600-ячеечный

Four-dimensional analog of the icosahedron

Сеть

В геометрии 600-ячейка — это выпуклый правильный 4-многогранник (четырехмерный аналог Платонового тела ) с символом Шлефли {3,3,5}. Он также известен как C ₆₀₀ , гексакосихорон ^[1] и гексакосихорон . ^[2] Он также называется тетраплексом (сокращенно от «тетраэдральный комплекс») и политетраэдром , будучи ограниченным тетраэдрическими ячейками .

Граница 600-ячеечного многогранника состоит из 600 тетраэдрических ячеек , по 20 из которых сходятся в каждой вершине. Вместе они образуют 1200 треугольных граней, 720 ребер и 120 вершин. Это 4- мерный аналог икосаэдра , поскольку у него пять тетраэдров, сходящихся в каждом ребре, так же как у икосаэдра пять треугольников, сходящихся в каждой вершине. Его двойственный многогранник — 120-ячеечный многогранник .

Геометрия

600-ячейка является пятой в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-ячеечных многогранников (в порядке сложности и размера при том же радиусе). ^[a] Его можно разбить на двадцать пять перекрывающихся экземпляров его непосредственного предшественника 24-ячейки , ^[5] так же, как 24-ячейка может быть разложена на три перекрывающихся экземпляра его предшественника тессеракта (8-ячейки) , а 8-ячейка может быть разложена на два перекрывающихся экземпляра его предшественника 16-ячейки . ^[6]

Обратная процедура построения каждого из них из экземпляра его предшественника сохраняет радиус предшественника, но обычно производит последователя с меньшей длиной ребра. Длина ребра 24-ячейки равна ее радиусу, но длина ребра 600-ячейки составляет ~0,618 от ее радиуса, ^[7] что является золотым сечением .

Координаты

Единичный радиус Декартовы координаты

Вершины 600-ячейки единичного радиуса с центром в начале координат 4-пространства, с ребрами длиной ⁠1/φ⁠ ≈ 0,618 (где φ = ⁠1 + √ 5/2⁠ ≈ 1,618 — золотое сечение), можно представить ^[8] следующим образом:

8 вершин, полученных из

(0, 0, 0, ±1)

перестановкой координат и 16 вершин вида:

(± ⁠1/2⁠ , ± ⁠1/2⁠ , ± ⁠1/2⁠ , ± ⁠1/2⁠ )

Остальные 96 вершин получаются путем четных перестановок

(± ⁠φ/2⁠ , ± ⁠1/2⁠ , ± ⁠φ ⁻¹/2⁠ , 0)

Обратите внимание, что первые 8 вершин являются вершинами 16-ячейки , вторые 16 вершин являются вершинами тессеракта , а эти 24 вершины вместе являются вершинами 24-ячейки . Остальные 96 вершин являются вершинами плосконосой 24-ячейки , которую можно найти, разделив каждое из 96 ребер другой 24-ячейки (двойственной первой) в золотом сечении последовательным образом. ^[9]

При интерпретации как кватернионов ^[b] это единичные икосианы .

В 24-ячейке есть квадраты , шестиугольники и треугольники , которые лежат на больших окружностях (в центральных плоскостях через четыре или шесть вершин). ^[c] В 600-ячейке есть двадцать пять перекрывающихся вписанных 24-ячеек, причем каждая вершина и квадрат делятся пятью 24-ячейками, а каждый шестиугольник или треугольник делятся двумя 24-ячейками. ^[e] В каждой 24-ячейке есть три непересекающихся 16-ячейки, поэтому в 600-ячейке есть 75 перекрывающихся вписанных 16-ячеек. ^[f] Каждая 16-ячейка составляет отдельный ортонормированный базис для выбора системы координат .

60 осей и 75 16-ячеек 600-ячеечной системы образуют геометрическую конфигурацию , которая на языке конфигураций записывается как 60 ₅ 75 ₄ , чтобы указать, что каждая ось принадлежит 5 16-ячейкам, а каждая 16-ячейка содержит 4 оси. ^[10] Каждая ось ортогональна ровно 15 другим, и это просто ее спутники в 5 16-ячейках, в которых она встречается.

Сферические координаты Хопфа

В 600-ячейке также имеются большие круговые пятиугольники и десятиугольники (в центральных плоскостях через десять вершин). ^[11]

Только ребра декагона являются видимыми элементами 600-ячейки (потому что они являются ребрами 600-ячейки). Ребра других больших круговых многоугольников являются внутренними хордами 600-ячейки, которые не показаны ни в одной из визуализаций 600-ячеек в этой статье (за исключением тех, где они показаны пунктирными линиями). ^[k]

По симметрии, через каждую вершину проходит равное количество многоугольников каждого вида; поэтому можно учесть все 120 вершин как пересечение набора центральных многоугольников только одного вида: десятиугольников, шестиугольников, пятиугольников, квадратов или треугольников. Например, 120 вершин можно рассматривать как вершины 15 пар полностью ортогональных квадратов, которые не имеют общих вершин, или как 100 двойных пар неортогональных шестиугольников, между которыми все пары осей ортогональны, или как 144 неортогональных пятиугольника, шесть из которых пересекаются в каждой вершине. Эта последняя пятиугольная симметрия 600-ячейки фиксируется набором координат Хопфа ^[13] (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j ) ^[n], заданных как:

({<10} ⁠𝜋/5⁠ , {≤5} ⁠𝜋/10⁠ , {<10} ⁠𝜋/5⁠ )

где {<10} — перестановка десяти цифр (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9), а {≤5} — перестановка шести цифр (0 1 2 3 4 5). Координаты 𝜉 _i и 𝜉 _j охватывают 10 вершин десятиугольников большого круга; четные и нечетные цифры обозначают вершины двух пятиугольников большого круга, вписанных в каждый десятиугольник. ^[o]

Структура

Многогранные сечения

Взаимные расстояния вершин, измеренные в градусах дуги на описанной гиперсфере , имеют только значения 36° = ⁠𝜋/5⁠ , 60° = ⁠𝜋/3⁠ , 72° = ⁠2𝜋/5⁠ , 90° = ⁠𝜋/2⁠ , 108° = ⁠3𝜋/5⁠ , 120° = ⁠2𝜋/3⁠ , 144° = ⁠4𝜋/5⁠ , и 180° = 𝜋. Отступая от произвольной вершины V, мы имеем в 36° и 144° 12 вершин икосаэдра , [ ^p] в 60° и 120° 20 вершин додекаэдра , в 72° и 108° 12 вершин большего икосаэдра, в 90° 30 вершин икосододекаэдра и , наконец, в 180° антиподальную вершину V. ^{[14] [15] [16]} Их можно увидеть в проекциях плоскости Коксетера H3 с перекрывающимися окрашенными вершинами. ^[17]

Эти многогранные сечения являются твердыми телами в том смысле, что они трехмерны, но, конечно, все их вершины лежат на поверхности 600-ячейки (они полые, а не сплошные). Каждый многогранник лежит в евклидовом 4-мерном пространстве как параллельное поперечное сечение через 600-ячейку (гиперплоскость). В искривленном 3-мерном пространстве оболочки граничной поверхности 600-ячейки многогранник окружает вершину V так же, как он окружает свой собственный центр. Но его собственный центр находится внутри 600-ячейки, а не на ее поверхности. V на самом деле не находится в центре многогранника, потому что он смещен наружу от этой гиперплоскости в четвертом измерении, на поверхность 600-ячейки. Таким образом, V является вершиной 4-пирамиды, основанной на многограннике.

Золотые аккорды

Вершинная геометрия 600-ячейки, показывающая 5 правильных больших круговых многоугольников и 8 длин хорд от вершины к вершине ^[c] с углами дуги. Золотое сечение ^[q] управляет дробными корнями каждой другой хорды, ^[r] и радиальными золотыми треугольниками, которые встречаются в центре.

120 вершин распределены ^[18] на восьми различных длинах хорд друг от друга. Эти ребра и хорды 600-ячейки являются просто ребрами и хордами его пяти больших круговых многоугольников. ^[19] В порядке возрастания длины они таковы: √ 0.𝚫 , √ 1 , √ 1.𝚫 , √ 2 , √ 2.𝚽 , √ 3 , √ 3.𝚽 и √ 4 . ^[s]

Обратите внимание, что четыре гиперкубических хорды 24-ячеечной ячейки ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) ^[c] чередуются с четырьмя новыми хордами дополнительных больших окружностей 600-ячеечной ячейки, декагонами и пентагонами. Новые длины золотых хорд обязательно являются квадратными корнями дробей, но очень специальными дробями, связанными с золотым сечением ^[q], включая два золотых сечения √ 5 , как показано на диаграмме. ^[r]

Граничные конверты

3D-проекция 600-ячеечной структуры, совершающей простое вращение . Видна 3D-поверхность, состоящая из 600 тетраэдров.

600-ячейка дополняет 24-ячейку, добавляя еще 96 вершин между существующими 24 вершинами 24-ячейки, ^[u] по сути добавляя еще двадцать четыре перекрывающиеся 24-ячейки, вписанные в 600-ячейку. ^[f] Новая поверхность, образованная таким образом, представляет собой мозаику из более мелких, более многочисленных ячеек ^[v] и граней: тетраэдров с длиной ребра ⁠1/φ⁠ ≈ 0,618 вместо октаэдров с длиной ребра 1. Он охватывает √ 1 ребра 24-ячеек, которые становятся невидимыми внутренними хордами в 600-ячейке, как хорды √ 2 и √ 3 .

3D-проекция 24-ячеечной структуры , выполняющей простое вращение . Видна 3D-поверхность, состоящая из 24 октаэдров. Она также присутствует в 600-ячеечной структуре, но как невидимая внутренняя граничная оболочка.

Так как тетраэдры состоят из более коротких треугольных ребер, чем октаэдры (в ⁠ раз больше, чем октаэдры ).1/φ⁠ , обратное золотое сечение), 600-ячейка не имеет единичной длины ребра в системе координат с единичным радиусом, как 24-ячейка и тессеракт; в отличие от этих двух, 600-ячейка не является радиально равносторонним . Как и они, он является радиально треугольным особым образом, ^[z], но таким, в котором золотые треугольники, а не равносторонние треугольники встречаются в центре. ^[aa] Только несколько однородных многогранников обладают этим свойством, включая четырехмерный 600-ячейник, трехмерный икосододекаэдр и двумерный декагон . (Икосододекаэдр является экваториальным сечением 600-ячейки, а декагон является экваториальным сечением икосододекаэдра.) Радиально золотые многогранники - это те, которые могут быть построены с их радиусами из золотых треугольников .

Граничная оболочка из 600 маленьких тетраэдрических ячеек охватывает двадцать пять оболочек из 24 октаэдрических ячеек (добавляя некоторое 4-мерное пространство в местах между этими изогнутыми 3-мерными оболочками). Форма этих промежутков должна быть октаэдрической 4-пирамидой какого-то вида, но в 600-ячейке она не является регулярной. ^[ab]

Геодезические

Вершинные хорды 600-ячейки расположены в геодезических многоугольниках большого круга пяти видов: десятиугольники, шестиугольники, пятиугольники, квадраты и треугольники. ^[22]

Ячеечно-центрированная стереографическая проекция 72 центральных декагонов 600-ячеек на их большие круги. Каждый большой круг разделен на 10 дуг-ребер в точках пересечения, где пересекаются 6 больших кругов.

√ 0.𝚫 = 𝚽 ребра образуют 72 плоских правильных центральных декагона , 6 из которых пересекаются в каждой вершине. ^[p] Так же, как икосододекаэдр можно разбить на 6 центральных декагонов (60 ребер = 6 × 10), 600-ячейка может быть разделена на 72 декагона (720 ребер = 72 × 10). 720 √ 0.𝚫 ребер делят поверхность на 1200 треугольных граней и 600 тетраэдрических ячеек: 600-ячейка. 720 ребер встречаются в 360 параллельных парах, на расстоянии √ 3.𝚽 друг от друга. Как и в декагоне и икосододекаэдре, ребра встречаются в золотых треугольниках , которые встречаются в центре многогранника. 72 больших десятиугольника можно разделить на 6 наборов из 12 непересекающихся параллельных геодезических линий Клиффорда , ^[af] так, что только один большой десятиугольный круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, и 12 десятиугольников в каждом наборе достигают всех 120 вершин. ^[24]

Хорды ​​√ 1 образуют 200 центральных шестиугольников (25 наборов по 16, каждый шестиугольник в двух наборах), ^[d] 10 из которых пересекаются в каждой вершине ^[ag] (по 4 из каждой из пяти 24-ячеек, которые встречаются в вершине, каждый шестиугольник в двух из этих 24-ячеек). ^[i] Каждый набор из 16 шестиугольников состоит из 96 ребер и 24 вершин одной из 25 перекрывающихся вписанных 24-ячеек. Хорды ​​√ 1 соединяют вершины, которые находятся на расстоянии двух √ 0.𝚫 ребер друг от друга. Каждая хорда √ 1 является длинным диаметром пары тетраэдрических ячеек, соединенных гранями ( треугольной бипирамиды ), и проходит через центр общей грани. Поскольку имеется 1200 граней, имеется 1200 √ 1 хорд в 600 параллельных парах, отстоящих друг от друга на √ 3. Шестиугольные плоскости неортогональны (60 градусов друг от друга), но они встречаются как 100 двойственных пар , в которых все 3 оси одного шестиугольника ортогональны всем 3 осям его двойственного. ^[25] 200 больших шестиугольников можно разделить на 10 наборов из 20 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда, так что только один большой шестиугольный круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, и 20 шестиугольников в каждом наборе достигают всех 120 вершин. ^[26]

Хорды ​​√ 1.𝚫 образуют 144 центральных пятиугольника, 6 из которых пересекаются в каждой вершине. ^[k] Хорды ​​√ 1.𝚫 проходят от вершины к каждой второй вершине в тех же плоскостях, что и 72 десятиугольника: в каждый десятиугольник вписано два пятиугольника. Хорды ​​√ 1.𝚫 соединяют вершины, которые находятся на расстоянии двух ребер √ 0.𝚫 друг от друга на геодезической большой окружности. 720 хорд √ 1.𝚫 встречаются в 360 параллельных парах, на расстоянии √ 2.𝚽 = φ друг от друга.

Хорды ​​√ 2 образуют 450 центральных квадратов, 15 из которых пересекаются в каждой вершине (по 3 из каждой из пяти 24-клеток, которые встречаются в вершине). Хорды ​​√ 2 соединяют вершины, которые находятся на расстоянии трех √ 0.𝚫 ребер друг от друга (и двух √ 1 хорд друг от друга). Всего имеется 600 √ 2 хорд в 300 параллельных парах, на расстоянии √ 2 друг от друга. 450 больших квадратов (225 полностью ортогональных пар) можно разделить на 15 наборов из 30 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда, так что только один квадратный большой круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, и 30 квадратов (15 полностью ортогональных пар) в каждом наборе достигают всех 120 вершин. ^[27]

Хорды ​​√ 2.𝚽 = φ образуют стороны 720 центральных равнобедренных треугольников (72 набора по 10, вписанных в каждый десятиугольник), 6 из которых пересекаются в каждой вершине. Третье ребро (основание) каждого равнобедренного треугольника имеет длину √ 3.𝚽 . Хорды ​​√ 2.𝚽 проходят вершина к каждой третьей вершине в тех же плоскостях, что и 72 десятиугольника, соединяя вершины, которые находятся на расстоянии трех √ 0.𝚫 ребер друг от друга на геодезическом большом круге. Существует 720 различных хорд √ 2.𝚽 в 360 параллельных парах, на расстоянии √ 1.𝚫 друг от друга.

Хорды ​​√ 3 образуют 400 равносторонних центральных треугольников (25 наборов по 32, каждый треугольник в двух наборах), 10 из которых пересекаются в каждой вершине (по 4 из каждой из пяти 24-ячеек , каждый треугольник в двух из 24-ячеек). Каждый набор из 32 треугольников состоит из 96 хорд √ 3 и 24 вершин одной из 25 перекрывающихся вписанных 24-ячеек. Хорды ​​√ 3 проходят вершина к каждой второй вершине в тех же плоскостях, что и 200 шестиугольников: два треугольника вписаны в каждый шестиугольник. Хорды ​​√ 3 соединяют вершины, которые находятся на расстоянии четырех √ 0.𝚫 ребер друг от друга (и двух √ 1 хорд друг от друга на геодезическом большом круге). Каждая хорда √ 3 представляет собой длинный диаметр двух кубических ячеек в одном и том же 24-ячеечном кубе. ^[ah] Имеется 1200 √ 3 хорд, в 600 параллельных парах, на расстоянии √ 1 друг от друга.

Хорды ​​√ 3.𝚽 (диагонали пятиугольников) образуют стороны 720 центральных равнобедренных треугольников (144 набора по 5, вписанных в каждый пятиугольник), 6 из которых пересекаются в каждой вершине. Третье ребро (основание) каждого равнобедренного треугольника является ребром пятиугольника длиной √ 1.𝚫 , поэтому это золотые треугольники . Хорды ​​√ 3.𝚽 проходят от вершины к каждой четвертой вершине в тех же плоскостях, что и 72 десятиугольника, соединяя вершины, которые находятся на расстоянии четырех ребер √ 0.𝚫 друг от друга на геодезическом большом круге. Существует 720 различных хорд √ 3.𝚽 в 360 параллельных парах, на расстоянии √ 0.𝚫 друг от друга.

Хорды ​​√ 4 встречаются как 60 длинных диаметров (75 наборов из 4 ортогональных осей, каждый из которых содержит 16-ячейку ), 120 длинных радиусов 600-ячейки. Хорды ​​√ 4 соединяют противоположные вершины, которые находятся на расстоянии пяти √ 0.𝚫 ребер друг от друга на геодезическом большом круге. Существует 25 различных, но перекрывающихся наборов из 12 диаметров, каждый из которых содержит одну из 25 вписанных 24-ячеек. ^[j] Существует 75 различных, но перекрывающихся наборов из 4 ортогональных диаметров, каждый из которых содержит одну из 75 вписанных 16-ячеек.

Сумма квадратов длин ^[ai] всех этих отдельных хорд 600-ячеечной системы равна 14 400 = 120 ² . ^[aj] Это все центральные многоугольники, проходящие через вершины, но у 600-ячеечной системы есть одна примечательная большая окружность, которая не проходит ни через одну вершину (0-угольник). ^[an] Более того, в 4-мерном пространстве на 3-мерной сфере есть геодезические, которые вообще не лежат в центральных плоскостях. Существуют геодезические кратчайшие пути между двумя вершинами 600-ячеечной системы, которые являются винтовыми, а не просто круговыми; они соответствуют изоклинным (диагональным) вращениям, а не простым вращениям. ^[ao]

Все перечисленные выше геодезические многоугольники лежат в центральных плоскостях всего трех видов, каждый из которых характеризуется углом поворота: десятиугольные плоскости ( ⁠𝜋/5⁠ отдельно), шестиугольные плоскости ( ⁠𝜋/3⁠ отдельно, также в 25 вписанных 24-ячейках), и квадратные плоскости ( ⁠𝜋/2⁠ отдельно, также в 75 вписанных 16-ячейках и 24-ячейках). Эти центральные плоскости 600-ячейки можно разделить на 4 ортогональные центральные гиперплоскости (3-пространства), каждая из которых образует икосододекаэдр . Существует 450 больших квадратов, отстоящих друг от друга на 90 градусов; 200 больших шестиугольников, отстоящих друг от друга на 60 градусов; и 72 больших десятиугольника, отстоящих друг от друга на 36 градусов. ^[at] Каждая большая квадратная плоскость полностью ортогональна другой большой квадратной плоскости. Каждая большая шестиугольная плоскость полностью ортогональна плоскости, которая пересекает только две вершины (один √ 4 длинный диаметр): большая двуугольная плоскость. ^[au] Каждая большая десятиугольная плоскость полностью ортогональна плоскости, которая не пересекает ни одной вершины: большая 0-угольная плоскость. ^[al]

Расслоения многоугольников большого круга

Каждый набор подобных многоугольников большого круга (квадратов, шестиугольников или десятиугольников) можно разделить на пучки непересекающихся больших кругов, параллельных Клиффорду (из 30 квадратов, или 20 шестиугольников, или 12 десятиугольников). ^[af] Каждое расслоение больших кругов, параллельных Клиффорду ^[ap] является дискретным расслоением Хопфа , которое заполняет 600-ячейку, посещая все 120 вершин только один раз. ^[32] Каждое дискретное расслоение Хопфа имеет свою трехмерную базу , которая является отдельным многогранником, который действует как карта или масштабная модель расслоения. ^[av] Многоугольники большого круга в каждом пучке закручиваются по спирали вокруг друг друга, очерчивая спиральные кольца ячеек, соединенных гранями, которые вложены друг в друга, проходят друг через друга, не пересекаясь ни в одной ячейке, и точно заполняют 600-ячейку своими непересекающимися наборами ячеек. Различные пучки волокон с их кольцами ячеек заполняют одно и то же пространство (600-ячеечное), но их волокна проходят параллельно Клиффорду в разных «направлениях»; многоугольники большого круга в разных расслоениях не являются параллельными Клиффорду. ^[33]

Декагоны

Триаконтаграмма {30/12}=6{5/2} — это конфигурация двойной шестерки Шлефли 30 ₂ 12 ₅ , характерная для многогранников H _4. Окружность из 30 вершин — это косой многоугольник Петри. ^[aw] Внутренний угол между соседними ребрами равен 36°, также как и изоклинный угол между соседними плоскостями параллельных десятиугольников Клиффорда. ^[at]

Расслоения 600-клеточного многоугольника включают 6 расслоений его 72 больших декагонов: 6 пучков волокон из 12 больших декагонов. ^[ae] 12 параллельных декагонов Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные декагоны охватываются ребрами других больших декагонов.

Каждый пучок волокон ^[aq] описывает 20 спиральных колец по 30 тетраэдрических ячеек в каждом, ^[ad] с пятью кольцами, вложенными друг в друга вокруг каждого декагона. ^[34] Карта Хопфа этого расслоения — икосаэдр , где каждая из 12 вершин поднимается до большого декагона, а каждая из 20 треугольных граней поднимается до 30-ячеечного кольца. ^[av] Каждая тетраэдрическая ячейка занимает только одно из 20 колец ячеек в каждом из 6 расслоений. Тетраэдрическая ячейка вносит каждый из своих 6 ребер в декагон в другом расслоении, но вносит этот ребро в пять различных колец ячеек в расслоении. ^[ac]

12 больших окружностей и 30-ячеечных колец 6 характерных расслоений Хопфа 600-ячеечной системы делают 600-ячеечную систему геометрической конфигурацией из 30 «точек» и 12 «линий», записываемых как 30 ₂ 12 ₅ . Она называется конфигурацией двойной шестерки Шлефли в честь Людвига Шлефли ^[36], швейцарского математика, открывшего 600-ячеечную систему и полный набор правильных многогранников в n измерениях. ^[37]

Шестиугольники

Расслоения 24-ячейки включают 4 расслоения ее 16 больших шестиугольников: 4 пучка волокон из 4 больших шестиугольников. 4 параллельных шестиугольника Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные шестиугольники охватываются ребрами других больших шестиугольников. Каждый пучок волокон очерчивает 4 спиральных кольца из 6 октаэдрических ячеек каждое, с тремя кольцами, вложенными вместе вокруг каждого шестиугольника. Каждая октаэдрическая ячейка занимает только одно кольцо ячеек в каждом из 4 расслоений. Октаэдрическая ячейка вносит 3 из своих 12 ребер в 3 различных параллельных шестиугольника Клиффорда в каждом расслоении, но вносит каждое ребро в три различных кольца ячеек в расслоении.

600-ячейка содержит 25 24-ячеек и может рассматриваться (10 различными способами) как соединение 5 непересекающихся 24-ячеек. ^[k] Он имеет 10 расслоений своих 200 больших шестиугольников: 10 пучков волокон из 20 больших шестиугольников. 20 параллельных шестиугольников Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные шестиугольники охватываются ребрами больших десятиугольников. ^[ar] Каждый пучок волокон очерчивает 20 спиральных колец из 6 октаэдрических ячеек каждое, с тремя кольцами, вложенными вместе вокруг каждого шестиугольника. Карта Хопфа этого расслоения — додекаэдр , где 20 вершин каждая поднимается до пучка больших шестиугольников. ^[26] Каждая октаэдрическая ячейка занимает только одно из 20 колец 6 октаэдров в каждом из 10 расслоений. 20 колец из 6 октаэдров принадлежат 5 непересекающимся 24-ячейкам по 4 кольца из 6 октаэдров каждое; каждое гексагональное расслоение 600-ячейки состоит из 5 непересекающихся 24-ячеек.

Квадраты

Расслоения 16-клеточного многоугольника включают 3 расслоения его 6 больших квадратов: 3 пучка волокон из 2 больших квадратов. 2 параллельных квадрата Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные квадраты охватываются ребрами других больших квадратов. Каждый пучок волокон очерчивает 2 спиральных кольца из 8 тетраэдрических ячеек каждое. Каждая тетраэдрическая ячейка занимает только одно кольцо ячеек в каждом из 3 расслоений. Тетраэдрическая ячейка вносит каждый из своих 6 ребер в другой квадрат (внося два противоположных непересекающихся ребра в каждое из 3 расслоений), но вносит каждый край в оба из двух различных колец ячеек в расслоении.

