В математике две величины находятся в золотом сечении , если их отношение такое же, как отношение их суммы к большей из двух величин. Выраженный алгебраически, для величин и с , находится в золотом сечении, если
Золотое сечение было названо Евклидом крайним и средним соотношением [ 2] и божественной пропорцией Лукой Пачоли [3] , а также имеет несколько других названий . [б]
Математики изучали свойства золотого сечения с древности. Это отношение диагонали правильного пятиугольника к его стороне и, таким образом, появляется при построении додекаэдра и икосаэдра . [7] Золотой прямоугольник , то есть прямоугольник с соотношением сторон , можно разрезать на квадрат и прямоугольник меньшего размера с таким же соотношением сторон . Золотое сечение использовалось для анализа пропорций природных объектов и искусственных систем, таких как финансовые рынки , в некоторых случаях на основе сомнительного соответствия данным. [8] Золотое сечение проявляется в некоторых узорах в природе , включая спиральное расположение листьев и других частей растительности.
Поскольку это соотношение между положительными величинами, обязательно имеет положительный корень. [10] Отрицательный корень на самом деле является отрицательным обратным , который имеет много общих свойств с золотым сечением.
Некоторые из величайших математических умов всех времен, от Пифагора и Евклида в древней Греции , средневекового итальянского математика Леонардо Пизанского и астронома эпохи Возрождения Иоганна Кеплера до современных научных деятелей, таких как оксфордский физик Роджер Пенроуз , проводили бесконечные часы. над этим простым соотношением и его свойствами. ... Биологи, художники, музыканты, историки, архитекторы, психологи и даже мистики размышляли и обсуждали причины его повсеместного распространения и привлекательности. На самом деле, вероятно, будет справедливо сказать, что золотое сечение вдохновляло мыслителей всех дисциплин, как никакое другое число в истории математики. [11]
- Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире
Древнегреческие математики впервые изучили золотое сечение из-за его частого появления в геометрии ; [12] Деление прямой на «крайнее и среднее отношение» (золотое сечение) имеет важное значение в геометрии правильных пентаграмм и пятиугольников . [13] Согласно одной истории, математик 5-го века до нашей эры Гиппас обнаружил, что золотое сечение не является ни целым числом, ни дробью (оно иррационально ), удивив пифагорейцев . [14] В « Началах » Евклида ( ок. 300 г. до н. э. ) содержится несколько предложений и их доказательств с использованием золотого сечения, [15] [c] и содержится его первое известное определение, которое выглядит следующим образом: [16]
Говорят, что прямая линия разрезана в крайнем и среднем отношении, когда вся линия относится к большему отрезку, а большее к меньшему. [17] [д]
Золотое сечение изучалось периферийно в течение следующего тысячелетия. Абу Камиль (ок. 850–930) использовал его в своих геометрических расчетах пятиугольников и десятиугольников; его сочинения повлияли на сочинения Фибоначчи (Леонардо Пизанского) (ок. 1170–1250), который использовал это соотношение в связанных задачах геометрии, но не заметил, что оно связано с числами Фибоначчи . [19]
Лука Пачоли назвал свою книгу «Божественная пропорция» ( 1509 ) в честь соотношения; книга, в значительной степени заимствованная у Пьеро делла Франчески , исследовала его свойства, включая его появление в некоторых платоновых телах . [20] [21] Леонардо да Винчи , иллюстрировавший книгу Пачоли, назвал соотношение sectio aurea («золотое сечение»). [22] Хотя часто говорят, что Пачоли выступал за применение золотого сечения для получения приятных, гармоничных пропорций, Ливио указывает, что интерпретация была связана с ошибкой в 1799 году, и что Пачоли фактически защищал витрувианскую систему рациональных пропорций. [23] Пачоли также видел в этом соотношении католическое религиозное значение, что и привело к названию его работы. Математики 16-го века, такие как Рафаэль Бомбелли, решали геометрические задачи, используя соотношение. [24]
Немецкий математик Саймон Якоб (ум. 1564) заметил, что последовательные числа Фибоначчи сходятся к золотому сечению; [25] это было заново открыто Иоганном Кеплером в 1608 году. [26] Первое известное десятичное приближение (обратного) золотого сечения было указано как «примерно » в 1597 году Михаэлем Мэстлином из Тюбингенского университета в письме к Кеплеру, его бывший студент. [27] В том же году Кеплер написал Мэстлину о треугольнике Кеплера , который сочетает в себе золотое сечение с теоремой Пифагора . Кеплер сказал об этом:
У геометрии есть два великих сокровища: одно — теорема Пифагора, другое — деление прямой на экстремальное и среднее отношение. Первое мы можем сравнить с массой золота, второе мы можем назвать драгоценным камнем. [28]
Математики восемнадцатого века Авраам де Муавр , Николай I Бернулли и Леонард Эйлер использовали формулу, основанную на золотом сечении, которая находит значение числа Фибоначчи на основе его положения в последовательности; в 1843 году она была заново открыта Жаком Филиппом Мари Бине , в честь которого она была названа «формулой Бине». [29] Мартин Ом впервые использовал немецкий термин Goldener Schnitt («золотое сечение») для описания соотношения в 1835 году. [30] Джеймс Салли использовал эквивалентный английский термин в 1875 году. [31]
К 1910 году изобретатель Марк Барр начал использовать греческую букву фи ( ) как символ золотого сечения. [32] [e] Его также обозначают тау ( ), первой буквой древнегреческого τομή («разрез» или «раздел»). [35]
Система построения зоме , разработанная Стивом Баером в конце 1960-х годов, основана на системе симметрии икосаэдра / додекаэдра и повсеместно использует золотое сечение. Между 1973 и 1974 годами Роджер Пенроуз разработал мозаику Пенроуза — узор, связанный с золотым сечением как по соотношению площадей двух ромбических плиток, так и по их относительной частоте внутри узора. [36] Это вызвало интерес после открытия Дэном Шехтманом , получившим Нобелевскую премию в 1982 году, квазикристаллов с икосаэдрической симметрией, которые вскоре были объяснены с помощью аналогий с мозаикой Пенроуза. [37]
Математика
Иррациональность
Золотое сечение – иррациональное число . Ниже приведены два коротких доказательства иррациональности:
Противоречие от выражения в самых низких выражениях
целое — это длинная часть плюс короткая часть; целое относится к более длинной части так же, как более длинная часть относится к более короткой части.
Если мы назовем целое и более длинную часть , то второе утверждение выше станет
это то же самое, что и
Сказать, что золотое сечение рационально, означает, что это дробь, где и являются целыми числами. Мы можем вести себя в самых низких терминах и быть позитивными. Но если это в самых низких выражениях, то равноценное - в еще более низких. Это противоречие следует из предположения о рациональности.
По иррациональности √ 5
Другое короткое доказательство – возможно, более широко известное – иррациональности золотого сечения использует замыкание рациональных чисел при сложении и умножении. Если рационально, то оно также рационально, что является противоречием, если уже известно, что квадратный корень всех неквадратных натуральных чисел иррационален.
Абсолютное значение этой величины ( ) соответствует соотношению длин, взятому в обратном порядке (меньшая длина сегмента к большей длине сегмента, ).
