Это список важных публикаций по математике , организованный по областям.
Вот несколько причин, по которым конкретная публикация может считаться важной:
Среди опубликованных сборников важных публикаций по математике можно отметить « Значительные труды по западной математике 1640–1940 гг.» Айвора Граттана-Гиннесса [2] и «Справочник по математике» Дэвида Юджина Смита [3] .
Считается, что он был написан около 8 века до н. э., это один из старейших математических текстов. Он заложил основы индийской математики и оказал влияние на Южную Азию . Это был в первую очередь геометрический текст, а также содержал некоторые важные разработки, включая список пифагорейских троек, геометрические решения линейных и квадратных уравнений и квадратный корень из 2. [4]
Содержит самое раннее описание метода исключения Гаусса для решения систем линейных уравнений, а также метод нахождения квадратного и кубического корня.
Содержит коллекцию из 130 алгебраических задач, дающих численные решения определенных уравнений (имеющих единственное решение) и неопределенных уравнений. [5]
Содержит применение прямоугольных треугольников для измерения глубины или высоты удаленных объектов.
Содержит самое раннее описание китайской теоремы об остатках .
Текст содержит 33 стиха, охватывающих измерение (kṣetra vyāvahāra), арифметические и геометрические прогрессии, гномон/тени (shanku-chhAyA), простые, квадратные, одновременные и неопределенные уравнения. Он также дал современный стандартный алгоритм для решения диофантовых уравнений первого порядка.
Цзигу Суаньцзин (626 г. н.э.)
Эта книга математика династии Тан Ван Сяотуна содержит самое раннее в мире уравнение третьего порядка. [ необходима ссылка ]
Содержит правила для манипулирования как отрицательными, так и положительными числами, правила обращения с числом ноль, метод вычисления квадратных корней и общие методы решения линейных и некоторых квадратных уравнений, решение уравнения Пелля. [6] [7] [8] [9]
Первая книга по систематическим алгебраическим решениям линейных и квадратных уравнений персидского ученого Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми . Книга считается основой современной алгебры и исламской математики . [10] Само слово «алгебра» происходит от аль-Джабр в названии книги. [11 ]
Один из главных трактатов по математике Бхаскары II дает решение неопределенных уравнений 1-го и 2-го порядка.
Содержит самое раннее изобретение полиномиального уравнения 4-го порядка. [ необходима ссылка ]
Эта книга 13-го века содержит самое раннее полное решение метода Горнера 19-го века решения полиномиальных уравнений высокого порядка (до 10-го порядка). Она также содержит полное решение китайской теоремы об остатках , которая старше Эйлера и Гаусса на несколько столетий.
Содержит применение полиномиальных уравнений высокого порядка при решении сложных геометрических задач.
Содержит метод составления системы полиномиальных уравнений высокого порядка, содержащих до четырех неизвестных.
Также известное как Великое Искусство , представило первые опубликованные методы решения кубических и четвертых уравнений (благодаря Сципионе дель Ферро , Никколо Фонтана Тарталья и Лодовико Феррари ), а также продемонстрировало первые опубликованные вычисления с использованием недействительных комплексных чисел . [12] [13]
Также известный как Элементы алгебры , учебник Эйлера по элементарной алгебре является одним из первых, излагающих алгебру в современной форме, которую мы узнаем сегодня. Первый том посвящен определенным уравнениям, а вторая часть — диофантовым уравнениям . Последний раздел содержит доказательство Великой теоремы Ферма для случая n = 3, делая некоторые обоснованные предположения относительно того, что Эйлер не доказал. [14]
Докторская диссертация Гаусса [15] содержала общепринятое (в то время), но неполное доказательство [16] основной теоремы алгебры .
Название означает «Размышления об алгебраических решениях уравнений». Сделал пророческое наблюдение, что корни резольвенты Лагранжа полиномиального уравнения связаны с перестановками корней исходного уравнения, заложив более общую основу для того, что ранее было анализом ad hoc, и помогая мотивировать последующее развитие теории групп перестановок , теории групп и теории Галуа . Резольвента Лагранжа также ввела дискретное преобразование Фурье порядка 3.
Посмертная публикация математических рукописей Эвариста Галуа Жозефом Лиувиллем . Включены статьи Галуа « Мемуар об условиях разрешимости радикальных уравнений» и «Примитивы уравнений, которые являются разрешимыми по радикалам» .
Онлайн-версия: Онлайн-версия
Traité des substitutions et des équations algébriques (Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях). Первая книга по теории групп, дающая на тот момент всеобъемлющее исследование групп перестановок и теории Галуа. В этой книге Жордан ввел понятие простой группы и эпиморфизма (который он назвал l'isomorphisme mériédrique ), [17] доказал часть теоремы Жордана–Гёльдера и обсудил матричные группы над конечными полями, а также нормальную форму Жордана . [18]
Данные публикации: 3 тома, Б. Г. Тойбнер, Verlagsgesellschaft, mbH, Лейпциг, 1888–1893. Том 1, Том 2, Том 3.
Первая комплексная работа по группам преобразований , послужившая основой современной теории групп Ли .
Описание: Дал полное доказательство разрешимости конечных групп нечетного порядка , установив давнюю гипотезу Бернсайда о том, что все конечные неабелевы простые группы имеют четный порядок. Многие из оригинальных методов, использованных в этой статье, были использованы в окончательной классификации конечных простых групп .
Предложил первую полностью проработанную трактовку абстрактной гомологической алгебры, объединив ранее разрозненные представления гомологии и когомологии для ассоциативных алгебр , алгебр Ли и групп в единую теорию.
Часто называемая «статьей Тохоку», она произвела революцию в гомологической алгебре , введя абелевы категории и предоставив общую основу для понятия производных функторов Картана и Эйленберга .
Данные публикации: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik.
