Многогранник

3D-форма с плоскими гранями, прямыми краями и острыми углами

В геометрии многогранник ( мн. ч .: polyhedras или polyhedrons ; от греч. πολύ (поли-)  «много» и ἕδρον (-hedron) «  основание, основание») — трёхмерная фигура с плоскими многоугольными гранями , прямыми рёбрами и острыми углами или вершинами .

Выпуклый многогранник — это многогранник, ограничивающий выпуклое множество . Каждый выпуклый многогранник может быть построен как выпуклая оболочка его вершин, и для каждого конечного множества точек, не лежащих на одной плоскости, выпуклая оболочка является выпуклым многогранником. Кубы и пирамиды являются примерами выпуклых многогранников.

Многогранник — это обобщение двумерного многоугольника и трехмерная специализация многогранника , более общего понятия в любом числе измерений .

Определение

Выпуклые многогранники хорошо определены, с несколькими эквивалентными стандартными определениями. Однако формальное математическое определение многогранников, которые не обязаны быть выпуклыми, было проблематичным. Было дано много определений «многогранника» в определенных контекстах, ^[1] некоторые из них более строгие, чем другие, и нет универсального соглашения о том, какое из них выбрать. Некоторые из этих определений исключают формы, которые часто считались многогранниками (например, самопересекающиеся многогранники ) или включают формы, которые часто не считаются допустимыми многогранниками (например, твердые тела, границы которых не являются многообразиями ). Как заметил Бранко Грюнбаум ,

«Первородный грех в теории многогранников восходит к Евклиду, а также к Кеплеру, Пуансо, Коши и многим другим... на каждом этапе... авторы не смогли определить, что такое многогранники». ^[2]

Тем не менее, существует общее согласие, что многогранник — это тело или поверхность, которые можно описать его вершинами (угловыми точками), ребрами (отрезками прямых, соединяющими определенные пары вершин), гранями (двумерными многоугольниками ), и что иногда можно сказать, что он имеет определенный трехмерный внутренний объем . Можно различать эти различные определения в зависимости от того, описывают ли они многогранник как тело, описывают ли они его как поверхность или описывают его более абстрактно, основываясь на его геометрии инцидентности . ^[3]

• Распространенное и несколько наивное определение многогранника состоит в том, что это тело, граница которого может быть покрыта конечным числом плоскостей ^{[4] [5]} или что это тело, образованное как объединение конечного числа выпуклых многогранников. ^[6] Естественные уточнения этого определения требуют, чтобы тело было ограничено, имело связную внутреннюю часть и, возможно, также имело связную границу. Грани такого многогранника можно определить как связные компоненты частей границы внутри каждой из плоскостей, которые его покрывают, а ребра и вершины — как отрезки линий и точки, где грани встречаются. Однако многогранники, определенные таким образом, не включают самопересекающиеся звездчатые многогранники, грани которых могут не образовывать простые многоугольники , и некоторые из ребер которых могут принадлежать более чем двум граням. ^[7]
• Определения, основанные на идее ограничивающей поверхности, а не тела, также распространены. ^[8] Например, О'Рурк (1993) определяет многогранник как объединение выпуклых многоугольников (его граней), расположенных в пространстве таким образом, что пересечение любых двух многоугольников является общей вершиной или ребром или пустым множеством , и так, что их объединение является многообразием . ^[9] Если плоская часть такой поверхности сама по себе не является выпуклым многоугольником, О'Рурк требует, чтобы она была разделена на меньшие выпуклые многоугольники с плоскими двугранными углами между ними. Несколько более общо, Грюнбаум определяет акоптический многогранник как набор простых многоугольников, которые образуют вложенное многообразие, причем каждая вершина инцидентна по крайней мере трем ребрам, а каждые две грани пересекаются только по общим вершинам и ребрам каждой. ^[10] Многогранники Кромвеля дают похожее определение, но без ограничения по крайней мере тремя ребрами на вершину. Опять же, этот тип определения не охватывает самопересекающиеся многогранники. ^[8] Аналогичные понятия составляют основу топологических определений многогранников, как подразделений топологического многообразия на топологические диски (грани), чьи попарные пересечения должны быть точками (вершинами), топологическими дугами (ребрами) или пустым множеством. Однако существуют топологические многогранники (даже со всеми гранями треугольниками), которые не могут быть реализованы как акоптические многогранники. ^[11]
• Один из современных подходов основан на теории абстрактных многогранников . Их можно определить как частично упорядоченные множества , элементами которых являются вершины, ребра и грани многогранника. Элемент вершины или ребра меньше элемента ребра или грани (в этом частичном порядке), когда вершина или ребро являются частью ребра или грани. Кроме того, можно включить специальный нижний элемент этого частичного порядка (представляющий пустое множество) и верхний элемент, представляющий весь многогранник. Если секции частичного порядка между элементами, находящимися на трех уровнях друг от друга (то есть между каждой гранью и нижним элементом, а также между верхним элементом и каждой вершиной), имеют ту же структуру, что и абстрактное представление многоугольника, то эти частично упорядоченные множества несут в себе точно такую ​​же информацию, что и топологический многогранник. ^{[ необходима цитата ]} Однако эти требования часто смягчаются, чтобы вместо этого требовать только, чтобы секции между элементами, находящимися на двух уровнях друг от друга, имели ту же структуру, что и абстрактное представление отрезка линии. ^[12] (Это означает, что каждое ребро содержит две вершины и принадлежит двум граням, и что каждая вершина на грани принадлежит двум ребрам этой грани.) Геометрические многогранники, определенные другими способами, могут быть описаны абстрактно таким образом, но также возможно использовать абстрактные многогранники в качестве основы для определения геометрических многогранников. Реализация абстрактного многогранника обычно принимается как отображение вершин абстрактного многогранника в геометрические точки, так что точки каждой грани являются копланарными. Затем геометрический многогранник может быть определен как реализация абстрактного многогранника. ^[13] Реализации, которые опускают требование плоскостности грани, которые налагают дополнительные требования симметрии или которые отображают вершины в пространства более высоких размерностей, также были рассмотрены. ^[12] В отличие от определений на основе твердого тела и поверхности, это прекрасно работает для звездчатых многогранников. Однако без дополнительных ограничений это определение допускает вырожденные или неточные многогранники (например, путем отображения всех вершин в одну точку), и вопрос о том, как ограничить реализации, чтобы избежать этих вырождений, не был решен.

Во всех этих определениях многогранник обычно понимается как трехмерный пример более общего многогранника в любом количестве измерений. Например, многоугольник имеет двумерное тело и не имеет граней, в то время как 4-многогранник имеет четырехмерное тело и дополнительный набор трехмерных «ячеек». Однако в некоторой литературе по многомерной геометрии термин «многогранник» используется для обозначения чего-то другого: не трехмерного многогранника, а формы, которая отличается от многогранника в некотором роде. Например, некоторые источники определяют выпуклый многогранник как пересечение конечного числа полупространств , а многогранник как ограниченный многогранник. ^{[14] [15]} В оставшейся части этой статьи рассматриваются только трехмерные многогранники.

Выпуклые многогранники

Слева сверху вниз направо: шестиугольная пирамида как семейство призматоидов , усеченный тетраэдр как семейство архимедовых тел , триакисикосаэдр как семейство каталоновых тел и триаугментированная треугольная призма как семейство дельтаэдров и тел Джонсона . Все эти классы являются выпуклыми многогранниками.

Выпуклый многогранник — это многогранник, который образует выпуклое множество как тело. При этом это трехмерное тело, каждый отрезок прямой, соединяющий две его точки, лежит внутри или на его границе ; ни одна из его граней не является копланарной (они не разделяют одну и ту же плоскость), и ни одно из его ребер не является коллинеарным (они не являются отрезками одной и той же линии). ^{[16] [17]} Выпуклый многогранник также может быть определен как ограниченное пересечение конечного числа полупространств или как выпуклая оболочка конечного числа точек, в любом случае ограниченная пересечениями или оболочками, имеющими ненулевой объем. ^{[14] [15]}

Важные классы выпуклых многогранников включают семейство призматоидов , платоновы тела , архимедовы тела и их двойственные каталонские тела , а также правильные многоугольные грани многогранника. Призматоиды — это многогранники, вершины которых лежат на двух параллельных плоскостях, а их грани, скорее всего, являются трапециями и треугольниками. ^[18] Примерами призматоидов являются пирамиды , клинья , параллелепипеды , призмы , антипризмы , купола и усеченные пирамиды . Платоновы тела — это пять древних многогранников — тетраэдр , октаэдр , икосаэдр , куб и додекаэдр — классифицированных Платоном в его «Тимее», которые связывают четыре классических элемента природы. ^[19] Архимедовы тела — это класс из тринадцати многогранников, все грани которых являются правильными многоугольниками, а вершины симметричны друг другу; ^[a] их двойственные многогранники — это каталонские тела . ^[21] Класс многогранников с правильными многоугольными гранями — это дельтаэдр (все грани которого являются равносторонними треугольниками) и тела Джонсона (грани которого являются произвольными правильными многоугольниками). ^{[22] [23]}

