Field of mathematics and science based on non-linear systems and initial conditions
Теория хаоса — это междисциплинарная область научных исследований и раздел математики . Она фокусируется на базовых закономерностях и детерминированных законах динамических систем , которые очень чувствительны к начальным условиям . Когда-то считалось, что они имеют совершенно случайные состояния беспорядка и нерегулярности. [1] Теория хаоса утверждает, что в рамках кажущейся случайности хаотических сложных систем существуют базовые закономерности, взаимосвязи, постоянные петли обратной связи , повторение, самоподобие , фракталы и самоорганизация . [2] Эффект бабочки , базовый принцип хаоса, описывает, как небольшое изменение в одном состоянии детерминированной нелинейной системы может привести к большим различиям в более позднем состоянии (имея в виду, что существует чувствительная зависимость от начальных условий). [3] Метафора для этого поведения заключается в том, что бабочка, взмахивающая крыльями в Бразилии, может вызвать торнадо в Техасе . [4] [5] [6]
Небольшие различия в начальных условиях, например, из-за ошибок в измерениях или из-за ошибок округления в численных вычислениях , могут привести к сильно расходящимся результатам для таких динамических систем, делая долгосрочное прогнозирование их поведения в целом невозможным. [7] Это может произойти, даже если эти системы являются детерминированными , что означает, что их будущее поведение следует уникальной эволюции [8] и полностью определяется их начальными условиями, без участия случайных элементов. [9] Другими словами, детерминированная природа этих систем не делает их предсказуемыми. [10] [11] Такое поведение известно как детерминированный хаос или просто хаос . Теория была обобщена Эдвардом Лоренцом следующим образом: [12]
Хаос: Когда настоящее определяет будущее, но приблизительное настоящее не определяет приблизительно будущее.
Теория хаоса отличается от многочисленных областей, таких как структурная устойчивость , например, тогда как последняя касается незначительных дифференциаций в моделях, в отличие от первой, фокусирующейся на незначительных изменениях в состояниях. Более того, время также играет различные роли в определениях хаоса, а также структурной теории. [18]
Введение
Теория хаоса касается детерминированных систем, поведение которых, в принципе, можно предсказать. Хаотические системы предсказуемы некоторое время, а затем «кажутся» случайными. Количество времени, в течение которого поведение хаотической системы может быть эффективно предсказано, зависит от трех вещей: насколько допустима неопределенность в прогнозе, насколько точно можно измерить ее текущее состояние и временной масштаб, зависящий от динамики системы, называемый временем Ляпунова . Вот некоторые примеры времени Ляпунова: хаотические электрические цепи, около 1 миллисекунды; погодные системы, несколько дней (не доказано); внутренняя солнечная система, от 4 до 5 миллионов лет. [19] В хаотических системах неопределенность в прогнозе увеличивается экспоненциально с прошедшим временем. Следовательно, математически, удвоение времени прогноза более чем в квадрате пропорционально неопределенности в прогнозе. Это означает, что на практике осмысленный прогноз не может быть сделан на интервале, превышающем время Ляпунова более чем в два или три раза. Когда осмысленные прогнозы не могут быть сделаны, система кажется случайной. [20]
Теория хаоса — это метод качественного и количественного анализа для исследования поведения динамических систем, которые невозможно объяснить и предсказать с помощью отдельных взаимосвязей данных, но которые необходимо объяснить и предсказать с помощью целостных, непрерывных взаимосвязей данных.
Хаотическая динамика
В общепринятом использовании «хаос» означает «состояние беспорядка». [21] [22] Однако в теории хаоса этот термин определяется более точно. Хотя не существует общепринятого математического определения хаоса, общепринятое определение, первоначально сформулированное Робертом Л. Девани , гласит, что для классификации динамической системы как хаотической она должна обладать следующими свойствами: [23]
В некоторых случаях было показано, что последние два свойства, указанные выше, на самом деле подразумевают чувствительность к начальным условиям. [24] [25] В случае дискретного времени это справедливо для всех непрерывных отображений на метрических пространствах . [26] В этих случаях, хотя это часто является наиболее практически значимым свойством, «чувствительность к начальным условиям» не обязательно должна быть указана в определении.
Если внимание ограничено интервалами , второе свойство подразумевает два других. [27] Альтернативное и, как правило, более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из приведенного выше списка. [28]
Чувствительность к начальным условиям
Чувствительность к начальным условиям означает, что каждая точка в хаотической системе произвольно близко аппроксимируется другими точками, которые имеют существенно отличающиеся будущие пути или траектории. Таким образом, произвольно малое изменение или возмущение текущей траектории может привести к существенно отличающемуся будущему поведению. [2]
Чувствительность к начальным условиям широко известна как « эффект бабочки », так называемый из-за названия статьи, представленной Эдвардом Лоренцом в 1972 году Американской ассоциации содействия развитию науки в Вашингтоне, округ Колумбия, под названием «Предсказуемость: вызывает ли взмах крыльев бабочки в Бразилии торнадо в Техасе?» . [29] Взмах крыла представляет собой небольшое изменение в начальном состоянии системы, которое вызывает цепочку событий, препятствующую предсказуемости крупномасштабных явлений. Если бы бабочка не взмахнула крыльями, траектория всей системы могла бы быть совершенно иной.
Как было предложено в книге Лоренца под названием «Сущность хаоса », опубликованной в 1993 году, [5] «чувствительная зависимость может служить приемлемым определением хаоса». В той же книге Лоренц определил эффект бабочки как: «Явление, при котором небольшое изменение состояния динамической системы приведет к тому, что последующие состояния будут сильно отличаться от состояний, которые последовали бы без изменения». Вышеприведенное определение согласуется с чувствительной зависимостью решений от начальных условий (SDIC). Идеализированная модель катания на лыжах была разработана для иллюстрации чувствительности изменяющихся во времени траекторий к начальным положениям. [5] Горизонт предсказуемости может быть определен до наступления SDIC (т. е. до значительного разделения начальных близких траекторий). [30]
Следствием чувствительности к начальным условиям является то, что если мы начнем с ограниченного количества информации о системе (как это обычно бывает на практике), то по истечении определенного времени система перестанет быть предсказуемой. Это наиболее распространено в случае погоды, которая, как правило, предсказуема только примерно на неделю вперед. [31] Это не означает, что нельзя ничего утверждать о событиях в далеком будущем — только то, что присутствуют некоторые ограничения на систему. Например, мы знаем, что температура поверхности Земли не достигнет естественным образом 100 °C (212 °F) или не упадет ниже −130 °C (−202 °F) на Земле (в течение текущей геологической эры ), но мы не можем точно предсказать, какой день будет иметь самую жаркую температуру в году.
В более математических терминах показатель Ляпунова измеряет чувствительность к начальным условиям в форме скорости экспоненциального расхождения от возмущенных начальных условий. [32] Более конкретно, если учесть две начальные траектории в фазовом пространстве , которые бесконечно близки, с начальным разделением , то эти две траектории в конечном итоге расходятся со скоростью, заданной выражением
где — время, а — показатель Ляпунова. Скорость разделения зависит от ориентации начального вектора разделения, поэтому может существовать целый спектр показателей Ляпунова. Количество показателей Ляпунова равно количеству измерений фазового пространства, хотя обычно ссылаются только на самый большой показатель. Например, чаще всего используется максимальный показатель Ляпунова (МПЛ), поскольку он определяет общую предсказуемость системы. Положительный МПЛ обычно принимается как признак того, что система хаотична. [8]
В дополнение к вышеуказанному свойству существуют и другие свойства, связанные с чувствительностью начальных условий. К ним относятся, например, теоретико-мерное смешивание (как обсуждается в эргодической теории) и свойства K-системы . [11]
Непериодичность
Хаотическая система может иметь последовательности значений для эволюционирующей переменной, которые точно повторяют себя, давая периодическое поведение, начинающееся с любой точки в этой последовательности. Однако такие периодические последовательности отталкивают, а не притягивают, что означает, что если эволюционирующая переменная находится вне последовательности, как бы близко она ни была, она не войдет в последовательность и фактически будет расходиться с ней. Таким образом, для почти всех начальных условий переменная эволюционирует хаотически с непериодическим поведением.
Топологическое смешивание
Топологическое смешивание (или более слабое условие топологической транзитивности) означает, что система развивается с течением времени так, что любая заданная область или открытое множество ее фазового пространства в конечном итоге перекрывается с любой другой заданной областью. Это математическое понятие «смешивания» соответствует стандартной интуиции, а смешивание цветных красителей или жидкостей является примером хаотической системы.
Топологическое смешивание часто опускается в популярных описаниях хаоса, которые приравнивают хаос только к чувствительности к начальным условиям. Однако чувствительная зависимость от начальных условий сама по себе не дает хаоса. Например, рассмотрим простую динамическую систему, полученную путем многократного удвоения начального значения. Эта система имеет чувствительную зависимость от начальных условий везде, поскольку любая пара соседних точек в конечном итоге становится широко разделенной. Однако в этом примере нет топологического смешивания, и, следовательно, нет хаоса. Действительно, он имеет чрезвычайно простое поведение: все точки, кроме 0, стремятся к положительной или отрицательной бесконечности.
Топологическая транзитивность
Говорят, что отображение топологически транзитивно, если для любой пары непустых открытых множеств существует такое, что . Топологическая транзитивность является более слабой версией топологического перемешивания . Интуитивно, если отображение топологически транзитивно, то для заданной точки x и области V существует точка y вблизи x , орбита которой проходит через V . Это означает, что невозможно разложить систему на два открытых множества. [33]
Важной связанной теоремой является теорема транзитивности Биркгофа. Легко видеть, что существование плотной орбиты подразумевает топологическую транзитивность. Теорема транзитивности Биркгофа утверждает, что если X является вторым счетным полным метрическим пространством , то топологическая транзитивность подразумевает существование плотного множества точек в X , которые имеют плотные орбиты. [34]
Плотность периодических орбит
Для хаотической системы иметь плотные периодические орбиты означает, что к каждой точке пространства периодические орбиты приближаются произвольно близко. [33] Одномерное логистическое отображение , определяемое как x → 4 x (1 – x ), является одной из простейших систем с плотностью периодических орбит. Например, → → (или приблизительно 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) является (неустойчивой) орбитой периода 2, и подобные орбиты существуют для периодов 4, 8, 16 и т. д. (на самом деле, для всех периодов, указанных теоремой Шарковского ). [35]
Теорема Шарковского лежит в основе доказательства Ли и Йорка [36] (1975), согласно которому любая непрерывная одномерная система, демонстрирующая регулярный цикл периода три, будет также демонстрировать регулярные циклы любой другой длины, а также полностью хаотические орбиты.
