» Бореля . ^[28] Он также интересовался историей, прочитав 46-томную серию всемирной истории Вильгельма Онкена Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen ( «Всеобщая история в монографиях »). ^[29] Одна из комнат квартиры была переоборудована в библиотеку и читальный зал. ^[30]

Фон Нейман поступил в лютеранскую гимназию Fasori Evangélikus Gimnázium в 1914 году. Юджин Вигнер ^учился в школе на год раньше фон Неймана и вскоре стал его другом. ^[32]

Хотя отец фон Неймана настоял на том, чтобы он посещал школу в классе, соответствующем его возрасту, он согласился нанять частных репетиторов для углубленного обучения фон Неймана. В 15 лет он начал изучать углубленное исчисление под руководством аналитика Габора Сегё . ^[32] К 19 годам фон Нейман опубликовал две основные математические статьи, вторая из которых дала современное определение порядковых чисел , которое заменило определение Георга Кантора . ^[33] По завершении своего образования в гимназии он подал заявку и получил премию Этвёша, национальную награду в области математики. ^[34]

университетские исследования

По словам его друга Теодора фон Кармана , отец фон Неймана хотел, чтобы Джон последовал за ним в промышленность, и просил фон Кармана убедить его сына не заниматься математикой. ^[35] Фон Нейман и его отец решили, что лучшая карьера — это химическое машиностроение . Фон Нейман не слишком хорошо разбирался в этом, поэтому ему было организовано прохождение двухлетнего курса химии без получения степени в ^{Берлинском} университете , после чего он сдал вступительный экзамен в ETH Zurich . ^36] , который он сдал в сентябре 1923 года. ^[37] Одновременно фон Нейман поступил в Университет Пазмани Петера в Будапеште ^[38] на степень доктора философии. кандидат математических наук . Для своей диссертации он разработал аксиоматизацию теории множеств Кантора . ^{[39] [40]} Он окончил ETH Zurich по специальности инженер-химик в 1926 году и одновременно сдал выпускные экзамены с отличием на степень доктора философии. по математике (с доцентом по экспериментальной физике и химии). ^{[41] [42]} Затем он поступил в Геттингенский университет по гранту Фонда Рокфеллера для изучения математики под руководством Дэвида Гильберта . ^[43] Герман Вейль вспоминает, как зимой 1926–1927 годов фон Нейман и Эмми Нётер гуляли по «холодным, мокрым, мокрым от дождя улицам Геттингена» после уроков, обсуждая гиперкомплексные системы счисления и их представления . ^[44]

Карьера и личная жизнь

Отрывок из университетских календарей Берлинского университета Фридриха-Вильгельма на 1928 и 1928/29 годы, анонсирующий лекции Неймана по теории функций II, аксиоматической теории множеств и математической логике, математический коллоквиум, обзор последних работ по квантовой механике, специальные функции математической физики и теории доказательств Гильберта. Он также читал лекции по теории относительности, теории множеств, интегральным уравнениям и анализу бесконечного числа переменных.

Хабилитация фон Неймана была завершена 13 декабря 1927 года, и он начал читать лекции в качестве приват-доцента в Берлинском университете в 1928 году . ^[45] Он был самым молодым человеком, избранным приват-доцентом в истории университета. ^[46] Он начал писать почти одну крупную статью по математике в месяц. ^[47] В 1929 году он ненадолго стал приват-доцентом Гамбургского университета , где перспективы стать штатным профессором были лучше, ^[48] затем в октябре того же года перешёл в Принстонский университет в качестве приглашенного лектора по математической физике . ^[49]

Фон Нейман был крещен католиком в 1930 году. ^[50] Вскоре после этого он женился на Мариетте Кёвеси, которая изучала экономику в Будапештском университете. ^[49] У Фон Неймана и Мариетты была дочь Марина , родившаяся в 1935 году; она станет профессором. ^[51] Пара развелась 2 ноября 1937 года. ^[52] 17 ноября 1938 года фон Нейман женился на Кларе Дан . ^{[53] [54]}

В 1933 году фон Нейман принял должность постоянного профессора в Институте перспективных исследований в Нью-Джерси, когда план этого учреждения по назначению Германа Вейля, похоже, провалился. ^[55] Его мать, братья и родственники мужа последовали за фон Нейманом в Соединенные Штаты в 1939 году. ^[56] Фон Нейман перевел свое имя на английский язык, превратив его в Джона, сохранив немецко-аристократическую фамилию фон Нейман. ^[23] Фон Нейман стал натурализованным гражданином США в 1937 году и сразу же попытался стать лейтенантом офицерского резервного корпуса армии США . Он сдал экзамены, но ему отказали из-за возраста. ^[57]

Клара и Джон фон Нейманы были социально активными членами местного академического сообщества. ^[58] Его белый обшитый вагонкой дом на Уэсткотт-роуд был одним из крупнейших частных резиденций Принстона. ^[59] Он всегда носил строгие костюмы. ^[60] Ему нравился идиш и «нестандартный» юмор. ^[28] В Принстоне он получил жалобы на очень громкое воспроизведение немецкой маршевой музыки ; ^[61] Фон Нейман сделал некоторые из своих лучших работ в шумной, хаотичной обстановке. ^[62] По мнению Черчилля Эйзенхарта , фон Нейман мог посещать вечеринки до раннего утра, а затем читать лекцию в 8:30. ^[63]

Он был известен тем, что всегда был рад предоставить другим людям любого уровня способностей научные и математические советы. ^{[4] [64] [65]} Вигнер писал, что он, возможно, руководил большим количеством работ (в обычном смысле), чем любой другой современный математик. ^[66] Его дочь написала, что он был очень обеспокоен своим наследием в двух аспектах: ее жизнь и долговечность его интеллектуального вклада в мир. ^[67]

Многие считали его отличным председателем комитетов, который довольно легко откладывал решения личных или организационных вопросов, но настаивал на технических вопросах. Герберт Йорк охарактеризовал многие «комитеты фон Неймана», в которых он участвовал, как «замечательные как по стилю, так и по результатам». То, как комитеты под председательством фон Неймана работали напрямую и тесно с необходимыми военными или корпоративными организациями, стало основой для всех программ ВВС по ракетам большой дальности. ^[68] Многие люди, знавшие фон Неймана, были озадачены его отношением к военным и силовым структурам в целом. ^[69] Станислав Улам подозревал, что у него было скрытое восхищение людьми или организациями, которые могли влиять на мысли и принятие решений других. ^[70]

Он также сохранил знание языков, изученных в юности. Он свободно знал венгерский, французский, немецкий и английский языки и поддерживал разговорный уровень итальянского, идиша, латыни и древнегреческого языка. Его испанский был менее совершенным. ^[71] У него была страсть и энциклопедические знания древней истории, ^{[72] [73]} и ему нравилось читать древнегреческих историков в греческом оригинале. Улам подозревал, что они, возможно, сформировали его взгляды на то, как могут развиваться будущие события и как устроена человеческая природа и общество в целом. ^[74]

Ближайшим другом фон Неймана в США был математик Станислав Улам . ^[75] Фон Нейман считал, что большая часть его математических мыслей возникла интуитивно; он часто засыпал с нерешенной проблемой и знал ответ, просыпаясь. ^[62] Улам отметил, что образ мышления фон Неймана, возможно, был не визуальным, а скорее слуховым. ^[76] Улам вспоминал: «Совершенно независимо от его склонности к абстрактному остроумию, он очень ценил (можно сказать, почти жаждал) более приземленные комедии и юмор». ^[77]

Болезнь и смерть

Надгробие фон Неймана

В 1955 году возле ключицы фон Неймана было обнаружено образование, которое оказалось раком, возникшим в скелете , поджелудочной железе или простате . (Хотя существует общее мнение, что опухоль метастазировала , источники различаются в зависимости от локализации первичного рака.) ^{[78] [79]} Злокачественное новообразование могло быть вызвано воздействием радиации в Национальной лаборатории Лос-Аламоса . ^[80] Отец Стриттматтер вспоминал, что даже после совершения последних обрядов фон Нейман не получил от этого особого покоя или утешения, так как он оставался в ужасе от смерти и не мог принять свои обстоятельства. ^{[81] [82] [83] [84]} О своих религиозных взглядах фон Нейман, как сообщается, сказал: «Пока существует возможность вечного проклятия для неверующих, логичнее в конце концов стать верующим», имея в виду Ставка Паскаля . Он признался своей матери: «Наверное, Бог должен быть. Многие вещи легче объяснить, если он есть, чем если его нет». ^{[85] [86]}

Он умер 8 февраля 1957 года в армейском медицинском госпитале Уолтера Рида и был похоронен на Принстонском кладбище . ^{[87] [88]}

Математика

Теория множеств

История подходов, которые привели к теории множеств NBG

В начале 20 века попытки основать математику на наивной теории множеств потерпели неудачу из-за парадокса Рассела (о множестве всех множеств, которые не принадлежат самим себе). ^[89] Проблема адекватной аксиоматизации теории множеств была неявно решена примерно двадцать лет спустя Эрнстом Цермело и Абрахамом Френкелем . Теория множеств Цермело-Френкеля предоставила ряд принципов, которые позволили построить множества, используемые в повседневной математической практике, но не исключили явно возможность существования множества, принадлежащего самому себе. В своей докторской диссертации 1925 года фон Нейман продемонстрировал два метода исключения таких множеств — аксиому основания и понятие класса . ^[90]

Аксиома основания предполагала, что каждое множество может быть построено снизу вверх в упорядоченной последовательности шагов с помощью принципов Цермело – Френкеля. Если один набор принадлежит другому, то первый обязательно должен предшествовать второму в последовательности. Это исключает возможность принадлежности множества самому себе. Чтобы продемонстрировать, что добавление этой новой аксиомы к другим не приводит к противоречиям, фон Нейман ввел метод внутренних моделей , который стал важным демонстрационным инструментом в теории множеств. ^[90]

Второй подход к проблеме принадлежности множеств самим себе взял в основу понятие класса и определил множество как класс, принадлежащий другим классам, тогда как собственный класс определяется как класс, не принадлежащий другим классам. В подходе Цермело – Френкеля аксиомы препятствуют построению множества всех множеств, которые не принадлежат самим себе. Напротив, согласно подходу фон Неймана, класс всех множеств, которые не принадлежат самим себе, может быть построен, но это собственный класс , а не множество. ^[90]

В целом, главным достижением фон Неймана в теории множеств была «аксиоматизация теории множеств и (связанной с этим) изящной теории порядковых и кардинальных чисел , а также первая строгая формулировка принципов определений с помощью трансфинитной индукции ». ^[91]

Парадокс фон Неймана

Основываясь на парадоксе Хаусдорфа Феликса Хаусдорфа (1914), Стефан Банах и Альфред Тарский в 1924 году показали, как разделить трехмерный шар на непересекающиеся множества , затем переместить и повернуть эти множества, чтобы сформировать две идентичные копии одного и того же шара; это парадокс Банаха-Тарского . Они также доказали, что двумерный диск не имеет такого парадоксального распада. Но в 1929 году ^[92] фон Нейман разделил диск на конечное число частей и перегруппировал их в два диска, используя сохраняющие площадь аффинные преобразования вместо перемещений и вращений. Результат зависел от нахождения свободных групп аффинных преобразований - важного метода, расширенного позже фон Нейманом в его работе по теории меры. ^[93]

Теория доказательств

Благодаря вкладу фон Неймана в теорию множеств аксиоматическая система теории множеств избежала противоречий более ранних систем и стала пригодной для использования в качестве основы математики, несмотря на отсутствие доказательства ее непротиворечивости . Следующий вопрос заключался в том, дает ли она окончательные ответы на все математические вопросы, которые могут быть в ней поставлены, или ее можно улучшить, добавив более сильные аксиомы , которые можно будет использовать для доказательства более широкого класса теорем. ^[94]

К 1927 году фон Нейман участвовал в дискуссиях в Геттингене о том, следует ли элементарная арифметика из аксиом Пеано . ^[95] Опираясь на работы Аккермана , он начал попытки доказать (используя финистические методы школы Гильберта ) непротиворечивость арифметики первого порядка . Ему удалось доказать непротиворечивость фрагмента арифметики натуральных чисел (за счет использования ограничений на индукцию ). ^[96] Он продолжал искать более общее доказательство непротиворечивости классической математики, используя методы теории доказательств . ^[97]

Резко отрицательный ответ на вопрос, является ли она окончательной, был получен в сентябре 1930 года на Второй конференции по эпистемологии точных наук , на которой Курт Гёдель объявил свою первую теорему о неполноте : обычные аксиоматические системы неполны в том смысле, что они не могут доказать всякая истина, выраженная на их языке. Более того, любое последовательное расширение этих систем обязательно остается неполным. ^[98] На конференции фон Нейман предложил Гёделю попытаться преобразовать его результаты для неразрешимых утверждений о целых числах. ^[99]

Менее чем через месяц фон Нейман сообщил Гёделю интересное следствие своей теоремы: обычные аксиоматические системы неспособны продемонстрировать свою непротиворечивость. ^[98] Гёдель ответил, что он уже обнаружил это следствие, теперь известное как его вторая теорема о неполноте , и что он пришлет препринт своей статьи, содержащий оба результата, которые так и не появились. ^{[100] [101] [102]} Фон Нейман признал приоритет Гёделя в своем следующем письме. ^[103] Однако метод доказательства фон Неймана отличался от метода доказательства Гёделя, и он также придерживался мнения, что вторая теорема о неполноте нанесла гораздо более сильный удар по программе Гильберта, чем думал Гёдель. ^{[104] [105]} С этим открытием, которое коренным образом изменило его взгляды на математическую строгость, фон Нейман прекратил исследования в области оснований математики и метаматематики и вместо этого посвятил время проблемам, связанным с приложениями. ^[106]

Эргодическая теория

В серии статей, опубликованных в 1932 году, фон Нейман внес основополагающий вклад в эргодическую теорию — раздел математики, изучающий состояния динамических систем с инвариантной мерой . ^[107] О статьях 1932 года по эргодической теории Пауль Халмос писал, что даже «если бы фон Нейман никогда не делал ничего другого, этого было бы достаточно, чтобы гарантировать ему математическое бессмертие». ^[108] К тому времени фон Нейман уже написал свои статьи по теории операторов , и применение этой работы сыграло важную роль в его средней эргодической теореме . ^[109]

Теорема касается произвольных однопараметрических унитарных групп и утверждает, что для каждого вектора в гильбертовом пространстве существует в смысле метрики, определяемой гильбертовой нормой, и является вектором , который таков, что для всех . Это было доказано в первой статье. Во второй статье фон Нейман утверждал, что его результатов достаточно для физических приложений, связанных с эргодической гипотезой Больцмана . Он также указал, что эргодичность еще не достигнута, и выделил это для будущих работ. ^[110] ${\displaystyle {\mathit {t}}\to {\mathit {V_{t}}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}V_{t}(\phi )\,dt}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle V_{t}(\psi )=\psi }$ ${\displaystyle t}$

Позже в том же году он опубликовал еще одну влиятельную статью, положившую начало систематическому изучению эргодичности. Он дал и доказал теорему о разложении, показывающую, что эргодические действия, сохраняющие меру действительной прямой, являются фундаментальными строительными блоками, из которых могут быть построены все действия, сохраняющие меру. Приводятся и доказываются еще несколько ключевых теорем. Результаты этой статьи и другой статьи, полученной совместно с Полом Халмосом, имеют важные приложения в других областях математики. ^{[110] [111]}

Теория меры

В теории меры «проблема меры» для n -мерного евклидова пространства Rn может быть сформулирована так: «существует ли положительная, ^{нормализованная} , инвариантная и аддитивная функция множества на классе всех подмножеств ^Rn ? » ^[112] В работах Феликса Хаусдорфа и Стефана Банаха предполагалось, что проблема меры имеет положительное решение, если n = 1 или n = 2 , и отрицательное решение (из-за парадокса Банаха-Тарского ) во всех остальных случаях. В работе фон Неймана утверждалось, что «проблема по существу носит теоретико-групповой характер»: существование меры можно определить, рассматривая свойства группы преобразований данного пространства. Положительное решение для пространств размерности не более двух и отрицательное решение для пространств более высоких измерений обусловлено тем фактом, что евклидова группа является разрешимой группой для измерений не более двух и неразрешима для пространств более высоких измерений. «Таким образом, согласно фон Нейману, именно смена группы имеет значение, а не изменение пространства». ^[113] Примерно в 1942 году он рассказал Дороти Махарам , как доказать, что каждое полное пространство с σ-конечной мерой имеет мультипликативный подъем; он не опубликовал это доказательство, а позже она придумала новое. ^[114]

В ряде работ фон Неймана использованные им методы аргументации считаются даже более значимыми, чем результаты. В преддверии своего более позднего исследования теории размерности в алгебрах операторов фон Нейман использовал результаты об эквивалентности посредством конечного разложения и переформулировал проблему меры в терминах функций. ^[115] Важным вкладом фон Неймана в теорию меры стала статья, написанная для ответа на вопрос Хаара о том, существует ли алгебра всех ограниченных функций на прямой с действительными числами, такая, что они образуют «полную систему представителей классов почти всюду равных измеримых ограниченных функций». ^[116] Он доказал это положительно, а в более поздних работах со Стоуном обсуждались различные обобщения и алгебраические аспекты этой проблемы. ^[117] Он также доказал новыми методами существование распада для различных общих типов мер. Фон Нейман также дал новое доказательство единственности мер Хаара, используя средние значения функций, хотя этот метод работал только для компактных групп . ^[116] Ему пришлось создать совершенно новые методы, чтобы применить это к локально компактным группам . ^[118] Он также дал новое, остроумное доказательство теоремы Радона–Никодима . ^[119] Его конспекты лекций по теории меры в Институте перспективных исследований были важным источником знаний по этой теме в Америке того времени и позже были опубликованы. ^{[120] [121] [122]}

Топологические группы

Используя свою предыдущую работу по теории меры, фон Нейман внес несколько вкладов в теорию топологических групп , начиная со статьи о почти периодических функциях на группах, где фон Нейман распространил теорию почти периодических функций Бора на произвольные группы . ^[123] Он продолжил эту работу еще одной статьей совместно с Бохнером , которая улучшила теорию почти периодичности , включив в нее функции , которые принимают элементы линейных пространств как значения, а не числа. ^[124] В 1938 году он был награжден Мемориальной премией Бошера за свою аналитическую работу в отношении этих статей. ^{[125] [126]}

В статье 1933 года он использовал недавно открытую меру Хаара для решения пятой проблемы Гильберта для случая компактных групп . ^[127] Основная идея этого была обнаружена несколькими годами ранее, когда фон Нейман опубликовал статью об аналитических свойствах групп линейных преобразований и обнаружил, что замкнутые подгруппы общей линейной группы являются группами Ли . ^{[128] Позже} Картан распространил это утверждение на произвольные группы Ли в форме теоремы о замкнутой подгруппе . ^{[129] [116]}

Функциональный анализ

Фон Нейман был первым, кто аксиоматически определил абстрактное гильбертово пространство . Он определил его как комплексное векторное пространство с эрмитовым скалярным произведением , причем соответствующая норма является одновременно отделимой и полной. В тех же работах он доказал и общий вид неравенства Коши–Шварца , известный ранее лишь на конкретных примерах. ^{[ 130]} Он продолжил развитие спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве в трёх основополагающих статьях между 1929 и 1932 годами . в том же году вышли первые монографии по теории гильбертова пространства. ^[132] Предыдущие работы других показали, что теория слабых топологий не может быть получена с помощью последовательностей . Фон Нейман был первым, кто наметил программу преодоления трудностей, в результате которых он впервые определил локально выпуклые пространства и топологические векторные пространства . Кроме того, несколько других топологических свойств, которые он определил в то время (он был одним из первых математиков, применивших новые топологические идеи Хаусдорфа от евклидова до гильбертова пространств) ^[133] , такие как ограниченность и полная ограниченность , используются до сих пор. ^[134] В течение двадцати лет фон Нейман считался «бесспорным хозяином» в этой области. ^[116] Эти разработки были в первую очередь вызваны потребностями квантовой механики , где фон Нейман осознал необходимость расширить спектральную теорию эрмитовых операторов от ограниченного до неограниченного случая. ^[135] Другие важные достижения в этих статьях включают полное объяснение спектральной теории нормальных операторов , первое абстрактное представление следа положительного оператора , [ ^{136] [137]} обобщение представления Рисса о спектральном спектре Гильберта . теоремы того времени и открытие эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве, в отличие от самосопряженных операторов , что позволило ему дать описание всех эрмитовых операторов, расширяющих данный эрмитов оператор. Он написал статью, подробно описывающую, как использованиебесконечные матрицы , распространенные в то время в спектральной теории, были недостаточными для представления эрмитовых операторов. Его работа по теории операторов привела к его самому глубокому открытию в области чистой математики, изучению алгебр фон Неймана и вообще операторных алгебр . ^[138]

