Тор

Поверхность вращения в форме пончика

Кольцевой тор с набором окружностей на поверхности.

По мере уменьшения расстояния от оси вращения кольцевой тор становится роговым, затем веретенообразным и, наконец, вырождается в двупокрытую сферу .

Кольцевой тор с соотношением сторон 3, соотношением диаметров большего (пурпурного) круга и меньшего (красного) круга.

В геометрии тор ( мн.ч.: торы или торы ) — это поверхность вращения , образованная вращением круга в трехмерном пространстве на один полный оборот вокруг оси, копланарной с кругом. К основным типам торов относятся кольцевые торы, роговые торы и веретенообразные торы. Кольцевой тор иногда в просторечии называют бубликом или бубликом .

Если ось вращения не касается круга, поверхность имеет форму кольца и называется тором вращения , также известным как кольцевой тор . Если ось вращения касается окружности , поверхность представляет собой роговой тор . Если ось вращения дважды проходит через круг, поверхность представляет собой веретенообразный тор (или самопересекающийся тор , или самопересекающийся тор ). Если ось вращения проходит через центр круга, поверхность представляет собой вырожденный тор, дважды покрытую сферу . Если вращающаяся кривая не является кругом, поверхность называется тороидом , как и квадратный тороид.

Реальные объекты, которые приближаются к тору вращения, включают плавательные кольца , внутренние трубки и кольца-кольца .

Тор не следует путать с полнотелым тором , который образуется в результате вращения вокруг оси диска , а не круга. Полнотелый тор — это тор плюс объем внутри тора. Реальные объекты, которые приближаются к твердотельному тору, включают уплотнительные кольца , ненадувные спасательные круги , кольцевые пончики и бублики .

В топологии кольцевой тор гомеоморфен декартову произведению двух окружностей : , и последнее считается определением в этом контексте. Это компактное 2-многообразие рода 1. Кольцевой тор — это один из способов вложить это пространство в евклидово пространство , но другой способ сделать это — декартово произведение вложения в плоскость в самого себя. В результате получается геометрический объект, называемый тором Клиффорда , поверхность в 4-мерном пространстве . ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

В области топологии тор — это любое топологическое пространство, гомеоморфное тору. ^[1] Поверхность кофейной чашки и пончика являются топологическими торами рода один.

Пример тора можно построить, взяв прямоугольную полосу гибкого материала, например резины, и соединив верхний край с нижним краем, а левый край с правым, без каких-либо полуповоротов (сравните бутылку Клейна ).

Этимология

Torus — латинское слово, означающее «круглый, вздутый, возвышенный, выпуклый».

Геометрия

Нижние половины и
вертикальные сечения

Полоидальное направление (красная стрелка) и тороидальное направление (синяя стрелка)

Тор можно параметризовать как: ^[2]

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \\\end{aligned}}}$$

с использованием угловых координат, представляющих вращение вокруг трубки и вращение вокруг оси вращения тора соответственно, где большой радиус — это расстояние от центра трубки до центра тора, а меньший радиус — это радиус трубки. ^[3] ${\displaystyle \theta ,\varphi \in [0,2\pi ),}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$

Это соотношение называется соотношением сторон тора. Типичные кондитерские пончики имеют соотношение сторон примерно 3 к 2. ${\displaystyle R/r}$

Неявное уравнение в декартовых координатах для тора, радиально симметричного относительно оси - : ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\textstyle {\bigl (}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R{\bigr )}^{2}}+z^{2}=r^{2}.}$$

Алгебраическое исключение квадратного корня дает уравнение четвертой степени :

$${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).}$$

Три класса стандартных торов соответствуют трем возможным соотношениям сторон между R и r :

• Когда R > r , поверхность будет представлять собой знакомый кольцевой тор или якорное кольцо.
• R = r соответствует рупорному тору, который по сути представляет собой тор без «дырки».
• R < r описывает самопересекающийся веретенообразный тор; его внутренняя оболочка — лимон , а внешняя — яблоко.
• Когда R = 0 , тор вырождается в сферу.

