Теория хаоса

Область математики и науки, основанная на нелинейных системах и начальных условиях

График аттрактора Лоренца для значений r = 28 , σ = 10 , b = ⁠8/3⁠

Анимация маятника с двумя стержнями при промежуточной энергии, демонстрирующая хаотическое поведение. Запуск маятника из немного иного начального состояния приведет к совершенно иной траектории . Маятник с двумя стержнями является одной из простейших динамических систем с хаотическими решениями.

Теория хаоса — это междисциплинарная область научных исследований и раздел математики . Она фокусируется на базовых закономерностях и детерминированных законах динамических систем , которые очень чувствительны к начальным условиям . Когда-то считалось, что они имеют совершенно случайные состояния беспорядка и нерегулярности. ^[1] Теория хаоса утверждает, что в рамках кажущейся случайности хаотических сложных систем существуют базовые закономерности, взаимосвязи, постоянные петли обратной связи , повторение, самоподобие , фракталы и самоорганизация . ^[2] Эффект бабочки , базовый принцип хаоса, описывает, как небольшое изменение в одном состоянии детерминированной нелинейной системы может привести к большим различиям в более позднем состоянии (имея в виду, что существует чувствительная зависимость от начальных условий). ^[3] Метафора для этого поведения заключается в том, что бабочка, взмахивающая крыльями в Бразилии, может вызвать торнадо в Техасе . ^{[4] [5] [6]}

Небольшие различия в начальных условиях, например, из-за ошибок в измерениях или из-за ошибок округления в численных вычислениях , могут привести к сильно расходящимся результатам для таких динамических систем, делая долгосрочное прогнозирование их поведения в целом невозможным. ^[7] Это может произойти, даже если эти системы являются детерминированными , что означает, что их будущее поведение следует уникальной эволюции ^[8] и полностью определяется их начальными условиями, без участия случайных элементов. ^[9] Другими словами, детерминированная природа этих систем не делает их предсказуемыми. ^{[10] [11]} Такое поведение известно как детерминированный хаос или просто хаос . Теория была обобщена Эдвардом Лоренцом следующим образом: ^[12]

Хаос: Когда настоящее определяет будущее, но приблизительное настоящее не определяет приблизительно будущее.

Хаотическое поведение существует во многих естественных системах, включая поток жидкости, нерегулярность сердцебиения, погоду и климат. ^{[13] [14] [8]} Оно также происходит спонтанно в некоторых системах с искусственными компонентами, такими как дорожное движение . ^[2] Это поведение можно изучать с помощью анализа хаотической математической модели или с помощью аналитических методов, таких как графики рекуррентности и карты Пуанкаре . Теория хаоса имеет приложения в различных дисциплинах, включая метеорологию , ^[8] антропологию , ^[15] социологию , науку об окружающей среде , информатику , инженерию , экономику , экологию и управление пандемическими кризисами . ^{[16] [17]} Теория легла в основу таких областей исследования, как сложные динамические системы , теория границ хаоса и процессы самосборки .

Теория хаоса отличается от многочисленных областей, таких как структурная устойчивость , например, тогда как последняя касается незначительных дифференциаций в моделях, в отличие от первой, фокусирующейся на незначительных изменениях в состояниях. Более того, время также играет различные роли в определениях хаоса, а также структурной теории. ^[18]

Введение

Теория хаоса касается детерминированных систем, поведение которых, в принципе, можно предсказать. Хаотические системы предсказуемы некоторое время, а затем «кажутся» случайными. Количество времени, в течение которого поведение хаотической системы может быть эффективно предсказано, зависит от трех вещей: насколько допустима неопределенность в прогнозе, насколько точно можно измерить ее текущее состояние и временной масштаб, зависящий от динамики системы, называемый временем Ляпунова . Вот некоторые примеры времени Ляпунова: хаотические электрические цепи, около 1 миллисекунды; погодные системы, несколько дней (не доказано); внутренняя солнечная система, от 4 до 5 миллионов лет. ^[19] В хаотических системах неопределенность в прогнозе увеличивается экспоненциально с прошедшим временем. Следовательно, математически, удвоение времени прогноза более чем в квадрате пропорционально неопределенности в прогнозе. Это означает, что на практике осмысленный прогноз не может быть сделан на интервале, превышающем время Ляпунова более чем в два или три раза. Когда осмысленные прогнозы не могут быть сделаны, система кажется случайной. ^[20]

Теория хаоса — это метод качественного и количественного анализа для исследования поведения динамических систем, которые невозможно объяснить и предсказать с помощью отдельных взаимосвязей данных, но которые необходимо объяснить и предсказать с помощью целостных, непрерывных взаимосвязей данных.

Хаотическая динамика

Карта , определяемая x → 4 x (1 – x ) и y → ( x + y) mod 1 , демонстрирует чувствительность к начальным позициям x. Здесь две серии значений x и y заметно расходятся с течением времени от крошечной начальной разницы.

В общепринятом использовании «хаос» означает «состояние беспорядка». ^{[21] [22]} Однако в теории хаоса этот термин определяется более точно. Хотя не существует общепринятого математического определения хаоса, общепринятое определение, первоначально сформулированное Робертом Л. Девани , гласит, что для классификации динамической системы как хаотической она должна обладать следующими свойствами: ^[23]

1. он должен быть чувствителен к начальным условиям ,
2. он должен быть топологически транзитивным ,
3. он должен иметь плотные периодические орбиты .

В некоторых случаях было показано, что последние два свойства, указанные выше, на самом деле подразумевают чувствительность к начальным условиям. ^{[24] [25]} В случае дискретного времени это справедливо для всех непрерывных отображений на метрических пространствах . ^[26] В этих случаях, хотя это часто является наиболее практически значимым свойством, «чувствительность к начальным условиям» не обязательно должна быть указана в определении.

Если внимание ограничено интервалами , второе свойство подразумевает два других. ^[27] Альтернативное и, как правило, более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из приведенного выше списка. ^[28]

Чувствительность к начальным условиям

Уравнения Лоренца использовались для построения графиков для переменной y. Начальные условия для x и z были сохранены теми же, но для y были изменены между 1,001 , 1,0001 и 1,00001 . Значения для , и были 45,91 , 16 и 4 соответственно. Как видно из графика, даже малейшее различие в начальных значениях вызывает значительные изменения примерно через 12 секунд эволюции в трех случаях. Это пример чувствительной зависимости от начальных условий. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \beta }$

Чувствительность к начальным условиям означает, что каждая точка в хаотической системе произвольно близко аппроксимируется другими точками, которые имеют существенно отличающиеся будущие пути или траектории. Таким образом, произвольно малое изменение или возмущение текущей траектории может привести к существенно отличающемуся будущему поведению. ^[2]

Чувствительность к начальным условиям широко известна как « эффект бабочки », так называемый из-за названия статьи, представленной Эдвардом Лоренцом в 1972 году Американской ассоциации содействия развитию науки в Вашингтоне, округ Колумбия, под названием «Предсказуемость: вызывает ли взмах крыльев бабочки в Бразилии торнадо в Техасе?» . ^[29] Взмах крыла представляет собой небольшое изменение в начальном состоянии системы, которое вызывает цепочку событий, препятствующую предсказуемости крупномасштабных явлений. Если бы бабочка не взмахнула крыльями, траектория всей системы могла бы быть совершенно иной.

Как было предложено в книге Лоренца под названием «Сущность хаоса », опубликованной в 1993 году, ^[5] «чувствительная зависимость может служить приемлемым определением хаоса». В той же книге Лоренц определил эффект бабочки как: «Явление, при котором небольшое изменение состояния динамической системы приведет к тому, что последующие состояния будут сильно отличаться от состояний, которые последовали бы без изменения». Вышеприведенное определение согласуется с чувствительной зависимостью решений от начальных условий (SDIC). Идеализированная модель катания на лыжах была разработана для иллюстрации чувствительности изменяющихся во времени траекторий к начальным положениям. ^[5] Горизонт предсказуемости может быть определен до наступления SDIC (т. е. до значительного разделения начальных близких траекторий). ^[30]

Следствием чувствительности к начальным условиям является то, что если мы начнем с ограниченного количества информации о системе (как это обычно бывает на практике), то по истечении определенного времени система перестанет быть предсказуемой. Это наиболее распространено в случае погоды, которая, как правило, предсказуема только примерно на неделю вперед. ^[31] Это не означает, что нельзя ничего утверждать о событиях в далеком будущем — только то, что присутствуют некоторые ограничения на систему. Например, мы знаем, что температура поверхности Земли не достигнет естественным образом 100 °C (212 °F) или не упадет ниже −130 °C (−202 °F) на Земле (в течение текущей геологической эры ), но мы не можем точно предсказать, какой день будет иметь самую жаркую температуру в году.

В более математических терминах показатель Ляпунова измеряет чувствительность к начальным условиям в форме скорости экспоненциального расхождения от возмущенных начальных условий. ^[32] Более конкретно, если учесть две начальные траектории в фазовом пространстве , которые бесконечно близки, с начальным разделением , то эти две траектории в конечном итоге расходятся со скоростью, заданной выражением ${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$

${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,}$

где — время, а — показатель Ляпунова. Скорость разделения зависит от ориентации начального вектора разделения, поэтому может существовать целый спектр показателей Ляпунова. Количество показателей Ляпунова равно количеству измерений фазового пространства, хотя обычно ссылаются только на самый большой показатель. Например, чаще всего используется максимальный показатель Ляпунова (МПЛ), поскольку он определяет общую предсказуемость системы. Положительный МПЛ обычно принимается как признак того, что система хаотична. ^[8] ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \lambda }$

В дополнение к вышеуказанному свойству существуют и другие свойства, связанные с чувствительностью начальных условий. К ним относятся, например, теоретико-мерное смешивание (как обсуждается в эргодической теории) и свойства K-системы . ^[11]

Непериодичность

Хаотическая система может иметь последовательности значений для эволюционирующей переменной, которые точно повторяют себя, давая периодическое поведение, начинающееся с любой точки в этой последовательности. Однако такие периодические последовательности отталкивают, а не притягивают, что означает, что если эволюционирующая переменная находится вне последовательности, как бы близко она ни была, она не войдет в последовательность и фактически будет расходиться с ней. Таким образом, для почти всех начальных условий переменная эволюционирует хаотически с непериодическим поведением.

Топологическое смешивание

Шесть итераций набора состояний прошли через логистическую карту. Первая итерация (синяя) — это начальное условие, которое по сути образует круг. Анимация показывает первую-шестую итерацию круговых начальных условий. Видно, что смешивание происходит по мере продвижения по итерациям. Шестая итерация показывает, что точки почти полностью разбросаны в фазовом пространстве. Если бы мы продвинулись дальше по итерациям, смешивание было бы однородным и необратимым. Логистическая карта имеет уравнение . Чтобы расширить пространство состояний логистической карты в два измерения, второе состояние, , было создано как , если и в противном случае. ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y_{k+1}=x_{k}+y_{k}}$ ${\displaystyle x_{k}+y_{k}<1}$ ${\displaystyle y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1}$

Карта, определяемая x → 4 x (1 – x ) и y → ( x + y) mod 1 , также отображает топологическое смешивание . Здесь синяя область преобразуется динамикой сначала в фиолетовую область, затем в розовую и красную области, и в конечном итоге в облако вертикальных линий, разбросанных по пространству.

Топологическое смешивание (или более слабое условие топологической транзитивности) означает, что система развивается с течением времени так, что любая заданная область или открытое множество ее фазового пространства в конечном итоге перекрывается с любой другой заданной областью. Это математическое понятие «смешивания» соответствует стандартной интуиции, а смешивание цветных красителей или жидкостей является примером хаотической системы.

Топологическое смешивание часто опускается в популярных описаниях хаоса, которые приравнивают хаос только к чувствительности к начальным условиям. Однако чувствительная зависимость от начальных условий сама по себе не дает хаоса. Например, рассмотрим простую динамическую систему, полученную путем многократного удвоения начального значения. Эта система имеет чувствительную зависимость от начальных условий везде, поскольку любая пара соседних точек в конечном итоге становится широко разделенной. Однако в этом примере нет топологического смешивания, и, следовательно, нет хаоса. Действительно, он имеет чрезвычайно простое поведение: все точки, кроме 0, стремятся к положительной или отрицательной бесконечности.

Топологическая транзитивность

Говорят, что отображение топологически транзитивно, если для любой пары непустых открытых множеств существует такое, что . Топологическая транзитивность является более слабой версией топологического перемешивания . Интуитивно, если отображение топологически транзитивно, то для заданной точки x и области V существует точка y вблизи x , орбита которой проходит через V . Это означает, что невозможно разложить систему на два открытых множества. ^[33] ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle U,V\subset X}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset }$

Важной связанной теоремой является теорема транзитивности Биркгофа. Легко видеть, что существование плотной орбиты подразумевает топологическую транзитивность. Теорема транзитивности Биркгофа утверждает, что если X является вторым счетным полным метрическим пространством , то топологическая транзитивность подразумевает существование плотного множества точек в X , которые имеют плотные орбиты. ^[34]

Плотность периодических орбит

Для хаотической системы иметь плотные периодические орбиты означает, что к каждой точке пространства периодические орбиты приближаются произвольно близко. ^[33] Одномерное логистическое отображение , определяемое как x → 4 x (1 – x ), является одной из простейших систем с плотностью периодических орбит. Например,  →  → (или приблизительно 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) является (неустойчивой) орбитой периода 2, и подобные орбиты существуют для периодов 4, 8, 16 и т. д. (на самом деле, для всех периодов, указанных теоремой Шарковского ). ^[35] ${\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$

Теорема Шарковского лежит в основе доказательства Ли и Йорка ^[36] (1975), согласно которому любая непрерывная одномерная система, демонстрирующая регулярный цикл периода три, будет также демонстрировать регулярные циклы любой другой длины, а также полностью хаотические орбиты.