600-ячейка содержит 75 16-ячеек и может рассматриваться (10 различными способами) как соединение 15 непересекающихся 16-ячеек. Она имеет 15 расслоений своих 450 больших квадратов: 15 пучков волокон из 30 больших квадратов. 30 параллельных квадратов Клиффорда в каждом пучке полностью непересекающиеся. Соседние параллельные квадраты охватываются ребрами больших декагонов. ^[as] Каждый пучок волокон очерчивает 30 непересекающихся спиральных колец из 8 тетраэдрических ячеек каждое. ^[ax] Карта Хопфа этого расслоения — икосододекаэдр , где каждая из 30 вершин поднимается до пучка больших квадратов. ^[27] Каждая тетраэдрическая ячейка занимает только одно из 30 колец 8-тетраэдров в каждом из 15 расслоений.

Кольца параллельных ячеек Клиффорда

Плотно упакованные спиральные клеточные кольца ^{[38] [39] [32]} расслоений являются клеточно-непересекающимися, но они имеют общие вершины, ребра и грани. Каждое расслоение 600-клеточного ядра можно рассматривать как плотную упаковку клеточных колец с соответствующими гранями соседних клеточных колец, соединенных гранями друг с другом. ^[ba] То же самое расслоение можно также рассматривать как минимальное разреженное расположение меньшего количества полностью непересекающихся клеточных колец, которые вообще не соприкасаются. ^[g]

Расслоения больших декагонов можно рассматривать (пятью различными способами) как 4 полностью непересекающихся 30-клеточных кольца с разделяющими их пространствами, а не как 20 гране-связанных колец клеток, исключая все, кроме одного кольца клеток из пяти, которые встречаются в каждом декагоне. ^[40] Пять различных способов, которыми вы можете это сделать, эквивалентны в том смысле, что все пять соответствуют одному и тому же дискретному расслоению (в том же смысле, в котором эквивалентны 6 декагональных расслоений, в том смысле, что все 6 покрывают одну и ту же 600-клеточную ячейку). 4 кольца клеток по-прежнему составляют полное расслоение: они включают все 12 параллельных декагонов Клиффорда, которые посещают все 120 вершин. ^[bb] Это подмножество из 4 из 20 колец клеток размерно аналогично ^[bc] подмножеству из 12 из 72 декагонов, в том смысле, что оба являются наборами полностью непересекающихся параллельных многогранников Клиффорда , которые посещают все 120 вершин. ^[bd] Подмножество 4 из 20 клеточных колец является одним из 5 расслоений внутри расслоения 12 из 72 декагонов: расслоение расслоения. Все расслоения имеют эту двухуровневую структуру с подрасслоениями .

Расслоения больших шестиугольников 24-ячеечной структуры можно рассматривать (тремя разными способами) как 2 полностью непересекающихся 6-ячеечных кольца с разделяющими их пространствами, а не как 4 гране-связанных клеточных кольца, исключая все, кроме одного клеточного кольца из трех, которые встречаются в каждом шестиугольнике. Таким образом, каждое из 10 расслоений больших шестиугольников 600-ячеечной структуры можно рассматривать как 2 полностью непересекающихся октаэдрических клеточных кольца.

Расслоения больших квадратов 16-клеточной структуры можно рассматривать (двумя разными способами) как одно кольцо из 8 тетраэдрических ячеек с соседним пустым пространством размером с кольцо ячеек, а не как 2 кольца ячеек, соединенных гранями, исключая одно из двух колец ячеек, которые встречаются в каждом квадрате. Поэтому каждое из 15 расслоений больших квадратов 600-клеточной структуры можно рассматривать как одно кольцо из тетраэдрических ячеек. ^[ax]

Разреженные конструкции расслоений 600-ячеек соответствуют разложениям с меньшей симметрией 600-ячеек, 24-ячеек или 16-ячеек с ячейками разных цветов, чтобы отличить кольца ячеек от пространств между ними. ^[be] Конкретная форма с меньшей симметрией 600-ячеек, соответствующая разреженной конструкции больших расслоений декагона, размерно аналогична ^[bc] форме плосконосого тетраэдра икосаэдра (который является основанием ^[av] этих расслоений на 2-сфере). Каждое из 20 колец ячеек Бурдейка-Коксетера ^[ad] поднимается с соответствующей грани икосаэдра. ^[bh]

Конструкции

600-ячейка включает в себя геометрии каждого выпуклого правильного многогранника в первых четырех измерениях, за исключением 5-ячейки, 120-ячейки и многоугольников {7} и выше. ^[44] Следовательно, существует множество способов построения или деконструкции 600-ячейки, но ни один из них не является тривиальным. Построение 600-ячейки из ее обычного предшественника 24-ячейки может быть трудно визуализировать.

Конструкция Госсета

Торольд Госсет открыл полуправильные 4-мерные многогранники , включая плосконосый 24-ячейковый с 96 вершинами, который находится между 24-ячейковым и 600-ячейковым в последовательности выпуклых 4-мерных многогранников увеличивающегося размера и сложности в том же радиусе. Построение Госсетом 600-ячейки из 24-ячейки происходит в два этапа, с использованием плосконосого 24-ячейки в качестве промежуточной формы. На первом, более сложном этапе (описанном в другом месте ) плосконосый 24-ячейка строится путем специального плосконосого усечения 24-ячейки в золотых сечениях ее ребер. ^[9] На втором этапе 600-ячейка строится простым способом путем добавления 4-пирамид (вершин) к граням плосконосого 24-ячейки. ^[45]

Плосконосый 24-ячейковый представляет собой уменьшенный 600-ячейковый, из которого были усечены 24 вершины (и кластер из 20 тетраэдрических ячеек вокруг каждой), ^[u] оставив «плоскую» икосаэдрическую ячейку на месте каждой удаленной икосаэдрической пирамиды. ^[p] Таким образом, у плосконосого 24-ячейкового есть 24 икосаэдрические ячейки и оставшиеся 120 тетраэдрических ячеек. Второй шаг построения Госсетом 600-ячейкового является просто обратным этому уменьшению: икосаэдрическая пирамида из 20 тетраэдрических ячеек помещается на каждую икосаэдрическую ячейку.

Построение ячейки единичного радиуса 600 из ее предшественника ячейки единичного радиуса 24 методом Госсета на самом деле требует трех шагов. Предшественник ячейки 24 с плосконосым сегментом не имеет того же радиуса: он больше, так как ячейка 24 с плосконосым сегментом является ее усечением. Начиная с ячейки единичного радиуса 24, первым шагом является ее возвратно-поступательное движение вокруг ее средней сферы для построения ее внешнего канонического дуала : большей ячейки 24, так как ячейка 24 является самодуальной. Затем эта большая ячейка 24 может быть усечена с помощью плосконосого сегмента в ячейку единичного радиуса с плосконосым сегментом.

Клеточные кластеры

Поскольку это так косвенно, конструкция Госсета может не очень помочь нам напрямую визуализировать, как 600 тетраэдрических ячеек встраиваются в изогнутую 3-мерную поверхностную оболочку, ^[v] или как они лежат на нижележащей поверхностной оболочке октаэдрических ячеек 24-ячейки. Для этого полезно построить 600-ячейку непосредственно из кластеров тетраэдрических ячеек.

Большинству из нас трудно визуализировать 600-ячейку снаружи в 4-мерном пространстве или распознать внешний вид 600-ячейки из-за полного отсутствия у нас сенсорного опыта в 4-мерных пространствах, ^[46] но мы должны быть в состоянии визуализировать поверхностную оболочку 600-ячеек изнутри, потому что этот объем представляет собой 3-мерное пространство, по которому мы могли бы фактически «ходить» и исследовать. ^[47] В этих упражнениях по построению 600-ячеек из клеточных кластеров мы полностью находимся внутри 3-мерного пространства, хотя и странно малого, замкнутого искривленного пространства , в котором мы можем пройти всего лишь десять длин ребра по прямой линии в любом направлении и вернуться в исходную точку.

Икосаэдры

Правильный икосаэдр, окрашенный в симметрию плосконосого октаэдра . ^[bi] Икосаэдры в 600-ячейке соединены гранями друг с другом на желтых гранях и с кластерами из 5 тетраэдрических ячеек на синих гранях. Вершина икосаэдрической пирамиды (не видна) является 13-й 600-ячейковой вершиной внутри икосаэдра (но выше его гиперплоскости).

Кластер из 5 тетраэдрических ячеек: четыре ячейки, соединенные гранями вокруг пятой ячейки (не видно). Четыре ячейки лежат в разных гиперплоскостях.

Вершинная фигура 600-ячейки — икосаэдр . ^[p] Двадцать тетраэдрических ячеек сходятся в каждой вершине, образуя икосаэдрическую пирамиду , вершина которой — вершина, окруженная ее основанием — икосаэдром. 600-ячейка имеет двугранный угол ⁠𝜋/3⁠ + arccos(− ⁠1/4⁠ ) ​​≈ 164.4775° . ^[49]

Целый 600-ячеечный кристалл может быть собран из 24 таких икосаэдрических пирамид (соединенных лицом к лицу на 8 из 20 граней икосаэдра, на иллюстрации окрашенных в желтый цвет), плюс 24 кластера из 5 тетраэдрических ячеек (четыре ячейки, соединенные лицом к лицу вокруг одной), которые заполняют пустоты, оставшиеся между икосаэдрами. Каждый икосаэдр соединен лицом к каждому соседнему кластеру из 5 ячеек двумя синими гранями, которые имеют общее ребро (которое также является одним из шести ребер центрального тетраэдра из пяти). Шесть кластеров из 5 ячеек окружают каждый икосаэдр, а шесть икосаэдров окружают каждый кластер из 5 ячеек. Пять тетраэдрических ячеек окружают каждое ребро икосаэдра: две изнутри икосаэдрической пирамиды и три снаружи нее. ^[bl]

Вершины 24 икосаэдрических пирамид являются вершинами 24-ячейки, вписанной в 600-ячейку. Остальные 96 вершин (вершины икосаэдров) являются вершинами вписанной плосконосой 24-ячейки , которая имеет точно такую ​​же структуру икосаэдров и тетраэдров, описанных здесь, за исключением того, что икосаэдры не являются 4-пирамидами, заполненными тетраэдрическими ячейками; они являются только «плоскими» 3-мерными икосаэдрическими ячейками, поскольку центральная апикальная вершина отсутствует.

24-ячеечные ребра, соединяющие вершины икосаэдрической пирамиды, проходят через центры желтых граней. Раскрашивание икосаэдров с 8 желтыми и 12 синими гранями может быть выполнено 5 различными способами. ^[bm] Таким образом, каждая вершина икосаэдрической пирамиды является вершиной 5 различных 24-ячеек, ^[i] и 120 вершин включают 25 (а не 5) 24-ячеек. ^[f]

Икосаэдры соединены гранями в геодезические «прямые линии» своими противоположными желтыми гранями, изогнутыми в четвертом измерении в кольцо из 6 икосаэдрических пирамид. Их вершины являются вершинами большого круга шестиугольника . Эта шестиугольная геодезическая пересекает кольцо из 12 тетраэдрических ячеек, попеременно соединенных гранью к грани и вершиной к вершине. Длинный диаметр каждой пары тетраэдров, соединенных гранями (каждая треугольная бипирамида ), является ребром шестиугольника (ребром из 24 ячеек). Имеется 4 кольца из 6 икосаэдрических пирамид, пересекающихся в каждой вершине-вершине, так же как имеется 4 непересекающихся ячейками переплетенных кольца из 6 октаэдров в 24-ячейке (шестиугольное расслоение). ^[bq]

Тетраэдрические ячейки соединены гранями в тройные спирали , изогнутые в четвертом измерении в кольца из 30 тетраэдрических ячеек. ^[ad] Три спирали представляют собой геодезические «прямые линии» из 10 ребер: большие круговые декагоны, которые идут параллельно Клиффорду ^[af] друг другу. Каждый тетраэдр, имеющий шесть ребер, участвует в шести различных декагонах ^[ac] и, таким образом, во всех 6 декагональных расслоениях 600-ячейки.

Разделение 600-ячеечной ячейки на кластеры по 20 ячеек и кластеры по 5 ячеек искусственно, поскольку все ячейки одинаковы. Можно начать с выбора кластера икосаэдрической пирамиды с центром в любой произвольно выбранной вершине, так что в 600-ячейке будет 120 перекрывающихся икосаэдров. ^[bj] Их 120 вершин являются вершинами пяти 24-вершинных 24-ячеек, так что есть 5*120/24 = 25 перекрывающихся 24-ячеек. ^[k]

Октаэдры

Существует еще один полезный способ разделения 600-ячеечной поверхности на 24 кластера по 25 тетраэдрических ячеек, который раскрывает больше структуры ^[55] и прямое построение 600-ячеечной структуры из ее предшественника 24-ячеечной структуры.

Начните с любого из кластеров из 5 ячеек (выше) и считайте его центральную ячейку центральным объектом нового большего кластера тетраэдрических ячеек. Центральная ячейка является первой секцией 600-ячеечной, начинающейся с ячейки. Окружая ее большим количеством тетраэдрических ячеек, мы можем достичь более глубоких секций, начинающихся с ячейки.

Во-первых, обратите внимание, что кластер из 5 ячеек состоит из 4 перекрывающихся пар тетраэдров, соединенных гранями ( треугольных дипирамид ), длинный диаметр которых представляет собой ребро из 24 ячеек (шестиугольное ребро) длиной √ 1. Еще шесть треугольных дипирамид помещаются в углубления на поверхности кластера из 5, ^[br] поэтому внешние хорды, соединяющие его 4 верхние вершины, также являются ребрами из 24 ячеек длиной √ 1. Они образуют тетраэдр с длиной ребра √ 1 , который является второй секцией 600-ячейки, начинающейся с ячейки. ^[bs] В 600-ячейке имеется 600 таких √ 1 тетраэдрических секций.

С шестью треугольными дипиамидами, вписанными в вогнутости, есть 12 новых ячеек и 6 новых вершин в дополнение к 5 ячейкам и 8 вершинам исходного кластера. 6 новых вершин образуют третью секцию 600-ячеечной ячейки, начинающуюся с ячейки, октаэдра с длиной ребра √ 1 , очевидно, ячейки 24-ячеечной. ^{[bt] Поскольку этот} √ 1 октаэдр пока частично заполнен (17 тетраэдрическими ячейками), он имеет вогнутые грани, в которые вписывается короткая треугольная пирамида; он имеет тот же объем, что и правильная тетраэдрическая ячейка, но неправильную тетраэдрическую форму. ^[bu] Каждый октаэдр окружает 1 + 4 + 12 + 8 = 25 тетраэдрических ячеек: 17 правильных тетраэдрических ячеек плюс 8 объемно эквивалентных тетраэдрических ячеек, каждая из которых состоит из 6 фрагментов по одной шестой от 6 различных правильных тетраэдрических ячеек, каждая из которых охватывает три смежные октаэдрические ячейки. ^[bv]

Таким образом, ячейка единичного радиуса 600 может быть построена непосредственно из ее предшественника, ^[ab] ячейки единичного радиуса 24, путем размещения на каждой из ее октаэдрических граней усеченной ^[bw] неправильной октаэдрической пирамиды с 14 вершинами ^[bx], построенной (вышеуказанным способом) из 25 правильных тетраэдрических ячеек с длиной ребра ⁠1/φ⁠ ≈ 0,618.

Объединение двух торов

Есть еще один полезный способ разбить поверхность 600-ячеек на кластеры тетраэдрических ячеек, который раскрывает больше структуры ^[56] и декагональные расслоения 600-ячеек. Вся 600-ячейка может быть собрана вокруг двух колец из 5 икосаэдрических пирамид, связанных вершина к вершине в две геодезические «прямые линии».

100 тетраэдров в массиве 10×10, образующих границу тора Клиффорда в ячейке 600. ^[by] Его противоположные края идентифицированы, образуя дуоцилиндр .

120-ячейка может быть разложена на два непересекающихся тора . Поскольку она является двойственной к 600-ячейке, эта же структура двойственных торов существует в 600-ячейке, хотя она несколько сложнее. 10-ячеечный геодезический путь в 120-ячейке соответствует 10-вершинному декагональному пути в 600-ячейке. ^[57]

Начните со сборки пяти тетраэдров вокруг общего ребра. Эта структура выглядит как угловатая «летающая тарелка». Сложите десять из них вершиной к вершине, в стиле «блин». Заполните кольцевое кольцо между каждой парой «летающих тарелок» 10 тетраэдрами, чтобы сформировать икосаэдр. Вы можете рассматривать это как пять вершинно сложенных икосаэдрических пирамид , с пятью дополнительными зазорами кольцевого кольца, также заполненными. ^[bz] Поверхность такая же, как у десяти сложенных пентагональных антипризм : колонна с треугольной гранью и пятиугольным поперечным сечением. ^[58] Согнутый в колоннообразное кольцо, это тор, состоящий из 150 ячеек, длиной в десять ребер, со 100 открытыми треугольными гранями, ^[ca] 150 открытыми ребрами и 50 открытыми вершинами. Сложите еще один тетраэдр на каждой открытой грани. Это даст вам несколько неровный тор из 250 ячеек с 50 приподнятыми вершинами, 50 вершинами долин и 100 ребрами долин. ^[cb] Долины представляют собой замкнутые пути длиной в 10 ребер и соответствуют другим примерам пути десятиугольника с 10 вершинами, упомянутым выше (десятиугольники большого круга). Эти десятиугольники закручиваются по спирали вокруг центрального десятиугольника, ^[cc], но математически все они эквивалентны (все они лежат в центральных плоскостях).

Постройте второй идентичный тор из 250 ячеек, который соединится с первым. Это составляет 500 ячеек. Эти два тора сопрягаются вместе с вершинами долин, касающимися приподнятых вершин, оставляя 100 тетраэдрических пустот, которые заполняются оставшимися 100 тетраэдрами, которые сопрягаются на краях долин. Этот последний набор из 100 тетраэдров находится на точной границе дуоцилиндра и образует тор Клиффорда . ^[cd] Их можно «развернуть» в квадратный массив 10×10. Между прочим, эта структура образует один тетраэдрический слой в тетраэдрально-октаэдрических сотах . На обеих сторонах имеется ровно 50 углублений и пиков «яичной тарелки», которые сопрягаются с торами из 250 ячеек. ^[by] В этом случае в каждую выемку вместо октаэдра, как в сотах, помещается треугольная бипирамида, составленная из двух тетраэдров.

Это разложение 600-ячеечной многогранника имеет симметрию [[10,2 ⁺ ,10]], порядок 400, ту же симметрию, что и у большой антипризмы . ^[59] Большая антипризма — это просто 600-ячеечная многогранник с двумя удаленными 150-ячеечными торами, оставляя только один средний слой из 300 тетраэдров, размерно аналогичный ^[bc] 10-гранному поясу икосаэдра с удаленными 5 верхними и 5 нижними гранями ( пентагональная антипризма ). ^[ce]

Два тора по 150 ячеек содержат по 6 больших декагонов, параллельных Клиффорду (пять вокруг одного), и оба тора параллельны Клиффорду друг другу, поэтому вместе они образуют полное расслоение из 12 декагонов, достигающее всех 120 вершин, несмотря на заполнение ячейками только половины 600-ячеечного многоугольника.

Кольца спирали Бурдейка–Коксетера

600-ячеечный кластер также можно разбить на 20 непересекающихся переплетающихся колец по 30 ячеек, ^[34] каждое из которых имеет десять ребер, образуя дискретное расслоение Хопфа , заполняющее весь 600-ячеечный кластер. ^{[60] [61]} Каждое кольцо из 30 тетраэдров, соединенных гранями, представляет собой цилиндрическую спираль Бердейка–Коксетера, изогнутую в кольцо в четвертом измерении.

30-ячеечное кольцо — это трехмерное пространство, занимаемое 30 вершинами трех голубых параллельных больших десятиугольников Клиффорда, которые лежат рядом друг с другом, 36° = ⁠𝜋/5⁠ = одна длина ребра 600-ячейки друг от друга во всех парах их вершин. ^[cg] 30 пурпурных ребер, соединяющих эти пары вершин, образуют винтовую триаконтаграмму , косую 30-граммовую спираль из 30 треугольных граней, соединенных ребрами, то есть многоугольник Петри 600-ячейки. ^[cf] Двойственный многоугольник 30-ячейки (косой 30-угольник, полученный путем соединения центров его ячеек) является многоугольником Петри 120-ячейки , двойственным многогранником 600-ячейки . ^[aw] Центральная ось 30-ячейки является большой 30-угольниковой геодезической, которая проходит через центр 30 граней, но не пересекает ни одной вершины. ^[an]

15 оранжевых ребер и 15 желтых ребер образуют отдельные 15-граммовые спиралевидные структуры. Каждое оранжевое или желтое ребро пересекает два больших голубых декагона. Последовательные оранжевые или желтые ребра этих 15-граммовых спиралей не лежат на одном и том же большом круге; они лежат в разных центральных плоскостях, наклоненных под углом 36° = ⁠𝝅/5⁠ друг к другу. ^[at] Каждая 15-граммовая спираль примечательна как реберный путь изоклины, геодезический путь изоклинного вращения. ^[ao] Изоклина — это круговая кривая, которая пересекает каждую вторую вершину 15-граммы, пропуская вершину между ними. Одна изоклина дважды проходит вокруг каждой оранжевой (или желтой) 15-граммы через каждую другую вершину, затрагивая половину вершин на первой петле и другую половину из них на второй петле. Две соединенные петли образуют одну петлю Мёбиуса , перекошенную {15/2} пентадекаграмму . Пентадекаграмма не показана на этих иллюстрациях (но см. ниже), потому что ее ребра являются невидимыми хордами между вершинами, которые находятся на расстоянии двух оранжевых (или двух желтых) ребер друг от друга, и на этих иллюстрациях хорды не показаны. Хотя 30 вершин 30-клеточного кольца не лежат в одной большой 30-угольной центральной плоскости, ^[cg] эти невидимые изоклины пентадекаграммы являются истинными геодезическими окружностями особого вида, которые проходят через все четыре измерения, а не лежат в двухмерной плоскости, как это делает обычный большой геодезический круг. ^[ch]

Пять из этих 30-ячеечных спиралей гнездятся вместе и закручиваются вокруг каждого из 10-вершинных декагональных путей, образуя 150-ячеечный тор, описанный в большой антипризменной декомпозиции выше. ^[59] Таким образом, каждый большой декагон является центральным ядром декагона 150-ячеечного тора. ^[ci] 600-ячеечный тор может быть разложен на 20 30-ячеечных колец или на два 150-ячеечных тора и 10 30-ячеечных колец, но не на четыре 150-ячеечных тора такого типа. ^[cj] 600-ячеечный тор может быть разложен на четыре 150-ячеечных тора другого типа. ^[40]

Радиальные золотые треугольники

600-ячейка может быть построена радиально из 720 золотых треугольников с длинами ребер √ 0.𝚫 √ 1 √ 1 , которые встречаются в центре 4-политопа, каждый из которых вносит два радиуса √ 1 и ребро √ 0.𝚫 . Они образуют 1200 треугольных пирамид с вершинами в центре: неправильные тетраэдры с равносторонними √ 0.𝚫 основаниями (грани 600-ячейки). Они образуют 600 тетраэдрических пирамид с вершинами в центре: неправильные 5-ячейки с правильными √ 0.𝚫 основаниями тетраэдров (ячейки 600-ячейки).

