Анализ размеров

Анализ взаимосвязей между различными физическими величинами

В инженерии и науке размерный анализ — это анализ взаимосвязей между различными физическими величинами путем определения их базовых величин (таких как длина , масса , время и электрический ток ) и единиц измерения (таких как метры и граммы) и отслеживания этих измерений по мере выполнения расчетов или сравнений. Термин размерный анализ также используется для обозначения преобразования единиц из одной размерной единицы в другую, что может быть использовано для оценки научных формул.

Соизмеримые физические величины имеют одинаковую величину и размерность, и их можно напрямую сравнивать друг с другом, даже если они выражены в разных единицах измерения, например, метры и футы, граммы и фунты, секунды и годы. Несоизмеримые физические величины имеют разную величину и размерность, и их нельзя напрямую сравнивать друг с другом, независимо от того, в каких единицах они выражены, например, метры и граммы, секунды и граммы, метры и секунды. Например, спрашивать, больше ли грамм, чем час, бессмысленно.

Любое физически значимое уравнение или неравенство должно иметь одинаковые размерности в левой и правой частях, свойство, известное как размерная однородность . Проверка размерной однородности является распространенным применением размерного анализа, служащим проверкой правдоподобности выведенных уравнений и вычислений . Она также служит руководством и ограничением при выводе уравнений, которые могут описывать физическую систему при отсутствии более строгого вывода.

Понятие физического измерения или количественного измерения , а также размерного анализа было введено Жозефом Фурье в 1822 году. ^{[1] : 42}

Формулировка

Теорема Букингема π описывает, как каждое физически значимое уравнение, включающее n переменных, может быть эквивалентно переписано как уравнение n − m безразмерных параметров, где m — ранг размерной матрицы . Более того, и это самое важное, она предоставляет метод вычисления этих безразмерных параметров из заданных переменных.

Размерное уравнение может иметь уменьшенные или устраненные размерности посредством безразмерности , которая начинается с размерного анализа и включает масштабирование величин по характерным единицам системы или физическим константам природы. ^{[1] : 43} Это может дать представление о фундаментальных свойствах системы, как показано в примерах ниже.

Размерность физической величины может быть выражена как произведение базовых физических измерений, таких как длина, масса и время, каждое из которых возведено в целую (а иногда и рациональную ) степень . Размерность физической величины более фундаментальна, чем некоторая шкала или единица , используемая для выражения количества этой физической величины. Например, масса является измерением, в то время как килограмм является конкретной справочной величиной, выбранной для выражения количества массы. Выбор единицы произволен, и его выбор часто основан на историческом прецеденте. Естественные единицы , основанные только на универсальных константах, могут рассматриваться как «менее произвольные».

Существует множество возможных вариантов базовых физических размеров. Стандарт SI выбирает следующие размеры и соответствующие символы размеров :

время (T), длина (L), масса (M), электрический ток (I), абсолютная температура (Θ), количество вещества (N) и сила света (J).

Символы по соглашению обычно пишутся шрифтом Roman sans serif . ^[2] Математически размерность величины Q определяется как

${\displaystyle \operatorname {dim} Q={\mathsf {T}}^{a}{\mathsf {L}}^{b}{\mathsf {M}}^{c}{\mathsf {I}}^{d}{\mathsf {\Theta }}^{e}{\mathsf {N}}^{f}{\mathsf {J}}^{g}}$

где a , b , c , d , e , f , g — размерные показатели. Другие физические величины могут быть определены как базовые величины, если они образуют линейно независимый базис — например, можно заменить размерность (I) электрического тока базиса СИ размерностью (Q) электрического заряда , поскольку Q = TI .

Величина, у которой только b ≠ 0 (со всеми остальными показателями степени, равными нулю), называется геометрической величиной . Величина, у которой только a ≠ 0 и b ≠ 0 , называется кинематической величиной . Величина, у которой только все из a ≠ 0 , b ≠ 0 и c ≠ 0, называется динамической величиной . ^[3] Величина, у которой все показатели степени равны нулю, называется имеющей размерность один . ^[2]

Единица, выбранная для выражения физической величины, и ее размерность являются связанными, но не идентичными понятиями. Единицы физической величины определяются соглашением и связаны с некоторым стандартом; например, длина может иметь единицы измерения метры, футы, дюймы, мили или микрометры; но любая длина всегда имеет размерность L, независимо от того, какие единицы длины выбраны для ее выражения. Две разные единицы одной и той же физической величины имеют коэффициенты преобразования , которые связывают их. Например, 1 дюйм = 2,54 см ; в этом случае 2,54 см/дюйм является коэффициентом преобразования, который сам по себе безразмерен. Следовательно, умножение на этот коэффициент преобразования не изменяет размерности физической величины.

Есть также физики, которые подвергают сомнению само существование несовместимых фундаментальных измерений физической величины ^[4] , хотя это не отменяет полезности размерного анализа.

Простые случаи

В качестве примера, размерность физической величины скорости v равна

${\displaystyle \operatorname {dim} v={\frac {\text{length}}{\text{time}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}.}$

Размерность физической величины ускорения a равна

${\displaystyle \operatorname {dim} a={\frac {\text{speed}}{\text{time}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}.}$

Размерность физической величины силы F равна

${\displaystyle \operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\mathsf {M}}\times {\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}.}$

Размерность физической величины давления P равна

${\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{force}}{\text{area}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {L}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}.}$

Размерность физической величины энергии E равна

${\displaystyle \operatorname {dim} E={\text{force}}\times {\text{displacement}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}\times {\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}$

Размерность физической величины мощности P равна

${\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{energy}}{\text{time}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}$

Размерность физической величины электрического заряда Q равна

${\displaystyle \operatorname {dim} Q={\text{current}}\times {\text{time}}={\mathsf {T}}{\mathsf {I}}.}$

Размерность физической величины напряжения V равна

${\displaystyle \operatorname {dim} V={\frac {\text{power}}{\text{current}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {I}}}={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}.}$

Размерность физической величины емкости C равна

${\displaystyle \operatorname {dim} C={\frac {\text{electric charge}}{\text{electric potential difference}}}={\frac {{\mathsf {T}}{\mathsf {I}}}{{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}}}={\mathsf {T^{4}}}{\mathsf {L^{-2}}}{\mathsf {M^{-1}}}{\mathsf {I^{2}}}.}$

Метод Рэлея

В размерном анализе метод Рэлея является концептуальным инструментом, используемым в физике , химии и технике . Он выражает функциональную связь некоторых переменных в виде экспоненциального уравнения . Он был назван в честь лорда Рэлея .

Метод включает в себя следующие этапы:

1. Соберите все независимые переменные , которые могут повлиять на зависимую переменную .
2. Если R — переменная, зависящая от независимых переменных R ₁ , R ₂ , R ₃ , ..., R _n , то функциональное уравнение можно записать как R = F ( R ₁ , R ₂ , R ₃ , ..., R _n ) .
3. Запишите приведенное выше уравнение в виде R = C R ₁ ^a R ₂ ^b R ₃ ^c ... R _n ^m , где C — безразмерная константа , а a , b , c , ..., m — произвольные показатели степени.
4. Выразите каждую из величин в уравнении в некоторых основных единицах , в которых требуется решение.
5. Используя размерную однородность, получите систему одновременных уравнений , содержащих показатели степеней a , b , c , ..., m .
6. Решите эти уравнения, чтобы получить значения показателей степеней a , b , c , ..., m .
7. Подставьте значения показателей степеней в основное уравнение и сформируйте безразмерные параметры , сгруппировав переменные с одинаковыми показателями степеней.

Недостатком метода Рэлея является то, что он не дает никакой информации о количестве безразмерных групп, которые могут быть получены в результате размерного анализа.

Конкретные числа и базовые единицы

Многие параметры и измерения в физических науках и технике выражаются в виде конкретного числа — числовой величины и соответствующей размерной единицы. Часто величина выражается через несколько других величин; например, скорость — это комбинация длины и времени, например, 60 километров в час или 1,4 километра в секунду. Составные отношения с «per» выражаются делением , например, 60 км/ч. Другие отношения могут включать умножение (часто показываемое с помощью центральной точки или сопоставления ), степени (например, м ² для квадратных метров) или их комбинации.

Набор базовых единиц для системы измерения — это условно выбранный набор единиц, ни одна из которых не может быть выражена как комбинация других и в терминах которых могут быть выражены все остальные единицы системы. ^[5] Например, единицы длины и времени обычно выбираются в качестве базовых единиц. Единицы объема , однако, могут быть разложены на базовые единицы длины (м ³ ), поэтому они считаются производными или составными единицами.

Иногда названия единиц скрывают тот факт, что они являются производными единицами. Например, ньютон (Н) — это единица силы , которая может быть выражена как произведение массы (с единицей кг) и ускорения (с единицей м⋅с ⁻² ). Ньютон определяется как 1 Н = 1 кг⋅м⋅с ⁻² .

Проценты, производные и интегралы

Проценты — безразмерные величины, поскольку они являются отношениями двух величин с одинаковыми размерностями. Другими словами, знак % можно читать как «сотые», поскольку 1% = 1/100 .

