Математика

Область знаний

Математика — это область изучения, которая открывает и организует методы, теории и теоремы , которые разрабатываются и доказываются для нужд эмпирических наук и самой математики. Существует много областей математики, которые включают теорию чисел (изучение чисел), алгебру (изучение формул и связанных с ними структур), геометрию (изучение фигур и пространств, которые их содержат), анализ (изучение непрерывных изменений) и теорию множеств (в настоящее время используемую в качестве основы для всей математики).

Математика включает в себя описание и манипулирование абстрактными объектами , которые состоят либо из абстракций от природы, либо — в современной математике — из чисто абстрактных сущностей, которые, как предполагается, обладают определенными свойствами, называемыми аксиомами . Математика использует чистый разум для доказательства свойств объектов, доказательство, состоящее из последовательности применений дедуктивных правил к уже установленным результатам. Эти результаты включают ранее доказанные теоремы , аксиомы и — в случае абстракции от природы — некоторые основные свойства, которые считаются истинными отправными точками рассматриваемой теории. ^[1]

Математика имеет важное значение в естественных науках , инженерии , медицине , финансах , информатике и социальных науках . Хотя математика широко используется для моделирования явлений, фундаментальные истины математики не зависят от каких-либо научных экспериментов. Некоторые области математики, такие как статистика и теория игр , развиваются в тесной взаимосвязи с их приложениями и часто группируются в прикладной математике . Другие области развиваются независимо от каких-либо приложений (и поэтому называются чистой математикой ), но часто позже находят практическое применение. ^{[2] [3]}

Исторически концепция доказательства и связанная с ним математическая строгость впервые появились в греческой математике , в частности в «Началах » Евклида . ^[4] С самого начала математика в первую очередь делилась на геометрию и арифметику (манипулирование натуральными числами и дробями ), до XVI и XVII веков, когда алгебра ^[a] и исчисление бесконечно малых были введены как новые области. С тех пор взаимодействие между математическими инновациями и научными открытиями привело к соответствующему росту развития обоих. ^[5] В конце XIX века фундаментальный кризис математики привел к систематизации аксиоматического метода , ^[6] что возвестило о резком увеличении числа математических областей и областей их применения. Современная классификация предметов математики перечисляет более шестидесяти областей математики первого уровня.

Разделы математики

До эпохи Возрождения математика делилась на две основные области: арифметику , занимающуюся манипулированием числами, и геометрию , занимающуюся изучением фигур. ^[7] Некоторые виды псевдонауки , такие как нумерология и астрология , тогда не были четко отделены от математики. ^[8]

В эпоху Возрождения появились еще две области. Математическая нотация привела к алгебре , которая, грубо говоря, состоит из изучения и манипулирования формулами . Исчисление , состоящее из двух подполей дифференциального исчисления и интегрального исчисления , является изучением непрерывных функций , которые моделируют типично нелинейные отношения между переменными величинами, представленными переменными . Это разделение на четыре основные области — арифметику, геометрию, алгебру и исчисление ^[9] — сохранялось до конца 19-го века. Такие области, как небесная механика и механика твердого тела , затем изучались математиками, но теперь считаются принадлежащими физике. ^[10] Предмет комбинаторики изучался на протяжении большей части зафиксированной истории, но не стал отдельной отраслью математики до семнадцатого века. ^[11]

В конце 19-го века фундаментальный кризис в математике и последовавшая за ним систематизация аксиоматического метода привели к взрыву новых областей математики. ^{[12] [6]} Классификация предметов математики 2020 года содержит не менее шестидесяти трех областей первого уровня. ^[13] Некоторые из этих областей соответствуют старому разделению, как это верно в отношении теории чисел (современное название высшей арифметики ) и геометрии. Несколько других областей первого уровня имеют «геометрию» в своих названиях или иным образом обычно считаются частью геометрии. Алгебра и исчисление не появляются как области первого уровня, но соответственно разделены на несколько областей первого уровня. Другие области первого уровня появились в 20-м веке или ранее не считались математикой, такие как математическая логика и основы . ^[14]

Теория чисел

Это спираль Улама , которая иллюстрирует распределение простых чисел . Темные диагональные линии в спирали намекают на предполагаемую приблизительную независимость между простым числом и значением квадратичного многочлена, гипотезу, теперь известную как гипотеза Харди и Литтлвуда F.

Теория чисел началась с манипуляции числами , то есть натуральными числами , а затем была расширена до целых и рациональных чисел. Теория чисел когда-то называлась арифметикой, но в настоящее время этот термин в основном используется для числовых вычислений . ^[15] Теория чисел восходит к древнему Вавилону и, вероятно, Китаю . Двумя выдающимися ранними теоретиками чисел были Евклид из Древней Греции и Диофант из Александрии. ^[16] Современное изучение теории чисел в ее абстрактной форме в значительной степени приписывается Пьеру де Ферма и Леонарду Эйлеру . Полное развитие этой области произошло благодаря вкладу Адриана-Мари Лежандра и Карла Фридриха Гаусса . ^[17] ${\displaystyle (\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ).}$

Многие легко формулируемые числовые проблемы имеют решения, требующие сложных методов, часто из разных областей математики. Ярким примером является Великая теорема Ферма . Эта гипотеза была высказана в 1637 году Пьером де Ферма, но была доказана только в 1994 году Эндрю Уайлсом , который использовал инструменты, включая теорию схем из алгебраической геометрии , теорию категорий и гомологическую алгебру . ^[18] Другим примером является гипотеза Гольдбаха , которая утверждает, что каждое четное целое число, большее 2, является суммой двух простых чисел . Выдвинутая в 1742 году Кристианом Гольдбахом , она остается недоказанной, несмотря на значительные усилия. ^[19]

Теория чисел включает в себя несколько подобластей, включая аналитическую теорию чисел , алгебраическую теорию чисел , геометрию чисел (ориентированную на методы), диофантовы уравнения и теорию трансцендентности (ориентированную на проблемы). ^[14]

Геометрия

На поверхности сферы евклидова геометрия применима только как локальное приближение. Для больших масштабов сумма углов треугольника не равна 180°.

Геометрия — одна из старейших ветвей математики. Она началась с эмпирических рецептов, касающихся форм, таких как линии , углы и окружности , которые были разработаны в основном для нужд геодезии и архитектуры , но с тех пор расцвела во многих других областях. ^[20]

Фундаментальным нововведением было введение древними греками концепции доказательств , которые требуют, чтобы каждое утверждение было доказано . Например, недостаточно проверить измерением , что, скажем, две длины равны; их равенство должно быть доказано посредством рассуждений на основе ранее принятых результатов ( теорем ) и нескольких основных утверждений. Основные утверждения не подлежат доказательству, поскольку они самоочевидны ( постулаты ) или являются частью определения предмета изучения ( аксиомы ). Этот принцип, основополагающий для всей математики, был впервые разработан для геометрии и был систематизирован Евклидом около 300 г. до н. э. в его книге «Начала» . ^{[21] [22]}

Полученная евклидова геометрия является изучением фигур и их расположений, построенных из линий, плоскостей и окружностей на евклидовой плоскости ( планиметрия ) и трехмерном евклидовом пространстве . ^{[b] [20]}

Евклидова геометрия развивалась без изменения методов или области применения до 17-го века, когда Рене Декарт ввел то, что сейчас называется декартовыми координатами . Это представляло собой существенное изменение парадигмы : вместо определения действительных чисел как длин отрезков прямых (см. числовая прямая ), она позволяла представлять точки с помощью их координат , которые являются числами. Таким образом, алгебра (а позже и исчисление) могут использоваться для решения геометрических задач. Геометрия была разделена на два новых подраздела: синтетическую геометрию , которая использует чисто геометрические методы, и аналитическую геометрию , которая использует координаты системно. ^[23]

Аналитическая геометрия позволяет изучать кривые, не связанные с окружностями и прямыми. Такие кривые можно определить как график функций , изучение которых привело к дифференциальной геометрии . Их также можно определить как неявные уравнения , часто полиномиальные уравнения (которые породили алгебраическую геометрию ). Аналитическая геометрия также позволяет рассматривать евклидовы пространства более трех измерений. ^[20]

В 19 веке математики открыли неевклидовы геометрии , которые не следуют постулату о параллельности . Поставив под сомнение истинность этого постулата, это открытие рассматривалось как присоединение к парадоксу Рассела в раскрытии основополагающего кризиса математики . Этот аспект кризиса был решен путем систематизации аксиоматического метода и принятия того, что истинность выбранных аксиом не является математической проблемой. ^{[24] [6]} В свою очередь, аксиоматический метод позволяет изучать различные геометрии, полученные либо путем изменения аксиом, либо путем рассмотрения свойств, которые не меняются при определенных преобразованиях пространства . [ ^25]

Сегодняшние разделы геометрии включают в себя: ^[14]

• Проективная геометрия , введенная в XVI веке Жираром Дезаргом , расширяет евклидову геометрию, добавляя точки на бесконечности , в которых пересекаются параллельные прямые . Это упрощает многие аспекты классической геометрии, объединяя подходы к пересекающимся и параллельным прямым.
• Аффинная геометрия , изучение свойств, связанных с параллельностью и не зависящих от понятия длины.
• Дифференциальная геометрия — наука о кривых, поверхностях и их обобщениях, которые определяются с помощью дифференцируемых функций .
• Теория многообразий — изучение форм, которые не обязательно встроены в большее пространство.
• Риманова геометрия , изучение свойств расстояний в искривленных пространствах.
• Алгебраическая геометрия , изучение кривых, поверхностей и их обобщений, которые определяются с помощью многочленов .
• Топология , изучение свойств, сохраняющихся при непрерывных деформациях .
  • Алгебраическая топология , применение в топологии алгебраических методов, в основном гомологической алгебры .
• Дискретная геометрия , изучение конечных конфигураций в геометрии.
• Выпуклая геометрия — наука о выпуклых множествах , важность которой обусловлена ​​ее применением в оптимизации .
• Комплексная геометрия — геометрия, полученная заменой действительных чисел комплексными числами .

Алгебра

Квадратичная формула , которая кратко выражает решения всех квадратных уравнений

Группа кубика Рубика представляет собой конкретное применение теории групп . ^[26]

Алгебра — это искусство манипулирования уравнениями и формулами. Диофант (3 век) и аль-Хорезми (9 век) были двумя главными предшественниками алгебры. ^{[27] [28]} Диофант решил некоторые уравнения, включающие неизвестные натуральные числа, выводя новые соотношения, пока не получил решение. ^[29] Аль-Хорезми ввел систематические методы преобразования уравнений, такие как перемещение члена из одной части уравнения в другую. ^[30] Термин алгебра происходит от арабского слова al-jabr, означающего «воссоединение сломанных частей», которое он использовал для обозначения одного из этих методов в названии своего главного трактата . ^{[31] [32]}

Алгебра стала самостоятельной областью науки только благодаря Франсуа Виету (1540–1603), который ввел использование переменных для представления неизвестных или неопределенных чисел. ^[33] Переменные позволяют математикам описывать операции, которые необходимо выполнять над числами, представленными с помощью математических формул . ^[34]

До 19 века алгебра в основном состояла из изучения линейных уравнений (в настоящее время линейная алгебра ) и полиномиальных уравнений с одним неизвестным , которые назывались алгебраическими уравнениями (термин все еще используется, хотя он может быть неоднозначным). В 19 веке математики начали использовать переменные для представления вещей, отличных от чисел (таких как матрицы , модульные целые числа и геометрические преобразования ), на которых обобщения арифметических операций часто являются допустимыми. ^[35] Концепция алгебраической структуры решает эту проблему, состоящую из множества , элементы которого не указаны, операций, действующих на элементы множества, и правил, которым должны следовать эти операции. Таким образом, сфера алгебры расширилась, включив в себя изучение алгебраических структур. Этот объект алгебры был назван современной алгеброй или абстрактной алгеброй , как установлено влиянием и работами Эмми Нётер . ^[36]

Некоторые типы алгебраических структур имеют полезные и часто фундаментальные свойства во многих областях математики. Их изучение стало автономными частями алгебры и включает в себя: ^[14]

• теория групп
• теория поля
• векторные пространства , изучение которых по сути то же самое, что и линейная алгебра
• теория колец
• Коммутативная алгебра , которая изучает коммутативные кольца , включает в себя изучение многочленов и является основополагающей частью алгебраической геометрии.
• гомологическая алгебра
• Алгебра Ли и теория групп Ли
• Булева алгебра , которая широко используется для изучения логической структуры компьютеров.

Изучение типов алгебраических структур как математических объектов является целью универсальной алгебры и теории категорий . ^[37] Последняя применима к каждой математической структуре (не только алгебраическим). В своем зарождении она была введена вместе с гомологической алгеброй для обеспечения алгебраического изучения неалгебраических объектов, таких как топологические пространства ; эта конкретная область применения называется алгебраической топологией . ^[38]

Исчисление и анализ

Последовательность Коши состоит из элементов, таких, что все последующие члены члена становятся произвольно близкими друг к другу по мере продвижения последовательности (слева направо).

Исчисление, ранее называвшееся исчислением бесконечно малых, было введено независимо и одновременно математиками 17-го века Ньютоном и Лейбницем . ^[39] По сути, это изучение взаимосвязи переменных, которые зависят друг от друга. Исчисление было расширено в 18-м веке Эйлером с введением понятия функции и многими другими результатами. ^[40] В настоящее время «исчисление» относится в основном к элементарной части этой теории, а «анализ» обычно используется для продвинутых частей. ^[41]

Анализ далее подразделяется на реальный анализ , где переменные представляют действительные числа , и комплексный анализ , где переменные представляют комплексные числа . Анализ включает в себя множество подобластей, общих с другими областями математики, которые включают: ^[14]

• Многовариантное исчисление
• Функциональный анализ , где переменные представляют собой изменяющиеся функции
• Интеграция , теория меры и теория потенциала тесно связаны с теорией вероятностей на континууме.
• Обыкновенные дифференциальные уравнения
• Уравнения с частными производными
• Численный анализ , в основном посвященный вычислению на компьютерах решений обыкновенных и частных дифференциальных уравнений, которые возникают во многих приложениях.

Дискретная математика

Диаграмма, представляющая двухуровневую цепь Маркова . Уровни обозначены буквами «A» и «E». Числа — это вероятность смены состояния.

