В математике дифференцируемое многообразие (также дифференциальное многообразие ) — это тип многообразия , которое локально достаточно похоже на векторное пространство , чтобы позволить применять исчисление . Любое многообразие можно описать набором диаграмм ( атласом ). Затем можно применять идеи из исчисления, работая с отдельными диаграммами, поскольку каждая диаграмма лежит в векторном пространстве, к которому применяются обычные правила исчисления. Если диаграммы соответствующим образом совместимы (а именно, переход от одной диаграммы к другой дифференцируем ) , то вычисления, выполненные в одной диаграмме, действительны в любой другой дифференцируемой диаграмме.
Формально дифференцируемое многообразие — это топологическое многообразие с глобально определенной дифференциальной структурой . Любому топологическому многообразию можно задать дифференциальную структуру локально, используя гомеоморфизмы в его атласе и стандартную дифференциальную структуру на векторном пространстве. Чтобы индуцировать глобальную дифференциальную структуру на локальных системах координат, индуцированных гомеоморфизмами, их композиции на пересечениях карт в атласе должны быть дифференцируемыми функциями на соответствующем векторном пространстве. Другими словами, там, где области карт перекрываются, координаты, определяемые каждой картой, должны быть дифференцируемыми относительно координат, определяемых каждой картой в атласе. Карты, которые связывают координаты, определяемые различными картами, друг с другом, называются картами перехода .
Возможность определения такой локальной дифференциальной структуры на абстрактном пространстве позволяет расширить определение дифференцируемости на пространства без глобальных систем координат. Локально дифференциальная структура позволяет определить глобально дифференцируемое касательное пространство , дифференцируемые функции и дифференцируемые тензорные и векторные поля.
Дифференцируемые многообразия очень важны в физике . Особые виды дифференцируемых многообразий составляют основу физических теорий, таких как классическая механика , общая теория относительности и теория Янга–Миллса . Можно разработать исчисление для дифференцируемых многообразий. Это приводит к такому математическому аппарату, как внешнее исчисление. Изучение исчисления на дифференцируемых многообразиях известно как дифференциальная геометрия .
«Дифференцируемость» многообразия имеет несколько значений, в том числе: непрерывно дифференцируемое , k -кратно дифференцируемое, гладкое (что само по себе имеет много значений) и аналитическое .
Возникновение дифференциальной геометрии как отдельной дисциплины обычно приписывают Карлу Фридриху Гауссу и Бернхарду Риману . Риман впервые описал многообразия в своей знаменитой лекции перед факультетом в Геттингене . [ 1] Он мотивировал идею многообразия интуитивным процессом изменения данного объекта в новом направлении и прозорливо описал роль систем координат и карт в последующих формальных разработках:
Работы таких физиков , как Джеймс Клерк Максвелл [2] и математиков Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита [3], привели к развитию тензорного анализа и понятия ковариантности , которое определяет внутреннее геометрическое свойство как свойство, инвариантное относительно преобразований координат . Эти идеи нашли ключевое применение в общей теории относительности Альберта Эйнштейна и ее основном принципе эквивалентности . Современное определение двумерного многообразия было дано Германом Вейлем в его книге 1913 года о римановых поверхностях [4] Широко принятое общее определение многообразия в терминах атласа принадлежит Хасслеру Уитни [5] .
Пусть M — топологическое пространство . Карта ( U , φ ) на M состоит из открытого подмножества U пространства M и гомеоморфизма φ из U в открытое подмножество некоторого евклидова пространства R n . Несколько неформально можно ссылаться на карту φ : U → R n , имея в виду, что образ φ является открытым подмножеством R n , и что φ является гомеоморфизмом на свой образ; в использовании некоторых авторов это может вместо этого означать, что φ : U → R n само по себе является гомеоморфизмом.
Наличие карты предполагает возможность выполнения дифференциального исчисления на M ; например, если дана функция u : M → R и карта ( U , φ ) на M , можно рассмотреть композицию u ∘ φ −1 , которая является действительной функцией, областью определения которой является открытое подмножество евклидова пространства; как таковая, если она дифференцируема, можно рассмотреть ее частные производные .
Эта ситуация не является полностью удовлетворительной по следующей причине. Рассмотрим вторую карту ( V , ψ ) на M и предположим, что U и V содержат некоторые общие точки. Две соответствующие функции u ∘ φ −1 и u ∘ ψ −1 связаны в том смысле, что их можно перепараметризовать друг в друга: естественная область определения правой части — φ ( U ∩ V ) . Поскольку φ и ψ являются гомеоморфизмами, отсюда следует, что ψ ∘ φ −1 является гомеоморфизмом из φ ( U ∩ V ) в ψ ( U ∩ V ) . Следовательно, это просто двойная непрерывная функция, поэтому даже если обе функции u ∘ φ −1 и u ∘ ψ −1 дифференцируемы, их дифференциальные свойства не обязательно будут сильно связаны друг с другом, поскольку ψ ∘ φ −1 не гарантирует достаточной дифференцируемости для вычисления частных производных LHS, применяя цепное правило к RHS. Та же проблема возникает, если вместо этого рассматривать функции c : R → M ; это приводит к формуле репараметризации , в которой можно сделать то же самое наблюдение, что и раньше.
