Уравнения Навье–Стокса

Уравнения, описывающие движение вязких жидких веществ

Уравнения Навье–Стокса ( / n æ v ˈ j eɪ s t oʊ k s / nav- YAY STOHKS ) — это уравнения в частных производных , которые описывают движение вязких жидких веществ. Они были названы в честь французского инженера и физика Клода-Луи Навье и ирландского физика и математика Джорджа Габриэля Стокса . Они были разработаны в течение нескольких десятилетий последовательного построения теорий, с 1822 года (Навье) по 1842–1850 годы (Стокс).

Уравнения Навье–Стокса математически выражают баланс импульса для ньютоновских жидкостей и используют закон сохранения массы . Иногда они сопровождаются уравнением состояния, связывающим давление , температуру и плотность . ^[1] Они возникают из применения второго закона Исаака Ньютона к движению жидкости , вместе с предположением, что напряжение в жидкости является суммой рассеивающегося вязкого члена (пропорционального градиенту скорости ) и члена давления — следовательно, описывая вязкое течение . Разница между ними и тесно связанными уравнениями Эйлера заключается в том, что уравнения Навье–Стокса учитывают вязкость , тогда как уравнения Эйлера моделируют только невязкое течение . В результате уравнения Навье–Стокса являются параболическими и, следовательно, обладают лучшими аналитическими свойствами за счет меньшей математической структуры (например, они никогда не являются полностью интегрируемыми ).

Уравнения Навье–Стокса полезны, поскольку они описывают физику многих явлений, представляющих научный и инженерный интерес. Их можно использовать для моделирования погоды, океанских течений , потока воды в трубе и потока воздуха вокруг крыла . Уравнения Навье–Стокса в их полной и упрощенной форме помогают в проектировании самолетов и автомобилей, изучении кровотока , проектировании электростанций , анализе загрязнения и решении многих других задач. В сочетании с уравнениями Максвелла их можно использовать для моделирования и изучения магнитогидродинамики .

Уравнения Навье–Стокса также представляют большой интерес в чисто математическом смысле. Несмотря на широкий спектр их практического применения, до сих пор не доказано, всегда ли существуют гладкие решения в трех измерениях, т. е. являются ли они бесконечно дифференцируемыми (или даже просто ограниченными) во всех точках области . Это называется проблемой существования и гладкости Навье–Стокса . Математический институт Клэя назвал это одной из семи важнейших открытых проблем в математике и предложил премию в размере 1 миллиона долларов США за решение или контрпример. ^{[2] [3]}

Скорость потока

Решением уравнений является скорость потока . Это векторное поле — для каждой точки жидкости в любой момент временного интервала оно дает вектор, направление и величина которого совпадают со скоростью жидкости в этой точке пространства и в этот момент времени. Обычно его изучают в трех пространственных измерениях и одном временном измерении, хотя двухмерные (пространственные) и стационарные случаи часто используются в качестве моделей, а более многомерные аналоги изучаются как в чистой, так и в прикладной математике. После вычисления поля скорости другие интересующие величины, такие как давление или температура, могут быть найдены с помощью динамических уравнений и соотношений. Это отличается от того, что обычно видят в классической механике , где решения обычно являются траекториями положения частицы или отклонения сплошной среды . Изучение скорости вместо положения имеет больше смысла для жидкости, хотя для целей визуализации можно вычислить различные траектории . В частности, линии тока векторного поля, интерпретируемые как скорость потока, являются путями, по которым будет перемещаться безмассовая частица жидкости. Эти пути представляют собой интегральные кривые, производная которых в каждой точке равна векторному полю, и они могут наглядно представлять поведение векторного поля в определенный момент времени.

Общие уравнения континуума

Уравнение импульса Навье-Стокса можно вывести как частную форму уравнения импульса Коши , общая конвективная форма которого имеет вид: Принимая тензор напряжений Коши равным сумме члена вязкости ( девиаторного напряжения ) и члена давления (объемного напряжения), мы приходим к: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} .}$$ ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\textstyle -p\mathbf {I} }$

Уравнение импульса Коши (конвективная форма)

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \,\mathbf {a} }$

где

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$является производной материала , определяемой как , ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$
• ${\textstyle \rho }$это (массовая) плотность,
• ${\textstyle \mathbf {u} }$скорость потока,
• ${\textstyle \nabla \cdot \,}$это расхождение ,
• ${\textstyle p}$это давление ,
• ${\textstyle t}$время ,​
• ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$— девиаторный тензор напряжений , имеющий порядок 2,
• ${\textstyle \mathbf {a} }$представляет собой ускорения тела , действующие на континуум, например, гравитацию , инерционные ускорения , электростатические ускорения и т. д.

В этой форме очевидно, что в предположении невязкой жидкости (отсутствия девиаторного напряжения) уравнения Коши сводятся к уравнениям Эйлера .

Предполагая сохранение массы , с известными свойствами дивергенции и градиента, мы можем использовать уравнение неразрывности массы, которое представляет собой массу на единицу объема однородной жидкости относительно пространства и времени (т.е. производную материала ) любого конечного объема ( V ), чтобы представить изменение скорости в жидких средах: где ${\displaystyle {\frac {\mathbf {D} }{\mathbf {Dt} }}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}&={\iiint \limits _{V}}\left({{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )}\right)dV\\{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u} })&={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0\end{aligned}}}$$

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} m}{\mathrm {D} t}}}$является материальной производной массы на единицу объема ( плотность , ) , ${\displaystyle \rho }$
• ${\textstyle {\iiint \limits _{V}}(F(x_{1},x_{2},x_{3},t))dV}$— математическая операция интегрирования по всему объему ( V ),
• ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$— это частный производный математический оператор,
• ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} \,}$есть дивергенция скорости потока ( ), которая является скалярным полем , ^{Примечание 1} ${\displaystyle \mathbf {u} }$
• ${\textstyle {\nabla \rho }\,}$— градиент плотности ( ), который является векторной производной скалярного поля , ^{Примечание} 1 ${\displaystyle \rho }$

^{Примечание 1. См. математический оператор del, представленный символом набла ( ) . ${\displaystyle \nabla }$}

чтобы прийти к форме сохранения уравнений движения. Это часто записывается: ^[4]

Уравнение импульса Коши (форма сохранения)

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \,\mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \,\mathbf {a} }$

где — внешнее произведение скорости потока ( ): ${\textstyle \otimes }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ $${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}$$

Левая часть уравнения описывает ускорение и может состоять из зависящих от времени и конвективных компонентов (а также эффектов неинерциальных координат, если они присутствуют). Правая часть уравнения по сути является суммированием гидростатических эффектов, расхождения девиаторного напряжения и объемных сил (таких как сила тяжести).

Все нерелятивистские уравнения баланса, такие как уравнения Навье–Стокса, могут быть выведены, начиная с уравнений Коши и определяя тензор напряжений через конститутивное соотношение . Выражая девиаторный (сдвиговой) тензор напряжений через вязкость и градиент скорости жидкости , и предполагая постоянную вязкость, приведенные выше уравнения Коши приведут к уравнениям Навье–Стокса ниже.

Конвективное ускорение

Пример конвекции. Хотя поток может быть постоянным (независимым от времени), жидкость замедляется по мере движения по расходящемуся каналу (предполагая несжимаемый или дозвуковой сжимаемый поток), следовательно, происходит ускорение по положению.

Существенной особенностью уравнения Коши и, следовательно, всех других уравнений континуума (включая Эйлера и Навье–Стокса) является наличие конвективного ускорения: эффекта ускорения потока относительно пространства. В то время как отдельные частицы жидкости действительно испытывают зависящее от времени ускорение, конвективное ускорение поля потока является пространственным эффектом, одним из примеров которого является ускорение жидкости в сопле.