Странные аттракторы

Аттрактор Лоренца демонстрирует хаотическое поведение. Эти два графика демонстрируют чувствительную зависимость от начальных условий в области фазового пространства, занимаемой аттрактором.

Некоторые динамические системы, такие как одномерное логистическое отображение, определяемое x → 4 x (1 – x ), хаотичны везде, но во многих случаях хаотическое поведение обнаруживается только в подмножестве фазового пространства. Наиболее интересны случаи, когда хаотическое поведение имеет место на аттракторе , поскольку тогда большой набор начальных условий приводит к орбитам, которые сходятся к этой хаотической области. ^[37]

Простой способ визуализировать хаотический аттрактор — начать с точки в области притяжения аттрактора, а затем просто построить его последующую орбиту. Из-за топологического условия транзитивности это, скорее всего, даст картину всего конечного аттрактора, и действительно, обе орбиты, показанные на рисунке справа, дают картину общей формы аттрактора Лоренца. Этот аттрактор является результатом простой трехмерной модели погодной системы Лоренца . Аттрактор Лоренца, возможно, является одной из самых известных диаграмм хаотической системы, вероятно, потому, что он не только один из первых, но и один из самых сложных, и как таковой порождает очень интересный узор, который при небольшом воображении выглядит как крылья бабочки.

В отличие от аттракторов с неподвижной точкой и предельных циклов , аттракторы, возникающие из хаотических систем, известные как странные аттракторы , обладают большой детализацией и сложностью. Странные аттракторы встречаются как в непрерывных динамических системах (таких как система Лоренца), так и в некоторых дискретных системах (таких как отображение Хенона ). Другие дискретные динамические системы имеют отталкивающую структуру, называемую множеством Жюлиа , которая образуется на границе между бассейнами притяжения неподвижных точек. Множества Жюлиа можно рассматривать как странные отталкиватели. Как странные аттракторы, так и множества Жюлиа обычно имеют фрактальную структуру, и для них можно вычислить фрактальную размерность .

Сосуществующие аттракторы

Сосуществование хаотических и нехаотических аттракторов в обобщенной модели Лоренца. ^{[38] [39] [40]} Существует 128 орбит разных цветов, начинающихся с разных начальных условий для безразмерного времени между 0,625 и 5 и параметра нагрева r = 680. Хаотические орбиты рекуррентно возвращаются близко к седловой точке в начале координат. Нехаотические орбиты в конечном итоге приближаются к одной из двух устойчивых критических точек, как показано большими синими точками. Хаотические и нехаотические орбиты занимают разные области притяжения в фазовом пространстве.

В отличие от однотипных хаотических решений, недавние исследования с использованием моделей Лоренца ^{[41] [42]} подчеркнули важность рассмотрения различных типов решений. Например, сосуществование хаотических и нехаотических может появляться в одной и той же модели (например, двойной маятниковой системе) с использованием тех же конфигураций моделирования, но разных начальных условий. Выводы о сосуществовании аттракторов, полученные из классических и обобщенных моделей Лоренца ^{[38] [39] [40],} предложили пересмотренный взгляд на то, что «вся погода обладает двойственной природой хаоса и порядка с отчетливой предсказуемостью», в отличие от общепринятого взгляда на «погоду хаотична».

Минимальная сложность хаотической системы

Диаграмма бифуркации логистического отображения x → r x (1 – x ). Каждый вертикальный срез показывает аттрактор для определенного значения r . Диаграмма отображает удвоение периода по мере увеличения r , в конечном итоге производя хаос. Более темные точки посещаются чаще.

Дискретные хаотические системы, такие как логистическое отображение , могут демонстрировать странные аттракторы независимо от их размерности . Напротив, для непрерывных динамических систем теорема Пуанкаре–Бендиксона показывает, что странный аттрактор может возникнуть только в трех или более измерениях. Конечномерные линейные системы никогда не являются хаотическими; для того чтобы динамическая система демонстрировала хаотическое поведение, она должна быть либо нелинейной , либо бесконечномерной.

Теорема Пуанкаре –Бендиксона утверждает, что двумерное дифференциальное уравнение имеет очень регулярное поведение. Аттрактор Лоренца, обсуждаемый ниже, генерируется системой из трех дифференциальных уравнений, таких как:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}$

где , , и составляют состояние системы , — время, а , , — параметры системы . Пять членов в правой части являются линейными, а два — квадратичными; всего семь членов. Другой известный хаотический аттрактор генерируется уравнениями Рёсслера , которые имеют только один нелинейный член из семи. Спротт ^[43] нашел трехмерную систему всего с пятью членами, которая имела только один нелинейный член, который демонстрирует хаос для определенных значений параметров. Чжан и Гейдель ^{[44] [45]} показали, что, по крайней мере для диссипативных и консервативных квадратичных систем, трехмерные квадратичные системы только с тремя или четырьмя членами в правой части не могут демонстрировать хаотическое поведение. Причина в том, что, проще говоря, решения таких систем являются асимптотическими к двумерной поверхности, и поэтому решения ведут себя хорошо. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \beta }$

Хотя теорема Пуанкаре–Бендиксона показывает, что непрерывная динамическая система на евклидовой плоскости не может быть хаотичной, двумерные непрерывные системы с неевклидовой геометрией все еще могут проявлять некоторые хаотические свойства. ^[46] Возможно, это удивительно, но хаос может возникать и в линейных системах, при условии, что они бесконечномерны. ^[47] Теория линейного хаоса разрабатывается в разделе математического анализа, известном как функциональный анализ .

Вышеуказанный набор из трех обыкновенных дифференциальных уравнений называется трехмерной моделью Лоренца. ^{[48] С 1963 года в многочисленных исследованиях [49] [50] [38] [39]} были разработаны многомерные модели Лоренца для изучения влияния повышенной степени нелинейности, а также ее коллективного эффекта с нагревом и диссипацией на устойчивость решения.

Бесконечномерные карты

Прямое обобщение связанных дискретных отображений ^[51] основано на интеграле свертки, который опосредует взаимодействие между пространственно распределенными отображениями: , ${\displaystyle \psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}}$

где ядро ​​— это пропагатор, полученный как функция Грина соответствующей физической системы, ^[52] может быть логистической картой или комплексной картой . В качестве примеров комплексных карт могут служить множество Жюлии или карта Икеды . Когда рассматриваются проблемы распространения волн на расстоянии с длиной волны, ядро ​​может иметь форму функции Грина для уравнения Шредингера :. ^{[53] [54]} ${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)}$ ${\displaystyle f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]}$ ${\displaystyle \psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]}$ ${\displaystyle f[\psi ]=\psi ^{2}}$ ${\displaystyle \psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}}$ ${\displaystyle L=ct}$ ${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]}$.

Рывковые системы

В физике рывок — это третья производная положения по времени. Таким образом , дифференциальные уравнения вида

${\displaystyle J\left({\overset {...}{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0}$

иногда называются уравнениями рывка . Было показано, что уравнение рывка, которое эквивалентно системе из трех обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, в определенном смысле является минимальной настройкой для решений, демонстрирующих хаотическое поведение. Это мотивирует математический интерес к системам рывка. Системы, включающие четвертую или более высокую производную, соответственно называются системами гиперрывка. ^[55]

Поведение системы рывков описывается уравнением рывков, и для некоторых уравнений рывков простые электронные схемы могут моделировать решения. Эти схемы известны как схемы рывков.

Одним из самых интересных свойств рывковых цепей является возможность хаотического поведения. Фактически, некоторые известные хаотические системы, такие как аттрактор Лоренца и отображение Рёсслера , традиционно описываются как система из трех дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут объединяться в одно (хотя и довольно сложное) уравнение рывка. Другой пример уравнения рывка с нелинейностью по величине : ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}x}{\mathrm {d} t^{3}}}+A{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}-|x|+1=0.}$

Здесь A — регулируемый параметр. Это уравнение имеет хаотическое решение при A = 3/5 и может быть реализовано с помощью следующей схемы рывка; требуемая нелинейность обеспечивается двумя диодами:

В приведенной выше схеме все резисторы имеют одинаковое значение, за исключением , и все конденсаторы имеют одинаковый размер. Доминирующая частота равна . Выход операционного усилителя 0 будет соответствовать переменной x, выход 1 соответствует первой производной x, а выход 2 соответствует второй производной. ${\displaystyle R_{A}=R/A=5R/3}$ ${\displaystyle 1/2\pi RC}$

Подобные схемы требуют только одного диода ^[56] или не требуют диодов вообще. ^[57]

См. также известную схему Чуа , одну из основ для хаотических генераторов истинных случайных чисел. ^[58] Простота построения схемы сделала ее повсеместным реальным примером хаотической системы.

Спонтанный порядок

При правильных условиях хаос спонтанно развивается в шаблон lockstep. В модели Курамото для создания синхронизации в хаотической системе достаточно четырех условий. Примерами служат связанные колебания маятников Христиана Гюйгенса , светлячков, нейронов , резонанс лондонского моста Миллениум и большие массивы переходов Джозефсона . ^[59]

Более того, с точки зрения теоретической физики, сам динамический хаос, в его наиболее общем проявлении, является спонтанным порядком. Суть здесь в том, что большинство порядков в природе возникают из спонтанного нарушения различных симметрий. Это большое семейство явлений включает упругость, сверхпроводимость, ферромагнетизм и многие другие. Согласно суперсимметричной теории стохастической динамики , хаос, или, точнее, его стохастическое обобщение, также является частью этого семейства. Соответствующая нарушаемая симметрия является топологической суперсимметрией , которая скрыта во всех стохастических (частных) дифференциальных уравнениях , а соответствующий параметр порядка является полевым воплощением эффекта бабочки. ^[60]

История

Папоротник Барнсли создан с помощью игры хаос . Природные формы (папоротники, облака, горы и т. д.) могут быть воссозданы с помощью системы итерационных функций (IFS).

Джеймс Клерк Максвелл первым подчеркнул « эффект бабочки » и считается одним из первых, кто обсуждал теорию хаоса, работая в 1860-х и 1870-х годах. ^{[61] [62] [63]} Одним из первых сторонников теории хаоса был Анри Пуанкаре . В 1880-х годах, изучая задачу трех тел , он обнаружил, что могут быть орбиты, которые являются непериодическими, и при этом не вечно возрастающими и не приближающимися к неподвижной точке. ^{[64] [65] [66]} В 1898 году Жак Адамар опубликовал влиятельное исследование хаотического движения свободной частицы, скользящей без трения по поверхности постоянной отрицательной кривизны, названное « бильярдами Адамара ». ^[67] Адамар смог показать, что все траектории неустойчивы, в том смысле, что все траектории частиц экспоненциально расходятся друг от друга с положительным показателем Ляпунова .

Теория хаоса началась в области эргодической теории . Более поздние исследования, также по теме нелинейных дифференциальных уравнений , были проведены Джорджем Дэвидом Биркгофом , ^[68] Андреем Николаевичем Колмогоровым , ^{[69] [70] [71]} Мэри Люси Картрайт и Джоном Эденсором Литтлвудом , ^[72] и Стивеном Смейлом . ^[73] Хотя хаотическое движение планет не наблюдалось, экспериментаторы столкнулись с турбулентностью в движении жидкости и непериодическими колебаниями в радиоцепях без преимущества теории, чтобы объяснить то, что они видели.

Несмотря на первоначальные идеи в первой половине двадцатого века, теория хаоса стала формализованной как таковая только после середины века, когда впервые стало очевидно для некоторых ученых, что линейная теория , преобладающая теория систем в то время, просто не могла объяснить наблюдаемое поведение определенных экспериментов, таких как поведение логистического отображения . То, что приписывалось неточности измерения и простому « шуму », рассматривалось теоретиками хаоса как полноценный компонент изучаемых систем. В 1959 году Борис Валерианович Чириков предложил критерий возникновения классического хаоса в гамильтоновых системах ( критерий Чирикова ). Он применил этот критерий для объяснения некоторых экспериментальных результатов по удержанию плазмы в открытых зеркальных ловушках. ^{[74] [75]} Это считается самой первой физической теорией хаоса, которая преуспела в объяснении конкретного эксперимента. А сам Борис Чириков считается пионером в области классического и квантового хаоса. ^{[76] [77] [78]}

Главным катализатором развития теории хаоса был электронный компьютер. Большая часть математики теории хаоса включает в себя повторяющиеся итерации простых математических формул, которые было бы непрактично делать вручную. Электронные компьютеры сделали эти повторяющиеся вычисления практичными, в то время как цифры и изображения позволили визуализировать эти системы. Будучи аспирантом в лаборатории Чихиро Хаяси в Киотском университете, Ёсисуке Уэда экспериментировал с аналоговыми компьютерами и заметил 27 ноября 1961 года то, что он назвал «случайно переходными явлениями». Однако его научный руководитель не согласился с его выводами в то время и не позволял ему сообщать о своих открытиях до 1970 года. ^{[79] [80]}

Турбулентность в концевом вихре крыла самолета . Исследования критической точки, за которой система создает турбулентность, были важны для теории хаоса, проанализированной, например, советским физиком Львом Ландау , который разработал теорию турбулентности Ландау-Хопфа . Дэвид Рюэль и Флорис Такенс позже предсказали, вопреки Ландау, что турбулентность жидкости может развиваться через странный аттрактор , основную концепцию теории хаоса.