Дискретная математика, в широком смысле, — это изучение отдельных, счетных математических объектов. Примером может служить множество всех целых чисел. ^[42] Поскольку объекты изучения здесь дискретны, методы исчисления и математического анализа напрямую не применяются. ^[c] Алгоритмы — особенно их реализация и вычислительная сложность — играют важную роль в дискретной математике. ^[43]

Теорема о четырех цветах и ​​оптимальная упаковка сфер были двумя основными проблемами дискретной математики, решенными во второй половине 20-го века. ^[44] Проблема P против NP , которая остается открытой и по сей день, также важна для дискретной математики, поскольку ее решение потенциально повлияет на большое количество вычислительно сложных задач. ^[45]

Дискретная математика включает в себя: ^[14]

• Комбинаторика , искусство перечисления математических объектов, которые удовлетворяют некоторым заданным ограничениям. Первоначально эти объекты были элементами или подмножествами заданного множества ; это было распространено на различные объекты, что устанавливает сильную связь между комбинаторикой и другими частями дискретной математики. Например, дискретная геометрия включает подсчет конфигураций геометрических фигур .
• Теория графов и гиперграфы
• Теория кодирования , включая коды исправления ошибок и часть криптографии
• Теория матроида
• Дискретная геометрия
• Дискретные распределения вероятностей
• Теория игр (хотя непрерывные игры также изучаются, большинство распространенных игр, таких как шахматы и покер, являются дискретными)
• Дискретная оптимизация , включая комбинаторную оптимизацию , целочисленное программирование , программирование в ограничениях

Математическая логика и теория множеств

Диаграмма Венна — это широко используемый метод иллюстрации отношений между множествами.

Два предмета — математическая логика и теория множеств — относятся к математике с конца XIX века. ^{[46] [47]} До этого периода множества не считались математическими объектами, а логика , хотя и использовалась для математических доказательств, относилась к философии и специально не изучалась математиками. ^[48]

До изучения Кантором бесконечных множеств математики неохотно рассматривали фактически бесконечные совокупности и считали бесконечность результатом бесконечного перечисления . Работа Кантора оскорбила многих математиков не только тем, что рассматривала фактически бесконечные множества ^[49], но и тем, что показывала, что это подразумевает различные размеры бесконечности, согласно диагональному аргументу Кантора . Это привело к спорам о теории множеств Кантора . ^[50] В тот же период различные области математики пришли к выводу, что прежние интуитивные определения основных математических объектов были недостаточными для обеспечения математической строгости . ^[51]

Это стало основополагающим кризисом математики. ^[52] В конечном итоге он был решен в общепринятой математике путем систематизации аксиоматического метода внутри формализованной теории множеств . Грубо говоря, каждый математический объект определяется множеством всех подобных объектов и свойствами, которыми должны обладать эти объекты. ^[12] Например, в арифметике Пеано натуральные числа определяются следующим образом: «ноль — это число», «каждое число имеет уникального последующего», «каждое число, кроме нуля, имеет уникального предшествующего» и некоторыми правилами рассуждения. ^[53] Эта математическая абстракция от реальности воплощена в современной философии формализма , основанной Дэвидом Гильбертом около 1910 года. ^[54]

«Природа» объектов, определенных таким образом, является философской проблемой, которую математики оставляют философам, даже если многие математики имеют мнения об этой природе и используют свое мнение — иногда называемое «интуицией» — для руководства своим изучением и доказательствами. Подход позволяет рассматривать «логики» (то есть наборы разрешенных правил вывода), теоремы, доказательства и т. д. как математические объекты и доказывать теоремы о них. Например, теоремы Гёделя о неполноте утверждают, грубо говоря, что в каждой последовательной формальной системе , содержащей натуральные числа, существуют теоремы, которые являются истинными (которые доказуемы в более сильной системе), но не доказуемы внутри системы. ^[55] Этот подход к основам математики был оспорен в первой половине 20-го века математиками во главе с Брауэром , который продвигал интуиционистскую логику , в которой явно отсутствует закон исключенного третьего . ^{[56] [57]}

Эти проблемы и дебаты привели к широкому расширению математической логики с такими подобластями, как теория моделей (моделирование некоторых логических теорий внутри других теорий), теория доказательств , теория типов , теория вычислимости и теория вычислительной сложности . ^[14] Хотя эти аспекты математической логики были введены до появления компьютеров , их использование в разработке компиляторов , формальной верификации , анализе программ , помощниках по доказательству и других аспектах компьютерной науки , в свою очередь, способствовало расширению этих логических теорий. ^[58]

Статистика и другие науки о принятии решений

Какова бы ни была форма случайного распределения популяции (μ), выборочное среднее значение (x̄) стремится к гауссовскому распределению, а его дисперсия (σ) определяется центральной предельной теоремой теории вероятностей. ^[59]

Область статистики — это математическое приложение, которое используется для сбора и обработки выборок данных, используя процедуры, основанные на математических методах, особенно теории вероятностей . Статистики генерируют данные с помощью случайной выборки или рандомизированных экспериментов . ^[60]

Статистическая теория изучает проблемы принятия решений, такие как минимизация риска ( ожидаемых потерь ) статистического действия, например, использование процедуры , например, для оценки параметров , проверки гипотез и выбора лучшего . В этих традиционных областях математической статистики проблема принятия статистических решений формулируется путем минимизации целевой функции , например, ожидаемых потерь или затрат , при определенных ограничениях. Например, разработка опроса часто включает минимизацию затрат на оценку среднего значения совокупности с заданным уровнем достоверности. ^[61] Благодаря использованию оптимизации математическая теория статистики пересекается с другими науками принятия решений , такими как исследование операций , теория управления и математическая экономика . ^[62]

Вычислительная математика

Вычислительная математика — это изучение математических задач , которые обычно слишком велики для человеческих числовых возможностей. ^{[63] [64]} Численный анализ изучает методы решения задач анализа с использованием функционального анализа и теории приближений ; численный анализ в целом включает изучение приближения и дискретизации с особым акцентом на ошибках округления . ^[65] Численный анализ и, в более широком смысле, научные вычисления также изучают неаналитические разделы математической науки, особенно алгоритмическую теорию матриц и графов . Другие области вычислительной математики включают компьютерную алгебру и символьные вычисления .

История

Этимология

Слово математика происходит от древнегреческого слова máthēma ( μάθημα ), означающего « что-то изученное, знание, математика » , и производного выражения mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ), означающего « математическая наука » . Оно вошло в английский язык в позднесреднеанглийский период через французский и латынь. ^[66]

Аналогично, одна из двух основных школ мысли в пифагореизме была известна как mathēmatikoi (μαθηματικοί) — что в то время означало «ученики», а не «математики» в современном смысле. Пифагорейцы, вероятно, были первыми, кто ограничил использование этого слова только изучением арифметики и геометрии. Ко времени Аристотеля (384–322 до н. э.) это значение было полностью установлено. ^[67]

В латинском и английском языках, примерно до 1700 года, термин «математика» чаще всего означал « астрологию » (или иногда « астрономию »), а не «математику»; значение постепенно изменилось до его нынешнего значения примерно с 1500 по 1800 год. Это изменение привело к нескольким неправильным переводам: например, предупреждение Святого Августина о том, что христиане должны остерегаться mathematici , что означает «астрологов», иногда неправильно переводят как осуждение математиков. ^[68]

Очевидная форма множественного числа в английском языке восходит к латинскому среднему роду множественного числа mathematica ( Цицерон ), основанному на греческом множественном числе ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ) и означает примерно «все математические вещи», хотя вполне вероятно, что английский язык заимствовал только прилагательное mathematic(al) и сформировал существительное mathematics заново, по образцу physics и metaphysics , унаследованному от греческого языка. ^[69] В английском языке существительное mathematics принимает глагол в единственном числе. Его часто сокращают до maths ^[70] или, в Северной Америке, math . ^[71]

Древний

Вавилонская математическая табличка Плимптон 322 , датированная 1800 годом до н.э.

В дополнение к пониманию того, как считать физические объекты, доисторические люди, возможно, также знали, как считать абстрактные величины, такие как время — дни, времена года или годы. ^{[72] [73]} Доказательства более сложной математики не появляются до примерно 3000  г. до н. э. , когда вавилоняне и египтяне начали использовать арифметику, алгебру и геометрию для налогообложения и других финансовых расчетов, для строительства и строительства, а также для астрономии. ^[74] Самые старые математические тексты из Месопотамии и Египта датируются 2000–1800 гг. до н. э. ^[75] Во многих ранних текстах упоминаются пифагорейские тройки , и поэтому, по заключению, теорема Пифагора, по-видимому, является самой древней и распространенной математической концепцией после базовой арифметики и геометрии. Именно в вавилонской математике элементарная арифметика ( сложение , вычитание , умножение и деление ) впервые появляется в археологических записях. Вавилоняне также имели позиционную систему счисления и использовали шестидесятеричную систему счисления, которая до сих пор используется для измерения углов и времени. ^[76]

В VI веке до нашей эры греческая математика начала выделяться в отдельную дисциплину, и некоторые древние греки, такие как пифагорейцы, по-видимому, считали ее самостоятельным предметом. ^[77] Около 300 г. до н. э. Евклид организовал математические знания с помощью постулатов и первых принципов, которые превратились в аксиоматический метод, используемый в математике сегодня, состоящий из определения, аксиомы, теоремы и доказательства. ^[78] Его книга «Начала » широко считается самым успешным и влиятельным учебником всех времен. ^[79] Величайшим математиком древности часто считают Архимеда ( ок.  287  – ок.  212 г. до н. э. ) из Сиракуз . ^[80] Он разработал формулы для вычисления площади поверхности и объема тел вращения и использовал метод исчерпания для вычисления площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда , способом, не слишком отличающимся от современного исчисления. ^[81] Другими заметными достижениями греческой математики являются конические сечения ( Аполлоний Пергский , 3 век до н. э.), ^[82] тригонометрия ( Гиппарх Никейский , 2 век до н. э.), ^[83] и начало алгебры (Диофант, 3 век н. э.). ^[84]

Цифры, используемые в рукописи Бахшали , датируемой II в. до н.э. и II в. н.э.

Индо -арабская система счисления и правила использования ее операций, используемые сегодня во всем мире, развивались в течение первого тысячелетия нашей эры в Индии и были переданы в западный мир через исламскую математику . ^[85] Другие заметные разработки индийской математики включают современное определение и приближение синуса и косинуса , а также раннюю форму бесконечного ряда . ^{[86] [87]}

Средневековье и позднее

Страница из книги аль-Хорезми «Аль-Джабр»

В Золотой век ислама , особенно в IX и X веках, математика увидела много важных инноваций, основанных на греческой математике. Самым заметным достижением исламской математики было развитие алгебры . Другие достижения исламского периода включают достижения в сферической тригонометрии и добавление десятичной точки к арабской системе счисления. ^[88] Многие известные математики этого периода были персами, такими как Аль-Хорезми , Омар Хайям и Шараф ад-Дин ат-Туси . ^[89] Греческие и арабские математические тексты, в свою очередь, были переведены на латынь в Средние века и стали доступны в Европе. ^[90]

В ранний современный период математика начала развиваться в Западной Европе ускоренными темпами , с нововведениями, которые произвели революцию в математике, такими как введение переменных и символических обозначений Франсуа Виэтом (1540–1603), введение логарифмов Джоном Непером в 1614 году, что значительно упростило численные вычисления, особенно для астрономии и морской навигации , введение координат Рене Декартом (1596–1650) для сведения геометрии к алгебре и развитие исчисления Исааком Ньютоном (1643–1727) и Готфридом Лейбницем (1646–1716). Леонард Эйлер (1707–1783), самый известный математик 18-го века, объединил эти нововведения в единый корпус со стандартизированной терминологией и завершил их открытием и доказательством многочисленных теорем. ^[91]

Карл Фридрих Гаусс

Возможно, самым выдающимся математиком 19-го века был немецкий математик Карл Гаусс , который внес огромный вклад в такие области, как алгебра, анализ, дифференциальная геометрия , теория матриц , теория чисел и статистика . ^[92] В начале 20-го века Курт Гёдель преобразил математику, опубликовав свои теоремы о неполноте , которые частично показывают, что любая последовательная аксиоматическая система — если она достаточно мощна, чтобы описывать арифметику — будет содержать истинные предложения, которые не могут быть доказаны. ^[55]

Математика с тех пор значительно расширилась, и между математикой и наукой произошло плодотворное взаимодействие , приносящее пользу обеим. Математические открытия продолжают совершаться и по сей день. По словам Михаила Б. Севрюка в выпуске Бюллетеня Американского математического общества за январь 2006 года , «Число статей и книг, включенных в базу данных Mathematical Reviews (MR) с 1940 года (первый год работы MR), в настоящее время составляет более 1,9 миллиона, и более 75 тысяч записей добавляются в базу данных каждый год. Подавляющее большинство работ в этом океане содержат новые математические теоремы и их доказательства». ^[93]

Символические обозначения и терминология

Объяснение обозначения суммирования сигма (Σ)

Математическая нотация широко используется в науке и технике для представления сложных концепций и свойств кратким, недвусмысленным и точным способом. Эта нотация состоит из символов, используемых для представления операций , неопределенных чисел, отношений и любых других математических объектов, а затем их сборки в выражения и формулы. ^[94] Точнее, числа и другие математические объекты представлены символами, называемыми переменными, которые обычно являются латинскими или греческими буквами и часто включают нижние индексы . Операции и отношения обычно представлены определенными символами или глифами , ^[95] такими как + ( плюс ), × ( умножение ), ( интеграл ), = ( равно ) и < ( меньше ). ^[96] Все эти символы обычно группируются в соответствии с определенными правилами для формирования выражений и формул. ^[97] Обычно выражения и формулы не появляются по отдельности, а включаются в предложения текущего языка, где выражения играют роль именных фраз , а формулы играют роль предложений . ${\textstyle \int }$

Математика разработала богатую терминологию, охватывающую широкий спектр областей, которые изучают свойства различных абстрактных, идеализированных объектов и то, как они взаимодействуют. Она основана на строгих определениях , которые обеспечивают стандартную основу для коммуникации. Аксиома или постулат — это математическое утверждение, которое принимается как истинное без необходимости доказательства. Если математическое утверждение еще не доказано (или опровергнуто), оно называется гипотезой . Благодаря серии строгих аргументов, использующих дедуктивное рассуждение , утверждение, истинность которого доказана , становится теоремой. Специализированная теорема, которая в основном используется для доказательства другой теоремы, называется леммой . Доказанный пример, который является частью более общего вывода, называется следствием . ^[98]

Многочисленные технические термины, используемые в математике, являются неологизмами , такими как многочлен и гомеоморфизм . ^[99] Другие технические термины — это слова общеупотребительного языка, которые используются в точном значении, которое может немного отличаться от их общеупотребительного значения. Например, в математике « или » означает «один, другой или оба», в то время как в общеупотребительном языке это либо неоднозначно, либо означает «один или другой, но не оба» (в математике последнее называется « исключающее или »). Наконец, многие математические термины — это общеупотребительные слова, которые используются с совершенно другим значением. ^[100] Это может привести к предложениям, которые являются правильными и истинными математическими утверждениями, но кажутся бессмысленными людям, не имеющим необходимой подготовки. Например, «каждый свободный модуль плоский » и « поле всегда является кольцом ».