Выпуклый многогранник можно разделить на элементарный многогранник или составной многогранник. Элементарный многогранник — это выпуклый многогранник с правильными гранями, который не может быть получен в виде двух или более многогранников путем разрезания его плоскостью. ^[24] В отличие от составного многогранника, его можно альтернативно определить как многогранник, который может быть построен путем присоединения большего количества элементарных многогранников. Например, триаугментированная треугольная призма является составным многогранником, поскольку ее можно построить путем присоединения трех равносторонних квадратных пирамид к квадратным граням треугольной призмы ; квадратные пирамиды и треугольная призма являются элементарными. ^[25]

Канонический многогранник

Средняя сфера выпуклого многогранника — это сфера, касательная к каждому ребру многогранника, промежуточная сфера по радиусу между вписанной и описанной сферами , для многогранников, для которых существуют все три эти сферы. Каждый выпуклый многогранник комбинаторно эквивалентен каноническому многограннику , многограннику, имеющему среднюю сферу, центр которой совпадает с центроидом многогранника. Форма канонического многогранника (но не его масштаб или положение) однозначно определяется комбинаторной структурой данного многогранника. ^[26]

Некоторые многогранники не обладают свойством выпуклости, и их называют невыпуклыми многогранниками . Такие многогранники — звездчатые многогранники и многогранники Кеплера–Пуансо , которые построены либо с помощью звёздчатости (процесса расширения граней — в пределах их плоскостей — так, чтобы они встретились), либо с помощью огранки (процесса удаления частей многогранника для создания новых граней — или граней — без создания новых вершин). ^{[27] [28]} Грань многогранника — это любой многоугольник, углы которого являются вершинами многогранника, и не является гранью . [ ^27] Звездчатость и огранка являются обратными или обратными процессами: двойственная к некоторой звёздчатой ​​форме является огранкой двойственного к исходному многограннику.

Характеристики

Количество граней

Многогранники можно классифицировать и часто именовать в соответствии с числом граней. Система именования основана на классическом греческом языке и объединяет префикс, подсчитывающий количество граней, с суффиксом «hedron», означающим «основание» или «место» и относящимся к граням. Например, тетраэдр — это многогранник с четырьмя гранями, пентаэдр — это многогранник с пятью гранями, гексаэдр — это многогранник с шестью гранями и т. д. ^[29] Полный список префиксов греческих чисел см. в разделе Префиксы чисел § Таблица префиксов чисел на английском языке в колонке для греческих количественных числительных. Названия тетраэдры, гексаэдры, октаэдры (8-сторонние многогранники), додекаэдры (12-сторонние многогранники) и икосаэдры (20-сторонние многогранники) иногда используются без дополнительных уточнений для обозначения Платоновых тел , а иногда используются для более общего обозначения многогранников с заданным числом сторон без какого-либо предположения о симметрии. ^[30]

Топологическая классификация

Тетрагемигексаэдр , неориентируемый самопересекающийся многогранник с четырьмя треугольными гранями (красные) и тремя квадратными гранями (желтые). Как и в случае с лентой Мёбиуса или бутылкой Клейна , непрерывный путь вдоль поверхности этого многогранника может достичь точки на противоположной стороне поверхности от его начальной точки, что делает невозможным разделение поверхности на внутреннюю и внешнюю части. (Топологически этот многогранник является действительной проективной плоскостью .)

Некоторые многогранники имеют две различные стороны поверхности. Например, внутренняя и внешняя стороны выпуклой бумажной модели многогранника могут быть окрашены в разные цвета (хотя внутренний цвет будет скрыт от глаз). Эти многогранники являются ориентируемыми . То же самое относится и к невыпуклым многогранникам без самопересечений. Некоторые невыпуклые самопересекающиеся многогранники могут быть окрашены одинаково, но иметь области, вывернутые «наизнанку», так что оба цвета появляются снаружи в разных местах; они по-прежнему считаются ориентируемыми. Однако для некоторых других самопересекающихся многогранников с гранями из простых многоугольников, таких как тетрагемигексаэдр , невозможно окрасить две стороны каждой грани двумя разными цветами так, чтобы смежные грани имели согласованные цвета. В этом случае многогранник называется неориентируемым. Для многогранников с самопересекающимися гранями может быть неясно, что означает, что смежные грани должны быть одинаково окрашены, но для этих многогранников все еще возможно определить, является ли он ориентируемым или неориентируемым, рассматривая топологический клеточный комплекс с теми же инцидентностями между его вершинами, ребрами и гранями. ^[31]

Более тонкое различие между поверхностями многогранников определяется их эйлеровой характеристикой , которая объединяет числа вершин , ребер и граней многогранника в одно число, определяемое формулой ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi =V-E+F.\ }$

Та же формула используется и для характеристики Эйлера других видов топологических поверхностей. Это инвариант поверхности, означающий, что когда одна поверхность подразделяется на вершины, ребра и грани более чем одним способом, характеристика Эйлера будет одинаковой для этих подразделений. Для выпуклого многогранника или, в более общем смысле, любого односвязного многогранника с поверхностью топологической сферы, она всегда равна 2. Для более сложных форм характеристика Эйлера относится к числу тороидальных отверстий, ручек или крестообразных колпачков на поверхности и будет меньше 2. ^[32] Все многогранники с нечетной характеристикой Эйлера неориентируемы. Данная фигура с четной характеристикой Эйлера может быть ориентируемой или неориентируемой. Например, тороид с одним отверстием и бутылка Клейна имеют , причем первый является ориентируемым, а другой — нет. ^[31] ${\displaystyle \chi =0}$

Для многих (но не всех) способов определения многогранников поверхность многогранника должна быть многообразием . Это означает, что каждое ребро является частью границы ровно двух граней (что не допускает таких форм, как объединение двух кубов, которые встречаются только вдоль общего ребра), и что каждая вершина инцидентна одному чередующемуся циклу ребер и граней (что не допускает таких форм, как объединение двух кубов, имеющих только одну общую вершину). Для многогранников, определенных такими способами, классификация многообразий подразумевает, что топологический тип поверхности полностью определяется комбинацией ее эйлеровой характеристики и ориентируемости. Например, каждый многогранник, поверхность которого является ориентируемым многообразием, а эйлерова характеристика равна 2, должен быть топологической сферой. ^[31]

Тороидальный многогранник — это многогранник, эйлерова характеристика которого меньше или равна 0, или, что эквивалентно, род которого равен 1 или больше. Топологически поверхности таких многогранников являются торическими поверхностями, имеющими одно или несколько отверстий в середине. ^[33]

Двойственность

Октаэдр двойственен кубу.

Для каждого выпуклого многогранника существует двойственный многогранник, имеющий

• грани на месте вершин оригинала и наоборот, и
• одинаковое количество ребер.

Двойственный выпуклому многограннику может быть получен с помощью процесса полярного возвратно-поступательного движения . ^[34] Двойственные многогранники существуют парами, и двойственный двойственному многограннику — это просто исходный многогранник. Некоторые многогранники являются самодвойственными, что означает, что двойственный многограннику конгруэнтен исходному многограннику. ^[35]

Абстрактные многогранники также имеют дуальные элементы, полученные путем обращения частичного порядка, определяющего многогранник, для получения его дуального или противоположного порядка . ^[13] Они имеют ту же эйлерову характеристику и ориентируемость, что и исходный многогранник. Однако эта форма дуальности не описывает форму дуального многогранника, а только его комбинаторную структуру. Для некоторых определений невыпуклых геометрических многогранников существуют многогранники, абстрактные дуальные элементы которых не могут быть реализованы как геометрические многогранники при том же определении. ^[10]

Вершинные фигуры

Для каждой вершины можно определить вершинную фигуру , которая описывает локальную структуру многогранника вокруг вершины. Точные определения различаются, но вершинную фигуру можно рассматривать как многоугольник, выставленный там, где срез через многогранник отсекает вершину. ^[8] Для Платоновых тел и других высокосимметричных многогранников этот срез может быть выбран так, чтобы проходить через середины каждого ребра, инцидентного вершине, ^[36] но другие многогранники могут не иметь плоскости, проходящей через эти точки. Для выпуклых многогранников и, в более общем случае, для многогранников, вершины которых находятся в выпуклом положении , этот срез может быть выбран как любая плоскость, отделяющая вершину от других вершин. ^[37] Когда многогранник имеет центр симметрии, стандартно выбирать эту плоскость перпендикулярной линии, проходящей через заданную вершину и центр; ^[38] при таком выборе форма вершинной фигуры определяется с точностью до масштабирования. Когда вершины многогранника не находятся в выпуклом положении, не всегда будет плоскость, отделяющая каждую вершину от остальных. В этом случае вместо этого обычно разрезают многогранник небольшой сферой с центром в вершине. ^[39] Опять же, это создает форму для вершинной фигуры, которая инвариантна с точностью до масштабирования. Все эти выборы приводят к вершинным фигурам с той же комбинаторной структурой для многогранников, к которым они могут быть применены, но они могут придавать им разные геометрические формы.