Характерная ортосхема

Каждый правильный 4-многогранник имеет свою характерную 4-ортосхему, неправильную 5-ячейку . ^[x] Характерная 5-ячейка правильного 600-ячейника представлена ​​диаграммой Коксетера-Дынкина , который можно прочитать как список двугранных углов между его зеркальными гранями. Это неправильная тетраэдрическая пирамида , основанная на характерном тетраэдре правильного тетраэдра . Правильный 600-ячейковый многогранник подразделяется своими гиперплоскостями симметрии на 14400 экземпляров его характерного 5-ячейкового многогранника, которые все встречаются в его центре. ^[ay]

Характеристическая 5-ячейка (4-ортосхема) имеет на четыре ребра больше, чем ее базовый характеристический тетраэдр (3-ортосхема), соединяя четыре вершины основания с его вершиной (пятая вершина 4-ортосхемы, в центре правильной 600-ячейки). ^[cl] Если правильная 600-ячейка имеет единичный радиус и длину ребра , десять ребер ее характеристической 5-ячейки имеют длины , , вокруг ее внешней прямоугольной треугольной грани (ребра, противоположные характеристическим углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[ck] плюс , , (остальные три ребра внешней 3-ортосхемы грани характеристического тетраэдра, которые являются характеристическими радиусами правильного тетраэдра), плюс , , , (ребра, которые являются характеристическими радиусами 600-ячейки). Четырехреберный путь вдоль ортогональных ребер ортосхемы выглядит следующим образом : сначала от вершины с 600 ячейками к центру ребра с 600 ячейками, затем поворот на 90° к центру грани с 600 ячейками, затем поворот на 90° к центру тетраэдрической ячейки с 600 ячейками, затем поворот на 90° к центру 600-ячейковой ячейки. ${\displaystyle {\text{𝒍}}={\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{2}}{3}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}}$

Размышления

600-ячейка может быть построена путем отражений ее характерной 5-ячейки в ее собственных гранях (ее тетраэдрических зеркальных стенках). ^[см] Отражения и вращения связаны: отражение в четном числе пересекающихся зеркал является вращением. ^{[67] [68]} Например, полное изоклиническое вращение 600-ячейки в декагональных инвариантных плоскостях проводит каждую из 120 вершин через 15 вершин и обратно к себе, на скошенной пентадекаграмме ₂ геодезической изоклине окружности 5𝝅, которая обвивается вокруг 3-сферы, поскольку каждый большой декагон вращается (как колесо), а также наклоняется вбок (как подбрасывание монеты) с полностью ортогональной плоскостью. ^[cn] Любой набор из четырех ортогональных пар антиподальных вершин (8 вершин одной из 75 вписанных 16-ячеек) ^[bb], совершающий такую ​​орбиту, посещает 15 * 8 = 120 различных вершин и генерирует 600-ячеек последовательно за один полный изоклинный поворот, точно так же, как любая отдельная характерная 5-ячейка, отражающаяся в своих собственных зеркальных стенках, генерирует 120 вершин одновременно путем отражения. ^[bo]

Орбиты Вейля

Другой метод построения использует кватернионы и икосаэдрическую симметрию орбит группы Вейля порядка 120. ^[70] Ниже приведены орбиты весов D4 под действием группы Вейля W(D4): ${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}$

O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}

О(1000) : V1

О(0010) : V2

О(0001) : V3

С кватернионами , где — сопряжение и и , то группа Кокстера — это группа симметрии 600-ячеечной и 120-ячеечной системы порядка 14400. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle {\bar {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$ ${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$ ${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$

Учитывая , что и как обмен внутри , мы можем построить: ${\displaystyle p\in T}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$ ${\displaystyle p^{\dagger }}$ ${\displaystyle -1/\varphi \leftrightarrow \varphi }$ ${\displaystyle p}$

• курносый 24-элементный ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$
• 600-ячеечный ${\displaystyle I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T}$
• 120- ячеечный ${\displaystyle J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}$

Вращения

Правильные выпуклые 4-мерные многогранники являются выражением их базовой симметрии , известной как SO(4) , группа вращений ^[71] вокруг фиксированной точки в 4-мерном евклидовом пространстве. ^[cx]

600-ячейка образуется путем изоклинных вращений ^[ao] 24-ячейки на 36° = ⁠𝜋/5⁠ (дуга длиной одного ребра в 600 ячеек). ^[da]

Двадцать пять 24-х ячеек

В 600-ячейке имеется 25 вписанных 24-ячеек. ^{[11] [co]} Следовательно, имеется также 25 вписанных плосконосых 24-ячеек, 75 вписанных тессерактов и 75 вписанных 16-ячеек. ^[f]

8-вершинная 16-ячейка имеет 4 длинных диаметра, наклоненных под углом 90° = ⁠𝜋/2⁠ друг к другу, часто принимаемые за 4 ортогональные оси или основу системы координат.

24-вершинный 24-ячейковый имеет 12 длинных диаметров, наклоненных под углом 60° = ⁠𝜋/3⁠ друг к другу: 3 непересекающихся набора из 4 ортогональных осей, каждый набор содержит диаметры одной из 3 вписанных 16-ячеек, изоклинно повернутые на ⁠𝜋/3⁠ по отношению друг к другу. ^[дб]

120-вершинная 600-ячейка имеет 60 длинных диаметров: не просто 5 непересекающихся наборов из 12 диаметров, каждый из которых содержит одну из 5 вписанных 24-ячеек (как мы могли бы предположить по аналогии), а 25 отдельных, но перекрывающихся наборов из 12 диаметров, каждый из которых содержит одну из 25 вписанных 24-ячеек. ^[76] В 600-ячейке есть 5 непересекающихся 24- ячеек , но не просто 5: есть 10 различных способов разбить 600-ячейку на 5 непересекающихся 24-ячеек. ^[j]

Подобно 16-ячейкам и 8-ячейкам, вписанным в 24-ячейку, 25 24-ячеек, вписанных в 600-ячейку, являются взаимно изоклинными многогранниками . Расстояние вращения между вписанными 24-ячейками всегда равно ⁠𝜋/5⁠ в каждой инвариантной плоскости вращения. ^[cy]

Пять 24-ячеек не пересекаются, поскольку они параллельны Клиффорду: их соответствующие вершины — ⁠𝜋/5⁠ друг от друга на двух непересекающихся параллельных Клиффорду ^[af] десятиугольных больших окружностях (а также ⁠𝜋/5⁠ друг от друга на одном и том же десятиугольном большом круге). ^[ae] Изоклинное вращение десятиугольных плоскостей на ⁠𝜋/5⁠ переводит каждую 24-ячейку в непересекающуюся 24-ячейку (точно так же, как изоклиническое вращение шестиугольных плоскостей ⁠𝜋/3⁠ переводит каждую 16-ячейку в непересекающуюся 16-ячейку). ^[dc] Каждое изоклинное вращение происходит в двух хиральных формах: слева от каждой 24-ячейки находятся 4 непересекающиеся 24-ячейки, а справа от нее — еще 4 непересекающиеся 24-ячейки . [ ^de] Левые и правые вращения достигают разных 24-ячеек; поэтому каждая 24-ячейка принадлежит двум разным наборам из пяти непересекающихся 24-ячеек.

Все многогранники, параллельные Клиффорду, являются изоклинными, но не все изоклинные многогранники являются параллельными Клиффорду (полностью непересекающимися объектами). ^[df] Каждый 24-ячейник является изоклинным и параллельным Клиффорду 8 другим, и изоклинным, но не параллельным Клиффорду 16 другим. ^[d] С каждым из 16 он разделяет 6 вершин: шестиугольную центральную плоскость. ^[i] Непересекающиеся 24-ячейники связаны простым поворотом на ⁠𝜋/5⁠ в инвариантной плоскости, пересекающей только две вершины 600-ячейки, ^[au] поворот, в котором полностью ортогональная фиксированная плоскость является их общей гексагональной центральной плоскостью. Они также связаны изоклиническим поворотом , в котором обе плоскости вращаются на ⁠𝜋/5⁠ . ^[дх]

Существует два вида ⁠𝜋/5⁠ изоклинические вращения, которые переводят каждую 24-ячейку в другую 24-ячейку. ^[dc] Непересекающиеся 24-ячейки связаны ⁠𝜋/5⁠ изоклиническое вращение всего расслоения 12 параллельных Клиффорду декагональных инвариантных плоскостей. (Имеется 6 таких наборов волокон, и для каждого набора возможен правый или левый изоклинический поворот, так что существует 12 таких различных вращений.) ^[de] Непересекающиеся 24-клетки связаны соотношением ⁠𝜋/5⁠ изоклиническое вращение целого расслоения 20 параллельных Клиффорду гексагональных инвариантных плоскостей. ^[dj] (Имеется 10 таких наборов волокон, поэтому имеется 20 таких различных вращений.) ^[dg]

С другой стороны, каждый из 10 наборов из пяти непересекающихся 24-ячеек является параллельным Клиффорду, поскольку его соответствующие большие шестиугольники являются параллельными Клиффорду. (24-ячейки не имеют больших десятиугольников.) 16 больших шестиугольников в каждой 24-ячейке можно разделить на 4 набора из 4 непересекающихся параллельных Клиффорду геодезических , каждый набор из которых покрывает все 24 вершины 24-ячейки. 200 больших шестиугольников в 600-ячейке можно разделить на 10 наборов из 20 непересекающихся параллельных Клиффорду геодезических, каждый набор из которых покрывает все 120 вершин и составляет дискретное гексагональное расслоение. Каждый из 10 наборов из 20 непересекающихся шестиугольников можно разделить на пять наборов из 4 непересекающихся шестиугольников, каждый набор из 4 покрывает непересекающуюся 24-ячейку. Аналогично, соответствующие большие квадраты непересекающихся 24-клеток являются параллельными Клиффорду.

Вращения на полиграммных изоклинах

Правильные выпуклые 4-мерные многогранники имеют свой характерный вид правого (и левого) изоклинного вращения , соответствующий их характерному виду дискретного расслоения Хопфа больших кругов. ^[bg] Например, 600-ячейка может быть расслоена шестью различными способами на набор параллельных Клиффорду больших десятиугольников, поэтому 600-ячейка имеет шесть различных правых (и левых) изоклинных вращений, в которых эти большие десятиугольные плоскости являются инвариантными плоскостями вращения . Мы говорим, что эти изоклинные вращения характерны для 600-ячейки, потому что ребра 600-ячейки лежат в их инвариантных плоскостях. Эти вращения возникают только в 600-ячейке, хотя они также встречаются в более крупных правильных многогранниках (120-ячейке), которые содержат вписанные экземпляры 600-ячейки.

Так же, как геодезические многоугольники (декагоны, шестиугольники или квадраты) в центральных плоскостях 600-ячеечного полигона образуют расслоения волокон параллельных больших окружностей Клиффорда, соответствующие геодезические косые полиграммы (которые отслеживают пути на торе Клиффорда вершин при изоклиническом вращении) ^[79] образуют расслоения волокон параллельных изоклин Клиффорда : винтовые окружности, которые пронизывают все четыре измерения. ^[ao] Поскольку изоклинические вращения являются хиральными , встречаясь в левосторонней и правосторонней формах, каждое расслоение волокон полигона имеет соответствующие левое и правое полиграммные расслоения волокон. ^[80] Все расслоения волокон являются аспектами одного и того же дискретного расслоения Хопфа , поскольку расслоение является различными выражениями одной и той же отдельной пары лево-правых изоклинических вращений.

Кольца ячеек — это еще одно выражение расслоения Хопфа. Каждое дискретное расслоение имеет набор колец ячеек, не пересекающихся между собой, которые заполняют 4-многогранник. ^[ba] Изоклины в каждом хиральном пучке закручиваются вокруг друг друга: они являются осевыми геодезическими колец ячеек, соединенных гранями. Кольца параллельных ячеек Клиффорда расслоения вложены друг в друга, проходят друг сквозь друга, не пересекаясь ни в одной ячейке, и точно заполняют 600-ячейку своими наборами непересекающихся ячеек.

Изоклинные вращения вращают вершины жесткого объекта по параллельным траекториям, причем каждая вершина вращается внутри двух ортогональных движущихся больших окружностей, подобно тому, как ткацкий станок ткет кусок ткани из двух ортогональных наборов параллельных волокон. Связка полигонов большого круга, параллельных Клиффорду, и соответствующая связка изоклин Клиффорда, параллельных косоугольным полиграммам, являются основой и утком одного и того же отдельного левого или правого изоклинного вращения, которое сближает полигоны большого круга, параллельные Клиффорду, подбрасывая их как монеты и вращая через набор центральных плоскостей, параллельных Клиффорду. Между тем, поскольку полигоны также вращаются по отдельности как колеса, вершины смещаются вдоль винтовых изоклин Клиффорда, параллельных Клиффорду (хорды которых образуют косоугольную полиграмму), через вершины, которые лежат в последовательных полигонах, параллельных Клиффорду. ^[bf]

В 600-ячейке каждое семейство изоклинных косых полиграмм (движущиеся пути вершин в десятиугольнике {10}, шестиугольнике {6} или квадрате {4} больших вращениях многоугольника) можно разделить на пучки непересекающихся изоклин параллельного полиграмма Клиффорда. ^[81] Пучки изоклин встречаются парами левой и правой хиральности; изоклины в каждом вращении действуют как хиральные объекты, как и каждое отдельное изоклинное вращение само по себе. ^[az] Каждое расслоение содержит равное количество левых и правых изоклин в двух непересекающихся пучках, которые отслеживают пути вершин 600-ячейки во время левого или правого изоклинного вращения расслоения соответственно. Каждый левый или правый пучок волокон изоклин сам по себе составляет дискретное расслоение Хопфа, которое заполняет всю 600-ячейку, посещая все 120 вершин только один раз. Это другой пучок волокон, нежели пучок больших окружностей параллельных многоугольников Клиффорда, но эти два пучка волокон описывают одно и то же дискретное расслоение , поскольку они перечисляют эти 120 вершин вместе в одном и том же различном правом (или левом) изоклиническом вращении путем их пересечения как ткани из перекрестно переплетенных параллельных волокон.

Каждое изоклиническое вращение включает в себя пары полностью ортогональных инвариантных центральных плоскостей вращения, которые обе вращаются на один и тот же угол. Есть два способа, которыми они могут это сделать: вращаясь в «одном и том же» направлении или вращаясь в «противоположных» направлениях (согласно правилу правой руки , по которому мы условно говорим, какой путь «верх» на каждой из 4 осей координат). Правое полиграммное и правое изоклинное вращение условно соответствуют инвариантным парам, вращающимся в одном направлении; левое полиграммное и левое изоклинное вращение соответствуют парам, вращающимся в противоположных направлениях. ^[78] Левая и правая изоклины — это разные пути, которые идут в разные места. Кроме того, каждое отдельное изоклинное вращение (левое или правое) может быть выполнено в положительном или отрицательном направлении вдоль круговых параллельных волокон.

Пучок волокон параллельных изоклин Клиффорда — это набор винтовых окружностей вершин, описываемых отдельным левым или правым изоклинным вращением. Каждая движущаяся вершина движется вдоль изоклины, содержащейся в (движущемся) кольце ячеек. В то время как левые и правые изоклинные вращения дважды вращают один и тот же набор параллельных инвариантных плоскостей вращения Клиффорда , они проходят через разные наборы многоугольников большого круга, поскольку левые и правые изоклинные вращения попадают в чередующиеся вершины многоугольника большого круга {2p} (где p — простое число ≤ 5). ^[dl] Левое и правое вращение разделяют один и тот же пучок Хопфа волокон многоугольника {2p}, который является как левым, так и правым пучком, но они имеют разные пучки многоугольников {p} ^[82], поскольку дискретные волокна являются противолежащими левыми и правыми многоугольниками {p}, вписанными в многоугольник {2p}. ^[dm]

Простой поворот является прямым и локальным, переводя некоторые вершины в соседние вершины вдоль больших окружностей, а некоторые центральные плоскости в другие центральные плоскости в пределах той же гиперплоскости. (600-ячейка имеет четыре ортогональных центральных гиперплоскости, каждая из которых является икосододекаэдром.) При простом повороте есть только одна пара полностью ортогональных инвариантных центральных плоскостей поворота; он не представляет собой расслоение.

Изоклинное вращение является диагональным и глобальным, переводя все вершины в несмежные вершины (на расстоянии двух или более длин ребер) ^[cq] вдоль диагональных изоклин, а все многоугольники центральной плоскости — в параллельные Клиффорду многоугольники (того же вида). Лево-правая пара изоклинных вращений образует дискретное расслоение. Все параллельные Клиффорду центральные плоскости расслоения являются инвариантными плоскостями вращения, разделенными двумя равными углами и лежащими в разных гиперплоскостях. ^[at] Диагональная изоклина ^[cr] — это более короткий путь между несмежными вершинами, чем несколько простых путей между ними, доступных вдоль ребер: это кратчайший путь на 3-сфере, геодезическая .

Декагоны и пентадекаграммы

Расслоения 600-ячеечной структуры включают 6 расслоений ее 72 больших декагонов: 6 пучков волокон из 12 больших декагонов, ^[ae] каждый из которых описывает 20 хиральных колец ячеек по 30 тетраэдрических ячеек, ^[ad] с тремя большими декагонами, ограничивающими каждое кольцо ячеек, и пятью кольцами ячеек, вложенными друг в друга вокруг каждого декагона. 12 параллельных декагонов Клиффорда в каждой связке полностью не пересекаются. Соседние параллельные декагоны охватываются ребрами других больших декагонов. ^[aq] Каждое расслоение соответствует отдельному левому (и правому) изоклиническому вращению 600-ячеечной структуры в 12 больших инвариантных плоскостях декагона на 5𝝅 изоклинах.

Пучок из 12 параллельных десятиугольных волокон Клиффорда делится на пучок из 12 левых пятиугольных волокон и пучок из 12 правых пятиугольных волокон, причем каждая левая-правая пара пятиугольников вписана в десятиугольник. ^[83] 12 больших многоугольников составляют пучок волокон, покрывающий все 120 вершин в дискретном расслоении Хопфа . В расслоении имеется 20 непересекающихся 30-клеточных колец, но только 4 полностью непересекающихся 30-клеточных кольца. ^[g] 600-клеточное имеет шесть таких дискретных декагональных расслоений, и каждое является областью (контейнером) уникальной пары левых-правых изоклинных вращений (левых и правых пучков волокон 12 больших пятиугольников). ^[dn] Каждый большой декагон принадлежит только одному расслоению, ^[82] но каждое 30-клеточное кольцо принадлежит 5 из шести расслоений (и полностью не пересекается с 1 другим расслоением). 600-клеточный содержит 72 больших декагона, разделенных на шесть расслоений, каждое из которых представляет собой набор из 20 непересекающихся 30-клеточных колец (4 полностью непересекающихся 30-клеточных кольца), но 600-клеточный имеет всего 20 различных 30-клеточных колец. Каждое 30-клеточное кольцо содержит 3 из 12 параллельных декагонов Клиффорда в каждом из 5 расслоений и 30 из 120 вершин.

В этих декагональных изоклинных вращениях вершины перемещаются вдоль изоклин, которые следуют за ребрами шестиугольников , ^[26] продвигаясь на пифагорово расстояние одного ребра шестиугольника за каждую двойную единицу вращения 36°×36°. ^[dj] В изоклинном вращении каждое последующее пройденное ребро шестиугольника лежит в другом большом шестиугольнике, поэтому изоклина описывает косую полиграмму, а не многоугольник. В изоклинном вращении 60°×60° (как в характерном гексагональном вращении 24-ячейки и ниже в гексагональных вращениях 600-ячейки) эта полиграмма является гексаграммой : изоклинное вращение следует по 6-реберной круговой траектории, как и простое гексагональное вращение, хотя для перечисления всех вершин в нем требуется два оборота, поскольку изоклина представляет собой двойную петлю через каждую другую вершину, а ее хорды составляют √ 3 хорд шестиугольника вместо √ 1 ребра шестиугольника. ^{[dq] Но в характерном} декагональном вращении 36°×36° 600-ячейки последовательные большие шестиугольники расположены ближе друг к другу и более многочисленны, а изоклинная полиграмма, образованная их 15 ребрами шестиугольника , является пентадекаграммой (15-граммой). ^[cn] Это не только не тот же период, что и у шестиугольника или простого декагонального вращения, это даже не целое кратное периода шестиугольника, или декагона, или простого вращения любого из них. Только составной {30/4}=2{15/2} триаконтаграмм (30-грамм), который представляет собой два 15-граммовых вращающихся параллельно (черный и белый), является кратным им всем, и поэтому составляет вращательную единицу декагонального изоклинического вращения. ^[dl]

В 30-клеточном кольце несмежные вершины, связанные изоклинными вращениями, находятся на расстоянии двух длин ребер друг от друга, а три другие вершины кольца лежат между ними. ^[ds] Две несмежные вершины связаны хордой √ 1 изоклины, которая является большим ребром шестиугольника (ребром из 24 ячеек). Хорды ​​√ 1 30-клеточного кольца (без √ 0.𝚫 600-клеточных ребер) образуют косую триаконтаграмму _{{30/4}=2{15/2}} , которая содержит 2 непересекающиеся {15/2} двойные петли Мёбиуса, лево-правую пару изоклин пентадекаграммы _2. Каждый левый (или правый) пучок из 12 пентагональных волокон пересекается левым (или правым) пучком из 8 параллельных пентадекаграмм Клиффорда. Каждое отдельное 30-клеточное кольцо имеет 2 двухконтурные пентадекаграммные изоклины, проходящие через его четные или нечетные (черные или белые) вершины соответственно. ^[cu] Спирали пентадекаграммы не имеют собственной хиральности, но каждая действует либо как левая, либо как правая изоклина в любом отдельном изоклинном вращении. ^[dk] 2 волокна пентадекаграммы принадлежат левым и правым пучкам волокон 5 различных расслоений.

В каждой вершине есть шесть больших декагонов и шесть пентадекаграммовых изоклин (шесть черных или шесть белых), которые пересекаются в вершине. ^[dv] Восемь пентадекаграммовых изоклин (четыре черных и четыре белых) составляют уникальный правый (или левый) пучок волокон изоклин, покрывающий все 120 вершин в отчетливом правом (или левом) изоклиническом вращении. Каждое расслоение имеет уникальный левый и правый изоклинический поворот и соответствующие уникальные левые и правые пучки волокон из 12 пентагонов и 8 пентадекаграммовых изоклин. В 600-ячейке есть только 20 отдельных черных изоклин и 20 отдельных белых изоклин. Каждая отдельная изоклина принадлежит 5 пучкам волокон.

Две 15-граммовые двухпетлевые изоклины являются осевыми для каждого 30-клеточного кольца. 30-клеточные кольца являются хиральными; каждое волокно содержит 10 правых (спиральных по часовой стрелке) колец и 10 левых (спиральных против часовой стрелки) колец, но две изоклины в каждом 3-клеточном кольце прямо конгруэнтны. ^[cv] Каждая действует как левая (или правая) изоклина левого (или правого) вращения, но не имеет присущей хиральности. ^[dk] 20 левых и 20 правых 15-грамм волокнообразования в общей сложности содержат 120 непересекающихся открытых пентаграмм (60 левых и 60 правых), открытые концы которых являются смежными 600-клеточными вершинами (одна √ 0.𝚫 длина ребра друг от друга). 30 хорд, соединяющих 30 вершин изоклины, являются ребрами шестиугольника размером √ 1 (ребра из 24 ячеек), соединяющими вершины из 600 ячеек, которые представляют собой два ребра по 600 ячеек, отстоящие друг от друга на √ 0.𝚫 на большом круге десятиугольника. ^[cs] Эти хорды изоклин являются как ребрами шестиугольника, так и ребрами пентаграммы .

20 параллельных изоклин Клиффорда (30-клеточные кольцевые оси) каждого левого (или правого) пучка изоклин не пересекаются друг с другом. Любое отдельное декагональное изоклинное вращение (левое или правое) вращает все 120 вершин (и все 600 ячеек), но пентадекаграммные изоклины и пентагоны соединены так, что вершины чередуются как 60 черных и 60 белых вершин (и 300 черных и 300 белых ячеек), подобно черным и белым квадратам шахматной доски . [ ^du] В ходе вращения вершины на левой (или правой) изоклине вращаются внутри той же 15-вершинной черной (или белой) изоклины, а ячейки вращаются внутри того же черного (или белого) 30-клеточного кольца.

Шестиугольники и гексаграммы

Икосаграмма {20/6}=2{10/3} содержит 2 непересекающихся декаграммы {10/3} (красную и оранжевую), которые соединяют вершины, отстоящие друг от друга на {10} и на {20} на 6. В 600-ячейке ребра представляют собой большие пятиугольные ребра, охватывающие 72°.

Расслоения 600-ячейки включают 10 расслоений ее 200 больших шестиугольников: 10 пучков волокон из 20 больших шестиугольников. 20 параллельных шестиугольников Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные шестиугольники охватываются ребрами больших десятиугольников. ^[ar] Каждое расслоение соответствует отдельному левому (и правому) изоклиническому вращению 600-ячейки в 20 инвариантных плоскостях больших шестиугольников на 4𝝅 изоклинах.

Каждый пучок волокон очерчивает 20 непересекающихся прямо конгруэнтных колец ячеек по 6 октаэдрических ячеек каждое, с тремя кольцами ячеек, вложенными вместе вокруг каждого шестиугольника. Пучок из 20 параллельных шестиугольных волокон Клиффорда делится на пучок из 20 черных √ 3 больших треугольных волокон и пучок из 20 белых больших треугольных волокон, с черным и белым треугольником, вписанным в каждый шестиугольник, и 6 черными и 6 белыми треугольниками в каждом кольце из 6 октаэдров. Черные или белые треугольники соединены тремя пересекающимися черными или белыми изоклинами, каждая из которых является особым видом винтовой большой окружности ^[dq], проходящей через соответствующие вершины в 10 параллельных черных (или белых) больших треугольниках Клиффорда. 10 √ 1.𝚫 хорд каждой изоклины образуют косую декаграмму {10/3} , 10 больших пятиугольных ребер, соединенных конец к концу в спиральной петле, обвивающей 3 раза вокруг 600-ячейки во всех четырех измерениях, а не лежащей плоско в центральной плоскости. Каждая пара черных и белых изоклин (пересекающихся антиподальными вершинами больших шестиугольников) образует составную 20-угольную икосаграмму {20/6}=2{10/3} .