Эдвард Лоренц был одним из первых пионеров этой теории. Его интерес к хаосу возник случайно во время его работы по прогнозированию погоды в 1961 году. ^[13] Лоренц и его соавторы Эллен Феттер и Маргарет Гамильтон ^[81] использовали простой цифровой компьютер Royal McBee LGP-30 для запуска моделирования погоды. Они хотели снова увидеть последовательность данных, и чтобы сэкономить время, они начали моделирование в середине его хода. Они сделали это, введя распечатку данных, которые соответствовали условиям в середине исходного моделирования. К их удивлению, погода, которую начала предсказывать машина, полностью отличалась от предыдущего расчета. Они отследили это до компьютерной распечатки. Компьютер работал с точностью до 6 цифр, но распечатка округляла переменные до 3-значного числа, поэтому значение вроде 0,506127 печаталось как 0,506. Эта разница крошечная, и в то время консенсус был бы таков, что она не должна иметь практического эффекта. Однако Лоренц обнаружил, что небольшие изменения начальных условий приводят к большим изменениям в долгосрочных результатах. ^[82] Открытие Лоренца, давшее название аттракторам Лоренца , показало, что даже детальное моделирование атмосферы в общем случае не может давать точных долгосрочных прогнозов погоды.

В 1963 году Бенуа Мандельброт , изучая теорию информации , обнаружил, что шум во многих явлениях (включая цены акций и телефонные сети) имеет структуру, подобную множеству Кантора , набору точек с бесконечной грубостью и детализацией ^[83] Мандельброт описал как «эффект Ноя» (при котором могут происходить внезапные прерывистые изменения), так и «эффект Джозефа» (при котором постоянство значения может иметь место в течение некоторого времени, но затем внезапно измениться). ^{[84] [85]} В 1967 году он опубликовал работу « Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность », в которой показано, что длина береговой линии изменяется в зависимости от масштаба измерительного прибора, похожа на себя во всех масштабах и бесконечна по длине для бесконечно малого измерительного прибора. ^[86] Утверждая, что клубок бечевки выглядит как точка, если смотреть издалека (0-мерный), шар, если смотреть с достаточно близкого расстояния (3-мерный), или изогнутая нить (1-мерный), он утверждал, что размеры объекта относительны для наблюдателя и могут быть дробными. Объект, нерегулярность которого постоянна в разных масштабах («самоподобие»), является фракталом ( примерами служат губка Менгера , прокладка Серпинского и кривая Коха или снежинка , которая бесконечно длинна, но охватывает конечное пространство и имеет фрактальную размерность около 1,2619). В 1982 году Мандельброт опубликовал «Фрактальную геометрию природы », которая стала классикой теории хаоса. ^[87]

В декабре 1977 года Нью-Йоркская академия наук организовала первый симпозиум по хаосу, на котором присутствовали Дэвид Рюэль, Роберт Мэй , Джеймс А. Йорк (автор термина «хаос» в математике), Роберт Шоу и метеоролог Эдвард Лоренц. В следующем году Пьер Кулле и Чарльз Трессер опубликовали «Итерации эндоморфизмов и группы перенормировки», а статья Митчелла Фейгенбаума «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований» наконец появилась в журнале после 3 лет отклонений рецензентами. ^{[88] [89]} Таким образом, Фейгенбаум (1975) и Кулле и Трессер (1978) открыли универсальность в хаосе, что позволило применить теорию хаоса ко многим различным явлениям.

В 1979 году Альберт Дж. Либхабер во время симпозиума, организованного в Аспене Пьером Хоэнбергом , представил свое экспериментальное наблюдение каскада бифуркаций , приводящего к хаосу и турбулентности в системах конвекции Рэлея-Бенара . В 1986 году он был награжден премией Вольфа по физике вместе с Митчеллом Дж. Фейгенбаумом за их вдохновляющие достижения. ^[90]

В 1986 году Нью-Йоркская академия наук совместно с Национальным институтом психического здоровья и Управлением военно-морских исследований организовала первую важную конференцию по хаосу в биологии и медицине. На ней Бернардо Хуберман представил математическую модель дисфункции слежения за глазами у людей с шизофренией . ^[91] Это привело к обновлению физиологии в 1980-х годах посредством применения теории хаоса, например, при изучении патологических сердечных циклов .

В 1987 году Пер Бак , Чао Тан и Курт Визенфельд опубликовали статью в Physical Review Letters ^[92], в которой впервые описали самоорганизованную критичность (СОК), считающуюся одним из механизмов возникновения сложности в природе.

Наряду с преимущественно лабораторными подходами, такими как песчаная куча Бака–Танга–Визенфельда , многие другие исследования были сосредоточены на крупномасштабных природных или социальных системах, которые, как известно (или предполагается), демонстрируют поведение , инвариантное к масштабу . Хотя эти подходы не всегда приветствовались (по крайней мере, изначально) специалистами в рассматриваемых предметах, SOC, тем не менее, стал признанным в качестве сильного кандидата для объяснения ряда природных явлений, включая землетрясения (которые задолго до открытия SOC были известны как источник масштабно-инвариантного поведения, такого как закон Гутенберга-Рихтера, описывающий статистическое распределение размеров землетрясений, и закон Омори ^[93], описывающий частоту афтершоков), солнечные вспышки , колебания в экономических системах, таких как финансовые рынки (ссылки на SOC обычны в эконофизике ), формирование ландшафта, лесные пожары , оползни , эпидемии и биологическая эволюция (где SOC был использован, например, как динамический механизм, лежащий в основе теории « прерывистого равновесия », выдвинутой Найлзом Элдриджем и Стивеном Джеем Гулдом ). Учитывая последствия безмасштабного распределения размеров событий, некоторые исследователи предположили, что другим явлением, которое следует считать примером SOC, является возникновение войн . Эти исследования SOC включали как попытки моделирования (разработку новых моделей или адаптацию существующих к специфике данной природной системы), так и обширный анализ данных для определения существования и/или характеристик законов естественного масштабирования.

Также в 1987 году Джеймс Глейк опубликовал книгу «Хаос: Создание новой науки» , которая стала бестселлером и представила общие принципы теории хаоса, а также ее историю широкой публике. ^[94] Первоначально являясь областью деятельности нескольких изолированных личностей, теория хаоса постепенно превратилась в трансдисциплинарную и институциональную дисциплину, в основном под названием нелинейный системный анализ. Ссылаясь на концепцию Томаса Куна о смене парадигмы, изложенную в «Структуре научных революций» (1962), многие «хаологи» (как некоторые называли себя) утверждали, что эта новая теория является примером такого сдвига, и этот тезис поддерживал Глейк.

Доступность более дешевых и мощных компьютеров расширяет применимость теории хаоса. В настоящее время теория хаоса остается активной областью исследований, ^[95] охватывающей множество различных дисциплин, таких как математика , топология , физика , ^[96] социальные системы , ^[97] моделирование населения , биология , метеорология , астрофизика , теория информации , вычислительная нейронаука , управление пандемическими кризисами , ^{[16] [17]} и т. д.

Новаторский вклад Лоренца в хаотическое моделирование

За всю свою карьеру профессор Лоренц написал в общей сложности 61 исследовательскую работу, из которых 58 были написаны им единолично. ^[98] Начиная с конференции 1960 года в Японии, Лоренц начал путь разработки разнообразных моделей, направленных на раскрытие SDIC и хаотических особенностей. Недавний обзор развития модели Лоренца ^{[99] [100]} , охватывающий период с 1960 по 2008 год, показал его мастерство в использовании разнообразных физических систем для иллюстрации хаотических явлений. Эти системы охватывали квазигеострофические системы, уравнение консервативной вихревости, уравнения конвекции Рэлея-Бенара и уравнения мелкой воды. Более того, Лоренцу можно приписать раннее применение логистической карты для исследования хаотических решений, веху, которую он достиг раньше своих коллег (например, Лоренц 1964 ^[101] ).

В 1972 году Лоренц ввел термин «эффект бабочки» в качестве метафоры для обсуждения того, может ли небольшое возмущение в конечном итоге создать торнадо с трехмерной, организованной и связной структурой. Хотя его метафорический вариант связан с исходным эффектом бабочки, основанным на чувствительной зависимости от начальных условий, он несет в себе различные нюансы. В ознаменование этой вехи была официально опубликована переизданная книга, содержащая приглашенные статьи, которые углубляют наше понимание обоих эффектов бабочки, в ознаменование 50-летия метафорического эффекта бабочки. ^[102]

Популярная, но неточная аналогия хаоса.

Чувствительная зависимость от начальных условий (т.е. эффект бабочки) была проиллюстрирована с помощью следующего фольклора: ^[94]

Из-за отсутствия гвоздя была потеряна подкова.
Из-за отсутствия подковы была потеряна лошадь.
Из-за отсутствия лошади был потерян всадник. Из-за отсутствия
всадника была проиграна битва.
Из-за отсутствия битвы было потеряно королевство.
И все из-за отсутствия гвоздя для подковы.

На основании вышесказанного многие ошибочно полагают, что влияние крошечного начального возмущения монотонно увеличивается со временем и что любое крошечное возмущение может в конечном итоге оказать большое влияние на численное интегрирование. Однако в 2008 году Лоренц заявил, что он не считает, что этот стих описывает истинный хаос, но что он лучше иллюстрирует более простое явление нестабильности и что стих неявно предполагает, что последующие небольшие события не изменят результат. ^[103] На основании анализа стих указывает только на расхождение, а не на ограниченность. ^[6] Ограниченность важна для конечного размера узора бабочки. ^{[6] [103] [104]} В недавнем исследовании ^[105] характеристика вышеупомянутого стиха была недавно обозначена как «зависимость, чувствительная к конечному времени».

Приложения

Конусная текстильная оболочка, внешне похожая на Правило 30 , клеточный автомат с хаотическим поведением ^[106]

Хотя теория хаоса родилась из наблюдений за погодными явлениями, она стала применима к целому ряду других ситуаций. Некоторые области, которые сегодня извлекают пользу из теории хаоса, это геология , математика , биология , компьютерные науки , экономика , ^{[107] [108] [109]} инженерия , ^{[110] [111]} финансы , ^{[112] [113] [114] [115] [116]} метеорология , философия , антропология , ^[15] физика , ^{[117] [118] [119]} политика , ^{[120] [121]} динамика населения , ^[122] и робототехника . Ниже перечислены несколько категорий с примерами, но это ни в коем случае не полный список, поскольку появляются новые приложения.