Площадь поверхности и расстояния

Площадь поверхности многогранника равна сумме площадей его граней, для определений многогранников, для которых площадь грани хорошо определена. Геодезическое расстояние между любыми двумя точками на поверхности многогранника измеряет длину кратчайшей кривой, которая соединяет две точки, оставаясь внутри поверхности. По теореме единственности Александрова , каждый выпуклый многогранник однозначно определяется метрическим пространством геодезических расстояний на его поверхности. Однако невыпуклые многогранники могут иметь те же поверхностные расстояния, что и друг у друга, или те же, что и некоторые выпуклые многогранники. ^[40]

Объем

Многогранные тела имеют связанную величину, называемую объемом , которая измеряет, сколько места они занимают. Простые семейства твердых тел могут иметь простые формулы для их объемов; например, объемы пирамид, призм и параллелепипедов можно легко выразить через длины их ребер или другие координаты. (См. Объем § Формулы объема для списка, который включает многие из этих формул.)

Объемы более сложных многогранников могут не иметь простых формул. Объемы таких многогранников могут быть вычислены путем деления многогранника на более мелкие части (например, триангуляцией ). Например, объем правильного многогранника может быть вычислен путем деления его на конгруэнтные пирамиды , причем каждая пирамида имеет грань многогранника в качестве основания и центр многогранника в качестве вершины.

В общем случае из теоремы о расходимости можно вывести , что объем многогранного тела определяется выражением , где сумма берется по граням F многогранника, Q _F — произвольная точка на грани F , N _F — единичный вектор , перпендикулярный F и направленный наружу тела, а точка умножения — скалярное произведение . ^[41] В более высоких измерениях вычисление объема может быть сложным, отчасти из-за сложности перечисления граней выпуклого многогранника, заданного только его вершинами, и существуют специализированные алгоритмы для определения объема в этих случаях. ^[42] $${\displaystyle {\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {area} (F)\right|,}$$

инвариант Дена

В двух измерениях теорема Бойяи–Гервина утверждает, что любой многоугольник может быть преобразован в любой другой многоугольник той же площади путем разрезания его на конечное число многоугольных частей и перестановки их . Аналогичный вопрос для многогранников был предметом третьей проблемы Гильберта . Макс Ден решил эту проблему, показав, что, в отличие от двумерного случая, существуют многогранники одинакового объема, которые нельзя разрезать на меньшие многогранники и собрать друг в друга. Чтобы доказать это, Ден открыл еще одно значение, связанное с многогранником, инвариант Дена , такое, что два многогранника можно разрезать друг на друга, только если они имеют одинаковый объем и одинаковый инвариант Дена. Позднее Сидлер доказал, что это единственное препятствие для разбиения: любые два евклидовых многогранника с одинаковыми объемами и инвариантами Дена можно разрезать и собрать друг в друга. ^[43] Инвариант Дена — это не число, а вектор в бесконечномерном векторном пространстве, определяемый длинами и двугранными углами ребер многогранника. ^[44]

Другая проблема Гильберта, 18-я проблема Гильберта , касается (помимо прочего) многогранников, которые заполняют пространство . Каждый такой многогранник должен иметь нулевой инвариант Дена. ^[45] Инвариант Дена также связан с гибкими многогранниками с помощью теоремы о сильных мехах, которая гласит, что инвариант Дена любого гибкого многогранника остается инвариантным при его изгибе. ^[46]

Симметрии

Некоторые многогранники, вращающиеся вокруг симметричной оси (на сайте Matemateca IME-USP)

Многие из наиболее изученных многогранников являются высокосимметричными , то есть их внешний вид не изменяется при некотором отражении или повороте пространства. Каждая такая симметрия может изменить местоположение данной вершины, грани или ребра, но набор всех вершин (также граней, ребер) остается неизменным. Набор симметрий многогранника называется его группой симметрии .

Все элементы, которые могут быть наложены друг на друга с помощью симметрий, называются орбитами симметрии . Например, все грани куба лежат на одной орбите, а все ребра — на другой. Если все элементы заданного измерения, скажем, все грани, лежат на одной орбите, то говорят, что фигура транзитивна на этой орбите. Например, куб является гране-транзитивным, в то время как усеченный куб имеет две орбиты симметрии граней.

Та же абстрактная структура может поддерживать более или менее симметричные геометрические многогранники. Но там, где дается многогранное имя, например, икосододекаэдр , часто подразумевается наиболее симметричная геометрия. ^{[ необходима цитата ]}

Существует несколько типов высокосимметричных многогранников, классифицируемых по типу элементов, принадлежащих одной орбите симметрии:

• Регулярный : транзитивный по вершинам, транзитивный по ребрам и транзитивный по граням. (Это подразумевает, что каждая грань является одним и тем же правильным многоугольником ; это также подразумевает, что каждая вершина является правильной.)
• Квазирегулярный : вершинно-транзитивный и реберно-транзитивный (и, следовательно, имеет регулярные грани), но не гранно-транзитивный. Квазирегулярный дуальный является гранно-транзитивным и реберно-транзитивным (и, следовательно, каждая вершина регулярна), но не вершинно-транзитивный.
• Полуправильный : вершинно-транзитивный, но не рёберно-транзитивный, и каждая грань является правильным многоугольником. (Это одно из нескольких определений термина, в зависимости от автора. Некоторые определения пересекаются с классом квазиправильных.) Эти многогранники включают полуправильные призмы и антипризмы . Полуправильный двойственный является гранно-транзитивным, но не вершинно-транзитивным, и каждая вершина является правильной.
• Равномерный : вершинно-транзитивный и каждая грань является правильным многоугольником, т. е. является правильным, квазиправильным или полуправильным. Равномерный дуальный является гранно-транзитивным и имеет правильные вершины, но не обязательно вершинно-транзитивным.
• Изогональный : вершинно-транзитивный.
• Изотоксальный : краёво-транзитивный.
• Изоэдральный : гранно-транзитивный.
• Благородный : гране-транзитивный и вершинно-транзитивный (но не обязательно реберно-транзитивный). Правильные многогранники также благородны; они являются единственными благородными однородными многогранниками. Двойственные благородным многогранникам сами являются благородными.

Некоторые классы многогранников имеют только одну главную ось симметрии. К ним относятся пирамиды , бипирамиды , трапецоэдры , купола , а также полуправильные призмы и антипризмы.

Правильные многогранники

Правильные многогранники являются наиболее симметричными. Всего существует девять правильных многогранников: пять выпуклых и четыре звездчатых.

Пять выпуклых примеров известны с древности и называются Платоновыми телами . Это треугольная пирамида или тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр :

Существуют также четыре правильных звездчатых многогранника, известных как многогранники Кеплера–Пуансо по именам их первооткрывателей.

Двойственный к правильному многограннику многогранник также является правильным.

Однородные многогранники и их двойственные

Однородные многогранники вершинно-транзитивны , и каждая грань является правильным многоугольником . Они могут быть подразделены на правильные , квазиправильные или полуправильные , и могут быть выпуклыми или звездчатыми.

Двойственные элементы однородных многогранников имеют неправильные грани, но являются гране-транзитивными , и каждая вершинная фигура является правильным многоугольником. Однородный многогранник имеет те же орбиты симметрии, что и его двойственный элемент, при этом грани и вершины просто поменяны местами. Двойственные элементы выпуклых архимедовых многогранников иногда называют каталонскими телами .

Однородные многогранники и их двойственные традиционно классифицируются по степени их симметрии, а также по тому, являются ли они выпуклыми или нет.

Изоэдры

Изоэдр — это многогранник с симметриями, действующими транзитивно на его гранях. Их топология может быть представлена ​​конфигурацией граней . Все 5 Платоновых тел и 13 Каталоновых тел являются изоэдрами, а также бесконечные семейства трапецоэдров и бипирамид . Некоторые определения изоэдров допускают геометрические вариации, включая вогнутые и самопересекающиеся формы.

Группы симметрии

Полная икосаэдрическая симметрия делит сферу на 120 треугольных доменов.

Многие из симметрий или точечных групп в трех измерениях названы в честь многогранников, имеющих соответствующую симметрию. К ним относятся:

• T – хиральная тетраэдрическая симметрия ; группа вращения для правильного тетраэдра ; порядок 12.
• T _d – полная тетраэдрическая симметрия ; группа симметрии правильного тетраэдра ; порядок 24.
• T _h – пиритоэдрическая симметрия ; симметрия пиритоэдра ; порядок 24.
• O – хиральная октаэдрическая симметрия ; группа вращения куба и октаэдра ; порядок 24.
• О _h – полная октаэдрическая симметрия ; группа симметрии куба и октаэдра ; порядок 48.
• I – хиральная икосаэдрическая симметрия ; группа вращения икосаэдра и додекаэдра ; порядок 60.
• I _h – полная икосаэдрическая симметрия ; группа симметрии икосаэдра и додекаэдра ; порядок 120.
• C _nv – n -кратная пирамидальная симметрия
• D _nh – n- кратная призматическая симметрия
• D _nv – n- кратная антипризматическая симметрия .

Те, у кого есть хиральная симметрия, не имеют симметрии отражения и, следовательно, имеют две энантиоморфные формы, которые являются отражениями друг друга. Примерами являются плосконосый кубооктаэдр и плосконосый икосододекаэдр .