Взятие производной по величине делит размерность на размерность переменной, по которой дифференцируется. Таким образом:

• позиция ( x ) имеет размерность L (длина);
• производная положения по времени ( dx / dt , скорость ) имеет размерность T ⁻¹ L — длина от положения, время из-за градиента;
• вторая производная ( d ² x / dt ² = d ( dx / dt ) / dt , ускорение ) имеет размерность T ⁻² L .

Аналогично, взятие интеграла добавляет размерность переменной, по которой производится интегрирование, но в числителе.

• сила имеет размерность T ⁻² L M (масса, умноженная на ускорение);
• интеграл силы по расстоянию ( s ), пройденному объектом ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \int F\ ds}$ , работа ), имеет размерность T ⁻² L ² M .

В экономике различают запасы и потоки : запас имеет единицу измерения (например, предметы или доллары), в то время как поток является производной от запаса и имеет единицу измерения в виде этой единицы, деленной на единицу времени (например, доллары/год).

В некоторых контекстах размерные величины выражаются как безразмерные величины или проценты путем пропуска некоторых измерений. Например, отношение долга к ВВП обычно выражается в процентах: общая сумма непогашенного долга (измерение валюты), деленная на годовой ВВП (измерение валюты) — но можно утверждать, что при сравнении запаса с потоком годовой ВВП должен иметь размерность валюты/времени (например, долларов/год), и, таким образом, отношение долга к ВВП должно иметь единицу измерения год, что указывает на то, что отношение долга к ВВП — это количество лет, необходимое для того, чтобы постоянный ВВП выплатил долг, если весь ВВП тратится на долг, а долг в остальном не меняется.

Размерная однородность (соизмеримость)

Самым основным правилом размерного анализа является правило размерной однородности. ^[6]

Только соизмеримые величины (физические величины, имеющие одинаковую размерность) можно сравнивать , приравнивать , складывать или вычитать .

Однако измерения образуют абелеву группу при умножении, поэтому:

Можно взять отношения несоизмеримых величин (величин с разными размерностями) и умножить или разделить их.

Например, не имеет смысла спрашивать, больше ли 1 час, столько же или меньше 1 километра, так как они имеют разные измерения, или прибавлять 1 час к 1 километру. Однако имеет смысл спрашивать, больше ли 1 миля, столько же или меньше 1 километра, так как это одна и та же размерность физической величины, хотя единицы измерения разные. С другой стороны, если объект проходит 100 км за 2 часа, можно разделить их и заключить, что средняя скорость объекта была 50 км/ч.

Правило подразумевает, что в физически значимом выражении можно складывать, вычитать или сравнивать только величины одной размерности. Например, если m _man , m _rat и L _man обозначают соответственно массу какого-то человека, массу крысы и длину этого человека, то размерно однородное выражение m _man + m _rat имеет смысл, а неоднородное выражение m _man + L _man бессмысленно. Однако m _man / L ² _man вполне подходит. Таким образом, размерный анализ можно использовать в качестве проверки здравомыслия физических уравнений: две стороны любого уравнения должны быть соизмеримы или иметь одинаковые размерности.

Даже когда две физические величины имеют одинаковые размерности, их сравнение или сложение может быть бессмысленным. Например, хотя крутящий момент и энергия имеют общую размерность T ⁻² L ² M , они являются принципиально разными физическими величинами.

Чтобы сравнить, сложить или вычесть величины с одинаковыми размерами, но выраженные в разных единицах, стандартная процедура заключается в том, чтобы сначала преобразовать их все в одну единицу. Например, чтобы сравнить 32 метра с 35 ярдами, используйте 1 ярд = 0,9144 м, чтобы преобразовать 35 ярдов в 32,004 м.

Связанный принцип заключается в том, что любой физический закон, который точно описывает реальный мир, должен быть независим от единиц, используемых для измерения физических переменных. ^[7] Например, законы движения Ньютона должны быть верны независимо от того, измеряется ли расстояние в милях или километрах. Этот принцип приводит к форме, в которой коэффициент преобразования между двумя единицами, которые измеряют одно и то же измерение, должен умножаться на простую константу. Он также обеспечивает эквивалентность; например, если два здания имеют одинаковую высоту в футах, то они должны иметь одинаковую высоту в метрах.

Коэффициент пересчета

В размерном анализе отношение, которое преобразует одну единицу измерения в другую без изменения количества, называется коэффициентом преобразования . Например, кПа и бар являются единицами давления, а 100 кПа = 1 бар . Правила алгебры позволяют делить обе части уравнения на одно и то же выражение, поэтому это эквивалентно 100 кПа / 1 бар = 1. Поскольку любую величину можно умножить на 1, не изменяя ее, выражение « 100 кПа / 1 бар » можно использовать для преобразования из бар в кПа путем умножения ее на преобразуемое количество, включая единицу. Например, 5 бар × 100 кПа / 1 бар = 500 кПа, потому что 5 × 100 / 1 = 500 , а бар/бар сокращается, поэтому 5 бар = 500 кПа .

Приложения

Размерный анализ чаще всего используется в физике и химии (а также в их математике), но находит применение и за пределами этих областей.

Математика

Простое применение размерного анализа в математике заключается в вычислении формы объема n - мерного шара (сплошного шара в n измерениях) или площади его поверхности, n- мерной сферы : будучи n -мерной фигурой, объем масштабируется как x ⁿ , в то время как площадь поверхности, будучи ( n − 1) -мерной, масштабируется как x ^{n −1} . Таким образом, объем n -мерного шара в терминах радиуса равен C _n r ⁿ , для некоторой константы C _n . Определение константы требует более сложной математики, но форму можно вывести и проверить только с помощью размерного анализа.

Финансы, экономика и бухгалтерский учет

В финансах, экономике и бухгалтерском учете размерный анализ чаще всего упоминается в терминах различия между запасами и потоками . В более общем смысле размерный анализ используется для интерпретации различных финансовых коэффициентов , экономических коэффициентов и бухгалтерских коэффициентов.

• Например, коэффициент P/E имеет временные параметры (единица измерения: год) и может быть интерпретирован как «количество лет прибыли, необходимых для получения уплаченной цены».
• В экономике отношение долга к ВВП также имеет единицу измерения — год (долг имеет денежную единицу, ВВП имеет денежную единицу/год).
• Скорость обращения денег имеет единицу измерения 1/год (ВВП/денежная масса имеет единицу измерения 1/год): как часто единица валюты обращается в течение года.
• Годовые непрерывно начисляемые процентные ставки и простые процентные ставки часто выражаются в процентах (амерная величина), в то время как время выражается как амерная величина, состоящая из количества лет. Однако, если время включает год в качестве единицы измерения, размерность ставки составляет 1/год. Конечно, нет ничего особенного (кроме обычного соглашения) в использовании года в качестве единицы времени: можно использовать любую другую единицу времени. Более того, если ставка и время включают свои единицы измерения, использование разных единиц для каждого из них не является проблематичным. Напротив, ставка и время должны ссылаться на общий период, если они амерные. (Обратите внимание, что эффективные процентные ставки могут быть определены только как амерные величины.)
• В финансовом анализе дюрация облигации может быть определена как ( dV / dr ) / V , где V — стоимость облигации (или портфеля), r — непрерывно начисляемая процентная ставка, а dV / dr — производная. Из предыдущего пункта следует, что размерность r равна 1 / время. Следовательно, размерность дюрации — это время (обычно выражаемое в годах), поскольку dr находится в «знаменателе» производной.

Механика жидкости

В механике жидкости размерный анализ выполняется для получения безразмерных pi-терминов или групп. Согласно принципам размерного анализа, любой прототип может быть описан серией этих терминов или групп, которые описывают поведение системы. Используя подходящие pi-термины или группы, можно разработать аналогичный набор pi-терминов для модели, которая имеет те же размерные соотношения. ^[8] Другими словами, pi-термины обеспечивают кратчайший путь к разработке модели, представляющей определенный прототип. Обычные безразмерные группы в механике жидкости включают:

• Число Рейнольдса ( Re ), как правило, важное во всех типах проблем с жидкостью: $${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho \,ud}{\mu }}.}$$
• Число Фруда ( Fr ), моделирующее течение со свободной поверхностью: $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g\,L}}}.}$$
• Число Эйлера ( Eu ), используемое в задачах, где интерес представляет давление: $${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}.}$$
• Число Маха ( Ма ) важно в высокоскоростных потоках, где скорость приближается к локальной скорости звука или превышает ее: где с — локальная скорость звука. $${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {u}{c}},}$$

История

Истоки размерного анализа оспариваются историками. ^{[9] [10]} Первое письменное применение размерного анализа приписывается Франсуа Давиету , ученику Лагранжа , в статье 1799 года в Туринской академии наук. ^[10]

Это привело к выводу, что осмысленные законы должны быть однородными уравнениями в их различных единицах измерения, результат, который в конечном итоге был позже формализован в теореме Букингема π . Симеон Пуассон также рассматривал ту же проблему закона параллелограмма Давье в своем трактате 1811 и 1833 годов (т. I, стр. 39). ^[11] Во втором издании 1833 года Пуассон явно вводит термин размерность вместо однородности Давье .

