Общая теория относительности

Theory of gravitation as curved spacetime

Замедленная компьютерная симуляция двойной системы черных дыр GW150914, видимой близлежащим наблюдателем, в течение 0,33 с ее финальной спирали , слияния и кольцевого сближения . Звездное поле позади черных дыр сильно искажается и, по-видимому, вращается и движется из-за экстремального гравитационного линзирования , поскольку само пространство-время искажается и увлекается вращающимися черными дырами . ^[1]

Общая теория относительности , также известная как общая теория относительности и как теория гравитации Эйнштейна , является геометрической теорией гравитации , опубликованной Альбертом Эйнштейном в 1915 году, и является текущим описанием гравитации в современной физике . Общая теория относительности обобщает специальную теорию относительности и уточняет закон всемирного тяготения Ньютона , предоставляя единое описание гравитации как геометрического свойства пространства и времени , или четырехмерного пространства-времени . В частности, кривизна пространства-времени напрямую связана с энергией и импульсом любой присутствующей материи и излучения . Соотношение задается уравнениями поля Эйнштейна , системой уравнений в частных производных второго порядка .

Закон всемирного тяготения Ньютона , описывающий классическую гравитацию, можно рассматривать как предсказание общей теории относительности для почти плоской геометрии пространства-времени вокруг стационарных распределений масс. Однако некоторые предсказания общей теории относительности выходят за рамки закона всемирного тяготения Ньютона в классической физике . Эти предсказания касаются течения времени, геометрии пространства, движения тел в свободном падении и распространения света и включают гравитационное замедление времени , гравитационное линзирование , гравитационное красное смещение света, задержку времени Шапиро и сингулярности / черные дыры . До сих пор было показано, что все тесты общей теории относительности согласуются с теорией. Зависящие от времени решения общей теории относительности позволяют нам говорить об истории Вселенной и обеспечили современную основу для космологии , что привело к открытию Большого взрыва и космического микроволнового фонового излучения. Несмотря на введение ряда альтернативных теорий , общая теория относительности продолжает оставаться простейшей теорией, согласующейся с экспериментальными данными .

Однако согласование общей теории относительности с законами квантовой физики остается проблемой, поскольку отсутствует самосогласованная теория квантовой гравитации . Пока неизвестно, как гравитация может быть объединена с тремя негравитационными силами: сильным , слабым и электромагнитным .

Теория Эйнштейна имеет астрофизические последствия, включая предсказание черных дыр — областей пространства, в которых пространство и время искажены таким образом, что ничто, даже свет , не может вырваться из них. Черные дыры являются конечным состоянием для массивных звезд . Микроквазары и активные ядра галактик считаются звездными черными дырами и сверхмассивными черными дырами . Она также предсказывает гравитационное линзирование , когда искривление света приводит к появлению множественных изображений одного и того же отдаленного астрономического явления. Другие предсказания включают существование гравитационных волн , которые были непосредственно обнаружены физическим сотрудничеством LIGO и другими обсерваториями. Кроме того, общая теория относительности предоставила основу космологических моделей расширяющейся Вселенной .

Общая теория относительности , широко признанная как теория необычайной красоты , часто описывается как самая красивая из всех существующих физических теорий. ^[2]

История

Теория динамики электрона Анри Пуанкаре 1905 года была релятивистской теорией, которую он применил ко всем силам, включая гравитацию. В то время как другие считали, что гравитация мгновенна или имеет электромагнитное происхождение, он предположил, что относительность была «чем-то, обусловленным нашими методами измерения». В своей теории он показал, что гравитационные волны распространяются со скоростью света. ^[3] Вскоре после этого Эйнштейн начал думать о том, как включить гравитацию в свою релятивистскую структуру. В 1907 году, начав с простого мысленного эксперимента с наблюдателем в свободном падении (FFO), он приступил к тому, что стало восьмилетним поиском релятивистской теории гравитации. После многочисленных обходных путей и фальстартов его работа достигла кульминации в представлении Прусской академии наук в ноябре 1915 года того, что сейчас известно как уравнения поля Эйнштейна, которые составляют ядро ​​общей теории относительности Эйнштейна. ^[4] Эти уравнения определяют, как геометрия пространства и времени зависит от присутствующей материи и излучения. ^[5] Версия неевклидовой геометрии , называемая римановой геометрией , позволила Эйнштейну разработать общую теорию относительности, предоставив ключевую математическую основу, на которой он разместил свои физические идеи гравитации. ^[6] Эта идея была выдвинута математиком Марселем Гроссманом и опубликована Гроссманом и Эйнштейном в 1913 году. ^[7]

Уравнения поля Эйнштейна нелинейны и считаются сложными для решения. Эйнштейн использовал методы приближения при разработке начальных предсказаний теории. Но в 1916 году астрофизик Карл Шварцшильд нашел первое нетривиальное точное решение уравнений поля Эйнштейна, метрику Шварцшильда . Это решение заложило основу для описания конечных стадий гравитационного коллапса и объектов, известных сегодня как черные дыры. В том же году были сделаны первые шаги к обобщению решения Шварцшильда на электрически заряженные объекты, что в конечном итоге привело к решению Рейсснера–Нордстрема , которое теперь ассоциируется с электрически заряженными черными дырами . ^[8] В 1917 году Эйнштейн применил свою теорию ко Вселенной в целом, положив начало области релятивистской космологии. В соответствии с современным мышлением он предположил статическую Вселенную, добавив новый параметр к своим исходным уравнениям поля — космологическую постоянную — чтобы соответствовать этому наблюдательному предположению. ^[9] Однако к 1929 году работа Хаббла и других показала, что наша Вселенная расширяется. Это легко описывается расширяющимися космологическими решениями, найденными Фридманом в 1922 году, которые не требуют космологической постоянной. Леметр использовал эти решения для формулировки самой ранней версии моделей Большого взрыва , в которых наша Вселенная развилась из чрезвычайно горячего и плотного более раннего состояния. ^[10] Позже Эйнштейн объявил космологическую постоянную самой большой ошибкой своей жизни. ^[11]

В этот период общая теория относительности оставалась чем-то вроде диковинки среди физических теорий. Она явно превосходила ньютоновскую гравитацию , будучи согласующейся со специальной теорией относительности и объясняя несколько эффектов, необъяснимых ньютоновской теорией. Эйнштейн показал в 1915 году, как его теория объяснила аномальное смещение перигелия планеты Меркурий без каких-либо произвольных параметров («факторов подтасовки»), ^[12] а в 1919 году экспедиция под руководством Эддингтона подтвердила предсказание общей теории относительности об отклонении звездного света Солнцем во время полного солнечного затмения 29 мая 1919 года , ^[13] мгновенно сделав Эйнштейна знаменитым. ^[14] Тем не менее, теория оставалась вне основного русла теоретической физики и астрофизики до событий примерно между 1960 и 1975 годами, которые теперь известны как золотой век общей теории относительности . ^[15] Физики начали понимать концепцию черной дыры и идентифицировать квазары как одно из астрофизических проявлений этих объектов. ^[16] Более точные тесты солнечной системы подтвердили предсказательную силу теории, ^[17] и релятивистская космология также стала поддаваться прямым наблюдательным проверкам. ^[18]

Общая теория относительности приобрела репутацию теории необычайной красоты. ^{[2] [19] [20]} Субраманьян Чандрасекар отметил, что на многих уровнях общая теория относительности демонстрирует то, что Фрэнсис Бэкон назвал «странностью в пропорции» ( т. е . элементы, которые вызывают удивление и удивление). Она сопоставляет фундаментальные концепции (пространство и время против материи и движения), которые ранее считались совершенно независимыми. Чандрасекар также отметил, что единственными проводниками Эйнштейна в его поисках точной теории были принцип эквивалентности и его чувство, что правильное описание гравитации должно быть геометрическим в своей основе, так что был «элемент откровения» в том, как Эйнштейн пришел к своей теории. ^[21] Другими элементами красоты, связанными с общей теорией относительности, являются ее простота и симметрия, способ, которым она включает инвариантность и унификацию, и ее идеальная логическая последовательность. ^[22]

В предисловии к «Относительности: специальная и общая теория » Эйнштейн сказал: «Настоящая книга призвана, насколько это возможно, дать точное представление о теории относительности тем читателям, которые, с общенаучной и философской точки зрения, интересуются этой теорией, но не знакомы с математическим аппаратом теоретической физики. Работа предполагает уровень образования, соответствующий университетскому вступительному экзамену, и, несмотря на краткость книги, изрядное терпение и силу воли со стороны читателя. Автор не жалел усилий в своем стремлении представить основные идеи в наиболее простой и понятной форме и в целом в той последовательности и связи, в которой они фактически возникли». ^[23]

От классической механики к общей теории относительности

Общую теорию относительности можно понять, изучив ее сходства с классической физикой и отступления от нее. Первым шагом является осознание того, что классическая механика и закон тяготения Ньютона допускают геометрическое описание. Сочетание этого описания с законами специальной теории относительности приводит к эвристическому выводу общей теории относительности. ^{[24] [25]}

Геометрия ньютоновской гравитации

Согласно общей теории относительности, объекты в гравитационном поле ведут себя подобно объектам в ускоряющемся замкнутом пространстве. Например, наблюдатель увидит, что мяч падает в ракете (слева) так же, как и на Земле (справа), при условии, что ускорение ракеты равно 9,8 м/с ² (ускорение силы тяжести на поверхности Земли).

В основе классической механики лежит представление о том, что движение тела можно описать как комбинацию свободного (или инерционного ) движения и отклонений от этого свободного движения. Такие отклонения вызываются внешними силами, действующими на тело в соответствии со вторым законом движения Ньютона , который гласит, что чистая сила, действующая на тело, равна (инерционной) массе этого тела, умноженной на его ускорение . ^[26] Предпочтительные инерционные движения связаны с геометрией пространства и времени: в стандартных системах отсчета классической механики объекты в свободном движении движутся по прямым линиям с постоянной скоростью. На современном языке их траектории являются геодезическими , прямыми мировыми линиями в искривленном пространстве-времени . ^[27]

Наоборот, можно было бы ожидать, что инерционные движения, однажды идентифицированные путем наблюдения за фактическими движениями тел и учета внешних сил (таких как электромагнетизм или трение ), могут быть использованы для определения геометрии пространства, а также временной координаты . Однако возникает неоднозначность, как только в игру вступает гравитация. Согласно закону тяготения Ньютона, и независимо подтвержденному экспериментами, такими как эксперимент Этвеша и его последователей (см. Эксперимент Этвеша ), существует универсальность свободного падения (также известная как принцип слабой эквивалентности , или всеобщее равенство инертной и пассивно-гравитационной масс): траектория пробного тела в свободном падении зависит только от его положения и начальной скорости, но не от каких-либо его материальных свойств. ^[28] Упрощенная версия этого воплощена в эксперименте Эйнштейна с лифтом , проиллюстрированном на рисунке справа: для наблюдателя в закрытой комнате невозможно решить, путем отображения траектории тел, таких как брошенный мяч, является ли комната неподвижной в гравитационном поле, а мяч ускоряется, или находится в свободном пространстве на борту ракеты, которая ускоряется со скоростью, равной скорости гравитационного поля, по сравнению с мячом, который после освобождения имеет нулевое ускорение. ^[29]

Учитывая универсальность свободного падения, нет наблюдаемого различия между инерционным движением и движением под действием силы тяжести. Это предполагает определение нового класса инерционного движения, а именно движения объектов в свободном падении под действием силы тяжести. Этот новый класс предпочтительных движений также определяет геометрию пространства и времени — в математических терминах это геодезическое движение, связанное с определенной связью , которая зависит от градиента гравитационного потенциала . Пространство в этой конструкции по-прежнему имеет обычную евклидову геометрию . Однако пространство -время в целом более сложно. Как можно показать с помощью простых мысленных экспериментов, следующих за траекториями свободного падения различных тестовых частиц, результат переноса векторов пространства-времени, которые могут обозначать скорость частицы (временеподобные векторы), будет меняться в зависимости от траектории частицы; математически говоря, ньютоновская связь не интегрируема . Из этого можно сделать вывод, что пространство-время искривлено. Полученная теория Ньютона-Картана представляет собой геометрическую формулировку ньютоновской гравитации, использующую только ковариантные концепции, т. е. описание, которое справедливо в любой желаемой системе координат. ^[30] В этом геометрическом описании приливные эффекты — относительное ускорение тел при свободном падении — связаны с производной связи, показывающей, как измененная геометрия вызвана наличием массы. ^[31]

Релятивистское обобщение

Световой конус

Насколько бы интригующей ни была геометрическая ньютоновская гравитация, ее основа, классическая механика, является всего лишь предельным случаем (специальной) релятивистской механики. ^[32] На языке симметрии : там, где гравитацией можно пренебречь, физика инвариантна Лоренцу, как в специальной теории относительности, а не инвариантна Галилею , как в классической механике. (Определяющей симметрией специальной теории относительности является группа Пуанкаре , которая включает в себя трансляции, вращения, ускорения и отражения.) Различия между ними становятся существенными, когда речь идет о скоростях, приближающихся к скорости света , и о высокоэнергетических явлениях. ^[33]

С симметрией Лоренца в игру вступают дополнительные структуры. Они определяются набором световых конусов (см. изображение). Световые конусы определяют причинную структуру: для каждого события A существует набор событий, которые могут, в принципе, либо влиять, либо подвергаться влиянию A посредством сигналов или взаимодействий, которые не должны распространяться быстрее света (например, событие B на изображении), и набор событий, для которых такое влияние невозможно (например, событие C на изображении). Эти наборы не зависят от наблюдателя . ^[34] В сочетании с мировыми линиями свободно падающих частиц световые конусы могут использоваться для реконструкции полуримановой метрики пространства-времени, по крайней мере, до положительного скалярного множителя. В математических терминах это определяет конформную структуру ^[35] или конформную геометрию.

Специальная теория относительности определяется при отсутствии гравитации. Для практических приложений это подходящая модель, когда гравитацией можно пренебречь. Принимая во внимание гравитацию и предполагая универсальность свободного падения, применимо аналогичное рассуждение, как в предыдущем разделе: не существует глобальных инерциальных систем отсчета . Вместо этого существуют приближенные инерциальные системы отсчета, движущиеся вместе со свободно падающими частицами. В переводе на язык пространства-времени: прямые временные линии, которые определяют инерциальную систему отсчета без гравитации, деформируются в линии, которые искривляются относительно друг друга, что предполагает, что включение гравитации требует изменения геометрии пространства-времени. ^[36]

Априори неясно, совпадают ли новые локальные системы отсчета в свободном падении с системами отсчета, в которых действуют законы специальной теории относительности — эта теория основана на распространении света и, следовательно, на электромагнетизме, который может иметь другой набор предпочтительных систем . Но используя различные предположения о системах отсчета специальной теории относительности (например, их фиксацию на Земле или свободное падение), можно вывести различные предсказания для гравитационного красного смещения, то есть способа, которым частота света смещается по мере распространения света через гравитационное поле (см. ниже). Фактические измерения показывают, что свободно падающие системы — это те, в которых свет распространяется так, как это происходит в специальной теории относительности. ^[37] Обобщение этого утверждения, а именно то, что законы специальной теории относительности придерживаются хорошего приближения в свободно падающих (и не вращающихся) системах отсчета, известно как принцип эквивалентности Эйнштейна , важнейший руководящий принцип для обобщения физики специальной теории относительности для включения гравитации. ^[38]

Те же экспериментальные данные показывают, что время, измеряемое часами в гравитационном поле — собственное время , если использовать технический термин — не подчиняется правилам специальной теории относительности. На языке геометрии пространства-времени оно не измеряется метрикой Минковского . Как и в ньютоновском случае, это наводит на мысль о более общей геометрии. В малых масштабах все системы отсчета, находящиеся в свободном падении, эквивалентны и приблизительно являются минковскими. Следовательно, теперь мы имеем дело с искривленным обобщением пространства Минковского. Метрический тензор , определяющий геометрию — в частности, способ измерения длин и углов — не является метрикой Минковского специальной теории относительности, это обобщение, известное как полу- или псевдориманова метрика. Более того, каждая риманова метрика естественным образом связана с одним конкретным видом связи, связью Леви-Чивиты , и это, по сути, связь, которая удовлетворяет принципу эквивалентности и делает пространство локально минковскианским (то есть, в подходящих локально инерциальных координатах метрика является минковскианской, а ее первые частные производные и коэффициенты связи равны нулю). ^[39]

Уравнения Эйнштейна

Сформулировав релятивистскую, геометрическую версию эффектов гравитации, остается вопрос об источнике гравитации. В ньютоновской гравитации источником является масса. В специальной теории относительности масса оказывается частью более общей величины, называемой тензором энергии-импульса , которая включает как плотности энергии и импульса, так и напряжения : давление и сдвиг. ^[40] Используя принцип эквивалентности, этот тензор легко обобщается на искривленное пространство-время. Проводя далее аналогию с геометрической ньютоновской гравитацией, естественно предположить, что уравнение поля для гравитации связывает этот тензор и тензор Риччи , который описывает особый класс приливных эффектов: изменение объема для небольшого облака пробных частиц, которые изначально находятся в состоянии покоя, а затем свободно падают. В специальной теории относительности сохранение энергии -импульса соответствует утверждению, что тензор энергии-импульса является бездивергентным . Эта формула также легко обобщается на искривленное пространство-время путем замены частных производных их аналогами для искривленного многообразия , ковариантными производными, изучаемыми в дифференциальной геометрии. При этом дополнительном условии — ковариантная дивергенция тензора энергии-импульса, а следовательно, и всего, что находится на другой стороне уравнения, равна нулю — простейший нетривиальный набор уравнений — это то, что называется уравнениями Эйнштейна (поля):

Уравнения поля Эйнштейна

${\displaystyle G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,}$

С левой стороны находится тензор Эйнштейна , , который является симметричным и представляет собой специфическую бездивергентную комбинацию тензора Риччи и метрики. В частности, ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$

скаляр кривизны. Сам тензор Риччи связан с более общим тензором кривизны Римана как

${\displaystyle R_{\mu \nu }={R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }.}$

С правой стороны, является константой и является тензором энергии-импульса. Все тензоры записаны в абстрактной индексной нотации . ^[41] Сопоставляя предсказание теории с результатами наблюдений для планетарных орбит или, что эквивалентно, гарантируя, что предел слабой гравитации, низкой скорости является ньютоновской механикой, константа пропорциональности оказывается равной , где является ньютоновской постоянной гравитации и скоростью света в вакууме. ^[42] Когда нет материи, так что тензор энергии-импульса исчезает, результатом являются вакуумные уравнения Эйнштейна, ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\textstyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }=0.}$

В общей теории относительности мировая линия частицы, свободной от всех внешних, негравитационных сил, является особым типом геодезической в ​​искривленном пространстве-времени. Другими словами, свободно движущаяся или падающая частица всегда движется вдоль геодезической.

Геодезическое уравнение имеет вид:

${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0,}$

где — скалярный параметр движения (например, собственное время ), а — символы Кристоффеля (иногда называемые коэффициентами аффинной связности или коэффициентами связности Леви-Чивиты ), которые симметричны по двум нижним индексам. Греческие индексы могут принимать значения: 0, 1, 2, 3, а для повторяющихся индексов и используется соглашение о суммировании . Величина в левой части этого уравнения — ускорение частицы, и поэтому это уравнение аналогично законам движения Ньютона , которые также предоставляют формулы для ускорения частицы. Это уравнение движения использует обозначения Эйнштейна , что означает, что повторяющиеся индексы суммируются (т. е. от нуля до трех). Символы Кристоффеля являются функциями четырех пространственно-временных координат и поэтому не зависят от скорости или ускорения или других характеристик пробной частицы , движение которой описывается геодезическим уравнением. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Полная сила в общей теории относительности

В общей теории относительности эффективная гравитационная потенциальная энергия объекта массой m, вращающегося вокруг массивного центрального тела M, определяется выражением ^{[43] [44]}

${\displaystyle U_{f}(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GML^{2}}{mc^{2}r^{3}}}}$

Тогда консервативную полную силу можно получить как ее отрицательный градиент

${\displaystyle F_{f}(r)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}+{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}-{\frac {3GML^{2}}{mc^{2}r^{4}}}}$

где L — момент импульса . Первый член представляет силу ньютоновской гравитации , которая описывается законом обратных квадратов. Второй член представляет центробежную силу в круговом движении. Третий член представляет релятивистский эффект.

