stringtranslate.com

Геометрия

Геометрия (от древнегреческого γεωμετρία ( geōmetría )  «измерение земли»; от γῆ ( gê )  «земля, суша» и μέτρον ( métron )  «мера») [1] — раздел математики, занимающийся такими свойствами пространства, как расстояние, форма, размер и относительное расположение фигур. [2] Геометрия, наряду с арифметикой , является одним из старейших разделов математики. Математика, работающего в области геометрии, называют геометром . До XIX века геометрия была почти исключительно посвящена евклидовой геометрии , [a] которая включает в себя понятия точки , прямой , плоскости , расстояния , угла , поверхности и кривой как фундаментальных понятий. [3]

Первоначально разработанная для моделирования физического мира, геометрия имеет приложения почти во всех науках, а также в искусстве, архитектуре и других видах деятельности, связанных с графикой. [4] Геометрия также имеет приложения в областях математики, которые, по-видимому, не связаны. Например, методы алгебраической геометрии являются основополагающими в доказательстве Уайлсом Великой теоремы Ферма , проблемы, которая была сформулирована в терминах элементарной арифметики и оставалась нерешенной в течение нескольких столетий.

В течение 19 века несколько открытий значительно расширили сферу геометрии. Одним из старейших таких открытий является Theorema Egregium («замечательная теорема») Карла Фридриха Гаусса , которая приблизительно утверждает, что гауссова кривизна поверхности не зависит от какого-либо конкретного вложения в евклидово пространство . Это подразумевает, что поверхности могут изучаться внутренне , то есть как отдельные пространства, и было расширено до теории многообразий и римановой геометрии . Позже в 19 веке оказалось, что геометрии без постулата параллельности ( неевклидовы геометрии ) могут быть развиты без введения каких-либо противоречий. Геометрия, лежащая в основе общей теории относительности, является известным приложением неевклидовой геометрии.

С конца 19 века область геометрии значительно расширилась, и область была разделена на множество подобластей, которые зависят от базовых методов — дифференциальная геометрия , алгебраическая геометрия , вычислительная геометрия , алгебраическая топология , дискретная геометрия (также известная как комбинаторная геометрия ) и т. д. — или от свойств евклидовых пространств, которые игнорируются — проективная геометрия , которая учитывает только выравнивание точек, но не расстояние и параллельность, аффинная геометрия , которая опускает понятие угла и расстояния, конечная геометрия, которая опускает непрерывность , и другие. Это расширение области геометрии привело к изменению значения слова «пространство», которое изначально относилось к трехмерному пространству физического мира и его модели, предоставляемой евклидовой геометрией; в настоящее время геометрическое пространство или просто пространство представляет собой математическую структуру , на которой определена некоторая геометрия.

История

Европеец и араб, занимающиеся геометрией в XV веке

Самые ранние зафиксированные начала геометрии можно проследить до древней Месопотамии и Египта во 2-м тысячелетии до н. э. [5] [6] Ранняя геометрия была набором эмпирически открытых принципов, касающихся длин, углов, площадей и объемов, которые были разработаны для удовлетворения некоторых практических потребностей в геодезии , строительстве , астрономии и различных ремеслах. Самые ранние известные тексты по геометрии - египетский папирус Ринда (2000-1800 гг. до н. э.) и Московский папирус ( ок.  1890 г. до н. э. ), а также вавилонские глиняные таблички , такие как Plimpton 322 (1900 г. до н. э.). Например, Московский папирус дает формулу для вычисления объема усеченной пирамиды, или frustum . [7] Более поздние глиняные таблички (350-50 гг. до н. э.) показывают, что вавилонские астрономы реализовали процедуры трапеции для вычисления положения и движения Юпитера в пространстве времени и скорости. Эти геометрические процедуры предвосхитили Оксфордские калькуляторы , включая теорему о средней скорости , на 14 веков. [8] К югу от Египта древние нубийцы создали систему геометрии, включающую ранние версии солнечных часов. [9] [10]

В VII веке до нашей эры греческий математик Фалес Милетский использовал геометрию для решения таких задач, как вычисление высоты пирамид и расстояния кораблей от берега. Ему приписывают первое использование дедуктивного рассуждения в применении к геометрии, выведя четыре следствия из теоремы Фалеса . [11] Пифагор основал пифагорейскую школу , которой приписывают первое доказательство теоремы Пифагора , [12] хотя формулировка теоремы имеет долгую историю. [13] [14] Евдокс (408– ок.  355 до н. э. ) разработал метод исчерпывания , который позволил вычислять площади и объемы криволинейных фигур, [15] а также теорию отношений, которая избегала проблемы несоизмеримых величин , что позволило последующим геометрам добиться значительных успехов. Около 300 г. до н. э. геометрия была революционизирована Евклидом, чьи «Начала» , широко считающиеся самым успешным и влиятельным учебником всех времен, [16] ввели математическую строгость посредством аксиоматического метода и являются самым ранним примером формата, который все еще используется в математике сегодня, а именно: определение, аксиома, теорема и доказательство. Хотя большая часть содержания « Начал» была уже известна, Евклид организовал их в единую, связную логическую структуру. [17] « Начала» были известны всем образованным людям на Западе до середины 20-го века, и их содержание до сих пор преподается на уроках геометрии. [18] Архимед ( ок.  287–212 гг. до н. э. ) из Сиракуз, Италия, использовал метод исчерпывания для вычисления площади под дугой параболы с помощью суммирования бесконечного ряда и дал удивительно точные приближения числа π . [19] Он также изучал спираль , носящую его имя, и получил формулы для объемов поверхностей вращения .

Женщина преподает геометрию . Иллюстрация в начале средневекового перевода «Начал» Евклида ( ок.  1310 г. ).

Индийские математики также внесли много важных вкладов в геометрию. Шатапатха Брахмана (3 век до н. э.) содержит правила ритуальных геометрических построений, которые похожи на Сульба Сутры . [20] Согласно (Hayashi 2005, стр. 363), сутры Шульба содержат «самое раннее сохранившееся словесное выражение теоремы Пифагора в мире, хотя оно уже было известно древним вавилонянам. Они содержат списки пифагорейских троек , [b] которые являются частными случаями диофантовых уравнений . [21] В рукописи Бахшали есть несколько геометрических задач (включая задачи об объемах нерегулярных твердых тел). Рукопись Бахшали также «использует десятичную систему счисления с точкой для нуля». [22] Арьябхатия Арьябхаты (499) включает вычисление площадей и объемов. Брахмагупта написал свой астрономический труд Brāhmasphuṭasiddhānta в 628 году. Глава 12, содержащая 66 санскритских стихов, была разделена на два раздела: «базовые операции» (включая кубические корни, дроби, отношение и пропорцию, а также бартер) и «практическая математика» (включая смесь, математические ряды, плоские фигуры, укладку кирпичей, распиловку леса и укладку зерна). [23] В последнем разделе он сформулировал свою знаменитую теорему о диагоналях вписанного четырехугольника . Глава 12 также включала формулу для площади вписанного четырехугольника (обобщение формулы Герона ), а также полное описание рациональных треугольников ( т. е. треугольников с рациональными сторонами и рациональными площадями). [23]

В средние века математика в средневековом исламе способствовала развитию геометрии, особенно алгебраической геометрии . [24] [25] Аль-Махани (р. 853) задумал свести геометрические задачи, такие как удвоение куба, к задачам алгебры. [26] Сабит ибн Курра (известный как Тебит на латыни ) (836–901) занимался арифметическими операциями, применяемыми к соотношениям геометрических величин, и внес вклад в развитие аналитической геометрии . [27] Омар Хайям (1048–1131) нашел геометрические решения кубических уравнений . [28] Теоремы Ибн аль-Хайсама (Альхазена), Омара Хайяма и Насир ад-Дина ат-Туси о четырехугольниках , включая четырехугольник Ламберта и четырехугольник Саккери , были частью линии исследований постулата параллельности , продолженной более поздними европейскими геометрами, включая Вителло ( ок.  1230  – ок.  1314 ), Герсонида (1288–1344), Альфонсо, Джона Уоллиса и Джованни Джироламо Саккери , что к 19 веку привело к открытию гиперболической геометрии . [29]