Криптография

Теория хаоса использовалась в криптографии в течение многих лет . За последние несколько десятилетий хаос и нелинейная динамика использовались при разработке сотен криптографических примитивов . Эти алгоритмы включают алгоритмы шифрования изображений , хэш-функции , безопасные генераторы псевдослучайных чисел , потоковые шифры , водяные знаки и стеганографию . ^[123] Большинство этих алгоритмов основаны на унимодальных хаотических картах, и большая часть этих алгоритмов использует контрольные параметры и начальное состояние хаотических карт в качестве своих ключей. ^[124] С более широкой точки зрения, без потери общности, сходство между хаотическими картами и криптографическими системами является основной мотивацией для разработки криптографических алгоритмов на основе хаоса. ^[123] Один тип шифрования, секретный ключ или симметричный ключ , опирается на диффузию и путаницу , что хорошо моделируется теорией хаоса. ^[125] Другой тип вычислений, ДНК-вычисления , в сочетании с теорией хаоса, предлагает способ шифрования изображений и другой информации. ^[126] Многие из криптографических алгоритмов ДНК-Хаос оказались либо небезопасными, либо применяемая техника оказалась неэффективной. ^{[127] [128] [129]}

Робототехника

Робототехника — еще одна область, которая недавно выиграла от теории хаоса. Вместо того, чтобы роботы действовали методом проб и ошибок, совершенствуя взаимодействие с окружающей средой, теория хаоса использовалась для построения предсказательной модели . ^[130] Хаотическую динамику продемонстрировали пассивные шагающие двуногие роботы. ^[131]

Биология

Более ста лет биологи отслеживают популяции различных видов с помощью популяционных моделей . Большинство моделей являются непрерывными , но недавно ученые смогли реализовать хаотические модели в определенных популяциях. ^[132] Например, исследование моделей канадской рыси показало, что в росте популяции наблюдается хаотическое поведение. ^[133] Хаос также можно обнаружить в экологических системах, таких как гидрология . Хотя хаотическая модель для гидрологии имеет свои недостатки, все еще многому можно научиться, рассматривая данные через призму теории хаоса. ^[134] Другое биологическое применение находится в кардиотокографии . Наблюдение за плодом - это тонкий баланс между получением точной информации и максимальной неинвазивностью. Лучшие модели предупреждающих признаков гипоксии плода можно получить с помощью хаотического моделирования. ^[135]

Как указывает Перри, моделированию хаотических временных рядов в экологии помогают ограничения. ^{[136] : 176, 177} Всегда существует потенциальная трудность в различении реального хаоса от хаоса, который присутствует только в модели. ^{[136] : 176, 177} Следовательно, как ограничения в модели, так и дублирующие данные временных рядов для сравнения будут полезны для ограничения модели чем-то близким к реальности, например, Perry & Wall 1984. ^{[136] : 176, 177} Коэволюция генов на гены иногда показывает хаотическую динамику в частотах аллелей . ^[137] Добавление переменных усиливает это: хаос чаще встречается в моделях, включающих дополнительные переменные для отражения дополнительных аспектов реальных популяций. ^[137] Роберт М. Мэй сам провел некоторые из этих основополагающих исследований коэволюции сельскохозяйственных культур, и это, в свою очередь, помогло сформировать всю область. ^[137] Даже в устойчивой среде простое объединение одной культуры и одного патогена может привести к квазипериодическим или хаотическим колебаниям в популяции патогенов . ^{[138] : 169}

Экономика

Возможно, что экономические модели также могут быть улучшены посредством применения теории хаоса, но прогнозирование здоровья экономической системы и того, какие факторы влияют на нее больше всего, является чрезвычайно сложной задачей. ^[139] Экономические и финансовые системы принципиально отличаются от систем в классических естественных науках, поскольку первые по своей природе являются стохастическими, поскольку они являются результатом взаимодействия людей, и, таким образом, чистые детерминированные модели вряд ли обеспечат точное представление данных. Эмпирическая литература, которая проверяет наличие хаоса в экономике и финансах, представляет очень неоднозначные результаты, отчасти из-за путаницы между конкретными тестами на хаос и более общими тестами на нелинейные отношения. ^[140]

Хаос можно обнаружить в экономике с помощью анализа квантификации рекуррентности . Фактически, Орландо и др. ^[141] с помощью так называемого индекса корреляции квантификации рекуррентности смогли обнаружить скрытые изменения во временных рядах. Затем та же техника была использована для обнаружения переходов от ламинарной (регулярной) к турбулентной (хаотической) фазам, а также различий между макроэкономическими переменными и выделения скрытых особенностей экономической динамики. ^[142] Наконец, теория хаоса может помочь в моделировании того, как функционирует экономика, а также во внедрении шоков из-за внешних событий, таких как COVID-19. ^[143]

Конечная предсказуемость погоды и климата

Из-за чувствительной зависимости решений от начальных условий (SDIC), также известной как эффект бабочки, хаотические системы, такие как модель Лоренца 1963 года, подразумевают конечный горизонт предсказуемости. Это означает, что хотя точные прогнозы возможны в течение конечного периода времени, они невыполнимы в течение бесконечного периода времени. Учитывая природу хаотических решений Лоренца, комитет под руководством Чарни и др. в 1966 году ^[144] экстраполировал время удвоения в пять дней из модели общей циркуляции, предполагая предел предсказуемости в две недели. Эта связь между пятидневным временем удвоения и двухнедельным пределом предсказуемости была также зафиксирована в отчете Глобальной программы атмосферных исследований (GARP) 1969 года. ^[145] Чтобы признать комбинированное прямое и косвенное влияние модели Минца и Аракавы и моделей Лоренца, а также руководство Чарни и др., Шен и др. ^[146] называют двухнедельный предел предсказуемости «гипотезой предела предсказуемости», проводя аналогию с законом Мура.

Расширенная структура моделирования ИИ

В больших языковых моделях, управляемых ИИ, ответы могут проявлять чувствительность к таким факторам, как изменения в форматировании и вариации в подсказках. Эта чувствительность сродни эффекту бабочки. ^[147] Хотя классификация больших языковых моделей, управляемых ИИ, как классических детерминированных хаотических систем представляет собой проблему, подходы и методы, вдохновленные хаосом (например, ансамблевое моделирование), могут использоваться для извлечения надежной информации из этих обширных языковых моделей (см. также « Эффект бабочки в популярной культуре »).

Другие области

В химии предсказание растворимости газа необходимо для производства полимеров , но модели, использующие оптимизацию роя частиц (PSO), имеют тенденцию сходиться к неправильным точкам. Улучшенная версия PSO была создана путем введения хаоса, который не дает моделированию застревать. ^[148] В небесной механике , особенно при наблюдении за астероидами, применение теории хаоса приводит к лучшим прогнозам относительно того, когда эти объекты приблизятся к Земле и другим планетам. ^[149] Четыре из пяти лун Плутона вращаются хаотично. В квантовой физике и электротехнике изучение больших массивов переходов Джозефсона значительно выиграло от теории хаоса. ^[150] Ближе к дому угольные шахты всегда были опасными местами, где частые утечки природного газа приводят к многочисленным смертям. До недавнего времени не было надежного способа предсказать, когда они произойдут. Но эти утечки газа имеют хаотические тенденции, которые при правильном моделировании можно предсказать довольно точно. ^[151]

Теория хаоса может применяться за пределами естественных наук, но исторически почти все такие исследования страдали от отсутствия воспроизводимости; плохой внешней валидности; и/или невнимания к перекрестной проверке, что приводило к плохой точности предсказаний (если предсказание вне выборки вообще было предпринято). Гласс ^[152] и Манделл и Селц ^[153] обнаружили, что ни одно исследование ЭЭГ до сих пор не указало на наличие странных аттракторов или других признаков хаотического поведения.

Исследователи продолжили применять теорию хаоса к психологии. Например, при моделировании поведения группы, в которой разнородные члены могут вести себя так, как будто разделяют в разной степени то, что в теории Уилфреда Биона является основным предположением, исследователи обнаружили, что групповая динамика является результатом индивидуальной динамики членов: каждый индивид воспроизводит групповую динамику в разном масштабе, и хаотичное поведение группы отражается в каждом члене. ^[154]

Редингтон и Рейдборд (1992) попытались продемонстрировать, что человеческое сердце может проявлять хаотические черты. Они отслеживали изменения в интервалах между ударами сердца у одной пациентки психотерапии, когда она проходила через периоды различной эмоциональной интенсивности во время сеанса терапии. Результаты, по общему признанию, были неубедительными. Не только были двусмысленности в различных графиках, которые авторы создали, чтобы якобы показать доказательства хаотической динамики (спектральный анализ, фазовая траектория и графики автокорреляции), но также, когда они пытались вычислить показатель Ляпунова как более определенное подтверждение хаотического поведения, авторы обнаружили, что они не могут сделать это надежно. ^[155]

В своей статье 1995 года Меткалф и Аллен ^[156] утверждали, что они обнаружили в поведении животных закономерность удвоения периода, приводящую к хаосу. Авторы исследовали хорошо известную реакцию, называемую полидипсией, вызванной расписанием, при которой животное, лишенное пищи в течение определенного периода времени, будет пить необычное количество воды, когда пища наконец будет представлена. Параметром управления (r), действующим здесь, была длительность интервала между кормлениями после возобновления. Авторы были осторожны, чтобы протестировать большое количество животных и включить много репликаций, и они спроектировали свой эксперимент таким образом, чтобы исключить вероятность того, что изменения в закономерностях реакции были вызваны различными исходными точками для r.

Временные ряды и графики первой задержки обеспечивают наилучшую поддержку сделанным заявлениям, показывая довольно четкий переход от периодичности к нерегулярности по мере увеличения времени кормления. Различные графики фазовых траекторий и спектральные анализы, с другой стороны, недостаточно хорошо согласуются с другими графиками или с общей теорией, чтобы неумолимо привести к хаотическому диагнозу. Например, фазовые траектории не показывают определенного прогрессирования в сторону все большей и большей сложности (и от периодичности); процесс кажется довольно запутанным. Кроме того, там, где Меткалф и Аллен увидели периоды два и шесть на своих спектральных графиках, есть место для альтернативных интерпретаций. Вся эта неоднозначность требует некоторого извилистого, постфактум объяснения, чтобы показать, что результаты соответствуют хаотической модели.

Адаптировав модель карьерного консультирования, чтобы включить хаотическую интерпретацию отношений между сотрудниками и рынком труда, Амундсон и Брайт обнаружили, что можно дать лучшие предложения людям, борющимся с карьерными решениями. ^[157] Современные организации все чаще рассматриваются как открытые сложные адаптивные системы с фундаментальными естественными нелинейными структурами, подверженные внутренним и внешним силам, которые могут способствовать хаосу. Например, формирование команды и развитие группы все чаще исследуются как изначально непредсказуемая система, поскольку неопределенность разных людей, встречающихся впервые, делает траекторию команды неизвестной. ^[158]

Некоторые говорят, что метафора хаоса, используемая в вербальных теориях, основанная на математических моделях и психологических аспектах человеческого поведения, дает полезные идеи для описания сложности небольших рабочих групп, которые выходят за рамки самой метафоры. ^[159]

Красные и синие автомобили движутся по очереди; красные движутся только вверх, а синие — вправо. Каждый раз все автомобили одного цвета пытаются сделать один шаг, если перед ними нет автомобиля. Здесь модель самоорганизовалась в несколько геометрической схеме, где есть некоторые пробки и некоторые области, где автомобили могут двигаться на максимальной скорости.

Прогнозирование трафика может выиграть от применения теории хаоса. Более точные прогнозы того, когда возникнет затор, позволят принять меры по его рассеиванию до того, как он возникнет. Объединение принципов теории хаоса с несколькими другими методами привело к более точной модели краткосрочного прогнозирования (см. график модели трафика BML справа). ^[160]

Теория хаоса была применена к данным о круговороте воды в окружающей среде (также гидрологическим данным), таким как осадки и сток. ^[161] Эти исследования дали противоречивые результаты, поскольку методы обнаружения хаотической сигнатуры часто относительно субъективны. Ранние исследования, как правило, «успешно» обнаруживали хаос, тогда как последующие исследования и метаанализы поставили эти исследования под сомнение и дали объяснения того, почему эти наборы данных, скорее всего, не будут иметь низкоразмерную хаотическую динамику. ^[162]

Смотрите также

• Математический портал
• Портал системной науки

Примеры хаотических систем

• Контуры адвекции
• Карта кота Арнольда
• Теория бифуркации
• Динамика прыгающего мяча
• Схема Чуа
• Клиодинамика
• Связанная решетка карт
• Двойной маятник
• Уравнение Даффинга
• Динамичный бильярд
• Экономический пузырь
• Система Гаспара-Райса
• Карта Энона
• Карта-подкова
• Список хаотичных карт
• аттрактор Рёсслера
• Стандартная карта
• Качающаяся машина Этвуда
• Наклоните Вихрь

Другие похожие темы

• Амплитуда смерти
• Диффеоморфизм Аносова
• Теория катастроф
• Причинность
• Хаос как нарушение топологической суперсимметрии
• Машина Хаоса
• Хаотичное смешивание
• Хаотическое рассеяние
• Контроль хаоса
• Детерминизм
• Край хаоса
• Возникновение
• Множество Мандельброта
• Теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера
• Плохая подготовка
• Некорректность
• Нелинейная система
• Закономерности в природе
• Предсказуемость
• Квантовый хаос
• Институт Санта-Фе
• Лемма о затенении
• Синхронизация хаоса
• Непреднамеренные последствия

Люди

• Ральф Абрахам
• Майкл Берри
• Леон О. Чуа
• Ивар Экеланд
• Дойн Фармер
• Мартин Гуцвиллер
• Бросл Хасслахер
• Мишель Хенон
• Александр Ляпунов
• Норман Паккард
• Отто Рёсслер
• Дэвид Руэль
• Александр Николаевич Шарковский
• Роберт Шоу
• Флорис Такенс
• Джеймс А. Йорк
• Джордж М. Заславский