Это иллюстрирует уникальное свойство золотого сечения среди положительных чисел:
или его инверсия:
Сопряженное и определяющее квадратично-полиномиальное отношение приводят к десятичным значениям, дробная часть которых совпадает с :
Последовательность степеней содержит эти значения в более общем смысле: любая степень равна сумме двух непосредственно предшествующих степеней:
В результате можно легко разложить любую степень на кратное и константу. Кратное и константа всегда являются соседними числами Фибоначчи. Это приводит к другому свойству положительных сил :
Если тогда:
Цепная дробь и квадратный корень
Формулу можно рекурсивно расширить, чтобы получить непрерывную дробь золотого сечения: [39]
Фактически это простейшая форма цепной дроби, наряду с ее обратной формой:
Подходящие дроби этих непрерывных дробей ( ... или ...) представляют собой отношения последовательных чисел Фибоначчи . Постоянно малые члены ее непрерывной дроби объясняют, почему аппроксиманты сходятся так медленно. Это делает золотое сечение крайним случаем неравенства Гурвица для диофантовых приближений , которое утверждает, что для каждой иррациональной дроби существует бесконечно много различных дробей, таких что:
Это означает, что константу невозможно улучшить, не исключив золотое сечение. Фактически, это наименьшее число, которое необходимо исключить, чтобы получить более точное приближение к таким числам Лагранжа . [40]
Спираль Фибоначчи (вверху), которая аппроксимирует золотую спираль , используя квадраты последовательности Фибоначчи размером до 21 . Другая аппроксимация золотой спирали создается (внизу) из сложенных квадратов, длины сторон которых представляют собой числа, принадлежащие последовательности чисел Люка , здесь до 76 .
Числа Фибоначчи и числа Люка имеют сложную связь с золотым сечением. В последовательности Фибоначчи каждое число равно сумме двух предыдущих, начиная с базовой последовательности :
( ОЭИС : A000045 ).
Последовательность чисел Люка (не путать с обобщенными последовательностями Люка , частью которых она является) похожа на последовательность Фибоначчи, в которой каждый член представляет собой сумму двух предыдущих, однако вместо этого начинается с :
( ОЭИС : A000032 ).
В исключительных случаях золотое сечение равно пределу отношений последовательных членов последовательности Фибоначчи и последовательности чисел Люка: [42]
Другими словами, если число Фибоначчи и Люка делится на его непосредственного предшественника в последовательности, частное приближается к .
Например, и
Эти приближения попеременно то ниже, то выше и сходятся к ним по мере увеличения чисел Фибоначчи и Люка.
Объединив обе приведенные выше формулы, можно получить формулу, включающую числа Фибоначчи и Люка:
Между числами Фибоначчи и Люка можно сделать вывод , который упрощает выражение предела частного чисел Люка по числам Фибоначчи, равным квадратному корню из пяти :
Действительно, верны гораздо более сильные утверждения:
Последовательные степени золотого сечения подчиняются повторяемости Фибоначчи , т.е.
Приведение к линейному выражению можно выполнить за один шаг, используя:
Это тождество позволяет свести любой многочлен in к линейному выражению, например:
Последовательные числа Фибоначчи также можно использовать для получения аналогичной формулы золотого сечения, здесь путем бесконечного суммирования :
В частности, сами степени округляются до чисел Люка (по порядку, за исключением первых двух степеней и , в обратном порядке):
и так далее. [43] Числа Люка также напрямую порождают степени золотого сечения; для :
В их взаимосвязи с золотым сечением коренится представление о том, что сумма третьих последовательных чисел Фибоначчи равна числу Люка, то есть ; и, что немаловажно, что .
И последовательность Фибоначчи, и последовательность чисел Люка можно использовать для создания приблизительных форм золотой спирали (которая является особой формой логарифмической спирали ) с использованием четвертей круга с радиусами из этих последовательностей, лишь незначительно отличающимися от истинной золотой логарифмической спирали. спираль. Спираль Фибоначчи — это обычно термин, используемый для спиралей, которые аппроксимируют золотые спирали с использованием квадратов и четвертей кругов с последовательностью чисел Фибоначчи.
Геометрия
Золотое сечение занимает видное место в геометрии. Например, он по своей сути участвует во внутренней симметрии пятиугольника и расширяется, образуя часть координат вершин правильного додекаэдра , а также вершин 5-ячеечного . Он также присутствует в треугольнике Кеплера и мозаике Пенроуза , а также в различных других многогранниках .
Строительство
Деление отрезка на внутреннее (вверху) и внешнее (внизу) разделение в соответствии с золотым сечением.
Разделение по внутреннему разделению
Имея отрезок, постройте перпендикуляр в точке с половиной длины. Нарисуйте гипотенузу.
Нарисуйте дугу с центром и радиусом. Эта дуга пересекает гипотенузу в точке
Нарисуйте дугу с центром и радиусом. Эта дуга пересекает исходный сегмент линии в точке. Точка делит исходный сегмент линии на сегменты с длиной в золотом сечении.
Деление внешним делением
Нарисуйте отрезок и постройте из этой точки отрезок, перпендикулярный и такой же длины, как
Разделите отрезок пополам с помощью
Дуга окружности с радиусом пересекает в точке прямую линию, проходящую через точки и (также известную как продолжение ). Отношение к построенному отрезку является золотым сечением.
Оба приведенных выше алгоритма создают геометрические конструкции , которые определяют два выровненных отрезка линии , где соотношение более длинного и более короткого является золотым сечением.
Золотой угол
Когда два угла, образующие полный круг, имеют размеры в золотом сечении, меньший из них называется золотым углом .
Этот угол возникает в моделях роста растений как оптимальное расстояние между побегами листьев вокруг стеблей растений, чтобы последующие листья не блокировали солнечный свет от листьев под ними. [44]
Пятиугольная система симметрии
Пятиугольник и пентаграмма
В правильном пятиугольнике отношение диагонали к стороне является золотым сечением, а пересекающиеся диагонали разделяют друг друга в золотом сечении. Свойства золотого сечения правильного пятиугольника можно подтвердить, применив теорему Птолемея к четырехугольнику, образованному удалением одной из его вершин. Если длинная грань и диагонали четырехугольника равны, а короткие ребра равны, то теорема Птолемея дает Деление обеих сторон на выходы (см. § Расчет выше),
Диагональные сегменты пятиугольника образуют пентаграмму или многоугольник с пятиконечной звездой , геометрия которого типично описывается . Прежде всего, каждое пересечение ребер разделяет другие ребра в золотом сечении. Отношение длины более короткого сегмента к сегменту, ограниченному двумя пересекающимися краями (то есть стороне перевернутого пятиугольника в центре пентаграммы), показано на четырехцветной иллюстрации.