В начале 17 века в геометрии произошло два важных события. Первым было создание аналитической геометрии, или геометрии с координатами и уравнениями , Рене Декартом (1596–1650) и Пьером де Ферма (1601–1665). [30] Это было необходимым предшественником развития исчисления и точной количественной науки физики . [31] Вторым геометрическим событием этого периода было систематическое изучение проективной геометрии Жираром Дезаргом (1591–1661). [32] Проективная геометрия изучает свойства фигур, которые остаются неизменными при проекциях и сечениях , особенно в том, что касается художественной перспективы . [33]

Два события в геометрии в 19 веке изменили способ ее изучения ранее. [34] Это были открытие неевклидовых геометрий Николаем Ивановичем Лобачевским, Яношем Бойяи и Карлом Фридрихом Гауссом и формулировка симметрии как центрального рассмотрения в Эрлангенской программе Феликса Клейна (которая обобщила евклидову и неевклидову геометрии). Двумя мастерами геометрии того времени были Бернхард Риман (1826–1866), работавший в основном с инструментами математического анализа и введший риманову поверхность , и Анри Пуанкаре , основатель алгебраической топологии и геометрической теории динамических систем . В результате этих крупных изменений в концепции геометрии понятие « пространство » стало чем-то богатым и разнообразным и естественным фоном для таких разных теорий, как комплексный анализ и классическая механика . [35]

Основные понятия

Ниже приведены некоторые из наиболее важных концепций геометрии. [3] [36]

Аксиомы

Иллюстрация постулата Евклида о параллельных прямых

Евклид использовал абстрактный подход к геометрии в своих «Началах » [37], одной из самых влиятельных книг, когда-либо написанных. [38] Евклид ввел определенные аксиомы , или постулаты , выражающие первичные или самоочевидные свойства точек, линий и плоскостей. [39] Он приступил к строгому выводу других свойств с помощью математических рассуждений. Характерной чертой подхода Евклида к геометрии была его строгость, и он стал известен как аксиоматическая или синтетическая геометрия. [40] В начале 19-го века открытие неевклидовых геометрий Николаем Ивановичем Лобачевским (1792–1856), Яношем Бойяи (1802–1860), Карлом Фридрихом Гауссом (1777–1855) и другими [41] привело к возрождению интереса к этой дисциплине, а в 20-м веке Давид Гильберт (1862–1943) использовал аксиоматические рассуждения в попытке обеспечить современную основу геометрии. [42]

Пространства и подпространства

Очки

Точки обычно считаются фундаментальными объектами для построения геометрии. Они могут быть определены свойствами, которыми они должны обладать, как в определении Евклида как «то, что не имеет части», [43] или в синтетической геометрии . В современной математике они обычно определяются как элементы множества , называемого пространством , которое само по себе аксиоматически определено.

Согласно этим современным определениям, каждая геометрическая фигура определяется как набор точек; в синтетической геометрии дело обстоит иначе, поскольку линия является еще одним фундаментальным объектом, который не рассматривается как набор точек, через которые она проходит.

Однако существуют современные геометрии, в которых точки не являются примитивными объектами или даже не имеют точек. [44] [45] Одной из старейших таких геометрий является геометрия Уайтхеда без точек , сформулированная Альфредом Нортом Уайтхедом в 1919–1920 годах.

Линии

Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «равномерно лежит относительно точек на себе». [43] В современной математике, учитывая множество геометрий, понятие линии тесно связано со способом описания геометрии. Например, в аналитической геометрии линия на плоскости часто определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному линейному уравнению , [46] но в более абстрактной обстановке, такой как геометрия инцидентности , линия может быть независимым объектом, отличным от множества точек, которые лежат на ней. [47] В дифференциальной геометрии геодезическая является обобщением понятия линии на искривленные пространства . [48]

Самолеты

В евклидовой геометрии плоскость — это плоская двумерная поверхность, которая простирается бесконечно; [43] определения для других типов геометрий являются обобщениями этого. Плоскости используются во многих областях геометрии. Например, плоскости можно изучать как топологическую поверхность без ссылки на расстояния или углы; [49] ее можно изучать как аффинное пространство , где можно изучать коллинеарность и отношения, но не расстояния; [50] ее можно изучать как комплексную плоскость, используя методы комплексного анализа ; [51] и так далее.

Кривые

Кривая — это одномерный объект, который может быть прямым (как линия) или нет; кривые в двумерном пространстве называются плоскими кривыми , а в трехмерном пространстве — пространственными кривыми . [52]

В топологии кривая определяется функцией из интервала действительных чисел в другое пространство. [49] В дифференциальной геометрии используется то же определение, но требуется, чтобы определяющая функция была дифференцируемой. [53] Алгебраическая геометрия изучает алгебраические кривые , которые определяются как алгебраические многообразия размерности один . [54]

Поверхности

Сфера — это поверхность, которая может быть определена параметрически ( x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ) или неявно ( x 2 + y 2 + z 2 − r 2 = 0 ).

Поверхность — это двумерный объект, такой как сфера или параболоид. [55] В дифференциальной геометрии [53] и топологии [ 49] поверхности описываются двумерными «заплатками» (или окрестностями ), которые собираются диффеоморфизмами или гомеоморфизмами соответственно. В алгебраической геометрии поверхности описываются полиномиальными уравнениями [54 ]

Твердые вещества

В евклидовом пространстве шар — это объем, ограниченный сферой.

Твёрдое тело — это трёхмерный объект, ограниченный замкнутой поверхностью; например, шар — это объём, ограниченный сферой.

Коллекторы

Многообразие — это обобщение понятий кривой и поверхности. В топологии многообразие — это топологическое пространство , где каждая точка имеет окрестность , гомеоморфную евклидову пространству. [49] В дифференциальной геометрии дифференцируемое многообразие — это пространство, где каждая окрестность диффеоморфна евклидову пространству. [53]

Многообразия широко используются в физике, в том числе в общей теории относительности и теории струн . [56]

Углы

Острые (a), тупые (b) и прямые (c) углы. Острые и тупые углы также известны как косые углы.

Евклид определяет плоский угол как наклон друг к другу на плоскости двух линий, которые встречаются друг с другом и не лежат прямо друг относительно друга. [43] В современных терминах угол — это фигура, образованная двумя лучами , называемыми сторонами угла, имеющими общую конечную точку, называемую вершиной угла. [57] Размер угла формализуется как угловая мера .

В евклидовой геометрии углы используются для изучения многоугольников и треугольников , а также сами по себе являются объектом изучения. [43] Изучение углов треугольника или углов в единичной окружности составляет основу тригонометрии . [58]

В дифференциальной геометрии и исчислении углы между плоскими кривыми или пространственными кривыми или поверхностями можно вычислить с помощью производной . [59] [60]

Меры: длина, площадь и объем

Длина , площадь и объем описывают размер или протяженность объекта в одном измерении, двух измерениях и трех измерениях соответственно. [61]

В евклидовой геометрии и аналитической геометрии длина отрезка прямой часто может быть вычислена с помощью теоремы Пифагора . [62]

Площадь и объем могут быть определены как фундаментальные величины, отдельные от длины, или они могут быть описаны и рассчитаны в терминах длин на плоскости или в трехмерном пространстве. [61] Математики нашли много явных формул для площади и формул для объема различных геометрических объектов. В исчислении площадь и объем могут быть определены в терминах интегралов , таких как интеграл Римана [63] или интеграл Лебега . [64]

Другие геометрические меры включают кривизну и компактность .

Метрики и меры

Визуальная проверка теоремы Пифагора для треугольника (3, 4, 5) как в Чжоуби Суаньцзин 500–200 до н.э. Теорема Пифагора является следствием евклидовой метрики .