Странные аттракторы
Некоторые динамические системы, такие как одномерное логистическое отображение, определяемое x → 4 x (1 – x ), хаотичны везде, но во многих случаях хаотическое поведение обнаруживается только в подмножестве фазового пространства. Наиболее интересны случаи, когда хаотическое поведение имеет место на аттракторе , поскольку тогда большой набор начальных условий приводит к орбитам, которые сходятся к этой хаотической области. [37]
Простой способ визуализировать хаотический аттрактор — начать с точки в области притяжения аттрактора, а затем просто построить его последующую орбиту. Из-за топологического условия транзитивности это, скорее всего, даст картину всего конечного аттрактора, и действительно, обе орбиты, показанные на рисунке справа, дают картину общей формы аттрактора Лоренца. Этот аттрактор является результатом простой трехмерной модели погодной системы Лоренца . Аттрактор Лоренца, возможно, является одной из самых известных диаграмм хаотической системы, вероятно, потому, что он не только один из первых, но и один из самых сложных, и как таковой порождает очень интересный рисунок, который при небольшом воображении выглядит как крылья бабочки.
В отличие от аттракторов с неподвижной точкой и предельных циклов , аттракторы, возникающие из хаотических систем, известные как странные аттракторы , обладают большой детализацией и сложностью. Странные аттракторы встречаются как в непрерывных динамических системах (таких как система Лоренца), так и в некоторых дискретных системах (таких как отображение Хенона ). Другие дискретные динамические системы имеют отталкивающую структуру, называемую множеством Жюлиа , которая образуется на границе между бассейнами притяжения неподвижных точек. Множества Жюлиа можно рассматривать как странные отталкиватели. Как странные аттракторы, так и множества Жюлиа обычно имеют фрактальную структуру, и для них можно вычислить фрактальную размерность .
Сосуществующие аттракторы
В отличие от однотипных хаотических решений, недавние исследования с использованием моделей Лоренца [41] [42] подчеркнули важность рассмотрения различных типов решений. Например, сосуществование хаотических и нехаотических может появляться в одной и той же модели (например, двойной маятниковой системе) с использованием тех же конфигураций моделирования, но разных начальных условий. Выводы о сосуществовании аттракторов, полученные из классических и обобщенных моделей Лоренца [38] [39] [40], предложили пересмотренный взгляд на то, что «вся погода обладает двойственной природой хаоса и порядка с отчетливой предсказуемостью», в отличие от общепринятого взгляда на «погоду хаотична».
Минимальная сложность хаотической системы
Дискретные хаотические системы, такие как логистическое отображение , могут демонстрировать странные аттракторы независимо от их размерности . Напротив, для непрерывных динамических систем теорема Пуанкаре–Бендиксона показывает, что странный аттрактор может возникнуть только в трех или более измерениях. Конечномерные линейные системы никогда не являются хаотическими; для того чтобы динамическая система демонстрировала хаотическое поведение, она должна быть либо нелинейной , либо бесконечномерной.
Теорема Пуанкаре –Бендиксона утверждает, что двумерное дифференциальное уравнение имеет очень регулярное поведение. Аттрактор Лоренца, обсуждаемый ниже, генерируется системой из трех дифференциальных уравнений, таких как:
где , , и составляют состояние системы , — время, а , , — параметры системы . Пять членов в правой части являются линейными, а два — квадратичными; всего семь членов. Другой известный хаотический аттрактор генерируется уравнениями Рёсслера , которые имеют только один нелинейный член из семи. Спротт [43] нашел трехмерную систему всего с пятью членами, которая имела только один нелинейный член, который демонстрирует хаос для определенных значений параметров. Чжан и Гейдель [44] [45] показали, что, по крайней мере для диссипативных и консервативных квадратичных систем, трехмерные квадратичные системы только с тремя или четырьмя членами в правой части не могут демонстрировать хаотическое поведение. Причина в том, что, проще говоря, решения таких систем являются асимптотическими к двумерной поверхности, и поэтому решения ведут себя хорошо.
В то время как теорема Пуанкаре–Бендиксона показывает, что непрерывная динамическая система на евклидовой плоскости не может быть хаотичной, двумерные непрерывные системы с неевклидовой геометрией все еще могут проявлять некоторые хаотические свойства. [46] Возможно, это покажется удивительным, но хаос может возникать и в линейных системах, при условии, что они бесконечномерны. [47] Теория линейного хаоса разрабатывается в разделе математического анализа, известном как функциональный анализ .
Вышеуказанный набор из трех обыкновенных дифференциальных уравнений называется трехмерной моделью Лоренца. [48] С 1963 года в многочисленных исследованиях [49] [50] [38] [39] были разработаны многомерные модели Лоренца для изучения влияния повышенной степени нелинейности, а также ее коллективного эффекта с нагревом и диссипацией на устойчивость решения.
Бесконечномерные карты
Прямое обобщение связанных дискретных отображений [51] основано на интеграле свертки, который опосредует взаимодействие между пространственно распределенными отображениями: ,
где ядро — это пропагатор, полученный как функция Грина соответствующей физической системы, [52] может быть логистической картой или комплексной картой . Для примеров комплексных карт может служить множество Жюлии или карта Икеды . Когда рассматриваются проблемы распространения волн на расстоянии с длиной волны, ядро может иметь форму функции Грина для уравнения Шредингера :. [53] [54]
.
Рывковые системы
В физике рывок — это третья производная положения по времени. Таким образом , дифференциальные уравнения вида
иногда называются уравнениями рывка . Было показано, что уравнение рывка, которое эквивалентно системе из трех обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, в определенном смысле является минимальной настройкой для решений, демонстрирующих хаотическое поведение. Это мотивирует математический интерес к системам рывка. Системы, включающие четвертую или более высокую производную, соответственно называются системами гиперрывка. [55]
Поведение системы рывков описывается уравнением рывков, и для некоторых уравнений рывков простые электронные схемы могут моделировать решения. Эти схемы известны как схемы рывков.
Одним из самых интересных свойств рывковых цепей является возможность хаотического поведения. Фактически, некоторые известные хаотические системы, такие как аттрактор Лоренца и отображение Рёсслера , традиционно описываются как система из трех дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут объединяться в одно (хотя и довольно сложное) уравнение рывка. Другой пример уравнения рывка с нелинейностью по величине :
Здесь A — регулируемый параметр. Это уравнение имеет хаотическое решение при A = 3/5 и может быть реализовано с помощью следующей схемы рывка; требуемая нелинейность обеспечивается двумя диодами:
В приведенной выше схеме все резисторы имеют одинаковое значение, за исключением , и все конденсаторы имеют одинаковый размер. Доминирующая частота равна . Выход операционного усилителя 0 будет соответствовать переменной x, выход 1 соответствует первой производной x, а выход 2 соответствует второй производной.
Подобные схемы требуют только одного диода [56] или не требуют диодов вообще. [57]
См. также известную схему Чуа , одну из основ для хаотических генераторов истинных случайных чисел. [58] Простота построения схемы сделала ее повсеместным реальным примером хаотической системы.
Более того, с точки зрения теоретической физики, сам динамический хаос, в его наиболее общем проявлении, является спонтанным порядком. Суть здесь в том, что большинство порядков в природе возникают из спонтанного нарушения различных симметрий. Это большое семейство явлений включает упругость, сверхпроводимость, ферромагнетизм и многие другие. Согласно суперсимметричной теории стохастической динамики , хаос, или, точнее, его стохастическое обобщение, также является частью этого семейства. Соответствующая нарушаемая симметрия является топологической суперсимметрией , которая скрыта во всех стохастических (частных) дифференциальных уравнениях , а соответствующий параметр порядка является полевым воплощением эффекта бабочки. [60]
История
Джеймс Клерк Максвелл первым подчеркнул « эффект бабочки » и считается одним из первых, кто обсуждал теорию хаоса, работая в 1860-х и 1870-х годах. [61] [62] [63] Одним из первых сторонников теории хаоса был Анри Пуанкаре . В 1880-х годах, изучая задачу трех тел , он обнаружил, что могут быть орбиты, которые являются непериодическими, и при этом не вечно возрастающими и не приближающимися к неподвижной точке. [64] [65] [66] В 1898 году Жак Адамар опубликовал влиятельное исследование хаотического движения свободной частицы, скользящей без трения по поверхности постоянной отрицательной кривизны, названное « бильярдами Адамара ». [67] Адамар смог показать, что все траектории неустойчивы, в том смысле, что все траектории частиц экспоненциально расходятся друг от друга с положительным показателем Ляпунова .
Несмотря на первоначальные идеи в первой половине двадцатого века, теория хаоса стала формализованной как таковая только после середины века, когда впервые стало очевидно для некоторых ученых, что линейная теория , преобладающая теория систем в то время, просто не могла объяснить наблюдаемое поведение определенных экспериментов, таких как поведение логистического отображения . То, что приписывалось неточности измерения и простому « шуму », рассматривалось теоретиками хаоса как полноценный компонент изучаемых систем. В 1959 году Борис Валерианович Чириков предложил критерий возникновения классического хаоса в гамильтоновых системах ( критерий Чирикова ). Он применил этот критерий для объяснения некоторых экспериментальных результатов по удержанию плазмы в открытых зеркальных ловушках. [74] [75] Это считается самой первой физической теорией хаоса, которая преуспела в объяснении конкретного эксперимента. А сам Борис Чириков считается пионером в области классического и квантового хаоса. [76] [77] [78]
Главным катализатором развития теории хаоса был электронный компьютер. Большая часть математики теории хаоса включает в себя повторяющиеся итерации простых математических формул, которые было бы непрактично делать вручную. Электронные компьютеры сделали эти повторяющиеся вычисления практичными, в то время как цифры и изображения позволили визуализировать эти системы. Будучи аспирантом в лаборатории Чихиро Хаяси в Киотском университете, Ёсисуке Уэда экспериментировал с аналоговыми компьютерами и заметил 27 ноября 1961 года то, что он назвал «случайно переходными явлениями». Однако его научный руководитель не согласился с его выводами в то время и не позволял ему сообщать о своих открытиях до 1970 года. [79] [80]
Эдвард Лоренц был одним из первых пионеров этой теории. Его интерес к хаосу возник случайно во время его работы по прогнозированию погоды в 1961 году. [13] Лоренц и его соавторы Эллен Феттер и Маргарет Гамильтон [81] использовали простой цифровой компьютер Royal McBee LGP-30 для запуска погодных симуляций. Они хотели снова увидеть последовательность данных, и чтобы сэкономить время, они запустили симуляцию в середине ее хода. Они сделали это, введя распечатку данных, которые соответствовали условиям в середине исходной симуляции. К их удивлению, погода, которую начала предсказывать машина, полностью отличалась от предыдущего расчета. Они отследили это до компьютерной распечатки. Компьютер работал с точностью до 6 цифр, но распечатка округляла переменные до 3-значного числа, поэтому значение вроде 0,506127 печаталось как 0,506. Эта разница крошечная, и в то время консенсус был бы таков, что она не должна иметь практического эффекта. Однако Лоренц обнаружил, что небольшие изменения начальных условий приводят к большим изменениям в долгосрочных результатах. [82] Открытие Лоренца, давшее название аттракторам Лоренца , показало, что даже детальное моделирование атмосферы в общем случае не может давать точных долгосрочных прогнозов погоды.