Другие важные семейства многогранников

Зоноэдры

Зоноэдр — это выпуклый многогранник, в котором каждая грань — многоугольник , симметричный относительно поворотов на 180°. Зоноэдры также можно охарактеризовать как суммы Минковского отрезков прямых, и они включают несколько важных заполняющих пространство многогранников. ^[47]

Многогранники, заполняющие пространство

Многогранник, заполняющий пространство, упаковывается копиями самого себя, чтобы заполнить пространство. Такая плотная упаковка или заполнение пространства часто называется тесселяцией пространства или сотами. Многогранники, заполняющие пространство, должны иметь инвариант Дена, равный нулю. Некоторые соты включают более одного вида многогранников.

Решетчатые многогранники

Выпуклый многогранник, в котором все вершины имеют целочисленные координаты, называется решетчатым многогранником или целочисленным многогранником . Многочлен Эрхарта решетчатого многогранника подсчитывает, сколько точек с целочисленными координатами лежат внутри масштабированной копии многогранника, как функцию масштабного коэффициента. Изучение этих многочленов лежит на пересечении комбинаторики и коммутативной алгебры . ^[48] Существует далеко идущая эквивалентность между решетчатыми многогранниками и некоторыми алгебраическими многообразиями , называемыми торическими многообразиями . ^[49] Это было использовано Стэнли для доказательства уравнений Дена–Соммервилля для симплициальных многогранников . ^[50]

Гибкие многогранники

Некоторые многогранники могут изменять свою общую форму, сохраняя при этом форму своих граней неизменной, изменяя углы своих ребер. Многогранник, который может это делать, называется гибким многогранником. По теореме Коши о жесткости гибкие многогранники должны быть невыпуклыми. Объем гибкого многогранника должен оставаться постоянным при его изгибе; этот результат известен как теорема о кузнечных мехах. ^[51]

Соединения

Многогранное соединение состоит из двух или более многогранников, имеющих общий центр. Симметричные соединения часто имеют те же вершины, что и другие известные многогранники, и часто могут быть образованы путем образования звездчатой ​​формы. Некоторые из них перечислены в списке моделей многогранников Веннингера .

Ортогональные многогранники

Некоторые ортогональные многогранники, состоящие из частей куба Сомы , которые сами по себе являются поликубами.

Ортогональный многогранник — это многогранник, все ребра которого параллельны осям декартовой системы координат. Это подразумевает, что все грани сходятся под прямым углом , но это условие слабее: икосаэдр Йессена имеет грани, сходящиеся под прямым углом, но не имеет ребер, параллельных осям.

Помимо прямоугольных кубоидов , ортогональные многогранники являются невыпуклыми. Они являются трехмерными аналогами двумерных ортогональных многоугольников, также известных как прямолинейные многоугольники . Ортогональные многогранники используются в вычислительной геометрии , где их ограниченная структура позволила продвинуться в решении проблем, нерешенных для произвольных многогранников, например, развернуть поверхность многогранника в многоугольную сеть . ^[52]

Поликубы являются частным случаем ортогональных многогранников, которые можно разложить на идентичные кубы, и являются трехмерными аналогами плоских полимино . ^[53]

Встроенные регулярные карты с плоскими гранями

Регулярные отображения являются флаговыми транзитивными абстрактными 2-многообразиями и они изучались уже в девятнадцатом веке. В некоторых случаях они имеют геометрические реализации. Примером является многогранник Силасси , тороидальный многогранник, который реализует отображение Хивуда . В этом случае многогранник гораздо менее симметричен, чем базовая карта, но в некоторых случаях самопересекающиеся многогранники могут реализовать некоторые или все симметрии регулярной карты.

Обобщения многогранников

Название «многогранник» стало использоваться для обозначения множества объектов, имеющих структурные свойства, схожие с традиционными многогранниками.

Апейроэдры

Классическая многогранная поверхность имеет конечное число граней, соединенных попарно вдоль ребер. Апейроэдры образуют родственный класс объектов с бесконечным числом граней. Примеры апейроэдров включают:

• мозаики или мозаики плоскости, и
• губчатые структуры, называемые бесконечными косыми многогранниками .

Сложные многогранники

Существуют объекты, называемые комплексными многогранниками, для которых базовым пространством является комплексное гильбертово пространство, а не реальное евклидово пространство. Точные определения существуют только для правильных комплексных многогранников, группы симметрии которых являются комплексными группами отражений . Комплексные многогранники математически более тесно связаны с конфигурациями, чем с реальными многогранниками. ^[54]

Изогнутые многогранники

Некоторые области исследований допускают, что многогранники имеют криволинейные грани и ребра. Криволинейные грани могут позволить существовать двуугольным граням с положительной площадью.

Сферические многогранники

Когда поверхность сферы делится конечным числом больших дуг (эквивалентно, плоскостями, проходящими через центр сферы), результат называется сферическим многогранником. Многие выпуклые многогранники, имеющие некоторую степень симметрии (например, все Платоновы тела), могут быть спроецированы на поверхность концентрической сферы, чтобы получить сферический многогранник. Однако обратный процесс не всегда возможен; некоторые сферические многогранники (например, осоэдры ) не имеют плоскогранного аналога. ^[55]

Изогнутые многогранники, заполняющие пространство

Если грани могут быть как вогнутыми, так и выпуклыми, смежные грани могут быть сделаны так, чтобы они встречались вместе без зазора. Некоторые из этих изогнутых многогранников могут упаковываться вместе, чтобы заполнить пространство. Два важных типа:

• Пузырьки в пене и пенах, такие как пузырьки Уэйра-Фелана . ^[56]
• Формы, используемые в архитектуре. ^[57]

Идеальные многогранники

Выпуклые многогранники могут быть определены в трехмерном гиперболическом пространстве так же, как и в евклидовом пространстве, как выпуклые оболочки конечных множеств точек. Однако в гиперболическом пространстве также можно рассматривать идеальные точки , а также точки, которые лежат внутри пространства. Идеальный многогранник — это выпуклая оболочка конечного множества идеальных точек. Его грани — идеальные многоугольники, но его ребра определяются целыми гиперболическими прямыми, а не отрезками прямых, а его вершины (идеальные точки, выпуклой оболочкой которых он является) не лежат внутри гиперболического пространства.

Скелеты и многогранники как графы

Забывая о структуре грани, любой многогранник порождает граф , называемый его скелетом , с соответствующими вершинами и ребрами. Такие фигуры имеют долгую историю: Леонардо да Винчи разработал каркасные модели правильных тел, которые он нарисовал для книги Пачоли Divina Proportione , и похожие каркасные многогранники появляются в гравюре М. К. Эшера Stars . ^[58] Одним из ярких моментов этого подхода является теорема Штейница , которая дает чисто графово-теоретическую характеристику скелетов выпуклых многогранников: она утверждает, что скелет каждого выпуклого многогранника является 3-связным планарным графом , а каждый 3-связный планарный граф является скелетом некоторого выпуклого многогранника.

Ранняя идея абстрактных многогранников была разработана в исследовании Бранко Грюнбаума «многогранников с полыми гранями». Грюнбаум определил грани как циклически упорядоченные наборы вершин и допускал, чтобы они были как косыми, так и плоскими. ^[2]

Перспектива графа позволяет применять терминологию и свойства графа к многогранникам. Например, тетраэдр и многогранник Часара являются единственными известными многогранниками, скелеты которых являются полными графами (K ₄ ), а различные ограничения симметрии на многогранники приводят к скелетам, которые являются симметричными графами .

Альтернативные варианты использования

Со второй половины двадцатого века было обнаружено, что различные математические конструкции обладают свойствами, также присутствующими в традиционных многогранниках. Вместо того, чтобы ограничивать термин «многогранник» для описания трехмерного многогранника, он был принят для описания различных связанных, но различных видов структур.

Многогранники более высокой размерности

Многогранник определяется как множество точек в вещественном аффинном (или евклидовом ) пространстве любой размерности n , имеющее плоские стороны. Его можно также определить как пересечение конечного числа полупространств . В отличие от обычного многогранника, он может быть ограниченным или неограниченным. В этом смысле многогранник является ограниченным многогранником. ^{[14] [15]}

Аналитически такой выпуклый многогранник выражается как множество решений для системы линейных неравенств. Определение многогранников таким образом обеспечивает геометрическую перспективу для задач линейного программирования . ^{[59] : 9}

Топологические многогранники

Топологический многогранник — это топологическое пространство, заданное вместе с определенным разложением на фигуры, которые топологически эквивалентны выпуклым многогранникам и соединены друг с другом регулярным образом.

Такая фигура называется симплициальной, если каждая из ее областей является симплексом , т. е. в n -мерном пространстве каждая область имеет n +1 вершину. Двойственный симплициальному многограннику многогранник называется простым . Аналогично, широко изучаемым классом многогранников (многогранников) является класс кубических многогранников, когда базовым строительным блоком является n -мерный куб.