Связь с наукой

Математика используется в большинстве наук для моделирования явлений, что затем позволяет делать прогнозы на основе экспериментальных законов. ^[101] Независимость математической истины от любого эксперимента подразумевает, что точность таких прогнозов зависит только от адекватности модели. ^[102] Неточные прогнозы, вместо того чтобы быть вызванными недействительными математическими концепциями, подразумевают необходимость изменения используемой математической модели. ^[103] Например, прецессия перигелия Меркурия могла быть объяснена только после появления общей теории относительности Эйнштейна , которая заменила закон тяготения Ньютона в качестве лучшей математической модели. ^[104]

До сих пор ведутся философские дебаты о том, является ли математика наукой. Однако на практике математики обычно объединяются с учеными, а математика имеет много общего с физическими науками. Как и они, она фальсифицируема , что означает в математике, что если результат или теория неверны, это можно доказать, предоставив контрпример . Аналогично, как и в науке, теории и результаты (теоремы) часто получаются из экспериментов . ^[105] В математике эксперимент может состоять из вычислений на выбранных примерах или из изучения фигур или других представлений математических объектов (часто представлений ума без физической поддержки). Например, когда его спросили, как он пришел к своим теоремам, Гаусс однажды ответил «durch planmässiges Tattonieren» (через систематическое экспериментирование). ^[106] Однако некоторые авторы подчеркивают, что математика отличается от современного понятия науки тем, что не опирается на эмпирические доказательства. ^{[107] [108] [109] [110]}

Чистая и прикладная математика

Исаак Ньютон (слева) и Готфрид Вильгельм Лейбниц разработали исчисление бесконечно малых.

До 19 века развитие математики на Западе было в основном мотивировано потребностями технологий и науки, и не было четкого различия между чистой и прикладной математикой. ^[111] Например, натуральные числа и арифметика были введены для нужд счета, а геометрия была мотивирована геодезией, архитектурой и астрономией. Позже Исаак Ньютон ввел исчисление бесконечно малых для объяснения движения планет с помощью своего закона тяготения. Более того, большинство математиков были также учеными, и многие ученые были также математиками. ^[112] Однако, заметное исключение произошло с традицией чистой математики в Древней Греции . ^[113] Например, проблема целочисленной факторизации , которая восходит к Евклиду в 300 году до нашей эры, не имела практического применения до ее использования в криптосистеме RSA , которая в настоящее время широко используется для обеспечения безопасности компьютерных сетей . ^[114]

В 19 веке такие математики, как Карл Вейерштрасс и Рихард Дедекинд, все больше сосредотачивали свои исследования на внутренних проблемах, то есть на чистой математике . ^{[111] [115]} Это привело к разделению математики на чистую математику и прикладную математику , причем последняя часто рассматривалась как имеющая меньшую ценность среди математических пуристов. Однако границы между ними часто размыты. ^[116]

Последствия Второй мировой войны привели к всплеску развития прикладной математики в США и других странах. ^{[117] [118]} Многие теории, разработанные для приложений, были найдены интересными с точки зрения чистой математики, и было показано, что многие результаты чистой математики имеют приложения за пределами математики; в свою очередь, изучение этих приложений может дать новое понимание «чистой теории». ^{[119] [120]}

Примером первого случая является теория распределений , введенная Лораном Шварцем для проверки вычислений, выполненных в квантовой механике , которая сразу же стала важным инструментом (чистого) математического анализа. ^[121] Примером второго случая является разрешимость теории первого порядка действительных чисел , проблема чистой математики, справедливость которой была доказана Альфредом Тарским , с помощью алгоритма, который невозможно реализовать из-за слишком высокой вычислительной сложности. ^[122] Для получения алгоритма, который может быть реализован и может решать системы полиномиальных уравнений и неравенств, Джордж Коллинз ввел цилиндрическое алгебраическое разложение , которое стало фундаментальным инструментом в действительной алгебраической геометрии . ^[123]

В настоящее время различие между чистой и прикладной математикой является скорее вопросом личных исследовательских целей математиков, чем разделением математики на широкие области. ^{[124] [125]} В Классификации предметов математики есть раздел для «общей прикладной математики», но не упоминается «чистая математика». ^[14] Однако эти термины все еще используются в названиях некоторых университетских кафедр, например, на факультете математики Кембриджского университета .

Необоснованная эффективность

Необоснованная эффективность математики — это явление, которое было названо и впервые явно сформулировано физиком Юджином Вигнером . ^[3] Фактом является то, что многие математические теории (даже «самые чистые») имеют приложения за пределами своего первоначального объекта. Эти приложения могут полностью выходить за рамки их первоначальной области математики и могут касаться физических явлений, которые были совершенно неизвестны, когда была введена математическая теория. ^[126] Примеры неожиданных приложений математических теорий можно найти во многих областях математики.

Ярким примером является разложение на простые множители натуральных чисел, которое было открыто более чем за 2000 лет до его повсеместного использования для безопасной интернет -связи через криптосистему RSA . ^[127] Вторым историческим примером является теория эллипсов . Они изучались древнегреческими математиками как конические сечения (то есть пересечения конусов с плоскостями). Почти 2000 лет спустя Иоганн Кеплер открыл, что траектории планет являются эллипсами. ^[128]

В 19 веке внутреннее развитие геометрии (чистой математики) привело к определению и изучению неевклидовых геометрий, пространств размерности выше трех и многообразий . В то время эти концепции казались полностью оторванными от физической реальности, но в начале 20 века Альберт Эйнштейн разработал теорию относительности , которая фундаментально использует эти концепции. В частности, пространство-время специальной теории относительности является неевклидовым пространством размерности четыре, а пространство-время общей теории относительности является (искривленным) многообразием размерности четыре. ^{[129] [130]}

Поразительным аспектом взаимодействия математики и физики является то, что математика движет исследованиями в физике. Это иллюстрируется открытиями позитрона и бариона . В обоих случаях уравнения теорий имели необъясненные решения, что привело к предположению о существовании неизвестной частицы и поиску этих частиц. В обоих случаях эти частицы были обнаружены несколько лет спустя с помощью специальных экспериментов. ^{[131] [132] [133]} ${\displaystyle \Omega ^{-}.}$

Конкретные науки

Физика

Схема маятника

Математика и физика оказали друг на друга влияние на протяжении всей их современной истории. Современная физика широко использует математику, ^[134] а также считается движущей силой основных математических разработок. ^[135]

Вычислительная техника

Вычислительная техника тесно связана с математикой несколькими способами. ^[136] Теоретическая информатика считается математической по своей природе. ^[137] Коммуникационные технологии применяют разделы математики, которые могут быть очень старыми (например, арифметика), особенно в отношении безопасности передачи данных, в криптографии и теории кодирования . Дискретная математика полезна во многих областях информатики, таких как теория сложности , теория информации и теория графов . ^[138] В 1998 году гипотеза Кеплера об упаковке сфер , по-видимому, также была частично доказана компьютером. ^[139]

Биология и химия

Кожа этой гигантской рыбы-собаки демонстрирует узор Тьюринга , который можно смоделировать с помощью систем реакции-диффузии .

Биология широко использует вероятность в таких областях, как экология или нейробиология . ^[140] Большинство обсуждений вероятности сосредоточено на концепции эволюционной приспособленности . ^[140] Экология активно использует моделирование для имитации динамики популяции , ^{[140] [141]} изучения экосистем, таких как модель «хищник-жертва», измерения диффузии загрязнений, ^[142] или оценки изменения климата. ^[143] Динамика популяции может быть смоделирована с помощью связанных дифференциальных уравнений, таких как уравнения Лотки-Вольтерры . ^[144]

Статистическая проверка гипотез проводится на основе данных клинических испытаний , чтобы определить, работает ли новое лечение. ^[145] С начала 20-го века химия использовала вычисления для моделирования молекул в трех измерениях. ^[146]

Науки о Земле

Структурная геология и климатология используют вероятностные модели для прогнозирования риска природных катастроф. ^[147] Аналогичным образом, метеорология , океанография и планетология также используют математику из-за их интенсивного использования моделей. ^{[148] [149] [150]}

Социальные науки

Области математики, используемые в социальных науках, включают вероятность/статистику и дифференциальные уравнения. Они используются в лингвистике, экономике , социологии , ^[151] и психологии . ^[152]

Кривые спроса и предложения , подобные этой, являются основой математической экономики.

Часто фундаментальным постулатом математической экономики является постулат о рациональном индивидуальном действующем лице – Homo economicus ( досл. « экономический человек » ). ^[153] В этой модели индивид стремится максимизировать свой личный интерес , ^[153] и всегда делает оптимальный выбор, используя совершенную информацию . ^[154] Этот атомистический взгляд на экономику позволяет ей относительно легко математизировать свое мышление, поскольку индивидуальные расчеты транспонируются в математические расчеты. Такое математическое моделирование позволяет исследовать экономические механизмы. Некоторые отвергают или критикуют концепцию Homo economicus . Экономисты отмечают, что реальные люди имеют ограниченную информацию, делают плохой выбор и заботятся о справедливости, альтруизме, а не только о личной выгоде. ^[155] 

Без математического моделирования трудно выйти за рамки статистических наблюдений или непроверяемых спекуляций. Математическое моделирование позволяет экономистам создавать структурированные структуры для проверки гипотез и анализа сложных взаимодействий. Модели обеспечивают ясность и точность, позволяя переводить теоретические концепции в количественные прогнозы, которые можно проверить на основе реальных данных. ^[156]

В начале 20-го века появилась возможность выразить исторические движения в формулах. В 1922 году Николай Кондратьев выделил ~50-летний цикл Кондратьева , который объясняет фазы экономического роста или кризиса. ^[157] К концу 19-го века математики распространили свой анализ на геополитику . ^[158] Петр Турчин развивал клиодинамику с 1990-х годов. ^[159]

Математизация социальных наук не лишена риска. В противоречивой книге «Модная чушь» (1997) Сокал и Брикмонт осудили необоснованное или злоупотребляющее использование научной терминологии, особенно из математики или физики, в социальных науках. ^[160] Изучение сложных систем (эволюция безработицы, деловой капитал, демографическая эволюция населения и т. д.) использует математические знания. Однако выбор критериев подсчета, особенно для безработицы, или моделей может быть предметом споров. ^{[161] [162]}

Философия

Реальность

Связь между математикой и материальной реальностью привела к философским дебатам, по крайней мере, со времен Пифагора . Древний философ Платон утверждал, что абстракции, отражающие материальную реальность, сами по себе имеют реальность, которая существует вне пространства и времени. В результате философская точка зрения, согласно которой математические объекты каким-то образом существуют сами по себе в абстракции, часто называется платонизмом . Независимо от их возможных философских мнений, современных математиков можно в целом считать платониками, поскольку они думают и говорят о своих объектах изучения как о реальных объектах. ^[163]

Арман Борель резюмировал этот взгляд на реальность математики следующим образом и привел цитаты Г. Х. Харди , Шарля Эрмита , Анри Пуанкаре и Альберта Эйнштейна, которые подтверждают его взгляды. ^[131]

Что-то становится объективным (в отличие от «субъективного»), как только мы убеждаемся, что оно существует в умах других в той же форме, что и в наших, и что мы можем думать об этом и обсуждать это вместе. ^[164] Поскольку язык математики настолько точен, он идеально подходит для определения концепций, для которых существует такой консенсус. По моему мнению, этого достаточно, чтобы дать нам чувство объективного существования, реальности математики...

Тем не менее, платонизм и сопутствующие ему взгляды на абстракцию не объясняют необоснованную эффективность математики. ^[165]

Предлагаемые определения

Нет общего согласия относительно определения математики или ее эпистемологического статуса — то есть ее места внутри знания. Очень многие профессиональные математики не интересуются определением математики или считают ее неопределимой. Нет даже согласия относительно того, является ли математика искусством или наукой. Некоторые просто говорят: «математика — это то, чем занимаются математики». ^{[166] [167]} Распространенный подход — определять математику по ее объекту изучения. ^{[168] [169] [170] [171]}

Аристотель определил математику как «науку о количестве», и это определение преобладало до 18-го века. Однако Аристотель также отметил, что сосредоточение только на количестве не может отличать математику от таких наук, как физика; по его мнению, абстракция и изучение количества как свойства, «отделимого в мысли» от реальных случаев, отличают математику. ^[172] В 19-м веке, когда математики начали обращаться к темам, таким как бесконечные множества, которые не имеют четкого отношения к физической реальности, было дано множество новых определений. ^[173] С большим количеством новых областей математики, которые появились с начала 20-го века, определение математики по ее объекту изучения стало все более трудным. ^[174] Например, вместо определения, Сондерс Маклейн в работе «Математика, форма и функция» суммирует основы нескольких областей математики, подчеркивая их взаимосвязь, и замечает: ^[175]

Развитие математики обеспечивает тесно связанную сеть формальных правил, концепций и систем. Узлы этой сети тесно связаны с процедурами, полезными в человеческой деятельности, и с вопросами, возникающими в науке. Переход от деятельности к формальным математическим системам направляется множеством общих идей и идей.