В 1963 году Бенуа Мандельброт , изучая теорию информации , обнаружил, что шум во многих явлениях (включая цены акций и телефонные сети) имеет структуру, подобную множеству Кантора , набору точек с бесконечной грубостью и детализацией [83] Мандельброт описал как «эффект Ноя» (при котором могут происходить внезапные прерывистые изменения), так и «эффект Джозефа» (при котором постоянство значения может иметь место в течение некоторого времени, но затем внезапно измениться). [84] [85] В 1967 году он опубликовал « Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность », показав, что длина береговой линии изменяется в зависимости от масштаба измерительного прибора, похожа на себя во всех масштабах и бесконечна по длине для бесконечно малого измерительного прибора. [86] Утверждая, что клубок бечевки выглядит как точка, если смотреть издалека (0-мерный), шар, если смотреть с достаточно близкого расстояния (3-мерный), или изогнутая нить (1-мерный), он утверждал, что размеры объекта относительны для наблюдателя и могут быть дробными. Объект, нерегулярность которого постоянна в разных масштабах («самоподобие»), является фракталом ( примерами служат губка Менгера , прокладка Серпинского и кривая Коха или снежинка , которая бесконечно длинна, но охватывает конечное пространство и имеет фрактальную размерность около 1,2619). В 1982 году Мандельброт опубликовал «Фрактальную геометрию природы », которая стала классикой теории хаоса. [87]
В декабре 1977 года Нью-Йоркская академия наук организовала первый симпозиум по хаосу, на котором присутствовали Дэвид Рюэль, Роберт Мэй , Джеймс А. Йорк (автор термина «хаос» в математике), Роберт Шоу и метеоролог Эдвард Лоренц. В следующем году Пьер Кулле и Чарльз Трессер опубликовали «Итерации эндоморфизмов и группы перенормировки», а статья Митчелла Фейгенбаума «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований» наконец появилась в журнале после 3 лет отклонений рецензентами. [88] [89] Таким образом, Фейгенбаум (1975) и Кулле и Трессер (1978) открыли универсальность в хаосе, что позволило применить теорию хаоса ко многим различным явлениям.
Наряду с преимущественно лабораторными подходами, такими как песчаная куча Бака–Танга–Визенфельда , многие другие исследования были сосредоточены на крупномасштабных природных или социальных системах, которые, как известно (или предполагается), демонстрируют поведение , инвариантное к масштабу . Хотя эти подходы не всегда приветствовались (по крайней мере, изначально) специалистами в рассматриваемых предметах, SOC, тем не менее, стал признанным в качестве сильного кандидата для объяснения ряда природных явлений, включая землетрясения (которые задолго до открытия SOC были известны как источник масштабно-инвариантного поведения, такого как закон Гутенберга-Рихтера, описывающий статистическое распределение размеров землетрясений, и закон Омори [93], описывающий частоту афтершоков), солнечные вспышки , колебания в экономических системах, таких как финансовые рынки (ссылки на SOC обычны в эконофизике ), формирование ландшафта, лесные пожары , оползни , эпидемии и биологическая эволюция (где SOC был использован, например, как динамический механизм, лежащий в основе теории « прерывистого равновесия », выдвинутой Найлзом Элдриджем и Стивеном Джеем Гулдом ). Учитывая последствия безмасштабного распределения размеров событий, некоторые исследователи предположили, что другим явлением, которое следует считать примером SOC, является возникновение войн . Эти исследования SOC включали как попытки моделирования (разработку новых моделей или адаптацию существующих к специфике данной природной системы), так и обширный анализ данных для определения существования и/или характеристик законов естественного масштабирования.
Также в 1987 году Джеймс Глейк опубликовал книгу «Хаос: Создание новой науки» , которая стала бестселлером и представила общие принципы теории хаоса, а также ее историю широкой публике. [94] Первоначально являясь областью деятельности нескольких изолированных личностей, теория хаоса постепенно превратилась в трансдисциплинарную и институциональную дисциплину, в основном под названием нелинейный системный анализ. Ссылаясь на концепцию Томаса Куна о смене парадигмы, изложенную в «Структуре научных революций» (1962), многие «хаологи» (как некоторые называли себя) утверждали, что эта новая теория является примером такого сдвига, и этот тезис поддерживал Глейк.
Новаторский вклад Лоренца в хаотическое моделирование
За всю свою карьеру профессор Эдвард Лоренц написал в общей сложности 61 исследовательскую работу, из которых 58 были написаны им единолично. [98] Начиная с конференции 1960 года в Японии, Лоренц начал путь разработки разнообразных моделей, направленных на раскрытие SDIC и хаотических особенностей. Недавний обзор развития модели Лоренца [99] [100] , охватывающий период с 1960 по 2008 год, показал его мастерство в использовании разнообразных физических систем для иллюстрации хаотических явлений. Эти системы охватывали квазигеострофические системы, уравнение консервативной вихревости, уравнения конвекции Рэлея-Бенара и уравнения мелкой воды. Более того, Лоренцу можно приписать раннее применение логистической карты для исследования хаотических решений, веху, которую он достиг раньше своих коллег (например, Лоренц 1964 [101] ).
В 1972 году Лоренц ввел термин «эффект бабочки» в качестве метафоры для обсуждения того, может ли небольшое возмущение в конечном итоге создать торнадо с трехмерной, организованной и связной структурой. Хотя его метафорический вариант связан с исходным эффектом бабочки, основанным на чувствительной зависимости от начальных условий, он несет в себе различные нюансы. В ознаменование этой вехи была официально опубликована переизданная книга, содержащая приглашенные статьи, которые углубляют наше понимание обоих эффектов бабочки, в ознаменование 50-летия метафорического эффекта бабочки. [102]
Популярная, но неточная аналогия хаоса.
Чувствительная зависимость от начальных условий (т.е. эффект бабочки) была проиллюстрирована с помощью следующего фольклора: [94]
Из-за отсутствия гвоздя была потеряна подкова. Из-за отсутствия подковы была потеряна лошадь. Из-за отсутствия лошади был потерян всадник. Из-за отсутствия всадника была проиграна битва. Из-за отсутствия битвы было потеряно королевство. И все из-за отсутствия гвоздя для подковы.
На основании вышесказанного многие ошибочно полагают, что влияние крошечного начального возмущения монотонно увеличивается со временем и что любое крошечное возмущение может в конечном итоге оказать большое влияние на численное интегрирование. Однако в 2008 году Лоренц заявил, что он не считает, что этот стих описывает истинный хаос, но что он лучше иллюстрирует более простое явление нестабильности и что стих неявно предполагает, что последующие небольшие события не изменят результат. [103] На основании анализа стих указывает только на расхождение, а не на ограниченность. [6] Ограниченность важна для конечного размера узора бабочки. [6] [103] [104] В недавнем исследовании [105] характеристика вышеупомянутого стиха была недавно обозначена как «зависимость, чувствительная к конечному времени».
Приложения
Хотя теория хаоса родилась из наблюдений за погодными явлениями, она стала применима к целому ряду других ситуаций. Некоторые области, которые сегодня извлекают пользу из теории хаоса, это геология , математика , биология , компьютерные науки , экономика , [107] [108] [109] инженерия , [110] [111] финансы , [112] [113] [114] [115] [116] метеорология , философия , антропология , [15] физика , [117] [118] [119] политика , [120] [121] динамика населения , [122] и робототехника . Ниже перечислены несколько категорий с примерами, но это ни в коем случае не полный список, поскольку появляются новые приложения.