Сжимаемый поток

Замечание: здесь девиаторный тензор напряжений обозначен так же, как и в общих уравнениях сплошной среды и в сечении несжимаемого потока. ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$

Уравнение Навье–Стокса для сжимаемого импульса получается из следующих предположений относительно тензора напряжений Коши: ^[5]

• напряжение является инвариантом Галилея : оно не зависит напрямую от скорости потока, а только от пространственных производных скорости потока. Таким образом, переменная напряжения — это градиент тензора , или, проще говоря, тензор скорости деформации : ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$
• девиаторное напряжение линейно по этой переменной: , где не зависит от тензора скорости деформации, — тензор четвертого порядка, представляющий собой константу пропорциональности, называемую тензором вязкости или упругости , а: — произведение двух точек . ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\mathbf {C} :{\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \mathbf {C} }$
• жидкость предполагается изотропной , как газы и простые жидкости, и, следовательно, является изотропным тензором; кроме того, поскольку тензор девиаторных напряжений симметричен, с помощью разложения Гельмгольца его можно выразить через два скалярных параметра Ламе , вторую вязкость и динамическую вязкость , как это обычно бывает в линейной упругости : ${\textstyle \mathbf {C} }$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \mu }$
  Уравнение линейного напряжения (выражение, аналогичное выражению для упругого твердого тела)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  где — тензор тождественности , а — след тензора скорости деформации. Таким образом, это разложение можно явно определить как: ${\textstyle \mathbf {I} }$ ${\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).}$$

Поскольку след тензора скорости деформации в трех измерениях представляет собой дивергенцию ( т.е. скорость расширения) потока: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Учитывая это соотношение и то, что след тензора тождества в трех измерениях равен трем: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.}$$

след тензора напряжений в трех измерениях становится: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Таким образом, поочередно разложив тензор напряжений на изотропную и девиаторную части, как это обычно делается в гидродинамике: ^[6] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p-\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}$$

Вводя объемную вязкость , ${\textstyle \zeta }$ $${\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}$$

приходим к линейному основному уравнению в форме, обычно используемой в термогидравлике : ^[5]

Уравнение линейного напряжения (выражение, используемое для жидкостей)

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-[p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]\mathbf {I} +\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

который также может быть организован в другой обычной форме: ^[7] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right)+\left(\zeta -{\frac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .}$$

Обратите внимание, что в сжимаемом случае давление больше не пропорционально члену изотропного напряжения , поскольку имеется дополнительный член объемной вязкости: ${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )}$

и тензор девиаторных напряжений по-прежнему совпадает с тензором сдвиговых напряжений (т.е. девиаторное напряжение в ньютоновской жидкости не имеет нормальных компонент напряжения), и в дополнение к несжимаемому случаю у него есть член сжимаемости, который пропорционален сдвиговой вязкости: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

Как объемная вязкость , так и динамическая вязкость не обязательно должны быть постоянными – в общем случае они зависят от двух термодинамических переменных, если жидкость содержит один химический вид, например, давления и температуры. Любое уравнение, которое делает явным один из этих коэффициентов переноса в переменных сохранения, называется уравнением состояния . ^[8] ${\textstyle \zeta }$ ${\textstyle \mu }$

Наиболее общее из уравнений Навье-Стокса становится

Уравнение импульса Навье-Стокса ( конвективная форма )

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left\{\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right\}+\nabla [\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]+\rho \mathbf {a} .}$

В индексной записи уравнение можно записать как ^[9]

Уравнение импульса Навье-Стокса ( индексная запись )

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{k}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left[\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ik}{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{l}}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\zeta {\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{l}}}\right)+\rho a_{i}.}$

Соответствующее уравнение в форме сохранения можно получить, учитывая, что с учетом уравнения непрерывности массы левая часть эквивалентна:

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )}$

И наконец:

Уравнение импульса Навье-Стокса (консервативная форма )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +[p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]\mathbf {I} -\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right)=\rho \mathbf {a} .}$

Помимо зависимости от давления и температуры, второй коэффициент вязкости также зависит от процесса, то есть второй коэффициент вязкости является не просто свойством материала. Пример: в случае звуковой волны с определенной частотой, которая попеременно сжимает и расширяет элемент жидкости, второй коэффициент вязкости зависит от частоты волны. Эта зависимость называется дисперсией . В некоторых случаях вторую вязкость можно считать постоянной, и в этом случае эффект объемной вязкости заключается в том, что механическое давление не эквивалентно термодинамическому давлению : ^[10], как показано ниже. Однако этой разницей обычно пренебрегают большую часть времени (то есть всякий раз, когда мы не имеем дело с такими процессами, как поглощение звука и затухание ударных волн, ^[11] , где второй коэффициент вязкости становится важным), явно предполагая . Предположение об установке называется гипотезой Стокса . ^[12] Справедливость гипотезы Стокса может быть продемонстрирована для одноатомного газа как экспериментально, так и с помощью кинетической теории; ^[13] для других газов и жидкостей гипотеза Стокса в целом неверна. С гипотезой Стокса уравнения Навье-Стокса становятся ${\textstyle \zeta }$ ${\textstyle \zeta }$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),}$$ $${\displaystyle {\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,}$$ ${\textstyle \zeta =0}$ ${\textstyle \zeta =0}$

Уравнение импульса Навье-Стокса ( конвективная форма, гипотеза Стокса )

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left\{\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right\}+\rho \mathbf {a} .}$

Если динамическая μ и объемная вязкость предполагаются однородными в пространстве, то уравнения в конвективной форме можно упростить еще больше. Вычисляя дивергенцию тензора напряжений, поскольку дивергенция тензора равна , а дивергенция тензора равна , в конце концов приходим к сжимаемому уравнению импульса Навье–Стокса: ^[14] ${\displaystyle \zeta }$ ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ ${\textstyle \nabla ^{2}\mathbf {u} }$ ${\textstyle \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }}$ ${\textstyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}$

Уравнение импульса Навье-Стокса с равномерным сдвигом и объемной вязкостью ( конвективная форма )

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} +({\tfrac {1}{3}}\nu +\xi )\,\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {a} .}$

где — производная материала . — кинематическая вязкость сдвига , — объемная кинематическая вязкость. Левая часть изменяется в форме сохранения уравнения импульса Навье–Стокса. При переносе оператора на скорость потока в левую часть, на также имеет: ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$ ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ ${\displaystyle \xi ={\frac {\zeta }{\rho }}}$

Уравнение импульса Навье-Стокса с равномерным сдвигом и объемной вязкостью ( конвективная форма )

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla -\nu \,\nabla ^{2}-({\tfrac {1}{3}}\nu +\xi )\,\nabla (\nabla \cdot )\right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {a} .}$

Член конвективного ускорения можно также записать как, где вектор известен как вектор Лэмба . $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\tfrac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2},}$$ ${\textstyle (\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} }$

Для особого случая несжимаемого потока давление ограничивает поток таким образом, что объем жидких элементов остается постоянным: изохорный поток, приводящий к соленоидальному полю скорости с . ^[15] ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Несжимаемый поток

Уравнение Навье–Стокса для несжимаемого импульса получается из следующих предположений относительно тензора напряжений Коши: ^[5]

• напряжение является галилеевским инвариантом : оно не зависит напрямую от скорости потока, а только от пространственных производных скорости потока. Таким образом, переменная напряжения — это градиент тензора . ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$
• жидкость предполагается изотропной , как газы и простые жидкости, и, следовательно, является изотропным тензором; кроме того, поскольку тензор девиаторных напряжений может быть выражен через динамическую вязкость : ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\textstyle \mu }$
  Уравнение Стокса для определения напряжений (выражение, используемое для несжимаемых упругих тел)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  где - тензор скорости деформации . Таким образом, это разложение можно сделать явным как: ^[5] $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)}$$

  Уравнение Стокса для определения напряжений (выражение, используемое для несжимаемых вязких жидкостей)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$

Это конститутивное уравнение также называется законом вязкости Ньютона . Динамическая вязкость μ не обязательно должна быть постоянной — в несжимаемых потоках она может зависеть от плотности и давления. Любое уравнение, которое делает явным один из этих коэффициентов переноса в консервативных переменных, называется уравнением состояния . ^[8]

Дивергенция девиаторного напряжения в случае однородной вязкости определяется по формуле: поскольку для несжимаемой жидкости. $${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mu \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\right)=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }$$ ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Несжимаемость исключает волны плотности и давления, такие как звуковые или ударные волны , поэтому это упрощение бесполезно, если эти явления представляют интерес. Предположение о несжимаемом потоке обычно хорошо выполняется для всех жидкостей при низких числах Маха (скажем, до 0,3 Маха), например, для моделирования воздушных ветров при нормальных температурах. ^[16] несжимаемые уравнения Навье-Стокса лучше всего визуализируются путем деления для плотности: ^[17]

Уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости с однородной вязкостью ( конвективная форма )

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} -{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\frac {1}{\rho }}\mathbf {f} }$

где называется кинематической вязкостью . Выделив скорость жидкости, можно также установить: ${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$

Уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью ( альтернативная конвективная форма )

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla -\nu \,\nabla ^{2}\right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\frac {1}{\rho }}\mathbf {f} .}$

Если плотность постоянна во всей области жидкости, или, другими словами, если все элементы жидкости имеют одинаковую плотность, то мы имеем ${\textstyle \rho }$

Уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости с постоянной плотностью и вязкостью ( конвективная форма )

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} -\nabla {\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{\rho }}\mathbf {f} ,}$

где называется единичным напором . ${\textstyle p/\rho }$

В несжимаемых потоках поле давления удовлетворяет уравнению Пуассона , ^[9]

${\displaystyle \nabla ^{2}p=-\rho {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=-\rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}u_{k}}{\partial x_{k}x_{i}}},}$

который получается путем учета дивергенции уравнений импульса.