Понятие длины или расстояния может быть обобщено, что приводит к идее метрик . [65] Например, евклидова метрика измеряет расстояние между точками в евклидовой плоскости , в то время как гиперболическая метрика измеряет расстояние в гиперболической плоскости . Другие важные примеры метрик включают метрику Лоренца специальной теории относительности и полуриманову метрику общей теории относительности . [66]

В другом направлении понятия длины, площади и объема расширяются теорией меры , которая изучает методы присвоения размера или меры множествам , где меры следуют правилам, аналогичным правилам классической площади и объема. [67]

Конгруэнтность и сходство

Конгруэнтность и подобие — это концепции, которые описывают, когда две формы имеют схожие характеристики. [68] В евклидовой геометрии подобие используется для описания объектов, имеющих одинаковую форму, в то время как конгруэнтность используется для описания объектов, которые одинаковы как по размеру, так и по форме. [69] Гильберт в своей работе по созданию более строгой основы для геометрии рассматривал конгруэнтность как неопределенный термин, свойства которого определяются аксиомами .

Конгруэнтность и подобие обобщаются в геометрии преобразований , которая изучает свойства геометрических объектов, сохраняющиеся при различных видах преобразований. [70]

Построение с помощью циркуля и линейки

Классические геометры уделяли особое внимание построению геометрических объектов, которые были описаны каким-либо другим способом. Классически единственными инструментами, используемыми в большинстве геометрических построений, являются циркуль и линейка . [ c] Кроме того, каждое построение должно было быть завершено за конечное число шагов. Однако некоторые проблемы оказалось трудно или невозможно решить только этими средствами, и были найдены гениальные конструкции с использованием невзиса , парабол и других кривых или механических устройств.

Вращение и ориентация

Геометрические концепции вращения и ориентации частично определяют размещение объектов, встроенных в плоскость или в пространство.

Измерение

Снежинка Коха с фрактальной размерностью =log4/log3 и топологической размерностью =1

Традиционная геометрия допускала измерения 1 ( линия или кривая), 2 ( плоскость или поверхность) и 3 (наш окружающий мир, понимаемый как трехмерное пространство ). Более того, математики и физики использовали более высокие измерения в течение почти двух столетий. [71] Одним из примеров математического использования более высоких измерений является конфигурационное пространство физической системы, которое имеет измерение, равное степеням свободы системы . Например, конфигурация винта может быть описана пятью координатами. [72]

В общей топологии понятие размерности было расширено от натуральных чисел до бесконечной размерности ( например, гильбертовых пространств ) и положительных действительных чисел (во фрактальной геометрии ). [73] В алгебраической геометрии размерность алгебраического многообразия получила ряд, по-видимому, различных определений, которые все эквивалентны в наиболее общих случаях. [74]

Симметрия

Замощение гиперболической плоскости​

Тема симметрии в геометрии почти так же стара, как и сама наука геометрия. [75] Симметричные фигуры, такие как круг , правильные многоугольники и платоновы тела, имели глубокое значение для многих древних философов [76] и были подробно исследованы еще до времен Евклида. [39] Симметричные узоры встречаются в природе и были художественно отображены во множестве форм, включая графику Леонардо да Винчи , М. К. Эшера и других. [77] Во второй половине 19 века связь между симметрией и геометрией подверглась тщательному изучению. Эрлангенская программа Феликса Клейна провозгласила , что в очень точном смысле симметрия, выраженная через понятие группы преобразований , определяет то, что такое геометрия . [78] Симметрия в классической евклидовой геометрии представлена ​​конгруэнциями и жесткими движениями, тогда как в проективной геометрии аналогичную роль играют коллинеации , геометрические преобразования , которые переводят прямые линии в прямые. [79] Однако именно в новых геометриях Больяи и Лобачевского, Римана, Клиффорда и Клейна, а также Софуса Ли нашла свое вдохновение идея Клейна «определить геометрию через ее группу симметрии ». [80] Как дискретные, так и непрерывные симметрии играют важную роль в геометрии, первая в топологии и геометрической теории групп , [81] [82] последняя в теории Ли и римановой геометрии . [83] [84]

Другой тип симметрии — принцип двойственности в проективной геометрии , среди прочих областей. Это метафеномен можно грубо описать следующим образом: в любой теореме поменяйте точку с плоскостью , соедините с встретите , лежит в с содержит , и результатом будет столь же истинная теорема. [85] Похожая и тесно связанная форма двойственности существует между векторным пространством и его двойственным пространством . [86]

Современная геометрия

Евклидова геометрия

Евклидова геометрия — это геометрия в ее классическом смысле. [87] Поскольку она моделирует пространство физического мира, она используется во многих научных областях, таких как механика , астрономия , кристаллография , [88] и во многих технических областях, таких как инженерия , [89] архитектура , [90] геодезия , [91] аэродинамика , [92] и навигация . [93] Обязательная образовательная программа большинства стран включает изучение евклидовых понятий, таких как точки , прямые , плоскости , углы , треугольники , конгруэнтность , подобие , объемные фигуры , окружности и аналитическая геометрия . [94]

Евклидовы векторы

Евклидовы векторы используются во множестве приложений в физике и технике, таких как положение , перемещение , деформация , скорость , ускорение , сила и т. д.

Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия использует инструменты исчисления для изучения задач, связанных с кривизной.

Дифференциальная геометрия использует методы исчисления и линейной алгебры для изучения проблем геометрии. [95] Она применяется в физике , [96] эконометрике , [97] и биоинформатике , [98] среди прочих.

В частности, дифференциальная геометрия важна для математической физики из-за постулата общей теории относительности Альберта Эйнштейна о том , что Вселенная искривлена . [99] Дифференциальная геометрия может быть либо внутренней (то есть рассматриваемые ею пространства представляют собой гладкие многообразия, геометрическая структура которых управляется римановой метрикой , которая определяет, как измеряются расстояния вблизи каждой точки), либо внешней (где изучаемый объект является частью некоторого окружающего плоского евклидова пространства). [100]

Неевклидова геометрия

Поведение линий с общим перпендикуляром в каждом из трех типов геометрии
В математике неевклидова геометрия состоит из двух геометрий, основанных на аксиомах , тесно связанных с теми, которые определяют евклидову геометрию . Поскольку евклидова геометрия лежит на пересечении метрической геометрии и аффинной геометрии , неевклидова геометрия возникает либо путем замены постулата параллельности альтернативой, либо путем ослабления метрического требования. В первом случае получаются гиперболическая геометрия и эллиптическая геометрия , традиционные неевклидовы геометрии. Когда метрическое требование ослаблено, то возникают аффинные плоскости, связанные с планарными алгебрами, которые приводят к кинематическим геометриям, которые также называются неевклидовой геометрией.

Топология

Утолщение трилистника

Топология — это область, изучающая свойства непрерывных отображений , [101] и может считаться обобщением евклидовой геометрии. [102] На практике топология часто означает работу с крупномасштабными свойствами пространств, такими как связность и компактность . [49]

Область топологии, получившая широкое развитие в 20 веке, в техническом смысле является типом геометрии преобразований , в которой преобразования являются гомеоморфизмами . [103] Это часто выражалось в форме высказывания «топология — это геометрия резинового листа». Подобласти топологии включают геометрическую топологию , дифференциальную топологию , алгебраическую топологию и общую топологию . [104]

Алгебраическая геометрия

Квинтика трехмерное многообразие Калаби–Яу

Алгебраическая геометрия по сути является изучением с помощью алгебраических методов некоторых геометрических фигур, называемых алгебраическими множествами , и определяемых как общие нули многомерных многочленов . [105] Алгебраическая геометрия стала автономной подобластью геометрии около  1900 года с теоремой, называемой Nullstellensatz Гильберта , которая устанавливает сильное соответствие между алгебраическими множествами и идеалами многочленных колец . Это привело к параллельному развитию алгебраической геометрии и ее алгебраического аналога, называемого коммутативной алгеброй . [106] С конца 1950-х до середины 1970-х годов алгебраическая геометрия претерпела крупное фундаментальное развитие с введением Александром Гротендиком теории схем , которая позволяет использовать топологические методы , включая теории когомологий в чисто алгебраическом контексте. [106] Теория схем позволила решить множество сложных проблем не только в геометрии, но и в теории чисел . Доказательство Уайлсом Великой теоремы Ферма является известным примером давней проблемы теории чисел , решение которой использует теорию схем и ее расширения, такие как теория стеков . Одна из семи проблем Премии тысячелетия , гипотеза Ходжа , является вопросом алгебраической геометрии. [107]