Другой подход к определению математики — использовать ее методы. Например, область изучения часто квалифицируется как математика, как только можно доказать теоремы — утверждения, справедливость которых основана на доказательстве, то есть чисто логическом выводе. ^{[d] [176] [ неудачная проверка ]}

Строгость

Математическое рассуждение требует строгости . Это означает, что определения должны быть абсолютно однозначными, а доказательства должны сводиться к последовательности применений правил вывода , ^[e] без какого-либо использования эмпирических доказательств и интуиции . ^{[f] [177]} Строгое рассуждение не является специфичным для математики, но в математике стандарт строгости намного выше, чем где-либо еще. Несмотря на краткость математики , строгие доказательства могут потребовать сотни страниц для выражения, например, 255-страничная теорема Фейта-Томпсона . ^[g] Появление компьютерных доказательств позволило еще больше увеличить длину доказательств. ^{[h] [178]} Результатом этой тенденции является философия квазиэмпирического доказательства , которое нельзя считать непогрешимым, но к нему прикреплена вероятность. ^[6]

Концепция строгости в математике восходит к Древней Греции, где общество поощряло логические, дедуктивные рассуждения. Однако этот строгий подход, как правило, препятствовал исследованию новых подходов, таких как иррациональные числа и концепции бесконечности. Метод демонстрации строгого доказательства был улучшен в шестнадцатом веке за счет использования символической записи. В восемнадцатом веке социальный переход привел к тому, что математики зарабатывали себе на жизнь преподаванием, что привело к более тщательному размышлению об основных концепциях математики. Это привело к более строгим подходам, при переходе от геометрических методов к алгебраическим, а затем и арифметическим доказательствам. ^[6]

В конце 19-го века, казалось, что определения основных понятий математики были недостаточно точными, чтобы избежать парадоксов (неевклидовы геометрии и функция Вейерштрасса ) и противоречий (парадокс Рассела). Это было решено включением аксиом с аподиктическими правилами вывода математических теорий; повторное введение аксиоматического метода, пионерами которого были древние греки. ^[6] Это приводит к тому, что «строгость» больше не является релевантным понятием в математике, поскольку доказательство либо верно, либо ошибочно, а «строгое доказательство» является просто плеоназмом . Где вступает в игру особое понятие строгости, так это в социализированных аспектах доказательства, где оно может быть наглядно опровергнуто другими математиками. После того, как доказательство принималось в течение многих лет или даже десятилетий, его можно считать надежным. ^[179]

Тем не менее, концепция «строгости» может оставаться полезной для обучения начинающих тому, что такое математическое доказательство. ^[180]

Обучение и практика

Образование

Математика обладает замечательной способностью пересекать культурные границы и временные периоды. Как человеческая деятельность , практика математики имеет социальную сторону, которая включает образование , карьеру , признание , популяризацию и т. д. В образовании математика является основной частью учебной программы и образует важный элемент академических дисциплин STEM . Известные карьеры для профессиональных математиков включают учителя математики или профессора, статистика , актуария , финансового аналитика , экономиста , бухгалтера , трейдера по сырьевым товарам или компьютерного консультанта . ^[181]

Археологические данные показывают, что обучение математике имело место еще во втором тысячелетии до н. э. в древней Вавилонии. ^[182] Сопоставимые доказательства были обнаружены для обучения математике писцов на древнем Ближнем Востоке , а затем для греко-римского мира, начиная с 300 г. до н. э. ^[183] ​​Самый старый известный учебник по математике - папирус Ринда , датируемый примерно 1650  г. до н. э. в Египте. ^[184] Из-за нехватки книг математические учения в древней Индии передавались с помощью заученной устной традиции со времен Вед ( ок.  1500  - ок.  500 г. до н. э. ). ^[185] В императорском Китае во времена династии Тан (618-907 н. э.) была принята учебная программа по математике для экзамена на государственную службу для поступления на государственную бюрократию. ^[186]

После Темных веков математическое образование в Европе предоставлялось религиозными школами как часть Квадривиума . Формальное обучение педагогике началось в школах иезуитов в XVI и XVII веках. Большинство математических учебных программ оставались на базовом и практическом уровне до девятнадцатого века, когда они начали процветать во Франции и Германии. Старейшим журналом, посвященным обучению математике, был L'Enseignement Mathématique , который начал публиковаться в 1899 году. ^[187] Западные достижения в области науки и техники привели к созданию централизованных систем образования во многих национальных государствах, где математика была основным компонентом — первоначально для ее военного применения. ^[188] Хотя содержание курсов различается, в настоящее время почти во всех странах математика преподается студентам в течение значительного количества времени. ^[189]

В школе математические способности и позитивные ожидания тесно связаны с интересом к карьере в этой области. Внешние факторы, такие как мотивация обратной связи со стороны учителей, родителей и сверстников, могут влиять на уровень интереса к математике. ^[190] У некоторых студентов, изучающих математику, может развиться опасение или страх относительно своей успеваемости по предмету. Это известно как математическая тревожность или математическая фобия и считается наиболее заметным из расстройств, влияющих на успеваемость. Математическая тревожность может развиваться из-за различных факторов, таких как отношение родителей и учителей, социальные стереотипы и личные черты. Помощь в противодействии тревожности может прийти из-за изменений в подходах к обучению, взаимодействия с родителями и учителями, а также индивидуального лечения для каждого человека. ^[191]

Психология (эстетика, творчество и интуиция)

Обоснованность математической теоремы зависит только от строгости ее доказательства, которое теоретически может быть сделано автоматически компьютерной программой . Это не означает, что в математической работе нет места для творчества. Напротив, многие важные математические результаты (теоремы) являются решениями проблем, которые не смогли решить другие математики, и изобретение способа их решения может быть фундаментальным способом процесса решения. ^{[192] [193]} Крайним примером является теорема Эпери : Роджер Эпери предоставил только идеи для доказательства, а формальное доказательство было дано лишь несколько месяцев спустя тремя другими математиками. ^[194]

Творчество и строгость — не единственные психологические аспекты деятельности математиков. Некоторые математики могут рассматривать свою деятельность как игру, а точнее, как решение головоломок . ^[195] Этот аспект математической деятельности подчеркивается в развлекательной математике .

Математики могут найти эстетическую ценность в математике. Как и красоту , ее трудно определить, ее обычно связывают с элегантностью , которая включает такие качества, как простота , симметрия , полнота и общность. GH Hardy в A Mathematician's Apology выразил убеждение, что эстетические соображения сами по себе достаточны для оправдания изучения чистой математики. Он также определил другие критерии, такие как значимость, неожиданность и неизбежность, которые способствуют математической эстетике. ^[196] Пол Эрдёш выразил это мнение более иронично, говоря о «Книге», предполагаемом божественном собрании самых красивых доказательств. Книга 1998 года Proofs from THE BOOK , вдохновленная Эрдёшем, представляет собой сборник особенно кратких и разоблачительных математических аргументов. Некоторые примеры особенно элегантных результатов включают доказательство Евклида того, что существует бесконечно много простых чисел, и быстрое преобразование Фурье для гармонического анализа . ^[197]

Некоторые считают, что считать математику наукой — значит принижать ее художественность и историю в семи традиционных свободных искусствах . ^[198] Одним из способов проявления этой разницы во взглядах является философский спор о том, создаются ли математические результаты (как в искусстве) или открываются (как в науке). ^[131] Популярность развлекательной математики — еще один признак того, что многие находят удовольствие в решении математических задач.

Культурное влияние

Художественное выражение

Ноты, которые хорошо звучат вместе для западного уха, — это звуки, основные частоты колебаний которых находятся в простых соотношениях. Например, октава удваивает частоту, а чистая квинта умножает ее на . ^{[199] [200]} ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$

Фрактал с масштабной симметрией и центральной симметрией

Люди, как и некоторые другие животные, считают симметричные узоры более красивыми. ^[201] Математически симметрии объекта образуют группу, известную как группа симметрии . ^[202] Например, группа, лежащая в основе зеркальной симметрии, является циклической группой из двух элементов, . Тест Роршаха — это фигура, инвариантная этой симметрии, ^[203] как и тела бабочек и животных в более общем смысле (по крайней мере, на поверхности). ^[204] Волны на поверхности моря обладают трансляционной симметрией: перемещение точки наблюдения на расстояние между гребнями волн не меняет вид моря. ^[205] Фракталы обладают самоподобием . ^{[206] [207]} ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Популяризация

Популярная математика — это акт представления математики без технических терминов. ^[208] Представление математики может быть сложным, поскольку широкая публика страдает от математической тревожности , а математические объекты являются весьма абстрактными. ^[209] Однако написание популярных математических текстов может преодолеть это, используя приложения или культурные связи. ^[210] Несмотря на это, математика редко становится темой популяризации в печатных или телевизионных СМИ.

Награды и проблемы с призами

Лицевая сторона медали Филдса с изображением греческого полимата Архимеда.

Самая престижная награда в области математики — медаль Филдса , ^{[211] [212]} учрежденная в 1936 году и присуждаемая каждые четыре года (за исключением периода Второй мировой войны ) максимум четырем лицам. ^{[213] [214]} Она считается математическим эквивалентом Нобелевской премии . ^[214]

Другие престижные награды по математике включают: ^[215]

• Премия Абеля учреждена в 2002 году ^[216] и впервые вручена в 2003 году ^[217]
• Медаль Черна за достижения всей жизни, учрежденная в 2009 году ^[218] и впервые врученная в 2010 году ^[219]
• Премия AMS Leroy P. Steele Prize , присуждаемая с 1970 года ^[220]
• Премия Вольфа по математике , также за достижения всей жизни, ^[221] учреждена в 1978 году ^[222]

Знаменитый список из 23 открытых проблем , называемый « проблемами Гильберта », был составлен в 1900 году немецким математиком Давидом Гильбертом. ^[223] Этот список приобрел большую известность среди математиков, ^[224] и по крайней мере тринадцать проблем (в зависимости от того, как некоторые из них интерпретируются) были решены. ^[223]

Новый список из семи важных проблем, названный « Проблемы премии тысячелетия », был опубликован в 2000 году. Только одна из них, гипотеза Римана , дублирует одну из проблем Гильберта. Решение любой из этих проблем влечет за собой вознаграждение в размере 1 миллиона долларов. ^[225] На сегодняшний день только одна из этих проблем, гипотеза Пуанкаре , была решена российским математиком Григорием Перельманом . ^[226]

Смотрите также

• Математический портал

• Право (математика)
• Список математического жаргона
• Списки математиков
• Списки математических тем
• Математическая константа
• Математические науки
• Математика и искусство
• Математическое образование
• Философия математики
• Связь между математикой и физикой
• Наука, технологии, инженерия и математика

Ссылки

Примечания

1. Здесь алгебра понимается в ее современном смысле, что, грубо говоря, является искусством манипулирования формулами .
2. Сюда входят конические сечения , которые являются пересечениями круговых цилиндров и плоскостей.
3. Однако иногда используются некоторые продвинутые методы анализа, например, методы комплексного анализа, применяемые для генерации рядов .
4. Например, логика относится к философии со времен Аристотеля . Примерно в конце 19-го века фундаментальный кризис математики подразумевал развитие логики, специфичной для математики. Это в конечном итоге позволило доказать теоремы, такие как теоремы Гёделя . С тех пор математическая логика обычно рассматривается как область математики.
5. Это не означает, что нужно сделать явными все используемые правила вывода. Напротив, это, как правило, невозможно без компьютеров и помощников доказательства . Даже с этой современной технологией могут потребоваться годы человеческой работы для записи полностью подробного доказательства.
6. Это не означает, что для выбора теорем, которые необходимо доказать, и для их доказательства не нужны эмпирические данные и интуиция.
7. Это длина оригинальной статьи, которая не содержит доказательств некоторых ранее опубликованных вспомогательных результатов. Книга, посвященная полному доказательству, насчитывает более 1000 страниц.
8. Для того, чтобы считать надежным большое вычисление, происходящее в доказательстве, обычно требуется два вычисления с использованием независимого программного обеспечения.