Его более поздние работы над кольцами операторов привели к тому, что он вернулся к своей работе по спектральной теории и предложил новый способ работы с геометрическим содержанием с помощью прямых интегралов гильбертовых пространств. ^[135] Как и в своей работе по теории меры, он доказал несколько теорем, которые не нашел времени опубликовать. Он рассказал Нахману Ароншайну и К.Т. Смиту, что в начале 1930-х годов он доказал существование собственных инвариантных подпространств для вполне непрерывных операторов в гильбертовом пространстве, работая над проблемой инвариантных подпространств . ^[139]

Вместе с И. Дж. Шёнбергом он написал несколько статей, исследуя инвариантные к трансляции гильбертовы метрики на прямой числовой линии , что привело к их полной классификации. Их мотивация лежит в различных вопросах, связанных с вложением метрических пространств в гильбертовы пространства. ^{[140] [141]}

Вместе с Паскуалем Джорданом он написал короткую статью, в которой впервые был получен вывод заданной нормы из скалярного произведения посредством тождества параллелограмма . ^[142] Его неравенство следов является ключевым результатом теории матриц, используемым в задачах матричной аппроксимации. ^[143] Он также впервые представил идею о том, что двойственная преднорма является нормой, в первой крупной статье, обсуждающей теорию унитарно-инвариантных норм и симметричных калибровочных функций (теперь известных как симметричные абсолютные нормы). ^{[144] [145] [146]} Эта статья естественным образом ведет к изучению симметричных операторных идеалов и является отправной точкой для современных исследований симметричных операторных пространств . ^[147]

Позже вместе с Робертом Шаттеном он инициировал изучение ядерных операторов в гильбертовых пространствах, ^{[148] [149]} тензорных произведений банаховых пространств , ^[150] ввел и изучил операторы ядерных классов , ^[151] их идеалы и их двойственность с компактными операторами . и преддвойственность с ограниченными операторами . ^[152] Обобщение этой темы на изучение ядерных операторов в банаховых пространствах было одним из первых достижений Александра Гротендика . ^{[153] [154]} Ранее, в 1937 году, фон Нейман опубликовал несколько результатов в этой области, например, дав однопараметрическую шкалу различных перекрестных норм и доказав несколько других результатов о том, что сейчас известно как идеалы Шаттена – фон Неймана. ^[155] ${\displaystyle {\textit {l}}\,_{2}^{n}\otimes {\textit {l}}\,_{2}^{n}}$

Операторные алгебры

Фон Нейман основал изучение колец операторов с помощью алгебр фон Неймана (первоначально называвшихся W*-алгебрами). Хотя его первоначальные идеи колец операторов существовали уже в 1930 году, он не приступил к их углубленному изучению, пока несколько лет спустя не встретил Ф. Дж . Мюррея . ^{[156] [157]} Алгебра фон Неймана — это *-алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве , замкнутая в слабой операторной топологии и содержащая тождественный оператор . ^[158] Теорема фон Неймана о бикоммутанте показывает, что аналитическое определение эквивалентно чисто алгебраическому определению как равное бикоммутанту . ^[159] После разъяснения изучения случая коммутативной алгебры фон Нейман в 1936 году при частичном сотрудничестве Мюррея приступил к некоммутативному случаю к общему исследованию факторной классификации алгебр фон Неймана. Шесть основных статей, в которых он разработал эту теорию между 1936 и 1940 годами, «причисляются к шедеврам анализа двадцатого века»; ^[160] они собрали множество фундаментальных результатов и запустили несколько программ по теории операторной алгебры, над которыми математики работали десятилетиями. Примером может служить классификация факторов . ^[161] Кроме того, в 1938 году он доказал, что каждая алгебра фон Неймана в сепарабельном гильбертовом пространстве является прямым интегралом факторов; он не нашел времени опубликовать этот результат до 1949 года. ^{[162] [163]} Алгебры фон Неймана тесно связаны с теорией некоммутативного интегрирования, на что фон Нейман намекал в своей работе, но не выписал явно. ^{[164] [165]} Другой важный результат по полярному разложению был опубликован в 1932 году. ^[166]

Теория решетки

Между 1935 и 1937 годами фон Нейман работал над теорией решеток — теорией частично упорядоченных множеств , в которой каждые два элемента имеют максимальную нижнюю и наименьшую верхнюю границы. Как писал Гаррет Биркгоф , «блестящий ум Джона фон Неймана вспыхнул над теорией решетки, как метеор». ^[167] Фон Нейман объединил традиционную проективную геометрию с современной алгеброй ( линейной алгеброй , теорией колец , теорией решеток). Многие предыдущие геометрические результаты можно было затем интерпретировать в случае общих модулей над кольцами. Его работа заложила основы современных работ в области проективной геометрии. ^[168]

Его самым большим вкладом было основание области непрерывной геометрии . ^[169] Это последовало за его новаторской работой по кольцам операторов. В математике непрерывная геометрия является заменой комплексной проективной геометрии , где вместо размерности подпространства, находящегося в дискретном множестве, оно может быть элементом единичного интервала . Ранее Менгер и Биркгоф аксиоматизировали сложную проективную геометрию с точки зрения свойств ее решетки линейных подпространств . Фон Нейман, следуя своей работе над кольцами операторов, ослабил эти аксиомы , чтобы описать более широкий класс решеток — непрерывные геометрии. ${\displaystyle 0,1,...,{\mathit {n}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Хотя размеры подпространств проективной геометрии представляют собой дискретный набор ( неотрицательные целые числа ), размеры элементов непрерывной геометрии могут непрерывно варьироваться в пределах единичного интервала . Фон Нейман был мотивирован открытием им алгебр фон Неймана с функцией размерности, принимающей непрерывный диапазон измерений, и первым примером непрерывной геометрии, отличной от проективного пространства, были проекции гиперконечного фактора типа II . ^{[170] [171]} ${\displaystyle [0,1]}$

В более чистой работе по теории решеток он решил сложную проблему характеристики класса (непрерывномерной проективной геометрии над произвольным телом ) на абстрактном языке теории решеток. ^[172] Фон Нейман представил абстрактное исследование размерности в завершенных дополненных модулярных топологических решетках (свойства, которые возникают в решетках подпространств пространств внутреннего произведения ): ${\displaystyle {\mathit {CG(F)}}}$ ${\displaystyle {\mathit {F}}\,}$

Размерность определяется с точностью до положительного линейного преобразования следующими двумя свойствами. Он сохраняется с помощью перспективных отображений («перспектив») и упорядочивается путем включения. Самая глубокая часть доказательства касается эквивалентности перспективы с «проективностью путем разложения», следствием которой является транзитивность перспективы.

Для любого целого числа каждая -мерная абстрактная проективная геометрия изоморфна подпространственной решетке -мерного векторного пространства над (уникальным) соответствующим телом . Это известно как теорема Веблена-Янга . Фон Нейман распространил этот фундаментальный результат проективной геометрии на случай непрерывной размерности. ^[173] Эта теорема о координации стимулировала значительную работу в области абстрактной проективной геометрии и теории решеток, большая часть которых продолжала использовать методы фон Неймана. ^{[168] [174]} Биркгоф описал эту теорему следующим образом: ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle {\mathit {n}}}$ ${\displaystyle {\mathit {n}}}$ ${\displaystyle V_{n}(F)}$ ${\displaystyle F}$

Любая дополняемая модулярная решетка L , имеющая «базис» из n ≥ 4 попарно перспективных элементов, изоморфна решетке ℛ( R ) всех главных правых идеалов подходящего регулярного кольца R . Этот вывод является кульминацией 140 страниц блестящей и проницательной алгебры, включающей совершенно новые аксиомы. Тому, кто желает получить незабываемое впечатление от остроты ума фон Неймана, нужно просто попытаться проследить эту цепочку точных рассуждений самому, понимая, что часто пять ее страниц записывались перед завтраком, сидя за письменным столом в гостиной. в халате. ^[175]

Эта работа потребовала создания правильных колец . ^[176] Регулярное кольцо фон Неймана — это кольцо , в котором для каждого существует такой элемент, что . ^[175] Эти кольца возникли и связаны с его работами по алгебрам фон Неймана, а также AW*-алгебрам и различным видам C*-алгебр . ^[177] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle axa=a}$

Многие более мелкие технические результаты были доказаны во время создания и доказательства вышеупомянутых теорем, особенно в отношении дистрибутивности (например, бесконечной дистрибутивности), фон Нейман развивал их по мере необходимости. Он также разработал теорию нормировок в решетках и участвовал в разработке общей теории метрических решеток . ^[178]

Биркгоф отметил в своей посмертной статье о фон Неймане, что большинство этих результатов были разработаны в течение интенсивного двухлетнего периода работы, и что, хотя его интересы в теории решеток продолжались и после 1937 года, они стали второстепенными и в основном встречались в письмах к другим математикам. Последним вкладом в 1940 году стал совместный семинар, который он провел с Биркгофом в Институте перспективных исследований по этой теме, где он разработал теорию σ-полных решетчатых упорядоченных колец. Он никогда не писал работу для публикации. ^[179]

Математическая статистика

Фон Нейман внес фундаментальный вклад в математическую статистику . В 1941 году он вывел точное распределение отношения среднего квадрата последовательных разностей к выборочной дисперсии для независимых и одинаково нормально распределенных переменных. ^[180] Это соотношение применялось к остаткам регрессионных моделей и широко известно как статистика Дурбина-Ватсона ^[181] для проверки нулевой гипотезы о том, что ошибки серийно независимы, по сравнению с альтернативой, согласно которой они следуют стационарной авторегрессии первого порядка . ^[181]

Впоследствии Денис Сарган и Алок Бхаргава расширили результаты для проверки того, следуют ли ошибки в модели регрессии гауссовскому случайному блужданию ( т. е . имеют единичный корень ) против альтернативы, состоящей в том, что они представляют собой стационарную авторегрессию первого порядка. ^[182]

Другая работа

В ранние годы фон Нейман опубликовал несколько статей, связанных с теоретико-множественным вещественным анализом и теорией чисел. ^[183] ​​В статье 1925 года он доказал, что для любой плотной последовательности точек в существует перестановка этих точек, которая распределена равномерно . ^{[184] [185] [186]} В 1926 году его единственной публикацией была теория Прюфера идеальных алгебраических чисел , где он нашел новый способ их построения, тем самым распространив теорию Прюфера на область всех алгебраических чисел , и прояснил их связь с p -адические числа . ^{[187] [188] [189] [190] [191]} В 1928 году он опубликовал две дополнительные статьи, продолжающие эти темы. Первый имел дело с разбиением интервала на счетное множество конгруэнтных подмножеств . Он решил задачу Гуго Штейнгауза о том, делится ли интервал . Фон Нейман доказал, что действительно все интервалы, полуоткрытые, открытые или закрытые, делятся трансляциями (т. е. что эти интервалы можно разложить на подмножества, конгруэнтные трансляцией). ^{[192] [193] [194] [195]} Его следующая статья была посвящена конструктивному доказательству без аксиомы выбора того, что алгебраически независимые действительные числа существуют. Он доказал, что алгебраически независимы для . Следовательно, существует совершенное алгебраически независимое множество действительных чисел размером с континуум . ^{[196] [197] [198] [199]} Другие незначительные результаты его ранней карьеры включают доказательство принципа максимума для градиента минимизирующей функции в области вариационного исчисления , ^{[200] [201] [202] [203]} и небольшое упрощение теоремы Германа Минковского для линейных форм в геометрической теории чисел . ^{[204] [205] [206]} Позже в своей карьере вместе с Паскуалем Джорданом и Юджином Вигнером он написал основополагающую статью, в которой классифицировал все конечномерные формально вещественные йордановые алгебры и открыл алгебры Альберта , пытаясь найти лучшую ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle A_{r}=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{2^{[nr]}}\!{\big /}\,2^{2^{n^{2}}}}$ ${\displaystyle r>0}$ математический формализм квантовой теории . ^{[207] [208]} В 1936 году он попытался продолжить программу замены аксиом своей предыдущей программы гильбертова пространства аксиомами йордановых алгебр ^[209] в статье, исследующей бесконечномерный случай; он планировал написать как минимум еще одну статью по этой теме, но так и не сделал этого. ^[210] Тем не менее, эти аксиомы легли в основу дальнейших исследований алгебраической квантовой механики, начатых Ирвингом Сигалом . ^{[211] [212]}

Физика

Квантовая механика

Фон Нейман был первым, кто создал строгую математическую основу для квантовой механики , известную как аксиомы Дирака-фон Неймана , в своей влиятельной работе 1932 года «Математические основы квантовой механики ». ^[213] После завершения аксиоматизации теории множеств он начал противостоять аксиоматизации квантовой механики. В 1926 году он понял, что состояние квантовой системы может быть представлено точкой в ​​(комплексном) гильбертовом пространстве, которое, вообще говоря, может быть бесконечномерным даже для одной частицы. В этом формализме квантовой механики наблюдаемые величины, такие как положение или импульс, представлены как линейные операторы , действующие в гильбертовом пространстве, связанном с квантовой системой. ^[214]

Тем самым физика квантовой механики свелась к математике гильбертовых пространств и линейных операторов, действующих на них. Например, принцип неопределенности , согласно которому определение положения частицы препятствует определению ее импульса и наоборот, переводится в некоммутативность двух соответствующих операторов. Эта новая математическая формулировка включала в качестве особых случаев формулировки Гейзенберга и Шрёдингера. ^[214]

Абстрактная трактовка фон Неймана позволила ему противостоять фундаментальному вопросу о детерминизме и недетерминизме, и в книге он представил доказательство того, что статистические результаты квантовой механики не могут быть средними значениями основного набора определенных «скрытых переменных», поскольку в классической статистической механике. В 1935 году Грета Херманн опубликовала статью, в которой утверждала, что доказательство содержит концептуальную ошибку и поэтому недействительно. ^[215] Работа Германа в значительной степени игнорировалась до тех пор, пока Джон С. Белл не выдвинул по существу тот же аргумент в 1966 году . ^[216] В 2010 году Джеффри Баб утверждал, что Белл неправильно истолковал доказательство фон Неймана, и указал, что это доказательство, хотя и недействительно для Все теории скрытых переменных исключают четко определенное и важное подмножество. Буб также предполагает, что фон Нейман знал об этом ограничении и не утверждал, что его доказательство полностью исключает теории скрытых переменных. ^[217] Обоснованность аргумента Буба, в свою очередь, оспаривается. Теорема Глисона 1957 года предоставила аргумент против скрытых переменных в духе фон Неймана, но основана на предположениях, которые считаются более обоснованными и более физически значимыми. ^{[218] [219]}

Доказательство фон Неймана положило начало направлению исследований, которые в конечном итоге привели, посредством теоремы Белла и экспериментов Алена Аспекта в 1982 году, к демонстрации того, что квантовая физика либо требует представления о реальности, существенно отличающегося от представления классической физики, либо должна включать нелокальность в кажущуюся реальность. нарушение специальной теории относительности. ^[220]

В главе « Математических основ квантовой механики» фон Нейман глубоко проанализировал так называемую проблему измерения . Он пришел к выводу, что вся физическая вселенная может быть подчинена универсальной волновой функции . Поскольку для коллапса волновой функции было необходимо что-то «вне расчета», фон Нейман пришел к выводу, что коллапс был вызван сознанием экспериментатора. Он утверждал, что математика квантовой механики позволяет поместить коллапс волновой функции в любую позицию причинно-следственной цепочки от измерительного устройства до «субъективного сознания» человека-наблюдателя. Другими словами, хотя грань между наблюдателем и наблюдаемым может быть проведена в разных местах, теория имеет смысл только в том случае, если где-то существует наблюдатель. ^[221] Хотя идея о коллапсе сознания была принята Юджином Вигнером, ^[222] интерпретация фон Неймана-Вигнера так и не получила признания среди большинства физиков. ^[223]

Хотя теории квантовой механики продолжают развиваться, базовую основу математического формализма задач квантовой механики, лежащую в основе большинства подходов, можно проследить до математических формализмов и методов, впервые использованных фон Нейманом. Дискуссии об интерпретации теории и ее расширениях сейчас в основном проводятся на основе общих предположений о математических основах. ^[213]

Рассматривая работу фон Неймана по квантовой механике как часть решения шестой проблемы Гильберта , физик-математик Артур Вайтман сказал в 1974 году, что его аксиомизация квантовой теории была, пожалуй, самой важной аксиомизацией физической теории на сегодняшний день. С его книгой 1932 года квантовая механика стала зрелой теорией в том смысле, что она имела точную математическую форму, которая позволяла давать четкие ответы на концептуальные проблемы. ^[224] Тем не менее, фон Нейман в последние годы своей жизни чувствовал, что потерпел неудачу в этом аспекте своей научной работы, поскольку, несмотря на всю разработанную им математику, он не нашел удовлетворительной математической основы для квантовой теории в целом. ^{[225] [226]}

Энтропия фон Неймана

Энтропия фон Неймана широко используется в различных формах ( условная энтропия , относительная энтропия и т. д.) в рамках квантовой теории информации . ^[227] Меры запутанности основаны на некоторой величине, непосредственно связанной с энтропией фон Неймана. Учитывая статистический ансамбль квантово-механических систем с матрицей плотности , он задается Многие из тех же мер энтропии в классической теории информации также могут быть обобщены на квантовый случай, такие как энтропия Холево ^[228] и условная квантовая энтропия . Квантовая теория информации в основном занимается интерпретацией и использованием энтропии фон Неймана, краеугольного камня в развитии первой; Энтропия Шеннона применима к классической теории информации. ^[229] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {Tr} (\rho \ln \rho ).\,}$

Матрица плотности

Формализм операторов плотности и матриц был введен фон Нейманом ^[230] в 1927 г. и независимо, но менее систематически, Львом Ландау ^[231] и Феликсом Блохом ^[232] в 1927 и 1946 гг. соответственно. Матрица плотности — это альтернативный способ представления состояния квантовой системы, включая статистические вероятности, которые нелегко представить с помощью волновых функций. ^{[ нужна цитата ]}

Схема измерений фон Неймана

Схема измерений фон Неймана , прародитель теории квантовой декогеренции , представляет измерения проективно, принимая во внимание измерительный прибор, который также рассматривается как квантовый объект. Схема «проективного измерения», введенная фон Нейманом, привела к развитию теорий квантовой декогеренции. ^{[233] [234]}

Квантовая логика

Фон Нейман впервые предложил квантовую логику в своем трактате 1932 года « Математические основы квантовой механики» , где он отметил, что проекции на гильбертово пространство можно рассматривать как утверждения о физических наблюдаемых. Область квантовой логики была впоследствии открыта в статье 1936 года фон Неймана и Гаррета Биркгофа, первых, кто ввел квантовую логику, ^[235] , в которой фон Нейман и Биркгоф впервые доказали, что квантовая механика требует исчисления высказываний , существенно отличающегося от всех классических логик и строго выделил новую алгебраическую структуру квантовой логики. Концепция создания исчисления высказываний для квантовой логики была впервые изложена в коротком разделе работы фон Неймана 1932 года, но в 1936 году необходимость нового исчисления высказываний была продемонстрирована посредством нескольких доказательств. Например, фотоны не могут пройти через два последовательных фильтра, поляризованных перпендикулярно (например, горизонтально и вертикально), и поэтому, тем более , они не могут пройти, если к двум другим добавлен третий фильтр, поляризованный по диагонали, либо до, либо после них в последовательность, но если третий фильтр добавить между двумя другими, фотоны действительно пройдут. Этот экспериментальный факт можно перевести на логику как некоммутативность конъюнкции . Было также продемонстрировано, что законы распределения классической логики и , не справедливы для квантовой теории. ^[236] ${\displaystyle (A\land B)\neq (B\land A)}$ ${\displaystyle P\lor (Q\land R)={}}$ ${\displaystyle (P\lor Q)\land (P\lor R)}$ ${\displaystyle P\land (Q\lor R)={}}$ ${\displaystyle (P\land Q)\lor (P\land R)}$

Причина этого в том, что квантовая дизъюнкция, в отличие от случая классической дизъюнкции, может быть истинной, даже когда оба дизъюнкта ложны, а это, в свою очередь, объясняется тем фактом, что в квантовой механике часто бывает, что пара альтернативы семантически определены, тогда как каждый из ее членов обязательно неопределенен. Следовательно, распределительный закон классической логики необходимо заменить более слабым условием. ^[236] Вместо дистрибутивной решетки предложения о квантовой системе образуют ортомодулярную решетку , изоморфную решетке подпространств гильбертова пространства, ассоциированного с этой системой. ^[237]

Тем не менее, он никогда не был удовлетворен своей работой по квантовой логике. Он планировал, что это будет совместный синтез формальной логики и теории вероятностей, и когда он попытался написать статью для лекции Генри Джозефа, которую он прочитал в Вашингтонском философском обществе в 1945 году, он обнаружил, что не может, особенно учитывая, что он был занят. с военной работой в то время. Во время своего выступления на Международном конгрессе математиков 1954 года он назвал этот вопрос одной из нерешенных проблем, над которыми могут работать будущие математики. ^{[238] [239]}

Динамика жидкостей

Фон Нейман внес фундаментальный вклад в область гидродинамики , включая классическое решение потока для взрывных волн ^[240] и совместное открытие (независимо Яков Борисович Зельдович и Вернер Дёринг ) ZND-модели детонации взрывчатых веществ. ^[241] В 1930-х годах фон Нейман стал авторитетом в области математики кумулятивных зарядов . ^[242]

Позже вместе с Робертом Д. Рихтмайером фон Нейман разработал алгоритм определения искусственной вязкости , который улучшил понимание ударных волн . Когда компьютеры решали гидродинамические или аэродинамические задачи, они помещали слишком много точек расчетной сетки в области резких разрывов (ударных волн). Математика искусственной вязкости сгладила ударный переход, не жертвуя основами физики. ^[243]

Фон Нейман вскоре применил компьютерное моделирование в этой области, разработав программное обеспечение для своих баллистических исследований. Во время Второй мировой войны он обратился к Р. Х. Кенту, директору Лаборатории баллистических исследований армии США , с компьютерной программой для расчета одномерной модели из 100 молекул для моделирования ударной волны. Фон Нейман провел семинар по своей программе перед аудиторией, в которую входил его друг Теодор фон Карман . После того, как фон Нейман закончил, фон Карман сказал: «Конечно, вы понимаете, что Лагранж также использовал цифровые модели для моделирования механики сплошной среды ». Фон Нейман не знал об аналитической механике Лагранжа . ^[244]

Другая работа

Мемориальная доска фон Неймана на стене дома его рождения в Будапеште, 5-й район Батори у. 26.