Алгебраическая геометрия имеет приложения во многих областях, включая криптографию [108] и теорию струн . [109]

Сложная геометрия

Комплексная геометрия изучает природу геометрических структур, смоделированных на комплексной плоскости или возникающих из нее . [110] [111] [112] Комплексная геометрия лежит на пересечении дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и анализа нескольких комплексных переменных и нашла применение в теории струн и зеркальной симметрии . [113]

Комплексная геометрия впервые появилась как отдельная область изучения в работе Бернхарда Римана при изучении римановых поверхностей . [114] [115] [116] Работа в духе Римана была выполнена итальянской школой алгебраической геометрии в начале 1900-х годов. Современное рассмотрение комплексной геометрии началось с работы Жана-Пьера Серра , который ввел понятие пучков в предмет и осветил связи между комплексной геометрией и алгебраической геометрией. [117] [118] Основными объектами изучения в комплексной геометрии являются комплексные многообразия , комплексные алгебраические многообразия и комплексные аналитические многообразия , а также голоморфные векторные расслоения и когерентные пучки над этими пространствами. Особыми примерами пространств, изучаемых в комплексной геометрии, являются римановы поверхности и многообразия Калаби–Яу , и эти пространства находят применение в теории струн. В частности, мировые листы струн моделируются римановыми поверхностями, а теория суперструн предсказывает, что дополнительные 6 измерений 10-мерного пространства-времени могут быть смоделированы многообразиями Калаби–Яу.

Дискретная геометрия

Дискретная геометрия включает в себя изучение различных упаковок сфер .

Дискретная геометрия — это предмет, тесно связанный с выпуклой геометрией . [119] [120] [121] Она в основном занимается вопросами относительного положения простых геометрических объектов, таких как точки, линии и окружности. Примерами служат изучение упаковок сфер , триангуляции , гипотезы Кнезера-Поульсена и т. д. [122] [123] Она разделяет многие методы и принципы с комбинаторикой .

Вычислительная геометрия

Вычислительная геометрия занимается алгоритмами и их реализациями для манипулирования геометрическими объектами. Важные проблемы исторически включали задачу коммивояжера , минимальные остовные деревья , удаление скрытых линий и линейное программирование . [124]

Хотя это молодая область геометрии, она имеет множество приложений в компьютерном зрении , обработке изображений , автоматизированном проектировании , медицинской визуализации и т. д. [125]

Геометрическая теория групп

Граф Кэли свободной группы с двумя образующими a и b

Геометрическая теория групп использует крупномасштабные геометрические методы для изучения конечно порождённых групп . [126] Она тесно связана с низкомерной топологией , например, в доказательстве Григория Перельмана гипотезы геометризации , которая включала доказательство гипотезы Пуанкаре , проблемы премии тысячелетия . [127]

Геометрическая теория групп часто вращается вокруг графа Кэли , который является геометрическим представлением группы. Другие важные темы включают квазиизометрии , группы Громова-гиперболические и группы Артина с прямым углом . [126] [128]

Выпуклая геометрия

Выпуклая геометрия исследует выпуклые формы в евклидовом пространстве и его более абстрактных аналогах, часто используя методы действительного анализа и дискретной математики . [129] Она тесно связана с выпуклым анализом , оптимизацией и функциональным анализом и имеет важные приложения в теории чисел .

Выпуклая геометрия восходит к античности. [129] Архимед дал первое известное точное определение выпуклости. Изопериметрическая задача , повторяющееся понятие в выпуклой геометрии, также изучалась греками, включая Зенодора . Архимед, Платон , Евклид , а позже Кеплер и Коксетер изучали выпуклые многогранники и их свойства. С 19 века математики изучали другие области выпуклой математики, включая многогранники более высокой размерности, объем и площадь поверхности выпуклых тел, гауссову кривизну , алгоритмы , мозаики и решетки .

Приложения

Геометрия нашла применение во многих областях, некоторые из которых описаны ниже.

Искусство

Медресе Бу Инания, Фес, Марокко, мозаичные плитки зеллиг, образующие сложные геометрические мозаики.

Математика и искусство связаны между собой различными способами. Например, теория перспективы показала, что геометрия — это нечто большее, чем просто метрические свойства фигур: перспектива — это источник проективной геометрии . [130]

Художники давно используют концепции пропорций в дизайне. Витрувий разработал сложную теорию идеальных пропорций для человеческой фигуры. [131] Эти концепции использовались и адаптировались художниками от Микеланджело до современных художников комиксов. [132]

Золотое сечение — это особая пропорция, которая сыграла противоречивую роль в искусстве. Часто утверждается, что это наиболее эстетически приятное соотношение длин, и часто утверждается, что оно включено в известные произведения искусства, хотя наиболее надежные и недвусмысленные примеры были сделаны намеренно художниками, знающими об этой легенде. [133]

Замощения или мозаики использовались в искусстве на протяжении всей истории. Исламское искусство часто использует мозаики, как и искусство М. К. Эшера . [134] В своих работах Эшер также использовал гиперболическую геометрию .

Сезанн выдвинул теорию, что все изображения могут быть построены из сферы , конуса и цилиндра . Это до сих пор используется в теории искусства сегодня, хотя точный список форм варьируется от автора к автору. [135] [136]

Архитектура

Геометрия имеет множество применений в архитектуре. Фактически, было сказано, что геометрия лежит в основе архитектурного дизайна. [137] [138] Приложения геометрии в архитектуре включают использование проективной геометрии для создания вынужденной перспективы , [139] использование конических сечений при построении куполов и подобных объектов, [90] использование тесселяций , [90] и использование симметрии. [90]

Физика

Область астрономии , особенно в том, что касается картографирования положений звезд и планет на небесной сфере и описания взаимосвязи между движениями небесных тел, служила важным источником геометрических задач на протяжении всей истории. [140]

Риманова геометрия и псевдориманова геометрия используются в общей теории относительности . [141] Теория струн использует несколько вариантов геометрии, [142] как и квантовая теория информации . [143]

Другие области математики

Пифагорейцы открыли, что стороны треугольника могут иметь несоизмеримые длины.

Исчисление находилось под сильным влиянием геометрии. [30] Например, введение координат Рене Декартом и сопутствующее развитие алгебры ознаменовали новый этап для геометрии, поскольку геометрические фигуры, такие как плоские кривые , теперь могли быть представлены аналитически в виде функций и уравнений. Это сыграло ключевую роль в появлении исчисления бесконечно малых в 17 веке. Аналитическая геометрия продолжает оставаться основой предисчисления и учебной программы по исчислению. [144] [145]

Другая важная область применения — теория чисел . [146] В Древней Греции пифагорейцы рассматривали роль чисел в геометрии. Однако открытие несоизмеримых длин противоречило их философским взглядам. [147] С 19 века геометрия использовалась для решения задач теории чисел, например, через геометрию чисел или , в последнее время, теорию схем , которая использовалась в доказательстве Уайлсом Великой теоремы Ферма . [148]

Смотрите также

Списки
Похожие темы
Другие приложения

Примечания

  1. ^ До 19 века в геометрии доминировало предположение, что все геометрические построения являются евклидовыми. В 19 веке и позже это было оспорено развитием гиперболической геометрии Лобачевским и других неевклидовых геометрий Гауссом и другими. Затем было осознано, что неявно неевклидова геометрия появлялась на протяжении всей истории, включая работы Дезарга в 17 веке, вплоть до неявного использования сферической геометрии для понимания геодезии Земли и навигации по океанам со времен античности.
  2. ^ Пифагоровы тройки — это тройки целых чисел со свойством: . Таким образом, , , и т.д.
  3. ^ У древних греков были некоторые конструкции с использованием других инструментов.