Абстрактные многогранники

Абстрактный многогранник — это частично упорядоченный набор (посет) элементов, частичный порядок которых подчиняется определенным правилам инцидентности (связности) и ранжирования. Элементы набора соответствуют вершинам, ребрам, граням и т. д. многогранника: вершины имеют ранг 0, ребра — ранг 1 и т. д. с частично упорядоченным рангом, соответствующим размерности геометрических элементов. Пустое множество, требуемое теорией множеств, имеет ранг −1 и иногда считается соответствующим нулевому многограннику. Абстрактный многогранник — это абстрактный многогранник, имеющий следующий ранг:

• Ранг 3: Максимальный элемент, иногда отождествляемый с телом.
• Ранг 2: Многоугольные грани .
• ранг 1: Края .
• ранг 0: вершины .
• ранг −1: Пустое множество, иногда отождествляемое снулевой многогранник или нультоп .^[60]

Тогда говорят, что любой геометрический многогранник является «реализацией» в реальном пространстве абстрактного частично упорядоченного множества, описанного выше.

История

До греков

Задача 14 Московского математического папируса о вычислении объема усеченного конуса

Многогранники появились в ранних архитектурных формах, таких как кубы и прямоугольные параллелепипеды, причем самые ранние четырехсторонние египетские пирамиды датируются 27 веком до нашей эры . ^[61] Московский математический папирус примерно 1800–1650 гг. до н. э. включает в себя раннее письменное исследование многогранников и их объемов (в частности, объема усеченного конуса ). ^[62] Математика Древневавилонской империи , примерно того же периода времени, что и Московский папирус, также включала в себя расчеты объемов прямоугольных параллелепипедов (и не многогранных цилиндров ), а также расчеты высоты такой формы, необходимой для достижения заданного объема. ^[63]

Этруски опередили греков в понимании, по крайней мере, некоторых правильных многогранников, о чем свидетельствует открытие этрусского додекаэдра, сделанного из мыльного камня на горе Лоффа . Его грани были отмечены различными узорами, что навело некоторых ученых на мысль, что он мог использоваться в качестве игральной кости. ^[64]

Древняя Греция

Древнегреческие математики открыли и изучили выпуклые правильные многогранники , которые стали известны как Платоновы тела . Их первое письменное описание содержится в «Тимее» Платона ( около 360 г. до н. э.), который связывает четыре из них с четырьмя элементами , а пятый — с общей формой вселенной. Более математическая трактовка этих пяти многогранников была написана вскоре после этого в « Началах» Евклида . Ранний комментатор Евклида (возможно, Гемин ) пишет, что приписывание этих форм Платону неверно: Пифагор знал тетраэдр , куб и додекаэдр , а Теэтет (около 417 г. до н. э.) открыл два других — октаэдр и икосаэдр . ^[65] Позже Архимед расширил свое исследование до выпуклых однородных многогранников , которые теперь носят его имя. Его оригинальная работа утеряна, а его тела дошли до нас через Паппа . ^[66]

Древний Китай

14-гранная игральная кость периода Воюющих царств

Как кубические игральные кости, так и 14-гранные игральные кости в форме усеченного октаэдра в Китае датируются еще периодом Воюющих царств . ^[67]

К 236 году нашей эры Лю Хуэй описывал разбиение куба на характерный тетраэдр ( ортосхему ) и связанные с ним твердые тела, используя совокупности этих тел в качестве основы для расчета объемов земли, подлежащих перемещению во время инженерных раскопок. ^[68]

Средневековый ислам

После окончания классической эпохи ученые исламской цивилизации продолжили развивать греческие знания (см. Математика в средневековом исламе ). ^[69] Ученый 9-го века Сабит ибн Курра включил вычисление объемов в свои исследования, ^[70] и написал работу о кубооктаэдре . Затем в 10-м веке Абу-ль-Вафа описал выпуклые правильные и квазиправильные сферические многогранники. ^[71]

Ренессанс

Как и в случае с другими областями греческой мысли, поддерживаемыми и развиваемыми исламскими учеными, западный интерес к многогранникам возродился во время итальянского Возрождения . Художники строили скелетные многогранники, изображая их с натуры как часть своих исследований перспективы . [ ^73] Тороидальные многогранники , сделанные из дерева и используемые для поддержки головных уборов, стали обычным упражнением в перспективном рисовании и изображались на панелях маркетри того периода как символ геометрии. ^[74] Пьеро делла Франческа писал о построении перспективных видов многогранников и заново открыл многие из архимедовых тел. Леонардо да Винчи иллюстрировал скелетные модели нескольких многогранников для книги Луки Пачоли , ^[75] с текстом, в значительной степени заимствованным из делла Франчески. ^[76] Многогранные сети появляются в работах Альбрехта Дюрера . ^[77]

Несколько работ этого времени исследуют звездчатые многогранники и другие разработки основных платоновских форм. Мраморная тарсия на полу собора Святого Марка в Венеции, спроектированная Паоло Уччелло , изображает звездчатый додекаэдр. ^[78] По мере того, как эпоха Возрождения распространялась за пределы Италии, более поздние художники, такие как Венцель Ямницер , Дюрер и другие, также изображали многогранники возрастающей сложности, многие из которых были новыми, в воображаемых офортах. ^[73] Иоганн Кеплер (1571–1630) использовал звездчатые многоугольники , как правило, пентаграммы , для построения звездчатых многогранников. Некоторые из этих фигур, возможно, были обнаружены до времен Кеплера, но он был первым, кто признал, что их можно считать «правильными», если снять ограничение, что правильные многогранники должны быть выпуклыми. ^[79]

В тот же период в 1537 году в неопубликованной рукописи Франческо Мауролико была сформулирована полиэдральная формула Эйлера — линейное уравнение , связывающее числа вершин, ребер и граней многогранника, для Платоновых тел . ^[80]

17–19 вв.

Рене Декарт около 1630 года написал свою книгу De solidorum elementis, изучающую выпуклые многогранники как общую концепцию, не ограничивающуюся Платоновыми телами и их разработками. Работа была утеряна и не была вновь открыта до 19 века. Одним из ее вкладов была теорема Декарта о полном угловом дефекте , которая тесно связана с формулой Эйлера для многогранников. ^[81] Леонард Эйлер , в честь которого названа формула, ввел ее в 1758 году для выпуклых многогранников в более общем смысле, хотя и с неверным доказательством. ^[82] Работа Эйлера (вместе с его более ранним решением загадки семи мостов Кенигсберга ) стала основой новой области топологии . ^[83] Основные концепции этой области, включая обобщения полиэдральной формулы, были разработаны в конце девятнадцатого века Анри Пуанкаре , Энрико Бетти , Бернхардом Риманом и другими. ^[84]

В начале 19 века Луи Пуансо расширил работу Кеплера и открыл оставшиеся два правильных звездчатых многогранника. Вскоре после этого Огюстен-Луи Коши доказал полноту списка Пуансо, при условии невысказанного предположения, что последовательность вершин и ребер каждой многоугольной стороны не может допускать повторений (предположение, которое рассматривалось, но отвергнуто в более ранней работе А. Ф. Л. Мейстера). ^[85] Они стали известны как многогранники Кеплера–Пуансо , а их обычные названия были даны Артуром Кэли . ^[86] Между тем, открытие высших измерений в начале 19 века привело Людвига Шлефли к 1853 году к идее многогранников высших измерений. ^[87] Кроме того, в конце 19 века русский кристаллограф Евграф Федоров завершил классификацию параллелоэдров , выпуклых многогранников, которые заполняют пространство трансляциями. ^[88]

20–21 века

Математика в 20 веке зарождалась с проблемами Гильберта , одна из которых, третья проблема Гильберта , касалась многогранников и их разрезов . Она была быстро решена учеником Гильберта Максом Деном , который ввел инвариант Дена для многогранников. ^[89] Теорема Штейница , опубликованная Эрнстом Штейницем в 1992 году, охарактеризовала графы выпуклых многогранников, привнеся современные идеи из теории графов и комбинаторики в изучение многогранников. ^[90]

Многогранники Кеплера–Пуансо могут быть построены из Платоновых тел с помощью процесса, называемого образованием звездчатых форм . Большинство звездчатых форм не являются правильными. Изучение звездчатых форм Платоновых тел получило большой толчок со стороны HSM Coxeter и других в 1938 году, с ныне знаменитой статьей The 59 icosahedra . ^[91] Анализ Коксетера ознаменовал возрождение интереса к геометрии. Сам Коксетер продолжил перечислять звездные однородные многогранники в первый раз, рассматривать мозаики плоскости как многогранники, открывать правильные косые многогранники и развивать теорию сложных многогранников, впервые открытую Шепардом в 1952 году, а также вносить фундаментальный вклад во многие другие области геометрии. ^[92]

Во второй половине двадцатого века и Бранко Грюнбаум , и Имре Лакатос указали на тенденцию среди математиков определять «многогранник» разными и иногда несовместимыми способами, чтобы удовлетворить потребности момента. ^{[1] [2]} В серии статей Грюнбаум расширил принятое определение многогранника, открыв много новых правильных многогранников . В конце двадцатого века эти последние идеи объединились с другими работами по комплексам инцидентности, чтобы создать современную идею абстрактного многогранника (как абстрактного 3-многогранника), в частности, представленную МакМалленом и Шульте. ^[93]

Многогранники часто появляются в современной вычислительной геометрии , компьютерной графике и геометрическом дизайне , где рассматриваются такие темы, как реконструкция многогранных поверхностей или поверхностных сеток из разбросанных точек данных, ^[94] геодезические на многогранных поверхностях, ^[95] видимость и освещение в многогранных сценах, ^[96] поликубы и другие невыпуклые многогранники со сторонами, параллельными осям, ^[97] алгоритмические формы теоремы Штейница, ^[98] и до сих пор нерешенная проблема существования многогранных сеток для выпуклых многогранников. ^[99]

В природе

О природных проявлениях правильных многогранников см. Правильные многогранники § Правильные многогранники в природе .