Пятиугольная и пентаграммная геометрия позволяет нам вычислить следующие значения для :
Золотой треугольник и золотой гномон
Треугольник, образованный двумя диагоналями и стороной правильного пятиугольника, называется золотым треугольником или возвышенным треугольником . Это остроугольный равнобедренный треугольник с углом при вершине 36° и углом при основании 72°. [45] Его две равные стороны находятся в золотом сечении к его основанию. [46] Треугольник, образованный двумя сторонами и диагональю правильного пятиугольника, называется золотым гномоном . Это тупоугольный равнобедренный треугольник с углом при вершине 108° и углем при основании 36°. Его основание находится в золотом пропорции к двум равным сторонам. [46] Таким образом, пятиугольник можно разделить на два золотых гномона и центральный золотой треугольник. Пять вершин правильной пентаграммы представляют собой золотые треугольники, [46] как и десять треугольников, образованных соединением вершин правильного десятиугольника с его центральной точкой. [47]
Разделение одного из основных углов золотого треугольника пополам разделяет его на меньший золотой треугольник и золотой гномон. Аналогично любой остроугольный равнобедренный треугольник можно разделить на подобный треугольник и тупоугольный равнобедренный треугольник, но золотой треугольник — единственный, для которого это деление производится биссектрисой, потому что это единственный равнобедренный треугольник, угол при основании которого в два раза больше угол его вершины. Биссектриса золотого треугольника делит сторону, с которой он встречается, в золотом сечении, а площади двух разделенных частей также находятся в золотом сечении. [46]
Если угол вершины золотого гномона разделить на три части , трисектор снова разделит его на меньший золотой гномон и золотой треугольник. Трисектор делит основание в золотом сечении, а площади двух частей соответствуют золотому сечению. Аналогично любой тупоугольный треугольник можно подразделить на подобный треугольник и остроугольный равнобедренный треугольник, но золотой гномон — единственный, для которого это подразделение производится трисектором угла, потому что это единственный равнобедренный треугольник, угол при вершине которого в три раза больше его базовый угол. [46]
Мозаика Пенроуза
Золотое сечение занимает видное место в мозаике Пенроуза , семействе апериодических мозаик плоскости, разработанных Роджером Пенроузом , вдохновленным замечанием Иоганна Кеплера о том, что пентаграммы, декагоны и другие формы могут заполнять пробелы, которые оставляют только пятиугольные фигуры, сложенные вместе. [48] Было изучено несколько вариантов этой мозаики, все прототипы которых демонстрируют золотое сечение:
В оригинальной версии этой мозаики Пенроуза использовались четыре формы: правильные пятиугольники и пентаграммы, фигуры «лодочки» с тремя вершинами пентаграммы и ромбы в форме «ромба». [49]
В мозаике Пенроуза «воздушный змей и дротик» используются воздушные змеи с тремя внутренними углами 72 ° и одним внутренним углом 144 °, а также дротики, вогнутые четырехугольники с двумя внутренними углами 36 °, одним 72 ° и одним невыпуклым углом 216 °. . Специальные правила сопоставления ограничивают возможность пересечения плиток на любом ребре, в результате чего в любой вершине получается семь комбинаций плиток. И воздушные змеи, и дротики имеют стороны двух длин в золотом пропорции друг к другу. Площади этих двух форм плитки также находятся в золотом пропорции друг к другу. [48]
Воздушный змей и дротик можно разрезать по осям симметрии на пару золотых треугольников и золотых гномонов соответственно. При наличии подходящих правил сопоставления эти треугольники, называемые в данном контексте треугольниками Робинсона , могут использоваться в качестве прототипов для формы мозаики Пенроуза. [48] [50]
Ромбическая мозаика Пенроуза содержит два типа ромба: тонкий ромб с углами 36° и 144° и толстый ромб с углами 72° и 108°. Длины всех сторон равны, но отношение длин сторон к короткой диагонали тонкого ромба равно , как и отношение сторон к длинной диагонали толстого ромба. Как и в случае с мозаикой из воздушного змея и дротика, площади двух ромбов находятся в золотом пропорции друг к другу. Опять же, эти ромбы можно разложить на пары треугольников Робинсона. [48]
В треугольниках и четырехугольниках
Строительство Одома
Джордж Одом нашел конструкцию равностороннего треугольника : если отрезок, соединяющий середины двух сторон, продлен до пересечения описанной окружности , то две средние точки и точка пересечения с окружностью находятся в золотой пропорции. [51]
Эти длины сторон являются тремя пифагорейскими средними двух чисел . Три квадрата по его сторонам имеют площади в золотой геометрической прогрессии .
Среди равнобедренных треугольников соотношение внутреннего радиуса к длине стороны максимально для треугольника, образованного двумя отраженными копиями треугольника Кеплера, имеющими общую большую из двух сторон. [52] Тот же равнобедренный треугольник максимизирует отношение радиуса полукруга в его основании к его периметру . [53]
Для треугольника Кеплера с наименьшей длиной стороны площадь и острые внутренние углы равны :
Золотой прямоугольник
Золотое сечение определяет пропорции длин смежных сторон золотого прямоугольника . [54] Сложение золотых прямоугольников друг на друга создает золотые прямоугольники заново, а удаление или добавление квадратов из золотых прямоугольников оставляет прямоугольники по-прежнему пропорциональными . Они могут быть созданы с помощью золотых спиралей , последовательных квадратов и четвертей круга размером с число Фибоначчи и Люка. Они занимают видное место в икосаэдре , а также в додекаэдре (более подробно см. Раздел ниже). [55]
Золотой ромб
Золотой ромб — это ромб , диагонали которого чаще всего пропорциональны золотому сечению . [56] Для ромба таких пропорций его острый и тупой углы равны:
Длины его короткой и длинной диагоналей и , выраженные в терминах длины стороны, равны:
Логарифмические спирали — это самоподобные спирали, в которых расстояния, пройденные за оборот, находятся в геометрической прогрессии . Логарифмическая спираль, радиус которой увеличивается в раз золотого сечения на каждую четверть оборота, называется золотой спиралью . Эти спирали могут быть аппроксимированы четвертькругами, растущими по золотому сечению, [59] или их аппроксимациями, полученными из чисел Фибоначчи, [60] , которые часто изображаются вписанными в спиральный узор из квадратов, растущих в том же соотношении. Точную логарифмическую форму золотой спирали можно описать полярным уравнением :
Не все логарифмические спирали связаны с золотым сечением, и не все спирали, связанные с золотым сечением, имеют ту же форму, что и золотая спираль. Например, другая логарифмическая спираль, заключающая в себе вложенную последовательность золотых равнобедренных треугольников, увеличивается на золотое сечение на каждые 108 °, на которые она поворачивается, вместо угла поворота золотой спирали на 90 °. [58] Другой вариант, называемый «лучшей золотой спиралью», увеличивается по золотому сечению за каждый пол-оборота, а не за каждую четверть оборота. [59]
Для додекаэдра со стороной радиус описанной и вписанной сферы и мидрадиус равны ( и соответственно):
и
В то время как для икосаэдра со стороной радиус описанной и вписанной сферы и средний радиус равны:
и
Объем и площадь поверхности додекаэдра можно выразить через :
и .
Также как и для икосаэдра:
и
Эти геометрические значения можно вычислить по их декартовым координатам , которые также можно задать с помощью формул, включающих . Координаты додекаэдра показаны на рисунке выше, а координаты икосаэдра представляют собой циклические перестановки :
, ,
Наборы из трёх золотых прямоугольников пересекаются перпендикулярно внутри додекаэдров и икосаэдров, образуя кольца Борромео . [62] [55] В додекаэдрах пары противоположных вершин в золотых прямоугольниках встречаются с центрами пятиугольных граней, а в икосаэдрах они встречаются в его вершинах. В целом, три золотых прямоугольника содержат вершины икосаэдра или, что то же самое, пересекают центры граней додекаэдра. [61]
Куб можно вписать в правильный додекаэдр, при этом некоторые диагонали пятиугольных граней додекаэдра служат рёбрами куба; следовательно, длины ребер находятся в золотом сечении. Объем куба в раз больше объема додекаэдра. [63] Фактически, золотые прямоугольники внутри додекаэдра находятся в золотых пропорциях к вписанному кубу, так что ребра куба и длинные ребра золотого прямоугольника сами находятся в пропорциях. С другой стороны, в октаэдр , который является двойственным многогранником куба, можно вписать икосаэдр, так что вершины икосаэдра касаются ребер октаэдра в точках, разделяющих его ребра в золотом сечении. [64]
Десятичное разложение золотого сечения можно рассчитать с помощью методов поиска корней, таких как метод Ньютона или метод Галлея , по уравнению или по (сначала вычислить ). Время, необходимое для вычисления цифр золотого сечения с использованием метода Ньютона, по существу равно , где – временная сложность умножения двузначных чисел. [65] Это значительно быстрее, чем известные алгоритмы для и . Легко запрограммированная альтернатива, использующая только целочисленную арифметику, — вычислить два больших последовательных числа Фибоначчи и разделить их. Отношение чисел Фибоначчи и каждого по цифрам дает более значащие цифры золотого сечения. Десятичное разложение золотого сечения [1] рассчитано с точностью до десяти триллионов ( ) цифр. [66]
В комплексной плоскости удовлетворяющие корню пятой степени из единицы (для целого числа ) являются вершинами пятиугольника. Они не образуют кольцо квадратных целых чисел , однако сумма любого корня пятой степени из единицы и его комплексно -сопряженного числа является квадратичным целым числом, элементом В частности,
Это справедливо и для остальных корней десятой степени из единицы, удовлетворяющих
Для гамма-функции единственными решениями уравнения являются и .