Разработал концепцию римановых поверхностей и их топологических свойств за пределами диссертационной работы Римана 1851 года, доказал теорему об индексе для рода (исходная формулировка формулы Римана–Гурвица ), доказал неравенство Римана для размерности пространства мероморфных функций с предписанными полюсами (исходная формулировка теоремы Римана–Роха ), обсудил бирациональные преобразования заданной кривой и размерность соответствующего пространства модулей неэквивалентных кривых заданного рода и решил более общие проблемы обращения, чем те, которые исследовали Абель и Якоби . Андре Вейль однажды написал, что эта работа « является одним из величайших произведений математики, которые когда-либо были написаны; в ней нет ни одного слова, которое не имело бы значения » . [19]
Данные публикации: Annals of Mathematics , 1955
FAC , как его обычно называют, был основополагающим для использования пучков в алгебраической геометрии, простираясь за пределы случая комплексных многообразий . Серр ввел когомологии Чеха пучков в этой статье и, несмотря на некоторые технические недостатки, произвел революцию в формулировках алгебраической геометрии. Например, длинная точная последовательность в когомологиях пучков позволяет показать, что некоторые сюръективные отображения пучков индуцируют сюръективные отображения на сечениях; в частности, это отображения, ядро которых (как пучок) имеет исчезающую первую группу когомологий. Размерность векторного пространства сечений когерентного пучка конечна в проективной геометрии , и такие размерности включают в себя множество дискретных инвариантов многообразий, например, числа Ходжа . Хотя когомологии производных функторов Гротендика заменили когомологии Чеха по техническим причинам, реальные вычисления, такие как вычисления когомологий проективного пространства, обычно выполняются с использованием методов Чеха, и по этой причине работа Серра остаётся важной.
В математике алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия являются тесно связанными предметами, где аналитическая геометрия является теорией комплексных многообразий и более общих аналитических пространств, определяемых локально путем обращения в нуль аналитических функций нескольких комплексных переменных . (Математическая) теория взаимосвязи между ними была введена в действие в начале 1950-х годов в рамках работы по закладыванию основ алгебраической геометрии, включающей, например, методы из теории Ходжа . ( NB Хотя аналитическая геометрия как использование декартовых координат также в некотором смысле включена в сферу алгебраической геометрии, это не тема, обсуждаемая в этой статье.) Основной статьей, консолидирующей теорию, была работа Серра « Алгебрикская геометрия и аналитическая геометрия» (Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique) , теперь обычно называемая GAGA . Результат в стиле GAGA теперь будет означать любую теорему сравнения, допускающую переход между категорией объектов алгебраической геометрии и их морфизмами, и четко определенной подкатегорией объектов аналитической геометрии и голоморфных отображений.
Изложение Борелем и Серром версии теоремы Римана–Роха Гротендика , опубликованное после того, как Гротендик ясно дал понять, что он не заинтересован в изложении своего собственного результата. Гротендик переосмыслил обе стороны формулы, которую Хирцебрух доказал в 1953 году в рамках морфизмов между многообразиями, что привело к широкому обобщению. [20] В своем доказательстве Гротендик проложил новые пути с помощью своей концепции групп Гротендика , что привело к развитию K-теории . [21]
Написанная при содействии Жана Дьедонне , эта работа Гротендика представляет собой изложение его переработки основ алгебраической геометрии. Она стала самой важной фундаментальной работой в современной алгебраической геометрии. Подход, изложенный в EGA, как называют эти книги, преобразил область и привел к монументальным достижениям.
Эти семинарские заметки по переработке Гротендиком основ алгебраической геометрии содержат отчет о работе, проделанной в IHÉS, начиная с 1960-х годов. SGA 1 датируется семинарами 1960–1961 годов, а последний в серии, SGA 7, датируется 1967–1969 годами. В отличие от EGA, который призван заложить основы, SGA описывает текущие исследования, которые разворачивались на семинаре Гротендика; в результате его довольно трудно читать, поскольку многие из более элементарных и основополагающих результатов были отнесены к EGA. Одним из основных результатов, основанных на результатах SGA, является доказательство Пьера Делиня последней из открытых гипотез Вейля в начале 1970-х годов. Другие авторы, работавшие над одним или несколькими томами SGA, включают Мишеля Рейно , Майкла Артина , Жан-Пьера Серра , Жана-Луи Вердье , Пьера Делинь и Николаса Каца .
«Brāhmasphutasiddhānta » Брахмагупты — первая книга, в которой ноль упоминается как число, поэтому Брахмагупта считается первым, кто сформулировал концепцию нуля. Современная система из четырех основных операций (сложение, вычитание, умножение и деление), основанная на индуистско-арабской системе счисления, также впервые появилась в «Brahmasphutasiddhanta». Это также был один из первых текстов, в котором были даны конкретные идеи о положительных и отрицательных числах.
Впервые представленная в 1737 году, эта статья [22] предоставила первое на тот момент всеобъемлющее описание свойств непрерывных дробей . Она также содержит первое доказательство того, что число e является иррациональным. [23]
Разработал общую теорию бинарных квадратичных форм для решения общей проблемы, когда целое число может быть представлено формой . Это включало теорию редукции для бинарных квадратичных форм, где он доказал, что каждая форма эквивалентна некоторой канонически выбранной редуцированной форме. [24] [25]
Disquisitiones Arithmeticae — глубокая и мастерская книга по теории чисел, написанная немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом и впервые опубликованная в 1801 году, когда Гауссу было 24 года. В этой книге Гаусс объединяет результаты по теории чисел, полученные такими математиками, как Ферма , Эйлер , Лагранж и Лежандр, и добавляет много важных новых собственных результатов. Среди его вкладов — первое полное известное доказательство Основной теоремы арифметики , первые два опубликованных доказательства закона квадратичной взаимности , глубокое исследование бинарных квадратичных форм, выходящее за рамки работы Лагранжа в Recherches d'Arithmétique , первое появление сумм Гаусса , циклотомии и теории конструктивных многоугольников с особым применением к конструктивности правильного 17-угольника . Примечательно, что в разделе V, статья 303 Disquisitiones, Гаусс подытожил свои вычисления чисел классов мнимых квадратичных числовых полей и фактически нашел все мнимые квадратичные числовые поля чисел классов 1, 2 и 3 (подтверждено в 1986 году), как он и предполагал . [26] В разделе VII, статья 358, Гаусс доказал то, что можно интерпретировать как первый нетривиальный случай гипотезы Римана для кривых над конечными полями ( теорема Хассе–Вейля ). [27]
Новаторская работа в аналитической теории чисел , в которой были введены характеры Дирихле и их L-функции для доказательства теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях . [28] В последующих публикациях Дирихле использовал эти инструменты для определения, среди прочего, числа классов для квадратичных форм.
"Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" (или "О числе простых чисел, меньших заданной величины") — основополагающая 8-страничная статья Бернхарда Римана, опубликованная в издании Monthly Reports of the Berlin Academy за ноябрь 1859 года. Хотя это единственная статья, когда-либо опубликованная им по теории чисел, она содержит идеи, которые оказали влияние на десятки исследователей в конце 19 века и до наших дней. Статья в основном состоит из определений, эвристических аргументов, набросков доказательств и применения мощных аналитических методов; все они стали важнейшими концепциями и инструментами современной аналитической теории чисел . Она также содержит знаменитую гипотезу Римана , одну из важнейших открытых проблем в математике. [29]
Vorlesungen über Zahlentheorie ( Лекции по теории чисел ) — учебник по теории чисел, написанный немецкими математиками П. Г. Леженом Дирихле и Р. Дедекиндом и опубликованный в 1863 году. Vorlesungen можно рассматривать как водораздел между классической теорией чисел Ферма , Якоби и Гаусса и современной теорией чисел Дедекинда, Римана и Гильберта . Дирихле явно не признаёт концепцию группы , которая является центральной для современной алгебры , но многие из его доказательств показывают неявное понимание теории групп.
Объединил и сделал доступным многие разработки в алгебраической теории чисел, сделанные в девятнадцатом веке. Хотя его критиковали Андре Вейль (который заявил, что « более половины его знаменитого Zahlbericht — это не более чем изложение работы Куммера по теории чисел с несущественными улучшениями ») [30] и Эмми Нётер [31] , он был очень влиятельным в течение многих лет после его публикации.
Обычно называемая просто диссертацией Тейта , докторская диссертация Тейта в Принстоне под руководством Эмиля Артина представляет собой переработку теории дзета- и L -функций Эриха Гекке в терминах анализа Фурье на аделях . Введение этих методов в теорию чисел позволило сформулировать расширения результатов Гекке на более общие L -функции, такие как те, которые возникают из автоморфных форм .
В данной публикации приводятся доказательства гипотез Ленглендса путем переработки и расширения классической теории модулярных форм и их L -функций посредством введения теории представлений.
Доказал гипотезу Римана для многообразий над конечными полями, разрешив последнюю из открытых гипотез Вейля .
Фалтингс доказывает в этой статье ряд важных результатов, наиболее известным из которых является первое доказательство гипотезы Морделла (гипотезы, выдвинутой в 1922 году). Другие теоремы, доказанные в этой статье, включают пример гипотезы Тейта (связывающей гомоморфизмы между двумя абелевыми многообразиями над числовым полем с гомоморфизмами между их модулями Тейта ) и некоторые результаты о конечности, касающиеся абелевых многообразий над числовыми полями с определенными свойствами.
В этой статье мы продолжаем доказывать частный случай гипотезы Шимуры–Таниямы посредством изучения теории деформаций представлений Галуа . Это, в свою очередь, подразумевает знаменитую Великую теорему Ферма . Метод доказательства идентификации кольца деформации с алгеброй Гекке (теперь называемый теоремой R=T ) для доказательства теорем о подъеме модулярности стал влиятельным достижением в алгебраической теории чисел.
Харрис и Тейлор приводят первое доказательство локальной гипотезы Ленглендса для GL( n ) . В рамках доказательства эта монография также проводит углубленное исследование геометрии и когомологий некоторых многообразий Шимуры в простых числах плохой редукции.
Нго Бао Чау доказал давнюю нерешённую проблему классической программы Ленглендса, используя методы геометрической программы Ленглендса.
Питер Шольце представил перфектоидное пространство .
Выдающийся историк математики Карл Бойер однажды назвал «Введение в анализ бесконечного» Эйлера величайшим современным учебником по математике. [32] Опубликованная в двух томах, [33] [34] эта книга больше, чем какая-либо другая работа, преуспела в утверждении анализа как основной отрасли математики с фокусом и подходом, отличными от используемых в геометрии и алгебре. [35] Примечательно, что Эйлер определил функции, а не кривые, как центральное направление своей книги. [36] Были рассмотрены логарифмические, показательные, тригонометрические и трансцендентные функции, а также разложения в простейшие дроби, оценки ζ(2k) для k — положительного целого числа от 1 до 13, бесконечные ряды и формулы бесконечного произведения, [32] непрерывные дроби и разбиения целых чисел. [37] В этой работе Эйлер доказал, что каждое рациональное число можно записать в виде конечной цепной дроби, что цепная дробь иррационального числа бесконечна, и вывел разложения в цепную дробь для e и . [33] Эта работа также содержит формулировку формулы Эйлера и формулировку теоремы о пентагональном числе , которую он открыл ранее и опубликовал доказательство которой в 1751 году.
Написанный в Индии в 1530 году, [38] [39] и служивший резюме достижений Керальской школы в бесконечных рядах, тригонометрии и математическом анализе , большинство из которых были ранее открыты математиком 14 века Мадхавой . Некоторые из его важных разработок в исчислении включают бесконечные ряды и разложение в ряд Тейлора некоторых тригонометрических функций.
Первая публикация Лейбница по дифференциальному исчислению, содержащая ныне известные обозначения для дифференциалов, а также правила вычисления производных степеней, произведений и частных.