Ссылки

  1. ^ "Геометрия - Формулы, Примеры | Плоская и объемная геометрия". Cuemath . Получено 31 августа 2023 г. .
  2. ^ Винченцо Де Ризи (2015). Математизация пространства: объекты геометрии от античности до раннего Нового времени. Биркхойзер. стр. 1–. ISBN 978-3-319-12102-4. Архивировано из оригинала 20 февраля 2021 . Получено 14 сентября 2019 .
  3. ^ ab Tabak, John (2014). Геометрия: язык пространства и формы . Infobase Publishing. стр. xiv. ISBN 978-0-8160-4953-0.
  4. ^ Уолтер А. Мейер (2006). Геометрия и ее приложения. Elsevier. ISBN 978-0-08-047803-6. Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 г. . Получено 14 сентября 2019 г. .
  5. ^ Фриберг, Йоран (1981). «Методы и традиции вавилонской математики». Historia Mathematica . 8 (3): 277–318. doi : 10.1016/0315-0860(81)90069-0 .
  6. ^ Нойгебауэр, Отто (1969) [1957]. "Глава IV Египетская математика и астрономия". Точные науки в древности (2-е изд.). Dover Publications . стр. 71–96. ISBN 978-0-486-22332-2. Архивировано из оригинала 14 августа 2020 . Получено 27 февраля 2021 ..
  7. ^ (Бойер 1991, «Египет» стр. 19)
  8. ^ Ossendrijver, Mathieu (29 января 2016 г.). «Древние вавилонские астрономы вычислили положение Юпитера из площади под графиком времени-скорости». Science . 351 (6272): 482–484. Bibcode :2016Sci...351..482O. doi :10.1126/science.aad8085. PMID  26823423. S2CID  206644971.
  9. ↑ Депюйдт, Лео (1 января 1998 г.). «Гномоны в Мероэ и ранняя тригонометрия». Журнал египетской археологии . 84 : 171–180. doi :10.2307/3822211. JSTOR  3822211.
  10. ↑ Slayman, Andrew (27 мая 1998 г.). «Неолитические наблюдатели за небом». Архив журнала Archaeology Magazine . Архивировано из оригинала 5 июня 2011 г. Получено 17 апреля 2011 г.
  11. ^ (Бойер 1991, «Иония и пифагорейцы», стр. 43)
  12. ^ Ивс, Говард, Введение в историю математики , Сондерс, 1990, ISBN 0-03-029558-0 . 
  13. ^ Курт фон Фриц (1945). «Открытие несоизмеримости Гиппасом из Метапонта». Классика в истории греческой математики . Анналы математики; Бостонские исследования философии науки. Том 240. С. 211–231. doi :10.1007/978-1-4020-2640-9_11. ISBN 978-90-481-5850-8. JSTOR  1969021.
  14. ^ Джеймс Р. Чойк (1980). «Пентаграмма и открытие иррационального числа». The Two-Year College Mathematics Journal . 11 (5): 312–316. doi :10.2307/3026893. JSTOR  3026893. Архивировано из оригинала 9 сентября 2022 г. Получено 9 сентября 2022 г.
  15. ^ (Бойер 1991, «Эпоха Платона и Аристотеля», стр. 92)
  16. ^ (Бойер 1991, «Евклид Александрийский» стр. 119)
  17. ^ (Бойер 1991, «Евклид Александрийский» стр. 104)
  18. ^ Говард Ивс , Введение в историю математики , Сондерс, 1990, ISBN 0-03-029558-0 стр. 141: «Никакая работа, за исключением Библии , не использовалась так широко...» 
  19. ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (февраль 1996). "История исчисления". Университет Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 15 июля 2007 года . Получено 7 августа 2007 года .
  20. ^ Стаал, Фриц (1999). «Греческая и ведическая геометрия». Журнал индийской философии . 27 (1–2): 105–127. doi :10.1023/A:1004364417713. S2CID  170894641.
  21. ^ (Кук 2005, стр. 198): «Арифметическое содержание сутр Шульва состоит из правил нахождения пифагорейских троек, таких как (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) и (12, 35, 37). Неясно, какое практическое применение имели эти арифметические правила. Лучшая гипотеза заключается в том, что они были частью религиозного ритуала. В индуистском доме требовалось иметь три огня, горящих на трех разных алтарях. Три алтаря должны были быть разной формы, но все три должны были иметь одинаковую площадь. Эти условия приводили к определенным «диофантовым» проблемам, частным случаем которых является генерация пифагорейских троек, чтобы сделать одно квадратное целое число равным сумме двух других».
  22. ^ (Хаяси 2005, стр. 371)
  23. ^ ab (Хаяси 2003, стр. 121–122)
  24. ^ Рашид, Рушди (1994). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй. Boston Studies in the Philosophy of Science. Vol. 156. p. 35. doi :10.1007/978-94-017-3274-1. ISBN 978-0-7923-2565-9. OCLC  29181926.
  25. ^ (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" стр. 241–242) "Омар Хайям (ок. 1050–1123), "изготовитель палаток", написал Алгебру , которая превзошла алгебру аль-Хорезми и включила уравнения третьей степени. Как и его арабские предшественники, Омар Хайям дал квадратным уравнениям как арифметические, так и геометрические решения; для общих кубических уравнений он считал (ошибочно, как позже показал XVI век), что арифметические решения невозможны; поэтому он дал только геометрические решения. Схема использования пересекающихся коник для решения кубических уравнений использовалась ранее Менехмом, Архимедом и Альхазаном, но Омар Хайям предпринял похвальный шаг, обобщив метод для охвата всех уравнений третьей степени (имеющих положительные корни). .. Для уравнений более высокой степени, чем три, Омар Хайям, очевидно, не представлял себе подобных геометрических методы, поскольку пространство не содержит более трех измерений, ... Одним из самых плодотворных вкладов арабского эклектизма была тенденция к сокращению разрыва между числовой и геометрической алгеброй. Решающий шаг в этом направлении был сделан гораздо позже Декартом, но Омар Хайям двигался в этом направлении, когда писал: «Тот, кто думает, что алгебра — это трюк для получения неизвестных, думал это напрасно. Не следует обращать внимания на тот факт, что алгебра и геометрия различны по внешнему виду. Алгебры — это геометрические факты, которые доказаны».
  26. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Аль-Махани». MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
  27. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Ас-Саби Сабит ибн Курра аль-Харрани». MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
  28. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Омар Хайям». Архив истории математики Мактьютора . Университет Сент-Эндрюс .
  29. ↑ Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), «Геометрия», в книге Рошди Рашеда, ред., Энциклопедия истории арабской науки , т. 2, стр. 447–494 [470], Routledge , Лондон и Нью-Йорк:

    «Три ученых, Ибн аль-Хайсам, Хайям и ат-Туси, внесли наиболее значительный вклад в эту отрасль геометрии, важность которой была полностью признана только в XIX веке. По существу, их предложения относительно свойств четырехугольников, которые они рассматривали, предполагая, что некоторые из углов этих фигур были острыми или тупыми, воплощали в себе первые несколько теорем гиперболической и эллиптической геометрий. Их другие предложения показали, что различные геометрические утверждения были эквивалентны постулату Евклида V. Чрезвычайно важно, что эти ученые установили взаимную связь между этим постулатом и суммой углов треугольника и четырехугольника. Своими работами по теории параллельных прямых арабские математики оказали непосредственное влияние на соответствующие исследования своих европейских коллег. Первая европейская попытка доказать постулат о параллельных прямых, предпринятая Витело, польским ученым XIII века при переработке « Книги о «Оптика» ( Kitab al-Manazir ) — несомненно, была подсказана арабскими источниками. Доказательства, выдвинутые в XIV веке еврейским ученым Леви бен Герсоном, жившим на юге Франции, и вышеупомянутым Альфонсо из Испании, непосредственно граничат с доказательством Ибн аль-Хайтама. Выше мы показали, что « Изложение Эвклида» Псевдо-Туси стимулировало исследования теории параллельных линий как Дж. Уоллиса, так и Дж. Саккери».