Пример ламинарного потока

Профиль скорости (ламинарный поток): для направления x упростите уравнение Навье–Стокса: $${\displaystyle u_{x}=u(y),\quad u_{y}=0,\quad u_{z}=0}$$ $${\displaystyle 0=-{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}+\mu \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}\right)}$$

Интегрируем дважды, чтобы найти профиль скорости с граничными условиями y = h , u = 0 , y = − h , u = 0 : $${\displaystyle u={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}y^{2}+Ay+B}$$

Из этого уравнения подставим два граничных условия, чтобы получить два уравнения: $${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}+Ah+B\\0&={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}-Ah+B\end{aligned}}}$$

Сложить и решить относительно B : $${\displaystyle B=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}}$$

Подставим и решим для A : $${\displaystyle A=0}$$

В итоге это дает профиль скорости: $${\displaystyle u={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}\left(y^{2}-h^{2}\right)}$$

Стоит обратить внимание на значение каждого термина (сравните с уравнением импульса Коши ):

$${\displaystyle \overbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\text{Variation}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convective}}\\{\text{acceleration}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inertia (per volume)}}=\overbrace {{\vphantom {\frac {\partial }{\partial }}}\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}} ^{\text{Divergence of stress}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.}$$

Член более высокого порядка, а именно дивергенция напряжения сдвига , просто сводится к векторному члену Лапласа . ^[18] Этот член Лапласа можно интерпретировать как разницу между скоростью в точке и средней скоростью в небольшом окружающем объеме. Это подразумевает, что для ньютоновской жидкости вязкость действует как диффузия импульса , во многом так же, как теплопроводность . Фактически, пренебрегая членом конвекции, несжимаемые уравнения Навье–Стокса приводят к векторному уравнению диффузии (а именно уравнениям Стокса ), но в общем случае член конвекции присутствует, поэтому несжимаемые уравнения Навье–Стокса относятся к классу уравнений конвекции–диффузии . ${\textstyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\textstyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} }$

В обычном случае внешнего поля, являющегося консервативным полем : путем определения гидравлического напора : $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \varphi }$$ $${\displaystyle h\equiv w+\varphi }$$

в конце концов можно сжать весь источник в один член, придя к несжимаемому уравнению Навье–Стокса с консервативным внешним полем: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h.}$$

Несжимаемые уравнения Навье–Стокса с однородной плотностью и вязкостью и консервативным внешним полем являются фундаментальным уравнением гидравлики . Областью для этих уравнений обычно является 3-мерное или менее-мерное евклидово пространство , для которого обычно задается ортогональная система координат для явного определения системы скалярных уравнений в частных производных, которые необходимо решить. В 3-мерных ортогональных системах координат их 3: декартова , цилиндрическая и сферическая . Выражение векторного уравнения Навье–Стокса в декартовых координатах довольно просто и не сильно зависит от количества измерений используемого евклидова пространства, и это также касается членов первого порядка (таких как вариационные и конвективные) также в недекартовых ортогональных системах координат. Но для членов более высокого порядка (двух, возникающих из-за расхождения девиаторного напряжения, которое отличает уравнения Навье–Стокса от уравнений Эйлера) требуется некоторое тензорное исчисление для вывода выражения в недекартовых ортогональных системах координат. Частным случаем основного уравнения гидравлики является уравнение Бернулли .

Несжимаемое уравнение Навье–Стокса является составным, суммой двух ортогональных уравнений, где и — соленоидальные и безвихревые проекционные операторы, удовлетворяющие , а и — неконсервативная и консервативная части объемной силы. Этот результат следует из теоремы Гельмгольца (также известной как фундаментальная теорема векторного исчисления). Первое уравнение — это определяющее уравнение без давления для скорости, тогда как второе уравнение для давления является функционалом скорости и связано с уравнением Пуассона для давления. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}&=\Pi ^{S}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{S}\\\rho ^{-1}\,\nabla p&=\Pi ^{I}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{I}\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \Pi ^{S}}$ ${\textstyle \Pi ^{I}}$ ${\textstyle \Pi ^{S}+\Pi ^{I}=1}$ ${\textstyle \mathbf {f} ^{S}}$ ${\textstyle \mathbf {f} ^{I}}$

Явная функциональная форма проекционного оператора в 3D находится из теоремы Гельмгольца: с аналогичной структурой в 2D. Таким образом, основное уравнение представляет собой интегро-дифференциальное уравнение, подобное закону Кулона и Био–Савара , не удобное для численных вычислений. $${\displaystyle \Pi ^{S}\,\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int {\frac {\nabla ^{\prime }\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V',\quad \Pi ^{I}=1-\Pi ^{S}}$$

Эквивалентная слабая или вариационная форма уравнения, которая, как доказано, дает такое же решение по скорости, как и уравнение Навье–Стокса ^[19] , задается следующим образом: $${\displaystyle \left(\mathbf {w} ,{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} ,\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} {\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} :\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\mathbf {w} ,\mathbf {f} ^{S}\right)}$$

для бездивергентных тестовых функций, удовлетворяющих соответствующим граничным условиям. Здесь проекции достигаются ортогональностью соленоидальных и безвихревых функциональных пространств. Дискретная форма этого в высшей степени подходит для конечноэлементного вычисления бездивергентного потока, как мы увидим в следующем разделе. Там можно будет обратиться к вопросу «Как можно определить проблемы, управляемые давлением (Пуазейля), с помощью управляющего уравнения без давления?». ${\textstyle \mathbf {w} }$

Отсутствие сил давления в определяющем уравнении скорости показывает, что это уравнение не динамическое, а скорее кинематическое, где условие бездивергентности играет роль уравнения сохранения. Все это, казалось бы, опровергает частые утверждения о том, что несжимаемое давление обеспечивает условие бездивергентности.

Слабая форма несжимаемых уравнений Навье–Стокса

Сильная форма

Рассмотрим несжимаемые уравнения Навье–Стокса для ньютоновской жидкости постоянной плотности в области с границей и частями границы, где соответственно применены граничные условия Дирихле и Неймана ( ): ^[20] — скорость жидкости, давление жидкости, заданный вынуждающий член, единичный нормальный вектор, направленный наружу , и тензор вязких напряжений, определяемый как: ^[20] Пусть — динамическая вязкость жидкости, тензор тождества второго порядка и тензор скорости деформации, определяемые как: ^[20] Функции и — заданные граничные данные Дирихле и Неймана, а — начальное условие . Первое уравнение — уравнение баланса импульса, в то время как второе представляет собой уравнение сохранения массы , а именно уравнение непрерывности . Предполагая постоянную динамическую вязкость, используя векторное тождество и эксплуатируя сохранение массы, дивергенция тензора полного напряжения в уравнении импульса также может быть выражена как: ^[20] Более того, обратите внимание, что граничные условия Неймана можно переписать как: ^[20] ${\textstyle \rho }$ $${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}\quad (d=2,3)}$$ $${\displaystyle \partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N},}$$ ${\textstyle \Gamma _{D}}$ ${\textstyle \Gamma _{N}}$ ${\textstyle \Gamma _{D}\cap \Gamma _{N}=\emptyset }$ $${\displaystyle {\begin{cases}\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=\mathbf {f} &{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\nabla \cdot \mathbf {u} =0&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\mathbf {u} =\mathbf {g} &{\text{ on }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\mathbf {h} &{\text{ on }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} _{0}&{\text{ in }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}}$$ ${\textstyle \mathbf {u} }$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\textstyle \Gamma _{N}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} ).}$$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle \mathbf {I} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right).}$$ ${\textstyle \mathbf {g} }$ ${\textstyle \mathbf {h} }$ ${\textstyle \mathbf {u} _{0}}$ $${\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {f} \right)^{\mathrm {T} }=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)&=\nabla \cdot \left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right)\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot \left[{\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right)\right]\\&=-\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {u} +\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right)\\&=-\nabla p+\mu {\bigl (}\Delta \mathbf {u} +\nabla \underbrace {(\nabla \cdot \mathbf {u} )} _{=0}{\bigr )}=-\nabla p+\mu \,\Delta \mathbf {u} .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right){\hat {\mathbf {n} }}=-p{\hat {\mathbf {n} }}+\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}.}$$