Ссылки

1. "теория хаоса | Определение и факты". Encyclopedia Britannica . Получено 24.11.2019 .
2. "Что такое теория хаоса? – Фрактальная основа" . Получено 24.11.2019 .
3. Weisstein, Eric W. "Хаос". mathworld.wolfram.com . Получено 24.11.2019 .
4. Boeing, Geoff (26 марта 2015 г.). «Теория хаоса и логистическая карта» . Получено 17 мая 2020 г.
5. Лоренц, Эдвард (1993). Сущность хаоса . Издательство Вашингтонского университета. С. 181–206.
6. Шен, Бо-Вен; Пильке, Роджер А.; Цзэн, Сюбин; Цуй, Цзялинь; Фаги-Наини, Сара; Паксон, Вэй; Атлас, Роберт (2022-07-04). «Три вида эффектов бабочки в моделях Лоренца». Энциклопедия . 2 (3): 1250–1259. doi : 10.3390/encyclopedia2030084 . ISSN  2673-8392. Текст скопирован из этого источника, который доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International.
7. Келлерт, Стивен Х. (1993). Вслед за хаосом: непредсказуемый порядок в динамических системах . Издательство Чикагского университета. стр. 32. ISBN 978-0-226-42976-2.
8. Бишоп, Роберт (2017), «Хаос», в Zalta, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (весеннее издание 2017 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , получено 24 ноября 2019 г.
9. Келлерт 1993, стр. 56
10. Келлерт 1993, стр. 62
11. Werndl, Charlotte (2009). «Каковы новые следствия хаоса для непредсказуемости?». Британский журнал философии науки . 60 (1): 195–220. arXiv : 1310.1576 . doi : 10.1093/bjps/axn053. S2CID  354849.
12. Дэнфорт, Кристофер М. (апрель 2013 г.). «Хаос в атмосфере, висящей на стене». Математика планеты Земля 2013 г. Получено 12 июня 2018 г.
13. Лоренц, Эдвард Н. (1963). "Детерминированный непериодический поток". Журнал атмосферных наук . 20 (2): 130–141. Bibcode :1963JAtS...20..130L. doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 .
14. Иванчевич, Владимир Г.; Тияна Т. Иванчевич (2008). Сложная нелинейность: хаос, фазовые переходы, изменение топологии и интегралы по траектории . Springer. ISBN 978-3-540-79356-4.
15. Mosko MS, Damon FH (Eds.) (2005). О порядке хаоса. Социальная антропология и наука о хаосе . Оксфорд: Berghahn Books.
16. Piotrowski, Chris. «Пандемия Covid-19 и теория хаоса: приложения, основанные на библиометрическом анализе». researchgate.net . Получено 13 мая 2020 г.
17. Weinberger, David (2019). Повседневный хаос – технологии, сложность и как мы процветаем в новом мире возможностей. Harvard Business Review Press. ISBN 9781633693968.
18. "Структурный хаос". www.philarchive.org . Получено 2024-08-18 .
19. Wisdom, Jack; Sussman, Gerald Jay (1992-07-03). «Хаотическая эволюция Солнечной системы». Science . 257 (5066): 56–62. Bibcode :1992Sci...257...56S. doi :10.1126/science.257.5066.56. hdl : 1721.1/5961 . ISSN  1095-9203. PMID  17800710. S2CID  12209977.
20. Синхронизация: Возникающая наука спонтанного порядка , Стивен Строгац, Hyperion, Нью-Йорк, 2003, страницы 189–190.
21. Определение хаоса в Викисловаре ;
22. "Определение хаоса | Dictionary.com". www.dictionary.com . Получено 24.11.2019 .
23. Хассельблатт, Борис; Анатоль Каток (2003). Первый курс динамики: с панорамой последних событий . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58750-1.
24. Elaydi, Saber N. (1999). Дискретный хаос . Chapman & Hall/CRC. стр. 137. ISBN 978-1-58488-002-8.
25. Basener, William F. (2006). Топология и ее приложения . Wiley. стр. 42. ISBN 978-0-471-68755-9.
26. Бэнкс; Брукс; Кэрнс; Дэвис; Стейси (1992). «Об определении хаоса Девани». The American Mathematical Monthly . 99 (4): 332–334. doi :10.1080/00029890.1992.11995856.
27. Веллекуп, Мишель; Берглунд, Рауль (апрель 1994 г.). «On Intervals, Transitivity = Chaos». The American Mathematical Monthly . 101 (4): 353–5. doi :10.2307/2975629. JSTOR  2975629.
28. Медио, Альфредо; Лайнс, Марджи (2001). Нелинейная динамика: Учебник для начинающих . Cambridge University Press. стр. 165. ISBN 978-0-521-55874-7.
29. "Эдвард Лоренц, отец теории хаоса и эффекта бабочки, умер в возрасте 90 лет". MIT News . 16 апреля 2008 г. Получено 24 ноября 2019 г.
30. Шен, Бо-Вен; Пильке, Роджер А.; Цзэн, Сюбин (2022-05-07). «Одна седловая точка и два типа чувствительности в моделях Лоренца 1963 и 1969 годов». Атмосфера . 13 (5): 753. Bibcode : 2022Atmos..13..753S. doi : 10.3390/atmos13050753 . ISSN  2073-4433.
31. Уоттс, Роберт Г. (2007). Глобальное потепление и будущее Земли . Морган и Клейпул. стр. 17.
32. Weisstein, Eric W. "Характеристический показатель Ляпунова". mathworld.wolfram.com . Получено 24.11.2019 .
33. Devaney 2003
34. Робинсон 1995
35. Аллигуд, Зауэр и Йорк 1997
36. Li, TY ; Yorke, JA (1975). "Period Three Implies Chaos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 82 (10): 985–92. Bibcode :1975AmMM...82..985L. CiteSeerX 10.1.1.329.5038 . doi :10.2307/2318254. JSTOR  2318254. Архивировано из оригинала (PDF) 29.12.2009. 
37. Стрелиофф, Кристофер и др. (2006). «Среднесрочное прогнозирование хаоса». Phys. Rev. Lett . 96 (4): 044101. Bibcode : 2006PhRvL..96d4101S. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.044101. PMID  16486826.
38. Шен, Бо-Вен (2019-03-01). «Агрегированная отрицательная обратная связь в обобщенной модели Лоренца». Международный журнал бифуркации и хаоса . 29 (3): 1950037–1950091. Bibcode : 2019IJBC...2950037S. doi : 10.1142/S0218127419500378 . ISSN  0218-1274. S2CID  132494234.
39. Шен, Бо-Вен; Пильке, Роджер А.; Цзэн, Сюбин; Байк, Чон-Джин; Фаги-Наини, Сара; Куй, Цзялинь; Атлас, Роберт (2021-01-01). «Является ли погода хаотичной?: Сосуществование хаоса и порядка в рамках обобщенной модели Лоренца». Бюллетень Американского метеорологического общества . 102 (1): E148–E158. Bibcode : 2021BAMS..102E.148S. doi : 10.1175/BAMS-D-19-0165.1 . ISSN  0003-0007. S2CID  208369617.
40. Shen, Bo-Wen; Pielke Sr., Roger Pielke; Zeng, Xubin; Cui, Jialin; Faghih-Naini, Sara; Paxson, Wei; Kesarkar, Amit; Zeng, Xiping; Atlas, Robert (12.11.2022). "Двойственная природа хаоса и порядка в атмосфере". Атмосфера . 13 (11): 1892. Bibcode : 2022Atmos..13.1892S. doi : 10.3390/atmos13111892 . ISSN  2073-4433.
41. Йорк, Джеймс А.; Йорк, Эллен Д. (1979-09-01). «Метастабильный хаос: переход к устойчивому хаотическому поведению в модели Лоренца». Журнал статистической физики . 21 (3): 263–277. Bibcode :1979JSP....21..263Y. doi :10.1007/BF01011469. ISSN  1572-9613. S2CID  12172750.
42. Шен, Бо-Вен; Пильке-старший, РА; Цзэн, X.; Байк, Дж.-Дж.; Фаги-Наини, С.; Куй, Дж.; Атлас, Р.; Рейес, ТАЛ (2021). «Является ли погода хаотичной? Сосуществование хаотических и нехаотических аттракторов в моделях Лоренца». В Skiadas, Христос Х.; Димотикалис, Яннис (ред.). 13-я Международная конференция по хаотическому моделированию и имитации . Труды Springer по сложности. Cham: Springer International Publishing. стр. 805–825. doi :10.1007/978-3-030-70795-8_57. ISBN 978-3-030-70795-8. S2CID  245197840.
43. Sprott, JC (1997). "Простейший диссипативный хаотический поток". Physics Letters A. 228 ( 4–5): 271–274. Bibcode :1997PhLA..228..271S. doi :10.1016/S0375-9601(97)00088-1.
44. Fu, Z.; Heidel, J. (1997). "Нехаотическое поведение в трехмерных квадратичных системах". Нелинейность . 10 (5): 1289–1303. Bibcode :1997Nonli..10.1289F. doi :10.1088/0951-7715/10/5/014. S2CID  250757113.
45. Heidel, J.; Fu, Z. (1999). "Нехаотическое поведение в трехмерных квадратичных системах II. Консервативный случай". Нелинейность . 12 (3): 617–633. Bibcode :1999Nonli..12..617H. doi :10.1088/0951-7715/12/3/012. S2CID  250853499.
46. Ульчиграй, Коринна (2021). «Медленный хаос в поверхностных потоках». Боллеттино дель Юнион Математика Итальяна . 14 (1): 231–255. arXiv : 2010.06231 . дои : 10.1007/s40574-020-00267-0. ISSN  1972-6724.
47. Бонет, Дж.; Мартинес-Хименес, Ф.; Перис, А. (2001). «Банахово пространство, не допускающее хаотических операторов». Бюллетень Лондонского математического общества . 33 (2): 196–8. doi :10.1112/blms/33.2.196. S2CID  121429354.
48. Шен, Бо-Вен (2014-05-01). «Нелинейная обратная связь в пятимерной модели Лоренца». Журнал атмосферных наук . 71 (5): 1701–1723. Bibcode :2014JAtS...71.1701S. doi :10.1175/JAS-D-13-0223.1. ISSN  0022-4928. S2CID  123683839.
49. Musielak, Dora E.; Musielak, Zdzislaw E.; Kennamer, Kenny S. (2005-03-01). «Начало хаоса в нелинейных динамических системах, определяемое с помощью новой фрактальной техники». Fractals . 13 (1): 19–31. doi :10.1142/S0218348X0500274X. ISSN  0218-348X.
50. Рой, Д.; Мусиелак, З.Е. (2007-05-01). «Обобщенные модели Лоренца и их пути к хаосу. I. Энергосберегающие вертикальные усечения мод». Хаос, солитоны и фракталы . 32 (3): 1038–1052. Bibcode : 2007CSF....32.1038R. doi : 10.1016/j.chaos.2006.02.013. ISSN  0960-0779.
51. Адачихара, Х.; Маклафлин, Д.У.; Молони, Дж.В.; Ньюэлл, А.С. (1988). «Уединенные волны как неподвижные точки бесконечномерных отображений для оптического бистабильного кольцевого резонатора: анализ». Журнал математической физики . 29 (1): 63. Bibcode : 1988JMP....29...63A. doi : 10.1063/1.528136.
52. Окулов, А. Ю.; Ораевский, А. Н. (1988). «Пространственно-временная динамика волнового пакета в нелинейной среде и дискретные отображения». В Н. Г. Басов (ред.). Труды Физического института им. П. Н. Лебедева. Т. 187. Наука. С. 202–222. LCCN  88174540.
53. Окулов, А Ю (2000). «Пространственный солитонный лазер: геометрия и устойчивость». Оптика и спектроскопия . 89 (1): 145–147. Bibcode : 2000OptSp..89..131O. doi : 10.1134/BF03356001. S2CID  122790937.
54. Окулов, А Ю (2020). «Структурированные световые сущности, хаос и нелокальные отображения». Хаос, солитоны и фракталы . 133 (4): 109638. arXiv : 1901.09274 . Bibcode : 2020CSF...13309638O. doi : 10.1016/j.chaos.2020.109638. S2CID  118828500.
55. KE Chlouverakis и JC Sprott, Chaos Solitons & Fractals 28, 739–746 (2005), Хаотические гиперрывковые системы, http://sprott.physics.wisc.edu/pubs/paper297.htm
56. «Новая хаотическая рывковая схема», JC Sprott, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 2011.
57. «Простые автономные хаотические схемы», JC Sprott, IEEE Transactions on Circuits and Systems—II: Express Briefs, 2010.
58. «Безопасное шифрование изображений на основе генератора хаотического шума Чуа», AS Andreatos* и AP Leros, Journal of Engineering Science and Technology Review, 2013.
59. Стивен Строгац, Синхронизация: зарождающаяся наука спонтанного порядка , Hyperion, 2003.
60. Овчинников, И.В. (2024-02-15). «Повсеместный порядок, известный как хаос». Хаос, солитоны и фракталы . 181 (5): 114611. Bibcode : 2024CSF...18114611O. doi : 10.1016/j.chaos.2024.114611. ISSN  0960-0779.
61. Хант, Брайан Р.; Йорк, Джеймс А. (1993). «Максвелл о хаосе» (PDF) . Нелинейная наука сегодня . 3 (1).
62. Эверитт, Фрэнсис (2006-12-01). "Джеймс Клерк Максвелл: сила для физики". Physics World . Получено 2023-11-03 .
63. Гардини, Лаура; Гребоджи, Чельсо; Ленчи, Стефано (2020-10-01). «Теория хаоса и ее применение: ретроспектива извлеченных уроков и упущенных или новых возможностей». Нелинейная динамика . 102 (2): 643–644. doi : 10.1007/s11071-020-05903-0 . hdl : 2164/17003 . ISSN  1573-269X. S2CID  225246631.