Альтернативы общей теории относительности

Существуют альтернативы общей теории относительности , построенные на тех же предпосылках, которые включают дополнительные правила и/или ограничения, приводящие к другим уравнениям поля. Примерами являются теория Уайтхеда , теория Бранса–Дикке , телепараллелизм , f ( R ) гравитация и теория Эйнштейна–Картана . ^[45]

Определение и основные приложения

Вывод, изложенный в предыдущем разделе, содержит всю информацию, необходимую для определения общей теории относительности, описания ее основных свойств и решения вопроса, имеющего решающее значение в физике, а именно, как эту теорию можно использовать для построения моделей.

Определение и основные свойства

Общая теория относительности — это метрическая теория гравитации. В ее основе лежат уравнения Эйнштейна , которые описывают связь между геометрией четырехмерного псевдориманова многообразия, представляющего пространство-время, и энергией-импульсом, содержащимся в этом пространстве-времени. ^[46] Явления, которые в классической механике приписываются действию силы гравитации (такие как свободное падение , орбитальное движение и траектории космических аппаратов ), соответствуют инерционному движению в искривленной геометрии пространства-времени в общей теории относительности; нет никакой гравитационной силы, отклоняющей объекты от их естественных прямых путей. Вместо этого гравитация соответствует изменениям в свойствах пространства и времени, что, в свою очередь, изменяет максимально прямые возможные пути, по которым объекты будут следовать естественным образом. ^[47] Кривизна, в свою очередь, вызвана энергией-импульсом материи. Перефразируя релятивиста Джона Арчибальда Уиллера , пространство-время говорит материи, как двигаться; материя говорит пространству-времени, как искривляться. ^[48]

В то время как общая теория относительности заменяет скалярный гравитационный потенциал классической физики симметричным тензором второго ранга , последний сводится к первому в определенных предельных случаях . Для слабых гравитационных полей и медленной скорости относительно скорости света предсказания теории сходятся с предсказаниями закона всемирного тяготения Ньютона. ^[49]

Поскольку общая теория относительности построена с использованием тензоров, она демонстрирует общую ковариантность : ее законы — и дальнейшие законы, сформулированные в рамках общей теории относительности — принимают одинаковую форму во всех системах координат . ^[50] Кроме того, теория не содержит никаких инвариантных геометрических фоновых структур, т. е. она не зависит от фона . Таким образом, она удовлетворяет более строгому общему принципу относительности , а именно, что законы физики одинаковы для всех наблюдателей. ^[51] Локально , как выражено в принципе эквивалентности, пространство-время является минковским , а законы физики демонстрируют локальную лоренц-инвариантность . ^[52]

Построение модели

Основная концепция построения общерелятивистской модели — это решение уравнений Эйнштейна . Учитывая как уравнения Эйнштейна, так и подходящие уравнения для свойств материи, такое решение состоит из определенного полуриманова многообразия (обычно определяемого путем задания метрики в определенных координатах) и определенных полей материи, определенных на этом многообразии. Материя и геометрия должны удовлетворять уравнениям Эйнштейна, поэтому, в частности, тензор энергии-импульса материи должен быть бездивергентным. Материя, конечно, также должна удовлетворять любым дополнительным уравнениям, наложенным на ее свойства. Короче говоря, такое решение является модельной вселенной, которая удовлетворяет законам общей теории относительности и, возможно, дополнительным законам, управляющим любой материей, которая может присутствовать. ^[53]

Уравнения Эйнштейна являются нелинейными уравнениями в частных производных и, как таковые, их трудно решить точно. ^[54] Тем не менее, известно несколько точных решений , хотя только некоторые из них имеют прямые физические приложения. ^[55] Наиболее известными точными решениями, а также наиболее интересными с точки зрения физики, являются решение Шварцшильда , решение Рейсснера–Нордстрема и метрика Керра , каждое из которых соответствует определенному типу черной дыры в пустой вселенной, ^[56] и вселенные Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера и де Ситтера , каждое из которых описывает расширяющийся космос. ^[57] Точные решения, представляющие большой теоретический интерес, включают в себя вселенную Гёделя (которая открывает интригующую возможность путешествий во времени в искривленном пространстве-времени), решение Тауба–NUT (модель вселенной, которая является однородной , но анизотропной ) и анти-де Ситтера (которое недавно стало известным в контексте того, что называется гипотезой Малдасены ). ^[58]

Учитывая сложность нахождения точных решений, уравнения поля Эйнштейна также часто решаются с помощью численного интегрирования на компьютере или путем рассмотрения малых возмущений точных решений. В области численной теории относительности мощные компьютеры используются для моделирования геометрии пространства-времени и решения уравнений Эйнштейна для интересных ситуаций, таких как столкновение двух черных дыр. ^[59] В принципе, такие методы могут быть применены к любой системе при наличии достаточных компьютерных ресурсов и могут решать фундаментальные вопросы, такие как голые сингулярности . Приближенные решения также могут быть найдены с помощью теорий возмущений, таких как линеаризованная гравитация ^[60] и ее обобщение, постньютоновское расширение , обе из которых были разработаны Эйнштейном. Последнее обеспечивает систематический подход к решению для геометрии пространства-времени, которое содержит распределение материи, движущейся медленно по сравнению со скоростью света. Расширение включает ряд членов; первые члены представляют ньютоновскую гравитацию, тогда как последующие члены представляют все меньшие поправки к теории Ньютона из-за общей теории относительности. ^[61] Расширением этого расширения является параметризованный постньютоновский (ППН) формализм, который позволяет проводить количественные сравнения между предсказаниями общей теории относительности и альтернативными теориями. ^[62]

Следствия теории Эйнштейна

Общая теория относительности имеет ряд физических следствий. Некоторые из них вытекают непосредственно из аксиом теории, тогда как другие стали ясны только в ходе многолетних исследований, последовавших за первой публикацией Эйнштейна.

Гравитационное замедление времени и сдвиг частоты

Схематическое изображение гравитационного красного смещения световой волны, выходящей из поверхности массивного тела.

Если предположить, что принцип эквивалентности выполняется, ^[63] гравитация влияет на ход времени. Свет, посланный вниз в гравитационную яму, смещается в синюю сторону , тогда как свет, посланный в противоположном направлении (т. е. выходящий из гравитационной ямы) , смещается в красную сторону ; вместе эти два эффекта известны как гравитационный сдвиг частоты. В более общем смысле, процессы, происходящие вблизи массивного тела, протекают медленнее по сравнению с процессами, происходящими дальше; этот эффект известен как гравитационное замедление времени. ^[64]

Гравитационное красное смещение было измерено в лабораторных условиях ^[65] и с использованием астрономических наблюдений. ^[66] Гравитационное замедление времени в гравитационном поле Земли было измерено много раз с использованием атомных часов , ^[67] в то время как текущая проверка предоставляется как побочный эффект работы Глобальной системы позиционирования (GPS). ^[68] Тесты в более сильных гравитационных полях предоставляются путем наблюдения за двойными пульсарами . ^[69] Все результаты согласуются с общей теорией относительности. ^[70] Однако на текущем уровне точности эти наблюдения не могут отличить общую теорию относительности от других теорий, в которых принцип эквивалентности действителен. ^[71]

Отклонение света и гравитационная задержка времени

Отклонение света (исходящего из места, показанного синим цветом) вблизи компактного тела (показано серым цветом)

Общая теория относительности предсказывает, что путь света будет следовать кривизне пространства-времени, когда он проходит вблизи звезды. Этот эффект был первоначально подтвержден наблюдением за тем, как свет звезд или далеких квазаров отклоняется, когда он проходит мимо Солнца . [ ^72]

Это и связанные с этим предсказания вытекают из того факта, что свет следует так называемой светоподобной или нулевой геодезической — обобщением прямых линий, по которым свет распространяется в классической физике. Такие геодезические являются обобщением инвариантности скорости света в специальной теории относительности. ^[73] При рассмотрении подходящих модельных пространств-времен (либо внешнего решения Шварцшильда, либо, для более чем одной массы, постньютоновского расширения) ^[74] возникают несколько эффектов гравитации на распространение света. Хотя изгиб света также может быть выведен путем распространения универсальности свободного падения на свет, ^[75] угол отклонения, полученный в результате таких вычислений, составляет лишь половину значения, заданного общей теорией относительности. ^[76]

Тесно связана с отклонением света задержка Шапиро, явление, при котором световые сигналы тратят больше времени на перемещение через гравитационное поле, чем при отсутствии этого поля. Было проведено множество успешных проверок этого предсказания. ^[77] В параметризованном постньютоновском формализме (PPN) измерения как отклонения света, так и гравитационной задержки времени определяют параметр, называемый γ, который кодирует влияние гравитации на геометрию пространства. ^[78]

Гравитационные волны

Кольцо пробных частиц, деформированное проходящей (линеаризованной, усиленной для лучшей наглядности) гравитационной волной

Предсказанные в 1916 году ^{[79] [80]} Альбертом Эйнштейном, существуют гравитационные волны: рябь в метрике пространства-времени, которая распространяется со скоростью света. Это одна из нескольких аналогий между слабым полем гравитации и электромагнетизмом в том, что они аналогичны электромагнитным волнам . 11 февраля 2016 года команда Advanced LIGO объявила, что они напрямую обнаружили гравитационные волны от пары сливающихся черных дыр . ^{[81] [82] [83]}

Простейший тип такой волны можно визуализировать по ее воздействию на кольцо свободно плавающих частиц. Синусоидальная волна, распространяющаяся через такое кольцо к читателю, искажает кольцо характерным ритмичным образом (анимированное изображение справа). ^[84] Поскольку уравнения Эйнштейна нелинейны , произвольно сильные гравитационные волны не подчиняются линейной суперпозиции , что затрудняет их описание. Однако линейные аппроксимации гравитационных волн достаточно точны для описания чрезвычайно слабых волн, которые, как ожидается, прибудут сюда, на Землю, от далеких космических событий, которые обычно приводят к увеличению и уменьшению относительных расстояний на или меньше. Методы анализа данных обычно используют тот факт, что эти линеаризованные волны могут быть разложены в ряд Фурье . ^[85] ${\displaystyle 10^{-21}}$

Некоторые точные решения описывают гравитационные волны без каких-либо приближений, например, волновой поезд, движущийся через пустое пространство ^[86] или вселенные Гоуди , разновидности расширяющегося космоса, заполненного гравитационными волнами. ^[87] Но для гравитационных волн, возникающих в астрофизически значимых ситуациях, таких как слияние двух черных дыр, численные методы в настоящее время являются единственным способом построения соответствующих моделей. ^[88]

Орбитальные эффекты и относительность направления

Общая теория относительности отличается от классической механики рядом предсказаний, касающихся вращающихся тел. Она предсказывает общее вращение ( прецессию ) планетарных орбит, а также орбитальный распад, вызванный излучением гравитационных волн и эффектами, связанными с относительностью направления.

Прецессия апсид

Ньютоновская (красная) и эйнштейновская (синяя) орбиты одинокой планеты, вращающейся вокруг звезды. Влияние других планет игнорируется.

В общей теории относительности апсид любой орбиты (точка наибольшего приближения вращающегося тела к центру масс системы ) будет прецессировать ; орбита не является эллипсом , но похожа на эллипс, который вращается вокруг своего фокуса, что приводит к форме, похожей на розу (см. изображение). Эйнштейн впервые вывел этот результат, используя приближенную метрику, представляющую предел Ньютона, и рассматривая вращающееся тело как пробную частицу . Для него тот факт, что его теория давала прямое объяснение аномальному смещению перигелия Меркурия, обнаруженному ранее Урбеном Леверье в 1859 году, был важным доказательством того, что он наконец-то определил правильную форму уравнений гравитационного поля. ^[89]

Эффект также может быть получен с использованием либо точной метрики Шварцшильда (описывающей пространство-время вокруг сферической массы) ^[90] , либо гораздо более общего постньютоновского формализма . ^[91] Он обусловлен влиянием гравитации на геометрию пространства и вкладом собственной энергии в гравитацию тела (закодированную в нелинейности уравнений Эйнштейна). ^[92] Релятивистская прецессия наблюдалась для всех планет, которые допускают точные измерения прецессии (Меркурий, Венера и Земля), ^[93] , а также в двойных пульсарных системах, где она больше на пять порядков величины . ^[94]

В общей теории относительности смещение перигелия , выраженное в радианах за оборот, приблизительно определяется выражением ^[95] ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma ={\frac {24\pi ^{3}L^{2}}{T^{2}c^{2}(1-e^{2})}}\ ,}$

где:

• ${\displaystyle L}$большая полуось
• ${\displaystyle T}$это орбитальный период
• ${\displaystyle c}$это скорость света в вакууме
• ${\displaystyle e}$это эксцентриситет орбиты

Орбитальный распад

Орбитальный распад для PSR J0737−3039: сдвиг во времени (в с ), отслеживаемый в течение 16 лет (2021 г.). ^[96]

Согласно общей теории относительности, двойная система будет излучать гравитационные волны, тем самым теряя энергию. Из-за этой потери расстояние между двумя вращающимися телами уменьшается, а также уменьшается их орбитальный период. В пределах Солнечной системы или для обычных двойных звезд эффект слишком мал, чтобы его можно было наблюдать. Это не относится к тесному двойному пульсару, системе из двух вращающихся нейтронных звезд , одна из которых является пульсаром : от пульсара наблюдатели на Земле получают регулярную серию радиоимпульсов, которые могут служить высокоточными часами, что позволяет точно измерять орбитальный период. Поскольку нейтронные звезды чрезвычайно компактны, значительные количества энергии излучаются в виде гравитационного излучения. ^[97]

Первое наблюдение уменьшения орбитального периода из-за излучения гравитационных волн было сделано Халсом и Тейлором с использованием двойного пульсара PSR1913+16, который они открыли в 1974 году. Это было первое обнаружение гравитационных волн, хотя и косвенное, за которое они были удостоены Нобелевской премии по физике 1993 года. ^[98] С тех пор было обнаружено несколько других двойных пульсаров, в частности двойной пульсар PSR J0737−3039 , где обе звезды являются пульсарами ^[99] и который, как последний раз сообщалось, также согласуется с общей теорией относительности в 2021 году после 16 лет наблюдений. ^[96]

Геодезическая прецессия и перетаскивание кадров

Несколько релятивистских эффектов напрямую связаны с относительностью направления. ^[100] Одним из них является геодезическая прецессия : направление оси гироскопа , находящегося в свободном падении в искривленном пространстве-времени, изменится при сравнении, например, с направлением света, полученного от далеких звезд, — даже если такой гироскоп представляет собой способ поддержания направления как можно более стабильным (« параллельный перенос »). ^[101] Для системы Луна-Земля этот эффект был измерен с помощью лазерной локации Луны . ^[102] Совсем недавно он был измерен для тестовых масс на борту спутника Gravity Probe B с точностью лучше 0,3%. ^{[103] [104]}

Вблизи вращающейся массы существуют гравитомагнитные эффекты или эффекты увлечения кадра . Удаленный наблюдатель определит, что объекты, близкие к массе, «увлекаются». Это наиболее экстремально для вращающихся черных дыр , где для любого объекта, входящего в зону, известную как эргосфера , вращение неизбежно. ^[105] Такие эффекты снова можно проверить через их влияние на ориентацию гироскопов в свободном падении. ^[106] Несколько спорные тесты были проведены с использованием спутников LAGEOS , подтвердивших релятивистское предсказание. ^[107] Также использовался зонд Mars Global Surveyor вокруг Марса. ^[108]

Астрофизические приложения

Гравитационное линзирование

Крест Эйнштейна : четыре изображения одного и того же астрономического объекта, полученные с помощью гравитационной линзы.

Отклонение света под действием гравитации является причиной нового класса астрономических явлений. Если массивный объект находится между астрономом и удаленным целевым объектом с соответствующей массой и относительными расстояниями, астроном увидит несколько искаженных изображений цели. Такие эффекты известны как гравитационное линзирование. ^[109] В зависимости от конфигурации, масштаба и распределения массы может быть два или более изображений, яркое кольцо, известное как кольцо Эйнштейна , или частичные кольца, называемые дугами. ^[110] Самый ранний пример был обнаружен в 1979 году; ^[111] с тех пор было обнаружено более сотни гравитационных линз. ^[112] Даже если несколько изображений находятся слишком близко друг к другу, чтобы их можно было разрешить, эффект все равно можно измерить, например, как общее увеличение яркости целевого объекта; было замечено несколько таких « событий микролинзирования ». ^[113]

Гравитационное линзирование превратилось в инструмент наблюдательной астрономии . Оно используется для обнаружения присутствия и распределения темной материи , обеспечивает «естественный телескоп» для наблюдения за далекими галактиками и для получения независимой оценки постоянной Хаббла . Статистические оценки данных линзирования дают ценную информацию о структурной эволюции галактик . ^[114]

Гравитационно-волновая астрономия

Художественное представление космического детектора гравитационных волн LISA

Наблюдения за двойными пульсарами дают весомые косвенные доказательства существования гравитационных волн (см. Орбитальный распад выше). Обнаружение этих волн является основной целью современных исследований, связанных с теорией относительности. ^[115] В настоящее время работают несколько наземных детекторов гравитационных волн , в частности, интерферометрические детекторы GEO 600 , LIGO (два детектора), TAMA 300 и VIRGO . ^[116] Различные массивы пульсарной синхронизации используют миллисекундные пульсары для обнаружения гравитационных волн в диапазоне частот от 10−9 ^до 10−6 ^герц , которые исходят от двойных сверхмассивных черных дыр. ^[117] Европейский космический детектор eLISA / NGO в настоящее время находится в стадии разработки, ^[118] а предшествующая миссия ( LISA Pathfinder ) была запущена в декабре 2015 года. ^[119]

Наблюдения за гравитационными волнами обещают дополнить наблюдения в электромагнитном спектре . ^[120] Ожидается, что они дадут информацию о черных дырах и других плотных объектах, таких как нейтронные звезды и белые карлики, об определенных видах взрывов сверхновых и о процессах в очень ранней Вселенной, включая сигнатуру определенных типов гипотетических космических струн . ^[121] В феврале 2016 года команда Advanced LIGO объявила, что они обнаружили гравитационные волны от слияния черных дыр. ^{[81] [82] [83]}

Черные дыры и другие компактные объекты

Моделирование на основе уравнений общей теории относительности: звезда коллапсирует, образуя черную дыру, испуская при этом гравитационные волны.