Это решается введением «дифференцируемого атласа» карт, который определяет набор карт на M , для которых все отображения перехода ψ ∘ φ −1 дифференцируемы. Это делает ситуацию довольно ясной: если u ∘ φ −1 дифференцируемо, то в силу первой формулы репараметризации, перечисленной выше, отображение u ∘ ψ −1 также дифференцируемо на области ψ ( U ∩ V ) , и наоборот. Более того, производные этих двух отображений связаны друг с другом цепным правилом. Относительно данного атласа это облегчает понятие дифференцируемых отображений, областью или диапазоном которых является M , а также понятие производной таких отображений.
Формально слово «дифференцируемый» несколько двусмысленно, поскольку разные авторы понимают его по-разному; иногда оно означает существование первых производных, иногда существование непрерывных первых производных, а иногда существование бесконечного множества производных. Ниже дается формальное определение различных (однозначных) значений «дифференцируемого атласа». Как правило, «дифференцируемый» будет использоваться как всеобъемлющий термин, включающий все эти возможности, при условии, что k ≥ 1 .
Поскольку каждое вещественно-аналитическое отображение является гладким, а каждое гладкое отображение является C k для любого k , можно видеть, что любой аналитический атлас также может рассматриваться как гладкий атлас, а каждый гладкий атлас может рассматриваться как атлас C k . Эту цепочку можно расширить, включив голоморфные атласы, понимая, что любое голоморфное отображение между открытыми подмножествами C n может рассматриваться как вещественно-аналитическое отображение между открытыми подмножествами R 2 n .
Если задан дифференцируемый атлас на топологическом пространстве, говорят, что карта дифференцируемо совместима с атласом или дифференцируема относительно данного атласа, если включение карты в набор карт, составляющих заданный дифференцируемый атлас, приводит к дифференцируемому атласу. Дифференцируемый атлас определяет максимальный дифференцируемый атлас , состоящий из всех карт, которые дифференцируемо совместимы с заданным атласом. Максимальный атлас всегда очень большой. Например, если задана любая карта в максимальном атласе, ее ограничение на произвольное открытое подмножество ее области также будет содержаться в максимальном атласе. Максимальный гладкий атлас также известен как гладкая структура ; максимальный голоморфный атлас также известен как сложная структура .
Альтернативное, но эквивалентное определение, избегающее прямого использования максимальных атласов, заключается в рассмотрении классов эквивалентности дифференцируемых атласов, в которых два дифференцируемых атласа считаются эквивалентными, если каждая карта одного атласа дифференцируемо совместима с другим атласом. Неформально это означает, что при работе с гладким многообразием можно работать с одним дифференцируемым атласом, состоящим всего из нескольких карт, с неявным пониманием того, что многие другие карты и дифференцируемые атласы являются в равной степени законными.
Согласно инвариантности области , каждая связная компонента топологического пространства, имеющая дифференцируемый атлас, имеет хорошо определенную размерность n . Это вызывает небольшую двусмысленность в случае голоморфного атласа, поскольку соответствующая размерность будет составлять половину значения ее размерности, если рассматривать ее как аналитический, гладкий или C k атлас. По этой причине отдельно говорят о «реальной» и «комплексной» размерности топологического пространства с голоморфным атласом.
Дифференцируемое многообразие — это топологическое пространство Хаусдорфа и второй счетности M вместе с максимальным дифференцируемым атласом на M. Большая часть базовой теории может быть разработана без необходимости в условиях Хаусдорфа и второй счетности, хотя они жизненно важны для большей части продвинутой теории. Они по сути эквивалентны общему существованию функций выпуклости и разбиений единицы , оба из которых используются повсеместно.
Понятие многообразия C 0 идентично понятию топологического многообразия . Однако следует провести заметное различие. Если задано топологическое пространство, имеет смысл спросить, является ли оно топологическим многообразием. Напротив, не имеет смысла спрашивать, является ли заданное топологическое пространство (например) гладким многообразием, поскольку понятие гладкого многообразия требует спецификации гладкого атласа, который является дополнительной структурой. Однако может быть осмысленно сказать, что определенному топологическому пространству нельзя придать структуру гладкого многообразия. Можно переформулировать определения так, чтобы такого рода дисбаланс не присутствовал; можно начать с множества M (а не с топологического пространства M ), используя естественный аналог гладкого атласа в этой обстановке, чтобы определить структуру топологического пространства на M .
Можно провести обратную разработку вышеприведенных определений, чтобы получить одну из точек зрения на конструкцию многообразий. Идея состоит в том, чтобы начать с изображений диаграмм и карт переходов и построить многообразие исключительно из этих данных. Как и в приведенном выше обсуждении, мы используем «гладкий» контекст, но все работает так же хорошо и в других настройках.