Когда золотое сечение используется в качестве основы системы счисления (см. базу золотого сечения , иногда называемую phinary или -nary ), квадратичные целые числа в кольце , то есть числа вида for , имеют конечные представления, а рациональные дроби имеют конечные представления. бесконечные представления.
Золотое сечение также появляется в гиперболической геометрии как максимальное расстояние от точки на одной стороне идеального треугольника до ближайшей из двух других сторон: это расстояние, длина стороны равностороннего треугольника , образованного точками касания окружность, вписанная в идеальный треугольник, есть [67]
Швейцарский архитектор Ле Корбюзье , известный своим вкладом в современный международный стиль , сосредоточил свою философию дизайна на системах гармонии и пропорций. Вера Ле Корбюзье в математический порядок Вселенной была тесно связана с золотым сечением и рядом Фибоначчи, которые он описывал как «ритмы, видимые глазу и ясные в их отношениях друг с другом. И эти ритмы лежат в самой основе человеческой деятельности. Они звучат в человеке с органической неизбежностью, той самой прекрасной неизбежностью, которая вызывает выслеживание Золотого Сечения детьми, стариками, дикарями и учеными». [70] [71]
Помимо золотого сечения, Ле Корбюзье основывал систему на человеческих измерениях , числах Фибоначчи и двойной единице. Он довел идею золотого сечения в человеческих пропорциях до крайности: он разделил высоту своего модельного человеческого тела на уровне пупка на две части в золотом сечении, а затем разделил эти части в золотом сечении на колени и горло; он использовал эти пропорции золотого сечения в системе Модулора . Вилла Штайн Ле Корбюзье 1927 года в Гарше стала примером применения системы Modulor. Прямоугольный план, фасад и внутренняя структура виллы очень напоминают золотые прямоугольники. [72]
Другой швейцарский архитектор, Марио Ботта , основывает многие свои проекты на геометрических фигурах. Несколько частных домов, которые он спроектировал в Швейцарии, состоят из квадратов и кругов, кубов и цилиндров. В доме, который он спроектировал в Ориглио , золотое сечение — это пропорция между центральной и боковыми частями дома. [73]
Искусство
Иллюстрации многогранников Леонардо да Винчи в «Божественной пропорции» Пачоли заставили некоторых предположить, что он включил золотое сечение в свои картины. Но предположение о том, что его Мона Лиза , например, использует пропорции золотого сечения, не подтверждается собственными сочинениями Леонардо. [74] Точно так же, хотя Витрувианский человек Леонардо часто изображается в связи с золотым сечением, пропорции фигуры на самом деле ему не соответствуют, и в тексте упоминаются только соотношения целых чисел. [75] [76]
Сальвадор Дали , находившийся под влиянием работ Матилы Гики , [77] явно использовал золотое сечение в своем шедевре « Таинство Тайной Вечери» . Размеры полотна – золотой прямоугольник. Огромный додекаэдр, в перспективе так, что края кажутся в золотом пропорции друг к другу, подвешен над Иисусом и позади него и доминирует в композиции. [74] [78]
Статистическое исследование 565 произведений искусства разных великих художников, проведенное в 1999 году, показало, что эти художники не использовали золотое сечение в размерах своих полотен. Исследование пришло к выводу, что среднее соотношение двух сторон изученных картин соответствует средним показателям для отдельных художников от (Гойя) до (Беллини). [79] С другой стороны, Пабло Тосто перечислил более 350 работ известных художников, в том числе более 100, в которых есть полотна с золотым прямоугольником и пропорциями, а другие с такими пропорциями, как и [80]
Было время, когда отклонения от поистине красивых пропорций страницы и золотого сечения были редкостью. Многие книги, выпущенные между 1550 и 1770 годами, показывают эти пропорции точно, с точностью до полмиллиметра. [82]
Согласно некоторым источникам, золотое сечение используется в повседневном дизайне, например, в пропорциях игральных карт, открыток, плакатов, табличек с выключателями и широкоэкранных телевизоров. [83]
Флаги
По словам его дизайнера, соотношение сторон (отношение ширины к высоте) флага Того должно было соответствовать золотому сечению. [84]
Музыка
Эрно Лендвай анализирует произведения Белы Бартока как основанные на двух противоположных системах: золотом сечении и акустической шкале [85] , хотя другие музыковеды отвергают этот анализ. [86] Французский композитор Эрик Сати использовал золотое сечение в нескольких своих произведениях, в том числе Sonneries de la Rose+Croix . Золотое сечение также проявляется в организации разделов музыки « Отражения в воде » Дебюсси из «Образов» (1-я серия, 1905 ) , в которой «последовательность тональностей обозначена интервалы 34, 21, 13 и 8, а главная кульминация находится в позиции фи». [87]
Музыковед Рой Ховат заметил, что формальные границы «Мера» Дебюсси точно соответствуют золотому сечению. [88] Трезизе считает внутренние доказательства «замечательными», но предупреждает, что никакие письменные или зарегистрированные доказательства не позволяют предположить, что Дебюсси сознательно стремился к таким пропорциям. [89]
Теоретики музыки, в том числе Ханс Зендер и Хайнц Болен, экспериментировали со шкалой 833 цента , музыкальной шкалой, основанной на использовании золотого сечения в качестве основного музыкального интервала . При измерении в центах (логарифмической шкале музыкальных интервалов) золотое сечение составляет примерно 833,09 цента. [90]
Природа
Иоганн Кеплер писал, что «образ мужчины и женщины проистекает из божественной пропорции. По моему мнению, размножение растений и репродуктивные действия животных находятся в одном и том же соотношении». [91]
Психолог Адольф Цейзинг отметил, что золотое сечение появилось в филлотаксисе , и на основе этих закономерностей в природе доказал , что золотое сечение является универсальным законом. [92] Цейзинг написал в 1854 году универсальный ортогенетический закон «стремления к красоте и полноте в сферах как природы, так и искусства». [93]
Однако некоторые утверждают, что многие очевидные проявления золотого сечения в природе, особенно в отношении размеров животных, являются вымышленными. [94]
Физика
Квазиодномерный ферромагнетик Изинга (ниобат кобальта) имеет 8 предсказанных состояний возбуждения (с симметрией E 8 ), которые при исследовании рассеяния нейтронов показали, что два его нижних состояния находятся в золотом сечении. В частности, эти квантовые фазовые переходы во время спинового возбуждения, которые происходят при температуре, близкой к абсолютному нулю, показали пары изломов в упорядоченной фазе и перевороты спина в парамагнитной фазе; обнаруживая, чуть ниже критического поля , спиновую динамику с резкими модами при низких энергиях, приближающихся к золотой середине. [95]
Оптимизация
Не существует известного общего алгоритма равномерного расположения заданного количества узлов на сфере для любого из нескольких определений четного распределения (см., например, проблему Томсона или проблему Таммеса ). Однако полезное приближение получается в результате разделения сферы на параллельные полосы с одинаковой площадью поверхности и размещения одного узла в каждой полосе на расстоянии по долготе от золотого сечения круга, т. е. этот метод использовался для расположения 1500 зеркал студенческого коллектива. спутник Старшайн-3 . [96]
Примеры спорных наблюдений золотого сечения включают следующее:
Часто утверждается, что определенные пропорции в телах позвоночных животных (включая человека) находятся в золотом сечении; например, соотношение последовательных фаланговых и пястных костей (костей пальцев), как говорят, приблизительно соответствует золотому сечению. Однако реальные показатели этих элементов у конкретных людей сильно различаются, и рассматриваемая пропорция часто значительно отличается от золотого сечения. [97] [98]
Часто утверждается, что раковины моллюсков, таких как наутилус, находятся в золотом сечении. [99] Рост раковин наутилуса следует логарифмической спирали , и иногда ошибочно утверждают, что любая логарифмическая спираль связана с золотым сечением, [100] или иногда утверждают, что каждая новая камера имеет золотую пропорцию по отношению к предыдущей. [101] Однако измерения раковин наутилуса не подтверждают это утверждение. [102]
Историк Джон Мэн утверждает, что и страницы, и текстовая область Библии Гутенберга «основаны на форме золотого сечения». Однако, по его собственным измерениям, соотношение высоты и ширины страниц составляет [103]
Исследования психологов, начиная с Густава Фехнера ок. 1876 , [104] были разработаны для проверки идеи о том, что золотое сечение играет роль в восприятии красоты человеком . Хотя Фехнер обнаружил, что предпочтение отдается соотношениям прямоугольников, основанным на золотом сечении, более поздние попытки тщательно проверить такую гипотезу оказались в лучшем случае безрезультатными. [105] [74]
При инвестировании некоторые специалисты по техническому анализу используют золотое сечение, чтобы указать на поддержку уровня цен или сопротивление росту цен на акции или товары; после значительных изменений цен вверх или вниз новые уровни поддержки и сопротивления предположительно находятся на уровне цен или вблизи них, связанных с начальной ценой через золотое сечение. [106] Использование золотого сечения в инвестировании также связано с более сложными закономерностями, описываемыми числами Фибоначчи (например, волновой принцип Эллиотта и ретрейсмент Фибоначчи ). Однако другие аналитики рынка опубликовали анализы, показывающие, что эти проценты и закономерности не подтверждаются данными. [107]
Египетские пирамиды
Великая пирамида в Гизе (также известная как пирамида Хеопса или Хуфу) была проанализирована пирамидологами как имеющая в поперечном сечении двойной треугольник Кеплера . Если бы эта теория была верна, золотое сечение описывало бы соотношение расстояний от середины одной из сторон пирамиды до ее вершины и от той же средней точки до центра основания пирамиды. Однако неточность измерения, вызванная отчасти удалением внешней поверхности пирамиды, не позволяет отличить эту теорию от других числовых теорий пропорций пирамиды, основанных на числах Пи или на соотношениях целых чисел. Современные ученые пришли к единому мнению, что пропорции этой пирамиды не основаны на золотом сечении, поскольку такая основа несовместима как с тем, что известно о египетской математике со времени строительства пирамиды, так и с египетскими теориями архитектуры и пропорций. использовал в других своих произведениях. [108]
Парфенон
Некоторые говорят, что фасад Парфенона ( ок. 432 г. до н. э.), а также элементы его фасада и других мест ограничены золотыми прямоугольниками. [110] Другие ученые отрицают, что у греков была какая-либо эстетическая связь с золотым сечением. Например, Кит Девлин говорит: «Конечно, часто повторяемое утверждение о том, что Парфенон в Афинах основан на золотом сечении, не подтверждается реальными измерениями. Фактически, вся история о греках и золотом сечении кажется необоснованной. " [111] Мидхат Дж. Газале утверждает, что «только до Евклида... математические свойства золотого сечения были изучены». [112]
Измерив 15 храмов, 18 монументальных гробниц, 8 саркофагов и 58 могильных стел с пятого века до нашей эры по второй век нашей эры, один исследователь пришел к выводу, что золотое сечение полностью отсутствовало в греческой архитектуре классической пятого века до нашей эры, и почти отсутствовал в течение следующих шести столетий. [113]
Более поздние источники, такие как Витрувий (первый век до н.э.), обсуждают исключительно пропорции, которые могут быть выражены целыми числами, то есть соизмеримыми, а не иррациональными пропорциями.
Современное искусство
Секция д'Ор («Золотое сечение») представляла собой коллектив художников , скульпторов, поэтов и критиков, связанных с кубизмом и орфизмом . [114] Действуя примерно с 1911 по 1914 год, они приняли это название, чтобы подчеркнуть, что кубизм представляет собой продолжение великой традиции, а не изолированное движение, а также в знак уважения к математической гармонии, связанной с Жоржем Сёра . [115] (Некоторые авторы утверждали, что Сёра использовал золотое сечение в своих картинах, но сочинения и картины Сёра предполагают, что он использовал простые целочисленные соотношения, и любое приближение золотого сечения было случайным.) [ 116] Кубисты наблюдали в ее гармония, геометрическая структурированность движения и формы, «примат идеи над природой», «абсолютная научная ясность замысла». [117] Однако, несмотря на этот общий интерес к математической гармонии, труднее определить, использовало ли картины, представленные на знаменитой выставке Салона де ла Секции д'Ор в 1912 году, золотое сечение в каких-либо композициях. Ливио, например, утверждает, что нет, [118] и Марсель Дюшан сказал то же самое в интервью. [119] С другой стороны, анализ показывает, что Хуан Грис использовал золотое сечение при составлении произведений, которые, вероятно, но не окончательно, были показаны на выставке. [119] [120] Историк искусства Дэниел Роббинс утверждал, что помимо ссылки на математический термин, название выставки также относится к более ранней группе Bandeaux d'Or , с которой Альберт Глейз и другие бывшие члены аббатства Кретей были вовлеченный. [121]
^ Если снять ограничение на и каждое значение больше нуля, то у этого уравнения фактически будет два решения: одно положительное и одно отрицательное. определяется как положительное решение. Отрицательное решение: Сумма двух решений равна , а произведение двух решений равно .
^ Другие названия включают золотую середину , золотое сечение , [4] золотую огранку , [5] золотую пропорцию , золотое число , [6] срединное сечение и божественное сечение .
^ Евклид, Элементы , Книга II, Предложение 11; Книга IV, предложения 10–11; Книга VI, положение 30; Книга XIII, предложения 1–6, 8–11, 16–18.
^ По мотивам классического греческого скульптора Фидия (ок. 490–430 до н. э.); [33] Позже Барр писал, что, по его мнению, маловероятно, чтобы Фидий действительно использовал золотое сечение. [34]
^ Пачоли, Лука (1509). Божественная пропорция . Венеция: Лука Паганинем де Паганинус де Брешиа (Антонио Капелла).
^ Ливио 2002, стр. 3, 81.
^ Саммерсон, Джон (1963). Небесные обители и другие очерки по архитектуре. Нью-Йорк: WW Нортон. п. 37. То же самое относится и к архитектуре к прямоугольникам , представляющим эти и другие пропорции (например, «золотой разрез»). Единственная ценность этих соотношений состоит в том, что они интеллектуально плодотворны и отражают ритмы модульного дизайна.
^ Шилак, Винсент П. (1987). «Последовательность Фибоначчи и золотое сечение». Учитель математики . 80 (5): 357–358. дои : 10.5951/MT.80.5.0357. JSTOR 27965402.Этот источник содержит элементарный вывод значения золотого сечения.
^ Питерс, JMH (1978). «Приблизительная связь между π и золотым сечением». Математический вестник . 62 (421): 197–198. дои : 10.2307/3616690. JSTOR 3616690. S2CID 125919525.
^ Ливио 2002, с. 6.