Хотя он и не был таким плодовитым в физике, как в математике, он, тем не менее, внес еще несколько заметных вкладов. Его новаторские работы с Субраманьяном Чандрасекаром по статистике флуктуирующего гравитационного поля , создаваемого случайно распределенными звездами , считались выдающимся достижением . ^[245] В этой статье они разработали теорию двухчастичной релаксации ^[246] и использовали распределение Хольцмарка для моделирования ^[247] динамики звездных систем . ^[248] Он написал несколько других неопубликованных рукописей по темам звездной структуры , некоторые из которых были включены в другие работы Чандрасекара. ^{[249] [250]} В более ранней работе под руководством Освальда Веблена фон Нейман помог разработать основные идеи, связанные со спинорами , которые привели к твисторной теории Роджера Пенроуза . ^{[251] [252]} Большая часть этого была сделана на семинарах, проводимых в IAS в 1930-х годах. ^{[253] На основании этой работы он вместе с} А. Х. Таубом и Вебленом написал статью, в которой расширил уравнение Дирака до проективной теории относительности, уделив особое внимание поддержанию инвариантности в отношении координатных, спиновых и калибровочных преобразований, как часть ранних исследований потенциальных теорий. квантовой гравитации в 1930-х годах. ^[254] В тот же период он сделал коллегам несколько предложений по решению проблем вновь созданной квантовой теории поля и по квантованию пространства-времени; однако и его коллеги, и он не сочли эти идеи плодотворными и не реализовали их. ^{[255] [256] [257]} Тем не менее, он сохранил, по крайней мере, некоторый интерес, написав в 1940 году рукопись по уравнению Дирака в пространстве де Ситтера . ^[258]

Экономика

Теория игры

Фон Нейман основал теорию игр как математическую дисциплину. ^[259] Он доказал свою теорему о минимаксе в 1928 году. Она устанавливает, что в играх с нулевой суммой и совершенной информацией (т. е. в которых игроки в каждый момент времени знают все ходы, которые были сделаны до сих пор) существует пара стратегий для обоих игроков, что позволяет каждому минимизировать свои максимальные потери. ^[260] Такие стратегии называются оптимальными . Фон Нейман показал, что их минимаксы равны (по абсолютной величине) и противоположны (по знаку). Он улучшил и расширил теорему о минимаксе , включив в нее игры с несовершенной информацией и игры с участием более двух игроков, опубликовав этот результат в своей « Теории игр и экономического поведения» 1944 года , написанной совместно с Оскаром Моргенштерном . Общественный интерес к этой работе был таков, что The New York Times опубликовала статью на первой полосе. ^[261] В этой книге фон Нейман заявил, что экономическая теория должна использовать функциональный анализ , особенно выпуклые множества и топологическую теорему о неподвижной точке , а не традиционное дифференциальное исчисление, поскольку оператор максимума не сохраняет дифференцируемые функции. ^[259]

Функционально-аналитические методы фон Неймана — использование пар двойственности действительных векторных пространств для представления цен и количеств, использование опорных и разделяющих гиперплоскостей и выпуклых множеств, а также теории фиксированной точки — с тех пор стали основными инструментами математической экономики. ^[262]

Математическая экономика

Фон Нейман поднял математический уровень экономики в нескольких влиятельных публикациях. Для своей модели расширяющейся экономики он доказал существование и единственность равновесия, используя свое обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке . ^[259] Модель фон Неймана расширяющейся экономики рассматривала матричный пучок  A  − λ B с неотрицательными матрицами  A и B ; фон Нейман искал векторы вероятности p и  q и положительное число  λ , которые позволили бы решить уравнение дополнительности вместе с двумя системами неравенства, выражающими экономическую эффективность. В этой модели ( транспонированный ) вектор вероятности p представляет цены на товары, а вектор вероятности q представляет «интенсивность», с которой будет работать производственный процесс. Единственное решение λ представляет собой коэффициент роста, равный 1 плюс темпы роста экономики; темпы роста равны процентной ставке . ^{[263] [264]}   ${\displaystyle p^{T}(A-\lambda B)q=0}$

Результаты фон Неймана рассматривались как частный случай линейного программирования , где его модель использует только неотрицательные матрицы. Исследование его модели расширяющейся экономики продолжает интересовать экономистов-математиков. ^{[265] [266]} Эта статья была названа величайшей статьей в математической экономике несколькими авторами, которые признали введение в нее теорем о неподвижной точке, линейных неравенств , дополнительной нежесткости и двойственности седловой точки . ^[267] В материалах конференции, посвященной модели роста фон Неймана, Пол Самуэльсон сказал, что многие математики разработали методы, полезные для экономистов, но что фон Нейман уникален тем, что внес значительный вклад в саму экономическую теорию. ^[268] Непреходящее значение работ по общему равновесию и методологии теорем о неподвижной точке подчеркивается присуждением Нобелевских премий в 1972 году Кеннету Эрроу , в 1983 году Жерару Дебре и в 1994 году Джону Нэшу , который использовал теоремы о неподвижной точке. установить равновесие для некооперативных игр и задач переговоров в своей докторской диссертации. Тезис. Эрроу и Дебре также использовали линейное программирование, как и нобелевские лауреаты Тьяллинг Купманс , Леонид Канторович , Василий Леонтьев , Пол Самуэльсон , Роберт Дорфман , Роберт Солоу и Леонид Гурвич . ^[269]

Интерес фон Неймана к этой теме начался, когда он читал лекции в Берлине в 1928 и 1929 годах. Лето он проводил в Будапеште, как и экономист Николас Калдор ; Калдор рекомендовал фон Нейману прочитать книгу экономиста-математика Леона Вальраса . Фон Нейман заметил, что теория общего равновесия Вальраса и закон Вальраса , которые привели к системам одновременных линейных уравнений, могут привести к абсурдному результату: прибыль можно максимизировать, производя и продавая отрицательное количество продукта. Он заменил уравнения неравенствами, ввел, среди прочего, динамическое равновесие и в конце концов написал свою статью. ^[270]

Линейное программирование

Опираясь на свои результаты в матричных играх и на свою модель расширяющейся экономики, фон Нейман изобрел теорию двойственности в линейном программировании, когда Джордж Данциг описал свою работу за несколько минут, и нетерпеливый фон Нейман попросил его перейти к делу. Затем Данциг ошеломленно слушал, как фон Нейман читал часовую лекцию о выпуклых множествах, теории фиксированной точки и двойственности, выдвигая гипотезы об эквивалентности матричных игр и линейного программирования. ^[271]

Позже фон Нейман предложил новый метод линейного программирования , используя однородную линейную систему Пола Гордана (1873), которая позже была популяризирована алгоритмом Кармаркара . В методе фон Неймана использовался алгоритм поворота между симплексами , причем решение поворота определялось неотрицательной подзадачой наименьших квадратов с ограничением выпуклости ( проецирование нулевого вектора на выпуклую оболочку активного симплекса). Алгоритм фон Неймана был первым методом внутренней точки линейного программирования. ^[272]

Информатика

Фон Нейман был основоположником вычислительной техники , ^[273] внес значительный вклад в проектирование вычислительного оборудования, в теоретическую информатику , в научные вычисления и в философию информатики .

Аппаратное обеспечение

Фон Нейман консультировал Армейскую лабораторию баллистических исследований , особенно по проекту ENIAC , ^[274] в качестве члена ее Научно-консультативного комитета. ^[275] Хотя архитектуру хранимых программ с одной памятью обычно называют архитектурой фон Неймана , эта архитектура была основана на работах Дж. Преспера Эккерта и Джона Мокли , изобретателей ENIAC и его преемника, EDVAC . Консультируя проект EDVAC в Пенсильванском университете , фон Нейман написал неполный первый проект отчета о EDVAC . В статье, преждевременное распространение которой аннулировало патентные претензии Экерта и Мочли, описывался компьютер, который хранил и свои данные, и свою программу в одном и том же адресном пространстве, в отличие от самых ранних компьютеров, которые хранили свои программы отдельно на бумажной ленте или коммутационных панелях . Эта архитектура стала основой большинства современных компьютерных конструкций. ^[276]

Затем фон Нейман спроектировал машину IAS в Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси. Он организовал его финансирование, а компоненты были спроектированы и изготовлены в расположенной неподалеку исследовательской лаборатории RCA . Фон Нейман рекомендовал, чтобы IBM 701 , прозванный оборонным компьютером , имел магнитный барабан. Это была более быстрая версия машины IAS, которая легла в основу коммерчески успешного IBM 704 . ^{[277] [278]}

Алгоритмы

Блок-схема из книги фон Неймана «Планирование и кодирование задач для электронного вычислительного прибора», опубликованной в 1947 году.

Фон Нейман был изобретателем в 1945 году алгоритма сортировки слиянием , в котором первая и вторая половины массива сортируются рекурсивно, а затем объединяются. ^{[279] [280]}

В рамках работы фон Неймана над водородной бомбой он и Станислав Улам разработали моделирование для гидродинамических расчетов. Он также внес вклад в разработку метода Монте-Карло , который использовал случайные числа для аппроксимации решений сложных задач. ^[281]

Алгоритм фон Неймана для моделирования честной монеты с помощью смещенной монеты используется на этапе «программного отбеливания» некоторых аппаратных генераторов случайных чисел . ^[282] Поскольку получение «истинно» случайных чисел было непрактичным, фон Нейман разработал форму псевдослучайности , используя метод среднего квадрата . Он оправдал этот грубый метод как более быстрый, чем любой другой метод, имевшийся в его распоряжении, написав, что «Любой, кто рассматривает арифметические методы получения случайных цифр, конечно, находится в состоянии греха». ^[282] Он также отметил, что когда этот метод пошел наперекосяк, это было очевидно, в отличие от других методов, которые могли быть слегка неверными. ^[282]

Стохастические вычисления были предложены фон Нейманом в 1953 году ^[283] , но не могли быть реализованы до тех пор, пока компьютерные технологии не достигли успеха в 1960-х годах. ^{[284] [285]} Примерно в 1950 году он был также одним из первых, кто заговорил о временной сложности вычислений , которая в конечном итоге превратилась в область теории сложности вычислений . ^[286]

Клеточные автоматы, ДНК и универсальный конструктор

Первая реализация самовоспроизводящегося универсального конструктора фон Неймана. ^[287] Показаны три поколения машин: второе почти закончило строительство третьего. Линии, идущие вправо, — это ленты генетических инструкций, которые копируются вместе с корпусом машины.

Простая конфигурация клеточного автомата фон Неймана. Двоичный сигнал неоднократно передается по синему проводу, используя возбужденное и спокойное обычные состояния передачи . Сливающаяся ячейка дублирует сигнал на отрезок красного провода, состоящего из особых состояний передачи . Сигнал проходит по этому проводу и на конце создает новую ячейку. Этот конкретный сигнал (1011) кодирует специальное состояние передачи в восточном направлении, таким образом каждый раз удлиняя красный провод на одну ячейку. В процессе строительства новая клетка проходит через несколько сенсибилизированных состояний, управляемых бинарной последовательностью.

Математический анализ фон Нейманом структуры самовоспроизведения предшествовал открытию структуры ДНК. ^[288] Уламу и фон Нейману также обычно приписывают создание области клеточных автоматов , начиная с 1940-х годов, как упрощенной математической модели биологических систем. ^[289]

В лекциях 1948 и 1949 годов фон Нейман предложил кинематический самовоспроизводящийся автомат. ^{[290] [291]} К 1952 году он стал подходить к проблеме более абстрактно. Он разработал сложный двухмерный клеточный автомат , который автоматически копировал первоначальную конфигурацию ячеек. ^[292] Универсальный конструктор фон Неймана , основанный на клеточном автомате фон Неймана, был конкретизирован в его посмертной « Теории самовоспроизводящихся автоматов» . ^[293] Окрестность фон Неймана , в которой каждая ячейка двумерной сетки имеет в качестве соседей четыре ортогонально соседних ячейки сетки, продолжает использоваться для других клеточных автоматов. ^[294]

Научные вычисления и численный анализ

Считающийся, возможно, «самым влиятельным исследователем в области научных вычислений всех времен», ^[295] фон Нейман внес ряд вкладов в эту область, как в техническом, так и в административном плане. Он разработал процедуру анализа устойчивости фон Неймана , ^{[296] которая} до сих пор широко используется, чтобы избежать ошибок, возникающих в численных методах для линейных уравнений в частных производных . ^[297] Его статья с Германом Голдстайном в 1947 году была первой, в которой был описан обратный анализ ошибок , хотя и неявно. ^[298] Он также был одним из первых, кто написал о методе Якоби . ^[299] В Лос-Аламосе он написал несколько секретных докладов о численном решении задач газовой динамики . Однако его разочаровало отсутствие прогресса в области аналитических методов решения этих нелинейных задач. В результате он обратился к вычислительным методам. ^[300] Под его влиянием Лос-Аламос стал лидером в области вычислительной науки в 1950-х и начале 1960-х годов. ^[301]

Из этой работы фон Нейман понял, что вычисления — это не просто инструмент для грубого решения проблемы в численном виде, но также могут дать понимание аналитического решения проблем ^[302] и что существует огромное разнообразие научных и инженерных задач, требующих решения. компьютеры были бы полезны, наиболее важными из которых были нелинейные проблемы . ^[303] В июне 1945 года на Первом Канадском математическом конгрессе он впервые выступил с докладом об общих идеях о том, как решать проблемы, особенно о гидродинамике численно. ^[244] Он также описал, что аэродинамические трубы на самом деле являются аналоговыми компьютерами и как цифровые компьютеры заменят их и откроют новую эру гидродинамики. Гаррет Биркгофф назвал это «незабываемой коммерческой рекламой». Он расширил этот разговор с Голдстайном до рукописи «О принципах работы больших вычислительных машин» и использовал ее для поддержки научных вычислений. В его работах также развиты концепции обращения матриц , случайных матриц и автоматизированных методов релаксации для решения эллиптических краевых задач . ^[304]

Погодные системы и глобальное потепление

В рамках своих исследований возможных применений компьютеров фон Нейман заинтересовался прогнозированием погоды, отметив сходство между проблемами в этой области и теми, над которыми он работал во время Манхэттенского проекта. ^[305] В 1946 году фон Нейман основал «Метеорологический проект» в Институте перспективных исследований, обеспечив финансирование своего проекта со стороны Метеорологического бюро , ВВС США и метеорологических служб ВМС США. ^[306] Вместе с Карлом-Густавом Россби , считавшимся ведущим метеорологом-теоретиком того времени, он собрал группу из двадцати метеорологов для работы над различными проблемами в этой области. Однако, учитывая его другую послевоенную работу, он не смог уделить достаточно времени надлежащему руководству проектом, и мало что удалось сделать.

Ситуация изменилась, когда молодой Джул Грегори Чарни взял на себя руководство проектом вместо Россби. ^[307] К 1950 году фон Нейман и Чарни написали первое в мире программное обеспечение для моделирования климата и использовали его для выполнения первых в мире численных прогнозов погоды на компьютере ENIAC, который фон Нейман организовал для использования; ^[306] фон Нейман и его команда опубликовали результаты в разделе « Численное интегрирование уравнения баротропной завихренности» . ^[308] Вместе они сыграли ведущую роль в усилиях по интеграции обмена энергией и влагой между морем и воздухом в изучение климата. ^[309] Несмотря на примитивность, новости о прогнозах ENIAC быстро распространились по всему миру, и был инициирован ряд параллельных проектов в других местах. ^[310]

В 1955 году фон Нейман, Чарни и их сотрудники убедили своих спонсоров открыть Объединенную группу численного прогнозирования погоды (JNWPU) в Суитленде, штат Мэриленд , которая начала регулярное прогнозирование погоды в реальном времени. ^[311] Далее фон Нейман предложил исследовательскую программу по моделированию климата:

Подход состоит в том, чтобы сначала попробовать краткосрочные прогнозы, затем долгосрочные прогнозы тех свойств циркуляции, которые могут сохраняться в течение сколь угодно длительных периодов времени, и только, наконец, попытаться спрогнозировать на средне-долгие периоды времени, которые слишком велики для того, чтобы рассматривать с помощью простой гидродинамической теории и слишком короток, чтобы рассматривать его с помощью общего принципа теории равновесия. ^[312]

Положительные результаты Нормана А. Филлипса в 1955 году вызвали немедленную реакцию, и фон Нейман организовал в Принстоне конференцию на тему «Применение методов численного интегрирования к проблеме общего кровообращения». Он снова стратегически организовал программу как прогностическую, чтобы обеспечить постоянную поддержку со стороны Бюро погоды и военных, что привело к созданию Отдела исследований общей циркуляции (ныне Лаборатория геофизической гидродинамики ) рядом с JNWPU. ^[313] Он продолжал работу как над техническими вопросами моделирования, так и над обеспечением постоянного финансирования этих проектов. ^[314] В конце 19-го века Сванте Аррениус предположил, что деятельность человека может вызвать глобальное потепление из-за добавления углекислого газа в атмосферу. ^[315] В 1955 году фон Нейман заметил, что это, возможно, уже началось: «Углекислый газ, выброшенный в атмосферу при промышленном сжигании угля и нефти – более половины из них в течение последнего поколения – возможно, изменил состав атмосферы в достаточной степени, чтобы объяснить для общего потепления мира примерно на один градус по Фаренгейту». ^{[316] [317]} Его исследования погодных систем и метеорологических прогнозов привели его к предложению манипулировать окружающей средой путем нанесения красителей на полярные ледяные шапки , чтобы улучшить поглощение солнечной радиации (за счет уменьшения альбедо ) . ^{[318] [319] [318] [319]} Однако он призвал к осторожности в любой программе изменения атмосферы:

То, что можно было бы сделать, конечно, не является показателем того, что следует сделать... Фактически, оценить окончательные последствия либо общего охлаждения, либо общего нагревания было бы сложным вопросом. Изменения повлияют на уровень моря и, следовательно, на обитаемость континентальных прибрежных шельфов; испарение морей и, следовательно, общий уровень осадков и оледенения; и так далее... Но нет никаких сомнений в том, что можно было бы провести необходимый анализ, необходимый для прогнозирования результатов, вмешаться в любой желаемый масштаб и в конечном итоге добиться довольно фантастических результатов. ^[317]

Он также предупредил, что контроль погоды и климата может иметь военное применение, заявив Конгрессу в 1956 году, что они могут представлять еще больший риск, чем межконтинентальные баллистические ракеты . ^[320]

Гипотеза технологической сингулярности

«Технология, которая сейчас развивается и которая будет доминировать в ближайшие десятилетия, находится в конфликте с традиционными и, в основном, на данный момент все еще актуальными географическими и политическими единицами и концепциями. Это назревающий кризис технологии... Самый обнадеживающий Ответ заключается в том, что человеческий вид раньше подвергался подобным испытаниям и, похоже, обладает врожденной способностью выдерживать их после разного количества неприятностей».