Дано множество индексации пусть будет набором открытых подмножеств и для каждого пусть будет открытым (возможно, пустым) подмножеством и пусть будет гладким отображением. Предположим, что является тождественным отображением, то является тождественным отображением, а то является тождественным отображением. Затем определите отношение эквивалентности на несвязном объединении , объявив его эквивалентным С некоторой технической работой можно показать, что множеству классов эквивалентности можно естественным образом придать топологическую структуру, и что используемые при этом диаграммы образуют гладкий атлас. Для соединения аналитических структур (подмножеств) см. аналитические многообразия .
Действительная функция f на n -мерном дифференцируемом многообразии M называется дифференцируемой в точке p ∈ M , если она дифференцируема в любой координатной карте, определенной вокруг p . В более точных терминах, если является дифференцируемой картой, где является открытым множеством в , содержащим p , а является отображением, определяющим карту, то f дифференцируема в p тогда и только тогда, когда дифференцируема в , то есть является дифференцируемой функцией из открытого множества , рассматриваемого как подмножество , в . В общем случае будет много доступных карт; однако определение дифференцируемости не зависит от выбора карты в p . Из цепного правила , применяемого к функциям перехода между одной картой и другой, следует, что если f дифференцируема в любой конкретной карте в p , то она дифференцируема во всех картах в p . Аналогичные соображения применимы к определению функций C k , гладких функций и аналитических функций.
Существуют различные способы определения производной функции на дифференцируемом многообразии, наиболее фундаментальным из которых является производная по направлению . Определение производной по направлению осложняется тем фактом, что у многообразия не будет подходящей аффинной структуры, с помощью которой можно было бы определить векторы . Поэтому производная по направлению рассматривает кривые в многообразии вместо векторов.
Если задана вещественная функция f на n -мерном дифференцируемом многообразии M , то производная по направлению функции f в точке p в M определяется следующим образом. Предположим, что γ( t ) — кривая в M с γ (0) = p , которая дифференцируема в том смысле, что ее композиция с любой картой является дифференцируемой кривой в R n . Тогда производная по направлению функции f в точке p вдоль γ равна
Если γ 1 и γ 2 — две кривые, такие, что γ 1 (0) = γ 2 (0) = p , и в любой координатной карте ,
тогда, по правилу цепочки, f имеет ту же производную по направлению в точке p вдоль γ 1 , что и вдоль γ 2 . Это означает, что производная по направлению зависит только от касательного вектора кривой в точке p . Таким образом, более абстрактное определение дифференциации по направлению, адаптированное к случаю дифференцируемых многообразий, в конечном итоге охватывает интуитивные особенности дифференциации по направлению в аффинном пространстве.
Касательный вектор в точке p ∈ M является классом эквивалентности дифференцируемых кривых γ с γ (0) = p , по модулю отношения эквивалентности первого порядка контакта между кривыми. Следовательно,
в каждой координатной карте . Следовательно, классы эквивалентности — это кривые, проходящие через p с заданным вектором скорости в p . Совокупность всех касательных векторов в p образует векторное пространство : касательное пространство к M в p , обозначаемое T p M.
Если X — касательный вектор в точке p , а f — дифференцируемая функция, определенная вблизи точки p , то дифференцирование f вдоль любой кривой в классе эквивалентности, определяющем X, дает четко определенную производную по направлению вдоль X : Опять же, цепное правило устанавливает, что это не зависит от свободы выбора γ из класса эквивалентности, поскольку любая кривая с тем же касанием первого порядка даст ту же производную по направлению.
Если функция f фиксирована, то отображение является линейным функционалом на касательном пространстве. Этот линейный функционал часто обозначается как df ( p ) и называется дифференциалом f в точке p :
Пусть будет топологическим -многообразием с гладким атласом. Пусть обозначено A "касательный вектор в точке " - это отображение, здесь обозначенное таким образом, что для всех Пусть совокупность касательных векторов в точке обозначается через Задана гладкая функция , определяемая путем направления касательного вектора на число , заданное , которое из-за цепного правила и ограничения в определении касательного вектора не зависит от выбора
Можно проверить, что естественно имеет структуру -мерного действительного векторного пространства, и что с этой структурой является линейным отображением. Ключевое наблюдение заключается в том, что из-за ограничения, появляющегося в определении касательного вектора, значение для одного элемента автоматически определяет для всех
Приведенные выше формальные определения в точности соответствуют более неформальным обозначениям, которые часто встречаются в учебниках, в частности:
Поняв идею формальных определений, с этой сокращенной записью для большинства целей гораздо проще работать.
Одной из топологических особенностей пучка дифференцируемых функций на дифференцируемом многообразии является то, что он допускает разбиения единицы . Это отличает дифференциальную структуру на многообразии от более сильных структур (таких как аналитические и голоморфные структуры), которые в общем случае не имеют разбиений единицы.