Криптография
Теория хаоса использовалась в криптографии в течение многих лет . За последние несколько десятилетий хаос и нелинейная динамика использовались при разработке сотен криптографических примитивов . Эти алгоритмы включают алгоритмы шифрования изображений , хэш-функции , безопасные генераторы псевдослучайных чисел , потоковые шифры , водяные знаки и стеганографию . [123] Большинство этих алгоритмов основаны на унимодальных хаотических картах, и большая часть этих алгоритмов использует контрольные параметры и начальное состояние хаотических карт в качестве своих ключей. [124] С более широкой точки зрения, без потери общности, сходство между хаотическими картами и криптографическими системами является основной мотивацией для разработки криптографических алгоритмов на основе хаоса. [123] Один тип шифрования, секретный ключ или симметричный ключ , опирается на диффузию и путаницу , что хорошо моделируется теорией хаоса. [125] Другой тип вычислений, ДНК-вычисления , в сочетании с теорией хаоса, предлагает способ шифрования изображений и другой информации. [126] Многие из криптографических алгоритмов ДНК-Хаос оказались либо небезопасными, либо применяемая техника оказалась неэффективной. [127] [128] [129]
Робототехника
Робототехника — еще одна область, которая недавно выиграла от теории хаоса. Вместо того, чтобы роботы действовали методом проб и ошибок, совершенствуя взаимодействие с окружающей средой, теория хаоса использовалась для построения предсказательной модели . [130]
Хаотическую динамику продемонстрировали пассивные шагающие двуногие роботы. [131]
Биология
Более ста лет биологи отслеживают популяции различных видов с помощью популяционных моделей . Большинство моделей являются непрерывными , но недавно ученые смогли реализовать хаотические модели в определенных популяциях. [132] Например, исследование моделей канадской рыси показало, что в росте популяции наблюдается хаотическое поведение. [133] Хаос также можно обнаружить в экологических системах, таких как гидрология . Хотя хаотическая модель для гидрологии имеет свои недостатки, все еще многому можно научиться, рассматривая данные через призму теории хаоса. [134] Другое биологическое применение находится в кардиотокографии . Наблюдение за плодом - это тонкий баланс между получением точной информации и максимальной неинвазивностью. Лучшие модели предупреждающих признаков гипоксии плода можно получить с помощью хаотического моделирования. [135]
Как указывает Перри, моделированию хаотических временных рядов в экологии помогают ограничения. [136] : 176, 177 Всегда существует потенциальная трудность в различении реального хаоса от хаоса, который присутствует только в модели. [136] : 176, 177 Следовательно, как ограничения в модели, так и дублирующие данные временных рядов для сравнения будут полезны для ограничения модели чем-то близким к реальности, например, Perry & Wall 1984. [136] : 176, 177 Коэволюция генов в гены иногда показывает хаотическую динамику в частотах аллелей . [137] Добавление переменных усиливает это: хаос чаще встречается в моделях, включающих дополнительные переменные для отражения дополнительных граней реальных популяций. [137] Роберт М. Мэй сам провел некоторые из этих основополагающих исследований коэволюции сельскохозяйственных культур, и это, в свою очередь, помогло сформировать всю область. [137] Даже в устойчивой среде простое объединение одной культуры и одного патогена может привести к квазипериодическим или хаотическим колебаниям в популяции патогенов . [138] : 169
Экономика
Возможно, что экономические модели также могут быть улучшены посредством применения теории хаоса, но прогнозирование здоровья экономической системы и того, какие факторы влияют на нее больше всего, является чрезвычайно сложной задачей. [139] Экономические и финансовые системы принципиально отличаются от систем в классических естественных науках, поскольку первые по своей природе являются стохастическими, поскольку они являются результатом взаимодействия людей, и, таким образом, чистые детерминированные модели вряд ли обеспечат точное представление данных. Эмпирическая литература, которая проверяет наличие хаоса в экономике и финансах, представляет очень неоднозначные результаты, отчасти из-за путаницы между конкретными тестами на хаос и более общими тестами на нелинейные отношения. [140]
Хаос можно обнаружить в экономике с помощью анализа квантификации рекуррентности . Фактически, Орландо и др. [141] с помощью так называемого индекса корреляции квантификации рекуррентности смогли обнаружить скрытые изменения во временных рядах. Затем та же техника была использована для обнаружения переходов от ламинарной (регулярной) к турбулентной (хаотической) фазам, а также различий между макроэкономическими переменными и выделения скрытых особенностей экономической динамики. [142] Наконец, теория хаоса может помочь в моделировании того, как функционирует экономика, а также во внедрении шоков из-за внешних событий, таких как COVID-19. [143]
Конечная предсказуемость погоды и климата
Из-за чувствительной зависимости решений от начальных условий (SDIC), также известной как эффект бабочки, хаотические системы, такие как модель Лоренца 1963 года, подразумевают конечный горизонт предсказуемости. Это означает, что хотя точные прогнозы возможны в течение конечного периода времени, они невыполнимы в течение бесконечного периода времени. Учитывая природу хаотических решений Лоренца, комитет под руководством Чарни и др. в 1966 году [144] экстраполировал время удвоения в пять дней из модели общей циркуляции, предполагая предел предсказуемости в две недели. Эта связь между пятидневным временем удвоения и двухнедельным пределом предсказуемости была также зафиксирована в отчете Глобальной программы атмосферных исследований (GARP) 1969 года. [145] Чтобы признать комбинированное прямое и косвенное влияние модели Минца и Аракавы и моделей Лоренца, а также руководство Чарни и др., Шен и др. [146] называют двухнедельный предел предсказуемости «гипотезой предела предсказуемости», проводя аналогию с законом Мура.
Расширенная структура моделирования ИИ
В больших языковых моделях, управляемых ИИ, ответы могут проявлять чувствительность к таким факторам, как изменения в форматировании и вариации в подсказках. Эта чувствительность сродни эффекту бабочки. [147] Хотя классификация больших языковых моделей, управляемых ИИ, как классических детерминированных хаотических систем представляет собой проблему, подходы и методы, вдохновленные хаосом (например, ансамблевое моделирование), могут использоваться для извлечения надежной информации из этих обширных языковых моделей (см. также « Эффект бабочки в популярной культуре »).
Другие области
В химии предсказание растворимости газа необходимо для производства полимеров , но модели, использующие оптимизацию роя частиц (PSO), имеют тенденцию сходиться к неправильным точкам. Улучшенная версия PSO была создана путем введения хаоса, который не дает симуляциям застревать. [148] В небесной механике , особенно при наблюдении за астероидами, применение теории хаоса приводит к лучшим прогнозам о том, когда эти объекты приблизятся к Земле и другим планетам. [149] Четыре из пяти лун Плутона вращаются хаотично. В квантовой физике и электротехнике изучение больших массивов переходов Джозефсона значительно выиграло от теории хаоса. [150] Ближе к дому угольные шахты всегда были опасными местами, где частые утечки природного газа приводят к многочисленным смертям. До недавнего времени не было надежного способа предсказать, когда они произойдут. Но эти утечки газа имеют хаотические тенденции, которые при правильном моделировании можно предсказать довольно точно. [151]
Теория хаоса может применяться за пределами естественных наук, но исторически почти все такие исследования страдали от отсутствия воспроизводимости; плохой внешней валидности; и/или невнимания к перекрестной проверке, что приводило к плохой точности предсказаний (если предсказание вне выборки вообще было предпринято). Гласс [152] и Манделл и Селц [153] обнаружили, что ни одно исследование ЭЭГ до сих пор не указало на наличие странных аттракторов или других признаков хаотического поведения.
Исследователи продолжили применять теорию хаоса к психологии. Например, при моделировании поведения группы, в которой разнородные члены могут вести себя так, как будто разделяют в разной степени то, что в теории Уилфреда Биона является основным предположением, исследователи обнаружили, что групповая динамика является результатом индивидуальной динамики членов: каждый индивид воспроизводит групповую динамику в разном масштабе, и хаотичное поведение группы отражается в каждом члене. [154]
Редингтон и Рейдборд (1992) попытались продемонстрировать, что человеческое сердце может проявлять хаотические черты. Они отслеживали изменения в интервалах между ударами сердца у одной пациентки психотерапии, когда она проходила через периоды различной эмоциональной интенсивности во время сеанса терапии. Результаты были, по общему признанию, неубедительными. Не только были двусмысленности в различных графиках, которые авторы создали, чтобы якобы показать доказательства хаотической динамики (спектральный анализ, фазовая траектория и графики автокорреляции), но также, когда они пытались вычислить показатель Ляпунова как более определенное подтверждение хаотического поведения, авторы обнаружили, что они не могут сделать это надежно. [155]
В своей статье 1995 года Меткалф и Аллен [156] утверждали, что они обнаружили в поведении животных закономерность удвоения периода, приводящую к хаосу. Авторы исследовали хорошо известную реакцию, называемую полидипсией, вызванной расписанием, при которой животное, лишенное пищи в течение определенного периода времени, будет пить необычное количество воды, когда пища наконец будет представлена. Параметром управления (r), действующим здесь, была длительность интервала между кормлениями после возобновления. Авторы были осторожны, чтобы протестировать большое количество животных и включить много репликаций, и они спроектировали свой эксперимент таким образом, чтобы исключить вероятность того, что изменения в закономерностях реакции были вызваны различными исходными точками для r.
Временные ряды и графики первой задержки обеспечивают наилучшую поддержку сделанным заявлениям, показывая довольно четкий переход от периодичности к нерегулярности по мере увеличения времени кормления. Различные графики фазовых траекторий и спектральные анализы, с другой стороны, недостаточно хорошо согласуются с другими графиками или с общей теорией, чтобы неумолимо привести к хаотическому диагнозу. Например, фазовые траектории не показывают определенного прогрессирования в сторону все большей и большей сложности (и от периодичности); процесс кажется довольно запутанным. Кроме того, там, где Меткалф и Аллен увидели периоды два и шесть на своих спектральных графиках, есть место для альтернативных интерпретаций. Вся эта неоднозначность требует некоторого извилистого, постфактум объяснения, чтобы показать, что результаты соответствуют хаотической модели.
Адаптировав модель карьерного консультирования, включив в нее хаотическую интерпретацию взаимоотношений между сотрудниками и рынком труда, Амундсон и Брайт обнаружили, что людям, борющимся с карьерными решениями, можно дать лучшие предложения. [157] Современные организации все чаще рассматриваются как открытые сложные адаптивные системы с фундаментальными естественными нелинейными структурами, подверженные внутренним и внешним силам, которые могут способствовать хаосу. Например, формирование команды и развитие группы все чаще исследуются как изначально непредсказуемая система, поскольку неопределенность разных людей, встречающихся впервые, делает траекторию команды неизвестной. [158]
Некоторые говорят, что метафора хаоса, используемая в вербальных теориях, основанная на математических моделях и психологических аспектах человеческого поведения, дает полезные идеи для описания сложности небольших рабочих групп, которые выходят за рамки самой метафоры. [159]
Прогнозирование трафика может выиграть от применения теории хаоса. Более точные прогнозы того, когда возникнет затор, позволят принять меры по его рассеиванию до того, как он возникнет. Объединение принципов теории хаоса с несколькими другими методами привело к более точной модели краткосрочного прогнозирования (см. график модели трафика BML справа). [160]
Теория хаоса была применена к данным о круговороте воды в окружающей среде (также гидрологическим данным), таким как осадки и сток. [161] Эти исследования дали противоречивые результаты, поскольку методы обнаружения хаотической сигнатуры часто относительно субъективны. Ранние исследования, как правило, «успешно» обнаруживали хаос, тогда как последующие исследования и метаанализы поставили эти исследования под сомнение и дали объяснения того, почему эти наборы данных, скорее всего, не будут иметь низкоразмерную хаотическую динамику. [162]
^ "теория хаоса | Определение и факты". Encyclopedia Britannica . Получено 24.11.2019 .
^ abc "Что такое теория хаоса? – Фрактальная основа" . Получено 24.11.2019 .
^ Weisstein, Eric W. "Хаос". mathworld.wolfram.com . Получено 24.11.2019 .
^ Boeing, Geoff (26 марта 2015 г.). «Теория хаоса и логистическая карта» . Получено 17 мая 2020 г.
^ abc Лоренц, Эдвард (1993). Сущность хаоса . Издательство Вашингтонского университета. С. 181–206.
^ abc Шен, Бо-Вен; Пильке, Роджер А.; Цзэн, Сюбин; Цуй, Цзялинь; Фаги-Наини, Сара; Паксон, Вэй; Атлас, Роберт (2022-07-04). «Три вида эффектов бабочки в моделях Лоренца». Энциклопедия . 2 (3): 1250–1259. doi : 10.3390/encyclopedia2030084 . ISSN 2673-8392. Текст скопирован из этого источника, который доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International.