— фон Нейман, 1955 г. ^[317]

Первое использование понятия сингулярности в технологическом контексте приписывается фон Нейману ^[321] , который, по словам Улама, обсуждал «постоянно ускоряющийся прогресс техники и изменения в образе человеческой жизни, создающие видимость приближения некоего существенная сингулярность в истории расы, за пределами которой человеческие дела, какими мы их знаем, не могут продолжаться». ^[322] Эта концепция была конкретизирована позже в книге Элвина Тоффлера «Шок будущего» .

Оборонная работа

Фотография значка удостоверения личности фон Неймана в Лос-Аламосе времен войны

Манхэттенский проект

Начиная с конца 1930-х годов фон Нейман накопил опыт в области взрывов — явлений, которые трудно смоделировать математически. В этот период он был ведущим специалистом в области математики кумулятивных зарядов , что привело его к большому количеству военных консультаций и, как следствие, к его участию в Манхэттенском проекте . Участие включало частые поездки на секретные исследовательские объекты проекта в Лос-Аламосской лаборатории в Нью-Мексико. ^[38]

Фон Нейман внес свой основной вклад в создание атомной бомбы , создав концепцию и конструкцию взрывных линз , которые были необходимы для сжатия плутониевого ядра оружия «Толстяк» , которое позже было сброшено на Нагасаки . ^[323] Хотя фон Нейман не был автором концепции « имплозии », он был одним из самых настойчивых ее сторонников, поощряя ее дальнейшее развитие вопреки инстинктам многих своих коллег, которые считали такую ​​конструкцию неработоспособной. В конце концов ему также пришла в голову идея использовать более мощные кумулятивные заряды и менее расщепляющийся материал, чтобы значительно увеличить скорость «сборки». ^[324]

Когда выяснилось, что урана-235 не хватит на изготовление более одной бомбы, проект имплозивной линзы был значительно расширен и идея фон Неймана была реализована. Имплозия была единственным методом, который можно было использовать с плутонием-239 , доступным на Хэнфордской площадке . ^[325] Он разработал конструкцию необходимых взрывных линз , но оставались опасения по поводу «краевых эффектов» и несовершенства взрывчатых веществ. ^[326] Его расчеты показали, что имплозия будет работать, если она не будет отклоняться более чем на 5% от сферической симметрии. ^[327] После серии неудачных попыток с моделями этого добился Георгий Кистяковский , а строительство бомбы «Тринити» было завершено в июле 1945 года. ^[328]

Во время визита в Лос-Аламос в сентябре 1944 года фон Нейман показал, что увеличение давления из-за отражения ударной волны взрыва от твердых объектов было больше, чем считалось ранее, если угол падения ударной волны находился между 90 ° и некоторым предельным углом. В результате было установлено, что эффективность атомной бомбы будет повышена за счет взрыва на высоте нескольких километров над целью, а не на уровне земли. ^{[329] [330]}

Механизм имплозии

Фон Нейман был включен в комитет по выбору целей, который отвечал за выбор японских городов Хиросима и Нагасаки в качестве первых целей атомной бомбы . Фон Нейман курировал расчеты, связанные с ожидаемым размером взрывов бомб, предполагаемым числом погибших и расстоянием над землей, на котором бомбы должны быть взорваны для оптимального распространения ударной волны. Культурная столица Киото была первым выбором фон Неймана, ^[331] выбор которого поддержал руководитель Манхэттенского проекта генерал Лесли Гроувс . Однако эта цель была отклонена военным министром Генри Л. Стимсоном . ^[332]

16 июля 1945 года фон Нейман и многие другие сотрудники Манхэттенского проекта стали очевидцами первого испытания взрыва атомной бомбы под кодовым названием « Тринити» . Мероприятие проводилось как испытание устройства, использующего метод имплозии, на полигоне Аламогордо в Нью-Мексико. Основываясь только на своих наблюдениях, фон Нейман подсчитал, что в результате испытания произошел взрыв мощностью, эквивалентной 5 килотоннам в тротиловом эквиваленте (21  ТДж ), но Энрико Ферми дал более точную оценку - 10 килотонн, сбросив обрывки разорванной бумаги при прохождении ударной волны. его местонахождение и наблюдая, как далеко они разбежались. Фактическая мощность взрыва составляла от 20 до 22 килотонн. ^[333] Впервые выражение «килотоны» появилось в работах фон Неймана 1944 года. ^[334]

Фон Нейман продолжал невозмутимо заниматься своей работой и стал вместе с Эдвардом Теллером одним из тех, кто поддержал проект водородной бомбы . Он сотрудничал с Клаусом Фуксом в дальнейшей разработке бомбы, и в 1946 году они подали секретный патент, в котором описывалась схема использования бомбы деления для сжатия термоядерного топлива для инициирования ядерного синтеза . ^[335] В патенте Фукса-фон Неймана использовалась радиационная имплозия , но не так, как она использовалась в окончательной конструкции водородной бомбы, конструкции Теллера-Улама . Однако их работа была включена в кадр «Джорджа» из «Операции «Оранжерея»» , который оказался поучительным для проверки концепций, вошедших в окончательный дизайн. ^[336] Работа Фукса-фон Неймана была передана Советскому Союзу Фуксом как часть его ядерного шпионажа , но она не использовалась в собственной, независимой разработке Советами конструкции Теллера-Улама. Историк Джереми Бернштейн по иронии судьбы отметил, что «Джон фон Нейман и Клаус Фукс в 1946 году создали блестящее изобретение, которое могло изменить весь ход разработки водородной бомбы, но не было полностью понято до тех пор, пока бомба не была создана». успешно сделано». ^[336]

За свои военные заслуги фон Нейман был награжден премией ВМФ «За выдающиеся заслуги перед гражданской службой» в июле 1946 года и медалью «За заслуги» в октябре 1946 года. ^[337]

Послевоенный

В 1950 году фон Нейман стал консультантом Группы оценки систем вооружения , ^[338] в функции которой входило консультирование Объединенного комитета начальников штабов и министра обороны США по вопросам разработки и использования новых технологий. ^[339] Он также стал советником проекта специального вооружения вооруженных сил , который отвечал за военные аспекты ядерного оружия . ^[338] В течение следующих двух лет он стал консультантом в правительстве США. ^[340] В их число входили Центральное разведывательное управление (ЦРУ), член влиятельного Генерального консультативного комитета Комиссии по атомной энергии , консультант недавно созданной Ливерморской национальной лаборатории Лоуренса и член Научно-консультативной группы США . ВВС ^[338] За это время он стал «суперзвездой» оборонного ученого в Пентагоне . Его авторитет считался непоколебимым на самых высоких уровнях правительства и вооруженных сил США. ^[341]

Во время нескольких заседаний консультативного совета ВВС США фон Нейман и Эдвард Теллер предсказали, что к 1960 году США смогут создать водородную бомбу, достаточно легкую, чтобы ее можно было разместить на вершине ракеты. В 1953 году Бернард Шривер , присутствовавший на встрече, лично посетил фон Неймана в Принстоне, чтобы подтвердить эту возможность. ^[342] Шривер заручился поддержкой Тревора Гарднера , который, в свою очередь, несколько недель спустя посетил фон Неймана, чтобы полностью понять будущие возможности, прежде чем начать свою кампанию за такое оружие в Вашингтоне. ^[343] Теперь, будучи председателем или членом нескольких комиссий, занимающихся стратегическими ракетами и ядерным вооружением, фон Нейман смог внести в правительственные доклады несколько важных аргументов относительно потенциальных советских достижений в обеих этих областях, а также в области стратегической защиты от американских бомбардировщиков, чтобы аргументировать свою позицию. создание МБР . ^[344] Гарднер несколько раз приводил фон Неймана на встречи с представителями Министерства обороны США, чтобы обсудить его доклады с различными высокопоставленными чиновниками. ^[345] Некоторые проектные решения в этих отчетах, такие как инерционные механизмы наведения, впоследствии лягут в основу всех межконтинентальных баллистических ракет. ^[346] К 1954 году фон Нейман также регулярно давал показания различным военным подкомитетам Конгресса , чтобы обеспечить постоянную поддержку программы межконтинентальных баллистических ракет. ^[347]

Однако этого было недостаточно. Чтобы программа межконтинентальных баллистических ракет работала на полную мощность, им требовались прямые действия со стороны президента Соединенных Штатов. ^[348] Они убедили президента Эйзенхауэра на прямой встрече в июле 1955 года, в результате которой 13 сентября 1955 года была принята президентская директива. В ней говорилось, что «это будет иметь самые серьезные последствия для национальной безопасности и сплоченности свободного мира». если бы Советский Союз разработал межконтинентальную баллистическую ракету раньше США и, следовательно, обозначил бы проект межконтинентальной баллистической ракеты как «программу исследований и разработок, имеющую наивысший приоритет над всеми остальными». Министру обороны было приказано начать проект с «максимальной срочностью». ^[349] Позже выяснилось, что Советы действительно в то время уже испытывали свои собственные баллистические ракеты средней дальности . ^[350] Фон Нейман продолжал встречаться с президентом, в том числе в его доме в Геттисберге, штат Пенсильвания , и другими высокопоставленными правительственными чиновниками в качестве ключевого советника по межконтинентальным баллистическим ракетам до своей смерти. ^[351]

Комиссия по атомной энергии

В 1955 году фон Нейман стал комиссаром Комиссии по атомной энергии (AEC), которая в то время была высшей официальной должностью, доступной ученым в правительстве. ^[352] (Хотя его назначение формально требовало, чтобы он разорвал все остальные консультационные контракты, ^[353] фон Нейману было сделано исключение для продолжения работы с несколькими критически важными военными комитетами после того, как ВВС и несколько ключевых сенаторов выразили обеспокоенность. ^[351] ) Он использовал эту должность для дальнейшего производства компактных водородных бомб, пригодных для доставки межконтинентальных баллистических ракет (МБР). Он участвовал в устранении острой нехватки трития и лития-6, необходимых для этого оружия, и выступал против того, чтобы соглашаться на ракеты средней дальности, которые хотела армия. Он был непреклонен в том, что водородные бомбы, доставленные вглубь вражеской территории с помощью межконтинентальной баллистической ракеты, будут наиболее эффективным оружием из всех возможных, и что относительная неточность ракеты не будет проблемой для водородной бомбы. Он сказал, что русские, вероятно, будут создавать аналогичную систему вооружения, что и оказалось. ^{[354] [355]} Пока Льюис Штраус отсутствовал во второй половине 1955 года, фон Нейман занял пост исполняющего обязанности председателя комиссии. ^[356]

В последние годы своей жизни перед смертью от рака фон Нейман возглавлял сверхсекретный комитет правительства США по межконтинентальным баллистическим ракетам, который иногда собирался у него дома. Его цель состояла в том, чтобы принять решение о возможности создания межконтинентальной баллистической ракеты, достаточно большой, чтобы нести термоядерное оружие. Фон Нейман уже давно утверждал, что, хотя технические препятствия и значительны, их можно преодолеть. SM -65 Atlas прошел свои первые полнофункциональные испытания в 1959 году, через два года после его смерти. ^[357] Более совершенные ракеты «Титан» были развернуты в 1962 году. Оба предложения были предложены в комитетах по межконтинентальным баллистическим ракетам под председательством фон Неймана. ^[351] Возможность создания межконтинентальных баллистических ракет во многом была обусловлена ​​как улучшенными, меньшими по размеру боеголовками, у которых не было проблем с наведением или термостойкостью, так и разработками в ракетной технике, и его понимание первых сделало его советы неоценимыми. ^{[357] [351]}

Фон Нейман поступил на государственную службу прежде всего потому, что он чувствовал, что, если свобода и цивилизация выживут, это должно произойти потому, что Соединенные Штаты одержат победу над тоталитаризмом нацизма , фашизма и советского коммунизма . ^[60] Во время слушаний в комитете Сената он описал свою политическую идеологию как «яростно антикоммунистическую и гораздо более милитаристскую, чем норма». ^{[358] [359]}

Личность

Рабочие привычки

Герман Гольдстайн отметил способность фон Неймана интуитивно предвидеть скрытые ошибки и прекрасно запоминать старый материал. ^{[360] [361]} Когда у него возникали трудности, он не работал; вместо этого он шел домой, спал на нем и возвращался позже с решением. ^[362] Этот стиль «идти по пути наименьшего сопротивления» иногда означал, что он мог пойти по касательной. Это также означало, что если сложность с самого начала была велика, он просто переключился бы на другую задачу, не пытаясь найти слабые места, из которых можно было бы прорваться. ^[363] Временами он мог не знать стандартной математической литературы, считая, что ему легче заново получить необходимую базовую информацию, чем гоняться за ссылками. ^[364]

После начала Второй мировой войны он стал чрезвычайно занят как академической, так и военной деятельностью. Его привычка не записывать выступления и не публиковать результаты ухудшилась. ^[365] Ему было нелегко обсуждать тему формально в письменной форме, если она уже не созрела в его уме; в противном случае у него, по его собственным словам, «развились бы худшие черты педантизма и неэффективности». ^[366]

Математический диапазон

Математик Жан Дьедонне сказал, что фон Нейман «возможно, был последним представителем некогда процветающей и многочисленной группы великих математиков, которые одинаково хорошо владели чистой и прикладной математикой и на протяжении всей своей карьеры поддерживали стабильную деятельность в обоих направлениях». . ^[160] По словам Дьедонне, его особый гений заключался в анализе и «комбинаторике», при этом комбинаторика понималась в очень широком смысле, который описывал его способность организовывать и аксиомизировать сложные работы, которые раньше, казалось, имели мало связи с математикой. Его стиль анализа следовал немецкой школе, основанной на основах линейной алгебры и общей топологии . Хотя фон Нейман имел энциклопедическое образование, его диапазон в чистой математике не был таким широким, как у Пуанкаре , Гильберта или даже Вейля : фон Нейман никогда не делал значительных работ в теории чисел , алгебраической топологии , алгебраической геометрии или дифференциальной геометрии . Однако в прикладной математике его работы равнялись работам Гаусса , Коши или Пуанкаре . ^[116]

По словам Вигнера, «никто не знает всей науки, даже фон Нейман не знал. Но что касается математики, он внес свой вклад во все ее части, кроме теории чисел и топологии. Я думаю, это нечто уникальное». ^[367] Халмош отметил, что, хотя фон Нейман знал много математики, наиболее заметные пробелы были в алгебраической топологии и теории чисел; он вспомнил случай, когда фон Нейман не смог признать топологическое определение тора . ^[368] Фон Нейман признался Герману Гольдстайну, что у него вообще не было способностей к топологии, и он никогда не чувствовал себя комфортно с ней, причем Гольдстайн позже упомянул об этом, сравнивая его с Германом Вейлем , который, по его мнению, был глубже и шире. ^[362]

В своей биографии фон Неймана Саломон Бохнер писал, что большая часть работ фон Неймана по чистой математике включала конечно- и бесконечномерные векторные пространства , которые в то время охватывали большую часть общей области математики. Однако он отметил, что это все еще не охватывает важную часть математического ландшафта, в частности, все, что связано с геометрией «в глобальном смысле», такие темы, как топология , дифференциальная геометрия и гармонические интегралы , алгебраическая геометрия и другие подобные области. Фон Нейман редко работал в этих областях и, по мнению Бохнера, не имел к ним большого интереса. ^[129]

В одной из последних статей фон Неймана он сетовал на то, что чистые математики больше не могут достичь глубоких знаний даже в небольшой части области. ^[369] В начале 1940-х годов Улам придумал для него экзамен в докторском стиле, чтобы выявить слабые места в его знаниях; фон Нейман не смог удовлетворительно ответить ни на один вопрос по дифференциальной геометрии, теории чисел и алгебре. Они пришли к выводу, что докторские экзамены могут иметь «мало постоянного значения». Однако, когда Вейль отклонил предложение написать историю математики 20-го века, аргументируя это тем, что ни один человек не мог бы сделать это, Улам подумал, что фон Нейман мог бы стремиться сделать это. ^[370]

Предпочтительные методы решения проблем

Улам заметил, что большинство математиков могли освоить один метод, который затем неоднократно использовали, тогда как фон Нейман освоил три:

1. Средство символьного манипулирования линейными операторами;
2. Интуитивное чувство логической структуры любой новой математической теории;
3. Интуитивное чувство комбинаторной надстройки новых теорий. ^[371]

Хотя его обычно называли аналитиком, однажды он отнес себя к алгебраистам ^[372] , и его стиль часто представлял собой смесь алгебраической техники и теоретико-множественной интуиции. ^[373] Он любил навязчивые детали и не имел проблем с избыточным повторением или слишком явными обозначениями. Примером этого была его статья о кольцах операторов, в которой он расширил нормальную функциональную запись до . Однако этот процесс в конечном итоге повторялся несколько раз, и конечным результатом были такие уравнения, как . Статья 1936 года стала известна студентам как «луковица фон Неймана» ^[374] , потому что уравнения «нужно было очистить, прежде чем их можно будет переварить». В целом, хотя его сочинения были ясными и сильными, они не были чистыми и элегантными. ^[375] Хотя он был силен в техническом отношении, его основная задача заключалась больше в четком и жизнеспособном формировании фундаментальных проблем и вопросов науки, а не просто в решении математических головоломок. ^[374] ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \phi ((x))}$ ${\displaystyle (\psi ((((a)))))^{2}=\phi ((((a))))}$

По словам Улама, фон Нейман удивил физиков тем, что производил в уме размерные оценки и алгебраические вычисления с беглостью, которую Улам сравнивал с шахматами с завязанными глазами . У него сложилось впечатление, что фон Нейман анализировал физические ситуации посредством абстрактной логической дедукции, а не конкретной визуализации. ^[376]

Стиль лекции

Голдстайн сравнил свои лекции со стеклом, гладким и ясным. Для сравнения, Голдстайн считал, что его научные статьи написаны в гораздо более резкой манере и с гораздо меньшей проницательностью. ^[64] Халмош описывал свои лекции как «ослепительные», а его речь была ясной, быстрой, точной и всеобъемлющей. Как и Голдстайн, он также описывал, что на лекциях все казалось «таким простым и естественным», но при последующих размышлениях озадачивало. ^[364] Он быстро говорил: Банешу Хоффману было очень трудно делать записи, даже стенографически , ^[377] и Альберт Такер сказал, что людям часто приходилось задавать фон Нейману вопросы, чтобы замедлить его работу и обдумать идеи. он представлял. Фон Нейман знал об этом и был благодарен за то, что аудитория говорила ему, когда он действовал слишком быстро. ^[378] Хотя он действительно тратил время на подготовку к лекциям, он редко делал записи, вместо этого записывая то, что он будет обсуждать и как долго. ^[364]

Эйдетическая память

Фон Нейман также был известен своей эйдетической памятью , особенно символического типа. Герман Голдстайн пишет:

Одной из его замечательных способностей была способность к абсолютной памяти. Насколько я мог судить, фон Нейман мог однажды, прочитав книгу или статью, процитировать ее дословно; более того, он мог сделать это спустя годы без колебаний. Он также мог без замедления перевести его с языка оригинала на английский. Однажды я проверил его способности, попросив его рассказать мне, как началась «Повесть о двух городах» . После чего, без всякой паузы, он сразу же начал читать первую главу и продолжал, пока минут через десять-пятнадцать его не попросили остановиться. ^[379]