Всякий раз, когда отношение массы объекта к его радиусу становится достаточно большим, общая теория относительности предсказывает образование черной дыры, области пространства, из которой ничто, даже свет, не может вырваться. В принятых в настоящее время моделях звездной эволюции нейтронные звезды массой около 1,4 солнечных и звездные черные дыры массой от нескольких до нескольких десятков солнечных считаются конечным состоянием эволюции массивных звезд. ^[122] Обычно в центре галактики находится одна сверхмассивная черная дыра массой от нескольких миллионов до нескольких миллиардов солнечных масс, ^[123] и ее присутствие, как полагают, сыграло важную роль в формировании галактики и более крупных космических структур. ^[124]

С астрономической точки зрения, наиболее важным свойством компактных объектов является то, что они обеспечивают чрезвычайно эффективный механизм для преобразования гравитационной энергии в электромагнитное излучение. ^[125] Аккреция , падение пыли или газообразной материи на звездные или сверхмассивные черные дыры, как полагают, ответственна за некоторые впечатляюще яркие астрономические объекты, в частности, разнообразные виды активных галактических ядер в галактических масштабах и объекты звездного размера, такие как микроквазары. ^[126] В частности, аккреция может привести к релятивистским струям , сфокусированным пучкам высокоэнергетических частиц, которые выбрасываются в космос почти со скоростью света. ^[127] Общая теория относительности играет центральную роль в моделировании всех этих явлений, ^[128] и наблюдения предоставляют убедительные доказательства существования черных дыр со свойствами, предсказанными теорией. ^[129]

Черные дыры также являются желанными целями в поиске гравитационных волн (ср. Гравитационные волны, выше). Слияние двойных черных дыр должно привести к некоторым из самых сильных сигналов гравитационных волн, достигающих детекторов здесь, на Земле, и фаза непосредственно перед слиянием («чирп») может быть использована как « стандартная свеча » для определения расстояния до событий слияния и, следовательно, служить зондом космического расширения на больших расстояниях. ^[130] Гравитационные волны, создаваемые при погружении звездной черной дыры в сверхмассивную, должны предоставлять прямую информацию о геометрии сверхмассивной черной дыры. ^[131]

Космология

Эта голубая подкова — далекая галактика, которая была увеличена и деформирована в почти полное кольцо под действием сильного гравитационного притяжения массивной яркой красной галактики на переднем плане.

Современные модели космологии основаны на уравнениях поля Эйнштейна , которые включают космологическую постоянную, поскольку она оказывает важное влияние на крупномасштабную динамику космоса, ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda \ g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }}$

где — метрика пространства-времени. ^[132] Изотропные и однородные решения этих расширенных уравнений, решения Фридмана–Лемэтра–Робертсона–Уокера , ^[133] позволяют физикам моделировать вселенную, которая развивалась в течение последних 14  миллиардов  лет из горячей ранней фазы Большого взрыва. ^[134] Как только небольшое количество параметров (например, средняя плотность материи вселенной) зафиксировано астрономическими наблюдениями, ^[135] можно использовать дополнительные данные наблюдений для проверки моделей. ^[136] Прогнозы, все успешные, включают начальное обилие химических элементов, образованных в период первичного нуклеосинтеза , ^[137] крупномасштабную структуру вселенной, ^[138] и существование и свойства « теплового эха» из раннего космоса, космического фонового излучения . ^[139] ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Астрономические наблюдения за скоростью космологического расширения позволяют оценить общее количество материи во Вселенной, хотя природа этой материи отчасти остается загадочной. Около 90% всей материи, по-видимому, является темной материей, которая имеет массу (или, что эквивалентно, гравитационное влияние), но не взаимодействует электромагнитно и, следовательно, не может наблюдаться напрямую. ^[140] Не существует общепринятого описания этого нового вида материи в рамках известной физики элементарных частиц ^[141] или иным образом. ^[142] Наблюдательные данные из обзоров красного смещения далеких сверхновых и измерений космического фонового излучения также показывают, что эволюция нашей Вселенной существенно зависит от космологической постоянной, приводящей к ускорению космического расширения или, что эквивалентно, от формы энергии с необычным уравнением состояния , известной как темная энергия , природа которой остается неясной. ^[143]

Инфляционная фаза ^[144] дополнительная фаза сильно ускоренного расширения за космическое время около 10 ⁻³³ секунд была выдвинута в 1980 году для объяснения нескольких загадочных наблюдений, которые не были объяснены классическими космологическими моделями, такими как почти идеальная однородность космического фонового излучения. ^[145] Недавние измерения космического фонового излучения привели к первым доказательствам этого сценария. ^[146] Однако существует ошеломляющее разнообразие возможных инфляционных сценариев, которые не могут быть ограничены текущими наблюдениями. ^[147] Еще более масштабный вопрос — это физика самой ранней Вселенной, до инфляционной фазы и близко к тому месту, где классические модели предсказывают сингулярность Большого взрыва . Авторитетный ответ потребовал бы полной теории квантовой гравитации, которая еще не разработана ^[148] (см. раздел о квантовой гравитации ниже).

Экзотические решения: путешествия во времени, варп-двигатели

Курт Гёдель показал ^[149] , что существуют решения уравнений Эйнштейна, содержащие замкнутые времениподобные кривые (ЗВК), которые допускают петли во времени. Решения требуют экстремальных физических условий, которые вряд ли когда-либо возникнут на практике, и остается открытым вопрос, устранят ли их полностью дальнейшие законы физики. С тех пор были найдены другие — столь же непрактичные — решения ОТО, содержащие ЗВК, такие как цилиндр Типлера и проходимые червоточины . Стивен Хокинг ввел гипотезу о защите хронологии , которая является предположением, выходящим за рамки стандартной общей теории относительности, для предотвращения путешествий во времени .

Некоторые точные решения в общей теории относительности, такие как двигатель Алькубьерре, представляют собой примеры варп-двигателя , но эти решения требуют экзотического распределения материи и, как правило, страдают от полуклассической неустойчивости. ^[150]

Расширенные концепции

Асимптотические симметрии

Группа симметрии пространства-времени для специальной теории относительности — это группа Пуанкаре , которая является десятимерной группой из трех лоренцевских бустов, трех вращений и четырех пространственно-временных трансляций. Логично спросить, какие симметрии, если таковые имеются, могут применяться в общей теории относительности. Поддающимся решению случаем может быть рассмотрение симметрий пространства-времени, как их видят наблюдатели, находящиеся далеко от всех источников гравитационного поля. Наивное ожидание асимптотически плоских симметрий пространства-времени может заключаться в простом расширении и воспроизведении симметрий плоского пространства-времени специальной теории относительности, а именно группы Пуанкаре.

В 1962 году Герман Бонди , М. Г. ван дер Бург, А. В. Метцнер ^[151] и Райнер К. Сакс ^[152] обратились к этой проблеме асимптотической симметрии , чтобы исследовать поток энергии на бесконечности из-за распространяющихся гравитационных волн . Их первым шагом было принятие решения о некоторых физически разумных граничных условиях, которые можно было бы наложить на гравитационное поле на светоподобной бесконечности, чтобы охарактеризовать, что значит сказать, что метрика является асимптотически плоской, не делая никаких априорных предположений о природе группы асимптотической симметрии — даже предположения о том, что такая группа существует. Затем, после разработки того, что они считали наиболее разумными граничными условиями, они исследовали природу результирующих преобразований асимптотической симметрии, которые оставляют инвариантной форму граничных условий, соответствующих асимптотически плоским гравитационным полям. Они обнаружили, что асимптотические преобразования симметрии на самом деле образуют группу, и структура этой группы не зависит от конкретного гравитационного поля, которое случайно присутствует. Это означает, что, как и ожидалось, можно отделить кинематику пространства-времени от динамики гравитационного поля, по крайней мере, на пространственной бесконечности. Озадачивающим сюрпризом в 1962 году стало их открытие богатой бесконечномерной группы (так называемой группы BMS) в качестве асимптотической группы симметрии вместо конечномерной группы Пуанкаре, которая является подгруппой группы BMS. Преобразования Лоренца являются не только асимптотическими преобразованиями симметрии, но существуют также дополнительные преобразования, которые не являются преобразованиями Лоренца, но являются асимптотическими преобразованиями симметрии. Фактически, они обнаружили дополнительную бесконечность генераторов преобразований, известных как супертрансляции . Это подразумевает вывод о том, что общая теория относительности (ОТО) не сводится к специальной теории относительности в случае слабых полей на больших расстояниях. Оказывается, что симметрия БМС, соответствующим образом модифицированная, может рассматриваться как переформулировка универсальной теоремы о мягком гравитоне в квантовой теории поля (КТП), которая связывает универсальную инфракрасную (мягкую) КТП с асимптотическими симметриями пространства-времени ОТО. ^[153]

Причинно-следственная структура и глобальная геометрия

Диаграмма Пенроуза–Картера бесконечной вселенной Минковского

В общей теории относительности ни одно материальное тело не может догнать или перегнать световой импульс. Никакое влияние события A не может достичь любого другого места X до того, как свет будет послан из A в X. В результате исследование всех световых мировых линий ( нулевых геодезических ) дает ключевую информацию о причинной структуре пространства-времени. Эту структуру можно отобразить с помощью диаграмм Пенроуза-Картера , в которых бесконечно большие области пространства и бесконечные временные интервалы сжимаются (« компактифицируются ») так, чтобы поместиться на конечной карте, в то время как свет по-прежнему движется по диагоналям, как в стандартных диаграммах пространства-времени . ^[154]

Осознавая важность причинной структуры, Роджер Пенроуз и другие разработали то, что известно как глобальная геометрия . В глобальной геометрии объектом изучения является не одно конкретное решение (или семейство решений) уравнений Эйнштейна. Скорее, для получения общих результатов используются соотношения, которые справедливы для всех геодезических, такие как уравнение Райчаудхури , и дополнительные неспецифические предположения о природе материи (обычно в форме энергетических условий ). ^[155]

Горизонты

Используя глобальную геометрию, можно показать, что некоторые пространства-времена содержат границы, называемые горизонтами , которые разграничивают одну область от остального пространства-времени. Наиболее известными примерами являются черные дыры: если масса сжимается в достаточно компактную область пространства (как указано в гипотезе обруча , соответствующая шкала длины — радиус Шварцшильда ^[156] ), никакой свет изнутри не может вырваться наружу. Поскольку ни один объект не может обогнать световой импульс, вся внутренняя материя также оказывается в заточении. Переход из внешнего пространства во внутреннее все еще возможен, показывая, что граница, горизонт черной дыры , не является физическим барьером. ^[157]

Эргосфера вращающейся черной дыры, которая играет ключевую роль при извлечении энергии из такой черной дыры.

Ранние исследования черных дыр опирались на явные решения уравнений Эйнштейна, в частности, на сферически симметричное решение Шварцшильда (используемое для описания статической черной дыры) и осесимметричное решение Керра (используемое для описания вращающейся, стационарной черной дыры и введения интересных особенностей, таких как эргосфера). Используя глобальную геометрию, более поздние исследования выявили более общие свойства черных дыр. Со временем они становятся довольно простыми объектами, характеризующимися одиннадцатью параметрами, определяющими: электрический заряд, массу-энергию, линейный импульс , угловой момент и местоположение в определенное время. Это утверждается теоремой об уникальности черных дыр : «у черных дыр нет волос», то есть нет отличительных признаков, таких как прически людей. Независимо от сложности гравитирующего объекта, коллапсирующего с образованием черной дыры, объект, который получается (испускающий гравитационные волны), очень прост. ^[158]

Еще более примечательно, что существует общий набор законов, известный как механика черных дыр , который аналогичен законам термодинамики . Например, по второму закону механики черных дыр, площадь горизонта событий общей черной дыры никогда не будет уменьшаться со временем, аналогично энтропии термодинамической системы. Это ограничивает энергию, которая может быть извлечена классическими средствами из вращающейся черной дыры (например, с помощью процесса Пенроуза ). ^[159] Существуют веские доказательства того, что законы механики черных дыр, по сути, являются подмножеством законов термодинамики, и что площадь черной дыры пропорциональна ее энтропии. ^[160] Это приводит к модификации исходных законов механики черных дыр: например, поскольку второй закон механики черных дыр становится частью второго закона термодинамики, возможно уменьшение площади черной дыры до тех пор, пока другие процессы обеспечивают общее увеличение энтропии. Как термодинамические объекты с ненулевой температурой, черные дыры должны испускать тепловое излучение . Полуклассические расчеты показывают, что это действительно так, причем поверхностная гравитация играет роль температуры в законе Планка . Это излучение известно как излучение Хокинга (см. раздел квантовой теории ниже). ^[161]

Существует много других типов горизонтов. В расширяющейся Вселенной наблюдатель может обнаружить, что некоторые регионы прошлого не могут быть замечены (« горизонт частиц »), а некоторые регионы будущего не могут быть затронуты (горизонт событий). ^[162] Даже в плоском пространстве Минковского, описываемом ускоренным наблюдателем ( пространство Риндлера ), будут горизонты, связанные с полуклассическим излучением, известным как излучение Унру . ^[163]

Сингулярности

Другой общей чертой общей теории относительности является появление границ пространства-времени, известных как сингулярности. Пространство-время можно исследовать, следуя времениподобным и светоподобным геодезическим — всем возможным путям, по которым могут перемещаться свет и частицы в свободном падении. Но некоторые решения уравнений Эйнштейна имеют «рваные края» — области, известные как сингулярности пространства-времени , где пути света и падающих частиц резко обрываются, и геометрия становится плохо определенной. В более интересных случаях это «сингулярности кривизны», где геометрические величины, характеризующие кривизну пространства-времени, такие как скаляр Риччи , принимают бесконечные значения. ^[164] Хорошо известными примерами пространства-времени с будущими сингулярностями — где заканчиваются мировые линии — являются решение Шварцшильда, которое описывает сингулярность внутри вечной статической черной дыры, ^[165] или решение Керра с его кольцеобразной сингулярностью внутри вечно вращающейся черной дыры. ^[166] Решения Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера и другие пространственно-временные решения, описывающие вселенные, имеют прошлые сингулярности, на которых начинаются мировые линии, а именно сингулярности Большого взрыва, а некоторые также имеют будущие сингулярности ( Большое сжатие ). ^[167]

Учитывая, что все эти примеры высоко симметричны — и, таким образом, упрощены — возникает соблазн заключить, что возникновение сингулярностей является артефактом идеализации. ^[168] Знаменитые теоремы о сингулярностях , доказанные с использованием методов глобальной геометрии, говорят об обратном: сингулярности являются общей чертой общей теории относительности и неизбежны, как только коллапс объекта с реалистичными свойствами материи вышел за пределы определенной стадии ^[169], а также в начале широкого класса расширяющихся вселенных. ^[170] Однако теоремы мало говорят о свойствах сингулярностей, и большая часть текущих исследований посвящена характеристике общей структуры этих сущностей (предполагаемой, например, гипотезой БКЛ ) . ^[171] Гипотеза космической цензуры утверждает, что все реалистичные будущие сингулярности (без идеальной симметрии, материя с реалистичными свойствами) надежно спрятаны за горизонтом и, таким образом, невидимы для всех удаленных наблюдателей. Хотя формального доказательства пока не существует, численное моделирование предоставляет подтверждающие доказательства ее обоснованности. ^[172]

Уравнения эволюции

Каждое решение уравнения Эйнштейна охватывает всю историю вселенной — это не просто некий снимок того, как обстоят дела, а целое, возможно, заполненное материей, пространство-время. Оно описывает состояние материи и геометрии везде и в каждый момент в этой конкретной вселенной. Из-за своей общей ковариантности теория Эйнштейна сама по себе недостаточна для определения временной эволюции метрического тензора. Она должна быть объединена с координатным условием , которое аналогично фиксации калибровки в других теориях поля. ^[173]

Чтобы понять уравнения Эйнштейна как уравнения в частных производных, полезно сформулировать их таким образом, чтобы описать эволюцию Вселенной с течением времени. Это делается в формулировках «3+1», где пространство-время разделено на три пространственных измерения и одно временное измерение. Наиболее известным примером является формализм ADM . ^[174] Эти разложения показывают, что уравнения эволюции пространства-времени общей теории относительности ведут себя хорошо: решения всегда существуют и однозначно определены, как только были указаны подходящие начальные условия. ^[175] Такие формулировки уравнений поля Эйнштейна являются основой численной теории относительности. ^[176]

Глобальные и квазилокальные величины

Понятие уравнений эволюции тесно связано с другим аспектом общей релятивистской физики. В теории Эйнштейна оказывается невозможным найти общее определение для, казалось бы, простого свойства, такого как общая масса (или энергия) системы. Основная причина в том, что гравитационному полю — как и любому физическому полю — необходимо приписать определенную энергию, но локализовать эту энергию оказывается принципиально невозможно. ^[177]

Тем не менее, существуют возможности определить общую массу системы, используя гипотетического «бесконечно удаленного наблюдателя» ( массу ADM ) ^[178] или подходящие симметрии ( массу Комара ). ^[179] Если исключить из общей массы системы энергию, уносимую в бесконечность гравитационными волнами, результатом будет масса Бонди на нулевой бесконечности. ^[180] Так же, как и в классической физике , можно показать, что эти массы положительны. ^[181] Соответствующие глобальные определения существуют для импульса и углового момента. ^[182] Также было предпринято несколько попыток определить квазилокальные величины, такие как масса изолированной системы, сформулированная с использованием только величин, определенных в конечной области пространства, содержащей эту систему. Надежда состоит в том, чтобы получить величину, полезную для общих утверждений об изолированных системах , таких как более точная формулировка гипотезы обруча. ^[183]

Связь с квантовой теорией

Если бы общая теория относительности считалась одним из двух столпов современной физики, то квантовая теория, основа понимания материи от элементарных частиц до физики твердого тела , была бы другим. ^[184] Однако вопрос о том, как примирить квантовую теорию с общей теорией относительности, все еще остается открытым.

Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени

Обычные квантовые теории поля , которые составляют основу современной физики элементарных частиц, определяются в плоском пространстве Минковского, которое является превосходным приближением, когда дело доходит до описания поведения микроскопических частиц в слабых гравитационных полях, подобных тем, что обнаружены на Земле. ^[185] Для того чтобы описать ситуации, в которых гравитация достаточно сильна, чтобы влиять на (квантовую) материю, но недостаточно сильна, чтобы требовать квантования, физики сформулировали квантовые теории поля в искривленном пространстве-времени. Эти теории опираются на общую теорию относительности для описания искривленного фонового пространства-времени и определяют обобщенную квантовую теорию поля для описания поведения квантовой материи в этом пространстве-времени. ^[186] Используя этот формализм, можно показать, что черные дыры испускают спектр частиц черного тела, известный как излучение Хокинга, что приводит к возможности их испарения с течением времени. ^[187] Как кратко упоминалось выше, это излучение играет важную роль в термодинамике черных дыр. ^[188]

Квантовая гравитация

Проекция многообразия Калаби–Яу , один из способов компактификации дополнительных измерений, постулируемых теорией струн.