Когда R ≥ r , внутренняя часть

$${\displaystyle {\textstyle {\bigl (}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R{\bigr )}^{2}}+z^{2}<r^{2}}$$

диффеоморфеневклидовадискаплощадь поверхности его торатеоремы Паппа о центроиде^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr,\\[5mu]V&=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)=2\pi ^{2}Rr^{2}.\end{aligned}}}$$

Эти формулы те же, что и для цилиндра длиной 2π R и радиуса r , полученного в результате разрезания трубки по плоскости малого круга и разворачивания его путем выпрямления (выпрямления) линии, проходящей вокруг центра трубки. Потери площади поверхности и объема на внутренней стороне трубки в точности сводят на нет выигрыш на внешней стороне.

Выражая площадь поверхности и объем расстоянием p от крайней точки поверхности тора до центра и расстоянием q от самой внутренней точки до центра (так что R =п + д/2и р =п - q/2), дает

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=4\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)=\pi ^{2}(p+q)(p-q),\\[5mu]V&=2\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)^{2}={\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}(p+q)(p-q)^{2}.\end{aligned}}}$$

Поскольку тор представляет собой произведение двух окружностей, иногда используется модифицированная версия сферической системы координат . В традиционных сферических координатах есть три меры: R — расстояние от центра системы координат, а также θ и φ — углы, измеренные от центральной точки.

Поскольку тор фактически имеет две центральные точки, центры углов перемещаются; φ измеряет тот же угол, что и в сферической системе, но известен как «тороидальное» направление. Центральная точка θ перемещается в центр r и называется «полоидальным» направлением. Эти термины были впервые использованы при обсуждении магнитного поля Земли, где слово «полоидальное» использовалось для обозначения «направления к полюсам». ^[5]

В современном использовании тороидальные и полоидальные чаще используются для описания термоядерных устройств с магнитным удержанием .

Топология

Топологически тор — это замкнутая поверхность , ^{определяемая} как произведение двух окружностей : S1  ×  S1 ^. Его можно рассматривать как лежащее в C 2 и являющееся подмножеством 3-сферы S ³ радиуса √2. Этот топологический тор также часто называют тором Клиффорда . Фактически, S3 заполняется таким образом семейством вложенных торов (с двумя вырожденными окружностями), что важно при изучении ^S3 как ^{расслоения} над S2 ( ^{расслоение} Хопфа ) .

Описанная выше поверхность при относительной топологии из гомеоморфна топологическому тору до тех пор, пока она не пересекает собственную ось . Особый гомеоморфизм задается стереографическим проецированием топологического тора с северного полюса S ³ . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Тор можно также описать как фактор декартовой плоскости при отождествлениях

${\displaystyle (x,y)\sim (x+1,y)\sim (x,y+1),\,}$

или, что то же самое, как частное единичного квадрата путем склеивания противоположных ребер вместе, описываемое как фундаментальный многоугольник ABA ^-1 B ^-1 .

Выворачивание проколотого тора наизнанку

Фундаментальная группа тора является прямым произведением фундаментальной группы окружности на саму себя:

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})=\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\times \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

Интуитивно говоря, это означает, что замкнутый путь , который огибает «отверстие» тора (скажем, круг, очерчивающий определенную широту), а затем огибает «тело» тора (скажем, круг, очерчивающий определенную долготу) можно деформировать до траектории, огибающей тело, а затем отверстие. Таким образом, коммутируют строго «широтные» и строго «продольные» пути. Эквивалентное утверждение можно представить себе как два шнурка, проходящие друг через друга, затем разматывающиеся и затем перематывающиеся.