^ Келлерт, Стивен Х. (1993). Вслед за хаосом: непредсказуемый порядок в динамических системах . Издательство Чикагского университета. стр. 32. ISBN978-0-226-42976-2.
^ abcd Бишоп, Роберт (2017), «Хаос», в Zalta, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (весеннее издание 2017 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , получено 24 ноября 2019 г.
^ Келлерт 1993, стр. 56
^ Келлерт 1993, стр. 62
^ ab Werndl, Charlotte (2009). «Каковы новые следствия хаоса для непредсказуемости?». Британский журнал философии науки . 60 (1): 195–220. arXiv : 1310.1576 . doi : 10.1093/bjps/axn053. S2CID 354849.
^ Дэнфорт, Кристофер М. (апрель 2013 г.). «Хаос в атмосфере, висящей на стене». Математика планеты Земля 2013 г. Получено 12 июня 2018 г.
^ ab Лоренц, Эдвард Н. (1963). "Детерминированный непериодический поток". Журнал атмосферных наук . 20 (2): 130–141. Bibcode :1963JAtS...20..130L. doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 .
^ Иванчевич, Владимир Г.; Тияна Т. Иванчевич (2008). Сложная нелинейность: хаос, фазовые переходы, изменение топологии и интегралы по траектории . Springer. ISBN978-3-540-79356-4.
^ ab Mosko MS, Damon FH (Eds.) (2005). О порядке хаоса. Социальная антропология и наука о хаосе . Оксфорд: Berghahn Books.
^ ab Piotrowski, Chris. «Пандемия Covid-19 и теория хаоса: приложения, основанные на библиометрическом анализе». researchgate.net . Получено 13 мая 2020 г.
^ ab Weinberger, David (2019). Повседневный хаос – технологии, сложность и как мы процветаем в новом мире возможностей. Harvard Business Review Press. ISBN9781633693968.
^ Стрелиофф, Кристофер и др. (2006). «Среднесрочное прогнозирование хаоса». Phys. Rev. Lett . 96 (4): 044101. Bibcode : 2006PhRvL..96d4101S. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.044101. PMID 16486826.
^ abc Шен, Бо-Вен (2019-03-01). «Агрегированная отрицательная обратная связь в обобщенной модели Лоренца». Международный журнал бифуркации и хаоса . 29 (3): 1950037–1950091. Bibcode : 2019IJBC...2950037S. doi : 10.1142/S0218127419500378 . ISSN 0218-1274. S2CID 132494234.
^ abc Шен, Бо-Вен; Пильке, Роджер А.; Цзэн, Сюбин; Байк, Чон-Джин; Фаги-Наини, Сара; Куй, Цзялинь; Атлас, Роберт (2021-01-01). «Является ли погода хаотичной?: Сосуществование хаоса и порядка в рамках обобщенной модели Лоренца». Бюллетень Американского метеорологического общества . 102 (1): E148–E158. Bibcode : 2021BAMS..102E.148S. doi : 10.1175/BAMS-D-19-0165.1 . ISSN 0003-0007. S2CID 208369617.
^ ab Shen, Bo-Wen; Pielke Sr., Roger Pielke; Zeng, Xubin; Cui, Jialin; Faghih-Naini, Sara; Paxson, Wei; Kesarkar, Amit; Zeng, Xiping; Atlas, Robert (12.11.2022). "Двойственная природа хаоса и порядка в атмосфере". Атмосфера . 13 (11): 1892. Bibcode : 2022Atmos..13.1892S. doi : 10.3390/atmos13111892 . ISSN 2073-4433.
^ Йорк, Джеймс А.; Йорк, Эллен Д. (1979-09-01). «Метастабильный хаос: переход к устойчивому хаотическому поведению в модели Лоренца». Журнал статистической физики . 21 (3): 263–277. Bibcode :1979JSP....21..263Y. doi :10.1007/BF01011469. ISSN 1572-9613. S2CID 12172750.
^ Шен, Бо-Вен; Пильке-старший, РА; Цзэн, X.; Байк, Дж.-Дж.; Фаги-Наини, С.; Куй, Дж.; Атлас, Р.; Рейес, ТАЛ (2021). «Является ли погода хаотичной? Сосуществование хаотических и нехаотических аттракторов в моделях Лоренца». В Skiadas, Христос Х.; Димотикалис, Яннис (ред.). 13-я Международная конференция по хаотическому моделированию и имитации . Труды Springer по сложности. Cham: Springer International Publishing. стр. 805–825. doi :10.1007/978-3-030-70795-8_57. ISBN978-3-030-70795-8. S2CID 245197840.
^ Sprott, JC (1997). "Простейший диссипативный хаотический поток". Physics Letters A. 228 ( 4–5): 271–274. Bibcode :1997PhLA..228..271S. doi :10.1016/S0375-9601(97)00088-1.
^ Fu, Z.; Heidel, J. (1997). "Нехаотическое поведение в трехмерных квадратичных системах". Нелинейность . 10 (5): 1289–1303. Bibcode :1997Nonli..10.1289F. doi :10.1088/0951-7715/10/5/014. S2CID 250757113.
^ Heidel, J.; Fu, Z. (1999). "Нехаотическое поведение в трехмерных квадратичных системах II. Консервативный случай". Нелинейность . 12 (3): 617–633. Bibcode :1999Nonli..12..617H. doi :10.1088/0951-7715/12/3/012. S2CID 250853499.
^ Бонет, Дж.; Мартинес-Хименес, Ф.; Перис, А. (2001). «Банахово пространство, не допускающее хаотических операторов». Бюллетень Лондонского математического общества . 33 (2): 196–8. doi :10.1112/blms/33.2.196. S2CID 121429354.
^ Шен, Бо-Вен (2014-05-01). «Нелинейная обратная связь в пятимерной модели Лоренца». Журнал атмосферных наук . 71 (5): 1701–1723. Bibcode :2014JAtS...71.1701S. doi :10.1175/JAS-D-13-0223.1. ISSN 0022-4928. S2CID 123683839.
^ Musielak, Dora E.; Musielak, Zdzislaw E.; Kennamer, Kenny S. (2005-03-01). «Начало хаоса в нелинейных динамических системах, определяемое с помощью новой фрактальной техники». Fractals . 13 (1): 19–31. doi :10.1142/S0218348X0500274X. ISSN 0218-348X.
^ Рой, Д.; Мусиелак, З.Е. (2007-05-01). «Обобщенные модели Лоренца и их пути к хаосу. I. Энергосберегающие вертикальные усечения мод». Хаос, солитоны и фракталы . 32 (3): 1038–1052. Bibcode : 2007CSF....32.1038R. doi : 10.1016/j.chaos.2006.02.013. ISSN 0960-0779.
^ Адачихара, Х.; Маклафлин, Д.У.; Молони, Дж.В.; Ньюэлл, А.С. (1988). «Уединенные волны как неподвижные точки бесконечномерных отображений для оптического бистабильного кольцевого резонатора: анализ». Журнал математической физики . 29 (1): 63. Bibcode : 1988JMP....29...63A. doi : 10.1063/1.528136.
^ Окулов, А. Ю.; Ораевский, А. Н. (1988). «Пространственно-временная динамика волнового пакета в нелинейной среде и дискретные отображения». В Н. Г. Басов (ред.). Труды Физического института им. П. Н. Лебедева. Т. 187. Наука. С. 202–222. LCCN 88174540.
^Okulov, A Yu (2000). "Spatial soliton laser: geometry and stability". Optics and Spectroscopy. 89 (1): 145–147. Bibcode:2000OptSp..89..131O. doi:10.1134/BF03356001. S2CID 122790937.
^K. E. Chlouverakis and J. C. Sprott, Chaos Solitons & Fractals 28, 739–746 (2005), Chaotic Hyperjerk Systems, http://sprott.physics.wisc.edu/pubs/paper297.htm
^"A New Chaotic Jerk Circuit", J. C. Sprott, IEEE Transactions on Circuits and Systems,2011.
^"Simple Autonomous Chaotic Circuits", J. C. Sprott, IEEE Transactions on Circuits and Systems—II: Express Briefs, 2010.
^"Secure Image Encryption Based On a Chua Chaotic Noise Generator", A. S. Andreatos*, and A. P. Leros, Journal of Engineering Science and Technology Review, 2013.
^Steven Strogatz, Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order, Hyperion, 2003.
^Ovchinnikov, I.V. (2024-02-15). "Ubiquitous order known as chaos". Chaos, Solitons & Fractals. 181 (5): 114611. Bibcode:2024CSF...18114611O. doi:10.1016/j.chaos.2024.114611. ISSN 0960-0779.
^Hunt, Brian R.; Yorke, James A. (1993). "Maxwell on Chaos" (PDF). Nonlinear Science Today. 3 (1).
^Everitt, Francis (2006-12-01). "James Clerk Maxwell: a force for physics". Physics World. Retrieved 2023-11-03.
^Gardini, Laura; Grebogi, Celso; Lenci, Stefano (2020-10-01). "Chaos theory and applications: a retrospective on lessons learned and missed or new opportunities". Nonlinear Dynamics. 102 (2): 643–644. doi:10.1007/s11071-020-05903-0. hdl:2164/17003. ISSN 1573-269X. S2CID 225246631.
^Poincaré, Jules Henri (1890). "Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Divergence des séries de M. Lindstedt". Acta Mathematica. 13 (1–2): 1–270. doi:10.1007/BF02392506.
^Poincaré, J. Henri (2017). The three-body problem and the equations of dynamics : Poincaré's foundational work on dynamical systems theory. Popp, Bruce D. (Translator). Cham, Switzerland: Springer International Publishing. ISBN 9783319528984. OCLC 987302273.
^Diacu, Florin; Holmes, Philip (1996). Celestial Encounters: The Origins of Chaos and Stability. Princeton University Press.
^Hadamard, Jacques (1898). "Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodesiques". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 4: 27–73.
^George D. Birkhoff, Dynamical Systems, vol. 9 of the American Mathematical Society Colloquium Publications (Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1927)
^Kolmogorov, A. N. (1941). "On degeneration of isotropic turbulence in an incompressible viscous liquid". Doklady Akademii Nauk SSSR. 31 (6): 538–540. Reprinted in: Kolmogorov, A. N. (1991). "Dissipation of Energy in the Locally Isotropic Turbulence". Proceedings of the Royal Society A. 434 (1890): 15–17. Bibcode:1991RSPSA.434...15K. doi:10.1098/rspa.1991.0076. S2CID 122060992.