^ Ливио 2002, с. 4: «...линейное деление, которое Евклид определил для... чисто геометрических целей...»
^ Ливио 2002, стр. 7–8.
^ Ливио 2002, стр. 4–5.
^ Ливио 2002, с. 78.
^ Хеменвей, Прия (2005). Божественная пропорция: Фи в искусстве, природе и науке . Нью-Йорк: Стерлинг. стр. 20–21. ISBN9781402735226.
^ Ливио 2002, с. 3.
^ Евклид (2007). Элементы геометрии Евклида . Перевод Фитцпатрика, Ричарда. Лулу.com. п. 156. ИСБН978-0615179841.
^ Баравалле, HV (1948). «Геометрия пятиугольника и золотое сечение». Учитель математики . 41 : 22–31. дои : 10.5951/MT.41.1.0022.
^ Ливио 2002, стр. 134–135.
^ Ливио 2002, с. 141.
^ Шрайбер, Питер (1995). «Дополнение к статье Дж. Шаллита «Истоки анализа евклидова алгоритма»». История Математики . 22 (4): 422–424. дои : 10.1006/hmat.1995.1033 .
^ Финк, Карл (1903). Краткая история математики. Перевод Бемана, Вустера Вудраффа; Смит, Дэвид Юджин (2-е изд.). Чикаго: Открытый суд. п. 223.(Первоначально опубликовано как Geschichte der Elementar-Mathematik .)
^ Бойтельспехер, Альбрехт; Петри, Бернхард (1996). «Фибоначчи-Зален». Der Goldene Schnitt (на немецком языке). Vieweg+Teubner Verlag. стр. 87–98. дои : 10.1007/978-3-322-85165-9_6.
Ярич, Марко В. (1989). Введение в математику квазикристаллов . Академическая пресса. п. Икс. ISBN 9780120406029. Хотя ко времени открытия квазикристаллов теория квазипериодических функций была известна уже почти шестьдесят лет, именно математика апериодических разбиений Пенроуза, разработанная в основном Николаасом де Брюйном , оказала основное влияние на новую область. Голдман, Алан И.; Андерегг, Джеймс В.; Бессер, Мэтью Ф.; Чанг, Шэн-Лян; Делани, Дрю В.; Дженкс, Синтия Дж .; Крамер, Мэтью Дж.; Лограссо, Томас А.; Линч, Дэвид В.; МакКаллум, Р. Уильям; Шилд, Джеффри Э.; Сорделе, Дэниел Дж.; Тиль, Патрисия А. (1996). «Квазикристаллические материалы». Американский учёный . 84 (3): 230–241. JSTOR 29775669.
^ Мартин, Джордж Э. (1998). Геометрические конструкции . Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер. стр. 13–14. дои : 10.1007/978-1-4612-0629-3. ISBN978-1-4612-6845-1.
^ Хайльперин, Макс; Кайзер, Барбара К.; Найт, Карл В. (1999). Конкретные абстракции: введение в информатику с использованием схемы. Брукс/Коул. п. 63.
^ Харди, GH ; Райт, Э.М. (1960) [1938]. «§11.8. Мера ближайшего приближения к произвольному иррациональному» . Введение в теорию чисел (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. стр. 163–164. ISBN978-0-19-853310-8.
^ Сайзер, Уолтер С. (1986). «Продолжительные корни». Журнал «Математика» . 59 (1): 23–27. дои : 10.1080/0025570X.1986.11977215. JSTOR 2690013. MR 0828417.
^ Таттерсолл, Джеймс Джозеф (1999). Элементарная теория чисел в девяти главах . Издательство Кембриджского университета. п. 28.
^ Паркер, Мэтт (2014). Что нужно делать и делать в четвертом измерении . Фаррар, Штраус и Жиру. п. 284. ИСБН9780374275655.
^ Кинг, С.; Бек, Ф.; Люттге, У. (2004). «О тайне золотого угла в филлотаксисе». Растение, клетка и окружающая среда . 27 (6): 685–695. дои : 10.1111/j.1365-3040.2004.01185.x.
^ abcde Loeb, Артур (1992). «Золотой треугольник». Концепции и изображения: Визуальная математика . Биркхойзер. стр. 179–192. дои : 10.1007/978-1-4612-0343-8_20. ISBN978-1-4612-6716-4.
^ Миллер, Уильям (1996). «Пятиугольники и золотые треугольники». Математика в школе . 25 (4): 2–4. JSTOR 30216571.
^ Фреттло, Д.; Харрисс, Э.; Гелер, Ф. «Треугольник Робинзона». Энциклопедия плитки .
Клейсон, Роберт Дж. (1994). «Семейство узоров плитки из золотого треугольника». Математический вестник . 78 (482): 130–148. дои : 10.2307/3618569. JSTOR 3618569. S2CID 126206189.
^ Одом, Джордж; ван де Краат, Январь (1986). «E3007: Золотое сечение равностороннего треугольника и описанной вокруг него окружности». Проблемы и решения. Американский математический ежемесячник . 93 (7): 572. дои : 10.2307/2323047. JSTOR 2323047.
^ Басард, Хьюберт LL (1968). «L'algèbre au Moyen Âge: le «Liber mensurationum» d'Abû Bekr». Journal des Savants (на французском и латыни). 1968 (2): 65–124. дои : 10.3406/jds.1968.1175.См. задачу 51, воспроизведенную на стр. 98
^ Брюс, Ян (1994). «Еще один пример золотого прямоугольного треугольника» (PDF) . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 32 (3): 232–233.
^ Посаментье и Леманн 2011, с. 11.
^ аб Бургер, Эдвард Б.; Старберд, Майкл П. (2005) [2000]. Сердце математики: приглашение к эффективному мышлению (2-е изд.). Спрингер. п. 382. ИСБН9781931914413.
^ Сенешаль, Марджори (2006). «Дональд и золотые ромбоэдры». В Дэвисе, Чендлер; Эллерс, Эрих В. (ред.). Наследие Кокстера . Американское математическое общество. стр. 159–177. ISBN0-8218-3722-2.
^ Аб Леб, Артур Л.; Варни, Уильям (март 1992 г.). «Существует ли золотая спираль, и если нет, то где ее центр?». В Харгиттае Иштван; Пиковер, Клиффорд А. (ред.). Спиральная симметрия . Всемирная научная. стр. 47–61. дои : 10.1142/9789814343084_0002.
^ аб Рейтебух, Ульрих; Скродски, Мартин; Полтье, Конрад (2021). «Аппроксимация логарифмических спиралей четвертью круга». В Сварте, Дэвид; Фаррис, Фрэнк; Торренс, Ева (ред.). Proceedings of Bridges 2021: Математика, Искусство, Музыка, Архитектура, Культура . Финикс, Аризона: Издательство Tessellations Publishing. стр. 95–102. ISBN978-1-938664-39-7.
^ Дидрихс, Данило Р. (февраль 2019 г.). «Архимедова, логарифмическая и эйлерова спирали – интригующие и повсеместно встречающиеся закономерности в природе». Математический вестник . 103 (556): 52–64. дои : 10.1017/mag.2019.7. S2CID 127189159.
^ аб Ливио (2002, стр. 70–72)
^ Ганн, Чарльз; Салливан, Джон М. (2008). «Кольца Борромео: Видео о новом логотипе ИДУ». В Сарханги, Реза; Секен, Карло Х. (ред.). Труды Бриджеса 2008 . Леуварден, Нидерланды. Публикации Тарквина. стр. 63–70.; Видео на «Кольца Борромео: новый логотип ИДУ». Международный математический союз . Архивировано из оригинала 8 марта 2021 г.