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ( лат . «математические принципы естественной философии», часто Principia или Principia Mathematica для краткости) — трёхтомный труд Исаака Ньютона , опубликованный 5 июля 1687 года. Возможно, самая влиятельная научная книга из когда-либо опубликованных, она содержит формулировку законов движения Ньютона, формирующих основу классической механики , а также его закон всемирного тяготения , и выводит законы Кеплера для движения планет ( которые были впервые получены эмпирическим путём). Здесь родилась практика, теперь столь стандартная, что мы отождествляем её с наукой, объяснения природы путём постулирования математических аксиом и демонстрации того, что их выводы являются наблюдаемыми явлениями. Формулируя свои физические теории, Ньютон свободно использовал свою неопубликованную работу по исчислению. Однако, когда он представил Principia для публикации, Ньютон решил переделать большинство своих доказательств в геометрические аргументы. [40]
Опубликованный в двух книгах, [41] учебник Эйлера по дифференциальному исчислению представлял предмет в терминах концепции функции, которую он ввел в своем Introductio in analysin infinitorum 1748 года . Эта работа начинается с изучения исчисления конечных разностей и проводит тщательное исследование того, как дифференциация ведет себя при подстановках. [42] Также включено систематическое изучение полиномов Бернулли и чисел Бернулли (называя их таковыми), демонстрация того, как числа Бернулли связаны с коэффициентами в формуле Эйлера-Маклорена и значениями ζ(2n), [43] дальнейшее изучение постоянной Эйлера (включая ее связь с гамма-функцией ) и применение простейших дробей к дифференцированию. [44]
Написанная в 1853 году работа Римана о тригонометрических рядах была опубликована посмертно. В ней он расширил определение интеграла Коши до определения интеграла Римана , что позволило интегрировать некоторые функции с плотными подмножествами разрывов на интервале (что он продемонстрировал на примере). [45] Он также сформулировал теорему о рядах Римана , [45] доказал лемму Римана–Лебега для случая ограниченных интегрируемых по Риману функций, [46] и разработал принцип локализации Римана. [47]
Докторская диссертация Лебега , обобщающая и расширяющая его исследования на сегодняшний день, касающиеся развития теории меры и интеграла Лебега .
В докторской диссертации Римана были введены понятия римановой поверхности , конформного отображения , простой связности, сферы Римана , разложения в ряд Лорана для функций, имеющих полюса и точки ветвления, а также теоремы Римана об отображении .
Первая математическая монография по теме линейных метрических пространств , привносящая абстрактное изучение функционального анализа в более широкое математическое сообщество. Книга ввела идеи нормированного пространства и понятие так называемого B -пространства, полного нормированного пространства. B -пространства теперь называются банаховыми пространствами и являются одним из основных объектов изучения во всех областях современного математического анализа. Банах также дал доказательства версий теоремы об открытом отображении , теоремы о замкнутом графике и теоремы Хана–Банаха .
Диссертация Гротендика ввела понятие ядерного пространства , тензорных произведений локально выпуклых топологических векторных пространств и положила начало работе Гротендика по тензорным произведениям банаховых пространств. [48]
Александр Гротендик также написал учебник по топологическим векторным пространствам :
Ввел анализ Фурье , в частности ряды Фурье . Ключевым вкладом было не просто использование тригонометрических рядов , а моделирование всех функций тригонометрическими рядами:
Умножая обе части на , а затем интегрируя от до , получаем:
Когда Фурье представил свою статью в 1807 году, комитет (в который входили Лагранж , Лаплас , Малюс и Лежандр , среди прочих) пришел к выводу: ...способ, которым автор приходит к этим уравнениям, не свободен от трудностей, и [...] его анализ для их интегрирования все еще оставляет желать лучшего с точки зрения общности и даже строгости . Придание рядам Фурье строгости, на что в деталях ушло более столетия, непосредственно привело к ряду достижений в анализе, в частности, к строгому заявлению интеграла через интеграл Дирихле , а позднее и интеграл Лебега .
В своей докторской диссертации по рядам Фурье Риман охарактеризовал эту работу Дирихле как « первую глубокую работу по этому предмету ». [50] В этой работе было дано первое строгое доказательство сходимости рядов Фурье при довольно общих условиях (кусочная непрерывность и монотонность) путем рассмотрения частичных сумм, которые Дирихле преобразовал в частный интеграл Дирихле, включающий то, что сейчас называется ядром Дирихле . В этой работе была введена нигде не непрерывная функция Дирихле и ранняя версия леммы Римана–Лебега . [51]
Подтвердил гипотезу Лузина о том, что разложение Фурье любой функции сходится почти всюду .
Считается, что он был написан около 8 века до н. э., это один из старейших математических текстов. Он заложил основы индийской математики и оказал влияние на Южную Азию . Хотя это был в первую очередь геометрический текст, он также содержал некоторые важные алгебраические разработки, включая список пифагорейских троек, обнаруженных алгебраическим путем, геометрические решения линейных уравнений, использование квадратных уравнений и квадратного корня из 2.
Дата публикации: около 300 г. до н.э.
Онлайн-версия: Интерактивная версия Java
Это часто рассматривается не только как самая важная работа по геометрии , но и как одна из самых важных работ по математике. Она содержит много важных результатов по плоской и стереометрии , алгебре (книги II и V) и теории чисел (книги VII, VIII и IX). [52] Больше, чем какой-либо конкретный результат в публикации, кажется, что главным достижением этой публикации является продвижение аксиоматического подхода как средства доказательства результатов. « Начала» Евклида были названы самым успешным и влиятельным учебником из когда-либо написанных. [53]
Это была китайская математическая книга, в основном геометрическая, составленная во времена династии Хань , возможно, еще в 200 г. до н. э. Она оставалась самым важным учебником в Китае и Восточной Азии на протяжении более тысячи лет, подобно положению « Начал» Евклида в Европе. Среди ее содержания: Линейные задачи, решенные с использованием принципа, известного позже на Западе как правило ложного положения . Задачи с несколькими неизвестными, решенные с использованием принципа, похожего на исключение Гаусса . Задачи, включающие принцип, известный на Западе как теорема Пифагора . Самое раннее решение матрицы с использованием метода, эквивалентного современному методу.
«Конические сечения» были написаны Аполлонием Пергским, греческим математиком. Его новаторская методология и терминология, особенно в области конических сечений , оказали влияние на многих более поздних ученых, включая Птолемея , Франческо Мавролико , Исаака Ньютона и Рене Декарта . Именно Аполлоний дал эллипсу , параболе и гиперболе названия, под которыми мы их знаем.