Требование согласованности между квантовым описанием материи и геометрическим описанием пространства-времени ^[189] , а также появление сингулярностей (где масштабы длины кривизны становятся микроскопическими) указывают на необходимость полной теории квантовой гравитации: для адекватного описания внутренностей черных дыр и очень ранней Вселенной требуется теория, в которой гравитация и связанная с ней геометрия пространства-времени описываются на языке квантовой физики. ^[190] Несмотря на значительные усилия, в настоящее время не известно ни одной полной и согласованной теории квантовой гравитации, хотя существует ряд многообещающих кандидатов. ^{[191] [192]}

Попытки обобщить обычные квантовые теории поля, используемые в физике элементарных частиц для описания фундаментальных взаимодействий, с тем, чтобы включить гравитацию, привели к серьезным проблемам. ^[193] Некоторые утверждают, что при низких энергиях этот подход оказывается успешным, поскольку он приводит к приемлемой эффективной (квантовой) полевой теории гравитации. ^[194] Однако при очень высоких энергиях пертурбативные результаты сильно расходятся и приводят к моделям, лишенным предсказательной силы («пертурбативная неперенормируемость »). ^[195]

Простая спиновая сеть типа используемой в петлевой квантовой гравитации

Одной из попыток преодолеть эти ограничения является теория струн , квантовая теория не точечных частиц , а мельчайших одномерных протяженных объектов. ^[196] Теория обещает быть единым описанием всех частиц и взаимодействий, включая гравитацию; ^[197] цена, которую приходится платить, — необычные особенности, такие как шесть дополнительных измерений пространства в дополнение к обычным трем. ^[198] В том, что называется второй революцией суперструн , было высказано предположение, что как теория струн, так и объединение общей теории относительности и суперсимметрии, известное как супергравитация ^[199], образуют часть гипотетической одиннадцатимерной модели, известной как М-теория , которая будет представлять собой однозначно определенную и непротиворечивую теорию квантовой гравитации. ^[200]

Другой подход начинается с канонических процедур квантования квантовой теории. Используя начальную формулировку общей теории относительности (ср. уравнения эволюции выше), результатом является уравнение Уиллера-деВитта (аналог уравнения Шредингера ), которое, к сожалению, оказывается плохо определенным без надлежащего ультрафиолетового (решеточного) обрезания. ^[201] Однако с введением того, что теперь известно как переменные Аштекара , ^[202] это приводит к многообещающей модели, известной как петлевая квантовая гравитация . Пространство представлено паутинообразной структурой, называемой спиновой сетью , развивающейся со временем дискретными шагами. ^[203]

В зависимости от того, какие особенности общей теории относительности и квантовой теории принимаются неизменными, и на каком уровне вносятся изменения, ^[204] существует множество других попыток прийти к жизнеспособной теории квантовой гравитации, некоторыми примерами являются решеточная теория гравитации, основанная на подходе интеграла по траекториям Фейнмана и исчислении Редже , ^[191] динамические триангуляции , ^[205] причинные множества , ^[206] твисторные модели ^[207] или модели квантовой космологии , основанные на интеграле по траекториям . ^[208]

Наблюдение гравитационных волн от слияния двойных черных дыр GW150914

Все теории-кандидаты все еще имеют серьезные формальные и концептуальные проблемы, которые необходимо преодолеть. Они также сталкиваются с общей проблемой, что пока нет способа подвергнуть предсказания квантовой гравитации экспериментальным проверкам (и, таким образом, выбрать между кандидатами, где их предсказания различаются), хотя есть надежда, что это изменится, поскольку будущие данные космологических наблюдений и экспериментов по физике частиц станут доступными. ^[209]

Текущий статус

Общая теория относительности возникла как весьма успешная модель гравитации и космологии, которая до сих пор прошла множество однозначных наблюдательных и экспериментальных проверок. Однако есть веские основания полагать, что эта теория неполна. ^[210] Проблема квантовой гравитации и вопрос о реальности сингулярностей пространства-времени остаются открытыми. ^[211] Данные наблюдений, которые принимаются в качестве доказательства темной энергии и темной материи, могут указывать на необходимость новой физики. ^[212]

Даже взятая как есть, общая теория относительности богата возможностями для дальнейшего исследования. Математические релятивисты стремятся понять природу сингулярностей и фундаментальные свойства уравнений Эйнштейна, ^[213] в то время как числовые релятивисты запускают все более мощные компьютерные моделирования (например, те, которые описывают слияние черных дыр). ^[214] В феврале 2016 года было объявлено, что существование гравитационных волн было напрямую обнаружено командой Advanced LIGO 14 сентября 2015 года. ^{[83] [215] [216]} Спустя столетие после своего появления общая теория относительности остается весьма активной областью исследований. ^[217]

Смотрите также

• Двигатель Алькубьерре  – Гипотетическая сверхсветовая транспортировка с помощью искривления пространства (варп-двигатель)
• Альтернативы общей теории относительности  – Предлагаемые теории гравитации
• Вкладчики в общую теорию относительности
• Выводы преобразований Лоренца
• Парадокс Эренфеста  - Парадокс в специальной теории относительности
• Действие Эйнштейна–Гильберта  – Концепция в общей теории относительности
• Мысленные эксперименты Эйнштейна  – гипотетические ситуации Альберта Эйнштейна для аргументации научных положений
• Спор о приоритете общей теории относительности  – Дебаты о заслугах общей теории относительности
• Введение в математику общей теории относительности
• Теория гравитации Нордстрема  – Предшественник теории относительности
• Проблемы с общей теорией относительности Эйнштейна
• Исчисление Риччи  – обозначение индекса тензора для вычислений на основе тензоров
• Хронология гравитационной физики и теории относительности

Ссылки

1. "GW150914: LIGO обнаруживает гравитационные волны". Black-holes.org . Получено 18 апреля 2016 г. .
2. Ландау и Лифшиц 1975, стр. 228 «... общая теория относительности ... была создана Эйнштейном и представляет собой, вероятно, самую красивую из всех существующих физических теорий».
3. Пуанкаре 1905
4. О'Коннор, Дж. Дж.; Робертсон, Э. Ф. (май 1996 г.). «Общая теория относительности». Темы истории: Индекс математической физики, Шотландия: Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс , архивировано из оригинала 4 февраля 2015 г. , извлечено 4 февраля 2015 г.
5. Pais 1982, гл. 9–15, Janssen 2005; актуальная коллекция текущих исследований, включая перепечатки многих оригинальных статей, — Renn 2007; доступный обзор можно найти в Renn 2005, стр. 110 и далее. Оригинальные статьи Эйнштейна можно найти в Digital Einstein, тома 4 и 6. Ранняя ключевая статья — Einstein 1907, см. Pais 1982, гл. 9. Публикация, в которой представлены уравнения поля, — Einstein 1915, см. Pais 1982, гл. 11–15
6. Моше Кармели (2008). Относительность: Современные крупномасштабные структуры космоса. стр. 92, 93. World Scientific Publishing
7. Гроссманн по математической части и Эйнштейн по физической части (1913). Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation (Очерк обобщенной теории относительности и теории гравитации), Zeitschrift für Mathematik und Physik, 62, 225–261. английский перевод
8. Schwarzschild 1916a, Schwarzschild 1916b и Reissner 1916 (позже дополнено в Nordström 1918)
9. Эйнштейн 1917, ср. Pais 1982, гл. 15e
10. Оригинальная статья Хаббла — Hubble 1929; доступный обзор дан в Singh 2004, гл. 2–4.
11. Как сообщалось в Gamow 1970. Осуждение Эйнштейна оказалось преждевременным, см. раздел Космология ниже.
12. Паис 1982, стр. 253–254.
13. Кеннефик 2005, Кеннефик 2007
14. Паис 1982, гл. 16
15. Торн 2003, стр. 74
16. Израиль 1987, гл. 7.8–7.10, Торн 1994, гл. 3–9
17. Разделы Орбитальные эффекты и относительность направления, Гравитационное замедление времени и сдвиг частоты и Отклонение света и гравитационная задержка времени, а также ссылки в них.
18. Раздел «Космология» и ссылки в нем; историческое развитие см. в Overbye 1999
19. Вальд 1984, стр. 3
20. Rovelli 2015, стр. 1–6 «Общая теория относительности — это не просто необычайно красивая физическая теория, дающая лучшее описание гравитационного взаимодействия, которое у нас есть на данный момент. Это нечто большее».
21. Чандрасекар 1984, стр. 6
22. Энглер 2002
23. Albert Einstein (2011). Relativity – The Special and General Theory. Read Books Ltd. p. 4. ISBN 978-1-4474-9358-7. Extract of page 4
24. The following exposition re-traces that of Ehlers 1973, sec. 1
25. Al-Khalili, Jim (26 March 2021). "Gravity and Me: The force that shapes our lives". www.bbc.co.uk. Retrieved 9 April 2021.
26. Arnold 1989, ch. 1
27. Ehlers 1973, pp. 5f
28. Will 1993, sec. 2.4, Will 2006, sec. 2
29. Wheeler 1990, ch. 2
30. Ehlers 1973, sec. 1.2, Havas 1964, Künzle 1972. The simple thought experiment in question was first described in Heckmann & Schücking 1959
31. Ehlers 1973, pp. 10f
32. Good introductions are, in order of increasing presupposed knowledge of mathematics, Giulini 2005, Mermin 2005, and Rindler 1991; for accounts of precision experiments, cf. part IV of Ehlers & Lämmerzahl 2006
33. An in-depth comparison between the two symmetry groups can be found in Giulini 2006
34. Rindler 1991, sec. 22, Synge 1972, ch. 1 and 2
35. Ehlers 1973, sec. 2.3
36. Ehlers 1973, sec. 1.4, Schutz 1985, sec. 5.1
37. Ehlers 1973, pp. 17ff; a derivation can be found in Mermin 2005, ch. 12. For the experimental evidence, cf. the section Gravitational time dilation and frequency shift, below
38. Rindler 2001, sec. 1.13; for an elementary account, see Wheeler 1990, ch. 2; there are, however, some differences between the modern version and Einstein's original concept used in the historical derivation of general relativity, cf. Norton 1985
39. Ehlers 1973, sec. 1.4 for the experimental evidence, see once more section Gravitational time dilation and frequency shift. Choosing a different connection with non-zero torsion leads to a modified theory known as Einstein–Cartan theory
40. Ehlers 1973, p. 16, Kenyon 1990, sec. 7.2, Weinberg 1972, sec. 2.8
41. Ehlers 1973, pp. 19–22; for similar derivations, see sections 1 and 2 of ch. 7 in Weinberg 1972. The Einstein tensor is the only divergence-free tensor that is a function of the metric coefficients, their first and second derivatives at most, and allows the spacetime of special relativity as a solution in the absence of sources of gravity, cf. Lovelock 1972. The tensors on both side are of second rank, that is, they can each be thought of as 4×4 matrices, each of which contains ten independent terms; hence, the above represents ten coupled equations. The fact that, as a consequence of geometric relations known as Bianchi identities, the Einstein tensor satisfies a further four identities reduces these to six independent equations, e.g. Schutz 1985, sec. 8.3
42. Kenyon 1990, sec. 7.4
43. Weinberg, Steven (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. John Wiley. ISBN 978-0-471-92567-5.
44. Cheng, Ta-Pei (2005). Relativity, Gravitation and Cosmology: a Basic Introduction. Oxford and New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852957-6.
45. Brans & Dicke 1961, Weinberg 1972, sec. 3 in ch. 7, Goenner 2004, sec. 7.2, and Trautman 2006, respectively
46. Wald 1984, ch. 4, Weinberg 1972, ch. 7 or, in fact, any other textbook on general relativity
47. At least approximately, cf. Poisson 2004a
48. Wheeler 1990, p. xi
49. Wald 1984, sec. 4.4
50. Wald 1984, sec. 4.1
51. For the (conceptual and historical) difficulties in defining a general principle of relativity and separating it from the notion of general covariance, see Giulini 2007
52. section 5 in ch. 12 of Weinberg 1972
53. Introductory chapters of Stephani et al. 2003
54. A review showing Einstein's equation in the broader context of other PDEs with physical significance is Geroch 1996
55. For background information and a list of solutions, cf. Stephani et al. 2003; a more recent review can be found in MacCallum 2006
56. Chandrasekhar 1983, ch. 3,5,6
57. Narlikar 1993, ch. 4, sec. 3.3
58. Brief descriptions of these and further interesting solutions can be found in Hawking & Ellis 1973, ch. 5
59. Lehner 2002
60. For instance Wald 1984, sec. 4.4
61. Will 1993, sec. 4.1 and 4.2
62. Will 2006, sec. 3.2, Will 1993, ch. 4
63. Rindler 2001, pp. 24–26 vs. pp. 236–237 and Ohanian & Ruffini 1994, pp. 164–172. Einstein derived these effects using the equivalence principle as early as 1907, cf. Einstein 1907 and the description in Pais 1982, pp. 196–198
64. Rindler 2001, pp. 24–26; Misner, Thorne & Wheeler 1973, § 38.5
65. Pound–Rebka experiment, see Pound & Rebka 1959, Pound & Rebka 1960; Pound & Snider 1964; a list of further experiments is given in Ohanian & Ruffini 1994, table 4.1 on p. 186
66. Greenstein, Oke & Shipman 1971; the most recent and most accurate Sirius B measurements are published in Barstow, Bond et al. 2005.
67. Starting with the Hafele–Keating experiment, Hafele & Keating 1972a and Hafele & Keating 1972b, and culminating in the Gravity Probe A experiment; an overview of experiments can be found in Ohanian & Ruffini 1994, table 4.1 on p. 186
68. GPS is continually tested by comparing atomic clocks on the ground and aboard orbiting satellites; for an account of relativistic effects, see Ashby 2002 and Ashby 2003
69. Stairs 2003 and Kramer 2004
70. General overviews can be found in section 2.1. of Will 2006; Will 2003, pp. 32–36; Ohanian & Ruffini 1994, sec. 4.2
71. Ohanian & Ruffini 1994, pp. 164–172
72. Cf. Kennefick 2005 for the classic early measurements by Arthur Eddington's expeditions. For an overview of more recent measurements, see Ohanian & Ruffini 1994, ch. 4.3. For the most precise direct modern observations using quasars, cf. Shapiro et al. 2004
73. This is not an independent axiom; it can be derived from Einstein's equations and the Maxwell Lagrangian using a WKB approximation, cf. Ehlers 1973, sec. 5
74. Blanchet 2006, sec. 1.3
75. Rindler 2001, sec. 1.16; for the historical examples, Israel 1987, pp. 202–204; in fact, Einstein published one such derivation as Einstein 1907. Such calculations tacitly assume that the geometry of space is Euclidean, cf. Ehlers & Rindler 1997
76. From the standpoint of Einstein's theory, these derivations take into account the effect of gravity on time, but not its consequences for the warping of space, cf. Rindler 2001, sec. 11.11
77. For the Sun's gravitational field using radar signals reflected from planets such as Venus and Mercury, cf. Shapiro 1964, Weinberg 1972, ch. 8, sec. 7; for signals actively sent back by space probes (transponder measurements), cf. Bertotti, Iess & Tortora 2003; for an overview, see Ohanian & Ruffini 1994, table 4.4 on p. 200; for more recent measurements using signals received from a pulsar that is part of a binary system, the gravitational field causing the time delay being that of the other pulsar, cf. Stairs 2003, sec. 4.4
78. Will 1993, sec. 7.1 and 7.2
79. Einstein, A (22 June 1916). "Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation". Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften Berlin (part 1): 688–696. Bibcode:1916SPAW.......688E. Archived from the original on 21 March 2019. Retrieved 12 February 2016.
80. Einstein, A (31 January 1918). "Über Gravitationswellen". Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften Berlin (part 1): 154–167. Bibcode:1918SPAW.......154E. Archived from the original on 21 March 2019. Retrieved 12 February 2016.
81. Castelvecchi, Davide; Witze, Witze (11 February 2016). "Einstein's gravitational waves found at last". Nature News. doi:10.1038/nature.2016.19361. S2CID 182916902. Retrieved 11 February 2016.
82. B. P. Abbott; et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) (2016). "Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger". Physical Review Letters. 116 (6): 061102. arXiv:1602.03837. Bibcode:2016PhRvL.116f1102A. doi:10.1103/PhysRevLett.116.061102. PMID 26918975. S2CID 124959784.
83. "Gravitational waves detected 100 years after Einstein's prediction". NSF – National Science Foundation. 11 February 2016.
84. Most advanced textbooks on general relativity contain a description of these properties, e.g. Schutz 1985, ch. 9
85. For example Jaranowski & Królak 2005
86. Rindler 2001, ch. 13
87. Gowdy 1971, Gowdy 1974
88. See Lehner 2002 for a brief introduction to the methods of numerical relativity, and Seidel 1998 for the connection with gravitational wave astronomy
89. Schutz 2003, pp. 48–49, Pais 1982, pp. 253–254
90. Rindler 2001, sec. 11.9
91. Will 1993, pp. 177–181
92. In consequence, in the parameterized post-Newtonian formalism (PPN), measurements of this effect determine a linear combination of the terms β and γ, cf. Will 2006, sec. 3.5 and Will 1993, sec. 7.3
93. The most precise measurements are VLBI measurements of planetary positions; see Will 1993, ch. 5, Will 2006, sec. 3.5, Anderson et al. 1992; for an overview, Ohanian & Ruffini 1994, pp. 406–407
94. Kramer et al. 2006
95. Dediu, Magdalena & Martín-Vide 2015, p. 141.
96. Kramer, M.; Stairs, I. H.; Manchester, R. N.; Wex, N.; Deller, A. T.; Coles, W. A.; Ali, M.; Burgay, M.; Camilo, F.; Cognard, I.; Damour, T. (13 December 2021). "Strong-Field Gravity Tests with the Double Pulsar". Physical Review X. 11 (4): 041050. arXiv:2112.06795. Bibcode:2021PhRvX..11d1050K. doi:10.1103/PhysRevX.11.041050. ISSN 2160-3308. S2CID 245124502.
97. Stairs 2003, Schutz 2003, pp. 317–321, Bartusiak 2000, pp. 70–86
98. Weisberg & Taylor 2003; for the pulsar discovery, see Hulse & Taylor 1975; for the initial evidence for gravitational radiation, see Taylor 1994
99. Kramer 2004
100. Penrose 2004, § 14.5, Misner, Thorne & Wheeler 1973, § 11.4
101. Weinberg 1972, sec. 9.6, Ohanian & Ruffini 1994, sec. 7.8
102. Bertotti, Ciufolini & Bender 1987, Nordtvedt 2003
103. Kahn 2007
104. A mission description can be found in Everitt et al. 2001; a first post-flight evaluation is given in Everitt, Parkinson & Kahn 2007; further updates will be available on the mission website Kahn 1996–2012.
105. Townsend 1997, sec. 4.2.1, Ohanian & Ruffini 1994, pp. 469–471
106. Ohanian & Ruffini 1994, sec. 4.7, Weinberg 1972, sec. 9.7; for a more recent review, see Schäfer 2004
107. Ciufolini & Pavlis 2004, Ciufolini, Pavlis & Peron 2006, Iorio 2009
108. Iorio 2006, Iorio 2010
109. For overviews of gravitational lensing and its applications, see Ehlers, Falco & Schneider 1992 and Wambsganss 1998
110. For a simple derivation, see Schutz 2003, ch. 23; cf. Narayan & Bartelmann 1997, sec. 3
111. Walsh, Carswell & Weymann 1979
112. Images of all the known lenses can be found on the pages of the CASTLES project, Kochanek et al. 2007
113. Roulet & Mollerach 1997
114. Нараян и Бартельманн 1997, раздел 3.7
115. Бариш 2005, Бартусяк 2000, Блэр и Макнамара 1997
116. Хаф и Роуэн 2000
117. Хоббс, Джордж; Арчибальд, А.; Арзуманян, З.; Бэкер, Д.; Бейлс, М.; Бхат, НДР; Бергей, М.; Берк-Сполаор, С.; и др. (2010), «Международный проект по измерению времени пульсаров: использование пульсаров в качестве детектора гравитационных волн», Classical and Quantum Gravity , 27 (8): 084013, arXiv : 0911.5206 , Bibcode : 2010CQGra..27h4013H, doi : 10.1088/0264-9381/27/8/084013, S2CID  56073764
118. Данцманн и Рюдигер 2003
119. "Обзор LISA pathfinder". ESA . ​​Получено 23 апреля 2012 г. .
120. Торн 1995
121. Катлер и Торн 2002
122. Миллер 2002, лекции 19 и 21
123. Челотти, Миллер и Скиама 1999, разд. 3
124. Springel et al. 2005 и прилагаемое резюме Gnedin 2005
125. Блэндфорд 1987, раздел 8.2.4.
126. Для основного механизма см. Carroll & Ostlie 1996, раздел 17.2; для получения дополнительной информации о различных типах астрономических объектов, связанных с этим, см. Robson 1996
127. Для обзора см. Begelman, Blandford & Rees 1984. Для удаленного наблюдателя некоторые из этих струй даже кажутся движущимися быстрее света ; однако это можно объяснить как оптическую иллюзию, которая не нарушает принципов теории относительности, см. Rees 1966
128. Для конечных состояний звезд см. Oppenheimer & Snyder 1939 или, для более поздних численных работ, Font 2003, sec. 4.1; для сверхновых все еще есть серьезные проблемы, которые нужно решить, см. Buras et al. 2003; для моделирования аккреции и образования струй, см. Font 2003, sec. 4.2. Также считается, что релятивистские эффекты линзирования играют роль для сигналов, полученных от рентгеновских пульсаров , см. Kraus 1998
129. The evidence includes limits on compactness from the observation of accretion-driven phenomena ("Eddington luminosity"), see Celotti, Miller & Sciama 1999, observations of stellar dynamics in the center of our own Milky Way galaxy, cf. Schödel et al. 2003, and indications that at least some of the compact objects in question appear to have no solid surface, which can be deduced from the examination of X-ray bursts for which the central compact object is either a neutron star or a black hole; cf. Remillard et al. 2006 for an overview, Narayan 2006, sec. 5. Observations of the "shadow" of the Milky Way galaxy's central black hole horizon are eagerly sought for, cf. Falcke, Melia & Agol 2000
130. Dalal et al. 2006
131. Barack & Cutler 2004
132. Einstein 1917; cf. Pais 1982, pp. 285–288
133. Carroll 2001, ch. 2
134. Bergström & Goobar 2003, ch. 9–11; use of these models is justified by the fact that, at large scales of around hundred million light-years and more, our own universe indeed appears to be isotropic and homogeneous, cf. Peebles et al. 1991
135. E.g. with WMAP data, see Spergel et al. 2003
136. These tests involve the separate observations detailed further on, see, e.g., fig. 2 in Bridle et al. 2003
137. Peebles 1966; for a recent account of predictions, see Coc, Vangioni‐Flam et al. 2004; an accessible account can be found in Weiss 2006; compare with the observations in Olive & Skillman 2004, Bania, Rood & Balser 2002, O'Meara et al. 2001, and Charbonnel & Primas 2005
138. Lahav & Suto 2004, Bertschinger 1998, Springel et al. 2005
139. Alpher & Herman 1948, for a pedagogical introduction, see Bergström & Goobar 2003, ch. 11; for the initial detection, see Penzias & Wilson 1965 and, for precision measurements by satellite observatories, Mather et al. 1994 (COBE) and Bennett et al. 2003 (WMAP). Future measurements could also reveal evidence about gravitational waves in the early universe; this additional information is contained in the background radiation's polarization, cf. Kamionkowski, Kosowsky & Stebbins 1997 and Seljak & Zaldarriaga 1997
140. Evidence for this comes from the determination of cosmological parameters and additional observations involving the dynamics of galaxies and galaxy clusters cf. Peebles 1993, ch. 18, evidence from gravitational lensing, cf. Peacock 1999, sec. 4.6, and simulations of large-scale structure formation, see Springel et al. 2005
141. Peacock 1999, ch. 12, Peskin 2007; in particular, observations indicate that all but a negligible portion of that matter is not in the form of the usual elementary particles ("non-baryonic matter"), cf. Peacock 1999, ch. 12
142. Namely, some physicists have questioned whether or not the evidence for dark matter is, in fact, evidence for deviations from the Einsteinian (and the Newtonian) description of gravity cf. the overview in Mannheim 2006, sec. 9
143. Carroll 2001; an accessible overview is given in Caldwell 2004. Here, too, scientists have argued that the evidence indicates not a new form of energy, but the need for modifications in our cosmological models, cf. Mannheim 2006, sec. 10; aforementioned modifications need not be modifications of general relativity, they could, for example, be modifications in the way we treat the inhomogeneities in the universe, cf. Buchert 2008
144. A good introduction is Linde 2005; for a more recent review, see Linde 2006
145. More precisely, these are the flatness problem, the horizon problem, and the monopole problem; a pedagogical introduction can be found in Narlikar 1993, sec. 6.4, see also Börner 1993, sec. 9.1
146. Spergel et al. 2007, sec. 5,6
147. More concretely, the potential function that is crucial to determining the dynamics of the inflaton is simply postulated, but not derived from an underlying physical theory
148. Brandenberger 2008, sec. 2
149. Gödel 1949
150. Finazzi, Stefano; Liberati, Stefano; Barceló, Carlos (15 June 2009). "Semiclassical instability of dynamical warp drives". Physical Review D. 79 (12): 124017. arXiv:0904.0141. Bibcode:2009PhRvD..79l4017F. doi:10.1103/PhysRevD.79.124017. S2CID 59575856.
151. Bondi, H.; Van der Burg, M.G.J.; Metzner, A. (1962). "Gravitational waves in general relativity: VII. Waves from axisymmetric isolated systems". Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. 269 (1336): 21–52. Bibcode:1962RSPSA.269...21B. doi:10.1098/rspa.1962.0161. S2CID 120125096.
152. Sachs, R. (1962). "Asymptotic symmetries in gravitational theory". Physical Review. 128 (6): 2851–2864. Bibcode:1962PhRv..128.2851S. doi:10.1103/PhysRev.128.2851.
153. Strominger, Andrew (2017). "Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory". arXiv:1703.05448 [hep-th]. ...redacted transcript of a course given by the author at Harvard in spring semester 2016. It contains a pedagogical overview of recent developments connecting the subjects of soft theorems, the memory effect and asymptotic symmetries in four-dimensional QED, nonabelian gauge theory and gravity with applications to black holes. To be published Princeton University Press, 158 pages.
154. Frauendiener 2004, Wald 1984, sec. 11.1, Hawking & Ellis 1973, sec. 6.8, 6.9
155. Wald 1984, sec. 9.2–9.4 and Hawking & Ellis 1973, ch. 6
156. Thorne 1972; for more recent numerical studies, see Berger 2002, sec. 2.1
157. Israel 1987. A more exact mathematical description distinguishes several kinds of horizon, notably event horizons and apparent horizons cf. Hawking & Ellis 1973, pp. 312–320 or Wald 1984, sec. 12.2; there are also more intuitive definitions for isolated systems that do not require knowledge of spacetime properties at infinity, cf. Ashtekar & Krishnan 2004
158. For first steps, cf. Israel 1971; see Hawking & Ellis 1973, sec. 9.3 or Heusler 1996, ch. 9 and 10 for a derivation, and Heusler 1998 as well as Beig & Chruściel 2006 as overviews of more recent results
159. The laws of black hole mechanics were first described in Bardeen, Carter & Hawking 1973; a more pedagogical presentation can be found in Carter 1979; for a more recent review, see Wald 2001, ch. 2. A thorough, book-length introduction including an introduction to the necessary mathematics Poisson 2004. For the Penrose process, see Penrose 1969
160. Bekenstein 1973, Bekenstein 1974
161. The fact that black holes radiate, quantum mechanically, was first derived in Hawking 1975; a more thorough derivation can be found in Wald 1975. A review is given in Wald 2001, ch. 3
162. Narlikar 1993, sec. 4.4.4, 4.4.5
163. Horizons: cf. Rindler 2001, sec. 12.4. Unruh effect: Unruh 1976, cf. Wald 2001, ch. 3
164. Hawking & Ellis 1973, sec. 8.1, Wald 1984, sec. 9.1
165. Townsend 1997, ch. 2; a more extensive treatment of this solution can be found in Chandrasekhar 1983, ch. 3
166. Townsend 1997, ch. 4; for a more extensive treatment, cf. Chandrasekhar 1983, ch. 6
167. Ellis & Van Elst 1999; a closer look at the singularity itself is taken in Börner 1993, sec. 1.2
168. Here one should remind to the well-known fact that the important "quasi-optical" singularities of the so-called eikonal approximations of many wave equations, namely the "caustics", are resolved into finite peaks beyond that approximation.
169. Namely when there are trapped null surfaces, cf. Penrose 1965
170. Hawking 1966
171. The conjecture was made in Belinskii, Khalatnikov & Lifschitz 1971; for a more recent review, see Berger 2002. An accessible exposition is given by Garfinkle 2007
172. The restriction to future singularities naturally excludes initial singularities such as the big bang singularity, which in principle be visible to observers at later cosmic time. The cosmic censorship conjecture was first presented in Penrose 1969; a textbook-level account is given in Wald 1984, pp. 302–305. For numerical results, see the review Berger 2002, sec. 2.1
173. Hawking & Ellis 1973, sec. 7.1
174. Arnowitt, Deser & Misner 1962; for a pedagogical introduction, see Misner, Thorne & Wheeler 1973, § 21.4–§ 21.7
175. Fourès-Bruhat 1952 and Bruhat 1962; for a pedagogical introduction, see Wald 1984, ch. 10; an online review can be found in Reula 1998
176. Gourgoulhon 2007; for a review of the basics of numerical relativity, including the problems arising from the peculiarities of Einstein's equations, see Lehner 2001
177. Misner, Thorne & Wheeler 1973, § 20.4
178. Arnowitt, Deser & Misner 1962
179. Komar 1959; for a pedagogical introduction, see Wald 1984, sec. 11.2; although defined in a totally different way, it can be shown to be equivalent to the ADM mass for stationary spacetimes, cf. Ashtekar & Magnon-Ashtekar 1979
180. For a pedagogical introduction, see Wald 1984, sec. 11.2
181. Wald 1984, p. 295 and refs therein; this is important for questions of stability—if there were negative mass states, then flat, empty Minkowski space, which has mass zero, could evolve into these states
182. Townsend 1997, ch. 5
183. Such quasi-local mass–energy definitions are the Hawking energy, Geroch energy, or Penrose's quasi-local energy–momentum based on twistor methods; cf. the review article Szabados 2004
184. An overview of quantum theory can be found in standard textbooks such as Messiah 1999; a more elementary account is given in Hey & Walters 2003
185. Ramond 1990, Weinberg 1995, Peskin & Schroeder 1995; a more accessible overview is Auyang 1995
186. Wald 1994, Birrell & Davies 1984
187. For Hawking radiation Hawking 1975, Wald 1975; an accessible introduction to black hole evaporation can be found in Traschen 2000
188. Wald 2001, ch. 3
189. Put simply, matter is the source of spacetime curvature, and once matter has quantum properties, we can expect spacetime to have them as well. Cf. Carlip 2001, sec. 2
190. Schutz 2003, p. 407
191. Hamber 2009
192. A timeline and overview can be found in Rovelli 2000
193. 't Hooft & Veltman 1974
194. Donoghue 1995
195. In particular, a perturbative technique known as renormalization, an integral part of deriving predictions which take into account higher-energy contributions, cf. Weinberg 1996, ch. 17, 18, fails in this case; cf. Veltman 1975, Goroff & Sagnotti 1985; for a recent comprehensive review of the failure of perturbative renormalizability for quantum gravity see Hamber 2009
196. An accessible introduction at the undergraduate level can be found in Zwiebach 2004; more complete overviews can be found in Polchinski 1998a and Polchinski 1998b
197. At the energies reached in current experiments, these strings are indistinguishable from point-like particles, but, crucially, different modes of oscillation of one and the same type of fundamental string appear as particles with different (electric and other) charges, e.g. Ibanez 2000. The theory is successful in that one mode will always correspond to a graviton, the messenger particle of gravity, e.g. Green, Schwarz & Witten 1987, sec. 2.3, 5.3
198. Green, Schwarz & Witten 1987, sec. 4.2
199. Weinberg 2000, ch. 31
200. Townsend 1996, Duff 1996
201. Kuchař 1973, sec. 3
202. These variables represent geometric gravity using mathematical analogues of electric and magnetic fields; cf. Ashtekar 1986, Ashtekar 1987
203. For a review, see Thiemann 2007; more extensive accounts can be found in Rovelli 1998, Ashtekar & Lewandowski 2004 as well as in the lecture notes Thiemann 2003
204. Isham 1994, Sorkin 1997
205. Loll 1998
206. Sorkin 2005
207. Penrose 2004, ch. 33 and refs therein
208. Hawking 1987
209. Ashtekar 2007, Schwarz 2007
210. Maddox 1998, pp. 52–59, 98–122; Penrose 2004, sec. 34.1, ch. 30
211. section Quantum gravity, above
212. section Cosmology, above
213. Friedrich 2005
214. A review of the various problems and the techniques being developed to overcome them, see Lehner 2002
215. See Bartusiak 2000 for an account up to that year; up-to-date news can be found on the websites of major detector collaborations such as GEO600 and LIGO
216. For the most recent papers on gravitational wave polarizations of inspiralling compact binaries, see Blanchet et al. 2008, and Arun et al. 2008; for a review of work on compact binaries, see Blanchet 2006 and Futamase & Itoh 2006; for a general review of experimental tests of general relativity, see Will 2006
217. See, e.g., the Living Reviews in Relativity journal.