  30. ^ ab Карл Б. Бойер (2012). История аналитической геометрии. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15451-0. Архивировано из оригинала 26 декабря 2019 . Получено 18 сентября 2019 .
  31. ^ CH Edwards Jr. (2012). Историческое развитие исчисления. Springer Science & Business Media. стр. 95. ISBN 978-1-4612-6230-5. Архивировано из оригинала 29 декабря 2019 . Получено 18 сентября 2019 .
  32. ^ Джудит В. Филд ; Джереми Грей (2012). Геометрические работы Жирара Дезарга. Springer Science & Business Media. стр. 43. ISBN 978-1-4613-8692-6. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 . Получено 18 сентября 2019 .
  33. ^ CR Wylie (2011). Введение в проективную геометрию. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-14170-1. Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 . Получено 18 сентября 2019 .
  34. ^ Джереми Грей (2011). Миры из ничего: курс истории геометрии в 19 веке. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-85729-060-1. Архивировано из оригинала 7 декабря 2019 . Получено 18 сентября 2019 .
  35. ^ Эдуардо Байро-Коррочано (2018). Приложения геометрической алгебры. Том I: Компьютерное зрение, графика и нейрокомпьютер. Springer. стр. 4. ISBN 978-3-319-74830-6. Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 . Получено 18 сентября 2019 .
  36. ^ Моррис Клайн (1990). Математическая мысль от древних времен до наших дней: Том 3. США: Oxford University Press. С. 1010–. ISBN 978-0-19-506137-6. Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 г. . Получено 14 сентября 2019 г. .
  37. ^ Виктор Дж. Кац (2000). Использование истории для обучения математике: международная перспектива. Cambridge University Press. стр. 45–. ISBN 978-0-88385-163-0. Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 г. . Получено 14 сентября 2019 г. .
  38. ^ Дэвид Берлински (2014). Король бесконечного пространства: Евклид и его элементы . Базовые книги. ISBN 978-0-465-03863-3.
  39. ^ ab Robin Hartshorne (2013). Геометрия: Евклид и далее. Springer Science & Business Media. стр. 29–. ISBN 978-0-387-22676-7. Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 г. . Получено 14 сентября 2019 г. .
  40. ^ Пэт Хербст; Таро Фудзита; Стефан Хальвершайд; Майкл Вайс (2017). Изучение и преподавание геометрии в средних школах: перспектива моделирования. Тейлор и Фрэнсис. стр. 20–. ISBN 978-1-351-97353-3. Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 г. . Получено 14 сентября 2019 г. .
  41. ^ IM Yaglom (2012). Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа: элементарное описание галилеевой геометрии и галилеевского принципа относительности. Springer Science & Business Media. стр. 6–. ISBN 978-1-4612-6135-3. Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 г. . Получено 14 сентября 2019 г. .
  42. ^ Одун Холм (2010). Геометрия: наше культурное наследие. Springer Science & Business Media. стр. 254–. ISBN 978-3-642-14441-7. Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 г. . Получено 14 сентября 2019 г. .
  43. ^ abcde Элементы Евклида – Все тринадцать книг в одном томе , основано на переводе Хита, Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7 . 
  44. ^ Gerla, G. (1995). "Бесточечные геометрии" (PDF) . В Buekenhout, F.; Kantor, W. (ред.). Справочник по геометрии инцидентности: здания и фундаменты . Северная Голландия. С. 1015–1031. Архивировано из оригинала (PDF) 17 июля 2011 г.
  45. ^ Кларк, Боумен Л. (январь 1985). «Индивидуумы и точки». Notre Dame Journal of Formal Logic . 26 (1): 61–75. doi : 10.1305/ndjfl/1093870761 .
  46. ^ Джон Кейси (1885). Аналитическая геометрия точки, прямой, окружности и конических сечений.
  47. ^ Фрэнсис Бюкенхаут, ред. (1995). Справочник по геометрии инцидентности: здания и фундаменты. Амстердам: Elsevier. ISBN 978-0-444-88355-1. OCLC  162589397. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 г. . Получено 9 сентября 2022 г. .
  48. ^ "geodesic – определение geodesic на английском языке из Оксфордского словаря". OxfordDictionaries.com . Архивировано из оригинала 15 июля 2016 года . Получено 20 января 2016 года .
  49. ^ abcde Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология. Том 2 (2-е изд.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 0-13-181629-2. OCLC  42683260.
  50. ^ Шмелёв, Ванда (1983). От аффинной к евклидовой геометрии. Springer. ISBN 978-90-277-1243-1. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 г. . Получено 9 сентября 2022 г. .
  51. ^ Альфорс, Ларс В. (1979). Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 9780070006577. OCLC  4036464. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 г. Получено 9 сентября 2022 г.
  52. ↑ Бейкер, Генри Фредерик. Принципы геометрии. Т. 2. Архив CUP, 1954.
  53. ^ abc Кармо, Манфредо Пердигао ду (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Том 2. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7. OCLC  1529515. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 г. . Получено 9 сентября 2022 г. .
  54. ^ ab Mumford, David (1999). Красная книга многообразий и схем включает Мичиганские лекции о кривых и их якобианах (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-63293-1. Збл  0945.14001.
  55. ^ Бриггс, Уильям Л. и Лайл Кокран Исчисление. «Ранние трансценденталисты». ISBN 978-0-321-57056-7 . 
  56. ^ Яу, Шинг-Тунг ; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной . Базовые книги. ISBN 978-0-465-02023-2 . 
  57. ^ Сидоров, ЛА (2001) [1994]. «Угол». Энциклопедия математики . Издательство EMS .
  58. ^ Гельфанд, ИМ (2001). Тригонометрия. Марк Э. Саул. Бостон: Birkhäuser. С. 1–20. ISBN 0-8176-3914-4. OCLC  41355833. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 г. . Получено 10 сентября 2022 г. .
  59. ^ Стюарт, Джеймс (2012). Исчисление: Ранние трансцендентали , 7-е изд., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49790-9 
  60. ^ Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42627-1..
  61. ^ ab Стивен А. Триз (2018). История и измерение основных и производных единиц. Springer International Publishing. стр. 101–. ISBN 978-3-319-77577-7. Архивировано из оригинала 30 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  62. ^ Джеймс У. Кэннон (2017). Геометрия длин, площадей и объемов. Американское математическое общество. стр. 11. ISBN 978-1-4704-3714-5. Архивировано из оригинала 31 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  63. ^ Гилберт Стрэнг (1991). Исчисление. SIAM. ISBN 978-0-9614088-2-4. Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  64. ^ HS Bear (2002). Учебник по интеграции Лебега. Academic Press. ISBN 978-0-12-083971-1. Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  65. ^ Дмитрий Бураго, Ю. Д. Бураго , Сергей Иванов, Курс метрической геометрии , Американское математическое общество, 2001, ISBN 0-8218-2129-6 . 
  66. ^ Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-87033-5.
  67. ^ Теренс Тао (2011). Введение в теорию меры. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-6919-2. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  68. ^ Шломо Либескинд (2008). Евклидова и трансформационная геометрия: дедуктивное исследование. Jones & Bartlett Learning. стр. 255. ISBN 978-0-7637-4366-6. Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  69. ^ Марк А. Фрейтаг (2013). Математика для учителей начальной школы: процессный подход. Cengage Learning. стр. 614. ISBN 978-0-618-61008-2. Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  70. ^ Джордж Э. Мартин (2012). Геометрия преобразований: Введение в симметрию. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-5680-9. Архивировано из оригинала 7 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  71. ^ Марк Блэклок (2018). Возникновение четвертого измерения: высшее пространственное мышление в конце века. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-875548-7. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 . Получено 18 сентября 2019 .
  72. ^ Чарльз Джаспер Джоли (1895). Документы. Академия. стр. 62–. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Получено 18 сентября 2019 года .