Слабая форма

Чтобы найти слабую форму уравнений Навье–Стокса, сначала рассмотрим уравнение импульса ^[20], умножим его на тестовую функцию , определенную в подходящем пространстве , и проинтегрируем оба члена по области : ^[20] Встречно интегрируя по частям диффузионные и барические члены и используя теорему Гаусса: ^[20] $${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\mu \Delta \mathbf {u} +\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nabla p=\mathbf {f} }$$ ${\textstyle \mathbf {v} }$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \Omega }$ $${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\nabla p\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-\int \limits _{\Omega }\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} &=\int _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} -\int \limits _{\partial \Omega }\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}\cdot \mathbf {v} \\\int \limits _{\Omega }\nabla p\cdot \mathbf {v} &=-\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }p\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\end{aligned}}}$$

Используя эти соотношения, получаем: ^[20] Таким же образом уравнение непрерывности умножается на тестовую функцию q, принадлежащую пространству , и интегрируется в области : ^[20] Пространственные функции выбираются следующим образом: Учитывая, что тестовая функция v обращается в нуль на границе Дирихле, и учитывая условие Неймана, интеграл на границе можно переписать как: ^[20] Имея это в виду, слабая формулировка уравнений Навье–Стокса выражается как: ^[20] $${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V.}$$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle \Omega }$ $${\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0.\quad \forall q\in Q.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V=\left[H_{0}^{1}(\Omega )\right]^{d}&=\left\{\mathbf {v} \in \left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}:\quad \mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\right\},\\Q&=L^{2}(\Omega )\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \int \limits _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} =\underbrace {\int \limits _{\Gamma _{D}}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} } _{\mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\ }+\int \limits _{\Gamma _{N}}\underbrace {{\vphantom {\int \limits _{\Gamma _{N}}}}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)} _{=\mathbf {h} {\text{ on }}\Gamma _{N}}\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{find }}\mathbf {u} \in L^{2}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}\right)\cap C^{0}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[L^{2}(\Omega )\right]^{d}\right){\text{ such that: }}\\[5pt]&\quad {\begin{cases}\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V,\\\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0\quad \forall q\in Q.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Дискретная скорость

При разбиении проблемной области и определении базисных функций на разбиенной области дискретная форма основного уравнения имеет вид $${\displaystyle \left(\mathbf {w} _{i},{\frac {\partial \mathbf {u} _{j}}{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}{\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {w} _{i},\mathbf {f} ^{S}\right).}$$

Желательно выбирать базисные функции, которые отражают существенную особенность несжимаемого потока – элементы должны быть бездивергентными. В то время как скорость является интересующей переменной, существование функции потока или векторного потенциала необходимо по теореме Гельмгольца. Кроме того, для определения потока жидкости при отсутствии градиента давления можно указать разность значений функции потока поперек двумерного канала или линейный интеграл тангенциальной составляющей векторного потенциала вокруг канала в трехмерном пространстве, причем поток задается теоремой Стокса . Далее обсуждение будет ограничено двумерным пространством.

Мы далее ограничиваем обсуждение непрерывными конечными элементами Эрмита, которые имеют по крайней мере первую производную степеней свободы. С этим можно извлечь большое количество кандидатов в треугольные и прямоугольные элементы из литературы по изгибу пластин . Эти элементы имеют производные как компоненты градиента. В 2D градиент и ротор скаляра явно ортогональны, заданные выражениями, $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{\mathrm {T} },\\[5pt]\nabla \times \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\,-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

Принятие непрерывных элементов изгиба пластины, замена производных степеней свободы и изменение знака соответствующей производной дает множество семейств элементов функции потока.

Взятие ротора скалярных элементов функции потока дает элементы скорости, свободные от расхождения. ^{[21] [22]} Требование, чтобы элементы функции потока были непрерывными, гарантирует, что нормальная составляющая скорости будет непрерывной на всех интерфейсах элементов, все, что необходимо для исчезновения расхождения на этих интерфейсах.

Граничные условия просты в применении. Функция потока постоянна на поверхностях без потока, с условиями скорости без проскальзывания на поверхностях. Различия в функциях потока в открытых каналах определяют поток. На открытых границах граничные условия не требуются, хотя в некоторых задачах могут использоваться согласованные значения. Все это условия Дирихле.

Алгебраические уравнения, которые необходимо решить, просты в составлении, но, конечно, являются нелинейными и требуют итерации линеаризованных уравнений.

Аналогичные соображения применимы к трехмерному пространству, но расширение из двумерного пространства не происходит немедленно из-за векторной природы потенциала, и не существует простой связи между градиентом и ротором, как это было в двумерном пространстве.

Восстановление давления

Восстановление давления из поля скорости — простая задача. Дискретное слабое уравнение для градиента давления имеет вид: $${\displaystyle (\mathbf {g} _{i},\nabla p)=-\left(\mathbf {g} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}\right)-\nu \left(\nabla \mathbf {g} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {g} _{i},\mathbf {f} ^{I}\right)}$$

где функции теста/веса являются безвихревыми. Можно использовать любой соответствующий скалярный конечный элемент. Однако поле градиента давления также может представлять интерес. В этом случае можно использовать скалярные элементы Эрмита для давления. Для функций теста/веса можно выбрать безвихревые векторные элементы, полученные из градиента элемента давления. ${\textstyle \mathbf {g} _{i}}$

Неинерциальная система отсчета

Вращающаяся система отсчета вводит некоторые интересные псевдосилы в уравнения через производный член материала. Рассмотрим неподвижную инерциальную систему отсчета  и неинерциальную систему отсчета , которая перемещается со скоростью и вращается с угловой скоростью относительно неподвижной системы. Уравнение Навье–Стокса, наблюдаемое из неинерциальной системы, тогда становится ${\textstyle K}$ ${\textstyle K'}$ ${\textstyle \mathbf {U} (t)}$ ${\textstyle \Omega (t)}$

Уравнение импульса Навье–Стокса в неинерциальной системе отсчета

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left\{\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right\}+\nabla [\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]+\rho \mathbf {f} -\rho \left[2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} +\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} )+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {U} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {\Omega } }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {x} \right].}$

Здесь и измеряются в неинерциальной системе отсчета. Первый член в скобках представляет ускорение Кориолиса , второй член обусловлен центробежным ускорением , третий — линейным ускорением относительно , ​​а четвертый — угловым ускорением относительно . ${\textstyle \mathbf {x} }$ ${\textstyle \mathbf {u} }$ ${\textstyle K'}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K'}$ ${\textstyle K}$

Другие уравнения

Уравнения Навье–Стокса являются строго утверждением баланса импульса. Для полного описания потока жидкости требуется больше информации, насколько это зависит от сделанных предположений. Эта дополнительная информация может включать граничные данные ( без скольжения , капиллярная поверхность и т. д.), сохранение массы, баланс энергии и/или уравнение состояния .