64. Пуанкаре, Жюль Анри (1890). «Sur le problème des trois corps et les équations de la dinamique. Divergence des séries de M. Lindstedt». Акта Математика . 13 (1–2): 1–270. дои : 10.1007/BF02392506 .
65. Пуанкаре, Ж. Анри (2017). Задача трех тел и уравнения динамики: основополагающая работа Пуанкаре по теории динамических систем . Попп, Брюс Д. (переводчик). Хам, Швейцария: Springer International Publishing. ISBN 9783319528984. OCLC  987302273.
66. Диаку, Флорин; Холмс, Филип (1996). Небесные встречи: истоки хаоса и стабильности . Princeton University Press .
67. Адамар, Жак (1898). «Les Surfaces à Courbures Opposiées et leurs lignes géodesiques». Журнал Mathématiques Pures et Appliquées . 4 : 27–73.
68. Джордж Д. Биркгофф, Динамические системы, т. 9, Сборник публикаций Американского математического общества (Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, 1927)
69. Колмогоров, Андрей Николаевич (1941). "Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса" . Доклады Академии наук СССР . 30 (4): 301–5. Bibcode :1941DoSSR..30..301K.Перепечатано в: Колмогоров, АН (1991). "Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости для очень больших чисел Рейнольдса". Труды Королевского общества A. 434 ( 1890): 9–13. Bibcode :1991RSPSA.434....9K. doi :10.1098/rspa.1991.0075. S2CID  123612939.
70. Колмогоров, А. Н. (1941). «О вырождении изотропной турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости». Доклады Академии наук СССР . 31 (6): 538–540.Перепечатано в: Колмогоров, АН (1991). «Диссипация энергии в локально изотропной турбулентности». Труды Королевского общества A. 434 ( 1890): 15–17. Bibcode :1991RSPSA.434...15K. doi :10.1098/rspa.1991.0076. S2CID  122060992.
71. Колмогоров, АН (1979). "Сохранение условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона". Стохастическое поведение в классических и квантовых гамильтоновых системах . Конспект лекций по физике. Т. 93. С. 51–56. Bibcode :1979LNP....93...51K. doi :10.1007/BFb0021737. ISBN 978-3-540-09120-2.Перевод Doklady Akademii Nauk SSSR (1954) 98: 527. См. также теорему Колмогорова–Арнольда–Мозера.
72. Картрайт, Мэри Л.; Литтлвуд, Джон Э. (1945). «О нелинейных дифференциальных уравнениях второго порядка, I: Уравнение y « + k (1− y ² ) y' + y = b λkcos(λ t + a ), k large». Журнал Лондонского математического общества . 20 (3): 180–9. doi :10.1112/jlms/s1-20.3.180.См. Также: Осциллятор Ван дер Поля.
73. Смейл, Стивен (январь 1960). «Неравенства Морса для динамической системы». Бюллетень Американского математического общества . 66 : 43–49. doi : 10.1090/S0002-9904-1960-10386-2 .
74. Чириков, Борис. "РЕЗОНАНСНЫЕ ПРОЦЕССЫ В МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ" (PDF) . Атомная энергия . 6 .
75. Чириков, Б.В. (1960-12-01). «Резонансные процессы в магнитных ловушках». Советский журнал атомной энергии . 6 (6): 464–470. doi :10.1007/BF01483352. ISSN  1573-8205. S2CID  59483478.
76. Жан, Беллиссар ; Дима, Шепелянский (27 февраля 1998 г.). «Борис Чириков, пионер классического и квантового хаоса» (PDF) . Annales Henri Poincaré . 68 (4): 379.
77. Беллиссар, Дж.; Бохигас, О.; Казати, Г.; Шепелянский, Д.Л. (1 июля 1999 г.). «Пионер хаоса». Физика D: Нелинейные явления . 131 (1–4): viii–xv. Бибкод : 1999PhyD..131D...8B. дои : 10.1016/s0167-2789(99)90007-6. ISSN  0167-2789. S2CID  119107150.
78. Шепелянский, Дима. Хаос в Fifty Four в 2013 году. OCLC  859751750.
79. Абрахам и Уэда 2000, см. главы 3 и 4.
80. Спротт 2003, стр. 89
81. Сокол, Джошуа (20 мая 2019 г.). «Скрытые героини хаоса». Журнал Quanta . Получено 09.11.2022 .
82. Глейк, Джеймс (1987). Хаос: Создание новой науки . Лондон: Cardinal. стр. 17. ISBN 978-0-434-29554-8.
83. Бергер Дж. М.; Мандельброт Б. (1963). «Новая модель кластеризации ошибок в телефонных цепях». IBM Journal of Research and Development . 7 (3): 224–236. doi :10.1147/rd.73.0224.
84. Мандельброт, Б. (1977). Фрактальная геометрия природы . Нью-Йорк: Freeman. С. 248.
85. См. также: Mandelbrot, Benoît B.; Hudson, Richard L. (2004). (Не)правильное поведение рынков: фрактальный взгляд на риск, разорение и вознаграждение . Нью-Йорк: Basic Books. стр. 201. ISBN 9780465043552.
86. Мандельброт, Бенуа (5 мая 1967 г.). «Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность». Science . 156 (3775): 636–8. Bibcode :1967Sci...156..636M. doi :10.1126/science.156.3775.636. PMID  17837158. S2CID  15662830. Архивировано из оригинала 19 октября 2021 г. Получено 31 января 2022 г.
87. Мандельброт, Б. (1982). Фрактальная геометрия природы. Нью-Йорк: Macmillan. ISBN 978-0716711865.
88. Фейгенбаум, Митчелл (июль 1978 г.). «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований». Журнал статистической физики . 19 (1): 25–52. Bibcode :1978JSP....19...25F. CiteSeerX 10.1.1.418.9339 . doi :10.1007/BF01020332. S2CID  124498882. 
89. Кулле, Пьер и Шарль Трессер. «Итерации эндоморфизмов и групп перенормировок». Le Journal de Physique Colloques 39.C5 (1978): C5-25
90. "Премия Вольфа по физике в 1986 году". Архивировано из оригинала 2024-05-25 . Получено 2008-01-17 .
91. Huberman, BA (июль 1987). "Модель дисфункций в плавном следящем движении глаз". Annals of the New York Academy of Sciences . 504 Perspectives in Biological Dynamics and Theoretical Medicine (1): 260–273. Bibcode :1987NYASA.504..260H. doi :10.1111/j.1749-6632.1987.tb48737.x. PMID  3477120. S2CID  42733652.
92. Бак, Пер; Тан, Чао; Визенфельд, Курт (27 июля 1987 г.). «Самоорганизованная критичность: объяснение шума 1/f». Physical Review Letters . 59 (4): 381–4. Bibcode :1987PhRvL..59..381B. doi :10.1103/PhysRevLett.59.381. PMID  10035754. S2CID  7674321.Однако выводы этой статьи стали предметом споров. "?". Архивировано из оригинала 2007-12-14.. См. в частности: Laurson, Lasse; Alava, Mikko J.; Zapperi, Stefano (15 сентября 2005 г.). "Письмо: Спектры мощности самоорганизованных критических песчаных куч". Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 0511 . L001.
93. Омори, Ф. (1894). «О толчках после землетрясений». Журнал Колледжа наук, Императорский университет Токио . 7 : 111–200.
94. Gleick, James (26 августа 2008 г.). Хаос: Создание новой науки . Penguin Books. ISBN 978-0143113454.
95. Motter, AE; Campbell, DK (2013). «Хаос в пятьдесят». Phys. Today . 66 (5): 27–33. arXiv : 1306.5777 . Bibcode : 2013PhT....66e..27M. doi : 10.1063/pt.3.1977. S2CID  54005470.
96. Хаблер, А.; Фостер, Г.; Фелпс, К. (2007). «Управление хаосом: нестандартное мышление». Сложность . 12 (3): 10. Bibcode : 2007Cmplx..12c..10H. doi : 10.1002/cplx.20159.
97. Киль, Л.; Эллиотт, Юэль, ред. (1996). Теория хаоса в социальных науках: основы и приложения . Энн-Арбор, Мичиган: Издательство Мичиганского университета. doi : 10.3998/mpub.14623. hdl : 2027/fulcrum.d504rm03n. ISBN 9780472106387.
98. Чен, Г.-Р. (2020-01-01). "Эффект бабочки и хаос" (PDF) . Получено 1 июля 2023 г. .
99. Шен, Бо-Вен; Пильке, старший, Роджер; Цзэн, Сюбин (2023-08-12). «50-я годовщина метафорического эффекта бабочки со времен Лоренца (1972): мультистабильность, многомасштабная предсказуемость и чувствительность в численных моделях». Атмосфера . 14 (8): 1279. Bibcode : 2023Atmos..14.1279S. doi : 10.3390/atmos14081279 .
100. Шен, Бо-Вен (2023-09-04). «Обзор моделей Лоренца с 1960 по 2008 год». Международный журнал бифуркации и хаоса . 33 (10): 2330024–2330220. Bibcode : 2023IJBC...3330024S. doi : 10.1142/S0218127423300240. S2CID  261548506.
101. Лоренц, EN (1964). «Проблема выведения климата из основных уравнений». Tellus . 16 (1): 1–11. Bibcode : 1964Tell...16....1L. doi : 10.3402/tellusa.v16i1.8893 .
102. Шен, Бо-Вен; Пильке-старший, Роджер; Цзэн, Сюбинь, ред. (11.10.2023). 50-я годовщина эффекта метафорической бабочки со времен Лоренца (1972): мультистабильность, многомасштабная предсказуемость и чувствительность в численных моделях. MDPI. doi : 10.3390/books978-3-0365-8911-4 . ISBN 978-3-0365-8911-4.
103. Lorenz, EN (декабрь 2008 г.). "Эффект бабочки. Лекция по случаю вручения премии Premio Felice Pietro Chisesi E Caterina Thomassoni; Римский университет: Рим, Италия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 10 июня 2023 г. . Получено 29 января 2023 г. .
104. Шен, Бо-Вэнь (20 февраля 2023 г.). «Популярная, но неточная аналогия хаоса и эффекта бабочки». YouTube . Получено 21.02.2023 .
105. Сайки, Ёситака; Йорк, Джеймс А. (2023-05-02). «Может ли взмах крыльев бабочки переместить торнадо в Техас — без хаоса?». Атмосфера . 14 (5): 821. Bibcode : 2023Atmos..14..821S. doi : 10.3390/atmos14050821 . ISSN  2073-4433.
106. Стивен Кумбс (февраль 2009 г.). «Геометрия и пигментация ракушек» (PDF) . www.maths.nottingham.ac.uk . Ноттингемский университет . Архивировано (PDF) из оригинала 2013-11-05 . Получено 2013-04-10 .
107. Kyrtsou C.; Labys W. (2006). «Доказательства хаотической зависимости между инфляцией в США и ценами на сырьевые товары». Журнал макроэкономики . 28 (1): 256–266. doi :10.1016/j.jmacro.2005.10.019.
108. Kyrtsou C., Labys W.; Labys (2007). «Обнаружение положительной обратной связи в многомерных временных рядах: случай цен на металлы и инфляции в США». Physica A. 377 ( 1): 227–229. Bibcode : 2007PhyA..377..227K. doi : 10.1016/j.physa.2006.11.002.
109. Кирцоу, К.; Ворлов, К. (2005). «Сложная динамика в макроэкономике: новый подход». В Diebolt, К.; Кирцоу, К. (ред.). Новые тенденции в макроэкономике . Springer Verlag.
110. Эрнандес-Акоста, Массачусетс; Трехо-Вальдес, М.; Кастро-Чакон, Дж. Х.; Мигель, ЧР Торрес-Сан; Мартинес-Гутьеррес, Х. (2018). «Хаотические характеристики фотопроводящих наноструктур Cu 2 ZnSnS 4, исследованных аттракторами Лоренца». Новый журнал физики . 20 (2): 023048. Бибкод : 2018NJPh...20b3048H. дои : 10.1088/1367-2630/aaad41 . ISSN  1367-2630.
111. "Применение теории хаоса к встроенным приложениям". Архивировано из оригинала 9 августа 2011 г.
112. Христу-Варсакелис, Д.; Кирцоу, К. (2008). «Доказательства нелинейной асимметричной причинности в инфляции в США, доходности металлов и акций». Дискретная динамика в природе и обществе . 2008 : 1–7. doi : 10.1155/2008/138547 . 138547.
113. Kyrtsou, C.; M. Terraza (2003). «Возможно ли изучать хаотическое и ARCH-поведение совместно? Применение шумного уравнения Макки-Гласса с гетероскедастическими ошибками к ряду доходностей Парижской фондовой биржи». Computational Economics . 21 (3): 257–276. doi :10.1023/A:1023939610962. S2CID  154202123.
114. Грегори-Уильямс, Джастин; Уильямс, Билл (2004). Торговый хаос: максимизируйте прибыль с помощью проверенных технических приемов (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 9780471463085.
115. Питерс, Эдгар Э. (1994). Фрактальный анализ рынка: применение теории хаоса к инвестициям и экономике (2-е печатное издание). New York ua: Wiley. ISBN 978-0471585244.
116. Питерс, / Эдгар Э. (1996). Хаос и порядок на рынках капитала: новый взгляд на циклы, цены и волатильность рынка (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 978-0471139386.
117. Хаблер, А.; Фелпс, К. (2007). «Руководство саморегулирующейся системой через хаос». Сложность . 13 (2): 62. Bibcode : 2007Cmplx..13b..62W. doi : 10.1002/cplx.20204.