В 1822 году выдающийся ученый-наполеоновец Жозеф Фурье внес первый признанный важный вклад ^[12], основанный на идее о том, что физические законы, такие как F = ma, должны быть независимы от единиц, используемых для измерения физических переменных.

Джеймс Клерк Максвелл сыграл важную роль в установлении современного использования размерного анализа, выделив массу, длину и время как основные единицы, а другие единицы — как производные. ^[13] Хотя Максвелл определил длину, время и массу как «три основные единицы», он также отметил, что гравитационную массу можно вывести из длины и времени, предположив форму закона всемирного тяготения Ньютона , в котором гравитационная постоянная G принимается за единицу , тем самым определяя M = T ⁻² L ³ . ^[14] Предположив форму закона Кулона , в котором постоянная Кулона k _e принимается за единицу, Максвелл затем определил, что размеры электростатической единицы заряда были Q = T ⁻¹ L ^3/2 M ^1/2 , ^[15] что после подстановки его уравнения M = T ⁻² L ³ для массы приводит к заряду, имеющему те же размеры, что и масса, а именно Q = T ⁻² L ³ .

Анализ размерностей также используется для выведения соотношений между физическими величинами, которые участвуют в определенном явлении, которое кто-то хочет понять и охарактеризовать. Впервые он был использован таким образом в 1872 году лордом Рэлеем , который пытался понять, почему небо голубое. ^[16] Рэлей впервые опубликовал эту технику в своей книге 1877 года «Теория звука» . ^[17]

Первоначальное значение слова dimension в Theorie de la Chaleur Фурье было численным значением показателей основных единиц. Например, ускорение считалось имеющим размерность 1 по отношению к единице длины и размерность −2 по отношению к единице времени. ^[18] Это было немного изменено Максвеллом, который сказал, что размерности ускорения равны T ⁻² L, а не просто показатели. ^[19]

Примеры

Простой пример: период гармонического осциллятора

Каков период колебаний T массы m, прикрепленной к идеальной линейной пружине с жесткостью пружины k , подвешенной под действием силы тяжести g ? Этот период является решением для T некоторого безразмерного уравнения относительно переменных T , m , k и g . Четыре величины имеют следующие размерности: T [T]; m [M]; k [M/T ² ]; и g [L/T ² ]. Из них мы можем образовать только одно безразмерное произведение степеней наших выбранных переменных, G ₁ = T ² k / m [T ² · M/T ² / M = 1] , и подстановка G ₁ = C для некоторой безразмерной константы C дает искомое безразмерное уравнение. Безразмерное произведение степеней переменных иногда называют безразмерной группой переменных; здесь термин «группа» означает «коллекция», а не математическая группа . Их также часто называют безразмерными числами .

Переменная g не встречается в группе. Легко видеть, что невозможно образовать безразмерное произведение степеней, объединяющее g с k , m и T , поскольку g — единственная величина, включающая размерность L. Это подразумевает, что в этой задаче g не имеет значения. Анализ размерностей иногда может давать сильные утверждения о несущественности некоторых величин в задаче или о необходимости дополнительных параметров. Если мы выбрали достаточно переменных для надлежащего описания задачи, то из этого аргумента мы можем сделать вывод, что период массы на пружине не зависит от g : он одинаков на Земле и Луне. Уравнение, демонстрирующее существование произведения степеней для нашей задачи, можно записать совершенно эквивалентным образом: ⁠ ⁠ ${\displaystyle T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}}$ , для некоторой безразмерной константы κ (равной из исходного безразмерного уравнения). ${\displaystyle {\sqrt {C}}}$

Когда мы сталкиваемся со случаем, когда размерный анализ отклоняет переменную ( в данном случае g ), которую интуитивно можно отнести к физическому описанию ситуации, другая возможность заключается в том, что отклоненная переменная на самом деле релевантна, но была опущена какая-то другая релевантная переменная, которая может объединиться с отклоненной переменной, чтобы сформировать безразмерную величину. Однако в данном случае это не так.

Когда размерный анализ дает только одну безразмерную группу, как в данном случае, неизвестных функций нет, и решение называется «полным», хотя оно все еще может включать неизвестные безразмерные константы, такие как κ .

Более сложный пример: энергия вибрирующей проволоки.

Рассмотрим случай вибрирующей проволоки длиной ℓ (L), колеблющейся с амплитудой A (L). Проволока имеет линейную плотность ρ (M/L) и находится под натяжением s (LM/T ² ), и мы хотим узнать энергию E (L ² M/T ² ) в проволоке. Пусть π ₁ и π ₂ будут двумя безразмерными произведениями степеней выбранных переменных, заданными как

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\\pi _{2}&={\frac {\ell }{A}}.\end{aligned}}}$

Линейная плотность провода не участвует. Две найденные группы могут быть объединены в эквивалентную форму в виде уравнения

${\displaystyle F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell }{A}}\right)=0,}$

где F — некоторая неизвестная функция, или, что эквивалентно,

${\displaystyle E=Asf\left({\frac {\ell }{A}}\right),}$

где f — некоторая другая неизвестная функция. Здесь неизвестная функция подразумевает, что наше решение теперь неполное, но размерный анализ дал нам нечто, что могло быть неочевидным: энергия пропорциональна первой степени натяжения. За исключением дальнейшего аналитического анализа, мы могли бы перейти к экспериментам, чтобы обнаружить форму неизвестной функции  f . Но наши эксперименты проще, чем при отсутствии размерного анализа. Мы бы не проводили ничего, чтобы проверить, что энергия пропорциональна натяжению. Или, возможно, мы могли бы предположить, что энергия пропорциональна  ℓ , и таким образом сделать вывод, что E = ℓs . Сила размерного анализа как вспомогательного средства для эксперимента и формирования гипотез становится очевидной.

Сила размерного анализа действительно становится очевидной, когда он применяется к ситуациям, в отличие от приведенных выше, которые являются более сложными, набор задействованных переменных не очевиден, а основные уравнения безнадежно сложны. Рассмотрим, например, небольшой камешек, лежащий на дне реки. Если река течет достаточно быстро, она фактически поднимет камешек и заставит его течь вместе с водой. При какой критической скорости это произойдет? Отсортировать предполагаемые переменные не так просто, как раньше. Но размерный анализ может быть мощным средством для понимания таких проблем, и обычно является самым первым инструментом, который применяется к сложным проблемам, где основные уравнения и ограничения плохо поняты. В таких случаях ответ может зависеть от безразмерного числа , такого как число Рейнольдса , которое может быть интерпретировано с помощью размерного анализа.

Третий пример: спрос и мощность вращающегося диска

Размерный анализ и численные эксперименты для вращающегося диска

Рассмотрим случай тонкого, сплошного, вращающегося диска с параллельными сторонами, осевой толщиной t (L) и радиусом R (L). Диск имеет плотность ρ (M/L ³ ), вращается с угловой скоростью ω (T ⁻¹ ), и это приводит к напряжению S (T ⁻² L ⁻¹ M) в материале. Существует теоретическое линейно-упругое решение, данное Ламе, для этой проблемы, когда диск тонкий относительно своего радиуса, грани диска могут свободно перемещаться в осевом направлении, и можно предположить, что соотношения, определяющие плоское напряжение, действительны. По мере того, как диск становится толще относительно радиуса, решение для плоского напряжения нарушается. Если диск ограничен в осевом направлении на своих свободных гранях, то возникнет состояние плоской деформации. Однако, если это не так, то состояние напряжения может быть определено только с учетом трехмерной упругости, и для этого случая нет известного теоретического решения. Поэтому инженеру может быть интересно установить связь между пятью переменными. Анализ размерностей для этого случая приводит к следующим ( 5 − 3 = 2 ) безразмерным группам:

спрос/мощность = ρR ² ω ² / S

толщина/радиус или соотношение сторон = t / R

Используя численные эксперименты, например, метод конечных элементов , можно получить характер взаимосвязи между двумя безразмерными группами, как показано на рисунке. Поскольку эта проблема включает только две безразмерные группы, полная картина представлена ​​на одном графике, и это может быть использовано в качестве диаграммы проектирования/оценки для вращающихся дисков. ^[20]

Характеристики

Математические свойства

Измерения, которые могут быть сформированы из заданного набора основных физических измерений, таких как T, L и M, образуют абелеву группу : тождество записывается как 1; ^{[ требуется ссылка ]} L ⁰ = 1 , а обратное к L равно 1/L или L ⁻¹ . L, возведенное в любую целую степень p, является членом группы, имеющим обратное к L ^{− p} или 1/L ^p . Операция группы — умножение, имеющее обычные правила обработки показателей ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} ). Физически 1/L можно интерпретировать как обратную длину , а 1/T — как обратное время (см. обратная секунда ).