^ Коксетер, HSM ; дю Валь, Патрик ; Флатер, ХТ; Петри, Дж. Ф. (1938). Пятьдесят девять икосаэдров . Том. 6. Исследования Университета Торонто. п. 4. Как тетраэдр можно вписать в куб, так и куб можно вписать в додекаэдр. Взаимно-поступательное движение приводит к октаэдру, описанному вокруг икосаэдра. Фактически каждая из двенадцати вершин икосаэдра делит ребро октаэдра по «золотому сечению».
^ Мюллер, Дж. М. (2006). Элементарные функции: алгоритмы и реализация (2-е изд.). Бостон: Биркхойзер. п. 93. ИСБН978-0817643720.
^ Йи, Александр Дж. (13 марта 2021 г.). «Рекорды, установленные y-cruncher». NumberWord.org .Два независимых вычисления, выполненные Клиффордом Спилманом.
^
Horocycles exinscrits: une proprieté Hyperbolique Remarquable, cabri.net, получено 21 июля 2009 г.
^ Берндт, Брюс С.; Чан, Хэн Хуат; Хуан, Сэнь-Шань; Кан, Сун-И; Сон, Джебом; Сон, Сын Хван (1999). «Продолжительная фракция Роджерса-Рамануджана» (PDF) . Журнал вычислительной и прикладной математики . 105 (1–2): 9–24. дои : 10.1016/S0377-0427(99)00033-3.
^ Ле Корбюзье, Модулер , с. 25 , цитируется по Padovan, Richard (1999). Пропорция: Наука, Философия, Архитектура . Тейлор и Фрэнсис. п. 316. дои : 10.4324/9780203477465. ISBN 9781135811112.
^ Фрингс, Маркус (2002). «Золотое сечение в теории архитектуры». Сетевой журнал Nexus . 4 (1): 9–32. дои : 10.1007/s00004-001-0002-0 . S2CID 123500957.
^ Ле Корбюзье, Модулер , с. 35 , цитируется по Padovan, Richard (1999). Пропорция: Наука, Философия, Архитектура . Тейлор и Фрэнсис. п. 320. дои : 10.4324/9780203477465. ISBN 9781135811112. И в картинах, и в архитектурных проектах используется золотое сечение.
^ Урвин, Саймон (2003). Анализ архитектуры (2-е изд.). Рутледж. стр. 154–155.
^ abcd Ливио, Марио (2002). «Золотое сечение и эстетика». Плюс журнал . Проверено 26 ноября 2018 г.
^ Девлин, Кейт (2007). «Миф, который не исчезнет» . Проверено 26 сентября 2013 г. Часть процесса становления писателем-математиком, по-видимому, заключается в осознании того, что нельзя ссылаться на золотое сечение, не сопровождая первое упоминание фразой, которая звучит примерно так: «которое, как полагали древние греки и другие, обладало божественными и мистическими свойствами». ' Почти столь же навязчивым является желание добавить второй факт вроде «Леонардо да Винчи верил, что человеческая форма отражает золотое сечение». Нет ни малейшего доказательства, подтверждающего ни одно из утверждений, и есть все основания предполагать, что они оба ложны. Тем не менее, оба утверждения, наряду с другими в том же духе, продолжают жить.
^ Симанек, Дональд Э. «Фибоначчи Флим-Флам». Архивировано из оригинала 9 января 2010 года . Проверено 9 апреля 2013 г.
^ Хант, Карла Херндон; Гилки, Сьюзен Никодемус (1998). Преподавание математики в блоке . Внимание к образованию. стр. 44, 47. ISBN.1-883001-51-Х.
^ Олариу, Агата (1999). «Золотое сечение и искусство живописи». arXiv : физика/9908036 .
^ Тосто, Пабло (1969). La composición áurea en las artes plásticas [ Золотая композиция в пластическом искусстве ] (на испанском языке). Хашетт. стр. 134–144.
^ Чихольд, Январь (1991). Форма книги. Хартли и Маркс. п. 43 Рис. 4. ISBN0-88179-116-4. Рамка идеальных пропорций в средневековой рукописи без нескольких колонок. Определено Яном Чихольдом в 1953 году. Пропорция страницы 2:3. пропорции полей 1:1:2:3, текстовая область пропорциональна золотому сечению. Нижний внешний угол текстовой области также фиксируется диагональю.
^ Чихольд, Январь (1991). Форма книги. Хартли и Маркс. стр. 27–28. ISBN0-88179-116-4.
^ Джонс, Рональд (1971). «Золотое сечение: самая замечательная мера». Структуралист . 11 : 44–52. Кто мог бы заподозрить, например, что пластина выключателя для одиночных выключателей стандартизирована в виде золотого прямоугольника?
Джонсон, Арт (1999). Знаменитые задачи и их математики . Пресса «Идеи учителей». п. 45. ИСБН 9781563084461. Золотое сечение — стандартная черта многих современных дизайнов: от открыток и кредитных карт до плакатов и табличек с выключателями.
Стахов Алексей П. ; Олсен, Скотт (2009). «§1.4.1 Золотой прямоугольник с отношением сторон τ». Математика гармонии: от Евклида к современной математике и информатике . Всемирная научная. стр. 20–21. Кредитная карта имеет форму золотого прямоугольника.
Кокс, Саймон (2004). Взлом кода да Винчи. Барнс и Ноубл. п. 62. ИСБН 978-1-84317-103-4. Золотое сечение также возникает в некоторых весьма неожиданных местах: широкоэкранные телевизоры, открытки, кредитные карты и фотографии обычно соответствуют его пропорциям.
^ Posamentier & Lehmann 2011, глава 4, сноска 12: «Флаг Того был разработан художником Полом Ахии (1930–2010), который утверждает, что пытался построить флаг в форме золотого прямоугольника».
^ Лендваи, Эрно (1971). Бела Барток: анализ его музыки . Лондон: Кан и Аверилл.
^ Ливио 2002, с. 190.
^ Смит, Питер Ф. (2003). Динамика восторга: архитектура и эстетика. Рутледж. п. 83. ИСБН9780415300100.
^ Ховат, Рой (1983). «1. Пропорциональная структура и золотое сечение». Дебюсси в пропорциях: музыкальный анализ . Издательство Кембриджского университета. стр. 1–10.
^ Трезисе, Саймон (1994). Дебюсси: Мер. Издательство Кембриджского университета. п. 53. ИСБН9780521446563.
Хасэгава, Роберт (2011). « Gegenstrebige Harmonik в музыке Ганса Зендера». Перспективы новой музыки . Проект Муза. 49 (1): 207–234. дои : 10.1353/pnm.2011.0000. JSTOR 10.7757/persnewmusi.49.1.0207.
Сметерст, Рейли (2016). «Две неоктавные настройки Хайнца Болена: практическое предложение». В Торренсе, Ева; и другие. (ред.). Труды Мостов 2016 . Ювяскюля, Финляндия. Издательство Тесселяции. стр. 519–522.
^ Ливио 2002, с. 154.
^ Падован, Ричард (1999). Пропорция: Наука, Философия, Архитектура . Тейлор и Фрэнсис. стр. 305–306. дои : 10.4324/9780203477465. ISBN9781135811112.
Падован, Ричард (2002). «Пропорция: наука, философия, архитектура». Сетевой журнал Nexus . 4 (1): 113–122. дои : 10.1007/s00004-001-0008-7 .
^ Цейзинг, Адольф (1854). «Einleitung [предисловие]». Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers [ Новая доктрина пропорций человеческого тела ] (на немецком языке). Вейгель. стр. 1–10.
^ Поммерсхайм, Джеймс Э.; Маркс, Тим К.; Флапан, Эрика Л. , ред. (2010). Теория чисел: живое введение с доказательствами, приложениями и историями . Уайли. п. 82.