Bibliography

• Alpher, R. A.; Herman, R. C. (1948), "Evolution of the universe", Nature, 162 (4124): 774–775, Bibcode:1948Natur.162..774A, doi:10.1038/162774b0, S2CID 4113488
• Anderson, J. D.; Campbell, J. K.; Jurgens, R. F.; Lau, E. L. (1992), "Recent developments in solar-system tests of general relativity", in Sato, H.; Nakamura, T. (eds.), Proceedings of the Sixth Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, World Scientific, pp. 353–355, ISBN 978-981-02-0950-6
• Arnold, V. I. (1989), Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, ISBN 978-3-540-96890-0
• Arnowitt, Richard; Deser, Stanley; Misner, Charles W. (1962), "The dynamics of general relativity", in Witten, Louis (ed.), Gravitation: An Introduction to Current Research, Wiley, pp. 227–265
• Arun, K.G.; Blanchet, L.; Iyer, B. R.; Qusailah, M. S. S. (2008), "Inspiralling compact binaries in quasi-elliptical orbits: The complete 3PN energy flux", Physical Review D, 77 (6): 064035, arXiv:0711.0302, Bibcode:2008PhRvD..77f4035A, doi:10.1103/PhysRevD.77.064035, S2CID 55825202
• Ashby, Neil (2002), "Relativity and the Global Positioning System" (PDF), Physics Today, 55 (5): 41–47, Bibcode:2002PhT....55e..41A, doi:10.1063/1.1485583
• Ashby, Neil (2003), "Relativity in the Global Positioning System", Living Reviews in Relativity, 6 (1): 1, Bibcode:2003LRR.....6....1A, doi:10.12942/lrr-2003-1, PMC 5253894, PMID 28163638
• Ashtekar, Abhay (1986), "New variables for classical and quantum gravity", Phys. Rev. Lett., 57 (18): 2244–2247, Bibcode:1986PhRvL..57.2244A, doi:10.1103/PhysRevLett.57.2244, PMID 10033673
• Ashtekar, Abhay (1987), "New Hamiltonian formulation of general relativity", Phys. Rev. D, 36 (6): 1587–1602, Bibcode:1987PhRvD..36.1587A, doi:10.1103/PhysRevD.36.1587, PMID 9958340
• Ashtekar, Abhay (2007), "Loop Quantum Gravity: Four Recent Advances and a Dozen Frequently Asked Questions", Proceedings of the Eleventh Marcel Grossmann Meeting Meeting on General Relativity, p. 126, arXiv:0705.2222, Bibcode:2008mgm..conf..126A, doi:10.1142/9789812834300_0008, ISBN 978-981-283-426-3, S2CID 119663169
• Ashtekar, Abhay; Krishnan, Badri (2004), "Isolated and Dynamical Horizons and Their Applications", Living Reviews in Relativity, 7 (1): 10, arXiv:gr-qc/0407042, Bibcode:2004LRR.....7...10A, doi:10.12942/lrr-2004-10, PMC 5253930, PMID 28163644
• Ashtekar, Abhay; Lewandowski, Jerzy (2004), "Background Independent Quantum Gravity: A Status Report", Class. Quantum Grav., 21 (15): R53–R152, arXiv:gr-qc/0404018, Bibcode:2004CQGra..21R..53A, doi:10.1088/0264-9381/21/15/R01, S2CID 119175535
• Ashtekar, Abhay; Magnon-Ashtekar, Anne (1979), "On conserved quantities in general relativity", Journal of Mathematical Physics, 20 (5): 793–800, Bibcode:1979JMP....20..793A, doi:10.1063/1.524151
• Auyang, Sunny Y. (1995), How is Quantum Field Theory Possible?, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-509345-2
• Bania, T. M.; Rood, R. T.; Balser, D. S. (2002), "The cosmological density of baryons from observations of 3He+ in the Milky Way", Nature, 415 (6867): 54–57, Bibcode:2002Natur.415...54B, doi:10.1038/415054a, PMID 11780112, S2CID 4303625
• Barack, Leor; Cutler, Curt (2004), "LISA Capture Sources: Approximate Waveforms, Signal-to-Noise Ratios, and Parameter Estimation Accuracy", Phys. Rev. D, 69 (8): 082005, arXiv:gr-qc/0310125, Bibcode:2004PhRvD..69h2005B, doi:10.1103/PhysRevD.69.082005, S2CID 21565397
• Bardeen, J. M.; Carter, B.; Hawking, S. W. (1973), "The Four Laws of Black Hole Mechanics", Comm. Math. Phys., 31 (2): 161–170, Bibcode:1973CMaPh..31..161B, doi:10.1007/BF01645742, S2CID 54690354
• Barish, Barry (2005), "Towards detection of gravitational waves", in Florides, P.; Nolan, B.; Ottewil, A. (eds.), General Relativity and Gravitation. Proceedings of the 17th International Conference, World Scientific, pp. 24–34, Bibcode:2005grg..conf.....F, ISBN 978-981-256-424-5
• Barstow, M.; Bond, Howard E.; Holberg, J. B.; Burleigh, M. R.; Hubeny, I.; Koester, D. (2005), "Hubble Space Telescope Spectroscopy of the Balmer lines in Sirius B", Mon. Not. R. Astron. Soc., 362 (4): 1134–1142, arXiv:astro-ph/0506600, Bibcode:2005MNRAS.362.1134B, doi:10.1111/j.1365-2966.2005.09359.x, S2CID 4607496
• Bartusiak, Marcia (2000), Einstein's Unfinished Symphony: Listening to the Sounds of Space-Time, Berkley, ISBN 978-0-425-18620-6
• Begelman, Mitchell C.; Blandford, Roger D.; Rees, Martin J. (1984), "Theory of extragalactic radio sources", Rev. Mod. Phys., 56 (2): 255–351, Bibcode:1984RvMP...56..255B, doi:10.1103/RevModPhys.56.255
• Beig, Robert; Chruściel, Piotr T. (2006), "Stationary black holes", in Françoise, J.-P.; Naber, G.; Tsou, T.S. (eds.), Encyclopedia of Mathematical Physics, Volume 2, Elsevier, p. 2041, arXiv:gr-qc/0502041, Bibcode:2005gr.qc.....2041B, ISBN 978-0-12-512660-1
• Bekenstein, Jacob D. (1973), "Black Holes and Entropy", Phys. Rev. D, 7 (8): 2333–2346, Bibcode:1973PhRvD...7.2333B, doi:10.1103/PhysRevD.7.2333, S2CID 122636624
• Bekenstein, Jacob D. (1974), "Generalized Second Law of Thermodynamics in Black-Hole Physics", Phys. Rev. D, 9 (12): 3292–3300, Bibcode:1974PhRvD...9.3292B, doi:10.1103/PhysRevD.9.3292, S2CID 123043135
• Belinskii, V. A.; Khalatnikov, I. M.; Lifschitz, E. M. (1971), "Oscillatory approach to the singular point in relativistic cosmology", Advances in Physics, 19 (80): 525–573, Bibcode:1970AdPhy..19..525B, doi:10.1080/00018737000101171; original paper in Russian: Belinsky, V. A.; Lifshits, I. M.; Khalatnikov, E. M. (1970), "Колебательный Режим Приближения К Особой Точке В Релятивистской Космологии", Uspekhi Fizicheskikh Nauk, 102 (11): 463–500, Bibcode:1970UsFiN.102..463B, doi:10.3367/ufnr.0102.197011d.0463
• Bennett, C. L.; Halpern, M.; Hinshaw, G.; Jarosik, N.; Kogut, A.; Limon, M.; Meyer, S. S.; Page, L.; et al. (2003), "First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Preliminary Maps and Basic Results", Astrophys. J. Suppl. Ser., 148 (1): 1–27, arXiv:astro-ph/0302207, Bibcode:2003ApJS..148....1B, doi:10.1086/377253, S2CID 115601
• Berger, Beverly K. (2002), "Numerical Approaches to Spacetime Singularities", Living Reviews in Relativity, 5 (1): 1, arXiv:gr-qc/0201056, Bibcode:2002LRR.....5....1B, doi:10.12942/lrr-2002-1, PMC 5256073, PMID 28179859
• Bergström, Lars; Goobar, Ariel (2003), Cosmology and Particle Astrophysics (2nd ed.), Wiley & Sons, ISBN 978-3-540-43128-2
• Bertotti, Bruno; Ciufolini, Ignazio; Bender, Peter L. (1987), "New test of general relativity: Measurement of de Sitter geodetic precession rate for lunar perigee", Physical Review Letters, 58 (11): 1062–1065, Bibcode:1987PhRvL..58.1062B, doi:10.1103/PhysRevLett.58.1062, PMID 10034329
• Bertotti, Bruno; Iess, L.; Tortora, P. (2003), "A test of general relativity using radio links with the Cassini spacecraft", Nature, 425 (6956): 374–376, Bibcode:2003Natur.425..374B, doi:10.1038/nature01997, PMID 14508481, S2CID 4337125
• Bertschinger, Edmund (1998), "Simulations of structure formation in the universe", Annu. Rev. Astron. Astrophys., 36 (1): 599–654, Bibcode:1998ARA&A..36..599B, doi:10.1146/annurev.astro.36.1.599
• Birrell, N. D.; Davies, P. C. (1984), Quantum Fields in Curved Space, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-27858-4
• Blair, David; McNamara, Geoff (1997), Ripples on a Cosmic Sea. The Search for Gravitational Waves, Perseus, ISBN 978-0-7382-0137-5
• Blanchet, L.; Faye, G.; Iyer, B. R.; Sinha, S. (2008), "The third post-Newtonian gravitational wave polarisations and associated spherical harmonic modes for inspiralling compact binaries in quasi-circular orbits", Classical and Quantum Gravity, 25 (16): 165003, arXiv:0802.1249, Bibcode:2008CQGra..25p5003B, doi:10.1088/0264-9381/25/16/165003, S2CID 54608927
• Blanchet, Luc (2006), "Gravitational Radiation from Post-Newtonian Sources and Inspiralling Compact Binaries", Living Reviews in Relativity, 9 (1): 4, Bibcode:2006LRR.....9....4B, doi:10.12942/lrr-2006-4, PMC 5255899, PMID 28179874
• Blandford, R. D. (1987), "Astrophysical Black Holes", in Hawking, Stephen W.; Israel, Werner (eds.), 300 Years of Gravitation, Cambridge University Press, pp. 277–329, ISBN 978-0-521-37976-2
• Börner, Gerhard (1993), The Early Universe. Facts and Fiction, Springer, ISBN 978-0-387-56729-7
• Brandenberger, Robert H. (2008), "Conceptual problems of inflationary cosmology and a new approach to cosmological structure formation", in Lemoine, Martin; Martin, Jerome; Peter, Patrick (eds.), Inflationary Cosmology, Lecture Notes in Physics, vol. 738, pp. 393–424, arXiv:hep-th/0701111, Bibcode:2007LNP...738..393B, doi:10.1007/978-3-540-74353-8_11, ISBN 978-3-540-74352-1, S2CID 18752698
• Brans, C. H.; Dicke, R. H. (1961), "Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation", Physical Review, 124 (3): 925–935, Bibcode:1961PhRv..124..925B, doi:10.1103/PhysRev.124.925
• Bridle, Sarah L.; Lahav, Ofer; Ostriker, Jeremiah P.; Steinhardt, Paul J. (2003), "Precision Cosmology? Not Just Yet", Science, 299 (5612): 1532–1533, arXiv:astro-ph/0303180, Bibcode:2003Sci...299.1532B, doi:10.1126/science.1082158, PMID 12624255, S2CID 119368762
• Bruhat, Yvonne (1962), "The Cauchy Problem", in Witten, Louis (ed.), Gravitation: An Introduction to Current Research, Wiley, p. 130, ISBN 978-1-114-29166-9
• Buchert, Thomas (2008), "Dark Energy from Structure—A Status Report", General Relativity and Gravitation, 40 (2–3): 467–527, arXiv:0707.2153, Bibcode:2008GReGr..40..467B, doi:10.1007/s10714-007-0554-8, S2CID 17281664
• Buras, R.; Rampp, M.; Janka, H.-Th.; Kifonidis, K. (2003), "Improved Models of Stellar Core Collapse and Still no Explosions: What is Missing?", Phys. Rev. Lett., 90 (24): 241101, arXiv:astro-ph/0303171, Bibcode:2003PhRvL..90x1101B, doi:10.1103/PhysRevLett.90.241101, PMID 12857181, S2CID 27632148
• Caldwell, Robert R. (2004), "Dark Energy", Physics World, 17 (5): 37–42, doi:10.1088/2058-7058/17/5/36
• Carlip, Steven (2001), "Quantum Gravity: a Progress Report", Rep. Prog. Phys., 64 (8): 885–942, arXiv:gr-qc/0108040, Bibcode:2001RPPh...64..885C, doi:10.1088/0034-4885/64/8/301, S2CID 118923209
• Carroll, Bradley W.; Ostlie, Dale A. (1996), An Introduction to Modern Astrophysics, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-54730-6
• Carroll, Sean M. (2001), "The Cosmological Constant", Living Reviews in Relativity, 4 (1): 1, arXiv:astro-ph/0004075, Bibcode:2001LRR.....4....1C, doi:10.12942/lrr-2001-1, PMC 5256042, PMID 28179856
• Carter, Brandon (1979), "The general theory of the mechanical, electromagnetic and thermodynamic properties of black holes", in Hawking, S. W.; Israel, W. (eds.), General Relativity, an Einstein Centenary Survey, Cambridge University Press, pp. 294–369 and 860–863, ISBN 978-0-521-29928-2
• Celotti, Annalisa; Miller, John C.; Sciama, Dennis W. (1999), "Astrophysical evidence for the existence of black holes", Class. Quantum Grav., 16 (12A): A3–A21, arXiv:astro-ph/9912186, Bibcode:1999CQGra..16A...3C, doi:10.1088/0264-9381/16/12A/301, S2CID 17677758
• Chandrasekhar, Subrahmanyan (1983), The Mathematical Theory of Black Holes, New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850370-5
• Chandrasekhar, Subrahmanyan (1984), "The general theory of relativity – Why 'It is probably the most beautiful of all existing theories'", Journal of Astrophysics and Astronomy, 5 (1): 3–11, Bibcode:1984JApA....5....3C, doi:10.1007/BF02714967, S2CID 120910934
• Charbonnel, C.; Primas, F. (2005), "The Lithium Content of the Galactic Halo Stars", Astronomy & Astrophysics, 442 (3): 961–992, arXiv:astro-ph/0505247, Bibcode:2005A&A...442..961C, doi:10.1051/0004-6361:20042491, S2CID 119340132
• Ciufolini, Ignazio; Pavlis, Erricos C. (2004), "A confirmation of the general relativistic prediction of the Lense–Thirring effect", Nature, 431 (7011): 958–960, Bibcode:2004Natur.431..958C, doi:10.1038/nature03007, PMID 15496915, S2CID 4423434
• Ciufolini, Ignazio; Pavlis, Erricos C.; Peron, R. (2006), "Determination of frame-dragging using Earth gravity models from CHAMP and GRACE", New Astron., 11 (8): 527–550, Bibcode:2006NewA...11..527C, doi:10.1016/j.newast.2006.02.001
• Coc, A.; Vangioni-Flam, Elisabeth; Descouvemont, Pierre; Adahchour, Abderrahim; Angulo, Carmen (2004), "Updated Big Bang Nucleosynthesis confronted to WMAP observations and to the Abundance of Light Elements", Astrophysical Journal, 600 (2): 544–552, arXiv:astro-ph/0309480, Bibcode:2004ApJ...600..544C, doi:10.1086/380121, S2CID 16276658
• Cutler, Curt; Thorne, Kip S. (2002), "An overview of gravitational wave sources", in Bishop, Nigel; Maharaj, Sunil D. (eds.), Proceedings of 16th International Conference on General Relativity and Gravitation (GR16), World Scientific, p. 4090, arXiv:gr-qc/0204090, Bibcode:2002gr.qc.....4090C, ISBN 978-981-238-171-2
• Dalal, Neal; Holz, Daniel E.; Hughes, Scott A.; Jain, Bhuvnesh (2006), "Short GRB and binary black hole standard sirens as a probe of dark energy", Phys. Rev. D, 74 (6): 063006, arXiv:astro-ph/0601275, Bibcode:2006PhRvD..74f3006D, doi:10.1103/PhysRevD.74.063006, S2CID 10008243
• Danzmann, Karsten; Rüdiger, Albrecht (2003), "LISA Technology—Concepts, Status, Prospects" (PDF), Class. Quantum Grav., 20 (10): S1–S9, Bibcode:2003CQGra..20S...1D, doi:10.1088/0264-9381/20/10/301, hdl:11858/00-001M-0000-0013-5233-E, S2CID 250836327, archived from the original (PDF) on 26 September 2007
• Donoghue, John F. (1995), "Introduction to the Effective Field Theory Description of Gravity", in Cornet, Fernando (ed.), Effective Theories: Proceedings of the Advanced School, Almunecar, Spain, 26 June–1 July 1995, Singapore: World Scientific, p. 12024, arXiv:gr-qc/9512024, Bibcode:1995gr.qc....12024D, ISBN 978-981-02-2908-5
• Dediu, Adrian-Horia; Magdalena, Luis; Martín-Vide, Carlos, eds. (2015). Theory and Practice of Natural Computing: Fourth International Conference, TPNC 2015, Mieres, Spain, December 15–16, 2015. Proceedings. Springer. ISBN 978-3-319-26841-5.
• Duff, Michael (1996), "M-Theory (the Theory Formerly Known as Strings)", Int. J. Mod. Phys. A, 11 (32): 5623–5641, arXiv:hep-th/9608117, Bibcode:1996IJMPA..11.5623D, doi:10.1142/S0217751X96002583, S2CID 17432791
• Ehlers, Jürgen (1973), "Survey of general relativity theory", in Israel, Werner (ed.), Relativity, Astrophysics and Cosmology, D. Reidel, pp. 1–125, ISBN 978-90-277-0369-9
• Ehlers, Jürgen; Falco, Emilio E.; Schneider, Peter (1992), Gravitational lenses, Springer, ISBN 978-3-540-66506-9
• Ehlers, Jürgen; Lämmerzahl, Claus, eds. (2006), Special Relativity—Will it Survive the Next 101 Years?, Springer, ISBN 978-3-540-34522-0
• Ehlers, Jürgen; Rindler, Wolfgang (1997), "Local and Global Light Bending in Einstein's and other Gravitational Theories", General Relativity and Gravitation, 29 (4): 519–529, Bibcode:1997GReGr..29..519E, doi:10.1023/A:1018843001842, hdl:11858/00-001M-0000-0013-5AB5-4, S2CID 118162303
• Einstein, Albert (1907), "Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogene Folgerungen", Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik, 4: 411 See also English translation at Einstein Papers Project