Неправильные многогранники встречаются в природе в виде кристаллов .

Смотрите также

• Расширение многогранника
• многогранник Голдберга
• Список книг о многогранниках
• Список выпуклых правильногранных многогранников
• Список малых многогранников по количеству вершин
• Почти промах Джонсона солидный
• Модель многогранника
• Полиэдральная комбинаторика
• Группа полиэдров
• Многогранное число
• Теория полиэдральных скелетных электронных пар
• Многогранное пространство
• Многогранный символ
• Многогранный рельеф
• Модель многогранника
• Диаграмма Шлегеля
• Списки фигур
• Стелла (программное обеспечение)

Примечания

1. Архимедовы тела когда-то имели четырнадцатое тело, известное как псевдоромбокубооктаэдр , ошибочно конструируя ромбокубооктаэдр . Однако оно было исключено из-за отсутствия вершинно-транзитивного свойства, что включило его в тело Джонсона. ^[20]

Ссылки

1. Lakatos, Imre (2015) [1976], Worrall, John; Zahar, Elie (ред.), Доказательства и опровержения: логика математического открытия , Cambridge Philosophy Classics, Кембридж: Cambridge University Press, стр. 16, doi : 10.1017/CBO9781316286425, ISBN 978-1-107-53405-6, MR  3469698, определения часто предлагаются и о них спорят.
2. Grünbaum, Branko (1994), "Многогранники с полыми гранями", в Bisztriczky, Tibor; McMullen, Peter; Schneider, Rolf; Weiss, A. (ред.), Труды Института передовых исследований НАТО по многогранникам: абстрактные, выпуклые и вычислительные , Дордрехт: Kluwer Acad. Publ., стр. 43–70, doi :10.1007/978-94-011-0924-6_3, ISBN 978-94-010-4398-4, МР  1322057; цитату см. на стр. 43.
3. Лёб, Артур Л. (2013), «Многогранники: поверхности или твердые тела?», в Сенечал, Марджори (ред.), Формирование пространства: исследование многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении (2-е изд.), Springer, стр. 65–75, doi :10.1007/978-0-387-92714-5_5, ISBN 978-0-387-92713-8
4. МакКормак, Джозеф П. (1931), Геометрия твердого тела , D. Appleton-Century Company, стр. 416.
5. де Берг, М.; ван Кревельд, М.; Овермарс , М .; Шварцкопф, О. (2000), Вычислительная геометрия: алгоритмы и приложения (2-е изд.), Springer, стр. 64.
6. Матвеев, С.В. (2001) [1994], "Многогранник, абстрактный", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
7. Стюарт, Б.М. (1980), Приключения среди тороидов: исследование ориентируемых многогранников с правильными гранями (2-е изд.), стр. 6.
8. Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55432-9, МР  1458063; определения многогранников см. на стр. 206–209; многогранники с равными правильными гранями см. на стр. 86.
9. О'Рурк, Джозеф (1993), «Вычислительная геометрия на языке C» (PDF) , Компьютеры в физике , 9 (1): 113–116, Bibcode : 1995ComPh...9...55O, doi : 10.1063/1.4823371.
10. Grünbaum, Branko (1999), "Acoptic polyhedras" (PDF) , Advances in discretary and computing geometry (South Hadley, MA, 1996) , Contemporary Mathematics, т. 223, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, стр. 163–199, doi :10.1090/conm/223/03137, ISBN 978-0-8218-0674-6, MR  1661382, заархивировано из оригинала (PDF) 2021-08-30 , извлечено 2022-07-01.
11. Боковски, Дж.; Гедес де Оливейра, А. (2000), «О генерации ориентированных матроидов», Дискретная и вычислительная геометрия , 24 (2–3): 197–208, doi : 10.1007/s004540010027 , MR  1756651.
12. Burgiel, H.; Stanton, D. (2000), "Реализации правильных абстрактных многогранников типов {3,6} и {6,3}", Discrete and Computational Geometry , 24 (2–3): 241–255, doi : 10.1007/s004540010030 , MR  1758047.
13. Grünbaum, Branko (2003), «Ваши многогранники такие же, как мои многогранники?» (PDF) , в Aronov, Boris ; Basu, Saugata; Pach, János ; Sharir, Micha (ред.), Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift , Algorithms and Combinatorics, т. 25, Berlin: Springer, стр. 461–488, CiteSeerX 10.1.1.102.755 , doi :10.1007/978-3-642-55566-4_21, ISBN  978-3-642-62442-1, МР  2038487
14. Грюнбаум, Бранко (2003), Выпуклые многогранники , Тексты для выпускников по математике, том. 221 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. 26, номер домена : 10.1007/978-1-4613-0019-9, ISBN 978-0-387-00424-2, г-н  1976856.
15. Брунс, Винфрид; Губеладзе, Джозеф (2009), «Определение 1.1», Многогранники, кольца и K -теория , Монографии Springer по математике, Дордрехт: Springer, стр. 5, CiteSeerX 10.1.1.693.2630 , doi : 10.1007/b105283, ISBN  978-0-387-76355-2, МР  2508056.
16. Буассонна, Дж. Д.; Ивинек, М. (июнь 1989 г.), Исследование сцены невыпуклых многогранников , Труды пятого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии, стр. 237–246, doi : 10.1145/73833.73860.
17. Литченберг, DR (1988), «Пирамиды, призмы, антипризмы и дельтаэдры», Учитель математики , 81 (4): 261–265, JSTOR  27965792.
18. Керн, Уильям Ф.; Блэнд, Джеймс Р. (1938), Solid Messuration с доказательствами, стр. 75.
19. Кромвель (1997), стр. 51–52.
20. Грюнбаум, Бранко (2009), «Непреходящая ошибка» (PDF) , Elemente der Mathematik , 64 (3): 89–101, doi : 10.4171/EM/120 , MR  2520469. Перепечатано в Pitici, Mircea, ed. (2011), The Best Writing on Mathematics 2010 , Princeton University Press, стр. 18–31.
21. Диудеа, МВ (2018), Многослойные полиэдральные кластеры, Springer , стр. 39, doi : 10.1007/978-3-319-64123-2, ISBN 978-3-319-64123-2.
22. Канди, Х. Мартин (1952), «Дельтаэдры», Mathematical Gazette , 36 : 263–266, doi : 10.2307/3608204, JSTOR  3608204.
23. Берман, Мартин (1971), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Журнал Института Франклина , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
24. Хартшорн (2000), стр. 464.
25. Тимофеенко, А.В. (2010), «Соединение несоставных многогранников» (PDF) , Санкт-Петербургский математический журнал , 21 (3): 483–512, doi :10.1090/S1061-0022-10-01105-2.
26. Шрамм, Одед (1992-12-01), «Как поместить яйцо в клетку», Inventiones Mathematicae , 107 (1): 543–560, Bibcode : 1992InMat.107..543S, doi : 10.1007/BF01231901, ISSN  1432- 1297.
27. Bridge, NJ (1974), «Огранка додекаэдра», Acta Crystallographica , A30 (4): 548–552, Bibcode : 1974AcCrA..30..548B, doi : 10.1107/S0567739474001306.
28. Инчбальд, Г. (2006), «Огранка диаграмм», The Mathematical Gazette , 90 (518): 253–261, doi :10.1017/S0025557200179653, S2CID  233358800.
29. Пирс, Чарльз С. (1976), Эйзеле, Кэролин (ред.), Новые элементы математики, том II: Алгебра и геометрия, Mouton Publishers & Humanities Press, стр. 297, ISBN 9783110818840
30. О'Киф, Майкл; Хайд, Брюс Г. (2020) [1996], Кристаллические структуры: узоры и симметрия, Dover Publications, стр. 134, ISBN 9780486836546
31. Рингель, Герхард (1974), «Классификация поверхностей», Теорема о цвете карт , Springer, стр. 34–53, doi :10.1007/978-3-642-65759-7_3, ISBN 978-3-642-65761-0
32. Ричесон, Дэвид С. (2008), Драгоценный камень Эйлера: Формула многогранника и рождение топологии , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12677-7, г-н  2440945, стр. 157, 180.
33. Стюарт, Б. М. (1980), Приключения среди тороидов: исследование ориентируемых многогранников с правильными гранями (2-е изд.), Б. М. Стюарт, ISBN 978-0-686-11936-4.
34. Канди, Х. Мартин ; Роллетт, А.П. (1961), «3.2 Двойственность», Математические модели (2-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, стр. 78–79, MR  0124167.
35. Грюнбаум, Б .; Шепард, GC (1969), "Выпуклые многогранники" (PDF) , Бюллетень Лондонского математического общества , 1 (3): 257–300, doi :10.1112/blms/1.3.257, MR  0250188, архивировано из оригинала (PDF) 22.02.2017 , извлечено 21.02.2017. См. в частности нижнюю часть страницы 260.
36. Коксетер, HSM (1947), Правильные многогранники , Метуэн, стр. 16
37. Барнетт, Дэвид (1973), «Доказательство гипотезы о нижней границе для выпуклых многогранников», Pacific Journal of Mathematics , 46 (2): 349–354, doi : 10.2140/pjm.1973.46.349 , MR  0328773
38. Luotoniemi, Taneli (2017), «Кривые дома: Визуализация полихоры с помощью гиперболического лоскутного одеяла», в Swart, David; Séquin, Carlo H.; Fenyvesi, Kristóf (ред.), Proceedings of Bridges 2017: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture , Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, стр. 17–24, ISBN 978-1-938664-22-9
39. Coxeter, HSM (январь 1930 г.), «Многогранники с правильными призматическими вершинными фигурами», Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A , 229 (670–680), The Royal Society: 329–425, Bibcode : 1930RSPTA.229..329C, doi : 10.1098/rsta.1930.0009
40. Хартшорн, Робин (2000), «Пример 44.2.3, «врезанный икосаэдр»", Геометрия: Евклид и далее , Тексты для бакалавров по математике, Springer-Verlag, Нью-Йорк, стр. 442, doi :10.1007/978-0-387-22676-7, ISBN 0-387-98650-2, МР  1761093
41. Голдман, Рональд Н. (1991), «Глава IV.1: Площадь плоских многоугольников и объем многогранников», в Arvo, James (ред.), Graphic Gems Package: Graphics Gems II , Academic Press, стр. 170–171
42. Бюлер, Б.; Энге, А.; Фукуда, К. (2000), «Точное вычисление объема для многогранников: практическое исследование», Многогранники — комбинаторика и вычисления , стр. 131–154, CiteSeerX 10.1.1.39.7700 , doi :10.1007/978-3-0348-8438-9_6, ISBN  978-3-7643-6351-2
43. Сидлер, Ж.-П. (1965), «Необходимые и достаточные условия для эквивалентности многогранников евклидового пространства в трех измерениях», Комментарий. Математика. Хелв. (на французском языке), 40 : 43–80, doi : 10.1007/bf02564364, MR  0192407, S2CID  123317371
44. Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Инвариант Дена», Энциклопедия математики , EMS Press
45. Дебруннер, Ханс Э. (1980), "Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln", Archiv der Mathematik (на немецком языке), 35 (6): 583–587, doi : 10.1007/BF01235384, MR  0604258, S2CID  121301319.
46. Александров, Виктор (2010), «Инварианты Дена октаэдров Брикара», Журнал геометрии , 99 (1–2): 1–13, arXiv : 0901.2989 , CiteSeerX 10.1.1.243.7674 , doi : 10.1007/s00022-011-0061-7, MR  2823098, S2CID  17515249 .
47. Тейлор, Джин Э. (1992), «Зоноэдры и обобщенные зоноэдры», American Mathematical Monthly , 99 (2): 108–111, doi :10.2307/2324178, JSTOR  2324178, MR  1144350.
48. Стэнли, Ричард П. (1997), Перечислительная комбинаторика, том I (1-е изд.), Cambridge University Press, стр. 235–239, ISBN 978-0-521-66351-9
49. Кокс, Дэвид А. (2011), Торические многообразия , Джон Б. Литтл, Генри К. Шенк, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4819-7, OCLC  698027255