Обратите внимание на связь между характерным вращением 24-ячеечной структуры в больших инвариантных плоскостях шестиугольника (на изоклинах гексаграммы) и собственной версией вращения больших плоскостей шестиугольника 600-ячеечной структуры (на изоклинах декаграммы). Это точно такое же изоклинное вращение: у них одна и та же изоклина. У них разное количество одинаковых изоклин, и хорда изоклины √ 1.𝚫 600-ячеечной структуры короче хорды изоклины √ 3 24-ячеечной структуры , потому что изоклина пересекает больше вершин в 600-ячеечной структуре (10), чем в 24-ячеечной структуре (6), но обе полиграммы Клиффорда имеют окружность 4𝝅. ^[dp] Они имеют разные полиграммы изоклин только потому, что кривая изоклин пересекает больше вершин в 600-ячейке, чем в 24-ячейке. ^[dy]

Квадраты и октаграммы

Многоугольник Клиффорда 600-ячеечного изоклинного вращения в больших квадратичных инвариантных плоскостях представляет собой скошенный правильный {24/5} 24-грамм с φ = √ 2.𝚽 ребрами, которые соединяют вершины, отстоящие друг от друга на 24-вершинной окружности, которая является уникальной 24-ячейкой ( √ 1 ребро не показано).

Расслоения 600-ячеечной структуры включают 15 расслоений ее 450 больших квадратов: 15 пучков волокон из 30 больших квадратов. 30 параллельных квадратов Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные квадраты охватываются ребрами больших декагонов. ^[as] Каждое расслоение соответствует отдельному левому (и правому) изоклиническому вращению 600-ячеечной структуры в 30 инвариантных плоскостях больших квадратов (15 полностью ортогональных пар) на 4𝝅 изоклинах.

Каждый пучок волокон очерчивает 30 хиральных колец ячеек по 8 тетраэдрических ячеек каждое, ^[ax] с левым и правым кольцами ячеек, вложенными друг в друга, чтобы заполнить каждую из 15 непересекающихся 16-ячеек, вписанных в 600-ячейку. Осевым по отношению к каждому кольцу из 8 тетраэдров является особый вид винтовой большой окружности, изоклина. ^[ao] При левом (или правом) изоклинном вращении 600-ячейки в больших квадратных инвариантных плоскостях все вершины вращаются по одной из 15 параллельных изоклин Клиффорда.

30 параллельных квадратов Клиффорда в каждом пучке соединены четырьмя параллельными 24-граммовыми изоклинами Клиффорда (по одной через каждую вершину), каждая из которых пересекает одну вершину в 24 из 30 квадратов и все 24 вершины только одной из 25 24-ячеек 600-ячеек. Каждая изоклина представляет собой 24-граммовый контур, пересекающий все 25 24-ячеек, 24 из них только один раз и одна из них 24 раза. 24 вершины в каждой 24-граммовой изоклине составляют уникальную 24-ячейку; в 600-ячейке имеется 25 таких различных изоклин. Каждая изоклина представляет собой перекошенную {24/5} 24-граммовую, 24 φ = √ 2.𝚽 хорды, соединенные конец к концу в спиральной петле, обвивающей 5 раз одну 24-ячейку во всех четырех измерениях, а не лежащей плоско в центральной плоскости. Соседние вершины 24-ячейки находятся на расстоянии одной √ 1 хорды друг от друга и 5 φ хорд друг от друга на ее изоклине. Левый (или правый) изоклинный поворот на 720° переводит каждую 24-ячейку в каждую другую 24-ячейку и через нее.

Обратите внимание на соотношения между вращением 16-ячеечной системы всего лишь 2 инвариантных больших квадратных плоскостей , вращением 24-ячеечной системы в 6 больших квадратных плоскостях Клиффорда и этим вращением 600-ячеечной системы в 30 больших квадратных плоскостях Клиффорда. Эти три вращения являются одним и тем же вращением, происходящим на точно таких же кругах изоклин, которые пересекают больше вершин в 600-ячеечной системе (24), чем в 16-ячеечной системе (8). ^[dz] При вращении 16-ячеечной системы расстояние между вершинами на изоклинной кривой равно диаметру √ 4. В 600-ячеечной системе вершины расположены ближе друг к другу, и ее хорда √ 2.𝚽 = φ является расстоянием между соседними вершинами на одной и той же изоклине, но все эти изоклины имеют окружность 4𝝅.

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации ^[87] представляет 600-ячейку. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всей 600-ячейке. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}120&12&30&20\\2&720&5&5\\3&3&1200&2\\4&6&4&600\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Вот конфигурация, расширенная с помощью k -элементов граней и k -фигур. Количество диагональных элементов равно отношению полного порядка группы Кокстера , 14400, деленного на порядок подгруппы с удалением зеркала.

Симметрии

Икосианы представляют собой определенный набор гамильтоновых кватернионов с той же симметрией, что и 600-ячейка. ^[88] Икосианы лежат в золотом поле , ( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i + ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) k , где восемь переменных являются рациональными числами . ^[89] Конечные суммы 120 единичных икосианов называются икосиановым кольцом .

При интерпретации как кватернионов [ ^b] 120 вершин 600-ячейки образуют группу при кватернионном умножении. Эту группу часто называют бинарной икосаэдрической группой и обозначают 2I , поскольку она является двойным покрытием обычной икосаэдрической группы I. ^[90] Она встречается дважды в группе вращательной симметрии RSG 600-ячейки как инвариантная подгруппа , а именно как подгруппа 2I _L левых умножений кватернионов и как подгруппа 2I _R правых умножений кватернионов. Каждая вращательная симметрия 600-ячейки генерируется определенными элементами 2I _L и 2I _R ; пара противоположных элементов генерирует один и тот же элемент RSG . Центр RSG состоит из невращения Id и центральной инверсии −Id . У нас есть изоморфизм RSG ≅ (2I _L × 2I _R ) / {Id, -Id} . Порядок RSG равен ⁠120 × 120/2⁠ = 7200. Кватернионная алгебра как инструмент для обработки 3D и 4D вращений и как путь к полному пониманию теории вращений в 4-мерном евклидовом пространстве описана Мёбиусом. ^[91]

Бинарная икосаэдрическая группа изоморфна SL (2,5) .

Полная группа симметрии 600-ячейки — это группа Коксетера H ₄ . ^[92] Это группа порядка 14400. Она состоит из 7200 вращений и 7200 вращений-отражений. Вращения образуют инвариантную подгруппу полной группы симметрии. Группа вращательной симметрии была впервые описана С. Л. ван Оссом. ^[93] Группа H ₄ и ее построение алгебры Клиффорда из 3-мерных групп симметрии по индукции описаны Дешаном. ^[94]

Визуализация

Симметрии трехмерной поверхности 600-ячеечной структуры довольно сложно визуализировать из-за большого количества тетраэдрических ячеек ^[v] и того факта, что тетраэдр не имеет противолежащих граней или вершин. ^[az] Можно начать с осознания того, что 600-ячейка является двойственной по отношению к 120-ячейке. Можно также заметить, что 600-ячейка также содержит вершины додекаэдра ^[44] , которые при определенных усилиях можно увидеть в большинстве перспективных проекций ниже.

2D проекции

Десятиугольная проекция H3 показывает плоскость многоугольника Ван Осса .

3D проекции

Трёхмерная модель 600-ячейки, находящаяся в коллекции Института Анри Пуанкаре , была сфотографирована в 1934–1935 годах Ман Рэем и стала частью двух его более поздних картин «Уравнение Шекспира». ^[95]

Уменьшенные 600-ячеечные

Плосконосая 24-ячейка может быть получена из 600-ячейки путем удаления вершин вписанной 24-ячейки и взятия выпуклой оболочки оставшихся вершин. ^[96] Этот процесс представляет собой уменьшение 600-ячейки.

Грандиозную антипризму можно получить другим уменьшением 600-ячейки: удалением 20 вершин, лежащих на двух взаимно ортогональных кольцах, и взятием выпуклой оболочки оставшихся вершин. ^[59]

У уменьшенной на 24 ячейки 600 удалено 48 вершин, и осталось 72 из 120 вершин ячейки 600. Двойственной ячейке уменьшенной на 24 ячейки является уменьшенная на 24 ячейка 600 с 48 вершинами и 72 ячейками гексаэдра .

Всего имеется 314 248 344 уменьшения 600-ячейки несмежными вершинами. Все они состоят из правильных тетраэдрических и икосаэдрических ячеек. ^[97]

Связанные многогранники и соты

600-ячейка является одним из 15 правильных и однородных многогранников с одинаковой симметрией H4 _[ 3,3,5]: ^[11]

Он похож на три правильных 4-многогранника : 5-ячеечный {3,3,3}, 16-ячеечный {3,3,4} евклидова 4-пространства и тетраэдральные соты порядка 6 {3,3,6} гиперболического пространства. Все они имеют тетраэдрические ячейки.

Этот 4-мерный многогранник является частью последовательности 4-мерных многогранников и сот с вершинными фигурами в виде икосаэдра :

Правильные комплексные многоугольники ₃ {5} ₃ ,и ₅ {3} ₅ ,, в имеют действительное представление как 600-ячейка в 4-мерном пространстве. Оба имеют 120 вершин и 120 ребер. Первый имеет комплексную группу отражения ₃ [5] ₃ , порядок 360, а второй имеет симметрию ₅ [3] ₅ , порядок 600. ^[98] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Смотрите также

• 24-ячеечный , предшественник 4-ячеечного многогранника , на котором основан 600-ячеечный
• 120-ячеечный , дуальный 4-ячеечный многогранник для 600-ячеечного и его преемник
• Однородное семейство 4-многогранников с симметрией [5,3,3]
• Правильный 4-мерный многогранник
• Многогранник

Примечания

1. Выпуклые правильные 4-мерные многогранники можно упорядочить по размеру как по мере 4-мерного содержимого (гиперобъема) для одного и того же радиуса. Это их собственный порядок перечисления, порядок, в котором они вложены друг в друга как соединения. ^[3] Каждый больший многогранник в последовательности более круглый , чем его предшественник, заключая больше содержимого ^[4] в пределах того же радиуса. 4-симплекс (5-ячейка) является предельным наименьшим случаем, а 120-ячейка — наибольшим. Сложность (измеренная путем сравнения матриц конфигурации или просто числа вершин) следует тому же порядку. Это обеспечивает альтернативную числовую схему именования для правильных многогранников, в которой 600-ячейка является 120-точечным 4-мерным многогранником: пятым в восходящей последовательности, которая идет от 5-точечного 4-мерного многогранника до 600-точечного 4-мерного многогранника.
2. В четырехмерной евклидовой геометрии кватернион — это просто декартова координата (w, x, y, z).

3. 

   Геометрия вершин радиально равностороннего 24-ячейника, показывающая 3 больших круговых многоугольника и 4 длины хорд от вершины до вершины.

   Геометрия из 600 ячеек основана на 24-ячеечной .

   600-ячеечный многоугольник дополняет 24-ячеечный многоугольник еще двумя большими круговыми многоугольниками (внешний десятиугольник и внутренний пятиугольник), добавляя еще 4 длины хорд, которые чередуются с 4 длинами хорд 24-ячеечного многоугольника.
4. 24-ячейка содержит 16 шестиугольников. В 600-ячейке с 25 24-ячейками каждая 24-ячейка не пересекается с 8 24-ячейками и пересекает каждую из других 16 24-ячеек в шести вершинах, которые образуют шестиугольник. ^[12] 600-ячейка содержит 25・16/2 = 200 таких шестиугольников.
5. В случаях, когда вписанные 4-многогранники одного и того же вида занимают непересекающиеся наборы вершин (например, две 16-ячейки, вписанные в тессеракт, или три 16-ячейки, вписанные в 24-ячейку), их наборы вершинных хорд, центральных многоугольников и ячеек также должны быть непересекающимися. В случаях, когда они разделяют вершины (например, три тессеракта, вписанные в 24-ячейку, или 25 24-ячеек, вписанных в 600-ячейку), они также разделяют некоторые вершинные хорды и центральные многоугольники. ^[d]
6. 600-ячейка содержит ровно 25 24-ячеек, 75 16-ячеек и 75 8-ячеек, причем каждая 16-ячейка и каждая 8-ячейка лежат только в одной 24-ячейке. ^[21]
7. Многогранники полностью не пересекаются , если все их наборы элементов не пересекаются: они не имеют общих вершин, ребер, граней или ячеек. Они могут по-прежнему перекрываться в пространстве, разделяя 4-контент, объем, площадь или происхождение.
8. Каждая из 25 24-ячеек 600-ячеек содержит ровно одну вершину каждого большого пятиугольника. ^[12] Шесть пятиугольников пересекаются в каждой 600-ячеечной вершине, поэтому каждая 24-ячейка пересекает все 144 больших пятиугольника.
9. Пять 24-ячеек встречаются в каждой вершине икосаэдрической пирамиды ^[p] 600-ячейки. Каждая 24-ячейка делит не одну вершину, а 6 вершин (одну из своих четырех шестиугольных центральных плоскостей) с каждой из четырех других 24-ячеек. ^[d]
10. Schoute был первым, кто заявил (столетие назад), что существует ровно десять способов разбить 120 вершин 600-ячейки на пять непересекающихся 24-ячеек. 25 24-ячеек можно разместить в массиве 5 x 5 таким образом, что каждая строка и каждый столбец массива разбивают 120 вершин 600-ячейки на пять непересекающихся 24-ячеек. Строки и столбцы массива являются единственными десятью такими разбиениями 600-ячейки. ^[21]
11. 600-ячейка содержит 25 отдельных 24-ячеек, связанных друг с другом пятиугольными кольцами. Каждый пятиугольник связывает вместе пять полностью непересекающихся ^[g] 24-ячеек, общие вершины которых являются 120 вершинами 600-ячейки. Каждая 24-точечная 24-ячейка содержит одну пятую всех вершин в 120-точечной 600-ячейке и связана с другими 96 вершинами (которые составляют курносую 24-ячейку) 144 пятиугольниками 600-ячейки. Каждая из 25 24-ячеек пересекает каждый из 144 больших пятиугольников только в одной вершине. ^[h] Пять 24-ячеек встречаются в каждой вершине 600-ячейки, ^[i] поэтому все 25 24-ячеек связаны каждым большим пятиугольником. 600-ячейку можно разбить на пять непересекающихся 24-ячеек (10 различными способами), ^[j] а также на 24 непересекающихся пятиугольника (вписанных в 12 параллельных больших десятиугольников Клиффорда одного из 6 десятиугольных расслоений), выбрав пятиугольник из того же расслоения в каждой 24-ячеечной вершине.
12. Углы 𝜉 _i и 𝜉 _j являются углами поворота в двух полностью ортогональных инвариантных плоскостях, которые характеризуют повороты в 4-мерном евклидовом пространстве . Угол 𝜂 является наклоном обеих этих плоскостей от полярной оси, где 𝜂 изменяется от 0 до ⁠𝜋/2⁠ . Координаты (𝜉 _i , 0, 𝜉 _j ) описывают большие окружности, которые пересекаются на северном и южном полюсах («линии долготы»). (𝜉 _i , ⁠𝜋/2⁠ , 𝜉 _j ) координаты описывают большие окружности, ортогональные долготе («экваторы»); в 4-многограннике есть более одного большого круга «экватора», поскольку экватор 3-сферы — это целая 2-сфера больших окружностей. Другие координаты Хопфа (𝜉 _i , 0 < 𝜂 < ⁠𝜋/2⁠ , 𝜉 _j ) описывают большие окружности ( не «линии широты»), которые пересекают экватор, но не проходят через северный или южный полюс.
13. Преобразование из координат Хопфа (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j ) в декартовы координаты единичного радиуса (w, x, y, z) выглядит следующим образом:
    

    w = cos 𝜉 _i sin 𝜂

    x = cos 𝜉 _j cos 𝜂

    y = sin 𝜉 _j cos 𝜂

    z = sin 𝜉 _i sin 𝜂

    Полюс начала Хопфа (0, 0, 0) является декартовым (0, 1, 0, 0). Обычный «северный полюс» декартовой стандартной ориентации — это (0, 0, 1, 0), который является Хопфом ( ⁠𝜋/2⁠ , ⁠𝜋/2⁠ , ⁠𝜋/2⁠ ). Декартово (1, 0, 0, 0) — это Хопф (0, ⁠𝜋/2⁠ , 0).
14. Координаты Хопфа представляют собой тройки из трех углов:

    (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j )

    которые параметризуют 3-сферу путем нумерации точек вдоль ее больших окружностей. Координата Хопфа описывает точку как вращение из полярной точки (0, 0, 0). ^[l] Координаты Хопфа являются естественной альтернативой декартовым координатам ^[m] для построения правильных выпуклых 4-многогранников, поскольку группа 4-мерных вращений , обозначаемая SO(4), порождает эти многогранники.
15. Существует 600 перестановок этих координат, но в 600-ячейке всего 120 вершин. На самом деле это координаты Хопфа вершин 120-ячейки , которая имеет 600 вершин и может рассматриваться (двумя разными способами) как соединение 5 непересекающихся 600-ячеек.
16. В искривленном 3-мерном пространстве граничной поверхности 600-ячеечной структуры в каждой вершине можно найти двенадцать ближайших других вершин, окружающих вершину так же, как вершины икосаэдра окружают его центр. Двенадцать ребер 600-ячеечной структуры сходятся в центре икосаэдра, где они, по-видимому, образуют шесть прямых линий, которые там пересекаются. Однако центр фактически смещен в 4-м измерении (радиально наружу от центра 600-ячеечной структуры) из гиперплоскости, определяемой вершинами икосаэдра. Таким образом, вершинный икосаэдр на самом деле является канонической икосаэдрической пирамидой , ^[bj] состоящей из 20 правильных тетраэдров на правильном икосаэдрическом основании, а вершина является ее вершиной. ^[bk]
17. Дробно-корневые золотые хорды — это иррациональные дроби, которые являются функциями √ 5. Они иллюстрируют, что золотое сечение φ = ⁠1 + √ 5/2⁠ ≈ 1,618 — это отношение окружности к 𝜋 : ^[20]
    

    ⁠𝜋/5⁠ = arccos ( ⁠φ/2⁠ )

    одно ребро декагона, хорда 𝚽 = √ 0.𝚫 = √ 0.382~ ≈ 0.618. Обратно, в этой функции, открытой Робертом Эверестом, выражающей φ как функцию 𝜋 и чисел 1, 2, 3 и 5 ряда Фибоначчи:
    

    φ = 1 – 2 cos ( ⁠3𝜋/5⁠ )

    ⁠3𝜋/5⁠ — длина дуги хорды φ = √ 2.𝚽 = √ 2.618~ ≈ 1.618.
18. Ребра из 600 ячеек являются ребрами декагона длиной √ 0.𝚫 , что равно 𝚽, меньшему золотому сечению √ 5 ; ребра находятся в обратном золотом сечении ⁠1/φ⁠ к хордам шестиугольника √ 1 (ребрам из 24 ячеек). Другие хорды дробного корня также демонстрируют золотые соотношения. Хорда длиной √ 1.𝚫 является ребром пятиугольника. Следующая хорда дробного корня является диагональю десятиугольника длиной √ 2.𝚽 , которая равна φ , большему золотому сечению √ 5 ; она находится в золотом отношении ^[q] к хорде √ 1 (и радиусу). ^[t] Последняя хорда дробного корня является диагональю пятиугольника длиной √ 3.𝚽 . Диагональ правильного пятиугольника всегда находится в золотом отношении к его ребру, и действительно φ √ 1.𝚫 равно √ 3.𝚽 .
19. Дробные квадратные корни представлены в виде десятичных дробей, где:
           𝚽 ≈ 0,618 — обратное золотое сечение        𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽 ² ≈ 0,382 Например:        𝚽 = √ 0.𝚫 = √ 0,382~ ≈ 0,618 ${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}=\phi ^{-1}}$
    
    
    
20. Обратите внимание на диаграмму, как хорда φ ( большее золотое сечение) в сумме с соседним ребром 𝚽 ( меньшее золотое сечение) дает √ 5 , как если бы вместе они были хордой √ 5 , изогнутой так, чтобы поместиться внутри диаметра √ 4 .
21. Рассмотрим одну из 24-вершинных 24-ячеек, вписанных в 120-вершинную 600-ячейку. Остальные 96 вершин образуют плосконосую 24-ячейку . Удаление любой одной 24-ячейки из 600-ячейки дает плосконосую 24-ячейку.
22. Каждая тетраэдрическая ячейка касается, каким-то образом, 56 других ячеек. Одна ячейка касается каждой из четырех граней; две ячейки касаются каждого из шести ребер, но не грани; и десять ячеек касаются каждой из четырех вершин, но не грани или ребра.
23. Длинный радиус (от центра до вершины) 24-ячейки равен длине ее ребра; таким образом, его длинный диаметр (от вершины до противоположной вершины) равен 2 длинам ребра. Только несколько однородных многогранников обладают этим свойством, включая четырехмерную 24-ячейку и тессеракт , трехмерный кубооктаэдр и двумерный шестиугольник . (Кубоктаэдр является экваториальным сечением 24-ячейки, а шестиугольник является экваториальным сечением кубооктаэдра.) Радиально равносторонние многогранники — это те, которые могут быть построены с их длинными радиусами из равносторонних треугольников, которые встречаются в центре многогранника, каждый из которых вносит два радиуса и ребро.
24. Ортосхема — это хиральный неправильный симплекс с прямоугольными треугольными гранями, характерный для некоторого многогранника, если он точно заполнит этот многогранник своими отражениями в его собственных гранях ( зеркальными стенками ). Каждый правильный многогранник можно разбить радиально на экземпляры его характеристической ортосхемы, окружающей его центр. Характеристическая ортосхема имеет форму, описываемую той же диаграммой Коксетера-Дынкина , что и правильный многогранник без кольца образующих точек .
25. Ортосхема — это обобщение прямоугольного треугольника на симплексные фигуры любого числа измерений. Каждый правильный многогранник может быть радиально разделен на идентичные характеристические ортосхемы , которые встречаются в его центре. ^[x]
26. Все многогранники могут быть радиально триангулированы в треугольники, которые встречаются в их центре, причем каждый треугольник вносит два радиуса и одно ребро. Существует (по крайней мере) три специальных класса многогранников, которые являются радиально треугольными с помощью специального вида треугольника. Радиально равносторонние многогранники могут быть построены из идентичных равносторонних треугольников , которые все встречаются в центре. ^[w] Радиально золотые многогранники могут быть построены из идентичных золотых треугольников , которые все встречаются в центре. Все правильные многогранники являются радиально прямыми многогранниками, которые могут быть построены, с их различными центрами элементов и радиусами, из идентичных характеристических ортосхем , которые все встречаются в центре, подразделяя правильный многогранник на характеристические прямоугольные треугольники , которые встречаются в центре. ^[y]
27. Длинный радиус (от центра до вершины) 600-ячейки находится в золотом отношении к длине ее ребра; таким образом, ее радиус равен φ, если длина ее ребра равна 1, а длина ее ребра равна ⁠1/φ⁠ если его радиус равен 1.
28. Начиная с 16-ячейки, каждый правильный выпуклый 4-многогранник в последовательности единичного радиуса вписывается в своего преемника. ^[6] Поэтому преемник может быть построен путем размещения 4-пирамид некоторого вида на ячейках его предшественника. Между 16-ячейкой и тессерактом у нас есть 16 правильных тетраэдрических пирамид , вершины которых заполняют углы тессеракта. Между тессерактом и 24-ячейкой у нас есть 8 канонических кубических пирамид . Но если мы поместим 24 канонические октаэдрические пирамиды на 24-ячейку, мы получим только другой тессеракт (удвоенного радиуса и длины ребра), а не последующий 600-ячейник. Между 24-ячейкой и 600-ячейкой должно быть 24 меньших, неправильных 4-пирамид на правильном октаэдрическом основании.
29. Шесть больших декагонов, проходящих мимо каждой тетраэдрической ячейки вдоль ее ребер, не все пересекаются друг с другом, потому что не все 6 ребер тетраэдра имеют общую вершину. Каждый декагон пересекает четыре других (под углом 60 градусов), но только пропускает один из других, когда они проходят мимо друг друга (под углом 90 градусов) вдоль противоположных и перпендикулярных скошенных ребер тетраэдра. Каждый тетраэдр связывает три пары декагонов, которые не пересекаются в вершине тетраэдра. Однако ни один из шести декагонов не является параллельным Клиффорду; ^[af] каждый принадлежит другому расслоению волокон Хопфа из 12. Только одно из шести ребер тетраэдра может быть частью спирали в любом кольце тройной спирали Бурдейка–Коксетера. ^[ad] Кстати, эта сноска является одной из четырех сносок о параллельных декагонах Клиффорда ^[ae], которые все ссылаются друг на друга.
30. Поскольку тетраэдры ^[ac] не имеют противоположных граней, единственный способ, которым они могут быть сложены лицом к лицу по прямой линии, — это в форме скрученной цепи, называемой спиралью Бурдейка-Коксетера . Это параллельная Клиффорду ^[af] тройная спираль, как показано на иллюстрации. В 600-ячейке мы находим их изогнутыми в четвертом измерении в геодезические кольца. Каждое кольцо имеет 30 ячеек и касается 30 вершин. Каждая ячейка соединена гранями с двумя соседними ячейками, но одно из шести ребер каждого тетраэдра принадлежит только этой ячейке, и эти 30 ребер образуют 3 параллельных Клиффорду больших декагона, которые закручиваются по спирали друг вокруг друга. ^[ae] 5 30-ячейковых колец встречаются в и закручиваются по спирали вокруг каждого декагона (как 5 тетраэдров встречаются на каждом ребре). Связка из 20 таких колец, не пересекающихся по ячейкам, заполняет все 600 ячеек, образуя таким образом дискретное расслоение Хопфа . Существует 6 различных расслоений Хопфа, покрывающих одно и то же пространство, но идущих в разных «направлениях».
31. Два больших десятиугольника, параллельных Клиффорду ^[af], не пересекаются, но их соответствующие вершины связаны одним ребром другого десятиугольника. Два параллельных десятиугольника и десять связующих ребер образуют двойное спиральное кольцо. Три десятиугольника также могут быть параллельными (десятиугольники поставляются в параллельных пучках волокон по 12), и три из них могут образовать тройное спиральное кольцо. Если кольцо разрезать и разложить на плоскости в 3-мерном пространстве, то это будет спираль Бурдейка–Коксетера ^[ad] длиной 30 тетраэдров ^[ac] . Три параллельных десятиугольника Клиффорда можно увидеть как голубые ребра на иллюстрации тройной спирали. Каждое пурпурное ребро является одним ребром другого десятиугольника, связывающего два параллельных десятиугольника.