• Einstein, Albert (1915), "Die Feldgleichungen der Gravitation", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 844–847 See also English translation at Einstein Papers Project
• Einstein, Albert (1917), "Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie", Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften: 142 See also English translation at Einstein Papers Project
• Ellis, George F R; Van Elst, Henk (1999), "Cosmological Models", in Lachièze-Rey, Marc (ed.), Theoretical and Observational Cosmology, vol. 541, pp. 1–116, arXiv:gr-qc/9812046, Bibcode:1999ASIC..541....1E, doi:10.1007/978-94-011-4455-1_1, ISBN 978-0-7923-5946-3, S2CID 122994560
• Engler, Gideon (2002), "Einstein and the most beautiful theories in physics", International Studies in the Philosophy of Science, 16 (1): 27–37, doi:10.1080/02698590120118800, S2CID 120160056
• Everitt, C. W. F.; Buchman, S.; DeBra, D. B.; Keiser, G. M. (2001), "Gravity Probe B: Countdown to launch", in Lämmerzahl, C.; Everitt, C. W. F.; Hehl, F. W. (eds.), Gyros, Clocks, and Interferometers: Testing Relativistic Gravity in Space (Lecture Notes in Physics 562), Springer, pp. 52–82, ISBN 978-3-540-41236-6
• Everitt, C. W. F.; Parkinson, Bradford; Kahn, Bob (2007), The Gravity Probe B experiment. Post Flight Analysis—Final Report (Preface and Executive Summary) (PDF), Project Report: NASA, Stanford University and Lockheed Martin, archived (PDF) from the original on 9 June 2007, retrieved 5 August 2007
• Falcke, Heino; Melia, Fulvio; Agol, Eric (2000), "Viewing the Shadow of the Black Hole at the Galactic Center", Astrophysical Journal, 528 (1): L13–L16, arXiv:astro-ph/9912263, Bibcode:2000ApJ...528L..13F, doi:10.1086/312423, PMID 10587484, S2CID 119433133
• Font, José A. (2003), "Numerical Hydrodynamics in General Relativity", Living Reviews in Relativity, 6 (1): 4, Bibcode:2003LRR.....6....4F, doi:10.12942/lrr-2003-4, PMC 5660627, PMID 29104452
• Fourès-Bruhat, Yvonne (1952), "Théoréme d'existence pour certains systémes d'équations aux derivées partielles non linéaires", Acta Mathematica, 88 (1): 141–225, Bibcode:1952AcMa...88..141F, doi:10.1007/BF02392131
• Frauendiener, Jörg (2004), "Conformal Infinity", Living Reviews in Relativity, 7 (1): 1, Bibcode:2004LRR.....7....1F, doi:10.12942/lrr-2004-1, PMC 5256109, PMID 28179863
• Friedrich, Helmut (2005), "Is general relativity 'essentially understood'?", Annalen der Physik, 15 (1–2): 84–108, arXiv:gr-qc/0508016, Bibcode:2006AnP...518...84F, doi:10.1002/andp.200510173, S2CID 37236624
• Futamase, T.; Itoh, Y. (2006), "The Post-Newtonian Approximation for Relativistic Compact Binaries", Living Reviews in Relativity, 10 (1): 2, Bibcode:2007LRR....10....2F, doi:10.12942/lrr-2007-2, PMC 5255906, PMID 28179819
• Gamow, George (1970), My World Line, Viking Press, ISBN 978-0-670-50376-6
• Garfinkle, David (2007), "Of singularities and breadmaking", Einstein Online, Max Planck Institute for Gravitational Physics, archived from the original on 10 August 2007, retrieved 3 August 2007
• Geroch, Robert (1996). "Partial Differential Equations of Physics". General Relativity: 19. arXiv:gr-qc/9602055. Bibcode:1996gere.conf...19G.
• Giulini, Domenico (2005), Special Relativity: A First Encounter, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856746-2
• Giulini, Domenico (2006), "Algebraic and Geometric Structures in Special Relativity", in Ehlers, Jürgen; Lämmerzahl, Claus (eds.), Special Relativity—Will it Survive the Next 101 Years?, Lecture Notes in Physics, vol. 702, pp. 45–111, arXiv:math-ph/0602018, Bibcode:2006math.ph...2018G, doi:10.1007/3-540-34523-X_4, ISBN 978-3-540-34522-0, S2CID 15948765
• Giulini, Domenico (2007), "Remarks on the Notions of General Covariance and Background Independence", in Stamatescu, I. O. (ed.), Approaches to Fundamental Physics, Lecture Notes in Physics, vol. 721, pp. 105–120, arXiv:gr-qc/0603087, Bibcode:2007LNP...721..105G, doi:10.1007/978-3-540-71117-9_6, ISBN 978-3-540-71115-5, S2CID 14772226
• Gnedin, Nickolay Y. (2005), "Digitizing the Universe", Nature, 435 (7042): 572–573, Bibcode:2005Natur.435..572G, doi:10.1038/435572a, PMID 15931201, S2CID 3023436
• Goenner, Hubert F. M. (2004), "On the History of Unified Field Theories", Living Reviews in Relativity, 7 (1): 2, Bibcode:2004LRR.....7....2G, doi:10.12942/lrr-2004-2, PMC 5256024, PMID 28179864
• Goroff, Marc H.; Sagnotti, Augusto (1985), "Quantum gravity at two loops", Phys. Lett., 160B (1–3): 81–86, Bibcode:1985PhLB..160...81G, doi:10.1016/0370-2693(85)91470-4
• Gourgoulhon, Eric (2007). "3+1 Formalism and Bases of Numerical Relativity". arXiv:gr-qc/0703035.
• Gowdy, Robert H. (1971), "Gravitational Waves in Closed Universes", Phys. Rev. Lett., 27 (12): 826–829, Bibcode:1971PhRvL..27..826G, doi:10.1103/PhysRevLett.27.826
• Gowdy, Robert H. (1974), "Vacuum spacetimes with two-parameter spacelike isometry groups and compact invariant hypersurfaces: Topologies and boundary conditions", Annals of Physics, 83 (1): 203–241, Bibcode:1974AnPhy..83..203G, doi:10.1016/0003-4916(74)90384-4
• Green, M. B.; Schwarz, J. H.; Witten, E. (1987), Superstring theory. Volume 1: Introduction, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35752-4
• Greenstein, J. L.; Oke, J. B.; Shipman, H. L. (1971), "Effective Temperature, Radius, and Gravitational Redshift of Sirius B", Astrophysical Journal, 169: 563, Bibcode:1971ApJ...169..563G, doi:10.1086/151174
• Hamber, Herbert W. (2009), Hamber, Herbert W (ed.), Quantum Gravitation – The Feynman Path Integral Approach, Springer Publishing, doi:10.1007/978-3-540-85293-3, hdl:11858/00-001M-0000-0013-471D-A, ISBN 978-3-540-85292-6
• Gödel, Kurt (1949). "An Example of a New Type of Cosmological Solution of Einstein's Field Equations of Gravitation". Rev. Mod. Phys. 21 (3): 447–450. Bibcode:1949RvMP...21..447G. doi:10.1103/RevModPhys.21.447.
• Hafele, J. C.; Keating, R. E. (14 July 1972). "Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains". Science. 177 (4044): 166–168. Bibcode:1972Sci...177..166H. doi:10.1126/science.177.4044.166. PMID 17779917. S2CID 10067969.
• Hafele, J. C.; Keating, R. E. (14 July 1972). "Around-the-World Atomic Clocks: Observed Relativistic Time Gains". Science. 177 (4044): 168–170. Bibcode:1972Sci...177..168H. doi:10.1126/science.177.4044.168. PMID 17779918. S2CID 37376002.
• Havas, P. (1964), "Four-Dimensional Formulation of Newtonian Mechanics and Their Relation to the Special and the General Theory of Relativity", Rev. Mod. Phys., 36 (4): 938–965, Bibcode:1964RvMP...36..938H, doi:10.1103/RevModPhys.36.938
• Hawking, Stephen W. (1966), "The occurrence of singularities in cosmology", Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 294 (1439): 511–521, Bibcode:1966RSPSA.294..511H, doi:10.1098/rspa.1966.0221, JSTOR 2415489, S2CID 120730123
• Hawking, S. W. (1975), "Particle Creation by Black Holes", Communications in Mathematical Physics, 43 (3): 199–220, Bibcode:1975CMaPh..43..199H, doi:10.1007/BF02345020, S2CID 55539246
• Hawking, Stephen W. (1987), "Quantum cosmology", in Hawking, Stephen W.; Israel, Werner (eds.), 300 Years of Gravitation, Cambridge University Press, pp. 631–651, ISBN 978-0-521-37976-2
• Hawking, Stephen W.; Ellis, George F. R. (1973), The large scale structure of space-time, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09906-6
• Heckmann, O. H. L.; Schücking, E. (1959), "Newtonsche und Einsteinsche Kosmologie", in Flügge, S. (ed.), Encyclopedia of Physics, vol. 53, p. 489
• Heusler, Markus (1998), "Stationary Black Holes: Uniqueness and Beyond", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 6, Bibcode:1998LRR.....1....6H, doi:10.12942/lrr-1998-6, PMC 5567259, PMID 28937184
• Heusler, Markus (1996), Black Hole Uniqueness Theorems, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-56735-0
• Hey, Tony; Walters, Patrick (2003), The new quantum universe, Cambridge University Press, Bibcode:2003nqu..book.....H, ISBN 978-0-521-56457-1
• Hough, Jim; Rowan, Sheila (2000), "Gravitational Wave Detection by Interferometry (Ground and Space)", Living Reviews in Relativity, 3 (1): 3, Bibcode:2000LRR.....3....3R, doi:10.12942/lrr-2000-3, PMC 5255574, PMID 28179855
• Hubble, Edwin (1929), "A Relation between Distance and Radial Velocity among Extra-Galactic Nebulae", Proc. Natl. Acad. Sci., 15 (3): 168–173, Bibcode:1929PNAS...15..168H, doi:10.1073/pnas.15.3.168, PMC 522427, PMID 16577160
• Hulse, Russell A.; Taylor, Joseph H. (1975), "Discovery of a pulsar in a binary system", Astrophys. J., 195: L51–L55, Bibcode:1975ApJ...195L..51H, doi:10.1086/181708
• Ibanez, L. E. (2000), "The second string (phenomenology) revolution", Class. Quantum Grav., 17 (5): 1117–1128, arXiv:hep-ph/9911499, Bibcode:2000CQGra..17.1117I, doi:10.1088/0264-9381/17/5/321, S2CID 15707877
• Iorio, L. (2006), "A note on the evidence of the gravitomagnetic field of Mars", Classical and Quantum Gravity, 23 (17): 5451–5454, arXiv:gr-qc/0606092, Bibcode:2006CQGra..23.5451I, doi:10.1088/0264-9381/23/17/N01, S2CID 118233440
• Iorio, L. (2009), "An Assessment of the Systematic Uncertainty in Present and Future Tests of the Lense–Thirring Effect with Satellite Laser Ranging", Space Sci. Rev., 148 (1–4): 363–381, arXiv:0809.1373, Bibcode:2009SSRv..148..363I, doi:10.1007/s11214-008-9478-1, S2CID 15698399
• Iorio, L. (2010), "On the Lense–Thirring test with the Mars Global Surveyor in the gravitational field of Mars", Central European Journal of Physics, 8 (3): 509–513, arXiv:gr-qc/0701146, Bibcode:2010CEJPh...8..509I, doi:10.2478/s11534-009-0117-6, S2CID 16052420
• Isham, Christopher J. (1994), "Prima facie questions in quantum gravity", in Ehlers, Jürgen; Friedrich, Helmut (eds.), Canonical Gravity: From Classical to Quantum, Springer, ISBN 978-3-540-58339-4
• Israel, Werner (1971), "Event Horizons and Gravitational Collapse", General Relativity and Gravitation, 2 (1): 53–59, Bibcode:1971GReGr...2...53I, doi:10.1007/BF02450518, S2CID 119645546
• Israel, Werner (1987), "Dark stars: the evolution of an idea", in Hawking, Stephen W.; Israel, Werner (eds.), 300 Years of Gravitation, Cambridge University Press, pp. 199–276, ISBN 978-0-521-37976-2
• Janssen, Michel (2005), "Of pots and holes: Einstein's bumpy road to general relativity", Annalen der Physik, 14 (S1): 58–85, Bibcode:2005AnP...517S..58J, doi:10.1002/andp.200410130, S2CID 10641693, archived from the original (PDF) on 25 August 2020, retrieved 28 August 2010
• Jaranowski, Piotr; Królak, Andrzej (2005), "Gravitational-Wave Data Analysis. Formalism and Sample Applications: The Gaussian Case", Living Reviews in Relativity, 8 (1): 3, Bibcode:2005LRR.....8....3J, doi:10.12942/lrr-2005-3, PMC 5253919, PMID 28163647
• Kahn, Bob (1996–2012), Gravity Probe B Website, Stanford University, retrieved 20 April 2012
• Kahn, Bob (14 April 2007), Was Einstein right? Scientists provide first public peek at Gravity Probe B results (Stanford University Press Release) (PDF), Stanford University News Service, archived (PDF) from the original on 23 April 2007
• Kamionkowski, Marc; Kosowsky, Arthur; Stebbins, Albert (1997), "Statistics of Cosmic Microwave Background Polarization", Phys. Rev. D, 55 (12): 7368–7388, arXiv:astro-ph/9611125, Bibcode:1997PhRvD..55.7368K, doi:10.1103/PhysRevD.55.7368, S2CID 14018215
• Kennefick, Daniel (2005), "Astronomers Test General Relativity: Light-bending and the Solar Redshift", in Renn, Jürgen (ed.), One hundred authors for Einstein, Wiley-VCH, pp. 178–181, ISBN 978-3-527-40574-9
• Kennefick, Daniel (2007), "Not Only Because of Theory: Dyson, Eddington and the Competing Myths of the 1919 Eclipse Expedition", Proceedings of the 7th Conference on the History of General Relativity, Tenerife, 2005, vol. 0709, p. 685, arXiv:0709.0685, Bibcode:2007arXiv0709.0685K, doi:10.1016/j.shpsa.2012.07.010, S2CID 119203172
• Kenyon, I. R. (1990), General Relativity, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-851996-6
• Kochanek, C.S.; Falco, E.E.; Impey, C.; Lehar, J. (2007), CASTLES Survey Website, Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics, retrieved 21 August 2007
• Komar, Arthur (1959), "Covariant Conservation Laws in General Relativity", Phys. Rev., 113 (3): 934–936, Bibcode:1959PhRv..113..934K, doi:10.1103/PhysRev.113.934
• Kramer, Michael (2004). "Millisecond Pulsarsas Tools of Fundamental Physics". In Karshenboim, S. G.; Peik, E. (eds.). Astrophysics, Clocks and Fundamental Constants. Lecture Notes in Physics. Vol. 648. pp. 33–54. arXiv:astro-ph/0405178. Bibcode:2004LNP...648...33K. doi:10.1007/978-3-540-40991-5_3. ISBN 978-3-540-21967-5.
• Kramer, M.; Stairs, I. H.; Manchester, R. N.; McLaughlin, M. A.; Lyne, A. G.; Ferdman, R. D.; Burgay, M.; Lorimer, D. R.; et al. (2006), "Tests of general relativity from timing the double pulsar", Science, 314 (5796): 97–102, arXiv:astro-ph/0609417, Bibcode:2006Sci...314...97K, doi:10.1126/science.1132305, PMID 16973838, S2CID 6674714
• Kraus, Ute (1998), "Light Deflection Near Neutron Stars", Relativistic Astrophysics, Vieweg, pp. 66–81, ISBN 978-3-528-06909-4
• Kuchař, Karel (1973), "Canonical Quantization of Gravity", in Israel, Werner (ed.), Relativity, Astrophysics and Cosmology, D. Reidel, pp. 237–288, ISBN 978-90-277-0369-9
• Künzle, H. P. (1972), "Galilei and Lorentz Structures on spacetime: comparison of the corresponding geometry and physics", Annales de l'Institut Henri Poincaré A, 17: 337–362
• Lahav, Ofer; Suto, Yasushi (2004), "Measuring our Universe from Galaxy Redshift Surveys", Living Reviews in Relativity, 7 (1): 8, arXiv:astro-ph/0310642, Bibcode:2004LRR.....7....8L, doi:10.12942/lrr-2004-8, PMC 5253994, PMID 28163643
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975), The Classical Theory of Fields, v. 2, Elsevier Science, Ltd., ISBN 978-0-08-018176-9
• Lehner, Luis (2001), "Numerical Relativity: A review", Class. Quantum Grav., 18 (17): R25–R86, arXiv:gr-qc/0106072, Bibcode:2001CQGra..18R..25L, doi:10.1088/0264-9381/18/17/202, S2CID 9715975
• Lehner, Luis (2002). "Numerical Relativity: Status and Prospects". In Nigel T. Bishop; Sunil D. Maharaj (eds.). General Relativity and Gravitation. General Relativity and Gravitation: Proceedings of the 16th International Conference, Durban, South Africa, 15–21 July 2001. p. 210. arXiv:gr-qc/0202055. Bibcode:2002grg..conf..210L. doi:10.1142/9789812776556_0010. ISBN 978-981-238-171-2. S2CID 9145148.
• Linde, Andrei (2005), Particle Physics and Inflationary Cosmology, Contemporary Concepts in Physics, vol. 5, pp. 1–362, arXiv:hep-th/0503203, Bibcode:2005hep.th....3203L, ISBN 978-3-7186-0489-0
• Linde, Andrei (2006), "Towards inflation in string theory", J. Phys. Conf. Ser., 24 (1): 151–160, arXiv:hep-th/0503195, Bibcode:2005JPhCS..24..151L, doi:10.1088/1742-6596/24/1/018, S2CID 250677699
• Loll, Renate (1998), "Discrete Approaches to Quantum Gravity in Four Dimensions", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 13, arXiv:gr-qc/9805049, Bibcode:1998LRR.....1...13L, doi:10.12942/lrr-1998-13, PMC 5253799, PMID 28191826
• Lovelock, David (1972), "The Four-Dimensionality of Space and the Einstein Tensor", J. Math. Phys., 13 (6): 874–876, Bibcode:1972JMP....13..874L, doi:10.1063/1.1666069
• MacCallum, M. (2006), "Finding and using exact solutions of the Einstein equations", in Mornas, L.; Alonso, J. D. (eds.), AIP Conference Proceedings (A Century of Relativity Physics: ERE05, the XXVIII Spanish Relativity Meeting), vol. 841, pp. 129–143, arXiv:gr-qc/0601102, Bibcode:2006AIPC..841..129M, doi:10.1063/1.2218172, S2CID 13096531
• Maddox, John (1998), What Remains To Be Discovered, Macmillan, ISBN 978-0-684-82292-1
• Mannheim, Philip D. (2006), "Alternatives to Dark Matter and Dark Energy", Prog. Part. Nucl. Phys., 56 (2): 340–445, arXiv:astro-ph/0505266, Bibcode:2006PrPNP..56..340M, doi:10.1016/j.ppnp.2005.08.001, S2CID 14024934
• Mather, J. C.; Cheng, E. S.; Cottingham, D. A.; Eplee, R. E.; Fixsen, D. J.; Hewagama, T.; Isaacman, R. B.; Jensen, K. A.; et al. (1994), "Measurement of the cosmic microwave spectrum by the COBE FIRAS instrument", Astrophysical Journal, 420: 439–444, Bibcode:1994ApJ...420..439M, doi:10.1086/173574
• Mermin, N. David (2005), It's About Time. Understanding Einstein's Relativity, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12201-4
• Messiah, Albert (1999), Quantum Mechanics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-40924-5
• Miller, Cole (2002), Stellar Structure and Evolution (Lecture notes for Astronomy 606), University of Maryland, retrieved 25 July 2007
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Narayan, Ramesh (2006), "Black holes in astrophysics", New Journal of Physics, 7 (1): 199, arXiv:gr-qc/0506078, Bibcode:2005NJPh....7..199N, doi:10.1088/1367-2630/7/1/199, S2CID 17986323
• Narayan, Ramesh; Bartelmann, Matthias (1997). "Lectures on Gravitational Lensing". arXiv:astro-ph/9606001.
• Narlikar, Jayant V. (1993), Introduction to Cosmology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41250-6
• Nordström, Gunnar (1918), "On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory", Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., 26: 1238–1245, Bibcode:1918KNAB...20.1238N