Сообщается, что фон Нейман мог запоминать страницы телефонных справочников. Он развлекал друзей, прося их наугад называть номера страниц; Затем он назвал имена, адреса и номера. ^{[29] [380]} По мнению Станислава Улама, память фон Неймана была скорее слуховой, чем зрительной. ^[381]

Математическая быстрота

Математическая беглость фон Неймана, скорость вычислений и общие способности к решению проблем были широко отмечены его коллегами. Пол Халмос назвал его скорость «внушающей трепет». ^[382] Лотар Вольфганг Нордхайм описал его как «самый быстрый ум, которого я когда-либо встречал». ^[383] Энрико Ферми сказал физику Герберту Л. Андерсону : «Знаешь, Херб, Джонни может производить вычисления в голове в десять раз быстрее, чем я! А я могу делать их в десять раз быстрее, чем ты, Херб, так что ты вижу, насколько впечатляет Джонни!» ^[384] Эдвард Теллер признался, что «никогда не мог за ним поспевать», ^[385] а Исраэль Гальперин описывал попытки не отставать как езду «на трехколесном велосипеде в погоне за гоночной машиной». ^[386]

У него была необычная способность быстро решать новые проблемы. Джордж Полиа , чьи лекции в ETH Zürich фон Нейман посещал еще будучи студентом, сказал: «Джонни был единственным студентом, которого я когда-либо боялся. Если в ходе лекции я заявлял о нерешенной проблеме, велика вероятность, что он придет к меня в конце лекции с полным решением, нацарапанным на листке бумаги». ^[387] Когда Джордж Данциг принес фон Нейману нерешенную проблему линейного программирования «как я бы это сделал для обычного смертного», по которой не было опубликованной литературы, он был удивлен, когда фон Нейман сказал: «О, это!», прежде чем небрежно прочитал лекцию продолжительностью более часа, объясняя, как решить проблему с помощью доселе немыслимой теории дуальности . ^[388]

В математический фольклор вошла история о встрече фон Неймана со знаменитой загадкой о мухах ^[389] . В этой головоломке два велосипеда начинаются на расстоянии 20 миль друг от друга и каждый движется навстречу другому со скоростью 10 миль в час, пока не столкнется; тем временем муха непрерывно перемещается взад и вперед между велосипедами со скоростью 15 миль в час, пока не раздавливается при столкновении. Спрашивающий спрашивает, какое расстояние в общей сложности пролетела муха; «Уловка» для быстрого ответа состоит в том, чтобы осознать, что отдельные транзиты мухи не имеют значения, а только то, что она летела со скоростью 15 миль в час в течение одного часа. Как рассказывает Юджин Вигнер , ^[390] Макс Борн задал фон Нейману загадку. Другие ученые, которым он задал этот вопрос, тщательно вычислили расстояние, поэтому, когда фон Нейман сразу же был готов дать правильный ответ — 15 миль, Борн заметил, что он, должно быть, угадал трюк. «Какой трюк?» ответил фон Нейман. «Все, что я сделал, это суммировал геометрическую прогрессию ». ^[391]

неуверенность в себе

Рота писала, что фон Нейман имел «глубоко укоренившуюся и повторяющуюся неуверенность в себе». ^[392] В качестве примера однажды он сказал, что в будущем его забудут, в то время как Гёделя будут помнить вместе с Пифагором . ^[393] Улам предполагает, что некоторые из его неуверенности в себе в отношении собственного творчества, возможно, были вызваны тем фактом, что он не открыл несколько важных идей, которые были у других, хотя он был более чем способен сделать это, давая теоремы о неполноте. и поточечная эргодическая теорема Биркгофа в качестве примеров. Фон Нейман обладал виртуозным умением следовать сложным рассуждениям и обладал высочайшей проницательностью, однако он, возможно, чувствовал, что у него нет дара к, казалось бы, иррациональным доказательствам и теоремам или интуитивным прозрениям. Улам описывает, как во время одного из своих пребываний в Принстоне, когда фон Нейман работал над кольцами операторов, непрерывной геометрией и квантовой логикой, он почувствовал, что фон Нейман не был убежден в важности своей работы, и только тогда, когда он находил какой-нибудь остроумный технический трюк или новый подход, что он получил от этого некоторое удовольствие. ^[394] Однако, по словам Роты, фон Нейман все же обладал «несравненно более сильной техникой» по сравнению со своим другом, несмотря на то, что Улама он описывал как более творческого математика. ^[392]

Наследие

Похвалы

Лауреат Нобелевской премии Ганс Бете сказал: «Иногда я задавался вопросом, не указывает ли мозг, подобный мозгу фон Неймана, на вид, превосходящий человеческий». ^[29] Эдвард Теллер заметил, что «фон Нейман продолжал беседовать с моим трехлетним сыном, и они оба говорили как равные, и я иногда задавался вопросом, использовал ли он тот же принцип, когда разговаривал с остальными нас." ^[395] Питер Лакс писал: «Фон Нейман был пристрастием к мышлению, и в частности к размышлениям о математике». ^[365] Юджин Вигнер сказал: «Он понимал математические проблемы не только в их первоначальном аспекте, но и во всей их сложности». ^[396] Клод Шеннон назвал его «самым умным человеком, которого я когда-либо встречал», - распространенное мнение. ^[397] Джейкоб Броновский писал: «Он был самым умным человеком, которого я когда-либо знал, без исключения. Он был гением». ^[398]

«Кажется справедливым сказать, что если влияние учёного интерпретировать достаточно широко, включая влияние на области, выходящие за рамки собственно науки, то Джон фон Нейман, вероятно, был самым влиятельным математиком, который когда-либо жил», — писал Миклош Редей. ^[399] Питер Лакс отметил, что фон Нейман получил бы Нобелевскую премию по экономике, если бы прожил дольше, и что «если бы существовали Нобелевские премии по информатике и математике, он бы тоже был удостоен этой премии». ^[400] Рота пишет, что «он был первым, кто увидел безграничные возможности вычислений, и у него была решимость собрать значительные интеллектуальные и инженерные ресурсы, которые привели к созданию первого большого компьютера» и, следовательно, « Ни один другой математик в этом столетии не оказал столь глубокого и продолжительного влияния на ход цивилизации». ^[401] Он широко известен как один из величайших и наиболее влиятельных математиков и ученых 20-го века. ^[402]

Нейрофизиолог Леон Хармон описал его аналогичным образом, назвав единственным «истинным гением», которого он когда-либо встречал: «Разум фон Неймана был всеобъемлющим. Он мог решать проблемы в любой области... И его разум всегда работал, всегда беспокойный». ^[403] Во время консультирования неакадемических проектов сочетание выдающихся научных способностей и практичности фон Неймана обеспечило ему высокий авторитет среди военных, инженеров и промышленников, с которым не мог сравниться ни один другой ученый. По словам Герберта Йорка, в области ракетно-ядерного оружия он считался «явно доминирующей консультативной фигурой» . ^[404] Экономист Николас Калдор сказал, что он «несомненно, самое близкое к гению существо, с которым я когда-либо сталкивался». ^[267] Точно так же Пол Самуэльсон писал: «Мы, экономисты, благодарны фон Нейману за гений. Не нам определять, был ли он Гауссом , или Пуанкаре , или Гильбертом . Он был несравненным Джонни фон Нейманом. ненадолго в нашу сферу, и с тех пор она никогда не была прежней». ^[405]

Почести и награды

Кратер фон Неймана на обратной стороне Луны.

Мероприятия и награды, названные в честь фон Неймана, включают ежегодную премию Джона фон Неймана по теории Института исследований операций и наук управления , ^[406] Медаль Джона фон Неймана IEEE , ^[407] и премию Джона фон Неймана Общества Промышленная и прикладная математика . ^[408] И кратер фон Неймана на Луне ^[409] , и астероид 22824 фон Неймана названы в его честь. ^{[410] [411]}

Фон Нейман получил такие награды, как Медаль «За заслуги» в 1947 году, Медаль Свободы в 1956 году ^[412] и Премию Энрико Ферми также в 1956 году. Он был избран членом множества почётных обществ, в том числе Американской академии искусств и наук и Национальной академии наук , и он имел восемь почетных докторских степеней. ^{[413] [414] [415]} 4 мая 2005 года Почтовая служба США выпустила серию памятных почтовых марок « Американские учёные» , созданную художником Виктором Стабиным . Изображенными учеными были фон Нейман, Барбара МакКлинток , Джозайя Уиллард Гиббс и Ричард Фейнман . ^[416]

Университет Джона фон Неймана  [ху] был основан в Кечкемете , Венгрия, в 2016 году как преемник Кечкеметского колледжа. ^[417]

Избранные работы

Первой опубликованной статьей фон Неймана была статья « О положении нулей некоторых минимальных полиномов» , написанная в соавторстве с Михаэлем Фекете и опубликованная, когда фон Нейману было 18 лет. В 19 лет была опубликована его персональная статья « О введении трансфинитных чисел» . ^[418] Он расширил свою вторую персональную статью « Аксиоматизация теории множеств » и создал докторскую диссертацию. ^[419] Его первая книга « Математические основы квантовой механики » была опубликована в 1932 году. ^[420] После этого фон Нейман переключился с публикаций на немецком языке на публикации на английском языке, и его публикации стали более избирательными и расширились за пределы чистой математики. Его «Теория детонационных волн» 1942 года способствовала военным исследованиям, ^[421] его работа по вычислениям началась с неопубликованной книги « О принципах крупномасштабных вычислительных машин» в 1946 году , а его публикации по прогнозированию погоды начались с « Численного интегрирования уравнения баротропной завихренности» в 1950 году . ^[422] Наряду с его более поздними статьями были неофициальные эссе, предназначенные для коллег и широкой публики, такие как его « Математик» 1947 года , ^[423] описанный как «прощание с чистой математикой», и его « Можем ли мы выжить в технологии» 1955 года? , который рассматривал мрачное будущее, включая ядерную войну и преднамеренное изменение климата. ^[424] Полное собрание его сочинений собрано в шеститомник. ^[418]

Смотрите также

• Список пионеров информатики
• Комитет чайника
• МАНИАК , книга 2023 года о фон Неймане

Примечания

1. Дайсон 2012, с. 48.
2. Израиль, Джорджио [на итальянском языке] ; Гаска, Ана Миллан (2009). Мир как математическая игра: Джон фон Нейман и наука двадцатого века. Научные сети. Исторические исследования. Том. 38. Базель: Биркхойзер. п. 14. дои : 10.1007/978-3-7643-9896-5. ISBN 978-3-7643-9896-5. ОСЛК  318641638.
3. Голдстайн 1980, с. 169.
4. Гальперин, Израиль . «Необычайное вдохновение Джона фон Неймана». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), с. 16.
5. Хотя научным руководителем Исраэля Гальперина часто называют Саломона Бохнера , это может быть потому, что «Профессора в университете руководят докторскими диссертациями, а профессора в Институте - нет. Не зная об этом, в 1934 году я спросил фон Неймана, будет ли он руководить моей докторской диссертацией. Он ответил: «Да». ^[4]
6. Джон фон Нейман в проекте «Математическая генеалогия» . Проверено 17 марта 2015 г.
7. Сантон 1992, с. 130.
8. Демпстер, MAH (февраль 2011 г.). «Бенуа Б. Мандельброт (1924–2010): отец количественных финансов» (PDF) . Количественные финансы . 11 (2): 155–156. дои : 10.1080/14697688.2011.552332. S2CID  154802171.
9. Редеи 1999, с. 7.
10. Макрэ 1992.
11. Аспрей 1990, с. 246.
12. Шихан 2010.
13. Доран, Роберт С .; Кэдисон, Ричард В. , ред. (2004). Операторные алгебры, квантование и некоммутативная геометрия: празднование столетия в честь Джона фон Неймана и Маршалла Х. Стоуна. Вашингтон, округ Колумбия: Американское математическое общество. п. 1. ISBN 978-0-8218-3402-2.
14. Мирволд, Натан (21 марта 1999 г.). «Джон фон Нейман». Время . Архивировано из оригинала 11 февраля 2001 г.
15. Блэр 1957, с. 104.
16. Бхаттачарья 2022, с. 4.
17. Дайсон 1998, с. XXI.
18. Macrae 1992, стр. 38–42.
19. Macrae 1992, стр. 37–38.
20. Макрэ 1992, с. 39.
21. Macrae 1992, стр. 44–45.
22. "Нойман де Маргитта Микса и венгерский Желзалог-Хительбанк igazgatója n: Канн Маргит гы: Янош-Лайош, Михай-Йожеф, Миклош-Агост | Libri Regii | Hungaricana" . archives.hungaricana.hu (на венгерском языке) . Проверено 08 августа 2022 г.
23. Macrae 1992, стр. 57–58.
24. Хендерсон, Гарри (2007). Математика: мощные закономерности в природе и обществе . Нью-Йорк: Дом Челси. п. 30. ISBN 978-0-8160-5750-4. ОСЛК  840438801.
25. Шнайдер, Герстинг и Бринкман, 2015, стр. 28.
26. Митчелл, Мелани (2009). Сложность: экскурсия . Издательство Оксфордского университета. п. 124. ИСБН 978-0-19-512441-5. ОКЛК  216938473.
27. Macrae 1992, стр. 46–47.
28. Халмос 1973, с. 383.
29. Блэр 1957, с. 90.
30. Макрэ 1992, с. 52.
31. Аспрей 1990.
32. Macrae 1992, стр. 70–71.
33. Насар, Сильвия (2001). Прекрасный разум: биография Джона Форбса Нэша-младшего, лауреата Нобелевской премии по экономике, 1994 г. Лондон: Simon & Schuster. п. 81. ИСБН 978-0-7432-2457-4.
34. Макрэ 1992, с. 84.
35. фон Карман Т. и Эдсон Л. (1967). Ветер и не только. Литтл, Браун и компания.
36. Macrae 1992, стр. 85–87.
37. Макрэ 1992, с. 97.
38. Реджис, Эд (8 ноября 1992 г.). «Джонни потрясает планету». Нью-Йорк Таймс . Проверено 4 февраля 2008 г.
39. фон Нейман, Дж. (1928). «Аксиоматика Менгенлера». Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 27 (1): 669–752. дои : 10.1007/BF01171122. ISSN  0025-5874. S2CID  123492324.
40. Macrae 1992, стр. 86–87.
41. Вигнер, Юджин (2001). «Джон фон Нейман (1903–1957)». В Мехре, Джагдиш (ред.). Собрание сочинений Юджина Пола Вигнера: исторические, философские и социально-политические статьи. Историко-биографические размышления и синтезы . Берлин: Шпрингер. п. 128. дои : 10.1007/978-3-662-07791-7. ISBN 978-3-662-07791-7.
42. Паис 2000, с. 187.
43. Macrae 1992, стр. 98–99.
44. Вейль, Герман (2012). Пешич, Питер (ред.). Уровни бесконечности: Избранные сочинения по математике и философии (1-е изд.). Дуврские публикации. п. 55. ИСБН 978-0-486-48903-2.
45. Хашаген, Ульф [на немецком языке] (2010). «Die Habilitation von John von Neumann an der Friedrich-Wilhelms-Universität в Берлине: Urteile über einen ungarisch-jüdischen Mathematiker in Deutschland im Jahr 1927». История математики . 37 (2): 242–280. дои : 10.1016/j.hm.2009.04.002 .
46. Диманд, Мэри Энн; Диманд, Роберт (2002). История теории игр: от истоков до 1945 года. Лондон: Routledge. п. 129. ИСБН 9781138006607.
47. Макрэ 1992, с. 145.
48. Макрэ 1992, стр. 143–144.
49. Macrae 1992, стр. 155–157.
50. Бохнер 1958, с. 446.
51. "Марина Уитмен". Школа государственной политики Джеральда Р. Форда при Мичиганском университете. 18 июля 2014 года . Проверено 5 января 2015 г.
52. "Принстонский профессор, разведенный с женой здесь" . Государственный журнал Невады . 3 ноября 1937 года.
53. Хаймс 1980, с. 178.
54. Макрэ 1992, стр. 170–174.
55. Макрэ 1992, стр. 167–168.
56. Макрэ 1992, стр. 195–196.
57. Макрэ 1992, стр. 190–195.
58. Макрэ 1992, стр. 170–171.
59. Реджис, Эд (1987). Кому достался офис Эйнштейна?: Эксцентричность и гениальность в Институте перспективных исследований. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. п. 103. ИСБН 978-0-201-12065-3. ОСЛК  15548856.
60. «Разговор с Мариной Уитмен». Грей Уотсон (256.com). Архивировано из оригинала 28 апреля 2011 г. Проверено 30 января 2011 г.
61. Макрэ 1992, с. 48.
62. Блэр 1957, с. 94.
63. Эйзенхарт, Черчилль (1984). «Стенограмма интервью № 9 - Проект устной истории» (PDF) (Интервью). Беседовал Уильям Апсрей. Нью-Джерси: Математический факультет Принстона. п. 7 . Проверено 3 апреля 2022 г.
64. Голдстайн 1985, стр. 7.
65. ДеГрут, Моррис Х. (1989). «Разговор с Дэвидом Блэквеллом». В Дурене, Питер (ред.). Век математики в Америке: Часть III . Американское математическое общество. п. 592. ИСБН 0-8218-0136-8.
66. Сантон 1992, с. 227.
67. фон Нейман Уитмен, Марина . «Джон фон Нейман: личный взгляд». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), с. 2.
68. Йорк 1971, с. 18.
69. Паис 2006, с. 108.
70. Улам 1976, стр. 231–232.
71. Улам 1958, стр. 5–6.
72. Сантон 1992, с. 277.
73. Блэр 1957, с. 93.
74. Улам 1976, стр. 97, 102, 244–245.
75. Рота, Джан-Карло (1989). «Потерянное кафе». В Купере — Несия Грант; Экхардт, Роджер; Шера, Нэнси (ред.). От кардиналов к хаосу: размышления о жизни и наследии Станислава Улама . Издательство Кембриджского университета. стр. 23–32. ISBN 978-0-521-36734-9. ОСЛК  18290810.
76. Макрэ 1992, с. 75.
77. Улам 1958, стр. 4–6.
78. Хотя Макрэ указывает на поджелудочную железу, в статье журнала Life говорится, что это была простата. В книге Шихана это называется яичком.
79. Вейсдал, Йорген (11 ноября 2019 г.). «Непревзойденный гений Джона фон Неймана». Середина . Проверено 19 ноября 2019 г.
80. Якобсен 2015, с. 62.
81. Паундстоун, Уильям (1993). Дилемма заключенного: Джон фон Нейман, теория игр и загадка бомбы . Случайный дом в цифровом формате. п. 194. ИСБН 978-0-385-41580-4.
82. Халмос 1973, стр. 383, 394.
83. Якобсен 2015, с. 63.
84. Прочтите, Колин (2012). Теоретики портфеля: фон Нейман, Сэвидж, Эрроу и Марковиц. Великие умы в области финансов. Пэлгрейв Макмиллан. п. 65. ИСБН 978-0230274143. Проверено 29 сентября 2017 г. Когда фон Нейман осознал, что он неизлечимо болен, его логика заставила его осознать, что он перестанет существовать... судьба, которая казалась ему неизбежной, но неприемлемой.
85. Макрэ 1992, с. 379 дюймов
86. Аюб, Раймонд Джордж (2004). Размышления мастеров: антология математических размышлений . Вашингтон, округ Колумбия: МАА. п. 170. ИСБН 978-0-88385-549-2. ОСЛК  56537093.
87. Макрэ 1992, с. 380.
88. "Пресвитерианская церковь Нассау".
89. Макрэ 1992, стр. 104–105.
90. Ван Хейеноорт, Жан (1967). От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-32450-3. ОСЛК  523838.
91. Муравски 2010, с. 196.
92. фон Нейман, Дж. (1929), «Zur allgemeinen Theorie des Masses» [Об общей теории массы] (PDF) , Fundamenta Mathematicae (на немецком языке), 13 : 73–116, doi : 10.4064/fm-13- 1-73-116
93. Улам 1958, стр. 14–15.
94. Фон Платон, январь (2018). «Развитие теории доказательств». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Зима 2018 г.). Стэндфордский Университет . Проверено 25 сентября 2023 г.
95. ван дер Варден, BL (1975). «Об источниках моей книги «Современная алгебра». История Математики . 2 (1): 31–40. дои : 10.1016/0315-0860(75)90034-8 .
96. Нойманн, СП (1927). «Zur Hilbertschen Beweistheorie». Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 24 : 1–46. дои : 10.1007/BF01475439. S2CID  122617390.
97. Муравски 2010, стр. 204–206.
98. Redei 2005, с. 123.
99. фон Платон 2018, с. 4080.
100. Доусон, Джон В. младший (1997). Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя . Уэлсли, Массачусетс: АК Питерс. п. 70. ИСБН 978-1-56881-256-4.
101. фон Платон 2018, стр. 4083–4088.
102. фон Платон 2020, стр. 24–28.
103. Редеи 2005, с. 124.
104. фон Платон 2020, с. 22.
105. Зиг, Вильфрид (2013). Программы Гильберта и не только. Издательство Оксфордского университета. п. 149. ИСБН 978-0195372229.
106. Муравски 2010, с. 209.
107. Хопф, Эберхард (1939). «Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negater Krümmung». Лейпциг Бер. Верхандл. Сакс. Акад. Висс. (на немецком). 91 : 261–304.
     Два из документов:
     фон Нейман, Джон (1932). «Доказательство квазиэргодической гипотезы». Proc Natl Acad Sci США . 18 (1): 70–82. Бибкод : 1932PNAS...18...70N. дои : 10.1073/pnas.18.1.70 . ПМЦ  1076162 . ПМИД  16577432.