Предположим, что M — многообразие класса C k , где 0 ≤ k ≤ ∞ . Пусть { U α } — открытое покрытие M . Тогда разбиение единицы, подчиненное покрытию { U α }, — это набор вещественнозначных функций C k φ i на M , удовлетворяющих следующим условиям:
(Обратите внимание, что это последнее условие на самом деле является конечной суммой в каждой точке из-за локальной конечности носителей φ i .)
Каждое открытое покрытие C k многообразия M имеет C k разбиение единицы. Это позволяет некоторым конструкциям из топологии C k функций на R n переноситься в категорию дифференцируемых многообразий. В частности, можно обсуждать интегрирование, выбирая разбиение единицы, подчиненное определенному координатному атласу, и выполняя интегрирование в каждой карте R n . Таким образом, разбиения единицы позволяют рассматривать некоторые другие виды пространств функций : например, пространства L p , пространства Соболева и другие виды пространств, требующие интегрирования.
Предположим, что M и N — два дифференцируемых многообразия с размерностями m и n соответственно, а f — функция из M в N. Поскольку дифференцируемые многообразия являются топологическими пространствами, мы знаем, что означает для f быть непрерывным. Но что означает « f есть C k ( M , N ) » для k ≥ 1 ? Мы знаем, что это означает, когда f — функция между евклидовыми пространствами, поэтому, если мы скомпонуем f с картой M и картой N таким образом, что получим отображение, которое переходит из евклидова пространства в M и затем в N и в евклидово пространство, мы знаем, что означает для этого отображения быть C k ( R m , R n ) . Мы определяем « f есть C k ( M , N ) » как то, что все такие композиции f с картами являются C k ( R m , R n ) . Еще раз, цепное правило гарантирует, что идея дифференцируемости не зависит от того, какие карты атласов на M и N выбраны. Однако определение самой производной более тонкое. Если M или N уже само по себе является евклидовым пространством, то нам не нужна диаграмма, чтобы сопоставить его с ним.
Касательное пространство точки состоит из возможных производных по направлению в этой точке и имеет ту же размерность n, что и многообразие. Для набора (невырожденных) координат x k , локальных для точки, производные координат определяют голономный базис касательного пространства. Набор касательных пространств во всех точках, в свою очередь, может быть преобразован в многообразие, касательное расслоение , размерность которого равна 2 n . Касательное расслоение находится там, где лежат касательные векторы , и само по себе является дифференцируемым многообразием. Лагранжиан является функцией на касательном расслоении. Можно также определить касательное расслоение как расслоение 1- струй из R ( действительная прямая ) в M .
Можно построить атлас для касательного расслоения, состоящий из карт на основе U α × R n , где U α обозначает одну из карт в атласе для M . Каждая из этих новых карт является касательным расслоением для карт U α . Карты перехода на этом атласе определяются из карт перехода на исходном многообразии и сохраняют исходный класс дифференцируемости.
Двойственное пространство векторного пространства — это множество линейных функций с действительными значениями на векторном пространстве. Кокасательное пространство в точке является двойственным к касательному пространству в этой точке, а элементы называются кокасательными векторами; кокасательное расслоение — это совокупность всех кокасательных векторов вместе с естественной дифференцируемой многообразной структурой.
Как и касательное расслоение, кокасательное расслоение снова является дифференцируемым многообразием. Гамильтониан является скаляром на кокасательном расслоении. Полное пространство кокасательного расслоения имеет структуру симплектического многообразия . Кокасательные векторы иногда называют ковекторами . Можно также определить кокасательное расслоение как расслоение 1- струй функций из M в R.
Элементы кокасательного пространства можно рассматривать как бесконечно малые смещения: если f — дифференцируемая функция, то в каждой точке p можно определить котангенсивный вектор df p , который отправляет касательный вектор X p к производной f, связанной с X p . Однако не каждое ковекторное поле можно выразить таким образом. Те, которые можно, называются точными дифференциалами . Для заданного набора локальных координат x k дифференциалы dxк
побразуют базис кокасательного пространства в точке p .
Тензорное расслоение является прямой суммой всех тензорных произведений касательного расслоения и кокасательного расслоения. Каждый элемент расслоения является тензорным полем , которое может действовать как полилинейный оператор на векторных полях или на других тензорных полях.
Тензорное расслоение не является дифференцируемым многообразием в традиционном смысле, поскольку оно бесконечномерно. Однако это алгебра над кольцом скалярных функций. Каждый тензор характеризуется своими рангами, которые указывают, сколько у него касательных и котангенсивных множителей. Иногда эти ранги называют ковариантными и контравариантными рангами, что означает касательные и котангенсивные ранги соответственно.
Фрейм (или, точнее, касательный фрейм) — это упорядоченный базис конкретного касательного пространства. Аналогично, касательный фрейм — это линейный изоморфизм R n к этому касательному пространству. Движущийся касательный фрейм — это упорядоченный список векторных полей, которые дают базис в каждой точке своей области определения. Можно также рассматривать подвижный фрейм как часть расслоения фреймов F( M ), главного расслоения GL( n , R ), составленного из множества всех фреймов над M . Расслоение фреймов полезно, поскольку тензорные поля на M можно рассматривать как эквивариантные векторные функции на F( M ).