Если тор проколоть и вывернуть наизнанку, получится другой тор, в котором линии широты и долготы поменяются местами. Это эквивалентно построению тора из цилиндра путем соединения круглых концов вместе двумя способами: снаружи, как соединение двух концов садового шланга, или внутри, как скатывание носка (с отрезанным пальцем). Кроме того, если цилиндр был сделан путем склеивания двух противоположных сторон прямоугольника, выбор двух других сторон приведет к такому же изменению ориентации.

Первая группа гомологий тора изоморфна фундаментальной группе (это следует из теоремы Гуревича, поскольку фундаментальная группа абелева ).

Двухлистовая обложка

2-тор дважды покрывает 2-сферу с четырьмя точками ветвления . Любую конформную структуру на 2-торе можно представить как двулистное покрытие 2-сферы. Точки на торе, соответствующие точкам ветвления, являются точками Вейерштрасса . Фактически конформный тип тора определяется перекрестным отношением четырех точек.

n -мерный тор

Стереографическая проекция тора Клиффорда в четырех измерениях, совершающая простое вращение через плоскость xz .

Тор имеет обобщение на более высокие размерности,n-мерный тор , часто называемый n -торомилисокращенногипертором(Это более типичное значение термина «n-тор», другое относится кnдыркам или родуn.^[6]). Вспоминая, что тор — это пространство произведения двух кругов,n-мерный тор — это произведениеnкругов. То есть:

${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{n}.}$

Стандартный 1-тор — это просто круг: . Обсуждаемый выше тор является стандартным 2-тором . И, как и 2-тор, n -тор можно описать как частное неполного сдвига по любой координате. То есть n -тор является по модулю действия целочисленной решетки (при этом действие рассматривается как сложение векторов). Эквивалентно, n -тор получается из n -мерного гиперкуба путем склеивания противоположных граней. ${\displaystyle \mathbb {T} ^{1}=\mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

n - тор в этом смысле является примером n- мерного компактного многообразия . Это также пример компактной абелевой группы Ли . Это следует из того, что единичная окружность является компактной абелевой группой Ли (при отождествлении с единичными комплексными числами с умножением). Групповое умножение на торе тогда определяется умножением по координатам.

Тороидальные группы играют важную роль в теории компактных групп Ли . Частично это связано с тем, что в любой компактной группе Ли G всегда можно найти максимальный тор ; то есть замкнутая подгруппа , представляющая собой тор максимально возможной размерности. Такие максимальные торы T играют контролирующую роль в теории связного G . Тороидальные группы являются примерами проторов , которые (как и торы) являются компактными связными абелевыми группами, которые не обязательно должны быть многообразиями .

Автоморфизмы T легко строятся из автоморфизмов решетки , которые классифицируются обратимыми целочисленными матрицами размера n с целым обратным ; это просто целочисленные матрицы с определителем ±1. Если заставить их действовать обычным образом, то получим типичный торический автоморфизм фактора. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Фундаментальная группа n - тора — это свободная абелева группа ранга n . k -я группа гомологий n - тора является свободной абелевой группой ранга n , выбираем k . Отсюда следует, что эйлерова характеристика n - тора равна 0 для всех n . Кольцо когомологий H ^• ( ,  Z ) можно отождествить с внешней алгеброй над Z -модулем , генераторами которого являются двойственные n нетривиальным циклам. ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Конфигурационное пространство

^{Конфигурационное пространство двух не} обязательно различных точек на окружности представляет собой орбифолдный фактор 2-тора T2 / S2 , который является _лентой Мёбиуса .

Тоннец — пример тора в теории музыки .
Тоннец действительно является тором только в том случае, если предполагается энгармоническая эквивалентность , так что сегмент (F ♯-A ♯) правого края повторяющегося параллелограмма отождествляется с сегментом (G ♭-B ♭) левого края.