Цитаты

1. Иполито, Инес Вьегас (9–15 августа 2015 г.). «Абстрактное познание и природа математического доказательства». По-канциански — христианин; Миттерер, Йозеф ; Негес, Катарина (ред.). Реализм – Релятивизм – Конструктивизм: Beiträge des 38. Internationalen Wittgenstein Symposiums [ Реализм – Релятивизм – Конструктивизм: Материалы 38-го Международного симпозиума Витгенштейна ] (PDF) (на немецком и английском языках). Том. 23. Кирхберг-ам-Векзель, Австрия: Австрийское общество Людвига Витгенштейна. стр. 132–134. ISSN  1022-3398. OCLC  236026294. Архивировано (PDF) из оригинала 7 ноября 2022 г. Получено 17 января 2024 г.(на ResearchGate)Архивировано 5 ноября 2022 г. на Wayback Machine )
2. Петерсон 1988, стр. 12.
3. Wigner, Eugene (1960). «Необоснованная эффективность математики в естественных науках». Communications on Pure and Applied Mathematics . 13 (1): 1–14. Bibcode :1960CPAM...13....1W. doi :10.1002/cpa.3160130102. S2CID  6112252. Архивировано из оригинала 28 февраля 2011 г.
4. Wise, David. «Влияние Евдокса на «Элементы» Евклида с пристальным вниманием к «Метод исчерпывания»». Университет Джорджии . Архивировано из оригинала 1 июня 2019 г. Получено 18 января 2024 г.
5. Александр, Амир (сентябрь 2011 г.). «Скелет в шкафу: должны ли историки науки заботиться об истории математики?». Isis . 102 (3): 475–480. doi :10.1086/661620. ISSN  0021-1753. MR  2884913. PMID  22073771. S2CID  21629993.
6. Кляйнер, Израиль (декабрь 1991 г.). «Строгость и доказательство в математике: историческая перспектива». Журнал «Математика» . 64 (5). Тейлор и Фрэнсис, ООО: 291–314. дои : 10.1080/0025570X.1991.11977625. eISSN  1930-0980. ISSN  0025-570X. JSTOR  2690647. LCCN  47003192. MR  1141557. OCLC  1756877. S2CID  7787171.
7. Белл, ET (1945) [1940]. "General Prospectus". Развитие математики (2-е изд.). Dover Publications. стр. 3. ISBN 978-0-486-27239-9. LCCN  45010599. OCLC  523284. ... математика дошла до наших дней двумя основными потоками числа и формы. Первый нёс за собой арифметику и алгебру, второй - геометрию.
8. Тивари, Сарджу (1992). «Зеркало цивилизации». Математика в истории, культуре, философии и науке (1-е изд.). Нью-Дели, Индия: Mittal Publications. стр. 27. ISBN 978-81-7099-404-6. LCCN  92909575. OCLC  28115124. К сожалению, два проклятия математики — нумерология и астрология — также родились вместе с ней и оказались более приемлемыми для масс, чем сама математика.
9. Restivo, Sal (1992). "Математика с нуля". В Bunge, Mario (ред.). Математика в обществе и истории . Episteme. Том 20. Kluwer Academic Publishers . стр. 14. ISBN 0-7923-1765-3. LCCN  25709270. OCLC  92013695.
10. Musielak, Dora (2022). Leonhard Euler and the Foundations of Celestial Mechanics . История физики. Springer International Publishing . doi :10.1007/978-3-031-12322-1. eISSN  2730-7557. ISBN 978-3-031-12321-4. ISSN  2730-7549. OCLC  1332780664. S2CID  253240718.
11. Биггс, Нидерланды (май 1979 г.). «Корни комбинаторики». История математики . 6 (2): 109–136. дои : 10.1016/0315-0860(79)90074-0 . eISSN  1090-249X. ISSN  0315-0860. LCCN  75642280. OCLC  2240703.
12. Warner, Evan. "Splash Talk: The Foundational Crisis of Mathematics" (PDF) . Columbia University . Архивировано из оригинала (PDF) 22 марта 2023 г. . Получено 3 февраля 2024 г. .
13. Данн, Эдвард; Хулек, Клаус (март 2020 г.). «Классификация предметов математики 2020» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 67 (3): 410–411. doi : 10.1090/noti2052 . eISSN  1088-9477. ISSN  0002-9920. LCCN  sf77000404. OCLC  1480366. Архивировано (PDF) из оригинала 3 августа 2021 г. . Получено 3 февраля 2024 г. . Новый MSC содержит 63 двузначные классификации, 529 трехзначных классификаций и 6006 пятизначных классификаций.
14. "MSC2020-Система классификации предметов по математике" (PDF) . zbMath . Ассоциированные редакторы Mathematical Reviews и zbMATH. Архивировано (PDF) из оригинала 2 января 2024 г. . Получено 3 февраля 2024 г. .
15. LeVeque, William J. (1977). "Введение". Основы теории чисел . Addison-Wesley Publishing Company . стр. 1–30. ISBN 0-201-04287-8. LCCN  76055645. OCLC  3519779. S2CID  118560854.
16. Голдман, Джей Р. (1998). «Отцы-основатели». Королева математики: исторически мотивированное руководство по теории чисел . Уэллсли, Массачусетс: AK Peters. стр. 2–3. doi :10.1201/9781439864623. ISBN 1-56881-006-7. LCCN  94020017. OCLC  30437959. S2CID  118934517.
17. Вайль, Андре (1983). Теория чисел: подход через историю от Хаммурапи до Лежандра . Birkhäuser Boston. стр. 2–3. doi :10.1007/978-0-8176-4571-7. ISBN 0-8176-3141-0. LCCN  83011857. OCLC  9576587. S2CID  117789303.
18. Кляйнер, Израиль (март 2000 г.). «От Ферма до Уайлса: Последняя теорема Ферма становится теоремой». Элементы математики . 55 (1): 19–37. дои : 10.1007/PL00000079 . eISSN  1420-8962. ISSN  0013-6018. LCCN  66083524. OCLC  1567783. S2CID  53319514.
19. Ван, Юань (2002). Гипотеза Гольдбаха . Серия по чистой математике. Т. 4 (2-е изд.). World Scientific . С. 1–18. doi :10.1142/5096. ISBN 981-238-159-7. LCCN  2003268597. OCLC  51533750. S2CID  14555830.
20. Straume, Eldar (4 сентября 2014 г.). «Обзор развития геометрии до 1870 г.». arXiv : 1409.1140 [math.HO].
21. Гильберт, Дэвид (1902). Основы геометрии. Open Court Publishing Company . стр. 1. doi :10.1126/science.16.399.307. LCCN  02019303. OCLC  996838. S2CID  238499430. Получено 6 февраля 2024 г.
22. Хартшорн, Робин (2000). «Геометрия Евклида». Геометрия: Евклид и дальше. Springer New York . С. 9–13. ISBN 0-387-98650-2. LCCN  99044789. OCLC  42290188 . Проверено 7 февраля 2024 г.
23. Бойер, Карл Б. (2004) [1956]. «Ферма и Декарт». История аналитической геометрии . Dover Publications . стр. 74–102. ISBN 0-486-43832-5. LCCN  2004056235. OCLC  56317813.
24. Стамп, Дэвид Дж. (1997). «Реконструкция единства математики около 1900 года» (PDF) . Перспективы науки . 5 (3): 383–417. doi :10.1162/posc_a_00532. eISSN  1530-9274. ISSN  1063-6145. LCCN  94657506. OCLC  26085129. S2CID  117709681 . Получено 8 февраля 2024 г. .
25. O'Connor, JJ; Robertson, EF (февраль 1996). "Неевклидова геометрия". MacTuror . Шотландия, Великобритания: Университет Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 6 ноября 2022 г. Получено 8 февраля 2024 г.
26. Джойнер, Дэвид (2008). «Группа (легального) кубика Рубика». Приключения в теории групп: кубик Рубика, машина Мерлина и другие математические игрушки (2-е изд.). Johns Hopkins University Press . С. 219–232. ISBN 978-0-8018-9012-3. LCCN  2008011322. OCLC  213765703.
27. Кристианидис, Жан; Оукс, Джеффри (май 2013 г.). «Практика алгебры в поздней античности: решение проблем Диофанта Александрийского». История математики . 40 (2): 127–163. дои : 10.1016/j.hm.2012.09.001 . eISSN  1090-249X. ISSN  0315-0860. LCCN  75642280. OCLC  2240703. S2CID  121346342.
28. Клейнер 2007, «История классической алгебры» стр. 3–5.
29. Шейн, Дэвид (2022). «Фигурные числа: исторический обзор древней математики» (PDF) . Методистский университет . стр. 20 . Получено 13 июня 2024 г. В своей работе Диофант сосредоточился на выводе арифметических свойств фигурных чисел, таких как вывод числа сторон, различных способах выражения числа в виде фигурного числа и формулировке арифметических прогрессий.
30. Овербей, Шон; Шорер, Джимми; Конгер, Хизер. «Аль-Хорезми». Университет Кентукки . Получено 13 июня 2024 г.
31. Лим, Лиза (21 декабря 2018 г.). «Откуда взялся x, который мы используем в алгебре, и X в Xmas» . South China Morning Post . Архивировано из оригинала 22 декабря 2018 г. Получено 8 февраля 2024 г.
32. Бернтьес, Соня . "Алгебра". Энциклопедия ислама онлайн (3-е изд.). ISSN  1573-3912. LCCN  2007238847. OCLC  56713464 . Проверено 13 июня 2024 г.
33. Oaks, Jeffery A. (2018). «Революция Франсуа Виэта в алгебре» (PDF) . Архив для History of Exact Sciences . 72 (3): 245–302. doi :10.1007/s00407-018-0208-0. eISSN  1432-0657. ISSN  0003-9519. LCCN  63024699. OCLC  1482042. S2CID  125704699. Архивировано (PDF) из оригинала 8 ноября 2022 г. . Получено 8 февраля 2024 г. .
34. "Переменная в математике". GeeksforGeeks . 24 апреля 2024 г. Получено 13 июня 2024 г.
35. Клейнер 2007, «История линейной алгебры» стр. 79–101.
36. Корри, Лео (2004). «Эмми Нётер: Идеалы и структуры». Современная алгебра и рост математических структур (2-е пересмотренное издание). Германия: Birkhäuser Basel. стр. 247–252. ISBN 3-7643-7002-5. LCCN  2004556211. OCLC  51234417 . Проверено 8 февраля 2024 г.
37. Риш, Жак (2007). «От универсальной алгебры к универсальной логике». В Beziau, JY; Costa-Leite, Alexandre (ред.). Перспективы универсальной логики. Милан, Италия: Polimetrica International Scientific Publisher. стр. 3–39. ISBN 978-88-7699-077-9. OCLC  647049731 . Получено 8 февраля 2024 г. .
38. Кремер, Ральф (2007). Инструмент и объект: история и философия теории категорий. Научные сети – исторические исследования. Том 32. Германия: Springer Science & Business Media . стр. xxi–xxv, 1–91. ISBN 978-3-7643-7523-2. LCCN  2007920230. OCLC  85242858 . Проверено 8 февраля 2024 г.
39. Гвиччардини, Никколо (2017). «Противоречие исчисления Ньютона–Лейбница, 1708–1730» (PDF) . В Schliesser, Eric; Smeenk, Chris (ред.). Оксфордский справочник Ньютона . Oxford Handbooks. Oxford University Press . doi : 10.1093/oxfordhb/9780199930418.013.9. ISBN 978-0-19-993041-8. OCLC  975829354. Архивировано (PDF) из оригинала 9 ноября 2022 г. . Получено 9 февраля 2024 г. .
40. O'Connor, JJ; Robertson, EF (сентябрь 1998 г.). "Leonhard Euler". MacTutor . Шотландия, Великобритания: Университет Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 9 ноября 2022 г. . Получено 9 февраля 2024 г.
41. "Исчисление (дифференциальное и интегральное исчисление с примерами)". Byju's . Получено 13 июня 2024 г. .
42. Франклин, Джеймс (июль 2017 г.). «Дискретное и непрерывное: фундаментальная дихотомия в математике». Журнал гуманистической математики . 7 (2): 355–378. doi : 10.5642/jhummath.201702.18 . ISSN  2159-8118. LCCN  2011202231. OCLC  700943261. S2CID  6945363. Получено 9 февраля 2024 г.
43. Maurer, Stephen B. (1997). «Что такое дискретная математика? Множество ответов». В Rosenstein, Joseph G.; Franzblau, Deborah S.; Roberts, Fred S. (ред.). Дискретная математика в школах . DIMACS: Серия по дискретной математике и теоретической информатике. Том 36. Американское математическое общество . стр. 121–124. doi :10.1090/dimacs/036/13. ISBN 0-8218-0448-0. ISSN  1052-1798. LCCN  97023277. OCLC  37141146. S2CID  67358543 . Проверено 9 февраля 2024 г.
44. Хейлз, Томас С. (2014). «Наследие Тьюринга: Развитие идей Тьюринга в логике». В Дауни, Род (ред.). Наследие Тьюринга . Заметки лекций по логике. Том 42. Cambridge University Press . С. 260–261. doi :10.1017/CBO9781107338579.001. ISBN 978-1-107-04348-0. LCCN  2014000240. OCLC  867717052. S2CID  19315498 . Получено 9 февраля 2024 г. .
45. Сипсер, Майкл (июль 1992 г.). История и статус вопроса P против NP . STOC '92: Труды двадцать четвертого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений. стр. 603–618. doi :10.1145/129712.129771. S2CID  11678884.
46. Эвальд, Уильям (17 ноября 2018 г.). «Возникновение логики первого порядка». Стэнфордская энциклопедия философии . ISSN  1095-5054. LCCN  sn97004494. OCLC  37550526. Получено 14 июня 2024 г.
47. Феррейрос, Хосе (18 июня 2020 г.) [Впервые опубликовано 10 апреля 2007 г.]. «Раннее развитие теории множеств». Стэнфордская энциклопедия философии . ISSN  1095-5054. LCCN  sn97004494. OCLC  37550526. Получено 14 июня 2024 г.
48. Феррейрос, Хосе (декабрь 2001 г.). «Дорога к современной логике — интерпретация» (PDF) . Бюллетень символической логики . 7 (4): 441–484. дои : 10.2307/2687794. eISSN  1943-5894. hdl : 11441/38373. ISSN  1079-8986. JSTOR  2687794. LCCN  95652899. OCLC  31616719. S2CID  43258676 . Проверено 14 июня 2024 г.
49. Wolchover, Natalie , ред. (26 ноября 2013 г.). «Спор о бесконечности делит математиков». Quanta Magazine . Получено 14 июня 2024 г.
50. Чжуан, Чаохуэй. "Анализ Витгенштейна диагонального аргумента Кантора" (DOC) . PhilArchive . Получено 14 июня 2024 г. .
51. Тансвелл, Феннер Стэнли (2024). Математическая строгость и неформальное доказательство . Cambridge Elements in the Philosophy of Mathematics. Cambridge University Press . doi :10.1017/9781009325110. eISSN  2399-2883. ISBN 978-1-00-949438-0. ISSN  2514-3808. OCLC  1418750041.
52. Авигад, Джереми ; Рек, Эрих Х. (11 декабря 2001 г.). ""Прояснение природы бесконечности": развитие метаматематики и теории доказательств" (PDF) . Университет Карнеги-Меллона . Получено 14 июня 2024 г.
53. Гамильтон, Алан Г. (1982). Числа, множества и аксиомы: аппарат математики. Cambridge University Press. стр. 3–4. ISBN 978-0-521-28761-6. Получено 12 ноября 2022 г. .
54. Snapper, Ernst (сентябрь 1979 г.). «Три кризиса в математике: логицизм, интуиционизм и формализм». Mathematics Magazine . 52 (4): 207–216. doi :10.2307/2689412. ISSN  0025-570X. JSTOR  2689412.
55. Raatikainen, Panu (октябрь 2005 г.). «О философской значимости теорем Гёделя о неполноте». Revue Internationale de Philosophie . 59 (4): 513–534. doi :10.3917/rip.234.0513. JSTOR  23955909. S2CID  52083793. Архивировано из оригинала 12 ноября 2022 г. Получено 12 ноября 2022 г.
56. Мошовакис, Джоан (4 сентября 2018 г.). «Интуиционистская логика». Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 16 декабря 2022 г. Получено 12 ноября 2022 г.
57. Маккарти, Чарльз (2006). «В основе анализа: интуиционизм и философия». Philosophia Scientiæ, Cahier Special 6 : 81–94. doi : 10.4000/philosophiascientiae.411 .
58. Halpern, Joseph ; Harper, Robert ; Immerman, Neil ; Kolaitis, Phokion ; Vardi, Moshe ; Vianu, Victor (2001). «О необычной эффективности логики в информатике» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 3 марта 2021 г. . Получено 15 января 2021 г. .
59. Руо, Матье (апрель 2017 г.) [Впервые опубликовано в июле 2013 г.]. Вероятность, статистика и оценка (PDF) . стр. 10. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Получено 13 февраля 2024 г.
60. Рао, К. Радхакришна (1997) [1989]. Статистика и правда: использование шанса в работе (2-е изд.). World Scientific. стр. 3–17, 63–70. ISBN 981-02-3111-3. LCCN  97010349. MR  1474730. OCLC  36597731.
61. Рао, К. Радхакришна (1981). «Предисловие». В Arthanari, TS; Dodge, Yadolah (ред.). Математическое программирование в статистике . Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. New York: Wiley. стр. vii–viii. ISBN 978-0-471-08073-2. LCCN  80021637. MR  0607328. OCLC  6707805.
62. Уиттл 1994, стр. 10–11, 14–18.
63. Марчук, Гурий Иванович (апрель 2020 г.). "GI Marchuk's plenary: ICM 1970". MacTutor . School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Архивировано из оригинала 13 ноября 2022 г. Получено 13 ноября 2022 г.
64. Джонсон, Гэри М.; Каваллини, Джон С. (сентябрь 1991 г.). Фуа, Канг Хо; Ло, Киа Фок (ред.). Грандиозные вызовы, высокопроизводительные вычисления и вычислительная наука. Singapore Supercomputing Conference'90: Supercomputing For Strategic Advantage. World Scientific. стр. 28. LCCN  91018998 . Получено 13 ноября 2022 г.
65. Трефетен, Ллойд Н. (2008). «Численный анализ». В Gowers, Тимоти ; Барроу-Грин, Джун ; Лидер, Имре (ред.). The Princeton Companion to Mathematics (PDF) . Princeton University Press . стр. 604–615. ISBN 978-0-691-11880-2. LCCN  2008020450. MR  2467561. OCLC  227205932. Архивировано (PDF) из оригинала 7 марта 2023 г. Получено 15 февраля 2024 г.