118. Гериг, А. (2007). «Хаос в одномерном сжимаемом потоке». Physical Review E. 75 ( 4): 045202. arXiv : nlin/0701050 . Bibcode : 2007PhRvE..75d5202G. doi : 10.1103/PhysRevE.75.045202. PMID  17500951. S2CID  45804559.
119. Wotherspoon, T.; Hubler, A. (2009). «Адаптация к границе хаоса в самонастраивающейся логистической карте». Журнал физической химии A. 113 ( 1): 19–22. Bibcode :2009JPCA..113...19W. doi :10.1021/jp804420g. PMID  19072712.
120. Бородкин, Леонид И. (2019). «Вызовы нестабильности: концепции синергетики в изучении исторического развития России». Уральский исторический журнал . 63 (2): 127–136. doi : 10.30759/1728-9718-2019-2(63)-127-136 .
121. Progonati, E (2018). «Brexit в свете теории хаоса и некоторые предположения о будущем Европейского союза». Хаос, сложность и лидерство 2018 года исследования хаотической и сложной теории . Springer. ISBN 978-3-030-27672-0.
122. Дилао, Р.; Домингос, Т. (2001). «Периодическое и квазипериодическое поведение в моделях популяций, зависящих от ресурсов и возраста». Бюллетень математической биологии . 63 (2): 207–230. doi :10.1006/bulm.2000.0213. PMID  11276524. S2CID  697164.
123. Ахаван, А.; Самсудин, А.; Ахшани, А. (2011-10-01). «Симметричная схема шифрования изображений, основанная на сочетании нелинейных хаотических отображений». Журнал Института Франклина . 348 (8): 1797–1813. doi :10.1016/j.jfranklin.2011.05.001.
124. Behnia, S.; Akhshani, A.; Mahmodi, H.; Akhavan, A. (2008-01-01). "Новый алгоритм шифрования изображений на основе смеси хаотических карт". Chaos, Solitons & Fractals . 35 (2): 408–419. Bibcode : 2008CSF....35..408B. doi : 10.1016/j.chaos.2006.05.011.
125. Ван, Синюань; Чжао, Цзяньфэн (2012). «Улучшенный протокол согласования ключей на основе хаоса». Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul . 15 (12): 4052–4057. Bibcode :2010CNSNS..15.4052W. doi :10.1016/j.cnsns.2010.02.014.
126. Бабаи, Маджид (2013). «Новый метод шифрования текста и изображений, основанный на теории хаоса и ДНК-вычислениях». Natural Computing . 12 (1): 101–107. doi :10.1007/s11047-012-9334-9. S2CID  18407251.
127. Ахаван, А.; Самсудин, А.; Ахшани, А. (2017-10-01). «Криптоанализ алгоритма шифрования изображений на основе кодирования ДНК». Оптика и лазерные технологии . 95 : 94–99. Bibcode : 2017OptLT..95...94A. doi : 10.1016/j.optlastec.2017.04.022.
128. Сюй, Мин (2017-06-01). "Криптоанализ алгоритма шифрования изображений на основе работы последовательности ДНК и гиперхаотической системы". 3D Research . 8 (2): 15. Bibcode :2017TDR.....8..126X. doi :10.1007/s13319-017-0126-y. ISSN  2092-6731. S2CID  125169427.
129. Лю, Юаньшэн; Тан, Цзе; Сье, Тао (2014-08-01). «Криптоанализ алгоритма шифрования изображений RGB на основе кодирования ДНК и карты хаоса». Оптика и лазерные технологии . 60 : 111–115. arXiv : 1307.4279 . Bibcode : 2014OptLT..60..111L. doi : 10.1016/j.optlastec.2014.01.015. S2CID  18740000.
130. Nehmzow, Ulrich; Keith Walker (декабрь 2005 г.). «Количественное описание взаимодействия робота и окружающей среды с использованием теории хаоса» (PDF) . Robotics and Autonomous Systems . 53 (3–4): 177–193. CiteSeerX 10.1.1.105.9178 . doi :10.1016/j.robot.2005.09.009. Архивировано из оригинала (PDF) 2017-08-12 . Получено 2017-10-25 . 
131. Госвами, Амбариш; Туило, Бенуа; Эспио, Бернар (1998). «Исследование пассивной походки двуногого робота, похожего на компас: симметрия и хаос». Международный журнал исследований робототехники . 17 (12): 1282–1301. CiteSeerX 10.1.1.17.4861 . doi :10.1177/027836499801701202. S2CID  1283494. 
132. Эдуардо, Лиз; Руис-Эррера, Альфонсо (2012). «Хаос в дискретных структурированных моделях популяции». Журнал SIAM по прикладным динамическим системам . 11 (4): 1200–1214. doi :10.1137/120868980.
133. Лай, Децзянь (1996). «Сравнительное исследование моделей дополненной реальности на основе данных о канадской рыси: пристальный взгляд на статистику BDS». Computational Statistics & Data Analysis . 22 (4): 409–423. doi :10.1016/0167-9473(95)00056-9.
134. Sivakumar, B (31 января 2000 г.). «Теория хаоса в гидрологии: важные вопросы и интерпретации». Журнал гидрологии . 227 (1–4): 1–20. Bibcode : 2000JHyd..227....1S. doi : 10.1016/S0022-1694(99)00186-9.
135. Бозоки, Жолт (февраль 1997 г.). «Теория хаоса и анализ спектра мощности в компьютерной кардиотокографии». Европейский журнал акушерства и гинекологии и репродуктивной биологии . 71 (2): 163–168. doi :10.1016/s0301-2115(96)02628-0. PMID  9138960.
136. Перри, Джо; Смит, Роберт; Войвод, Ян; Морзе, Дэвид (2000). Перри, Джо Н; Смит, Роберт Х; Войвод, Ян П; Морзе, Дэвид Р (ред.). Хаос в реальных данных: анализ нелинейной динамики из коротких экологических временных рядов . Серия «Биология населения и сообществ» (1-е изд.). Springer Science+Business Media Dordrecht . стр. xii+226. doi :10.1007/978-94-011-4010-2. ISBN 978-94-010-5772-1. S2CID  37855255.
137. Томпсон, Джон; Бердон, Джереми (1992). «Коэволюция генов между растениями и паразитами». Обзорная статья. Nature . 360 (6400). Nature Publishing Group : 121–125. Bibcode : 1992Natur.360..121T. doi : 10.1038/360121a0. eISSN  1476-4687. ISSN  0028-0836. S2CID  4346920.
138. Джонс, Гарет (1998). Джонс, Д. Гарет (ред.). Эпидемиология болезней растений (1-е изд.). Springer Science+Business Media Dordrecht . стр. xvi + 460 + 26 ч/б илл. + 33 цветных илл. doi :10.1007/978-94-017-3302-1. ISBN  978-94-017-3302-1. S2CID  1793087.
139. Хуарес, Фернандо (2011). «Применение теории хаоса и сложной модели здоровья для установления связей между финансовыми показателями». Procedia Computer Science . 3 : 982–986. doi : 10.1016/j.procs.2010.12.161 .
140. Брукс, Крис (1998). «Хаос на валютных рынках: скептический взгляд» (PDF) . Computational Economics . 11 (3): 265–281. doi :10.1023/A:1008650024944. ISSN  1572-9974. S2CID  118329463. Архивировано (PDF) из оригинала 2017-08-09.
141. Орландо, Джузеппе; Зиматоре, Джованна (18 декабря 2017 г.). «Корреляции RQA во временных рядах реальных бизнес-циклов». Индийская академия наук – Серия конференций . 1 (1): 35–41. doi : 10.29195/iascs.01.01.0009 .
142. Орландо, Джузеппе; Циматоре, Джованна (1 мая 2018 г.). «Анализ повторяемости количественных показателей бизнес-циклов». Хаос, солитоны и фракталы . 110 : 82–94. Bibcode :2018CSF...110...82O. doi :10.1016/j.chaos.2018.02.032. ISSN  0960-0779. S2CID  85526993.
143. Орландо, Джузеппе; Циматоре, Джованна (1 августа 2020 г.). «Моделирование бизнес-цикла между финансовыми кризисами и черными лебедями: стохастический процесс Орнштейна–Уленбека против детерминированной хаотической модели Калдора». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 30 (8): 083129. Bibcode : 2020Chaos..30h3129O. doi : 10.1063/5.0015916. PMID  32872798. S2CID  235909725.
144. Возможность проведения глобального эксперимента по наблюдению и анализу. 1966-01-01. doi :10.17226/21272. ISBN 978-0-309-35922-1.
145. GARP. "Темы GARP". Bull. Am. Meteorol. Soc . 50 : 136–141.
146. Шен, Бо-Вен; Пильке, Роджер А.; Цзэн, Сюбин; Цзэн, Сипин (2024-07-16). «Изучение происхождения предела двухнедельной предсказуемости: пересмотр исследований предсказуемости Лоренца в 1960-х годах». Атмосфера . 15 (7): 837. doi : 10.3390/atmos15070837 . ISSN  2073-4433.
147. Салинас, Абель; Морстаттер, Фред (01.01.2024). «Эффект бабочки при изменении подсказок: как небольшие изменения и джейлбрейки влияют на производительность большой языковой модели». arXiv : 2401.03729 [cs.CL].
148. Ли, Мэншань; Синюань Хуанга; Хешэн Люа; Бинсян Люб; Янь Вуб; Айхуа Сюнц; Тяньвэнь Дун (25 октября 2013 г.). «Прогнозирование растворимости газа в полимерах с помощью искусственной нейронной сети обратного распространения на основе самоадаптивного алгоритма оптимизации роя частиц и теории хаоса». Fluid Phase Equilibria . 356 : 11–17. Bibcode : 2013FlPEq.356...11L. doi : 10.1016/j.fluid.2013.07.017.
149. Морбиделли, А. (2001). «Хаотическая диффузия в небесной механике». Регулярная и хаотическая динамика . 6 (4): 339–353. doi :10.1070/rd2001v006n04abeh000182.
150. Стивен Строгац, Синхронизация: зарождающаяся наука спонтанного порядка , Гиперион, 2003
151. Динци, Ли; Юаньпин Чэньга; Лей Ванга; Хайфэн Ванга; Лян Ванга; Хунсин Чжоу (май 2011 г.). «Метод прогнозирования рисков выбросов угля и газа на основе теории пространственного хаоса с использованием индекса десорбции газа из бурового шлама». Горная наука и технологии . 21 (3): 439–443. Bibcode :2011MiSTC..21..439L. doi :10.1016/j.mstc.2011.05.010.
152. Glass, L (1997). "Динамическая болезнь: влияние нелинейной динамики и хаоса на кардиологию и медицину". В Grebogi, C; Yorke, JA (ред.). Влияние хаоса на науку и общество . United Nations University Press.
153. Mandell, AJ; Selz, KA (1997). «Является ли ЭЭГ странным аттрактором?». В Grebogi, C; Yorke, JA (ред.). Влияние хаоса на науку и общество . United Nations University Press.
154. Даль Форно, Арианна; Мерлон, Уго (2013). «Нелинейная динамика в рабочих группах с основными предположениями Биона». Нелинейная динамика, психология и науки о жизни . 17 (2): 295–315. ISSN  1090-0578. PMID  23517610.
155. Редингтон, DJ; Рейдборд, SP (1992). «Хаотическая динамика в активности автономной нервной системы пациента во время сеанса психотерапии». Биологическая психиатрия . 31 (10): 993–1007. doi :10.1016/0006-3223(92)90093-F. PMID  1511082. S2CID  214722.
156. Меткалф, BR; Аллен, JD (1995). «В поисках хаоса в полидипсии, вызванной расписанием». В Abraham, FD; Gilgen, AR (ред.). Теория хаоса в психологии . Greenwood Press.
157. Pryor, Robert GL; Norman E. Amundson; Jim EH Bright (июнь 2008 г.). «Вероятности и возможности: стратегические консультативные последствия теории хаоса в карьере». The Career Development Quarterly . 56 (4): 309–318. doi :10.1002/j.2161-0045.2008.tb00096.x.
158. Томпсон, Джейми; Джонстон, Джеймс; Бэнкс, Курт (2018). «Исследование ритуалов инициации в спортивном учреждении Великобритании и их влияние на развитие группы». European Sport Management Quarterly . 18 (5): 544–562. doi :10.1080/16184742.2018.1439984. S2CID  149352680.
159. Дал Форно, Арианна; Мерлоне, Уго (2013). «Хаотическая динамика в теории организации». В Биски, Джан Итало; Кьярелла, Карл; Щусько, Ирина (ред.). Глобальный анализ динамических моделей в экономике и финансах . Спрингер-Верлаг. стр. 185–204. ISBN 978-3-642-29503-4.
160. Ван, Цзинь; Цисинь Ши (февраль 2013 г.). «Гибридная модель краткосрочного прогнозирования скорости движения на основе анализа хаоса–вейвлетов и теории опорных векторов». Transportation Research Часть C: Новые технологии . 27 : 219–232. Bibcode : 2013TRPC...27..219W. doi : 10.1016/j.trc.2012.08.004.
161. "Д-р Грегори Б. Пастернак – Гидрология водораздела, геоморфология и экогидравлика :: Хаос в гидрологии". pasternack.ucdavis.edu . Получено 12 июня 2017 г.
162. Пастернак, Грегори Б. (1999-11-01). «Река выходит из берегов? Оценка хаоса в гидрологических системах». Достижения в области водных ресурсов . 23 (3): 253–260. Bibcode :1999AdWR...23..253P. doi :10.1016/s0309-1708(99)00008-1.