На достаточно гладком многообразии также можно рассматривать различные виды струйных расслоений. Касательное расслоение (первого порядка) многообразия — это набор кривых в многообразии по модулю отношения эквивалентности касания первого порядка . По аналогии, касательное расслоение k -го порядка — это набор кривых по модулю отношения касания k -го порядка. Аналогично, кокасательное расслоение — это расслоение 1-струй функций на многообразии: расслоение k -струй — это расслоение их k -струй. Эти и другие примеры общей идеи струйных расслоений играют важную роль в изучении дифференциальных операторов на многообразиях.
Понятие фрейма также обобщается на случай струй более высокого порядка. Определим фрейм k -го порядка как k -струю диффеоморфизма из R n в M . [ 6] Совокупность всех фреймов k -го порядка, F k ( M ), является главным расслоением G k над M , где G k является группой k -струй ; т. е. группой, состоящей из k -струй диффеоморфизмов R n , которые фиксируют начало координат. Заметим, что GL( n , R ) естественно изоморфна G 1 , и подгруппе каждого G k , k ≥ 2 . В частности, сечение F 2 ( M ) дает компоненты фрейма связности на M . Таким образом, фактор-расслоение F 2 ( M ) / GL( n , R ) является расслоением симметричных линейных связностей над M .
Многие из методов многомерного исчисления также применимы, mutatis mutandis , к дифференцируемым многообразиям. Например, можно определить производную по направлению дифференцируемой функции вдоль касательного вектора к многообразию, и это приводит к способу обобщения полной производной функции: дифференциалу. С точки зрения исчисления производная функции на многообразии ведет себя во многом так же, как обычная производная функции, определенной на евклидовом пространстве, по крайней мере локально . Например, существуют версии теорем о неявной и обратной функции для таких функций.
Однако существуют важные различия в исчислении векторных полей (и тензорных полей в целом). Короче говоря, производная по направлению векторного поля не определена четко или, по крайней мере, не определена прямолинейным образом. Существует несколько обобщений производной векторного поля (или тензорного поля), которые охватывают некоторые формальные особенности дифференциации в евклидовых пространствах. Главными из них являются:
Идеи из интегрального исчисления также переносятся на дифференциальные многообразия. Они естественным образом выражаются на языке внешнего исчисления и дифференциальных форм . Основные теоремы интегрального исчисления в нескольких переменных — а именно теорема Грина , теорема о расходимости и теорема Стокса — обобщаются до теоремы (также называемой теоремой Стокса), связывающей внешнюю производную и интегрирование по подмногообразиям .
Дифференцируемые функции между двумя многообразиями необходимы для формулирования подходящих понятий подмногообразий и других связанных понятий. Если f : M → N — дифференцируемая функция из дифференцируемого многообразия M размерности m в другое дифференцируемое многообразие N размерности n , то дифференциал f — это отображение df : T M → T N . Оно также обозначается Tf и называется касательным отображением . В каждой точке M это линейное преобразование из одного касательного пространства в другое: Ранг f в точке p — это ранг этого линейного преобразования.
Обычно ранг функции является точечным свойством. Однако, если функция имеет максимальный ранг, то ранг останется постоянным в окрестности точки. Дифференцируемая функция «обычно» имеет максимальный ранг, в точном смысле, заданном теоремой Сарда . Функции максимального ранга в точке называются погружениями и субмерсиями :
Производная Ли , названная в честь Софуса Ли , является производной на алгебре тензорных полей над многообразием M. Вектор всех производных Ли на M образует бесконечномерную алгебру Ли относительно скобки Ли, определяемой соотношением
Производные Ли представлены векторными полями , как бесконечно малые генераторы потоков ( активных диффеоморфизмов ) на M. С другой стороны, группа диффеоморфизмов M имеет связанную структуру алгебры Ли, производных Ли, способом, непосредственно аналогичным теории групп Ли .
Внешнее исчисление допускает обобщение операторов градиента , дивергенции и ротора .
Пучок дифференциальных форм в каждой точке состоит из всех полностью антисимметричных полилинейных отображений на касательном пространстве в этой точке. Он естественным образом делится на n -форм для каждого n, не превышающего размерность многообразия; n -форма - это n -переменная форма, также называемая формой степени n . 1-формы - это котангенсивные векторы, в то время как 0-формы - это просто скалярные функции. В общем случае n -форма - это тензор с котангенсивным рангом n и касательным рангом 0. Но не каждый такой тензор является формой, поскольку форма должна быть антисимметричной.
Внешняя производная — это линейный оператор на градуированном векторном пространстве всех гладких дифференциальных форм на гладком многообразии . Обычно он обозначается как . Точнее, если , то оператор отображает пространство -форм на в пространство -форм (если на нет ненулевых -форм , то отображение тождественно равно нулю на -формах).