^Kolmogorov, A. N. (1979). "Preservation of conditionally periodic movements with small change in the Hamilton function". Stochastic Behavior in Classical and Quantum Hamiltonian Systems. Lecture Notes in Physics. Vol. 93. pp. 51–56. Bibcode:1979LNP....93...51K. doi:10.1007/BFb0021737. ISBN 978-3-540-09120-2. Translation of Doklady Akademii Nauk SSSR (1954) 98: 527. See also Kolmogorov–Arnold–Moser theorem
^Cartwright, Mary L.; Littlewood, John E. (1945). "On non-linear differential equations of the second order, I: The equation y" + k(1−y2)y' + y = bλkcos(λt + a), k large". Journal of the London Mathematical Society. 20 (3): 180–9. doi:10.1112/jlms/s1-20.3.180. See also: Van der Pol oscillator
^Smale, Stephen (January 1960). "Morse inequalities for a dynamical system". Bulletin of the American Mathematical Society. 66: 43–49. doi:10.1090/S0002-9904-1960-10386-2.
^Chirikov, Boris. "РЕЗОНАНСНЫЕ ПРОЦЕССЫ В МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ" (PDF). Атомная энергия. 6.
^Chirikov, B. V. (1960-12-01). "Resonance processes in magnetic traps". The Soviet Journal of Atomic Energy. 6 (6): 464–470. doi:10.1007/BF01483352. ISSN 1573-8205. S2CID 59483478.
^Jean, Bellissard; Dima, Shepelyansky (27 February 1998). "Boris Chirikov, a pioneer in classical and quantum chaos" (PDF). Annales Henri Poincaré. 68 (4): 379.
^Bellissard, J.; Bohigas, O.; Casati, G.; Shepelyansky, D.L. (1 July 1999). "A pioneer of chaos". Physica D: Nonlinear Phenomena. 131 (1–4): viii–xv. Bibcode:1999PhyD..131D...8B. doi:10.1016/s0167-2789(99)90007-6. ISSN 0167-2789. S2CID 119107150.
^Shepelyansky, Dima. Chaos at Fifty Four in 2013. OCLC 859751750.
^Abraham & Ueda 2000, See Chapters 3 and 4
^Sprott 2003, p. 89
^ Сокол, Джошуа (20 мая 2019 г.). «Скрытые героини хаоса». Журнал Quanta . Получено 09.11.2022 .
^ Бергер Дж. М.; Мандельброт Б. (1963). «Новая модель кластеризации ошибок в телефонных цепях». IBM Journal of Research and Development . 7 (3): 224–236. doi :10.1147/rd.73.0224.
^ Мандельброт, Б. (1977). Фрактальная геометрия природы . Нью-Йорк: Freeman. С. 248.
^ См. также: Mandelbrot, Benoît B.; Hudson, Richard L. (2004). (Не)правильное поведение рынков: фрактальный взгляд на риск, разорение и вознаграждение . Нью-Йорк: Basic Books. стр. 201. ISBN 9780465043552.
^ Мандельброт, Бенуа (5 мая 1967 г.). «Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность». Science . 156 (3775): 636–8. Bibcode :1967Sci...156..636M. doi :10.1126/science.156.3775.636. PMID 17837158. S2CID 15662830. Архивировано из оригинала 19 октября 2021 г. Получено 31 января 2022 г.
^ Мандельброт, Б. (1982). Фрактальная геометрия природы. Нью-Йорк: Macmillan. ISBN978-0716711865.
^ Фейгенбаум, Митчелл (июль 1978 г.). «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований». Журнал статистической физики . 19 (1): 25–52. Bibcode :1978JSP....19...25F. CiteSeerX 10.1.1.418.9339 . doi :10.1007/BF01020332. S2CID 124498882.
^ Кулле, Пьер и Шарль Трессер. «Итерации эндоморфизмов и групп перенормировок». Le Journal de Physique Colloques 39.C5 (1978): C5-25
^ "Премия Вольфа по физике в 1986 году". Архивировано из оригинала 2024-05-25 . Получено 2008-01-17 .
^ Huberman, BA (июль 1987). "Модель дисфункций в плавном следящем движении глаз". Annals of the New York Academy of Sciences . 504 Perspectives in Biological Dynamics and Theoretical Medicine (1): 260–273. Bibcode :1987NYASA.504..260H. doi :10.1111/j.1749-6632.1987.tb48737.x. PMID 3477120. S2CID 42733652.
^ Бак, Пер; Тан, Чао; Визенфельд, Курт (27 июля 1987 г.). «Самоорганизованная критичность: объяснение шума 1/f». Physical Review Letters . 59 (4): 381–4. Bibcode :1987PhRvL..59..381B. doi :10.1103/PhysRevLett.59.381. PMID 10035754. S2CID 7674321.Однако выводы этой статьи стали предметом споров. "?". Архивировано из оригинала 2007-12-14.. См. в частности: Laurson, Lasse; Alava, Mikko J.; Zapperi, Stefano (15 сентября 2005 г.). "Письмо: Спектры мощности самоорганизованных критических песчаных куч". Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 0511 . L001.
^ Омори, Ф. (1894). «О толчках после землетрясений». Журнал Колледжа наук, Императорский университет Токио . 7 : 111–200.
^ ab Gleick, James (26 августа 2008 г.). Хаос: Создание новой науки . Penguin Books. ISBN978-0143113454.
^ Киль, Л.; Эллиотт, Юэль, ред. (1996). Теория хаоса в социальных науках: основы и приложения . Энн-Арбор, Мичиган: Издательство Мичиганского университета. doi : 10.3998/mpub.14623. hdl : 2027/fulcrum.d504rm03n. ISBN9780472106387.
^ Чен, Г.-Р. (2020-01-01). "Эффект бабочки и хаос" (PDF) . Получено 1 июля 2023 г.
^ Шен, Бо-Вен; Пильке, старший, Роджер; Цзэн, Сюбин (2023-08-12). «50-я годовщина метафорического эффекта бабочки со времен Лоренца (1972): мультистабильность, многомасштабная предсказуемость и чувствительность в численных моделях». Атмосфера . 14 (8): 1279. Bibcode : 2023Atmos..14.1279S. doi : 10.3390/atmos14081279 .
^ Шен, Бо-Вен (2023-09-04). «Обзор моделей Лоренца с 1960 по 2008 год». Международный журнал бифуркации и хаоса . 33 (10): 2330024–2330220. Bibcode : 2023IJBC...3330024S. doi : 10.1142/S0218127423300240. S2CID 261548506.
^ Лоренц, EN (1964). «Проблема выведения климата из основных уравнений». Tellus . 16 (1): 1–11. Bibcode : 1964Tell...16....1L. doi : 10.3402/tellusa.v16i1.8893 .
^ Шен, Бо-Вен; Пильке-старший, Роджер; Цзэн, Сюбин, ред. (11.10.2023). 50-я годовщина эффекта метафорической бабочки со времен Лоренца (1972): мультистабильность, многомасштабная предсказуемость и чувствительность в численных моделях. MDPI. doi : 10.3390/books978-3-0365-8911-4 . ISBN978-3-0365-8911-4.
^ ab Lorenz, EN (декабрь 2008 г.). "Эффект бабочки. Лекция по случаю вручения премии Premio Felice Pietro Chisesi E Caterina Thomassoni; Римский университет: Рим, Италия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 10 июня 2023 г. Получено 29 января 2023 г.
^ Шен, Бо-Вэнь (20 февраля 2023 г.). «Популярная, но неточная аналогия хаоса и эффекта бабочки». YouTube . Получено 21.02.2023 .
^ Сайки, Ёситака; Йорк, Джеймс А. (2023-05-02). «Может ли взмах крыльев бабочки переместить торнадо в Техас — без хаоса?». Атмосфера . 14 (5): 821. Bibcode : 2023Atmos..14..821S. doi : 10.3390/atmos14050821 . ISSN 2073-4433.
^ Стивен Кумбс (февраль 2009 г.). «Геометрия и пигментация ракушек» (PDF) . www.maths.nottingham.ac.uk . Ноттингемский университет . Архивировано (PDF) из оригинала 2013-11-05 . Получено 2013-04-10 .
^ Kyrtsou C.; Labys W. (2006). «Доказательства хаотической зависимости между инфляцией в США и ценами на сырьевые товары». Журнал макроэкономики . 28 (1): 256–266. doi :10.1016/j.jmacro.2005.10.019.
^ Kyrtsou C., Labys W.; Labys (2007). «Обнаружение положительной обратной связи в многомерных временных рядах: случай цен на металлы и инфляции в США». Physica A. 377 ( 1): 227–229. Bibcode : 2007PhyA..377..227K. doi : 10.1016/j.physa.2006.11.002.
^ Кирцоу, К.; Ворлов, К. (2005). «Сложная динамика в макроэкономике: новый подход». В Diebolt, К.; Кирцоу, К. (ред.). Новые тенденции в макроэкономике . Springer Verlag.
^ Эрнандес-Акоста, Массачусетс; Трехо-Вальдес, М.; Кастро-Чакон, Дж. Х.; Мигель, ЧР Торрес-Сан; Мартинес-Гутьеррес, Х. (2018). «Хаотические характеристики фотопроводящих наноструктур Cu 2 ZnSnS 4, исследованных аттракторами Лоренца». Новый журнал физики . 20 (2): 023048. Бибкод : 2018NJPh...20b3048H. дои : 10.1088/1367-2630/aaad41 . ISSN 1367-2630.
^ "Применение теории хаоса к встроенным приложениям". Архивировано из оригинала 9 августа 2011 г.
^ Христу-Варсакелис, Д.; Кирцоу, К. (2008). «Доказательства нелинейной асимметричной причинности в инфляции в США, доходности металлов и акций». Дискретная динамика в природе и обществе . 2008 : 1–7. doi : 10.1155/2008/138547 . 138547.
^ Kyrtsou, C.; M. Terraza (2003). «Возможно ли изучать хаотическое и ARCH-поведение совместно? Применение шумного уравнения Макки-Гласса с гетероскедастическими ошибками к ряду доходностей Парижской фондовой биржи». Computational Economics . 21 (3): 257–276. doi :10.1023/A:1023939610962. S2CID 154202123.
^ Грегори-Уильямс, Джастин; Уильямс, Билл (2004). Торговый хаос: максимизируйте прибыль с помощью проверенных технических приемов (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN9780471463085.
^ Питерс, Эдгар Э. (1994). Фрактальный анализ рынка: применение теории хаоса к инвестициям и экономике (2-е печатное издание). New York ua: Wiley. ISBN978-0471585244.