     фон Нейман, Джон (1932). «Физические приложения эргодической гипотезы». Proc Natl Acad Sci США . 18 (3): 263–266. Бибкод : 1932PNAS...18..263N. дои : 10.1073/pnas.18.3.263 . JSTOR  86260. PMC  1076204 . ПМИД  16587674..

108. Халмос 1958, с. 93.
109. Халмос 1958, с. 91.
110. Макки, Джордж В. «Фон Нейман и первые дни эргодической теории». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), стр. 27–30.
111. Орнштейн, Дональд С. «Фон Нейман и эргодическая теория». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), с. 39.
112. Халмос 1958, с. 86.
113. Халмос 1958, с. 87.
114. Питш 2007, с. 168.
115. Халмос 1958, с. 88.
116. Dieudonné 2008.
117. Ионеску-Тулча, Александра ; Ионеску-Тулча, Кассий (1969). Темы теории лифтинга. Шпрингер-Верлаг Берлин Гейдельберг. п. В. ISBN 978-3-642-88509-9.
118. Халмос 1958, с. 89.
119. Нойманн, СП (1940). «О кольцах операторов. III». Анналы математики . 41 (1): 94–161. дои : 10.2307/1968823. JSTOR  1968823.
120. Халмос 1958, с. 90.
121. Нойманн, Джон фон (1950). Функциональные операторы, Том 1: Меры и интегралы. Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691079660.
122. фон Нейман, Джон (1999). Инвариантные меры. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0912-9.
123. фон Нейман, Джон (1934). «Почти периодические функции в группе. I». Труды Американского математического общества . 36 (3): 445–492. дои : 10.2307/1989792. JSTOR  1989792.
124. фон Нейман, Джон; Бохнер, Саломон (1935). «Почти периодические функции в группах, II». Труды Американского математического общества . 37 (1): 21–50. дои : 10.2307/1989694. JSTOR  1989694.
125. "Премия AMS Бошера". АМС. 5 января 2016 г. Проверено 12 января 2018 г.
126. Бохнер 1958, с. 440.
127. фон Нейман, Дж. (1933). «Аналитический параметр Die Einfuhrung Analytischer в топологических группах». Анналы математики . 2 (на немецком языке). 34 (1): 170–190. дои : 10.2307/1968347. JSTOR  1968347.
128. против Неймана, Дж. (1929). «Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen Lineer Transformationen und Ihrer Darstellungen». Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 30 (1): 3–42. дои : 10.1007/BF01187749. S2CID  122565679.
129. Бохнер 1958, с. 441.
130. Питш 2007, с. 11.
131. Дьедонне 1981, с. 172.
132. Питш 2007, с. 14.
133. Дьедонне 1981, стр. 211, 218.
134. Питш 2007, стр. 58, 65–66.
135. Стин, Луизиана (апрель 1973 г.). «Основные события в истории спектральной теории». Американский математический ежемесячник . 80 (4): 359–381, особенно. 370–373. дои : 10.1080/00029890.1973.11993292. JSTOR  2319079.
136. Питш, Альбрехт [на немецком языке] (2014). «Следы операторов и их история». Acta et Commentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica . 18 (1): 51–64. дои : 10.12697/ACUTM.2014.18.06 .
137. Лорд, Сукочев и Занин 2012, с. 1.
138. Дьедонне 1981, стр. 175–176, 178–179, 181, 183.
139. Питш 2007, с. 202.
140. Кар, Пурушоттам; Карник, Хариш (2013). «О трансляционно-инвариантных ядрах и винтовых функциях». п. 2. arXiv : 1302,4343 [мат.FA].
141. Алпай, Дэниел; Леванони, Дэвид (2008). «О воспроизведении ядерных гильбертовых пространств, связанных с дробными и бидробными броуновскими движениями». Потенциальный анализ . 28 (2): 163–184. arXiv : 0705.2863 . дои : 10.1007/s11118-007-9070-4. S2CID  15895847.
142. Хорн и Джонсон 2013, с. 320.
143. Хорн и Джонсон 2013, с. 458.
144. Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1991). Темы матричного анализа. Издательство Кембриджского университета. п. 139. ИСБН 0-521-30587-Х.
145. Хорн и Джонсон 2013, с. 335.
146. Бхатия, Раджендра (1997). Матричный анализ. Тексты для аспирантов по математике. Том. 169. Нью-Йорк: Спрингер. п. 109. дои : 10.1007/978-1-4612-0653-8. ISBN 978-1-4612-0653-8.
147. Лорд, Сукочев и Занин 2021, с. 73.
148. Прочноа, Йоша; Стшелецкий, Михал (2022). «Аппроксимация, числа Гельфанда и Колмогорова вложений классов Шаттена». Журнал теории приближения . 277 : 105736. arXiv : 2103.13050 . дои : 10.1016/j.jat.2022.105736. S2CID  232335769.
149. «Атомный оператор». Энциклопедия математики. Архивировано из оригинала 23 июня 2021 г. Проверено 7 августа 2022 г.
150. Питш 2007, с. 372.
151. Питш 2014, с. 54.
152. Лорд, Сукочев и Занин 2012, с. 73.
153. Лорд, Сукочев и Занин 2021, с. 26.
154. Питш 2007, с. 272.
155. Питч 2007, стр. 272, 338.
156. Питш 2007, с. 140.
157. Мюррей, Фрэнсис Дж. «Документы о кольцах операторов». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), стр. 57–59.
158. Петц, Д .; Редеи, М. Р. «Джон фон Нейман и теория операторных алгебр». В Brody & Vámos (1995), стр. 163–181.
159. «Алгебры фон Неймана» (PDF) . Университет Принстон . Проверено 6 января 2016 г.
160. Dieudonné 2008, с. 90.
161. Питч 2007, стр. 151.
162. Питш 2007, с. 146.
163. «Прямые интегралы гильбертовых пространств и алгебр фон Неймана» (PDF) . Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе. Архивировано из оригинала (PDF) 2 июля 2015 г. Проверено 6 января 2016 г.
164. Сигал 1965.
165. Кэдисон, Ричард В. «Операторная алгебра - обзор». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), стр. 65,71,74.
166. Питш 2007, с. 148.
167. Биркгоф 1958, с. 50.
168. Лашхи, А.А. (1995). «Общие геометрические решетки и проективная геометрия модулей». Журнал математических наук . 74 (3): 1044–1077. дои : 10.1007/BF02362832 . S2CID  120897087.
169. фон Нейман, Джон (1936). «Примеры непрерывных геометрий». Учеб. Натл. акад. наук. США . 22 (2): 101–108. Бибкод : 1936PNAS...22..101N. дои : 10.1073/pnas.22.2.101 . ЖФМ  62.0648.03. JSTOR  86391. PMC 1076713 . ПМИД  16588050. 
     фон Нейман, Джон (1998) [1960]. «Непрерывная геометрия». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . Принстонские ориентиры в математике. Издательство Принстонского университета . 22 (2): 92–100. дои : 10.1073/pnas.22.2.92 . ISBN 978-0-691-05893-1. МР  0120174. ПМК  1076712 . ПМИД  16588062.
     фон Нейман, Джон (1962). Тауб, А.Х. (ред.). Собрание сочинений. Том. IV: Непрерывная геометрия и другие темы. Оксфорд: Пергамон Пресс. МР  0157874.

     фон Нейман, Джон (1981) [1937]. Гальперин, Израиль (ред.). «Непрерывные геометрии с вероятностью перехода». Мемуары Американского математического общества . 34 (252). дои : 10.1090/memo/0252. ISBN 978-0-8218-2252-4. ISSN  0065-9266. МР  0634656.

170. Макрэ 1992, с. 140.
171. фон Нейман, Джон (1930). «Алгебра функциональных операций и теория нормальных операторов». Mathematische Annalen (на немецком языке). 102 (1): 370–427. Бибкод : 1930MatAn.102..685E. дои : 10.1007/BF01782352. S2CID  121141866.. Оригинальная статья об алгебрах фон Неймана.
172. Биркгоф 1958, стр. 50–51.
173. Биркгоф 1958, с. 51.
174. Верунг, Фридрих (2006). «Координация фон Неймана не имеет первого порядка». Журнал математической логики . 6 (1): 1–24. arXiv : math/0409250 . дои : 10.1142/S0219061306000499. S2CID  39438451.
175. Биркгоф 1958, с. 52.
176. Гудерл, Кен Р. (1979). Регулярные кольца фон Неймана . Издательство Питман. п. ix. ISBN 0-273-08400-3.
177. Гудерл, Кен Р. (1981). «Регулярные кольца фон Неймана: связь с функциональным анализом». Бюллетень Американского математического общества . 4 (2): 125–134. дои : 10.1090/S0273-0979-1981-14865-5 .
178. Биркгоф 1958, стр. 52–53.
179. Биркгоф 1958, стр. 55–56.
180. фон Нейман, Джон (1941). «Распределение отношения среднеквадратической последовательной разности к дисперсии». Анналы математической статистики . 12 (4): 367–395. дои : 10.1214/aoms/1177731677 . JSTOR  2235951.
181. Дурбин, Дж.; Уотсон, GS (1950). «Тестирование серийной корреляции в регрессии наименьших квадратов, I». Биометрика . 37 (3–4): 409–428. дои : 10.2307/2332391. JSTOR  2332391. PMID  14801065.
182. Сарган, доктор медицинских наук; Бхаргава, Алок (1983). «Проверка остатков регрессии наименьших квадратов на предмет их генерации с помощью гауссовского случайного блуждания». Эконометрика . 51 (1): 153–174. дои : 10.2307/1912252. JSTOR  1912252.
183. Редей, Ласло (1959). «Нойман Янош Мункассага из алгебры - это загадка». Математикай Лапок (на венгерском языке). 10 : 226–230.
184. фон Нейман, Дж. (1925). «Egyenletesen sürü szämsorozatok (Gleichmässig dichte Zahlenfolgen)». Мат. Физ. Лапок . 32 : 32–40.
185. Карбоне, Ингрид; Волчич, Альоса (2011). «Теорема фон Неймана для равномерно распределенных последовательностей разбиений». Ренд. Цирк. Мат. Палермо . 60 (1–2): 83–88. arXiv : 0901.2531 . дои : 10.1007/s12215-011-0030-x. S2CID  7270857.
186. Нидеррайтер, Харальд (1975). «Теоремы о перестановке последовательностей». Астериск . 24–25: 243–261.
187. фон Нейман, Дж. (1926). «Zur Prüferschen Theorie der Idealen Zahlen». Акта Сегед . 2 : 193–227. ЖФМ  52.0151.02.
188. Улам 1958, стр. 9–10.
189. Наркевич, Владислав (2004). Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел . Монографии Спрингера по математике (3-е изд.). Спрингер. п. 120. дои : 10.1007/978-3-662-07001-7. ISBN 978-3-662-07001-7.
     Наркевич, Владислав (2018). История алгебраических чисел в первой половине ХХ века: от Гильберта до Тейта . Монографии Спрингера по математике. Спрингер. п. 144. дои : 10.1007/978-3-030-03754-3. ISBN 978-3-030-03754-3.
190. ван Данциг, Д. (1936). «Вселенные или p-adiques с введением в топологическую алгебру». Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (на французском языке). 53 : 282–283. дои : 10.24033/asens.858 .
191. Уорнер, Сет (1993). Топологические кольца. Северный Голливуд. п. 428. ИСБН 9780080872896.
192. фон Нейман, Дж. (1928). «Die Zerlegung eines Intervalles in abzählbar viele congruente Teilmengen». Фундамента Математика . 11 (1): 230–238. дои : 10.4064/fm-11-1-230-238 . ЖФМ  54.0096.03.
193. Вагон и Томкович 2016, с. 73.
194. Дайсон 2013, с. 156.
195. Харцхайм, Эгберт (2008). «Построение подмножеств действительных чисел, имеющих разложение по подобию». Заказ . 25 (2): 79–83. дои : 10.1007/s11083-008-9079-3. S2CID  45005704.
196. фон Нейман, Дж. (1928). «Алгебраическая система алгебраических исследований». Математические Аннален . 99 : 134–141. дои : 10.1007/BF01459089. ЯФМ  54.0096.02. S2CID  119788605.
197. Койпер, Ф.; Попкен, Ян (1962). «О так называемых числах фон Неймана». Indagationes Mathematicae (Труды) . 65 : 385–390. дои : 10.1016/S1385-7258(62)50037-1 .
198. Мисельский, Ян (1964). «Независимые множества в топологических алгебрах». Фундамента Математика . 55 (2): 139–147. дои : 10.4064/fm-55-2-139-147 .
199. Вагон и Томкович 2016, с. 114.
200. фон Нейман, Дж. (1930). «Über einen Hilfssatz der Variationsrechnung». Абхандлунген Гамбург . 8 : 28–31. ЖФМ  56.0440.04.
201. Миранда, Марио (1997). «Принципы максимума и минимальные поверхности». Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze . 4, 25 (3–4): 667–681.
202. Гилбарг, Дэвид ; Трудингер, Нил С. (2001). Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка (2-е изд.). Спрингер. п. 316. дои : 10.1007/978-3-642-61798-0. ISBN 978-3-642-61798-0.
203. Ладыженская, Ольга А .; Уральцева, Нина Н. (1968). Линейные и квазилинейные эллиптические уравнения . Академическая пресса. стр. 14, 243. ISBN. 978-1483253329.
204. фон Нейман, Дж. (1929). «Zum Beweise des Minkowskischen Stazes über Linearformen». Mathematische Zeitschrift . 30 : 1–2. дои : 10.1007/BF01187748. ЖФМ  55.0065.04. S2CID  123066944.
205. Коксма, Дж. Ф. (1936). Diophantische Approximationen (на немецком языке). Спрингер. п. 15. дои : 10.1007/978-3-642-65618-7. ISBN 978-3-642-65618-7.
206. Улам 1958, стр. 10, 23.
207. Баэз, Джон . «Наблюдаемая государством двойственность (Часть 2)». Кафе «Н-Категория» . Проверено 20 августа 2022 г.
208. МакКриммон, Кевин (2004). Вкус жордановой алгебры. Университеттекст. Нью-Йорк: Спрингер. п. 68. дои : 10.1007/b97489. ISBN 978-0-387-21796-3.
209. Редей, Миклош (1996). «Почему Джону фон Нейману не понравился формализм гильбертова пространства квантовой механики (и что ему вместо этого понравилось)». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 27 (4): 493–510. Бибкод : 1996SHPMP..27..493R. дои : 10.1016/S1355-2198(96)00017-2.
210. Ван, Шучжоу; Ван, Чжэньхуа (2021). «Операторные средства в JB-алгебрах». Доклады по математической физике . 88 (3): 383. arXiv : 2012.13127 . Бибкод : 2021RpMP...88..383W. дои : 10.1016/S0034-4877(21)00087-2. S2CID  229371549.
211. Ландсман, Николаас П. (2009). «Алгебраическая квантовая механика». В Гринбергере, Дэниел ; Хентшель, Клаус ; Вайнерт, Фридель (ред.). Сборник квантовой физики: концепции, эксперименты, история и философия . Спрингер. стр. 6–7. дои : 10.1007/978-3-540-70626-7. ISBN 978-3-540-70626-7.
212. Кронц, Фред; Люфер, Трейси (2021). «Квантовая теория и математическая строгость». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Зима 2021 г.). Стэндфордский Университет . Проверено 21 декабря 2022 г.
213. Ван Хов, Леон (1958). «Вклад фон Неймана в квантовую теорию». Бюллетень Американского математического общества . 64 (3): 95–99. дои : 10.1090/s0002-9904-1958-10206-2 .
214. Macrae 1992, стр. 139–141.
215. Германн, Грета (1935). «Die naturphilosophischen Grundlagen der Quantenmechanik». Naturwissenschaften . 23 (42): 718–721. Бибкод : 1935NW.....23..718H. дои : 10.1007/BF01491142. S2CID  40898258.Английский перевод в Hermann, Grete (2016). Крулл, Элиза; Баччагалуппи, Гвидо (ред.). Грета Германн — Между физикой и философией . Спрингер. стр. 239–278.
216. Белл, Джон С. (1966). «К проблеме скрытых переменных в квантовой механике». Обзоры современной физики . 38 (3): 447–452. Бибкод : 1966РвМП...38..447Б. doi : 10.1103/RevModPhys.38.447. ОСТИ  1444158.
217. Буб, Джеффри (2010). «Доказательство фон Неймана об отсутствии скрытых переменных: переоценка». Основы физики . 40 (9–10): 1333–1340. arXiv : 1006.0499 . Бибкод : 2010FoPh...40.1333B. дои : 10.1007/s10701-010-9480-9. S2CID  118595119.
218. Мермин, Н. Дэвид ; Шак, Рюдигер (2018). «Гомер кивнул: удивительная оплошность фон Неймана». Основы физики . 48 (9): 1007–1020. arXiv : 1805.10311 . Бибкод : 2018FoPh...48.1007M. дои : 10.1007/s10701-018-0197-5. S2CID  118951033.
219. Перес, Ашер (1992). «Экспериментальная проверка теоремы Глисона». Буквы по физике А. 163 (4): 243–245. Бибкод : 1992PhLA..163..243P. дои : 10.1016/0375-9601(92)91005-C.
220. Фрейре, Оливаль младший (2006). «Философия входит в лабораторию оптики: теорема Белла и ее первые экспериментальные проверки (1965–1982)». Исследования по истории и философии современной физики . 37 (4): 577–616. arXiv : физика/0508180 . Бибкод : 2006SHPMP..37..577F. дои :10.1016/j.shpsb.2005.12.003. S2CID  13503517.
221. Стейси, Британская Колумбия (2016). «Фон Нейман не был квантовым байесовцем». Философские труды Королевского общества А. 374 (2068): 20150235.arXiv : 1412.2409 . Бибкод : 2016RSPTA.37450235S. дои : 10.1098/rsta.2015.0235. PMID  27091166. S2CID  16829387.
222. Вигнер, Юджин ; Маргенау, Генри (декабрь 1967 г.). «Заметки по вопросу разума и тела в симметриях и размышлениях, научных очерках». Американский журнал физики . 35 (12): 1169–1170. Бибкод : 1967AmJPh..35.1169W. дои : 10.1119/1.1973829.
223. Шлоссауэр, М.; Коер, Дж.; Цайлингер, А. (2013). «Снимок фундаментального отношения к квантовой механике». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 44 (3): 222–230. arXiv : 1301.1069 . Бибкод : 2013ШПМП..44..222С. дои :10.1016/j.shpsb.2013.04.004. S2CID  55537196.
224. Вайтман, А.С. (1976). «Шестая проблема Гильберта: математическая трактовка аксиом физики». В Браудер, Феликс Э. (ред.). Математические разработки, вытекающие из задач Гильберта. Американское математическое общество. стр. 157–158. ISBN 978-0821814284.
225. Кац, Рота и Шварц 2008, с. 168.
226. Редеи 2005, стр. 21, 151–152, 194.
227. Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак (2001). Квантовые вычисления и квантовая информация (переиздание). Издательство Кембриджского университета. п. 700. ИСБН 978-0-521-63503-5.
228. "Александр С. Холево".
229. Уайльд, Марк М. (2013). Квантовая теория информации . Издательство Кембриджского университета. п. 252.
230. фон Нейман, Джон (1927). «Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik». Göttinger Nachrichten (на немецком языке). 1 : 245–272.
231. Шлютер, Майкл; Шам, Лу Джеу (1982), «Теория функционала плотности», Physics Today , 35 (2): 36–43, Бибкод : 1982PhT....35b..36S, doi : 10.1063/1.2914933, S2CID  126232754
232. Фано, Уго (июнь 1995 г.), «Матрицы плотности как векторы поляризации», Rendiconti Lincei , 6 (2): 123–130, doi : 10.1007/BF03001661, S2CID  128081459
233. Джулини, Доменико; Йоос, Эрих; Кифер, Клаус; Купш, Иоахим; Стаматеску, Ион-Олимпиу; Зех, Х. Дитер (1996). Декогеренция и возникновение классического мира в квантовой теории . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-03263-3. ОСЛК  851393174.
234. Баччагалуппи, Гвидо (2020). «Роль декогеренции в квантовой механике». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. осени 2020 г.). Стэндфордский Университет . Проверено 25 сентября 2023 г.
235. Габбай, Дов М .; Вудс, Джон (2007). «История квантовой логики». Многозначный и немонотонный поворот в логике . Эльзевир. С. 205–2017. ISBN 978-0-08-054939-2.
236. Биркгоф, Гарретт ; фон Нейман, Джон (октябрь 1936 г.). «Логика квантовой механики». Анналы математики . 37 (4): 823–843. дои : 10.2307/1968621. JSTOR  1968621.
237. Патнэм, Хилари (1985). Философские статьи. Том. 3: Реализм и разум. Издательство Кембриджского университета. п. 263. ИСБН 978-0-521-31394-0.
238. Редеи 2005, стр. 30–32.
239. Редеи и Штёльцнер 2001, стр. 53, 153–154, 168–169.
240. фон Нейман, Джон. «Решение точечного источника». В Таубе (1963), стр. 219–237.
241. фон Нейман, Джон. «Теория детонационных волн. Отчет о ходе работы для Комитета исследований национальной обороны, отдел B, OSRD-549». В Таубе (1963), стр. 205–218.
242. Карлуччи, Дональд Э.; Джейкобсон, Сидни С. (26 августа 2013 г.). Баллистика: теория и конструкция оружия и боеприпасов (2-е изд.). ЦРК Пресс. п. 523.
243. фон Нейман, Дж.; Рихтмайер, Р.Д. (март 1950 г.). «Метод численного расчета гидродинамических ударов». Журнал прикладной физики . 21 (3): 232–237. Бибкод : 1950JAP....21..232В. дои : 10.1063/1.1699639.
244. Метрополис, Николас ; Хоулетт, Дж .; Рота, Джан-Карло , ред. (1980). История вычислительной техники в двадцатом веке . Эльзевир. стр. 24–25. дои : 10.1016/C2009-0-22029-0. ISBN 978-1-4832-9668-5.
245. Бинни, Джеймс (1996). «Звездно-динамическое творчество». Журнал астрофизики и астрономии . 17 (3–4): 81–93. Бибкод : 1996JApA...17...81B. дои : 10.1007/BF02702298. S2CID  56126751.
246. Бенаккиста, Мэтью Дж.; Даунинг, Джонатан МБ (2013). «Релятивистские двойные системы в шаровых скоплениях». Живые обзоры в теории относительности . 16 (1): 4. arXiv : 1110.4423 . Бибкод : 2013LRR....16....4B. дои : 10.12942/lrr-2013-4. ПМЦ 5255893 . ПМИД  28179843. 
247. Учайкин, Владимир В.; Золотарев, Владимир М. (1999). Случайность и стабильность: стабильные распределения и их приложения . Де Грютер. стр. xviii, 281, 424. doi : 10.1515/9783110935974. ISBN 9783110631159.
248. Сильва, Дж. М.; Лима, JAS; де Соуза, RE; Дель Пополо, А.; Ле Деллиу, Морган; Ли, Си-Го (2016). «Динамическое трение Чандрасекара и необширная статистика». Журнал космологии и физики астрочастиц . 2016 (5): 21. arXiv : 1604.02034 . Бибкод : 2016JCAP...05..021S. дои : 10.1088/1475-7516/2016/05/021. hdl : 11449/173002. S2CID  118462043.
249. Тауб 1963, стр. 172–176.
250. Бонолис, Луиза (2017). «Звездная структура и компактные объекты до 1940 года: на пути к релятивистской астрофизике». Европейский физический журнал H . 42 (2): 311–393, особенно. стр. 351, 361. arXiv : 1703.09991 . Бибкод : 2017EPJH...42..311B. дои : 10.1140/epjh/e2017-80014-4 .
251. Траутман, Анджей ; Траутман, Кшиштоф (1994). «Обобщенные чистые спиноры». Журнал геометрии и физики . 15 (1): 1–22. Бибкод : 1994JGP....15....1T. дои : 10.1016/0393-0440(94)90045-0.
252. Форстнерич, Франк (2021). «Свойство Калаби – Яу суперминимальных поверхностей в самодвойственных четырехмерных многообразиях Эйнштейна». Журнал геометрического анализа . 31 (5): 4754–4780. arXiv : 2004.03536 . дои : 10.1007/s12220-020-00455-6. S2CID  215238355.
253. Сигал, Ирвинг Э. «Математические последствия фундаментальных физических принципов». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), стр. 162–163.
254. Риклз 2020, с. 89.
255. Redei 2005, стр. 21–22.
256. Редеи и Штёльцнер 2001, стр. 222–224.
257. Риклз 2020, стр. 202–203.
258. Тауб 1963, с. 177.
259. Kuhn, HW ; Такер, AW (1958). «Работа Джона фон Неймана по теории игр и математической экономике». Бык. амер. Математика. Соц . 64 (Часть 2) (3): 100–122. CiteSeerX 10.1.1.320.2987 . дои : 10.1090/s0002-9904-1958-10209-8. МР  0096572. 
260. фон Нейман, Дж (1928). «Zur Theorie der Gesellschaftsspiele». Mathematische Annalen (на немецком языке). 100 : 295–320. дои : 10.1007/bf01448847. S2CID  122961988.
261. Лисснер, Уилл (10 марта 1946 г.). «Математическая теория покера применяется к бизнес-задачам; ИГРОВАЯ СТРАТЕГИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМАЯ В ЭКОНОМИКЕ. Большие потенциальные возможности, анализируемые стратегии, практическое использование в играх». Нью-Йорк Таймс . ISSN  0362-4331 . Проверено 25 июля 2020 г.
262. Блюм, Лоуренс Э. (2008). «Выпуклость». В Дюрлауфе, Стивен Н .; Блюм, Лоуренс Э. (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (2-е изд.). Нью-Йорк: Пэлгрейв Макмиллан. стр. 225–226. дои : 10.1057/9780230226203.0315. ISBN 978-0-333-78676-5.
263. Чтобы эта проблема имела единственное решение, достаточно, чтобы неотрицательные матрицы  A и  B удовлетворяли условию неприводимости , обобщающему условие теоремы Перрона – Фробениуса о неотрицательных матрицах, которая рассматривает (упрощенную) проблему собственных значений