Например, внешний дифференциал гладкой функции задается в локальных координатах с соответствующей локальной системой координат по формуле:
Внешний дифференциал удовлетворяет следующему тождеству, аналогичному правилу произведения относительно клинового произведения форм:
Внешняя производная также удовлетворяет тождеству . То есть, если является -формой , то -форма тождественно равна нулю. Форма такая, что называется замкнутой , в то время как форма такая, что для некоторой другой формы называется точной . Другая формулировка тождества состоит в том, что точная форма замкнута. Это позволяет определить когомологии де Рама многообразия , где группа когомологий -я является факторгруппой замкнутых форм на по точным формам на .
Предположим, что - топологическое -многообразие.
Если задан любой гладкий атлас , легко найти гладкий атлас, который определяет другую гладкую многообразную структуру, на рассмотрим гомеоморфизм , который не является гладким относительно данного атласа; например, можно изменить тождественное отображение, локализованное негладким выступом. Затем рассмотрим новый атлас, который легко проверяется как гладкий атлас. Однако карты в новом атласе не являются гладко совместимыми с картами в старом атласе, поскольку это потребовало бы, чтобы и были гладкими для любого и с этими условиями, являющимися в точности определением, что и и являются гладкими, в противоречии с тем, как было выбрано.
Используя это наблюдение в качестве мотивировки, можно определить отношение эквивалентности на пространстве гладких атласов на , объявив, что гладкие атласы и эквивалентны, если существует гомеоморфизм такой, что гладко совместим с и такой, что гладко совместим с
Короче говоря, можно сказать, что два гладких атласа эквивалентны, если существует диффеоморфизм , в котором один гладкий атлас берется за область определения, а другой гладкий атлас берется за диапазон.
Обратите внимание, что это отношение эквивалентности является уточнением отношения эквивалентности, которое определяет гладкую многообразную структуру, поскольку любые два гладко совместимых атласа также совместимы в настоящем смысле; один из них можно принять за тождественное отображение.
Если размерность равна 1, 2 или 3, то существует гладкая структура на , и все различные гладкие структуры эквивалентны в указанном выше смысле. Ситуация сложнее в более высоких размерностях, хотя она не полностью понята.
Каждое одномерное связное гладкое многообразие диффеоморфно одному из них или каждому из них с их стандартными гладкими структурами.
Для классификации гладких 2-многообразий см. поверхность . Конкретный результат состоит в том, что каждое двумерное связное компактное гладкое многообразие диффеоморфно одному из следующих: или или Ситуация становится более нетривиальной, если рассматривать комплексно-дифференцируемую структуру вместо гладкой структуры.
Ситуация в трех измерениях намного сложнее, и известные результаты являются более косвенными. Замечательным результатом, доказанным в 2002 году методами уравнений с частными производными , является гипотеза геометризации , утверждающая в общих чертах, что любое компактное гладкое 3-многообразие может быть разделено на различные части, каждая из которых допускает римановы метрики, обладающие многими симметриями. Существуют также различные «результаты распознавания» для геометризуемых 3-многообразий, такие как жесткость Мостова и алгоритм Селы для проблемы изоморфизма для гиперболических групп. [8]
Известно, что классификация n -многообразий для n больше трех невозможна, даже с точностью до гомотопической эквивалентности . Для любой конечно представленной группы можно построить замкнутое 4-многообразие, имеющее эту группу в качестве фундаментальной группы. Поскольку не существует алгоритма для решения проблемы изоморфизма для конечно представленных групп, не существует алгоритма для решения вопроса, имеют ли два 4-многообразия одну и ту же фундаментальную группу. Поскольку ранее описанная конструкция приводит к классу 4-многообразий, которые гомеоморфны тогда и только тогда, когда их группы изоморфны, проблема гомеоморфизма для 4-многообразий неразрешима . Кроме того, поскольку даже распознавание тривиальной группы неразрешимо, в общем случае невозможно даже решить, имеет ли многообразие тривиальную фундаментальную группу, т. е. является ли оно односвязным .
Односвязные 4-многообразия были классифицированы с точностью до гомеоморфизма Фридманом с использованием формы пересечения и инварианта Кирби–Зибенмана . Известно, что гладкая теория 4-многообразий гораздо сложнее, как показывают экзотические гладкие структуры на R 4 .
Однако ситуация становится более разрешимой для односвязных гладких многообразий размерности ≥ 5, где теорема об h-кобордизме может быть использована для сведения классификации к классификации с точностью до гомотопической эквивалентности, и может быть применена теория хирургии . [9] Это было сделано для предоставления явной классификации односвязных 5-многообразий Деннисом Барденом.
Риманово многообразие состоит из гладкого многообразия вместе с положительно определенным скалярным произведением на каждом из отдельных касательных пространств. Этот набор скалярных произведений называется римановой метрикой и, естественно, является симметричным 2-тензорным полем. Эта «метрика» определяет естественный изоморфизм векторного пространства для каждого На римановом многообразии можно определить понятия длины, объема и угла. Любому гладкому многообразию можно задать множество различных римановых метрик.