^ Питерс, / Эдгар Э. (1996). Хаос и порядок на рынках капитала: новый взгляд на циклы, цены и волатильность рынка (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN978-0471139386.
^ Хаблер, А.; Фелпс, К. (2007). «Руководство саморегулирующейся системой через хаос». Сложность . 13 (2): 62. Bibcode : 2007Cmplx..13b..62W. doi : 10.1002/cplx.20204.
^ Гериг, А. (2007). «Хаос в одномерном сжимаемом потоке». Physical Review E. 75 ( 4): 045202. arXiv : nlin/0701050 . Bibcode : 2007PhRvE..75d5202G. doi : 10.1103/PhysRevE.75.045202. PMID 17500951. S2CID 45804559.
^ Wotherspoon, T.; Hubler, A. (2009). «Адаптация к границе хаоса в самонастраивающейся логистической карте». Журнал физической химии A. 113 ( 1): 19–22. Bibcode :2009JPCA..113...19W. doi :10.1021/jp804420g. PMID 19072712.
^ Бородкин, Леонид И. (2019). «Вызовы нестабильности: концепции синергетики в изучении исторического развития России». Уральский исторический журнал . 63 (2): 127–136. doi : 10.30759/1728-9718-2019-2(63)-127-136 .
^ Progonati, E (2018). «Brexit в свете теории хаоса и некоторые предположения о будущем Европейского союза». Хаос, сложность и лидерство 2018 года исследования хаотической и сложной теории . Springer. ISBN978-3-030-27672-0.
^ Дилао, Р.; Домингос, Т. (2001). «Периодическое и квазипериодическое поведение в моделях популяций, зависящих от ресурсов и возраста». Бюллетень математической биологии . 63 (2): 207–230. doi :10.1006/bulm.2000.0213. PMID 11276524. S2CID 697164.
^ ab Ахаван, А.; Самсудин, А.; Ахшани, А. (2011-10-01). «Симметричная схема шифрования изображений, основанная на сочетании нелинейных хаотических отображений». Журнал Института Франклина . 348 (8): 1797–1813. doi :10.1016/j.jfranklin.2011.05.001.
^ Behnia, S.; Akhshani, A.; Mahmodi, H.; Akhavan, A. (2008-01-01). "Новый алгоритм шифрования изображений на основе смеси хаотических карт". Chaos, Solitons & Fractals . 35 (2): 408–419. Bibcode : 2008CSF....35..408B. doi : 10.1016/j.chaos.2006.05.011.
^ Ван, Синюань; Чжао, Цзяньфэн (2012). «Улучшенный протокол согласования ключей на основе хаоса». Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul . 15 (12): 4052–4057. Bibcode :2010CNSNS..15.4052W. doi :10.1016/j.cnsns.2010.02.014.
^Babaei, Majid (2013). "A novel text and image encryption method based on chaos theory and DNA computing". Natural Computing. 12 (1): 101–107. doi:10.1007/s11047-012-9334-9. S2CID 18407251.
^Akhavan, A.; Samsudin, A.; Akhshani, A. (2017-10-01). "Cryptanalysis of an image encryption algorithm based on DNA encoding". Optics & Laser Technology. 95: 94–99. Bibcode:2017OptLT..95...94A. doi:10.1016/j.optlastec.2017.04.022.
^Xu, Ming (2017-06-01). "Cryptanalysis of an Image Encryption Algorithm Based on DNA Sequence Operation and Hyper-chaotic System". 3D Research. 8 (2): 15. Bibcode:2017TDR.....8..126X. doi:10.1007/s13319-017-0126-y. ISSN 2092-6731. S2CID 125169427.
^Liu, Yuansheng; Tang, Jie; Xie, Tao (2014-08-01). "Cryptanalyzing a RGB image encryption algorithm based on DNA encoding and chaos map". Optics & Laser Technology. 60: 111–115. arXiv:1307.4279. Bibcode:2014OptLT..60..111L. doi:10.1016/j.optlastec.2014.01.015. S2CID 18740000.
^Nehmzow, Ulrich; Keith Walker (Dec 2005). "Quantitative description of robot–environment interaction using chaos theory" (PDF). Robotics and Autonomous Systems. 53 (3–4): 177–193. CiteSeerX10.1.1.105.9178. doi:10.1016/j.robot.2005.09.009. Archived from the original (PDF) on 2017-08-12. Retrieved 2017-10-25.
^Goswami, Ambarish; Thuilot, Benoit; Espiau, Bernard (1998). "A Study of the Passive Gait of a Compass-Like Biped Robot: Symmetry and Chaos". The International Journal of Robotics Research. 17 (12): 1282–1301. CiteSeerX10.1.1.17.4861. doi:10.1177/027836499801701202. S2CID 1283494.
^Eduardo, Liz; Ruiz-Herrera, Alfonso (2012). "Chaos in discrete structured population models". SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 11 (4): 1200–1214. doi:10.1137/120868980.
^Lai, Dejian (1996). "Comparison study of AR models on the Canadian lynx data: a close look at BDS statistic". Computational Statistics & Data Analysis. 22 (4): 409–423. doi:10.1016/0167-9473(95)00056-9.
^Sivakumar, B (31 January 2000). "Chaos theory in hydrology: important issues and interpretations". Journal of Hydrology. 227 (1–4): 1–20. Bibcode:2000JHyd..227....1S. doi:10.1016/S0022-1694(99)00186-9.
^ a b cPerry, Joe; Smith, Robert; Woiwod, Ian; Morse, David (2000). Perry, Joe N; Smith, Robert H; Woiwod, Ian P; Morse, David R (eds.). Chaos in Real Data : The Analysis of Non-Linear Dynamics from Short Ecological Time Series. Population and Community Biology Series (1 ed.). Springer Science+Business Media Dordrecht. pp. xii+226. doi:10.1007/978-94-011-4010-2. ISBN 978-94-010-5772-1. S2CID 37855255.
^ a b c Thompson, John; Burdon, Jeremy (1992). "Gene-for-gene coevolution between plants and parasites". Review Article. Nature. 360 (6400). Nature Publishing Group: 121–125. Bibcode:1992Natur.360..121T. doi:10.1038/360121a0. eISSN 1476-4687. ISSN 0028-0836. S2CID 4346920.
^Juárez, Fernando (2011). "Applying the theory of chaos and a complex model of health to establish relations among financial indicators". Procedia Computer Science. 3: 982–986. doi:10.1016/j.procs.2010.12.161.
^Brooks, Chris (1998). "Chaos in foreign exchange markets: a sceptical view" (PDF). Computational Economics. 11 (3): 265–281. doi:10.1023/A:1008650024944. ISSN 1572-9974. S2CID 118329463. Archived (PDF) from the original on 2017-08-09.
^Orlando, Giuseppe; Zimatore, Giovanna (18 December 2017). "RQA correlations on real business cycles time series". Indian Academy of Sciences – Conference Series. 1 (1): 35–41. doi:10.29195/iascs.01.01.0009.
^Orlando, Giuseppe; Zimatore, Giovanna (1 May 2018). "Recurrence quantification analysis of business cycles". Chaos, Solitons & Fractals. 110: 82–94. Bibcode:2018CSF...110...82O. doi:10.1016/j.chaos.2018.02.032. ISSN 0960-0779. S2CID 85526993.
^Orlando, Giuseppe; Zimatore, Giovanna (1 August 2020). "Business cycle modeling between financial crises and black swans: Ornstein–Uhlenbeck stochastic process vs Kaldor deterministic chaotic model". Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 30 (8): 083129. Bibcode:2020Chaos..30h3129O. doi:10.1063/5.0015916. PMID 32872798. S2CID 235909725.
^The Feasibility of a Global Observation and Analysis Experiment. 1966-01-01. doi:10.17226/21272. ISBN 978-0-309-35922-1.
^Shen, Bo-Wen; Pielke, Roger A.; Zeng, Xubin; Zeng, Xiping (2024-07-16). "Exploring the Origin of the Two-Week Predictability Limit: A Revisit of Lorenz's Predictability Studies in the 1960s". Atmosphere. 15 (7): 837. doi:10.3390/atmos15070837. ISSN 2073-4433.
^Salinas, Abel; Morstatter, Fred (2024-01-01). "The Butterfly Effect of Altering Prompts: How Small Changes and Jailbreaks Affect Large Language Model Performance". arXiv:2401.03729 [cs.CL].
^Li, Mengshan; Xingyuan Huanga; Hesheng Liua; Bingxiang Liub; Yan Wub; Aihua Xiongc; Tianwen Dong (25 October 2013). "Prediction of gas solubility in polymers by back propagation artificial neural network based on self-adaptive particle swarm optimization algorithm and chaos theory". Fluid Phase Equilibria. 356: 11–17. Bibcode:2013FlPEq.356...11L. doi:10.1016/j.fluid.2013.07.017.
^Morbidelli, A. (2001). "Chaotic diffusion in celestial mechanics". Regular & Chaotic Dynamics. 6 (4): 339–353. doi:10.1070/rd2001v006n04abeh000182.
^Steven Strogatz, Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order, Hyperion, 2003
^Dingqi, Li; Yuanping Chenga; Lei Wanga; Haifeng Wanga; Liang Wanga; Hongxing Zhou (May 2011). "Prediction method for risks of coal and gas outbursts based on spatial chaos theory using gas desorption index of drill cuttings". Mining Science and Technology. 21 (3): 439–443. Bibcode:2011MiSTC..21..439L. doi:10.1016/j.mstc.2011.05.010.
^Glass, L (1997). "Dynamical disease: The impact of nonlinear dynamics and chaos on cardiology and medicine". In Grebogi, C; Yorke, J. A. (eds.). The impact of chaos on science and society. United Nations University Press.
^Mandell, A. J.; Selz, K. A. (1997). "Is the EEG a strange attractor?". In Grebogi, C; Yorke, J. A. (eds.). The impact of chaos on science and society. United Nations University Press.
^Dal Forno, Arianna; Merlone, Ugo (2013). "Nonlinear dynamics in work groups with Bion's basic assumptions". Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences. 17 (2): 295–315. ISSN 1090-0578. PMID 23517610.
^Redington, D. J.; Reidbord, S. P. (1992). "Chaotic dynamics in autonomic nervous system activity of a patient during a psychotherapy session". Biological Psychiatry. 31 (10): 993–1007. doi:10.1016/0006-3223(92)90093-F. PMID 1511082. S2CID 214722.