  73. ^ Роджер Темам (2013). Бесконечномерные динамические системы в механике и физике. Springer Science & Business Media. стр. 367. ISBN 978-1-4612-0645-3. Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 . Получено 18 сентября 2019 .
  74. ^ Билл Джейкоб; Цит-Юэн Лам (1994). Последние достижения в области вещественной алгебраической геометрии и квадратичных форм: Труды года RAGSQUAD, Беркли, 1990–1991. Американское математическое общество. стр. 111. ISBN 978-0-8218-5154-8. Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 . Получено 18 сентября 2019 .
  75. ^ Ян Стюарт (2008). Почему красота — это истина: история симметрии. Basic Books. стр. 14. ISBN 978-0-465-08237-7. Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 . Получено 23 сентября 2019 .
  76. ^ Стахов Алексей (2009). Математика Гармонии: от Евклида до современной математики и компьютерных наук. World Scientific. стр. 144. ISBN 978-981-4472-57-9. Архивировано из оригинала 29 декабря 2019 . Получено 23 сентября 2019 .
  77. ^ Вернер Хан (1998). Симметрия как принцип развития в природе и искусстве. World Scientific. ISBN 978-981-02-2363-2. Архивировано из оригинала 1 января 2020 . Получено 23 сентября 2019 .
  78. ^ Брайан Дж. Кантвелл (2002). Введение в анализ симметрии. Cambridge University Press. стр. 34. ISBN 978-1-139-43171-2. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 . Получено 23 сентября 2019 .
  79. ^ Б. Розенфельд; Билл Вибе (2013). Геометрия групп Ли. Springer Science & Business Media. стр. 158 и далее. ISBN 978-1-4757-5325-7. Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 . Получено 23 сентября 2019 .
  80. ^ Питер Песич (2007). За пределами геометрии: классические работы от Римана до Эйнштейна. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-45350-7. Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 г. . Получено 23 сентября 2019 г. .
  81. ^ Мичио Каку (2012). Струны, конформные поля и топология: введение. Springer Science & Business Media. стр. 151. ISBN 978-1-4684-0397-8. Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 . Получено 23 сентября 2019 .
  82. ^ Младен Бествина; Михах Сагеев; Карен Фогтманн (2014). Геометрическая теория групп. Американское математическое общество. стр. 132. ISBN 978-1-4704-1227-2. Архивировано из оригинала 29 декабря 2019 . Получено 23 сентября 2019 .
  83. ^ WH. Steeb (1996). Непрерывные симметрии, алгебры Ли, дифференциальные уравнения и компьютерная алгебра. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-310-503-4. Архивировано из оригинала 26 декабря 2019 . Получено 23 сентября 2019 .
  84. ^ Чарльз В. Мизнер (2005). Направления в общей теории относительности: Том 1: Труды Международного симпозиума 1993 года, Мэриленд: Доклады в честь Чарльза Мизнера. Cambridge University Press. стр. 272. ISBN 978-0-521-02139-5. Архивировано из оригинала 26 декабря 2019 . Получено 23 сентября 2019 .
  85. ^ Линней Уэйланд Доулинг (1917). Проективная геометрия. McGraw-Hill book Company, Incorporated. стр. 10.
  86. ^ G. Gierz (2006). Расслоения топологических векторных пространств и их дуальность. Springer. стр. 252. ISBN 978-3-540-39437-2. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 . Получено 23 сентября 2019 .
  87. ^ Роберт Э. Баттс; Дж. Р. Браун (2012). Конструктивизм и наука: очерки современной немецкой философии. Springer Science & Business Media. стр. 127–. ISBN 978-94-009-0959-5. Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 г. . Получено 20 сентября 2019 г. .
  88. ^ Science. Moses King. 1886. стр. 181–. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 года . Получено 20 сентября 2019 года .
  89. ^ W. Abbot (2013). Практическая геометрия и инженерная графика: учебник для студентов инженерных и других специальностей. Springer Science & Business Media. стр. 6–. ISBN 978-94-017-2742-6. Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 . Получено 20 сентября 2019 .
  90. ^ abcd Джордж Л. Херси (2001). Архитектура и геометрия в эпоху барокко. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-32783-9. Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 . Получено 20 сентября 2019 .
  91. ^ П. Ваничек; Э. Я. Краковский (2015). Геодезия: Концепции. Эльзевир. п. 23. ISBN 978-1-4832-9079-9. Архивировано из оригинала 31 декабря 2019 . Получено 20 сентября 2019 .
  92. ^ Рассел М. Каммингс; Скотт А. Мортон; Уильям Х. Мейсон; Дэвид Р. Макдэниел (2015). Прикладная вычислительная аэродинамика. Cambridge University Press. стр. 449. ISBN 978-1-107-05374-8. Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 г. . Получено 20 сентября 2019 г. .
  93. ^ Рой Уильямс (1998). Геометрия навигации. Horwood Pub. ISBN 978-1-898563-46-4. Архивировано из оригинала 7 декабря 2019 . Получено 20 сентября 2019 .
  94. ^ Шмидт, В.; Хуан, Р.; Коган, Леланд С. (2002). «Последовательная учебная программа: случай математики». Американский педагог . 26 (2): 10–26. S2CID  118964353.
  95. ^ Gerard Walschap (2015). Многомерное исчисление и дифференциальная геометрия. De Gruyter. ISBN 978-3-11-036954-0. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 . Получено 23 сентября 2019 .
  96. ^ Харли Фландерс (2012). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13961-6. Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 г. . Получено 23 сентября 2019 г. .
  97. ^ Пол Марриотт; Марк Салмон (2000). Приложения дифференциальной геометрии к эконометрике. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65116-5. Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 г. . Получено 23 сентября 2019 г. .
  98. ^ Мэтью Хе; Сергей Петухов (2011). Математика биоинформатики: теория, методы и приложения. John Wiley & Sons. стр. 106. ISBN 978-1-118-09952-0. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 . Получено 23 сентября 2019 .
  99. ^ PAM Dirac (2016). Общая теория относительности. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8419-3. Архивировано из оригинала 26 декабря 2019 . Получено 23 сентября 2019 .
  100. ^ Нихат Ай; Юрген Йост; Хонг Ван Ле; Лоренц Шваххофер (2017). Информационная геометрия. Спрингер. п. 185. ИСБН 978-3-319-56478-4. Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 . Получено 23 сентября 2019 .
  101. ^ Мартин Д. Кроссли (2011). Essential Topology. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-782-7. Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 . Получено 24 сентября 2019 .
  102. ^ Чарльз Нэш; Сиддхартха Сен (1988). Топология и геометрия для физиков. Elsevier. стр. 1. ISBN 978-0-08-057085-3. Архивировано из оригинала 26 декабря 2019 . Получено 24 сентября 2019 .
  103. ^ Джордж Э. Мартин (1996). Геометрия преобразований: Введение в симметрию. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90636-2. Архивировано из оригинала 22 декабря 2019 . Получено 24 сентября 2019 .
  104. ^ JP May (1999). Краткий курс алгебраической топологии. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-51183-2. Архивировано из оригинала 23 декабря 2019 . Получено 24 сентября 2019 .
  105. ^ Робин Хартшорн (2013). Алгебраическая геометрия. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3849-0. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 . Получено 24 сентября 2019 .
  106. ^ ab Жан Дьедонне (1985). История алгебраической геометрии. Перевод Джудит Д. Салли. CRC Press. ISBN 978-0-412-99371-8. Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 . Получено 24 сентября 2019 .
  107. ^ Джеймс Карлсон; Джеймс А. Карлсон; Артур Джаффе; Эндрю Уайлс (2006). Проблемы премии тысячелетия. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3679-8. Архивировано из оригинала 30 мая 2016 . Получено 24 сентября 2019 .
  108. ^ Эверетт В. Хау; Кристин Э. Лаутер ; Джуди Л. Уокер (2017). Алгебраическая геометрия для теории кодирования и криптографии: IPAM, Лос-Анджелес, Калифорния, февраль 2016 г. Springer. ISBN 978-3-319-63931-4. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 . Получено 24 сентября 2019 .