• Nordtvedt, Kenneth (2003). "Lunar Laser Ranging—a comprehensive probe of post-Newtonian gravity". arXiv:gr-qc/0301024.
• Norton, John D. (1985), "What was Einstein's principle of equivalence?" (PDF), Studies in History and Philosophy of Science, 16 (3): 203–246, Bibcode:1985SHPSA..16..203N, doi:10.1016/0039-3681(85)90002-0, archived (PDF) from the original on 22 September 2006, retrieved 11 June 2007
• Ohanian, Hans C.; Ruffini, Remo (1994), Gravitation and Spacetime, W. W. Norton & Company, ISBN 978-0-393-96501-8
• Olive, K. A.; Skillman, E. A. (2004), "A Realistic Determination of the Error on the Primordial Helium Abundance", Astrophysical Journal, 617 (1): 29–49, arXiv:astro-ph/0405588, Bibcode:2004ApJ...617...29O, doi:10.1086/425170, S2CID 15187664
• O'Meara, John M.; Tytler, David; Kirkman, David; Suzuki, Nao; Prochaska, Jason X.; Lubin, Dan; Wolfe, Arthur M. (2001), "The Deuterium to Hydrogen Abundance Ratio Towards a Fourth QSO: HS0105+1619", Astrophysical Journal, 552 (2): 718–730, arXiv:astro-ph/0011179, Bibcode:2001ApJ...552..718O, doi:10.1086/320579, S2CID 14164537
• Oppenheimer, J. Robert; Snyder, H. (1939), "On continued gravitational contraction", Physical Review, 56 (5): 455–459, Bibcode:1939PhRv...56..455O, doi:10.1103/PhysRev.56.455
• Overbye, Dennis (1999), Lonely Hearts of the Cosmos: the story of the scientific quest for the secret of the Universe, Back Bay, ISBN 978-0-316-64896-7
• Pais, Abraham (1982), 'Subtle is the Lord ...' The Science and life of Albert Einstein, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853907-0
• Peacock, John A. (1999), Cosmological Physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41072-4
• Peebles, P. J. E. (1966), "Primordial Helium abundance and primordial fireball II", Astrophysical Journal, 146: 542–552, Bibcode:1966ApJ...146..542P, doi:10.1086/148918
• Peebles, P. J. E. (1993), Principles of physical cosmology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01933-8
• Peebles, P.J.E.; Schramm, D.N.; Turner, E.L.; Kron, R.G. (1991), "The case for the relativistic hot Big Bang cosmology", Nature, 352 (6338): 769–776, Bibcode:1991Natur.352..769P, doi:10.1038/352769a0, S2CID 4337502
• Penrose, Roger (1965), "Gravitational collapse and spacetime singularities", Physical Review Letters, 14 (3): 57–59, Bibcode:1965PhRvL..14...57P, doi:10.1103/PhysRevLett.14.57
• Penrose, Roger (1969), "Gravitational collapse: the role of general relativity", Rivista del Nuovo Cimento, 1: 252–276, Bibcode:1969NCimR...1..252P
• Penrose, Roger (2004), The Road to Reality, A. A. Knopf, ISBN 978-0-679-45443-4
• Penzias, A. A.; Wilson, R. W. (1965), "A measurement of excess antenna temperature at 4080 Mc/s", Astrophysical Journal, 142: 419–421, Bibcode:1965ApJ...142..419P, doi:10.1086/148307
• Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995), An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-50397-5
• Peskin, Michael E. (2007), "Dark Matter and Particle Physics", Journal of the Physical Society of Japan, 76 (11): 111017, arXiv:0707.1536, Bibcode:2007JPSJ...76k1017P, doi:10.1143/JPSJ.76.111017, S2CID 16276112
• Poincaré, M. H. (1905), "Sur la dynamique de l'électron", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, 140: 1504–1508
• Poisson, Eric (27 May 2004a). "The Motion of Point Particles in Curved Spacetime". Living Reviews in Relativity. 7 (1). 6. arXiv:gr-qc/0306052. Bibcode:2004LRR.....7....6P. doi:10.12942/lrr-2004-6. PMC 5256043. PMID 28179866.
• Poisson, Eric (2004), A Relativist's Toolkit. The Mathematics of Black-Hole Mechanics, Cambridge University Press, Bibcode:2004rtmb.book.....P, ISBN 978-0-521-83091-1
• Polchinski, Joseph (1998a), String Theory Vol. I: An Introduction to the Bosonic String, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63303-1
• Polchinski, Joseph (1998b), String Theory Vol. II: Superstring Theory and Beyond, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63304-8
• Pound, R. V.; Rebka, G. A. (1959), "Gravitational Red-Shift in Nuclear Resonance", Physical Review Letters, 3 (9): 439–441, Bibcode:1959PhRvL...3..439P, doi:10.1103/PhysRevLett.3.439
• Pound, R. V.; Rebka, G. A. (1960), "Apparent weight of photons", Phys. Rev. Lett., 4 (7): 337–341, Bibcode:1960PhRvL...4..337P, doi:10.1103/PhysRevLett.4.337
• Pound, R. V.; Snider, J. L. (1964), "Effect of Gravity on Nuclear Resonance", Phys. Rev. Lett., 13 (18): 539–540, Bibcode:1964PhRvL..13..539P, doi:10.1103/PhysRevLett.13.539
• Ramond, Pierre (1990), Field Theory: A Modern Primer, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-54611-8
• Rees, Martin (1966), "Appearance of Relativistically Expanding Radio Sources", Nature, 211 (5048): 468–470, Bibcode:1966Natur.211..468R, doi:10.1038/211468a0, S2CID 41065207
• Reissner, H. (1916), "Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie", Annalen der Physik, 355 (9): 106–120, Bibcode:1916AnP...355..106R, doi:10.1002/andp.19163550905
• Remillard, Ronald A.; Lin, Dacheng; Cooper, Randall L.; Narayan, Ramesh (2006), "The Rates of Type I X-Ray Bursts from Transients Observed with RXTE: Evidence for Black Hole Event Horizons", Astrophysical Journal, 646 (1): 407–419, arXiv:astro-ph/0509758, Bibcode:2006ApJ...646..407R, doi:10.1086/504862, S2CID 14949527
• Renn, Jürgen, ed. (2007), The Genesis of General Relativity (4 Volumes), Dordrecht: Springer, ISBN 978-1-4020-3999-7
• Renn, Jürgen, ed. (2005), Albert Einstein—Chief Engineer of the Universe: Einstein's Life and Work in Context, Berlin: Wiley-VCH, ISBN 978-3-527-40571-8
• Reula, Oscar A. (1998), "Hyperbolic Methods for Einstein's Equations", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 3, Bibcode:1998LRR.....1....3R, doi:10.12942/lrr-1998-3, PMC 5253804, PMID 28191833
• Rindler, Wolfgang (2001), Relativity. Special, General and Cosmological, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850836-6
• Rindler, Wolfgang (1991), Introduction to Special Relativity, Clarendon Press, Oxford, ISBN 978-0-19-853952-0
• Robson, Ian (1996), Active galactic nuclei, John Wiley, ISBN 978-0-471-95853-6
• Roulet, E.; Mollerach, S. (1997), "Microlensing", Physics Reports, 279 (2): 67–118, arXiv:astro-ph/9603119, Bibcode:1997PhR...279...67R, doi:10.1016/S0370-1573(96)00020-8, S2CID 262685723
• Rovelli, Carlo, ed. (2015), General Relativity: The most beautiful of theories (de Gruyter Studies in Mathematical Physics), Boston: Walter de Gruyter GmbH, ISBN 978-3-11-034042-6
• Rovelli, Carlo (2000). "Notes for a brief history of quantum gravity". arXiv:gr-qc/0006061.
• Rovelli, Carlo (1998), "Loop Quantum Gravity", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 1, arXiv:gr-qc/9710008, Bibcode:1998LRR.....1....1R, CiteSeerX 10.1.1.90.7036, doi:10.12942/lrr-1998-1, PMC 5567241, PMID 28937180
• Schäfer, Gerhard (2004), "Gravitomagnetic Effects", General Relativity and Gravitation, 36 (10): 2223–2235, arXiv:gr-qc/0407116, Bibcode:2004GReGr..36.2223S, doi:10.1023/B:GERG.0000046180.97877.32, S2CID 14255129
• Schödel, R.; Ott, T.; Genzel, R.; Eckart, A.; Mouawad, N.; Alexander, T. (2003), "Stellar Dynamics in the Central Arcsecond of Our Galaxy", Astrophysical Journal, 596 (2): 1015–1034, arXiv:astro-ph/0306214, Bibcode:2003ApJ...596.1015S, doi:10.1086/378122, S2CID 17719367
• Schutz, Bernard F. (1985), A first course in general relativity, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-27703-7
• Schutz, Bernard F. (2003), Gravity from the ground up, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45506-0
• Schwarz, John H. (2007), "String Theory: Progress and Problems", Progress of Theoretical Physics Supplement, 170: 214–226, arXiv:hep-th/0702219, Bibcode:2007PThPS.170..214S, doi:10.1143/PTPS.170.214, S2CID 16762545
• Schwarzschild, Karl (1916a), "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsber. Preuss. Akad. D. Wiss.: 189–196, Bibcode:1916SPAW.......189S
• Schwarzschild, Karl (1916b), "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsber. Preuss. Akad. D. Wiss.: 424–434, Bibcode:1916skpa.conf..424S
• Seidel, Edward (1998), "Numerical Relativity: Towards Simulations of 3D Black Hole Coalescence", in Narlikar, J. V.; Dadhich, N. (eds.), Gravitation and Relativity: At the turn of the millennium (Proceedings of the GR-15 Conference, held at IUCAA, Pune, India, December 16–21, 1997), IUCAA, p. 6088, arXiv:gr-qc/9806088, Bibcode:1998gr.qc.....6088S, ISBN 978-81-900378-3-9
• Seljak, Uros̆; Zaldarriaga, Matias (1997), "Signature of Gravity Waves in the Polarization of the Microwave Background", Phys. Rev. Lett., 78 (11): 2054–2057, arXiv:astro-ph/9609169, Bibcode:1997PhRvL..78.2054S, doi:10.1103/PhysRevLett.78.2054, S2CID 30795875
• Shapiro, S. S.; Davis, J. L.; Lebach, D. E.; Gregory, J. S. (2004), "Measurement of the solar gravitational deflection of radio waves using geodetic very-long-baseline interferometry data, 1979–1999", Phys. Rev. Lett., 92 (12): 121101, Bibcode:2004PhRvL..92l1101S, doi:10.1103/PhysRevLett.92.121101, PMID 15089661
• Shapiro, Irwin I. (1964), "Fourth test of general relativity", Phys. Rev. Lett., 13 (26): 789–791, Bibcode:1964PhRvL..13..789S, doi:10.1103/PhysRevLett.13.789
• Singh, Simon (2004), Big Bang: The Origin of the Universe, Fourth Estate, Bibcode:2004biba.book.....S, ISBN 978-0-00-715251-3
• Sorkin, Rafael D. (2005), "Causal Sets: Discrete Gravity", in Gomberoff, Andres; Marolf, Donald (eds.), Lectures on Quantum Gravity, Springer, p. 9009, arXiv:gr-qc/0309009, Bibcode:2003gr.qc.....9009S, ISBN 978-0-387-23995-8
• Sorkin, Rafael D. (1997), "Forks in the Road, on the Way to Quantum Gravity", Int. J. Theor. Phys., 36 (12): 2759–2781, arXiv:gr-qc/9706002, Bibcode:1997IJTP...36.2759S, doi:10.1007/BF02435709, S2CID 4803804
• Spergel, D. N.; Verde, L.; Peiris, H. V.; Komatsu, E.; Nolta, M. R.; Bennett, C. L.; Halpern, M.; Hinshaw, G.; et al. (2003), "First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Determination of Cosmological Parameters", Astrophys. J. Suppl. Ser., 148 (1): 175–194, arXiv:astro-ph/0302209, Bibcode:2003ApJS..148..175S, doi:10.1086/377226, S2CID 10794058
• Spergel, D. N.; Bean, R.; Doré, O.; Nolta, M. R.; Bennett, C. L.; Dunkley, J.; Hinshaw, G.; Jarosik, N.; et al. (2007), "Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Three Year Results: Implications for Cosmology", Astrophysical Journal Supplement, 170 (2): 377–408, arXiv:astro-ph/0603449, Bibcode:2007ApJS..170..377S, doi:10.1086/513700, S2CID 1386346
• Springel, Volker; White, Simon D. M.; Jenkins, Adrian; Frenk, Carlos S.; Yoshida, Naoki; Gao, Liang; Navarro, Julio; Thacker, Robert; et al. (2005), "Simulations of the formation, evolution and clustering of galaxies and quasars", Nature, 435 (7042): 629–636, arXiv:astro-ph/0504097, Bibcode:2005Natur.435..629S, doi:10.1038/nature03597, PMID 15931216, S2CID 4383030
• Stairs, Ingrid H. (2003), "Testing General Relativity with Pulsar Timing", Living Reviews in Relativity, 6 (1): 5, arXiv:astro-ph/0307536, Bibcode:2003LRR.....6....5S, doi:10.12942/lrr-2003-5, PMC 5253800, PMID 28163640
• Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; Herlt, E. (2003), Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2 ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46136-8
• Synge, J. L. (1972), Relativity: The Special Theory, North-Holland Publishing Company, ISBN 978-0-7204-0064-9
• Szabados, László B. (2004), "Quasi-Local Energy–Momentum and Angular Momentum in GR", Living Reviews in Relativity, 7 (1): 4, Bibcode:2004LRR.....7....4S, doi:10.12942/lrr-2004-4, PMC 5255888, PMID 28179865
• Taylor, Joseph H. (1994), "Binary pulsars and relativistic gravity", Rev. Mod. Phys., 66 (3): 711–719, Bibcode:1994RvMP...66..711T, doi:10.1103/RevModPhys.66.711, S2CID 120534048
• Thiemann, Thomas (2007), "Loop Quantum Gravity: An Inside View", Approaches to Fundamental Physics, Lecture Notes in Physics, vol. 721, pp. 185–263, arXiv:hep-th/0608210, Bibcode:2007LNP...721..185T, doi:10.1007/978-3-540-71117-9_10, ISBN 978-3-540-71115-5, S2CID 119572847
• Thiemann, Thomas (2003). "Lectures on Loop Quantum Gravity". In Domenico J.W. Giulini; Claus Kiefer; Claus Lämmerzahl (eds.). Quantum Gravity: From Theory to Experimental Search. Lecture Notes in Physics. Vol. 631. pp. 41–135. arXiv:gr-qc/0210094. Bibcode:2003LNP...631...41T. doi:10.1007/978-3-540-45230-0_3. ISBN 978-3-540-40810-9. S2CID 119151491.
• 't Hooft, Gerard; Veltman, Martinus (1974), "One Loop Divergencies in the Theory of Gravitation", Annales de l'Institut Henri Poincaré A, 20 (1): 69, Bibcode:1974AIHPA..20...69T
• Thorne, Kip S. (1972), "Nonspherical Gravitational Collapse—A Short Review", in Klauder, J. (ed.), Magic without Magic, W. H. Freeman, pp. 231–258
• Thorne, Kip S. (1994), Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy, W W Norton & Company, ISBN 978-0-393-31276-8
• Thorne, Kip S. (1995), "Gravitational radiation", Particle and Nuclear Astrophysics and Cosmology in the Next Millennium: 160, arXiv:gr-qc/9506086, Bibcode:1995pnac.conf..160T, ISBN 978-0-521-36853-7
• Thorne, Kip (2003). "Warping spacetime". In G.W. Gibbons; E.P.S. Shellard; S.J. Rankin (eds.). The future of theoretical physics and cosmology: celebrating Stephen Hawking's 60th birthday. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82081-3.
• Townsend, Paul K. (1997). "Black Holes (Lecture notes)". arXiv:gr-qc/9707012.
• Townsend, Paul K. (1996). "Four Lectures on M-Theory". High Energy Physics and Cosmology. 13: 385. arXiv:hep-th/9612121. Bibcode:1997hepcbconf..385T.
• Traschen, Jennie (2000), Bytsenko, A.; Williams, F. (eds.), "An Introduction to Black Hole Evaporation", Mathematical Methods of Physics (Proceedings of the 1999 Londrina Winter School), World Scientific: 180, arXiv:gr-qc/0010055, Bibcode:2000mmp..conf..180T
• Trautman, Andrzej (2006), "Einstein–Cartan theory", in Françoise, J.-P.; Naber, G. L.; Tsou, S. T. (eds.), Encyclopedia of Mathematical Physics, Vol. 2, Elsevier, pp. 189–195, arXiv:gr-qc/0606062, Bibcode:2006gr.qc.....6062T
• Unruh, W. G. (1976), "Notes on Black Hole Evaporation", Phys. Rev. D, 14 (4): 870–892, Bibcode:1976PhRvD..14..870U, doi:10.1103/PhysRevD.14.870
• Veltman, Martinus (1975), "Quantum Theory of Gravitation", in Balian, Roger; Zinn-Justin, Jean (eds.), Methods in Field Theory – Les Houches Summer School in Theoretical Physics., vol. 77, North Holland
• Wald, Robert M. (1975), "On Particle Creation by Black Holes", Commun. Math. Phys., 45 (3): 9–34, Bibcode:1975CMaPh..45....9W, doi:10.1007/BF01609863, S2CID 120950657
• Wald, Robert M. (1984), General Relativity, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-87033-5
• Wald, Robert M. (1994), Quantum field theory in curved spacetime and black hole thermodynamics, University of Chicago Press, Bibcode:1994qftc.book.....W, ISBN 978-0-226-87027-4
• Wald, Robert M. (2001), "The Thermodynamics of Black Holes", Living Reviews in Relativity, 4 (1): 6, arXiv:gr-qc/9912119, Bibcode:2001LRR.....4....6W, doi:10.12942/lrr-2001-6, PMC 5253844, PMID 28163633
• Walsh, D.; Carswell, R. F.; Weymann, R. J. (1979), "0957 + 561 A, B: twin quasistellar objects or gravitational lens?", Nature, 279 (5712): 381–4, Bibcode:1979Natur.279..381W, doi:10.1038/279381a0, PMID 16068158, S2CID 2142707
• Wambsganss, Joachim (1998), "Gravitational Lensing in Astronomy", Living Reviews in Relativity, 1 (1): 12, arXiv:astro-ph/9812021, Bibcode:1998LRR.....1...12W, doi:10.12942/lrr-1998-12, PMC 5567250, PMID 28937183
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley, ISBN 978-0-471-92567-5
• Weinberg, Steven (1995), The Quantum Theory of Fields I: Foundations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7
• Weinberg, Steven (1996), The Quantum Theory of Fields II: Modern Applications, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55002-4
• Weinberg, Steven (2000), The Quantum Theory of Fields III: Supersymmetry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66000-6
• Weisberg, Joel M.; Taylor, Joseph H. (2003), "The Relativistic Binary Pulsar B1913+16"", in Bailes, M.; Nice, D. J.; Thorsett, S. E. (eds.), Proceedings of "Radio Pulsars," Chania, Crete, August, 2002, ASP Conference Series
• Weiss, Achim (2006), "Elements of the past: Big Bang Nucleosynthesis and observation", Einstein Online, Max Planck Institute for Gravitational Physics, archived from the original on 8 February 2007, retrieved 24 February 2007
• Wheeler, John A. (1990), A Journey Into Gravity and Spacetime, Scientific American Library, San Francisco: W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-6034-4
• Will, Clifford M. (1993), Theory and experiment in gravitational physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43973-2
• Will, Clifford M. (2006), "The Confrontation between General Relativity and Experiment", Living Reviews in Relativity, 9 (1): 3, arXiv:gr-qc/0510072, Bibcode:2006LRR.....9....3W, doi:10.12942/lrr-2006-3, PMC 5256066, PMID 28179873
• Zwiebach, Barton (2004), A First Course in String Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83143-7