Поскольку n -тор представляет собой n -кратное произведение окружности, n -тор представляет собой конфигурационное пространство из n упорядоченных, не обязательно различных точек на окружности. Символически, . Конфигурационное пространство неупорядоченных , не обязательно различных точек, соответственно, является орбифолдом , который является фактором тора по симметричной группе на n буквах (путем перестановки координат). ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=(\mathbb {S} ^{1})^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}/\mathbb {S} _{n}}$

Для n = 2 фактором является полоса Мёбиуса , ребро, соответствующее точкам орбифолда, в которых две координаты совпадают. Для n = 3 это частное можно описать как полноторие с поперечным сечением равностороннего треугольника с закруткой ; эквивалентно, как треугольная призма , верхняя и нижняя грани которой соединены с поворотом на 1/3 (120 °): трехмерная внутренняя часть соответствует точкам на трехмерном торе, где все три координаты различны, двухмерная грань соответствует точкам, у которых 2 координаты равны, а 3-я отличается, а одномерное ребро соответствует точкам, у которых все 3 координаты одинаковы.

Эти орбифолды нашли существенное применение в теории музыки в работах Дмитрия Тимочко и его соавторов (Фелипе Посада, Майкл Колинас и др.), Использовавшись для моделирования музыкальных триад . ^{[7] [8]}

Плоский тор

В трех измерениях можно согнуть прямоугольник в тор, но при этом поверхность обычно растягивается, о чем свидетельствует искажение клетчатого узора.

Если смотреть в стереографической проекции , то четырехмерный плоский тор можно проецировать в трехмерном пространстве и вращать вокруг фиксированной оси.

Простейшей мозаикой плоского тора является {4,4} _1,0 , построенная на поверхности дуоцилиндра с 1 вершиной, 2 ортогональными ребрами и одной квадратной гранью. Здесь он стереографически проецируется в трехмерное пространство в виде тора.

Плоский тор — это тор, метрика которого унаследована от его представления в виде фактора / L , где L — дискретная подгруппа, изоморфная . Это придает фактору структуру риманова многообразия . Возможно, самым простым примером этого является случай, когда L = : , который также можно описать как декартову плоскость при отождествлениях ( x , y ) ~ ( x + 1, y ) ~ ( x , y + 1) . Этот конкретный плоский тор (и любая его версия с равномерным масштабом) известен как «квадратный» плоский тор. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$

Эта метрика квадратного плоского тора также может быть реализована путем конкретных вложений знакомого 2-тора в евклидово 4-мерное пространство или более высокие измерения. Его поверхность всюду имеет нулевую гауссову кривизну . Его поверхность плоская в том же смысле, в каком плоская поверхность цилиндра. В трехмерном пространстве плоский лист бумаги можно согнуть в цилиндр, не растягивая бумагу, но этот цилиндр нельзя согнуть в тор, не растягивая бумагу (если не отказаться от некоторых условий регулярности и дифференцируемости, см. ниже).

Простое 4-мерное евклидово вложение прямоугольного плоского тора (более общего, чем квадратный) выглядит следующим образом:

${\displaystyle (x,y,z,w)=(R\cos u,R\sin u,P\cos v,P\sin v)}$

где R и P — положительные константы, определяющие соотношение сторон. Он диффеоморфен регулярному тору, но не изометричен . Его нельзя аналитически вложить ( гладкое класса Ck ^, 2 ≤ k ≤ ∞ ) в евклидово 3-пространство. Для отображения его в трехмерном пространстве необходимо его растянуть, и в этом случае он будет выглядеть как обычный тор. Например, на следующей карте:

${\displaystyle (x,y,z)=((R+P\sin v)\cos u,(R+P\sin v)\sin u,P\cos v).}$

Если R и P в приведенной выше параметризации плоского тора образуют единичный вектор ( R , P ) = (cos( ​​η ), sin( η )) тогда u , v и 0 < η < π /2 параметризуют единичную 3-сферу. как координаты Хопфа . В частности, для некоторых очень конкретных вариантов выбора квадратного плоского тора в 3-сфере S ³ , где η = π /4 выше, тор разделит 3-сферу на два конгруэнтных подмножества полноторий с вышеупомянутой плоской поверхностью тора как их общая граница . Одним из примеров является тор T , определяемый формулой