     А − λ I q = 0,

     где неотрицательная матрица A должна быть квадратной и где диагональная матрица I является единичной матрицей . Условие неприводимости фон Неймана было названо гипотезой «китов и спорщиков » Д. Г. Чамперноуном , который предоставил словесный и экономический комментарий к английскому переводу статьи фон Неймана. Гипотеза фон Неймана подразумевала, что каждый экономический процесс использует положительное количество каждого экономического блага. Более слабые условия «неприводимости» были предложены Дэвидом Гейлом , Джоном Кемени , Моргенштерном и Джеральдом Л. Томпсоном в 1950-х годах, а затем Стивеном М. Робинсоном в 1970-х годах.  
264. Моргенштерн, Оскар ; Томпсон, Джеральд Л. (1976). Математическая теория расширяющейся и сокращающейся экономики . Лексингтонские книги. Лексингтон, Массачусетс: DC Heath and Company. стр. xviii, 277. ISBN. 978-0-669-00089-4.
265. Рокафеллар, RT (1970). Выпуклый анализ . Издательство Принстонского университета. стр. I, 74. ISBN 978-0-691-08069-7. ОСЛК  64619.
     Рокафеллар, RT (1974). «Выпуклая алгебра и двойственность в динамических моделях производства». В Лоз, Йозеф; Лоз, Мария (ред.). Математические модели в экономике . Учеб. Симпозиумы. и Конф. von Neumann Models, Варшава, 1972. Амстердам: Издательство Elsevier North-Holland Publishing и Польская академия наук. стр. 351–378. ОСЛК  839117596.
266. Йе, Иньюй (1997). «Модель роста фон Неймана». Алгоритмы внутренних точек: Теория и анализ. Нью-Йорк: Уайли. стр. 277–299. ISBN 978-0-471-17420-2. ОСЛК  36746523.
267. Доре, Чакраварти и Гудвин 1989, стр. xi.
268. Брукманн, Герхарт; Вебер, Вильгельм, ред. (21 сентября 1971 г.). Вклад в модель роста фон Неймана . Материалы конференции, организованной Институтом перспективных исследований в Вене, Австрия, 6 и 7 июля 1970 г. Springer – Verlag. дои : 10.1007/978-3-662-24667-2. ISBN 978-3-662-22738-1.
269. Доре, Чакраварти и Гудвин 1989, стр. 234.
270. Макрэ 1992, стр. 250–253.
271. Данциг, Великобритания (1983). «Воспоминания об истоках линейного программирования». В Бахеме, А.; Гретшель, М.; Корте, Б. (ред.). Современное состояние математического программирования: Бонн, 1982 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 78–86. ISBN 0387120823. ОСЛК  9556834.
272. Данциг, Джордж ; Тапа, Мукунд Н. (2003). Линейное программирование: 2: Теория и расширения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-3140-5.
273. Голдстайн 1980, стр. 167–178.
274. Макрэ 1992, стр. 279–283.
275. "Научно-консультативный комитет BRL, 1940" . Исследовательская лаборатория армии США . Проверено 12 января 2018 г.
276. «Джон В. Мочли и развитие компьютера ENIAC». Пенсильванский университет. Архивировано из оригинала 16 апреля 2007 г. Проверено 27 января 2017 г.
277. Редеи 2005, с. 73.
278. Дайсон 2012, стр. 267–268, 287.
279. Кнут, Дональд (1998). Искусство компьютерного программирования: Том 3. Сортировка и поиск . Бостон: Аддисон-Уэсли. п. 159. ИСБН 978-0-201-89685-5.
280. Кнут, Дональд Э. (1987). «Первая компьютерная программа фон Неймана». В Эспрее, В.; Беркс, А. (ред.). Статьи Джона фон Неймана по вычислительной технике и теории компьютеров. Кембридж: MIT Press. стр. 89–95. ISBN 978-0-262-22030-9.
281. Macrae 1992, стр. 334–335.
282. Фон Нейман, Джон (1951). «Различные методы, используемые в связи со случайными цифрами». Серия Национального бюро стандартов по прикладной математике . 12 : 36–38.
283. фон Нейман, Дж. «Вероятностная логика и синтез надежных организмов из ненадежных компонентов». В Brody & Vámos (1995), стр. 567–616.
284. Петрович, Р.; Силяк, Д. (1962). «Умножение посредством совпадения». АКТЕС Учеб. 3-го Межд. Аналоговый комп. Встреча .
285. Афусо, К. (1964), Кварт. Тех. Прог. Репт , Иллинойс: Факультет компьютерных наук Иллинойского университета в Урбана-Шампейн.
286. Чайтин, Грегори Дж. (2002). Беседы с математиком: математика, искусство, наука и пределы разума. Лондон: Спрингер. п. 28. дои : 10.1007/978-1-4471-0185-7. ISBN 978-1-4471-0185-7.
287. Песавенто, Умберто (1995). «Реализация самовоспроизводящей машины фон Неймана» (PDF) . Искусственная жизнь . 2 (4): 337–354. дои :10.1162/артл.1995.2.337. PMID  8942052. Архивировано из оригинала (PDF) 21 июня 2007 г.
288. Роча, LM (2015). «Фон Нейман и естественный отбор». Конспекты лекций I-585-курса биологических вычислений, Университет Индианы (PDF) . стр. 25–27. Архивировано из оригинала (PDF) 7 сентября 2015 г. Проверено 6 февраля 2016 г.
289. Дамероу, Джулия, изд. (14 июня 2010 г.). «Клеточные автоматы Джона фон Неймана». Энциклопедия проекта «Эмбрион» . Университет штата Аризона. Школа наук о жизни. Центр биологии и общества . Проверено 14 января 2024 г.
290. фон Нейман, Джон (1966). А. Беркс (ред.). Теория самовоспроизводящихся автоматов. Урбана, Иллинойс: Univ. из Иллинойс Пресс. ISBN 978-0-598-37798-2.
291. «2.1 Вклад фон Неймана». Молекулярный ассемблер.com . Проверено 16 сентября 2009 г.
292. «2.1.3 Модель клеточного автомата (CA) репликации машины» . Молекулярный ассемблер.com . Проверено 16 сентября 2009 г.
293. фон Нейман, Джон (1966). Артур В. Беркс (ред.). Теория самовоспроизводящихся автоматов (PDF) . Урбана и Лондон: Издательство Университета Иллинойса . ISBN 978-0-598-37798-2.
294. Тоффоли, Томмазо ; Марголус, Норман (1987). Клеточные автоматы: новая среда для моделирования . МТИ Пресс. п. 60..
295. Густавссон 2018, с. 91.
296. Густавссон 2018, стр. 101–102.
297. Густавссон 2018, с. 235.
298. Брезински и Вуйтак 2001, стр. 27.
299. Брезински и Вуйтак 2001, стр. 216.
300. Густавссон 2018, стр. 112–113.
301. Лакс, Питер Д. (2005). «Интервью с Питером Д. Лаксом» (PDF) (Интервью). Беседовал Мартин Рауссен; Кристиан Скау. Осло: Уведомления Американского математического общества . п. 223.
302. Улам, Станислав М. (1986). Рейнольдс, Марк С.; Рота, Джан-Карло (ред.). Наука, компьютеры и люди: с дерева математики. Бостон: Биркхойзер. п. 224. дои : 10.1007/978-1-4615-9819-0. ISBN 978-1-4615-9819-0.
303. Херш, Рубен (2015). Питер Лакс, математик: иллюстрированные мемуары. Американское математическое общество. п. 170. ИСБН 978-1-4704-2043-7.
304. Биркгоф, Гаррет (1990). «Гидродинамика, расчеты реакторов и представление поверхности». В Нэше, Стивен Г. (ред.). История научных вычислений . Ассоциация вычислительной техники. стр. 64–69. дои : 10.1145/87252.88072. ISBN 978-0-201-50814-7.
305. Эдвардс 2010, с. 115.
306. Weather Architecture Джонатана Хилла (Routledge, 2013), стр. 216
307. Эдвардс 2010, стр. 117–118.
308. Чарни, JG; Фьёртофт, Р.; Нойманн, Дж. (1950). «Численное интегрирование уравнения баротропной завихренности». Расскажи нам . 2 (4): 237–254. Бибкод : 1950Tell....2..237C. дои : 10.3402/TELLUSA.V2I4.8607 .
309. Гилкрист, Брюс , «Вспоминая некоторые ранние компьютеры, 1948–1960» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 12 декабря 2006 г. Проверено 12 декабря 2006 г., Колумбийский университет EPIC , 2006, стр. 7–9. (архив 2006 г.) Содержит некоторые автобиографические материалы об использовании Гилкристом компьютера IAS, начиная с 1952 года.
310. Эдвардс 2010, с. 126.
311. Эдвардс 2010, с. 130.
312. Внутрисезонная изменчивость климатической системы атмосфера-океан , Уильям К.-М. Лау, Дуэйн Э. Вализер (Springer 2011), стр. V
313. Эдвардс 2010, стр. 152–153.
314. Эдвардс 2010, стр. 153, 161, 189–190.
315. «Парниковый эффект углекислого газа». Открытие глобального потепления . Американский институт физики . Май 2023 года . Проверено 9 октября 2023 г.
316. Макрэ 1992, с. 16.
317. Инженерия: ее роль и функции в человеческом обществе под редакцией Уильяма Х. Давенпорта, Дэниела И. Розенталя (Elsevier 2016), стр. 266
318. Macrae 1992, с. 332.
319. Хеймс 1980, стр. 236–247.
320. Эдвардс 2010, стр. 189–191.
321. Технологическая сингулярность Мюррея Шанахана , (MIT Press, 2015), стр. 233
322. Чалмерс, Дэвид (2010). «Необычность: философский анализ». Журнал исследований сознания . 17 (9–10): 7–65.
323. Якобсен 2015, гл. 3.
324. Ходдесон и др. 1993, стр. 130–133, 157–159.
325. Ходдесон и др. 1993, стр. 239–245.
326. Ходдесон и др. 1993, с. 295.
327. Субаренда, Кэри. «Раздел 8.0 Первое ядерное оружие». Часто задаваемые вопросы о ядерном оружии . Проверено 8 января 2016 г.
328. Ходдесон и др. 1993, стр. 320–327.
329. Макрэ 1992, с. 209.
330. Ходдесон и др. 1993, с. 184.
331. Макрэ 1992, стр. 242–245.
332. Гроувс, Лесли (1962). Теперь это можно рассказать: история Манхэттенского проекта . Нью-Йорк: Харпер и Роу. стр. 268–276. ISBN 978-0-306-70738-4. ОСЛК  537684.
333. Ходдесон и др. 1993, стр. 371–372.
334. Макрэ 1992, с. 205.
335. Херкен, Грегг (2002). Братство бомбы: запутанные жизни и преданность Роберта Оппенгеймера, Эрнеста Лоуренса и Эдварда Теллера . Нью-Йорк: Холт. стр. 171, 374. ISBN. 978-0-8050-6589-3. ОСЛК  48941348.
336. Бернштейн, Джереми (2010). «Джон фон Нейман и Клаус Фукс: маловероятное сотрудничество». Физика в перспективе . 12 (1): 36–50. Бибкод : 2010PhP....12...36B. дои : 10.1007/s00016-009-0001-1. S2CID  121790196.
337. Макрэ 1992, с. 208.
338. Macrae 1992, стр. 350–351.
339. «Ценность оружия, требующая оценки» . Спокан Дейли Кроникл . 15 декабря 1948 года . Проверено 8 января 2015 г.
340. Шихан 2010, с. 182.
341. Якобсен 2015, с. 40.
342. Шихан 2010, стр. 178–179.
343. Шихан 2010, с. 199.
344. Шихан 2010, стр. 217, 219–220.
345. Шихан 2010, с. 221.
346. Шихан 2010, с. 259.
347. Шихан 2010, стр. 273, 276–278.
348. Шихан 2010, стр. 275, 278.
349. Шихан 2010, стр. 287–299.
350. Шихан 2010, с. 311.
351. Aspray 1990, с. 250.
352. Хаймс 1980, с. 275.
353. Аспрей 1990, стр. 244–245.
354. Хаймс 1980, с. 276.
355. Макрэ 1992, стр. 367–369.
356. Хаймс 1980, с. 282.
357. Macrae 1992, стр. 359–365.
358. Блэр 1957, с. 96.
359. Паис 2006, с. 109.
360. Голдстайн 1985, стр. 9–10.
361. Альберс и Александерсон 2008, с. 81.
362. Голдстайн 1985, стр. 16.
363. Улам 1976, с. 78.
364. Halmos 1973, стр. 387–388.
365. Лакс, Питер Д. «Вспоминая Джона фон Неймана». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), с. 6.
366. Редеи и Штёльцнер 2001, с. 168.
367. Дайсон 1998, с. 77.
368. Халмос 1973, с. 389.
369. Улам 1958, с. 8.
370. Улам 1976, с. 291.
371. Улам 1976, с. 96.
372. Гальперин, Израиль (1984). «Стенограмма интервью № 18 - Проект устной истории» (PDF) (Интервью). Беседовал Альберт Такер . Принстонский математический факультет. п. 12 . Проверено 4 апреля 2022 г.
373. Улам 1958, с. 9.
374. Сигал, Ирвинг Э. «Математические последствия фундаментальных физических принципов». В Glimm, Impagliazzo & Singer (1990), стр. 154–156.
375. Халмос 1973, с. 388.
376. Улам 1958, с. 38.
377. Хоффманн, Банеш (1984). «Стенограмма интервью № 20 - Проект устной истории» (PDF) (Интервью). Беседовал Альберт Такер . Принстонский математический факультет. п. 4 . Проверено 4 апреля 2022 г.
378. Такер 1984, с. 4.
379. Голдстайн 1980, стр. 167.
380. Джон фон Нейман: Жизнь, работа и наследие Института перспективных исследований, Принстон
381. Улам 1976, стр. 147–148.
382. Халмос 1973, с. 386.
383. Голдстайн 1980, стр. 171.
384. Ферми вспомнил , Джеймс В. Кронин , University of Chicago Press (2004), стр. 236
385. Теллер, Эдвард (апрель 1957 г.). «Джон фон Нейман». Бюллетень ученых-атомщиков . 13 (4): 150–151. Бибкод : 1957БуАтС..13д.150Т. дои : 10.1080/00963402.1957.11457538.
386. Каплан, Майкл и Каплан, Эллен (2006) Шансы есть: приключения в вероятности . Викинг.
387. Петкович, Миодраг (2009). Знаменитые загадки великих математиков . Американское математическое общество. п. 157. ИСБН 978-0-8218-4814-2.
388. Мировский, Филип (2002). Машинные мечты: экономика становится наукой-киборгом . Издательство Кембриджского университета. п. 258. ИСБН 978-0-521-77283-9. ОСЛК  45636899.
389. «Загадка с мухами (головоломка с двумя поездами)» . Вольфрам Математический мир. 15 февраля 2014 года . Проверено 25 февраля 2014 г.
390. "Джон фон Нейман - Документальный фильм" . Математическая ассоциация Америки. 1966 год. 17.00 – 19.11 . Проверено 26 августа 2022 г.
391. Халмош 1973, стр. 386–387.
392. Rota 1997, с. 71.
393. Келли, JL (1989). «Однажды легкомысленно». В Дюрене, Питер (ред.). Век математики в Америке: Часть III . Американское математическое общество. п. 478. ИСБН 0-8218-0136-8.
394. Улам 1976, стр. 76–77.
395. Новак, Амрам (1 января 1966 г.). «Джон фон Нейман документальный фильм». Математическая ассоциация Америки, Комитет по образовательным средствам массовой информации. ОСЛК  177660043., DVD-версия (2013 г.) OCLC  897933992.
396. Сантон 1992, с. 58.
397. Сони, Джимми ; Гудман, Роб (2017). Разум в игре: как Клод Шеннон изобрел век информации . Саймон и Шустер. п. 76. ИСБН 978-1476766683.
398. Броновский, Джейкоб (1974). Восхождение человека . Бостон: Литтл, Браун. п. 433.
399. Редеи 2005, с. 7.
400. Редеи 2005, с. xiii.
401. Рота 1997, с. 70.
402. Улам 1976, с. 4; Кац, Рота и Шварц 2008, с. 206; Альберс и Александерсон 2008, с. 168; Сантон 1992, с. 51
     Роудс, Ричард (1995). Темное солнце: создание водородной бомбы. Нью-Йорк: Саймон и Шустер. п. 250. ИСБН 0-684-80400-Х.
     Додель, Евсевий Дж.; Домокос, Габор; Кеврекидис, Иоаннис Г. (март 2006 г.). «Моделирование и расчеты в динамических системах». Всемирная научная серия по нелинейной науке . Серия B. 13 . дои : 10.1142/5982. ISBN 978-981-256-596-9.
403. МакКордак, Памела (2004). Машины, которые думают: личное исследование истории и перспектив искусственного интеллекта (2-е изд.). Рутледж. п. 81. ИСБН 978-1568812052.
404. Йорк 1971, с. 85.
405. Доре, Чакраварти и Гудвин 1989, стр. 121.
406. "Премия Джона фон Неймана по теории". Институт исследования операций и наук управления . Архивировано из оригинала 13 мая 2016 г. Проверено 17 мая 2016 г.
407. "Медаль IEEE Джона фон Неймана" . Награды IEEE . Институт инженеров электротехники и электроники . Проверено 17 мая 2016 г.
408. "Лекция Джона фон Неймана" . Общество промышленной и прикладной математики . Проверено 17 мая 2016 г.
409. "Фон Нейман". Геологическая служба США . Проверено 17 мая 2016 г.
410. "22824 фон Неймана (1999 RP38)" . Лаборатория реактивного движения . Проверено 13 февраля 2018 г.
411. "(22824) фон Неймана = 1999 RP38 = 1998 HR2" . Центр малых планет . Проверено 13 февраля 2018 г.
412. «Дуайт Д. Эйзенхауэр: Медаль свободы, сопровождающая цитату, вручена доктору Джону фон Нейману» . Проект американского президентства.
413. Аспрей 1990, стр. 246–247.
414. Улам 1958, стр. 41–42.
415. «Фон Нейман, Джон, 1903–1957». Сеть истории физики . Американский институт физики . Проверено 12 октября 2023 г.
416. "Проблема американских ученых" . Араго: Люди, почтовые расходы и почта . Национальный музей почты . Архивировано из оригинала 2 февраля 2016 г. Проверено 2 августа 2022 г.
417. "Нойман Янош Эгиетем". Нейман Янош Эгиетем .
418. Дайсон 2013, с. 154.
419. Дайсон 2013, с. 155.
420. Дайсон 2013, с. 157.
421. Дайсон 2013, с. 158.
422. Дайсон 2013, с. 159.
423. фон Нейман, Джон (1947). «Математик». В Хейвуде, Роберт Б. (ред.). Работы разума . Издательство Чикагского университета. OCLC  752682744.
424. Дайсон 2013, стр. 159–160.