66. • Крессвелл 2021, § Математика
    • Перишо 1965, стр. 64
67. Перишо, Маргарет В. (весна 1965 г.). «Этимология математических терминов». Журнал Пи Му Эпсилон . 4 (2): 62–66. ISSN  0031-952X. JSTOR  24338341. LCCN  58015848. OCLC  1762376.
68. Боас, Ральф П. (1995). «Что Августин не сказал о математиках». В Alexanderson, Gerald L.; Mugler, Dale H. (ред.). Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories . Mathematical Association of America . стр. 257. ISBN 978-0-88385-323-8. LCCN  94078313. OCLC  633018890.
69. Оксфордский словарь английской этимологии , Оксфордский словарь английского языка , подраздел «математика», «математический», «математика».
70. "Maths (Noun)". Oxford English Dictionary . Oxford University Press . Получено 25 января 2024 г. .
71. "Math (Noun³)". Oxford English Dictionary . Oxford University Press . Архивировано из оригинала 4 апреля 2020 г. . Получено 25 января 2024 г. .
72. См., например, Уайлдер, Рэймонд Л. Эволюция математических понятий; элементарное исследование . passim.
73. Заславский, Клаудия (1999). Африка имеет значение: число и закономерности в африканской культуре . Chicago Review Press. ISBN 978-1-61374-115-3. OCLC  843204342.
74. Клайн 1990, Глава 1.
75. Месопотамия, стр. 10. Получено 1 июня 2024 г.
76. Бойер 1991, «Месопотамия» стр. 24–27.
77. Хит, Томас Литтл (1981) [1921]. История греческой математики: от Фалеса до Евклида . Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 1. ISBN 978-0-486-24073-2.
78. Мюллер, И. (1969). «Элементы Евклида и аксиоматический метод». Британский журнал философии науки . 20 (4): 289–309. doi :10.1093/bjps/20.4.289. ISSN  0007-0882. JSTOR  686258.
79. Бойер 1991, «Евклид Александрийский» стр. 119.
80. Бойер 1991, «Архимед из Сиракуз», стр. 120.
81. Бойер 1991, «Архимед из Сиракуз», стр. 130.
82. Бойер 1991, «Аполлоний Пергский», стр. 145.
83. Бойер 1991, «Греческая тригонометрия и измерение», стр. 162.
84. Бойер 1991, «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 180.
85. Оре, Эйстейн (1988). Теория чисел и ее история. Courier Corporation. С. 19–24. ISBN 978-0-486-65620-5. Получено 14 ноября 2022 г. .
86. Сингх, AN (январь 1936 г.). «Об использовании рядов в индийской математике». Osiris . 1 : 606–628. doi :10.1086/368443. JSTOR  301627. S2CID  144760421.
87. Колачана, А.; Махеш, К.; Рамасубраманиан, К. (2019). «Использование рядов в Индии». Исследования по индийской математике и астрономии . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Сингапур: Springer. стр. 438–461. doi :10.1007/978-981-13-7326-8_20. ISBN 978-981-13-7325-1. S2CID  190176726.
88. Салиба, Джордж (1994). История арабской астрономии: планетарные теории в золотой век ислама . New York University Press. ISBN 978-0-8147-7962-0. OCLC  28723059.
89. Фаруки, Ясмин М. (2006). «Вклад исламских ученых в научное предпринимательство». International Education Journal . 7 (4). Shannon Research Press: 391–399. Архивировано из оригинала 14 ноября 2022 г. Получено 14 ноября 2022 г.
90. Лорх, Ричард (июнь 2001 г.). «Греко-арабско-латинский: передача математических текстов в средние века» (PDF) . Наука в контексте . 14 (1–2). Cambridge University Press: 313–331. doi :10.1017/S0269889701000114. S2CID  146539132. Архивировано (PDF) из оригинала 17 декабря 2022 г. . Получено 5 декабря 2022 г. .
91. Кент, Бенджамин (2022). История науки (PDF) . Том 2. Цифровая библиотека Bibliotex. ISBN 978-1-984668-67-7.
92. Арчибальд, Рэймонд Клэр (январь 1949). «История математики после шестнадцатого века». The American Mathematical Monthly . Часть 2: Очерк истории математики. 56 (1): 35–56. doi :10.2307/2304570. JSTOR  2304570.
93. Севрюк 2006, стр. 101–109.
94. Вольфрам, Стефан (октябрь 2000 г.). Математическая нотация: прошлое и будущее. MathML и математика в Интернете: MathML International Conference 2000, Урбана-Шампейн, США. Архивировано из оригинала 16 ноября 2022 г. . Получено 3 февраля 2024 г. .
95. Дуглас, Хизер; Хедли, Марсия Гейл; Хадден, Стефани; Лефевр, Джо-Энн (3 декабря 2020 г.). «Знание математических символов выходит за рамки чисел». Журнал числового познания . 6 (3): 322–354. doi : 10.5964/jnc.v6i3.293 . eISSN  2363-8761. S2CID  228085700.
96. Летурно, Мэри; Райт Шарп, Дженнифер (октябрь 2017 г.). «Руководство по стилю AMS» (PDF) . Американское математическое общество . стр. 75. Архивировано (PDF) из оригинала 8 декабря 2022 г. . Получено 3 февраля 2024 г. .
97. Jansen, Anthony R.; Marriott, Kim; Yelland, Greg W. (2000). "Constituent Structure in Mathematical Expressions" (PDF) . Труды ежегодного собрания Cognitive Science Society . 22 . Калифорнийский университет в Мерседе . eISSN  1069-7977. OCLC  68713073. Архивировано (PDF) из оригинала 16 ноября 2022 г. . Получено 3 февраля 2024 г. .
98. Росси, Ричард Дж. (2006). Теоремы, следствия, леммы и методы доказательства . Чистая и прикладная математика: серия текстов, монографий и трактатов издательства Wiley. John Wiley & Sons . стр. 1–14, 47–48. ISBN 978-0-470-04295-3. LCCN  2006041609. OCLC  64085024.
99. "Earliest Uses of Some Words of Mathematics". MacTutor . Шотландия, Великобритания: Университет Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 29 сентября 2022 г. Получено 3 февраля 2024 г.
100. Сильвер, Дэниел С. (ноябрь–декабрь 2017 г.). «Новый язык математики». The American Scientist . 105 (6). Sigma Xi : 364–371. doi : 10.1511/2017.105.6.364 . ISSN  0003-0996. LCCN  43020253. OCLC  1480717. S2CID  125455764.
101. Белломо, Никола; Прециози, Луиджи (22 декабря 1994 г.). Моделирование математических методов и научных вычислений. Математическое моделирование. Том 1. CRC Press. стр. 1. ISBN 978-0-8493-8331-1. Получено 16 ноября 2022 г. .
102. Хенниг, Кристиан (2010). «Математические модели и реальность: конструктивистская перспектива». Foundations of Science . 15 : 29–48. doi :10.1007/s10699-009-9167-x. S2CID  6229200. Получено 17 ноября 2022 г.
103. Фригг, Роман ; Хартманн, Стефан (4 февраля 2020 г.). «Модели в науке». Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 17 ноября 2022 г. Получено 17 ноября 2022 г.
104. Стюарт, Ян (2018). «Математика, карты и модели». В Wuppuluri, Shyam; Дориа, Франциско Антонио (ред.). Карта и территория: исследование основ науки, мысли и реальности . Коллекция Frontiers. Springer. стр. 345–356. doi :10.1007/978-3-319-72478-2_18. ISBN 978-3-319-72478-2. Получено 17 ноября 2022 г. .
105. "Применимый контрольный список по науке: Математика". Понимание науки . Калифорнийский университет в Беркли. Архивировано из оригинала 27 октября 2019 г. Получено 27 октября 2019 г.
106. Mackay, AL (1991). Словарь научных цитат. Лондон: Taylor & Francis. стр. 100. ISBN 978-0-7503-0106-0. Получено 19 марта 2023 г. .
107. Бишоп, Алан (1991). «Экологическая деятельность и математическая культура». Математическая инкультурация: культурная перспектива математического образования . Норвелл, Массачусетс: Kluwer Academic Publishers. стр. 20–59. ISBN 978-0-7923-1270-3. Получено 5 апреля 2020 г. .
108. Шаша, Деннис Эллиот ; Лазер, Кэти А. (1998). Вне их рассудка: жизни и открытия 15 великих ученых-компьютерщиков . Springer. стр. 228. ISBN 978-0-387-98269-4.
109. Никлс, Томас (2013). «Проблема демаркации». Философия псевдонауки: переосмысление проблемы демаркации . Чикаго: Издательство Чикагского университета. стр. 104. ISBN 978-0-226-05182-6.
110. Пильуччи, Массимо (2014). «Существуют ли «другие» способы познания?». Philosophy Now . Архивировано из оригинала 13 мая 2020 г. Получено 6 апреля 2020 г.
111. Феррейрос, Дж. (2007). «Ό Θεὸς Άριθμητίζει: Развитие чистой математики как арифметики с Гауссом». В Гольдштейне, Кэтрин ; Шаппахер, Норберт; Швермер, Иоахим (ред.). Формирование арифметики по мотивам «Disquisitiones Arithmeticae» К.Ф. Гаусса . Springer Science & Business Media. стр. 235–268. ISBN 978-3-540-34720-0.
112. Кун, Томас С. (1976). «Математические и экспериментальные традиции в развитии физической науки». Журнал междисциплинарной истории . 7 (1). MIT Press: 1–31. doi :10.2307/202372. JSTOR  202372.
113. Аспер, Маркус (2009). «Две культуры математики в Древней Греции». В Робсон, Элеанор; Стедалл, Жаклин (ред.). Оксфордский справочник по истории математики . Оксфордские справочники по математике. OUP Oxford. стр. 107–132. ISBN 978-0-19-921312-2. Получено 18 ноября 2022 г. .
114. Gozwami, Pinkimani; Singh, Madan Mohan (2019). «Проблема факторизации целых чисел». В Ahmad, Khaleel; Doja, MN; Udzir, Nur Izura; Singh, Manu Pratap (ред.). Новые алгоритмы и методы безопасности . CRC Press. стр. 59–60. ISBN 978-0-8153-6145-9. LCCN  2019010556. OCLC  1082226900.
115. Maddy, P. (2008). «Как прикладная математика стала чистой» (PDF) . The Review of Symbolic Logic . 1 (1): 16–41. doi :10.1017/S1755020308080027. S2CID  18122406. Архивировано (PDF) из оригинала 12 августа 2017 г. . Получено 19 ноября 2022 г. .
116. Сильвер, Дэниел С. (2017). «В защиту чистой математики». В Pitici, Mircea (ред.). Лучшее сочинение по математике, 2016. Princeton University Press. стр. 17–26. ISBN 978-0-691-17529-4. Получено 19 ноября 2022 г. .
117. Паршалл, Карен Хангер (2022). «Американское математическое общество и прикладная математика с 1920-х по 1950-е годы: ревизионистский отчет». Бюллетень Американского математического общества . 59 (3): 405–427. doi : 10.1090/bull/1754 . S2CID  249561106. Архивировано из оригинала 20 ноября 2022 г. Получено 20 ноября 2022 г.
118. Штольц, Майкл (2002). «История прикладной математики и история общества». Synthese . 133 : 43–57. doi :10.1023/A:1020823608217. S2CID  34271623. Получено 20 ноября 2022 г.
119. Лин, К. К. (март 1976 г.). «О роли прикладной математики». Advances in Mathematics . 19 (3): 267–288. doi : 10.1016/0001-8708(76)90024-4 .
120. Перессини, Энтони (сентябрь 1999 г.). Применение чистой математики (PDF) . Философия науки. Труды двухгодичных встреч Ассоциации философии науки 1998 г. Часть I: Предоставленные доклады. Том 66. стр. S1–S13. JSTOR  188757. Архивировано (PDF) из оригинала 2 января 2024 г. Получено 30 ноября 2022 г.
121. Lützen, J. (2011). «Примеры и размышления о взаимодействии математики и физики в 19-м и 20-м веках». В Schlote, KH; Schneider, M. (ред.). Математика встречает физику: вклад в их взаимодействие в 19-м и первой половине 20-го века . Франкфурт-на-Майне: Verlag Harri Deutsch. Архивировано из оригинала 23 марта 2023 г. . Получено 19 ноября 2022 г.
122. Маркер, Дэйв (июль 1996 г.). «Теория моделей и возведение в степень». Notices of the American Mathematical Society . 43 (7): 753–759. Архивировано из оригинала 13 марта 2014 г. Получено 19 ноября 2022 г.
123. Чен, Чанбо; Маза, Марк Морено (август 2014 г.). Цилиндрическое алгебраическое разложение в библиотеке RegularChains. Международный конгресс по математическому программному обеспечению 2014 г. Конспект лекций по информатике. Том 8592. Берлин: Springer. doi :10.1007/978-3-662-44199-2_65 . Получено 19 ноября 2022 г. .
124. Перес-Эскобар, Хосе Антонио; Сарикая, Дениз (2021). «Очищение прикладной математики и применение чистой математики: как поздняя витгенштейновская перспектива проливает свет на дихотомию». Европейский журнал философии науки . 12 (1): 1–22. doi : 10.1007/s13194-021-00435-9 . S2CID  245465895.
125. Takase, M. (2014). «Чистая математика и прикладная математика неразрывно связаны: наблюдение раннего анализа бесконечности». Математический подход к исследованию проблем науки и техники . Математика для промышленности. Том 5. Токио: Springer. С. 393–399. doi :10.1007/978-4-431-55060-0_29. ISBN 978-4-431-55059-4. Получено 20 ноября 2022 г. .
126. Sarukkai, Sundar (10 февраля 2005 г.). «Возвращаясь к „необоснованной эффективности“ математики». Current Science . 88 (3): 415–423. JSTOR  24110208.
127. Wagstaff, Samuel S. Jr. (2021). "History of Integer Factoring" (PDF) . В Bos, Joppe W.; Stam, Martijn (ред.). Computational Cryptography, Algorithmic Aspects of Cryptography, A Tribute to AKL . London Mathematical Society Lecture Notes Series 469. Cambridge University Press. стр. 41–77. Архивировано (PDF) из оригинала 20 ноября 2022 г. . Получено 20 ноября 2022 г. .
128. "Curves: Ellipse". MacTutor . School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Архивировано из оригинала 14 октября 2022 г. Получено 20 ноября 2022 г.
129. Мукунт, Васудеван (10 сентября 2015 г.). «За поверхностью относительности Эйнштейна лежала химерическая геометрия». The Wire . Архивировано из оригинала 20 ноября 2022 г. . Получено 20 ноября 2022 г. .
130. Уилсон, Эдвин Б.; Льюис, Гилберт Н. (ноябрь 1912 г.). «Пространственно-временное многообразие относительности. Неевклидова геометрия механики и электромагнетизма». Труды Американской академии искусств и наук . 48 (11): 389–507. doi :10.2307/20022840. JSTOR  20022840.
131. Борель, Арманд (1983). «Математика: искусство и наука». The Mathematical Intelligencer . 5 (4). Springer: 9–17. doi : 10.4171/news/103/8 . ISSN  1027-488X.
132. Хансон, Норвуд Рассел (ноябрь 1961 г.). «Открытие позитрона (I)». Британский журнал философии науки . 12 (47). Издательство Чикагского университета: 194–214. doi :10.1093/bjps/xiii.49.54. JSTOR  685207.
133. Джинами, Мишель (февраль 2016 г.). «Избегание овеществления: эвристическая эффективность математики и предсказание Ω ^– частицы». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 53 : 20–27. Bibcode :2016SHPMP..53...20G. doi :10.1016/j.shpsb.2015.12.001.
134. Ваг, Санджай Морешвар; Дешпанде, Дилип Абасахеб (27 сентября 2012 г.). Основы физики. PHI Learning Pvt. ООО с. 3. ISBN 978-81-203-4642-0. Получено 3 января 2023 г. .
135. Атья, Майкл (1990). О работе Эдварда Виттена (PDF) . Труды Международного конгресса математиков. стр. 31. Архивировано из оригинала (PDF) 28 сентября 2013 г. Получено 29 декабря 2022 г.
136. "Курс 18C Математика с информатикой". math.mit.edu . Получено 1 июня 2024 г. .
137. "Теоретическая информатика". math.mit.edu . Получено 1 июня 2024 г. .
138. "Real-Life Applications of Discrete Mathematics". GeeksforGeeks . 8 апреля 2024 г. Получено 19 мая 2024 г.
139. Хейлз, Томас; Адамс, Марк; Бауэр, Гертруда; Данг, Тат Дат; Харрисон, Джон; Хоанг, Ле Труонг; Калишиук, Цезари; Магрон, Виктор; Маклафлин, Шон; Нгуен, Тат Тханг; Нгуен, Куанг Труонг; Нипков, Тобиас; Обуа, Стивен; Плесо, Джозеф; Руте, Джейсон; Соловьев, Алексей; Та, Тхи Хоай Ан; Тран, Нам Трунг; Триеу, Тхи Дьеп; Урбан, Йозеф; Ву, Ки; Цумкеллер, Роланд (2017). "Формальное доказательство гипотезы Кеплера". Forum of Mathematics, Pi . 5 : e2. doi :10.1017/fmp.2017.1. hdl : 2066/176365 . ISSN  2050-5086. S2CID  216912822. Архивировано из оригинала 4 декабря 2020 г. Получено 25 февраля 2023 г.
140. Millstein, Roberta (8 сентября 2016 г.). «Вероятность в биологии: случай приспособленности» (PDF) . В Hájek, Alan; Hitchcock, Christopher (ред.). The Oxford Handbook of Probability and Philosophy . стр. 601–622. doi :10.1093/oxfordhb/9780199607617.013.27. Архивировано (PDF) из оригинала 7 марта 2023 г. . Получено 29 декабря 2022 г. .
141. См., например, Анн Лоран, Ролан Гаме, Жером Пантель, Новые тенденции в моделировании окружающей среды, акты конгресса «Программа окружающей среды, жизни и общества», 15–17 января 1996 г., CNRS.
142. Було 1999, стр. 282–283.
143. Було 1999, стр. 285.
144. "1.4: Модель хищник-жертва Лотки-Вольтерры". Mathematics LibreTexts . 5 января 2022 г. Архивировано из оригинала 29 декабря 2022 г. Получено 29 декабря 2022 г.