50. Стэнли, Ричард П. (1996), Комбинаторика и коммутативная алгебра (2-е изд.), Бостон: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3836-9, OCLC  33080168
51. Демейн, Эрик Д .; О'Рурк, Джозеф (2007), "23.2 Гибкие многогранники", Геометрические алгоритмы складывания: связи, оригами, многогранники , Cambridge University Press, Кембридж, стр. 345–348, doi :10.1017/CBO9780511735172, ISBN 978-0-521-85757-4, г-н  2354878.
52. О'Рурк, Джозеф (2008), «Развертывание ортогональных многогранников», Обзоры дискретной и вычислительной геометрии , Contemp. Math., т. 453, Amer. Math. Soc., Providence, RI, стр. 307–317, doi : 10.1090/conm/453/08805 , ISBN 978-0-8218-4239-3, МР  2405687.
53. Гарднер, Мартин (ноябрь 1966 г.), «Математические игры: возможно ли визуализировать четырехмерную фигуру?», Scientific American , 215 (5): 138–143, doi :10.1038/scientificamerican1166-138, JSTOR  24931332
54. Коксетер, HSM (1974), Правильные комплексные многогранники , Кембридж: Cambridge University Press, MR  0370328. ^{[ нужна страница ]}
55. Попко, Эдвард С. (2012), Разделенные сферы: геодезические и упорядоченное подразделение сферы, CRC Press, стр. 463, ISBN 978-1-4665-0430-1, Осоэдр возможен только на сфере.
56. Крайник, AM; Рейнелт, DA (2007), «Пены, микрореология», в Мортенсен, Андреас (ред.), Краткая энциклопедия композитных материалов (2-е изд.), Elsevier, стр. 402–407. См., в частности, стр. 403: «пены состоят из многогранных газовых пузырьков... каждая грань многогранника представляет собой минимальную поверхность с равномерной средней кривизной... ни одна грань не может быть плоским многоугольником с прямыми краями».
57. Пирс, П. (1978), «14 Седловые многогранники и непрерывные поверхности как структуры окружающей среды», Структура в природе — стратегия дизайна, MIT Press, стр. 224, ISBN 978-0-262-66045-7.
58. Coxeter, HSM (1985), «Специальный обзор книги: М. К. Эшер: Его жизнь и полное графическое произведение», The Mathematical Intelligencer , 7 (1): 59–69, doi : 10.1007/BF03023010, S2CID  189887063Анализ « Звезд» Коксетера находится на стр. 61–62.
59. Гретшель, Мартин ; Ловас, Ласло ; Шрийвер, Александр (1993), Геометрические алгоритмы и комбинаторная оптимизация, Алгоритмы и комбинаторика, том. 2 (2-е изд.), Springer-Verlag, Берлин, номер документа : 10.1007/978-3-642-78240-4, ISBN 978-3-642-78242-8, г-н  1261419
60. NW Johnson : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.1 Многогранники и соты , стр.224 
61. Kitchen, KA (октябрь 1991 г.), «Хронология Древнего Египта», World Archaeology , 23 (2): 201–208, doi :10.1080/00438243.1991.9980172
62. Ганн, Баттискомб; Пит, Т. Эрик (май 1929), «Четыре геометрические задачи из Московского математического папируса», Журнал египетской археологии , 15 (1): 167–185, doi :10.1177/030751332901500130, S2CID  192278129
63. Фриберг, Йоран (2000), «Математика в Уре в старовавилонский период», Revue d'Assyriologie et d'archéologie orientale , 94 (2): 97–188, JSTOR  23281940
64. Спаравинья, Амелия Каролина (2012), Этрусский додекаэдр , arXiv : 1205.0706
65. Ивс, Говард (январь 1969 г.), «Геометрическая капсула, касающаяся пяти платоновых тел», Historically Speaking, The Mathematics Teacher , 62 (1): 42–44, doi :10.5951/mt.62.1.0042, JSTOR  27958041
66. Field, JV (1997), «Повторное открытие архимедовых многогранников: Пьеро делла Франческа, Лука Пачоли, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Даниэле Барбаро и Иоганн Кеплер», Архив истории точных наук , 50 (3–4): 241–289, doi :10.1007/BF00374595, JSTOR  41134110, MR  1457069, S2CID  118516740
67. Бреар, Андреа ; Кук, Констанс А. (декабрь 2019 г.), «Разгадывая кости и числа: разгадывая загадку числовых последовательностей на древних китайских артефактах», Архив истории точных наук , 74 (4): 313–343, doi :10.1007/s00407-019-00245-9, S2CID  253898304
68. Ван дер Варден, BL (1983), «Глава 7: Лю Хуэй и Арьябхата», Геометрия и алгебра в древних цивилизациях , Springer, стр. 192–217, doi :10.1007/978-3-642-61779-9_7
69. Кнорр, Уилбур (1983), «О передаче геометрии с греческого на арабский», Historia Mathematica , 10 (1): 71–78, doi : 10.1016/0315-0860(83)90034-4 , MR  0698139
70. Рашед, Рошди (2009), «Табит ибн Курра и l'art de la mesure», в Рашед, Рошди (ред.), Табит ибн Курра: Наука и философия в Багдаде девятого века , Scientia Graeco-Arabica (на французском языке) ), т. 4, Вальтер де Грюйтер, стр. 173–175, ISBN. 9783110220780
71. Хисарлигил, Хакан; Хисарлигил, Бейхан Болак (декабрь 2017 г.), «Геометрия кубооктаэдров в средневековом искусстве Анатолии», Nexus Network Journal , 20 (1): 125–152, doi : 10.1007/s00004-017-0363-7
72. Гамба, Энрико (2012), «Математические идеи Луки Пачоли, изображенные Якопо де Барбари в ритратто Доппио », в Эммер, Микеле (редактор), Imagine Math , Springer, стр. 267–271, doi : 10.1007 /978-88-470-2427-4_25, ISBN 978-88-470-2427-4
73. Andrews, Noam (2022), Полиэдры: искусство и геометрия в долгом шестнадцатом веке , MIT Press, ISBN 9780262046640
74. Кальво-Лопес, Хосе; Алонсо-Родригес, Мигель Анхель (февраль 2010 г.), «Перспектива против стереотипии: от многогранных колец кватроченто до испанских торических сводов шестнадцатого века», Nexus Network Journal , 12 (1): 75–111, doi : 10.1007/s00004-010- 0018-4
75. Field, JV (1997), «Повторное открытие архимедовых многогранников: Пьеро делла Франческа, Лука Пачоли, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Даниэле Барбаро и Иоганн Кеплер», Архив истории точных наук , 50 (3–4): 241–289, doi :10.1007/BF00374595, JSTOR  41134110, MR  1457069, S2CID  118516740
76. Монтебелли, Вико (2015), «Лука Пачоли и перспектива (часть I)», Lettera Matematica , 3 (3): 135–141, doi : 10.1007/s40329-015-0090-4, MR  3402538, S2CID  193533200
77. Гоми, Мохаммад (2018), «Проблема развёртывания Дюрера для выпуклых многогранников» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 65 (1): 25–27, doi :10.1090/noti1609, MR  3726673
78. Saffaro, Lucio (1992), «Космоиды, фуллерены и непрерывные многоугольники», в Taliani, C.; Ruani, G.; Zamboni, R. (ред.), Фуллерены: статус и перспективы, Труды 1-го итальянского семинара, Болонья, Италия, 6–7 февраля , Сингапур: World Scientific, стр. 55–64
79. Field, JV (1979), "Звездные многогранники Кеплера", Vistas in Astronomy , 23 (2): 109–141, Bibcode : 1979VA.....23..109F, doi : 10.1016/0083-6656(79)90001-1, MR  0546797
80. Фридман, Майкл (2018), История складывания в математике: математизация полей , Science Networks. Исторические исследования, т. 59, Биркхойзер, стр. 71, doi : 10.1007/978-3-319-72487-4, ISBN 978-3-319-72486-7
81. Федерико, Паскуале Жозеф (1982), Декарт о многогранниках: исследование "De solidorum elementis" , Источники по истории математики и физических наук, т. 4, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90760-2, МР  0680214
82. Франчезе, Кристофер; Ричесон, Дэвид (2007), «Недостаток доказательства Эйлером его многогранной формулы», The American Mathematical Monthly , 114 (4): 286–296, doi :10.1080/00029890.2007.11920417, MR  2281926, S2CID  10023787
83. Александерсон, Джеральд Л. (2006), «Об обложке: мосты Эйлера и Кёнигсберга: исторический взгляд», Американское математическое общество , Новая серия, 43 (4): 567–573, doi : 10.1090/S0273-0979-06-01130-X , MR  2247921
84. Экман, Бено (2006), «Характеристика Эйлера – несколько основных моментов в ее долгой истории», Mathematical Survey Lectures 1943–2004 , Springer, стр. 177–188, doi :10.1007/978-3-540-33791-1_15, ISBN 978-3-540-33791-1, г-н  2269092
85. Грюнбаум, Бранко (1994), «Правильные многогранники», в Grattan-Guinness, I. (ред.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences , т. 2, Routledge, стр. 866–876, ISBN 0-415-03785-9, г-н  1469978
86. Malkevitch, Joseph (2018), «Правильные многогранники: вспоминая Нормана Джонсона», колонка AMS Feature , Американское математическое общество , получено 27.05.2023
87. Коксетер (1947), стр. 141–143.
88. Остин, Дэвид (ноябрь 2013 г.), «Пять параллелоэдров Федорова», AMS Feature Column , Американское математическое общество
89. Zeeman, EC (июль 2002), «О третьей проблеме Гильберта», The Mathematical Gazette , 86 (506): 241–247, doi :10.2307/3621846, JSTOR  3621846, S2CID  125593771
90. Грюнбаум, Бранко (2007), «Графы многогранников; многогранники как графы», Дискретная математика , 307 (3–5): 445–463, doi :10.1016/j.disc.2005.09.037, hdl : 1773/2276 , MR  2287486
91. Коксетер, Х. С. М .; Дю Валь, П.; Флатер, Х. Т.; Петри, Дж. Ф. (1999) [1938], Пятьдесят девять икосаэдров , Tarquin Publications, ISBN 978-1-899618-32-3, МР  0676126.
92. Робертс, Сиобхан (2009), Король бесконечного пространства: Дональд Коксетер, человек, который спас геометрию , Bloomsbury Publishing, ISBN 9780802718327
93. МакМаллен, Питер ; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 92, Cambridge University Press
94. Лим, Сенг По; Харон, Хабиболла (март 2012 г.), «Методы реконструкции поверхности: обзор», Artificial Intelligence Review , 42 (1): 59–78, doi :10.1007/s10462-012-9329-z, S2CID  254232891
95. Митчелл, Джозеф СБ ; Маунт, Дэвид М .; Пападимитриу, Христос Х. (1987), «Дискретная геодезическая задача», SIAM Journal on Computing , 16 (4): 647–668, doi :10.1137/0216045, MR  0899694
96. Теллер, Сет Дж .; Ханрахан, Пэт (1993), «Алгоритмы глобальной видимости для вычислений освещения», в Whitton, Mary C. (ред.), Труды 20-й ежегодной конференции по компьютерной графике и интерактивным технологиям, SIGGRAPH 1993, Анахайм, Калифорния, США, 2–6 августа 1993 г. , Ассоциация вычислительной техники, стр. 239–246, doi :10.1145/166117.166148, ISBN 0-89791-601-8, S2CID  7957200
97. Черчи, Джанмарко (февраль 2019 г.), Оптимизация и приложения Polycube: от цифрового мира к производству (докторская диссертация), Университет Кальяри, hdl :11584/261570
98. Rote, Günter (2011), «Реализация планарных графов как выпуклых многогранников», в van Kreveld, Marc J.; Speckmann, Bettina (ред.), Graph Drawing – 19th International Symposium, GD 2011, Eindhoven, The Netherlands, September 21–23, 2011, Revised Selected Papers , Lecture Notes in Computer Science, vol. 7034, Springer, pp. 238–241, doi : 10.1007/978-3-642-25878-7_23 , ISBN 978-3-642-25877-0
99. Демейн, Эрик ; О'Рурк, Джозеф (2007), Геометрические алгоритмы складывания: связи, оригами, многогранники , Cambridge University Press