${\displaystyle T=\left\{(x,y,z,w)\in \mathbb {S} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}},\ z^{2}+w^{2}={\frac {1}{2}}\right\}.}$

Другие торы в S3 ^, обладающие этим свойством разделения, включают квадратные торы формы Q ⋅ T , где Q — вращение 4-мерного пространства , или, другими словами, Q — член группы Ли SO(4). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Известно, что не существует C ² (дважды непрерывно дифференцируемого) вложения плоского тора в 3-пространство. (Идея доказательства состоит в том, чтобы взять большую сферу, содержащую такой плоский тор внутри, и уменьшить радиус сферы до тех пор, пока она впервые не коснется тора. Такая точка контакта должна быть точкой касания. Но это означало бы, что часть тора, поскольку она всюду имеет нулевую кривизну, должна лежать строго вне сферы, что является противоречием.) С другой стороны, согласно теореме Нэша -Койпера , доказанной в 1950-х годах, изометрическое вложение C ¹ существует. Это исключительно доказательство существования и не дает явных уравнений для такого вложения.

В апреле 2012 года было найдено явное C ¹ (непрерывно дифференцируемое) вложение плоского тора в трёхмерное евклидово пространство . ^{[9] [10] [11] [12]} Это плоский тор в том смысле, что, как метрические пространства, он изометричен плоскому квадратному тору. По структуре он похож на фрактал , поскольку создается путем многократного гофрирования обычного тора. Как и фракталы, он не имеет определенной гауссовой кривизны. Однако, в отличие от фракталов, он имеет определенные нормали к поверхности , что дает так называемый «гладкий фрактал». Ключом к достижению гладкости этого гофрированного тора является то, чтобы амплитуды последовательных гофров уменьшались быстрее, чем их «длины волн». ^[13] (Эти бесконечно рекурсивные гофры используются только для встраивания в три измерения; они не являются внутренней особенностью плоского тора.) Это первый случай, когда любое такое вложение было определено явными уравнениями или изображено с помощью компьютерной графики. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Конформная классификация плоских торов

При изучении римановых поверхностей говорят, что любые две гладкие компактные геометрические поверхности «конформно эквивалентны», когда между ними существует гладкий гомеоморфизм, сохраняющий как угол, так и ориентацию. Теорема униформизации гарантирует, что каждая риманова поверхность конформно эквивалентна поверхности, имеющей постоянную гауссову кривизну. В случае тора постоянная кривизна должна быть равна нулю. Затем определяют «пространство модулей» тора так, чтобы оно содержало по одной точке для каждого класса конформной эквивалентности с соответствующей топологией. Оказывается, это пространство модулей M можно отождествить с проколотой сферой, которая является гладкой, за исключением двух точек, угол которых вокруг них меньше 2π (радиан): одна имеет π, а другая - 2π/3.

M можно превратить в компактное пространство M* , добавив одну дополнительную точку, которая представляет предельный случай, когда прямоугольный тор приближается к соотношению сторон 0 в пределе. В результате это компактифицированное пространство модулей представляет собой сферу с тремя точками, каждая из которых имеет угол меньше 2π вокруг них. (Такие точки называются «каспами».) Эта дополнительная точка будет иметь нулевой угол вокруг себя. В силу симметрии M* можно построить путем склейки двух конгруэнтных геодезических треугольников в гиперболической плоскости вдоль их (идентичных) границ, где каждый треугольник имеет углы π/2, π/3 и 0. В результате площадь каждый треугольник можно вычислить как π - (π/2 + π/3 + 0) = π/6, откуда следует, что компактифицированное пространство модулей M* имеет площадь, равную π/3.