Абелева группа эквивалентна модулю над целыми числами, с размерным символом T ⁱ L ^j M ^k , соответствующим кортежу ( i , j , k ) . Когда физические измеряемые величины (будь то одинаковой или разной размерности) умножаются или делятся друг на друга, их размерные единицы также умножаются или делятся; это соответствует сложению или вычитанию в модуле. Когда измеримые величины возводятся в целую степень, то же самое делается с размерными символами, прикрепленными к этим величинам; это соответствует скалярному умножению в модуле .

Базис для такого модуля размерных символов называется набором базовых величин , а все остальные векторы называются производными единицами. Как и в любом модуле, можно выбирать различные базы , что даёт различные системы единиц (например, выбирая , будет ли единица для заряда производной от единицы для тока или наоборот).

Групповая идентичность, размерность безразмерных величин, соответствует началу координат в этом модуле, (0, 0, 0) .

В некоторых случаях можно определить дробные измерения, в частности, формально определив дробные степени одномерных векторных пространств, таких как V ^{L 1/2} . ^[21] Однако невозможно взять произвольные дробные степени единиц из-за препятствий теории представлений . ^[22]

Можно работать с векторными пространствами с заданными размерностями без необходимости использования единиц (соответствующих системам координат векторных пространств). Например, при заданных размерностях M и L , можно иметь векторные пространства V ^M и V ^L , и можно определить V ^ML  := V ^M ⊗ V ^L как тензорное произведение . Аналогично, дуальное пространство можно интерпретировать как имеющее «отрицательные» размерности. ^[23] Это соответствует тому факту, что при естественном сопряжении между векторным пространством и его дуальным размерности сокращаются, оставляя безразмерный скаляр.

Набор единиц физических величин, участвующих в задаче, соответствует набору векторов (или матрице). Нулевое значение описывает некоторое количество (например, m ) способов, которыми эти векторы могут быть объединены для получения нулевого вектора. Они соответствуют получению (из измерений) ряда безразмерных величин, {π ₁ , ..., π _m } . (На самом деле эти способы полностью охватывают нулевое подпространство другого другого пространства, степеней измерений.) Каждый возможный способ умножения (и возведения в степень ) вместе измеренных величин для получения чего-либо с той же единицей, что и некоторая производная величина X, может быть выражен в общей форме

${\displaystyle X=\prod _{i=1}^{m}(\pi _{i})^{k_{i}}\,.}$

Следовательно, каждое возможное соизмеримое уравнение для физики системы можно переписать в виде

${\displaystyle f(\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{m})=0\,.}$

Знание этого ограничения может стать мощным инструментом для получения нового представления о системе.

Механика

Размерность физических величин, представляющих интерес в механике, может быть выражена в терминах базовых измерений T, L и M – они образуют трехмерное векторное пространство. Это не единственный допустимый выбор базовых измерений, но он является наиболее часто используемым. Например, можно выбрать силу, длину и массу в качестве базовых измерений (как некоторые и делали) с соответствующими измерениями F, L, M; это соответствует другому базису, и можно преобразовывать между этими представлениями путем изменения базиса . Выбор базового набора измерений, таким образом, является соглашением с преимуществом повышенной полезности и узнаваемости. Выбор базовых измерений не является полностью произвольным, поскольку они должны образовывать базис : они должны охватывать пространство и быть линейно независимыми .

Например, F, L, M образуют набор фундаментальных измерений, поскольку они образуют базис, эквивалентный T, L, M: первое можно выразить как [F = LM/T ² ], L, M, тогда как последнее можно выразить как [T = (LM/F) ^1/2 ], L, M.

С другой стороны, длина, скорость и время (T, L, V) не образуют набор базовых измерений для механики по двум причинам:

• Невозможно получить массу (или что-либо производное от нее, например силу) без введения еще одного базового измерения (таким образом, они не охватывают пространство ).
• Скорость, будучи выраженной через длину и время ( V = L/T ), является избыточной (множество не является линейно независимым ).

Другие области физики и химии

В зависимости от области физики может быть выгодно выбрать тот или иной расширенный набор размерных символов. Например, в электромагнетизме может быть полезно использовать размерности T, L, M и Q, где Q представляет размерность электрического заряда . В термодинамике базовый набор размерностей часто расширяется, чтобы включить размерность для температуры, Θ. В химии количество вещества (число молекул, деленное на постоянную Авогадро , ≈6,02 × 10 ²³  моль ⁻¹ ) также определяется как базовая размерность, N. При взаимодействии релятивистской плазмы с сильными лазерными импульсами безразмерный релятивистский параметр подобия , связанный со свойствами симметрии бесстолкновительного уравнения Власова , строится из плазменных, электронных и критических плотностей в дополнение к электромагнитному векторному потенциалу. Выбор размерностей или даже числа размерностей, которые будут использоваться в различных областях физики, в некоторой степени произволен, но последовательность в использовании и простота коммуникаций являются общими и необходимыми характеристиками.

Многочлены и трансцендентные функции

Теорема Бриджмена ограничивает тип функции, которая может быть использована для определения физической величины из общих (размерно-составных) величин только произведениями степеней величин, если только некоторые из независимых величин не объединены алгебраически для получения безразмерных групп, функции которых группируются вместе в безразмерном числовом множителе. ^{[24] [25]} Это исключает полиномы с более чем одним членом или трансцендентные функции не этой формы.

Скалярные аргументы трансцендентных функций , таких как экспоненциальные , тригонометрические и логарифмические функции, или неоднородных многочленов , должны быть безразмерными величинами . (Примечание: это требование несколько смягчено в ориентационном анализе Сиано, описанном ниже, в котором квадраты определенных размерных величин являются безразмерными.)

В то время как большинство математических тождеств о безразмерных числах переводятся простым образом в размерные величины, следует проявлять осторожность с логарифмами отношений: тождество log( a / b ) = log  a − log  b , где логарифм берется по любому основанию, справедливо для безразмерных чисел a и b , но оно не выполняется, если a и b являются размерными, потому что в этом случае левая часть хорошо определена, а правая — нет. ^[26]

Аналогично, хотя можно вычислить одночлены ( x ⁿ ) размерных величин, нельзя вычислить многочлены смешанной степени с безразмерными коэффициентами от размерных величин: для x ² выражение (3 м) ² = 9 м ² имеет смысл (как площадь), тогда как для x ² + x выражение (3 м) ² + 3 м = 9 м ² + 3 м не имеет смысла.

Однако полиномы смешанной степени могут иметь смысл, если коэффициенты — это надлежащим образом выбранные физические величины, не являющиеся безразмерными. Например,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot t^{2}+(\mathrm {500~m/s} )\cdot t.}$

Это высота, на которую поднимается объект за время  t , если ускорение свободного падения составляет 9,8 метров в секунду за секунду , а начальная скорость подъема составляет 500 метров в секунду . Не обязательно, чтобы t было в секундах . Например, предположим, что t  = 0,01 минуты. Тогда первый член будет

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot (\mathrm {0.01~min} )^{2}\\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)(\mathrm {min/s} )^{2}\cdot \mathrm {m} \\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot \mathrm {m} .\end{aligned}}}$

Объединение единиц и числовых значений

Значение размерной физической величины Z записывается как произведение единицы [ Z ] в пределах размерности и безразмерного числового значения или числового множителя n . ^[27]

${\displaystyle Z=n\times [Z]=n[Z]}$

Когда величины одинаковой размерности складываются, вычитаются или сравниваются, удобно выражать их в одной и той же единице, чтобы числовые значения этих величин можно было напрямую складывать или вычитать. Но, по идее, нет никаких проблем с сложением величин одинаковой размерности, выраженных в разных единицах. Например, 1 метр, добавленный к 1 футу, является длиной, но нельзя получить эту длину, просто сложив 1 и 1. Необходим коэффициент преобразования , который является отношением величин одинаковой размерности и равен безразмерной единице:

${\displaystyle \mathrm {1\,ft} =\mathrm {0.3048\,m} }$идентичен ${\displaystyle 1={\frac {\mathrm {0.3048\,m} }{\mathrm {1\,ft} }}.}$

Коэффициент 0,3048 м/фут идентичен безразмерной 1, поэтому умножение на этот коэффициент преобразования ничего не меняет. Затем при сложении двух величин одинаковой размерности, но выраженных в разных единицах, соответствующий коэффициент преобразования, который по сути является безразмерной 1, используется для преобразования величин в одну и ту же единицу, так что их числовые значения можно складывать или вычитать.

Только в этом случае имеет смысл говорить о сложении одинаково размерных величин разных единиц.

Количественные уравнения

Количественное уравнение , также иногда называемое полным уравнением , представляет собой уравнение, которое остается справедливым независимо от единицы измерения, используемой при выражении физических величин . ^[28]

Напротив, в уравнении с числовым значением встречаются только числовые значения величин, без единиц. Поэтому оно действительно только тогда, когда каждое числовое значение ссылается на определенную единицу.