32. 

    Два больших параллельных круга Клиффорда , охваченных скрученным кольцом .

    Параллели Клиффорда — это непересекающиеся кривые линии, которые параллельны в том смысле, что перпендикулярное (кратчайшее) расстояние между ними одинаково в каждой точке. Двойная спираль — пример параллелизма Клиффорда в обычном 3-мерном евклидовом пространстве. В 4-мерном пространстве параллели Клиффорда встречаются как геодезические большие окружности на 3-мерной сфере . ^[23] В то время как в 3-мерном пространстве любые две геодезические большие окружности на 2-мерной сфере всегда будут пересекаться в двух антиподных точках, в 4-мерном пространстве не все большие окружности пересекаются; на 3-мерной сфере можно найти различные наборы параллельных Клиффорду непересекающихся геодезических больших окружностей. Они закручиваются вокруг друг друга в пучках волокон Хопфа , которые в 600-ячейке посещают все 120 вершин только один раз. Например, каждый из 600 тетраэдров участвует в 6 больших декагонах ^[ac], принадлежащих 6 дискретным расслоениям Хопфа , каждое из которых заполняет все 600 ячеек. Каждое расслоение представляет собой связку из 12 параллельных декагонов Клиффорда, которые образуют 20 непересекающихся ячеек переплетающихся колец из 30 тетраэдрических ячеек, ^[ad] каждое из которых ограничено тремя из 12 больших декагонов. ^[ae]
33. 10 шестиугольников, пересекающихся в каждой вершине, лежат вдоль 20 коротких радиусов вершинной фигуры икосаэдра. ^[p]
34. 25 вписанных 24-ячеек имеют по 3 вписанных тессеракта, каждый из которых имеет 8 √ 1 кубических ячеек. 1200 √ 3 хорд — это 4 длинных диаметра этих 600 кубов. Три тессеракта в каждой 24-ячеечной перекрываются, и каждая √ 3 хорда — это длинная окружность двух разных кубов, в двух разных тессерактах, в двух разных 24-ячейках. Каждый куб принадлежит только одному тессеракту только в одной 24-ячейке.
35. Сумма 0,𝚫・720 + 1・1200 + 1,𝚫・720 + 2・1800 + 2,𝚽・720 + 3・1200 + 3,𝚽・720 + 4・60 равна 14 400.
36. Сумма квадратов длин всех различных хорд любого правильного выпуклого n-мерного многогранника единичного радиуса равна квадрату числа вершин. ^[28]
37. Триаконтагон или 30-угольник — это тридцатисторонний многоугольник. Триаконтагон — это самый большой правильный многоугольник, внутренний угол которого равен сумме внутренних углов меньших многоугольников: 168° — это сумма внутренних углов равностороннего треугольника (60°) и правильного пятиугольника (108°).
38. 600-ячейка имеет 72 больших 30-угольника: 6 наборов из 12 параллельных Клиффорду 30-угольников, каждый из которых полностью ортогонален центральной плоскости декагона. В отличие от больших окружностей 600-ячейки единичного радиуса, которые проходят через ее вершины, этот 30-угольник на самом деле не является большой окружностью 3-сферы единичного радиуса. Поскольку он проходит через центры граней, а не вершины, он имеет меньший радиус и лежит на меньшей 3-сфере. Конечно, в этой центральной плоскости также есть большая окружность единичного радиуса, полностью ортогональная центральной плоскости декагона, но как большой круговой многоугольник он является 0-угольником, а не 30-угольником, потому что он не пересекает ни одну из точек 600-ячейки. В 600-ячейке большой круговой многоугольник, полностью ортогональный каждому большому декагону, является 0-угольником.
39. 30 вершин и 30 ребер 30-ячеечного кольца лежат на косом звездчатом многоугольнике {30/11} с числом витков 11, называемом триаконтаграммой ₁₁ , непрерывной тугой спиралью штопора, изогнутой в петлю из 30 ребер (пурпурные ребра на иллюстрации тройной спирали), которая обвивается вокруг себя 11 раз в ходе одного оборота вокруг 600-ячеечного кольца, сопровождаемого одним поворотом на 360 градусов 30-ячеечного кольца. ^[34] То же самое 30-ячеечное кольцо можно также охарактеризовать как многоугольник Петри 600-ячеечного кольца. ^[cf]
40. Каждая большая центральная плоскость декагона полностью ортогональна большой центральной плоскости 30-угольника ^[ak] , которая не пересекает ни одной вершины 600-ячейки. Каждый из 72 30-угольников является центральной осью 30-ячеечного кольца тройной спирали Бурдейка–Коксетера, ^[ad] причем каждый сегмент 30-угольника проходит через тетраэдр аналогичным образом. 30-угольный большой круг полностью находится в искривленной 3-мерной поверхности своей 3-сферы; ^[al] его искривленные сегменты не являются хордами. Он не касается никаких ребер или вершин, но касается граней. Это центральная ось спирального перекошенного 30-грамма, многоугольника Петри 600-ячейки, который связывает все 30 вершин 30-ячеечной спирали Бурдейка–Коксетера, с тремя его ребрами в каждой ячейке. ^{[являюсь]}
41. Точка при изоклиническом вращении пересекает диагональную ^[cr] прямую линию одной изоклинной геодезической , достигая своей цели напрямую, а не по изогнутой линии двух последовательных простых геодезических . Геодезическая — это кратчайший путь через пространство (интуитивно, нить, натянутая между двумя точками). Простые геодезические — это большие окружности, лежащие в центральной плоскости (единственный вид геодезических, которые встречаются в 3-пространстве на 2-сфере). Изоклинные геодезические отличаются: они не лежат в одной плоскости; они представляют собой 4-мерные спирали, а не простые 2-мерные окружности. ^[bf] Но они также не похожи на 3-мерную винтовую резьбу , потому что они образуют замкнутую петлю, как и любая окружность. ^[cs] Изоклинные геодезические — это 4-мерные большие окружности , и они такие же круговые, как и 2-мерные окружности: фактически, вдвое более круговые, потому что они изгибаются по окружности в двух полностью ортогональных направлениях одновременно. ^[ch] Они являются истинными окружностями, ^[cn] и даже образуют расслоения , как обычные 2-мерные большие окружности. Эти изоклины — геодезические 1-мерные линии, вложенные в 4-мерное пространство. На 3-мерной сфере ^[ct] они всегда встречаются в хиральных парах как окружности Вилларсо на торе Клиффорда , ^[cw] геодезические пути, пройденные вершинами при изоклиническом вращении . Они представляют собой спирали, согнутые в петлю Мёбиуса в четвертом измерении, проходящие по диагональному извилистому маршруту вокруг 3-мерной сферы через несмежные вершины косого многоугольника Клиффорда 4-мерного многогранника . ^[cv]
42. В 4-мерном пространстве не более 4 больших окружностей могут быть параллельны Клиффорду ^[af] и все на одинаковом угловом расстоянии друг от друга. ^[30] Такие центральные плоскости взаимно изоклинны : каждая пара плоскостей разделена двумя равными углами, и изоклинное вращение на этот угол сведет их вместе. Когда три или четыре такие плоскости разделены одним и тем же углом, они называются эквиизоклинными .
43. Десятиугольные плоскости в 600-ячейке встречаются в эквиизоклинных ^[ap] группах по 3, везде, где 3 параллельных десятиугольника Клиффорда 36° ( ⁠𝝅/5⁠ ) ​​отдельно образуют 30-ячеечное кольцо тройной спирали Бурдейка–Коксетера. ^[ad] Также параллельно этим 3 декагонам Клиффорда находятся 3 эквиизоклинных декагона 72° ( ⁠2𝝅/5⁠ ) ​​друг от друга, 3 108° ( ⁠3𝝅/5⁠ ) ​​друг от друга, и 3 144° ( ⁠4𝝅/5⁠ ) ​​в отдельности, всего 12 параллельных декагонов Клиффорда (120 вершин), которые составляют дискретное расслоение Хопфа. Поскольку большие декагоны лежат в изоклинных плоскостях, разделенных двумя равными углами, их соответствующие вершины разделены объединенным вектором относительно обоих углов. Векторы в 4-мерном пространстве могут быть объединены кватернионным умножением , открытым Гамильтоном . ^[31] Соответствующие вершины двух больших многоугольников, которые составляют 36° ( ⁠𝝅/5⁠ ) ​​друг от друга изоклинным вращением составляют 60° ( ⁠𝝅/3⁠ ) ​​друг от друга в 4-мерном пространстве. Соответствующие вершины двух больших многоугольников, которые составляют 108° ( ⁠3𝝅/5⁠ ) ​​друг от друга изоклинным вращением также составляют 60° ( ⁠𝝅/3⁠ ) ​​друг от друга в 4-мерном пространстве. Соответствующие вершины двух больших многоугольников, которые составляют 72° ( ⁠2𝝅/5⁠ ) ​​друг от друга изоклинным вращением составляют 120° ( ⁠2𝝅/3⁠ ) ​​друг от друга в 4-мерном пространстве, и соответствующие вершины двух больших многоугольников, которые составляют 144° ( ⁠4𝝅/5⁠ ) ​​друг от друга изоклинным вращением также составляют 120° ( ⁠2𝝅/3⁠ ) ​​друг от друга в 4-мерном пространстве.
44. Шестиугольные плоскости в 600-ячейке встречаются в эквиизоклинных ^[ap] группах по 4, везде, где 4 параллельных шестиугольника Клиффорда 60° ( ⁠𝝅/3⁠ ) ​​отдельно образуют 24-ячейку. Также параллельно этим 4 шестиугольникам Клиффорда есть 4 равноизоклинных шестиугольника 36° ( ⁠𝝅/5⁠ ) ​​друг от друга, 4 72° ( ⁠2𝝅/5⁠ ) ​​друг от друга, 4 108° ( ⁠3𝝅/5⁠ ) ​​друг от друга, и 4 144° ( ⁠4𝝅/5⁠ ) ​​в отдельности, в общей сложности 20 параллельных шестиугольников Клиффорда (120 вершин), которые составляют дискретное расслоение Хопфа.
45. Квадратные плоскости в 600-ячеечной системе встречаются в эквиизоклинных ^[ap] группах по 2, везде, где 2 параллельных квадрата Клиффорда 90° ( ⁠𝝅/2⁠ ) ​​отдельно образуют 16-ячеечную. Также параллельные Клиффорду к этим 2 квадратам образуют 4 эквиизоклинные группы по 4, где 3 параллельные Клиффорду 16-ячеечные 60° ( ⁠𝝅/3⁠ ) ​​отдельно образуют 24-ячеечную. Также параллель Клиффорда представляет собой 4 эквиизоклинные группы по 3: 3 36° ( ⁠𝝅/5⁠ ) ​​друг от друга, 3 72° ( ⁠2𝝅/5⁠ ) ​​друг от друга, 3 108° ( ⁠3𝝅/5⁠ ) ​​друг от друга, и 3 144° ( ⁠4𝝅/5⁠ ) ​​в отдельности, в общей сложности 30 параллельных квадратов Клиффорда (120 вершин), которые составляют дискретное расслоение Хопфа.
46. Для фиксации относительного положения двух плоскостей в 4-пространстве требуются два угла. ^[29] Поскольку все плоскости в одной гиперплоскости отстоят друг от друга на 0 градусов в одном из двух углов, в 3-пространстве требуется только один угол. Большие декагоны кратны (от 0 до 4) 36° ( ⁠𝝅/5⁠ ) ​​друг от друга в каждом углу, и могут быть на одинаковом расстоянии друг от друга в обоих углах. ^[aq] Большие шестиугольники могут быть 60° ( ⁠𝝅/3⁠ ) ​​друг от друга в одном или обоих углах и может быть кратным (от 0 до 4) 36° ( ⁠𝝅/5⁠ ) ​​друг от друга в одном или обоих углах. ^[ar] Большие квадраты могут быть 90° ( ⁠𝝅/2⁠ ) ​​друг от друга в одном или обоих углах, может быть 60° ( ⁠𝝅/3⁠ ) ​​друг от друга в одном или обоих углах и может быть кратным (от 0 до 4) 36° ( ⁠𝝅/5⁠ ) ​​друг от друга в одном или обоих углах. ^[as] Плоскости, которые разделены двумя равными углами, называются изоклинными . ^[ap] Плоскости, которые являются изоклинными, имеют параллельные большие окружности Клиффорда. ^[af] Большой шестиугольник и большой десятиугольник могут быть изоклинными, но чаще всего они разделены ⁠𝝅/3⁠ (60°) угол и кратное (от 1 до 4) ⁠𝝅/5⁠ (36°) угол.
47. В 24-ячейке каждая плоскость большого квадрата полностью ортогональна другой плоскости большого квадрата, а каждая плоскость большого шестиугольника полностью ортогональна плоскости, пересекающей только две противоположные вершины: плоскости большого двуугольника .
48. Каждое расслоение Хопфа 3-сферы на параллельные Клиффорду большие круговые волокна имеет карту (называемую его базой ), которая является обычной 2-сферой . ^[42] На этой карте каждое большое круговое волокно отображается как одна точка. Базой большого десятиугольного расслоения 600-ячейки является икосаэдр , в котором каждая вершина представляет один из 12 больших десятиугольников. ^[24] Для тополога база не обязательно является какой-либо частью того, что она отображает: базовый икосаэдр не должен быть ячейкой или внутренней особенностью 600-ячейки, это просто размерно аналогичная сфера, ^[bc] полезная для рассуждений о расслоении. Но на самом деле в 600-ячейке есть икосаэдры: 120 икосаэдрических вершинных фигур , ^[p] любую из которых можно рассматривать как ее основание: 3-мерная модель в масштабе 1:10 всей 4-мерной 600-ячейки. Каждый 3-мерный вершинный икосаэдр поднимается до 4-мерной 600-ячейки изоклинным вращением на 720 градусов , ^[ao] которое берет каждую из его 4 непересекающихся треугольных граней в контур вокруг одного из 4 непересекающихся 30-вершинных колец из 30 тетраэдрических ячеек (каждая сплетена из 3 параллельных Клиффорду больших декагонов), и таким образом посещает все 120 вершин 600-ячейки. Поскольку 12 больших десятиугольных окружностей (из 4 колец) являются параллельными десятиугольниками Клиффорда того же самого расслоения, мы можем геометрически увидеть, как икосаэдр работает как карта расслоения Хопфа всего 600-ячеечного многогранника, и как расслоение Хопфа является выражением изоклинной симметрии . [ ^43]
49. Правильный косой 30-угольник является многоугольником Петри 600-ячейки и его двойственным 120-ячейкой . Многоугольники Петри 120-ячейки встречаются в 600-ячейке как двойственные 30-ячейным спиральным кольцам Бурдейка–Коксетера: соединение их 30-ячеечных центров вместе дает многоугольники Петри двойственной 120-ячейки, как заметил Рольфдитер Франк (около 2001 г.). Таким образом, он обнаружил, что множество вершин 120-ячейки разбивается на 20 непересекающихся многоугольников Петри. Этот набор из 20 непересекающихся параллельных косых многоугольников Клиффорда является дискретным расслоением Хопфа 120-ячейки (точно так же, как их 20 двойственных 30-ячейковых колец являются дискретным расслоением 600-ячейки).
50. Это √ 2 тетраэдрических ячеек 75 вписанных 16-ячеек, а не √ 0.𝚫 тетраэдрических ячеек 600-ячеек.
51. ‟Многоугольники Петри Платонового тела соответствуют экваториальным многоугольникам усечения и экваторам симплициально подразделенной сферической мозаики . Это « симплициальное подразделение » представляет собой расположение прямоугольных сферических треугольников, на которые сфера разбивается плоскостями симметрии тела. Большие круги, лежащие в этих плоскостях, ранее назывались «линиями симметрии», но, возможно, более ярким названием являются отражающие круги . Аналогичное симплициальное подразделение сферических сот состоит из тетраэдров 0123 , на которые гиперсфера (в евклидовом 4-пространстве) разбивается гиперплоскостями симметрии политопа . Большие сферы, лежащие в этих гиперплоскостях, естественно называются отражающими сферами . Поскольку ортосхема не имеет тупых углов, она целиком содержит дугу, которая измеряет абсолютно кратчайшее расстояние 𝝅/ h [между] 2 h тетраэдрами [которые] нанизаны как бусины на ожерелье, или как "вращающееся кольцо тетраэдров" ... чьи противоположные ребра являются образующими геликоида. Два противоположных ребра каждого тетраэдра связаны винтовым смещением. ^[bo] Следовательно, общее число сфер равно 2 h .” ^[66] ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle \{{\tfrac {p}{q}}\}}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle g=g_{p,q}}$ ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle g=g_{p,q,r}}$ ${\displaystyle \{p,q,r\}}$
52. Кольца параллельных ячеек Клиффорда расслоения могут быть или не быть хиральными объектами, в зависимости от того, имеют ли ячейки 4-политопа противоположные грани или нет. Характерные кольца ячеек 16- и 600-ячеек (с тетраэдрическими ячейками) хиральны: они закручены либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Изоклины, действующие либо с левой, либо с правой хиральностью (не с обеими), проходят через кольца ячеек этого типа, хотя каждое расслоение содержит как левые, так и правые кольца ячеек. ^[dk] Характерные кольца ячеек тессеракта, 24- и 120-ячеек (с кубическими, октаэдрическими и додекаэдрическими ячейками соответственно) являются непосредственно конгруэнтными, а не хиральными: в каждом из этих 4-политопов есть только один тип характерных колец ячеек, и он не закручен (не имеет кручения ). Пары левосторонних и правосторонних изоклин проходят через кольца ячеек этого типа. Обратите внимание, что все эти 4-ячеечные многогранники (за исключением 16-ячеечного) содержат расслоения характерных колец ячеек своих вписанных предшественников в дополнение к их собственным характерным расслоениям, поэтому 600-ячеечный многогранник содержит как хиральные, так и непосредственно конгруэнтные кольца ячеек.
53. Выбор разбиения правильного 4-многогранника на клеточные кольца произволен, поскольку все его ячейки идентичны. Никакое конкретное расслоение не выделяется, если только 4-многогранник не вращается. В изоклинических вращениях один набор клеточных колец (одно расслоение) выделяется как уникальный контейнер этой отдельной пары лево-правых вращений и ее изоклин.
54. Единственный способ разбить 120 вершин 600-ячеечного графа на 4 полностью непересекающихся кольца по 30 вершин и 30 ячеек ^[ad] — это разбить каждую из 15 полностью непересекающихся 16-ячеек аналогичным образом на 4 симметричные части: 4 пары противоположных вершин, лежащие на 4 ортогональных осях 16-ячеечной графа. 600-ячейка содержит 75 различных 16-ячеек, которые можно разбить на наборы по 15 полностью непересекающихся 16-ячеек. В любом наборе из 4 полностью непересекающихся 30-ячеечных колец существует набор из 15 полностью непересекающихся 16-ячеек, с одной осью каждой 16-ячейки в каждом кольце из 30 ячеек.
55. Можно спросить, «всегда ли работает» размерная аналогия, или это, возможно, «просто догадки», которые иногда не способны создать правильную размерно аналогичную фигуру, особенно при рассуждениях от низшего к высшему измерению. По-видимому, размерная аналогия в обоих направлениях имеет прочные математические основы. Дешант ^[41] вывел группы симметрии 4D из их аналогов групп симметрии 3D по индукции, продемонстрировав, что в симметрии 4D нет ничего, что уже не было бы присуще симметрии 3D. Он показал, что ни симметрия 4D, ни симметрия 3D не являются более фундаментальными, чем другая, поскольку любая из них может быть выведена из другой. Это верно независимо от того, вычисляются ли размерные аналогии с помощью теории групп Коксетера или геометрической алгебры Клиффорда. Эти два довольно разных вида математики вносят взаимодополняющие геометрические идеи. Другим ярким примером размерной аналогии в математике является расслоение Хопфа , отображение между точками на 2-сфере и непересекающимися (параллель Клиффорда) большими окружностями на 3-сфере.
56. В отличие от ограничивающих их декагонов, сами 20-клеточные кольца не все параллельны друг другу по Клиффорду, потому что только полностью непересекающиеся многогранники параллельны по Клиффорду. ^[g] 20-клеточные кольца имеют 5 различных подмножеств из 4-клеточных колец с параллельными Клиффорду элементами. Каждое клеточное кольцо ограничено 3-мя большими декагонами с параллельными Клиффорду элементами, поэтому каждое подмножество из 4-клеточных колец с параллельными Клиффорду элементами ограничено в общей сложности 12-ю большими декагонами с параллельными Клиффорду элементами (дискретное расслоение Хопфа). Фактически каждое из 5 различных подмножеств из 4-клеточных колец ограничено теми же 12-ю большими декагонами с параллельными Клиффорду элементами (то же расслоение Хопфа); существует 5 различных способов увидеть те же 12 декагонов как набор из 4-клеточных колец (и, что эквивалентно, только один способ увидеть их как один набор из 20-клеточных колец).
57. Обратите внимание, что разноцветные спирали ячеек — это разные кольца ячеек (или кольцевые отверстия) в одном и том же расслоении, а не разные расслоения 4-политопа. Каждое расслоение — это весь 4-политоп.
58. В двойном вращении можно сказать, что каждая вершина движется по двум полностью ортогональным большим окружностям одновременно, но она не остается в центральной плоскости ни одной из этих исходных больших окружностей; вместо этого она движется по винтовой геодезической, которая проходит по диагонали между большими окружностями. Две полностью ортогональные плоскости вращения называются инвариантными , поскольку точки в каждой остаются на своих местах в плоскости , когда плоскость движется , вращаясь и наклоняясь вбок на угол, на который вращается другая плоскость.
59. Полюса инвариантной оси вращающейся 2-сферы размерно аналогичны паре инвариантных плоскостей вращающейся 3-сферы. Полюса вращающейся 2-сферы размерно аналогичны связанным большим окружностям на 3-сфере. По размерной аналогии каждая 1D-точка в 3D поднимается до 2D-линии в 4D, в данном случае окружности. ^[av] Два антиподных полюса вращения поднимаются до пары круговых волокон Хопфа, которые не просто параллельны Клиффорду и взаимосвязаны, ^[af], но и полностью ортогональны . Инвариантные большие окружности 4D-вращения являются его полюсами. В случае изоклинического вращения существует не просто одна такая пара 2D-полюсов (полностью ортогональные волокна большого круга Хопфа), таких пар много: конечное число пар окружностей, если расслоение 3-сферы дискретно (например, правильный многогранник с конечным числом вершин), или же бесконечное число ортогональных пар окружностей, полностью заполняющих 3-сферу. Каждая точка в искривленном 3-пространстве 3-сферы лежит на одной такой окружности (никогда на двух, поскольку полностью ортогональные окружности, как все параллельные Клиффорду волокна большого круга Хопфа, не пересекаются). Там, где 2D-вращение имеет один полюс, а 3D-вращение 2-сферы имеет 2 полюса, изоклиническое 4D-вращение 3-сферы не имеет ничего, кроме полюсов , причем в бесконечном количестве. В дискретном 4-многограннике все Клиффордовы параллельные инвариантные большие многоугольники вращения являются полюсами, и они заполняют 4-многогранник, проходя через каждую вершину только один раз. За один полный оборот такого вращения каждая точка в пространстве проходит ровно один раз через свою окружность полюса. Окружности расположены с удивительной симметрией, так что каждая окружность полюса связана с каждой другой окружностью полюса , как максимально плотная ткань 4D- кольчуги , в которой все окружности связаны друг с другом, но никакие две окружности никогда не пересекаются.
60. 4 красные грани плосконосого тетраэдра соответствуют 4 полностью непересекающимся кольцам ячеек разреженной конструкции расслоения (его подрасслоения ). Красные грани центрированы на вершинах вписанного тетраэдра и лежат в центре больших граней вписывающего тетраэдра.
61. Поскольку октаэдр может быть усечён плосконосым, давая икосаэдр, ^[48] другое название икосаэдра — плосконосый октаэдр . Этот термин относится конкретно к более низкосимметричному расположению граней икосаэдра (с 8 гранями одного цвета и 12 — другого).
62. 120-точечная 600-ячейка имеет 120 перекрывающихся икосаэдрических пирамид. ^[p]
63. Икосаэдр не является радиально равносторонним в евклидовом 3-пространстве, но икосаэдрическая пирамида является радиально равносторонней в искривленном 3-пространстве поверхности 600-ячейки ( 3-сферы ). В 4-пространстве 12 ребер, исходящих из ее вершины, на самом деле не являются ее радиусами: вершина икосаэдрической пирамиды на самом деле не является ее центром, а лишь одной из ее вершин. Но в искривленном 3-пространстве ребра, исходящие симметрично из вершины, являются радиусами, поэтому икосаэдр является радиально равносторонним в этом искривленном 3-пространстве . В евклидовом 4-пространстве 24 ребра, исходящих симметрично из центральной точки, образуют радиально равностороннюю 24-ячейку , а симметричное подмножество из 16 таких ребер образует радиально равносторонний тессеракт .