В нем описываются археоастрономические теории, принципы и методы древних индусов. Предполагается, что эта сиддханта является знанием, которое бог Солнца дал асуре по имени Майя. В ней впервые используются синус (jya), косинус (kojya или «перпендикулярный синус») и обратный синус (otkram jya). Позднее индийские математики, такие как Арьябхата, ссылались на этот текст, в то время как более поздние арабские и латинские переводы были очень влиятельны в Европе и на Ближнем Востоке.
Это был очень влиятельный текст в Золотой век математики в Индии. Текст был очень лаконичен и поэтому был подробно изложен в комментариях более поздних математиков. Он внес значительный вклад в геометрию и астрономию, включая введение синуса/косинуса, определение приблизительного значения числа пи и точный расчет окружности Земли.
La Géométrie была опубликована в 1637 году и написана Рене Декартом . Книга оказала влияние на развитие декартовой системы координат и, в частности, обсуждала представление точек плоскости посредством действительных чисел ; и представление кривых посредством уравнений .
Онлайн-версия: Английский
Данные публикации: Гильберт, Дэвид (1899). Grundlagen der Geometrie . Тойбнер-Верлаг Лейпциг. ISBN 978-1-4020-2777-2.
Аксиоматизация геометрии Гильбертом, основное влияние которой проявилось в ее новаторском подходе к метаматематическим вопросам, включая использование моделей для доказательства независимости аксиом и важность установления непротиворечивости и полноты аксиоматической системы.
«Правильные многогранники» — это всеобъемлющий обзор геометрии правильных многогранников , обобщение правильных многоугольников и правильных многогранников на более высокие измерения. Книга, начатая с эссе под названием «Аналогия измерений», написанного в 1923 году, заняла у Коксетера 24 года, чтобы завершить первое издание. Первоначально написанная в 1947 году, книга была обновлена и переиздана в 1963 и 1973 годах.
Данные публикации: Mémoires de l'académie des Sciences de Berlin 16 (1760), стр. 119–143; опубликовано в 1767 году. (Полный текст и английский перевод доступны в архиве Дартмутского Эйлера.)
Создал теорию поверхностей и ввел понятие главных кривизн , заложив основу для последующего развития дифференциальной геометрии поверхностей .
Данные публикации: «Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas», Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), стр. 99–146; «Общие исследования изогнутых поверхностей» (опубликовано в 1965 г.), Raven Press, Нью-Йорк, перевод AMHiltebeitel и JCMorehead.
Новаторская работа в дифференциальной геометрии , введшая понятие гауссовой кривизны и знаменитую теорему Гаусса «Egregium» .
Данные публикации: «Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde Liegen», Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , Vol. 13, 1867. Английский перевод.
Знаменитый Habiltationsvortrag Римана, в котором он ввел понятия многообразия , римановой метрики и тензора кривизны . Рихард Дедекинд сообщил о реакции тогдашнего 77-летнего Гаусса на презентацию Римана, заявив, что она «превзошла все его ожидания» и что он говорил «с величайшей признательностью и с редким для него волнением о глубине идей, представленных Риманом». [54]
Данные публикации: Дарбу, Гастон (1887,1889,1896) (1890). Уроки общей теории поверхностей. Готье-Виллар.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )Том I, Том II, Том III, Том IV
Leçons sur la théorie génerale des Surface et les application géométriques du Calcul infinitésimal (об общей теории поверхностей и геометрических приложениях бесконечно малого исчисления). Трактат, охватывающий практически все аспекты дифференциальной геометрии поверхностей XIX века .
Описание: Analysis Situs Пуанкаре и его Compléments à l'Analysis Situs заложили общие основы алгебраической топологии . В этих работах Пуанкаре ввел понятия гомологии и фундаментальной группы , дал раннюю формулировку двойственности Пуанкаре , дал характеристику Эйлера–Пуанкаре для цепных комплексов и упомянул несколько важных гипотез, включая гипотезу Пуанкаре , продемонстрированную Григорием Перельманом в 2003 году.
Эти две заметки Лере в Comptes Rendus от 1946 года представили новые концепции пучков , когомологий пучков и спектральных последовательностей , которые он разработал во время своего плена в качестве военнопленного. Заявления и приложения Лере (опубликованные в других заметках Comptes Rendus от 1946 года) немедленно привлекли внимание других математиков. Последующее разъяснение, развитие и обобщение Анри Картаном , Жаном-Луи Кошулем , Арманом Борелем , Жаном-Пьером Серром и самим Лере позволили понять эти концепции и применить их ко многим другим областям математики. [55] Дьедонне позже напишет, что эти понятия, созданные Лере, « несомненно, занимают такое же место в истории математики, как и методы, изобретенные Пуанкаре и Брауэром ». [56]
В этой статье Том доказал теорему трансверсальности Тома , ввел понятия ориентированного и неориентированного кобордизма и продемонстрировал, что группы кобордизмов могут быть вычислены как гомотопические группы некоторых пространств Тома . Том полностью охарактеризовал кольцо неориентированного кобордизма и достиг сильных результатов для нескольких задач, включая задачу Стинрода о реализации циклов. [57] [58]
Первая статья по теории категорий. Позже Маклейн написал в «Категориях для рабочего математика» , что он и Эйленберг ввели категории, чтобы они могли ввести функторы, а функторы они ввели, чтобы они могли ввести естественные эквивалентности . До этой статьи «естественный» использовался неформально и неточно для обозначения конструкций, которые можно было сделать, не делая никакого выбора. Впоследствии «естественный» имел точное значение, которое встречалось в самых разных контекстах и имело мощные и важные последствия.
Сондерс Мак Лейн, один из основателей теории категорий, написал это изложение, чтобы донести категории до масс. Мак Лейн выдвигает на первый план важные концепции, которые делают теорию категорий полезной, такие как сопряженные функторы и универсальные свойства .
Цель этой книги двоякая: дать общее введение в теорию высших категорий (используя формализм «квазикатегорий» или «слабых комплексов Кана») и применить эту теорию к изучению высших версий топосов Гротендика. Включены несколько приложений к классической топологии. (см. arXiv.)