Например, количественное уравнение для смещения d как скорости s , умноженной на разницу во времени t, будет иметь вид:

д = с т

для s = 5 м/с, где t и d могут быть выражены в любых единицах, преобразованных при необходимости. Напротив, соответствующее численное уравнение будет иметь вид:

Д = 5 Т

где T — числовое значение t , выраженное в секундах, а D — числовое значение d , выраженное в метрах.

Как правило, использование числовых уравнений не рекомендуется. ^[28]

Безразмерные концепции

Константы

Безразмерные константы, которые возникают в полученных результатах, такие как C в задаче о законе Пуазейля и κ в задачах о пружинах, обсуждавшихся выше, берутся из более детального анализа базовой физики и часто возникают из интегрирования некоторого дифференциального уравнения. Сам по себе размерный анализ мало что может сказать об этих константах, но полезно знать, что они очень часто имеют величину порядка единицы. Это наблюдение может позволить иногда делать вычисления " на обороте конверта " об интересующем явлении и, следовательно, иметь возможность более эффективно планировать эксперименты для его измерения или судить о том, является ли оно важным и т. д.

Формализмы

Парадоксально, но размерный анализ может быть полезным инструментом, даже если все параметры в базовой теории безразмерны, например, решеточные модели, такие как модель Изинга, могут использоваться для изучения фазовых переходов и критических явлений. Такие модели могут быть сформулированы чисто безразмерным образом. По мере того, как мы приближаемся к критической точке все ближе и ближе, расстояние, на котором коррелируют переменные в решеточной модели (так называемая длина корреляции, χ ), становится все больше и больше. Теперь длина корреляции является соответствующим масштабом длины, связанным с критическими явлениями, поэтому можно, например, предположить на «размерных основаниях», что неаналитическая часть свободной энергии на узел решетки должна быть ~ 1/ χ ^d , где d — размерность решетки.

Некоторые физики, например , Майкл Дж. Дафф ^{[4] [29],} утверждали, что законы физики по своей сути безразмерны. Тот факт, что мы приписали несовместимые измерения Длине, Времени и Массе, является, согласно этой точке зрения, просто вопросом соглашения, вытекающим из того факта, что до появления современной физики не было способа связать массу, длину и время друг с другом. Три независимые размерные константы: c , ħ и G в фундаментальных уравнениях физики должны тогда рассматриваться как простые коэффициенты преобразования для преобразования Массы, Времени и Длины друг в друга.

Так же, как и в случае критических свойств решетчатых моделей, можно восстановить результаты размерного анализа в соответствующем пределе масштабирования; например, размерный анализ в механике можно вывести, повторно вставив константы ħ , c и G (но теперь мы можем считать их безразмерными) и потребовав, чтобы несингулярное соотношение между величинами существовало в пределе c → ∞ , ħ → 0 и G → 0. В задачах, связанных с гравитационным полем, последний предел следует брать таким образом, чтобы поле оставалось конечным.

Эквивалентность размеров

Ниже приведены таблицы наиболее часто встречающихся в физике выражений, связанных с размерностями энергии, импульса и силы. ^{[30] [31] [32]}

Единицы СИ

Языки программирования

Размерная корректность как часть проверки типов изучается с 1977 года. ^[33] Реализации для Ada ^[34] и C++ ^[35] были описаны в 1985 и 1988 годах. Диссертация Кеннеди 1996 года описывает реализацию в Standard ML , ^[36] а затем в F# . ^[37] Существуют реализации для Haskell , ^[38] OCaml , ^[39] и Rust , ^[40] Python, ^[41] и средство проверки кода для Fortran . ^{[42] [43] Диссертация Гриффиоена 2019 года расширила} систему типов Хиндли–Милнера
Кеннеди для поддержки матриц Харта. ^{[44] [45]} Макбрайд и Нордвалл-Форсберг показывают, как использовать зависимые типы для расширения систем типов для единиц измерения. ^[46]

Mathematica 13.2 имеет функцию для преобразований с величинами, называемую NondimensionalizationTransform, которая применяет преобразование безразмерности к уравнению. ^[47] Mathematica также имеет функцию для поиска размерностей единицы, такой как 1 Дж, называемую UnitDimensions. ^[48] Mathematica также имеет функцию, которая найдет размерно эквивалентные комбинации подмножества физических величин, называемую DimensionalCombations. ^[49] Mathematica также может выносить на фактор-фактор определенную размерность с помощью UnitDimensions, указав аргумент функции UnityDimensions. [50] Например, вы можете использовать UnityDimensions для вынесения на фактор-фактор углов. ^{[50] В} дополнение к UnitDimensions, Mathematica может находить размерности QuantityVariable с помощью функции QuantityVariableDimensions. ^[51]

Геометрия: положение против смещения

Аффинные величины

Некоторые обсуждения размерного анализа неявно описывают все величины как математические векторы. В математике скаляры считаются особым случаем векторов; ^{[ требуется ссылка ]} векторы могут быть добавлены или вычтены из других векторов и, в частности, умножены или разделены на скаляры. Если вектор используется для определения положения, это предполагает неявную точку отсчета: начало координат . Хотя это полезно и часто совершенно адекватно, позволяя обнаружить много важных ошибок, это может не моделировать определенные аспекты физики. Более строгий подход требует различения положения и смещения (или момента времени против продолжительности, или абсолютной температуры против изменения температуры).

Рассмотрим точки на линии, каждая из которых имеет положение относительно заданного начала координат и расстояния между ними. Положения и смещения имеют единицы длины, но их значение не является взаимозаменяемым:

• сложение двух перемещений должно дать новое перемещение (пройдя десять шагов, а затем двадцать, вы пройдете тридцать шагов вперед),
• добавление смещения к позиции должно привести к новой позиции (пройдя один квартал по улице от перекрестка, вы попадете на следующий перекресток),
• вычитание двух позиций должно дать смещение,
• но нельзя складывать две позиции.

Это иллюстрирует тонкое различие между аффинными величинами (моделируемыми аффинным пространством , такими как положение) и векторными величинами (моделируемыми векторным пространством , такими как смещение).

• Векторные величины могут быть сложены друг с другом, давая новую векторную величину, а векторная величина может быть сложена с подходящей аффинной величиной (векторное пространство действует на аффинное пространство), давая новую аффинную величину.
• Аффинные величины не могут быть сложены, но могут быть вычтены, давая относительные величины, которые являются векторами, и эти относительные разности затем могут быть сложены друг с другом или с аффинной величиной.

Соответственно, позиции имеют размерность аффинной длины, а смещения — размерность векторной длины. Чтобы присвоить число аффинной единице, нужно выбрать не только единицу измерения, но и точку отсчета , тогда как для присвоения числа векторной единице требуется только единица измерения.

Таким образом, некоторые физические величины лучше моделируются векторными величинами, в то время как другие, как правило, требуют аффинного представления, и это различие отражается в их размерном анализе.

Это различие особенно важно в случае температуры, для которой числовое значение абсолютного нуля не является началом отсчета 0 в некоторых шкалах. Для абсолютного нуля,

−273,15 °C ≘ 0 K = 0 °R ≘ −459,67 °F,

где символ ≘ означает соответствует , поскольку, хотя эти значения на соответствующих температурных шкалах соответствуют друг другу, они представляют собой различные величины так же, как расстояния от различных начальных точек до одной и той же конечной точки являются различными величинами, и в общем случае не могут быть приравнены.

Для разницы температур,

1 К = 1 °С ≠ 1 °F = 1 °R.

(Здесь °R относится к шкале Ранкина , а не к шкале Реомюра ). Преобразование единиц для разности температур — это просто вопрос умножения, например, на 1 °F / 1 K (хотя отношение не является постоянной величиной). Но поскольку некоторые из этих шкал имеют происхождение, которое не соответствует абсолютному нулю, преобразование из одной температурной шкалы в другую требует учета этого. В результате простой размерный анализ может привести к ошибкам, если неясно, означает ли 1 K абсолютную температуру, равную −272,15 °C, или разницу температур, равную 1 °C.

Ориентация и система отсчета

Аналогично вопросу о точке отсчета существует вопрос об ориентации: смещение в 2 или 3 измерениях — это не просто длина, а длина вместе с направлением . (В 1 измерении этот вопрос эквивалентен различию между положительным и отрицательным.) Таким образом, чтобы сравнить или объединить двумерные величины в многомерном евклидовом пространстве, также необходим ориентир: их нужно сравнить с системой отсчета .

Это приводит к расширениям, обсуждаемым ниже, а именно направленным измерениям Хантли и ориентационному анализу Сиано.

Расширения Хантли

Хантли указал, что размерный анализ может стать более мощным, обнаруживая новые независимые измерения в рассматриваемых величинах, тем самым увеличивая ранг размерной матрицы. ^[52] ${\displaystyle m}$

Он представил два подхода:

• Величины компонентов вектора следует считать размерно независимыми. Например, вместо недифференцированного измерения длины L мы можем иметь L _x , представляющее измерение в направлении x, и так далее. Это требование в конечном счете вытекает из требования, что каждый компонент физически значимого уравнения (скаляра, вектора или тензора) должен быть размерно согласованным.
• Массу как меру количества материи следует считать размерно независимой от массы как меры инерции.