145. Salsburg, David (17 августа 1992 г.). "Комментарий" (PDF) . Использование статистических методов в анализе клинических исследований . 46 : 17.
146. Национальный исследовательский совет (2003). "8". За пределами молекулярной границы: проблемы химии и химической инженерии. NAP.edu. стр. 71–73. doi :10.17226/10633. ISBN 978-0-309-16839-7. PMID  25032300.
147. "Catastrophe Models (Property)". content.naic.org . Получено 19 мая 2024 г. .
148. "MAM2001 Essay". ww2.amstat.org . Получено 19 мая 2024 г. .
149. Хилл, Маллика (7 сентября 2022 г.). «КАК МАТЕМАТИКА ИСПОЛЬЗУЕТСЯ В ПРОГНОЗИРОВАНИИ ПОГОДЫ». mathnasium.com . Получено 19 мая 2024 г. .
150. «Использование математических моделей для исследования планетарной обитаемости» (PDF) . NASA . Получено 19 мая 2024 г.
151. Эдлинг, Кристофер Р. (2002). «Математика в социологии». Annual Review of Sociology . 28 (1): 197–220. doi :10.1146/annurev.soc.28.110601.140942. ISSN  0360-0572.
152. Batchelder, William H. (1 января 2015 г.). «Математическая психология: история». В Wright, James D. (ред.). Международная энциклопедия социальных и поведенческих наук (второе издание) . Oxford: Elsevier. стр. 808–815. ISBN 978-0-08-097087-5. Получено 30 сентября 2023 г. .
153. Zak, Paul J. (2010). Моральные рынки: критическая роль ценностей в экономике. Princeton University Press. стр. 158. ISBN 978-1-4008-3736-6. Получено 3 января 2023 г. .
154. Левин, Джонатан; Милгром, Пол (сентябрь 2004 г.). Введение в теорию выбора (PDF) .
155. Кремер, Майкл; Рао, Гаутам; Шильбах, Франк (2019). "Глава 5. Экономика поведенческого развития". Справочник по поведенческой экономике: приложения и основы (PDF) . Том 2.
156. "Математика". mdpi.com .
157. "Кондратьев, Николай Дмитриевич | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com . Архивировано из оригинала 1 июля 2016 года . Получено 29 декабря 2022 года .
158. "Математика истории-геометрии и кинематографии. Лоис де Брюк. Геодезическая хронология Библии. Шарля ЛАГРАНЖА и др. | Страница онлайн-книг" . onlinebooks.library.upenn.edu .
159. "Клиодинамика: наука для предсказания будущего". ZDNet. Архивировано из оригинала 29 декабря 2022 г. Получено 29 декабря 2022 г.
160. Сокал, Алан ; Жан Брикмон (1998). Модная ерунда. Нью-Йорк: Пикадор. ISBN 978-0-312-19545-8. OCLC  39605994.
161. «Вводящая в заблуждение статистика безработицы Байдена – FactCheck.org».
162. «Современные макроэкономические модели как инструменты экономической политики | Федеральный резервный банк Миннеаполиса». minneapolisfed.org .
163. Балагер, Марк (2016). «Платонизм в метафизике». В Zalta, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (ред. весна 2016 г.). Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет. Архивировано из оригинала 30 января 2022 г. . Получено 2 апреля 2022 г. .
164. См. Уайт, Л. (1947). «Местоположение математической реальности: антропологическая сноска». Философия науки . 14 (4): 289–303. doi :10.1086/286957. S2CID  119887253. 189303;также в Newman, JR (1956). Мир математики . Том 4. Нью-Йорк: Simon and Schuster. С. 2348–2364.
165. Дорато, Мауро (2005). «Почему законы математические?» (PDF) . Программное обеспечение Вселенной, Введение в историю и философию законов природы . Ashgate. стр. 31–66. ISBN 978-0-7546-3994-7. Архивировано (PDF) из оригинала 17 августа 2023 г. . Получено 5 декабря 2022 г. .
166. Мура, Роберта (декабрь 1993 г.). «Образы математики, хранимые университетскими преподавателями математических наук». Образовательные исследования в области математики . 25 (4): 375–85. doi :10.1007/BF01273907. JSTOR  3482762. S2CID  122351146.
167. Тобиес, Ренате ; Нойнцерт, Хельмут (2012). Айрис Рунге: Жизнь на перекрестке математики, науки и промышленности. Springer. стр. 9. ISBN 978-3-0348-0229-1. Получено 20 июня 2015 г. . [I]t сначала необходимо спросить, что подразумевается под математикой в ​​целом. Известные ученые спорили по этому вопросу до посинения, и все же не было достигнуто единого мнения о том, является ли математика естественной наукой, разделом гуманитарных наук или формой искусства.
168. Циглер, Гюнтер М.; Лоос, Андреас (2 ноября 2017 г.). Кайзер, Г. (ред.). «Что такое математика?» и почему мы должны спрашивать, где можно испытать и изучить это, и как этому обучать . Труды 13-го Международного конгресса по математическому образованию. Монографии ICME-13. Springer. стр. 63–77. doi :10.1007/978-3-319-62597-3_5. ISBN 978-3-319-62596-6.(Разделы «Что такое математика?» и «Что такое математика на самом деле?»)
169. Мура 1993, стр. 379, 381.
170. Браун и Портер 1995, стр. 326.
171. Штраус, Дэни (2011). «Определение математики». Acta Academica . 43 (4): 1–28 . Получено 25 ноября 2022 г.
172. Франклин, Джеймс (2009). Философия математики. Elsevier. С. 104–106. ISBN 978-0-08-093058-9. Получено 20 июня 2015 г. .
173. Каджори, Флориан (1893). История математики. Американское математическое общество (переиздание 1991 г.). стр. 285–286. ISBN 978-0-8218-2102-2. Получено 20 июня 2015 г. .
174. Девлин 2018, стр. 3.
175. Saunders Maclane (1986). Математика, форма и функция . Springer., страница 409
176. Браун, Рональд ; Портер, Тимоти (1995). «Методология математики». The Mathematical Gazette . 79 (485): 321–334. doi :10.2307/3618304. JSTOR  3618304. S2CID  178923299. Архивировано из оригинала 23 марта 2023 г. Получено 25 ноября 2022 г.
177. Хамами, Ясин (июнь 2022 г.). «Математическая строгость и доказательство» (PDF) . Обзор символической логики . 15 (2): 409–449. doi :10.1017/S1755020319000443. S2CID  209980693. Архивировано (PDF) из оригинала 5 декабря 2022 г. . Получено 21 ноября 2022 г. .
178. Петерсон 1988, стр. 4: «Некоторые жалуются, что компьютерную программу невозможно проверить должным образом» (в отношении доказательства Хакена–Эппла теоремы о четырех красках ).
179. Перминов, В. Я. (1988). «О надежности математических доказательств». Философия математики . 42 (167 (4)). Revue Internationale de Philosophie: 500–508.
180. Дэвис, Джон Д.; Макдаффи, Эми Рот; Дрейк, Кори; Сейвелл, Аманда Л. (2019). «Восприятие учителями официальной учебной программы: решение проблем и строгость». Международный журнал образовательных исследований . 93 : 91–100. doi : 10.1016/j.ijer.2018.10.002. S2CID  149753721.
181. Эндсли, Кезия (2021). Математики и статистики: практическое руководство по карьере. Практические руководства по карьере. Rowman & Littlefield. С. 1–3. ISBN 978-1-5381-4517-3. Получено 29 ноября 2022 г. .
182. Робсон, Элеанор (2009). «Математическое образование в старой вавилонской школе писцов». В Робсон, Элеанор; Стедалл, Жаклин (ред.). Оксфордский справочник по истории математики . OUP Oxford. ISBN 978-0-19-921312-2. Получено 24 ноября 2022 г. .
183. Бернар, Ален; Пруст, Кристин ; Росс, Мика (2014). «Математическое образование в античности». В Карп, А.; Шубринг, Г. (ред.). Справочник по истории математического образования . Нью-Йорк: Springer. стр. 27–53. doi :10.1007/978-1-4614-9155-2_3. ISBN 978-1-4614-9154-5.
184. Дадли, Андервуд (апрель 2002 г.). «Первый в мире учебник математики». Math Horizons . 9 (4). Taylor & Francis, Ltd.: 8–11. doi :10.1080/10724117.2002.11975154. JSTOR  25678363. S2CID  126067145.
185. Субрамариэн, Ф. Индийская педагогика и решение проблем в древнем Тамижакаме (PDF) . Конференция по истории и педагогике математики, 16–20 июля 2012 г. Архивировано (PDF) из оригинала 28 ноября 2022 г. Получено 29 ноября 2022 г.
186. Сиу, Ман Кеунг (2004). «Официальная учебная программа по математике в Древнем Китае: как кандидаты готовились к экзамену?». Как китайцы изучают математику (PDF) . Серия по математическому образованию. Том 1. С. 157–185. doi :10.1142/9789812562241_0006. ISBN 978-981-256-014-8. Получено 26 ноября 2022 г. .
187. Джонс, Филлип С. (1967). «История математического образования». The American Mathematical Monthly . 74 (1). Taylor & Francis, Ltd.: 38–55. doi :10.2307/2314867. JSTOR  2314867.
188. Шубринг, Герт; Фурингетти, Фульвия; Сиу, Ман Кынг (август 2012 г.). «Введение: история преподавания математики. Индикаторы процессов модернизации в обществах». ZDM Mathematics Education . 44 (4): 457–459. doi : 10.1007/s11858-012-0445-7 . S2CID  145507519.
189. фон Давье, Маттиас; Фой, Пьер; Мартин, Майкл О.; Маллис, Ина В.С. (2020). «Изучение различий между данными eTIMSS и данными Bridge: взгляд на эффекты режима администрирования на уровне страны». Международные результаты TIMSS 2019 по математике и естественным наукам (PDF) . Международный исследовательский центр TIMSS и PIRLS , Школа образования и развития человека им. Линча и Международная ассоциация по оценке образовательных достижений . стр. 13.1. ISBN 978-1-889938-54-7. Архивировано (PDF) из оригинала 29 ноября 2022 г. . Получено 29 ноября 2022 г. .
190. Роуэн-Кеньон, Хизер Т.; Свон, Эми К.; Крегер, Мари Ф. (март 2012 г.). «Социальные когнитивные факторы, поддержка и вовлеченность: математические интересы ранних подростков как предшественники выбора карьеры» (PDF) . The Career Development Quarterly . 60 (1): 2–15. doi :10.1002/j.2161-0045.2012.00001.x. Архивировано (PDF) из оригинала 22 ноября 2023 г. . Получено 29 ноября 2022 г. .
191. Люттенбергер, Силке; Виммер, Сигрид; Паехтер, Мануэла (2018). «В центре внимания математическая тревожность». Психологические исследования и управление поведением . 11 : 311–322. doi : 10.2147/PRBM.S141421 . PMC 6087017. PMID  30123014. 
192. Яфтиан, Наргес (2 июня 2015 г.). «Взгляд на творческие процессы математиков». Procedia – Социальные и поведенческие науки . 191 : 2519–2525. doi : 10.1016/j.sbspro.2015.04.617 .
193. Nadjafikhah, Mehdi; Yaftian, Narges (10 октября 2013 г.). «Фронт творчества и математического творчества». Procedia – Социальные и поведенческие науки . 90 : 344–350. doi : 10.1016/j.sbspro.2013.07.101 .
194. van der Poorten, A. (1979). «Доказательство, которое Эйлер пропустил... Доказательство Апери иррациональности ζ(3)» (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 1 (4): 195–203. doi :10.1007/BF03028234. S2CID  121589323. Архивировано (PDF) из оригинала 6 сентября 2015 г. . Получено 22 ноября 2022 г. .
195. Петкови, Миодраг (2 сентября 2009 г.). Знаменитые загадки великих математиков. Американское математическое общество. стр. xiii–xiv. ISBN 978-0-8218-4814-2. Получено 25 ноября 2022 г. .
196. Харди, Г. Х. (1940). Апология математика. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42706-7. Получено 22 ноября 2022 г. .См. также «Апология математика» .
197. Алон, Нога; Голдстон, Дэн; Саркози, Андраш; Сабадос, Йожеф; Тененбаум, Джеральд; Гарсия, Стефан Рамон; Шумейкер, Эми Л. (март 2015 г.). Аллади, Кришнасвами; Кранц, Стивен Г. (ред.). «Размышления о Поле Эрдеше по поводу столетия его рождения, часть II». Уведомления Американского математического общества . 62 (3): 226–247. дои : 10.1090/noti1223 .
198. См., например, утверждение Бертрана Рассела : «Математика, правильно рассматриваемая, обладает не только истиной, но и высшей красотой...» в его «Истории западной философии» . 1919. С. 60.
199. Cazden, Norman (октябрь 1959). «Музыкальные интервалы и простые числовые соотношения». Журнал исследований в области музыкального образования . 7 (2): 197–220. doi :10.1177/002242945900700205. JSTOR  3344215. S2CID  220636812.
200. Budden, FJ (октябрь 1967). «Современная математика и музыка». The Mathematical Gazette . 51 (377). Cambridge University Press ({CUP}): 204–215. doi :10.2307/3613237. JSTOR  3613237. S2CID  126119711.
201. Enquist, Magnus; Arak, Anthony (ноябрь 1994 г.). «Симметрия, красота и эволюция». Nature . 372 (6502): 169–172. Bibcode :1994Natur.372..169E. doi :10.1038/372169a0. ISSN  1476-4687. PMID  7969448. S2CID  4310147. Архивировано из оригинала 28 декабря 2022 г. Получено 29 декабря 2022 г.
202. Хестенес, Дэвид (1999). «Группы симметрии» (PDF) .
203. Бендер, Сара (сентябрь 2020 г.). «Тест Роршаха». В Carducci, Bernardo J.; Nave, Christopher S.; Mio, Jeffrey S.; Riggio, Ronald E. (ред.). The Wiley Encyclopedia of Personality and Individual Differences: Measurement and Assessment . Wiley. стр. 367–376. doi :10.1002/9781119547167.ch131. ISBN 978-1-119-05751-2.
204. Weyl, Hermann (2015). Симметрия . Princeton Science Library. Том 47. Princeton University Press. стр. 4. ISBN 978-1-4008-7434-7.
205. "Лекция 8: Трансляционная симметрия | Физика III: Вибрации и волны | Физика". MIT OpenCourseWare .
206. Брэдли, Ларри (2010). «Фракталы – Хаос и фракталы». stsci.edu . Архивировано из оригинала 7 марта 2023 г. . Получено 29 декабря 2022 г. .
207. "Самоподобие". math.bu.edu . Архивировано из оригинала 2 марта 2023 г. Получено 29 декабря 2022 г.
208. Kissane, Barry (июль 2009 г.). Popular Mathematics. 22-я двухгодичная конференция Австралийской ассоциации учителей математики. Фримантл, Западная Австралия: Австралийская ассоциация учителей математики. стр. 125–126. Архивировано из оригинала 7 марта 2023 г. . Получено 29 декабря 2022 г. .
209. Стин, Л.А. (2012). Математика сегодня Двенадцать неформальных эссе. Springer Science & Business Media. стр. 2. ISBN 978-1-4613-9435-8. Получено 3 января 2023 г. .
210. Pitici, Mircea (2017). Лучшее сочинение по математике 2016 года. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8560-2. Получено 3 января 2023 г. .
211. Монастырский 2001, стр. 1: «Медаль Филдса в настоящее время, бесспорно, является самой известной и влиятельной наградой в области математики».
212. Рием 2002, стр. 778–782.
213. "Fields Medal | International Mathematical Union (IMU)". www.mathunion.org . Архивировано из оригинала 26 декабря 2018 г. . Получено 21 февраля 2022 г. .
214. "Fields Medal". История математики . Архивировано из оригинала 22 марта 2019 г. Получено 21 февраля 2022 г.
215. "Honours/Prizes Index". Архив истории математики MacTutor . Архивировано из оригинала 17 декабря 2021 г. Получено 20 февраля 2023 г.
216. "О премии Абеля". Премия Абеля. Архивировано из оригинала 14 апреля 2022 г. Получено 23 января 2022 г.
217. "Премия Абеля | премия по математике". Encyclopedia Britannica . Архивировано из оригинала 26 января 2020 г. Получено 23 января 2022 г.
218. "Chern Medal Award" (PDF) . mathunion.org . 1 июня 2009 г. Архивировано (PDF) из оригинала 17 июня 2009 г. Получено 21 февраля 2022 г. .
219. "Chern Medal Award". Международный математический союз (IMU). Архивировано из оригинала 25 августа 2010 года . Получено 23 января 2022 года .
220. "The Leroy P Steele Prize of the AMS". Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия. Архивировано из оригинала 17 ноября 2022 г. Получено 17 ноября 2022 г.
221. Черн, СС; Хирцебрух, Ф. (сентябрь 2000 г.). Премия Вольфа по математике. doi : 10.1142/4149. ISBN 978-981-02-3945-9. Архивировано из оригинала 21 февраля 2022 г. . Получено 21 февраля 2022 г. .
222. "The Wolf Prize". Wolf Foundation . Архивировано из оригинала 12 января 2020 г. Получено 23 января 2022 г.
223. "Проблемы Гильберта: 23 и математика". Simons Foundation . 6 мая 2020 г. Архивировано из оригинала 23 января 2022 г. Получено 23 января 2022 г.
224. Феферман, Соломон (1998). «Решение неразрешимого: борьба с проблемами Гильберта» (PDF) . В свете логики. Серия «Логика и вычисления в философии». Oxford University Press. С. 3–27. ISBN 978-0-19-508030-8. Получено 29 ноября 2022 г. .
225. "The Millennium Prize Problems". Clay Mathematics Institute. Архивировано из оригинала 3 июля 2015 г. Получено 23 января 2022 г.
226. "Проблемы тысячелетия". Clay Mathematics Institute. Архивировано из оригинала 20 декабря 2018 г. Получено 23 января 2022 г.