64. Ребро икосаэдра между двумя синими гранями окружено двумя синими ячейками икосаэдрической пирамиды и 3 ячейками из соседнего кластера из 5 ячеек (одна из которых является центральным тетраэдром из пяти)
65. Пятиугольные пирамиды вокруг каждой вершины икосаэдра " курносый октаэдр " выглядят одинаково, с двумя желтыми и тремя синими гранями. Каждый пятиугольник имеет пять различных вращательных ориентаций. Вращение любой пятиугольной пирамиды вращает их все, поэтому пять вращательных позиций - это единственные пять различных способов расположения цветов.
66. Обратите внимание, что сжатие является хиральным, поскольку есть два варианта диагонали, с которой можно начать складывать квадратные грани.
67. Пусть Q обозначает поворот, R — отражение, T — перенос, и пусть Q ^q R ^r T обозначает произведение нескольких таких преобразований, все коммутативные друг с другом. Тогда RT — скользящее отражение (в двух или трех измерениях), QR — поворотное отражение, QT — винтовое смещение, а Q ² — двойной поворот (в четырех измерениях). Каждое ортогональное преобразование выражается как
                Q ^q R ^r
    , где 2 q + r ≤ n , число измерений. Преобразования, включающие перенос, выражаются как
                Q ^q R ^r T
    , где 2 q + r + 1 ≤ n .
    Для n = 4 в частности, каждое смещение является либо двойным поворотом Q ² , либо винтовым смещением QT (где компонент поворота Q является простым поворотом). Каждое энантиоморфное преобразование в 4-пространстве (обратная хиральность) является QRT. ^[69]
68. Эти преобразования не входят в число ортогональных преобразований групп Коксетера, генерируемых отражениями. ^[bo] Они являются преобразованиями пиритоэдрической трехмерной группы симметрии , уникальной многогранной точечной группы, которая не является ни группой вращения, ни группой отражения. ^[53]
69. Внутри каждой 24-ячеечной октаэдрической центральной секции находится вершинный икосаэдр ^[p] (не внутри √ 1 октаэдрической ячейки, а в большем √ 2 октаэдре, который лежит в центральной гиперплоскости), и больший икосаэдр внутри каждого 24-ячеечного кубооктаэдра. Два икосаэдра разного размера являются второй и четвертой секциями 600-ячеечной (начинающимися с вершины). Октаэдр и кубооктаэдр являются центральными секциями 24-ячеечной (начинающимися с вершины и начинающимися с ячейки соответственно). ^[50] Кубооктаэдр, большой икосаэдр, октаэдр и малый икосаэдр вложены друг в друга как матрешки и связаны спиральным стягиванием. ^[51] Сжатие начинается с того, что квадратные грани кубооктаэдра складываются внутрь вдоль своих диагоналей, образуя пары треугольников. ^[bn] 12 вершин кубооктаэдра движутся навстречу друг другу до тех пор, пока не образуют правильный икосаэдр (большой икосаэдр); они немного сближаются, пока не образуют икосаэдр Йессена ; они продолжают спиралевидно приближаться друг к другу, пока не сольются в 8 вершин октаэдра; ^[52] и они продолжают двигаться по тем же винтовым траекториям, снова разделяясь на 12 вершин плосконосого октаэдра (малого икосаэдра). ^[bi] Геометрия этой последовательности преобразований ^[bp] в S 3 похожа на кинематику кубооктаэдра и икосаэдра тенсегрити в R 3 . Скручивающие, расширяюще-сжимающие преобразования между этими многогранниками были названы Бакминстером Фуллером преобразованиями Джиттербага . ^[54]
70. Эти 12 ячеек соединены ребрами с центральной ячейкой, лицевыми поверхностями с внешними гранями кластера из 5 и лицевыми поверхностями друг с другом попарно. Это ячейки с синими гранями в 6 различных икосаэдрических пирамидах, окружающих кластер из 5.
71. Тетраэдр √ 1 имеет объем 9 √ 0.𝚫 тетраэдрических ячеек. В изогнутом 3-мерном объеме 600 ячеек он охватывает кластер из 5 ячеек, которые не полностью заполняют его. 6 дипирамид (12 ячеек), которые вписываются в вогнутости кластера из 5 ячеек, переполняют его: только одна треть каждой дипирамиды лежит внутри тетраэдра √ 1. Дипирамиды вносят в него одну треть каждой из 12 ячеек, объем, эквивалентный 4 ячейкам.
72. 600-ячейка также содержит 600 октаэдров . Первая секция 600-ячейки, начинающаяся с ячейки, является тетраэдрической, а третья секция — октаэдрической. Эти внутренние октаэдры не являются ячейками 600-ячейки, поскольку они не являются объемно разделенными, но каждый из них является ячейкой одной из 25 внутренних 24-ячеек. 600-ячейка также содержит 600 кубов, каждый из которых является ячейкой одного из его 75 внутренних 8-ячеечных тессерактов. ^[ah]
73. Каждое √ 1 ребро октаэдрической ячейки является длинным диаметром другой тетраэдрической дипирамиды (еще две тетраэдрические ячейки, соединенные гранями). В 24-ячейке три октаэдрические ячейки окружают каждое ребро, поэтому одна треть дипирамиды лежит внутри каждого октаэдра, разделенная между двумя соседними вогнутыми гранями. Каждая вогнутая грань заполнена одной шестой каждой из трех дипирамид, которые окружают ее три ребра, поэтому она имеет тот же объем, что и одна тетраэдрическая ячейка.
74. Октаэдрическая ячейка √ 1 (любая 24-ячейка, вписанная в 600-ячейку) имеет шесть вершин, которые лежат в одной гиперплоскости: они ограничивают октаэдрическое сечение (плоский трехмерный срез) 600-ячейки. Тот же √ 1 октаэдр, заполненный 25 тетраэдрическими ячейками, имеет в общей сложности 14 вершин, лежащих в трех параллельных трехмерных сечениях 600-ячейки: 6-точечное √ 1 октаэдрическое сечение, 4-точечное √ 1 тетраэдрическое сечение и 4-точечное √ 0.𝚫 тетраэдрическое сечение. В искривленном трехмерном пространстве поверхности 600-ячеечной ячейки октаэдр √ 1 окружает тетраэдр √ 1 , который окружает тетраэдр √ 0.𝚫 , как три концентрические оболочки. Этот 14-вершинный 4-политоп является 4-пирамидой с основанием из правильного октаэдра: не канонической октаэдрической пирамидой с одной вершиной (имеющей всего 7 вершин), а неправильной усеченной октаэдрической пирамидой. Поскольку ее основанием является правильный октаэдр, который является 24-ячеечной октаэдрической ячейкой, эта 4-пирамида лежит на поверхности 24-ячеечной.
75. Вершина канонической √ 1 октаэдрической пирамиды была усечена в правильную тетраэдрическую ячейку с более короткими √ 0.𝚫 ребрами, заменив вершину четырьмя вершинами. Усечение также создало еще четыре вершины (расположенные как √ 1 тетраэдр в гиперплоскости между октаэдрическим основанием и вершинной тетраэдрической ячейкой), и связало эти восемь новых вершин с √ 0.𝚫 ребрами. Таким образом, усеченная пирамида имеет восемь вершин «вершины» над гиперплоскостью своего октаэдрического основания, а не только одну вершину: всего 14 вершин. Исходная пирамида имела плоские стороны: пять геодезических маршрутов от любой вершины основания до противоположной вершины основания проходили вдоль двух √ 1 ребер (и только один из этих маршрутов проходил через единственную вершину). Усеченная пирамида имеет закругленные стороны: пять геодезических маршрутов от любой вершины основания до противоположной вершины основания проходят по трем √ 0.𝚫 ребрам (и проходят через две «вершины»).
76. Однородные 4-мерные многогранники, на которые больше всего похож этот неправильный 4-мерный многогранник с 14 вершинами и 25 ячейками, могут быть 10-вершинным, 10-ячейным выпрямленным 5-мерным многогранником и его двойственным многогранником (он обладает характеристиками обоих).
77. Как может неровный квадрат "яичной тары" из 100 тетраэдров лежать на гладкой поверхности тора Клиффорда? ^[cd] Но как плоский квадрат 10x10 может представлять 120-вершинную 600-ячейку (где находятся остальные 20 вершин)? При изоклинном вращении 600-ячейки в больших инвариантных плоскостях декагона тор Клиффорда является гладкой евклидовой 2-поверхностью , которая пересекает средние ребра ровно 100 тетраэдрических ячеек. Ребра - это то, из чего тетраэдры имеют 6. Средние ребра не являются вершинами 600-ячейки, но они все являются 600 вершинами его дуального многогранника равного радиуса, 120-ячейки. В 120-ячейку вписано 5 непересекающихся 600-ячеек двумя разными способами. Этот отчетливый гладкий тор Клиффорда (это вращение) является дискретным расслоением 120-ячейки на 60 инвариантных плоскостях декагона и дискретным расслоением 600-ячейки на 12 инвариантных плоскостях декагона.
78. Кольцевые зазоры между икосаэдрами заполнены кольцом из 10 тетраэдров, соединенных гранями, которые встречаются в вершине, где встречаются два икосаэдра. Это 10-ячеечное кольцо имеет форму пятиугольной антипризмы , которая выдолблена как чаша как с верхней, так и с нижней стороны, так что в центре она имеет нулевую толщину. Эта центральная вершина, как и все остальные вершины 600-ячеечного кольца, сама является вершиной икосаэдрической пирамиды, где встречаются 20 тетраэдров. ^[bj] Поэтому кольцевое кольцо из 10 тетраэдров само является экваториальным кольцом икосаэдрической пирамиды, содержащим 10 из 20 ячеек ее икосаэдрической пирамиды.
79. Поверхность из 100 граней треугольного столбца из 150 ячеек можно разрезать ножницами вдоль по траектории из 10 ребер, расколоть и разложить на плоскости в виде параллелограмма 10×10 треугольников.
80. Поскольку 100-гранная поверхность 150-ячеечного тора попеременно выпуклая и вогнутая, 100 тетраэдров укладываются на нее парами, связанными гранями, как 50 треугольных бипирамид , которые имеют одну общую приподнятую вершину и закапывают один ранее открытый край долины. Треугольные бипирамиды соединены вершинами друг с другом в 5 параллельных линий по 5 бипирамид (10 тетраэдров) каждая, которые идут прямо вверх и вниз по внешней поверхности 150-ячеечной колонны.
81. 5 десятиугольников закручиваются по часовой стрелке и 5 — против часовой стрелки, пересекаясь в 50 вершинах долин.
82. Тор Клиффорда — это расслоение Хопфа отдельного изоклинического вращения жесткой 3-сферы , включающее все ее точки. Тор, вложенный в 4-пространство , как и двойной поворот, является декартовым произведением двух полностью ортогональных больших окружностей . Это заполненный бублик , а не кольцевой бублик; в 3-сфере нет дырки, кроме 4-шара , который он охватывает. Правильный 4-многогранник имеет отдельное число характеристических торов Клиффорда, потому что он имеет отдельное число характеристических симметрий вращения. Каждый из них образует дискретное расслоение, которое достигает всех дискретных точек по одному разу в изоклиническом вращении с отдельным набором пар полностью ортогональных инвариантных плоскостей.
83. Тот же 10-гранный пояс икосаэдрической пирамиды представляет собой кольцевое кольцо из 10 тетраэдров вокруг вершины. ^[bz]
84. Многоугольник Петри 600-ячеек является косым триаконтагоном {30} . Его можно увидеть в ортогональной проекции как окружность спирали триаконтаграммы {30/3}=3{10} , которая зигзагообразно изгибается на 60° влево и вправо, перекрывая пространство между 3 параллельными Клиффорду большими декагонами 30-ячеечного кольца. В полностью ортогональной плоскости он проецируется на правильную триаконтаграмму {30/11} . ^[62]
85. 30 вершин кольца тройной спирали Бурдейка–Коксетера лежат в 3 десятиугольных центральных плоскостях, которые пересекаются только в одной точке (центр 600-ячейки), хотя они не являются полностью ортогональными или ортогональными вообще: они ⁠π/5⁠ друг от друга. ^[at] Их десятиугольные большие окружности являются параллельными Клиффорду: одна длина ребра в 600 ячеек друг от друга в каждой точке. ^[af] Это обычные двумерные большие окружности, а не спирали, но они являются связанными параллельными Клиффорду окружностями.
86. Изоклинные геодезические являются 4-мерными большими окружностями в том смысле, что они являются 1-мерными геодезическими линиями , которые изгибаются в 4-пространстве в двух полностью ортогональных плоскостях одновременно. Их не следует путать с большими 2-сферами , ^[73] которые являются 4-пространственными аналогами ^[bc] 2-мерных больших окружностей в 3-пространстве (большими 1-сферами).
87. 20 30-ячеечных колец являются хиральными объектами; они либо закручиваются по часовой стрелке (вправо), либо против часовой стрелки (влево). 150-ячеечный тор (образованный пятью непересекающимися 30-ячеечными кольцами той же хиральности, окружающими большой декагон) сам по себе не является хиральным объектом, поскольку его можно разложить либо на пять параллельных левых колец, либо на пять параллельных правых колец. В отличие от 20-ячеечных колец, 150-ячеечные торы напрямую конгруэнтны без кручения , как октаэдрические 6-ячеечные кольца 24-ячеечного . Каждый большой декагон имеет пять левых 30-ячеечных колец, окружающих его, а также пять правых 30-ячеечных колец, окружающих его; но левые и правые 30-ячеечные кольца не являются непересекающимися и принадлежат к разным различным вращениям: левым и правым вращениям одного и того же расслоения. В любом из отдельных изоклинических вращений (влево или вправо) вершины 600-ячеечного многогранника движутся вдоль осевых 15-граммовых изоклин 20 левых 30-ячеечных колец или 20 правых 30-ячеечных колец. Таким образом, большие декагоны, 30-ячеечные кольца и 150-ячеечные торы все встречаются как наборы параллельных взаимосвязанных окружностей Клиффорда, ^[af] хотя точный способ, которым они вложены друг в друга, избегают пересечения друг друга и проходят друг через друга, образуя связь Хопфа , не идентичен для этих трех различных видов параллельных многогранников Клиффорда , отчасти потому, что связанные пары по-разному не имеют внутренней хиральности (декагоны), одинаковой хиральности (30-ячеечные кольца) или не имеют сетевого кручения и как левой, так и правой внутренней организации (150-ячеечные торы), но отслеживают одну и ту же хиральность внутренней организации в любом отдельном левом или правом вращении.
88. Точка на карте Хопфа икосаэдра ^[av] декагонального расслоения 600-ячеек поднимается до большого декагона; треугольная грань поднимается до 30-ячеечного кольца; а пятиугольная пирамида из 5 граней поднимается до 150-ячеечного тора. ^[58] В разложении большой антипризмы два полностью непересекающихся 150-ячеечных тора поднимаются из антиподальных пентагонов, оставляя экваториальное кольцо из 10 граней икосаэдра между ними: декагон Петри из 10 треугольников, которые поднимаются до 10 30-ячеечных колец. Два полностью непересекающихся 150-ячеечных тора содержат 12 непересекающихся (параллель Клиффорда) декагонов и все 120 вершин, поэтому они составляют полное расслоение Хопфа; для большего количества 150-ячеечных торов такого рода нет места. Чтобы получить разложение 600-ячеечного тора на четыре 150-ячеечных тора такого типа, икосаэдрическую карту пришлось бы разложить на четыре пятиугольника, центрированных в вершинах вписанного тетраэдра, а икосаэдр не может быть разложен таким образом.
89. (Коксетер 1973) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы меняем соглашения Коксетера на противоположные и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.
90. Четыре ребра каждой 4-ортосхемы, которые встречаются в центре правильного 4-политопа, имеют неравную длину, поскольку они являются четырьмя характеристическими радиусами правильного 4-политопа: радиусом вершины, радиусом центра ребра, радиусом центра грани и радиусом центра ячейки. Пять вершин 4-ортосхемы всегда включают одну правильную вершину 4-политопа, один центр ребра правильного 4-политопа, один центр грани правильного 4-политопа, один центр ячейки правильного 4-политопа и центр правильного 4-политопа. Эти пять вершин (в этом порядке) составляют путь вдоль четырех взаимно перпендикулярных ребер (который делает три поворота под прямым углом), характерную особенность 4-ортосхемы. 4-ортосхема имеет пять разнородных граней 3-ортосхемы.
91. Отражающая поверхность (3-мерного) многогранника состоит из 2-мерных граней; отражающая поверхность (4-мерного) полихора состоит из 3-мерных ячеек.
92. Изоклинный поворот на 36° — это два простых поворота на 36° одновременно. ^[dw] Он перемещает все вершины на 60° одновременно в различных направлениях. Пятнадцать последовательных диагональных поворотных шагов, по 36°×36° каждый, перемещают каждую вершину на 900° через 15 вершин на двойной петле Мёбиуса с окружностью 5𝝅, называемой изоклиной , огибая 600-ячейку и возвращаясь в исходную точку, за полтора времени (15 поворотных шагов), которое потребовалось бы для простого поворота, чтобы вершина один раз обошла 600-ячейку на обычной {10} большой окружности (за 10 поворотных шагов). ^[cs] Спиральная двойная петля 5𝝅 изоклина — это просто особый вид одиночной полной окружности с периодом в 1,5 раза меньше (15 хорд вместо 10) простого большого круга. Изоклина — это один истинный круг, такой же идеально круглый и геодезический, как простой большой круг, даже несмотря на то, что его хорды на φ длиннее, его окружность равна 5𝝅 вместо 2𝝅, он проходит через четыре измерения вместо двух и действует в двух хиральных формах (левом и правом), хотя все такие круги одной и той же окружности напрямую конгруэнтны. Тем не менее, чтобы избежать путаницы, мы всегда называем его изоклиной и оставляем термин большой круг для обычного большого круга на плоскости. ^[ao]
93. 600-ячейка имеет 7200 различных вращательных смещений, каждое со своей инвариантной плоскостью вращения. 7200 различных центральных плоскостей могут быть сгруппированы в наборы параллельных инвариантных плоскостей вращения Клиффорда из 25 различных изоклинических вращений и обычно задаются как эти наборы. ^[75]
94. Любое двойное вращение (включая изоклиническое вращение) можно рассматривать как композицию двух простых вращений a и b : левое двойное вращение как a, затем b , и правое двойное вращение как b, затем a . Простые вращения не являются коммутативными; левое и правое вращения (в общем случае) достигают разных пунктов назначения. Разница между двойным вращением и двумя его составляющими простыми вращениями заключается в том, что двойное вращение является 4-мерным диагональным: каждая движущаяся вершина достигает своего пункта назначения напрямую, не проходя через промежуточную точку, затронутую a , затем b , или другую промежуточную точку, затронутую b , затем a , путем вращения по одной винтовой геодезической (так что это кратчайший путь). ^[bf] И наоборот, любое простое вращение можно рассматривать как композицию двух равноугольных двойных вращений (левое изоклиническое вращение и правое изоклиническое вращение), как обнаружил Кэли ; возможно, удивительно, что эта композиция коммутативна и возможна для любого двойного вращения. ^[72]
95. Изоклинные вращения переводят каждую вершину в несмежную вершину, отстоящую по крайней мере на две длины ребра. В характерных изоклинных вращениях 5-ячеечной, 16-ячеечной, 24-ячеечной и 600-ячеечной ячеек несмежная вершина находится точно на расстоянии двух длин ребра вдоль одного из нескольких геодезических маршрутов большого круга: противоположная вершина соседней ячейки. В 8-ячеечной ячейке она находится на расстоянии трех зигзагообразных длин ребра в той же ячейке: противоположная вершина куба. В 120-ячеечной ячейке она находится на расстоянии четырех зигзагообразных ребер в той же ячейке: противоположная вершина додекаэдра.
96. При изоклиническом вращении каждая точка в любом месте 4-политопа перемещается на равное расстояние в четырех ортогональных направлениях одновременно по 4-мерной диагонали . ^[ao] Точка смещается на полное пифагорово расстояние, равное квадратному корню из четырех, умноженному на квадрат этого расстояния. Все вершины смещаются в вершину, находящуюся на расстоянии не менее двух длин ребра. ^[cq] Например, когда ячейка единичного радиуса 600 изоклинно поворачивается на 36 градусов в инвариантной плоскости декагона и на 36 градусов в своей полностью ортогональной инвариантной плоскости, ^[an] каждая вершина смещается в другую вершину, отстоящую на √ 1 (60°), перемещаясь на √ 1/4 = 1/2 единичного радиуса в четырех ортогональных направлениях.
97. Поскольку геодезическая спиральная пентадекаграмма2 из 600 ячеек изогнута в скрученное кольцо в четвертом измерении, как лента Мёбиуса , ее винтовая резьба удваивается после каждого оборота, не меняя направления вращения (влево или вправо). Изоклинный путь с 30 вершинами следует двойной петле Мёбиуса, образуя одну непрерывную петлю с 15 вершинами, пройденную за два оборота. Спираль Мёбиуса является геодезической «прямой линией» или изоклиной . Изоклина соединяет вершины косой полиграммы с более низкой частотой (большей длиной волны), чем полигон Петри. Триаконтагон Петри имеет √ 0.𝚫 ребер; изоклинная пентадекаграмма ₂ имеет √ 1 ребер, которые соединяют вершины, отстоящие друг от друга на два √ 0.𝚫 ребра. Каждое ребро √ 1 принадлежит отдельному большому шестиугольнику, а последовательные ребра √ 1 принадлежат разным 24-ячейкам, поскольку изоклиническое вращение переводит шестиугольники в параллельные Клиффорду шестиугольники и проходит через последовательные параллельные Клиффорду 24-ячейки.
98. Все изоклины являются геодезическими , а изоклины на 3-сфере являются окружностями (одинаково искривленными в каждом измерении), но не все изоклины на 3-многообразиях в 4-пространстве являются окружностями.
99. Изоклинные вращения ^[ao] разбивают 600 ячеек (и 120 вершин) 600-ячеечного пространства на два непересекающихся подмножества по 300 ячеек (и 60 вершин), четные и нечетные (или черные и белые), которые меняют места между собой на черных или белых изоклинах, аналогично ^[bc] тому, как диагональные ходы слонов ограничивают их белыми или черными полями шахматной доски . ^[du] Черные и белые подмножества также делятся между черными и белыми инвариантными многоугольниками большого круга изоклинного вращения. При дискретном вращении (как 4-многогранника с конечным числом вершин) черные и белые подмножества соответствуют наборам вписанных больших многоугольников {p} в инвариантные многоугольники большого круга {2p}. Например, в 600-ячейке черный и белый большой пятиугольник {5} вписаны в инвариантный большой десятиугольник {10} характерного десятиугольного изоклинного вращения. Важно отметить, что черная и белая пара многоугольников {p} одного и того же различного изоклинного вращения никогда не вписываются в один и тот же многоугольник {2p}; всегда есть черный и белый многоугольник {p}, вписанные в каждый инвариантный многоугольник {2p}, но они принадлежат различным изоклинным вращениям: левому и правому вращению одного и того же фибратона, которые разделяют один и тот же набор инвариантных плоскостей. Черные (белые) изоклины пересекают только черные (белые) большие многоугольники {p}, поэтому каждая вершина либо черная, либо белая.
100. Хордовый путь изоклины можно назвать многоугольником Клиффорда 4-политопа , так как это косая многоугольная форма вращательных окружностей, пересекаемых вершинами 4-политопа при его характерном смещении Клиффорда . ^[86] Изоклина представляет собой спиральную двойную петлю Мёбиуса, которая дважды меняет свою хиральность в ходе полного двойного цикла. Обе петли полностью содержатся в одном и том же кольце ячеек, где они обе следуют хордам, соединяющим четные (нечетные) вершины: обычно противоположные вершины соседних ячеек, на расстоянии двух длин ребер друг от друга. ^[cu] Обе «половины» двойной петли проходят через каждую ячейку в кольце ячеек, но пересекают только две четные (нечетные) вершины в каждой четной (нечетной) ячейке. Каждая пара пересекающихся вершин в четной (нечетной) ячейке лежит напротив друг друга на ленте Мёбиуса , на расстоянии ровно одной длины ребра друг от друга. Таким образом, через каждую ячейку проходят две спирали, которые являются параллелями Клиффорда ^[af] противоположной хиральности в каждой паре параллельных точек. Глобально эти две спирали представляют собой одну связанную окружность обеих хиральностей, ^[cn] без чистого кручения . Изоклина действует как левая (или правая) изоклина, когда ее пересекает левое (или правое) вращение (различных расслоений).