Направленные размеры

В качестве примера полезности первого подхода предположим, что мы хотим вычислить расстояние, которое пролетает пушечное ядро ​​при выстреле с вертикальной составляющей скорости и горизонтальной составляющей скорости ⁠ ⁠ , предполагая, что оно выстреливается по плоской поверхности. Предполагая, что не используются направленные длины, интересующими величинами являются R , пройденное расстояние, с размерностью L, ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , обе размерности которых равны T ⁻¹ L, и g нисходящее ускорение силы тяжести с размерностью T ⁻² L. ${\displaystyle v_{\text{y}}}$ ${\displaystyle v_{\text{x}}}$ ${\displaystyle v_{\text{x}}}$ ${\displaystyle v_{\text{y}}}$

С этими четырьмя величинами мы можем заключить, что уравнение для диапазона R можно записать:

${\displaystyle R\propto v_{\text{x}}^{a}\,v_{\text{y}}^{b}\,g^{c}.}$

Или размерно

${\displaystyle {\mathsf {L}}=\left({\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}\right)^{a+b}\left({\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}\right)^{c}}$

из чего мы можем вывести, что и ⁠ ⁠ , что оставляет один показатель неопределенным. Этого следовало ожидать, поскольку у нас есть два фундаментальных измерения T и L и четыре параметра с одним уравнением. ${\displaystyle a+b+c=1}$ ${\displaystyle a+b+2c=0}$

Однако, если мы используем направленные размеры длины, то будет иметь размеры как T ⁻¹ L _x , как T ⁻¹ L _y , R как L _x и g как T ⁻² L _y . Уравнение размеров становится: ${\displaystyle v_{\mathrm {x} }}$ ${\displaystyle v_{\mathrm {y} }}$

${\displaystyle {\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }=\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }}\right)^{a}\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{b}\left({{\mathsf {T}}^{-2}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{c}}$

и мы можем решить полностью как a = 1 , b = 1 и c = −1 . Увеличение дедуктивной мощности, полученное за счет использования направленных измерений длины, очевидно.

Однако концепция направленных длинных измерений Хантли имеет некоторые серьезные ограничения:

• Он плохо справляется с векторными уравнениями, включающими векторное произведение ,
• также он плохо справляется с использованием углов в качестве физических переменных.

Также часто бывает довольно сложно присвоить символы L, L _x , L _y , L _z физическим переменным, вовлеченным в интересующую проблему. Он использует процедуру, которая включает «симметрию» физической проблемы. Часто ее очень трудно применить надежно: неясно, к каким частям проблемы применяется понятие «симметрии». Является ли это симметрией физического тела, на которое действуют силы, или к точкам, линиям или областям, к которым прилагаются силы? Что, если задействовано более одного тела с различными симметриями?

Рассмотрим сферический пузырек, прикрепленный к цилиндрической трубке, где требуется скорость потока воздуха как функция разницы давления в двух частях. Каковы расширенные размеры Хантли вязкости воздуха, содержащегося в соединенных частях? Каковы расширенные размеры давления двух частей? Они одинаковы или различны? Эти трудности ответственны за ограниченное применение направленных длинных размеров Хантли к реальным задачам.

Количество вещества

Во втором подходе Хантли утверждает, что иногда полезно (например, в механике жидкости и термодинамике) различать массу как меру инерции ( инерционную массу ) и массу как меру количества материи. Количество материи определяется Хантли как величина, пропорциональная только инертной массе, не подразумевая при этом инерционных свойств. Никаких дополнительных ограничений к его определению не добавляется.

Например, рассмотрим вывод закона Пуазейля . Мы хотим найти скорость массового потока вязкой жидкости через круглую трубу. Не проводя различий между инертной и существенной массой, мы можем выбрать в качестве соответствующих переменных:

Существует три фундаментальные переменные, поэтому приведенные выше пять уравнений дадут две независимые безразмерные переменные:

${\displaystyle \pi _{1}={\frac {\dot {m}}{\eta r}}}$

${\displaystyle \pi _{2}={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}}$

Если мы различаем инертную массу с размерностью и количество материи с размерностью , то массовый расход и плотность будут использовать количество материи в качестве параметра массы, в то время как градиент давления и коэффициент вязкости будут использовать инертную массу. Теперь у нас есть четыре фундаментальных параметра и одна безразмерная константа, так что уравнение размерности можно записать: ${\displaystyle M_{\text{i}}}$ ${\displaystyle M_{\text{m}}}$

${\displaystyle C={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}}$

где теперь только C является неопределенной константой (найденной равной методами вне размерного анализа). Это уравнение может быть решено для массового расхода, чтобы получить закон Пуазейля . ${\displaystyle \pi /8}$

Признание Хантли количества материи как независимого количественного измерения, очевидно, успешно в задачах, где оно применимо, но его определение количества материи открыто для интерпретации, поскольку ему не хватает конкретики за пределами двух требований, которые он для него постулировал. Для данного вещества измерение СИ количество вещества с единицей моль удовлетворяет двум требованиям Хантли как мера количества материи и может быть использовано как количество материи в любой задаче размерного анализа, где применима концепция Хантли.

Расширение Сиано: ориентационный анализ

Углы , по соглашению, считаются безразмерными величинами (хотя целесообразность этого оспаривается ^[53] ). В качестве примера снова рассмотрим задачу о снаряде, в которой точечная масса запускается из начала координат ( x , y ) = (0, 0) со скоростью v и углом θ над осью x , с силой тяжести, направленной вдоль отрицательной оси y . Требуется найти диапазон R , в котором масса возвращается к оси x . Обычный анализ даст безразмерную переменную π = R g / v ² , но не дает никакого представления о связи между R и θ .

Сиано предложил заменить направленные измерения Хантли, используя ориентационные символы 1 _x  1 _y  1 _z для обозначения векторных направлений и символ без ориентации 1 ₀ . ^{[54] Таким образом, L} _x Хантли становится L1 _x , где L определяет размерность длины, а 1 _x определяет ориентацию. Сиано далее показывает, что ориентационные символы имеют собственную алгебру. Наряду с требованием, чтобы 1 _i ⁻¹ = 1 _i , получается следующая таблица умножения для ориентационных символов:

Ориентационные символы образуют группу ( четверную группу Клейна или "Viergruppe"). В этой системе скаляры всегда имеют ту же ориентацию, что и единичный элемент, независимо от "симметрии задачи". Физические величины, которые являются векторами, имеют ожидаемую ориентацию: сила или скорость в направлении z имеют ориентацию 1 _z . Для углов рассмотрим угол θ , который лежит в плоскости z. Образуем прямоугольный треугольник в плоскости z, где θ является одним из острых углов. Сторона прямоугольного треугольника, смежная с углом, тогда имеет ориентацию 1 _x , а сторона, противолежащая ему, имеет ориентацию 1 _y . Поскольку (используя ~ для указания ориентационной эквивалентности) tan( θ ) = θ  + ... ~ 1 _y /1 _x , мы заключаем, что угол в плоскости xy должен иметь ориентацию 1 _y /1 _x = 1 _z , что не лишено смысла. Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что sin( θ ) имеет ориентацию 1 _z , тогда как cos( θ ) имеет ориентацию 1 ₀ . Они различны, поэтому можно сделать (верный) вывод, например, что не существует решений физических уравнений, которые имеют вид a cos( θ ) + b sin( θ ) , где a и b — действительные скаляры. Такое выражение не является размерно противоречивым, поскольку является частным случаем формулы суммы углов и должно быть правильно записано: ${\displaystyle \sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )}$

${\displaystyle \sin \left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin \left(a\,1_{\text{z}})\cos(b\,1_{\text{z}}\right)+\sin \left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}}\right),}$

что для и дает ⁠ ⁠ . Сиано различает геометрические углы, которые имеют ориентацию в трехмерном пространстве, и фазовые углы, связанные с колебаниями, основанными на времени, которые не имеют пространственной ориентации, то есть ориентация фазового угла равна ⁠ ⁠ . ${\displaystyle a=\theta }$ ${\displaystyle b=\pi /2}$ ${\displaystyle \sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})}$ ${\displaystyle 1_{0}}$

Назначение ориентационных символов физическим величинам и требование, чтобы физические уравнения были ориентационно однородными, на самом деле можно использовать способом, аналогичным размерному анализу, для получения дополнительной информации о приемлемых решениях физических задач. При таком подходе решается размерное уравнение, насколько это возможно. Если наименьшая степень физической переменной дробная, обе стороны решения возводятся в степень, такую, что все степени являются целыми, что приводит его к нормальной форме . Затем решается ориентационное уравнение, чтобы дать более ограничительное условие для неизвестных степеней ориентационных символов. Тогда решение оказывается более полным, чем то, которое дает только размерный анализ. Часто дополнительная информация заключается в том, что одна из степеней определенной переменной четная или нечетная.