Источники

• Було, Николя (1999). Философия математики и моделирования: Du chercheur à l'ingénieur . Л'Харматтан. ISBN 978-2-7384-8125-2.
• Бойер, Карл Бенджамин (1991). История математики (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley . ISBN 978-0-471-54397-8.
• Крессвелл, Джулия (2021). Оксфордский словарь происхождения слов (3-е изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-886875-0.
• Девлин, Кит (2018). Множества, функции и логика: введение в абстрактную математику (3-е изд.). CRC Press. ISBN 978-1-4822-8602-1.
• Ивс, Говард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). Saunders. ISBN 978-0-03-029558-4.
• Кляйнер, Израиль (2007). Кляйнер, Израиль (ред.). История абстрактной алгебры. Springer Science & Business Media. doi :10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN 978-0-8176-4684-4. LCCN  2007932362. OCLC  76935733. S2CID  117392219 . Получено 8 февраля 2024 г. .
• Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древности до современности . Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-506135-2.
• Монастырский, Майкл (2001). «Некоторые тенденции в современной математике и медаль Филдса» (PDF) . CMS – Notes – de la SMC . 33 (2–3). Канадское математическое общество. Архивировано (PDF) из оригинала 13 августа 2006 г. . Получено 28 июля 2006 г. .
• Окли, Барбара (2014). Разум для чисел: как преуспеть в математике и науке (даже если вы провалили алгебру) . Нью-Йорк: Penguin Random House. ISBN 978-0-399-16524-5. Разум для чисел.
• Пирс, Бенджамин (1881). Пирс, Чарльз Сандерс (ред.). «Линейная ассоциативная алгебра». American Journal of Mathematics . 4 (1–4) (Исправленная, расширенная и аннотированная редакция со статьей Б. Пирса 1875 года и аннотациями его сына, Ч. С. Пирса, литографического издания 1872 года): 97–229. doi :10.2307/2369153. hdl : 2027/hvd.32044030622997 . JSTOR  2369153. Исправленная, расширенная и аннотированная редакция со статьей Б. Пирса 1875 года и аннотациями его сына, Ч. С. Пирса, литографического издания 1872 года. Google Eprint и в качестве отрывка, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint . Получено 17 ноября 2020 г..
• Петерсон, Иварс (1988). Математический турист: Моментальные снимки современной математики . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1953-3. LCCN  87033078. OCLC  17202382.
• Поппер, Карл Р. (1995). «О знании». В поисках лучшего мира: Лекции и эссе за тридцать лет . Нью-Йорк: Routledge. Bibcode :1992sbwl.book.....P. ISBN 978-0-415-13548-1.
• Riehm, Carl (август 2002 г.). "The Early History of the Fields Medal" (PDF) . Notices of the AMS . 49 (7): 778–782. Архивировано (PDF) из оригинала 26 октября 2006 г. . Получено 2 октября 2006 г. .
• Севрюк, Михаил Б. (январь 2006 г.). "Book Reviews" (PDF) . Bulletin of the American Mathematical Society . 43 (1): 101–109. doi : 10.1090/S0273-0979-05-01069-4 . Архивировано (PDF) из оригинала 23 июля 2006 г. . Получено 24 июня 2006 г. .
• Whittle, Peter (1994). "Почти дома". В Kelly, FP (ред.). Вероятность, статистика и оптимизация: дань уважения Питеру Уиттлу (ранее "Реализованный путь: Кембриджская статистическая лаборатория до 1993 г. (пересмотрено в 2002 г.)" ред.). Chichester: John Wiley. стр. 1–28. ISBN 978-0-471-94829-2. Архивировано из оригинала 19 декабря 2013 года.

Дальнейшее чтение

• Бенсон, Дональд К. (1999). Момент доказательства: математические прозрения . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513919-8.
• Дэвис, Филип Дж .; Херш, Рубен (1999). Математический опыт (переиздание). Бостон; Нью-Йорк: Mariner Books. ISBN 978-0-395-92968-1.Доступно онлайн (требуется регистрация).
• Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт (1996). Что такое математика?: Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.). Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-510519-3.
• Гуллберг, Ян (1997). Математика: от рождения чисел . WW Norton & Company. ISBN 978-0-393-04002-9.
• Хазевинкель, Михил , ред. (2000). Энциклопедия математики . Kluwer Academic Publishers. – Перевод и расширенная версия советской математической энциклопедии в десяти томах. Также в мягкой обложке и на CD-ROM, а также в Интернете. Архивировано 20 декабря 2012 г. на archive.today .
• Ходжкин, Люк Ховард (2005). История математики: от Месопотамии до современности . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-152383-0.
• Jourdain, Philip EB (2003). «Природа математики». В James R. Newman (ред.). Мир математики . Dover Publications. ISBN 978-0-486-43268-7.
• Паппас, Теони (1986). Радость математики . Сан-Карлос, Калифорния: Издательство Wide World. ISBN 978-0-933174-65-8.
• Вальтерсхаузен, Вольфганг Сарториус фон (1965) [1856]. Гаусс цум Гедехтнисс . Sändig Reprint Verlag HR Wohlwend. ISBN 978-3-253-01702-5.