  109. ^ Маркос Марино; Майкл Таддеус; Рави Вакил (2008). Перечислимые инварианты в алгебраической геометрии и теории струн: Лекции, прочитанные на летней школе CIME, состоявшейся в Четраро, Италия, 6–11 июня 2005 г. Springer. ISBN 978-3-540-79814-9. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 . Получено 24 сентября 2019 .
  110. ^ Хайбрехтс, Дэниел (2005). Сложная геометрия: введение. Берлин: Шпрингер. ISBN 9783540266877. OCLC  209857590. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 г. . Получено 10 сентября 2022 г. .
  111. ^ Гриффитс, П. и Харрис, Дж. (2014). Принципы алгебраической геометрии. John Wiley & Sons.
  112. ^ Уэллс, Р. О. младший (2008). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 65. O. García-Prada (3-е изд.). New York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-0-387-73892-5. ISBN 9780387738918. OCLC  233971394. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 г. . Получено 9 сентября 2022 г. .
  113. ^ Хори, К., Томас, Р., Кац, С., Вафа, К., Пандхарипанде, Р., Клемм, А., ... и Заслоу, Э. (2003). Зеркальная симметрия (т. 1). Американское математическое общество.
  114. ^ Форстер, О. (2012). Лекции по римановым поверхностям (т. 81). Springer Science & Business Media.
  115. ^ Миранда, Р. (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности (т. 5). Американское математическое общество.
  116. ^ Дональдсон, СК (2011). Римановы поверхности. Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-154584-9. OCLC  861200296. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 г. . Получено 9 сентября 2022 г. .
  117. ^ Серр, JP (1955). Faisceaux Algébriques Coherents. Анналы математики, 197–278.
  118. ^ Серр, JP (1956). Геометрия алгебраическая и аналитическая геометрия. В «Анналах Института Фурье» (т. 6, стр. 1–42).
  119. ^ Иржи Матушек (2013). Лекции по дискретной геометрии. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-0039-7. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  120. ^ Чуанмин Цзун (2006). Куб — окно в выпуклую и дискретную геометрию. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85535-8. Архивировано из оригинала 23 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  121. ^ Питер М. Грубер (2007). Выпуклая и дискретная геометрия. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-71133-9. Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  122. ^ Satyan L. Devadoss ; Joseph O'Rourke (2011). Дискретная и вычислительная геометрия. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3898-1. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  123. ^ Карой Бездек (2010). Классические темы дискретной геометрии. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-0600-7. Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  124. ^ Франко П. Препарата ; Майкл И. Шамос (2012). Вычислительная геометрия: Введение. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1098-6. Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  125. ^ Сяньфэн Дэвид Гу; Шинг-Тунг Яу (2008). Вычислительная конформная геометрия. Международная пресса. ISBN 978-1-57146-171-1. Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  126. ^ ab Clara Löh (2017). Геометрическая теория групп: Введение. Springer. ISBN 978-3-319-72254-2. Архивировано из оригинала 29 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  127. ^ Джон Морган; Ганг Тянь (2014). Гипотеза геометризации. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-5201-9. Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  128. ^ Дэниел Т. Уайз (2012). От Ричеса до Раагса: 3-многообразия, прямоугольные группы Артина и кубическая геометрия: 3-многообразия, прямоугольные группы Артина и кубическая геометрия. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-8800-1. Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  129. ^ ab Gerard Meurant (2014). Справочник по выпуклой геометрии. Elsevier Science. ISBN 978-0-08-093439-6. Архивировано из оригинала 1 сентября 2021 г. . Получено 24 сентября 2019 г. .
  130. ^ Юрген Рихтер-Геберт (2011). Перспективы проективной геометрии: путеводитель по реальной и комплексной геометрии. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-17286-1. Архивировано из оригинала 29 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  131. ^ Кимберли Элам (2001). Геометрия дизайна: исследования пропорций и композиции. Princeton Architectural Press. ISBN 978-1-56898-249-6. Архивировано из оригинала 31 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  132. ^ Брэд Дж. Гигар (2004). Книга комиксов обо всем: создание уникальных и вдохновляющих комиксов для развлечения и прибыли. Adams Media. стр. 82–. ISBN 978-1-4405-2305-2. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  133. ^ Марио Ливио (2008). Золотое сечение: история PHI, самого удивительного числа в мире. Корона/Архетип. стр. 166. ISBN 978-0-307-48552-6. Архивировано из оригинала 30 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  134. ^ Мишель Эммер; Дорис Шатшнайдер (2007). Наследие MC Эшера: празднование столетия. Спрингер. п. 107. ИСБН 978-3-540-28849-7. Архивировано из оригинала 22 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  135. ^ Роберт Капитоло; Кен Шваб (2004). Курс рисования 101. Sterling Publishing Company, Inc. стр. 22. ISBN 978-1-4027-0383-6.
  136. ^ Филлис Гелино (2011). Интеграция искусств в учебную программу начальной школы. Cengage Learning. стр. 55. ISBN 978-1-111-30126-2. Архивировано из оригинала 7 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  137. ^ Криштиану Чеккато; Ларс Хессельгрен; Марк Поли; Хельмут Поттманн, Йоханнес Вальнер (2016). Достижения в архитектурной геометрии 2010. Биркхойзер. п. 6. ISBN 978-3-99043-371-3. Архивировано из оригинала 25 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  138. ^ Хельмут Поттманн (2007). Архитектурная геометрия. Bentley Institute Press. ISBN 978-1-934493-04-5. Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  139. ^ Мэриан Моффетт; Майкл В. Фацио; Лоуренс Вудхауз (2003). Всемирная история архитектуры. Издательство Laurence King. стр. 371. ISBN 978-1-85669-371-4. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  140. ^ Робин М. Грин; Робин Майкл Грин (1985). Сферическая астрономия. Cambridge University Press. стр. 1. ISBN 978-0-521-31779-5. Архивировано из оригинала 21 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  141. ^ Дмитрий Владимирович Алексеевский (2008). Последние разработки в области псевдоримановой геометрии. Европейское математическое общество. ISBN 978-3-03719-051-7. Архивировано из оригинала 28 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  142. ^ Шинг-Тунг Яу; Стив Надис (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной. Базовые книги. ISBN 978-0-465-02266-3. Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  143. ^ Бенгтссон, Ингемар; Жычковский, Кароль (2017). Геометрия квантовых состояний: Введение в квантовую запутанность (2-е изд.). Cambridge University Press . ISBN 978-1-107-02625-4. OCLC  1004572791.
  144. ^ Харли Фландерс; Джастин Дж. Прайс (2014). Исчисление с аналитической геометрией. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-6240-6. Архивировано из оригинала 24 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  145. ^ Джон Рогавски; Колин Адамс (2015). Исчисление. WH Freeman. ISBN 978-1-4641-7499-5. Архивировано из оригинала 1 января 2020 . Получено 25 сентября 2019 .
  146. ^ Альваро Лосано-Робледо (2019). Теория чисел и геометрия: Введение в арифметическую геометрию. Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-5016-8. Архивировано из оригинала 27 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .
  147. ^ Артуро Сангалли (2009). Месть Пифагора: Математическая тайна . Princeton University Press. стр. 57. ISBN 978-0-691-04955-7.
  148. ^ Гэри Корнелл; Джозеф Х. Сильверман; Гленн Стивенс (2013). Модулярные формы и Великая теорема Ферма. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1974-3. Архивировано из оригинала 30 декабря 2019 . Получено 25 сентября 2019 .

Источники

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки

В Wikibooks есть больше информации по теме: Геометрия
Библиотечные ресурсы по
геометрии
  • Ресурсы в вашей библиотеке