Например, для задачи о снаряде, использующей ориентационные символы, θ , находясь в плоскости xy, будет иметь размерность 1 _z , а дальность полета снаряда R будет иметь вид:

${\displaystyle R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{ which means }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} }\sim \left({\frac {{\mathsf {L}}\,1_{\text{y}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\,1_{\mathsf {z}}^{c}.\,}$

Размерная однородность теперь правильно даст a = −1 и b = 2 , а ориентационная однородность требует, чтобы ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1}$ . Другими словами, c должно быть нечетным целым числом. Фактически, требуемая функция тета будет sin( θ )cos( θ ) , которая является рядом, состоящим из нечетных степеней θ .

Видно, что ряды Тейлора sin( θ ) и cos( θ ) являются ориентационно однородными, если использовать приведенную выше таблицу умножения, в то время как выражения типа cos( θ ) + sin( θ ) и exp( θ ) таковыми не являются и (правильно) считаются нефизическими.

Ориентационный анализ Сиано совместим с общепринятой концепцией угловых величин как безразмерных, и в ориентационном анализе радиан все еще может считаться безразмерной единицей. Ориентационный анализ количественного уравнения выполняется отдельно от обычного размерного анализа, что дает информацию, которая дополняет размерный анализ.

Смотрите также

• Теорема Букингема π
• Безразмерные числа в механике жидкости
• Оценка Ферми – используется для обучения размерному анализу
• Числовое уравнение
• Метод размерного анализа Рэлея
• Подобие – применение размерного анализа
• Система измерения

Смежные области математики

• Ковариантность и контравариантность векторов
• Внешняя алгебра
• Геометрическая алгебра
• Количественное исчисление

Примечания

1. Bolster, Diogo; Hershberger, Robert E.; Donnelly, Russell E. (сентябрь 2011 г.). «Динамическое подобие, безразмерная наука» . Physics Today . 64 (9): 42–47. doi :10.1063/PT.3.1258.
2. BIPM (2019). "2.3.3 Размерности величин". Брошюра SI: Международная система единиц (СИ) (PDF) (на английском и французском языках) (т. 1.08, 9-е изд.). стр. 136–137. ISBN 978-92-822-2272-0. Получено 1 сентября 2021 г. .
3. Ялин, М. Селим (1971). «Принципы теории размерностей». Теория гидравлических моделей . стр. 1–34. doi :10.1007/978-1-349-00245-0_1. ISBN 978-1-349-00247-4.
4. Дафф, М.Дж.; Окун, Л.Б.; Венециано, Г. (сентябрь 2002 г.), "Триалог о числе фундаментальных констант", Журнал физики высоких энергий , 2002 (3): 023, arXiv : physics/0110060 , Bibcode : 2002JHEP...03..023D, doi : 10.1088/1126-6708/2002/03/023, S2CID  15806354
5. JCGM (2012), JCGM 200:2012 – Международный словарь метрологии – Основные и общие понятия и связанные с ними термины (VIM) (PDF) (3-е изд.), архивировано из оригинала (PDF) 23 сентября 2015 г. , извлечено 2 июня 2015 г.
6. Cimbala, John; Çengel, Yunus (2006). "§7-2 Размерная однородность". Essential of Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications . McGraw-Hill. стр. 203–. ISBN 9780073138350.
7. Де Йонг, Фриц Дж.; Куэйд, Вильгельм (1967). Размерный анализ для экономистов . Северная Голландия. стр. 28.
8. Уэйт, Ли; Файн, Джерри (2007). Прикладная механика биожидкостей . Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 260. ISBN 978-0-07-147217-3.
9. Маканьо, Энцо О. (1971). «Историко-критический обзор размерного анализа». Журнал Института Франклина . 292 (6): 391–340. doi :10.1016/0016-0032(71)90160-8.
10. Martins, Roberto De A. (1981). «Происхождение размерного анализа». Журнал Института Франклина . 311 (5): 331–337. doi :10.1016/0016-0032(81)90475-0.
11. Мартинс, стр. 403 в сборнике трудов, содержащем его статью.
12. Мейсон, Стивен Финни (1962), История наук , Нью-Йорк: Collier Books, стр. 169, ISBN 978-0-02-093400-4
13. Рош, Джон Дж. (1998), Математика измерений: критическая история, Springer, стр. 203, ISBN 978-0-387-91581-4Начиная , по-видимому, с Максвелла, масса, длина и время стали интерпретироваться как имеющие привилегированный фундаментальный характер, а все другие величины — как производные, не только по отношению к измерению, но и по отношению к их физическому статусу.
14. Максвелл, Джеймс Клерк (1873), Трактат об электричестве и магнетизме , стр. 4
15. Максвелл, Джеймс Клерк (1873), Трактат об электричестве и магнетизме , серия Clarendon Press, Оксфорд, стр. 45, hdl : 2027/uc1.l0065867749
16. (Песич 2005)
17. Рэлей, барон Джон Уильям Страт (1877), Теория звука, Macmillan
18. Фурье (1822), стр. 156.
19. Максвелл, Джеймс Клерк (1873), Трактат об электричестве и магнетизме, том 1, стр. 5
20. Рэмси, Ангус. «Анализ размеров и численные эксперименты для вращающегося диска». Ramsay Maunder Associates . Получено 15 апреля 2017 г.
21. Тао 2012, «Приложив немного дополнительных усилий (и полностью используя одномерность векторных пространств), можно также определить пространства с дробными показателями степени...».
22. Тао 2012, «Однако при работе с векторными величинами в двух и более измерениях существуют теоретические препятствия для взятия произвольных дробных степеней единиц ...».
23. Тао 2012 «Аналогично можно определить V ^{T −1} как двойственное пространство к V ^T ...»
24. Бриджмен 1922, 2. Размерные формулы, стр. 17–27.
25. Берберан-Сантос, Марио Н.; Польяни, Лионелло (1999). «Два альтернативных вывода теоремы Бриджмена» (PDF) . Журнал математической химии . 26 : 255–261, см. §5 Общие результаты, стр. 259. doi :10.1023/A:1019102415633. S2CID  14833238.
26. Берберан-Сантос и Польяни 1999, стр. 256
27. Для обзора различных используемых соглашений см.: Pisanty, E (17 сентября 2013 г.). "Обозначение квадратных скобок для измерений и единиц: использование и соглашения". Physics Stack Exchange . Получено 15 июля 2014 г.
28. Thompson, Ambler (ноябрь 2009 г.). Руководство по использованию Международной системы единиц (СИ): Метрическая система (PDF) . DIANE Publishing. ISBN 9781437915594.
29. Дафф, Майкл Джеймс (июль 2004 г.). «Комментарий к изменению во времени фундаментальных констант». arXiv : hep-th/0208093v3 .
30. Воан, Г. (2010), Кембриджский справочник по физическим формулам , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57507-2
31. Моска, Джин; Типлер, Пол Аллен (2007), Физика для ученых и инженеров – с современной физикой (6-е изд.), Сан-Франциско: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-8964-2
32. Мартин, BR; Шоу, G.; Manchester Physics (2008), Particle Physics (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-470-03294-7
33. Gehani, N. (1977). «Единицы измерения как атрибут данных». Comput. Lang . 2 (3): 93–111. doi :10.1016/0096-0551(77)90010-8.
34. Gehani, N. (июнь 1985). «Производные типы и единицы измерения Ады». Software: Practice and Experience . 15 (6): 555–569. doi :10.1002/spe.4380150604. S2CID  40558757.
35. Cmelik, RF; Gehani, NH (май 1988). «Размерный анализ с C++». IEEE Software . 5 (3): 21–27. doi :10.1109/52.2021. S2CID  22450087.
36. Кеннеди, Эндрю Дж. (апрель 1996 г.). Языки программирования и измерения (Phd). Том 391. Кембриджский университет. ISSN  1476-2986. UCAM-CL-TR-391.
37. Кеннеди, А. (2010). «Типы единиц измерения: теория и практика». В Хорвате, З.; Пласмейере, Р.; Жоке, В. (ред.). Центральноевропейская школа функционального программирования. CEFP 2009. Конспект лекций по информатике. Том 6299. Springer. С. 268–305. CiteSeerX 10.1.1.174.6901 . doi :10.1007/978-3-642-17685-2_8. ISBN  978-3-642-17684-5.
38. Гандри, Адам (декабрь 2015 г.). «Плагин проверки типов для единиц измерения: решение проблем ограничений, связанных с доменом, в GHC Haskell» (PDF) . Уведомления SIGPLAN . 50 (12): 11–22. doi :10.1145/2887747.2804305. Архивировано (PDF) из оригинала 10 августа 2017 г.
39. Гарриг, Дж.; Ли, Д. (2017). «Des unités dans le typeur» (PDF) . 28ièmes Journées Francophones des Langaeges Applicatifs, январь 2017 г., Гуретт, Франция (на французском языке). hal-01503084. Архивировано (PDF) из оригинала 10 ноября 2020 г.
40. Теллер, Дэвид (январь 2020 г.). «Единицы измерения в Rust с типами уточнения».
41. Греко, Эрнан Э. (2022). «Пинта: упрощает единицы измерения».
42. «CamFort: Определение, проверка и рефакторинг кода Fortran». Кембриджский университет; Кентский университет. 2018.
43. Бенних-Бьёркман, О.; Маккивер, С. (2018). «Следующие 700 единиц измерения контролеров». Труды 11-й Международной конференции ACM SIGPLAN по программной языковой инженерии . С. 121–132. doi :10.1145/3276604.3276613. ISBN 978-1-4503-6029-6. S2CID  53089559.
44. Харт 1995
45. Гриффиоен, П. (2019). Матричный язык с поддержкой единиц измерения и его применение в контроле и аудите (PDF) (Диссертация). Амстердамский университет. hdl :11245.1/fd7be191-700f-4468-a329-4c8ecd9007ba. Архивировано (PDF) из оригинала 21 февраля 2020 г.
46. Макбрайд, Конор ; Нордвалл-Форсберг, Фредрик (2022). «Системы типов для программ, учитывающих измерения» (PDF) . Advanced Mathematical and Computational Tools in Metrology and Testing XII . Advances in Mathematics for Applied Sciences. World Scientific. стр. 331–345. doi :10.1142/9789811242380_0020. ISBN 9789811242380. S2CID  243831207. Архивировано (PDF) из оригинала 17 мая 2022 г.
47. "NondimensionalizationTransform—Wolfram Language Documentation". reference.wolfram.com . Получено 19 апреля 2023 г. .
48. "UnitDimensions—Wolfram Language Documentation". reference.wolfram.com . Получено 19 апреля 2023 г. .
49. "DimensionalCombinations—Wolfram Language Documentation". reference.wolfram.com . Получено 19 апреля 2023 г. .
50. "UnityDimensions—Wolfram Language Documentation". reference.wolfram.com . Получено 19 апреля 2023 г. .
51. "QuantityVariableDimensions—Wolfram Language Documentation". reference.wolfram.com . Получено 19 апреля 2023 г. .
52. (Хантли 1967)
53. Куинси, Пол (2021). «Углы в СИ: подробное предложение по решению проблемы». Metrologia . 58 (5): 053002. arXiv : 2108.05704 . doi :10.1088/1681-7575/ac023f.
54. Сиано (1985-I, 1985-II)