^Metcalf, B. R.; Allen, J. D. (1995). "In search of chaos in schedule-induced polydipsia". In Abraham, F. D.; Gilgen, A. R. (eds.). Chaos theory in psychology. Greenwood Press.
^Pryor, Robert G. L.; Norman E. Amundson; Jim E. H. Bright (June 2008). "Probabilities and Possibilities: The Strategic Counseling Implications of the Chaos Theory of Careers". The Career Development Quarterly. 56 (4): 309–318. doi:10.1002/j.2161-0045.2008.tb00096.x.
^Thompson, Jamie; Johnstone, James; Banks, Curt (2018). "An examination of initiation rituals in a UK sporting institution and the impact on group development". European Sport Management Quarterly. 18 (5): 544–562. doi:10.1080/16184742.2018.1439984. S2CID 149352680.
^Dal Forno, Arianna; Merlone, Ugo (2013). "Chaotic Dynamics in Organization Theory". In Bischi, Gian Italo; Chiarella, Carl; Shusko, Irina (eds.). Global Analysis of Dynamic Models in Economics and Finance. Springer-Verlag. pp. 185–204. ISBN 978-3-642-29503-4.
^Wang, Jin; Qixin Shi (February 2013). "Short-term traffic speed forecasting hybrid model based on Chaos–Wavelet Analysis-Support Vector Machine theory". Transportation Research Part C: Emerging Technologies. 27: 219–232. Bibcode:2013TRPC...27..219W. doi:10.1016/j.trc.2012.08.004.
^"Dr. Gregory B. Pasternack – Watershed Hydrology, Geomorphology, and Ecohydraulics :: Chaos in Hydrology". pasternack.ucdavis.edu. Retrieved 2017-06-12.
^Pasternack, Gregory B. (1999-11-01). "Does the river run wild? Assessing chaos in hydrological systems". Advances in Water Resources. 23 (3): 253–260. Bibcode:1999AdWR...23..253P. doi:10.1016/s0309-1708(99)00008-1.
Further reading
Articles
Sharkovskii, A.N. (1964). "Co-existence of cycles of a continuous mapping of the line into itself". Ukrainian Math. J. 16: 61–71.
Alemansour, Hamed; Miandoab, Ehsan Maani; Pishkenari, Hossein Nejat (March 2017). "Effect of size on the chaotic behavior of nano resonators". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 44: 495–505. Bibcode:2017CNSNS..44..495A. doi:10.1016/j.cnsns.2016.09.010.
Crutchfield; Tucker; Morrison; J.D. Farmer; Packard; N.H.; Shaw; R.S (December 1986). "Chaos". Scientific American. 255 (6): 38–49 (bibliography p.136). Bibcode:1986SciAm.255d..38T. doi:10.1038/scientificamerican1286-46. Online version (Note: the volume and page citation cited for the online text differ from that cited here. The citation here is from a photocopy, which is consistent with other citations found online that don't provide article views. The online content is identical to the hardcopy text. Citation variations are related to country of publication).
Kolyada, S.F. (2004). "Li-Yorke sensitivity and other concepts of chaos". Ukrainian Math. J. 56 (8): 1242–57. doi:10.1007/s11253-005-0055-4. S2CID 207251437.
Strelioff, C.; Hübler, A. (2006). "Medium-Term Prediction of Chaos" (PDF). Phys. Rev. Lett. 96 (4): 044101. Bibcode:2006PhRvL..96d4101S. doi:10.1103/PhysRevLett.96.044101. PMID 16486826. 044101. Archived from the original (PDF) on 2013-04-26.
Hübler, A.; Foster, G.; Phelps, K. (2007). "Managing Chaos: Thinking out of the Box" (PDF). Complexity. 12 (3): 10–13. Bibcode:2007Cmplx..12c..10H. doi:10.1002/cplx.20159. Archived from the original (PDF) on 2012-10-30. Retrieved 2011-07-17.
Motter, Adilson E.; Campbell, David K. (2013). "Chaos at 50". Physics Today. 66 (5): 27. arXiv:1306.5777. Bibcode:2013PhT....66e..27M. doi:10.1063/PT.3.1977. S2CID 54005470.
Textbooks
Alligood, K.T.; Sauer, T.; Yorke, J.A. (1997). Chaos: an introduction to dynamical systems. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94677-1.
Baker, G. L. (1996). Chaos, Scattering and Statistical Mechanics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39511-3.
Badii, R.; Politi A. (1997). Complexity: hierarchical structures and scaling in physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66385-4.
Robinson, Clark (1995). Dynamical systems: Stability, symbolic dynamics, and chaos. CRC Press. ISBN 0-8493-8493-1.
Feldman, D. P. (2012). Chaos and Fractals: An Elementary Introduction. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-956644-0. Archived from the original on 2019-12-31. Retrieved 2016-12-29.
Gollub, J. P.; Baker, G. L. (1996). Chaotic dynamics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-47685-0.
Kautz, Richard (2011). Chaos: The Science of Predictable Random Motion. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-959458-0.
Kiel, L. Douglas; Elliott, Euel W. (1997). Chaos Theory in the Social Sciences. Perseus Publishing. ISBN 978-0-472-08472-2.
Moon, Francis (1990). Chaotic and Fractal Dynamics. Springer-Verlag. ISBN 978-0-471-54571-2.
Orlando, Giuseppe; Pisarchick, Alexander; Stoop, Ruedi (2021). Nonlinearities in Economics. Dynamic Modeling and Econometrics in Economics and Finance. Vol. 29. doi:10.1007/978-3-030-70982-2. ISBN 978-3-030-70981-5. S2CID 239756912.
Ott, Edward (2002). Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01084-9.
Thompson JM, Stewart HB (2001). Nonlinear Dynamics And Chaos. John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-471-87645-8.
Tufillaro; Reilly (1992). An experimental approach to nonlinear dynamics and chaos. American Journal of Physics. Vol. 61. Addison-Wesley. p. 958. Bibcode:1993AmJPh..61..958T. doi:10.1119/1.17380. ISBN 978-0-201-55441-0.
Wiggins, Stephen (2003). Introduction to Applied Dynamical Systems and Chaos. Springer. ISBN 978-0-387-00177-7.
Zaslavsky, George M. (2005). Hamiltonian Chaos and Fractional Dynamics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852604-9.
Semitechnical and popular works
Christophe Letellier, Chaos in Nature, World Scientific Publishing Company, 2012, ISBN 978-981-4374-42-2.
Abraham, Ralph H.; Ueda, Yoshisuke, eds. (2000). The Chaos Avant-Garde: Memoirs of the Early Days of Chaos Theory. World Scientific Series on Nonlinear Science Series A. Vol. 39. World Scientific. Bibcode:2000cagm.book.....A. doi:10.1142/4510. ISBN 978-981-238-647-2.
Barnsley, Michael F. (2000). Fractals Everywhere. Morgan Kaufmann. ISBN 978-0-12-079069-2.
Bird, Richard J. (2003). Chaos and Life: Complexity and Order in Evolution and Thought. Columbia University Press. ISBN 978-0-231-12662-5.
John Briggs and David Peat, Turbulent Mirror: : An Illustrated Guide to Chaos Theory and the Science of Wholeness, Harper Perennial 1990, 224 pp.
John Briggs and David Peat, Seven Life Lessons of Chaos: Spiritual Wisdom from the Science of Change, Harper Perennial 2000, 224 pp.
Cunningham, Lawrence A. (1994). "From Random Walks to Chaotic Crashes: The Linear Genealogy of the Efficient Capital Market Hypothesis". George Washington Law Review. 62: 546.
Peitgen, Heinz-Otto; Richter, Peter H. (1986). The Beauty of Fractals. doi:10.1007/978-3-642-61717-1. ISBN 978-3-642-61719-5.
David Ruelle, Chance and Chaos, Princeton University Press 1993.
Ivars Peterson, Newton's Clock: Chaos in the Solar System, Freeman, 1993.
Ian Roulstone; John Norbury (2013). Invisible in the Storm: the role of mathematics in understanding weather. Princeton University Press. ISBN 978-0691152721.
Ruelle, D. (1989). Chaotic Evolution and Strange Attractors. doi:10.1017/CBO9780511608773. ISBN 9780521362726.
Manfred Schroeder, Fractals, Chaos, and Power Laws, Freeman, 1991.
Smith, Peter (1998). Explaining Chaos. doi:10.1017/CBO9780511554544. ISBN 9780511554544.
Ian Stewart, Does God Play Dice?: The Mathematics of Chaos , Blackwell Publishers, 1990.
Steven Strogatz, Sync: The emerging science of spontaneous order, Hyperion, 2003.
Yoshisuke Ueda, The Road To Chaos, Aerial Pr, 1993.
M. Mitchell Waldrop, Complexity : The Emerging Science at the Edge of Order and Chaos, Simon & Schuster, 1992.
Antonio Sawaya, Financial Time Series Analysis : Chaos and Neurodynamics Approach, Lambert, 2012.
External links
Wikimedia Commons has media related to Chaos theory.
Nonlinear Dynamics Research Group with Animations in Flash
The Chaos group at the University of Maryland
The Chaos Hypertextbook. An introductory primer on chaos and fractals
ChaosBook.org An advanced graduate textbook on chaos (no fractals)
Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences
Nonlinear Dynamics Research Group at CSDC, Florence, Italy
Nonlinear dynamics: how science comprehends chaos, talk presented by Sunny Auyang, 1998.
Nonlinear Dynamics. Models of bifurcation and chaos by Elmer G. Wiens
Gleick's Chaos (excerpt) Archived 2007-02-02 at the Wayback Machine
Systems Analysis, Modelling and Prediction Group at the University of Oxford
A page about the Mackey-Glass equation
High Anxieties — The Mathematics of Chaos (2008) BBC documentary directed by David Malone
The chaos theory of evolution – article published in Newscientist featuring similarities of evolution and non-linear systems including fractal nature of life and chaos.
Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez, Chaos, A Mathematical Adventure. Nine films about dynamical systems, the butterfly effect and chaos theory, intended for a wide audience.
"Chaos Theory", BBC Radio 4 discussion with Susan Greenfield, David Papineau & Neil Johnson (In Our Time, May 16, 2002)
Chaos: The Science of the Butterfly Effect (2019) an explanation presented by Derek Muller
Copyright note
This article incorporates text from a free content work. Licensed under CC-BY (license statement/permission). Text taken from Three Kinds of Butterfly Effects within Lorenz Models, Bo-Wen Shen, Roger A. Pielke, Sr., Xubin Zeng, Jialin Cui, Sara Faghih-Naini, Wei Paxson, and Robert Atlas, MDPI. Encyclopedia.