Внешние ссылки

Общая теория

• Вайсштейн, Эрик В. , «Многогранник», MathWorld
• Страницы многогранников
• Единообразное решение для однородных многогранников, автор — д-р Цви Хар'Эл. Архивировано 27.11.2015 на Wayback Machine.
• Симметрия, кристаллы и многогранники

Списки и базы данных многогранников

• Многогранники виртуальной реальности – Энциклопедия многогранников.
• Электронные геометрические модели – Содержит рецензированную подборку многогранников с необычными свойствами.
• Модели многогранников – Виртуальные многогранники.
• Бумажные модели однородных (и других) многогранников
• Polyhedra Viewer – веб-инструмент для визуализации взаимосвязей между выпуклыми правильногранными многогранниками.

Бесплатное программное обеспечение

• A Plethora of Polyhedra – Интерактивная и бесплатная коллекция многогранников на Java. Функции включают развертки, плоские сечения, дуальные, усечения и звёздчатые формы более 300 многогранников.
• Hyperspace Star Polytope Slicer – Java-апплет Explorer, включающий в себя множество опций 3D-просмотра.
• openSCAD – Бесплатное кроссплатформенное ПО для программистов. Многогранники – это лишь одна из вещей, которые вы можете моделировать. Также доступно руководство пользователя openSCAD.
• OpenVolumeMesh – кроссплатформенная библиотека C++ с открытым исходным кодом для обработки многогранных сеток. Разработана Aachen Computer Graphics Group, RWTH Aachen University.
• Polyhedronisme Архивировано 2012-04-25 в Wayback Machine – Веб-инструмент для создания моделей многогранников с использованием Conway Polyhedron Notation . Модели можно экспортировать как 2D-изображения PNG или как 3D-файлы OBJ или VRML2. 3D-файлы можно открыть в программном обеспечении CAD или загрузить для 3D-печати на такие сервисы, как Shapeways.

Ресурсы для создания физических моделей

• Бумажные модели многогранников. Свободные развёртки многогранников.
• Простые инструкции по созданию более 30 бумажных многогранников
• Многогранники, сплетенные из бумажных полосок – Модели многогранников, построенные без использования клея.
• Внедрение многогранника — интерактивное отображение, развертки и данные 3D-принтера для всех комбинаторных типов многогранников с числом вершин до девяти.