101. Изоклины на 3-сфере встречаются в непересекающихся парах четной/нечетной четности координат. ^[cu] Одна черная или белая изоклина образует петлю Мёбиуса, называемую торическим узлом {1,1} или кругом Вилларсо ^[74], в которой каждый из двух «кругов», связанных в петлю Мёбиуса «восьмерка», проходит через все четыре измерения. ^[cv] Двойная петля является настоящей окружностью в четырех измерениях. ^[cn] Четные и нечетные изоклины также связаны, но не в петлю Мёбиуса, а как связь Хопфа двух непересекающихся окружностей, ^[af], как и все параллельные изоклины Клиффорда расслоения Хопфа .
102. Вращение в 4-пространстве полностью характеризуется выбором инвариантной плоскости, угла и направления (влево или вправо), через которые оно вращается, и другого угла и направления, через которые вращается его одна полностью ортогональная инвариантная плоскость. Два вращательных смещения идентичны, если они имеют одну и ту же пару инвариантных плоскостей вращения, через одни и те же углы в одних и тех же направлениях (и, следовательно, также одну и ту же хиральную пару направлений). Таким образом, общее вращение в 4-пространстве является двойным вращением , характеризуемым двумя углами. Простое вращение является особым случаем, в котором один угол вращения равен 0. ^[cp] Изоклинное вращение является другим особым случаем, похожим, но не идентичным двум простым вращениям через один и тот же угол. ^[ao]
103. В каждом простом вращении есть одна инвариантная плоскость и полностью ортогональная фиксированная плоскость. В каждом изоклиническом вращении есть бесконечное число пар полностью ортогональных инвариантных плоскостей, все из которых вращаются на один и тот же угол; ^[bg] тем не менее, не все центральные плоскости являются инвариантными плоскостями вращения . Инвариантные плоскости изоклинического вращения составляют расслоение всего 4-многогранника. ^[77] В каждом изоклиническом вращении 600-ячейки, переводящем вершины в вершины, либо 12 Клиффордовых параллельных больших десятиугольников, либо 20 Клиффордовых параллельных больших шестиугольников , либо 30 Клиффордовых параллельных больших квадратов являются инвариантными плоскостями вращения.
104. При изоклиническом вращении каждая инвариантная плоскость параллельна по Клиффорду плоскости, к которой она движется, и они не пересекаются в любой момент времени (кроме центральной точки). При простом вращении инвариантная плоскость пересекает плоскость, к которой она движется, по прямой и движется к ней, вращаясь вокруг этой прямой.
105. При смещении Клиффорда , также известном как изоклиническое вращение , все параллельные Клиффорду ^[af] инвариантные плоскости ^[cy] смещаются в четырех ортогональных направлениях (две полностью ортогональные плоскости) одновременно: они поворачиваются на один и тот же угол, и в то же время они наклоняются вбок на тот же угол. Смещение Клиффорда является 4-мерно диагональным . ^[cr] Каждая плоскость, параллельная Клиффорду одной из полностью ортогональных плоскостей, инвариантна относительно изоклинического вращения: все точки плоскости вращаются по окружностям, но остаются в плоскости, даже если вся плоскость вращается вбок. ^[cz] Все центральные многоугольники (любого вида) вращаются на один и тот же угол (хотя не все делают это инвариантно), а также смещаются вбок на тот же угол к параллельному Клиффорду многоугольнику (того же вида).
106. Три 16-ячеечных элемента в 24-ячеечном повернуты на 60° ( ⁠𝜋/3⁠ ) ​​изоклинно по отношению друг к другу. Поскольку изоклинное вращение — это вращение в двух полностью ортогональных плоскостях одновременно, это означает, что их соответствующие вершины составляют 120° ( ⁠2𝜋/3⁠ ) ​​друг от друга. В 4-мерном многограннике единичного радиуса вершины, отстоящие друг от друга на 120°, соединены хордой √ 3 .
107. Любое изоклиническое вращение на ⁠𝜋/5⁠ в декагональных инвариантных плоскостях ^[di] переводит каждый центральный многоугольник, геодезическое кольцо ячеек или вписанный 4-мерный многогранник ^[f] в 600-мерной ячейке в параллельный многогранник Клиффорда ⁠𝜋/5⁠ прочь.
108. Пять 24-ячеек встречаются в каждой вершине 600-ячеечной структуры, ^[i] поэтому существует четыре различных направления, в которых вершины могут перемещаться, вращая 24-ячейку (или все 24 ячейки одновременно в изоклиническом вращении ^[dc] ) непосредственно по направлению к соседней 24-ячейке.
109. Непересекающаяся 24-ячейка , достигаемая изоклиническим вращением, не является ни одной из четырех смежных 24-ячеек; двойное вращение ^[cx] проводит ее мимо (не через) смежной 24-ячейки, к которой она вращается, ^[dd] и влево или вправо к более отдаленной 24-ячейке, от которой она полностью непересекается. ^[g] Четыре направления достигают 8 различных 24-ячеек ^[d], потому что при изоклиническом вращении каждая вершина движется по спирали по двум полностью ортогональным большим окружностям одновременно. Четыре пути имеют правую резьбу (как большинство винтов и болтов), двигаясь по окружностям в «одних и тех же» направлениях, а четыре — левую резьбу (как болт с обратной резьбой), двигаясь по окружностям в том, что мы условно называем «противоположными» направлениями (согласно правилу правой руки , по которому мы условно говорим, какой путь «вверх» на каждой из 4 осей координат). ^[78]
110. Все изоклинные многоугольники являются параллелями Клиффорда (полностью не пересекаются). ^[g] Многогранники (3-политопы) и полихоры (4-политопы) могут быть изоклинными и не не пересекаться, если все их соответствующие центральные многоугольники являются либо параллельными Клиффорду, либо соклеточными (лежат в одной гиперплоскости), либо совпадающими (один и тот же объект, общий). Например, 24-ячеечный, 600-ячеечный и 120-ячеечный содержат пары вписанных тессерактов (8-ячеек), которые изоклинно повернуты на ⁠𝜋/3⁠ относительно друг друга, но не являются непересекающимися: они имеют общую 16-ячейку (8 вершин, 6 больших квадратов и 4 октаэдрические центральные гиперплоскости), и некоторые соответствующие пары их больших квадратов являются соячеистыми (пересекающимися), а не параллельными Клиффорду (непересекающимися).
111. В каждой вершине 600-ячейка имеет четыре смежных (непересекающихся) ^[g] 24-ячейки, каждая из которых может быть достигнута простым вращением в этом направлении. ^[dd] Каждая 24-ячейка имеет 4 больших шестиугольника, пересекающихся в каждой из ее вершин, один из которых она делит с каждой из смежных 24-ячеек; при простом вращении эта шестиугольная плоскость остается неподвижной (ее вершины не двигаются), поскольку 600-ячейка вращается вокруг общей шестиугольной плоскости. 24-ячейка имеет всего 16 больших шестиугольников, поэтому она смежна (непересекается) с 16 другими 24-ячейками. ^[d] Помимо того, что она достижима простым вращением, каждая из 16 также может быть достигнута изоклинным вращением, в котором общая шестиугольная плоскость не фиксирована: она вращается (неинвариантно) относительно ⁠𝜋/5⁠ . Двойной поворот достигает соседней 24-клетки напрямую , как бы косвенно, посредством двух последовательных простых поворотов: ^[cp] сначала в одну из других соседних 24-клеток, а затем в целевую 24-клеток (соседнюю с ними обеими).
112. В 600-ячейке существует простой поворот , который перенесет любую вершину непосредственно в любую другую вершину, также перемещая большинство или все другие вершины, но оставляя не более 6 других вершин неподвижными (вершины, которые пересекает неподвижная центральная плоскость). Вершина движется по большой окружности в инвариантной плоскости вращения между соседними вершинами большого десятиугольника, большого шестиугольника, большого квадрата или большого двуугольника , [ ^au] и полностью ортогональная неподвижная плоскость пересекает 0 вершин (30-угольник), ^[an] 2 вершины (двуугольник), 4 вершины (квадрат) или 6 вершин (шестиугольник) соответственно. Две непересекающиеся 24-ячейки связаны простым поворотом относительно ⁠𝜋/5⁠ центральной плоскости дигона, полностью ортогональной их общей шестиугольной центральной плоскости. В этом простом вращении шестиугольник не движется. Две непересекающиеся 24-ячейки также связаны изоклиническим вращением, в котором общая шестиугольная плоскость движется . ^[dg]
113. Любое изоклиническое вращение в декагональной инвариантной плоскости является изоклиническим вращением в 24 инвариантных плоскостях: 12 параллельных Клиффорду декагональных плоскостях, ^[cy] и 12 параллельных Клиффорду 30-угольных плоскостях, полностью ортогональных каждой из этих декагональных плоскостей. ^[an] Поскольку инвариантные плоскости вращаются в двух полностью ортогональных направлениях одновременно, ^[bf] все точки в плоскостях движутся вместе с ними (оставаются в своих плоскостях и вращаются вместе с ними), описывая винтовые изоклины ^[ao] через 4-пространство. Однако следует отметить, что в дискретном декагональном расслоении 600-ячеечной ячейки (где рассматриваются только 120 вершин) 12 30-угольных плоскостей не содержат точек.
114. ^Обратите внимание на кажущуюся несоответствие вращающихся шестиугольников ⁠ 𝜋/5⁠ , так как только их противоположные вершины являются целым кратным ⁠𝜋/5⁠ друг от друга. Однако, напомним, что вершины 600-ячеек, которые находятся на расстоянии одного шестиугольного ребра друг от друга, находятся ровно на расстоянии двух декагональных ребер и двух тетраэдрических ячеек (одной треугольной дипирамиды) друг от друга. Шестиугольники имеют свои собственные 10 дискретных расслоений и колец ячеек, не параллельных Клиффорду десятиугольным расслоениям, а также по пятерке ^[k] в том, что пять 24-ячеек встречаются в каждой вершине, каждая пара разделяет шестиугольник. ^[i] Каждый шестиугольник вращается неинвариантно на ⁠𝜋/5⁠ в гексагональном изоклинном вращении между непересекающимися 24-ячейками. ^[dg] Наоборот, во всех ⁠𝜋/5⁠ изоклинных вращениях в декагональных инвариантных плоскостях все вершины перемещаются вдоль изоклин ^[ao] , которые следуют за ребрами шестиугольников .
115. Каждая изоклина не имеет собственной хиральности, но может действовать как левая или правая изоклина; она разделяет отчетливое левое вращение и отчетливое правое вращение различных расслоений.
116. Аналогичные отношения между тремя видами изоклинических вращений {2p} в параллельных пучках Клиффорда {4}, {6} или {10} больших многоугольников, инвариантных плоскостей, соответственно, лежат в основе сложных вложенных отношений между правильными выпуклыми 4-многогранниками. ^[a] В √ 1 вращениях шестиугольника {6}, характерных для 24-ячеечного, хорды изоклин (ребра полиграммы) являются просто √ 3 хордами большого шестиугольника, поэтому простое вращение шестиугольника {6} и изоклиническое вращение гексаграммы {6/2} оба вращают окружности с 6 вершинами. Изоклина гексаграммы, особый вид большого круга, имеет окружность 4𝝅 по сравнению с большим кругом шестиугольника 2𝝅. ^[dq] Инвариантная центральная плоскость, полностью ортогональная каждому большому шестиугольнику {6}, является большим двуугольником {2}, ^[au] поэтому изоклинное {6} вращение гексаграмм также является {2} вращением осей . ^[dh] В √ 2 квадратном {4} вращении, характерном для 16-ячеечной системы, полиграмма изоклины является октаграммой , а хорды изоклины являются ее √ 2 ребрами и ее √ 4 диаметрами, поэтому изоклина является окружностью с длиной окружности 4𝝅. При изоклинном вращении восемь вершин октаграммы {8/3} меняются местами, каждая из которых совершает один полный оборот на 720°, поскольку изоклина трижды обвивается вокруг 3-сферы. Инвариантная центральная плоскость, полностью ортогональная каждому большому квадрату {4}, является другим большим квадратом {4}, отстоящим на √ 4 , поэтому поворот квадратов вправо {4} также является поворотом квадратов влево {4}. Двойственный многогранник 16-ячеечного тессеракт 8 -ячеечного унаследовал те же простые повороты {4} и изоклинные повороты {8/3}, но его характерное изоклинное вращение происходит в полностью ортогональных инвариантных плоскостях, которые содержат большой прямоугольник {4} или большой двуугольник {2} (от его преемника 24-ячеечного). В 8-ячейке это вращение √ 1 × √ 3 больших прямоугольников, а также вращение √ 4 осей, но это то же самое изоклинное вращение, что и характерное вращение {6} больших шестиугольников 24-ячейки (в которые вписаны большие прямоугольники), как следствие уникального обстоятельства, что 8-ячейка и 24-ячейка имеют одинаковую длину ребра . В характерных для 600-ячейки вращениях √ 0.𝚫 десятиугольника {10} хорды изоклин√ 1 ребро шестиугольника , полиграмма изоклины является пентадекаграммой, а изоклина имеет окружность 5𝝅. ^[cn] Вращение пентадекаграммы изоклины {15/2} вращает окружность из {15} вершин за то же время, что и вращение простого декагона из {10} вершин. Инвариантная центральная плоскость, полностью ортогональная каждому большому декагону {10}, является большим 0-угольником {0}, ^[al] поэтому вращение декагонов на {10} также является вращением плоскостей, не содержащих вершин. Двойственный 600-ячеечный многогранник, 120-ячеечный, наследует те же простые {10} и изоклинные {15/2} вращения, но его характерное изоклинное вращение происходит в полностью ортогональных инвариантных плоскостях, которые содержат {2} больших двуугольников (от его преемника 5-ячеечного). ^[dr] Это вращение неправильных больших шестиугольников {6} с двумя чередующимися длинами ребер (аналогично большим прямоугольникам тессеракта), где два ребра разной длины — это три 120-ячеечных ребра и три 5-ячеечных ребра .
117. Каждое дискретное расслоение правильного выпуклого 4-мерного многогранника характеризуется уникальной парой лево-правых изоклинных вращений и уникальным пучком многоугольников большого круга {2p} (0 ≤ p ≤ 5) в инвариантных плоскостях этой пары вращений. Каждое отдельное вращение имеет уникальный пучок левых (или правых) многоугольников {p}, вписанных в многоугольники {2p}, и уникальный пучок скошенных многоугольников {2p}, которые являются его дискретными левыми (или правыми) изоклинами. Многоугольники {p} сплетают многоугольники {2p} в пучок, и наоборот.
118. Существует шесть конгруэнтных декагональных расслоений 600-ячейки. Выбор одного декагонального расслоения означает выбор пучка из 12 прямо конгруэнтных Клиффордовых параллельных декагональных больших окружностей и непересекающегося по ячейкам набора из 20 прямо конгруэнтных 30-ячейковых колец, которые заполняют 600-ячейку. Расслоение и его большие окружности не являются хиральными, но имеют различные левые и правые выражения в лево-правой паре изоклинных вращений. При правом (левом) вращении вершины движутся вдоль правого (левого) пучка волокон Хопфа параллельных Клиффорду изоклин и пересекают правое (левое) пучка волокон Хопфа параллельных Клиффорду больших пятиугольников. 30-ячейковые кольца являются единственными хиральными объектами, кроме пучков изоклин или пятиугольников. ^[82] Правый (левый) пятиугольный пучок содержит 12 больших пятиугольников, вписанных в 12 больших десятиугольников с параллельными линиями Клиффорда. Правый (левый) изоклинный пучок содержит 20 пентадекаграмм с параллельными линиями Клиффорда, по одной в каждом кольце из 30 ячеек.
119. Композиция двух простых вращений на 60° в паре полностью ортогональных инвариантных плоскостей представляет собой изоклиническое вращение на 60° в четырех парах полностью ортогональных инвариантных плоскостей. ^[cp] Таким образом, изоклиническое вращение представляет собой соединение четырех простых вращений, и все 24 вершины вращаются в инвариантных шестиугольных плоскостях, в отличие от всего лишь 6 вершин в простом вращении.
120. 24-ячеечный вращает шестиугольники на гексаграммах , тогда как 600-ячеечный вращает шестиугольники на декаграммах, но это дискретные примеры одного и того же вида изоклинического вращения в инвариантных плоскостях шестиугольников. В частности, их конгруэнтные изоклины являются в точности одним и тем же геодезическим кругом с окружностью 4𝝅. ^[dx]
121. Изоклинный поворот на 60° — это два простых поворота на 60° одновременно. ^[do] Он перемещает все вершины на 120° одновременно в разных направлениях. Шесть последовательных диагональных поворотных приращений, по 60°x60° каждый, перемещают каждую вершину на 720° на двойной петле Мёбиуса, называемой изоклиной , дважды вокруг 24-ячейки и обратно в исходную точку за то же время (шесть единиц вращения), которое потребовалось бы для простого поворота, чтобы вершина один раз обошла 24-ячейку на обычной большой окружности. Спиральная двойная петля 4𝝅 изоклина — это просто другой вид одиночного полного круга с тем же временным интервалом и периодом (6 хорд), что и простая большая окружность. Изоклина — это одна истинная окружность, ^[ch] такая же идеально круглая и геодезическая, как и простой большой круг, даже несмотря на то, что ее хорды на √ 3 длиннее, ее окружность равна 4𝝅 вместо 2𝝅, ^[dp] она описывает окружность в четырех измерениях вместо двух, ^[cw] и действует в двух хиральных формах (левой и правой), хотя все такие окружности одной и той же окружности непосредственно конгруэнтны. ^[cv] Тем не менее, чтобы избежать путаницы, мы всегда называем ее изоклиной и оставляем термин большой круг для обычного большого круга на плоскости.
122. 120 правильных 5-ячеек вписаны в 120-ячейку. 5-ячейка имеет двуугольные центральные плоскости , никакие две из которых не ортогональны. Она имеет 10 двуугольных центральных плоскостей, где каждая пара вершин является ребром, а не осью. 5-ячейка является самодвойственной, поэтому с помощью возвратно-поступательного движения 120-ячейка может быть вписана в правильную 5-ячейку большего радиуса. Поэтому конечная последовательность из 6 правильных 4-многогранников ^[a], вложенных как матрешки, также может рассматриваться как бесконечная последовательность.
123. В 30-клеточном кольце каждая изоклина идет от вершины к несмежной вершине в третьей оболочке вершин, окружающих ее. Три другие вершины между этими двумя вершинами можно увидеть в 30-клеточном кольце, две смежные в первой окружающей оболочке и одну во второй окружающей оболочке.
124. Хиральность и четность/нечетность — это разные вкусы. Вещи, которые имеют четность координат, являются черными или белыми: клетки шахматной доски , ячейки , вершины и изоклины , которые соединяют их изоклиническим вращением. ^[ao] Все остальное является черным и белым: например, смежные пары ячеек, соединенные гранями , или ребра и хорды , которые черные на одном конце и белые на другом. (Поскольку трудно раскрасить точки и линии в белый цвет, мы иногда используем черный и красный вместо черного и белого. В частности, хорды изоклин иногда показаны черными или красными пунктирными линиями.) Вещи, которые имеют хиральность, имеют правую или левую энантиоморфную форму: изоклинные вращения и хиральные объекты , которые включают в себя характерные ортосхемы , пары плоскостей больших многоугольников Клиффорда, параллельных Клиффорду , ^[85] пучки волокон параллельных Клиффорду окружностей (независимо от того, являются ли сами окружности хиральными) и хиральные кольца ячеек, обнаруженные в 16-ячеечных и 600-ячеечных ячейках. Вещи, которые не имеют ни четной/нечетной четности, ни хиральности, включают все ребра и грани (общие для черных и белых ячеек), многоугольники больших кругов и их расслоения и нехиральные кольца ячеек, такие как кольца ячеек октаэдров 24-ячеечных ячеек . Некоторые вещи обладают как четной/нечетной четностью, так и хиральностью: изоклины черные или белые, потому что они соединяют вершины, которые все одного цвета, и они действуют как левые или правые хиральные объекты, когда они являются вершинными путями в левом или правом вращении, хотя сами по себе не имеют присущей им хиральности. ^[dk] Каждое левое (или правое) вращение пересекает равное количество черных и белых изоклин. ^[cv]
125. Левые и правые изоклинические вращения делят 600 ячеек (и 120 вершин) на черные и белые одинаковым образом. ^[17] Вращения всех расслоений одного и того же вида большого многоугольника используют одну и ту же шахматную доску, что является соглашением системы координат, основанной на четных и нечетных координатах. ^[84] Левое и правое не являются цветами: в любом левом (или правом) вращении половина движущихся вершин черные, проходящие вдоль черных изоклин через черные вершины, а другая половина — белые вершины, вращающиеся между собой. ^[dt]
126. Каждая ось 600-ячеечной структуры касается левой изоклины каждого расслоения на одном конце и правой изоклины расслоения на другом конце. Осевая изоклина каждого 30-ячеечного кольца проходит только через одну из двух антиподальных вершин каждой из 30 (из 60) 600-ячеечных осей, которых касается 30-вершинное, 30-ячеечное кольцо изоклины (только на одном конце).
127. Композиция двух простых вращений на 36° в паре полностью ортогональных инвариантных плоскостей представляет собой изоклиническое вращение на 36° в двенадцати парах полностью ортогональных инвариантных плоскостей. ^[cp] Таким образом, изоклиническое вращение представляет собой соединение двенадцати простых вращений, и все 120 вершин вращаются в инвариантных десятиугольных плоскостях, в отличие от всего лишь 10 вершин в простом вращении.
128. Все 3-сферические изоклины ^[ao] одной и той же окружности являются прямо конгруэнтными окружностями. ^[ct] Обычный большой круг является изоклиной окружности 2𝝅; простые вращения происходят по 2𝝅 изоклинам. Двойные вращения могут иметь изоклины, отличные от окружности. Характерное вращение правильного 4-политопа — это изоклиническое вращение, в котором центральные плоскости, содержащие его ребра, являются инвариантными плоскостями вращения. 16-ячеечный и 24-ячеечный ребра вращаются по изоклинам окружности 4𝝅. 600-ячеечный ребра вращаются по изоклинам окружности 5𝝅. ${\displaystyle 2\pi r}$
129. икосаграмма {20/6}=2{10/3} 600-ячеечной системы является составной частью спиральной гексаграммы {6/2} 24-ячеечной системы, которая вписана в нее так же, как 24-ячейка вписана в 600-ячеечную.
130. 16-ячеечный вращает квадраты на {8/3} октаграммах , 24-ячеечный вращает квадраты на {24/9}=3{8/3} октаграммах , а 600 вращает квадраты на {24/5} 24-граммах, но это дискретные примеры одного и того же вида изоклинического вращения в больших квадратных инвариантных плоскостях. В частности, их конгруэнтные изоклины являются в точности одним и тем же геодезическим кругом окружности 4𝝅. Они имеют разные полиграммы изоклин только потому, что кривая изоклин пересекает больше вершин в 600-ячеечном, чем в 24-ячеечном или 16-ячеечном. Спиральная 24-грамма {24/5} 600-ячейки является составной частью спиральной октаграммы {24/9} 24-ячейки, которая вписана в 600-ячейку так же, как спиральная октаграмма {8/3} 16-ячейки вписана в 24-ячейку.