Два других возврата находятся в точках, соответствующих в M* а) квадратному тору (π) и б) шестиугольному тору (2π/3). Это единственные классы конформной эквивалентности плоских торов, которые имеют любые конформные автоморфизмы, кроме тех, которые порождены сдвигами и отрицанием.

Род g поверхность

В теории поверхностей существует более общее семейство объектов — « род » поверхностей. Поверхность рода g — это связная сумма g двухторов. (Итак, сам тор является поверхностью рода 1.) Чтобы образовать связную сумму двух поверхностей, удалите из каждой внутренности диска и «склейте» поверхности вместе по граничным окружностям. (То есть объедините два граничных круга, чтобы они стали одним кругом.) Чтобы сформировать связную сумму более чем двух поверхностей, последовательно берите связную сумму двух из них за раз, пока они все не соединятся. В этом смысле поверхность рода g напоминает поверхность g пончиков, склеенных рядом, или 2-сферу с прикрепленными g ручками.

Например, поверхность нулевого рода (без края) представляет собой двухсферу , а поверхность рода один (без края) представляет собой обычный тор. Поверхности более высокого рода иногда называют n -дырочными торами (или, реже, n -кратными торами). Иногда также используются термины двойной тор и тройной тор .

Теорема классификации поверхностей утверждает, что каждая компактная связная поверхность топологически эквивалентна либо сфере, либо связной сумме некоторого числа торов, дисков и вещественных проективных плоскостей .

Тороидальные многогранники

Тороидальный многогранник с 6 × 4 = 24 четырехугольными гранями.

Многогранники с топологическим типом тора называются тороидальными многогранниками и имеют эйлерову характеристику V − E + F = 0. Для любого количества дырок формула обобщается до V − E + F = 2 − 2 N , где N — количество отверстий.

Термин «тороидальный многогранник» также используется для обозначения многогранников высших родов и погружений тороидальных многогранников.

Автоморфизмы

Группа гомеоморфизмов (или подгруппа диффеоморфизмов) тора изучается в геометрической топологии . Его группа классов отображений (связные компоненты группы гомеоморфизмов) сюръективна на группу обратимых целочисленных матриц, которые могут быть реализованы как линейные отображения на универсальном накрывающем пространстве , сохраняющие стандартную решетку (это соответствует целым коэффициентам) и, таким образом, спускающиеся к частному. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

На уровне гомотопий и гомологий группу классов отображений можно идентифицировать как действие на первые гомологии (или, что то же самое, на первые когомологии или на фундаментальную группу , поскольку все они естественно изоморфны; также первая группа когомологий порождает когомологии алгебра:

${\displaystyle \operatorname {MCG} _{\operatorname {Ho} }(\mathbb {T} ^{n})=\operatorname {Aut} (\pi _{1}(X))=\operatorname {Aut} (\mathbb {Z} ^{n})=\operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} ).}$

Поскольку тор является пространством Эйленберга–Маклейна K ( G , 1), его гомотопические эквивалентности с точностью до гомотопии можно отождествлять с автоморфизмами фундаментальной группы; все гомотопические эквивалентности тора могут быть реализованы посредством гомеоморфизмов - каждая гомотопическая эквивалентность гомотопна гомеоморфизму.

Таким образом, короткая точная последовательность группы классов отображений расщепляется (идентификация тора как фактора дает расщепление через линейные отображения, как указано выше): ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle 1\to \operatorname {Homeo} _{0}(\mathbb {T} ^{n})\to \operatorname {Homeo} (\mathbb {T} ^{n})\to \operatorname {MCG} _{\operatorname {TOP} }(\mathbb {T} ^{n})\to 1.}$

Группа классов отображения поверхностей более высокого рода намного сложнее и является областью активных исследований.