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

Независимо от предположений о потоке, утверждение о сохранении массы , как правило, необходимо. Это достигается с помощью уравнения непрерывности массы , как обсуждалось выше в разделе «Общие уравнения сплошной среды» в этой статье, следующим образом: Текучая среда, для которой плотность ( ) постоянна, называется несжимаемой . Следовательно, скорость изменения плотности ( ) по времени и градиент плотности равны нулю . В этом случае общее уравнение непрерывности, , сводится к: . Кроме того, предположение, что плотность ( ) является ненулевой константой, означает, что правая часть уравнения делится на плотность ( ). Следовательно, уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости далее сводится к: Это соотношение, , определяет, что дивергенция вектора скорости потока ( ) равна нулю , что означает, что для несжимаемой жидкости поле скорости потока является соленоидальным векторным полем или векторным полем без дивергенции . Обратите внимание, что это соотношение можно расширить ввиду его уникальности с помощью векторного оператора Лапласа и завихренности , которая теперь выражается следующим образом для несжимаемой жидкости : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}&={\iiint \limits _{V}}({{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )})dV\\{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u} })&={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle ({\frac {\partial \rho }{\partial t}})}$ ${\displaystyle (\nabla \rho )}$ ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0}$ ${\displaystyle \rho (\nabla {\cdot }{\mathbf {u} })=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle (\rho \neq 0)}$ ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$$ ${\textstyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle (\nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))}$ ${\displaystyle ({\vec {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} )}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =-(\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))=-(\nabla \times {\vec {\omega }})}$$

Функция потока для несжимаемой двумерной жидкости

Взятие ротора несжимаемого уравнения Навье–Стокса приводит к устранению давления. Это особенно легко увидеть, если предположить 2D декартово течение (как в вырожденном 3D случае с и отсутствием зависимости от чего-либо от ), где уравнения сводятся к: ${\textstyle u_{z}=0}$ ${\textstyle z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{x}\\\rho \left({\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}.\end{aligned}}}$$

Дифференцирование первого по , второго по и вычитание полученных уравнений исключит давление и любую консервативную силу . Для несжимаемого потока определение функции потока через приводит к безусловному удовлетворению непрерывности массы (при условии, что функция потока непрерывна), а затем несжимаемый ньютоновский двумерный импульс и сохранение массы сжимаются в одно уравнение: ${\textstyle y}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle \psi }$ $${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}};\quad u_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi }$$

где — двумерный бигармонический оператор , а — кинематическая вязкость , . Мы также можем выразить это компактно, используя определитель Якоби : ${\textstyle \nabla ^{4}}$ ${\textstyle \nu }$ ${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \left(\psi ,\nabla ^{2}\psi \right)}{\partial (y,x)}}=\nu \nabla ^{4}\psi .}$$

Это единственное уравнение вместе с соответствующими граничными условиями описывает двумерный поток жидкости, принимая в качестве параметра только кинематическую вязкость. Обратите внимание, что уравнение для ползучего потока получается, когда левая сторона предполагается равной нулю.

В осесимметричном потоке другая формулировка функции тока, называемая функцией тока Стокса , может быть использована для описания компонентов скорости несжимаемого потока с помощью одной скалярной функции.

Несжимаемое уравнение Навье–Стокса является дифференциально-алгебраическим уравнением , имеющим неудобную особенность, заключающуюся в том, что не существует явного механизма для продвижения давления во времени. Следовательно, было потрачено много усилий, чтобы исключить давление из всего или части вычислительного процесса. Формулировка функции потока исключает давление, но только в двух измерениях и за счет введения более высоких производных и исключения скорости, которая является основной переменной, представляющей интерес.

Характеристики

Нелинейность

Уравнения Навье–Стокса являются нелинейными уравнениями в частных производных в общем случае и остаются таковыми почти в каждой реальной ситуации. ^{[23] [24]} В некоторых случаях, таких как одномерный поток и поток Стокса (или ползучий поток), уравнения можно упростить до линейных уравнений. Нелинейность делает большинство проблем сложными или невозможными для решения и является основным фактором турбулентности, которую моделируют уравнения.

Нелинейность обусловлена ​​конвективным ускорением, которое является ускорением, связанным с изменением скорости по положению. Следовательно, любой конвективный поток, будь то турбулентный или нет, будет включать нелинейность. Примером конвективного, но ламинарного (нетурбулентного) потока может быть прохождение вязкой жидкости (например, масла) через небольшое сходящееся сопло . Такие потоки, будь то точно решаемые или нет, часто можно тщательно изучить и понять. ^[25]

Турбулентность

Турбулентность — это зависящее от времени хаотическое поведение, наблюдаемое во многих потоках жидкости. Обычно считается, что это происходит из-за инерции жидкости в целом: кульминация зависящего от времени и конвективного ускорения; поэтому потоки, в которых инерционные эффекты малы, имеют тенденцию быть ламинарными ( число Рейнольдса количественно определяет, насколько поток подвержен инерции). Считается, хотя это и не известно наверняка, что уравнения Навье–Стокса правильно описывают турбулентность. ^[26]

Численное решение уравнений Навье-Стокса для турбулентного потока чрезвычайно сложно, и из-за существенно различных масштабов длины смешения, которые участвуют в турбулентном потоке, устойчивое решение этого требует такого мелкого разрешения сетки, что время вычислений становится существенно невозможным для расчета или прямого численного моделирования . Попытки решить турбулентный поток с помощью ламинарного решателя обычно приводят к нестационарному во времени решению, которое не сходится должным образом. Чтобы противостоять этому, в практических приложениях вычислительной гидродинамики (CFD) при моделировании турбулентных потоков используются усредненные по времени уравнения, такие как усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса (RANS), дополненные моделями турбулентности . Некоторые модели включают модели Спаларта-Аллмараса , k – ω , k – ε и SST , которые добавляют множество дополнительных уравнений для замыкания уравнений RANS. Моделирование крупных вихрей (LES) также может использоваться для численного решения этих уравнений. Этот подход более затратен в вычислительном отношении (по времени и памяти компьютера), чем RANS, но дает лучшие результаты, поскольку явно разрешает более крупные масштабы турбулентности.

Применимость

Вместе с дополнительными уравнениями (например, сохранением массы) и хорошо сформулированными граничными условиями уравнения Навье–Стокса, по-видимому, точно моделируют движение жидкости; даже турбулентные потоки, по-видимому, (в среднем) согласуются с реальными наблюдениями.

Уравнения Навье–Стокса предполагают, что изучаемая жидкость является континуумом (она бесконечно делима и не состоит из частиц, таких как атомы или молекулы), и не движется с релятивистскими скоростями . В очень малых масштабах или в экстремальных условиях реальные жидкости, состоящие из дискретных молекул, будут давать результаты, отличные от непрерывных жидкостей, моделируемых уравнениями Навье–Стокса. Например, капиллярность внутренних слоев в жидкостях проявляется для потока с высокими градиентами. ^[27] Для большого числа Кнудсена задачи уравнение Больцмана может быть подходящей заменой. ^[28] В противном случае, возможно, придется прибегнуть к молекулярной динамике или различным гибридным методам. ^[29]

Другим ограничением является просто сложная природа уравнений. Проверенные временем формулы существуют для обычных семейств жидкостей, но применение уравнений Навье-Стокса к менее распространенным семействам имеет тенденцию приводить к очень сложным формулировкам и часто к открытым исследовательским проблемам. По этой причине эти уравнения обычно записываются для ньютоновских жидкостей , где модель вязкости линейна ; по-настоящему общие модели для течения других видов жидкостей (таких как кровь) не существуют. ^[30]

Применение к конкретным проблемам

Уравнения Навье–Стокса, даже когда они явно записаны для конкретных жидкостей, по своей природе довольно общие, и их правильное применение к конкретным проблемам может быть очень разнообразным. Это отчасти связано с тем, что существует огромное разнообразие проблем, которые можно моделировать, от таких простых, как распределение статического давления, до таких сложных, как многофазный поток, управляемый поверхностным натяжением .

Как правило, применение к конкретным проблемам начинается с некоторых предположений о потоке и формулировки начальных/граничных условий, за которыми может следовать масштабный анализ для дальнейшего упрощения проблемы.