^ «Дискошар в космосе». НАСА. 09.10.2001 . Проверено 16 апреля 2007 г.
^ Фазан, Стивен (1986). Пространство тела . Тейлор и Фрэнсис. ISBN9780850663402.
^ ван Лаак, Уолтер (2001). Лучшая история нашего мира: Том 1 Вселенная . Ахен: ван Лаах.
^ Данлэп, Ричард А. (1997). Золотое сечение и числа Фибоначчи . Всемирная научная. п. 130.
^ Фальбо, Клемент (март 2005 г.). «Золотое сечение — противоположная точка зрения». Математический журнал колледжа . 36 (2): 123–134. дои : 10.1080/07468342.2005.11922119. S2CID 14816926.
^ Москович, Иван (2004). Навесной квадрат и другие головоломки. Нью-Йорк: Стерлинг. п. 122. ИСБН9781402716669.
^ Петерсон, Иварс (1 апреля 2005 г.). «Спирали морских ракушек». Новости науки . Архивировано из оригинала 3 октября 2012 года . Проверено 10 ноября 2008 г.
^ Человек, Джон (2002). Гутенберг: Как один человек изменил мир с помощью слова. Уайли. стр. 166–167. ISBN9780471218234. Страница в половину фолио (30,7 × 44,5 см) состояла из двух прямоугольников — всей страницы и ее текстовой области — на основе так называемого «золотого сечения», которое определяет решающее соотношение между короткой и длинной сторонами и создает иррациональное число, как и число Пи, но имеет соотношение примерно 5:8.
^ Фехнер, Густав (1876). Vorschule der Ästhetik [ Дошкольная школа эстетики ] (на немецком языке). Лейпциг: Breitkopf & Härtel. стр. 190–202.
^ Ливио 2002, с. 7.
^ Ослер, Кэрол (2000). «Поддержка сопротивления: технический анализ и внутридневные обменные курсы» (PDF) . Обзор экономической политики Федерального резервного банка Нью-Йорка . 6 (2): 53–68. Архивировано (PDF) из оригинала 12 мая 2007 г. Откаты на 38,2% и 61,8% от недавних подъемов или падений являются обычным явлением.
^ Бэтчелор, Рой ; Рамьяр, Ричард (2005). Магические числа в индексе Доу-Джонса (Отчет). Кассовая бизнес-школа. стр. 13, 31.Обзоры популярной прессы можно найти в: Стивенсон, Том (10 апреля 2006 г.). «Никогда со времён «большого — это красиво» гиганты не выглядели лучше». «Дейли телеграф» .«Технический сбой». Экономист . 23 сентября 2006 г.
^ Герц-Фишлер, Роджер (2000). Форма Великой пирамиды . Издательство Университета Уилфрида Лорье. ISBN0-88920-324-5.Вся книга рассматривает множество альтернативных теорий формы этой пирамиды. См. главу 11, «Теория треугольника Кеплера», стр. 80–91, для получения материалов, касающихся треугольника Кеплера, и стр. 80–91. 166 за вывод о том, что теория треугольника Кеплера может быть устранена по принципу: «Теория должна соответствовать уровню математики, соответствующему тому, что было известно древним египтянам». См. примечание 3, с. 229, по истории работы Кеплера с этим треугольником.
Росси, Коринна (2004). Архитектура и математика в Древнем Египте. Издательство Кембриджского университета. стр. 67–68. ни в одном древнеегипетском письменном математическом источнике нет прямых свидетельств каких-либо арифметических вычислений или геометрических построений, которые можно было бы классифицировать как Золотое сечение ... сходимость к и сама по себе как число не соответствуют существующим математическим источникам Среднего царства.; см. также обширное обсуждение множества альтернативных теорий формы пирамиды и другой египетской архитектуры, стр. 7–56.
Росси, Коринна; Тут, Кристофер А. (2002). «Были ли в Древнем Египте известны ряд Фибоначчи и золотое сечение?». История Математики . 29 (2): 101–113. дои : 10.1006/hmat.2001.2334. HDL : 11311/997099 .
Марковский, Джордж (1992). «Заблуждения о золотом сечении» (PDF) . Математический журнал колледжа . Математическая ассоциация Америки. 23 (1): 2–19. дои : 10.2307/2686193. JSTOR 2686193 . Проверено 29 июня 2012 г. Похоже, что египтяне даже не знали о существовании этого сооружения, а тем более включили его в свои постройки.
^ Ливио 2002, стр. 74–75.
^ Ван Мерсберген, Одри М. (1998). «Риторические прототипы в архитектуре: измерение Акрополя с помощью философской полемики». Коммуникация Ежеквартально . 46 (2): 194–213. дои : 10.1080/01463379809370095.
^ Девлин, Кейт Дж. (2005). Математический инстинкт. Нью-Йорк: Thunder's Mouth Press. п. 108.
^ Футакис, Патрис (2014). «Строили ли греки по золотому сечению?». Кембриджский археологический журнал . 24 (1): 71–86. дои : 10.1017/S0959774314000201. S2CID 162767334.
^
Салон де ла Секция д'Ор, октябрь 1912 г., Центр посредничества Помпиду
↑
Jeunes Peintres ne vous frappez pas!, Lasection d'Or: Numéro spécial consacré à l'Exposition de la "Section d'Or", ежегодная премьера, № 1, 9 октября 1912 г., стр. 1–7. Архивировано в 2020 г. - 10-30 в Wayback Machine , Библиотека Кандинского.
^ Герц-Фишлер, Роджер (1983). «Рассмотрение претензий относительно Сёра и золотого числа» (PDF) . Газета изящных искусств . 101 : 109–112.
^ Герберт, Роберт (1968). Неоимпрессионизм . Фонд Гуггенхайма. п. 24.
^ Ливио 2002, с. 169.
^ аб Камфилд, Уильям А. (март 1965 г.). «Хуан Грис и золотое сечение». Художественный вестник . 47 (1): 128–134. дои : 10.1080/00043079.1965.10788819.
Коттингтон, Дэвид (2004). Кубизм и его история. Издательство Манчестерского университета. п. 112, 142.
^ Аллард, Роджер (июнь 1911 г.). «Sur quelques peintres». Les Marches du Sud-Ouest : 57–64.Перепечатано в Антлиффе, Марк; Лейтен, Патрисия, ред. (2008). Читатель кубизма, Документы и критика, 1906–1914. Издательство Чикагского университета. стр. 178–191.
^ Було, Чарльз (1963). Тайная геометрия художника: исследование композиции в искусстве. Харкорт, Брейс и мир. стр. 247–248.
^ Ливио 2002, стр. 177–178.
Цитируемые работы
Герц-Фишлер, Роджер (1998) [1987]. Математическая история золотого числа . Дувр. ISBN 9780486400075.(Первоначально называлась «Математическая история деления в экстремальном и среднем отношении ».)
Ливио, Марио (2002). Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире . Нью-Йорк: Бродвейские книги. ISBN 9780767908153.
Хантли, HE (1970). Божественная пропорция: исследование математической красоты . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-22254-7.
Шааф, Уильям Л., изд. (1967). Золотая мера (PDF) . Серия переизданий группы по изучению математики Калифорнийской школы. Стэндфордский Университет. Архивировано (PDF) из оригинала 25 апреля 2015 г.
Ссимоне, Альдо (1997). Ла Сеционе Ауреа. Культурная история лейтмотивов математики . Палермо: Sigma Edizioni. ISBN 978-88-7231-025-0.
Вальзер, Ганс (2001) [ Der Goldene Schnitt 1993]. Золотое сечение . Питер Хилтон пер. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-534-8.
Внешние ссылки
Викискладе есть медиафайлы по теме золотого сечения .