Цитаты

1. NW Johnson : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Коксетера , стр.249
2. Матила Гика, Геометрия искусства и жизни (1977), стр.68
3. Коксетер 1973, стр. 136, §7.8 Перечисление возможных правильных фигур.
4. Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I(ii): Шестнадцать правильных многогранников { p,q,r } в четырех измерениях; Бесценная таблица, предоставляющая все 20 метрик каждого 4-многогранника в единицах длины ребра. Их необходимо алгебраически преобразовать для сравнения многогранников единичного радиуса.
5. Коксетер 1973, стр. 153, §8.51; «На самом деле, вершины {3, 3, 5}, каждая из которых взята 5 раз, являются вершинами 25 {3, 4, 3}».
6. Coxeter 1973, стр. 305, Таблица VII: Регулярные соединения в четырех измерениях.
7. Коксетер 1973, стр. 292–293, Таблица I(ii), столбец «600 ячеек» ₀ R/l = 2𝝓/2.
8. Coxeter 1973, стр. 156–157, §8.7 Декартовы координаты.
9. Coxeter 1973, стр. 151–153, §8.4 Пренебрежение {3,4,3}.
10. Waegell & Aravind 2009, стр. 3–4, §3.2 75 оснований 600-ячеечной конфигурации; В 600-ячеечной конфигурации «точки» и «линии» являются осями («лучами») и 16-ячеечной («основаниями») соответственно.
11. Денни и др. 2020.
12. Денни и др. 2020, с. 438.
13. Zamboj 2021, стр. 10–11, § Координаты Хопфа.
14. Коксетер 1973, стр. 298, Таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных телесных сечениях (§13.1); (iii) Сечения {3, 3, 5} (ребро 2𝜏 ⁻¹ ), начинающиеся с вершины.
15. Осс 1899; ван Осс не упоминает расстояния дуг между вершинами 600-ячейки.
16. Бюкенхаут и Паркер 1998.
17. Dechant 2021, стр. 18–20, §6. Самолет Кокстера.
18. Coxeter 1973, стр. 298, Таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных телесных сечениях (§13.1); (iii) Сечения {3, 3, 5} (ребро 2𝜏 ⁻¹ ), начинающиеся с вершины; см. столбец a .
19. Steinbach 1997, стр. 23, рисунок 3; Steinbach вывел формулу, связывающую диагонали и длины ребер последовательных правильных многоугольников, и проиллюстрировал ее с помощью диаграммы «веера хорд», подобной представленной здесь.
20. Баез, Джон (7 марта 2017 г.). «Пи и золотое сечение». Азимут . Получено 10 октября 2022 г.
21. Денни и др. 2020, с. 434.
22. Денни и др. 2020, стр. 437–439, §4 Плоскости 600-клеточного ядра.
23. Ким и Роте 2016, стр. 8–10, Связь с параллелизмом Клиффорда.
24. Sadoc 2001, стр. 576, §2.4 Дискретизация расслоения для многогранника {3, 3, 5}: десятикратная винтовая ось.
25. Waegell & Aravind 2009, стр. 5, §3.4. 24-ячейка: точки, линии и конфигурация Рейе; Здесь «точки» и «линии» Рейе — это оси и шестиугольники соответственно. Двойные шестиугольные плоскости не ортогональны друг другу, а только их пары двойных осей. Двойные шестиугольные пары не встречаются в отдельных 24-ячейках, а только между 24-ячейками в 600-ячейке.
26. Sadoc 2001, стр. 576–577, §2.4 Дискретизация расслоения для многогранника {3, 3, 5}: шестикратная винтовая ось.
27. Sadoc 2001, стр. 577, §2.4 Дискретизация расслоения для многогранника {3, 3, 5}: четырехкратная винтовая ось.
28. Copher 2019, стр. 6, §3.2 Теорема 3.4.
29. Ким и Роте 2016, стр. 7, §6 Углы между двумя плоскостями в 4-мерном пространстве; «В четырех (и более) измерениях нам нужны два угла, чтобы зафиксировать относительное положение между двумя плоскостями. (В более общем смысле, k углов определяются между k -мерными подпространствами.)»
30. Лемменс и Зайдель 1973.
31. Mamone, Pileio & Levitt 2010, стр. 1433, §4.1; Декартова 4-координатная точка (w,x,y,z) — это вектор в 4D-пространстве из (0,0,0,0). Четырехмерное реальное пространство — это векторное пространство: любые два вектора можно сложить или умножить на скаляр, чтобы получить другой вектор. Кватернионы расширяют векторную структуру 4D-реального пространства, допуская умножение двух 4D-векторов и согласно ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{1}}$ ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{2}}$
    $${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}}$$
32. Sadoc 2001, стр. 575–578, §2 Геометрия {3,3,5}-политопа в S ₃ ; Садок изучил все расслоения Хопфа 600-ячеечного многогранника на наборы {4}, {6} или {10} больших круговых волокон на различных винтовых осях, дал их отображения Хопфа и полностью проиллюстрировал характерные декагональные кольца ячеек.
33. Tyrrell & Semple 1971, стр. 6–7, § 4. Изоклинные плоскости в евклидовом пространстве E ₄ .
34. Sadoc 2001, стр. 577–578, §2.5 Симметрия 30/11: пример другого вида симметрии.
35. Coxeter 1973, стр. 211, §11.x Исторические замечания; «Конечная группа [3 ^{2, 2, 1} ] изоморфна группе сохраняющих инцидентность перестановок 27 прямых на общей кубической поверхности. (Для самого раннего описания этих прямых см. Schlafli 2.)».
36. Шлефли 1858; эта статья Шлефли, описывающая конфигурацию двойной шестерки, была одним из немногих фрагментов его открытия правильных многогранников в высших измерениях, опубликованных при его жизни. ^[35]
37. Coxeter 1973, стр. 141–144, §7. Обыкновенные многогранники в высшем пространстве; §7.x. Исторические замечания; «Практически все идеи в этой главе... принадлежат Шлефли, который открыл их до 1853 года — времени, когда Кэли, Грассман и Мёбиус были единственными людьми, которые когда-либо представляли себе возможность геометрии в более чем трех измерениях».
38. Коксетер 1970, изучал кольца ячеек в общем случае их геометрии и теории групп , идентифицируя каждое кольцо ячеек как политоп в своем собственном праве, который заполняет трехмерное многообразие (такое как 3-сфера ) с его соответствующими сотами . ^[ay] Он обнаружил, что кольца ячеек следуют полигонам Петри , и некоторые (но не все) кольца ячеек и их соты скручены , встречаясь в лево- и правосторонних хиральных формах. В частности, он обнаружил, что правильные 4-политопы с тетраэдрическими ячейками (5-ячеечные, 16-ячеечные, 600-ячеечные) имеют скрученные кольца ячеек, а другие (чьи ячейки имеют противоположные грани) — нет. ^[az] Отдельно он классифицировал сотовые кольца по тому, образуют ли они соты в гиперболическом или евклидовом пространстве, причем последнее относится к 4-мерным многогранникам, которые могут замостить 4-мерное пространство путем трансляции, образуя евклидовы соты (16-ячеечные, 8-ячеечные, 24-ячеечные).
39. Банчофф (2013) изучил разложение правильных 4-мерных многогранников на соты торов, покрывающих тор Клиффорда , показал, как соты соответствуют расслоениям Хопфа , и создал разложения, состоящие из меридиональных и экваториальных колец ячеек с иллюстрациями.
40. Sadoc 2001, стр. 578, §2.6 Многогранник {3, 3, 5}: набор из четырех спиралей.
41. Дечант 2021, §1. Введение.
42. Замбодж 2021.
43. Садок и Чарволин 2009, §1.2 Подход искривленного пространства; изучает спиральную ориентацию молекул в кристаллических структурах и их несовершенные упаковки («фрустрации») в трехмерном пространстве. "Расстройство, которое возникает, когда молекулярная ориентация переносится вдоль двух [круговых] путей AB рисунка 1 [спирали], навязано самой топологической природой евклидова пространства R ³ . Оно не возникло бы, если бы молекулы были вложены в неевклидово пространство 3-сферы S ³ , или гиперсферы. Это пространство с однородной положительной кривизной действительно может быть описано равноотстоящими и равномерно скрученными волокнами, ^[af] вдоль которых молекулы могут быть выровнены без какого-либо конфликта между компактностью и кручением .... Волокна этого расслоения Хопфа являются большими окружностями S ³ , все семейство которых также называется параллелями Клиффорда . Два из этих волокон являются осями симметрии C _∞ для всего расслоения; каждое волокно делает один оборот вокруг каждой оси и регулярно вращается при переходе от одной оси к другой. ^[bf] Эти волокна создают конфигурацию двойного скручивания, оставаясь при этом параллельными, т.е. без какого-либо расстройства, в весь объем S ³ . ^[bg] Поэтому их можно использовать в качестве моделей для изучения конденсации длинных молекул в присутствии ограничения двойного поворота.
44. Coxeter 1973, стр. 303, Таблица VI (iii): 𝐈𝐈 = {3,3,5}.
45. Coxeter 1973, стр. 153, §8.5 Конструкция Госсета для {3,3,5}.
46. Боровик 2006; «Среда, направлявшая эволюцию нашего мозга, никогда не обеспечивала наших предков четырехмерным опытом... [Тем не менее] мы, люди, благословлены замечательным математическим программным обеспечением для обработки изображений, встроенным в наш мозг. Коксетер в полной мере использовал его и ожидал, что читатель будет его использовать... Визуализация — один из самых мощных методов интериоризации. Она закрепляет математические концепции и идеи в одной из самых мощных частей нашего мозга, модуле визуальной обработки. Теория Коксетера [многогранников, генерируемых] конечными группами отражений допускает подход к их изучению, основанный на систематическом сведении сложных геометрических конфигураций к гораздо более простым двумерным и трехмерным частным случаям».
47. Миядзаки 1990; Миядзаки показал, что поверхностная оболочка из 600 ячеек может быть архитектурно реализована в нашем обычном трехмерном пространстве в виде физических зданий (геодезических куполов).
48. Коксетер 1973, стр. 50–52, §3.7.
49. Коксетер 1973, стр. 293; 164°29'
50. Коксетер 1973, стр. 298, Таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных телесных сечениях.
51. Coxeter 1973, стр. 50–52, §3.7: Координаты вершин правильных и квазиправильных тел.
52. Itoh & Nara 2021, § 4. От 24-ячеечной структуры к октаэдру; «В этой статье рассматривается 24-ячеечная структура и дается непрерывное сплющивающее движение для ее 2-скелета [кубооктаэдра], которое связано с Джиттербагом Бакминстера Фуллера » .
53. Koca et al. 2016, стр. 145, 4. Пиритоэдрическая группа и родственные полиэдры; см. Таблицу 1.
54. Verheyen, HF (1989). «Полный набор трансформаторов Jitterbug и анализ их движения». Computers and Mathematics with Applications . 17 (1–3): 203–250. doi : 10.1016/0898-1221(89)90160-0 . MR  0994201.
55. Коксетер 1973, стр. 299, Таблица V: (iv) Упрощенные разделы {3,3,5} ... начиная с ячейки.
56. Садок 2001, стр. 576–577, §2.4 Дискретизация расслоения для {3, 3, 5}; «Давайте теперь приступим к тороидальному разложению многогранника {3, 3, 5}».
57. Coxeter 1970, стр. 19–23, § 9. 120-ячеечная и 600-ячеечная.
58. Sadoc 2001, стр. 576–577, §2.4 Дискретизация расслоения для {3, 3, 5}, рис. 2. Пятикратная колонна симметрии; в подписи (sic) двенадцатиугольники должны быть десятиугольниками.
59. Dechant 2021, стр. 20–22, § 7. Великая антипризма и H ₂ × H ₂ .
60. Банчофф 1988.
61. Zamboj 2021, стр. 6–12, §2 Математическое обоснование.
62. Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I(ii); 600-клеточный h ₁ h ₂ .
63. Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I(ii); «600-ячейка».
64. Коксетер 1973, стр. 139, §7.9 Характерный симплекс.
65. Коксетер 1973, стр. 290, Таблица I(ii); «двугранные углы».
66. Coxeter 1973, стр. 227−233, §12.7 Ожерелье из тетраэдрических бусин.
67. Коксетер 1973, стр. 33–38, §3.1 Конгруэнтные преобразования.
68. Dechant 2017, стр. 410–419, §6. Плоскость Коксетера; см. стр. 416, Таблица 1. Сводка факторизаций версоров Коксетера 4D корневых систем; «Группы Коксетера (отражения) в структуре Клиффорда... предоставляют уникально простое предписание для отражений. С помощью теоремы Картана-Дьедонне выполнение двух отражений последовательно порождает вращение, которое в алгебре Клиффорда описывается спинором, который является просто геометрическим произведением двух векторов, порождающих отражения».
69. Коксетер 1973, стр. 217–218, §12.2 Конгруэнтные преобразования.
70. Koca, Al-Ajmi & Ozdes Koca 2011, стр. 986–988, 6. Двойственный курносому 24-клеточному.
71. Mamone, Pileio & Levitt 2010, стр. 1438–1439, §4.5 Регулярные выпуклые 4-многогранники; 600-ячейка имеет 14 400 операций симметрии (вращений и отражений), как указано в Таблице 2, группа симметрии 𝛨 ₄ . ^[co]
72. Перес-Грасиа и Томас 2017.
73. Стиллвелл 2001, стр. 24.
74. Dorst 2019, стр. 44, §1. Круги Вилларсо; «В математике путь, который прокладывает узел (1, 1) на торе, также известен как круг Вилларсо . Круги Вилларсо обычно вводятся как две пересекающиеся окружности, которые являются сечением тора хорошо выбранной плоскостью, рассекающей его. Выбрав один такой круг и вращая его вокруг оси тора, полученное семейство окружностей можно использовать для построения тора. При разумном вложении торов совокупность всех таких окружностей затем образует расслоение Хопфа ... мы предпочитаем рассматривать круг Вилларсо как узел тора (1, 1), а не как плоское сечение».
75. Mamone, Pileio & Levitt 2010, §4.5 Регулярные выпуклые 4-многогранники, Таблица 2.
76. Waegell & Aravind 2009, стр. 2–5, § 3. 600-ячеечная.
77. Ким и Роте 2016, стр. 13–14, §8.2 Эквивалентность инвариантного семейства и расслоения Хопфа.
78. Perez-Gracia & Thomas 2017, стр. 12−13, § 5. Полезное отображение.
79. Перес-Грасиа и Томас 2017, стр. 2−3, § 2. Изоклинные вращения.
80. Ким и Роте 2016, стр. 12-16, §8 Построение расслоений Хопфа; см. §8.3.
81. Перес-Грасиа и Томас 2017, § 1. Введение; «Эта статья [будет] выводить спектральное разложение изоклинических вращений и явные формулы в матричной и алгебре Клиффорда для вычисления [изоклинической] факторизации Кэли». ^[cp]
82. Kim & Rote 2016, стр. 14, §8.3 Следствие 9. Каждый большой круг принадлежит уникальному правому [(и левому)] расслоению Хопфа.
83. Ким и Роте 2016, стр. 14–16, §8.3 Свойства расслоения Хопфа.
84. Коксетер 1973, стр. 156: «...шахматная доска имеет n-мерный аналог».
85. Ким и Роте 2016, стр. 8, Левые и правые пары изоклинных плоскостей.
86. Tyrrell & Semple 1971, стр. 34–57, Линейные системы параллелей Клиффорда.
87. Коксетер 1973, стр. 12, §1.8. Конфигурации.
88. ван Иттерсум 2020, стр. 80–95, §4.3.
89. Штайнбах 1997, стр. 24.
90. Стиллвелл 2001, стр. 22–23, Гомологическая сфера Пуанкаре.
91. Мебиус 2015, стр. 1, « Алгебра кватернионов является наилучшим инструментом для обработки трехмерных и четырехмерных (3D и 4D) вращений. Очевидно, что только трехмерные и, как следствие, двумерные вращения имеют повседневное практическое значение, но теория четырехмерных вращений, как оказалось, предлагает самый простой путь к представлению трехмерных вращений кватернионами».
92. Денни и др. 2020, §2 Маркировка H ₄ .
93. Осс 1899, стр. 1–18.
94. Dechant 2021, Аннотация; «[В]сякая 3D-корневая система допускает построение соответствующей 4D-корневой системы с помощью «теоремы индукции». В этой статье мы подробно рассмотрим икосаэдрический случай H3 → H4 и выполним вычисления явно. Алгебра Клиффорда используется для выполнения групповых теоретических вычислений на основе теоремы Версора и теоремы Картана-Дьедонне... проливающих свет на геометрические аспекты корневой системы H4 (600-ячейковой), а также других связанных многогранников и их симметрий... включая построение плоскости Кокстера, которая используется для визуализации дополнительных пар инвариантных многогранников.... Таким образом, этот подход представляет собой более систематический и общий способ выполнения вычислений, касающихся групп, в частности групп отражений и корневых систем, в алгебраической структуре Клиффорда».
95. Гроссман, Венди А.; Себлайн, Эдуард, ред. (2015), Man Ray Human Equations: A journey from mathematics to Shakespeare , Hatje Cantz. См. в частности математический объект mo-6.2 , стр. 58; Антоний и Клеопатра , SE-6, стр. 59; математический объект mo-9 , стр. 64; Венецианский купец , SE-9, стр. 65, и «Гексакосихорон», Филипп Орднинг, стр. 96.
96. Dechant 2021, стр. 22–24, §8. Курносый 24-кл.
97. Сикирик, Матье; Мирволд, Венди (2007). «Специальные нарезки из 600 ячеек». Beiträge zur Algebra und Geometry . 49 (1). arXiv : 0708.3443 .
98. Коксетер 1991, стр. 48–49.

Ссылки

• Шлефли, Людвиг (1858), Кейли, Артур (ред.), «Попытка определить двадцать семь линий на поверхности третьего порядка и вывести такие поверхности в видах, ссылаясь на реальность линий на поверхности», Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 2 : 55–65, 110–120
• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Довер.
• Коксетер, HSM (1991). Правильные комплексные многогранники (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
• Коксетер, Х. С. М. (1995). Шерк, Ф. Артур; МакМаллен, Питер; Томпсон, Энтони К.; Вайс, Азия Ивич (ред.). Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера (2-е изд.). Wiley-Interscience Publication. ISBN 978-0-471-01003-6.
  • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Документ 23) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Коксетер, HSM (1970), «Скрученные соты», Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics , 4 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество
• Боровик, Александр (2006). «Теория Коксетера: когнитивные аспекты». В Дэвисе, Чандлере; Эллерсе, Эрихе (ред.). Наследие Коксетера. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 17–43. ISBN 978-0821837221.
• JH Conway и MJT Guy : Четырехмерные архимедовы многогранники , Труды коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
• NW Johnson : Теория однородных многогранников и сот , докторская диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий), Марко Мёллер, докторская диссертация 2004 г. [1] Архивировано 22.03.2005 на Wayback Machine
• Осс, Саломон Леви ван (1899). «Das regelmässige Sechshundertzell und seine selbstdeckenden Bewegungen». Verhandelingen der Koninklijke (Nederlandse) Akademie van Wetenschappen, Sectie 1 (Afdeeling Natuurkunde) . 7 (1). Амстердам: 1–18.
• Букенхаут, Ф.; Паркер, М. (15 мая 1998 г.). «Число сетей правильных выпуклых многогранников в размерности <= 4». Дискретная математика . 186 (1–3): 69–94. doi : 10.1016/S0012-365X(97)00225-2 .
• Denney, Tomme; Hooker, Da'Shay; Johnson, De'Janeke; Robinson, Tianna; Butler, Majid; Claiborne, Sandernishe (2020). "The geometry of H4 polytopes". Advances in Geometry. 20 (3): 433–444. arXiv:1912.06156. doi:10.1515/advgeom-2020-0005. S2CID 220367622.
• Steinbach, Peter (1997). "Golden fields: A case for the Heptagon". Mathematics Magazine. 70 (Feb 1997): 22–31. doi:10.1080/0025570X.1997.11996494. JSTOR 2691048.
• Copher, Jessica (2019). "Sums and Products of Regular Polytopes' Squared Chord Lengths". arXiv:1903.06971 [math.MG].
• Miyazaki, Koji (1990). "Primary Hypergeodesic Polytopes". International Journal of Space Structures. 5 (3–4): 309–323. doi:10.1177/026635119000500312. S2CID 113846838.
• van Ittersum, Clara (2020). Symmetry groups of regular polytopes in three and four dimensions (Thesis). Delft University of Technology.
• Waegell, Mordecai; Aravind, P. K. (2009-11-12). "Critical noncolorings of the 600-cell proving the Bell-Kochen-Specker theorem". Journal of Physics A. 43 (10): 105304. arXiv:0911.2289. doi:10.1088/1751-8113/43/10/105304. S2CID 118501180.
• Zamboj, Michal (8 Jan 2021). "Synthetic construction of the Hopf fibration in a double orthogonal projection of 4-space". Journal of Computational Design and Engineering. 8 (3): 836–854. arXiv:2003.09236. doi:10.1093/jcde/qwab018.
• Kim, Heuna; Rote, G. (2016). "Congruence Testing of Point Sets in 4 Dimensions". arXiv:1603.07269 [cs.CG].
• Sadoc, Jean-Francois (2001). "Helices and helix packings derived from the {3,3,5} polytope". European Physical Journal E. 5: 575–582. doi:10.1007/s101890170040. S2CID 121229939.
• Sadoc, J F; Charvolin, J (2009). "3-sphere fibrations: A tool for analyzing twisted materials in condensed matter". Journal of Physics A. 42 (46): 465209. Bibcode:2009JPhA...42T5209S. doi:10.1088/1751-8113/42/46/465209. S2CID 120065066.
• Lemmens, P.W.H.; Seidel, J.J. (1973). "Equi-isoclinic subspaces of Euclidean spaces". Indagationes Mathematicae (Proceedings). 76 (2): 98–107. doi:10.1016/1385-7258(73)90042-5. ISSN 1385-7258.
• Tyrrell, J. A.; Semple, J.G. (1971). Generalized Clifford parallelism. Cambridge University Press. ISBN 0-521-08042-8.
• Perez-Gracia, Alba; Thomas, Federico (2017). "On Cayley's Factorization of 4D Rotations and Applications" (PDF). Adv. Appl. Clifford Algebras. 27: 523–538. doi:10.1007/s00006-016-0683-9. hdl:2117/113067. S2CID 12350382.
• Mamone, Salvatore; Pileio, Giuseppe; Levitt, Malcolm H. (2010). "Orientational Sampling Schemes Based on Four Dimensional Polytopes". Symmetry. 2 (3): 1423–1449. Bibcode:2010Symm....2.1423M. doi:10.3390/sym2031423.
• Stillwell, John (January 2001). "The Story of the 120-Cell" (PDF). Notices of the AMS. 48 (1): 17–25.
• Dorst, Leo (2019). "Conformal Villarceau Rotors". Advances in Applied Clifford Algebras. 29 (44). doi:10.1007/s00006-019-0960-5. S2CID 253592159.
• Banchoff, Thomas F. (2013). "Torus Decompostions of Regular Polytopes in 4-space". In Senechal, Marjorie (ed.). Shaping Space. Springer New York. pp. 257–266. doi:10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8.
• Banchoff, Thomas (1988). "Geometry of the Hopf Mapping and Pinkall's Tori of Given Conformal Type". In Tangora, Martin (ed.). Computers in Algebra. New York and Basel: Marcel Dekker. pp. 57–62.
• Koca, Mehmet; Ozdes Koca, Nazife; Al-Barwani, Muataz (2012). "Snub 24-Cell Derived from the Coxeter-Weyl Group W(D4)". Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 09 (8). arXiv:1106.3433. doi:10.1142/S0219887812500685. S2CID 119288632.
• Koca, Mehmet; Al-Ajmi, Mudhahir; Ozdes Koca, Nazife (2011). "Quaternionic representation of snub 24-cell and its dual polytope derived from E8 root system". Linear Algebra and Its Applications. 434 (4): 977–989. arXiv:0906.2109. doi:10.1016/j.laa.2010.10.005. ISSN 0024-3795. S2CID 18278359.
• Koca, Nazife; Al-Mukhaini, Aida; Koca, Mehmet; Al Qanobi, Amal (2016-12-01). "Symmetry of the Pyritohedron and Lattices". Sultan Qaboos University Journal for Science [SQUJS]. 21 (2): 139. doi:10.24200/squjs.vol21iss2pp139-149.
• Dechant, Pierre-Philippe (2021). "Clifford Spinors and Root System Induction: H4 and the Grand Antiprism". Advances in Applied Clifford Algebras. 31 (3). Springer Science and Business Media. arXiv:2103.07817. doi:10.1007/s00006-021-01139-2. S2CID 232232920.
• Dechant, Pierre-Philippe (2017). "The E8 Geometry from a Clifford Perspective". Advances in Applied Clifford Algebras. 27: 397–421. arXiv:1603.04805. doi:10.1007/s00006-016-0675-9. S2CID 253595386.
• Itoh, Jin-ichi; Nara, Chie (2021). "Continuous flattening of the 2-dimensional skeleton of a regular 24-cell". Journal of Geometry. 112 (13). doi:10.1007/s00022-021-00575-6.
• Mebius, Johan (July 2015) [11 Jan 1994]. Applications of Quaternions to Dynamical Simulation, Computer Graphics and Biomechanics (Thesis). Delft University of Technology. doi:10.13140/RG.2.1.3310.3205.

External links

• Weisstein, Eric W. "600-Cell". MathWorld.
• Klitzing, Richard. "4D uniform polytopes (polychora) x3o3o5o - ex".
• Der 600-Zeller (600-cell) Marco Möller's Regular polytopes in R⁴ (German)
• The 600-Cell Vertex centered expansion of the 600-cell