Онлайн-версия: Онлайн-версия
Содержит первое доказательство того, что множество всех действительных чисел несчетно; также содержит доказательство того, что множество алгебраических чисел счетно. (См. первую статью Георга Кантора по теории множеств .)
Впервые опубликованная в 1914 году, эта работа стала первым всеобъемлющим введением в теорию множеств. Помимо систематического рассмотрения известных результатов в теории множеств, книга также содержит главы по теории меры и топологии, которые тогда все еще считались частями теории множеств. Здесь Хаусдорф представляет и развивает весьма оригинальный материал, который впоследствии стал основой для этих областей.
Гёдель доказывает результаты, указанные в названии. Также в процессе вводит класс L конструктивных множеств , оказавший большое влияние на развитие аксиоматической теории множеств.
Прорывная работа Коэна доказала независимость континуум -гипотезы и аксиомы выбора относительно теории множеств Цермело–Френкеля . Доказывая это, Коэн ввел концепцию принуждения , которая привела ко многим другим важным результатам в аксиоматической теории множеств.
Опубликованная в 1854 году, «Законы мышления» стала первой книгой, давшей математическую основу логике. Ее целью было полное перевыражение и расширение логики Аристотеля на языке математики. Работа Буля заложила основу дисциплины алгебраической логики и позже стала центральной для Клода Шеннона в развитии цифровой логики.
Опубликованный в 1879 году, заголовок Begriffsschrift обычно переводится как «запись понятий» или «запись понятий» ; полное название книги определяет ее как « язык формул , смоделированный по образцу языка арифметики , чистой мысли ». Мотивация Фреге к разработке своей формальной логической системы была схожа с желанием Лейбница создать исчисление-рационализатор . Фреге определяет логическое исчисление для поддержки своих исследований в области основ математики . Begriffsschrift — это и название книги, и исчисление, определенное в ней. Это, пожалуй, самая значимая публикация по логике со времен Аристотеля .
Впервые опубликованный в 1895 году, Formulario mathematico был первой математической книгой, написанной полностью на формализованном языке . Он содержал описание математической логики и многих важных теорем из других разделов математики. Многие из обозначений, введенных в книге, сейчас широко используются.
Principia Mathematica — трёхтомный труд по основам математики , написанный Бертраном Расселом и Альфредом Нортом Уайтхедом и опубликованный в 1910–1913 годах. Это попытка вывести все математические истины из чётко определённого набора аксиом и правил вывода в символической логике . Оставались вопросы, можно ли вывести противоречие из аксиом Principia и существует ли математическое утверждение, которое не может быть ни доказано, ни опровергнуто в системе. Эти вопросы были разрешены, довольно неожиданным образом, теоремой Гёделя о неполноте в 1931 году.
( О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем )
Онлайн-версия: Онлайн-версия
В математической логике теоремы Гёделя о неполноте — это две знаменитые теоремы, доказанные Куртом Гёделем в 1931 году. Первая теорема о неполноте гласит:
Для любой формальной системы, такой что (1) она является -непротиворечивой ( омега-непротиворечивой ), (2) имеет рекурсивно определимый набор аксиом и правил вывода и (3) каждое рекурсивное отношение натуральных чисел в ней определимо, существует формула системы, такая, что, согласно предполагаемой интерпретации системы, она выражает истину о натуральных числах и, тем не менее, не является теоремой системы .
Решено предположение Пола Эрдёша и Пала Турана (теперь известное как теорема Семереди ) о том, что если последовательность натуральных чисел имеет положительную верхнюю плотность, то она содержит произвольно длинные арифметические прогрессии. Решение Семереди было описано как «шедевр комбинаторики» [59] , и оно внесло новые идеи и инструменты в эту область, включая слабую форму леммы регулярности Семереди . [60]
Решение Эйлера задачи о Кёнигсбергском мосте в Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis ( Решение задачи, относящейся к геометрии положения ) считается первой теоремой теории графов .
Подробно обсуждает разреженные случайные графы , включая распределение компонентов, возникновение небольших подграфов и фазовые переходы. [61]
Представлен алгоритм Форда–Фалкерсона для решения задачи максимального потока , а также множество идей относительно моделей, основанных на потоках.
См. список важных публикаций по статистике .
Значительно превзошел первоначальные исследования Эмиля Бореля в области стратегической теории игр двух лиц, доказав теорему о минимаксе для игр двух лиц с нулевой суммой.
Эта книга привела к исследованию современной теории игр как важной ветви математики. Эта работа содержала метод поиска оптимальных решений для игр двух лиц с нулевой суммой.
Книга состоит из двух частей, {0,1|}. Нулевая часть посвящена числам, первая часть — играм — как ценностям игр, так и некоторым реальным играм, в которые можно играть, например, Nim , Hackenbush , Col и Snort среди множества описанных.
Сборник информации о математических играх . Впервые был опубликован в 1982 году в двух томах, один из которых был посвящен комбинаторной теории игр и сюрреалистическим числам , а другой — ряду конкретных игр.
Статья, позднее переросшая в книгу, в которой развивались концепции информационной энтропии и избыточности , а также был введен термин «бит» (который Шеннон приписал Джону Тьюки ) как единица информации.
Обсуждение самоподобных кривых, имеющих дробные размерности от 1 до 2. Эти кривые являются примерами фракталов, хотя Мандельброт не использует этот термин в своей статье, поскольку он не придумывал его до 1975 года. Демонстрирует ранние размышления Мандельброта о фракталах и является примером связи математических объектов с естественными формами, что было темой многих его более поздних работ.
Метод флюксий — книга, написанная Исааком Ньютоном . Книга была завершена в 1671 году и опубликована в 1736 году. В этой книге Ньютон описывает метод ( метод Ньютона–Рафсона ) для нахождения действительных нулей функции .
Основная ранняя работа по вариационному исчислению , основанная на некоторых предыдущих исследованиях Лагранжа, а также на исследованиях Эйлера . Содержит исследования определения минимальной поверхности, а также первоначальное появление множителей Лагранжа .