Псевдориманово многообразие (также называемое полуримановым многообразием) является обобщением понятия риманова многообразия , где скалярным произведениям разрешено иметь неопределенную сигнатуру , в отличие от положительно определенной ; они по-прежнему должны быть невырожденными. Каждое гладкое псевдориманово и риманово многообразие определяет ряд связанных тензорных полей, таких как тензор кривизны Римана . Лоренцевы многообразия являются псевдоримановыми многообразиями сигнатуры ; этот случай является фундаментальным в общей теории относительности . Не каждому гладкому многообразию можно придать нериманову псевдориманову структуру; на это существуют топологические ограничения.
Финслерово многообразие — это другое обобщение риманова многообразия, в котором скалярное произведение заменено векторной нормой ; таким образом, это позволяет определить длину, но не угол.
Симплектическое многообразие — это многообразие, снабженное замкнутой невырожденной 2-формой . Это условие заставляет симплектические многообразия быть четномерными , поскольку все кососимметричные матрицы имеют нулевой определитель. Вот два основных примера:
Группа Ли состоит из C ∞- многообразия вместе с групповой структурой на , такой, что отображение произведения и инверсии и является гладким как отображение многообразий. Эти объекты часто возникают естественным образом при описании (непрерывных) симметрий, и они образуют важный источник примеров гладких многообразий.
Однако многим другим знакомым примерам гладких многообразий нельзя придать структуру группы Ли, поскольку при наличии группы Ли и любого можно было бы рассмотреть отображение , которое отправляет единичный элемент в и, следовательно, рассматривая дифференциал, можно получить естественное отождествление между любыми двумя касательными пространствами группы Ли. В частности, рассматривая произвольный ненулевой вектор в можно использовать эти отождествления, чтобы получить гладкое неисчезающее векторное поле на Это показывает, например, что никакая четномерная сфера не может поддерживать структуру группы Ли. Тот же аргумент показывает, в более общем смысле, что каждая группа Ли должна быть параллелизуемой .
Понятие псевдогруппы [ 10] обеспечивает гибкое обобщение атласов, чтобы позволить определять множество различных структур на многообразиях единообразно. Псевдогруппа состоит из топологического пространства S и набора Γ, состоящего из гомеоморфизмов из открытых подмножеств S в другие открытые подмножества S , таких что
Эти последние три условия аналогичны определению группы . Обратите внимание, что Γ не обязательно должна быть группой, поскольку функции не определены глобально на S. Например, совокупность всех локальных C k диффеоморфизмов на R n образует псевдогруппу. Все биголоморфизмы между открытыми множествами в C n образуют псевдогруппу. Другие примеры включают: сохраняющие ориентацию отображения R n , симплектоморфизмы , преобразования Мёбиуса , аффинные преобразования и т. д. Таким образом, широкое разнообразие классов функций определяет псевдогруппы.
Атлас ( U i , φ i ) гомеоморфизмов φ i из U i ⊂ M в открытые подмножества топологического пространства S называется совместимым с псевдогруппой Γ при условии, что все функции перехода φ j ∘ φ i −1 : φ i ( U i ∩ U j ) → φ j ( U i ∩ U j ) принадлежат Γ.
Дифференцируемое многообразие тогда является атласом, совместимым с псевдогруппой функций C k на R n . Комплексное многообразие является атласом, совместимым с биголоморфными функциями на открытых множествах в C n . И так далее. Таким образом, псевдогруппы предоставляют единую структуру, в которой можно описать множество структур на многообразиях, важных для дифференциальной геометрии и топологии.
Иногда может быть полезно использовать альтернативный подход, чтобы наделить многообразие C k -структурой. Здесь k = 1, 2, ..., ∞ или ω для вещественных аналитических многообразий. Вместо рассмотрения координатных карт можно начать с функций, определенных на самом многообразии. Структурный пучок M , обозначаемый C k , является своего рода функтором , который определяет для каждого открытого множества U ⊂ M алгебру C k ( U ) непрерывных функций U → R . Говорят, что структурный пучок C k задает M структуру C k -многообразия размерности n при условии, что для любого p ∈ M существует окрестность U из p и n функций x 1 , ..., x n ∈ C k ( U ) таких, что отображение f = ( x 1 , ..., x n ) : U → R n является гомеоморфизмом на открытое множество в R n , и такое, что C k | U — это обратный образ пучка k -кратно непрерывно дифференцируемых функций на R n . [11]
В частности, это последнее условие означает, что любая функция h в C k ( V ), для V , может быть записана однозначно как h ( x ) = H ( x 1 ( x ), ..., x n ( x )) , где H является k -кратно дифференцируемой функцией на f ( V ) (открытом множестве в R n ). Таким образом, точка зрения теории пучков заключается в том, что функции на дифференцируемом многообразии могут быть выражены в локальных координатах как дифференцируемые функции на R n , и тем более этого достаточно для характеристики дифференциальной структуры на многообразии.
Похожий, но более технический подход к определению дифференцируемых многообразий можно сформулировать с использованием понятия кольцевого пространства . Этот подход находится под сильным влиянием теории схем в алгебраической геометрии , но использует локальные кольца ростков дифференцируемых функций. Он особенно популярен в контексте комплексных многообразий.