Раскраска тора

Число Хивуда тора равно семи, что означает, что каждый граф, который можно встроить в тор, имеет хроматическое число не более семи. (Поскольку полный граф может быть вложен в тор и , верхняя граница точна.) Аналогично, в торе, разделенном на области, всегда возможно раскрасить области, используя не более семи цветов, чтобы ни одна из соседних областей не была тот же цвет. (В отличие от теоремы о четырех цветах для плоскости .) ${\displaystyle {\mathsf {K_{7}}}}$ ${\displaystyle \chi ({\mathsf {K_{7}}})=7}$

Эта конструкция показывает тор, разделенный на семь областей, каждая из которых касается друг друга, то есть каждой должен быть присвоен уникальный цвет.

тор де Брёйна

STL- модель тора де Брейна (16,32;3,3) ₂ с единицами в виде панелей и нулями в виде отверстий в сетке - при последовательной ориентации каждая матрица 3×3 появляется ровно один раз.

В комбинаторной математике тор де Брейна — это массив символов алфавита (часто только 0 и 1), который содержит каждую матрицу размером m x n ровно один раз. Это тор, поскольку при поиске матриц его ребра считаются закругленными. Его название происходит от последовательности Де Брейна , которую можно считать частным случаем, когда n равно 1 (одно измерение).

Разрезание тора

Полнотелый тор вращения можно разрезать n (>0) плоскостями не более чем на

${\displaystyle {\begin{pmatrix}n+2\\n-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}}={\tfrac {1}{6}}(n^{3}+3n^{2}+8n)}$

части. ^[14] (При этом предполагается, что части нельзя переставлять, но они должны оставаться на месте при всех разрезах.)

Первые 11 номеров частей для 0 ≤ n ≤ 10 (включая случай n = 0, не охватываемый приведенными выше формулами) следующие:

1, 2, 6, 13, 24, 40, 62, 91, 128, 174, 230, ... (последовательность A003600 в OEIS ).

Гипотеза Пуанкаре

Подробнее смотрите в статье « Гипотеза Пуанкаре и Григорий Перельман» .

Ни одну из двух цветных петель на этом торе нельзя непрерывно затягивать в точку. Тор не гомеоморфен сфере.

Гипотеза Пуанкаре , предложенная Анри Пуанкаре в 1904 году, является важной теоремой в области топологии , особенно касающейся изучения трехмерных многообразий . Он утверждает, что любое односвязное замкнутое трехмерное многообразие топологически эквивалентно трехмерной сфере . Это означает, что если такая форма лишена отверстий, ее можно плавно превратить в сферу путем деформации , без необходимости резки или склеивания.

Напротив, тор , по форме напоминающий пончик , не удовлетворяет гипотезе Пуанкаре . Основная причина — отсутствие простого подключения. Пространство называется просто связным, если любую петлю внутри него можно непрерывно стянуть в точку, не выходя из пространства. В случае тора существуют петли, охватывающие центральное отверстие, которые нельзя свести в точку, оставаясь на поверхности тора. Следовательно, в отличие от многообразий , описываемых гипотезой Пуанкаре , тор не может быть преобразован в сферу посредством простой деформации , что отличает его от типов форм, рассматриваемых гипотезой.

Смотрите также

• Математический портал

• 3-тор
• Алгебраический тор
• Ангенентный тор
• Кольцевое пространство (геометрия)
• Тор Клиффорда
• Комплексный тор
• Циклида Дюпена
• Эллиптическая кривая
• Иррациональная обмотка тора
• Объединенный европейский тор
• бутылка Клейна
• Неравенство тора Лёвнера
• Максимальный тор
• Решетка периода
• Реальная проективная плоскость
• Сфера
• Спирический раздел
• Поверхность (топология)
• Торическая линза
• Торическое сечение
• Торическая разновидность
• Тороид
• Тороидальный и полоидальный
• Криптография на основе тора
• Торовый узел
• Пупочный тор
• круги Вильярсо