Рекомендации

• Альберс, Дональд Дж.; Александерсон, Джеральд Л. , ред. (2008). Люди-математики: профили и интервью (2-е изд.). ЦРК Пресс. дои : 10.1201/b10585. ISBN 978-1568813400.
• Эспрей, Уильям (1990). Джон фон Нейман и истоки современных вычислений. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. Бибкод :1990jvno.book.....А. ISBN 978-0262518857. ОСЛК  21524368.
• Бхаттачарья, Ананьо (2022). Человек из будущего: призрачная жизнь Джона фон Неймана. WW Нортон и компания. ISBN 978-1324003991.
• Биркгоф, Гаррет (1958). «Фон Нейман и теория решетки». Бюллетень Американского математического общества . 64 (3, часть 2): 50–56. дои : 10.1090/S0002-9904-1958-10192-5 .
• Блер, Клей младший (25 февраля 1957 г.). «Уход Великого Разума». Жизнь . стр. 89–104.
• Бохнер, С. (1958). «Джон фон Нейман 1903–1957: Биографические мемуары» (PDF) . Национальная академия наук . Проверено 16 августа 2015 г.
• Брезински, К.; Вуйтак, Л. (2001). Численный анализ: историческое развитие в 20 веке . Эльзевир. дои : 10.1016/C2009-0-10776-6. ISBN 9780444598585.
• Броды, Ф.; Вамос, Тибор, ред. (1995). Компендиум Неймана . Всемирная научная серия по математике ХХ века. Том. 1. Сингапур: Всемирная научная издательская компания. дои : 10.1142/2692. ISBN 978-981-02-2201-7. ОСЛК  32013468.
• Дьедонне, Жан (1981). История функционального анализа . Северо-Голливудская издательская компания. ISBN 978-0444861481.
• Дьедонне, Ж. (2008). «Фон Нейман, Иоганн (или Джон)». В Гиллиспи, CC (ред.). Полный словарь научной биографии. Том. 14 (7-е изд.). Детройт: Сыновья Чарльза Скрибнера. стр. 88–92 Виртуальная справочная библиотека Гейла. ISBN 978-0-684-31559-1. OCLC  187313311.
• Доре, Мохаммед; Чакраварти, Сухамой ; Гудвин, Ричард , ред. (1989). Джон фон Нейман и современная экономика. Оксфорд: Кларендон. ISBN 978-0-19-828554-0. ОСЛК  18520691.
• Дайсон, Джордж (1998). Дарвин среди машин: эволюция глобального интеллекта. Кембридж, Массачусетс: Книги Персея. ISBN 978-0-7382-0030-9. ОСЛК  757400572.
• Дайсон, Джордж (2012). Собор Тьюринга: истоки цифровой вселенной . Нью-Йорк: Книги Пантеона. ISBN 978-0-375-42277-5. OCLC  745979775.«Я думаю о чем-то гораздо более важном, чем бомбы. Я думаю о компьютерах»
• Дайсон, Фриман (2013). «Прогулка по саду Джонни фон Неймана». Уведомления АМС . 60 (2): 154–161. дои : 10.1090/noti942 .
• Эдвардс, Пол Н. (2010). Огромная машина: компьютерные модели, климатические данные и политика глобального потепления. Массачусетский технологический институт Пресс. ISBN 978-0-262-01392-5.
• Глимм, Джеймс ; Импальяццо, Джон; Певец Исадор Мануэль , ред. (1990). Наследие Джона фон Неймана. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4219-5.
• Голдстайн, Герман (1980). Компьютер от Паскаля до фон Неймана . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-02367-0.
• Голдстайн, Герман (1985). «Стенограмма интервью № 15 - Проект устной истории» (PDF) (Интервью). Беседовал Альберт Такер ; Фредерик Небекер. Мэриленд: Математический факультет Принстона . Проверено 3 апреля 2022 г.
• Густафссон, Бертиль (2018). Научные вычисления: историческая перспектива. Тексты по вычислительной технике и технике. Том. 17. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-69847-2. ISBN 978-3-319-69847-2.
• Халмос, Пол Р. (1958). «Фон Нейман о мере и эргодической теории». Бюллетень Американского математического общества . 64 (3, Часть 2): 86–94. дои : 10.1090/S0002-9904-1958-10203-7 .
• Халмош, Пол (1973). «Легенда о Джоне фон Неймане». Американский математический ежемесячник . 80 (4): 382–394. дои : 10.1080/00029890.1973.11993293.
• Хаймс, Стив Дж. (1980). Джон фон Нейман и Норберт Винер: от математики к технологиям жизни и смерти. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-08105-4.
• Ходдесон, Лилиан ; Хенриксен, Пол В.; Мид, Роджер А.; Вестфолл, Кэтрин Л. (1993). Критическая сборка: техническая история Лос-Аламоса в годы Оппенгеймера, 1943–1945 . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-44132-2. ОСЛК  26764320.
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83940-2.
• Якобсен, Энни (2015). Мозг Пентагона: история DARPA, совершенно секретного американского агентства военных исследований, без цензуры. Литтл, Браун и компания. ISBN 978-0316371667. ОСЛК  1037806913.
• Кац, Марк ; Рота, Джан-Карло ; Шварц, Джейкоб Т. (2008). Дискретные мысли: Очерки по математике, науке и философии (2-е изд.). Бостон: Биркхойзер. дои : 10.1007/978-0-8176-4775-9. ISBN 978-0-8176-4775-9.
• Господи, Стивен; Сукочев, Федор; Занин, Дмитрий (2012). Особые следы: теория и приложения (1-е изд.). Де Грютер. дои : 10.1515/9783110262551. ISBN 9783110262551.
• Господи, Стивен; Сукочев, Федор; Занин, Дмитрий (2021). Особые следы. Том 1: Теория (2-е изд.). Де Грютер. дои : 10.1515/9783110378054. ISBN 9783110378054. S2CID  242485577.
• Макрэ, Норман (1992). Джон фон Нейман: научный гений, создавший современный компьютер, теорию игр, ядерное сдерживание и многое другое . Пантеон Пресс. ISBN 978-0-679-41308-0. Описание, содержание, в т.ч. Предварительный просмотр и обзор с прокруткой со стрелками.
• Муравский, Роман (2010). «Джон фон Нейман и школа Гильберта». Очерки философии и истории логики и математики. Амстердам: Родопи. стр. 195–209. дои : 10.1163/9789042030916_015. ISBN 978-90-420-3091-6.
• Паис, Авраам (2000). Гений науки: Портретная галерея: Портретная галерея физиков двадцатого века . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0198506140.
• Паис, Авраам (2006). Дж. Роберт Оппенгеймер: Жизнь. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-516673-6. ОКЛК  475574884.
• Питч, Альбрехт [на немецком языке] (2007). История банаховых пространств и линейных операторов. Бостон: Биркхойзер. дои : 10.1007/978-0-8176-4596-0. ISBN 978-0-8176-4596-0.
• Редей, Миклош (1999). «Нерешенные задачи математики» (PDF) . Математический интеллект . 21 :7–12. дои : 10.1007/BF03025331. S2CID  117002529.
• Редей, Миклош; Штёльцнер, Майкл, ред. (2001). Джон фон Нейман и основы квантовой физики. Спрингер. дои : 10.1007/978-94-017-2012-0. ISBN 978-0792368120.
• Редей, Миклош, изд. (2005). Джон фон Нейман: Избранные письма. История математики. Том. 27. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3776-4. ОСЛК  60651134.
• Риклз, Дин (2020). Покрытые глубоким туманом: развитие квантовой гравитации 1916–1956. Издательство Оксфордского университета. дои : 10.1093/oso/9780199602957.001.0001. ISBN 9780199602957.
• Рота, Джан-Карло (1997). Паломби, Фабрицио (ред.). Недискретные мысли. Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. дои : 10.1007/978-0-8176-4781-0. ISBN 978-0-8176-4781-0.
• Шнайдер, Г. Майкл; Герстинг, Джудит ; Бринкман, Бо (2015). Приглашение в информатику . Бостон: Cengage Learning. ISBN 978-1-305-07577-1. ОСЛК  889643614.
• Сигал, Ирвинг (1965). «Алгебраическая теория интеграции». Бюллетень Американского математического общества . 71 (3): 419–489. дои : 10.1090/S0002-9904-1965-11284-8 .
• Шиэн, Нил (2010). Огненный мир в холодной войне: Бернард Шривер и абсолютное оружие. Винтаж. ISBN 978-0679745495.
• Сзантон, Эндрю (1992). Воспоминания Юджина П. Вигнера: из рассказа Эндрю Сзантона (1-е изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4899-6313-0. ISBN 978-1-4899-6313-0.
• Тауб, А.Х. , изд. (1963). Собрание сочинений Джона фон Неймана, том VI: Теория игр, астрофизика, гидродинамика и метеорология . Нью-Йорк: Пергамон Пресс. ISBN 978-0-08-009566-0. ОКЛК  493423386.
• Такер, Альберт (1984). «Стенограмма интервью № 34 - Проект устной истории» (PDF) (Интервью). Беседовал Уильям Эспрей. Принстон: Принстонский математический факультет . Проверено 4 апреля 2022 г.
• Улам, Станислав (1958). «Джон фон Нейман 1903–1957» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 64 (3): 1–49. дои : 10.1090/S0002-9904-1958-10189-5.
• Улам, Станислав (1976). Приключения математика . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. ISBN 0-684-14391-7.
• фон Платон, январь (2018). «В поисках источников незавершенности» (PDF) . Материалы Международного конгресса математиков 2018 . 3 : 4075–4092. дои : 10.1142/9789813272880_0212. ISBN 978-981-327-287-3. S2CID  203463751.
• фон Платон, январь (2020). Можно ли доказать непротиворечивость математики? Источники и исследования по истории математики и физических наук. Международное издательство Спрингер. дои : 10.1007/978-3-030-50876-0. ISBN 978-3-030-50876-0. S2CID  226522427.
• Вагон, Стэн ; Томкович, Гжегож (2016). Парадокс Банаха-Тарского (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781316572870.
• Йорк, Герберт (1971). Гонка к забвению: взгляд участника гонки вооружений. Нью-Йорк: Саймон и Шустер. ISBN 978-0671209315.

дальнейшее чтение

Книги

• Эриксон, Пол (2015). Мир, который создали теоретики игр . Издательство Чикагского университета. ISBN 9780226097176.
• Халмос, Пол Р. (1985). Я хочу быть математиком: автоматография . Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-1084-9. ISBN 978-0-387-96078-4. ОСЛК  11497873.
• Харгиттай, Балаж; Харгиттай, Иштван (2015). Мудрость марсиан науки: своими словами с комментариями . Всемирная научная. дои : 10.1142/9809. ISBN 978-9814723817.
• Харгиттай, Иштван (2008). Марсиане науки: пять физиков, изменивших двадцатый век . Издательство Оксфордского университета. doi :10.1093/acprof:oso/9780195178456.001.0001. ISBN 978-0195365566.
• Хорват, Янош , изд. (2006). Панорама венгерской математики в двадцатом веке I. Общество математических исследований Боляи. Том. 14. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-540-30721-1. ISBN 978-3540289456.
• Крель, Питер ОК (2009). История ударных волн, взрывов и ударов: хронологический и биографический справочник . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-540-30421-0. ISBN 978-3-540-30421-0.
• Леонард, Роберт (2010). Фон Нейман, Моргенштерн и создание теории игр: от шахмат к общественным наукам, 1900–1960 . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511778278. ISBN 978-1107609266.
• Паундстоун, Уильям (1993). Дилемма заключенного: Джон фон Нейман, теория игр и загадка бомбы . Случайный дом в цифровом формате. ISBN 978-0-385-41580-4.
• Пуррингтон, Роберт Д. (2018). Героический век: создание квантовой механики, 1925–1940 гг . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0190655174.
• Слейтер, Роберт (1989). Портреты из кремния . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-19262-0. ОСЛК  15630421.
• фон Нейман Уитмен, Марина (2012). Дочь марсианина. Мемуары . Анн-Арбор: Издательство Мичиганского университета. ISBN 978-0-472-03564-9. ОКЛК  844308382.
• Воннейман, Николас А. (1987). Джон фон Нейман глазами своего брата (PDF) . Медоубрук, Пенсильвания: Н. А. Воннейман. ISBN 978-0-9619681-0-6. ОСЛК  17547196.
• Вайнтрауб, Э. Рой , изд. (1992). К истории теории игр . История политической экономии. Том. 24 (Дополнение). ISSN  0018-2702.

Популярные периодические издания

• Журнал Good Housekeeping , сентябрь 1956 г., «Замужем за человеком, который верит, что разум может перевернуть мир» ^{[ нужна полная цитата ]}

Журналы

• Формика, Джамбаттиста (2022). «Открытие Джоном фон Нейманом 2-й теоремы о неполноте». История и философия логики . 44 : 66–90. дои : 10.1080/01445340.2022.2137324. S2CID  256699234.
• Смитис, Ф. (1959). «Джон фон Нейман». Журнал Лондонского математического общества . с1-34(3): 373–384. дои : 10.1112/jlms/s1-34.3.373.

Внешние ссылки

• Более или менее полная библиография публикаций Джона фон Неймана, составленная Нельсоном Х. Ф. Бибом.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Джон фон Нейман», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Профиль фон Неймана в Google Scholar
• Проект устной истории - Принстонское математическое сообщество 1930-х годов содержит множество интервью, в которых описываются контакты и анекдоты фон Неймана и других членов сообщества Принстонского университета и Института перспективных исследований.
• Интервью по устной истории (из Института Чарльза Бэббиджа , Университет Миннесоты ) с: Элис Р. Беркс и Артуром В. Беркс; Юджин П. Вигнер; и Николас К. Метрополис.
• профиль zbMATH
• Запрос «фон Неймана» в цифровом хранилище Института перспективных исследований.
• Фон Нейман против Дирака по квантовой теории и математической строгости - из Стэнфордской энциклопедии философии
• Квантовая логика и теория вероятностей - из Стэнфордской энциклопедии философии.
• Файлы ФБР на Джона фон Неймана опубликованы через свободу информации
• Биографическое видео Дэвида Брэйлсфорда (почетного профессора информатики Джона Данфорда Ноттингемского университета)
• Джон фон Нейман: Пророк 21 века. Документальный фильм Arte 2013 года о Джоне фон Неймане и его влиянии на современный мир (на немецком и французском языках с английскими субтитрами).
• Джон фон Нейман - Подробный документальный фильм 1966 года, снятый Математической ассоциацией Америки , содержащий замечания нескольких его коллег, включая Улама, Вигнера, Халмоша, Моргенштерна, Бете, Голдстайна, Штрауса и Теллера.