Начнем с описания основного структурного пучка на R n . Если U — открытое множество в R n , пусть
состоят из всех вещественнозначных k -кратно непрерывно дифференцируемых функций на U . При изменении U это определяет пучок колец на R n . Стебель O p для p ∈ R n состоит из ростков функций вблизи p и является алгеброй над R . В частности, это локальное кольцо , единственный максимальный идеал которого состоит из тех функций, которые обращаются в нуль в p . Пара ( R n , O ) является примером локально окольцованного пространства : это топологическое пространство, снабженное пучком, стебли которого являются локальными кольцами.
Дифференцируемое многообразие (класса C k ) состоит из пары ( M , O M ) , где M — хаусдорфово пространство со второй счетностью , а O M — пучок локальных R -алгебр, определенных на M , такой, что локально окольцованное пространство ( M , O M ) локально изоморфно ( R n , O ) . Таким образом, дифференцируемые многообразия можно рассматривать как схемы, смоделированные на R n . Это означает, что [12] для каждой точки p ∈ M существует окрестность U точки p и пара функций ( f , f # ) , где
Существует ряд важных мотиваций для изучения дифференцируемых многообразий в рамках этой абстрактной структуры. Во-первых, нет априорной причины, по которой модельное пространство должно быть R n . Например, (в частности, в алгебраической геометрии ) можно было бы взять это пространство комплексных чисел C n , снабженное пучком голоморфных функций (таким образом, придя к пространствам комплексной аналитической геометрии ), или пучком многочленов (таким образом, придя к пространствам, представляющим интерес в комплексной алгебраической геометрии). В более широком смысле, это понятие можно адаптировать для любого подходящего понятия схемы (см. теорию топосов ). Во-вторых, координаты больше не являются явно необходимыми для построения. Аналогом системы координат является пара ( f , f # ) , но они просто количественно определяют идею локального изоморфизма, а не являются центральными для обсуждения (как в случае диаграмм и атласов). В-третьих, пучок O M явно не является пучком функций вообще. Скорее, он возникает как пучок функций как следствие построения (через факторы локальных колец по их максимальным идеалам). Следовательно, это более примитивное определение структуры (см. синтетическую дифференциальную геометрию ).
Последним преимуществом этого подхода является то, что он позволяет получить естественные прямые описания многих фундаментальных объектов изучения дифференциальной геометрии и топологии.
Категория гладких многообразий с гладкими отображениями не обладает определенными желаемыми свойствами, и люди пытались обобщить гладкие многообразия , чтобы исправить это. Диффеологические пространства используют другое понятие карты, известное как «график». Пространства Фрёлихера и орбифолды — другие попытки.
Спрямляемое множество обобщает идею кусочно-гладкой или спрямляемой кривой на более высокие размерности; однако спрямляемые множества в общем случае не являются многообразиями.
Банаховы многообразия и многообразия Фреше , в частности многообразия отображений, являются бесконечномерными дифференцируемыми многообразиями.
Для C k -многообразия M множество вещественных C k -функций на многообразии образует алгебру относительно поточечного сложения и умножения, называемую алгеброй скалярных полей или просто алгеброй скаляров . Эта алгебра имеет постоянную функцию 1 в качестве мультипликативного тождества и является дифференцируемым аналогом кольца регулярных функций в алгебраической геометрии.
Можно восстановить многообразие из его алгебры скаляров, сначала как множество, но также и как топологическое пространство — это применение теоремы Банаха–Стоуна , и более формально известно как спектр C*-алгебры . Во-первых, существует взаимно-однозначное соответствие между точками M и гомоморфизмами алгебры φ : C k ( M ) → R , поскольку такой гомоморфизм φ соответствует идеалу коразмерности один в C k ( M ) (а именно ядру φ ), который обязательно является максимальным идеалом. Наоборот, каждый максимальный идеал в этой алгебре является идеалом функций, исчезающих в одной точке, что показывает, что MSpec (Max Spec) C k ( M ) восстанавливает M как множество точек, хотя на самом деле он восстанавливает M как топологическое пространство.
Можно определить различные геометрические структуры алгебраически в терминах алгебры скаляров, и эти определения часто обобщаются на алгебраическую геометрию (геометрически интерпретирующую кольца) и теорию операторов (геометрически интерпретирующую банаховы пространства). Например, касательное расслоение к M можно определить как вывод алгебры гладких функций на M.
Такая «алгебраизация» многообразия (замена геометрического объекта алгеброй) приводит к понятию C*-алгебры – коммутативной C*-алгебры, которая по Банаху–Стоуну является в точности кольцом скаляров многообразия, и позволяет рассматривать некоммутативные C*-алгебры как некоммутативные обобщения многообразий. Это основа области некоммутативной геометрии .
![{\displaystyle [A,B]:={\mathcal {L}}_{A}B=-{\mathcal {L}}_{B}A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52a85bba0a0a65aec00893b1af31acff9b2b32e)