Примечания

• Nociones de Geometria Analítica y Álgebra Lineal , ISBN  978-970-10-6596-9 , Автор: Козак Ана Мария, Помпея Пасторелли Соня, Верданега Педро Эмилио, Редакция: McGraw-Hill, издание 2007 г., 744 страницы, язык: испанский
• Аллен Хэтчер. Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета, 2002. ISBN 0-521-79540-0 . 
• В.В. Никулин, И.Р. Шафаревич. Геометрии и группы . Спрингер, 1987. ISBN 3-540-15281-4 , ISBN 978-3-540-15281-1 .  
• «Тор (понятие геометрической формы)» в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Рекомендации

1. Галье, Жан ; Сюй, Дайанна (2013). Руководство к теореме классификации компактных поверхностей . Геометрия и вычисления. Том. 9. Шпрингер, Гейдельберг. дои : 10.1007/978-3-642-34364-3. ISBN 978-3-642-34363-6. МР  3026641.
2. «Уравнения стандартного тора». Geom.uiuc.edu. 6 июля 1995 года. Архивировано из оригинала 29 апреля 2012 года . Проверено 21 июля 2012 г.
3. "Торус". Spatial Corp. Архивировано из оригинала 13 декабря 2014 года . Проверено 16 ноября 2014 г.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Торус». Математический мир .
5. «полоидальный». Оксфордский онлайн-словарь английского языка . Издательство Оксфордского университета . Проверено 10 августа 2007 г.
6. Вайсштейн, Эрик В. «Торус». mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2021 г.
7. Тимочко, Дмитрий (7 июля 2006 г.). «Геометрия музыкальных аккордов» (PDF) . Наука . 313 (5783): 72–74. Бибкод : 2006Sci...313...72T. CiteSeerX 10.1.1.215.7449 . дои : 10.1126/science.1126287. PMID  16825563. S2CID  2877171. Архивировано (PDF) из оригинала 25 июля 2011 года. 
8. Филлипс, Тони (октябрь 2006 г.). «Взгляните на математику в СМИ». Американское математическое общество . Архивировано из оригинала 5 октября 2008 года.
9. Филиппелли, Джанлуиджи (27 апреля 2012 г.). «Док Мадхэттен: плоский тор в трехмерном пространстве». Труды Национальной академии наук . 109 (19): 7218–7223. дои : 10.1073/pnas.1118478109 . ПМЦ 3358891 . PMID  22523238. Архивировано из оригинала 25 июня 2012 года . Проверено 21 июля 2012 г. 
10. Энрико де Лазаро (18 апреля 2012 г.). «Математики впервые создали изображение плоского тора в 3D | Математика». Sci-News.com . Архивировано из оригинала 1 июня 2012 года . Проверено 21 июля 2012 г.
11. «Математика: первое изображение плоского тора в 3D - веб-сайт CNRS - CNRS» . Архивировано из оригинала 5 июля 2012 года . Проверено 21 июля 2012 г.
12. "Наконец-то визуализированы плоские торы!". Math.univ-lyon1.fr. 18 апреля 2012 года. Архивировано из оригинала 18 июня 2012 года . Проверено 21 июля 2012 г.
13. Хоанг, Ле Нгуен (2016). «Извилистая геометрия плоского тора». Наука4Все . Проверено 1 ноября 2022 г.
14. Вайсштейн, Эрик В. «Резание тора». Математический мир .

Внешние ссылки

• Создание тора при разрезании узла
• «4D тор» Пролетные сечения четырехмерного тора.
• «Карта реляционной перспективы» Визуализация многомерных данных с помощью плоского тора
• Полидо, многоугольники в форме пончика.
• Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Секен, Карло Х (27 января 2014 г.). «Топология витого тора – нумерфил» (видео) . Брэйди Харан .
• Андерс Сандберг (4 февраля 2014 г.). «Торус Земли» . Проверено 24 июля 2019 г.