Визуализация (а) параллельного потока и (б) радиального потока

Параллельный поток

Предположим, что между параллельными пластинами существует устойчивый, параллельный, одномерный, неконвективный поток под действием давления. Результирующая масштабированная (безразмерная) краевая задача имеет вид: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-1;\quad u(0)=u(1)=0.}$$

Граничным условием является условие отсутствия проскальзывания . Эта задача легко решается для поля течения: $${\displaystyle u(y)={\frac {y-y^{2}}{2}}.}$$

С этого момента можно легко получить больше интересующих величин, таких как сила вязкого сопротивления или чистый расход.

Радиальный поток

Трудности могут возникнуть, когда проблема немного усложнится. Казалось бы, скромным поворотом параллельного потока выше будет радиальный поток между параллельными пластинами; это включает конвекцию и, следовательно, нелинейность. Поле скорости может быть представлено функцией f ( z ), которая должна удовлетворять: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+Rf^{2}=-1;\quad f(-1)=f(1)=0.}$$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение получается, когда записаны уравнения Навье–Стокса и применены предположения о потоке (дополнительно решается градиент давления для). Нелинейный член делает эту задачу очень сложной для аналитического решения ( может быть найдено длинное неявное решение, включающее эллиптические интегралы и корни кубических полиномов ). Проблемы с фактическим существованием решений возникают для (приблизительно; это не √ 2 ), параметром которого является число Рейнольдса с соответствующим образом выбранными масштабами. ^[31] Это пример того, как предположения о потоке теряют свою применимость, и пример трудности в потоках с «высоким» числом Рейнольдса. ^[31] ${\textstyle R>1.41}$ ${\textstyle R}$

Конвекция

Тип естественной конвекции, который можно описать уравнением Навье–Стокса, — это конвекция Рэлея–Бенара . Это одно из наиболее часто изучаемых явлений конвекции из-за его аналитической и экспериментальной доступности.

Точные решения уравнений Навье–Стокса

Существуют некоторые точные решения уравнений Навье–Стокса. Примерами вырожденных случаев — с нелинейными членами в уравнениях Навье–Стокса, равными нулю, — являются течение Пуазейля , течение Куэтта и колебательный пограничный слой Стокса . Но существуют и более интересные примеры — решения полных нелинейных уравнений, такие как течение Джеффри–Гамеля , закрученное течение фон Кармана , течение в точке торможения , струя Ландау–Скуайра и вихрь Тейлора–Грина . ^{[32] [33] [34]} Обратите внимание, что существование этих точных решений не означает, что они устойчивы: турбулентность может развиваться при более высоких числах Рейнольдса.

При дополнительных предположениях составные части могут быть разделены. ^[35]

Двумерный пример

Например, в случае неограниченной плоской области с двумерным — несжимаемым и стационарным — потоком в полярных координатах ( r , φ ) компоненты скорости ( u _r , u _φ ) и давления p равны: ^[36] $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&={\frac {A}{r}},\\u_{\varphi }&=B\left({\frac {1}{r}}-r^{{\frac {A}{\nu }}+1}\right),\\p&=-{\frac {A^{2}+B^{2}}{2r^{2}}}-{\frac {2B^{2}\nu r^{\frac {A}{\nu }}}{A}}+{\frac {B^{2}r^{\left({\frac {2A}{\nu }}+2\right)}}{{\frac {2A}{\nu }}+2}}\end{aligned}}}$$

где A и B — произвольные константы. Это решение справедливо в области r ≥ 1 и при A < −2 ν .

В декартовых координатах, когда вязкость равна нулю ( ν = 0 ), это: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (x,y)&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\begin{pmatrix}Ax+By\\Ay-Bx\end{pmatrix}},\\p(x,y)&=-{\frac {A^{2}+B^{2}}{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}}\end{aligned}}}$$

Трехмерный пример

Например, в случае неограниченной евклидовой области с трехмерным — несжимаемым, стационарным и с нулевой вязкостью ( ν = 0 ) — радиальным потоком в декартовых координатах ( x , y , z ) вектор скорости v и давление p равны: ^{[ требуется ссылка ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (x,y,z)&={\frac {A}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}},\\p(x,y,z)&=-{\frac {A^{2}}{2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}}.\end{aligned}}}$$

При x = y = z = 0 имеется сингулярность .

Трехмерное стационарное вихревое решение

Проволочная модель линий потока вдоль расслоения Хопфа

Пример стационарного состояния без особенностей получается при рассмотрении потока вдоль линий расслоения Хопфа . Пусть будет постоянным радиусом внутренней катушки. Один набор решений задается как: ^[37] ${\textstyle r}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {3B}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\\mathbf {u} (x,y,z)&={\frac {A}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}{\begin{pmatrix}2(-ry+xz)\\2(rx+yz)\\r^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{pmatrix}}\\g&=0\\\mu &=0\end{aligned}}}$$

для произвольных констант и . Это решение в невязком газе (сжимаемой жидкости), плотность, скорости и давление которого стремятся к нулю вдали от начала координат. (Обратите внимание, что это не решение проблемы тысячелетия Клея, поскольку она относится к несжимаемым жидкостям, где — константа, и не имеет отношения к уникальности уравнений Навье–Стокса относительно любых свойств турбулентности .) Также стоит отметить, что компоненты вектора скорости в точности совпадают с компонентами из пифагорейской четверной параметризации. Возможны и другие варианты плотности и давления с тем же полем скорости: ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle \rho }$

Другие варианты плотности и давления

Другой вариант выбора давления и плотности с тем же вектором скорости, что и выше, — это такой, при котором давление и плотность падают до нуля в начале координат и достигают максимума в центральной петле при z = 0 , x ² + y ² = r ² : $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {20B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{4}}}+{\frac {-4A^{2}B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5}}}.\end{aligned}}}$$

На самом деле, в общем случае существуют простые решения для любой полиномиальной функции f , где плотность равна: $${\displaystyle \rho (x,y,z)={\frac {1}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}f\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\right).}$$

Вязкие трехмерные периодические решения

Два примера периодических полностью трехмерных вязких решений описаны в ^[38] . Эти решения определены на трехмерном торе и характеризуются положительной и отрицательной спиральностью соответственно. Решение с положительной спиральностью задается выражением: где — волновое число, а компоненты скорости нормированы так, что средняя кинетическая энергия на единицу массы равна . Поле давления получается из поля скорости как (где и — опорные значения для полей давления и плотности соответственно). Поскольку оба решения принадлежат классу течения Бельтрами , поле завихренности параллельно скорости и для случая с положительной спиральностью задается выражением . Эти решения можно рассматривать как обобщение в трех измерениях классического двумерного вихря Тейлора–Грина Тейлора–Грина . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=[0,L]^{3}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kx-\pi /3)\cos(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)-\cos(kz-\pi /3)\sin(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{y}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(ky-\pi /3)\cos(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)-\cos(kx-\pi /3)\sin(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{z}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kz-\pi /3)\cos(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)-\cos(ky-\pi /3)\sin(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle k=2\pi /L}$ ${\displaystyle U_{0}^{2}/2}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle p=p_{0}-\rho _{0}\|{\boldsymbol {u}}\|^{2}/2}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \omega ={\sqrt {3}}\,k\,{\boldsymbol {u}}}$

Диаграммы Уайлда

Диаграммы Уайлда — это бухгалтерские графики , которые соответствуют уравнениям Навье–Стокса через разложение возмущений фундаментальной механики сплошной среды . Подобно диаграммам Фейнмана в квантовой теории поля , эти диаграммы являются расширением техники Келдыша для неравновесных процессов в динамике жидкости. Другими словами, эти диаграммы назначают графики (часто) турбулентным явлениям в турбулентных жидкостях, позволяя коррелированным и взаимодействующим частицам жидкости подчиняться стохастическим процессам, связанным с псевдослучайными функциями в распределениях вероятностей . ^[39]

Представления в 3D

Обратите внимание, что в формулах в этом разделе используется однострочная запись для частных производных, где, например , означает частную производную по , а означает частную производную второго порядка по . ${\textstyle \partial _{x}u}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle \partial _{y}^{2}f_{\theta }}$ ${\textstyle f_{\theta }}$ ${\textstyle y}$

В статье 2022 года представлено менее затратное, динамическое и рекуррентное решение уравнения Навье-Стокса для трехмерных турбулентных потоков жидкости. В достаточно коротких временных масштабах динамика турбулентности является детерминированной. ^[40]