Канторович написал первую работу по планированию производства, в которой в качестве модели использовались линейные программы. За эту работу он получил Нобелевскую премию в 1975 году.
Данциг считается отцом линейного программирования в западном мире. Он независимо друг от друга изобрел симплексный алгоритм . Данциг и Вольф работали над алгоритмами декомпозиции для крупномасштабных линейных программ в планировании заводов и производства.
Кли и Минти привели пример, показывающий, что симплексный алгоритм может потребовать экспоненциально много шагов для решения линейной программы .
Работа Хачияна по методу эллипсоида. Это был первый полиномиальный алгоритм для линейного программирования.
Это публикации, которые не обязательно актуальны для современных математиков, но тем не менее являются важными публикациями в истории математики .
Это один из самых ранних математических трактатов, сохранившихся до наших дней. Папирус содержит 25 задач, включающих арифметику, геометрию и алгебру, каждая с решением. Написан в Древнем Египте примерно в 1850 году до нашей эры. [62]
Один из древнейших математических текстов, датируемый Вторым переходным периодом Древнего Египта . Он был скопирован писцом Ахмесом (собственно Ахмосом ) с более древнего папируса Среднего царства . Он заложил основы египетской математики и, в свою очередь, позже оказал влияние на греческую и эллинистическую математику . Помимо описания того, как получить приближение π, промахнувшись всего на один процент, он описывает одну из самых ранних попыток квадратуры круга и в процессе предоставляет убедительные доказательства против теории о том, что египтяне намеренно строили свои пирамиды , чтобы закрепить значение π в пропорциях. Хотя было бы сильным преувеличением предположить, что папирус представляет собой даже элементарные попытки аналитической геометрии, Ахмес действительно использовал своего рода аналог котангенса .
Хотя единственными математическими инструментами, которыми располагал автор, были те, которые мы сейчас могли бы считать школьной геометрией , он использовал эти методы с редким блеском, явно используя бесконечно малые для решения задач, которые теперь будут решаться интегральным исчислением. Среди этих задач были задача о центре тяжести сплошной полусферы, задача о центре тяжести усеченного конуса кругового параболоида и задача о площади области, ограниченной параболой и одной из ее секущих. Для получения подробных сведений об использованном методе см. Archimedes' use of infinitesimals .
Онлайн-версия: Онлайн-версия
Первая известная (европейская) система обозначения чисел , которая может быть расширена за пределы потребностей повседневной жизни.
Книга Даммита и Фута стала основным современным учебником по абстрактной алгебре после «Основ алгебры» Джекобсона.
Arithmetika Horvatzka (1758) был первым учебником арифметики на хорватском языке, написанным на разговорном кайкавском диалекте хорватского языка . Он установил полную систему арифметической терминологии на хорватском языке и наглядно использовал примеры из повседневной жизни в Хорватии для представления математических операций. [63] Хотя было ясно, что Шилобод использовал слова, которые были в словарях, этого было явно недостаточно для его целей; и он придумал некоторые имена, адаптировав латинскую терминологию к кайкавскому использованию. [64] Полный текст Arithmetika Horvatszka доступен на archive.org.
Содержит более 6000 теорем математики, собранных Джорджем Шубриджем Карром с целью подготовки своих студентов к экзаменам Cambridge Mathematical Tripos. Широко изучалось Рамануджаном . (первая половина здесь)
Одна из самых влиятельных книг во французской математической литературе. Она вводит некоторые обозначения и определения, которые сейчас являются обычными (например, символ ∅ или термин биективный). Характеризуясь экстремальным уровнем строгости, формализма и общности (вплоть до того, что ее за это сильно критиковали), ее публикация началась в 1939 году и до сих пор не завершена.
Написанная в 1542 году, эта книга стала первой по-настоящему популярной книгой по арифметике, написанной на английском языке.
Учебник арифметики, опубликованный в 1678 году Джоном Хокинсом, который утверждал, что редактировал рукописи, оставленные Эдвардом Кокером, умершим в 1676 году. Этот влиятельный учебник математики использовался для обучения арифметике в школах Соединенного Королевства на протяжении более 150 лет.
Ранний и популярный английский учебник арифметики, изданный в Америке в 18 веке. Книга охватывала от вводных тем до продвинутых в пяти разделах.
Дата публикации: 1892 г.
Самый широко используемый и влиятельный учебник по русской математике. (См. страницу Киселева.)
Классический учебник по введению в математический анализ , написанный GH Hardy . Впервые был опубликован в 1908 году и выдержал множество изданий. Он был призван помочь реформировать преподавание математики в Великобритании, а точнее в Кембриджском университете и в школах, готовящих учеников к изучению математики в Кембридже. Таким образом, он был нацелен непосредственно на студентов «уровня стипендиатов» — от 10% до 20% лучших по способностям. Книга содержит большое количество сложных задач. Содержание охватывает вводное исчисление и теорию бесконечных рядов .
Первый вводный учебник (выпускной уровень), излагающий абстрактный подход к алгебре, разработанный Эмилем Артином и Эмми Нётер. Впервые опубликован на немецком языке в 1931 году издательством Springer Verlag. Более поздний перевод на английский язык был опубликован в 1949 году издательством Frederick Ungar Publishing Company .
Окончательный вводный текст для абстрактной алгебры с использованием теоретико-категорного подхода. Как строгое введение с первых принципов, так и достаточно полный обзор области.
Первый всеобъемлющий вводный (выпускной) текст по алгебраической геометрии, который использовал язык схем и когомологий. Опубликованный в 1977 году, он не содержит аспектов языка схем, которые в настоящее время считаются центральными, например, функтор точек .
Введение в не очень наивную теорию множеств для студентов, которое просуществовало десятилетия. Многие до сих пор считают его лучшим введением в теорию множеств для начинающих. Хотя в названии указано, что книга наивная, что обычно подразумевает отсутствие аксиом, книга вводит все аксиомы теории множеств Цермело–Френкеля и дает правильные и строгие определения для основных объектов. От «истинной» книги по аксиоматической теории множеств она отличается своим характером: в ней нет длинных обсуждений аксиоматических мелочей, и почти ничего нет о таких темах, как большие кардиналы . Вместо этого она стремится и преуспевает в том, чтобы быть понятной тому, кто никогда раньше не думал о теории множеств.