Дальнейшее чтение

Статьи

• Шарковский, А. Н. (1964). «Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя». Украинский мат. ж . 16 : 61–71.
• Li, TY ; Yorke, JA (1975). "Period Three Implies Chaos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 82 (10): 985–92. Bibcode :1975AmMM...82..985L. CiteSeerX  10.1.1.329.5038 . doi :10.2307/2318254. JSTOR  2318254. Архивировано из оригинала (PDF) 29.12.2009 . Получено 12.08.2009 .
• Alemansour, Hamed; Miandoab, Ehsan Maani; Pishkenari, Hossein Nejat (март 2017 г.). «Влияние размера на хаотическое поведение нанорезонаторов». Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 44 : 495–505. Bibcode :2017CNSNS..44..495A. doi :10.1016/j.cnsns.2016.09.010.
• Crutchfield ; Tucker; Morrison; JD Farmer ; Packard ; NH; Shaw ; RS (декабрь 1986 г.). «Хаос». Scientific American . 255 (6): 38–49 (библиография, стр. 136). Bibcode :1986SciAm.255d..38T. doi :10.1038/scientificamerican1286-46.Онлайн-версия (Примечание: цитирование тома и страницы, приведенное для онлайн-текста, отличается от цитируемого здесь. Цитата здесь взята из фотокопии, что соответствует другим цитатам, найденным в Интернете, которые не предоставляют просмотров статей. Онлайн-контент идентичен тексту в печатной версии. Изменения в цитировании связаны со страной публикации).
• Коляда, СФ (2004). «Чувствительность Ли-Йорка и другие концепции хаоса». Украинский мат. ж . 56 (8): 1242–57. doi :10.1007/s11253-005-0055-4. S2CID  207251437.
• Дэй, Р. Х.; Павлов, О. В. (2004). «Вычисление экономического хаоса». Computational Economics . 23 (4): 289–301. arXiv : 2211.02441 . doi : 10.1023/B:CSEM.0000026787.81469.1f. S2CID  119972392. SSRN  806124.
• Strelioff, C.; Hübler, A. (2006). "Medium-Term Prediction of Chaos" (PDF) . Phys. Rev. Lett . 96 (4): 044101. Bibcode :2006PhRvL..96d4101S. doi :10.1103/PhysRevLett.96.044101. PMID  16486826. 044101. Архивировано из оригинала (PDF) 2013-04-26.
• Hübler, A.; Foster, G.; Phelps, K. (2007). «Управление хаосом: нестандартное мышление» (PDF) . Complexity . 12 (3): 10–13. Bibcode :2007Cmplx..12c..10H. doi :10.1002/cplx.20159. Архивировано из оригинала (PDF) 2012-10-30 . Получено 2011-07-17 .
• Motter, Adilson E.; Campbell, David K. (2013). «Хаос в 50». Physics Today . 66 (5): 27. arXiv : 1306.5777 . Bibcode : 2013PhT....66e..27M. doi : 10.1063/PT.3.1977. S2CID  54005470.

Учебники

• Alligood, KT; Sauer, T.; Yorke, JA (1997). Хаос: введение в динамические системы. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94677-1.
• Бейкер, GL (1996). Хаос, Рассеивание и Статистическая Механика . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39511-3.
• Бади, Р.; Полити А. (1997). Сложность: иерархические структуры и масштабирование в физике. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66385-4.
• Колле, Пьер; Экман, Жан-Пьер (1980). Итерированные отображения на интервале как динамические системы . Биркхаузер. ISBN 978-0-8176-4926-5.
• Девани, Роберт Л. (2003). Введение в хаотические динамические системы (2-е изд.). Westview Press. ISBN 978-0-8133-4085-2.
• Робинсон, Кларк (1995). Динамические системы: Устойчивость, символическая динамика и хаос . CRC Press. ISBN 0-8493-8493-1.
• Фельдман, Д.П. (2012). Хаос и фракталы: элементарное введение. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-956644-0. Архивировано из оригинала 2019-12-31 . Получено 2016-12-29 .
• Gollub, JP; Baker, GL (1996). Хаотическая динамика. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-47685-0.
• Гукенхаймер, Джон ; Холмс, Филип (1983). Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90819-9.
• Гулик, Денни (1992). Встречи с Хаосом . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-025203-5.
• Гуцвиллер, Мартин (1990). Хаос в классической и квантовой механике. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5.
• Гувер, Уильям Грэм (2001) [1999]. Обратимость времени, компьютерное моделирование и хаос. World Scientific. ISBN 978-981-02-4073-8.
• Каутц, Ричард (2011). Хаос: Наука предсказуемого случайного движения. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-959458-0.
• Киль, Л. Дуглас; Эллиотт, Юэл В. (1997). Теория хаоса в социальных науках. Perseus Publishing. ISBN 978-0-472-08472-2.
• Мун, Фрэнсис (1990). Хаотическая и фрактальная динамика. Springer-Verlag. ISBN 978-0-471-54571-2.
• Орландо, Джузеппе; Писарчик, Александр; Ступ, Руеди (2021). Нелинейности в экономике. Динамическое моделирование и эконометрика в экономике и финансах. Том 29. doi : 10.1007/978-3-030-70982-2. ISBN 978-3-030-70981-5. S2CID  239756912.
• Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01084-9.
• Строгац, Стивен (2000). Нелинейная динамика и хаос. Perseus Publishing. ISBN 978-0-7382-0453-6.
• Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850840-3.
• Тель, Тамаш; Груис, Мартон (2006). Хаотическая динамика: введение, основанное на классической механике. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83912-9.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Томпсон Дж. М., Стюарт Х. Б. (2001). Нелинейная динамика и хаос . John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-471-87645-8.
• Tufillaro; Reilly (1992). Экспериментальный подход к нелинейной динамике и хаосу . American Journal of Physics. Vol. 61. Addison-Wesley. p. 958. Bibcode :1993AmJPh..61..958T. doi :10.1119/1.17380. ISBN 978-0-201-55441-0.
• Виггинс, Стивен (2003). Введение в прикладные динамические системы и хаос . Springer. ISBN 978-0-387-00177-7.
• Заславский, Джордж М. (2005). Гамильтонов хаос и дробная динамика . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852604-9.

Полутехнические и популярные произведения

• Кристоф Летелье, Хаос в природе , World Scientific Publishing Company, 2012, ISBN 978-981-4374-42-2 . 
• Абрахам, Ральф Х.; Уэда, Ёсисуке, ред. (2000). Авангард хаоса: воспоминания о ранних днях теории хаоса. Всемирная научная серия по нелинейной науке, серия A. Том 39. World Scientific. Bibcode : 2000cagm.book.....A. doi : 10.1142/4510. ISBN 978-981-238-647-2.
• Барнсли, Майкл Ф. (2000). Фракталы везде. Морган Кауфманн. ISBN 978-0-12-079069-2.
• Bird, Richard J. (2003). Хаос и жизнь: сложность и порядок в эволюции и мышлении. Columbia University Press. ISBN 978-0-231-12662-5.
• Джон Бриггс и Дэвид Пит, «Турбулентное зеркало»: иллюстрированное руководство по теории хаоса и науке целостности , Harper Perennial 1990, 224 стр.
• Джон Бриггс и Дэвид Пит, Семь жизненных уроков хаоса: духовная мудрость науки перемен , Harper Perennial 2000, 224 стр.
• Каннингем, Лоуренс А. (1994). «От случайных блужданий к хаотическим крахам: линейная генеалогия гипотезы эффективного рынка капитала». George Washington Law Review . 62 : 546.
• Предраг Цвитанович , Универсальность в хаосе , Адам Хильгер, 1989, 648 стр.
• Леон Гласс и Майкл С. Макки, От часов к хаосу: ритмы жизни, Princeton University Press, 1988, 272 стр.
• Джеймс Глейк , Хаос: Создание новой науки , Нью-Йорк: Penguin, 1988. 368 стр.
• Джон Гриббин. Глубокая простота . Penguin Press Science. Penguin Books.
• Л. Дуглас Киль, Юэл В. Эллиотт (ред.), Теория хаоса в социальных науках: основы и приложения , Издательство Мичиганского университета, 1997, 360 стр.
• Арвинд Кумар, Хаос, фракталы и самоорганизация; Новые взгляды на сложность природы , National Book Trust, 2003.
• Ханс Лауверьер, Фракталы , Издательство Принстонского университета, 1991.
• Эдвард Лоренц , Сущность хаоса , Издательство Вашингтонского университета, 1996.
• Маршалл, Алан (2002). Единство природы — целостность и дезинтеграция в экологии и науке . doi :10.1142/9781860949548. ISBN 9781860949548.
• Дэвид Пик и Майкл Фрейм, Хаос под контролем: искусство и наука сложности , Freeman, 1994.
• Хайнц-Отто Пайтген и Дитмар Заупе (редакторы), Наука фрактальных изображений , Springer 1988, 312 стр.
• Нурия Перпинья , Каос, вирус, кальма. La Teoría del Caos aplicada al desórden artístico, Social и Politico , Páginas de Espuma, 2021.
• Клиффорд А. Пиковер , Компьютеры, узор, хаос и красота: графика из невидимого мира , St Martins Pr 1991.
• Клиффорд А. Пиковер , Хаос в Стране Чудес: Визуальные приключения во фрактальном мире , St Martins Pr 1994.
• Илья Пригожин и Изабель Стенгерс , «Порядок из хаоса» , Bantam 1984.
• Пайтген, Хайнц-Отто; Рихтер, Питер Х. (1986). Красота фракталов . doi :10.1007/978-3-642-61717-1. ISBN 978-3-642-61719-5.
• Дэвид Рюэль , Случай и хаос , Издательство Принстонского университета, 1993.
• Иварс Петерсон , Часы Ньютона: Хаос в Солнечной системе , Freeman, 1993.
• Ян Роулстоун; Джон Норбери (2013). Невидимые в бурю: роль математики в понимании погоды. Princeton University Press. ISBN 978-0691152721.
• Рюэль, Д. (1989). Хаотическая эволюция и странные аттракторы . doi :10.1017/CBO9780511608773. ISBN 9780521362726.
• Манфред Шредер, Фракталы, хаос и степенные законы , Freeman, 1991.
• Смит, Питер (1998). Объясняя хаос . doi :10.1017/CBO9780511554544. ISBN 9780511554544.
• Ян Стюарт , Играет ли Бог в кости?: Математика хаоса , Blackwell Publishers, 1990.
• Стивен Строгац , Синхронизация: зарождающаяся наука спонтанного порядка , Гиперион, 2003.
• Ёсисуке Уэда, «Дорога к хаосу» , Aerial Pr, 1993.
• М. Митчелл Уолдроп, Сложность: зарождающаяся наука на грани порядка и хаоса , Simon & Schuster, 1992.
• Антонио Савайя, Финансовый анализ временных рядов: подход хаоса и нейродинамики , Ламберт, 2012.

Внешние ссылки

• «Хаос», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Исследовательская группа нелинейной динамики с анимацией во Flash
• Группа «Хаос» в Мэрилендском университете
• The Chaos Hypertextbook. Вводный курс по хаосу и фракталам.
• ChaosBook.org Продвинутый учебник для выпускников по хаосу (без фракталов)
• Общество теории хаоса в психологии и науках о жизни
• Исследовательская группа нелинейной динамики в CSDC, Флоренция , Италия
• Нелинейная динамика: как наука понимает хаос, доклад, представленный Санни Ауян, 1998 г.
• Нелинейная динамика. Модели бифуркации и хаоса Элмера Г. Винса
• Хаос Глейка (отрывок) Архивировано 2007-02-02 на Wayback Machine
• Группа системного анализа, моделирования и прогнозирования Оксфордского университета
• Страница об уравнении Макки-Гласса
• High Anxieties — The Mathematics of Chaos (2008) Документальный фильм BBC, режиссёр Дэвид Мэлоун
• Теория хаоса в эволюции – статья, опубликованная в Newscientist, в которой рассматриваются сходства эволюции и нелинейных систем, включая фрактальную природу жизни и хаоса.
• Джос Лейс, Этьен Жис и Орельен Альварес, «Хаос, математическое приключение». Девять фильмов о динамических системах, эффекте бабочки и теории хаоса, рассчитанные на широкую аудиторию.
• «Теория хаоса», дискуссия на BBC Radio 4 с Сьюзан Гринфилд, Дэвидом Папино и Нилом Джонсоном ( In Our Time , 16 мая 2002 г.)
• Хаос: Наука эффекта бабочки (2019) объяснение, представленное Дереком Мюллером

Примечание об авторских правах

•  В этой статье использован текст из свободного контента . Лицензия CC-BY (лицензионное заявление/разрешение). Текст взят из Three Kinds of Butterfly Effects within Lorenz Models, Bo-Wen Shen, Roger A. Pielke, Sr., Xubin Zeng, Jialin Cui, Sara Faghih-Naini, Wei Paxson и Robert Atlas, MDPI. Энциклопедия.