Ссылки

• Баренблатт, GI (1996), Масштабирование, самоподобие и промежуточные асимптотики , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43522-2
• Бхаскар, Р.; Нигам, Анил (1990), «Качественная физика с использованием размерного анализа», Искусственный интеллект , 45 (1–2): 73–111, doi :10.1016/0004-3702(90)90038-2
• Бхаскар, Р.; Нигам, Анил (1991), «Качественные объяснения формирования красных гигантов», The Astrophysical Journal , 372 : 592–6, Bibcode : 1991ApJ...372..592B, doi : 10.1086/170003
• Буше; Алвес (1960), «Безразмерные числа», Chemical Engineering Progress , 55 : 55–64
• Бриджмен, П. У. (1922), Анализ размерностей , Издательство Йельского университета, ISBN 978-0-548-91029-0
• Бекингем, Эдгар (1914), «О физически подобных системах: иллюстрации использования размерного анализа», Physical Review , 4 (4): 345–376, Bibcode : 1914PhRv....4..345B, doi : 10.1103/PhysRev.4.345, hdl : 10338.dmlcz/101743
• Дробот, С. (1953–1954), «Об основах размерного анализа» (PDF) , Studia Mathematica , 14 : 84–99, doi : 10.4064/sm-14-1-84-99 , архивировано (PDF) из оригинала 16 января 2004 г.
• Фурье, Жозеф (1822), Theorie analytique de la chaleur (на французском языке), Париж: Фирмен Дидо
• Гиббингс, Дж. К. (2011), Анализ размеров , Springer, ISBN 978-1-84996-316-9
• Харт, Джордж У. (1994), «Теория размерных матриц», в Льюис, Джон Г. (ред.), Труды Пятой конференции SIAM по прикладной линейной алгебре , SIAM, стр. 186–190, ISBN 978-0-89871-336-7В качестве постскриптума
• Харт, Джордж У. (1995), Многомерный анализ: алгебры и системы для науки и техники, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94417-3
• Хантли, Х. Э. (1967), Анализ размерностей, Дувр, OCLC  682090763, OL  6128830M, LOC 67-17978
• Клинкенберг, А. (1955), «Размерные системы и системы единиц в физике с особым акцентом на химическую инженерию: Часть I. Принципы, в соответствии с которыми строятся размерные системы и системы единиц», Chemical Engineering Science , 4 (3): 130–140, 167–177, Bibcode : 1955ChEnS...4..130K, doi : 10.1016/0009-2509(55)80004-8
• Лангхаар, Генри Л. (1951), Анализ размерностей и теория моделей , Wiley, ISBN 978-0-88275-682-0
• Мендес, П. Ф.; Ордоньес, Ф. (сентябрь 2005 г.), «Законы масштабирования на основе статистических данных и размерного анализа», Журнал прикладной механики , 72 (5): 648–657, Bibcode : 2005JAM....72..648M, CiteSeerX  10.1.1.422.610 , doi : 10.1115/1.1943434
• Муди, Л. Ф. (1944), «Коэффициенты трения для потока в трубах», Труды Американского общества инженеров-механиков , 66 (671): 671–678, doi : 10.1115/1.4018140
• Мерфи, Н.Ф. (1949), «Анализ размеров», Бюллетень Политехнического института Вирджинии , 42 (6)
• Перри, Дж. Х. и др. (1944), «Стандартная система номенклатуры для операций химических инженеров», Труды Американского института инженеров-химиков , 40 (251)
• Песич, Питер (2005), Небо в бутылке , MIT Press, стр. 227–28, ISBN 978-0-262-16234-0
• Петти, Г. В. (2001), «Автоматизированное вычисление и проверка согласованности физических измерений и единиц в научных программах», Программное обеспечение: Практика и опыт , 31 (11): 1067–76, doi :10.1002/spe.401, S2CID  206506776
• Портер, Альфред В. (1933), Метод измерений (3-е изд.), Метуэн
• Дж. У. Стратт (третий барон Рэлей) (1915), «Принцип подобия», Nature , 95 (2368): 66–8, Bibcode : 1915Natur..95...66R, doi : 10.1038/095066c0
• Сиано, Дональд (1985), «Ориентационный анализ – Дополнение к размерному анализу – I», Журнал Института Франклина , 320 (6): 267–283, doi :10.1016/0016-0032(85)90031-6
• Сиано, Дональд (1985), «Ориентационный анализ, тензорный анализ и групповые свойства дополнительных единиц СИ – II», Журнал Института Франклина , 320 (6): 285–302, doi :10.1016/0016-0032(85)90032-8
• Силберберг, И. Х.; Маккетта, Дж. Дж. Мл. (1953), «Изучение использования размерного анализа», Petroleum Refiner , 32 (4): 5, (5): 147, (6): 101, (7): 129
• Тао, Теренс (2012). «Математическая формализация размерного анализа».
• Ван Дрист, Э. Р. (март 1946 г.), «О размерном анализе и представлении данных в задачах течения жидкости», Журнал прикладной механики , 68 (A–34)
• Уитни, Х. (1968), «Математика физических величин, части I и II», American Mathematical Monthly , 75 (2): 115–138, 227–256, doi :10.2307/2315883, JSTOR  2315883
• Уилсон, Эдвин Б. (1920) «Теория измерений», глава XI « Аэронавтики» , через интернет-архив
• Vignaux, GA (1992), «Размерный анализ в моделировании данных», в Erickson, Gary J.; Neudorfer, Paul O. (ред.), Максимальная энтропия и байесовские методы: труды Одиннадцатого международного семинара по максимальной энтропии и байесовским методам статистического анализа, Сиэтл, 1991 , Kluwer Academic, ISBN 978-0-7923-2031-9
• Каспшак, Вацлав; Лысик, Бертольд; Рыбачук, Марек (1990), Анализ размерностей в идентификации математических моделей , World Scientific, ISBN 978-981-02-0304-7

Дальнейшее чтение

• Джанколи, Дуглас К. (2014). "1. Введение, Измерение, Оценка §1.8 Размеры и Анализ размерностей". Физика: Принципы с приложениями (7-е изд.). Пирсон. ISBN 978-0-321-62592-2. OCLC  853154197.

Внешние ссылки

• Список размерностей различных физических величин
• Веб-калькулятор Unicalc Live, преобразующий единицы измерения с помощью размерного анализа
• Реализация на языке C++ анализа размерностей во время компиляции в библиотеках Boost с открытым исходным кодом
• Пи-теорема Бекингема
• Калькулятор системы количественных показателей для преобразования единиц на основе размерного подхода Архивировано 24 декабря 2017 г. на Wayback Machine
• Карты размерного анализа проекта единиц, величин и фундаментальных констант
• Боули, Роджер (2009). «Анализ размерностей». Шестьдесят символов . Брэди Харан для Ноттингемского университета .
• Дюрейссе, Дэвид (2019). Введение в размерный анализ (лекция). INSA Lyon.