Декартовы координаты

Из общей формы уравнения Навье-Стокса, с вектором скорости, развернутым как , иногда соответственно называемым , , , мы можем записать векторное уравнение явно, ${\textstyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle w}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{x}}+u_{x}\,{\partial _{x}u_{x}}+u_{y}\,{\partial _{y}u_{x}}+u_{z}\,{\partial _{z}u_{x}}\right)\\&\quad =-\partial _{x}p+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{x}}+{\partial _{y}^{2}u_{x}}+{\partial _{z}^{2}u_{x}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{x}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{x}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}y:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{y}}+u_{x}{\partial _{x}u_{y}}+u_{y}{\partial _{y}u_{y}}+u_{z}{\partial _{z}u_{y}}\right)\\&\quad =-{\partial _{y}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{y}}+{\partial _{y}^{2}u_{y}}+{\partial _{z}^{2}u_{y}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{y}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{y}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{x}{\partial _{x}u_{z}}+u_{y}{\partial _{y}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{z}}+{\partial _{y}^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{z}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{z}.\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что гравитация учитывается как объемная сила, а значения , , будут зависеть от ориентации гравитации относительно выбранного набора координат. ${\textstyle g_{x}}$ ${\textstyle g_{y}}$ ${\textstyle g_{z}}$

Уравнение непрерывности выглядит следующим образом: $${\displaystyle \partial _{t}\rho +\partial _{x}(\rho u_{x})+\partial _{y}(\rho u_{y})+\partial _{z}(\rho u_{z})=0.}$$

Когда поток несжимаем, не изменяется ни для одной частицы жидкости, а его материальная производная обращается в нуль: . Уравнение неразрывности сводится к: ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}=0}$ $${\displaystyle \partial _{x}u_{x}+\partial _{y}u_{y}+\partial _{z}u_{z}=0.}$$

Таким образом, для несжимаемой версии уравнения Навье–Стокса вторая часть вязких членов отпадает (см. Несжимаемое течение ).

Эта система из четырех уравнений представляет собой наиболее часто используемую и изучаемую форму. Хотя она сравнительно более компактна, чем другие представления, она все еще является нелинейной системой уравнений в частных производных, для которой трудно получить решения.

Цилиндрические координаты

Замена переменных в декартовых уравнениях даст ^[16] следующие уравнения импульса для , и ^[41] ${\textstyle r}$ ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+u_{z}{\partial _{z}u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }}{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\ \partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\partial _{z}^{2}u_{\varphi }}-{\frac {u_{\varphi }}{r^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{r}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{z}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{z}.\end{aligned}}}$$

Компоненты гравитации, как правило, не являются постоянными, однако для большинства приложений либо координаты выбираются так, чтобы компоненты гравитации были постоянными, либо предполагается, что гравитация уравновешивается полем давления (например, поток в горизонтальной трубе рассматривается нормально без гравитации и без вертикального градиента давления). Уравнение непрерывности имеет вид: $${\displaystyle {\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(\rho ru_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }\left(\rho u_{\varphi }\right)}+{\partial _{z}\left(\rho u_{z}\right)}=0.}$$

Это цилиндрическое представление несжимаемых уравнений Навье–Стокса является вторым наиболее часто встречающимся (первое — декартово выше). Цилиндрические координаты выбираются для использования преимуществ симметрии, так что компонент скорости может исчезнуть. Очень распространенным случаем является осесимметричный поток с предположением об отсутствии тангенциальной скорости ( ), а остальные величины не зависят от : ${\textstyle u_{\phi }=0}$ ${\textstyle \phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}\right)&=-{\partial _{r}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}\right)+\rho g_{r}\\\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)&=-{\partial _{z}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+\rho g_{z}\\{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(ru_{r}\right)+{\partial _{z}u_{z}}&=0.\end{aligned}}}$$

Сферические координаты

В сферических координатах уравнения импульса, и имеют вид [ 16 ] ⁽ обратите внимание на используемое соглашение: — полярный угол, или коширота , ^[42] ): ${\textstyle r}$ ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle 0\leq \theta \leq \pi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}+u_{\theta }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{r}}\right)-2{\frac {u_{r}+{\partial _{\theta }u_{\theta }}+u_{\theta }\cot \theta }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }+u_{\varphi }u_{\theta }\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\varphi }}\right)+{\frac {2\sin \theta {\partial _{\varphi }u_{r}}+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\theta }}-u_{\varphi }}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\theta }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\theta }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\theta }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\theta }}+{\frac {u_{r}u_{\theta }-u_{\varphi }^{2}\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\theta }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\theta }}\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\theta }+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\varphi }}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\theta }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\theta }.\end{aligned}}}$$

Массовая непрерывность будет выглядеть так: $${\displaystyle {\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(\rho r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }(\rho u_{\varphi })}+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta \rho u_{\theta }\right)=0.}$$

Эти уравнения можно (слегка) уплотнить, например, выделив вязкие члены. Однако это приведет к нежелательным изменениям структуры Лапласа и других величин. ${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$

Использование уравнений Навье-Стокса в играх

Уравнения Навье–Стокса широко используются в видеоиграх для моделирования самых разных природных явлений. Моделирование мелкомасштабных газообразных жидкостей, таких как огонь и дым, часто основывается на основополагающей статье «Real-Time Fluid Dynamics for Games» ^[43] Джоса Стэма , в которой подробно излагается один из методов, предложенных в более ранней, более известной статье Стэма «Stable Fluids» ^[44] от 1999 года. Стэм предлагает моделирование стабильной жидкости с использованием метода решения Навье–Стокса от 1968 года в сочетании с безусловно стабильной полулагранжевой схемой адвекции , впервые предложенной в 1992 году.

Более поздние реализации, основанные на этой работе, работают на графическом процессоре (GPU) игровых систем, а не на центральном процессоре (CPU), и достигают гораздо более высокой степени производительности. ^{[45] [46]} Было предложено много улучшений для оригинальной работы Стэма, которая изначально страдала от высокой числовой диссипации как скорости, так и массы.

Введение в интерактивное моделирование жидкости можно найти в курсе ACM SIGGRAPH 2007 года «Моделирование жидкости для компьютерной анимации». ^[47]

Смотрите также

• Адемар Жан Клод Барре де Сен-Венан
• Уравнение Больцмана
• Уравнение импульса Коши
• Тензор напряжений Коши
• Теория Чепмена–Энскога
• Уравнение Черчилля–Бернштейна
• эффект Коанды
• Вычислительная гидродинамика
• Механика сплошной среды
• Уравнение конвекции-диффузии
• Вывод уравнений Навье–Стокса
• Уравнение Эйнштейна–Стокса
• Уравнения Эйлера
• Течение Хагена–Пуазейля из уравнений Навье–Стокса
• Проблемы Премии Тысячелетия
• Ньютоновская жидкость
• Обезразмеривание и масштабирование уравнений Навье–Стокса
• Метод коррекции давления
• Примитивные уравнения
• Конвекция Рэлея-Бенара
• Теорема Рейнольдса о транспорте
• Уравнения Стокса
• Сверхзвуковой поток над плоской пластиной
• Уравнение Власова