Справочник nec plus ultra по основным фактам о кардинальных и порядковых числах. Если у вас есть вопрос о мощности множеств, встречающихся в повседневной математике, первым делом следует обратиться к этой книге, впервые опубликованной в начале 1950-х годов, но основанной на лекциях автора по этой теме за предыдущие 40 лет.
Эта книга не совсем для новичков, но аспиранты с минимальным опытом в теории множеств и формальной логике найдут ее ценным инструментом для самостоятельного обучения, особенно в отношении форсинга . Ее гораздо легче читать, чем настоящий справочник, такой как Jech, Set Theory . Это, возможно, лучший учебник для изучения форсинга, хотя у него есть недостаток, что изложение форсинга в некоторой степени опирается на более раннее представление аксиомы Мартина .
Впервые опубликованный около 1935 года, этот текст был новаторским «справочным» учебником по топологии, уже включавшим в себя многие современные концепции из теоретико-множественной топологии, гомологической алгебры и теории гомотопий.
Впервые опубликованный в 1955 году, в течение многих лет единственный вводный учебник для выпускников в США, обучающий основам топологии точечных множеств, в отличие от алгебраической топологии. До этого материал, необходимый для углубленного изучения во многих областях, был доступен только по частям из текстов по другим темам или журнальных статей.
Эта короткая книга знакомит с основными концепциями дифференциальной топологии в ясном и лаконичном стиле Милнора. Хотя книга не охватывает слишком много, ее темы объясняются прекрасно, таким образом, что освещают все их детали.
Историческое исследование теории чисел, написанное одним из величайших исследователей XX века в этой области. Книга охватывает около тридцати шести столетий арифметической работы, но большая ее часть посвящена подробному изучению и изложению работ Ферма, Эйлера, Лагранжа и Лежандра. Автор хочет провести читателя в мастерскую своих подопечных, чтобы поделиться их успехами и неудачами. Редкая возможность увидеть историческое развитие предмета через ум одного из его величайших практиков.
Введение в теорию чисел было впервые опубликовано в 1938 году и до сих пор переиздается, последнее издание — 6-е (2008). Вероятно, что почти каждый серьезный студент и исследователь теории чисел консультировался с этой книгой и, вероятно, имеет ее на своей книжной полке. Она не была задумана как учебник, а скорее является введением в широкий спектр различных областей теории чисел, которые теперь почти наверняка будут рассмотрены в отдельных томах. Стиль письма долгое время считался образцовым, а подход дает представление о различных областях, не требуя ничего большего, чем хорошие знания алгебры, исчисления и комплексных чисел.
Бронштейн и Семендяев — неофициальное название всеобъемлющего справочника по фундаментальным практическим знаниям математики и таблицам формул, первоначально составленного русским математиком Ильей Николаевичем Бронштейном и инженером Константином Адольфовичем Семендяевым . Работа была впервые опубликована в 1945 году в России и вскоре стала «стандартным» и часто используемым руководством для ученых, инженеров и студентов технических вузов. Она была переведена на немецкий, английский и многие другие языки. Последнее издание было опубликовано в 2015 году издательством Springer .
CRC Standard Mathematical Tables — это всеобъемлющий однотомный справочник фундаментальных рабочих знаний математики и таблиц формул. Справочник был первоначально опубликован в 1928 году. Последнее издание было опубликовано в 2018 году издательством CRC Press под руководством Дэниела Цвиллингера в качестве главного редактора.
Gödel, Escher, Bach : an Eternal Golden Braid — книга, удостоенная Пулитцеровской премии, впервые опубликованная в 1979 году издательством Basic Books. Это книга о том, как переплетаются творческие достижения логика Курта Гёделя, художника М. К. Эшера и композитора Иоганна Себастьяна Баха. Как утверждает автор: «Я понял, что для меня Гёдель, Эшер и Бах были всего лишь тенями, отбрасываемыми в разные стороны некоей центральной твёрдой сущностью. Я попытался реконструировать центральный объект и придумал эту книгу».
World of Mathematics был специально разработан, чтобы сделать математику более доступной для неопытных. Он содержит нетехнические эссе по каждому аспекту обширного предмета, включая статьи о десятках выдающихся математиков, а также литературных деятелей, экономистов, биологов и многих других выдающихся мыслителей. Включает работы Архимеда, Галилея, Декарта, Ньютона, Грегора Менделя, Эдмунда Галлея, Джонатана Свифта, Джона Мейнарда Кейнса, Анри Пуанкаре, Льюиса Кэрролла, Джорджа Буля, Бертрана Рассела, Альфреда Норта Уайтхеда, Джона фон Неймана и многих других. Кроме того, информативный комментарий выдающегося ученого Джеймса Р. Ньюмана предваряет каждое эссе или группу эссе, объясняя их актуальность и контекст в истории и развитии математики. Первоначально опубликованный в 1956 году, он не включает в себя многие из захватывающих открытий последних лет 20-го века, но он не имеет себе равных как общий исторический обзор важных тем и приложений.
Считается, что Брахмагупта написал много важных трудов по математике и астрономии. Однако две из его самых важных работ: «Брахмаспхуттасиддханта» (BSS), написанная в 628 году нашей эры, и «Кхандакхадьяка»...
много важных результатов из астрономии, арифметики и алгебры", "основная работа
занимает выдающееся место в истории восточной цивилизации», «важнейшая работа», «удивительно современный по мировоззрению», «изумительный образец чистой математики», «еще более выдающиеся алгебраические вклады», «важный шаг на пути к интегральным решениям [неопределенных] уравнений [второго порядка]», «В геометрии достижения Брахмагупты были столь же достойны похвалы.
Шедевр Брахмагупты», «большой объем важной алгебры», « Брахма-спхута-сиддханта» была быстро признана современниками Брахмагупты как важная и творческая работа. Она вдохновила многочисленные комментарии многих поколений математиков.