Further reading

Popular books

• Einstein, A. (1916), Relativity: The Special and the General Theory, Berlin, ISBN 978-3-528-06059-6{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Geroch, R. (1981), General Relativity from A to B, Chicago: University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-28864-2
• Lieber, Lillian (2008), The Einstein Theory of Relativity: A Trip to the Fourth Dimension, Philadelphia: Paul Dry Books, Inc., ISBN 978-1-58988-044-3
• Schutz, Bernard F. (2001), "Gravitational radiation", in Murdin, Paul (ed.), Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics, Institute of Physics Pub., ISBN 978-1-56159-268-5
• Thorne, Kip; Hawking, Stephen (1994). Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy. New York: W. W. Norton. ISBN 0-393-03505-0.
• Wald, Robert M. (1992), Space, Time, and Gravity: the Theory of the Big Bang and Black Holes, Chicago: University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-87029-8
• Wheeler, John; Ford, Kenneth (1998), Geons, Black Holes, & Quantum Foam: a life in physics, New York: W. W. Norton, ISBN 978-0-393-31991-0

Beginning undergraduate textbooks

• Callahan, James J. (2000), The Geometry of Spacetime: an Introduction to Special and General Relativity, New York: Springer, ISBN 978-0-387-98641-8
• Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald (2000), Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity, Addison Wesley, ISBN 978-0-201-38423-9

Advanced undergraduate textbooks

• Cheng, Ta-Pei (2005), Relativity, Gravitation and Cosmology: a Basic Introduction, Oxford and New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852957-6
• Dirac, Paul (1996), General Theory of Relativity, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01146-2
• Gron, O.; Hervik, S. (2007), Einstein's General theory of Relativity, Springer, ISBN 978-0-387-69199-2
• Hartle, James B. (2003), Gravity: an Introduction to Einstein's General Relativity, San Francisco: Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-8662-2
• Hughston, L. P.; Tod, K. P. (1991), Introduction to General Relativity, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33943-8
• d'Inverno, Ray (1992), Introducing Einstein's Relativity, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859686-8
• Ludyk, Günter (2013). Einstein in Matrix Form (1st ed.). Berlin: Springer. ISBN 978-3-642-35797-8.
• Møller, Christian (1955) [1952], The Theory of Relativity, Oxford University Press, OCLC 7644624
• Moore, Thomas A (2012), A General Relativity Workbook, University Science Books, ISBN 978-1-891389-82-5
• Schutz, B. F. (2009), A First Course in General Relativity (Second ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88705-2

Graduate textbooks

• Carroll, Sean M. (2004), Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, San Francisco: Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-8732-2
• Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjørn (2007), Einstein's General Theory of Relativity, New York: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2
• Landau, Lev D.; Lifshitz, Evgeny F. (1980), The Classical Theory of Fields (4th ed.), London: Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-7506-2768-9
• Stephani, Hans (1990), General Relativity: An Introduction to the Theory of the Gravitational Field, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37941-0
• Will, Clifford; Poisson, Eric (2014). Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-03286-6.
• Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973), Gravitation, W. H. Freeman, Princeton University Press, ISBN 0-7167-0344-0
• R.K. Sachs; H. Wu (1977), General Relativity for Mathematicians, Springer-Verlag, ISBN 1461299055
• Wald, Robert M. (1984). General Relativity. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87032-4. OCLC 10018614.

Specialists' books

• Hawking, Stephen; Ellis, George (1975). The Large Scale Structure of Space-time. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09906-6.
• Poisson, Eric (2007). A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53780-3.

Journal articles

• Einstein, Albert (1916), "Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie", Annalen der Physik, 49 (7): 769–822, Bibcode:1916AnP...354..769E, doi:10.1002/andp.19163540702 See also English translation at Einstein Papers Project
• Flanagan, Éanna É.; Hughes, Scott A. (2005), "The basics of gravitational wave theory", New J. Phys., 7 (1): 204, arXiv:gr-qc/0501041, Bibcode:2005NJPh....7..204F, doi:10.1088/1367-2630/7/1/204
• Landgraf, M.; Hechler, M.; Kemble, S. (2005), "Mission design for LISA Pathfinder", Class. Quantum Grav., 22 (10): S487–S492, arXiv:gr-qc/0411071, Bibcode:2005CQGra..22S.487L, doi:10.1088/0264-9381/22/10/048, S2CID 119476595
• Nieto, Michael Martin (2006), "The quest to understand the Pioneer anomaly" (PDF), Europhysics News, 37 (6): 30–34, arXiv:gr-qc/0702017, Bibcode:2006ENews..37f..30N, doi:10.1051/epn:2006604, archived (PDF) from the original on 24 September 2015
• Shapiro, I. I.; Pettengill, Gordon; Ash, Michael; Stone, Melvin; Smith, William; Ingalls, Richard; Brockelman, Richard (1968), "Fourth test of general relativity: preliminary results", Phys. Rev. Lett., 20 (22): 1265–1269, Bibcode:1968PhRvL..20.1265S, doi:10.1103/PhysRevLett.20.1265
• Valtonen, M. J.; Lehto, H. J.; Nilsson, K.; Heidt, J.; Takalo, L. O.; Sillanpää, A.; Villforth, C.; Kidger, M.; et al. (2008), "A massive binary black-hole system in OJ 287 and a test of general relativity", Nature, 452 (7189): 851–853, arXiv:0809.1280, Bibcode:2008Natur.452..851V, doi:10.1038/nature06896, PMID 18421348, S2CID 4412396

External links

• Einstein Online Archived 1 June 2014 at the Wayback Machine – Articles on a variety of aspects of relativistic physics for a general audience; hosted by the Max Planck Institute for Gravitational Physics
• GEO600 home page, the official website of the GEO600 project.
• LIGO Laboratory
• NCSA Spacetime Wrinkles – produced by the numerical relativity group at the NCSA, with an elementary introduction to general relativity

• Courses
• Lectures
• Tutorials

• Einstein's General Theory of Relativity on YouTube (lecture by Leonard Susskind recorded 22 September 2008 at Stanford University).
• Series of lectures on General Relativity given in 2006 at the Institut Henri Poincaré (introductory/advanced).
• General Relativity Tutorials by John Baez.
• Brown, Kevin. "Reflections on relativity". Mathpages.com. Archived from the original on 18 December 2015. Retrieved 29 May 2005.
• Carroll, Sean M. (1997). "Lecture Notes on General Relativity". arXiv:gr-qc/9712019.
• Moor, Rafi. "Understanding General Relativity". Retrieved 11 July 2006.
• Waner, Stefan. "Introduction to Differential Geometry and General Relativity". Retrieved 5 April 2015.
• The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 42: Curved Space