Цитаты

1. Маклин, Дуг (2012). «Механика сплошной среды и уравнения Навье-Стокса». Понимание аэродинамики: аргументация с точки зрения реальной физики . John Wiley & Sons. стр. 13–78. ISBN 9781119967514. Основные соотношения, составляющие уравнения NS, — это основные законы сохранения массы, импульса и энергии. Чтобы иметь полный набор уравнений, нам также необходимо уравнение состояния, связывающее температуру, давление и плотность...
2. «Millennium Prize Problems—Navier–Stokes Equation», claymath.org , Clay Mathematics Institute, 27 марта 2017 г., архивировано из оригинала 22.12.2015 , извлечено 02.04.2017
3. Фефферман, Чарльз Л. "Существование и гладкость уравнения Навье–Стокса" (PDF) . claymath.org . Clay Mathematics Institute. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-04-15 . Получено 2017-04-02 .
4. Бэтчелор (1967) стр. 137 и 142.
5. Batchelor (1967) стр. 142–148.
6. Chorin, Alexandre E.; Marsden, Jerrold E. (1993). Математическое введение в механику жидкости . стр. 33.
7. Берд, Стюарт, Лайтфут, Явления переноса, 1-е изд., 1960, уравнение (3.2-11a)
8. Batchelor (1967) стр. 165.
9. Ландау, Лев Давидович и Евгений Михайлович Лифшиц. Механика жидкости: Ландау и Лифшиц: курс теоретической физики, том 6. Том 6. Elsevier, 2013.
10. Ландау и Лифшиц (1987) стр. 44–45, 196
11. Уайт (2006) стр. 67.
12. Стокс, Г. Г. (2007). О теориях внутреннего трения движущихся жидкостей и равновесия и движения упругих твердых тел.
13. Винченти, WG, Кругер-младший, CH (1975). Введение в физическую газовую динамику. Введение в физическую газовую динамику/Хантингтон.
14. Бэтчелор (1967) стр. 147 и 154.
15. Бэтчелор (1967) стр. 75.
16. См. Ачесон (1990).
17. Абдулкадыров, Руслан; Ляхов, Павел (2022-02-22). "Оценки слабых решений уравнений Навье–Стокса в слабых пространствах Бесова–Морри типа Герца". Математика . 10 (5): 680. doi : 10.3390/math10050680 . ISSN  2227-7390.
18. Бэтчелор (1967) стр. 21 и 147.
19. Темам, Роджер (2001), Уравнения Навье–Стокса, Теория и численный анализ , AMS Chelsea, стр. 107–112
20. Quarteroni, Alfio (2014-04-25). Численные модели для дифференциальных задач (Второе издание). Springer. ISBN 978-88-470-5522-3.
21. Holdeman, JT (2010), "Метод конечных элементов Эрмита для течения несжимаемой жидкости", Int. J. Numer. Methods Fluids , 64 (4): 376–408, Bibcode : 2010IJNMF..64..376H, doi : 10.1002/fld.2154, S2CID  119882803
22. Холдеман, Дж. Т.; Ким, Дж. В. (2010), «Вычисление несжимаемых тепловых потоков с использованием конечных элементов Эрмита», Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. , 199 (49–52): 3297–3304, Bibcode : 2010CMAME.199.3297H, doi : 10.1016/j.cma.2010.06.036
23. Поттер, М.; Виггерт, Д.К. (2008). Механика жидкостей . Очерки Шаума. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-148781-8.
24. Арис, Р. (1989). Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости . Dover Publications. ISBN 0-486-66110-5.
25. Паркер, К. Б. (1994). Энциклопедия физики Макгроу-Хилла (2-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-051400-3.
26. Энциклопедия физики (2-е издание), Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
27. Горбань, AN; Карлин, IV (2016), «За пределами уравнений Навье–Стокса: капиллярность идеального газа», Contemporary Physics (обзорная статья), 58 (1): 70–90, arXiv : 1702.00831 , Bibcode :2017ConPh..58...70G, doi :10.1080/00107514.2016.1256123, S2CID  55317543
28. Черчиньяни, К. (2002), «Уравнение Больцмана и гидродинамика», в Фридлендер, С.; Серр, Д. (ред.), Справочник по математической гидродинамике , т. 1, Амстердам: Северная Голландия, стр. 1–70, ISBN 978-0444503305
29. Nie, XB; Chen, SY; Robbins, MO (2004), «Гибридный метод континуума и молекулярной динамики для микро- и нанопотоков жидкости», Журнал механики жидкости (научная статья), 500 : 55–64, Bibcode :2004JFM...500...55N, doi :10.1017/S0022112003007225, S2CID  122867563
30. Öttinger, HC (2012), Стохастические процессы в полимерных жидкостях , Берлин, Гейдельберг: Springer Science & Business Media, doi :10.1007/978-3-642-58290-5, ISBN 9783540583530
31. Shah, Tasneem Mohammad (1972). «Анализ метода многосеточного анализа». Технический отчет NASA Sti/Recon № 91 : 23418. Бибкод : 1989STIN...9123418S.
32. Ван, CY (1991), «Точные решения стационарных уравнений Навье–Стокса», Annual Review of Fluid Mechanics , 23 : 159–177, Bibcode : 1991AnRFM..23..159W, doi : 10.1146/annurev.fl.23.010191.001111
33. Ландау и Лифшиц (1987) стр. 75–88.
34. Этье, CR; Стайнман, DA (1994), «Точные полностью трехмерные решения Навье–Стокса для сравнительного анализа», Международный журнал численных методов в жидкостях , 19 (5): 369–375, Bibcode : 1994IJNMF..19..369E, doi : 10.1002/fld.1650190502
35. "Уравнения Навье-Стокса". www.claudino.webs.com . Архивировано из оригинала 2015-06-19 . Получено 2023-03-11 .
36. Ладыженская, О.А. (1969), Математическая теория течения вязкой несжимаемой жидкости (2-е изд.), стр. предисловие, xi
37. Камчатно, AM (1982), Топологические солитоны в магнитогидродинамике (PDF) , архивировано (PDF) из оригинала 2016-01-28
38. Antuono, M. (2020), «Трехпериодические полностью трехмерные аналитические решения для уравнений Навье–Стокса», Журнал механики жидкости , 890 , Bibcode : 2020JFM...890A..23A, doi : 10.1017/jfm.2020.126, S2CID  216463266
39. МакКомб, У. Д. (2008), Методы перенормировки: руководство для начинающих , Oxford University Press, стр. 121–128, ISBN 978-0-19-923652-7
40. Georgia Institute of Technology (29 августа 2022 г.). «Физики раскрывают новую динамическую структуру турбулентности». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 119 (34). Phys.org : e2120665119. doi : 10.1073 /pnas.2120665119 . PMC 9407532. PMID  35984901. S2CID  251693676. 
41. de' Michieli Vitturi, Mattia, Уравнения Навье–Стокса в цилиндрических координатах , получено 26.12.2016
42. Эрик В. Вайсштейн (2005-10-26), Сферические координаты, MathWorld , получено 2008-01-22
43. Стэм, Джос (2003), Real-Time Fluid Dynamics for Games (PDF) , S2CID  9353969, заархивировано из оригинала (PDF) 2020-08-05
44. Stam, Jos (1999), Stable Fluids (PDF) , архивировано (PDF) из оригинала 2019-07-15
45. Харрис, Марк Дж. (2004), "38", GPUGems - Быстрое моделирование динамики жидкости на GPU
46. Сандер, П.; Татарчук, Н.; Митчелл, Дж. Л. (2007), "9.6", ShaderX5 - Явное раннее Z-отсечение для эффективного моделирования потока жидкости , стр. 553–564
47. Роберт Бридсон; Маттиас Мюллер-Фишер. «Моделирование жидкости для компьютерной анимации». www.cs.ubc.ca.​

Общие ссылки

• Ачесон, DJ (1990), Элементарная гидродинамика, Оксфордская серия прикладной математики и вычислительной науки, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-859679-0
• Бэтчелор, Г.К. (1967), Введение в гидродинамику , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66396-0
• Карри, И.Г. (1974), Фундаментальная механика жидкостей , McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-015000-3
• V. Girault и PA Raviart. Методы конечных элементов для уравнений Навье–Стокса: теория и алгоритмы . Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц , Э. М. (1987), Механика жидкости , т.  Курс теоретической физики, том 6 (2-е пересмотренное издание), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-033932-0, OCLC  15017127
• Полянин, АД; Кутепов, АМ; Вязьмин, АВ; Казенин, ДА (2002), Гидродинамика, массо- и теплопередача в химической технологии , Taylor & Francis, Лондон, ISBN 978-0-415-27237-7
• Рифминг, Инге Л. (1991), Dynamique des Fludes , Политехнические и университетские романды.
• Смитс, Александр Дж. (2014), Физическое введение в механику жидкости , Wiley, ISBN 0-47-1253499 
• Темам, Роджер (1984): Уравнения Навье–Стокса: теория и численный анализ , ACM Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2737-6 
• Уайт, Фрэнк М. (2006), Течение вязкой жидкости , McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-124493-0

Внешние ссылки

• Упрощенный вывод уравнений Навье–Стокса
• Трехмерная нестационарная форма уравнений Навье–Стокса Исследовательский центр Гленна, НАСА